361. 145. (Enero 2017) SOLUCIÓN CONCURSO NAVIDEÑO: Aprender matemáticas por arte de magia

Antes de entrar en el tema de este mes, vamos a hacernos eco de la numerología -matemática, no esotérica- que tradicionalmente se despliega por estas fechas en relación al número 2017. Lo primero que destacamos es que se trata de un número primo, han pasado seis años desde el anterior número primo -curiosamente 2011 = 2017 + (2 - 0 - 1 - 7)-, y pasarán otros diez hasta el siguiente -siendo 2027 = 2017 + (2 + 0 + 1 + 7)-. También es un número primo la suma de todos los números primos impares hasta el 2017. Por otra parte, si redondeamos el producto de 2017 por π al entero más próximo, también resulta un número primo. De hecho, esta propiedad vale también cambiando π por el número e. También se puede encontrar la secuencia 2017 en las expresiones decimales de π y de e: empiezan en las posiciones 8897 y 8323, respectivamente. Estos últimos números también están muy relacionados ya que 8323=7x29x41 y 8897=7x31x41. Con un poco de imaginación, seguro que encontramos la excusa perfecta para convencernos de este año será fantástico. Pero volvamos al concurso planteado en la entrega anterior. Se trataba de explicar el funcionamiento del siguiente juego. Con la baraja en la mano, caras hacia arriba, reparte sobre la mesa varios montones de cartas, de la siguiente forma: pela la primera carta y fíjate en su valor (en lo sucesivo, las figuras cuentan como 10); empieza una cuenta mental con el valor de dicha carta; sigue pelando cartas, formando un paquete en la otra mano (dejando cada carta sobre la anterior), y siguiendo la cuenta mental, hasta que hayas pasado tantas cartas como sea necesario para llegar a doce. Un ejemplo: si la carta de cara es un siete, pásala a la otra mano empezando la cuenta por siete; al pasar la siguiente carta, cuenta "ocho"; pasa otra más contando "nueve"; otra más a la cuenta de "diez", una más a la cuenta de "once" y la última para llegar a "doce". Deja sobre la mesa, caras hacia abajo, el montón de cartas que has formado. Repite el proceso hasta dejar en la mesa un grupo de más de seis montones. No hace falta utilizar todas las cartas pero sí la mayoría de ellas. Selecciona ahora cuatro de dichos montones volviendo cara arriba la carta superior de cada montón elegido. Retira los montones no elegidos y forma un paquete con todos ellos y con las cartas no utilizadas anteriormente. Suma los valores de las cuatro cartas giradas (recuerda que las figuras valen 10) y cuenta también el número de cartas que forman el paquete desechado. ¿Coinciden ambos valores? Las cartas lo sabían. Después de unas sencillas operaciones aritméticas, es fácil encontrar la respuesta. Digamos que los valores de las cartas que se han girado cara arriba son A, B, C y D. La forma de hacer los paquetes hace que, en la mesa, haya un total de 13 - A + 13 - B + 13 - C + 13 - D = 52 - (A + B + C + D) cartas. Como la baraja tiene 52 cartas, en la mano deben quedar exactamente A + B + C + D cartas, que es la suma de los valores de las cartas que están cara arriba. Para adaptar el juego a la baraja española, utilizando también cuatro montones, basta sustituir el valor 52 por 40. Esto nos conduce a la fórmula análoga 10 - A + 10 - B + 10 - C + 10 - D = 40 - (A + B + C + D) y nos permite concluir que los montones se formarán contando desde el valor de la primera carta hasta llegar a nueve. En general, basta que el tamaño de la baraja sea múltiplo de cuatro para que sea posible el juego con las características dadas. Esta es la clave para responder la siguiente cuestión: "el número de montones a elegir debe ser divisor del número de cartas." Con la baraja francesa sólo quedan tres opciones: dos, trece o 26 montones; todas son muy poco prácticas. Con la baraja española tenemos muchas posibilidades pues los divisores de 40 son 2, 4, 5, 8, 10 y 20. El único caso factible es el de hacer cinco montones pero estos tendrán como máximo siete cartas y hay muchas cartas que no serían válidas. ¡Quién sabe si el creador del juego hizo el estudio previo para llegar a la misma conclusión: lo mejor es usar cuatro montones! Hemos recibido varias respuestas con explicaciones detalladas y correctas, como las de Montserrat Bruguera, Roberto Camponovo, Enrique Farré, Rubén Navarro, Daniel Sadornil y Juan Simón. Entre ellos sortearemos dos premios, cortesía de Divulgamat. Agradecemos a todos ellos -y a quienes les ha faltado el paso final de enviar su respuesta- su interés y dedicación. Comentarios finales. El principio matemático del juego que hemos analizado se remonta mucho tiempo atrás. Distintas versiones se pueden encontrar publicadas a lo largo del siglo XX: en el primer tomo de la enciclopedia "Tarbell course in magic", escrito por Harlan Tarbell en 1927, encontramos el juego titulado "Royal card discovery"; en la "Encyclopedia of card tricks", escrito por Jean Hugard y Glenn Gravatt en 1937, se describe el juego "Coincidence extraordinary", el cual describimos en este rincón hace muchos años bajo el título "A ciegas"; el juego titulado "Affinities" aparece en el segundo volumen del libro "The Vernon Chronicles", escrito por Stephen Minch en 1988. Pero muchos otros magos han adaptado el principio para construir otros juegos similares, lo que da una idea de su interés. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Martes, 10 de Enero de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

362. 116. Año nuevo, libro nuevo

Continúa creciendo la bibliografía que difunde las matemáticas a partir de un marco cinematográfico. Nos damos un paseo por sus contenidos indicando lo que más nos ha gustado y algunas cosillas (pocas) matizables. Apenas transcurrido un año de la publicación de Aventuras Matemáticas en el Cine (Editorial Guadalmazán, octubre 2015), José María Sorando nos propone una nueva entrega enmarcada en esos dos campos tan apreciados por los lectores de esta sección, el cine y las matemáticas. En esta ocasión, se nos indica en el prólogo que el leitmotiv son algunos Desastres Matemáticos en el Cine, entendidos en un amplio sentido, tanto que el título final es Resolviendo Problemas, que a la postre constituirá el deseo del autor sobre lo que debería ser el objetivo del estudio de esta disciplina. Hasta llegar ahí, recorremos un camino jalonado por diferentes etapas, entre ellas la de los múltiples gazapos matemáticos que localizamos en las películas (aspecto no exclusivo de ellas; el propio autor nos obsequia cada cierto tiempo en su página web con sugerentes fotografías tomadas de la vida real en las que puede comprobarse como desgraciadamente convivimos con esos gazapos sin pudor alguno en supermercados, anuncios publicitarios, radio, televisión, etc. Y tampoco esto es exclusivo de las matemáticas: faltas de ortografía, tergiversación del lenguaje con intereses varios, barbaridades históricas, un sinfín de disparates para los que, a diferencia de los científicos o matemáticos, éstos son más denunciados y difundidos). Uno de los beneficios de un texto como éste, además por supuesto, del placer de su lectura (amena y divertida, con no pocos toques sarcásticos y/o humorísticos), es que el lector se plantee y reflexione, al menos en algún momento de su existencia, sobre el anumerismo personal y social, y trate de activar su vena crítica en situaciones similares a las descritas (objetivo compartido con la mayoría de libros de divulgación matemática publicados y por publicar, pero no por reincidentes menos necesarios, habida cuenta del mucho camino aún por recorrer). También aborda el tema de las ficciones seudocientíficas que tanta confusión generan en la gente y del que se alimentan los cuatro listillos de turno (¡¡si sólo fueran cuatro!!), y que tantos asumen como reales cuando la mayor parte no fueron más que divertimentos que se plantearon como evasión, para pasar un rato. Debemos advertir al lector de estas líneas que esta reseña no es todo lo objetiva que debería ser. La razón no es otra que la dedicación del que esto escribe a este mismo tema, lo que conlleva la lectura y el análisis de todas las publicaciones y reseñas en páginas web que caen por sus manos (podéis constatarlo en artículos previos de esta misma sección), que son muchas, que van apareciendo. Esto hace que estemos al tanto de cada nueva película, cada nuevo comentario que suscitan, y a su vez que muchas cosas nos resulten ya tratadas anteriormente. Esa sensación no la van a tener los que se acerquen al libro sin todo ese bagaje, encontrando por ello quizá desmesurado algún comentario que pueda hacerse en lo que sigue, aunque conscientes de ello, hemos tratado de mitigarlo lo más posible. En todo caso, todo lo que se expone, siendo subjetivo, trata de ser razonado, y siempre con ánimo constructivo y desde un profundo cariño y camaradería que creemos que existe entre los cuatro o cinco compañeros que nos hemos “especializado” de algún modo en utilizar esta relación entre el cine y las matemáticas para un objetivo común y compartido: mostrar las matemáticas desde otras ópticas diferentes a las tradicionales, e intentar que los lectores las aprecien como merecen. En cualquier caso, el libro nos presenta las suficientes referencias no consignadas en ningún otro lugar como para que resulte de interés para todos. No detallaremos cuáles son unas y otras a fin de que el lector se sienta “con ganas de más” al finalizar la lectura y se acerque al resto de referencias, muchas de ellas consignadas con detalle en la bibliografía del libro. Una característica que el autor ha tratado de mantener a lo largo de sus páginas es su sencillez: que nadie tema el tratamiento matemático, de un nivel asequible para todo el mundo (por supuesto que este calificativo es asimismo subjetivo, pero lo cierto es que nadie que haya superado la ESO debería tener dificultad alguna para seguir las explicaciones del texto, por muy olvidadas que crea tener las matemáticas). No en vano, su autor conoce de primera mano, dada su experiencia docente, cómo introducir y describir los conceptos y en qué lugares pueden “cojear” los potenciales lectores, poniendo ahí el énfasis preciso. Se puede decir que se trata de un libro con más matemáticas sugeridas que explícitas. Pero un libro de divulgación se nutre inevitablemente de algo más para que su lectura atraiga. Ese plus nos lo aportan las referencias culturales que rodean a las películas tratadas: curiosidades; relación con el arte, la pintura, la literatura, etc., con otras producciones cinematográficas; apuntes de tipo histórico y detalles biográficos de cineastas, matemáticos, científicos, etc. Por ponerle, muy forzadamente, algún pero, quizá éste se encuentre en la parte cinematográfica en la que en algunos momentos uno recuerda títulos o datos que pueden completar la información, pero nadie dijo que el objetivo fuera hacer un repaso exhaustivo de éste o aquél tema, además de que son las matemáticas, no el cine, el vehículo que marca el recorrido, por no mencionar el incremento del número de páginas que, sin duda, conllevaría lo que pudiera provocar disminuir el atractivo del libro. Así pues, se opta por una selección personal de las referencias de tipo cinematográfico, bien justificada, por cierto. La bibliografía por capítulos resulta, como ya se ha dicho, adecuada y bien detallada, tanto en las referencias matemáticas como en las de las películas, indicando en aquellas que lo permiten, las direcciones electrónicas de los artículos y/o trabajos que han servido como documentación, lo que es muy de agradecer para que el lector que desee ampliar algún aspecto pueda recurrir a esas fuentes. Es de justicia también, como hace el autor en éste y el anterior volumen, reconocer el trabajo de nuestro compañero Ángel Requena (responsable de la sugerente sección Instantáneas Matemáticas en este mismo portal, DivulgaMAT) por su labor de revisión y aporte de sugerencias, tan laboriosa como perspicaz. En este enlace puede consultarse la ficha del libro y una breve introducción del autor; en este otro, el índice detallado. Vayamos a continuación capítulo a capítulo describiendo brevemente los tópicos contemplados de un modo sintético. Cuestión de tamaños.- Dos son los grandes protagonistas de este capítulo: King Kong y Gulliver. Se aborda y deja clara la imposibilidad de la existencia de seres de estas características y otros primos-hermanos (Godzilla y otros monstruos, hombres menguantes y mujeres de 50 pies) del cine. La herramienta fundamental será la ley cuadrado-cúbica de Galileo con la que se aplican resultados de semejanza y proporciones. No es un tema novedoso, de hecho, se ha tratado en diferentes artículos (que se citan y comentan en la bibliografía, insistimos), pero como ya se indicó anteriormente, nunca está de más recopilarlos y comentarlos desde una perspectiva más personal, ya que para muchos seguramente sean novedosos. Vampiros y estafas exponenciales.- Se aborda el tema de si es posible la desaparición de la humanidad, ya sea mediante una amenaza vampírica, o de zombies, dos de las que el cine ha venido proponiendo prácticamente desde sus inicios. Empezando por este último caso, a raíz del comentario de Soy Leyenda, echamos en falta las dos referencias previas (bastante mejores desde un punto de vista cinematográfico, para mi gusto: El último hombre sobre la Tierra (1964) y El último hombre vivo (1971), si bien en efecto es la consignada la que suministra más datos numéricos para poder comentar). En cuanto a los vampiros, se recuerdan los razonamientos que hacen imposible su existencia tal y como se han descrito tradicionalmente en literatura y cine (célebre artículo de Efthimiou y Gandhi) en base al inevitable crecimiento exponencial. Pero los explotadores de mitos no se rinden a seguir haciendo caja, así que han venido transformando las costumbres y evoluciones de estos seres para que haya que idear a su vez otros argumentos de su inverosimilitud. Algunos de ellos también se comentan. A pesar de ser la función exponencial una de las funciones elementales que más atención se presta en los estudios básicos, tampoco dejan de aparecer periódicamente estafas de tipo piramidal. Con ellas finaliza con gran acierto, y yo creo que interés, este capítulo (la analogía vampírico-piramidal es de lo más adecuada). La única matización que haría volvería a ser respecto a un comentario de cine. Se dice que “en las películas de Hollywood, aunque se recree el encanto de los canallas, existe la norma no escrita de que al final debe hacerse justicia”. Esa conclusión, siendo cierta en un alto porcentaje de casos (épocas de caza de brujas, cine  comercial actual políticamente correcto), no siempre ha sido (años setenta, por ejemplo) ni es así (cine actual de autor y/o cine independiente). Páginas atrás se dice que las matemáticas nos muestran que hay problemas sin solución, o con infinitas. Yo añadiría además que cuando se trata de situaciones reales, como esto de la norma no escrita, hay tantas variables a considerar que podemos caer en la extrapolación, por lo que la generalización no suele ser buena consejera (en las declaraciones de personajes públicos lo vemos diariamente). Afortunadamente otras filmografías muestran argumentos más realistas (incluyendo la española, que a mucha gente no gusta, quizá entre otras cosas por no predominar esos finales felices, salvo en comedias, y por concebirse el cine por parte de muchos espectadores únicamente como evasión). En cuanto a las matemáticas, además de lo ya comentado se alude a la interpolación polinómica, los logaritmos y los números vampiros. Atrapa el gazapo.- El capítulo más extenso, que recopila muchas de las erratas (desde perdonables equivocaciones a auténticos disparates) que el autor ha ido publicando en sus reseñas en la revista SUMA, junto a otras de diferente procedencia y algunas nuevas. Los clasifica en distintas categorías: disparates, gazapos voluntarios, gazapos aparentes, pi-fias (ya sabéis que en Pi está todo lo publicado y publicable, teoría que también comenta; por dar una condición suficiente, este apartado podría demostrar también que Pi va a aparecer en todo libro sobre cine y matemáticas, no en vano es seguramente la constante más conocida universalmente por lo que guionistas y realizadores van a tender a incluirla allá donde necesiten algo relacionado con las matemáticas, asegurándose de este modo que el público potencial entienda el gag, la referencia o lo que se tercie. Esto garantiza que los que escribimos sobre esto siempre vamos a tener que meter a Pi con alguna nueva película), y dislates varios de la vida real, tomados a pie de calle. Finalmente para no dejar tan mal sabor de boca, se señalan tres momentos en los que los guionistas se han preocupado de hacerlo bien en tres campos matemáticos diferentes: aritmética, combinatoria y geometría. Particularmente me parece muy acertada la digresión acerca de que no se deben identificar matemáticas con aritmética (es confundir una parte, la herramienta, el cálculo aritmético, con el todo), y que el verdadero alma de las matemáticas está en la resolución de problemas. No me resisto a reproducir la frase de Conrad Wolfram que se incluye: Paremos de enseñar a calcular, y empecemos a enseñar matemáticas). El cálculo es necesario, pero no lo único, ni el fin. Es como si estuviéramos todo el curso aprendiendo las reglas del parchís, y al final no jugáramos nunca. Pues eso es lo que hacemos habitualmente con las matemáticas. Sorando expresa su deseo en uno de los párrafos del capítulo en no ser un cazador cazado, es decir, que ninguno de los gazapos expuestos pueda volverse en su contra. Es un deseo loable, pero no sé sabe cómo ni porqué (y yo mismo he sido víctima de tales circunstancias; por más que se lea, se relea y se repase algo mil veces), siempre se escapa alguna errata, parece algo incontrolable. Unas páginas atrás, el autor dedica comentarios algo duros a propósito de El Mejor (The Greatest, 2009): “Esta ocurrencia es realmente patética y tiene un sitio destacado en una antología de disparates matemáticos del cine. ¿Será posible que nadie del equipo de rodaje supiese qué es una integral, qué es un logaritmo y cómo su cálculo hoy con la calculadora no dure tres años sino lo que se tarde en teclear las instrucciones?” La ocurrencia es decir (Pierce Brosnan): “Es una de las integrales más difíciles que he solucionado en mi vida; tardé tres años en hacerlo…”, y lo que vemos escrito en el vientre de la embarazada protagonista es 4 log(2+√3) − (2π/3) También en páginas previas, se indica acertadamente que algunos gazapos provienen de la versión doblada, no de la original. Por ello es aconsejable siempre tratar de verificar de dónde proviene el posible fallo. Y en este caso, la frase que el protagonista dice en la versión original es: “This was one of the hardest things already decided. It took me three years to do so. And I was in love for it”. No hay alusión a integral alguna por ninguna parte. El gazapo es por tanto achacable al doblaje al castellano (en el doblaje latino, en la versión estrenada en Hispanoamérica, se ha doblado así: “Esta es una de las ecuaciones más interesantes que he resuelto. Me tomó tres años”. Tampoco es una ecuación, obviamente. Puede verse en YouTube bajo el título No puedo decir adiós). Por otro lado (lo siento, las integrales y las series infinitas siempre me han gustado especialmente; raro que es uno) que una calculadora me proporcione un resultado inmediatamente, sin más que dar una tecla, no es un argumento como para parar de resolverla (puede darte pistas de su resolución, eso sí) hasta no encontrar la forma de hacerlo por uno mismo. Reto: ¿se atreve alguien a indicar un problema o situación donde el resultado sea el valor anterior? Matemáticas en el lado oscuro.- Recopilación de escenas matemático-diabólicas desde tres puntos de vista diferentes, descendiendo de lo general a lo particular: la maldad demoniaca (caso de que exista tal ente), la de los regímenes totalitarios (esa sí, desgraciadamente, existe y no parece estar en peligro de extinción; magnífica reflexión en el libro), y la que han llevado a cabo ciertos individuos (tanto reales como en la ficción cinematográfica; mención de algunos psicópatas matemáticos). Se comenta también una cierta tendencia a demonizar la ciencia por parte de algunos interesados en que siga vigente el oscurantismo y/o la superstición. Aritmética binaria, combinatoria (combinaciones y permutaciones), proposiciones lógicas, método de inducción completa con ejemplo de aplicación (suma de los primeros números naturales), axiomas de Peano, proporción áurea y número phi, son algunos de los tópicos matemáticos que se repasan en este capítulo. Matemáticas contra el crimen.- Las matemáticas también han permitido desarrollar algunas técnicas de investigación policial. El análisis de todo tipo de datos es para ello fundamental, que va desde la información más simple que en ocasiones nos dan las cifras, pasando por la que se extrae de mensajes encriptados que algunos psicópatas proporcionan sin reparo alguno (la criptografía y el análisis de frecuencias tienen mucho que decir, como en el caso del célebre asesino del zodiaco cuya descripción se detalla a partir de una de las dos recientes recreaciones cinematográficas; también se recuerdan algunos precedentes basados más o menos en ese mismo sujeto). Cuando ese análisis es más concienzudo, y se aplican procedimientos estadísticos, aparecen, por ejemplo, los mapas de probabilidad de “zonas calientes”, ampliamente difundidos en la serie Numb3rs, de la que, obviamente, se repasan varios episodios. La explicación va remitida en general a los propios guiones y diálogos. En relación a los casos planteados, se recuerdan casos similares acontecidos en nuestro país, muchas veces anteriores en el tiempo, lo que ratifica el conocido adagio de que la realidad supera la ficción. En este caso, va por delante, y a partir de ahí el trabajo de los matemáticos, analistas y estadísticos trata de hacer más difícil la tarea de los malhechores. Todo ello constituye una magnífica ocasión para recordar desde la más simple aritmética (pero bien aplicada) o el comportamiento de la función exponencial negativa (desintegración radiactiva), a resultados más elaborados como la ley de Bendford, los fractales y el movimiento browniano o el RSA. Ecuaciones Decisivas.- Volviendo a la subjetividad de estas líneas, puedo declarar que este es el capítulo que más me ha gustado. En él se analizan las diferentes intenciones que los cineastas han venido marcando con la inclusión de fórmulas en sus películas, para la mayor parte de los espectadores uno de los símbolos más claros, sino el que más, por el que perciben que hay matemáticas en una escena. Las situaciones elegidas lo son en ámbitos muy diferentes (lo que vuelve a poner de manifiesto aquello de que las matemáticas están en todas partes). Así, la subsistencia de la humanidad puede depender de que los cálculos sean correctos (aunque pueda parecer ciencia ficción, se explica brevemente cómo en la actualidad se han desarrollado modelos matemáticos para casi cualquier cosa, y algunos son realmente útiles), el éxito o fracaso de una película de que se hayan medido bien ciertos parámetros ajenos al marketing publicitario, estimaciones de cómo se van a comportar los mercados financieros o la intención de voto de los ciudadanos, etc. Por supuesto, las pizarras llenas de fórmulas a veces también son de lo más absurdo y surrealista (como lo de intentar dormir a los ciudadanos de una población gracias a la ecuación de segundo grado (no por explicarla, ojo, sino aplicándola en una máquina por la que suspirarían cientos de insomnes), medir la belleza y grandeza de una poesía o describir la fórmula de la felicidad). Muy interesante la historia real de Igor Tamm, y una no menos lucida reflexión sobre cómo algunos se han ido cargando el denominado estado del bienestar por su rácana aplicación de pretendidas fórmulas de austeridad. Y por supuesto no podía faltar la guinda del pastel, la calificada como fórmula más hermosa de las matemáticas por conjugar los principales “actores” de diferentes ramas de esta disciplina. ¡Houston, tenemos un problema!.- Como sugiere el título, se da un repaso a algunos de los más recientes estrenos relacionados con diferentes peripecias espaciales. En ellas se intuyen mucha ciencia y muchas matemáticas pero a nivel teórico, con pocos detalles concretados (el público desea entretenerse, no ver un documental). Pero ahí es donde este tipo de lecturas son de interés, para señalar que hay matemáticas, aunque no se expliciten. Y por eso son tan importantes (imprescindibles, yo diría, pero no quiero que nadie se moleste o vea en ello una exagerada manifestación de prepotencia de los matemáticos, pero la realidad es la que es; traten de vivir sin nada en las que intervengan las matemáticas a ver que pasa). Se describen con detalle las circunstancias en las que las matemáticas están en Marte, comprobando si las cuentas reales corroboran lo indicado en la película; la única pega es que se debería advertir que se lea después de haber visto la película porque en este caso (único en todo el libro), se cuenta todo lo que va a pasar en ella y eso podría echar atrás a los que no la hayan visto más que animarlos a hacerlo. Se vuelve a destacar la importancia de saber aplicar las herramientas matemáticas para resolver problemas, enunciándose algunos de los diferentes procedimientos más habituales para hacerlo. A pesar de ser éste el objetivo de la enseñanza de las matemáticas, choca el escaso éxito que los alumnos suelen tener en esta tarea, y no sólo eso sino la verdadera animadversión hacia ello. Una de las causas podría ser, según el autor, la poca fortuna en el planteamiento de los ejercicios que tradicionalmente se han venido proponiendo en la escuela, puestos de manifiesto en varias escenas. Hay también referencias al grupo Bourbaki y a Piaget y la psicología en correspondencia a cómo el primer grupo organizó la estructura de las matemáticas en sus trabajos, a la regla de Laplace para calcular probabilidades, al concepto de esperanza matemática, al origen del álgebra y su aplicación en situaciones prácticas como las herencias, medidas de terrenos, transacciones comerciales, etc. Para vivir.- Y las matemáticas nos hacen la vida más cómoda y fácil. En lo más primario, para contar. Además superan el estereotipo de frías y calculadoras (puro materialismo, en suma) con que las califican los que no han llegado ni han querido hacer el esfuerzo de profundizar un poco en ellas, mostrándonos algunas situaciones en las que permiten fomentar valores como la libertad (ligada a la abstracción con que el investigador o estudioso se entrega por difíciles que sean las situaciones en las que están inmersos), la igualdad entre personas (amplio apartado sobre la histórica injusticia a la que se ha sometido a las mujeres matemáticas tomando como ejemplo la vida personal y profesional de Sofía Kovalevskaya y Sophie Germain), y la fraternidad (enmarcada en este caso en la historia de Ramanujan y G. H. Hardy y sus trabajos a pesar de las dificultades marcadas por su diferente filosofía, cultura, personalidad, ideales, etc.). En la conclusión final, José María Sorando sintetiza su sentir a lo largo de sus años de docencia respecto a lo que a su juicio debería primar en las aulas por parte del profesorado: la emoción del descubrimiento tratando de apartar un poco la mecanización, la memorización vacía (permítaseme el símil navideño de engordar el pavo hasta cargárnoslo o que lo mande todo a paseo) y potenciar unas matemáticas prácticas que permitan al futuro ciudadano primero no dejarse engañar y ser crítico, y llegando al óptimo, que fuera capaz de apreciar en su justa medida la belleza que esta disciplina encierra más allá de un temario que hay que acabar a toda costa. Ojalá más docentes se subieran a este carro, y ojalá se consiguiera algún avance en este sentido. Un primer paso: leer y disfrutar de lecturas que complementen las “formales” como la de este libro. Alfonso J. Población Sáez

Miércoles, 04 de Enero de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

363. 32. (Enero 2017) Verificando varas sobre piedra

(Vara de Zafra. Plaza Chica) La racionalización decimal de los sistemas de medida es uno de los logros perennes de la Revolución Francesa. La implantación del metro pasó por diversas fases hasta que el 1 de enero de 1840 el Sistema Métrico Decimal se hace oficial y obligatorio en territorio francés. El marino matemático Gabriel Ciscar, liberal fallecido en el exilio, fue una figura de participación relevante desde los primeros tiempos del sistema, si bien España no lo declarará obligatorio hasta el 19 de julio de 1849. Internacionalmente el paso fundamental no se dará hasta la Convención del Metro de 1875 con acuerdo de diecisiete países. Las viejas medidas locales siguieron perviviendo en el medio rural donde todavía es normal su uso cotidiano. En los mercados urbanos lo que nos ha quedado son hermosos restos grabados en piedra que eran utilizados para comprobar la medida vigente en el territorio. Cuando la población o el mercado tenía suficiente entidad había una persona encargada de velar por el uso correcto: el almotacén. Las logias o soportales del mercado son los sitios habituales, cuando no será la iglesia, el ayuntamiento o la alhóndiga. Damos cuenta de ocho poblaciones que conservan sus varas sobre sus sillares. Lo más característico de ellas es su calidad urbana como núcleos tradicionales dignos de visitarse con detenimiento. Visitamos tres de Aragón, dos de Euskadi, dos de Extremadura y una en La Rioja. Las varas de Sos del Rey Católico y Uncastillo La comarca de las Cinco Villas en la provincia de Zaragoza hace como una cuña entre Navarra y Huesca hasta acercarse a los Pirineos desde el Ebro. Dos de las Villas, Sos del Rey Católico y Uncastillo, conservan su sabor tradicional de lugares nobles y casonas de sillares. En ambas encontramos la hendidura en piedra donde el almotacén verificaba la medida de la vara jaquesa. Los arcos interiores de los soportales y pasadizos de sillería siguen siendo testigos de su antigua actividad mercantil. La vara de Sos del Rey Católico se encuentra en uno de los arcos ojivales interiores del pasadizo porticado de la Plaza de la Villa. Entre las dos ojivas queda un hueco donde se colocaba la balanza. (Vara de Sos del Rey Católico. Plaza de la Villa) En Uncastillo la vara está grabada en el arco de medio punto del interior del pasadizo de la Plaza del Mercado. (Vara de Uncastillo. Plaza del Mercado) Vara de Jaca A la derecha de la entrada de la Catedral de Jaca encontramos una de las varas incrustadas en piedra más trabajadas: en lugar de un hueco se ha optado por una simulación tallada de una vara cilíndrica. La portada románica se halla cubierta por un soportal añadido posteriormente y que hace de atrio. El tallado es doble y conserva unos escudos junto a ellos. Las marcas visibles nos indican algunas medidas tradicionales menores como el codo y el pie. Las varas aragonesas son las más cortas de la Península pues no alcanzan los 78 centímetros. (Vara de Jaca. Atrio de la Catedral. Y detalle) Las varas tradicionales de Zafra y Almendral Dos localidades extremeñas muy próximas conservan en granito los moldes de la vara de medir tradicional (aproximadamente 84 centímetros): la villa de Zafra, famosa por sus mercados y ferias y la muy modesta Almendral. La vara de Zafra se encuentra en vertical grabada con cuidado en una de las columnas de la Plaza Chica, en la parte externa del pórtico que la une a la Plaza Grande. Las plazas de Zafra son inolvidables y la Chica es la más entrañable de las dos. (Plaza Chica de Zafra. Vara al fondo) La villa de Almendral se encuentra entre Zafra y Olivenza. La vara de la población se localiza tallada diagonalmente en uno de los grandes sillares esquineros de la Iglesia de San Pedro, la que se encuentra enfrente de las escuelas. El grabado de la piedra es más sencillo que el de Zafra. (Vara de Almendral. Iglesia de San Pedro) La varas de Bergara y Zegama Dos de los pilares de sillería que soportan la arquería del Ayuntamiento de Bergara tienen grabadas las medidas tradicionales: la vara, la doble vara, la teja, el ladrillo y la baldosa. Se trata de los pilares donde se sitúan las bajantes de pluviales (¡qué oportunos!) hasta el punto que la vara de la esquina izquierda está cortada por el tubo. (Vara de Bergara. Ayuntamiento) El Ayuntamiento ejerció como alhóndiga, de ahí que se grabaran las medidas en él, además de ser el edificio público emblemático en una villa de hermosos palacios. Bergara conserva casi intacta su trama urbana: tres calles paralelas, la de arriba, la de abajo y la del medio. Pero antes de recorrer los tres niveles tenemos que fijar nuestra atención en la gran fachada que se encuentra frente del Ayuntamiento, se trata de un edificio importante para la historia de la ciencia: el Real Seminario. Lo que había sido fundación de los jesuitas se transformó en el XVIII en sede de la Real Sociedad Bascongada de Amigos del País, instalándose allí su Laboratorio Químico. (Vara de Zegama. Iglesia de San Martín) A la pequeña localidad de Zegama se accede por una bonita desviación de montaña que parte de la carretera Nacional 1. Tras pasar Alsasua, sentido San Sebastián, nos encontraremos una variante que termina reintegrándose más abajo a la autovía. La Iglesia de San Martín es una magnificente obra de sillería para la población actual, pero la vara grabada en sus muros nos habla de su importante papel como villa de mercado en otros tiempos. La marca de Zegama se limita a una doble línea, sin llegar a ser una hendidura completa: la vara de madera que utilizaban los comerciantes solo se superponía encima, no se podía introducir en el hueco. La vara de medida se encuentra entre dos sillares en la parte de atrás, zona peatonal ajardinada, entre la torre campanario y el primer contrafuerte. Amablemente nos cuentan que allí estaba la zona de juegos, el bolaleku. La vara de Laguardia Laguardia, capital de la Rioja Alavesa, está a un paso de Logroño y rodeada de los viñedos que le dan fama. Situada en lo alto de una colina, se encuentra amurallada y con un núcleo monumental digno de disfrutarse. La recoleta Plaza Mayor muestra al aficionado, las medidas tradicionales marcadas en piedra en la fachada del Viejo Ayuntamiento, edificio con el arco de las carnicerías y hoy convertido en tienda de golosinas. La placa anunciadora está a la izquierda del escaparate y las perforaciones de las varas, en vertical, a nuestra derecha. (Vara de Laguardia.  Ayuntamiento Viejo) Las marcas de Laguardia son variadas: una vara, una media vara, una teja y un ladrillo. Es digno de mención el reloj de la fachada del nuevo ayuntamiento con sus autómatas que funcionan a mediodía.

Lunes, 02 de Enero de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

364. 80. (Enero 2017) Composición algorítmica (IV)

1. Introducción Esta es la última entrega de la serie sobre composición algorítmica. Inicialmente, teníamos planeado que esta entrega versara principalmente sobre música fractal. Tras sopesarlo cuidadosamente y escuchar a unos cuantos amigos músicos, hemos pensado que la música fractal merece una serie por sí misma. En este artículo, en su lugar, describiremos de modo general algunas de las técnicas de composición algorítmica que más lejos han llegado. Es imposible tratarlas todas con detalle, pero daremos sus principales características y proporcionaremos al lector la bibliografía adecuada para que profundice llegado el caso. En la primera entrega [Góm16d] estudiamos qué es un algoritmo. En la segunda entrega [Góm16e] nos centramos en el fenómeno de la composición musical; nuestra aproximación conceptual incluía, como decíamos allí, un gran rango de prácticas. En la tercera entrega [Góm16a] examinamos los algoritmos genéticos con cierto detalle y desarrollamos unos cuantos ejemplos en que se aplicaban esas técnicas a diversos elementos musicales (seguimos en nuestra exposición de esta parte el trabajo de Bruce Jacob [Jac96]). 2. Técnicas matemáticas de composición Aunque es muy difícil caracterizar las técnicas matemáticas de composición en general, por su variedad y riqueza, un rasgo común que se aprecia en todas ellas es la importancia que posee la obtención de modelos computacionales. No puede haber composición algorítmica sin modelos computacionales de la música. Estos modelos se generan observando qué características musicales son susceptibles de ser traducidas a términos computacionales. Hay muchas características musicales que tienen tal susceptibilidad, desde la altura del sonido, que se rige por principios físicos, hasta la duración, que en la misma tradición occidental es divisiva y, por tanto, se puede describir mediante teoría de números; pero también de otras características, en principio más alejadas de una descripción computacional, como puede ser la armonía, la conducción de voces o el timbre, se han descrito modelos computacionales bastante potentes. Véase, para mayor información sobre este tema, el excelente libro de Benson [Ben06] Music: A Mathematical Offering; para ver un ejemplo de cómo Xenakis modeliza los parámetros musicales, véase en esta columna el número de octubre de 2010 [Góm16c]. Los primeros modelos computacionales eran pobres, entre otras razones porque no tuvieron en cuenta la cognición musical, esto es, los fenómenos perceptuales y psicológicos de la escucha musical. Posteriormente, los modelos poco a poco empezaron a incorporar la información sobre los procesos cognitivos y entonces mejoraron sustancialmente; véase [PHG+08] para más información sobre modelos computacionales de la percepción y la cognición. Una vez que el problema del modelo computacional de la música estuvo resuelto, o al menos mínimamente encaminado, frente al compositor se abrieron muchas posibilidades para la composición algorítmica. ¿Qué se puede hacer con esos modelos? ¿Cómo manipularlos de modo que salga música con significado? Dos grandes categorías de técnicas compositivas se pueden reconocer en la composición algorítmica: la composición basada en conocimiento y la composición estocástica. La primera categoría es muy amplia e incluye, por ejemplo, la composición basada en gramáticas o la composición basada en patrones. La segunda no es menos amplia y en ella encontramos la composición mediante algoritmos genéticos, la composición basada en modelos matemáticos (al estilo de Xenakis, por ejemplo) o la composición basada en modelos de Markov. 3. Composición basada en conocimiento Tanto la composición basada en gramáticas como la basada en patrones buscan extraer cierta información esencial de la música para, una vez descrita en términos computacionales, diseñar algoritmos para producir nueva música. En el caso de las gramáticas, sus teóricos ven la música como un lenguaje y como tal tiene una gramática, con su sintaxis, su semántica, su pragmática y sus reglas de estilo. Chomsky, con su teoría generativa del lenguaje [Cho65], mostró cómo era posible formalizar las reglas del lenguaje. Veinte años después de Chomsky, en 1983, Lerdahl y R. Jackendoff [LJ83], formalizaron la música tonal occidental en el libro A Generative Theory of Tonal Music. Estos dos autores mostraron que la música occidental tiene una cierta estructura recursiva y que existen ciertas reglas que permiten una descripción satisfactoria de la música en términos computacionales. Como ejemplo de composición algorítmica basada en gramática tenemos el algoritmo de William Shottstaedt [Sho89] que genera piezas contrapuntística basadas en las reglas de contrapunto del Gradus ad Parnassum establecidas por Johann Joseph Fux (1660–1741), un teórico del Barroco tardío. El algoritmo contiene más de 75 reglas para producir las melodías. Entre esas reglas están la prohibición de las quintas paralelas y de los tritonos en ciertas situaciones. Kemal Ebcioglu [Ebc90] desarrolló un algoritmo que generaba corales a cuatro voces en el estilo de Bach teniendo en cuenta más de 350 reglas. Estos son ejemplos de algoritmos usados para la composición y que están basados en reglas. Véase el artículo Algorithmic composition, a definition [Bur] para más información sobre estas técnicas. En los ejemplos anteriores las gramáticas musicales se extrajeron de modo manual, por mediación humana. Sin embargo, el gran reto es llegar a un modelo computacional en que la intervención humana no sea necesaria y que los resultados sean de calidad. Con el avance de las técnicas de aprendizaje automático, basadas a su vez en técnicas estadísticas de gran potencia, la caracterización automática de las gramáticas musicales fue posible. Gillick, Keller y Tang presentaron en 2010 [GKT10] un sistema de aprendizaje automático de gramáticas de jazz llamado Impro-Visor (es un programa de libre distribución). Empezaron escogiendo un autor concreto y un corpus de sus solos transcritos por expertos. A partir de él y usando cadenas de Markov y técnicas de aprendizaje automático generaban solos en el estilo del autor. La primera dificultad estriba en la representación de la gramática. El algoritmo busca patrones rítmicos y melódicos y a partir de ellos crea cadenas de Markov; para más información sobre este proceso en concreto, véase el artículo del mes de mayo de 2016 escrito por Kristy Yun y Mariana Montiel [JM16] en esta misma columna. En la figura 1 vemos el grafo asociado a una cadena de Markov para unos ciertos estados. Obsérvese que la suma de los pesos de las aristas de salida de cualquier nodo es 1, como corresponde a una distribución de probabilidad. Figura 1: Cadenas de Markov para el aprendizaje automático de gramáticas musicales (figura tomada de  [GKT10]) Los autores describen el proceso de generación de la gramática como sigue: Descomponer el corpus en fragmentos melódicos, típicamente de un compás aproximadamente. Traducir cada fragmento en una melodía abstracta. Esta melodía está compuesta por los contornos melódicos, categorías de notas, duraciones y otras características. Ejecutar un algoritmo de agrupamiento en las melodías abstractas. La salida del algoritmo dará grupos, que normalmente tendrán unas diez melodías en media. Comparar los grupos con el corpus para determinar el orden en que aparecen los grupos en el corpus. Extraer los n-gramas de los grupos, donde n típicamente varía entre 2 y 4. Este parámetro lo ajusta el usuario. Véase la columna [Góm16b] para mayor información sobre el uso de los n-gramas en música. Los autores dieron a un grupo de expertos los resultados para que evaluasen la calidad de los solos. Para solos de entre 4 y 8 compases, el algoritmo es capaz de generar solos la mayor parte de las veces que suenan razonablemente bien como el autor del corpus. Solos más largos de 8 compases ya no suenan bien, sobre todo por la falta de finalidad melódica. Los resultados mejores se obtienen para 4-gramas, que permiten sacar solos convincentes de mayor longitud. Los solos que se generan con n-gramas con n ≥ 5 no se parecen a los del autor del corpus. Los solos con 2-gramas o 3-gramas no dan resultados coherentes de modo regular. El otro enfoque dentro de los métodos de composición basados en conocimiento es el de patrones. En el contexto de la improvisación, que sin duda es una forma de composición, hay dos teorías que tratan de explicar su funcionamiento. Una teoría se basa en la idea, de nuevo, de las gramáticas y sus defensores sostienen que los improvisadores aprenden la gramática del estilo musical dado y luego la ponen en juego en tiempo real; digamos, que sencillamente hablan en el lenguaje que han aprendido. Esa gramática consiste en una serie de reglas sintácticas y estilísticas; el trabajo de Gillick y sus colaboradores es un exponente de este enfoque. La otra teoría mantiene que el improvisador aprende en base a patrones. Tras estudiar el estilo aprende que ciertos patrones son musicalmente idiomáticos y otros no, y en tiempo de improvisación los combina dentro unos límites y bajo una sintaxis. Martin Norgaard y sus colaboradores [NSM13] diseñaron y programaron un algoritmo que obtenía los patrones más importantes de un corpus para un autor dado y creaba una base de datos con ellos. A partir de esa base de datos se construía una cadena de Markov que luego era capaz de generar una improvisación en el estilo del autor. Los resultados de este algoritmo fueron satisfactorios, pero solo incluían el ritmo y la altura del sonido. Defensores de ambas teorías reconocen que lo más probable es que en la práctica la improvisación sea una combinación de ambos enfoques, que se aprendan a la vez la gramática y los patrones característicos; sin embargo, nadie sabe cómo funciona esa combinación. Los avances en inteligencia artificial han hecho también que algunos algoritmos sean capaces de crear sus propias gramáticas musicales a partir de gramáticas aprendidas de un cierto estilo. Algunos algoritmos han producido obras que imitan los estilos de los grandes maestros de la música clásica y cuyos resultados son bastante convincentes; véase el trabajo de Maurer [Mau] para más información. 4. Composición estocástica El pionero indiscutible de composición estocástica en el sentido moderno del término es Xenakis. Antes que él ya había habido intentos de componer aleatoriamente: Mozart tirando los dados para componer melodías o John Cage con su indeterminismo. Xenakis rechaza el indeterminismo de Cage por su falta de un principio causal en la concepción musical. Escuchando Music for piano, de Cage, por ejemplo, donde las alturas del sonido están elegidas en base alas imperfecciones de un papel, Xenakis se preguntaba cuál es el sentido musical y estético de tal elección. El crítico Pousseur [Pou66] apoya esta objeción y añade que “donde se usan las más abstractas construcciones, uno tiene la impresión de encontrarse ante la presencia de las consecuencias de sonidos tocados libre y aleatoriamente”. En el caso de Xenakis, hay que insistir vehementemente en que no usaba el ordenador para producir la música en forma final, sino que se servía del ordenador como ayuda a causa de su rápida capacidad de procesamiento. En Xenakis, el concepto artístico es lo principal y todo lo demás está subordinado a él, incluso los mismos conceptos matemáticos y computacionales; véase su libro Formalized music [Xen01] para una exposición completa de sus ideas musicales y estéticas. En cambio, otros compositores, como Hiller e Isaacson [HI79], delegan en el ordenador la toma de las decisiones creativas. En una columna de Divulgamat [Góm16c] analizamos la obra de Xenakis Pithokrapta, que se puede considerar una representación sonora (una sonificación [vaaat10]) del fenómeno físico de los gases ideales. En esta obra Xenakis aplicó dos principios musicales: primero, el sonido ha de tener total independencia; segundo, la música ha de poseer un significado global, derivado éste de la acumulación de los efectos individuales de las partes. La manera en que Xenakis fundió ambos principios es ingeniosa y original. Acudió a la ley de los grandes números, que enunciamos más abajo. Teorema 4.1 (Ley débil de los grande números.) Sean X1, X2,... una sucesión infinita de variables aleatorias independientes con la misma media μ y varianza σ2, ambas finitas. Sea =  la media muestral de las n primeras variables aleatorias y ϵ > 0 un número real positivo. Entonces se tiene: Este importante y bellísimo teorema nos explica por qué observamos causas macroscópicas como resultado de la acción de múltiples causas pequeñas e independientes. Aquí el significado musical resultante está representado por la media μ común a todas las variables independientes. Xenakis asignó a grupos de cuerda pequeñas voces que actuaban de manera independiente respecto al total, pero que sin embargo generaban un resultado global claro. En la figura de abajo se ve el resultado final de Pithokrapta en forma de partitura gráfica. Figura 2: Grafo de Pithoprakta El problema de la composición estocástica en que el algoritmo toma decisiones estético-musicales es la evaluación final del resultado. En el caso de Xenakis no hay tal delegación de esas decisiones y el resultado es totalmente coherente con su visión estética. Cuando es el algoritmo el que dicta la estética resultante los resultados no son tan convincentes. Discutiremos estas cuestiones en la sección de conclusiones. 5. Conclusiones Por mucho que ensanchemos hasta sus límites el concepto de composición musical, siempre tiene que haber una evaluación musical y estética de esas composiciones. Entonces, la pregunta es: ¿cómo decidimos si una composición que usa algoritmos tiene mérito estético? Algunos autores han considerado que el mérito estético de la composición algorítmica residía en la propia belleza del algoritmo, pero aquí la cuestión es juzgar el mérito estético y no la del algoritmo que la produce. Otros autores mantienen que se debe juzgar ambos aspectos, el algoritmo y su resultado musical. El argumento que se esgrime en contra de la evaluación estética de los algoritmos es que estos son meros medios para conseguir un resultado artístico y que, por tanto, no son susceptibles de juzgar su mérito estético en el contexto musical. En su libro digital Algorithmic composition: a gentle introduction to music composition using common LISP and common music, Simoni [Sim03] (capítulo 2, sección final) hace las siguientes reflexiones sobre la cuestión estética (nuestra traducción): All of these responses to the process and product of algorithmic composition are valid as each view is simply a manifestation of a personal aesthetic. Unfortunately, composers of algorithmic music have not been formally surveyed regarding their views on the aesthetics of algorithmic composition so we do not know how many composers fall into which category at any given time or if there are more categories to consider. In the absence of a formal survey, we let the repertoire of algorithmic composition speak for itself. In reviewing algorithmic processes throughout the twentieth century, the number of compositions that are supported by documented algorithms are dwarfed by those that are not. In fact, when asking composers to provide algorithms accompanied by software implementation for this book, many composers confided that their code is not up to Knuth’s standards of simplicity, elegance, parsimony, and tractability. [Todas las anteriores respuestas (las dadas al principio de estas conclusiones) al proceso y resultado de la composición algorítmica son válidas en cuanto que cada juicio es simplemente la manifestación de una estética personal. Desafortunadamente, los compositores de música algorítmica no han evaluado formalmente sus juicios sobre la estética de la composición algorítmica, de modo que no sabemos cuántos compositores caen en cada categoría en un momento dado o si ni siquiera hay más categorías que considerar. En ausencia de una evaluación formal, dejemos que sea el repertorio de la composición algorítmica el que hable por sí mismo. Revisando las composiciones algorítmicas a lo largo del siglo XX, el número de composiciones que tienen sus algoritmos documentados es nimia comparado con los que no lo tienen. De hecho, cuando se pidió a los compositores que proporcionaran algoritmos acompañados por programas implementados para este libro, muchos revelaron que el código no estaba a la altura de los estándares de Knuth en cuanto simplicidad, elegancia, parsimonia y tratabilidad. ] Otros artistas, incidiendo en el aspecto conceptual del arte, defienden que el criterio estético para juzgar esta música debería ser la calidad poética de la visión del artista. Aquí incluyen elementos como la idea artística y su materialización, la eficacia con que dicha idea se transmite, la superación de los medios tradicionales para comunicar la idea y la originalidad asociada a la idea y/o su materialización. Estos criterios presuponen un gran conocimiento del artista y de su ideal estético, lo cual, desgraciadamente, no ocurre con mucha frecuencia. Como puede apreciar el lector, la cuestión de la evaluación estética de la música algorítmica está más que abierta a discusión.   Bibliografía [Ben06] D. Benson. Music: A Mathematical Offering. Cambridge University Press, 2006. [Bur] Kristine Burns. Algorithmic composition, a definition. http://music.dartmouth.edu/~wowem/hardware/algorithmdefinition.html. [Cho65] N. Chomsky. Aspects of the theory of syntax. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1965. [Ebc90] Kemal Ebcioglu. An expert system for harmonizing chorales in the style of Bach. Journal of Logical Programming, 8:145–185, 1990. [GKT10] J. Gillick, R. M. Keller, y M. Tang, K. Machine learning of jazz grammars. Computer Music Journal, 34:56–66, 2010. [Góm16a] P. Gómez. Composición algorítmica (iii). Consultado en diciembre de 2016. [Góm16b] P. Gómez. Distancia y similitud musical - ii. Consultado en diciembre de 2016. [Góm16c] P. Gómez. Las matemáticas en la música de xenakis - i. Consultado en diciembre de 2016. [Góm16d] P. Gómez. Composición algorítmica (i). Consultado en julio de 2016. [Góm16e] P. Gómez. Composición algorítmica (ii). Consultado en octubre de 2016. [HI79] L. A. Hiller y L. M. E. Knuth Isaacson. Experimental music: Composition with an electronic computer. Greeenwood Publishing Group Inc., 1979. [Jac96] B.L. Jacob. Algorithmic Composition as a Model of Creativity. Organized Sound, 1(3):157–165, 1996. [JM16] Kristy Jun y Mariana Montiel. Cadenas de markov con restricciones aplicadas a modelos cognitivos en la improvisación del jazz. Consultado en diciembre de 2016. [LJ83] F. Lerdahl y R. Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1983. [Mau] John Maurer. A Brief History of Algorithmic Composition. https://ccrma.stanford.edu/~blackrse/algorithm.html. [NSM13] M. Norgaard, J. Spencer, y M. Montiel. Testing cognitive theories by creating a pattern-based probabilistic algorithm for melody and rhythm in jazz improvisation. Psychomusicology, 23:243–254, 2013. [PHG+08] Hendrik Purwins, Perfecto Herrera, Maarten Grachten, Amaury Hazan, Ricard Marxer, y Xavier Serra. Computational models of music perception and cognition i: The perceptual and cognitive processing chain. Physics of Life Reviews, 5(3):151 – 168, 2008. [Pou66] Henry Pousseur. The question of order in the new music. Perspectives in New Music, 1:93–111, 1966. [Sho89] William Shottstaedt. Current directions in computer music research. chapter Automatic Counterpoint, pages 199–214. MIT Press, Cambridge, MA, USA, 1989. [Sim03] Mari Simoni. Algorithmic composition: a gentle introduction to music composition using common LISP and common music. SPO Scholarly Monograph Series. The Scholarly Publishing Office, The University of Michigan, University Library, Ann Arbor, Michigan, 2003. https://quod.lib.umich.edu/s/spobooks/bbv9810.0001.001/1:1/--algorithmic-composition-a-gentle-introduction-to-music?rgn=div1;view=fulltext. [vaaat10] Varios autores asociados a International Community for Auditory Display. Sonification report: Status of the field and research agenda. http://www.icad.org/websiteV2.0/References/nsf.html, accedido en septiembre de 2010. [Xen01] Iannis Xenakis. Formalized Music: Thought and Mathematics in Composition. Number 6 in Harmonologia. Pendragon Press, Hillsdale, NY, 2001.

Lunes, 02 de Enero de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

365. 112. (Diciembre 2016) Infinitos monos, de José Manuel Gallardo

La editorial presenta este poemario del siguiente modo: Infinitos monos es un poemario sobre la comunicación y sus (im)posibilidades: «Las palabras que forman el poema,/ estas palabras, sacadas de contexto / en cualquier otro lugar podrían salvar vidas / quizá, o condenarlas.», pero también una visión sobre la vida como viaje, sobre la importancia de la mirada sobre los otros y sobre nosotros mismos. Era inevitable, por lo tanto, que en este poemario del autor madrileño hiciera acto de presencia una reflexión sobre el amor, incursión en la que alcanza gran profundidad, sirviéndose para ello de versos tranquilos y doblemente libres: libres por su composición técnica y libres por el espíritu que los insufla vida. El Desvelo El libro comienza con un poema titulado Infinitos monos –acompañado de cuatro variaciones–: se trata de un preámbulo en el que Gallardo deja claro que, en número, las posibilidades de comunicación –combinando palabras– son inconcebibles, aunque no infinitas. Explica de este modo la esencia del teorema del mono infinito, y los objetivos del poemario. Destacamos una de estas variaciones, que también sirve de contraportada al libro: Variación III El teorema de los infinitos monos de Borel-Cantelli enuncia esta posibilidad: si un infinito número de monos mecanografiaran por un intervalo infinito de tiempo podrían escribir cualquier texto posible. Todo lo que incluye este poema. Todas las palabras que alguna vez me has dicho. Efectivamente, el teorema del mono infinito es un caso particular del lema de Borel-Cantelli de la teoría de la probabilidad: con suficiente tiempo –tiempo infinito– un chimpancé tecleando al azar sobre una máquina de escribir podría redactar cualquier texto, por ejemplo, El Quijote. Tras este prólogo, el poemario prosigue en tres partes: Elementos de la comunicación, una reflexión sobre la comunicación, con algún guiño a la química, al caos, al determinismo o a la lógica. Aparecen ideas sobre las palabras, sobre lo que se dice y no se dice, sobre lo grande y lo pequeño,… En el camino incluye poemas en los que se habla de la vida como un viaje: la familia, el desarraigo, la soledad,… Escápate conmigo concluye el poemario hablando de amor y desamor. El autor incluye algunas referencias a las matemáticas –teoría del caos, teoría de cuerdas, procesos estocásticos, etc.–, la física –principio de incertidumbre  de Heisenberg, el gato de Schrödinger, difracción, etc.– o la química –por ejemplo, uno de los poemas se titula Alótropos de carbón e incluye una ‘pequeña lección’ de química del carbono–. La vida, el amor y desamor, lo dicho y lo callado, todo cabe en este poemario… ¿quizás obra de  muchos monos tecleando desde hace mucho, mucho tiempo?

Miércoles, 21 de Diciembre de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

366. 115. Hace ya medio siglo

Recordamos una película de culto, rodada en España, y con más matemáticas (y otras cosas) de las que a priori podría pensarse. El pasado mes de julio se cumplió el quincuagésimo aniversario del estreno de la película El bueno, el feo y el malo (Il buono, il brutto, il cattivo, Sergio Leone, Italia, 1966), rodada en su mayor parte en tierras españolas.Con tal motivo han tenido lugar varios eventos en los lugares más destacados de dicho rodaje: Salas de los Infantes (Burgos) y Los Albaricoques (Almería). En el primer caso fueron cuatro intensos días en los que hubo conferencias (espectacular el grupo de personalidades que la Asociación Cultural Sad Hill logró reunir: Sir Christopher Frayling, probablemente el autor internacional mejor conocedor de la obra del director Sergio Leone; el escritor y crítico Carlos Aguilar, autoridad no menos relevante en el tema; Peter J. Hanley, Anita Haas, Ángel García Romero, la hija del diseño de vestuario Carlo Simi, el montador de la película Eugenio Alabiso, figurantes de la zona, entre una larga lista; y aunque no en persona, no faltaron Clint Eastwood, ni Ennio Morricone, aunque fuera de un modo virtual), conciertos, proyecciones, y sobre todo la recuperación como recurso turístico del cementerio de Sad Hill, en el valle de Mirandilla (Sierra de la Demanda, en el término de Santo Domingo de Silos, Burgos), donde tiene lugar el desenlace final del film con el famoso trielo (un duelo con tres pistoleros; algunos autores lo denominan truelo, por analogía a duelo. Yo prefiero trielo, por aquello del prefijo tri-, y porque así lo he visto desde siempre en los títulos de la banda sonora original de Ennio Morricone. En la red se encuentra información con ambas expresiones, y supongo que ambas son válidas: ninguna aparece en la última versión del diccionario de la Real Academia Española de la Lengua). Seguramente muchos conozcan ya que la puesta en escena de este singular enfrentamiento es una de los más celebrados ejemplos de la teoría de juegos en el cine, comentado en numerosos blogs, páginas web, libros sobre cine y matemáticas, etc. (Para mi resulta un recuerdo entrañable ya que constituyó todo un acontecimiento a nivel personal que el diario El País me hiciera una entrevista allá por el 2007 a propósito de esta escena, ya que las charlas que daba entonces siempre las terminaba con los casi diez minutos del trielo desgranando el cruce de miradas de cada personaje y justificándolas desde el punto de vista matemático; por supuesto también tuvo que ver mi nada disimulada devoción por la trilogía del dólar de Leone y el que hubieran sido rodadas tan cerca de mi). Por si hay algún despistado recordamos brevemente la escena, que es el desenlace del film (diez minutos de reflexión matemática ¡¡¡ después de 150 minutos de metraje !!!). La teoría de juegos es una rama de las matemáticas que estudia todo aquello que tenga que ver con las confrontaciones entre entidades, sean éstas personas, empresas, países, etc., y uno de sus objetivos es detectar las estrategias óptimas a llevar a cabo de acuerdo con sus objetivos. Está íntimamente relacionada con el cálculo de probabilidades. De hecho, en el caso que nos ocupa, para entender mejor la resolución de la escena, se suelen asignar probabilidades a cada personaje (por ejemplo, que “el feo” acierte uno de cada tres intentos, “el malo” dos de cada tres y “el bueno” tres de tres, que para eso es el “bueno” y lo interpreta Clint Eastwood, y se supone que, en principio, se efectúa un único disparo; las cuentas se pueden ver con detalle, por ejemplo, en el libro de nuestro compañero José María Sorando Aventuras Matemáticas en el Cine, pp. 140 - 142). La cuestión es a quien debe disparar cada uno, no sólo por sobrevivir, sino por poder acceder a un fabuloso botín escondido en algún lugar del cementerio en el que se encuentran, y que “el bueno”, el único que sabe el verdadero paradero de ese botín, ha dejado escrito en un pedrusco en el centro del círculo. El deleite con el que el director diseña la escena, mostrándonos las expresiones de los rostros en primer plano, nos permite intuir la evolución del pensamiento de cada uno, que “casualmente” coincide con lo que idealmente nos dicen las matemáticas (incluyendo aquello de que lo mejor para el peor tirador sea disparar al aire, aunque en la película eso suceda por otras causas: el que la ha visto sabe a qué me refiero, y el que no, que la vea). Por otro lado, en situaciones reales pueden presentarse circunstancias que escapan del planteamiento inicial, lo cual también está presente en el argumento (mismo comentario del paréntesis anterior). Los más cinéfilos recordarán además que esta estupenda escena ha sido homenajeada, plagiada, imitada, estropeada (cada uno que ponga el adjetivo que desee) en muchas ocasiones por otros realizadores con muy desigual fortuna. (En la imagen, el que esto escribe en el lugar de los hechos tal y como se encuentra en la actualidad; disculpen no tener la prestancia ni el talle de ninguno de los protagonistas, pero es lo que hay). Merece la pena detenerse un momento en el montaje de dicha escena. El cineasta Max Tohline ha realizado un análisis de los 65 planos que la componen (puede verse en https://vimeo.com/86125935), demostrando cómo no hay ni uno solo superfluo, teniendo cada uno su justificación para estar ahí. Y lo curioso es que la estructura general obedece a un patrón matemático. ¿De cuántas maneras distintas pueden tres objetos ser dispuestos? Evidentemente de seis, no hay más que escribirlas, aunque a poco que escarbemos en nuestra memoria escolar, ni siquiera eso hace falta: se trata de una permutación de tres elementos, que se obtiene con la operación factorial de tres, tres por dos por uno, esto es, seis. En el video mencionado vemos desmenuzados esos planos, comprobando que aparecen esas seis disposiciones de los personajes (Bueno – Feo – Malo) sucesivamente, primero en un plano medio (los tres actores se muestran de rodilla hacia arriba), después un plano con la cámara por encima del hombro de cada uno de ellos mostrando a quien mira cada uno marcando las relaciones espaciales entre los personajes, otro plano mostrando sus revólveres, luego un plano de sus rostros, otro de los mismos rostros aún más cerca, lo que hace un total de quince planos. La última permutación aparece iniciando una nueva serie de otros veinticinco planos diferentes de sus rostros en los que se aprecia el problema de la decisión indicado al inicio. Los detalles del número de planos que se lleva cada personaje, así como su disposición en parejas nos lleva a nuevas sorpresas que tratan (y consiguen) definir otras relaciones entre ellos, acompañados de un progresivo aumento en la cadencia de la banda sonora hasta completar esos 65 planos. ¿Estaba pensando matemáticamente el montador? ¿Salió así por casualidad? Es  bastante probable asumir lo segundo, pero lo cierto es que esa estructura está, y que ha permitido componer uno de las más impactantes enfrentamientos de la historia del cine (y así lo confirman todos los expertos, no es pasión del que esto escribe, que también), que no olvidemos aparece después de dos horas y media de metraje, en el que el espectador podría estar un poco cansado, y sin embargo lo mantiene pegado a la butaca y sin sensación de hastío durante nueve minutos y pico más. Por otro lado, en una de las reseñas dedicadas al tradicional concurso del verano de esta sección, 15.- Concurso del verano de 2006, también introduje un problemilla geométrico relacionado con esta película; su solución se encuentra en la reseña siguiente. Pero no es éste únicamente el tema que se pretende traer a colación en esta reseña. Otro de los objetivos de la Asociación Cultural Sad Hill ha sido la recuperación del paraje donde “tuvieron lugar los hechos”, trabajo fatigoso y largo, ya que uno puede imaginarse el estado del lugar cincuenta años después de que, salvo los vecinos de los pueblos cercanos, las vacas y algún que otro excursionista despistado se hayan acercado por allí (se accede por pista forestal pedregosa, bastante empinada y estrecha). Por supuesto poco quedaba del cementerio creado para la ocasión, aunque afortunadamente sí se ha conservado el círculo de piedra (totalmente tapado por la hierba eso sí). Desde posiciones elevadas se aprecia perfectamente la extensión y la forma del decorado original, incluso quedaban algunos montículos dispersos. Se dispone de las escenas filmadas de la película que permiten reproducir algunas de las tumbas más cercanas a los protagonistas, pero ¿cómo reconstruirlo del modo más parecido al original? Alguno puede dar como posible solución algo virtual, generado por el móvil de cada uno, similar al juego del Pokemon Go, pero a los espectadores a la vieja usanza y vaqueros entrados en años nos gustaría algo más real y tangible, la verdad. Y en ello está la citada asociación, que poco a poco va levantando nuevas tumbas apadrinadas por todo aquel que lo desee. En la escena final de la película, la cámara sigue al “bueno” a caballo en una panorámica aérea alejándose cada vez más. En 1966 se trató de filmar desde un helicóptero, (en la fotografía adjunta, Eastwood sujetando a Leone desde el helicóptero) pero tras unas pruebas, la idea se desestimó por la vibración que se producía y transmitía a la cámara. Finalmente se rodó desde un punto fijo en un tortuoso camino que asciende una peña que circunda el valle (exactamente desde donde hice la panorámica de la foto adjunta; el círculo de piedra del trielo se aprecia perfectamente).  A día de hoy cualquier complicación de este estilo es soslayada con un buen CGI (Computer Graphic Image). La mayor parte de las producciones cinematográficas e incluso los anuncios publicitarios recrean paradisíacos paisajes o mundos de otros planetas gracias a la geometría fractal. Los fractales son objetos matemáticos que pretenden simular con mayor realismo que las líneas rectas de la geometría euclidea los objetos y fenómenos de la naturaleza (nubes, costas, montañas, rayos, etc.) en los que estén presentes estructuras fragmentadas (de ahí el nombre de fractal, del latín fractus). Hay diferentes formas de construirlos y generarlos, y algunos de ellos poseen una propiedad característica, la autosemejanza, esto es la repetición exacta de una estructura a diferentes escalas, por muy grande o pequeña que sea. Desde su concepción, son muchos y muy variados los campos en los que se han encontrado aplicación, entre ellos el cine y los efectos especiales, incluyendo el modelado de paisajes. Desde su utilización en Star Trek II: La ira de Khan (Nicholas Meyer, 1982) o El retorno del Jedi (Richard Marquand, 1983), parecía asociarse su utilización a definir lugares imaginarios de ciencia ficción; sin embargo, la mejora en la potencia de los equipos informáticos han permitido la generación de algoritmos de formación más complejos y realistas a una escala más detallada Aunque el proceso de formación inicial sea determinista (responde a una fórmula establecida que siempre devuelve valores que pueden por tanto determinarse con precisión), el algoritmo que diseñemos puede irse modificando en los momentos que queramos de un modo aleatorio (introduciendo una nueva fórmula o un nuevo mecanismo de formación que decidamos), tratando de adecuarse mejor a lo que en realidad sucede en la Naturaleza (no olvidemos, la única que nos provee de ejemplos de aleatoriedad pura). Veamos un ejemplo sencillo. Partimos de cuatro puntos, las esquinas de un cuadrado, por ejemplo. Sobre esta base levantaremos nuestro “paisaje”. Tomamos cuatro valores aleatorios que definan las alturas de cada uno de esos puntos, y elegimos una escala d para cada una de ellas. Dividimos a continuación ese cuadrado en cuatro rectángulos, de los que elegimos nuevamente las esquinas. Esto nos proporciona más puntos sobre los lados del cuadrado inicial, y otros en su interior. Las alturas de los nuevos puntos se deciden, a elección, por dos procedimientos diferentes: Para los “puntos del borde” se calcula la media de las alturas de sus dos esquinas vecinas, y luego añadimos un valor aleatorio, que se escala por un factor relacionado con el d anterior mediante una nueva fórmula; para los puntos del interior, se calcula la media de las cuatro esquinas originales, y luego se añade un valor al azar, escalado como los anteriores, por ejemplo. Se procede a continuación del mismo modo con los cuatro rectángulos (procede el ordenador, por supuesto) el número de veces que queramos, con la precaución de tomar el factor de escala en cada etapa cada vez más pequeño; para aseguramos de que cuanto más cerca observemos el paisaje, los “montículos”' en la superficie sean más pequeños, tal y como sucede en un paisaje real. Concluimos el proceso cuando consideremos que tenemos el suficiente número de puntos. Entonces viene la labor de “maquillado”: los unimos de un modo realista (básicamente no mediante rectas), le añadimos colores, texturas, sombras, etc., y tendremos un paisaje más o menos “real”, como el mostrado en la imagen, realizado con un proceso similar al descrito. Con un poco de imaginación, no es demasiado complicado “perfeccionar” nuestra labor “creacionista”. Afortunadamente, para los más románticos añoradores del cine de siempre, aún nos queda Tarantino que prescindió por completo de los CGI en Los odiosos ocho (The Hateful Eight, 2015), y rodaron literalmente en una nevera (el cobertizo en el que transcurre la mayor parte de la película) para que se apreciara como debe ser el vaho exhalado por los personajes, y en unos paradisíacos paisajes nevados. Volviendo al Simposio del verano, fue un auténtico placer charlar con tantos expertos y testigos de aquel rodaje, más aún comprobando cómo todos eran personas cercanas y amables. Así, hablando, como no, de cine y matemáticas con Sir Christopher Frayling, me comentó una escena relacionada con La muerte tenía un precio. Por supuesto, le comenté, la última, en la que echar cuentas (matemáticas muy elementales, pero matemáticas al fin y al cabo) sobre lo que va a cobrar de recompensa salva la vida al Manco (Clint Eastwood) al percatarse de que falta el cadáver de un forajido. Pero no, para mi sorpresa, Mr. Frayling me indicó otra secuencia diferente en la que la orientación geográfica es crucial en un momento dado. Algún día quizá os lo cuente. Para los que quieran profundizar un poco más en la obra de Sergio Leone, os sugiero dos textos realmente imprescindibles: Algo que ver con la muerte, de Sir Christopher Frayling, y Sergio Leone, de Cátedra, de Carlos Aguilar (la edición original está agotada). Y para acabar: mitómanos o no del cine, acérquense si pueden al valle de Mirandilla y otros enclaves del rodaje de la película. La panorámica no les defraudará, y allí nada es virtual. Alfonso J. Población Sáez

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367. 31. (Diciembre 2016) Edificios renacentistas con entramados matemáticos en la Baja Sajonia

(Casa Eicksche. Einbeck) El Renacimiento trajo consecuencias en la mentalidad y percepción del mundo que en muchos casos se plasmaron en las propias fachadas de los edificios. Casos singulares por su ingenua belleza se encuentran en algunas casonas de los tradicionales entramados de madera de la Baja Sajonia en Alemania. Sucesivas reformas, cuatro siglos de antigüedad y los destructivos bombardeos de 1942-1945 casi reducen a nada un patrimonio de mucho interés: una cultura que se debate entre la ciencia y la superstición, entre lo religioso y lo profano, o entre lo clásico y lo moderno. Mostramos cuatro edificios que reflejan una forma de entender el mundo. Se mezclan las alegorías de las Artes Liberales (bellas alegorías matemáticas de la Aritmética, la Geometría, La Astronomía o la Lógica) con representaciones de las Musas, los profanos Dioses Astrales, las Virtudes y los Evangelistas o Santos. (Geometría, Casa Eicksche. Einbeck) La preponderancia del siete se pone de manifiesto reduciendo a esa cantidad las Artes, los Planetas, las Virtudes o los Metales, incluso asociándolos. Casa Eicksche en Einbeck El gran resurgir del comercio de finales de la Edad Media tuvo su manifestación nórdica en la Liga Hanseática. Dentro de dicha Liga, Einbeck era la ciudad de la cerveza. Las puertas arqueadas que caracterizan los edificios tradicionales de entramados de madera (fachwerkhaus, en alemán) permitían meter y sacar las calderas de cerveza. Cercana a Gotinga, Einbeck es hoy una bella ciudad provinciana que ha conservado muchos de sus edificios de deliciosos entramados multicolores, entre ellos destaca la Casa Eicksche, hoy sede de la Oficina de Turismo. La Casa Eicksche fue construida entre 1612 y 1614 y nos presenta en su fachada todo un programa iconográfico de la cultura renacentista. Las Artes Liberales, las Musas, las Virtudes, los Dioses Astrales, y algunos santos están presentes en ingenuos bajorrelieves de madera y en bulto redondo. Tras la restauración se ha prescindido del colorido para presentar las imágenes más austeras, solo con letras doradas. La sencilla imagen actual contrasta con la multicolor de fotografías anteriores. Las alegorías Aritmética, la Geometría, y la Astronomía se encuentran en la calle lateral. La Geometría con un compás abierto hacía ella se asemeja a las representadas en los platos de Briot. En cambio, la Aritmética exhibe un símbolo más medieval pues trabaja con un ábaco de fichas. La Antigua Escuela Latina de Alfeld En pleno centro de Alemania, en la Baja Sajonia, entre Hannover y Gotinga, se localiza una pequeña población de gran interés. La antigua fábrica de turbinas AEG ha sido declarada Patrimonio de la Humanidad, pero no es en ese impresionante edificio donde fijamos nuestra atención, sino en una vieja y modesta escuela con fachada de entramados de madera que se encuentra detrás de la Iglesia. (Geometría, Escuela Latina. Alfeld) La Antigua Escuela Latina de Alfeld, fundada en 1610, forma parte del Renacimiento tardío, y su diseño iconográfico es una excelente muestra de armonía entre las viejas disciplinas medievales y la nueva ilustración. Las siete Artes Liberales se unirán a los misterios del Renacimiento para decorar la fachada. Johann Valentin Andreae, el matemático y teólogo místico, que inspira el movimiento Rosacruz servirá de referencia para el diseño de la Escuela, hoy transformada en Museo de la ciudad. Las figuras ingenuas de la Geometría con un cuadrante y la Aritmética en pleno proceso de cálculo no pueden faltar. Las Artes Liberales se encuentran a nuestra derecha mirando desde la plaza y están en el segundo nivel. (Escuela Latina. Alfeld) Casa Storre en Hildesheim El Wedekindhaus (también Casa Árabe o Storrehaus) era una casa de entramado de madera de estilo renacentista en el lado sur de la histórica Plaza del Mercado en Hildesheim. La plaza formada por edificios de gran belleza que se complementan y que han sido reconstruidos completamente pues el bombardeo de Hildesheim del 22 de marzo de 1945 destruyó todo el recinto. La casa original fue construida en 1598 por el comerciante Hans Storre como sede de su residencia y su tienda almacén. La iconografía pone de manifiesto que los comerciantes eran punta de lanza de las nuevas ideas y que sabiduría y actividad económica podían estar ligadas. La reconstrucción se realizó en los años ochenta para sede de la Caja de Ahorros y se realizó con gran fidelidad a la primitiva. No disponemos de fotos anteriores con detalle suficiente para apreciar si se ha cambiado en algo la representación. (Casa Storre. Hildesheim) Casa Julius en Helmstedt La residencia de los príncipes obispos de Brunswick-Wolfenbüttel es coherente con la Universidad que fundaron en 1576: el Juleum. La Academia Julia fue la primera universidad protestante del norte de Alemania, Baja Sajonia, y nos enseña una espectacular puerta de filigrana policroma. La universidad de Helmstedt tuvo sus momentos de esplendor desde 1575 hasta 1625, cuando la peste y la guerra de los treinta años diezmaron la población. En los años de esplendor Giordano Bruno dio clase en Helmstedt, y cuando fue decadente universidad provinciana tuvo por alumno a Gauss. La puerta, finales del XVI, diseñada por el propio Duque Julios, destaca por su decoración con las artes liberales: Aritmética con tablilla y Geometría mostrando figuras. Curiosamente los números son todavía romanos. La puerta no es especialmente bella, tiene un aire de pastel, pero el conjunto de la plaza es admirable. (Juleum, Helmstedt) (Geometría, Juleum. Helmstedt) (Casa Julius, Helmstedt) La Casa Julius se encuentra en pleno centro al lado del Ayuntamiento. La iconografía de la planta superior son las Artes Liberales y la de la inferior los escudos de los duques. La inscripción de la flecha en números romanos es 1568, anterior a la Academia Julia. (Geometría, Casa Julios. Helmstedt)

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368. 144. (Diciembre 2016) CONCURSO NAVIDEÑO: Aprender matemáticas por arte de magia

Ambigrama de Scott Kim A lo largo de todos estos años hemos rescatado en este rincón multitud de juegos que se encuentran diseminados en muy diversos lugares, unas veces en la literatura matemática y otras veces en la literatura mágica, algunos muy actuales y otros más clásicos que se han ido heredando de unas generaciones a otras. También hemos dado a conocer grandes personajes que han contribuido al desarrollo de esta disciplina, algunos de ellos familiarizados con las ideas matemáticas que se aplican y otros que han hecho gala de una gran creatividad e ingenio. Puede que en gran medida, puede que en poca, las aportaciones que hemos realizado a través de este rincón han logrado aumentar el número de aficionados a la magia matemática. Tampoco podemos adivinar el grado de implicación de nuestros seguidores y el uso que han hecho de este material. Es posible que algunos se hayan conformado con probar los juegos por sí mismos, o bien que otros se hayan animado a aprenderlos, ensayarlos y probarlos en su entorno. Estos primeros pasos, si los resultados son satisfactorios, suelen animar a más de uno a preparar sesiones de magia matemática para acontecimientos familiares, sociales o, por qué no, académicos. Pero quizá haya quienes han querido profundizar un poco más, han navegado por alguna de tantas referencias que hemos ido diseminando en el camino y han pretendido elaborar un material que pueda desarrollarse en un contexto educativo, bien adaptándolo a los curricula oficiales, bien como material extracurricular en forma de competencias transversales. Esta es la ocasión en que queremos rendir un homenaje a todos los aventureros que han querido detectar esa componente didáctica en la magia. Sabemos que muchos tienen un conocimiento previo de técnicas del ilusionismo y han tenido que aprender nociones pedagógicas así como otros han sabido superar la falta de preparación mágica con su dedicación docente. Sin querer dar una extensa relación de autores que han trabajado en esta dirección (ya citados a lo largo de este rincón), nos limitaremos a indicar algunos trabajos originales y novedosos orientados sobre todo a las aplicaciones didácticas de la magia. Estas son algunas referencias a estudios sobre el tema: Xuxo Ruiz, autor del libro Educando con magia, Narcea (2013). Xuxo Ruiz ha sido galardonado en 2015 con el "Premio al Mérito Educativo" por la Junta de Andalucía, debido a la innovación educativa que supone usar la magia y el Ilusionismo como recurso didáctico. El libro proporciona material muy interesante para, al menos, reenganchar al estudiante en momentos de falta de atención y motivación. Juan Sebastián Barrero, creador del portal Magia matemática. Juanse Barrero consiguió en 2013 el XXIX premio "Francisco Giner de los Ríos" otorgado por el MECD a la mejora de la calidad educativa, por su trabajo "Matemagia. Un recurso en el aula". Un resumen de su proyecto se puede leer en el folleto que acompaña a la relación de ganadores. Otro proyecto similar es el desarrollado por el grupo Alquerque, bajo el título Matemagia, preparado para su realización en la IX Feria de la Ciencia en Sevilla (2011). José Muñoz, Taller de magia y matemática, Centro de profesorado y recursos de Oviedo (2010). Pepe Muñoz es autor del libro "Ernesto, el aprendiz de matemago", una obra que también constituye una gran referencia imprescindible por su contenido didáctico. Manuel Maldonado, La magia como recurso educativo en el aula de matemáticas de 1º de ESO. Trabajo fin de master, UIR (2013). Nerea Casas, Metodología para enseñar probabilidad y estadística mediante juegos de magia en matemáticas de 3º de ESO. Trabajo fin de master, UIR (2014). Estos dos trabajos muestran el interés que despierta la magia en su faceta educativa y las posibilidades que tiene a distintos niveles de la enseñanza. María Teresa Pérez, Miguel Ángel Mirás, Carmen Quinteiro y Pedro Alegría, "Competencias transversales a través de la magia". Educación Editora (2016). Este proyecto fue diseñado para evaluar algunas de las competencias transversales del alumnado del primer curso del Grado en Química de la Universidad de Vigo. Fuera de programa, pero tratando de no perder las buenas costumbres, describimos un nuevo juego y proponemos un nuevo concurso navideño. Como es tradicional, para participar debes descubrir el fundamento matemático del juego. Así que busca una baraja y prepárate para descubrir que, hagas lo que hagas, las cartas ya saben lo que va a pasar al final. Con la baraja en la mano, caras hacia arriba, reparte sobre la mesa varios montones de cartas, de la siguiente forma: pela la primera carta y fíjate en su valor (en lo sucesivo, las figuras cuentan como 10); empieza una cuenta mental con el valor de dicha carta; sigue pelando cartas, formando un paquete en la otra mano (dejando cada carta sobre la anterior), y siguiendo la cuenta mental, hasta que hayas pasado tantas cartas como sea necesario para llegar a doce. Un ejemplo: si la carta de cara es un siete, pásala a la otra mano empezando la cuenta por siete; al pasar la siguiente carta, cuenta "ocho"; pasa otra más contando "nueve"; otra más a la cuenta de "diez", una más a la cuenta de "once" y la última para llegar a "doce". Deja sobre la mesa, caras hacia abajo, el montón de cartas que has formado. Repite el proceso hasta dejar en la mesa un grupo de más de seis montones. No hace falta utilizar todas las cartas pero sí la mayoría de ellas. Selecciona ahora cuatro de dichos montones volviendo cara arriba la carta superior de cada montón elegido. Retira los montones no elegidos y forma un paquete con todos ellos y con las cartas no utilizadas anteriormente. Suma los valores de las cuatro cartas giradas (recuerda que las figuras valen 10) y cuenta también el número de cartas que forman el paquete desechado. ¿Coinciden ambos valores? Las cartas lo sabían. Si logras descubrir el secreto, podrás responder a las siguientes preguntas: ¿Se puede adaptar el juego para hacerlo con una baraja española? ¿Se puede hacer el juego eligiendo más de cuatro montones? ¿O menos? Envía tu solución a pedro.alegria@ehu.eus. Entre las respuestas más acertadas y completas, sortearemos el ganador del concurso y le obsequiaremos con un libro de divulgación matemática, cortesía de DivulgaMat. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

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369. 107. (Noviembre 2016) El grafo de "Così Fan Tutte", de Lorenzo da Ponte

En dos anteriores publicaciones en la sección de Teatro y matemáticas – El grafo de "Noche de Reyes" de William Shakespeare y El grafo de "Cabeza cortada", de Iris Murdoch y J.B. Priestley– ya hablamos de un proyecto del matemático Frank Harary, que proponía utilizar la teoría de grafos para comprender y estructurar las relaciones amorosas en algunas obras de teatro. Esta vez realizaremos el mismo estudio en el caso de la obra bufa Così fan tutte ossia La scuola degli amanti –Así hacen todas o La escuela de los amantes– de Wolfgang Amadeus Mozart, con libreto de Lorenzo da Ponte. Così fan tutte sitúa su acción en Nápoles, en el siglo XVIII. Sus personajes principales son: Fiordiligi –dama de Guglielmo–, Dorabella –dama de Ferrando y hermana de Fiordiligi–, Guglielmo –soldado enamorado de Fiordiligi–, Ferrando –soldado enamorado de Dorabella– y Don Alfonso –un viejo filósofo–. Hay tres momentos destacados en la obra: Ferrando y Guglielmo afirman que sus damas les serán eternamente fieles. Sin embargo, Don Alfonso apuesta que, en un día, es capaz de demostrar que se equivocan. Los dos soldados aceptan la apuesta: simularán que deben partir obligados por sus actividades militares, regresando disfrazados, intentando enamorar cada uno de ellos a la amada del otro. Llegan los dos hombres, ya disfrazados, y comienzan su juego de seducción. Dorabella y Fiordiligi piensan que un simple coqueteo es inofensivo. Guglielmo intenta cortejar a Dorabella, que no se resiste mucho. Al principio, Ferrando tiene menos éxito con Fiordiligi, pero ella acaba cayendo en sus brazos. Don Alfonso, ganador de la apuesta, pide a los soldados que perdonen a sus novias porque Così fan tutte. Se finge una doble boda entre las hermanas y sus nuevos novios. Justo al terminar los falsos enlaces, una música militar anuncia el regreso de Ferrando y Guglielmo. Se descubre el engaño y… todo se perdona. En [1] Harary utiliza la teoría de grafos y la teoría del equilibrio de Fritz Heider para analizar la estabilidad de las parejas de esta obra, argumentando del siguiente modo: llamemos M1 y M2 a Ferrando y Guglielmo y F1 y F2 a Dorabella y Fiordiligi, respectivamente. Denominemos además A1 y A2 a Ferrando y Guglielmo disfrazados. Entonces, cada una de las escenas descritas arriba se pueden representar en forma de grafos por –en este caso, la línea continua significa amor y la discontinua la falta de él–: Es decir, las escenas I y III son escenas equilibradas –las dos partes que forman la relación poseen el mismo carácter dinámico– y la II no lo es: este desequilibrio en la segunda etapa ‘del juego’ conduce a un equilibrio final, al tenderse siempre –según la teoría de Fritz Heider– a recuperar la armonía. Este es por lo tanto un buen final para esta obra, aunque no es el único equilibrado.   Referencias [1] Frank Harary, “Cosi fan tutti”. A structural study, Psychological Reports, 13, 466, 1963. [2] Marta Macho Stadler, La teoría de grafos y “Così Fan Tutte”, Cuaderno de Cultura Científica, 11 diciembre 2013

Miércoles, 30 de Noviembre de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

370. 111. (Noviembre 2016) Científicas, de Assumpció Forcada

Assumpció Forcada es bióloga, poeta y cantautora. Traemos a DivulgaMAT su poemario Científicas (La Busca, 2013) en el que dedica algunos versos a la vida y la obra de algunas matemáticas. Científicas es un poemario dedicado a las mujeres de la ciencia, un homenaje a unas mujeres excepcionales. La poeta dedica un poema a cada una, en los que relata su vida, sus descubrimientos, las zancadillas que les pusieron en su camino los más envidiosos o ineptos, y los honores que éstas finalmente alcanzaron. De este modo las rescata del olvido al que las ha relegado la historia oficial por el hecho de ser mujeres. Entre las cuarenta y dos científicas homenajeadas, tres de ellas son matemáticas. De ellas incluimos algunos de sus versos. Hipatia (página 17) … cuando pasabas horas con el astrolabio determinando sus ángulos con el horizontes, cartografiando, navegando por el mundo del pensamiento… Sophie Germain (página 25) En el tiempo de la Revolución, de las luces, eras una niña recluida en casa buscando velas para poder estudiar matemáticas…. Sofia Kovalevskaya (página 33) Conferencias sobre cálculo diferencial empapelaban las paredes de tu habitación, acompañaban tus sueños…

Lunes, 28 de Noviembre de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico