381. 109. (Septiembre 2016) SOLUCIÓN DEL CONCURSO: Un lipograma sobre…

El jurado compuesto por cuatro profesoras y profesores de la Sección de Matemáticas de la UPV/EHU (Pedro Alegría Ezquerra, María Merino Maestre, Raúl Ibáñez Torres y Judith Rivas Ulloa) ha decido por unanimidad que los textos ganadores del concurso ‘Un lipograma sobre…’ son (ex aequo) los de M. Ángeles Prieto Yerro y Juanjo Bazán, que han escrito sobre Leonhard Euler y Sofia Kovalevskaya, respectivamente. Os dejamos los dos textos debajo. 1) M. Ángeles Prieto Yerro es profesora de Análisis Matemático en la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense. Me comentaba en un mensaje que “Me gustan las matemáticas y usar la visualización para comunicarlas. Aprecio que los colegas sepan divulgar la ciencia.” Leonhard Euler (1707-1783) Lipograma sin la I Cuentan que llegó al mundo con ganas de saber, pensar y calcular. Cuentan que sumaba unos pocos números tan acertadamente como cuando eran tantos que nunca acababan. Cuentan que fue padre trece veces, pero ocho de sus vástagos no llegaron a adultos. Cuentan que durante una época calculaba y pensaba con un bebé en el regazo. Cuentan que el mayor anotaba sus cálculos cuando a su padre le atacó la ceguera. Cuentan que aceptó cargos en la corte, pero nunca dejó de pensar y calcular. Cuentan que con sus resultados desbrozó sendas, desveló lo oculto y desentrañó con novedosos recursos problemas muy complejos. Cuentan que fue un experto en cálculo, geómetra y topólogo, y que usó grafos para resolver un problema popular de paseos por puentes. Cuentan que redactó excelentes manuales de los que pueden aprender todos los colegas. Cuentan que su obra es tan extensa que ocupa más de sesenta volúmenes. Cuentan que la muerte lo encontró pensando y calculando. Cuentan que Laplace nos aconsejó “Leed, leed a Euler: él es el maestro de todos nosotros”. 2) Juanjo Bazán es Licenciado en Matemáticas, y me comentaba en un mensaje: “Hace años ejercí como profesor, pero ahora me dedico al desarrollo de software libre.” Sofia Kovalevskaya (1850-1891) Lipograma sin la U Por entonces era algo impensable y hasta prohibido para las damas formarse, investigar y ejercer de profesoras. Para ella no era impensable, por eso emigró de la tierra del Zar. Antes, solo hombres se habían doctorado en matemáticas en Göttingen. Presentó allí tres tesis. Tradición rota. En el viejo continente solo hombres habían trabajado enseñando. Ya no más. Solo hombres habían ganado hasta entonces el premio Bordin de matemáticas. Barrera traspasada. Matemática extraordinaria, admirada por Weierstrass, novelista y astrónoma, no hay recompensa para la rebeldía de esta nihilista comparable a mirar al cielo y observar en el satélite de la tierra el cráter nombrado con apellido de científica inconformista: ¡Kovalevskaya!. Enhorabuena a M. Ángeles y Juanjo, por estas reseñas de dos de los grandes de las matemáticas. M. Ángeles y Juanjo recibirán un ejemplar de  El Libro de las Matemáticas de Clifford Pickover. Muchísimas gracias a todas y todos los participantes, ojalá pudiéramos dar premios a todas y todos. ¡Hasta el próximo concurso!

Martes, 27 de Septiembre de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

382. 112. SOLUCIÓN CONCURSO DEL VERANO DE 2016

Vuelta a las tareas habituales (algunos antes que otros), aunque el calor se resiste a dejarnos (mirad los remedios de algunas películas para combatirlo en la respuesta C – 7; todavía hay tiempo para ponerlos en práctica). Y cómo no, aquí están las respuestas al cuestionario propuesto. Este año la película propuesta no ha convencido a todos por igual, pero eso sí, es una gran película. Una pequeña aclaración. Repasando las bases del concurso, en ningún sitio se dice que haya que hacer un desarrollo de las soluciones propuestas (al menos alguna indicación de cómo se ha resuelto). Algunos concursantes envían la respuesta final sin explicación alguna. Se ha tomado la decisión, esta vez, de “penalizarlos” muy poquito (un 8 o 9 en lugar del 10), aunque bien podría ser cero esa puntuación. En fin, una nueva aclaración a tener en cuenta para futuras convocatorias. Sin más, vamos a las soluciones. Otros comentarios, en el ejercicio correspondiente. Cuestiones Matemáticas M – 1.- Coordenadas de los puntos E, F y G. A partir del enunciado, podemos esbozar el dibujo que se muestra a la derecha. Por ser un rombo, los lados AE, AF, EC y FC deben tener la misma longitud, llamémosla m. Sea O la intersección de las diagonales del rombo, que deben ser perpendiculares. Aplicando el teorema de Pitágoras, se tiene que AC2 = AB2 + BC2, de donde AC = , y OA = (½)AC. De nuevo por Pitágoras, OF2 = AF2 – OA2. Un procedimiento de afrontar la cuestión es mediante coordenadas. Sean A(0, 0), B(a, 0), C(a, b) y D(0, b). La diagonal AC tiene por ecuación y = x, y su perpendicular por O(,) será y – = – (x – ), o sea, 2ax + 2by = a2 + b2. En este apartado nos piden las coordenadas de E, F y G para un rectángulo concreto. Particularicemos entonces. Como AB = 12 y BC = 8, entonces A(0, 0), B(12, 0), C(12, 8), D(0, 8), la diagonal AC tiene por ecuación y = 2x/3, y el punto de corte de las diagonales del rombo O es el centro geométrico del rectángulo inicial, es decir, O(6, 4). Los puntos E y F se encuentran en la perpendicular a AC que pasa por O, que como se ha indicado arriba tiene por ecuación 3x + 2y = 26. Como la única condición adicional es que AFCE sea un rombo, AE = AF = EC = FC = m, existen infinitos valores para E y F, pongamos por ejemplo, m = 8 (no todos los valores de m proporcionan solución ya que la ecuación de segundo grado resultante puede para ciertos valores no tener soluciones reales). En ese caso, sólo hay que resolver el sistema que nos da los valores E(6 – , 4 + ) y F(6 + , 4 – ). Finalmente para calcular G debemos previamente hallar la distancia EF, que resulta ser de los puntos anteriores 4√3. Esa distancia sobre la recta AC a partir del origen nos lleva a que G(,), sin más que resolver el sistema Marta, una de las concursantes, ha expresado la solución en forma paramétrica, de un modo muy elegante: E = [6 – 2t, 4+3t], F = [6 + 2t, 4 - 3t], G = [6t, 4t], con 0 < t < 4/3 No todos los participantes han tomado como referencia inicial el mismo punto. En algún caso, el centro geométrico del rectángulo ha sido el punto de partida. M – 2.- Sí, como ya se ha comentado en el apartado anterior, que la solución no es única. Hay infinitos rombos que satisfacen las condiciones del enunciado. M – 3.- La situación ahora es la mostrada en la nueva imagen: los puntos E y F se encuentran sobre los lados AB y CD del rectángulo. En este caso, además de los triángulos rectángulos indicados en el caso anterior, tenemos que FBC también es rectángulo, y por tanto, CF2 – FB2 = CB2 Siendo como antes m el lado del rombo, m2 – (x – m)2 = y2, de donde se obtiene que m = = AF. Como AC = , y OA = (½)AC, por Pitágoras, OF2 = AF2– OA2 = ()2 – ()2 = Por tanto, OF = = ,  y  EF = 2 OF = M – 4.- Como un reloj va tres minutos por delante del otro cada hora, después de veinte horas es cuando irá una hora por delante. M – 5.- Supongamos que la solución es las 23 horas y X minutos (o las 11 horas X minutos, ambas se han dado como correctas). La aguja de los minutos recorre 6º por minuto (360º entre 60 minutos), mientras que la de las horas recorre ½ grado por minuto (360º entre 12 horas = 30º, y 30º entre 60 minutos resulta ½). Si la aguja de las horas está desplazada una distancia x de las once, la aguja de los minutos estará en 35 – x. Aplicando a cada aguja su velocidad de desplazamiento por minuto), se sigue que a 35 – x minutos le corresponden 6(35 – x) grados, mientras que la aguja de las horas se desplaza x/2 grados respecto a las once. Como ambas han de ser iguales, 6(35 – x) = x/2. Resuelta la ecuación nos sale x = 420/13 = 32 + 4/13 minutos, es decir, 32 minutos, 18 y 6/13 segundos. Luego la hora exacta es las 23 horas 32 minutos, 18 y 6/13 segundos. M – 6.- En este caso se trataba de modelizar, a criterio del concursante. Es decir, faltaban datos, sí, pero cada cual podía añadir lo que necesitara para responder a la cuestión. El único dato a respetar era la altura del jarrón. Aclaro esto porque es uno de los ejercicios a mi entender más asequible, pero que menos se ha respondido (sólo dos de seis concursantes). Veamos la solución de Francisco Pi Martínez (un poco resumida): Si la altura es 45 cm. de alto, supongamos que la anchura de la boca son 10 cm. por el interior (obsérvese la figura). Según esto, el rectángulo representado es de 10 cm. por 45 cm. Las semicircunferencias superiores tienen un diámetro de 3 cm. al igual que los arcos pequeñitos que continúan hacia abajo. Hay un tramo recto de 6 cm. El arco que sigue (después del pequeño ya comentado) tiene un radio de 6 cm. La recta (que junto con el lado del rectángulo y algo de imaginación determina un triángulo) abarca los 27 cm. restantes. Dicho esto, el volumen del jarrón se compone de lo siguiente. Definamos, V1 = volumen que engendra el rectángulo al girar sobre su eje. V2 = volumen que engendra el semicírculo de diámetro 3 cm. al girar sobre el eje del rectángulo. V3 = volumen que engendran los dos cuartos de círculo de diámetro 3 cm. al girar sobre el eje del rectángulo. V4 = volumen que engendra el tramo recto de 6 cm. al girar sobre el eje del rectángulo. V5 = volumen que engendra el cuarto de círculo de radio 6 cm. al girar sobre el eje del rectángulo. V6 = volumen que engendra el triángulo formado por el tramo recto y el lado del rectángulo al girar sobre el eje del rectángulo. Habitualmente el profesor suele darnos la posibilidad de aplicar el teorema de Pappus-Guldin al cálculo de volúmenes de objetos con simetría de revolución, que es lo que haremos en este caso. El volumen total es V = V1 + V2 – V3 – V4 – V3 + V5 + V6. Calculemos cada volumen. Para ello usaremos la fórmula del teorema, que dice que el volumen engendrado por una superficie al girar alrededor de un eje es igual a la superficie multiplicada por la circunferencia que describe el centro de gravedad de ella al girar, V = S ∙ 2πrg, donde rg es la distancia del centro de gravedad al eje de rotación. Usaremos también la expresión de la coordenada del centro de gravedad de un semicírculo, igual a 4r/3π. V1: Cilindro. r = 5; h = 45; V = π r2 ∙ h = 1125π  cm3 V2: Semicírculo de diámetro 3 cm., r2 = 3/2. S2 = π r2 /2 = 9 π/8; rg = 5 + 4 ∙ (3/2)/3π = 5 + 2/π. V2 = 9π/8 ∙ 2π (5 + 2/π) = 45 π2/4 + 9 π/2 cm3. V3: Dos cuartos de círculo de diámetro 3 cm., r3 = 3/2. S3 = π r32/2 = 9 π/8; rg3 = 5 – 4 ∙ (3/2)/3π = 5 – 2/π. V3 = 9 π /8 ∙ 2 π (5 – 2/ π) = 45 π2/4 – 9 π /2 cm3. V4: Rectángulo. S4 = 6 ∙ 3/2 = 9; rg4 = 5 – 3/4 = 17/4. V4 = 9 ∙ 2 π (17/4) = 153 π/2 cm3. V5: Cuarto de círculo de radio 6 cm., r5 = 6. S5 = π r52/4 = 9 π; rg5 = 5 + 4 ∙ 6/3π = 5 + 8/π. V5 = 9 π ∙ 2 π (5 + 8/π) = 90 π2 – 144 π cm3. V6: Triángulo. S6 = 27 ∙ 6/2 = 81; rg6 = 5 + 6/3 = 7. V6 = 81 ∙ 2 π  ∙ 7  = 1134 π cm3. Sumamos V = V1 + V2 – V3 – V4 – V3 + V5 + V6 = 4095 π /2 + 90 π2 cm3 O lo que es lo mismo, aproximadamente, unos 7.320 cm3, algo más de siete litros. La solución propuesta por Marta Pérez (la que pensé yo), era aproximar (por interpolación, por ejemplo) el perfil mediante una función r(x), y utilizar la expresión V = π(r(x))2 dx M – 7.- De lo indicado en el texto, es evidente que se está refiriendo a un cuadro. Éstos son en general, rectangulares, así que están indicándonos que el cuadro es un rectángulo perfecto. Se llama rectángulo perfecto al que puede ser construido con cuadrados de diferentes tamaños. Así que hay que dar un rectángulo que pueda ser descompuesto en suma de 13 cuadrados de diferentes tamaños. La solución no es única, así que se admite cualquier descomposición que aproxime, más o menos, las dimensiones del cuadro de la película. Una solución podría ser la de la imagen (109 cm x 96 cm; tal y como se muestra el cuadro estaría tumbado). Los cuadrados tienen las dimensiones que se indican en la imagen (es decir, 57 sería un cuadrado de 57 x 57). Respecto a si es posible hacerlo con menos cuadrados la respuesta es afirmativa. El menor número de cuadrados que se pueden conseguir para hacer un rectángulo perfecto es 9 (más detalles en http://www.squaring.net/sq/sr/spsr/spsr.html). M – 8.- Sea x el número de libros que quedan tras la selección. El proceso de almacenaje en cajas que nos describen queda expresado en términos de congruencias del siguiente modo: x ≡ 3 mod 6 x ≡ 5 mod 7 x ≡ 0 mod 11 La tercera relación indica que x = 11k. Sustituyendo ese valor en las otras dos relaciones, se tiene que Como mcd(6, 7) = 1, entonces k = 3 + 42m, de donde x = 11k = 11(3 + 42m) = 33 + 462m Se dice que en la selección se eliminan más de 300 libros, por lo que x < 500. Los únicos valores entonces válidos serán x = 33 para m = 0, y x = 495 para m = 1. Como se dice que los dígitos son todos distintos, entonces la única solución será 495 libros. M – 9.- Sea V(t) el volumen de agua de la bañera en el instante t. Como la variación del volumen es proporcional a la cantidad de agua existente en cada momento, V’(t) = λ V(t), y V(0) = 350, V(4) = 315. Se trata de una sencilla ecuación diferencial de primer orden en variables separadas, así que dejando en un miembro las V y en el otro la constante λ, e integrando, se llega a que V(t) = α eλt Dando valores a t a partir de las condiciones iniciales, obtenemos las constantes α y λ: Para t = 0, 350 = α. Para t = 4, 315 = 350 e4λ Despejando λ, se tiene que V(t) = 350 (10/9)-t/4 . Después nos preguntan por el momento en que el volumen de agua es la mitad del inicial, esto es, 175 litros. Despejando t, se obtiene que eso sucede cuando t = ≈ 26.31 minutos Por tanto, el bañista no se percató de que el tapón estaba quitado ya que pidió a su interlocutor la toalla mucho antes (por lo que vemos en la película). M – 10.- Un sencillo ejercicio de probabilidades. Lo más sencillo es elaborar un diagrama con todas las posibilidades de elección, y de ahí calculas las probabilidades. Éstas finalmente son: a) p(tres hombres) = ≈ 0.1709.... b) p(dos hombres y una mujer) = ≈ 0.4395.... Son, respectivamente, las probabilidades de elegir Hombre – Hombre – Mujer, Hombre – Mujer – Hombre y Mujer – Hombre – Hombre. Nótese que las tres son idénticas. Esto podría deducirse a priori. Dos hombres y una mujer pueden distribuirse de tres formas diferentes, por lo que bastaría con haber hecho 3 () c) p(al menos un hombre) = 1 – = ≈ 0.9328.... d) Podemos resolver este apartado al menos de dos modos distintos. Por un lado, si las dos primeras elecciones fueron dos hombres, entonces para la tercera persona se selecciona entre 12 mujeres y 14 hombres. En ese caso la probabilidad de que la siguiente sea mujer será p = 12/26 = 6/13 ≈ 0.4615.... Si echamos mano de la probabilidad condicionada, utilizando la notación Mi ≡ Mujer en el lugar i-ésimo Hj ≡ Hombre en el lugar j-ésimo entonces, p(M3 / H1 H2) = = 6/13 Si nos fijamos un poco en la simplificación final, podemos observar que en realidad hacerlo mediante este segundo método no es apenas significativo en este caso (los dos primeros factores desaparecen, quedando únicamente el tercero, lo que sugiere que el procedimiento no aporta nada y que lo que hay que hacer es razonarlo de la primera manera). M – 11.- Construimos un grafo con los datos del problema. Tendrá 7 vértices, uno por cada una de las cinco salas más los correspondientes al pasillo y al exterior del museo. Las aristas corresponderán a las puertas, por lo que el grafo no será simple. Un recorrido por el apartamento pasando una vez por cada puerta y volviendo al punto de partida es un camino euleriano cerrado en el grafo. Pero éste tiene dos vértices de grado impar, por lo que tal recorrido no es posible. Si se duplica la arista B-Pasillo (son los dos vértices de grado impar), se obtiene un nuevo grafo G* que sí es euleriano. Un camino euleriano cerrado en este grafo, que empiece y termine en el exterior podría ser entonces así: Ext. – A – Pas. – A – B – Pas. – B – C – D – E – Pas. – E – Ext. y este recorrido es el que nos piden en la segunda parte, pues sólo se repite el paso por la puerta que comunica la sala B con el pasillo. M – 12.- El grafo que se debe considerar ahora es el que resulta de suprimir el vértice exterior en el grafo G. El mínimo número de colores necesarios para pintar las salas y el pasillo es el número cromático de este nuevo grafo. Este grafo contiene triángulos y admite una 3-coloración, luego dicho número cromático es 3. Una 3-coloración del grafo simple asociado se muestra en la imagen. Una explicación menos “técnica” (y seguramente más entendible por un mayor número de lectores), nos la proporciona uno de los concursantes, Francisco Pi: “Fijémonos en el punto en que coinciden los límites de las habitaciones A, B y el pasillo. Los tres pares que se pueden formar entre estos tres recintos están comunicados por puertas. Si utilizo solo dos colores, es obvio (principio del palomar) que habrá dos recintos pintados del mismo color. Y como todos los pares están comunicados por puertas, ya no cumpliría el enunciado. No es posible con solo dos colores”. Para tres, adjunta una posible coloración (la misma puesta arriba). M – 13.- El resultado de la operación es 1944, año de estreno de la película buscada. La razón por la que da ese resultado sin realizar “demasiadas operaciones”, es la siguiente: si hacemos que 2016 = x, entonces la fracción queda de este modo que factorizada y simplificada resulta sencillamente x. O sea que queda 2016 (1 – (1/28))  = 1944. Cuestiones sobre cine C – 1.- Películas en las que no se sabe al final que ha sucedido: dos clásicos son El sueño eterno (The big sleep, Howard Hawks, EE. UU., 1946) y Rashomon (Akira Kurosawa, Japón, 1950). culas en las que el crimen quede impune: ha sucedido: Los concursantes han aportado además los siguientes títulos: Los invitados (Víctor Alcázar, España, 1987), Sospechosos Habituales (The Usual Suspects, Bryan Singer, EE. UU., 1995), Minority Report (Steven Spielberg, EE. UU., 2002), Última llamada (Phone Booth, Joel Schumacher, EE. UU., 2002), Zodiac (Zodiac, David Fincher, EE. UU., 2007), La cinta blanca (Das weiße Band - Eine deutsche Kindergeschichte, Michael Haneke, Austria/Alemania/Francia/Italia, 2009), La Granja (Tannöd, Bettina Oberli, Suiza, 2009), El profesor Layton y la Diva Eterna (Masakazu Hashimoto, Japón, 2009). Novelas en las que no se sabe al final que ha sucedido: En este caso sirven muchas de las películas anteriormente citadas, ya que éstas suelen basarse en sus homólogos relatos, novelas, ensayos, etc. Así los concursantes han venido refiriéndose en este apartado también a El sueño eterno, de Raymond Chandler (publicado en 1939), Minority Report, relato de Philip K. Dick (publicado en 1956), Los invitados, novela homónima de Alfonso Grosso publicada en 1975, Zodiac: El asesino del zodiaco, de Robert Graysmith (publicado en versión original en 1986),  Tannöd, el lugar del crimen, novela de Andrea Maria Schenkel (2008). Entre aquellos que no se han llevado al cine (que yo sepa) se han citado El barril de amontillado, cuento de Edgar Allan Poe publicado en 1846. Películas en las que el crimen quede impune: Hay bastantes, sobre todo me viene a la cabeza las que tienen que ver con juicios. Por ejemplo, Testigo de Cargo (Witness for the Prosecution, Billy Wilder, EE. UU., 1957), y muchas de las dirigidas por Sidney Lumet, como 12 hombres sin piedad (Twelve Angry Men, EE. UU., 1957) o Veredicto Final (The Verdict, EE. UU., 1982), entre otras. Los concursantes añaden El secreto de la pirámide (Young Sherlock Holmes, Barry Levinson, EE. UU., 1985), El silencio de los corderos (The Silence of the Lambs, Jonathan Demme, EE. UU., 1991), Sommersby (Jon Amiel, EE. UU., 1993), Ocean's Eleven: Hagan juego (Ocean’s Eleven, Steven Soderbergh, EE. UU., 2001), Saw (James Wan, EE. UU., 2004), Fast & Furious 5 (Justin Lin, EE. UU., 2011). C – 2.- En Moebius (Gustavo Mosquera, Argentina, 1996), el ingeniero responsable de las obras del metro le da al protagonista un juego, comentándole que “Potencia la creatividad”. Los concursantes por su parte han señalado la presencia del cubo de Rubik en En busca de la felicidad (The Pursuit of Happyness, Gabriele Muccino, EE. UU., 2006), Perdita Durango (Álex de la Iglesia, España, 1997), Drive (Nicolas Winding Refn, EE. UU., 2011), Gravity (Alfonso Cuarón, EE. UU., 2013), Plan de escape (Escape plan, Mikael Håfström, EE. UU., 2013) (en esta aparecen también otros rompecabezas de madera), o Hal (Haru, Ryoutarou Makihara, Japón, 2013). En la imagen, otra conocida película en la que aparece. También se ha mencionado las torres de Hanoi en El origen del planeta de los simios (Rise of the Planet of the Apes, Rupert Wyatt, EE. UU., 2011). Se ha citado El motín del Caine, recordando cómo Humphrey Bogart movía compulsivamente unas bolas metálicas (la expresión “bolas chinas” se refiere a otra cosa, por cierto). Esta no la podemos dar por válida ya que en realidad no es un juego ni rompecabezas concreto. El protagonista mueve esas bolas como podía morderse las uñas, o arañarse, como tic de su desquiciada mente. C – 3.- El reloj es regalo de Waldo a la protagonista. Él tiene otro exactamente igual en su casa. Y es fundamental en el desarrollo de la trama porque es en ese reloj donde guarda algo importante. C – 4.- En Sólo ante el peligro (High Noon, Fred Zinnemann, EE. UU., 1952) la película transcurre a la vez que la acción. El paso del tiempo, marcado por diversos relojes, se convierte en uno de los protagonistas, marcando la implacable e inevitable cuenta atrás. También el reloj es protagonista en El extraño (The Stranger, Orson Welles, EE. UU., 1946), El reloj asesino (The Big Clock, John Farrow, EE. UU., 1948), en todas aquellas películas en las que hay viajes en el tiempo (El tiempo en sus manos, la saga Regreso al Futuro, Atrapado en el tiempo, etc.), el reloj carillón de La muerte tenía un precio (Per qualche dollaro in più, Sergio Leone, Italia, 1965). Los concursantes han propuesto, entre otras además de alguna de las mencionadas, las siguientes: Tiempos modernos (Modern Times, Charles Chaplin, EE. UU., 1936), Sed de mal (Touch of Evil, Orson Welles, EE. UU., 1958) (reloj bomba al inicio de la película), Atraco a las 3 (José María Forqué, España, 1962), El tren de las 3:10 (3:10 to Yuma, Delmer Daves, EE. UU., 1957), El hombre mosca (Safety Last!, Fred C. Newmeyer, Sam Taylor, EE. UU., 1923), Matar un ruiseñor (To Kill a Mockingbird, Robert Mulligan, EE. UU., 1962), El gran salto (The Hudsucker Proxy, Joel y Ethan Coen, EE. UU., 1994), las diferentes versiones de Alicia en el país de las maravillas, etc. C – 5.- Se trata de un cuadro. Cuadros como en El retrato de Dorian Gray (The Picture of Dorian Gray, Albert Lewin, EE. UU., 1945), La mujer del cuadro (The Woman in the Window, Fritz Lang EE. UU., 1944), Las dos señoras Carroll (The two Mrs. Carroll, Peter Godfrey, EE. UU., 1947), Jennie (Portrait of Jennie, William Dieterle, EE. UU., 1948), Pasos en la niebla (Footsteps in the Fog, Arthur Lubin, Reino Unido, 1955), Vértigo (De entre los muertos) (Vertigo, Alfred Hitchcock, EE. UU., 1958).  Recientemente, La dama de oro (Woman in Gold, Simon Curtis, Reino Unido, 2015) también gira en torno a un famoso cuadro, en este caso la lucha por su recuperación tras el expolio nazi durante la II Guerra Mundial. C – 6.- El retrato de Laura, que además de la película que nos ocupa, aparece en las películas En la Costa Azul (On the Riviera, Walter Lang, EE. UU., 1951) y El mundo es de las mujeres (Woman’s World, Jean Negulesco, EE. UU., 1954). La primera también la protagoniza Gene Tierney, y la segunda Clifton Webb. Como curiosidad decir que en realidad no es un retrato sino una fotografía ampliada que posteriormente se repasó cuidadosamente al óleo tratando de lograr un aire de etereidad. Clifton Webb, no era demasiado apreciado en Hollywood al que consideraban un exigente y decadente snob. Además era homosexual y tenía un estilo afectado que podría transmitir a la pantalla y quitar credibilidad a sus personajes. No trabajaba en el cine desde 1925 (la mayor parte de su carrera fue en el teatro), y fue una apuesta personal del director Otto Preminger. A partir de este papel, logró hacerse un sitio en la gran pantalla con papeles muy similares (por curiosidad, echen un vistazo a su siguiente película, Envuelto en la sombra (The dark corner, Henry Hathaway, EE. UU., 1946)), entre los que destaca El filo de la navaja o su caracterización de Mr. Belvedere en Niñera moderna, Mr. Belvedere estudiante y El genio se divierte. Y una curiosidad final: Gene Tierney y Clifton Webb nacieron el mismo día (de distintos años, obviamente). C – 7.- Casi todos los concursantes dan los mismos ejemplos. (¡¡Ay, Marilyn, cómo te recuerdan!!). En La tentación vive arriba (The Seven Year Itch, Billy Wilder, EE. UU., 1955), Marilyn Monroe se pone sobre una rejilla de ventilación del metro de Nueva York para refrescarse. También metía las bragas (con perdón) en el frigorífico antes de ponérselas. Por otro lado, en las tórridas noches madrileñas, Carmen Maura pide que la rieguen en plena calle (La ley del deseo, Pedro Almodóvar, España, 1987). En La ventana indiscreta (Rear Window, Alfred Hitchcock, EE. UU., 1954), los protagonistas abren las ventanas de par en par para intentar refrescarse. También hace bastante calor en La gata sobre el tejado de zinc (Cat on a Hot Tin Roof, Richard Brooks, EE. UU., 1958), y se combate el calor a base de ropa ligera (aunque bebiendo whisky a la vez no sé si el efecto servirá). Temperaturas altas (por diferentes razones) las padecen también los protagonistas de Fuego en el Cuerpo (Body Heat, Lawrence Kasdan, EE. UU., 1981) que tratan de paliar (no parece que lo logren) a base de añadir cubitos de hielo a la bañera en la que descansan,...., cuando pueden. C – 8.- Son muchos. Entre los más llamativos están la pitillera que Laura regala a Shelby y que luego éste vende, las llaves de la casa de campo, la botella de whisky barato, los objetos personales de Laura (perfume, cartas, diario...) C – 9.- La novela original fue escrita por Vera Caspary (1899 – 1987), autora de dieciocho novelas, cuatro obras de teatro y diez guiones de películas. Era especialista en relatos de asesinatos. En la actualidad, el escritor James Ellroy (autor, entre otras obras de L. A. Confidential) pretende rescribir la obra, manteniendo la trama principal aunque trasladándola a Londres y con la presencia de Scotland Yard. Al parecer el asesinato de Laura Hunt le recuerda al de su propia madre, Geneva, y por extensión al de La dalia Negra (otra de sus obras). Respecto a los actores actuales a los que los concursantes han elegido como posibles para la nueva versión del proyecto del remake de la película, éstos han sido: Para Laura, Scarlett Johansson y Nicole Kidman, como detective a Gary Oldman y George Clooney, como Waldo a William H. Macy y Jim Carrey, finalmente como Shelby Carpenter a John Leguizamo y Christian Bale. Propuestas muy diferentes. Ya comprobaremos si los productores tendrán la misma idea.... C – 10.- Evidentemente la película es Laura (Otto Preminger, EE. UU., 1944), y haya gustado o no, es una gran película. Según uno de esos rankings a los que tan aficionados son los anglosajones, es la película nº 288 entre las 1001 que hay que ver antes de morir. La crítica la da en general del 8 en adelante en un baremo hasta 10 (suelen tener más razones objetivas que los espectadores para otorgar una calificación, pero también es un parámetro relativo). Lo que queda fuera de toda duda es que es una de esas películas de la época dorada del cine norteamericano, con un buen guión, una buena interpretación y una excelente dirección. Puntuaciones de los Concursantes Como cada año, las distancias son mínimas (lo cual dice mucho a favor de los participantes; enhorabuena a todos, y también a quienes lo hayan intentado y finalmente no se hayan atrevido a mandar sus respuestas), las puntuaciones altas, y la fidelidad encomiable (en esta ocasión han habido nuevos participantes, incluyendo la ganadora; bienvenidos): Marta Pérez ......................         198 Francisco Pi Martínez ..........          192 Pablo Palacio Puente ............          178 Celso de Frutos de Nicolás .....          168 Andrés Mateo Piñol ..............          163 David Jordán Casals .............          141 En unos días recibiréis un correo electrónico (no sé si todos o sólo los primeros, depende de las existencias de regalos), para que nos facilitéis una dirección postal a la que enviaros el obsequio. Muchas Gracias por vuestra participación.

Viernes, 09 de Septiembre de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

383. 141. (Septiembre 2016) SOLUCIÓN CONCURSO DEL VERANO 2016: Un mago siempre gana al NIM

A la vuelta del periodo veraniego, volvemos a nuestro rincón y retomamos el juego que describíamos en la entrega anterior. No hemos recibido noticias de que el juego haya hecho millonario a ninguno de nuestros lectores pero esperamos que, al menos, haya servido para dedicar algún rato a pensar en su estrategia. Lo recordamos:. Separas de la baraja los cuatro ases, doses, treses, cuatros, cincos y seises. Colocas dichas cartas sobre la mesa, formando seis montones, de modo que cada montón contiene las cuatro cartas del mismo valor. Propones a un espectador el siguiente juego: El primer jugador recoge una carta y anuncia su valor. El segundo jugador recoge otra carta y anuncia la suma del valor de su carta con el resultado anterior. Alternativamente, cada jugador recoge una carta y anuncia la suma de los valores de todas las cartas elegidas. Ganará el juego quien pueda escoger una carta que le permita llegar exactamente a 31 o bien consiga obligar a su oponente a que su suma sea mayor que 31. Veamos un ejemplo: el primer jugador saca un tres, el segundo saca un cinco y nombra en voz alta la suma 8; el primer jugador saca un cuatro y anuncia la suma 12; el segundo jugador saca un dos y anuncia la suma 14; el primer jugador saca un seis y anuncia la suma 20; el segundo jugador saca un cuatro y nombra 24; el primer jugador saca ahora un as y nombra 25; por último el segundo jugador saca un seis y nombra 31, de modo que es el ganador. 3 8 12 14 20 24 25 31 Si te has detenido a pensar en las diferentes estrategias ganadoras, habrás observado en primer lugar que no hay una respuesta directa a nuestra primera pregunta: - ¿Es mejor ser el primero en jugar o dejar que juegue primero nuestro oponente? Aparentemente, es cierto que se puede ganar alcanzando alguno de los valores 10, 17 ó 24. Pero el número de cartas de cada valor está limitado a cuatro, tantas como palos tiene la baraja. ¿Qué pasa si hemos alcanzado el valor 24, nuestro oponente juega el cinco y no queda ningún dos para llegar a 31? De modo que, cuando el espectador trata de llegar al 10, empieza sacando un 3, pues sabe que el mago no puede llegar a 10 pero él sí; entonces el mago saca un 4 y el espectador un 3. De momento, la suma es 10 y el próximo reto del espectador es llegar a 17 (y sabe que el mago no puede llegar pues lo máximo que puede sumar es seis). Ahora el mago saca otro 4 y el espectador otro 3. Ahora, la suma es 17 pero el mago vuelve a sacar un 4 y el espectador otro 3. La suma es 24 pero el espectador ha sacado las cuatro treses. El mago saca entonces el último 4, la suma es 28 pero el espectador no puede llegar a 31. ¡El mago vuelve a ganar! Ahora que el espectador conoce las nuevas características del juego, sabe que no puede ganar empezando por 3 pero tampoco empezando por otro número, ya que el mago sí tratará de llegar a 10, 17 y 24 sin agotar todas las cartas del mismo valor. Así pues, el espectador pide que el mago empiece. El juego se desarrolla entonces así: El mago saca un cinco y el espectador saca otro cinco para llegar rápidamente a 10. Entonces el mago saca un 2 y el espectador saca otro 5. La suma es ahora 17 y el espectador observa con cierto temor que ya se han usado tres cincos. El mago vuelve a sacar un 2 y el espectador no tiene más remedio que sacar un cinco sabiendo que ha vuelto a perder el juego. En efecto, la suma es ahora 24 y el mago saca el último 2. La suma es 26 y no hay ninguna carta con la que el espectador pueda ganar. Al espectador le queda una duda: ¿qué pasaría si no sacara un cinco en su primera jugada? Entonces la iniciativa volvería a manos del mago que sí puede adoptar la estrategia inicial de llegar a las sumas clave 10-17-24. Además, nunca se agotará ningún valor. En definitiva, siempre ganará quien juegue en primer lugar si empieza con un cinco y no con un tres, como parecía en un principio. Dos de nuestros más asiduos seguidores, Javier Serrano y Roberto Camponovo, han enviado unas respuestas muy detalladas. Hay un error en la respuesta de Javier porque la jugada correcta del segundo jugador cuando el primero empieza con 3 no es otro 3 sino un 4. Se trata de obligar al adversario a que agote todas las cartas del mismo valor, no agotarlas uno mismo. Por otra parte, la respuesta de Roberto supone que el espectador no conoce el juego para improvisar sobre la marcha una estrategia alternativa. Por ejemplo, como indica Javier, todavía puede ganar el primer jugador si empieza con 3 y su oponente sigue con otro 3. La secuencia ganadora sería: 3 - 3 (suma 6) 4 - 3 (suma 13) 4 - 3 (suma 20) 1 - ? Ahora el segundo jugador no puede llegar a 24 porque se han acabado los treses. Ya no tiene ninguna posibilidad de ganar. Agradecemos el esfuerzo de nuestros colaboradores por transcribir sus conclusiones y animamos al resto a dedicar la próxima vez un momento para enviar sus reflexiones. Observaciones finales: Como ya indicamos, el juego se propone como acertijo en el libro "The Canterbury Puzzles", de Henry Dudeney. Se trata del problema 79 y, en las soluciones, Dudeney afirma que el primer jugador también puede ganar si empieza con el uno. ¿Sabrías cómo hacerlo? El juego también ha aparecido en uno de los episodios de ScamSchool. Si ves el video, comprobarás que el juego puede proporcionar buenos ratos de entretenimiento. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Martes, 06 de Septiembre de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

384. 78. (Septiembre 2016) Composición algorítmica (II)

1. Introducción Este es el segundo artículo de la serie composición algorítmica. En el primero [Góm16] exploramos la definición formal de algoritmo ([CLRS01, Knu73]) y proporcionamos algunos ejemplos (algoritmos de ordenación). Hicimos hincapié en la importante distinción entre algoritmo y código, distinción que de no hacerse en tiempo y forma convierte al estudiante de computación en un profesional superficial. En esta segunda entrega nos centraremos en la composición musical propiamente dicha. Merece la pena una reflexión y una formalización sobre el concepto de composición musical antes de entrar en las siguientes entregas, donde estudiaremos las principales corrientes dentro de la composición algorítmica. 2. La creación musical La pregunta del título de la sección es, como era de esperar, complicada, llena de matices, y sin una respuesta cerrada. Se puede elaborar una respuesta desde una perspectiva histórica y ver cómo en una cultura determinada el concepto de composición ha evolucionado. También es posible estudiar la composición musical en varias culturas y resaltar sus diferencias y analogías. Por último, es posible especular sobre el concepto de composición de una manera abstracta. En este artículo combinaremos estos tres puntos de vista. En su forma más simple, la composición musical es el proceso de crear música, lo cual deja la dificultad conceptual en el término música. En su definición más general, se puede decir que la música es una actividad artística y cultural cuyo medio es el sonido y el silencio. Si atendemos a las implicaciones artísticas y culturales de esta definición, entonces hemos de admitir que la música no existe en sí misma sino en cuanto significado construido por seres humanos, en cuanto constructo cultural. La experiencia musical consiste en un diálogo entre el oyente y la composición musical en que aquel ha de estar dispuesto a dejar que la música le hable, le muestre su sentido interno, su significado último. En esa escucha el oyente verá cuestionadas sus expectativas musicales y ello producirá progreso en el discurso musical percibido. Y es en este diálogo entre oyente y música que se produce el significado musical. Véase [Cli83] para una discusión más en profundidad de estas cuestiones. La definición de música implica a su vez que el sonido tiene algún tipo de organización para poder ser clasificado como música. Y aquí aparece la fascinante cuestión de si la música es un fenómeno universal o un constructo cultural. Algunos autores sostienen que existen ciertos universales musicales; he aquí algunos que aparecen en la bibliografía: Ideales musicales que poseen una estructura profunda; Estrategias para agrupar el sonido; El uso de alturas de referencia para crear estabilidad; La división de la octava para crear escalas; El uso de pulsos de referencia; La formación de patrones rítmicos a través de la división asimétrica de pulsos temporales. Otras investigaciones apuntan a que la música tiene aspectos típicos de un constructo cultural. Ciertas obras han sonado como ruido al público de una determinada época pero más tarde fueron comprendidas y subidas al rango de música. Ejemplos de obras así son la La gran fuga opus 133 de Beethoven, La consagración de la primavera de Stravinsky, Ionisation de Varèse, entre otras muchísimas. Recomendamos vivamente al lector el libro de Slonimsky Lexicon of Musical Invective: Critical Assaults on Composers Since Beethoven’s Time [Slo00] para una recopilación de obras que sonaron “ruidosas” en su estreno —y cuyos críticos masacraron inmisericordemente en las recensiones— per que más tarde fueron reconocidas en su justa valía. Para más información sobre los aspectos culturales de la música y en particular sobre la función social de la música, véase el libro de Radocy y Boyle [RB06] y las citas contenidas en él. Si atendemos a otras culturas que no sean la occidental, veremos que muchas no tienen el concepto de música como género artístico. La música tiene una componente funcional muy fuerte y es sencillamente parte de la vida cotidiana. No poseen un grupo de miembros de su cultura que se dedica en exclusiva a la música, sino que todos los miembros de esa sociedad participa en distinto grado en el fenómeno musical. Además, la mayor parte de las culturas son de transmisión oral y no se pueden describir con la notación musical occidental. Si la música implica la organización del sonido, tendremos qué señalar qué parámetros del sonido son susceptibles de dicha organización. En las próximas secciones daremos aquellos parámetros más comunes y aportaremos ejemplos para ilustrarlos. 2.1. Altura del sonido y melodía La altura del sonido se refiere a la cualidad que nos hace distinguir un sonido grave de uno agudo; dicha cualidad está relacionada con la frecuencia. Un sonido complejo puede estar formado por la superposición de varias frecuencias simultáneas. Cuando un sonido tiene una frecuencia clara y estable hablamos más bien de notas, como por ejemplo las notas de la mayor parte de los instrumentos musicales (la caja clara, por ejemplo, no tiene una frecuencia definida). En muchas culturas la organización del sonido en notas es la base de su estructura musical. La elección de las notas se obtiene dividiendo la octava en partes fijas. Es muy frecuente encontrar escalas pentatónicas (de cinco sonidos) y heptatónicas (de siete sonidos). La octava se divide en doce semitonos en la música occidental; en otras tradiciones musicales, como la árabe se divide en más partes que doce, lo hace en diecisiete. Asociada a la altura del sonido está la melodía, que en su definición más amplia es la presentación de una sucesión de tonos. Hay dos aspectos a considerar aquí: las relaciones entre las notas, sobre todo entre las notas consecutivas, y su duración en el tiempo. Obviamente, no toda sucesión de notas constituye una melodía. Autores como Lundin [Lun67] ya propusieron atributos como propincuidad, repetición y finalidad para definir con más precisión el concepto de melodía. Propincuidad alude a la propiedad de que la melodía principalmente se mueva por grados conjuntos dentro de la escala; repetición se refiere a que la melodía repita partes de ella a fin de consolidar su percepción; y finalidad significa que la melodía tenga ciertas intenciones musicales que le den coherencia. Ilustremos con un ejemplo lo anterior; en la figura 1 tenemos la melodía del capricho número 24 de Paganini. Figura 1: Melodía del capricho número 24 de Paganini Se trata de un tema con variaciones y lo que está en esta figura es la melodía principal el tema. El tema, que está en la menor, tiene dos partes claras, que hemos llamado antecedente y consecuente. El antecedente está armonizado con una alternancia de tónica-dominante (grado I y grado V de la escala, respectivamente). La función del antecedente es presentar el material melódico principal, que en este caso es un pequeño motivo que se repite constantemente; ese motivo tiene el rango de una tercera y se mueve principalmente por grados conjuntos (propincuidad y repetición). El consecuente presenta variación melódica del antecedente, creando tensión. La armonización del consecuente es (repetida dos veces): I–IV–VII–III–VI-II-V–I El consecuente termina con una cadencia implicada por la melodía (II–V–I) que sirven para reforzar el sentido conclusivo de la melodía (finalidad). Como vemos en el breve análisis de esta melodía, las tres características mencionadas arriba están presentes. En el vídeo de la figura 2 tenemos la interpretación del capricho entero con la partitura. Figura 2: Capricho número 24 de Paganini (vídeo con partitura) El ejemplo anterior está tomado de la música occidental. En otras culturas el concepto de melodía puede variar bastante y de nuevo aparece el debate de los universales musicales versus los constructos culturales. En el siguiente ejemplo tenemos el placer de escuchar una pieza de shakuhachi, una flauta de bambú que se usa en la música tradicional japonesa (en el vídeo hasta el minuto 6:05). Figura 3: Música tradicional japonesa para shakuhachi (flauta de bambú) En este caso la melodía se desvía de algunas de las características señaladas más arriba. Ya no hay tanto movimiento por grados conjuntos; de hecho, abundan los saltos. El timbre desempeña un papel muy importante y hay transiciones continuas entre notas (portamenti). La repetición motívica no está presente como en el caso de Paganini. Sin embargo, el sentido de finalidad es claro en la pieza. Varios autores, tras el análisis de melodías de numerosas culturales, llegan al consenso de que una melodía tiene los siguientes atributos estructurales: (1) primera y última nota; (2) nota más grave y más aguda; (3) notas repetidas; (4) tamaño de los intervalos melódicos; (5) dirección melódica (contorno melódico); (6) proximidad entre notas; (7) énfasis en grupos de notas; (8) las relaciones interválicas; (9) grado de énfasis en las notas. Véase [RB06], página 209 y siguientes para una discusión sobre las características estructurales de la melodía. 2.2. Armonía La melodía representa la dimensión horizontal de las notas y la armonía, en cambio, la dimensión vertical; esto es, cómo suenan varias notas al mismo tiempo. La armonía es particularmente importante en la música occidental, pero no lo es en otras tradiciones musicales. Muchas tradiciones no occidentales no tienen armonía alguna o está basada en escalas distintas a las occidentales con funciones distintas también. Es muy común la música monofónica (una sola voz) y la música heterofónica (con más de una voz, con variaciones de una sola línea melódica). Varios autores (Lundin [Lun67] y otros) mantienen que la respuesta a la armonía es un fenómeno cultural. Se sabe que la respuesta a la armonía se produce a la totalidad y no a cada acorde individual. Solo a través de un entrenamiento especial el oyente puede reconocer y analizar los acordes individualmente. Hay tres atributos que son importantes en la armonía: la tonalidad, el movimiento armónico y la finalidad. Tonalidad se refiere aquí a la organización armónica alrededor de un tono especial, que tiene mayor relevancia y que representa el centro tonal de la pieza. Típicamente, cuando se dice que una obra está en do mayor, por ejemplo, estamos especificando el centro tonal, la nota do, y la escala, la escala mayor. En la música occidental el movimiento armónico es un fenómeno relativo que ocurre en función de la tonalidad de referencia. Existen ciertas convenciones, que han cambiado a lo largo de la historia, sobre cómo enlazar los acordes entre sí. En el ejemplo del vídeo de la figura 4 podemos apreciar el movimiento de los acordes en el rondo a la turca de Mozart de su sonata KV 331. Los acordes en ese vídeo se han representado por números romanos, donde cada número representa un grado de la escala; los números en mayúsculas son los acordes mayores y los que van en minúsculas, los acordes menores. El lector se percatará de que en muchos compases solo hay un acorde y de que cuando Mozart quiere crear tensión aumenta el ritmo al que los acordes cambian. Figura 4: Movimiento armónico en el movimiento final del rondo a la turca de Mozart, KV 331 Asimismo, el lector apreciará que hay un gran sentido de la finalidad en la elección de los acordes, el cual acompaña igualmente a la melodía. El uso de ciertas cadencias al final de las frases es un ejemplo de ello (los acordes con sextas aumentadas, la progresión ii-V-I). Las cadencias son secuencias de acordes que se usan para el fin de una frase, sección o pieza musical. 2.3. Ritmo El ritmo es todo aquello que se refiere a la cualidad temporal de la música. En sí el ritmo es un elemento unificador de los otros aspectos musicales. Hay muchas teorías del ritmo, más de las que podemos glosar con solvencia en el breve espacio de este artículo. En general, los investigadores coinciden en que las propiedades del ritmo incluyen: (1) tempo o velocidad a que va la pieza; (2) las duraciones de las notas; (3) las relaciones de agrupamiento; y (4) la métrica. Por relaciones de agrupamiento nos referimos a conjuntos de duraciones que en función de mecanismos perceptuales (leyes de continuación y otras leyes de psicología de la forma) son percibidas como un todo. La métrica es más difícil de explicar y hay que tener en cuenta que es un constructo típico de la música occidental; la mayor parte de las tradiciones musicales carecen de la métrica tal cual la conocemos en la cultura occidental. La manera de marcar el compás en la música occidental es por medio de una fracción. El denominador indica la figura rítmica básica (corchea, negra, blanca, etcétera). El numerador indica el número de esas unidades rítmicas por compás. Así un compás de 3/4 indica que cada compás tiene tres negras (el 4 es el número de la negra). Pero el numerador aporta más información que el número de partes. Nos dice que hay un patrón de partes en que la primera es acentuada y las dos siguientes no, esto es, un patrón fuerte-débil-débil. Observe el lector que en la música occidental se supone que hay un pulso regular, en nuestro ejemplo, de negras, y que la métrica impone un patrón de acentos sobre dichos pulsos. Cuando un patrón rítmico contradice la métrica durante un periodo corto de tiempo se dice que es una síncopa. Cambiando las duraciones de los patrones rítmicos se consigue generar relaciones de tensión y relajación en la música. Como ejemplo, veamos en el canon en re de Pachelbel cómo los cambios en las duraciones dan cohesión y dinamismo a la pieza. El vídeo es autoexplicativo. Figura 5: Las transformaciones rítmicas en el canon en re de Pachelbel Consideremos ahora un ejemplo tomado de una tradición musical donde el ritmo tiene otra concepción muy distinta a la occidental. En la música occidental la armonía ha restringido el desarrollo rítmico porque los cambios de acordes suelen producirse en las partes fuertes, sobre todo a principio de compás. En otras culturales el ritmo ha alcanzado cotas altísimas de desarrollo. En el gahu, que es música de la cultura Ewe de Ghana, el ritmo posee un papel primordial. Este género está asociado a la danza y al canto y su instrumentación consiste en tambores de distintos tamaños, campanas (gankoguis) y voz (coros). En la tradición musical de los Ewe existe el concepto de pulso, pero no el de métrica; además los ritmos no se piensan de modo divisivo sino más bien aditivo. La campana gankogui toca un ritmo que actúa de elemento unificador. Cada tambor (sogo, kidi y kaganu) toca un ritmo y debido a las texturas de los tambores y a los acentos de los ritmos surgen melodías rítmicas, si así podemos llamarlas; en la figura 6 aparece una transcripción de los ritmos básicos del gahu con círculos en esas melodías rítmicas. Para un estudio serio y profundo del gahu recomendamos el libro Drum Gahu: An Introduction to African Rhythm [Loc98] del etnomusicólogo David Locke. Figura 6: Transcripción a notación occidental del gahu En el vídeo de la figura 7 el lector puede disfrutar de una interpretación de gahu. Figura 7: Danza gahu en el Teatro Nacional de Ghana Otra tradición que se basa fuertemente en el ritmo es la japonesa, con sus famosos tambores taiko. Los tambores taiko varían desde aquellos con 30 centímetros de diámetro hasta los de un metro y medio de diámetro. Los patrones rítmicos, los acentos, la textura y la velocidad son los parámetros con que juega este género; la melodía y la armonía están ausentes en este género. En la figura 8 podemos ver una actuación con tambores taiko. Figura 8: Actuación de percusionistas de taiko 2.4. Textura La textura musical es el resultado final en términos de sonido que percibimos al escuchar una pieza musical. Es la suma de los sonidos individuales. Una pieza para un instrumento solo tiene una textura simple comparada a una pieza de orquesta. Se habla, pues, de textura más densa o menos densa en función de las voces que intervienen en la pieza en concreto. La textura, empero, no depende solo del número de voces, sino que es función también de la melodía, la armonía, el ritmo y de cómo se combinan entre sí. Por ejemplo, voces que no se contradicen entre sí musicalmente o que no crean tensión entre sí dan la sensación de una textura más ligera. Atendiendo al número de voces, clasificamos las texturas en monofónicas, heterofónicas, polifónicas y homofónicas. Las texturas monofónicas están compuestas de una única voz. En el ejemplo de más abajo tenemos al extraordinario Agujetas cantando un martinete a capella. Figura 9: Monofonía ilustrada con unos martinetes cantados por Agujetas En la heterofonía dos instrumentos o voces tocan la misma melodía, pero uno de los intérpretes hace variaciones de dicha melodía. Este tipo de textura es común en tradiciones no occidentales tales como el bluegrass o el gamelán (música tradicional de Indonesia). En el siguiente vídeo podemos ver un ejemplo de heterofonía con el gamelán. Figura 10: Heterofonía en la música de gamelán Las texturas polifónicas se dan cuando varias voces independientes se combinan entre sí. La música coral del Renacimiento y de buena parte del Barroco tenían esta escritura. En las texturas polifónicas la armonía toma un papel especialmente importante pues ha de regir cómo combinar las voces de manera acorde al estilo dado. En el vídeo siguiente tenemos un ejemplo de una gran tradición polifónica, los cantos de Georgia (el país de Europa Oriental; no confundir con el estado del mismo nombre en EEUU). Figura 11: Polifonía en la tradición vocal de Georgia Por último, la textura homofónica, que es similar a la polifónica pero ahora una de las voces toma el protagonismo melódico y el resto proporciona soporte armónico. Otra manera de describirlo es decir que la textura homofónica es melodía con acompañamiento. El ejemplo dado en la figura 4, con el rondo a la turca de la sonata KV 331 de Mozart, es textura homofónica. 2.5. Timbre El timbre es la cualidad característica de cada instrumento en términos de su sonido. Una misma nota tocada en un violín suena distinta a la de una flauta porque cada instrumento produce distintos armónicos (las frecuencias secundarias asociadas a una nota). Los compositores siempre tienen una gran preocupación por el timbre de su música. En una orquesta sinfónica hay muchos grupos de instrumentos y la combinación sonidos es importante en el discurso musical. Como ejemplo llamativo de textura musical, sugerimos al lector la escucha del concierto para violín, percusión y mesa de ping-pong de Andy Akiho, obra de 2015. Sí, ha leído bien el lector, mesa de ping-pong. Figura 12: Concierto para violín, percusión y mesa de ping-pong 2.6. Forma En general, la música no occidental tiene una forma más libre que la música occidental. Ello es comprensible dado que muchas tradiciones musicales no occidentales se basan en la improvisación de un material previo. Por forma entendemos la estructura de una pieza y por estructura, la organización del material a nivel local, digamos al nivel de frase, hasta al nivel de la misma pieza, como cuando describimos esta por sus secciones. Ejemplos de formas que han surgido a lo largo de la historia de la música occidental son las formas de danza (allemande, bourrée, chaconne, gavotte, menuet, entre otras), la fuga, la invención, la sonata, el tema y las variaciones, el concierto, la sinfonía concertante y la sinfonía. Además, varios de estas formas evolucionaron a los largo de la historia; no es lo mismo la forma sonata en el clasicismo temprano que en el post-romanticismo. En una forma dada se especifican las secciones y el material que hay en ellas. En una forma sonata típica hay una sección de exposición en la que se presentan dos temas. Después de exponer el primer tema en la tonalidad de la pieza, es frecuente que el segundo tema aparezca en la dominante. La exposición de estos dos temas constituye la llamada sección A de la sonata o sección de exposición; se suele repetir dos veces. Tras la sección A viene la sección del desarrollo, que es una sección mucho más libre, donde se modula a otras tonalidades y se desarrolla motívicamente los temas de la sección A. La sección del desarrollo desemboca en la reexposición de la sección A. En esta segunda exposición es normal que el segundo tema se presente en la tonalidad de la pieza para dirigirnos a su conclusión. A veces la sonata termina con una coda o pasaje de carácter conclusivo donde se resume el material presentado en la pieza. La estructura de la sonata es, pues, A+A+B+A+C. En el vídeo siguiente tenemos los conceptos anteriores explicados sobre la sinfonía número 29 de Mozart. Figura 13: La forma sonata con la sinfonía número 29 de Mozart Otro ejemplo menos ortodoxo es el que se puede ver en el vídeo de más abajo, que es la forma musical en el tema Overworld del videojuego Mario Bros. En este caso la estructura es Introducción+A+B+B+C+Introducción+A+D+D+C+D Figura 14: Forma musical en el tema Overworld del videojuego Mario Bros. 3. ¿Qué es composición musical? Tras todo lo visto hasta ahora comprendemos que el concepto de composición musical es muy amplio. Implica la elección de unos cuantos parámetros musicales y su manipulación para conseguir una organización del sonido que sea significativa. El término significativo aquí estará muy en función del contexto cultural. Composición se puede entender como improvisación, como por ejemplo en el caso de muchas tradiciones orales, o bien como una obra escrita en notación hasta sus últimos detalles. Los ejemplos que nos aguardan en las siguientes entregas de esta serie, donde examinaremos la composición algorítmica, requerirán de un concepto muy flexible de composición.   Bibliografía [Cli83] Thomas Clifton. Music as Heard: A Study in Applied Phenomenology. Yale University Press, 1983. [CLRS01] Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms. McGraw-Hill Book Company, Cambridge, London, 2. edition, 2001. 1. editon 1993. [Góm16] P.. Gómez. Composición algorítmica (i). http://vps280516.ovh.net/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=17290&directory=67, consultado en julio de 2016. [Knu73] Donald E. Knuth. The Art of Computer Programming, Volume I: Fundamental Algorithms, 2nd Edition. Addison-Wesley, 1973. [Loc98] David Locke. Drum Gahu: An Introduction to African Rhythm. White Cliffs Media, Gilsum, New Hampshire, 1998. [Lun67] R.W. Lundin. An objective psychology of music. Ronald Press, 1967. [RB06] Rudolf E. Radocy and J. David Boyle. Psychological Foundations of Musical Behavior. Charles C Thomas, Illinois, 2006. [Slo00] Nicolas Slonimsky. Lexicon of Musical Invective: Critical Assaults on Composers Since Beethoven’s Time. W W Norton & Co Inc., 2000.

Jueves, 01 de Septiembre de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

385. 140. (Julio 2016) CONCURSO DEL VERANO 2016: Un mago siempre gana al NIM

En varias ocasiones, dentro de nuestro rincón matemágico, hemos desvelado trucos con los que ganar apuestas en juegos aparentemente equitativos. Y la llegada del verano es propicia para intentarlo una vez más. Suele ser un problema el hecho de que la gente te considere mago porque tiende a sospechar que tratas de engañarle y quieras aprovechar que conoces algunos secretos de los que puedas beneficiarte, si sólo tú conoces la estrategia ganadora. Así que, esta vez, iremos un paso más allá pues lograremos ganar el juego incluso después de haber desvelado y permitido a nuestro oponente utilizar la estrategia ganadora. El juego que propondremos es una adaptación del conocido juego de NIM. Para quienes el juego no sea tan conocido, daremos unas referencias: En la guía titulada "Juegos didácticos" elaborada para el programa "Las matemáticas en las bibliotecas escolares" puedes conocer el origen y las características del juego y sus variantes, así como aprender sus reglas. El juego se hizo muy popular gracias a la película "El año pasado en Marienbad" dirigida por Alain Resnais en 1961, reseñada en el rincón de al lado por nuestro colega y amigo Alfonso Población. Para familiarizarse con el juego, hay una versión online en el portal juegosdelogica.net. Pero también hay multitud de "apps" para dispositivos móviles y tabletas que encontrarás fácilmente. La versión de la que nos ocuparemos aquí recibe el nombre de "El juego del 31", como aparece en el libro del matemático británico Henry Dudeney "Los acertijos de Canterbury", publicado por primera vez en 1907 como The Canterbury puzzles. No sólo el título del libro está inspirado en el clásico de la literatura medieval "The Canterbury tales", de Geoffrey Chaucer, escrito a finales del siglo XIV, sino que su contenido también se desarrolla mediante una sucesión de cuentos y relatos en los que se plantean diferentes retos, juegos de lógica y rompecabezas ingeniosos. De la labor matemática de Henry Dudeney, destacaremos su resolución del célebre "Haberdasher puzzle", problema de disección que plantea cómo recortar un cuadrado en piezas para formar con ellas un triángulo equilátero. Una breve biografía de Henry Dudeney, así como una completa relación de su bibliografía, se puede encontrar en el blog "divulgadores" de Antonio Varela. En la introducción del juego que nos ocupa, Dudeney afirma: Durante una época, este juego fue el método favorito de estafa utilizado por los tahúres en los hipódromos y los trenes. Veamos, en primer lugar, en qué consiste el juego y, posteriormente, estudiaremos las estrategias ganadoras. Separas de la baraja los cuatro ases, doses, treses, cuatros, cincos y seises. Colocas dichas cartas sobre la mesa, formando seis montones, de modo que cada montón contiene las cuatro cartas del mismo valor. Propones a un espectador el siguiente juego: El primer jugador recoge una carta y anuncia su valor. El segundo jugador recoge otra carta y anuncia la suma del valor de su carta con el resultado anterior. Alternativamente, cada jugador recoge una carta y anuncia la suma de los valores de todas las cartas elegidas. Ganará el juego quien pueda escoger una carta que le permita llegar exactamente a 31 o bien consiga obligar a su oponente a que su suma sea mayor que 31. Veamos un ejemplo: el primer jugador saca un tres, el segundo saca un cinco y nombra en voz alta la suma 8; el primer jugador saca un cuatro y anuncia la suma 12; el segundo jugador saca un dos y anuncia la suma 14; el primer jugador saca un seis y anuncia la suma 20; el segundo jugador saca un cuatro y nombra 24; el primer jugador saca ahora un as y nombra 25; por último el segundo jugador saca un seis y nombra 31, de modo que es el ganador. 3 8 12 14 20 24 25 31 Como ocurre con la mayoría de estos juegos, la primera pregunta que debemos hacer es la siguiente: - ¿Es mejor ser el primero en jugar o dejar que juegue primero nuestro oponente? Un sencillo análisis del juego nos lleva a concluir que, si el jugador A alcanza el número 24, ganará el juego: el jugador B no podrá llegar a 31 en la siguiente jugada pero el jugador A llegará a 31 si juega una carta cuyo valor sea la diferencia entre 7 y el valor de la carta jugada por B. El mismo razonamiento indica que el jugador A ganará si alcanza el número 17, pero también si alcanza el número 10 (porque la siguiente jugada será otra vez la diferencia entre 7 y el valor jugado por B). En definitiva, el jugador A ganará el juego si empieza con una carta de valor 3. Si empieza su oponente pero no conoce el secreto, todavía podrá ganar si alcanza alguno de los valores 10, 17, 24 ó 31. Ahora viene la segunda parte del juego. Pero no lo vamos a explicar aquí sino que será nuestra propuesta para un nuevo concurso de verano. Te propongo una serie de cuestiones y, si logras resolverlas, envía tus soluciones a pedro.alegria@ehu.eus . Como es tradicional, entre las respuestas más completas e ingeniosas, seleccionaremos los ganadores del concurso, a quienes el portal DivulgaMat les obsequiará con un libro de divulgación matemática. - Primera cuestión: el mago explica al espectador la estrategia ganadora y, como muestra de cortesía, le deja jugar otra partida. Si ha entendido el juego, el espectador será quien juegue primero. ¿Qué tiene que hacer el mago para ganar la partida? - Segunda cuestión: el mago vuelve a explicar al espectador porqué ha perdido de nuevo. Así que, haciendo gala de gran generosidad, le propone una nueva revancha. El espectador ahora elegirá ser segundo jugador. ¿Cuál es la nueva estrategia que utilizará el mago para volver a ganar? - Tercera cuestión: ¿pueden plantearse otras versiones del juego, con las mismas características que tiene el juego del 31, con distintos valores de la suma final y otros conjuntos diferentes de cartas? Si eres capaz de resolver la primera cuestión, no dejes pasar la oportunidad de jugar con tus allegados. Es tan ingenioso que nadie se molestará por haber perdido las apuestas. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Viernes, 01 de Julio de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

386. 104. (Junio 2016) CONCURSO: Un ‘torneo’ matemático

Este año proponemos también un concurso para esta sección de teatro y matemáticas. Os invitamos a escribir una mini-pieza teatral, un diálogo fingido, un ‘torneo’ entre dos personajes matemáticos, teniendo en cuenta las siguientes instrucciones: Debe realizarse en clave de humor. Los dos personajes elegidos no tienen porque haber ni convivido ni vivido en el mismo momento histórico. En este diálogo, cada personaje deberá intervenir cinco veces, por turnos, es decir, esta mini-obra consta de diez frases. La obra de teatro debe llevar un título, y no tiene porque tratarse de una disputa. Os dejamos un ejemplo (no es necesario enviar la imagen): Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646- 1716) e Isaac Newton (1642-1727). Las caricatura están tomadas de El rostro humano de la matemáticas. El dúo Pimpinela - NEWTON (cantando, a lo Pimpinela): Hace dos años y un día que te acusé de plagio... - LEIBNIZ (respondiendo, también a lo Pimpinela): Jamás te pude comprender... - NEWTON: Estás mintiendo, ya lo sé... - LEIBNIZ: Vete olvida que existo, olvida mis derivadas y mis integrales... - NEWTON: En busca de emociones, se que un día te insulté... - LEIBNIZ: No hay nada más que hablar... - NEWTON: Al descubrir que era todo una gran fantasía rectifiqué, porque entendí que quería tus técnicas de derivadas e integrales, esas cosas fantásticas que viven en ti... - LEIBNIZ: Vete olvida mis teoremas, mis corolarios y mis lemas... que no te desean... - NEWTON: Ayúdame, no me sale esta integral, piensa en mí... - LEIBNIZ: Vete, olvida que existo, que para eso tienes experiencia... Si, ya se que no ganaría el concurso... sólo es un ejemplo. Tenéis hasta el 31 de agosto para enviar vuestras propuestas a esta dirección . Los mejores ‘torneos’ ¡tendrán su premio (en forma de libro)! ¡Animaos a participar!

Martes, 28 de Junio de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

387. 108. (Junio 2016) CONCURSO: Un lipograma sobre…

Para este verano, como en años anteriores, proponemos un concurso en el que las matemáticas y la literatura van de la mano. Adelantamos la propuesta al mes de junio para que tengáis más tiempo para pensar en ello. En el verano de 2014 os propusimos jugar con bolas de nieve en vez de hacerlo con arena, y el pasado verano, los protagonistas fueron los retratos alfabéticos. Esta vez os proponemos escribir un lipograma… ¿y qué es un lipograma? Según el diccionario de la RAE: Der. regres. del gr. λιπογράμματος lipográmmatos 'que carece de una letra', formado a imit. de anagrama, caligrama, etc. 1. m. Texto en el que, por artificio literario, se omiten deliberadamente una determinada letra o un grupo de letras. Nuestro concurso consiste en redactar una breve semblanza de un personaje matemático, centrada en los aspectos que se desee de su vida o su trabajo, y teniendo en cuenta las siguientes instrucciones: El texto debe ser un lipograma. El lipograma debe llevar un título con el nombre de la matemática o el matemático elegido, que también debe formar parte del lipograma. En el lipograma debe eliminarse una letra vocal, a elegir por el autor o la autora del texto. El lipograma debe tener, al menos, cincuenta palabras. Debe indicarse la letra eliminada junto al título. Os dejamos un ejemplo (no es necesario enviar la imagen): Tenéis hasta el 31 de agosto para enviar vuestras propuestas a esta dirección. Las mejores propuestas ¡tendrán su premio (en forma de libro)! ¡Animaos a participar!

Viernes, 24 de Junio de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

388. 111. CONCURSO DEL VERANO DE 2016

Fieles a la cita, una nueva edición de este esperado cuestionario matemático-cinéfilo. Os deseamos unas vacaciones estupendas, allá donde cada uno haya decidido disfrutarlas, y si tenéis un rato, esperamos que disfrutéis con esta propuesta. El objeto de este concurso es sencillo: averiguar, a partir de las pistas que se dan, el título de una película (o películas), oculta entre las pistas (diálogos, imágenes, problemas, etc.), además de responder una serie de cuestiones planteadas (unas de tipo matemático, las de color rojo; otras de tipo cultural, básicamente cinematográfico, las azules). Cada cuestión tiene una valoración que se indica al final. Quien mayor puntuación alcance será el ganador, al que la dirección de DivulgaMAT le hará llegar algún obsequio (se suele premiar a los tres primeros, aunque depende de las existencias de obsequios). Se intenta (no siempre se logra) plantear cuestiones de todos los niveles (sencillas, medias, difíciles), pero como nadie sabe a que categoría pertenece cada una (además de que la dificultad de algo siempre es un concepto subjetivo), ninguna a priori debería evitarse. Y por supuesto, descubrir (o revisar) títulos destacados de la Historia del Cine. CONCURSO Muchas veces los pequeños detalles determinan hechos relevantes. Los escritores más populares de novelas de misterio han exprimido esta circunstancia hasta límites realmente inverosímiles (Sherlock Holmes, Hercules Poirot, Miss Marple, etc.), lo cual no se corresponde en demasiadas ocasiones con la realidad, si bien la policía, cuando investiga algún delito, tiene un grupo de especialistas que toman fotos, recogen objetos, toman huellas, y analizan un montón de detalles y objetos, que puedan ayudar a resolver el asunto que se traigan entre manos. En el cine, en la literatura, siempre se descubre qué ha pasado, a diferencia de la realidad, en la que por mucho que se nos haya inculcado aquello de que no hay crimen perfecto, lo cierto es que un alto porcentaje de los casos no se resuelven. Menudo chasco nos llevaríamos si después de leer un montón de páginas de un libro, o aguantar (o disfrutar, si está bien hecha) hora y media de película, al final, no se nos descubre qué pasó. Aunque ejemplos los hay, ¿no? (C – 1) En la película de este año hay muchos objetos cotidianos que no son sólo parte del atrezzo, sino que cada uno tiene su importancia y proporciona algún dato que permite al investigador desentrañar al autor del crimen (Nunca me preocupo por los detalles, afirma en un diálogo), aunque como en otras muchas ocasiones, la deducción llega in extremis, a punto de que logre su propósito inicial. Echemos un vistazo a algunos de ellos. Hace algunos años (sigue habiendo), eran bastante populares unos juegos de bolitas, que hay que encajar en unos agujeritos o pequeñas hendiduras que están sobre un dibujo, a base de paciencia y sobre todo cierta motricidad para no hacer movimientos bruscos que hagan salir las bolitas ya colocadas. Normalmente contenían tres o cuatro bolas, y son un buen entretenimiento. En la película que nos ocupa, uno de los protagonistas utiliza el de la imagen, mientras otra persona le habla. Ésta siente que no le está haciendo todo el caso que merece, a lo que el que lo está manejando, sin despegar la vista del mismo (como si de un juego de móvil actual fuera) comenta que Requiere mucho control. (C – 2) Supongamos que tenemos un cajita similar tal que la superficie en la que se mueven las bolas (es decir el interior del juego), es un rectángulo ABCD con AD < AB. Hay tres agujeritos E, F y G en los que encajar las bolas, y se trata de indicar dónde se encuentran. Para ello sabemos que AFCE es un rombo, que AB = 12, BC = 8, y que G se encuentra sobre la diagonal AC a una longitud igual a EF desde el vértice A. (M – 1, M – 2, M – 3) Observamos a la izquierda otro objeto que también aparece en muchas películas. Un reloj. ¿Cómo iba a faltar un reloj? En este caso hay dos idénticos, aunque sólo veamos uno. (C – 3) Su dueño, una persona culta, un poco pedante y bastante repelente (salvo con quien le da la gana, claro), puso en hora los dos relojes al mismo tiempo, y se encontró que uno de ellos iba dos minutos por hora demasiado lento y el otro un minuto por hora demasiado rápido. Posteriormente, en otro momento, comprobó que el más rápido estaba exactamente una hora por delante del otro. ¿Cuándo tuvo lugar esa comprobación? (M – 4) Por otro lado, vemos que el reloj marca una hora pasadas las once. ¿Qué hora exacta es sabiendo que las agujas de las horas y de los minutos se encuentran a la misma distancia del guarismo de las nueve (que en este caso está en número romanos, IX)? (M – 5) (C – 4) Otro de los muchos objetos existentes en el apartamento donde se ha cometido un crimen (no lo había dicho, pero, en efecto, se está investigando un asesinato y el rostro de la persona asesinada apenas puede distinguirse pues recibió el impacto directo de algunos cartuchos de escopeta) es el jarrón que se ve a la derecha (M – 6). Son tantos los objetos artísticos que hay en el apartamento que un familiar directo de la persona asesinada pretende llamar a un marchante de arte para que haga un inventario de los mismos, aunque hay algunos que reclama otra persona, entre ellos este jarrón, dado su valor. Aunque sin duda, cuando alguien está pensando en arte, hay un objeto que fascina, que llega a trascender el tiempo. En ocasiones, lo que sugiere puede hacer perder la razón del espectador al observar algo o alguien muy deseado que puede no existir ya o no haberlo hecho nunca (C – 5). En nuestro caso, el investigador tratará de adquirir ese objeto, que contempla cada vez que tiene ocasión, quedándose largo tiempo admirándolo. Y se da cuenta de que es perfecto, no sólo por su contenido, sino en sus dimensiones (M – 7) Tampoco falta una magnífica colección de libros, unos 800, aunque no todos de interés. Tras una primera selección en la que se eliminan más de 300, pretenden almacenarlos todos en cajas de la misma capacidad y de modo que todas estén completas, para que no se extravíe ninguno. En principio se eligen cajas en los que caben 6 libros, pero sobran 3, de modo que se buscan cajas más grandes en las que caben exactamente 7 libros en cada una. Como en esta ocasión sobran 5 libros, se busca un tamaño aún mayor, que permiten guardar 11 libros en cada una, y en esta ocasión no queda fuera ninguno. ¿Cuántos libros quedaron exactamente tras la selección, sabiendo que la cifra final no tiene ningún dígito repetido? Por supuesto esta escena tan doméstica, no aparece en la película. (M – 8) En estos meses de julio y agosto, tendremos días en los que pasaremos mucho calor. Esto ocurre también en la película enigma que andamos buscando. Cada cual combate el sofoco como puede (C – 7). En este caso, un conocido escritor y cronista radiofónico de los ecos de sociedad, trabaja sumergido en una bañera instalada en su cuarto de trabajo, y recibe allí a sus invitados. Y ya se sabe lo que sucede a veces cuando uno está mucho tiempo en una bañera: el agua se puede ir filtrando por el desagüe si el tapón no ajusta bien, e incluso se puede, sin querer, mover el tapón. Suponiendo que la bañera de la película tuviera 350 litros de agua cuando su dueño está dentro, que se vacía proporcionalmente a la cantidad de agua existente, y que al cabo de 4 minutos de “amigable” conversación con una visita, se ha marchado un 10% de agua, ¿en qué momento el bañista se daría cuenta de que se pierde agua, suponiendo que esto sucediera cuando el nivel llegara a la mitad de la capacidad inicial? ¿Se dio cuenta en ese momento? (M – 9) Como en toda intriga que se precie hay un montón de sospechosos, cada uno con sus propios motivos. Hasta el investigador actúa en algún momento de un modo un tanto sospechoso. Varios de ellos coinciden en una fiesta de sociedad organizada por un familiar de la persona supuestamente asesinada. Allí se reúnen 12 mujeres y 16 hombres, sin contar los sirvientes. En un momento dado se tiene que elegir a tres personas para un determinado juego. Averiguar la probabilidad de que a) los tres sean hombres. b) haya exactamente dos hombres y una mujer. c) haya al menos un hombre d) la tercera elegida sea una mujer si los dos anteriores fueron hombres (M – 10). El apartamento donde apareció el cadáver tiene una estructura parecida a la que se muestra en la figura. a) ¿Existe alguna forma de recorrerlo de modo que se pase por cada puerta sólo una vez y se vuelva al punto de partida? Si es así, trazar el recorrido, y en caso negativo, trazar un recorrido que empiece y termine en el exterior, en el que exista un mínimo número de puertas por las que haya que pasar dos veces. (M – 11) b) Si se deseara pintar las habitaciones y el pasillo de modo que dos recintos comunicados por puertas tengan colores distintos, ¿cuál es el mínimo número de colores necesario? (M – 12) Como dijimos al principio, hay un montón de objetos cotidianos que resultan importantes en algún momento de la trama. Indicar alguno que no se haya dicho anteriormente y la razón de su relevancia (C – 8). Finalmente, quizá esta fracción pueda proporcionar alguna pista más sobre la película que andamos buscando (o quizá no, ¿quién sabe?) (M – 13) Actualmente se está planteando un remake de esta película. ¿De qué escritor se trata? ¿Qué oscura razón podría animarle a llevar a cabo este proyecto? ¿Qué cambios habría respecto a la versión original? ¿A qué actores actuales elegirías para dar el papel de cada uno de los protagonistas? (C – 9). Cuestiones M – 1.- Dar las coordenadas de los puntos E, F y G. M – 2.- ¿Percibes algo “raro” o singular en el ejercicio anterior? M – 3.- Si en lugar de datos numéricos, ponemos que AB = x, BC = y, y tuviéramos a E y F sobre los lados AB y CD, encontrar expresiones generales para el lado del rombo y la distancia entre los agujeritos E y F. M – 4.- Resolver la cuestión. M – 5.- Resolver la cuestión. M – 6.- Si la altura del jarrón es de 45 cm., calcular su volumen del modo más preciso posible. M – 7.- Encontrar las dimensiones del objeto, sabiendo que se puede descomponer en exactamente 13 cuadrados perfectos. ¿Se podría hacer una descomposición similar con menos cuadrados? M – 8.- ¿Cuántos libros se seleccionaron? M – 9.- Responder a las cuestiones planteadas. M – 10.- Calcular las probabilidades indicadas. M – 11.- Responder a las cuestión planteada. M – 12.- Responder a las cuestión planteada. M – 13.- No se trata sólo de averiguar el valor de esa fracción, que cualquiera puede dar con un ordenador o calculadora, sino indicar alguna razón por la qué da ese resultado (que obviamente no es hacer las operaciones que se indican). O dicho de otro modo, cómo lo resolveríamos sin mayor ayuda que un lápiz y un papel y sin efectuar todas las operaciones tal cuál están indicadas. C – 1.- Citar un par de películas y un par de novelas (la intersección no tiene porqué ser vacía) en las que al final no se sepa quién ha sido el culpable de algún acto delictivo, y otras dos películas en las que, conociéndose, quede impune. C – 2.- Aparte de la película que nos ocupa, ¿conoces alguna otra en la que algún protagonista “juegue” con algún rompecabezas similar (no sirven juegos electrónicos)? C – 3.- ¿Por qué? ¿Por qué es relevante este reloj en el desarrollo de la película? C – 4.- Citar media docena de películas en las que los relojes tengan cierta relevancia. C – 5.- ¿De que objeto hablamos? Citar al menos media docena de películas, excluyendo la presente, en las que suceda esto (no sirven diferentes versiones de la misma historia). C – 6.- Ese mismo objeto es utilizado como atrezzo en otras dos películas diferentes, y en una de ellas, uno de los actores de la que nos ocupa, es protagonista también. ¿De qué películas hablamos, quien es ese actor, y que tenía de particular para que no fuera demasiado apreciado en Hollywood? C – 7.- Recordar tres procedimientos diferentes (de tres películas distintas, sin incluir la que buscamos) para paliar el calor sofocante por parte de sus protagonistas. C – 8.- Objeto y relevancia en el argumento. C – 9.- Responder a las cuestiones planteadas. C – 10.- Y la cuestión final: ¿Cuál es el título de la película? ¿La conocías? ¿Qué te ha parecido? Baremo: Todas las cuestiones tanto las rojas (las matemáticas) como las azules (cine y demás) se valorarán con 10 puntos. En total, 230 puntos en juego, creo. Todo comentario, sugerencia, queja, etc., será bien recibido. Si no salen algunas cosas, no importa; lo que cuenta es tratar de pasar un buen rato, disfrutar de películas (que el verano da para mucho), y mantener las neuronas un poco activas. P.D.: Espero que no haya ningún error en las cuestiones. Se han repasado varias veces, pero algunas, al ser inventadas o retocadas de otros enunciados, podrían tener alguna errata. Sed benévolos con vuestros calificativos si tal cosa sucediera. El plazo para enviar las respuestas, es como en años precedentes, hasta las 00:00 del jueves 1 de Septiembre, o las 23:59 del miércoles 31 de agosto de 2016, por si alguien tiene manía a los ceros, a la dirección alfonso@mat.uva.es , indicando en el asunto Verano 2016. ¡¡¡¡Buen Verano Cinematemático!!!!

Jueves, 16 de Junio de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

389. 77. (Junio 2016) Composición algorítmica (I)

1. Introducción Este artículo inaugura una serie sobre un tema apasionante: la composición algorítmica. Si queremos una definición concisa y breve, diríamos que la composición algorítmica se refiere al uso de algoritmos para la composición musical. En este viaje pretendemos que nuestros lectores, tanto músicos como matemáticos y en general cualquier lector curioso, comprendan los fundamentos de la teoría de algoritmos, de la composición musical y en última instancia cómo se han usado los algoritmos para componer música. En esta primera entrega trataremos los algoritmos y su definición formal y daremos ejemplos. En la segunda entrega examinaremos la definición de composición musical y sus características. En las siguientes entregas estudiaremos las principales corrientes dentro de la composición algorítmica. 2. ¿Qué es un algoritmo? El concepto de algoritmo está asociado a la resolución de problemas. Desde este punto de vista, los algoritmos son una manera de pensar. En general, esos problemas han de ser susceptibles de ser cuantificables numéricamente y resolubles por medios matemáticos. Por ejemplo, cuando nos referimos al algoritmo de Euclides [Wik] estamos hablando de un procedimiento para resolver el problema de hallar el máximo común divisor de dos números. Sin embargo, no toda solución de un problema es un algoritmo. La solución necesita tener unas características especiales, como vamos a ver enseguida. La definición de algoritmo ha ido evolucionando según el nivel científico de la época, desde los tiempos del matemático al-Khwarizmi (siglo IX d.C.) en que algoritmo se refería a reglas aritméticas de cálculo, pasando por la formalización de Touring, hasta llegar a la definición de Donald Knuth [Knu73], una de las más aceptadas modernamente y que seguiremos aquí. Dado un problema a resolver, un algoritmo es un procedimiento que toma una entrada o valores iniciales del problema y, después realizar una serie de operaciones bien definidas, produce una salida o solución del problema. La definición de Knuth identifica cinco propiedades que un algoritmo ha de tener: Entrada: Los valores iniciales del problema. Precisión: Todo algoritmo tiene que estar definido de manera precisa de modo que no haya ambigüedad. En particular, los algoritmos están basados en un conjunto normalmente pequeño de operaciones básicas, que se suelen llamar operaciones primitivas. Estas suelen ser las operaciones matemáticas y reglas lógicas. Finitud: Todo algoritmo tiene que terminar después de un número finito de pasos (y cuanto menor sea ese número, mejor). Salida: Todo algoritmo ha de devolver un resultado. Efectividad: Las operaciones que intervienen en el algoritmo han de ser suficientemente básicas. Por supuesto, todo algoritmo que (aparentemente) resuelva un problema tiene que ir acompañado de una prueba matemática de que, en efecto, resuelve tal problema. Puesto que un algoritmo tiene que terminar en un número finito de pasos, los problemas que pueden resolverse de manera algorítmica deben tener una cierta naturaleza discreta (los problemas debe ser o bien finitos o bien si son infinitos tener una caracterización finita). Por ejemplo, el problema de enumerar todos los números primos implica dar una salida que es infinita y, en la definición dada aquí, no hay algoritmo que realice tal tarea. Sin embargo, para calcular el máximo común divisor de dos números sí es posible diseñar un algoritmo para resolver tal problema. El máximo divisor de dos números siempre existe y es un número finito comprendido entre los divisores de ambos números. Un problema inherente a los algoritmos es su descripción. Los algoritmos pueden expresarse de muchas maneras: en primer lugar, en lenguaje natural, pero también como pseudocódigo y en última instancia en términos de un lenguaje de programación. Un algoritmo se puede ver como una serie de reglas formales para resolver un problema y su descripción es la enumeración de dichas reglas en el lenguaje apropiado. El inconveniente que surge al describir un algoritmo con lenguaje natural es que el grado de ambigüedad en su descripción puede ser demasiado alto porque el lenguaje natural es ambiguo. Consideremos el problema siguiente: Problema: Dado un conjunto M de n números reales y otro número x, determinar si x está en el conjunto M. Este problema es conocido como el problema de la búsqueda. Supongamos que los elementos de M son M[1],M[2],…,M[n]; note el lector que nos referimos a los elementos de M a través de un índice en notación matricial. Una manera de describir un algoritmo en lenguaje natural sería la siguiente: Algoritmo en lenguaje natural: Para cada elemento M[i] de M, con i = 1 hasta i = n, comprobar si dicho elemento es x. Se puede apreciar que en esta descripción aparecen las características de la definición de algoritmo dadas anteriormente. Empero, esta descripción es más abstracta e ignora ciertos detalles técnicos. La idea que transmite es de que la solución se encuentra comparando cada elemento de M con x. Con frecuencia la descripción en lenguaje natural no es suficiente para detallar las ideas detrás de un algoritmo y a veces tampoco para probar su corrección. El siguiente paso es definir una serie de operaciones básicas y estructuras de datos con que describir el algoritmo. Esa descripción se llama pseudocódigo. Por ejemplo, el siguiente pseudocódigo corresponde al algoritmo de búsqueda. BÚSQUEDA-LINEAL(M, x) 1 i ← 1 2 while i ≤ length(M) Bucle que recorre la matriz 3 if M[i] = x then Comprueba si x es el elemento i 4 r ← i 5 i ← length(M) + 2 Fuerza la salida del bucle 6 if i = length(M) + 1 then r = -1 7 return r Figura 1: El algoritmo de búsqueda lineal La entrada está especificada en la línea BÚSQUEDA-LINEAL(M, x) y es el conjunto M y el número x. El cuerpo del pseudocódigo contiene instrucciones de control, tal como el bucle while o la sentencia condicional if. En el pseudocódigo ya aparecen objetos matemáticos, tales como variables (la variable i), y operaciones entre ellos, tales como la asignación de valores, con el operador ← (líneas 4 y 5), o la comparación de valores, con el operador = (línea 6). La salida se produce en la línea 7 con la instrucción return. Este pseudocódigo facilita la prueba de la corrección del algoritmo. En este artículo no entraremos en la delicada cuestión de la prueba de algoritmos. Recomendamos al lector interesado acudir al magnífico libro de Cormen, Leiserson y Rivest [CLRS01] Introduction to Algorithms para profundizar en este importante tema. En la figura 2, por último, tenemos el algoritmo codificado en lenguaje C. Como se puede observar ya no hay lenguaje natural y los detalles del algoritmo están entreverados con los detalles propios del lenguaje. Para más información sobre programación de algoritmos en lenguajes de programación, véanse [GBY91, Sed90]. Figura 2: Búsqueda lineal codificada en lenguaje C. El orden natural de abstracción es el presentado aquí. Primero se describe el algoritmo en lenguaje natural; se comprueba que las ideas contenidas en esa solución algorítmica descrita en lenguaje natural son correctas y que poseen esa naturaleza algorítmica, que cumplen con la definición de Knuth. Después se escribe en pseudocódigo y se prueba formalmente el algoritmo; la prueba ha de ser una prueba matemática, que con frecuencia es por inducción. Por último, se codifica en el lenguaje de programación elegido. Un aspecto que no tratamos aquí es el de la complejidad de los algoritmos. La complejidad de un algoritmo es una medida del tiempo que tarda en resolver el problema en función del tamaño de la entrada. Para los propósitos de esta serie de artículos, la complejidad no desempeña un papel importante. El lector interesado puede consultar el libro de libro de Cormen, Leiserson y Rivest [CLRS01]. 3. Algoritmos y música La música, como ya hemos dicho muchas veces, es un fenómeno muy complejo, compuesto por una multitud de otros fenómenos provenientes a su vez de otros campos. La música tiene una dimensión física, pues es sonido. Ese sonido es oído por el ser humano que lo procesa según leyes básicas de la percepción pero también a través del crisol cultural, el cual puede incluir desde la exposición a un estilo determinado hasta la asociación emocional con la música. Para un estudio profundo y exhaustivo de todas estas cuestiones, recomendamos al lector la lectura del libro de Radocy y Boyle [RB06]. Pero la música posee una riqueza interminable en términos de patrones y estructuras y, por tanto, puede ser objeto de estudio de las matemáticas. Muchos de los fenómenos que constituyen la música son matematizables (por ejemplo, la armonía a través de la teoría de grupos) y en buena medida susceptibles de tratamiento algorítmico. En la mayoría de las culturas, la altura de sonido está discretizada. En el caso de la música occidental, al menos en la práctica común, se tiene una división de la octava en 12 notas. Esta discretización del continuo de la altura de sonido permite ya tratamiento algorítmico. En las duraciones de las notas, la situación es similar. El conjunto de duraciones posibles es finito y relativamente pequeño. Todo esto permite que se pueda modelizar la música (algunos aspectos de la música) matemática y algorítmicamente. Los algoritmos de ordenador suelen tratar la música usando un formato llamado MIDI. Existe una asociación [Ass], The Midi Association, en cuya página web el lector encontrará abundante información sobre este importante estándar. El estándar MIDI no es solo una manera de codificar la música sino que también se ocupa de la comunicación entre instrumentos que funcionan con este estándar. Un fichero MIDI contiene al menos la siguiente información: ataques de las notas, duración de las notas, altura de sonido como nota en una escala de igual temperamento, la voz en que suena la nota, la intensidad de volumen de la nota, la letra asociada (si la hay) y la información de los acordes. Una vez que la música está codificada en formato numérico las posibilidades son infinitas. Todas las técnicas matemáticas están al servicio del tratamiento de la información musical, en particular al servicio de la composición musical a través de algoritmos. En el próximo artículo examinaremos los fundamentos básicos de la composición musical de modo similar a como hicimos en este artículo con los algoritmos.   Bibliografía [Ass] The Midi Association. The Midi Associaton. [CLRS01] Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms. McGraw-Hill Book Company, Cambridge, London, 2. edition, 2001. 1. editon 1993. [GBY91] G.H. Gonnet and R. Baeza-Yates. Handbook of Algorithms and Data Structures. Addison-Wesley, 1991. [Knu73] Donald E. Knuth. The Art of Computer Programming, Volume I: Fundamental Algorithms, 2nd Edition. Addison-Wesley, 1973. [RB06] Rudolf E. Radocy and J. David Boyle. Psychological Foundations of Musical Behavior. Charles C Thomas, Illinois, 2006. [Sed90] R. Sedgewick. Algorithms in C. Addison-Wesley, Reading, MA, 1990. [Wik] Wikipedia. Euclidean algorithm.

Martes, 14 de Junio de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

390. 28. (Junio 2016) Elementos. Libro 1. Proposición 47

(Metro de Lisboa. Estación Parque) El teorema de Pitágoras de los triángulos rectángulos se demuestra en la proposición 47 del primero de los trece libros de los Elementos de Euclides. Durante más de dos milenios fue la demostración de referencia, aunque muchos autores desarrollaron decenas de pruebas alternativas del popular teorema. En la segunda mitad del siglo XIX, los tratados de Geometría eliminan la demostración euclídea y la sustituyen por otra basada en la semejanza de triángulos. Una vez demostrado el teorema del cateto se hacía la suma algebraica del cuadrado de los dos catetos y se obtenía el de la hipotenusa. Esa es ahora la demostración habitual de los libros de texto. La Universidad de Coimbra la expone en la fachada de la facultad: (Universidad de Coimbra) Resulta curioso que Coimbra utilice el griego para después hacer una demostración tan alejada del modo geométrico clásico. Los Elementos de Euclides utilizan la igualdad de áreas para la demostración del teorema de Pitágoras y aplican la misma técnica de las áreas para la demostración del teorema de Tales, cosa que realizan mucho más tarde: hasta la segunda proposición del libro sexto. Uno de los primeros libros de Geometría más populares que rompe con el modo euclídeo es el Traíté de Géométrie de Eugène Rouché – Ch. Comberousse, manual usado desde mediados del siglo XIX por las escuelas militares y de ingeniería. En su edición de 1929 se demuestra primero el teorema de Tales (Libro III – Teorema 181), después la proporcionalidad en las rectas antiparalelas (Libro III – Teorema 190), de ahí al teorema del cateto (Libro III – Teorema 222) para terminar con el teorema de Pitágoras (Libro III - Teorema 224). La demostración del teorema de Tales exigía una larga nota y es muy farragosa en comparación con la elegancia de Euclides. Siguiendo el mismo esquema, el libro de texto de Julio Rey Pastor y Pedro Puig Adam  para Matemáticas (1958) de tercero de bachillerato demostraba el teorema de Tales (Capitulo VI – Lección 24), la semejanza de triángulos (Capitulo VI – Lección 25), el teorema del cateto (Capitulo VII – Lección 27) y el teorema de Pitágoras (Capitulo VII – Lección 27). Un joven actual ha perdido el contacto icnográfico con la demostración quizá más conocida de la historia de la matemática. Los artistas desde el renacimiento estudiaban matemáticas usando los Elementos, estaban familiarizados con el teorema de Pitágoras y lo reproducían en sus obras si tenían loa oportunidad. Dado que hay tantas obras en las que aparece el teorema de Pitágoras hemos seleccionado solo parte de aquellas en las que aparece la figura de Euclides, quizá por nostalgia hacia algo que ya ha desaparecido de los manuales. La Estación Parque del metro de Lisboa está dedicada a las Matemáticas de los Descubrimientos. Allí nos encontramos reproducida la figura de Euclides. En la espectacular Biblioteca del Monasterio de San Lorenzo de El Escorial no podía faltar la demostración euclídea. Arquímedes está trabajando en ella cuando es herido mortalmente por un soldado romano. La pintura al fresco se debe al pintor manierista Pellegrino Tibaldi pero el programa iconográfico lo realiza el propio Juan de Herrera. (Biblioteca del Escorial) La siguiente reproducción es la Geometría de Laurent De la Hyre, que porta regla y compás en la mano izquierda y exhibe una muestra de su ciencia en la hoja de la derecha. Un globo terráqueo con serpiente hace referencia a la Tierra y un paisaje de Egipto nos habla de dónde era originaría la ciencia. Todo un curso en un cuadro. Resaltamos la hoja de papel pues contiene tres dibujos destacando la proposición 47 del libro I de Los elementos. De la Hyre es una muestra de la vuelta a las formas arcaicas y clasicistas que se produce en Francia en pleno barroco, donde Poussin es su principal exponente. Los temas mitológicos se unen a los tardolatinos como la detallada representación de las siete artes liberales, repartidas en otros tantos museos y colecciones. Se conocen dos copias de esta obra, una en el museo de Toledo (Ohio) y otra en una colección particular. (Geometría de Laurent De la Hyre) Del siglo XVII pasamos al XVIII con un retrato de la mano del pintor boloñés Luigi Crespi. Se trata del Retrato de Ferdinando Gini (1759). Podemos ver como la formación de la élite del siglo de las luces pasaba por las matemáticas: el joven se hace retratar con sus operaciones geométricas. Los apuntes muestran la demostración euclídea del teorema de Pitágoras. Luigi Crespi. Retrato de Ferdinando Gini El edificio neogótico que alberga el Museo de Historia Natural de la Universidad de Oxford está decorado con estatuas adosadas a sus pilares; en una de ellas se representa a Euclides. El autor de los Elementos, de los perdidos Porismas y de una Catóptrica, figura de pie portando un pergamino donde aparece su demostración del Teorema de Pitágoras. Podemos hablar de una demostración entre esqueletos de dinosaurios. (Euclides. Oxford) También veremos el teorema bajo los tilos de Berlín. Al salir de la Isla de los Museos por Unter den Linden, el primer edificio que nos encontramos es el Palacio Rosa, el antiguo Arsenal, que hoy forma parte del Deutsches Historiches Museum. La puerta principal se encuentra bien flanqueada por la Geometría a nuestra izquierda y la Aritmética a la derecha. La Alegoría de la Geometría va acompañada de un erote con un manuscrito de figuras, entre ellas destaca el teorema de Pitágoras en su versión euclídea y el trazado del circuncentro de un triángulo. La decoración escultórica barroca de la fachada se ejecutó en 1698 por Andreas Slüter, a él se deben también las bellas cabezas de gigante del patio interior, pero nuestras alegorías matemáticas deben ser muy posteriores, probablemente de Rehinhol Begas, a quien le encargaron un proyecto iconográfico en 1887. (Palacio Rosa. Berlín) La esperanza de la conservación de la figura de la demostración euclídea se mantiene por una razón curiosa: la masonería sigue utilizando en sus emblemas y medallones el teorema de Pitágoras. Las reproducciones de más calidad muestran la versión detallada de la demostración de los Elementos. Inglaterra, como cuna de la masonería, lugar de gran arraigo y organización, tiene abiertas las puertas de un soberbio edificio Art Decó: el Freemason´s Hall de Great. Queen Street. La construcción actual sustituye a la logia anterior para rendir homenaje a los fallecidos en los combate durante la primera guerra mundial. Nos detenemos por su interés en los coloristas mosaicos de la bóveda del Gran Templo: en un lado Salomón e Hiran con compás y al otro Euclides y Pitágoras con la ilustración del teorema entre ellos. (Freemason´s Hall, Londres)

Martes, 07 de Junio de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico