351. 118. Sólo π-enso en π

El próximo 14 de marzo se celebra por primera vez en nuestro país el día de PI, de cierta tradición en países anglosajones. En el cine esta constante es probablemente la más popular. Nos sumamos al evento, añadiendo (o recordando, que la literatura al respecto es vastísima) alguna cosilla al respecto. Aún en la memoria el cortometraje de Manuela Moreno, Pipas (si no lo has visto, disfrútalo en el enlace, y si lo has visto, sigue causando el mismo efecto; lo he vuelto a revisar y me ha seguido encantando), al que dedicamos tiempo atrás una amplia reseña y en el que π era sólo una excusa para mostrarnos otros aspectos de nuestra sociedad. Lo cierto es que esta constante será seguramente la más conocida entre la ciudadanía en general, y eso queda patente en su presencia en libros de divulgación, artículos, y obviamente, en películas y series de televisión. Sin ánimo de ser exhaustivo, recordamos algunas (todas ellas del libro Las matemáticas en el Cine, o de esta misma página; en ese caso se aporta el enlace): Donald en el país de las matemáticas (Hamilton Luske, EE. UU., 1959); Cortina Rasgada (Alfred Hitchcock, EE. UU., 1966); Los chicos del PREU (Pedro Lazaga, España, 1967); Pi, Fe en el Caos (Darren Aronofski, EE. UU., 1998); Nunca me han besado (Raja Gosnell, EE. UU., 1999); Y decirte alguna estupidez, por ejemplo, te quiero (Antonio del Real, España, 1999); Las vírgenes suicidas (Sofia Coppola, EE. UU., 1999); y más… José María Sorando añade además en sus últimos trabajos, Red Planet Mars (Harry Horner, EE. UU., 1952); episodio 4.03 (Nada es perfecto) de la serie Dr. En Alaska (EE. UU., 1993); y un montón más en las páginas 98 a 109 de su último libro, Resolviendo problemas (Guadalmazán, 2016). El caso es que, a pesar de su popularidad, y de que más o menos todo el mundo sabe cosas sobre π, algunos parece que aún no han aprendido mucho. Echemos un vistazo a una popular película de hace muy poquito (gracias a mi compañera y amiga Ana García Lema, por el aporte): Un monstruo viene a verme Ficha Técnica: Título: Un monstruo viene a verme. Título Original: A Monster Calls. Nacionalidad: EE. UU., España, Reino Unido, 2016. Dirección: J.A. Bayona. Guión: Patrick Ness, basada en su propia novela homónima, a su vez basada en una idea de Siobhan Dowd. Fotografía: Oscar Faura, en Color. Montaje: Jaume Martí y Bernat Vilaplana. Música: Fernando Velázquez. Duración: 108 min. Ficha artística: Intérpretes: Lewis MacDougall (Conor), Sigourney Weaver (Abuela), Felicity Jone (Mamá), Toby Kebbell (Papá), Ben Moor (Mr. Clark), James Melville (Harry), Oliver Steer (Sully), Dominic Boyle  (Anton), Jennifer Lim (Miss Kwan), Patrick Taggart (Profesor). Hay al principio de la película una secuencia en la que el joven protagonista, Conor, está en clase. En clase de matemáticas. Oímos al profesor de fondo, decir lo siguiente: Profesor: Tiene dos constantes fundamentales: e, la base del sistema logarítmico natural, es un número, un número que obtenemos al preguntarnos cuál es la función matemática, eso que describe las cosas si el ritmo al que cambian es proporcional a la magnitud. Pues bien, si lo hacemos con una operación matemática, nos dará esa constante fundamental. […] ¿Conor? ¿Estás bien, Conor? Pareces cansado. ¿Descansas lo suficiente? Ante la respuesta afirmativa del joven, que no está para muchas alegrías teniendo a cuestas lo que tiene, el profesor continúa su explicación. Profesor: Pi es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Bien, todo correcto en el doblaje. Pero vamos a la versión original (la película está rodada en inglés). El profesor dice “Pi is the ratio of the circumference, and when you put it…” Igualmente, los subtítulos en inglés. Si lo tradujéramos textualmente sería algo así: “Pi es la proporción de la longitud de la circunferencia, y cuando lo ponemos …” Señores guionistas, para describir una proporción hacen falta dos términos, los que se comparan. Esa frase no tiene sentido. Si vamos a la versión editada en DVD, y nos ponemos los subtítulos en inglés, pone lo mismo, pero en los subtítulos en castellano, el disparate aumenta: “Pi es el radio de la circunferencia, y cuando se pone…”. No, no me he equivocado. Pueden comprobarlo. ¿Cuál es el error a mayores? Sencillo. No sé si ha habido un “responsable” que haya supervisado ese subtítulo, o sencillamente han metido el texto a un traductor automático y luego lo han revisado por encima y de aquella manera. Imagino que alguien lo habrá leído antes de editarlo. Pues bien, a ese “responsable” habría que decirle que “ratio” es relación o proporción. Radio es, en inglés radius. Y aunque no lo supiera, por ser una palabra, digamos, “técnica”, tampoco tiene perdón porque no tiene (tiremos de eufemismo políticamente correcto, porque yo lo calificaría de otra manera) demasiada idea de algo que no es propiamente matemáticas, sino cultura general. Nadie me admitiría, ni a mí ni a nadie, y me parece correcto, que yo escribiera algo como “El Quijote, esa gran obra del magistral Quevedo”, por poner un ejemplo. Pues esto es de ese calibre, aproximadamente. Y mientras los medios de comunicación en general no traten de poner un mínimo de interés en estas cosas, que quizá puedan parecer a algunos insignificantes, nunca las matemáticas, la ciencia en sentido amplio, va a poder constituir una parte fundamental de nuestra cultura (que ni falta que la hace; lo es por derecho propio, pero seguiremos sintiéndonos tan graciosos y reiremos esas gracias a los que sueltan auténticos dislates cada día en tal o cual cadena o periódico). A ver, que no estamos diciendo que hemos confundido el teorema de Weierstrass con el de Rolle, que cualquiera puede entender que eso es algo más específico; que estamos hablando de π, algo tan popular y tan básico, que lo tenemos a nuestro lado constantemente, en cada objeto circular o esférico que veamos a nuestro alrededor (y en más sitios, por supuesto, que ahora no viene al caso).  ¿Entienden por qué el corto de Manuela Moreno es tan adecuado, aún y seguramente lo será por mucho tiempo? Bienvenido por tanto ese día de π, que aunque al principio me pudiera parecer simplemente una traslación de un “divertimento” anglosajón, cosas como ésta hacen que empiece a verle más sentido. ¡Ah, se me olvidaba! Todo ese chorreo hacia el responsable del guion original y de los subtítulos, hay que dárselo, pero al contrario, nuestras felicitaciones, al responsable del doblaje al español. Por una vez, el doblaje mejora la versión original (al menos en su contenido, que por supuesto, nunca será mejor, por buena que sea, que la declamación del actor original), o más bien, dice lo correcto. Practica un poco A lo largo de los siglos, muchos han sido los que han tratado de encontrar la cuadratura del círculo (que no se te pase por la cabeza, porque desde 1882 se sabe que tal circunstancia es imposible; Ferdinand Lindemann demostró la trascendencia de π, lo que implicaba que ese problema, planteado desde la época griega, es irresoluble). Sin embargo, quedan muchas construcciones geométricas, la mayor parte de gran ingenio y belleza, que lo intentaron. Su valor, desde ese 1882, no sólo es una curiosidad, sino que también se puede plantear como un ejercicio exportable a las aulas, para comprobar lo lejos o lo cerca que están del valor exacto de π. O dicho de otro modo, averiguar el grado de precisión de esas aproximaciones a π. Gracias a las nuevas tecnologías, las cuentas no son problema, por mucho que aparezcan expresiones, en ocasiones, un tanto “engorrosas”. Una aproximación muy antigua es la debida al astrónomo chino Tsu Ch’ung-Chih, que vivió hacia el siglo V de nuestra era. Seguramente el lector más avispado se conformará con teclear este nombre en cualquier buscador para averiguar que aproximación obtuvo (que por cierto se mantuvo como mejor aproximación racional más de 900 años), pero lo que te proponemos desde estas páginas es que lo calcules específicamente a partir de la siguiente construcción geométrica que te detallamos paso a paso (puedes utilizar GeoGebra, o lo que te venga en gana, pero este ejercicio se puede resolver fácilmente con apenas un par de cuentas, si sabes aplicar algunos resultados geométricos MUY elementales). De todos modos, trataré de no dejarlo todo masticado: Elige un cuadrado de lado L (puedes emplear un valor concreto, si lo deseas). Lo nombraremos como ABCD. En la imagen puedes comprobar el orden en el que se consideran los vértices. Sea E el punto sobre el lado AD tal que AE = 7⁄8 AD. Considera el punto F sobre el segmento BE de modo que BF = 1⁄2 AB. Toma la perpendicular a AB desde F. Llamaremos G a su intersección con la base del cuadrado. Finalmente, sea H de tal modo que el segmento FH sea paralelo a EG. Cuestiones: A partir de la distancia HB (señalada en rojo), ¿cómo encontrar π? Da su valor en modo racional (no decimal). ¿Qué error se comete al considerar ese valor como π? ¿Cuál sería la siguiente mejor aproximación racional a π? Una aproximación más “reciente”, 1685, es la del jesuita polaco Adam Kochanski (el primero, entre otras cosas, en utilizar un resorte de hierro como péndulo de los relojes y en estandarizar el número de impulsos periódicos de ese péndulo en una hora) Sea un circulo cualquiera de radio OA. Haciendo centro en A, con el mismo radio, se localiza el punto C. Con centro en C, se traza un nuevo círculo del mismo radio que los anteriores círculos para encontrar D sobre la segunda circunferencia. Considera el segmento OD y su intersección con la tangente a la circunferencia original que pase por A. Esto nos proporciona el punto E. Sea F el punto sobre la recta tangente a la circunferencia original que pasa por A que verifica que EF = 3 OA. Cuestiones: ¿Qué relación tiene el segmento BF con π? ¿Cómo de exacta es esta aproximación? He hecho los cálculos y las gráficas con GeoGebra. No es demasiado complicado. Sin embargo, he sido incapaz de hacer lo mismo (esto va para los GeoGebristas expertos) con este otro procedimiento debido al filósofo Thomas Hobbes (sí, el de aquello de que “el hombre es un lobo para el hombre”). Hacia los 67 años se interesó mucho por las matemáticas, y mantuvo agrias disputas con John Wallis porque Hobbes no consideraba lícito utilizar métodos algebraicos a la geometría. Vamos que la geometría analítica para Hobbes era algo así como un anatema. Hobbes realizó una docena de construcciones geométricas para cuadrar el círculo, una de las cuales es la que describo a continuación. La exactitud que me da DERIVE tanto numérica como en modo exacto (sobre todo ésta), no la obtengo con GeoGebra (ya veréis por qué). Se admiten (y espero) sugerencias. Partiendo de un cuadrado ABCD, se dibuja un arco AC (con centro en D), y otro ED, con centro en A. Sea F tal que el arco CF = 1⁄2 CE. Se toma la distancia de F al lado CD, obteniendo G de modo que FG sea igual a esa distancia y paralela al lado BC. Dibuja EG, y pon H = EG ∩ BC. Hobbes aseguraba que la circunferencia contiene al arco CE doce veces, y que CE = CH, de modo que entonces π es aproximadamente 6 CH. ¿Cómo es de buena esa aproximación? En la bibliografía, las referencias de las que provienen estas construcciones gráficas. Bibliografía [1]       Boyer, C. B. Historia de la matemática. Alianza Editorial. Madrid, 1987. [2]       Gardner, M. Nuevos Pasatiempos Matemáticos. Alianza Editorial. Madrid, 1982. [3]       Kline, M. El pensamiento matemático desde la Antigüedad a nuestros días. Alianza Editorial. Madrid, 1992. [4]       Población, A. J. Some approximations to square the circle. The DERIVE Newsletter #22, #23, #24, Austria, 1996. [5]       Steinhaus, H. Instantáneas Matemáticas. Salvat Ediciones. Barcelona, 1989 Alfonso J. Población Sáez

Jueves, 02 de Marzo de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

352. 34. (Marzo 2017) Matemáticas en los studiolos

(Euclides. Palacio Ducal. Urbino) El studiolo es el lugar de trabajo, sosiego y retiro del Príncipe del Renacimiento. La decoración de la pequeña estancia debe ser la adecuada para la meditación y el recogimiento: personajes y alegorías de la filosofía, las artes y las ciencias cubrirán las paredes y techos para servir de ejemplo e inspiración. Las matemáticas o los matemáticos suelen formar parte de la iconografía. Los mejores artistas son buscados para unir sabiduría y goce estético. En una carta a un amigo, Nicolás Maquiavelo (1468-1527) describe así lo que significa el studiolo para un humanista: Cuando llega la noche, vuelvo a casa y voy a mi estudio. En el umbral me quito mis fangosos zapatos, las sudorosas ropas de la jornada, y me pongo las ropas de la corte y el palacio, y con este traje más grave entró los aposentos de los personajes ejemplares antiguos y soy bien recibido por ellos. . . . Entonces me atrevo a conversar y preguntarles los motivos de sus acciones y en su humanidad encuentro respuesta. Y por espacio de cuatro horas me olvido del mundo, de sus vejaciones, del miedo, de la pobreza: No tiemblo más, pues al morir a su mundo he de pasar. De forma similar el ingeniero Filarete (c. 1400-1469) cuenta lo que hay en el  desaparecido studiolo de Piero de Médici: [La estancia de Piero] tiene bustos y retratos de todos los emperadores y hombres nobles que han vivido, hechos en oro y plata, de bronce, joyas, mármol u otros materiales. Son cosas maravillosas de ver. Tal es su dignidad  que sólo con mirar sus retratos se llena su alma de deleite y placer. Uno de los ejemplos de recopilación más notable de personajes ejemplares de la religión, el poder y la sabiduría fue realizada por el humanista Paolo Giovio (1483-1552) que encargó al pintor Cristofano dell'Altissimo innumerables pinturas; sus huellas llenan todavía las galerías de los Uffizi. Vamos a reseñar cuatro notables studiolos con presencia matemática: Belfiore, Urbino, Gubbio y Florencia. (Urania de Belfiore. Ferrara) Leonello de Este (1407-1450) fue el duque que se encargó de hacer de la residencia palaciega de Belfiore (Ferrara) un lugar fastuoso según los criterios renacentistas en la segunda mitad del siglo XV. El studiolo debía ser su lugar de recogimiento e inspiración; la decoración en el caso de Belfiore se basaba en las musas y no la representación de los grandes hombres y las artes liberales como después se hizo habitual. Un incendio en el siglo XVII fue el causante de la dispersión del rico studiolo. Las musas de diversos autores se encuentran repartidas por Londres, Budapest, Berlín, Milán y Ferrara. Urania es la musa de la astronomía y la matemática. La pintura lleva la impronta del taller de Cosmè Tura y se localiza en la Pinacoteca Nacional de Ferrara. La musa tuerce su cabeza como muestra de indagación sobre el universo. Se trata de una figura alegórica que recurre al astrolabio plano en lugar de la esfera armilar habitual: el cosmos es modelado según un orden mecánico, matemático y predecible. El pintor da al astrolabio la inclinación justa para que se perciban sus elementos. (Detalle de la Urania de Belfiore. Ferrara) El studiolo más importante que se conserva parcialmente en su sitio es el de Federico de Montefeltro en el Palacio Ducal de Urbino. Quizá estemos ante la obra cumbre de los studiolos renacentistas. Las pinturas que completan las paredes y las taraceas de Giulano de Majano hacen de esta pequeña estancia un lugar de enorme valor. Las alegorías de las Artes Liberales se representan a través de sus protagonistas: Euclides para la Geometría, Boecio para la Aritmética y Ptolomeo para la Astronomía. Se cometen en ellos los errores habituales de la época: el Euclides de los Elementos no era el de Megara y el astrónomo matemático Ptolomeo no era rey. (Ptolomeo. Museo del Louvre. París) Las pinturas se encuentran repartidas entre Urbino y el Louvre. Los frescos fueron ejecutados por los artistas que trabajaron a fines del XV en la corte del condottiero Federico en Urbino: Piero de la Francesca (el padre de la pintura matemática), y especialmente Justo de Gante y Pedro Berruguete. Las taraceas, llenas de trampantojos, son muestra del virtuosismo alcanzado en el dominio de la perspectiva. La matemática también está presente con instrumentos en los falsos armarios: esfera armilar, astrolabio y la tablilla para calcular. (Studiolo, Urbino) El duque Federico da Montefeltro construyó otro studiolo para su hijo Guidobaldo (1472-1508) en Gubbio. Para la formación matemática del joven se contrató a Fra Luca Pacioli. El esquema era similar al de Urbino: bellas taraceas de perspectivas en la parte inferior y pinturas en la superior, en este caso con las siete Artes Liberales. Las taraceas acabaron en el Metropolitano de Nueva York y de las siete pinturas solo quedan la Música y la Retórica en la Galería Nacional de Londres. No se sabe nada de la Aritmética y la Geometría. La Astronomía estaba en Berlín y desapareció durante la guerra. Una reproducción sin color da idea de su valor. (Astronomía de Gubbio, destruida) Las taraceas se encuentran en perfecto estado en Nueva York y también representan la esfera armilar, un cuadrante astronómico, un compás y una escuadra. El mazzocchio poliédrico era casi un ejercicio de perspectiva. (Studiolo de Gubbio, Nueva York) (Studiolo de Gubbio, Nueva York) Terminamos con el studiolo secreto que Cosme I de Médici encargó a Giorgio Vasari para su estancia en el Palazzo Vecchio. La decoración es acorde con los principios de recogimiento y sabiduría. La estancia se llama también Sala del Tesoretto, destacando por el lujo de sus dorados. La religión está representada por los cuatro evangelistas, pero el resto de los motivos son profanos: la geometría, la astronomía, la música, la filosofía,…El acceso es secreto desde el studiolo de Francisco I, más alquimista que matemático. El fresco de la Geometría está muy deteriorado y apenas se vislumbran dos poliedros, en cambio el de la Astronomía muestra la actividad geométrica en plena acción. Vasari, más que inspirarse, copia sin disimulo la esquina derecha de La Escuela de Atenas de Rafael. El personaje agachado con compás (Euclides) traza sus figuras en presencia de Ptolomeo en un marco clásico que simula la ciudad de Alejandría. La Aritmética no está representada directamente pero el tonel de Diógenes de Sinope, la Filosofía, está orlado de números. La Arquitectura se representa con los símbolos medievales de la Geometría: escuadra y compás. Se resalta la dependencia como el arte depende de la matemática. (Studiolo de Cosme I, Florencia)

Miércoles, 01 de Marzo de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

353. 147. (Marzo 2017) Papel on the rocks

Si has estudiado el juego que presentamos el mes pasado, posiblemente lo has puesto en práctica y has conseguido ganar algunas apuestas. Así que vamos a interesarnos una vez más en las leyes de la probabilidad como medio para obtener ganancias en el juego. El mundo de las apuestas virtuales y del juego por internet parece que se va imponiendo en nuestra sociedad y la esperanza de ganar mucho dinero con poco esfuerzo es muy tentadora entre amplios sectores de la población. Esta atracción facilita mucho las cosas a quien pretenda sacar algún provecho. Las nuevas tecnologías no deben hacernos olvidar los juegos clásicos -pares o nones, tres en raya, piedra, papel o tijera-, aunque no requieran ningún esfuerzo mental por su simplicidad técnica y la falta de estrategias ganadoras. La gran popularidad de estos juegos hace que sean buenos candidatos para idear juegos de magia, incluso de magia matemática. Por tanto, vamos a aprovechar la confluencia de dos situaciones para introducir el tema de este mes. Por una parte, el libro comentado en la entrega anterior, "Magical Mathematics" de Diaconis y Graham, contiene un juego con el tema de piedra-papel-tijera. Por otro lado, acaba de publicarse el libro "Engaños a orejas vistas" del colega y amigo Imanol Ituiño, donde recopila algunas de sus apariciones radiofónicas haciendo magia en el programa Faktoria de Euskadi Irratia. Imanol es también gran aficionado a la magia matemática (disfruta, por ejemplo, con el reportaje que le brindaron en la televisión pública vasca bajo el título "La matemática en manos de los magos") y muchos de los juegos de magia que desvela en su libro tienen alguna componente matemática que permite sustituir en alguna medida las técnicas habituales de la magia "en vivo". El libro pretende también mostrar el poder del lenguaje en la magia, al introducir detalles humorísticos o frases de doble sentido para disimular el verdadero secreto de los juegos. Ya sea por casualidad o gracias a la magia, uno de los juegos presentados en su libro está basado también en el tema piedra-papel-tijera. Aquí no vamos a describir el juego del libro "Engaños a orejas vistas", basado en propiedades de simetría y paridad, pues esperamos que lo disfrutes por ti mismo leyendo el original, sino que daremos una versión simplificada del que aparece en el libro de Diaconis y Graham, según ellos propuesto por el estudiante de Harvard Joe Fendel. Para ello necesitaremos unas tarjetas, o cartulinas, o unas hojas de papel recortadas. Dependiendo de tu habilidad artística, dibujarás imágenes de piedra, papel y tijera en cada tarjeta o, simplemente, escribirás las palabras PIEDRA, PAPEL y TIJERA en dichas tarjetas. Digamos, para no alargar demasiado el juego, que has preparado 21 tarjetas, y has dibujado el símbolo de la piedra en siete de ellas, el símbolo del papel en otras siete y el símbolo de la tijera en las siete restantes. El juego funcionará con cualquier cantidad impar, siempre que haya el mismo número de símbolos. Los más perezosos pueden imprimir en una cartulina la plantilla que hemos preparado haciendo click en la imagen siguiente y recortarla para tener el material necesario. Cuando estés listo, sigue las siguientes instrucciones. Mezcla bien las 21 tarjetas y deja sobre la mesa una de ellas, sin mirarla. El símbolo que contiene será mi jugada ganadora. A continuación, vamos a seleccionar tu jugada ganadora a partir de las reglas del juego, mediante el siguiente proceso. Con las 20 tarjetas restantes, vas a jugar a PIEDRA, PAPEL Y TIJERA, contabilizando el número de veces que gana cada uno de los símbolos. Gira las dos primeras, quédate con la ganadora y retira la perdedora. Ya sabes, si son una piedra y una tijera, gana la piedra; si son una tijera y un papel, gana la tijera; y si son un papel y una piedra, gana el papel. Si los dos símbolos son iguales, es un empate. En este caso, retira las dos tarjetas. Gira ahora las dos tarjetas siguientes, comprueba quién ha ganado y retira la perdedora. Continúa con el mismo proceso girando cada vez dos tarjetas consecutivas y eliminando la perdedora. Una vez terminada la partida, cuenta el número de jugadas que ha ganado cada uno de los tres símbolos. Evidentemente, uno de ellos tendrá distinta paridad que los otros dos: dos de los símbolos ganadores serán pares y el otro impar o dos serán impares y el otro par. Elimina los dos símbolos que tienen la misma paridad pues están empatados entre ellos. Queda ahora un único símbolo ganador: será tu jugada final. Pues bien, vuelve cara arriba la tarjeta que has retirado al principio. Recuerda que era mi jugada ganadora y comprueba que mi jugada gana a la tuya. Si analizas con detenimiento el juego, observarás que el número de posibilidades es muy grande aunque el resultado final es el recién descrito. Esto significa que, en la práctica, no es necesario mezclar las tarjetas: puedes elegir en cada caso las dos tarjetas que se van a enfrentar. Una combinación del principio de paridad y del principio Miraskill hará todo el trabajo por ti. Puedes encontrar una prueba matemática del funcionamiento del juego en el blog "God plays dice". Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Miércoles, 01 de Marzo de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

354. 81. (Febrero 2017) Una recensión subjetiva de libros sobre matemáticas y música

1. Introducción Por circunstancias puramente casuales he recibido en las últimas semanas peticiones de varios lectores preguntando por referencias de libros y artículos sobre matemáticas y música. En vista de ello y para satisfacer su deseo, vamos a dedicar el artículo de este mes a hacer una recensión de algunos libros sobre matemáticas y música. Ya avisamos que, como toda recensión, tendrá un cierto grado de subjetividad y que algunos lectores encontrarán que faltan cierta referencia mientras que otros en cambio pensarán que sobran tal otra referencia. Intentaré cubrir el mayor número de aspectos del campo, lo que no es fácil, y con una profundidad razonable, lo cual sigue sin ser fácil. La lista que viene a continuación cubre desde textos de divulgación hasta textos que se pueden encontrar en cursos avanzados en la universidad. Hemos dividido en tres secciones las referencias. Primero están los libros de divulgación, que pueden leer los lectores interesados en las relaciones entre las matemáticas y la música. Son textos que son esencialmente divulgativos y que con unos mínimos conocimientos en ambos campos son posibles de seguir y disfrutar. La segunda colección de referencias ya son libros más avanzados, tanto en extensión como en profundidad. Algunos son textos universitarios que requieren matemáticas avanzadas y teoría de la música también avanzada. Comentaremos las características más sobresalientes de cada uno. Por último, hay unas pocas referencias de libros avanzados, dirigidos a musicólogos sistemáticos y computacionales, o lectores que tengan un nivel muy alto en ambas disciplinas. 2. Libros de divulgación 2.1. La armonía es numérica Un reciente número de la revista National Geographic consistía en un monográfico de título La armonía es numérica [AM16] redactado por Javier Arbonés y Pablo Milrud. Está deliciosamente escrito y maquetado y está compuesto de cinco capítulos. En el primero los autores explican la teoría de la afinación pitágorica con un sentido exquisito de la exposición. El segundo capítulo es una teoría del ritmo, que revisan desde una perspectiva histórica. Es muy adecuado para aquellos que quieran entender los fundamentos matemáticos del ritmo en la música occidental (que es de carácter esencialmente divisivo frente a otras músicas que son aditivas). El capítulo 3 es una revisión de la fructífera relación que hay entre geometría y composición. Los autores muestran de una manera atractiva cómo se pueden usar transformaciones geométricas para generar variación en el material musical. Se habla, pues, de traslaciones, rotaciones, inversiones y de sus equivalencias musicales. Todo ello está profusamente ilustrado con ejemplos musicales tomados de los grandes compositores, desde Bach a Messian. El cuarto capítulo está dedicado a estudiar la digitalización del sonido; es el capítulo más técnico, más informático si queréis, y es enormemente instructivo. El último capítulo se titula Matemática para componer y versa sobre las matemáticas para la composición y es básicamente una excelente exposición de la teoría dodecafónica. 2.2. The math behind the music Harkleroad escribió un delicioso libro, no demasiado largo, de 130 páginas, titulado The math behind the music [Har06]. El autor toca varios temas, siempre con una prosa cristalina, con abundantes ejemplos musicales y con una férrea voluntad de claridad conceptual. El libro empieza con una defensa de la existencia de la relación entre las matemáticas y la música y termina con un capítulo cuyo título es Cómo no mezclar matemáticas y música, donde previene al lector sobre las relaciones forzadas o triviales entre ambos campos. En el resto de los capítulos Harkleroad estudia varios temas: la altura del sonido, en primer lugar; la teoría de la afinación; las transformaciones matemáticas del material musical (como hacían arriba Arbonés y Milrud); la teoría de grupos aplicada al tañido de campanas; la teoría de la probabilidad; y el estudio de los patrones melódicos. 2.3. La columna de Matemáticas y música de Divulgamat Espero que el lector pueda perdonar a este humilde autor la necesidad de tener que citarse. He puesto todo mi esfuerzo y honestidad por hacer de esta columna una fuente de divulgación para las matemáticas y la música. Como puede ver el lector, en la columna de este mes casi todas las referencias están en inglés. En castellano no parece haber una tradición de estudio de estas dos disciplinas, matemáticas y música, como una unidad. Una de mis preocupaciones con esta columna ha sido la de proporcionar al lector en castellano de material de calidad para adentrarse en esa disciplina. En las columnas de Divulgamat sobre matemáticas y música el lector puede encontrar artículos sobre los siguientes temas: Música y geometría: la serie sobre el teorema del hexacordo [Góm10a], conjuntos de área máxima y armonía [Rap10], modelos geométricos del ritmo [Góm12a] [Góm12b]. Matemáticas y composición: la serie sobre Xenakis [Góm10b], primero compositores automáticos [Góm11a], Minimalismo y matemáticas: Clapping Music [Góm12f]. Modelización matemática de fenómenos musicales: estudio de la síncopa [Góm11d], estudio de la similitud melódica [Góm11c], amalgamas, aksaks y métricas euclídas [SG12], transformaciones rítmicas (binarizaciones y ternarizaciones) [Góm12d]. Estudio matemático de tradiciones musicales: la similitud melódica en el flamenco [Góm11b] y [GGMDB14]. Aplicaciones de las matemáticas en la música y su enseñanza: Estadística en la Musicología [Góm12e], enseñanza de las matemáticas por vía de la música [Góm12c]. Teorías matemáticas y computacionales de la música: teoría generativa de la música [Góm14b], teorías matemáticas de la armonía [Góm14a], fractales en la percusión [Góm15], música y probabilidad [Góm16a], cadenas de Markov e improvisación en el jazz [Góm16b], composición algorítmica [Góm16c]. Cognición musical: Paradojas matemáticas y musicales [Góm14c]. 3. Libros para profundizar 3.1. Music and Mathematics: From Pythagoras to Fractals Nuestro primer libro es Music and Mathematics: From Pythagoras to Fractals [FFW03], editado por John Fauvel, Raymond Flood y Robin Wilson y tienen entre sus autores a primeras plumas como Ian Stewart, por ejemplo, entre otros. El libro está dividido en cuatro partes. La primera se llama música y matemáticas a través de la historia y proporciona una visión sucinta pero suficientemente rica del asunto, todo ello con ilustraciones históricas de calidad. Se centra en dos aspectos principalmente, la afinación y el temperamento, explicados soberbiamente, y la cosmología musical, donde presenta la teoría de Kepler. Figura 1: Music and Mathematics: From Pythagoras to Fractals El segundo capítulo revisa la teoría matemática del sonido (el capítulo se llama las matemáticas del sonido musical). Los autores pasan revista a los principios fundamentales de la producción del sonido en tres excelentes artículos. Quizás el más llamativo es de Ian Stewart, con su estilo divertido e incisivo, heredero directo de Martin Gardner, quien explica por qué no se puede construir un fagot con trastes. El último artículo describe la teoría de la combinación de tonos y consonancia de Helmholtz y está redactado por David Fowler. El tercer capítulo es el estudio de la estructura en música. Empieza con un capítulo sobre la geometría en la música, donde se describen las operaciones geométricas más importantes aplicadas a la música. Se analizan varios pasajes musicales en este contexto. El siguiente capítulo versa sobre el tañido de campanas con cuerdas. Como se sabe, este tipo de toque es altamente susceptible de un estudio combinatorio y la teoría de grupos tiene mucho que decir aquí. El análisis que hacen en el texto es bastante profundo y claro. El tercer capítulo es un recorrido por técnicas matemáticas de composición, donde se hace un especial énfasis en obras de Schoenberg, Boulez y Xenakis. El último capítulo, The composer speaks, tiene más nivel conceptual. Se estudia la relación entre los microtonos y los planos proyectivos y sigue para terminar el libro la composición fractal. 3.2. Music: a Mathematical Offering Music: a Mathematical Offering, escrito por David Benson, es uno de los mejores libros que hay disponibles ahora mismo para adentrarse a un nivel alto en esta disciplina. El libro está tan bien escrito que es posible adaptarlo desde el nivel de bachillerato hasta los últimos años de la carrera de matemáticas. Hay muchas cosas que me gustan de este libro. Como ya he dicho su escritura, en un inglés conciso pero no conceptista; con una clarísima voluntad pedagógica; con una notación matemática mínima y potente a la vez; con una visión del campo profunda y rica; y hasta diría que con un sentido del juego y del humor que hacen que su lectura sea una auténtico placer. El libro está compuesto por nueve capítulos. En el primero Benson estudia las ondas y los armónicos. Me gusta de este capítulo que entra de lleno en los mecanismos de audición humana y esto va a ser muy útil para explicar la percepción musical más tarde. El segundo capítulo se llama teoría de Fourier y es una exposición soberbia en que alterna conceptos matemáticos fuertes (funciones de Bessel, el teorema de Fejer, las convoluciones, los coeficientes cepstrum, entre otras) con implicaciones musicales profundas. Mantiene al mínimo imprescindible las pruebas y los detalles técnicos y se centra con acierto en iluminar las relaciones entre esas matemáticas y la música. Figura 2: Music: a Mathematical Offering El tercer capítulo es una guía matemática de la orquesta. Benson explica con un estilo muy ágil e ilustrativo la física y las matemáticas de los instrumentos de cuerda, los instrumentos de viento y los de percusión. No se limita únicamente a los instrumentos de la tradición occidental y, por ejemplo, estudia la mbira, un tipo de arpa de pulgar de África. En el cuarto capítulo el autor examina la teoría de la consonancia en base a fenómenos psico-acústicos. Incluye explicaciones históricas de la consonancia y, como siempre, puesto en contexto musical. Llega a adentrarse en temas tan apasionantes como los espectros artificiales. El quinto capítulo es uno de nuestros favoritos: las escalas y el temperamento. Y lo es por el estilo con que está escrito y por la profundidad que alcanza. Benson empieza, como era de esperar, con la teoría pitagórica de la afinación y, haciendo un recorrido histórico, pasa por la entonación justa y después por todos los temperamentos posteriores. Justifica muy bien el nacimiento del temperamento igual. En el siguiente capítulo se va a los temperamentos modernos e investiga las escalas de Harry Partch y otras escalas similares, escalas con más de 12 notas o con afinaciones especiales, como las escalas de 31 tonos, las escalas de Wendy Carlos o de Bohlen-Pierce. El capítulo ocho es un exhaustivo estudio de la síntesis del sonido. Incluye todo lo que se debe saber para estar a un básico en este campo, desde envolventes y LFO hasta polinomios de Chebychev. El último capítulo es otro gozo intelectual y emocional. Trata sobre al simetría en música. Benson usa teoría de grupos y aritmética modular para analizar y estudiar todo tipo de ejemplos musicales, desde los patrones en el arpa de Nzara, el tañido de campanas, la modulación por quintas, el dodecafonismo, entre otros. 3.3. Teoría generativa de la música Un libro imprescindible para los lectores con ansia de profundización es A Generative Theory of Tonal Music, de Lerdahl y Jackendoff [LJ83]. Este libro está inspirado a su vez en la teoría generativa de la lingüística de Noam Chomsky. Estos autores se preguntaron si era posible construir una gramática musical que explicase el fenómeno de la escucha musical tal y como había hecho Chomsky con el lenguaje. Figura 3: A Generative Theory of Tonal Music Lerdahl y Jackendoff estudiaron la música desde un punto de vista de la cognición musical (tienen en cuenta muchos principios de esta disciplina) y con un afán de encontrar elementos estructurales en la música (ellos solo estudiaron la música tonal occidental). En la columna de julio de 2014 y siguientes [Góm14b], estudiamos en profundidad este libro. Allí decíamos que estos autores propone una estructura jerárquica compuesta por cuatro partes y que forma la base sobre la cual proporcionarán una descripción estructural de una pieza musical. Esas cuatro jerarquías son: Estructura de agrupación. Expresa la segmentación jerárquica de la pieza en términos de motivos, frases y períodos. Estructura métrica. Expresa los fenómenos métricos, esto es, los relacionados con la alternancia de tiempos fuertes y débiles. Reducción interválica-temporal. Asigna una jerarquía a los tonos de una pieza en función de la estructura de agrupación y métrica. Reducción de prolongación. Más abstracta que las anteriores, asigna a los tonos una jerarquía que expresa la dialéctica tensión-relajación en los aspectos armónicos y melódicos. La lectura de este libro requiere un buen conocimiento del repertorio de la música clásica occidental, pues el libro está trufado por doquier de ejemplos musicales muy detallados. 3.4. Musimathics Este libro de dos volúmenes está escrito por el músico, compositor, ingeniero de sistemas y multimedia Gareth Loy. Su libro, Musimathics [Loy11], está en la estela del libro de Benson. El libro de Loy contiene 10 capítulos, escritos con intensidad y profundidad. Empieza con un primer capítulo en que presenta conceptos musicales básicos, desde tono hasta timbre pasando por ritmo o escala. Tras esto entra directamente en la teoría de la afinación y cubre desde la afinación pitagórica hasta el temperamento igual y algunas afinaciones no tradicionales. El tercer y cuarto capítulo son una revisión bastante completa de la física del sonido. En el quinto, Loy estudia los fundamentos psicoacústicos del sonido. Los capítulos siete y ocho son más técnicos y en ellos se estudia acústica avanzada. Como se puede apreciar, está describiendo el fenómeno musical desde distintos puntos de vista antes de entrar en los capítulos finales, donde hace uso de todo lo anterior. El capítulo nueve versa sobre composición y métodos matemáticos. Se pasan revista principalmente a métodos estocásticos de composición, sobre todo a cadenas de Markov, pero también se tocan otros temas interesantes, como la teoría de la información y la representación del conocimiento musical. El volumen dos está dedicado principalmente a teoría de la señal y tiene menos interés para nosotros. 3.5. From Polychords to Pólya: Adventures in Musical Combinatorics Michael Keith es un experto en combinatoria, ingeniero de software y además un escritor especializado en la escritura con restricciones al estilo de Oulipo y otros. En el año 91 se autopublicó el libro From Polychords to Pólya: Adventures in Musical Combinatorics [Kei91], que es una delicia en que explora las relaciones entre la combinatoria y la música. En este libro aparecen conceptos como los coeficientes binomiales, el triángulo de Pascal, la sucesión de Fibonacci y el teorema de enumeración de Pólya, con las cuales Keith procede a la enumeración de acordes, escalas y ritmos así como a la clasificación de todas ellas. Este texto se podría usar para motivar el estudio de la combinatoria desde alumnos de bachillerato hasta músicos con ciertos conocimientos matemáticos. En todo el texto se siente la presencia de la idea de la relevancia de la enumeración exhaustiva de elementos musicales. Aparte de la clasificación y enumeración, Keith propone medidas matemáticas de fenómenos musicales. En el libro encontramos, por ejemplo, una definición de síncopa, que fue analizada en esta columna en octubre de 2011, en el artículo de título Medidas matemáticas de síncopa [Góm11d], así como también una medida que cuantifica la bondad de una escala. 3.6. The cognition of basic musical structures La mejor manera de describir el propósito de este libro, The Cognition of Basic Musical Structures es citar las palabras de su prefacio (nuestra traducción): This book addresses a fundamental question about music cognition: how do we extract basic kinds of musical information —meter, phrase structure, counterpoint, pitch spelling, harmony, and key—from music as we hear it? My approach to this question is computational. [En este libro se trata una pregunta fundamental sobre la cognición musical: ¿cómo se extrae los tipos básicos de información musical information —métrica, estructura de la frase, contrapunto, notas, armonía y tonalidad—a partir de la música que oímos? Mi enfoque para contestar a esta cuestión es computacional.] Figura 4: The Cognition of Basic Musical Structures Escrito por David Temperley [Tem04], este libro es una continuación y una extensión de las ideas generativas de la música de Lerdahl y Jackendoff [LJ83]. Uno de los conceptos principales de la obra es la regla de preferencia. Temperley establece una serie de reglas de preferencia para varios parámetros musicales (métrica, melodía, armonía) y ante el análisis de una pieza escoge la interpretación que mejor satisface esas reglas de preferencia. Dichas reglas tienen un carácter computacional bastante marcado (entiéndase computacional como modelo computacional antes que como programación). Otra virtud que tiene el libro de Temperley es que las reglas de preferencia están fuertemente basadas en la investigación en cognición musical. Así, por ejemplo, su algoritmo para determinar la tonalidad sigue los hallazgos de Krumhansl y Schmuckler sobre los perfiles de tonalidad. En el libro, en los capítulos 9 y 10, encontramos felizmente análisis de música no clásica, en particular, de rock y música africana. El libro, aparte de la teoría que propone, plantea un buen número de preguntas que invitan a la reflexión y a la investigación. Por ejemplo, en la sección 11.3 se pregunta si existe música que no sea métrica. En resumen, es un libro que todo lector interesado en los modelos computacionales de la música debería leer, más aun si hablamos de musicólogos sistemáticos. 3.7. Other Harmony En este excelente libro de Tom Johnson, Other Harmony [Joh14], se examina desde un punto divulgativo pero riguroso, varios sistemas de armonía musical, algunos de los cuales tienen principios matemáticos. El autor no se limita solo a la armonía tonal, sino que explora la armonía atonal y lo que provocativamente llama Otras Armonías (sí, con esta ortografía). El mayor mérito de este libro, aparte de su escritura transparente y sencilla, es la exploración de lo heterodoxo, una exploración que siempre es necesaria y que hay que practicar con cierta regularidad, siquiera sea para adquirir una perspectiva más amplia. En la serie de artículos que empezaron en febrero de 2014 analizamos profundamente este libro y entonces de este libro dijimos lo siguiente: Una fuerza vigorosa dentro de la música occidental ha sido siempre la superación del sistema armónico en curso. Nuevas reglas permitieron que lo que antes eran disonancias o progresiones prohibidas ahora se usen con total naturalidad. Ese empuje llevó la armonía tonal a su límite a principios del siglo XX. En ese tiempo la superación de la armonía tonal clásica era en muchos casos una elección estética inevitable. Sin embargo, como ilustra Johnson en su libro, las formas en que los compositores superaron la armonía tonal fueron extraordinariamente variadas. Muchas de ellas son desconocidas, bien porque no tuvieron éxito entre los compositores, o bien porque otras sistemas compositivos les hicieron sombra y cayeron en el olvido. En el libro de Johnson se rescatan algunos de esos sistemas compositivos. 3.8. The geometry of musical rhythm Godfried Toussaint, que fue mi director de tesis, fue profesor en McGill University durante tres décadas y ahora enseña en la Universidad de New York en Abu Dhabi. Es el autor del libro The geometry of musical rhythm, un libro donde se explora profundamente las relaciones entre ritmo y matemáticas, sobre todo geometría. A lo largo de 38 capítulos, Toussaint expone varias modelos del ritmo y estudia múltiples propiedades suyos. El núcleo principal del libro es el examen de las propiedades que caracterizan a los “buenos” ritmos (también hay una discusión de que es un “buen” ritmo) y su descripción matemática. El libro presenta un primer bloque de seis capítulos donde Toussaint define la terminología que usará en el resto del texto: ritmo, métrica, claves, ostinatos, y otros. Después procede al estudio de seis claves binarias que son muy usadas en las músicas del mundo (en tradiciones no occidentales diversas). Los siguientes capítulos tratan los ritmos binarios y ternarios y las operaciones que transforman unos en otros (este tema se trato en una columna de esta sección [Góm12d]). Otro tema que toca el libro son las medidas de complejidad rítmica y en particular las medidas de síncopa. Toussaint pasa revista a las medidas más comunes y las compara entre sí. Del capítulo 19 al 31 Toussaint investiga familias importantes de ritmos. Empieza por los famosos ritmos euclídeos, aquellos que tienen sus notas distribuidas entre los pulsos lo más regularmente posible, y sigue con los ritmos cuasi-regulares, los ritmos complementarios, los ritmos profundos, los ritmos en cáscara (diferentes de las cáscaras de la música afro-cubana), ritmos simétricos, entre otros. En los siguientes capítulos se estudia la combinatoria de los ritmos y la filogénesis de los ritmos (la reconstrucción de ritmos por vía de algoritmos filogenéticos tomados de la Bioinformática). Por último, Toussaint dedica el capítulo 37 a hacer una defensa del ritmo de la clave son como el mejor ritmo pues, según el autor, posee muchas de las cualidades buenas que se han ido estudiando a lo largo del libro. 3.9. Foundations of diatonic theory Este libro es digno de mencionar porque es uno de los intentos más acertados y sinceros por enseñar música a través de la matemática sin que esto sea un ejercicio de voluntad sino una necesidad intelectual. En su Foundations of diatonic theory [Joh08], el autor, Timothy Johnson, explica la teoría de escalas diatónicas a través de principios básicos de divisibilidad y aritmética modular. En realidad, aunque no lo usa, está hablando todo el tiempo de ritmos euclídeos. También llama la atención cómo ha organizado el material, de una excelencia pedagógica poco común, y el exquisito equilibrio entre música y matemáticas, estas últimas siempre al servicio de las primeras. Hicimos en su momento una serie entera, Enseñanza de música por vía de las matemáticas, dedicada a este libro; véase [Góm12c]. 4. Libros avanzados 4.1. Statistics for Musicologists Consideramos que el libro de Jan Beran [Ber04], Statistics for Musicologists, es de obligada lectura y asimilación para cualquier músico profesional y en especial para los musicólogos. En su momento dedicamos dos columnas [Góm12e] a glosar el contenido del libro. En la primera columna, nos hacíamos eco de la definición de Richard Parncutt [Par07], que volvemos a recordar: Sugiere (el diccionario New Grove Dictionary of Music and Musicians) que la musicología hoy comprende todas las disciplinas que estudian toda la música en todas sus manifestaciones y en todos sus contextos, sean estos, físicos, acústicos, digitales, multimedias, sociales, sociológicos, culturales, históricos, geográficos, etnológicos, psicológicos, médicos, pedagógicos, terapéuticos, o en relación a cualquier otra disciplina o contexto musicalmente relevante. Figura 5: Statistics in Musicology A estas alturas, negar que la música tiene fenómenos que son cuantificables y modelizables computacionalmente parece algo miope intelectualmente. Y dentro de los aspectos cuantificables de la música, la estadística es una herramienta muy potente. El libro de Beran tiene once capítulos y en cada uno estudia una técnica estadística distinta, la cual aplica al análisis musical. Una virtud de este libro es el gran número y calidad de los ejemplos musicales. Empieza con un capítulo general, de terminología, y continúa con un segundo que versa sobre minería de datos. Algo tan aparentemente simple como son las técnicas de estadística descriptiva se muestran en acción para extraer conclusiones sobre varios corpus bajo estudio. En el capítulo 3 se estudian las medidas globales de estructura. En el cuarto, se presentan las series temporales y sus aplicaciones en el análisis musical. El capítulo 5 trata de los métodos jerárquicos y su aplicación al estudio de la forma musical. En el capítulo 6 se estudian los modelos Markov y muchas de sus variadas aplicaciones al análisis musical. El resto de los capítulos tratan del análisis de componentes principales, el análisis de grupos y el escalado multidimensional. Hay que advertir que el nivel matemático del libro es bastante alto. 4.2. A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice El libro A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice [Tym11] debería ser otro libro de obligada lectura a todo alumno de música que tenga aspiraciones profesionales y aun más en el caso particular de los compositores. La explicación de la música tonal expuesta por Tymoczko en su libro es de una gran versatilidad y exhaustividad. Además, la abstracción y potencia conceptual de su enfoque permite que se explique con igual facilidad la música pop y el romanticismo, por poner un ejemplo. Las herramientas analíticas que propone Tymoczko, basadas en principios geométricos, consisten en ver las progresiones armónicas y el contrapunto como puntos de un cierto espacio geométrico y caracterizar esos movimientos armónicos a través de ciertas propiedades matemáticas. Este modelo, como prueba su autor, tiene una gran potencia explicatoria de una gran cantidad de música de la práctica común y de la práctica común extendida. La escritura de Tymoczko es digna de mención. A pesar de la envergadura conceptual, es seria cuando es pertinente serlo y humana y divertida en el resto del tiempo. 4.3. The Topos of Music: Geometric Logic of Concepts, Theory, and Performance Si hay una obra monumental sobre matemáticas y música esa esa es el The Topos of Music: Geometric Logic of Concepts, Theory, and Performance [MG02] de Guerino Mazzola, músico de jazz y matemático, disciplinas ambas en que ejerce profesionalmente. Su libro es una obra titánica de abstracción en que usa teoría de categorías y otras artillería pesada matemática para explicar la música. Aviso desde este instante al estimado lector que este libro solo puede ser entendido por personas con una fuerte formación en ambas disciplinas. Glosaremos brevemente algunas partes del libro, casi el índice, diríamos, dado que dicho contenido está muy por encima del nivel divulgativo de esta columna. El libro empieza con un capítulo llamado Topography, donde Mazzola describe la terminología que usará a lo largo de su extensa obra. Los conceptos son extremadamente abstractos y las teorías que los alimentan, igual. Se habla de estética, psicología, semiótica, filosofía de la música, entre otras. Sigue otro capítulo que directamente se llama ontología musical y que versa exactamente sobre la ontología musical. En el capítulo cuarto Mazzola reflexiona sobre la Musicología y sus métodos. Tras este capítulo el libro contiene con varias grandes secciones, y en cada una se recoge unidades independientes de su teoría. En la primera sección, llamada navegación y espacios de conceptos, se presentan los espacios de conceptos y los denotadores, elementos básicos de la teoría musical de Mazzola. En la siguiente sección se desarrolla la teoría local, que se ocupa de los parámetros musicales de medio nivel (melodía, ritmo, armonía, etc.). En la siguiente sección, Mazzola aborda la teoría global, que analiza los elementos más abstractos y globales de la música. El resto de las secciones contienen una teoría matemática de la semántica, una teoría matemática de la interpretación y métodos estadísticos de análisis musical. 5. La divulgación en matemáticas y música La divulgación en matemáticas y música es difícil en nuestro entorno y en los tiempos que vivimos.   Bibliografía [AM16] Javier Arbonés and Pablo Milrud. La armonía es numérica. National Geographic, 2016. [Ber04] Jan Beran. Statistics in Musicology. Chapman & Hall/CRC, 2004. [FFW03] John Fauvel, Raymond Flood, and Robin Wilson. Music and Mathematics from Pythagoras to Fractals. Oxford University Press, Oxford, England, 2003. [GGMDB14] P. Gómez, E. Gómez, J. Mora, and J.M. Díaz-Báñez. Cofla: la música flamenca y su estudio computacional, abril de 2014. [Góm10a] P. Gómez. El teorema del hexacordo, mayo de 2010. [Góm10b] P. Gómez. Las matemáticas en la música de Xenakis, octubre de 2010. [Góm11a] P. Gómez. La liga de los compositores de música automática, septiembre de 2011. [Góm11b] P. Gómez. Similitud rítmica en el flamenco, marzo de 2011. [Góm11c] P. Gómez. Distancia y similitud musical, mayo de 2011. [Góm11d] P. Gómez. Medidas matemáticas de síncopa, octubre de 2011. [Góm12a] P. Gómez. Polígonos regulares y percusión, abril de 2012. [Góm12b] P. Gómez. Rotaciones de ritmos, mayo de 2012. [Góm12c] P. Gómez. Enseñanza de música por vía de las matemáticas, diciembre de 2012. [Góm12d] P. Gómez. Transformaciones rítmicas: de binarizaciones y ternarizaciones, agosto de 2013. [Góm12e] P. Gómez. Estadística en la musicología, julio de 2012. [Góm12f] P. Gómez. Minimalismo y matemáticas: Clapping music, marzo de 2012. [Góm14a] P. Gómez. Otras armonías son posibles, febrero de 2015. [Góm14b] P. Gómez. Teoría generativa de la música, junio de 2014. [Góm14c] P. Gómez. Paradojas matemáticas y musicales, noviembre de 2014. [Góm15] P. Gómez. Fractales y percusión, septiembre de 2015. [Góm16a] P. Gómez. Música y probabilidad, noviembre de 2015. [Góm16b] P. Gómez. Cadenas de markov con restricciones aplicadas a modelos cognitivos en la improvisación del jazz, mayo de 2016. [Góm16c] P. Gómez. Composición algorítmica, junio de 2016. [Har06] Leon Harkleroad. The Math Behind the Music. Cambridge University Press, Cambridge, 2006. [Joh08] T.A. Johnson. Foundations of Diatonic Theory: A Mathematically Based Approach to Music Fundamentals. Mathematics Across the Curriculum. Scarecrow Press, 2008. [Joh14] Tom Johnson. Other harmony. 75 Editions, 2014. [Kei91] Michael Keith. From Polychords to Pólya: Adventures in Musical Combinatorics. Vinculum Press, Princeton, 1991. [LJ83] F. Lerdahl and R. Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1983. [Loy11] Gareth Loy. Musimathicsrds. MIT Press, 2011. [MG02] G. Mazzola and S. Göller. The Topos of Music: Geometric Logic of Concepts, Theory, and Performance. Number v. 1 in The Topos of Music: Geometric Logic of Concepts, Theory, and Performance. Birkhäuser Basel, 2002. [Par07] Richard Parncutt. Systematic musicology and the history and future of western musical scholarship. Journal of Interdisciplinary Music Studies, 1:1–32, 2007. [Rap10] David Rappaport. Conjuntos de área máxima y la armonía, septiembre de 2010. [SG12] Ricardo Sanz and Paco Gómez. Amalgamas, aksaks y métricas euclídeas, noviembre de 2012. [Tem04] D. Temperley. The Cognition of Basic Musical Structures. MIT Press, 2004. [Tym11] Dmitri Tymoczko. A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice. OUP USA, 2011.

Miércoles, 15 de Febrero de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

355. 117. Figuras de Oscar

El pasado 20 de enero llegó a nuestros cines Figuras Ocultas, nueva película con matemáticas en su desarrollo. Altamente recomendable en su temática, cinematográficamente algo menos. Comentamos curiosidades y recomendamos material escolar diseñado por la NASA. Ya iba siendo hora que la todopoderosa industria norteamericana se planteara reconocer el trabajo en la sombra de muchas mujeres científicas, matemáticas en particular. Hasta el momento, ¿sólo una había aparecido? (haciendo memoria, Marie Curie en una añeja producción de 1941). Otros países sí lo hicieron (Una montaña en la cara oculta de la Luna (Suecia, 1983, sobre Sofía Kowalevskaya; Ágora (España, 2009, sobre Hipatia de Alejandria), aunque su repercusión internacional por unos u otros motivos no destacó precisamente, o a la sombra de sus homólogos masculinos (Breaking the Code (Gran Bretaña, 1996), Descifrando Enigma (coproducción británico-estadounidense, 2014), ambas sobre Joan Clarke). En este caso además mostrando no sólo su trabajo, sino la discriminación racial que tuvieron que aguantar (menos mal que se ha realizado y distribuido antes del momento actual, en el que probablemente, a lo mejor me equivoco, aunque no lo creo, hubiera encontrado muchas más dificultades, dados los aires que corren). Echemos, como es pertinente un vistazo previo a su ficha técnica y artística. Ficha Técnica: Título: Figuras Ocultas. Título Original: Hidden Figures. Nacionalidad: EE. UU., 2016. Dirección: Theodore Melfi. Guión: Allison Schroeder y Theodore Melfi, basada en la novela homónima de Margot Lee Shetterly. Fotografía: Mandy Walker, en Color. Algunas escenas en B/N. Montaje: Peter Teschner. Música: Benjamin Wallfisch, Pharrell Williams y Hans Zimmer. Duración: 127 min. Ficha artística: Intérpretes: Taraji P. Henson (Katherine G. Johnson), Octavia Spencer (Dorothy Vaughan), Janelle Monáe (Mary Jackson), Kevin Costner (Al Harrison), Kirsten Dunst (Vivian Mitchell), Jim Parsons (Paul Stafford), Mahershala Ali (Coronel Jim Johnson), Aldis Hodge (Levi Jackson), Glen Powell (John Glenn), Kimberly Quinn (Ruth), Olek Krupa (Karl Zielinski), Kurt Krause (Sam Turner), Ken Strunk (Jim Webb), Lidya Jewett (Katherine Coleman joven), Donna Biscoe (Mrs. Joylette Coleman). Muchos medios de comunicación se han dedicado ya a analizar la película (el marketing comercial de los estrenos así lo ha ido instaurando previo a cada viernes de estreno), y muchos blogs y páginas personales también le han dedicado sus comentarios, en general bastante acertados (las nuevas tecnologías y las redes sociales es lo que tienen), de modo que en este momento poco me queda por decir que no se haya comentado ya, incluso desde el punto de vista más específico de las matemáticas. Así, la reseña que nuestro compañero José María Sorando ha realizado en su página personal, además de indicar y enlazar tres análisis de la película de los muchos que han venido publicándose (el SINC y dos periódicos), nos lista y comenta las matemáticas explícitas y reconocibles que aparecen en pantalla. Por ello, con objeto de no ser repetitivo, señalaremos algunos otros detalles que me han llamado la atención y no he visto reflejados (lo cual no quiere decir que no se hayan hecho; no se puede controlar todo lo que aparece en la Red). En suma, léase la anterior reseña, y después complementen, si aún les queda tiempo y ánimo, con lo que aquí comentaremos, básicamente algunos datos que pueden ser interesantes o al menos curiosos. Al inicio de la película, como indica José María, Katherine Coleman Johnson niña, resuelve en la escuela una ecuación de cuarto grado (ver imagen) un poco trampeada porque en realidad es el producto de dos ecuaciones de segundo grado igualadas a cero (sigue siendo destacable para una niña de esa edad, y seguramente el asesor matemático de la película haya pretendido mostrar su genialidad con algo que ¿gran parte de la audiencia? entienda. Lo que llama la atención, si nos fijamos en las expresiones, es que no las resuelve con la fórmula que nosotros utilizaríamos para ello, sino que para la primera expresa las soluciones como producto de factores (¿lo hace mentalmente? Porque operación adicional tipo Ruffini, por ejemplo, no aparece en el encerado), y sobre todo, para la segunda, busca el cuadrado del binomio que se adapta a la ecuación, y posteriormente extrae la raíz cuadrada de ambos miembros (en la última línea pone, aunque no se vea muy bien 5/4 ± 7/4, y de ahí extrae las raíces). Triedro de Frenet, método de ortonormalización (es de suponer que el clásico de Gram-Schmidt), y método de Euler de aproximación a la solución de una ecuación diferencial de primer orden a partir de un valor inicial. El primer método numérico que suele enseñarse en un curso convencional de cálculo numérico. Perfectamente insertado en el contexto (de las pocas veces que el cine nos muestra procedimientos numéricos), aunque quizá sorprenda que lo llamen (recordemos que los hechos acontecen en 1961) método “antiguo” (¿se puede calificar algo en matemáticas de método obsoleto? Entonces el teorema de Tales o de Pitágoras, ¿qué son? Y se usan habitualmente). La explicación, creo, es la siguiente. El cálculo numérico se estaba desarrollando de un modo estructurado (hasta ese momento eran procedimientos sueltos) precisamente desde finales de los años cincuenta, principios de los sesenta, con la incorporación de las computadoras y los lenguajes de programación (que como sabemos utilizan algoritmos de este tipo). El método de Euler no es demasiado útil en problemas prácticos porque requiere tamaños de paso muy pequeños para obtener una precisión razonable. Por eso no es demasiado útil. Tampoco lo es utilizar aproximaciones de Taylor, por poner otro ejemplo, por utilizar derivadas de orden alto. Los métodos en boga eran los métodos multipaso (como Adams-Bashford, por ejemplo), aunque pronto se vio que eran más eficientes respecto al número de operaciones los Runge-Kutta, y posteriormente los predictor-corrector, que tienen la ventaja de dar un estimativo de error en cada paso, aunque pueden ser más inestables. Pero muchas veces, éstos procedimientos arrancan con un Euler inicial, así que lo de método antiguo u obsoleto, a mi entender está fuera de lugar. Relacionado con las matemáticas, aunque más relacionado con la Física, nos encontramos también referencias a la constante de Planck-Einstein y la ecuación de Schrödinger, en la escena en la que Mary Jackson se presenta a las clases nocturnas en el instituto de secundaria de Hampton (dependiente de la Universidad de Virginia) a las que “generosamente” un juez la deja asistir al tratarse de un centro exclusivo para blancos. Junto a las tres protagonistas (recordemos Katherine Coleman Johnson, Dorothy Vaughan, Mary W. Jackson), también es relevante, desde un punto de vista más científico/tecnológico, la transición de esas calculadoras humanas a las posteriores máquinas, etapa no trivial aunque hoy lo parezca, y que refleja muy bien el comentario del personaje que encarna John Glenn:  Me gustan sus números.  Los de un ser humano, no los de una máquina. Crítica personal Reiterando nuevamente el enorme interés de la historia que ejemplifica el silenciado pero ímprobo y muy relevante trabajo de muchas mujeres (aquí científicas, y esa es la novedad por desconocida para la sociedad en general, aunque aún peor en otros ámbitos), la realidad de las condiciones en las que las tocó trabajar y salir adelante, su tenacidad, sus logros, etc., habiendo muchos temas por los que todos deberíamos verla para despertar conciencias, creo guionistas y director han destacado un poco más el tema del racismo (es lógico, es una producción norteamericana, y es un tema que en muchas zonas del país no tienen para nada asumido). En este tema uno puede recordar otras muchas películas (El color púrpura, Raíces, incluso memorables comedias críticas como Adivina quién viene esta noche, que me vengan rápidamente a la memoria). También existen numerosos ejemplos de discriminación a la mujer. La novedad en este caso radica como hemos dicho en su profesión. Sin embargo desde un punto de vista estrictamente cinematográfico, es justo reconocer muchos de los rasgos más comercialones del cine norteamericano (que probablemente no haya que desdeñarlos, dado que así llega a más público). Así hay determinadas escenas, que describen críticamente asuntos graves, que sin embargo se presentan con cierto humor y pudieran tomarse de un modo hasta cómico, y personalmente creo que no lo merecen. Por ejemplo, las reiteradas caídas de documentos y carpetas de la protagonista en sus carreras hacia los servicios de personal de color y sus dificultades corriendo por tener obligatoriamente que llevar uniformidad de vestuario y calzado, no me parecen para tomárselos a broma. El disfrute adolescente de las protagonistas aprovechando la escolta de un policía pisando a fondo el acelerador tampoco me parece ni realista ni apropiado. El desfile de todas las computadoras humanas desde su oficina a la habitación del IBM, encabezadas por su supervisora en plan escuadra militar, con música triunfal de fondo recorriendo pasillos y calles de edificio a edificio me parece asimismo esperpéntico, muy muy yanqui (y por tanto lamentable). ¿Qué soy demasiado dramático? Seguramente, pero señores lo que se relata es un drama, una injusticia, algo de lo que hay que concienciarse, y no una parodia de Dean Martin y Jerry Lewis, o peor, de Jim Carrey. Sí, entretiene, es efectista, relaja situaciones tensas, en definitiva, comercializa el producto (el fin justifica los medios), pero no me gusta. Como tampoco me gustan los arquetipos maniqueos de muchos personajes (que no, que en la vida real pocos son muy malos malísimos o muy buenos buenísimos). Y los arquetípicos tópicos.  El peor enemigo de una mujer es otra mujer, las familias de las protagonistas son ideales, guay del paraguay, en fin, para qué seguir, la típica película yanqui. Y por supuesto, la tensión creciente hasta el último segundo, las caritas expectantes de todos con silencio absoluto cuando se pierde el contacto con Glenn, y claro, el final feliz, con los malos malísimos reconociendo que estaban equivocados, y bla bla bla. No obstante, sigo recomendando su visionado por la parte científico/tecnológica/biográfica del asunto (a pesar de películas del mismo rasero como Apolo 13, Elegidos para la gloria, Marte, etc.), y no me extrañaría que lograra algún Oscar de la academia en la próxima gala del 26 de Febrero. Está nominada a tres categorías, Mejor Película, Mejor Actriz Secundaria para Octavia Spencer, Mejor Guion Adaptado, y sinceramente creo que los va a obtener todos (me arriesgo mucho). Seguramente pesará bastante en los miembros de la Academia el recordarle al nuevo inquilino de la Casa Blanca (y se lo merece) lo que el propio Kevin Costner (parece por cierto que va recuperando sus abandonadas dotes de actor solvente) dice en una entrevista sobre la película: “Deberíamos plantearnos lo que pierde nuestro país por no ser más abiertos”. Algunos Errores La verdad es que sorprende que en una producción de alto presupuesto se deslicen tantos gazapos, anacronismos y otras sutilezas como he podido leer en diferentes lugares en la red. Dejando de lado muchas de ellas por ser muy específicas (modelos de automóviles, gafas y otros objetos que aquí no conocemos), señalaré alguna que me ha resultado curiosa y “entendible” culturalmente. 1.- Durante el despegue del cohete de Alan Shepard, el locutor de noticias informa que la cápsula "alcanzará una altitud de 116 millas por hora" (Freedom 7 will be launched in the space in altitude about 116 miles an hour, en la versión original). ¿Error en el guion? No, el guion es correcto e indica millas; fue el actor el que se confundió al leer la frase. 2.- En una pizarra Dorothy Vaughan escribe que la IBM 7090 DPS (iniciales de Data Processing System) tiene la capacidad de efectuar unas 24.000 multiplicaciones por segundo. En este caso la realidad supera la ficción: la 7090 llegaba a las 100.000 operaciones de punto flotante por segundo (100KFLOPS). 3.- El manual para el equipo IBM 7090 que aparece en la película al lado del libro de FORTRAN tiene un logotipo incorrecto para IBM. El logotipo discontinuo de IBM no aparecería hasta 1972. En el resto de la película aparece el correcto. Por cierto, el modelo IBM 7090 se denominó así debido a que es la versión con transistores del modelo anterior, el IBM 709 que aún tenía válvulas de vacío. Si leemos en inglés las siglas “seven-ou-nine-ti” (referido a la letra T, de Transistorized), suena igual que “seven-ou-ninety”, y esa es la razón por la que al 709 le siguiera el 7090. Sus 50000 transistores incrementaban considerablemente su velocidad de cálculo. El procesador funcionaba a 36 bits y disponía de una gran capacidad de memoria para la época: 32 Kilobytes, aunque podía ampliarse en caso necesario. Se creó a finales de 1958 y se instaló por primera vez en noviembre de 1959. En la propaganda se decía que estaba diseñada para “aplicaciones tecnológicas y científicas a gran escala”.  Aparte de eso, se la encontraron otras aplicaciones en las que sus diseñadores nunca pensaron, como jugar al ajedrez, e incluso interpretar música. En 1962 se grabó el disco que veis en la imagen, Music from Mathematics, con diez composiciones en la primera cara y ocho en la segunda. Se pueden escuchar algunos temas en el siguiente enlace. A modo de ejemplo, Bicycle built for Two, composición de Max Mathews. 4.- Tal y como hemos visto en reseñas anteriores en esta sección, hasta los años 1970 los ingenieros usaban reglas de cálculo para cálculos rápidos. Es imperdonable que en la película no aparezca una sola ni en sus escritorios, ni en sus bolsillos. 5.- El personaje de Kevin Costner reitera varias veces que necesita alguien que sepa Geometría Analítica. En realidad las necesidades matemáticas para el trabajo que luego se hacen serían más propiamente de Geometría Esférica (además de Física y como se probó posteriormente Análisis Numérico). 6.- Las escenas que muestran la consola 7090 en funcionamiento no tienen ninguna de las luces de registro encendidas (las pequeñas luces redondas en el panel vertical). Deberían parpadear mientras la máquina está funcionando para indicar el estado. 7.- En la película, el vuelo de Glenn se reduce de siete órbitas a tres debido al problema con el escudo térmico. En la realidad, la misión siempre estuvo prevista para tres órbitas. Además, un plan de vuelo modificado habría invalidado todos los cálculos previos y dado lugar a una zona de aterrizaje diferente, algo que se pasa por alto en la película. 8.- Las imágenes de lanzamientos de cohetes fallidos que se muestran en la película corresponden a la explosión del Challenger, evidentemente muy posterior. 9.- La película retrata con más o menos rigor lo que se creyó un fallo del escudo protector de calor al volver a entrar a la atmósfera. La película no da más explicaciones, pero la realidad fue que el escudo térmico funcionó perfectamente y fue el indicador el que estaba defectuoso. La llamarada que tuvo lugar y aparece en la película al volver a entrar en la atmósfera no era del escudo térmico, sino del módulo del retrocohete. En ese momento, John Glenn no tuvo manera de saberlo, lo cual está bien representado, pero posteriormente todo esto se comprobó, aunque los guionistas (That´s entertainment!!) no han considerado oportuno contarlo. Vamos que Glenn nunca estuvo en realidad en peligro. Otros datos a tener en cuenta La NASA ha colaborado tanto en la realización como en la posterior difusión de la novela y de la película. En su página web ha incorporado algunos apartados acerca de la película, entre ellos una sección denominada De Ocultas a Figuras Actuales (From Hidden to Modern Figures) con varios apartados entre los que se encuentran unas biografías de las protagonistas, junto a respuestas a algunas de las cuestiones que el visionado de la película plantea al espectador. Resumiendo su  contenido, indica que el personaje de Al Harrison (interpretado por Kevin Costner) se basa en gran medida en Robert C. Gilruth, jefe del Grupo de Trabajo Espacial del Centro de Investigación de Langley, más tarde director del actual Centro Espacial Johnson en Houston. La estructura organizativa del Grupo de Tareas Espaciales fue mucho más complicada que lo que aparece en la película y estaba cambiando muy rápidamente durante el período de tiempo en el que la película se lleva a cabo. Para simplificar el guion y no liar demasiado al espectador, esa estructura se ha comprimido al máximo, utilizando como ese personaje que aglutina varias tareas que en la realidad efectuaba un grupo de diferentes personas. En la imagen, fotografía de Gilruth (1913 – 2000), tomada de https://www.nasa.gov/langley/hall-of-honor/robert-r-gilruth, y propiedad de la NASA. En el enlace, biografía del personaje real. Otro personaje que llama la atención, fundamentalmente por su antipatía hacia las protagonistas, es el de Vivian Mitchell interpretado por Kirsten Dunst. No responde a ninguna persona real, pero si intenta transmitir, junto a otras mujeres blancas que aparecen (como Ruth, secretaria adjunta de Al Harrison o como varias madres con niños como la que evita que sus hijos beban de la fuente donde ha bebido un hombre de color, o la que lleva a sus hijos a la biblioteca pública) la actitud marcadamente despectiva de la época, sobre todo de mujeres de cierto estatus social (funcionarias, niñas bien, etc.). También resulta tremendamente desagradable (desde la perspectiva actual y desde la distancia; no olvidemos que aún hoy en día existe el Ku Klux Klan, y más cerca grupos y asociaciones que no consideran precisamente a cualquier ser humano igual que los demás) el personaje de Paul Stafford (interpretado por Jim Parsons, el Sheldom Cooper de The Big Bang Theory). Es un combinado de varios ingenieros con los que trabajó Katherine Johnson. Recordemos de nuevo que hubo una considerable rotación de personal. Gran parte de los primeros trabajos sobre trayectorias que realizó Katherine Johnson fue con Ted Skopinski, aunque hubo otros como John Mayer, Alton Mayo, Al Hamer y Carl Huss. Más desapercibido pasa el personaje de Karl Zielinski (interpretado por el actor Olek Krupa), el ingeniero polaco que sugiere a Mary Jackson que debe intentar sacar la plaza vacante, y que trata de resolver el problema del reingreso de la cápsula a la atmósfera y hace pruebas en el túnel de viento. Este personaje está directamente inspirado en Kazimierz "Kaz" Czarnecki. Kaz no era polaco, sino de New Bedford, Massachusetts, pero fue el ingeniero aeronáutico al que la Mary Jackson real se quejó, rompiendo el protocolo, y con el que desahogó su frustración ante las condiciones en las que trabajaba. Él la escuchó pacientemente, tras lo cual la solicitó para que se incorporara a su equipo. Fue por tanto el que la orientó, como en la película, en su carrera de primera mujer de color ingeniero. Cuando Kaz se jubiló de la NASA en 1979, Mary Jackson organizó la celebración de despedida. Dos son las cuestiones que más curiosidad han generado entre los espectadores norteamericanos y que la propia NASA ha tratado de responder en su página web. Una es si la NASA realmente retrasó el lanzamiento de John Glenn hasta que Katherine Johnson pudiera calcular manualmente su trayectoria orbital (que efectivamente está retratado de un modo muy peliculero). En efecto, la institución confirma que la película se toma ciertas libertades de licencia dramática, pero sí es cierto que John Glenn pidió expresamente "a la muchacha" (así se refería a Katherine Johnson) que comprobara manualmente los cálculos generados por las computadoras electrónicas. Pero esto ocurrió mucho antes del lanzamiento, y el cálculo final, que involucraba 11 variables diferentes con ocho dígitos significativos le llevó un día y medio. Sus cálculos coincidían exactamente con los de la computadora, dando a John Glenn, y a todos los demás, la confianza de que el software de la computadora era fiable. La otra cuestión es por qué la NASA ha estado ocultando esta historia durante tanto tiempo (¡ay, que conspiranoicos somos!). Su respuesta es firme (la reproduzco textualmente, traducida): “Como muchas otras grandes historias de empleados de la NASA, la NASA ha estado compartiendo esta historia durante años. De hecho, la autora del libro, Margot Lee Shetterly, ha advertido que el título es "algo inapropiado". Las mujeres protagonistas de esta historia no estaban tanto ocultas como invisibles. El primer trabajo sistemático sobre las mujeres computadoras de Langley comenzó en 1990. Sin embargo, un libro popular y una película de cierto presupuesto consiguen una audiencia mucho más grande y diversa que la NASA ha logrado alcanzar por sus propios medios”. Material Didáctico La NASA ha confeccionado un cuadernillo de actividades muy interesante y recomendable  para docentes e interesados en general en el tema aeroespacial que puede utilizarse en niveles de enseñanza primaria y secundaria (hasta K-12, según la nomenclatura educativa norteamericana). Aborda tópicos como historia, biografías, Álgebra, Cálculo, Computación y Estimación, Geometría, Medición, Estimación Numérica, Resolución de Problemas, y Física, en varias secciones: Vamos a Marte: Calculando Ventanas de Lanzamiento ¿Qué es una órbita? Carreras de Rover Computadoras humanas de Langley Gravedad: lo que nos mantiene juntos Fases de la Luna Aterrizaje Figuras Modernas Además añade una serie de recursos, como vídeos, referencias históricas y materiales diversos, incluyendo una canción (la última de esta lista) agrupados en: Pi en el cielo Computadoras Humanas Cuando las computadoras eran humanas La Ciencia: Mecánica Orbital Aspira a Inspirarte Además del despegue Ella era una computadora cuando las computadoras llevaban falda La Luna y más En fin, se pueden contar muchas más cosas (no me resisto a incluir lo del doble sentido del título original: la palabra Figures no sólo son Figuras; en inglés designa también Cifras, de modo que también podría haberse traducido como Cifras Ocultas, que asimismo tiene sentido según el argumento de la película), pero la prudencia y la realidad manifiestan que luego nadie lee lo que pasa de medio folio, así que hasta el mes que viene. Alfonso J. Población Sáez

Jueves, 09 de Febrero de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

356. 92. SOLUCIÓN CONCURSO DEL VERANO DE 2014

Queridos lectores, ante todo debo manifestar que me he quedado alucinado con las respuestas que habéis enviado este año. Como alguien dijo alguna vez, I – M – P – R – E – S – I – O – N – A – N – T – E. Necesitaría mucho espacio para describir con fidelidad el nivel que habéis alcanzado, sobre todo en las cuestiones relacionadas con las matemáticas, permitiéndoos incluso la genialidad de proponer nuevas cuestiones sobre la película, además de plasmar vuestra impresiones y sugerencias. Las diferencias finales en la puntuación se deben más a malinterpretaciones de enunciados, que en este caso, en muchos casos, estaban hechas adrede para reflejar el carácter demencial de la protagonista de la película. De verdad, a todos, ¡¡¡Chapeau!!! Vamos con las soluciones (perdonad si en algún caso son demasiado breves; si alguien precisa mayores explicaciones sobre cualquier aspecto, no dudéis en mandarme un mail). M – 1.- Según el enunciado, buscamos una partición a1 + a2 +...... + an = 2014, de modo que  sea máximo. Desde luego la cuestión tiene solución, ya que el número de particiones de 2014 es finita, y cada una tiene asociado un producto, uno de los cuales será el mayor. Vamos a hacer algunas consideraciones previas a la resolución, que posteriormente nos la facilitarán. Como pretendemos que el producto sea el mayor posible, analicemos si es posible cambiar algún ai por otros dos, de modo que la suma no se altere, pero que el producto sea mayor. Supongamos por ejemplo que la partición tuviera algún valor aj ≥ 4. En ese caso aj podría sustituirse por los factores 2 y aj – 2, por que la suma queda como está: 2 + aj – 2 = aj el producto sería 2(aj – 2) = 2aj – 4. Como aj ≥ 4,  2aj ≥ 4 + aj, de donde se tiene que 2aj – 4 ≥ aj Mediante este proceso, asociamos a cualquier número mayor o igual a cuatro en doses y treses, y la nueva partición tiene un producto mayor o igual que el de la partición inicial. Si algún aj = 1, lo podemos sumar al ak que queramos, reemplazando ambos sumandos por el nuevo número 1 + ak. La suma es idéntica, pero el producto es mayor ya que pasamos de 1 x ak a ak+1. Por tanto, el producto máximo será un valor de la forma 2x 3y. Si la potencia del 2, que hemos designado por x, resulta ser x ≥ 3, cada terna de doses puede sustituirse por un par de treses. Esto es debido a que 2 + 2 + 2 = 3 + 3 (es decir, la suma no cambia), pero 23 < 32, el producto aumenta. Por tanto el producto máximo es de la forma 2a 3b, con a = 0, 1, 2. Como 2014 = 2 x 1007 (es decir, 1007 doses), podemos sustituir 335 tríos de doses, que se sustituyen cada uno, por 3 + 3 (= 32): 2014 = 2 x 1007 = 2 x (335 x 3 + 2). Por tanto, la partición estará compuesta por 670 treses y 2 doses, es decir, el producto máximo será 3670 22, cantidad, por si alguien tiene alguna curiosidad de 321 dígitos. Al corregir las soluciones que los concursantes enviaron, descubrí que Celso de Frutos dio una partición cuyo producto tenía, ¡¡EL MISMO NÚMERO de dígitos, 321!! Es 2014 = 3 x 671 + 1, cuyo producto es 3671. Pero la solución con el producto mayor es la primera (por poco; detallo los primeros dígitos): 3670 22 = 1876292...., mientras que 3671 = 1407219..... Otros productos propuestos han sido 21007 que sólo tiene 304 dígitos. M – 2.- Se trataba de encontrar el valor de S en S = 12 – 22 + 32 – 42 +............+ 20132 – 20142 Utilizando aquello de que diferencia de cuadrados es suma por diferencia, rescribimos la expresión así: S = (1 – 2) (1 + 2) + (3 – 4) (3 + 4) +............+ (2013 – 2014) (2013 + 2014) Obsérvese que los factores señalados en verde son (– 1), lo que hace que S sea una suma de valores negativos, en concreto, S = – (1 + 2 + 3 + 4 +............+ 2013 + 2014) De la conocida expresión para la suma de los primeros sumandos de una progresión aritmética, se tiene entonces que S = – = – 2029105 M – 3.- En efecto, 2029105 = 5 · 13 · 19 · 31 · 53. M – 4.- Ahora nos piden aproximar este valor Se trata de la suma parcial hasta el sumando 2014 de la serie . Esta serie es convergente (de hecho, absolutamente convergente), cuya suma es π2/12 ≈ 0.8224670334... Este valor se puede determinar a partir del desarrollo en serie de Fourier de la función x2: , 0 ≤ x ≤ 1, sustituyendo en ese desarrollo el valor x = 0. Por otra parte, en una serie numérica alternada convergente, designando por Sn su suma parcial n-ésima, y S en este caso su suma, se tiene que | Sn – S | ≤ an+1. Por tanto, para S2014 se verifica que . De esa desigualdad, se obtiene que 0.8224667871 ≤ S2014 ≤ 0.8224672797 Este procedimiento no nos ofrece los ocho decimales correctos que se pedían (sólo nos da cinco), pero, a falta de un argumento más ajustado, se da por válido. El valor con diez dígitos correctos según el ordenador (para comparar sí puede utilizarse), es S2 ≈ 0.8224669102..... Carles Virgili  y Andrés Mateo proponen una solución más ajustada. Descomponen S2 del siguiente modo: Se precisa entonces estimar esas sumas (S2014 y S1007) con la precisión adecuada. Aproximando esas sumas mediante S2014 = A2014 + R2014 S1007 = A1007 + R1007 siendo R2014 y R1007 los respectivos restos, entonces S2 = A2014 – A1007 + (R2014 – R1007) Exigiendo que la diferencia entre restos (paréntesis del segundo miembro de la expresión anterior) tenga una precisión de ocho decimales correctos (tal y como se pide en el enunciado) y utilizando la fórmula de Euler-MacLaurin para aproximar las sumas (y la ayuda de Maple), obtiene que S2 ≈  1.644437666.... – 1.643941511.... ≈ 0.8224669105.... M – 5.- Llamemos d a la diferencia de los términos de la progresión aritmética (que no necesariamente tiene que ser positiva). Consideremos los lados del triángulo y su área en progresión aritmética en este orden: a, b, c, A. Por estar en progresión aritmética de diferencia d, sean esos valores b – d, b, b + d, b + 2d, respectivamente. La fórmula de Herón, , nos proporciona el valor del área de un triángulo cualquiera a partir de las longitudes de sus lados, siendo s el semiperímetro (la mitad del perímetro) del triángulo. Según los valores dados, s = (b - d + b + b + d)/2 = 3b/2 Aplicando entonces la fórmula de Herón (con el área al cuadrado, para no utilizar la engorrosa raíz): Como el primer miembro es un número entero, para que lo sea el segundo, b debe ser un número par. Designémoslo mediante b = 2 B, para algún entero B. Así, la expresión [1] se rescribe como 4 (B + d) = 3 B2 (B – d), y despejando d, Para B > 2, 3B2 + 4 > 8B, por lo que el cociente en [2] no es un número entero. Por tanto las únicas posibilidades son que B = 1 o que B = 2. Si B = 1, d = –1/7, que no daría para a, b, c valores enteros. Si B = 2, d = 1, a = 3, b = 4, c = 5, A = 6. Por lo tanto el único triángulo con las condiciones impuestas es el conocido triángulo rectángulo 3 – 4 – 5. M – 6.- Los triángulos cuyos lados son números enteros se denominan heronianos, precisamente en honor de Herón de Alejandría. El triángulo rectángulo 3 – 4 – 5, y área 6, obtenido anteriormente, era conocido ya en Egipto mucho antes de Herón. Sin embargo, el descubrimiento del triángulo 13 – 14 – 15 y área 84 se le atribuye a él. No es un triángulo rectángulo, pero sus lados y área son números enteros. Por esta razón, a los triángulos de lados y área enteros se les bautizó como triángulos heronianos en su honor. M – 7.- Existen muchos resultados y fórmulas acerca de los triángulos heronianos. Una cuestión de la que se desconoce la respuesta es si existe algún triángulo heroniano con sus tres medianas racionales. (Por si alguien no se acuerda bien, una mediana de un triángulo es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto). Con dos medianas racionales si se conocen (por ejemplo, el triángulo 76 – 51 – 26 con medianas 35/2 y 97/2, entre otros), pero con tres no. Los que buscan la solución, “a la fuerza bruta”, es decir, comprobando con el ordenador mediante un algoritmo de búsqueda, a fecha de hoy, no han encontrado ninguno entre todos los triángulos de diámetro menor o igual a 600000 (con diámetro de un triángulo nos referimos al diámetro del menor círculo que contenga al triángulo). M – 8.- Con estas cuestiones sobre triángulos heronianos pretendíamos básicamente darlos a conocer, y que el lector buscara información sobre ellos y quizá se interesara por ver cómo se obtienen. Evidentemente incluir la demostración de cómo obtener un par de triángulos heronianos distintos del mismo perímetro y área excede lo razonable para un concurso festivo como éste, por lo que sólo se pedía un ejemplo de esos triángulos. En cualquier caso, mediante un razonamiento similar al desarrollado en la resolución de M – 5, se llega a que los triángulos heronianos verifican las relaciones a = 4m2 + n2,    b = 5(m2 – n2),    c = m2 + 4n2,   P = 10m2,   A = 10mn(m2 – n2), para valores apropiados de m y n. Se ha dado por válido, encontrar dos pares de valores adecuados para m y n, que nos proporcionen idénticos P (perímetro) y A (área). Por ejemplo, 221 – 120 – 149  y  205 – 200 – 85, de perímetro 490 y superficie 8400. Varios concursantes han aludido a que han utilizado el estupendo artículo Pares de triángulos heronianos con áreas y perímetros iguales: una descripción de K. R. S. Sastry ( http://www.oei.es/oim/revistaoim/numero16/Sastry.pdf). El proponente, también lo ha utilizado. M – 9.- Un procedimiento elemental, pero laborioso es utilizar argumentos de geometría analítica, es decir, fijar los triángulos en un sistema de coordenadas, calcular las rectas que pasan por los vértices, etc. Os muestro una solución alternativa utilizando ángulos y el teorema del coseno. Etiquetamos los diferentes ángulos como se muestra en la figura (se aplica reiteradamente la semejanza de triángulos para hacerlo). A partir de ahí, se sigue que ∠B = β + δ, y que ∠C = α + ε. Entonces, ∠B + ∠C = (α + β) + δ + ε = 90º + δ + ε > 90º. Por tanto, ∠A < 90º. Por la ley de los cosenos aplicada al triángulo ΔXYZ, se tiene que XZ2 = 32 + 52 – 2 ∙ 3 ∙ 5 cos γ = 34 – 30 cos γ. Como γ = 180º – β, entonces XZ2 = 34 + 30 cos β = 34 + 30 (3/5) = 52, y entonces, XZ = 2. De nuevo aplicando el teorema del coseno en ΔXYZ, YZ2 = 52 = 52 + 32 – 2 ∙ 3 ∙ 2 cos δ, por lo que cos δ = 3/. De ahí, sen δ = 2/, y por tanto, cos B = cos(β + δ) = cos β cos δ – sen β sen δ = = (3/5)(3/) – (4/5)(2/) = 1/(5/) > 0. Entonces, ∠B < 90º. De forma análoga se puede comprobar que cos C = 23/(5) > 0, y de ahí, ∠C < 90º, por lo que ΔABC no es rectángulo. M – 10.- Haciendo cálculos (no se detallan, dada su sencillez; un procedimiento es calcular las ecuaciones de las rectas de los tres lados, luego las coordenadas de los tres vértices, y acabar calculando el área del triángulo), comprobamos que la afirmación no es cierta. Área del triángulo ABC = 1849/18 u2 = 102,72 u2 Área de la parte sombreada 2(32 + 42 + 52) =  100 u2 M – 11.- Las soluciones de la ecuación son las raíces cuartas de – 1, que escrito en forma binómica compleja es z = – 1+ 0 i. El módulo de este número es 1, y el argumento 180º, es decir, π. Por ello las raíces cuartas serán de la forma , con k = 0, 1, 2, 3. Las raíces cuartas pedidas serán entonces en forma polar, y en forma binómica: M – 12.- Obsérvese que en forma exponencial los anteriores números complejos son, respectivamente, . Por tanto sus logaritmos (neperianos o naturales, se entiende), al ser funciones inversas la exponencial y la logarítmica, serán sencillamente, . Su representación gráfica por tanto se encuentra sobre la recta vertical  x = 0 (o sea todos los valores imaginarios, tal cual se encuentra la mente de la protagonista), mientras que las raíces de – 1 están formando un cuadrado. M – 13.- Es conocido que la longitud de la circunferencia viene dada por L = 2π r, siendo r el radio de dicha circunferencia. Nos dicen que la moldura superior, una semicircunferencia, tiene por longitud π, luego r = 1. Podemos entonces modelizar la situación como se ve en la imagen, o sea,  x2 + y2 = 1 la ecuación de la circunferencia de la que representamos su mitad superior, (x – 1)2 + y2 = 1 para el arco de centro (1, 0) y radio la unidad, y  (x + 1)2 + y2 = 1, el simétrico desde el punto (– 1, 0). Se pide el área pintada en la gráfica de color verde. Teniendo las ecuaciones, lo más sencillo es calcular la superficie mediante cálculo integral. Para ello debemos hallar primero el punto de corte de los arcos con la semicircunferencia. De las dos primeras ecuaciones, se sigue sin más que despejar y2, que (x – 1)2 + 1 – x2 = 1, o lo que es lo mismo, (x – 1)2 = x2. De ahí es sencillo obtener que x = ½. Como la situación es simétrica a izquierda y derecha del eje de ordenadas, el área será entonces Obsérvese que (hay varios modos de expresarlo), fijándonos sólo en el primer cuadrante, se ha restado del área del círculo en dicho cuadrante, las superficies encerradas por los respectivos arcos de circunferencia (que también es fácil comprobar que son idénticos por simetría). El área es por tanto A = ≈ 0.3424266281..... NOTA: Algunos participantes han considerado como arco superior (el de longitud π) sólo la parte correspondiente al intervalo [– 0.5, 0.5] del dibujo. En ese caso, el radio resulta r = 3, y el área 3.08184 aproximadamente. Revisado el enunciado original, en efecto puede no quedar claro el arco al que se refiere, y como todos han razonado convenientemente, se ha tomado la solución salomónica de considerar correctas ambas soluciones. M – 14.- Es conocido el truco para elevar al cuadrado un número de dos cifras terminado en 5: se tomar la cifra de las decenas, se multiplica por su consecutivo en el orden natural, y se le pega el número 25 a continuación. Por ejemplo, 352 sería (3 x 4 = 12), 1225. La razón de que esto suceda, es clara: (10 a + 5)2 = 100 a2 + 2 ∙ 5 ∙ 10 a + 25 = 100 (a2 + a) + 25 = 100 a(a+1) + 25 Ahora bien, ¿es cierto para números de mas de dos cifras? Si uno experimenta con algunos ejemplos, comprobará que parece que también se cumple. La demostración general no es tan evidente, pero el magnífico nivel de los concursantes nos ha aportado varias. A continuación la facilitada por María José Fuente: La razón por la que no se utiliza para números de más de dos cifras es porque ya no es tan sencillo hacer la multiplicación mentalmente, y casi es igual hacer la multiplicación original. M – 15.- El año de la película. Se dice que tiene el mismo número de factores primos que el año presente, o sea que 2014. Como 2014 = 1 ∙ 2 ∙ 19 ∙ 53, resulta que el año en cuestión tiene cuatro factores primos (tres si prescindimos del trivial 1). La fecha oficial de nacimiento del cine es 1898. Si factorizamos todos los años desde 1898 a 2014, sólo tienen tres factores los años 1898, 1902, 1905, 1910, 1918, 1930, 1947, 1955, 1958, 1965, 1970, 1978, 1986, 1990, 2001, 2006, 2013, 2014. De la información que se va extrayendo del texto y de resolver las demás cuestiones (las de cine fundamentalmente: película de cine negro, a blanco y negro, quizá habiendo averiguado también la actriz principal (Joan Crawford), etc.) se deduce que (no es muy matemático, pero recuérdese que este concurso trata de aunar cine y matemáticas) se refiere a 1947. M – 16.- Supongamos que existan dos números M y N tales que N = 1.8 M + 32,   [1] donde los dígitos de ambos son M = a1a2a3....an,  y N = an.......a2a1. En primer lugar, an ≠ 0, porque en caso contrario, N < M. Esto obliga además a que, por la igualdad anterior, 5 sea divisor de M, por lo que an= 5. Como N ≡ a1 mod 10, y N = 1.8M + 32  ≡ 1.8 (10 an-1 + 5) + 32  mod 10 ≡ 8 an-1 + 1  mod 10 entonces a1 debe ser impar. Teniendo en cuenta los primeros dígitos de N y M, se sigue que a1= 3.  Entonces, 8 an-1 + 1 ≡ 3 mod 10, y de ahí, an-1 debe ser 4 o 9. Si an-1 = 4, considerando los dos prímeros dígitos de N y M, por [1], a2= 0. Eso nos lleva a que N ≡ 3 mod 100, mientras que N = 1.8M + 32  ≡ 1.8 (100 an-2 + 45) + 32  mod 100 ≡ 8 an-2 + 113  mod 100, de donde 80 an-2 + 110 ≡ 0 mod 100, o dicho de otro modo, 10 divide a  8 an-2 + 11, lo cual es imposible porque los múltiplos de 8 siempre acaban en 0, 2, 4, 6 u 8, que al sumarlos 11, nunca pueden ser divisibles por 10. Si an-1 = 9, N ≡ 10 a2 + 3 mod 100, y N = 1.8 M + 32  ≡ 1.8 (100 an-2 + 95) + 32  mod 100 ≡ 80 an-2 + 203  mod 100, y por [1], a2 ≡ 8 an-2 mod 10       [2] por lo que, por [1], a2 debe ser par. Teniendo en cuenta que los dos dígitos de N son 59 y de M, 3a2 entonces, a2 = 2. Echemos finalmente un vistazo a an-2. Considerando los dos primeros dígitos de M (32), y los tres primeros dígitos de N (59 an-2), se tiene por [1] que an-2 ≤ 3. Por [2], entonces 8 an-2 ≡ 2   mod 10, y entonces an-2 tiene que ser o 4 o 9, lo cual es absurdo. En conclusión, no existen dos temperaturas N y M que satisfagan las condiciones indicadas. M – 17.- Sean x la edad del hombre e y la de la chica. Se dice por un lado que x – 5 = 2 (y – 5). Es decir que x = 2y – 5. Tras plantear todas las posibilidades de números de dos cifras cuya suma en binario sea la unidad, se llega a que la única posibilidad de que las edades concuerden con los datos, es que x + y = 55, en cuyo caso las edades son x = 35, y = 20. No hace falta para nada el dato adicional, y si se considera, sólo en uno de los casos posibles se llega a una solución. Además de seguir “desquiciando” al personal, tal y como está la protagonista, se trataba únicamente de dar alguna pista más sobre la película (el protagonista toca el piano). M – 18.- 60 = 22 · 3 · 5. Tiene exactamente 12 divisores distintos [1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60] (aprovéchese para repasar la fórmula que da el número de divisores de un número). De ellos, seis son menores que 7. Por tanto la probabilidad de la que se habla es 6/12, es decir, ½. El comentario de que lo sabría un niño de primaria se refiere a que es de perogrullo que la protagonista tiene ½ de posibilidades de acertar o no acertar. Respuestas a las cuestiones relacionadas (más o menos) con el cine: C – 1.- A A no le agrada S, esencialmente por ser un valor negativo, aunque tiene más que ver con la película que S2 porque la protagonista es también un personaje bastante negativo. Uno de los concursantes, Emilio Díaz, además aporta un apunte que no esperaba que lo descubrieran, que tiene más relación con el apartado de matemáticas: La relación de la suma S con la película es debida a que el valor absoluto del número negativo 2029105 es el 2014-ésimo número triangular (recordemos que estamos en el año 2014). Recordemos que un número triangular es un número de la forma Sustituyendo n = 2014 obtenemos el valor absoluto de S = 2029105, el número triangular de lado 2014. Y los triángulos tienen que ver con la película debido a las relaciones entre los personajes. También algunos concursantes han apreciado que, de algún modo, el número de las habitaciones del hospital donde ingresa la protagonista, 295 y 150, están de algún modo incluidos en el valor de esa suma. C – 2.- Se refiere al rol de mujer fatal frecuente en las películas de cine negro. En esta película, el protagonista masculino puede considerarse un “hombre fatal”. C – 3.- Trabaja en el diseño de vigas moldeadas. C – 4.- David, el protagonista, es ingeniero industrial. C – 5.- Triángulos básicos hay tres (eso ya sería un cuarto triángulo): Louise (la protagonista), Pauline (la esposa enferma que cuida) y Dean (marido de Pauline); Louise, Dean y David; Louise, Caroline (hija de Dean) y David. Si nos atenemos a todo tipo de triángulos, no sólo los sentimentales, en la puesta en escena hay numerosos momentos en que aparecen tres personajes: en el hospital atienden dos médicos a Louise, Louise y los dos hijos de Dean (hijastros al casarse con Dean), etc. C – 6.- Se refiere al psicoanálisis y Freud. Son muchas las películas que en Hollywood abordaron este asunto. Algunos ejemplos son: Freud, pasión secreta (Freud, the Secret Pasión, John Huston, 1962), varias de Alfred Hitchcock (Rebeca, Recuerda, Psicosis, Vértigo, Marnie la ladrona,....), La escalera de caracol y A través del espejo, ambas de Robert Siodmak; las versiones de Dr. Jekyll y Mr. Hyde con el tema del desdoblamiento de la personalidad, etc. Y fuera de Hollywood el tema también ha tenido diversas incursiones: películas de Luis Buñuel, Ingmar Bergman, Krzysztof Kieslowski, Woody Allen, etc. Hasta Pedro Almodóvar con sus Tacones Lejanos podría adherirse a la lista. C – 7.- Evidentemente se está hablando del cine negro. Alguna otra característica no citada suele ser la narración desde el punto de vista totalmente subjetivo de algún personaje, la intercalación de flashbacks, el uso de la violencia, lenguaje elíptico y metafórico donde se describe la escena caracterizado por una iluminación tenebrosa en claroscuro, escenas nocturnas con humedad en el ambiente, se juega con el uso de sombras para exaltar la psicología de los personajes, etc. Directores de cine negro: Robert Siodmak, los comienzos de Billy Wilder, Curtis Bernhardt, Fritz Lang, John Huston (algunos consideran El halcón maltés, 1941, como la primera película de film noir, aunque personalmente creo que el género ya es distinguible desde principios de los años 30), etc. C – 8.- La película del jeroglífico es Psicosis. (letra griega Psi – definición del coseno cos – otra vez psi al revés, o sea isp, quitando la p, is. Total: Psicosis). C – 9.- Películas diferentes con el mismo título en castellano: Tres mujeres.- hay una de Ingmar Bergman de 1952, y otra de Robert Altman de 1977. Otro ejemplo más reciente es el de Más allá de los sueños (Bedtimes Stories, Adam Shankman, EE. UU., 2008) y Más allá de los sueños (What Dreams May Come, Vincent Ward, EE. UU., 1998). Y hay muchos más, Cruce de caminos, ¡Por fin solos!, Crash, etc. C – 10.- Joan Crawford, según he leído, es la única actriz que protagoniza dos películas distintas con el mismo título (ojo, en inglés): Possesed, dirigida por Clarence Brown en 1936 (en España se tituló Amor en venta), y la que nos ocupa dirigida por Curtis Bernhardt en 1947 (que aquí se tituló Amor que mata; se ve que querían que nos quisiéramos mucho). Si en el conjunto inicial colocamos la etiqueta “películas” o “año de producción”, y en el conjunto final “títulos”, se trata de una aplicación porque cada imagen tiene al menos un origen. No sería inyectiva, porque películas distintas tienen el mismo título, pero sí sería aplicación. Obviamente no lo es si los conjuntos se intercambian. C – 11.- A Canadá marcha David Sutton, a la fábrica que tiene Dean Graham, y que le viene de perlas para deshacerse de Louise. Ésta, por supuesto, quedará despechada, aunque no se olvidará de él. C – 12.- El aparato de la imagen no es un termómetro, sino un tensiómetro (también se da por válido Esfigmomanómetro). En la medida de la tensión arterial (TA) se dan dos valores, la tensión sistólica (máxima o alta), y la tensión diastólica (mínima o baja). Se suelen expresar en milímetros de mercurio (mmHg), separadas por un guión. Por ejemplo 140 – 90 mmHg. o una barra 140/90. Sin embargo no es infrecuente escuchar a médicos y pacientes utilizar medidas en centímetros de mercurio en lugar de en milímetros. En ese caso, la cifra anterior debe dividirse por 10, por lo que la TA anterior sería 14 – 9 o 14/9. En la película, la versión doblada lo expresa de este último modo, mientras que en la versión original lo hace en mmHg. C – 13.- Hay varios momentos en los que el protagonista David Sutton menciona las matemáticas o cifras diversas. Por ejemplo cuando bromea con Wynn, el hijo menor de Dean: “la última vez que te vi aún no te afeitabas”. El chico no se entera de qué le habla, y David replica, “Es matemáticamente imposible gastarle una broma a un niño de su edad”. A este respecto se podía haber pensado alguna cuestión sobre el humor en los matemáticos. O en otros momentos, cuando la cámara nos lleva por los pasillos del hospital, se podía pensar en algo relacionado con distancias, perspectivas desde la camilla, etc., o estimar el número de libros de la biblioteca de Dean, o tiempo en lancha desde donde vive David a la casa de Dean, o en la escena en la que Louise prepara unas bebidas mientras David explica un experimento sobre sedimentos petrolíferos: “hice una prueba con 1000 barriles de crudo, y recorrieron 4 Km. en 1 hora”. C – 14.- Se refiere a la famosa cuestión de las edades de las hijas de una lechera vecina de otra que quiere saber las edades de las hijas de la primera. El producto de las edades es 36, y como la segunda lechera dice que falta un dato, la primera le apunta que “la hija mayor toca el piano”. C – 15.- Como algunos concursantes han apuntado, esta cuestión es tan delirante como la protagonista (era otra pista para tratar de averiguar la película). Además previamente se menciona la relación de A y B con otra película, Psicosis. Todo ello trataba de desembocar, (incluido lo de que  en caso de que se atentara contra la integridad de A, también acabaría con B), en que A y B son la misma persona. Es decir, yo mismo me reúno con mi parte perversa para idear las cuestiones del concurso (como cuando pienso en poner las preguntas de un examen). Quizá hubiera sido más claro mencionar a Jekyll y Mr. Hyde, pero no era del todo exacto porque éstos no conviven nunca, mientras que A y B sí. C – 16.- De todo lo dicho anteriormente se deduce que se trata de Amor que mata (Possessed, Curtis Bernhardt, EE. UU., 1947).   Antes de pasar a la puntuación obtenida por los concursantes no me resisto a compartir algunas cuestiones sobre la película sugeridas por algunos de ellos. Concretamente, Alejandro Azpeteguía nos propone las siguientes (elijo sólo algunas de las muchas que ha propuesto): En el minuto 92:50 está tomada esta foto de Joan Crawfoed. Aprovechando el diseño del escote y el remate bordado de su vestido, se puede plantear la siguiente cuestión geométrica: si el vestido de la cintura al cuello delimita un trapecio isósceles invertido (sin contar las mangas) y el escote es un triángulo isósceles centrado en él, hallar la altura del escote sabiendo que el área de carne mostrada es un tercio del área de tela que hay dentro del trapecio. (Modelizar la situación eligiendo las medidas necesarias mínimas que se consideren oportunas, así como su longitud). En el minuto 105:57, podríamos aprovechar la sombra en forma de parábola debida a la luz proyectada por la lámpara, para averiguar la ecuación de la parábola dando algunas pistas (tangente a la cabeza del doctor y a la esquina superior izquierda del cuadro) y algunas medidas (como la diferencia de altura entre los puntos citados). Y una cuestión mucho más críptica para realizar un visionado detallado de la película: ¿en qué escena de la película de tiempo matemático podemos encontrar un mono y una anguila escondidos entre Segundos y Terceros? Pista: también podemos encontrar una afilada 5ª letra del alfabeto griego. SOLUCIÓN: Mono = APE, Anguila = EEL, 2º = Second, 3º = Third, 5ª letra griega = ε, Afilar = SHARPEN Por tanto estamos hablando de la escena del minuto 3:14 (PI) como podemos ver en la imagen. Apunte personal: ¡¡¡ Y luego decís que yo soy retorcido !!! Finalmente propone un jeroglífico (sólo apto para informáticos) cuya solución es el título de la película (Possessed): Ayuda: SSE (Streaming SIMD Extensions) es una extensión al grupo de instrucciones MMX para procesadores Pentium III, introducida por Intel en febrero de 1999. Puntuación Final De un total de 300 puntos posibles, estos son los resultados: Alejandro Azpeteguía Torres      299 Carles Virgili Borrell                     288 Emilio Díaz Rodríguez                  283 Andrés Mateo Piñol                      269 Mª José Fuente Somavilla             265 Francisco Pi Martínez                 233 Celso de Frutos de Nicolás          219 Enhorabuena nuevamente a todos. En breve recibiréis un correo solicitándoos una dirección postal para enviaros un obsequio de DivulgaMAT. Espero que os haya entretenido la propuesta, y como comenté el año pasado, no dudéis que tratará de mejorarse para la próxima edición. A ello contribuirán vuestras magníficas sugerencias.

Miércoles, 10 de Septiembre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

357. 114. (Febrero 2017) Los números imaginarios, de Lola Morales

Lola Morales es profesora de matemáticas además de escritora. Los números imaginarios (Adeshoras, 2016) es su primer libro de relatos, y es también el título del cuento con el que termina la obra. Las dos citas –de Leibniz y Euler, sobre los números imaginarios– con las que se inicia el libro ya anuncian el tipo de historias con las que nos vamos a encontrar: relatos cotidianos de personas aparentemente normales en las que suceden situaciones ¿reales o imaginarias? En las líneas de Los números imaginarios se habla de la soledad, de la pérdida, del engaño, del conformismo, del poder, de la diversidad, del amor… de la vida misma, que en ocasiones se descubre enigmática y misteriosa. En el Síndrome del cuerpo fantasma, ¿se hace real y paulatinamente invisible el protagonista, o es tan solo su imaginación la que le hace sentir esa situación ante el alejamiento de su amada Vera? Elegir a papá presenta un reality en el que un niño que pensaba ser huérfano debe reconocer a su auténtico padre entre diez posibles candidatos. ¿Qué parte del programa se basa en la realidad? ¿Hay algo que no sea ficticio, imaginario? ¿Narra realmente Puente aéreo la espera de un grupo de pasajeros para tomar un avión? ¿O quizás en un Gran Hermano en el que no se distingue quién finge y quien dice la verdad? Las muñecas es una inquietante historia de una niña con un defecto físico que colecciona muñecas que se parecen sorprendentemente a ella. ¿Esas marionetas, son seres inanimados o son seres reales a los que manipula para no sentirse diferente? En Rito de paso, ¿por qué Vicente es tan hábil con los cuchillos? ¿Conseguirá averiguar la policía en algún momento lo que le pasó a aquel perro abandonado? La cláusula 20 impide cambiar el guion a estos figurantes contratados para vender un piso. Pero, ¿qué sucedería si se cambiara algo en este rígido guion? Las tradiciones familiares se siguen sin discutir, porque para ello son tradiciones… por muy crueles y sanguinarias que parezcan… La Primera ley de Newton o ley de la inercia dice que ‘Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado a cambiar su estado por fuerzas impresas sobre él’. La línea recta, lo anodino de la vida que nos atrapa ¿es esa nuestra Primera ley de Newton? ¿Cómo escapar a ella? ¿Cómo funciona el Edificio Bonsái? Alguien debe irse para que alguien llegue… Trasplantar, podar, abonar… ¿Qué contiene ese especial paquete que reciben Andrea y Bruno en el relato titulado Los tonos de blanco? ¿Por qué Andrea solo quiere huir de él? Tres corazones, ocho brazos y unos tentáculos pringosos diferencian a Berto de sus compañeros. Paula le acepta como es; él se siente tan atraído por ella sin entender la razón… ¿Por qué el enjambre ejerce ese poder seductor sobre el padre de la protagonista? ¿Podrá resistir ella misma a esa fuerza fascinante de la abeja reina? Con el triste y bello cuento Los números imaginarios finaliza el libro de relatos. Oona es una niña nunca ha pisado la calle, su padre, Theo, la tiene recluida en su casa para evitar perderla para siempre. Él la educa entre las cuatro paredes protectoras de su casa, le enseña a soñar. Ya no quedan niños en la ciudad, se sospecha que viven en búnkeres para protegerles del K821 que pronto llegará a la Tierra desde el espacio exterior. Mientras Oona y su padre esperan el impacto, Theo habla a la niña de los números imaginarios, números que no existen. ¿Y qué cuentan los números que no existen? Papá, y esos números imaginarios, ¿son muy grandes? Los números imaginarios fascina y desconcierta… lo leeré de nuevo para intentar descubrir otro sentido, o varios, en cada uno de los relatos…

Miércoles, 08 de Febrero de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

358. 33. (Febrero 2017) Astrólogos matemáticos

(El Astrólogo. 1660. Tapiz flamenco de Gerardo Poemans. Palacio del Pardo. Madrid) Me doy cuenta de hasta qué punto son las matemáticas una realidad cultural extraña y compleja, y también, cuán vagos y variables son sus límites según las épocas. François de Gandt El término matemático ha ido evolucionando desde sus orígenes pitagóricos. Matemático se oponía a acusmático: el iniciado podía ver y participar frente al novicio que sólo podía escuchar. Cuando el filósofo escéptico Sexto Empírico (160-210) escribe Adversus mathematicos no está pensando en el sentido actual, de hecho la traducción española lleva por título Contra los profesores. En el mundo antiguo se utilizaba la palabra matemático para referirse al astrónomo y más particularmente al astrólogo. Así debe entenderse el controvertido texto de Agustín de Hipona: El buen cristiano debe tener cuidado con el matemático y todos los que hacen profecías vacías. Existe el peligro de que los matemáticos hayan hecho un pacto con el diablo para oscurecer el espíritu y confinar al hombre en los lazos del infierno. La cita pertenece al De Genesi ad Litteram II, XVII, 37. La confusión proviene del uso que hace San Agustín del término mathematicus (mathematici en su texto) que se refiere a lo que hoy entendemos como astrólogo. De hecho, el libro latino de astrología más influyente de su época fue el Matheseos Libri VIII del senador romano cristiano Julio Firmico Materno (siglo IV). Otros autores medievales lo utilizan con el mismo significado. Es el caso de un conocido poema titulado Mathematicus de Bernardus Sylvestris (siglo XII), cuya traducción inglesa es The Astrologer. La Astronomía formaba parte de la Matemática y hasta la Edad de la Razón se confundía con la Astrología. El paganismo grecolatino, heredero de las divinidades astrales caldeas, rendía culto a los dioses planetarios. No puede extrañarnos que un matemático de primer orden como Ptolomeo fuera el autor de un tratado clásico de astrología: el Tetrabiblos. El pensamiento astrológico aunque combatido por los Padres de la Iglesia, como San Agustín, se mantuvo vivo durante la Edad Media, se instalo en el Islam y resurgió con fuerza en el Renacimiento. Entre los matemáticos de primer nivel se sabe que Kepler realizaba horóscopos. Quizá hubo matemáticos sinceros creyentes en el poder de los astros pero muchos se dedicaron a la superchería por las razones tan bien expuestas por Diego de Torres Villarroel, el pícaro profesor de matemáticas de la Universidad de Salamanca, en pleno siglo XVIII: Las matemáticas, la música y la poesía se las doy a cualquiera, me quedaré con las zurrapas  astrológicas que me dan de comer. (La astrología. 1532. Fresco de Dosso Dossi. Castello del Buonconsiglio. Trento) Resulta interesante mostrar como los términos Astronomía y Astrología se utilizan indistintamente. Las representaciones alegóricas femeninas de las siete Artes Liberales de Marciano Capella son una muestra. Hay dos que pueden cambiar el nombre según el lugar, la Astronomía (por Astrología) y la Dialéctica (por Lógica). Así en los frescos de Dosso Dossi del Castello del Buonconsiglio en Trento o en los frescos de Pellegrino Tibaldi de la Biblioteca de San Lorenzo de El Escorial se rotula Astrología. (La astrología. 1590. Fresco de Pellegrino Tibaldi. Monasterio de San Lorenzo de El Escorial) De igual forma vemos que aparece la palabra Astrología en el Salón de la Paz del Ayuntamiento) de Münster o en las vasijas de Cerámica de Mennicken, que provienen del mismo grabado. (La astrología. Salón de la Paz. Münster) (La astrología. Jarrón de Mennicken. Museo V&A. Londres) Otra cuestión son las representaciones de Astrólogos con instrumentación matemática, como el tapiz del Palacio de El Pardo de la portada o el Astrólogo de François Eisen. El  tapiz del Estudioso entre soldados se encuentra en la escalera principal del Palacio En la guía  se le califica con razón de El astrólogo. Estamos ante un tapiz flamenco del taller de Gerardo Poemans (circa 1660) y perteneciente a la serie de Dido y Eneas, de la que se ha desgajado quizá por su interés en sí mismo. La colección de instrumentos matemáticos es esplendida. El libro es el tratado de Astronomía poética del filósofo hispano romano Cayo Julio Higinio. (El Astrólogo. 1750. François Eisen. Museo de Bellas Artes. Valenciennes) El pintor rococó flamenco François Eisen realiza gran parte de su carrera en Valenciennes. El Museo de Bellas Artes exhibe tres pequeños cuadros entre los que se encuentra El astrólogo, un tema pictórico muy grato para los artistas, especialmente desde El filósofo en meditación de Rembrandt. El filósofo es sustituido por un astrólogo o astrónomo, lo que permite mostrar tanto la concentración del sabio como los instrumentos. Eisen coloca la escuadra, el compás, la esfera armilar y el transportador, instrumentos alegóricos de la ciencia junto a la paleta del pintor o el busto escultórico más propios de las bellas artes. (Filósofo en meditación. Rembrandt. Museo del Louvre. París) El retrato del matemático, astrónomo, astrólogo y teólogo Nikolaus Prugener (1494-1554) sintetiza admirablemente toda una época convulsa .en la que ciencia y superstición se entremezclan. Durante el Renacimiento se juntan lo nuevo y lo viejo, la ciencia y la superchería, la religión tolerante y el fanatismo, para mostrar todas sus contradicciones y su vital dinamismo. Prugener es un arquetipo de su tiempo. Se inicia como monje agustino para incorporarse activamente a la reforma. Estudia matemáticas, debate sobre teología, observa los cielos y cree en la influencia astral. Las ciudades de Mulhouse, Estrasburgo o Maguncia son algunos de los lugares con acalorados debates entre reformistas en los que participara el apasionado teólogo. Terminará sus días en Tubinga como profesor de astronomía. El retrato de Prugner no se limita a mostrar una leyenda saturnal abajo y una esfera armilar arriba. Lo más significativo es la daga con las siete estrellas errantes, que a su vez son los símbolos de los elementos químicos. Completando las contradicciones: un precursor del pacifismo anabaptista va armado. (Retrato de Nikolaus Prugener. Museo de la Astronomía y la Técnica. Kassel)

Martes, 07 de Febrero de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

359. 146. (Febrero 2017) Ganancia segura

Es bien sabido que las matemáticas proporcionan algunas veces métodos que permiten ganar en determinados juegos de sobremesa, que no son estrictamente de azar. Existen procedimientos estadísticos para jugar con muchas probabilidades de éxito al póquer, al Black Jack, a la ruleta, a las quinielas, etc. Toda banda de jugadores que se precie ha de contar entre sus filas con algún matemático o, al menos, un personaje con grandes dotes calculísticas y habilidades numéricas. Enseguida nos vienen a la mente las películas «21 Black Jack» (2008) y «The Pelayos» (2012), donde aparecen todos estos ingredientes (puedes ver algunas reseñas con tintes matemáticos en los portales Divestadística, de la Escuela Andaluza de Salud Pública, y Matemáticas en el cine, de José María Sorando y, ¡cómo no!, en nuestra sección vecina "Cine y Matemáticas" de Divulgamat, mantenida incansablemente por Alfonso Población). En este rincón ya nos hemos hemos encontrado varias veces con juegos de magia donde se aprovechan propiedades probabilísticas poco conocidas o poco intuitivas. Por ejemplo, en "Todos ganan a todos" (diciembre de 2007) y en "Un Penney por tu jugada" (marzo de 2011) se utiliza la propiedad de no-transitividad de las leyes de probabilidad; los juegos descritos en "Predicción casi segura" (enero de 2008) y en "Siempre en medio" (octubre de 2015) se basan en propiedades sorprendentes de la teoría de la probabilidad. Un método, tan infalible como ruinoso, para ganar a la ruleta se basa en un proceso estocástico llamado martingala, introducido por el matemático Paul Lévy (1886-1971) en sus estudios sobre teoría de probabilidades. El sistema es muy simple: apuestas un euro al rojo. Si sale rojo, has ganado un euro y vuelves a empezar el proceso; si sale negro (o el cero), doblas la apuesta anterior. Este proceso de doblar la apuesta anterior se repite hasta que salga rojo, de modo que, si has perdido n partidas seguidas antes de que salga rojo, la cantidad perdida es 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2n-1 = 2n - 1 euros pero has ganado 2n euros en la última jugada. En total, has ganado un euro. Si es infalible, ¿por qué es ruinoso? Primero, porque si sale negro (o el cero) diez veces seguidas, has perdido 2047 euros y posiblemente se ha superado el tope permitido para apostar en la ruleta: dinero perdido. Segundo, en cada ronda solo ganas un euro: muchas rondas tienen que pasar para que salgas contento del garito, si no te has arruinado antes. Henry Christ Una pequeña modificación del método de la martingala nos conduce a un precioso juego de adivinación, desarrollado por Persi Diaconis y Henry Christ, a partir de una idea de Martin Gardner, y publicado en el nunca bien ponderado libro «Magical Mathematics: the mathematical ideas that animate great magic tricks» (2011), escrito por Ron Graham y el propio Persi Diaconis. Ya nos hemos encontrado a Martin Gardner y Persi Diaconis bastantes veces en este rincón así que presentaremos por primera vez al ingeniero y mago aficionado Henry Christ (Nueva York, 1903 - 1972), creador de multitud de juegos de magia con cartas (puedes encontrar una "pequeña" lista de ellos en la fabulosa base de datos que mantiene Denis Behr) y gran amante de la magia matemática. Por cierto, acabo de descubrir que fue precisamente Henry Christ quien desarrolló el principio aritmético en el que se basa el juego que hemos tratado en las dos últimas entregas (al menos, eso afirma John Scarne en su libro «Scarne on card tricks», publicado en 1950). Esta es mi versión del juego. Como limitaremos nuestra apuesta al color, en vez de utilizar una ruleta, nos conformaremos con una baraja francesa. Y, para no alargarlo demasiado, usaremos solo cuatro cartas: dos negras y dos rojas. Mezcla bien las cuatro cartas y déjalas en un montoncito sobre la mesa, caras hacia abajo. El juego consiste en lo siguiente: voy a apostar siempre al rojo y sé que, al final, ganaré 70 euros. Incluso, te voy a explicar cuál será mi estrategia del juego: cada vez que gane una jugada, el valor de mi siguiente apuesta será la mitad del valor anterior; y cada vez que pierda una jugada, el valor de mi siguiente apuesta será igual al valor de mi apuesta anterior más la mitad de dicho valor. Digamos, por ejemplo, que apuesto 30 euros en una determinada jugada. Si la pierdo, en la siguiente jugada apostaré 30 + 15 = 45 euros; si la gano, en mi siguiente jugada apostaré solo 15 euros. Voy a empezar apostando 80 euros. Gira la primera carta: si es roja, he ganado 80 euros y en la siguiente jugada apostaré 40 euros; si es negra, he perdido 80 euros y apostaré 120 euros en la siguiente jugada. Ya conoces el sistema: gira la siguiente carta y lleva la cuenta de mis ganancias y de mis pérdidas. Ya conoces también cuáles van a ser mis siguientes apuestas. Suma todas mis ganancias y todas mis pérdidas. ¿He ganado un total de 70 euros? ¡Lo sabía! Si no te importa, vamos a jugar otra vez en condiciones un poco más reales: añadiremos otra carta negra, que jugará el papel del cero en los casinos. Así pues, utilizaremos cinco cartas, dos rojas y tres negras pero yo seguiré apostando al rojo. Y estoy seguro de que ganaré al final 25 euros. Ya conoces el sistema pero te lo vuelvo a recordar: cada vez que gane una jugada, el valor de mi siguiente apuesta será la mitad del valor anterior; y cada vez que pierda una jugada, el valor de mi siguiente apuesta será igual al valor de mi apuesta anterior más la mitad de dicho valor. Mezcla las cinco cartas y déjalas en un montoncito sobre la mesa, caras hacia abajo. Gira la primera carta: si es roja, he ganado 80 euros y en la siguiente jugada apostaré 40 euros; si es negra, he perdido 80 euros y apostaré 120 euros en la siguiente jugada. Gira la siguiente carta y lleva la cuenta de mis ganancias y de mis pérdidas. Ya conoces también cuáles van a ser mis siguientes apuestas. Ya sé que perderé tres veces y ganaré dos, pero no sé en qué momento. Suma todas mis ganancias y todas mis pérdidas. ¿He ganado esta vez 25 euros? ¿No? Repasa las operaciones. En el citado libro de Diaconis y Graham se estudian con claridad y elegancia las propiedades de la fórmula que permite conocer el resultado final y cómo llegar a ella. Dicha fórmula se puede aplicar a cualquier número de cartas con resultados sorprendentes. Por ejemplo, con el sistema anterior se gana algo más de 8 euros si se utilizan tres cartas rojas y cinco cartas negras. No vayas al casino con este sistema porque no funciona. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Miércoles, 01 de Febrero de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

360. 113. (Enero 2017) Las emocionantes aventuras de Lovelace y Babbage, de Sydney Padua

La editorial presenta este singular tebeo de este modo: Las emocionantes aventuras de Lovelace y Babbage… donde Sydney Padua transforma una de las más interesantes colaboraciones científicas en una hilarante serie de aventuras. Conoce al dúo más dinámico del Londres victoriano: Charles Babbage, el inventor accidental del ordenador y su cómplice, Ada, condesa de Lovelace, una peculiar protoprogramadora e hija de Lord Byron. Cuando Lovelace transcribió los planos de Babbage de una enorme máquina de calcular en 1842, añadió anotaciones tres veces más largas que el texto original. Sus notas contienen la primera aparición de la teoría general de la computación, cien años antes de que el auténtico primer ordenador se construyera. Tristemente, Lovelace murió de cáncer una década después de la publicación de su trabajo, y Babbage nunca llegó a construir sus máquinas. ¡Pero no desesperes! Las emocionantes aventuras de Lovelace y Babbage se presentan en una delirante realidad alternativa en la que Lovelace y Babbage sí construyen la Máquina de las Diferencias y la utilizan para probar modelos económicos, batallar contra la plaga de los errores ortográficos, explorar los salvajes reinos de las matemáticas y, desde luego, luchar contra el crimen. Por el bien tanto de Londres como de la ciencia. Hablo de él como un tebeo “singular” porque Las emocionantes aventuras de Lovelace y Babbage de Sydney Padua –que se declara ‘admiradora’ de Babbage desde el principio– es una mezcla de muchas cosas: un pequeño repaso de la historia de la Inglaterra victoriana, un libro de fantásticas aventuras, una biografía de Ada Lovelace y Charles Babbage, un repaso de algunas de las matemáticas que se hacían en ese momento en Inglaterra, un bello libro ilustrado… Todas esas lecturas, lo real y lo imaginado, la historia y la aventura, los dibujos y los textos, se entremezclan continuamente, se complementan. La autora aclara continuamente situaciones, mostrando una impresionante labor de documentación, que no impide que la fantasía y el humor llenen las páginas del libro. Las emocionantes aventuras de Lovelace y Babbage está dividido en diez capítulos, dos apéndices y un epílogo. En todos ellos la Máquina Analítica es el centro de la acción de una u otra manera: 1. Ada Lovelace: ¡El origen secreto! La autora presenta a Ada, el motivo por el que su madre la educó en las matemáticas, como conoció a Charles Babbage y trabajaron juntos y su triste final. Acompañan a esta parte del tebeo numerosas notas sobre las personas que rodearon a Ada Lovelace y Charles Babbage. 2. El Universo de bolsillo Así llama la autora a las páginas de su libro, un mundo de dimensión dos en el que las cosas funcionan de una manera un poco diferente a la del mundo real… en ese mundo plano, se pueden mezclar historias sucedidas en diferentes momentos, aunque algo de la información real debe de conservarse sin renunciar el entretenimiento… 3. La persona de Porlock La autora se permite una licencia poética: ¿sería Ada la persona que interrumpió a Samuel Taylor Coleridge mientras redactaba su Kubla Khan? 4. ¡Lovelace y Babbage contra la clienta! La clienta es la Reina Victoria, que financiaba el trabajo de Babbage. 5. Fuentes principales En este corto capítulo se habla de los diarios de la Reina Victoria. 6. ¡Lovelace y Babbage contra el modelo económico! Este capítulo se dedica a hablar de inventos, modelos económicos… y de la afición de Ada por las carreras de caballos. 7. ¡Luditas! Los luditas eran los componentes de un movimiento de artesanos que protestaron contra los telares industriales que amenazaban sus empleos… y la máquina de Babbage se basaba en el sistema de tarjetas perforadas de los telares de Jacquard. 8. ¡Experiencia de usuario! Se introduce en la historia a la escritora George Eliot como usuaria de la ‘Gran Máquina’ correctora de errores ortográficos… 9. El Sr. Boole viene a tomar el té El lógico George Boole entra en la historia como excusa para hablar de la programación de los ordenadores. 10. Cantidades imaginarias Los números imaginarios y los cuaterniones –y la poesía– se introducen en la historia a través de William Rowan Hamilton. En el ‘Universo de Bolsillo’, al mezclar las matemáticas con la poesía, Ada atraviesa un espejo para entrar en la dimensión tres –una más que la de su mundo plano, por analogía con el mundo de cuatro dimensiones respecto al universo real–. Allí vive aventuras como una ‘Alicia en el País de las maravillas’. La autora habla de cómo diferentes biógrafos alaban el intelecto de Ada, mientras que otros afirman que sus contribuciones no fueron tan importantes. Las cartas de Babbage no dejan lugar a dudas –al menos para Sydney Padua– de lo buena matemática que era Ada Lovelace. Babbage llega en un corcel mecánico al País de las maravillas para hacer regresar a Ada a su universo de dimensión dos, terminando el capítulo con una inesperada visita de Lewis Carroll. 11. Apéndice I: Algunos documentos originales entretenidos La autora reproduce cartas, artículos, etc. hablando de Babbage, de su máquina, de Ada Lovelace… 12. Apéndice II. La Máquina Analítica La autora describe y dibuja la máquina que Babbage nunca llegó a construir. 13. Epílogo Ada y Babbage caminan juntos, conversando, entre los gigantescos engranajes de la ‘Gran Máquina’. El ‘Universo de Bolsillo’ –la parte de aventuras de esta historia sobre Ada Lovelace y Charles Babbage– recopila las ilustraciones del web-cómic The Thrilling Adventures of Lovelace and Babbage. La autora describe además diversas máquinas de la época y algunas de las matemáticas relacionadas con Ada y todos los tutores que la acompañaron –como Mary Somerville, Augustus de Morgan, etc.–. Las notas que acompañan al tebeo son una pequeña recopilación de la historia –y la historia de la ciencia– que sucedía alrededor de los dos protagonistas de este libro. Todos los personajes que aparecen convivieron realmente con Lovelace y Babbage, aunque en el ‘Universo de Bolsillo’ se hable de ellos con un poco de imaginación…

Lunes, 23 de Enero de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico