371. 79. (Noviembre 2016) Composición algorítmica (III)

1.Técnicas matemáticas de composición Esta entrega es la tercera de la serie composición algorítmica. En la primera [Góm16a] dimos una visión general de algoritmo (con ejemplos tomados de [CLRS01, Knu73]) e ilustramos ese concepto con algoritmos de ordenación. Allí insistimos en la importancia de distinguir entre algoritmo y código. En la segunda entrega [Góm16b] reflexionamos sobre la definición de composición musical. Como decíamos en la introducción de esa entrega, por composición musical se puede entender un gran rango de prácticas y merecía la pena reflexionar sobre ellas antes de entrar en la descripción de las técnicas de composición algorítmica propiamente dichas. En este artículo estudiaremos algoritmos genéticos y los procesos estocásticos. La idea de componer mediante algoritmos ya apareció antes de la propia invención del ordenador. Si se interpreta el concepto de algoritmo como una solución constructiva a un problema, entonces se encuentran precedentes de la composición algorítmica moderna ya en el Renacimiento. Durante este periodo eran relativamente populares los juegos de dados para componer música. Componían a partir de un conjunto de fragmentos que juntaban según el orden dado por las tiradas de un dado. La primer pieza de que tenemos noticia que se compuso con un ordenador fue escrita por Hiller e Isaacson [HI79] en 1957. Era un cuarteto de cuerda y usaron un ordenador de la Universidad de Illinois. La composición algorítmica cobró un gran impulso cuando en 1991 Horner y Goldberg en la IV Conferencia Internacional sobre Algoritmos Genéticos presentan un artículo [HG91] donde muestran como aplicar los algoritmos genéticos a la composición musical. Los algoritmos genéticos como tales fueron presentados por John Holland a principios de los años 70 [Hol92]. 2. Algoritmos genéticos y composición musical 2.1. Descripción de los algoritmos genéticos La expresión algoritmo genético viene de que están inspirados (y descritos) en la biología, en particular, en la teoría de la evolución genético-molecular. Vamos a describir los elementos formales de un algoritmo genético y luego ver cómo se aplican a la composición musical. Un algoritmo genético está diseñado para resolver algún tipo de problema (para nosotros será obtener una composición musical). La solución se obtiene a través de un proceso iterativo que converge hacia dicha solución. Un algoritmo genético tiene los siguientes elementos: Una población inicial de candidatos a solución del problema. La población inicial recibe otros nombres como soluciones potenciales, individuos, criaturas. Los individuos tienen una serie de características que los definen y que son los fenotipos. La información del fenotipo es codificada de una manera específica (binaria, con frecuencia). Esta codificación constituye el genotipo. Cada conjunto de valores del genotipo recibe el nombre de cromosomas. Se empieza un proceso iterativo, llamado evolución, en el cual el fenotipo de la población cambia a través de una serie de operaciones, llamadas operadores genéticos, entre los que se incluyen selección, recombinación o cruzamiento, mutación y reemplazo. Para evaluar la idoneidad de un candidato a solución se define una función de aptitud, o simplemente función de evaluación, sobre los candidatos y que toma valores numéricos. La función se aplica en cada paso de la evolución y se espera que las soluciones sucesivas mejoren las propiedades de las generaciones anteriores. Este proceso se llama también evaluación de la descendencia. Un aspecto importante a tener en cuenta en el diseño de los algoritmos genéticos es cómo codificar la información. Los operadores genéticos actuarán sobre la codificación de las propiedades de los candidatos a solución. La codificación tiene que ser lo suficientemente potente y flexible como para que recoja las propiedades y sea fácil aplicar los operadores genéticos. Véase el libro de Melanie Mitchell [Mit96] para más detalles técnicos sobre el diseño de algoritmos genéticos. En la figura 1 se muestra un esquema del funcionamiento de un algoritmo genético. Figura 1: Esquema del funcionamiento de un algoritmo genético (figura tomada de [Lat16]) Vamos a poner un ejemplo tomado de unas notas de clase bastante claras e instructivas publicadas por el Intelligent System Group de la Euskal Herriko Unibertsitatea [Int16]. La descripción del algoritmo se basará en la figura 2, que proporciona un pseudocódigo del algoritmo genético estándar. Figura 2: Pseudocódigo de un algoritmo genético (figura tomada de [Int16]) Los algoritmos genéticos tratan de resolver problemas de optimización, con frecuencia la obtención de un máximo o mínimo global de una función. Como dijimos arriba, la población inicial representa las soluciones potenciales del problema. La codificación típica suele ser binaria, en parte porque es muy flexible y en parte por tradición histórica (Holland lo presentó así en su trabajo inicial [Hol92]). En nuestro ejemplo, usaremos también la codificación binaria. En realidad, la elección de la codificación depende en buena medida del problema. La analogía entre genotipo —la composición genética de un organismo—y el fenotipo —y la forma en que esa composición se expresa—se traslada aquí asignando a los valores de las variables independientes el papel del fenotipo y al de su codificación final el papel del genotipo. Los valores de las variables independientes, vistas como vectores numéricos, son los cromosomas. La función de adaptación sirve para evaluar la adaptación al problema de un cierto individuo (solución potencial al problema). La figura 3 ilustra estos conceptos para la función de una variable f(x) = x2. La primera columna es el número de individuo; la segunda contiene los fenotipos o valores de la variable independiente así como su codificación binaria o genotipo; la tercera columna, el valor decimal del genotipo; la cuarta columna muestra el valor de la función de adaptación. Figura 3: Genotipo, fenotipo y función de adaptación (figura tomada de [Int16]) Durante la fase reproductiva (las iteraciones sucesivas del algoritmo), se seleccionan individuos de la población para cruzarse (véase la quinta columna de la figura 3). Dicho cruce ocurre por medio de los operadores genéticos. Una vez seleccionados dos individuos para cruzarse, sus cromosomas se combinan. El cruce y la mutación son dos de los operadores más frecuentes. En el operador de cruce se elige un punto al azar del cromosoma y se intercambian los códigos genéticos entre dos individuos; véase la figura 4. Figura 4: Operador de cruce (figura tomada de [Int16]) El operador de cruce no se aplica a todos los individuos sistemáticamente, sino que se establece una función de probabilidad para determinar las parejas de individuos que sufrirán el cruce genético. El otro operador, el de mutación, no consiste más que en cambiar un valor del cromosoma de un individuo. También lleva asociado una distribución de probabilidad. Se aplica a cada hijo, pero la probabilidad de mutación suele ser pequeña; véase la figura 5. Figura 5: Mutación de un cromosoma (figura tomada de [Int16]) Si el algoritmo genético está implementado correctamente, entonces se supone que la adaptación media y la adaptación del mejor individuo se acercarán al máximo o mínimo global buscados. Normalmente, se toma como solución final la adaptación del mejor individuo. 2.2. Algoritmos genéticos aplicados a la composición musical La composición a través de algoritmos genéticos despertó un gran interés desde principios de los años 90 y existe una gran variedad de caminos para usarla. Algunos de esos caminos son: Composición de variaciones de un motivo o composición existentes [Ral95, Jac96]. Composición de música similar a otra composición dada [Hoc06]. Composición de solos o improvisación de melodías a partir de plantillas existentes (por ejemplo, se dan las duraciones o las secuencias de acordes) [Jac96, OE08]. Composición de las alturas y de las duraciones a la vez a través del algoritmo genético [Jac96,  Bil94]. Veamos a continuación cómo pasar los elementos del algoritmo genético al contexto musical. En nuestro ejemplo tomaremos dos parámetros musicales: altura y ritmo. Para el caso de la altura, fijaremos el do central como nota de referencia y a partir de ella, contando en semitonos, codificamos las alturas; véase la figura 6. Figura 6: Codificación de altura de sonidos La duración se puede codificar de muchas maneras. A veces se codifica dando el tiempo en milisegundos; otras veces se define una duración mínima y todas las demás duraciones son múltiplos de esta; o también se puede usar el sistema del midi, donde se define el número de pulsos por negra en relación al tempo expresado en partes por minuto. En nuestro caso, supondremos que la duración mínima es la semicorchea y pondremos todas las duraciones en función de ella. Hay que añadir una variable que indique si estamos en presencia de un silencio o de una nota; será 0 si es silencio y 1 si es nota. Entonces, la codificación para el primer compás de la figura 6 es: (0,0,2),(3,1,2),(6,1,2),(7,1,2),(8,1,6),(7,1,2) donde el primer campo es la altura, el segundo el indicador de nota o silencio y el último la duración. Elegir una función de adaptación que tenga significado musical es todavía un problema abierto. La música es demasiado compleja para que haya una función de expresión sencilla que produzca resultados aceptables. La forma general de la función de adaptación que se ha empleado en diversos sistemas es: f = a1 ⋅ f1 + a2 ⋅ f2 + ...+ an ⋅ fn donde cada fi es un factor musical del sistema y ai un peso que se da a dicho factor. Ejemplos de dichos factores podrían ser el número de intervalos disonantes, el número de apariciones de ciertos patrones interválicos, la frecuencia de ciertos intervalos, el rango de la melodía, entre muchos otros. La determinación de los pesos ai es también una cuestión muy delicada; no se sabe cómo elegirlos y normalmente se hace de una manera subjetiva o al menos aproximada. Esta fórmula implica que los factores fi tienen la misma preponderancia en todos los compases o en todas las partes de la composición. Se puede generalizar la función para que los pesos de los factores cambien de compás a compás. Si suponemos que la pieza tiene m compases la función es ahora f = a11 ⋅ f1 + a21 ⋅ f2 + ...+ an1 ⋅ fn + ......+ a1m ⋅ f1 + a2m ⋅ f2 + ...+ anm ⋅ fn donde el peso aij representa el peso del factor i en el compás j. Los operadores genéticos se pueden definir de muchas maneras en la codificación musical. He aquí una breve descripción de las más frecuentes: Cruzamiento de la melodía. Se toman dos melodías, se cortan en cierto puntos y se intercambian los fragmentos entre sí. La tonalidad se tiene en cuenta y se trasponen acorde a ella. Mutaciones. En el ámbito de las alturas se tienen: cambios de octava en un tono (para evitar, por ejemplo, los intervalos grandes); cambio de un tono; cambio de una nota cromática. En el ámbito de las duraciones: cambios de las duraciones (con los correspondientes ajustes en el compás); cambio de figuración. En la figura siguiente tenemos el resultado musical obtenido por Bruce Jacob [Jac96]. En este ejemplo se ha partido de unos motivos básicos que han constituido la población inicial. La función de evaluación incluye parte de evaluación humana. Figura 7: Composición musical usando algoritmos genéticos (figura tomada de  [Jac96] En el siguiente vídeo tenemos una charla en la que se explica detalladamente una implementación de los algoritmos genéticos en Phyton: En este otro vídeo se ve la evolución de una melodía. Los factores usados son autosimilitud, linealidad, tonalidad y rango. Bibliografía [Bil94] J.A. Biles. Genjam: A genetic algorithm for generating jazz solos. In Seventh International Conference on Genetic Algorithms, 1994. [CLRS01] Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms. McGraw-Hill Book Company, Cambridge, London, 2. edition, 2001. 1. editon 1993. [Góm16a] P. Gómez. Composición algorítmica (i). Consultado en julio de 2016. [Góm16b] P. Gómez. Composición algorítmica (ii). Consultado en octubre de 2016. [HG91] A. Horner and D. Goldberg. Genetic algorithms and computer-assisted music composition. In Fourth International Conference on Genetic Algorithms, San Mateo, CA, 1991. [HI79] L. A. Hiller and L. M. E. Knuth Isaacson. Experimental music: Composition with an electronic computer. Greeenwood Publishing Group Inc., 1979. [Hoc06] R. Hochreiter. Audible Convergence for Optimal Base Melody Extension with Statistical Genre-Specific Interval Distance Evaluation. Lecture Notes in Computer Science, 3907, 2006. [Hol92] John Holland. Adaptation in Natural and Artificial Systems. MIT, Cambridge, MA, 1992. Edición revisada de la de 1975. [Int16] Intelligent System Group (EHU). Algoritmos genéticos. Consultado en octubre de 2016. [Jac96] B.L. Jacob. Algorithmic Composition as a Model of Creativity. Organized Sound, 1(3):157–165, 1996. [Knu73] Donald E. Knuth. The Art of Computer Programming, Volume I: Fundamental Algorithms, 2nd Edition. Addison-Wesley, 1973. [Lat16] Proyecto Latin. Algoritmos genéticos clásicos. Consultado en octubre de 2016. [Mit96] Melanie Mitchell. An Introduction to Genetic Algorithms. MIT Press, Cambridge, MA, 1996. [OE08] E. Özcan and T. Erçal. A Genetic Algorithm for Generating Improvised Music. Lecture Notes in Computer Science, 4927, 2008. [Ral95] D. Ralley. Genetic algorithm as a tool for melodic development. In Proceedings of the 1995 International Computer Music Conference, San Francisco, CA, 1995.

Martes, 22 de Noviembre de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

372. 143. (Noviembre 2016) La magia de Pacioli

El abajo firmante lleva algún tiempo empeñado en averiguar si el primer juego de magia con cartas publicado por escrito tiene origen matemático. La sospecha empezó a tomar cuerpo al leer el artículo Mathematical magic and society de Fernando Blasco, donde afirma que la primera referencia a un truco de cartas aparece en el libro "De viribus quantitatis" de Luca Pacioli (~1445-1517) y que la primera descripción de un método con el que realizar un truco de cartas está escrita en el libro "De subtilitate rerum" de Girolamo Cardano (1501-1576). Ambos personajes atesoraban, entre otras virtudes, grandes conocimientos matemáticos y fueron capaces, con sus obras, de ejercer gran influencia en su época. Así que surgen varias preguntas: ¿cuáles son esos juegos?; ¿se trata verdaderamente de juegos matemáticos?; ¿cómo reconocerlos si están escritos en latín?; ¿han quedado en el olvido para el mundo de la magia? La historia del manuscrito "De viribus quantitatis" (Sobre el poder de los números), elaborado entre los años 1496 y 1508, es apasionante, así que recomiendo la lectura de la reseña sobre su historia y el anuncio de su traducción al inglés que apareció bajo el título "El texto de magia más antiguo del mundo" en el suplemento cultural de El País hace algunos años. El manuscrito original en italiano corresponde al códice 250 de la biblioteca universitaria de Bolonia y la edición fantasma en inglés está anunciada en el portal Conjuring Arts. Al final doy unas referencias con valiosa información adicional. Por su parte, sin ser el libro más afamado de Cardano, "De subtilitate rerum" (Sobre las sutilezas de las cosas), publicado el año 1550, también ha sido objeto de atención y estudio. Se pueden encontrar digitalizadas varias ediciones del original en latín como la del portal archive.org. Con motivo de su traducción al inglés en 2013, Angelo Paratico narra la historia de sus andanzas en el blog Beyond thirty-nine. A título anecdótico, cabe reseñar que, en el capítulo XVIII, Cardano cita al mago español Damautum (o Dalmau), como señala Mariano Tomatis en su blog. En estas líneas nos vamos a centrar en el trabajo de Luca Pacioli y rebuscar entre la multitud de juegos que presenta alguno que se realice con cartas. Como bien apunta Vanni Bossi en un capítulo del libro A lifetime of puzzles (AK Peters, 2008), ninguno de sus juegos se describe inicialmente con cartas pero el propio autor indica en algunos casos que el mismo truco es más sorprendente si se utilizan cartas en lugar de monedas u otros objetos. Parece que no era muy apropiado para un monje juguetear con cartas, pues se asociaban a otras actividades más mundanas y no siempre lícitas. Entre todos esos juegos, vamos a describir aquí uno que cumple las premisas de este rincón: a partir de un conjunto de instrucciones, realizarás una serie de operaciones que permitirán realizar una adivinación. Así que busca una baraja y cuenta 16 cartas. El resto ya no se utilizará. Distribuye las cartas en dos montones sobre la mesa, 8 cartas a la izquierda y 8 cartas a la derecha. Repártelas caras arriba para que, mientras haces el reparto, pienses en una de las cartas y recuerdes en qué montón se encuentra. Ahora vas a reagrupar de nuevo las cartas, recogiendo alternativamente una carta de cada montón, empezando por el montón que NO contiene la carta elegida. Es decir, si tu carta está en el montón de la derecha, recoges la carta superior del montón de la izquierda, colocas encima de ella la carta superior del montón de la derecha, sobre ellas colocas la carta superior del montón de la izquierda, encima de estas colocas la carta superior del montón de la derecha, y así sucesivamente, hasta que tengas en la mano todas las cartas. Separas nuevamente el paquete en dos montones iguales, sin invertir el orden de las cartas, y los dejas sobre la mesa. Es importante que no inviertas el orden de las cartas. Ahora mira en qué montón está la carta que habías pensado y repite el procedimiento anterior de recogida: empezando por el montón que no contiene la carta elegida, recoge las cartas superiores de cada paquete, alternando los montones. Repite otra vez el proceso: separas las ocho primeras cartas, sin invertirlas, y las dejas en un montón sobre la mesa. Dejas las otras ocho cartas en un segundo montón. Reagrupas el paquete, recogiendo alternativamente una carta de cada montón, empezando por el montón que no contiene la carta elegida. Por última vez, reparte dos montones sobre la mesa, sin invertir el orden de las cartas. Quédate con el montón que contiene tu carta. Retira la primera: esta no es. Retira la segunda: esta tampoco. ¿La siguiente? ¡Sí! Esta es tu carta. Por si no ha quedado suficientemente claro, vamos a hacer una simulación gráfica. Utilizaremos para ello las ocho primeras cartas de los palos de picas y diamantes, y supondremos que la carta elegida es el seis de diamantes. Sobre la mesa están las cartas como se observa en la figura: Como la carta pensada está en el montón inferior, recogemos primero el as de picas, colocamos encima de él el as de diamantes, y así sucesivamente, una carta de cada montón, hasta que tengamos todas las cartas en la mano. Contamos las ocho primeras (recuerda que no se invierte su orden) y las colocamos formando un montón sobre la mesa. Las otras ocho cartas también se colocan sobre la mesa formando un segundo montón. La figura siguiente muestra el resultado: En este momento, la carta elegida está en el montón superior. Repetimos el proceso anterior, recogiendo primero el 4 de diamantes, seguido del 8 de diamantes y así sucesivamente. Contamos las ocho primeras cartas y las dejamos sobre la mesa, en su mismo orden. También dejamos sobre la mesa las otras ocho cartas formando un segundo montón. Esta es la situación: Una última vez: la carta elegida está en el montón superior de modo que recogemos todas las cartas empezando por el 7 de picas y alternando los montones. Contamos las ocho primeras, formamos con ellas un montón sobre la mesa y dejamos el resto formando otro montón. Queda así: La carta elegida ya está ocupando la tercera posición en su montón. Al saber en qué montón está la carta elegida, ya sabremos de qué carta se trata (siempre la tercera contando desde arriba). En este momento nos hacemos la pregunta: ¿la carta elegida queda en esta posición independientemente de la posición que ocupaba al principio? Para responderla, probamos todas las posibilidades y encontramos las siguientes secuencias de números (cada número representa la posición de la carta elegida después de cada reparto): 8 - 1 - 7 - 3 7 - 3 - 3 - 3 6 - 5 - 7 - 3 5 - 7 - 3 - 3 4 - 1 - 7 - 3 3 - 3 - 3 - 3 2 - 5 - 7 - 3 1 - 7 - 3 - 3 ¡Una vez que la carta ocupa la tercera posición, ya no se mueve de su sitio! Además, la mitad de las veces no hace falta el tercer reparto pues la carta ya está en la posición deseada. De hecho, si no es la tercera, es la séptima. Comprenderás que existe una estrecha relación entre la aritmética binaria y estas secuencias. También, que el juego puede realizarse con otras cantidades de cartas, siempre potencias de dos. Por ejemplo, con ocho cartas, sólo serán necesarios dos repartos, aparte del inicial, y las secuencias que indican la posición de la carta elegida, son: 4 - 1 - 3 3 - 3 - 3 2 - 1 - 3 1 - 3 - 3 El juego puede realizarse también recogiendo en cada paso las cartas empezando por el montón que contiene la elegida. ¿Puedes deducir cuál será la posición final de la carta? Para terminar, quiero responder a una de las cuestiones que planteaba al principio: ¿ha trascendido este juego a nuestros días? La respuesta es sí: una versión teatralizada, usando ocho cartas, ha sido en cierta época uno de los juegos estrella en los espectáculos del mago estadounidense David Copperfield. Precisamente, el juego fue uno de los primeros que describimos en este rincón, allá por mayo de 2004. Ahora bien, ¿el equipo creativo de David Copperfield se inspiró en el juego de Pacioli? Chi lo sa. ¿Quieres saber más? Pues te recomiendo las siguientes lecturas: Libro de Dario Bressanini y Silvia Toniato, I giochi matematici di fra' Luca Pacioli, Dedalo (2011). Transcriben, traducen y desarrollan los juegos, enigmas y pasatiempos que aparecen en el códice Vaticano Latino 3129, manuscrito firmado por Luca Pacioli en 1478 y que ya contiene el juego que hemos comentado. Agradezco a Nelo Maestre la referencia a este libro y aprovecho también para felicitarle por su labor al frente de Divermates. Libro de Vanni Bossi, Antonietta Mira y Francesco Arlati, Mate-magica, I giochi di prestigio di Luca Pacioli, Aboca (2012). Artículo de Amedeo Agostini, sobre De viribus quantitatis, para el Periodico di Matematiche, en 1924. Describe y explica los 81 juegos aritméticos contenidos en la primera parte del manuscrito de Pacioli. Tesis de maestría de Tiago Hirth, titulada Luca Pacioli and his 1500 book De viribus quantitatis, Universidad de Lisboa (2015). Presenta un completísimo recorrido biográfico de Pacioli y una detallada explicación de los juegos contenidos en el libro. Encontramos en la página 52 el juego que hemos presentado aquí. Blog de Jane Gleeson-White, con interesantes comentarios sobre Luca Pacioli y su manuscrito. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Jueves, 03 de Noviembre de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

373. 114. Trigonometría en el tren

Seguramente alguna vez hayamos compartido asiento con algún desconocido en un autocar, o en el vagón de un tren. Aunque la gente cada vez va más a lo suyo, suele ser gratificante compartir conversación con otros viajeros (bueno, no con todos). El camino se suele hacer más corto. Claro que, depende de qué hablen… Cuando se muestra algún aspecto matemático en las películas, suele recurrirse a tópicos más o menos manidos, que cualquier espectador de nivel cultural medio sea capaz de reconocer (operaciones elementales, resultados muy conocidos como el teorema de Pitágoras, conceptos básicos; excepcionalmente, aunque cada vez con mayor frecuencia, se aborda algún tópico más novedoso). En cuanto a fórmulas, ya se ha comentado en otras ocasiones, también se utilizan expresiones muy conocidas, y éstas se describen sobre una pizarra o escritas sobre un papel. En raras ocasiones el actor las escribe de su puño y letra, y suele ser un doble de mano (alguien entendido en el tema) el que plasme esas expresiones, tratando de no cometer errores. Por eso es destacable las ocasiones en que el actor describe verbalmente algún resultado, y más aún si la producción es cuanto más antigua, ya que como acabamos de decir, se procura que el espectador se entere, y cuanto más atrás en el tiempo, menos personas optaban a estudios de cierto nivel. Lo que suele ser bastante habitual es encontrarnos con películas no estrenadas nunca en nuestro país, ni accesibles en DVD. Las causas son variopintas, pero no es ahora el sitio ni el momento para extendernos sobre eso. El caso es que en la película que traemos a la palestra este mes nos encontramos a la protagonista exponiendo una fórmula trigonométrica hace unos años muy común en los libros de texto de Secundaria, que, a día de hoy, caso de explicarse, se hace muy de puntillas, y prácticamente casi todos los alumnos tienen con toda seguridad, bastante olvidada. Y además lo hace correctamente y hablando de un tema en el que se aplica con toda corrección. Afortunadamente, gracias a YouTube (y a la transcripción en castellano que se expone a continuación, confío), podemos ver la escena y opinar sobre ella. Ficha Técnica: Título Original: She Wrote the Book. Nacionalidad: EE. UU., 1946. Dirección: Charles Lamont. Guión: Oscar Brodney y Warren Wilson. Fotografía: George Robinson, en B/N. Montaje: Fred R. Feitshans Jr. Música: Edgar Fairchild. Duración: 80 min. Ficha artística: Intérpretes: Joan Davis (Jane Featherstone), Jack Oakie (Jerry Marlowe), Mischa Auer (Joe), Kirby Grant (Eddie Caldwell), Jacqueline deWit (Millicent Van Cleve), Gloria Stuart (Phyllis Fowler), Thurston Hall (Horace Van Cleve), John Litel (Dean Fowler). A nadie le suena de nada, ¿verdad? Ni siquiera son conocidos actor o actriz alguna, ¿no? Quizá a alguien le suene Gloria Stuart (la octogenaria actriz que en Titanic interpretaba a la protagonista superviviente ya mayor), pero aquí es una actriz secundaria. Ya digo que no se ha estrenado nunca en España. Se trata de una irrelevante comedia en la que una profesora de matemáticas, Jane Featherstone (interpretada por la actriz Joan Davis) de un instituto de una pequeña localidad norteamericana, viaja a Nueva York en representación de un colega que ha escrito bajo seudónimo una novela que se ha convertido en un éxito de ventas. De camino, en el tren, comparte vagón con un ingeniero, Eddie Caldwell. Este es el diálogo que tiene lugar y que nos interesa (del resto de la película, no detallaré más, aunque quizá en otra ocasión recuperemos alguna otra incursión matemática): Eddie: ¡Vaya libro! Lo siento, hablaba conmigo mismo, pero es que este libro es el más interesante que he leído nunca. Demasiado profundo para la mayoría de la gente, pero necesario para mi trabajo. Jane echa un vistazo al libro. Se titula Calculus in Engineering. Jane: ¿Ingeniero? Eddie: Sí. Puentes. Jane: Muy interesante. ¿Construye puentes? Eddie: Bueno, aún no he construido ninguno, pero tengo la intención de hacerlo algún día. ¿Le gustan los puentes? Jane: No he pensado en ello pero supongo que sí. Eddie: Mire. Qué lugar tan hermoso para un puente con poco sitio en la orilla izquierda y el punto tan elevado al otro lado. Jane: No parece sencillo. Eddie: ¡Es difícil! Hay que considerar longitud, dirección, tirantes, ángulo de elevación…. Jane: Por la ley de las tangentes, sabemos que la diferencia de dos lados de un triángulo es a la suma de ambos como la tangente de la mitad de la diferencia de los ángulos opuestos es a la tangente de la mitad de su suma. Sabemos la altura de la orilla izquierda y la amplitud del río será lo que nos permite determinar el ángulo que forman cuidadosamente, lo que nos ayuda a encontrar la longitud del puente. Hacemos esto por la ley de los cosenos, que nos da el lado de un triángulo en términos de los otros dos lados y el ángulo que forman. Para ello se aplica la fórmula de que el cuadrado de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble de su producto por el coseno del ángulo que forman. ¿Alguna pregunta? Jane (ante el silencio de Eddie): Quiero decir que eso es todo lo que hay que hacer. Eddie (un tanto desconcertado): Nunca pensé que…. Jane: ¿Algún error en mis cálculos? Eddie: No, no, sólo que nunca que había encontrado antes con alguien como usted… La escena puede verse (en versión original en inglés) en este enlace. El teorema de las tangentes La ley de las tangentes (esta es la denominación anglosajona) nos da la relación entre las tangentes de dos ángulos de un triángulo y la longitud de los lados opuestos. No es tan popular como el teorema de los senos o del coseno, pero se utiliza en los casos en los que conocemos las longitudes de dos lados de un triángulo y el ángulo que forman, o cuando conozcamos dos ángulos y un lado, para hallar el resto de dimensiones. Su expresión, tal y como la describe la protagonista de la película es: Por recordar el teorema de los senos y del coseno (que nunca viene mal), estas son sus expresiones, respectivamente: (a / sen A) = (b / sen B) = ( c / sen C) y a2 = b2 + c2 − 2bc cos A b2 = a2 + c2 − 2ac cos B c2 = a2 + b2 − 2ab cos C. La obtención del teorema de las tangentes no es complicada a partir del teorema de los senos y la fórmula de paso de suma de senos a producto (otra fórmula muy “querida” por nuestros alumnos). Un ejemplo de aplicación Conocidos:     a = 34,  b = 22,  C = 42o . Calcular:        A, B, c. Mediante la ley de las tangentes, Entonces,  . Con esta expression y la de la semisuma, se obtiene que A = 98.17171o y  B = 39.82829o . Finalmente, aplicando el teorema de los senos, . La tangente y la cotangente Las primeras funciones trigonométricas que los antiguos astrónomos consideraron útiles para su trabajo fueron el seno y la cuerda, y por ello fueron éstas las primeras en desarrollarse. Sin embargo, pronto observaron que la manera más práctica de medir alturas y distancias era considerando otras diferentes, que llamaron gnomon y sombra (la tangente y la cotangente, respectivamente). Es posible que Ahmes (hacia el 1550 a. C.) conociera la tangente, pero de lo que se está absolutamente seguro es de que la sombra proyectada era un recurso habitual para calcular alturas que estaba relacionado con los relojes de sol que Anaximandro (hacia el 575 a. C.) introdujo en Grecia. Los griegos sin embargo no hicieron uso de estas medidas de un ángulo excepto en el caso de Tales de Mileto para medir la altura de las pirámides utilizando triángulos semejantes. Hacia el año 400 de nuestra era, los Surya Siddhanta y otros trabajos de los indios hablan de la sombra, en particular en relación a medidas astronómicas, pero serán los árabes los primeros en hacer uso real de estas medidas como funciones. Fue el astrónomo y matemático persa Habash al-Hasib (hacia el 860 d. C.) quien construiría las primeras tablas de tangentes y cotangentes, pero de ello no se conservan evidencias, sólo referencias. Los traductores latinos medievales las denominaron umbra versa (o umbra extensa) a la sombra que cualquier objeto vertical proyecta sobre el suelo (la cotangente), y umbra versa a la sombra “vuelta” (la tangente) dependiendo de donde estuviera colocado el gnomon (vertical en el caso de que los relojes de sol estuvieran sobre el suelo, u horizontal si está colocado en la pared de un edificio). Estas denominaciones pueden encontrarse en libros incluso hasta finales del siglo XVIII. El primer escritor cuya tabla de sombras (de grado en grado) es conocida es Al-Batani (latinizado como Albategnius) que además fue capaz de determinar la duración del año solar como 365 días, 5 horas, 46 minutos y 24 segundos, además del momento del equinoccio con un error menor a las dos horas y calcular con muy poco error el ángulo que forma el eje de la Tierra con su plano de rotación. Copérnico lo menciona en sus trabajos. Abú al-Wafá Buzjani, hacia el año 980, construyó una tabla de tangentes para cada 15’, la primera que ha llegado a nosotros, y una tabla de cotangentes para cada 10’. Ideó un método nuevo de calcular las tablas del seno. Sus tablas trigonométricas son exactas hasta ocho cifras decimales. Y estableció fórmulas como la del seno de una suma, o las del seno y coseno del ángulo doble, además del teorema de los senos. Estudió los movimientos de la Luna, y en el año 1970 se decidió en su honor llamarle «Abul Wáfa» a un cráter lunar en la cara oculta de la Luna. Hacia 1435, el astrónomo y matemático Ulugh Beg elaboró una tabla de tangentes de 0 a 45º de minuto en minuto, y de 45 a 90º de cinco minutos en cinco minutos. Su tabla de cotangentes sin embargo iba de grado en grado. Respecto a la utilización explícita de los nombres “tangente” y “cotangente”, aunque Georg  Joachim Rheticus hacia 1551 no llega a darlos explícitamente, plantea su denominación como una proporción. Rheticus (discípulo de Copérnico y divulgador de su teoría) compuso unas tablas de funciones trigonométricas con siete decimales de exactitud y de 10 en 10 segundos, las más precisas hasta ese momento que se conocen, y su cálculo fue terminado por su discípulo Valentinus Otho, que las editó en Opus palatinum de triangulis. En 1593, François Viète llama a la tangente  sinus foecundorum y utiliza un resultado similar a la ley de las tangentes en la resolución de triángulos obtusángulos (Variorum de rebus mathematicis, 1593). Sin embargo, parece ser que fue Thomas Fincke diez años antes, en 1583, en su libro Geometria rotundi el primero en emplear la palabra “tangente” como sinónimo de umbra versa. Bartolomé Pitiscus (otro que tiene dedicado un cráter lunar) en 1595 adopta el término en sus trabajos, entre ellos unas nuevas tablas trigonométricas que mejoraban las de Rheticus (Thesaurus mathematicus, 1613). A él se le atribuye también el término “trigonometría”, y la invención del punto decimal, aunque sobre éste segundo asunto hay algunas discrepancias. En 1609, Giovanni Antonio Magini (también con cráter lunar) llamó tangens secunda a la cotangente. Fue Edmund Gunter en 1620 el que finalmente primero utilizó la palabra cotangente. Gunter aplicó la trigonometría a la topografía, e inventó diversos instrumentos que han llevado su nombre, como el cuadrante de Gunter (un cuadrante con proyección estereográfica), la escala de Gunter y la denominada cadena de Gunter (considerada como unidad de medida en muchos países anglosajones). Respecto a las abreviaturas para la tangente y la cotangente, Bonaventura Cavalieri (¿lo adivinan? Pues sí, también tiene un cráter en la Luna a su nombre) utiliza en 1643 Ta y Ta.z, respectivamente, William Oughtred en 1657 t arc y t co.arc (ya que estamos, recordamos que fue el primero que empleó la letra griega π (pi) como símbolo matemático, el uso del signo "x" para la multiplicación y las abreviaturas "sin" y "cos" para las funciones trigonométricas seno y coseno, respectivamente, y recordando la entrada del mes de octubre, el inventor de la regla de cálculo actual), Sir Charles Scarburgh empleó t. y ct., y John Wallis en 1693 T y τ. La abreviatura tan la empleó Albert Girard en 1626, y Cot fue sugerida por Sir Jonas Moore en 1674 (por cierto, y para que tengáis cuidado con la Wikipedia, aunque algunos de estos datos se han extraído de allí, indica que a Moore se le atribuye la abreviatura Cos para el coseno, cuando como se dijo antes, ya la había empleado Oughtred mucho antes. Es Cot, lo que debería poner, para la cotangente). A veces es edificante (o al menos curioso) recordar la evolución de las denominaciones y las abreviaturas de conceptos científicos (matemáticos en este caso) porque quizá haya quien tienda a pensar que desde un principio las cosas quedaron perfectamente establecidas, y nada más lejos de la realidad. En este caso, lo justo es lo justo, se han utilizado datos de diversas fuentes. Además de la Wikipedia (que ya digo siempre hay que contrastar), he consultado los clásicos Historia de la matemática, Carl B. Boyer; History of Mathematics, Volumen 2, de David Eugene Smith.

Viernes, 04 de Noviembre de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

374. 30. (Noviembre 2016) Geometría práctica

(Alegoría de la Geometría. Margarita philosophica de Gregor Reisch 1504) Una de las manifestaciones más significativas del cambio de mentalidad de la modernidad frente al mundo antiguo grecorromano fue la valoración de los oficios y la dignificación del trabajo manual. La sociedad esclavista separaba las artes liberales de las prácticas: las actividades especulativas que eran propias de hombres libres eran diferentes de las prácticas de los trabajadores esclavos o empobrecidos. Si bien en la antigüedad podemos encontrar sabios como Arquímedes, Heron o Ptolomeo que no desdeñan los artificios, e incluso experimentan, su ejemplo no invalida la actitud dominante de desprecio hacia los trabajos cotidianos. Galileo acudiendo a los arsenales y atarazanas de Venecia para relacionarse con los trabajadores experimentados y aprender de ellos los secretos de la naturaleza es un ejemplo elocuente de los cambios culturales del Renacimiento. Una bonita plasmación de que las artes liberales ya se ven con otros ojos la encontramos en el grabado de una de los tratados más reeditados del siglo XV: la Margarita philosophica de Gregor Reisch. En la reproducción que encabeza el escrito vemos como la alegoría de la Geometría se ve rodeada de artesanos trabajando. La geometría vale tanto para el astrónomo o el geógrafo como para el carpintero, el sastre, el albañil o el agrimensor. (Alegoría de la Geometría, Frans Floris. Vidriera c. 1550. Núremberg) El mismo espíritu de mostrar que la geometría es una ciencia útil para los oficios se pone de manifiesto en la vidriera que reproduce una alegoría de la Geometría del pintor manierista flamenco Frans Floris de Vriendt (1517 – 1570). Los personajes que reciben la enseñanza ya no son nobles, eclesiásticos o estudiantes sino trabajadores manuales maduros que van a usarlo para sus actividades. Quizá la ciudad que refleje mejor los nuevos tiempos sea Núremberg pues llegó a convertirse en el taller de Europa del siglo XVI. Fue la primera población que documenta la contratación de servicios de matemáticos para formar a los artesanos. No fue un gasto superfluo: los artesanos del burgo fueron los beneficiados y la calidad de sus productos fue reconocida por los mercados. El Germanisches National Museum guarda decenas de bellos testimonio del uso y valoración de la geometría en los gremios de Núremberg. Los maestros de la ciudad se mostraban orgullosos con sus instrumentos: ¡qué lejos estamos de los prejuicios de la aristocracia contra el trabajo manual! La burguesía ya se siente triunfadora. Los notables ya son maestros de oficios que muestran orgullosos sus instrumentos como los carpinteros. (Carpinteros geómetras de Núremberg. Siglo XVI) Los carpinteros, los orfebres, los herreros o los sastres lucen sus instrumentos de trabajo, en especial el omnipresente compás. Entre las múltiples representaciones no debemos dejar de mostrar una de los toneleros, recordando que Kepler les dedicó un trabajo: Nova Stereometria doliorum vinariorum (1615) (Nueva estereometría de las barricas de vino). El compás de medida domina el tonel central. (Toneleros geómetras de Núremberg. Siglo XVI) Los albañiles, canteros y constructores no pueden faltar entre los oficios geómetras. Desde la Edad Media se muestran a los maestros de obras con su compás y su escuadra como atributos de su profesión. La masonería resaltará estos instrumentos para convertirlos  en su símbolo. El Museo Germánico reproduce en un tríptico la actividad constructiva de los oficios y muestras a sus protagonistas. El compás y otros instrumentos de medida se sitúan en lo más alto. La obra muestra el uso de los instrumentos y los avances mecánicos de una sociedad que ya considera necesaria la ciencia para su bienestar. (Canteros y constructores geómetras de Núremberg. Siglo XVI) No es casual que uno de los pintores más matemáticos como Durero esté vinculado a Núremberg pero quizá el personaje más significativo de esa eclosión de la geometría en los oficios sea el orfebre Wenzel Jamnitzer (1507 – 1585), quien colocará la  matemática en la placa de la tumba que le recuerda. En el bonito cementerio histórico de San Juan (el Johannisfriedhof), muy próximo al casco amurallado de Núremberg, se encuentra la lápida funeraria del orfebre matemático renacentista Jamnitzer. La tumba tiene el número 664 y está muy cerca de la de Durero (número 649). La placa no es fácil de ver por estar a la espalda de la sepultura y el nombre de la familia propietaria es Stegmann. Jamnitzer escribió Perspectiva corporum regularium y en su portada diseñó un esquema de lo que iba a ser su placa mortuoria. Un marco de espejo en plata que se exhibe en Nueva York reproduce fielmente la portada pero la fundición en hierro de la lápida es algo diferente. En ambas la alegoría de la Geometría se encuentra en la esquina superior derecha: en una sostiene un dodecaedro en el regazo mientras que en la otra aparece con un icosaedro en la mano. La Astronomía se encuentra en el otro extremo de la diagonal. La Aritmética no se representa en el cementerio. La placa del cementerio es una reproducción de la original que se encuentra en el Museo Germánico. (Placa de Wenzel Jamnitzer. Johannisfriedhof, Nüremberg) Otra muestra interesante de la calidad de los trabajos y el interés matemático de los oficios nos la ofrece el acabado de alguno de los instrumentos, casi un lujo. (Instrumentos de carpintería del siglo XVI, Nüremberg) Los instrumentos matemáticos entran en las iglesias también a través de los gremios. Sirva de muestra este altar de la Virgen y el Niño de una capilla lateral de la Catedral de Ruan. El compás a los pies y un Niño Jesús con escuadra. (Altar de los constructores de la Catedral de Ruan) En España encontramos una buena muestra, aunque tardía, de la matematización de los oficios en la iglesia de San José y Santa Bárbara de Xâtiva. La iglesia fue reconstruida en el siglo XVIII y allí se acumulan detalles tanto técnicos como matemáticos del gremio de los carpinteros. Puertas, aguamaniles y tumbas muestran los instrumentos. (Compás de la iglesia de San José y Santa Bárbara, Xâtiva) (Instrumentos en el lavamanos de la iglesia de San José y Santa Bárbara, Xâtiva)

Martes, 01 de Noviembre de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

375. 110. (Octubre 2016) El libro de los viajes equivocados, de Clara Obligado

A través de Juan Carlos Garro, en las Jornadas Matemáticas Everywhere (Castro Urdiales, 2016), descubrí este extraordinario libro de cuentos de Clara Obligado. La editorial  lo presenta de la siguiente manera: Todo viaje puede desarrollarse en tres ámbitos: el interior, el que transcurre en el tiempo y el que transita por el espacio. El que tiene como dimensión el espacio colma los sentidos, el temporal alimenta la experiencia, aunque es el viaje interior el que puede cambiar al ser humano. Pero ¿puede un ser humano modificar el sentido del universo? En El libro de los viajes equivocados los personajes comienzan una aventura en la que el azar orienta sus pequeñas historias hasta sumarlas en un devenir general. A través de una inquietante espiral narrativa, estos cuentos nos llevan a interrogarnos sobre el complejo mundo en el que nos toca vivir. En efecto, la espiral gobierna el conjunto del libro que consta de once relatos, que pueden leerse de manera independiente, pero en los que se repiten personajes y  situaciones, con el azar gobernándolo todo. El primero de los relatos se titula El azar, un cúmulo de historias que suceden en tiempos diferentes y que el azar une a través de una caracola. Las historias van sucediéndose a lo largo de estos viajes equivocados: historias de viajes, de viajes reales o ficticios. El último relato es La espiral admirable una bella y triste historia de una mujer que desea escapar de su cruel realidad a través del estudio matemático de las espirales. Ella encuentra esa caracola, la del primer relato: Abajo, en la playa, perfilada en la arena, la espiral da una vuelta y otra más, se expande en curvas crecientes, se replica en remolinos, en infinitos anillos de inexplicable belleza. Poco más tarde, con la pleamar, el dibujo y su misterio se habrán borrado. Y esa espiral, ¿conduce de nuevo al primer relato?   Referencias Clara Obligado, El libro de los viajes equivocados. Cuentos. Editorial Páginas de Espuma, Madrid, 2016 Pilar Alberdi, El libro de los viajes equivocados, Blog de Pilar Alberdi, 2012 Reseña de Ricardo Lamelas Frías, 2013

Viernes, 28 de Octubre de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

376. 106. (Octubre 2016) "La narración fractal. Arte y ciencia de la oralidad" de Héctor Urién

Hace algo más de un año, el ‘cuentacuentos’ Héctor Urién tuvo la amabilidad de regalarme su libro La narración fractal. Arte y ciencia de la oralidad, un libro que he leído varias veces, con el que he disfrutado y aprendido, que me ha hecho pensar, y que también he regalado en más de una ocasión. Pienso a Héctor como un actor de teatro, que en cada una de sus funciones va contando diferentes –o la misma– historias, y va tejiendo su cuento dejándose influir por las personas y el ambiente que le rodean. En La narración fractal, Urién transita por diferentes ideas –desde la literatura hasta la ciencia, pasando por el cine o la teoría narrativa–: solo daré unas pinceladas sobre las alusiones más directas a la matemática. El autor defiende en su ensayo la libertad del cuento oral frente al escrito. Sostiene que cada narración oral fluye con su relator: dependiendo del momento, del público, del estado anímico o de otros múltiples factores, el cuento se transforma. Sin embargo, a pesar de esos cambios, la historia relatada se sigue reconociendo: “¿Cómo puede variar y seguir siendo? ¿Qué elementos son los motores de dicho cambio continuado? La respuesta, creo yo, es su naturaleza viva, autoorganizada, caótica y fractal.” Usando el lenguaje de la teoría de sistemas dinámicos, Urién afirma que, a pesar de los cambios –de las perturbaciones– que pueda sufrir un cuento, sigue siendo reconocible gracias a la existencia de lo que él llama atractores. Estos atractores pueden ser de tipo estructural, verdades que perpetúan el discurso o simples detalles que proporcionan las claves de la historia. Para mostrar su teoría, Urién alude al cuento de La Cenicienta a través de la estudiosa Marian Roalfe Cox –que en su texto [3] recopiló más de trescientas cincuenta versiones del cuento– y también comparte algunas variaciones de este relato extraídos de [4]. A pesar de las diferencias culturales detectadas en cada versión, existen esos atractores que hacen reconocible la historia, que sostienen la identidad del relato a pesar de las variadas mudanzas que se puedan incorporar. Urién alude al carácter fractal de la narración oral cuando afirma que el cuento completo está formado por pequeñas historias que en sí mismas son otros cuentos: surgen así los conceptos de autosemejanza –que no igualdad– y de iteración. En su ensayo explica el esquema fractal de Las mil y una noches –esos cuentos que él mismo lleva contando desde hace tiempo, uno a uno–, en el que cada historia que Sherezade  narra al sultán, es similar a su propia historia, de la que pretende salir viva. El narrador, el buen narrador, debe dejarse llevar por este carácter fractal y caótico de la historia, que irremediablemente fluye… ¿con vida propia?: “Una vez establecidas dirección, peripecias, atmósfera y particularidades, el cuento puede cobrar vida. Cada elemento, cada variación, influirá en todas las demás, si el narrador escucha a su propia historia percibirá que el cuento solo se va organizando, va adquiriendo coherencia interna, va reaccionando a cada modificación en el ambiente, a cada perturbación.”   Más información: [1] Héctor Urién, La narración fractal. Arte y ciencia de la oralidad, Palabras del Candil, 2015 [2] Isabel Garzo, La ciencia de los cuentos, Yorokobu, 15 septiembre 2015 [3] Marian Roalfe Cox, Cinderella: Three Hundred and Forty-five Variants of Cinderella, Catskin, and Cap O' Rushes, abstracted and tabulated. London: David Nutt for the Folklore Society, 1893. [4] Las otras versiones de la Cenicienta, Ovejas Eléctricas, 13 de junio de 2010

Jueves, 27 de Octubre de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

377. 113. Reglas de Cálculo en el Cine (II)

Los fieles seguidores de esta sección quizá recuerden que el pasado mes de abril dedicábamos una primera reseña a la aparición en el cine y la televisión de las reglas de Cálculo. Continuamos la tarea en esta ocasión, que probablemente no sea la última. Referenciábamos entonces la magnífica página Amigos de la Regla de Cálculo, en la que se puede encontrar prácticamente todo lo que se desee saber sobre esta herramienta. Su administrador, Jorge Fábregas, con el que me puse en contacto, me hizo llegar amablemente una serie de enlaces en los que se mencionan un montón de películas que van enviando a un foro los visitantes desde nada más y nada menos que el año 2006 (y he de confesar que ¡¡las tienen prácticamente todas!! Al menos todas las que yo comenté, y la mayor parte de las que voy a comentar ahora. De modo que, dejaré las que tenía pensadas, y añadiré otras que no conocía, y están en su foro, que me han parecido interesantes, mencionando por supuesto al remitente). En este foro no se conforman con indicar la película o adjuntar una imagen, sino que tratan de descubrir la nacionalidad y el modelo concreto de Regla de Cálculo que aparece, descubriendo en muchos casos si colocar esa en particular resulta un anacronismo dentro de la historia que describe la película o por el contrario se ajusta a la realidad. Hasta ese grado de precisión tratan de llegar. Es realmente espectacular algunos de los comentarios y consecuencias que deducen a partir de esos datos. Asimismo me ha parecido llamativo y creo que de interés, recalcar que son muchas las personas apasionadas en todo el mundo por las Reglas de Cálculo, al punto de que anualmente se celebran reuniones denominadas International Meeting of Slide Rules (IM, abreviadamente) que últimamente han extendido a otros instrumentos de Cálculo quedando en International Meeting of Slide Rules & Historical Calculating Instrument Collectors, la última de las cuales (la vigésimo segunda) ha tenido lugar el pasado mes de septiembre en Trento (Italia). Hay una sociedad de coleccionistas, The Oughtred Society (recuérdese que William Oughtred fue un ministro anglicano que se dedicó a las Matemáticas, la Astronomía, entre otras disciplinas, al que se atribuye la invención de la moderna regla de cálculo. Además fue el primero que empleó la letra griega π como símbolo matemático aunque fuera Euler quien popularizó posteriormente su uso. También se le atribuye el uso del signo "x" para la multiplicación y las abreviaturas sin y cos para las funciones trigonométricas seno y coseno, respectivamente), fundada en 1991 y cuyo fin esencial es el estudio y preservación de las reglas de cálculo y otros instrumentos de cálculo. A modo de curiosidad final, antes de meternos con el cine, el pasado día 30 de septiembre se celebró la Noche de los Investigadores. En el Museo de la Ciencia de Valladolid participé en una representación orientada a un público familiar, muchos niños entre los 298 asistentes. En un momento dado, mostré un ábaco, interpelando al público sobre qué era. Todo el mundo lo conocía, niños de seis y siete años incluidos (los que antes contestan, como todo el mundo sabe por experiencia). A continuación tomé una Faber Castell. Silencio. Como alguno decía tímidamente “una regla”, supongo que por las marcas de las divisiones, aclaré que no era una regla “normal” sacando para mostrarlo la reglilla. Tras unos segundos, alguien, ya curtido en canas, acertó a indicar qué era aquello. Esta sencilla anécdota nos muestra cómo la moda de realizar talleres y/o actividades extraescolares (en este caso con el ábaco, de cierta popularidad actualmente) redunda no sólo en activar en los niños el cálculo (en este caso de las operaciones elementales) sino en no dejar en el olvido un instrumento que históricamente (y en la actualidad aún en algunos países) tuvo su relevancia. No ocurre sin embargo lo mismo con la regla de cálculo (salvo para entusiastas compañeros que también los hay, pero minoritariamente) que seguiría siendo útil para continuar ejercitando el cálculo mental, e introducir el cálculo aproximado, las estimaciones, y por supuesto, los logaritmos (que para los alumnos que acceden en la actualidad a la facultad no son más que unas funciones con unas propiedades que manejan y se saben, pero cuyo origen y finalidad desconocen diría que prácticamente en el noventa por ciento de los casos). Por terminar la anécdota, después escuché unas cuantas risas al mostrar modelos de las primeras calculadoras de bolsillo y programables. Cada cual que saque sus propias conclusiones. Entre las películas que revisé el pasado y ya lejano verano estaba una película de dos actores que desde la infancia he tenido como referencia (fundamentalmente por sus películas, que disfrutaba de un modo especial: epopeyas y westerns). Se trata de Misterio en el barco perdido (The wreck of the Mary Deare, Michael Anderson, EE. UU., 1959), una película en la que un veterano capitán degradado (Gary Cooper) debe defenderse de las acusaciones de provocar el hundimiento del Mary Deare, así como de asesinar a su capitán. Todo parece indicar su culpabilidad, pero él es el único que conoce lo que realmente sucedió y no quiere explicar hasta poder volver al barco encallado y mostrar las pruebas. Al inicio de la película (seguramente lo único salvable de la película junto a los protagonistas, fundamentalmente por una dirección plana y sin suspense; Alfred Hitchcock debió de ser su realizador, pero prefirió rodar Con la muerte en los talones), el capitán de una pequeña embarcación de rescate (Charlton Heston) localiza el Mary Deare a la deriva durante un fuerte temporal. Obviamente en esta época no había ordenadores, ni GPS, ni una triste calculadora, de modo que Chuck debe echar mano de una regla de cálculo para calcular el rumbo a seguir (imagen). Años después, Heston vuelve a ser el capitán, en este caso de un submarino nuclear, en Alerta Roja: Neptuno hundido (Gray Lady Down, David Greene, EE. UU., 1978), película realizada en plena moda del cine de catástrofes, aunque en este caso contando una historia algo menos fantasiosa que las de esa época. Como consecuencia de la espesa niebla, un barco noruego choca con el USS Neptuno, que se hunde a gran profundidad. El peligro de implosión junto a los continuos desprendimientos de tierra del lecho en el que ha caído complican extraordinariamente el rescate. Y claro hay muchas escenas en las cabinas de mando de los diversos buques. El compás y los mapas son los elementos que más aparecen, aunque tampoco faltan las reglas de cálculo. En la primera imagen, una circular (Mal vemos a Chuck entrando en la cabina y un ingeniero con ella; la luz es escasa por la emergencia), mientras en la segunda aparece la clásica (¿Les suena por cierto el actor que la maneja en su debut cinematográfico y justo antes de interpretar a un súper héroe que le haría muy popular?). Volviendo a los actores de la primera película, tampoco Gary Cooper le ha hecho ascos al manejo de esta herramienta. En El orgullo de los yankees (The pride of the yankees, Sam Wood, EE. UU., 1942), una biografía del legendario jugador de béisbol Lou Gehrig, en una escena en la que aparece estudiando, lo vemos con ella. Y en Clandestino y Caballero (Cloak and Dagger, Fritz Lang, EE. UU., 1946), película nunca estrenada comercialmente en nuestro país (emitida por primera vez por televisión española el 17 de julio de 1990), se trata de la última de la tetralogía que Fritz Lang dedica a mostrar los peligros del nazismo (rodada antes de finalizar la II Guerra Mundial, pero estrenada después, previa masacre por la censura; aún así tiene elementos muy interesantes, no sólo desde el punto de vista de la Física o las Matemáticas). Gary Cooper interpreta a un científico con muchas similitudes con Julius Robert Oppenheimer (una descripción detallada de esta película puede verse tanto en el libro Las Matemáticas en el Cine, pp. 87 – 92, como en la reseña de septiembre de 2005). Antes de partir a su delicada misión, preparando con detalle su plan, vemos la imagen al pie, en su estudio de trabajo, con una regla de cálculo sobre la mesa. En Sin Amor (Without Love, Harold S. Bucquet, EE. UU., 1945), Spencer Tracy interpreta a un científico que trabaja, con la ayuda del Gobierno pero secretamente, en una máscara de oxígeno a gran altura para pilotos de combate durante la II Guerra Mundial. Sin lugar donde realizar sus experimentos, llega al sótano de la casa de una joven viuda (Katherine Hepburn) que inicialmente no muestra demasiado interés, pero la persistencia de Tracy (además descubre que ella es también hija de un científico), y sobre todo conocer que puede ayudar a su país (estamos en plena propaganda patriotera; Hepburn interpretó esta pieza teatral en los escenarios en 1942; Tracy odiaba literalmente hacer esta película, pero accedió como un favor personal a la actriz). Y por supuesto aunque a priori ninguno confía demasiado en enamorarse, al final, como se puede suponer acaban juntos. En la imagen vemos una escena en la que Katherine comprueba con la regla de cálculo unos valores que le ha pedido Tracy. Pero no sólo en el cine clásico tenemos a nuestro querido instrumento. Claro que los galanes más cercanos en el tiempo, no parecen manejarse demasiado bien con él. Quizá estén más pendientes de otras cosas,...., o que no llegan. Además para eso están los demás. Por ejemplo, en Oficial y Caballero (An Officer and a Gentleman, Taylor Hackford, EE. UU., 1982), el soldado Zack Mayo (Richard Gere) muestra muchas más aptitudes en la pista americana que en las clases teóricas (¿“pa” que te metes entonces en la Marina, colega?). En la imagen lo vemos echando un ojo a su compañera (bueno a su examen; ¡qué casualidad, hombre, que esté detrás de la lista de la clase! En fin, esto es cine, y no demasiado malo a fin de cuentas, a pesar de todo). Paul Newman parecía más enterado en Desde la terraza (From the Terrace, Mark Robson, EE. UU., 1960) o al  menos lo aparentaba, aunque tenía otros problemas más graves de los que ocuparse. Una gran tormenta se abate sobre un aeropuerto. Para colmo, unos renegados militares se hacen con el control total y sabotean las pistas de aterrizaje (que dejan completamente a oscuras desde una iglesia que han ocupado). Su intención es conseguir un avión con el que trasladar a un antiguo general centroamericano y traficante de droga a un país en el que no haya extradición con los norteamericanos. En la torre de control andan muy estresados y encima tiene a Bruce Willis tratando de poner orden (¡¡¡Ufff!!!). En efecto, se trata de La Jungla 2: Alerta Roja (Die Hard 2, Renny Harlin, EE. UU. 1990), película famosa por contener una de las mayores burradas físicas que se haya visto en el cine. Pues bien en la imagen vemos a un desesperado jefe de la torre de control, portando una regla de cálculo circular (recordar que el modelo circular ha sido el más utilizado por los ingenieros aeronáuticos). Bajando de nuevo a las profundidades, roger, uno de los blogueros de la página de ARC, propone dos títulos, muy diferentes en cuanto a calidad cinematográfica (que cada cual decida cual es cuál): El submarino (Das Boot, Wolfgang Petersen, Alemania, 1981), y K – 19 (K-19: The Widowmaker, Kathryn Bigelow, EE. UU., 2002). En ambos fotogramas podemos ver la regla de cálculo como parte imprescindible en las tareas de navegación. Además de navegación aérea y marina, muchas pizarras de películas norteamericanas exhiben una gran regla de cálculo. Jorge, administrador de la página de ARC (alias jfz62) nos recuerda dos ejemplos: El club de los poetas muertos (Dead Poets Society, Peter Weir, EE. UU., 1989), en la que aparece un cachito detrás del profesor de matemáticas (presentado como un impresentable hueso; ¡¡qué maniquea y tramposa me sigue pareciendo esta película a pesar de su éxito popular y de su notable interpretación y puesta en escena!!), y Un tipo serio (A Serious Man, Joel y Ethan Coen, EE. UU., 2009). Y llegado este punto, quizá a algún lector le surja la pregunta. ¿Fuera de países anglosajones mayoritariamente (aunque en la reseña anterior vimos un ejemplo japonés y aquí uno alemán), no aparecen? Sin eufemismos, ¿y en España? Pues la verdad es que tras el montón de títulos recopilados (quedan muchos más fuera de estas líneas), sólo he visto un ejemplo en nuestro país. El aparejador padre de La Gran Familia (Fernando Palacios, España, 1962) es el único que he descubierto, y que también aparece en el blog al que estamos refiriéndonos constantemente. Mientras la madre prepara la cena de Nochebuena (y espera impaciente al abuelo con parte se sus hijos, y que ya sabemos llegará disgustadísimo por la desaparición de Chencho; no creo que este spoiler fastidie a nadie a estas alturas), el pluriempleado padre sigue trabajando a la vez que pide a su hijo que le busque cuál es el logaritmo de 62,50 (ni tabletas, ni ordenador, ni una triste calculadora: a la tabla de logaritmos; no, no es la prehistoria, algunos lo hemos conocido). Volveremos seguramente en otra ocasión más adelante al tema de las reglas de cálculo, quizá en el cine de animación, que hay bastantes ejemplos. Por el momento, ya tenéis una cosa más en la que fijaros cuando vayáis al cine, o veáis una película: además de matemáticas, instrumentos de cálculo (ábacos, reglas de cálculo, calculadoras, ordenadores, etc.), y averiguar si están correctamente incorporados a la escena o si pasa como con los famosos relojes automáticos en las películas medievales o el de la imagen de Rodolfo Valentino en El hijo del Caid (The Son of the Sheik, George Fitzmaurice, EE. UU., 1926).

Lunes, 10 de Octubre de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

378. 29. (Octubre 2016) Instrumentos matemáticos en el arte

(Salterio de Blanca de Castilla. BNF, Paris) Las representaciones de la actividad matemática o de sus alegorías siempre van acompañadas de sus objetos característicos. La Geometría porta compás, escuadra o regla. La Aritmética utiliza ábacos, tablilla de números o movimiento de dedos. La Astronomía con esfera armilar, astrolabio o cuadrante. Una muestra es el miniado del Salterio de Blanca de Castilla reproducido al inicio. En el Libro de las categorías de las naciones, Said al-Andalusí daba cuenta de los constructores de astrolabios del siglo XI. La matemática se plasma en instrumentos. Durante el Renacimiento y en los inicios de la Revolución Científica, la instrumentación matemática se hace más sofisticada, más especializada e se convierte incluso en artículo de lujo. El arte no permanece al margen de los cambios, refleja ese interés por la ciencia y lo plasma con gran variedad y detalle. (El instrumentista Stampfer, 1540. Zurich) El constructor de instrumentos, el astrónomo o el geógrafo son retratados con sus objetos significativos. No son meros artesanos, son burgueses que se pueden permitir contratar a pintores de talla. Una muestra es el Retrato del grabador e instrumentista Hans Ulrich Stampfer (1540), realizado por el pintor suizo Hans Asper (1499-1571), conocido sobre todo por su retrato del reformador Zuinglio. El retrato se exhibe en el Kunsthaus de Zúrich. La revolución cultural va unida a una revolución científica que necesita hábiles y formados constructores de instrumentos. Las medidas astronómicas o marinas tienen que ser precisas, de ello va a depender el modelo del mundo. Quizá la primera muestra de esta tendencia a mostrar la variedad de la instrumentación la encontramos en la república de Venecia. En la Scuola di San Giorgio degli Schiavoni se visita la Visión de San Agustín, la pintura de  Vittore Carpaccio, datada de1502, que reproduce el gabinete del santo. (Visión de San Agustín, 1502. Venecia) Al fondo izquierdo del estudio se observa un armario con diversos astrolabios y cuadrantes, los instrumentos de la astronomía matemática; una esfera armilar en la estantería de la derecha completa el conjunto. Ya no basta con una pieza simbólica, hay variedad y se especializan. La irrupción de la nueva sensibilidad y su plasmación más lograda es la pintura de Hans Holbein el Joven, en la Nacional Gallery, conocida como Los embajadores (1533). Todas las contradicciones de una época se ponen de manifiesto: el sentimiento religioso de que todo es vanidad y la atracción por los objetos. La anamórfica calavera contrasta con el deleite por los instrumentos matemáticos y astronómicos. El propio virtuosismo y dominio de la perspectiva son reflejo de la antinomia, del enfrentamiento entre el mensaje y la forma. (Los embajadores, 1533. Londres) No falta nada: compases, cuadrantes, globos terrestre y astronómico, relojes de Sol, libros de Aritmética, el torquetum,…Las cuatro artes matemáticas del quadrivium están representadas. Hans Holbein el Joven también utiliza los mismos instrumentos en el impresionante Retrato del astrónomo Kratzer. La pintura es del segundo cuarto del XVI, por ello no vemos el telescopio. Los astrónomos tendrán que esperar a 1609, momento en el que Galileo enfoca el cielo con su rudimentario catalejo. Holbein no pone aquí la carga simbólica de Los embajadores, pero hace más patente la variedad de instrumentos. En Londres el mensaje será el de las vanidades: todo es nada. Aquí -en París- está todo el orgullo de una época que se sabe nueva. (Retrato del astrónomo Kratzer. París) El perfeccionamiento de la instrumentación y su manufactura de calidad se plasma perfectamente en La vista (1617) de Jan Brueghel el Viejo con Rubens como colaborador, que se exhibe en el Museo del Prado, junto con los otros cuatro sentidos. Durante el Renacimiento se había iniciado el coleccionismo moderno, se pusieron en marcha la clasificación y la ordenación, actividades imprescindibles para iniciar ciertas ciencias. Los coleccionistas de curiosidades crean también una acaudalada clase de marchantes. Entre unos y otros apreciamos como las ciencias se van introduciendo en la sociedad. La pintura continúa poniéndolo de manifiesto. (La vista, 1617. París) Es de destacar como, solo ocho años después de Galileo, el telescopio se representa en primer plano. La parte izquierda de la pintura muestra un astrolabio plano, un compás de reducción, un semicírculo astronómico, varios compases, una caja solar, una ballestilla, un pantógrafo, esfera armilar,… La vista de Brueghel tuvo muchas secuelas durante el siglo. Los instrumentos, seguramente la Colección del Archiduque, fueron reproducidos en multitud de pinturas flamencas. Incluso los encontramos representados en tapices, Como en El Astrólogo del Palacio del Pardo. (El Astrólogo, 1617. Madrid) Estamos ante un tapiz flamenco del taller de Gerardo Poemans (circa 1660) y perteneciente a la serie de Dido y Eneas, de la que se ha desgajado quizá por su interés en sí mismo. La colección de instrumentos matemáticos es esplendida. El libro es el tratado de Astronomía poética del filósofo hispano romano Cayo Julio Higinio. Esta reducida muestra del encanto por los instrumentos la terminamos con el retrato de otro astrónomo, el matemático jesuita Jean-Charles Della Faille. La sección de Maestros Antiguos de los Museos Reales de Bellas Artes de Bruselas alberga la obra de Antón Van Dyck fechada en 1629. El cuadro muestra a Della Faille (Amberes, 1597: Barcelona, 1652) con sus instrumentos (compás de proporción, esfera, cuadrante,..) e incluso con el papel donde realiza los cálculos geométricos. El matemático flamenco se había formado con Gregoire de Saint-Vincent y fue muy importante para la matemática española como profesor del Colegio Imperial de Madrid. De hecho su obra más importante Theoremata de centro gravitatis partium circuli et elipsis (1632) fue redactada en Madrid. Della Faille ha sido el primero en calcular el centro de gravedad de un sector circular. Della Faille continuó sirviendo a Felipe IV como asesor de fortificaciones y como preceptor de su hijo bastardo Juan José de Austria. (Jean-Charles Della Faille, 1629. Bruselas)

Martes, 04 de Octubre de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

379. 142. (Octubre 2016) 52 amantes

Cualquier mago que quiera hacer alarde de su afición siempre llevará una baraja entre sus objetos cotidianos. Es posible que se le olviden las llaves o la cartera pero no saldrá de casa tranquilo si no mete la baraja en el bolsillo. ¿Quién sabe si se le presenta la oportunidad de realizar una actuación informal o de protagonizar un espectáculo improvisado ante quién sabe qué cantidad de público? Siempre hay algo de lo que está seguro: una simple baraja, un conjunto de cartones impresos con imágenes fácilmente reconocibles por cualquiera, le bastan para ofrecer horas y horas de entretenimiento mágico. Pero hay una característica de la baraja que la mayoría de los magos desconoce: esos cartones de colores contienen una inmensa cantidad de propiedades matemáticas, muchas de ellas todavía sin explorar. En este rincón tenemos una prueba tangible de esta afirmación, pues hemos encontrado numerosas referencias a juegos de magia basados en principios matemáticos pero nunca nos hemos detenido a analizar las características más simples de una baraja. Lo primero que salta a la vista es que la baraja (eliminando por supuesto los posibles comodines) es un conjunto de N elementos, donde N = 36 en el caso de la baraja alemana, N = 40 (a veces N = 48) si la baraja es española, N = 52 si se trata de la baraja francesa o inglesa y N = 78 en la baraja del tarot. Como la versión más extendida en el mundo de la magia es la baraja inglesa, muchos autores han reflejado este número en los títulos de sus obras. Por ejemplo, podemos citar los libros 52 amantes de Pepe Carroll y Aventuras de 51 magos y un fakir de Cuenca de Ángel Idígoras, así como el curso 52 pasos para 52 amantes diseñado por Miguel Gómez y Pepe Monfort. Por cierto, ¿sabrías distinguir entre una baraja francesa y una inglesa? No basta contar el número de cartas, sale 52 en ambos casos. Una frase chistosa repetida hasta la saciedad por los magos pretende ser una definición: una baraja francesa es la que usan los ingleses para jugar al póquer americano. En realidad, la diferencia está en los valores de las figuras, el criado, la dama y el rey: en la baraja inglesa aparecen los símbolos J, Q y K, iniciales de los llamados jack, queen and king, mientras que en la baraja francesa vemos los símbolos V, D y R, iniciales de los llamados valet, dame et roy. Además, los ases de la baraja francesa están representados con el uno y los de la baraja inglesa con la letra A. Una bonita historia de las barajas, sea o no del todo cierta, está publicada en el blog "todo llega, todo pasa y todo cambia". baraja española baraja francesa baraja inglesa baraja alemana A la vista de la figura anterior, estaremos de acuerdo en que las más conocidas en nuestro entorno son la baraja española y la baraja inglesa, aunque la primera de ellas le saca mucha ventaja a la segunda. Así que es natural la pregunta que la mayoría de los magos deben afrontar en algún momento de su trayectoria: ¿por qué nos empeñamos en hacer juegos de magia con barajas extranjeras y no con barajas españolas, a las que estamos más acostumbrados y las reconocemos con mayor facilidad? Una posible respuesta, de dudoso gusto, tiene relación con las propiedades "cabalísticas" de una baraja inglesa: contiene 4 palos, correspondientes a las cuatro estaciones del año; 13 cartas en cada palo, que son las trece constelaciones zodiacales (sí, son trece y no doce, aunque la Astrología se limita a 12 signos zodiacales), y 52 cartas que corresponden al número de semanas de un año; la suma de los valores de las 52 cartas (si hacemos A = 1, J = 11, Q = 12 y K = 13) es igual a 364: al añadir un comodín sale el número de días de un año y al añadir el otro comodín sale el número de días de un año bisiesto. Puedes encontrar algunos detalles adicionales en este enlace del blog mundo esotérico. Voy a proponer aquí una respuesta numérica, no numerológica, definitiva en el contexto de la magia matemática: cada palo de la baraja inglesa tiene 13 cartas -y 13 es un número primo- mientras que cada palo de la baraja española tiene 10 cartas -pero 10 no es un número primo-. Para explicar esta respuesta tan enigmática, necesitaremos estas otras propiedades de la baraja, muy parecidas entre sí: Si nos fijamos en los colores de las cartas, el conjunto de 52 cartas se descompone en 2 grupos de 26 cartas cada uno: 26 rojas y 26 negras. Si nos fijamos en los palos de las cartas, el conjunto de 52 cartas se descompone en 4 grupos de 13 cartas cada uno: 13 rombos, 13 tréboles, 13 corazones y 13 picas. Si nos fijamos en los valores de las cartas, el conjunto de 52 cartas se descompone en 13 grupos de 4 cartas cada uno: 4 ases, 4 doses, 4 treses, ..., 4 damas y 4 reyes. ¡Sí! Es lo que estás pensando: son tres posibles relaciones de equivalencia, a partir de las cuales podemos realizar sendas particiones del conjunto. Bromas aparte, imaginemos que queremos ordenar todas las cartas de la baraja para que cada una de esas tres características -color, palo, valor- aparezca igualmente espaciada en la baraja. Es decir, que haya una roja y una negra cada dos cartas, que haya una de cada palo cada cuatro cartas y que haya una de cada valor cada 13 cartas. ¿Quieres intentarlo? El método más sencillo es colocar las cartas de la baraja en orden sucesivo de colores, palos y valores, por ejemplo de la forma ilustrada en la figura: incremento = 1 Observarás que falta la otra mitad de la baraja pero seguro que puedes completarla a partir de la secuencia dada. Habrás observado también que el orden es cíclico, es decir, después del rey, que tiene valor 13, viene el as, cuyo valor es uno. Pero no es la única manera: se pueden colocar las cartas aumentando su valor de dos en dos, o de tres en tres, etc., siempre manteniendo la secuencia alternativa de colores y palos. Las siguientes figuras muestran los primeros ejemplos: incremento = 2 incremento = 3 incremento = 4 Todas estas ordenaciones, y las que se pueden formar con cualquier otro incremento, tienen muchas propiedades en común. Las que ya conocemos son: cada dos cartas hay una roja y una negra, cada cuatro cartas hay una de cada palo y cada 13 cartas hay una de cada valor. Y todo es consecuencia de que el número 13 es primo. Pero, además, las propiedades se mantienen incluso si se realiza un corte a toda la baraja, gracias al carácter cíclico de estas ordenaciones. Pues esto no es posible en una baraja de 40 cartas (ni siquiera eliminando la condición sobre los colores, que no se perciben en esta baraja). Si lo intentamos aumentando el valor de las cartas de uno en uno (as de oros, dos de copas, tres de espadas, cuatro de bastos, cinco de oros, seis de copas, ...), la secuencia queda como en la siguiente figura: Ya no podemos seguir porque la siguiente carta de la secuencia debería ser el as de oros, que ya está colocada. ¿Podríamos lograrlo si utilizamos como incremento del valor de las cartas otro número mayor que uno? La respuesta es no: si un valor concreto se repite cada diez cartas y un palo concreto se repite cada cuatro cartas, una carta concreta se repetirá cada 20 cartas porque 20 es el mínimo común múltiplo de 4 y 10. Conclusión: una baraja española no puede ordenarse mediante el sistema anterior y una baraja inglesa puede ordenarse con este sistema utilizando cualquier valor como incremento. El juego que vamos a describir a continuación es una pequeña muestra de las ventajas que tiene el disponer de una baraja ordenada. Si quieres comprobarlo, busca una baraja, de 52 cartas, y ordénala según se ha indicado arriba; no importa el incremento que elijas. Realiza un corte completo a la baraja para que no sepas cuál es la primera carta. Vas a hacer tres montones sobre la mesa, con las cartas caras abajo, a partir de los cuadrados de los primeros números. Como el cuadrado de uno es uno, deja la primera carta sobre la mesa, cara abajo. Será la carta que vas a adivinar. Como el cuadrado de dos es cuatro, deja cuatro cartas sobre la mesa, de una en una y caras abajo, formando un segundo montón. Como el cuadrado de tres es nueve, deja nueve cartas sobre la mesa, igual que antes, formando un tercer montón. Gira cara arriba la primera carta del segundo montón y recuerda su palo. Digamos que es de corazones. Gira cara arriba la primera carta del tercer montón y recuerda su valor. Digamos que es un siete. Sólo hay una carta en la baraja con este valor y aquel palo. Pues se trata precisamente de la única carta del primer montón. En nuestro ejemplo, el siete de corazones. La idea de este juego aparece en el baratísimo libro "Card tricks anyone can do", de Temple C. Patton, publicado por primera vez en 1968. El libro contiene multitud de juegos con base matemática y en un futuro comentaremos otros juegos destacados de él. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Lunes, 03 de Octubre de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

380. 105. (Septiembre 2016) SOLUCIÓN DEL CONCURSO: Un ‘torneo’ matemático

El jurado compuesto por cuatro profesoras y profesores de la Sección de Matemáticas de la UPV/EHU (Pedro Alegría Ezquerra, María Merino Maestre, Raúl Ibáñez Torres y Judith Rivas Ulloa) ha decidido que la mini-pieza teatral ganadora del concurso del ‘torneo’ matemático, ha sido… Duelo Cartesiano de Noemí Borobia, profesora de secundaria del CEIPSO Miguel de Cervantes de Alcorcón. En palabras de Noemí ‘Un centro pequeñito en el que es un gusto trabajar, ya que somos una gran familia’. Duelo Cartesiano Descartes: Hola, perdona que te moleste mientras practicas tiro al anillo, pero tengo un problema geométrico, ¿me puedes ayudar? Galois: Un descanso me viene ideal, veamos si es resoluble. Descartes: Me han invitado a una fiesta algebraica y no encuentro el sitio, tengo las coordenadas, pero no tengo regla ni compás. Galois: El mejor camino es por radicales, y en la cónica coges la salida de grado tres. Descartes: ¿No habrá muchas curvas en coordenadas polares? Que me marean… Galois: No, ya sé que te dejan mal cuerpo, pero yo no iría solo, es mejor en grupos. Descartes: Pues le he preguntado a mi amigo imaginario que por qué no viene, pero me dice que es complejo. Galois: Para estas cosas es mejor pensar en los primos. Descartes: De primos nada, nunca me llaman ni me escriben, es como si no existiera así que ni lo pienso. Y tú, ¿no te quieres venir? Galois: Quita, quita, que a mí las fiestas algebraicas, es que ¡¡¡me matan!!!   Noemí con su premio Enhorabuena a Noemí, y muchas gracias por este especial duelo con tantas matemáticas citadas de manera ‘tan sutil’. Noemí ha recibido un ejemplar de Las emocionantes aventuras de Lovelace y Babbage de Sydney Padua, que próximamente reseñaremos en DivulgaMAT. Muchísimas gracias a todas y todos los participantes, ojalá pudiéramos dar premios a todas y todos. ¡Hasta el próximo concurso!

Lunes, 26 de Septiembre de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico