341. 83. (Mayo 2017) Música fractal (II)

1. Introducción En la anterior columna [Góm17] empezamos por el estudio de los fractales desde un punto de vista matemático. Esbozamos una breve historia, que, como vimos, no empezaba en Mandelbrot, sino mucho antes, y proporcionamos al lector los ejemplos más notables de conjuntos fractales, el triángulo de Serpienski, el conjunto de Cantor, la curva de Koch y el conjunto de Julia. Ofrecimos, asimismo, una clasificación general de los fractales (por reglas recursivas, iteraciones de funciones, atractores, sistemas L y fractales aleatorios). Por último, definimos formalmente los fractales y calculamos la dimensión de Haussdorf para los ejemplos tratados anteriormente. En esta columna vamos a ver las aplicaciones a la música de los fractales. Nos centraremos primero en ejemplos musicales en que la autosemejanza, la característica más sobresaliente de los fractales, se usa como mecanismo compositivo. A continuación, examinaremos un programa para transformar las estructuras fractales en material musical. También discutiremos el papel que juegan los fractales en la composición musical y cuál es el papel del compositor. 2. Autosemejanza musical Como vimos en la anterior columna, los fractales se caracterizan por la autosemejanza a cualquier escala. Se ha denominado música fractal a aquella que exhibe un cierto grado de autosemejanza. La autosemejanza infinita, tal cual ocurre en los objetos matemáticos, no es posible en el dominio de la música. Nuestros sistema perceptual tiene unos límites para detectar altura de notas y duraciones. Sin embargo, si hay presencia de autosemejanza a varios niveles, el cerebro es capaz de percibirla. Déjenos el lector darle un ejemplo de este tipo de música fractal, ejemplos que se pueden encontrar no solo en compositores modernos o de vanguardia sino en compositores netamente clásicos. Harlan J. Brothers, en un artículo publicado en la revista Fractals [Bro09] analiza las seis suites para violonchelo solo y encuentra que hay estructuras fractales en ella (de nuevo a ciertos niveles, no en todos los niveles). Para ilustrar el ejemplo, vamos a seguir la presentación Ivars Peterson [Pet17], autor del blog de divulgación The mathematical tourist. Si examinamos los primeros compases de la bourrée de la suite número 3, se observa una fuerte autosemejanza. La figura 1 muestra la partitura de esos compases. Figura 1: primeros compases de la bourrée de la suite número 3 para violonchelo solo, de Johan Sebastian Bach (figura tomada de [Pet17]) Se han anotado los motivos que componen las frases de la pieza (m1,m2,m3 y sus variaciones). El primer motivo m1 está formado por dos corcheas y una negra; el segundo, también, pero las dos primeras corcheas están en legato. El tercer motivo lo componen dos negras, dos corcheas y una negra. El motivo m3 es el doble de largo que los dos primeros. Los tres motivos forman una frase, s1. A su vez los siguientes motivos forman una frase s2, que es seguida por una frase más larga, s3, que dura el doble que las anteriores. El patrón que se revela es AAB, donde B tiene el doble de longitud que A. Si se analiza la bourrée entera (descartando las repeticiones), entonces la estructura que se percibe es igual a la de los cuatro primeros niveles del conjunto de Cantor; esos cuatro niveles se muestran en la figura 2. Figura 2: Los cuatro primeros niveles del conjunto de Cantor (figura tomada de [Pet17]) Otras obras de Bach muestran esta autosemejanza, como por ejemplo la coral del final de El arte de la fuga BWV 1080. Véase el vídeo de youtube https://www.youtube.com/watch?v=XXQY2dS1Srk, a partir del minuto 1:23:05 para una versión con partitura, y en la que se puede observar cómo los motivos aparecen repetidos y transformados varias veces con cierta estructura fractal. Aunque Bach es un compositor en cuya obra se pueden encontrar estructuras fractales, compositores anteriores a él ya habían usado la idea de la autosemejanza como técnica compositivo. Steynberg, en su tesis de maestría [Ste14], estudia y analiza críticamente varios ejemplos de compositores que usaron estructuras fractales. En la figura 3 tenemos los primeros compases del Kyrie de la Missa Prolationum, de Johannes Ockeghem, para cuatro voces, soprano, contratenor, tenor y bajo. La voz soprano y contratenor tienen la misma melodía, pero el tenor la canta con duraciones de notas más largas. El bajo y el tenor tienen líneas melódicas diferentes, donde el bajo tiene notas más largas que el tenor. Sin embargo, cuando el bajo canta la palabra eleison vuelve a la figuración rítmica del tenor. Todas estas relaciones entre las duraciones producen una autosimilitud rítmica que se puede calificar de fractal. Figura 3: Kyrie de la Missa Prolationum, de Johannes Ockeghem (figura tomada de [Ste14]) Tom Johson, a quien dedicamos la serie Otras armonías son posibles [Góm15] por su libro Other harmonies are possible [Joh14], ha usa la autosemejanza en el dominio rítmico. En su serie Counting Duets tiene una pieza 1 2 3 en que los cantantes tienen que contar en voz alta. Las entradas de cada voz están pensadas de tal manera que se producen efectos de autosimilitud rítmica; véase la partitura en la figura 4 abajo. Figura 4: 1 2 3, de la serie Counting duets, de Tom Johnson (figura tomada de [Ste14]) En la tesis de Steynberg se pueden encontrar más ejemplos de compositores que han usado estructuras fractales y análisis detallados de las mismas. Steynberg analiza entre otras la música de Beethoven, Ligeti, Josquin de Prez y Arvo Pärt. 3. Composiciones fractales más avanzadas Quitando la idea de la autosemejanza, en general la música fractal está compuesta tomando como idea compositiva principal una o varias características de los fractales. Por ello, es difícil dar unas técnicas generales de composición fractal. La verdadera imaginación musical surge de encontrar la inspiración en los fractales. FracMus [DJ01] es un programa para generar material musical de tipo fractal escrito por el pianista Gustavo Díaz-Jérez. Decimos material musical de tipo fractal porque, acertada y lúcidamente, en la página web del programa, el propio Gustavo Díaz-Jérez, advierte que el programa es una herramienta y que nunca podrá sustituir al compositor y su inspiración musical. En sus palabras: A word of caution: YOU are the composer, FractMus will create no masterpiece for you, nor was it designed for that. Think of it as a tool that gives you raw material that you can later use in your compositions. Para ilustrar cómo se pueden aplicar las características de los fractales a la composición vamos a examinar unos cuantos algoritmos de FractMus. El primer algoritmo de FractMus es la sucesión de Morse-Thue. Es una sucesión binaria infinita con una fuerte autosemejanza. Para generarla, primero se toma el 0; a continuación, se duplica la longitud de la sucesión anterior y se rellena con su complementario (tomar el complementario es intercambiar ceros por unos y viceversa). Así pues, el siguiente término sería 01, el siguiente 0110. Los primeros términos de esta sucesión son: 0,01,0110,01101001,0110100110010110, 01101001100101101001011001101001, ... Esta sucesión es claramente aperiódica y, sin embargo, es autosemejante. Si se eliminan los términos pares de cada término de la sucesión, se obtiene la sucesión original: ¿Cómo se pasa esta sucesión, que solo toma dos valores, 0 y 1, a una melodía que toma valores en la escala cromática de 12 notas? Y es aquí donde reside el ingenio del compositor para transformar el material dado, en bruto y sin pulir, en una idea musical. Díaz-Jérez propone un método que sigue los siguientes pasos (llamemos an a la sucesión de Morse-Thue): Se elige un número c llamado el multiplicador. Cada término an se multiplica por c. Se elige una base d y se calcula la expresión de c ⋅ an en dicha base. A continuación se suman los dígitos de esa expresión en base 10. Este último número es el número de semitonos desde la nota anterior. Típicamente se elige una nota inicial y se procede con el algoritmo anterior para generar el resto de las notas. Se puede aplicar un procedimiento similar para obtener los valores de otros parámetros musicales como las duraciones, las articulaciones o la textura. También es habitual introducir algún tipo de regla para que la melodía suba y baje; de lo contrario, si los términos se tomaran siempre positivos, tendríamos melodías siempre ascendentes. Díaz-Jérez compuso un canon usando la sucesión de Morse-Thue; se puede ver la partitura en la figura 5 más abajo. En el vídeo https://www.youtube.com/watch?v=6VZq7EurckI se puede escuchar otra sonificación de la sucesión de Morse-Thue compuesta por Steven Gilliland (a partir del minuto 1:37). La sonificación (la transformación de objetos en sonido) ya había sido empleada antes de la invención de los fractales, y en particular en matemáticas. Xenakis, en su libro Formalized Music: Thought and Mathematics in Composition [Xen01], desarrolla toda una teoría al respecto y da múltiples ejemplos a partir de sus propias obras; nosotros dedicamos una serie al análisis de ese libro [Góm10]. Como apunta Díaz-Jérez, algunas combinaciones de multiplicadores y bases dan melodías terriblemente aburridas, mientras que otras proporcionan melodías interesantes. El trabajo del compositor es entonces seleccionar esas melodías acorde a su criterio artístico. Las melodías fractales generadas por estos algoritmos, en general, carecerán de las características habituales de las melodías tonales. Habrá ausencia de propincuidad (alta frecuencia de tonos conjuntos), repetición y finalidad (intención melódica de ir a ciertos grados y en particular la finalización de la melodía); véase el libro de Radocy y Boyle [RB06] para profundizar en la definición de melodía. Sin embargo, en la partitura de abajo sí vemos algunas características formales de las melodías. Es obvio que Díaz-Jérez tomó el material proporcionado por su programa e inspirándose en él construyó su canon acorde a ciertas convenciones estilísticas, y en última instancia poniendo ese material al servicio de su concepto artístico. Figura 5: Canon basado en la sucesión Morse-Thue compuesto por Gustavo Díaz-Jérez Aquellos lectores interesados en profundizar en la música compuesta a través de fractales pueden consultar el libro Fractals in Music: Introductory Mathematics for Musical Analysis [Mad07]. Este libro requiere un cierto nivel técnico tanto matemático como musical. Bibliografía [Bro09] H. J. Brothers. Intervallic scaling in the bach cello suites. Fractals, 17(4):537–545, 2009. [DJ01] Gustavo Díaz-Jérez. Fractmus, 2001. [Góm10] P. Gómez. Las matemáticas en la música de Xenakis I, octubre de 2010. [Góm15] P. Gómez. Otras armonías son posibles, febrero de 2015. [Góm17] P. Gómez. Música fractal (I), marzo de 2017. [Joh14] Tom Johnson. Other harmony. 75 Editions, 2014. [Mad07] Charles Madden. Fractals in Music: Introductory Mathematics for Musical Analysis. High Art Press, 2007. [Pet17] Ivars Peterson. A fractal in bach’s cello suite, abril de 2017. [RB06] Rudolf E. Radocy and J. David Boyle. Psychological Foundations of Musical Behavior. Charles C Thomas, Illinois, 2006. [Ste14] Ilse Steynberg. The applications of fractal geometry and self-similarity to art music. Master’s thesis, University of Praetoria, New Zealand, 2014. [Xen01] Iannis Xenakis. Formalized Music: Thought and Mathematics in Composition. Number 6 in Harmonologia. Pendragon Press, Hillsdale, NY, 2001.

Miércoles, 03 de Mayo de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

342. 149. (Mayo 2017) Bamboozlements

Para complementar el tema de los puzles de aparición y desaparición de piezas, iniciado en la entrega de febrero de 2006 (matemagia 25) y mayo de 2008 (matemagia 50) y retomado el mes pasado (matemagia 148), vamos a mostrar otros juegos, esta vez más geométricos, donde tienen lugar aparentes paradojas relacionadas con el «principio de la disposición oculta» de Martin Gardner, citado el mes pasado. Decimos aparentes paradojas porque no lo son en realidad: por definición, una paradoja es una conclusión contradictoria que se llega mediante razonamientos correctos. Lo que mostraremos son más bien falacias, pues serán razonamientos aparentemente correctos que conducen a conclusiones falsas. Además, son más apropiadas para este rincón pues la magia necesita ciertas dosis de engaño. Podemos encontrar una lista inmensa de falacias geométricas, utilizadas a veces para fomentar el razonamiento riguroso que se exige en matemáticas. Varios ejemplos están relacionados con el conocido juego del tangram. Veamos uno de ellos: como se observa en la imagen adjunta, con las mismas siete piezas del tangram se pueden construir tres figuras, pero dos de ellas tienen aparentemente distinta área que la primera. ¿Cómo es posible? Son también divertidas, aunque más difíciles de entender, las demostraciones geométricas del tipo π = 4 o π = 2. Veamos la primera de ellas a partir de las siguientes imágenes: Las tres figuras muestran una circunferencia de diámetro igual a 1 y, por tanto, perímetro igual a π. En la primera figura se dibuja un cuadrado circunscrito de perímetro igual a 4. En la figura central se han eliminado las cuatro esquinas del cuadrado para formar una poligonal cuyo perímetro es también igual a 4. En la figura de la derecha se han eliminado otra vez las ocho esquinas formando una nueva poligonal circunscrita a la circunferencia de perímetro igual a 4. Repitiendo el proceso hasta el infinito, la poligonal tiende a confundirse con la circunferencia. Como el perímetro no cambia en cada paso del proceso, al final se llega a que π = 4. Para probar que π = 2, basta observar las siguientes figuras: La longitud de la semicircunferencia roja, de diámetro igual a dos, es igual a π. La suma de las longitudes de las dos semicircunferencias azules de la primera figura (que tienen diámetro igual a uno) es también igual a π, así como la suma de las longitudes de las cuatro semicircunferencias de la segunda figura, de las ocho semicircunferencias de la tercera figura y así sucesivamente. Al repetir el proceso, las semicircunferencias pequeñas tienden a confundirse con el diámetro horizontal, de longitud igual a dos. Como la suma de sus longitudes de las semicircunferencias en cada paso del proceso es constante, deducimos que π = 2. Los ejemplos anteriores y otros similares son muy interesantes y no es sencillo justificar dónde está el error, pero en esta ocasión nos limitaremos a presentar una pequeña muestra de las llamadas paradojas por disección, en las cuales una figura geométrica cambia de tamaño simplemente al cortarla en piezas y reordenarlas. En el libro de Greg Frederickson titulado Dissections: plane and fancy (1997), el autor propone la siguiente definición: Una región plana recibe el nombre de "bamboozlement" (es engañosa) cuando, al dividirla en piezas y reagruparlas de forma adecuada, se obtienen otras regiones de área aparentemente distinta. Uno de los ejemplos más antiguos corresponde a la llamada paradoja de Hooper, pues aparece en la cuarta edición del libro Rational Recreations de William Hooper, publicado en 1794. Sin embargo, la primera aparición del puzle se encuentra unos años antes en el libro Nouvelles récréations physiques et mathématiques de Edmé Gilles Guyot, del que parece Hooper "se inspiró". La paradoja afirma que 30 = 32 y la demostración consiste simplemente en observar atentamente estas dos imágenes: ¿Está claro, verdad? La figura de la izquierda es un rectángulo de dimensiones 10 x 3, de modo que tiene área igual a 30. Basta intercambiar las posiciones de las piezas C y D para llegar a la figura de la derecha formada por un rectángulo de dimensiones 4 x 5 y otro de dimensiones 6 x 2. El área total es igual a 20 + 12 = 32. Hemos ganado dos unidades cuadradas. La explicación del secreto así como otros ejemplos, con sus justificaciones teóricas, aparecen en el artículo Geometría recortable, publicado en la revista SIGMA, en mayo de 2006, así que no vamos a inundar esta página con juegos similares. Pero sí proponemos un par de engaños geométricos más. En el librito de Jean Jacquelin titulado Pastiches, paradoxes, sophismes, absurdités et autres bizareries, aparece esta otra paradoja, donde se demuestra que 58 = 59 = 60. Observa estas imágenes: Las tres figuras están formadas con las mismas seis piezas. Ahora bien, el área del triángulo de la izquierda es igual a 60 (base igual a 10, altura igual a 12), pero intercambiando algunas piezas se logra formar un triángulo con las mismas dimensiones pero dejando un hueco de área igual a 2, lo que "demuestra" que el área conjunta de las seis piezas es igual a 58. Un nuevo intercambio de piezas da lugar a la figura de la derecha, que tiene área igual a 59 (un rectángulo de dimensiones 7 x 9 con un hueco de área igual a 4). ¿Puedes encontrar la explicación a dicha paradoja? Terminamos con un ejemplo más -más bien un regalo-, encontrado en la página Futility Closet. Consigue una pieza de oro, o del metal precioso que prefieras, digamos que tiene base igual a 10 cm y altura igual a 11 cm. Corta la pieza diagonalmente y desplaza 1 cm hacia arriba uno de los triángulos, como se indica en la imagen. Recorta los dos pequeños triángulos que sobresalen en las esquinas. Al unirlos tendrás un pequeño cuadrado de área igual a uno. Las dos piezas restantes formarán de nuevo un rectángulo con las mismas dimensiones del original, con base igual a 11 cm y altura igual a 10 cm. ¡Has conseguido un beneficio que podrás repetir cada vez que lo necesites! Por último, quiero recomendar el artículo de John Sharp titulado Fraudulent dissection puzzles - a tour of the mathematics of bamboozlements, publicado en la revista Mathematics in school, volumen 31 (2002), donde realiza un estudio matemático de una buena colección de estos puzles. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Miércoles, 03 de Mayo de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

343. 116. (Abril 2017) "Las ciencias y las humanidades (edición de Francisco González Fernández)", de Henri Poincaré

Acaba de publicarse en KRK Ediciones el magnífico texto Las ciencias y las humanidades de Henri Poincaré. Les sciences et les humanités (L’Opinion, París) es un texto publicado por el matemático francés el 18 de noviembre de 1911. En esta edición, Francisco González Fernández, enamorado y estudioso de la obra de Poincaré, traduce el texto original y lo analiza en una magnífica introducción, que en nada desmejora el discurso posterior del científico. En la contraportada, la editorial presenta esta singular publicación del siguiente modo: Malos tiempos para las humanidades. Arrinconadas por materias instrumentales, las letras encuentran difícil acomodo en un mundo de pragmatismo galopante. En la llamada «sociedad del conocimiento» nada parece más ocioso que el saber. Hace más de un siglo, Henri Poincaré quiso manifestar su negativa a desterrar las humanidades. Si ya resultaba insólito que un matemático de su talla saliera en defensa de estas disciplinas, su argumentación no puede ser más original. En Las ciencias y las humanidades, Poincaré sostiene que el conocimiento de las lenguas clásicas no sólo beneficia a todos los hombres, sino muy en particular a los hombres de ciencia. La traducción del latín se le antojaba como el medio más idóneo para adquirir la mirada analítica necesaria al ejercicio de las matemáticas. Poincaré hablaba con conocimiento de causa, pues la traducción irriga el conjunto de su obra científica y divulgativa. Este breve ensayo, publicado unos meses antes de su muerte, bien puede por tanto ser considerado como el testamento humanista de uno de los matemáticos más ilustres de todos los tiempos. Un legado que tiene hoy más vigencia que nunca. En su introducción, Francisco González Fernández califica el ensayo del matemático como ‘una de las apologías más originales que se hayan hecho nunca de las lenguas clásicas’ (página 33). En efecto, Poincaré defiende la traducción de las lenguas clásicas como un modo de ‘dominar los matices que puede expresar el lenguaje’ (página 36), un modo de aprehender sutilezas en los escritos, de estimular el espíritu creativo, ése tan necesario para cualquier persona que se dedica a la ciencia. El matemático francés, tal y como Francisco González Fernández recalca en su introducción, piensa la traducción como un ejercicio creativo, sujeto a unas reglas precisas, que permite ‘transportar’ el discurso de una lengua a otra. Los diferentes idiomas no comparten palabras ‘universales’, por ello, los obligatorios matices elegidos en el proceso de una traducción conllevan concienzudas reflexiones, a la vez que agudas interpretaciones. El adiestramiento en estas aptitudes, defiende Poincaré, es esencial para cualquier profesional de la ciencia: la representación del mundo con diferentes ‘geometrías’ es en realidad un ejercicio de traducción, en el que es preciso transportar las propiedades de un lenguaje ‘geométrico’ a otro. Francisco González Fernández alude a una bella reflexión de Agustín Fernández Mayo ‘Traducir es perder cierta información para generar otra’, mencionando a la topología –una de las disciplinas impulsada por Poincaré– como un mecanismo ‘de traslación’ similar en la matemática. Poincaré defiende en su alegato que la traducción –directa e inversa– puede ayudar a ‘mirar’, a ‘observar’, a ‘descubrir’ matices que podrían pasar desapercibidos en una única lectura. Termino con una cita extraída del ensayo de Poincaré, una bella manera de definir la ciencia: Intento averiguar cómo hay que proceder para formar científicos. […] La ciencia ha tenido aplicaciones maravillosas, pero una ciencia que sólo tuviera en cuenta las aplicaciones dejaría de ser tal, sólo sería cocina. No existe más ciencia que la ciencia desinteresada.

Viernes, 28 de Abril de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

344. 35. (Abril 2017) Matemáticas sobre piedras duras

(Pantómetra. Consola del juego de bolos. Museo del Prado. Madrid) La Roma imperial no sólo decoraba los suelos de sus mansiones con mosaicos de pequeñas teselas, también se usaban taraceas e incrustaciones de piedras nobles. Esta tradición no se perdió del todo como ponen de manifiesto los pavimentos cosmatescos del medievo. Será durante el Renacimiento cuando se retomen con fuerza los trabajos de partir piedras duras como calcedonia, jaspes, pórfido, ágata, lapislázuli o paragone. Roma y Florencia se convierten en productores de refinado mobiliario de lujo para la realeza y alta nobleza: las piedras pasan de los suelos a enseres domésticos muy apreciados como mesas, consolas, altares o lámparas. Las primeras mesas marqueteadas de piedras variadas de las más ricas y bellas de la casa real española fueron enviadas a Felipe II por el Cardenal Ricci de Montepulciano, mecenas romano y promotor de la actividad. Son las más antiguas y exquisitas de las que se conservan en el Museo del Prado. En Florencia será el propio Fernando de Medicis quien creará el Opificio delle pietra dure en 1588, institución que se mantiene abierta y que alberga un pequeño museo con múltiples objetos de interés matemático. Las taraceas en madera y en piedra llevaron vidas paralelas. Se desarrollaron casi al mismo tiempo, pero la marquetería in legno adopta desde el principio la nueva perspectiva matemática, en cambio la di pietra ejecutará jarrones de flores, pájaros, multicolores, delfines, corales y algún paisaje. Mientras que en el siglo XVI encontramos muchos paneles de madera con poliedros e instrumentos matemáticos, no ocurrirá lo mismo en piedra hasta más tarde. El detalle de la Consola del juego de bolos que encabeza este escrito muestra a la perfección el virtuosismo de los talleres: un transportador de ángulos semitransparente cambia el color de la caja de instrumentos matemáticos que tiene detrás, la deja ver pero la altera ligeramente. El primer objeto de interés matemático lo encontramos en el pequeño y tranquilo museo florentino de la Fábrica de las piedras duras, lugar con gran encanto y que será junto con el Museo del Prado de donde tomaremos los ejemplos matemáticos.  Se trata de unos candelabros poliédricos, icosaedros estrellados con pirámides de triángulos rectángulos isósceles. Posiblemente sean una manufactura bohemia del siglo XVII, en ébano, latón, lapislázuli y calcedonia. (Candelabros poliédricos. Museo de las piedras duras. Florencia) En el mismo museo es donde se va a poner de manifiesto el cambio de motivos que se produce en la segunda mitad del siglo XVIII: el gusto por las perspectivas, la valoración de las artes y la representación de los instrumentos matemáticos. Destacamos la serie de “pintura” en piedra de Las artes, “cuadros” que siguen los originales de Giuseppe Zocchi. Vemos el dedicado a la escultura, donde una pareja de nobles pasea mientras varios escultores realizan su actividad. En el suelo diferentes instrumentos como escuadras y compases. (Las artes. Museo de las piedras duras. Florencia) Como complemento se han enmarcado también en piedra los cuadros de forma que las cuatro esquinas también muestran instrumentos de trabajo de la piedra, dominando los matemáticos: diversos tipos de compases o transportadores de ángulos. (Las artes. Detalle de las esquinas. Museo de las piedras duras. Florencia) El Opificio de Florencia abrirá sucursal aventajada en Madrid. Carlos III ya había creado en Nápoles el Real laboratorio di pietra dure en 1737, contratando a maestros toscanos. Al heredar la corona española, el Rey hará lo mismo y fundará en 1761 la Real Fábrica de Mosaicos y piedras duras del Buen Retiro, llamando a Domenico Stecchi con el cometido y a Francesco Poggeti como maestro. Del Buen Retiro saldrán hacia 1780 una serie de trabajos con perfectos trampantojos en piedra dura. Hasta siete consolas se almacenan y se exhiben esporádicamente en el Museo del Prado. Los objetos simulan estar apoyados sobre la mesa y como abandonados de cualquier manera: libros, flores, frutas, tazas, cuadros, juegos e instrumentos musicales y matemáticos. Mostraremos tres tableros: la consola de las anamorfosis, la de la pantómetra, y la de la arquitectura y el catalejo. (Consola de las anamorfosis. Museo del Prado. Madrid) Dos anamorfosis lineales se representan en una consola que tiene como protagonista la pintura. Un transportador de ángulos translúcido tapa la última parte de la anamorfosis mejor definida produciendo una ligera decoloración. Mostramos el detalle de la anamorfosis, comprimiendo el angelote para que se aprecie mejor la figura. (Consola de las anamorfosis. Detalle y compresión. Museo del Prado. Madrid) La consola de la pantómetra tiene como motivo central el juego de bolos en una bonita perspectiva idealizada y con trabajos de piedra. (Consola del juego de bolos. Museo del Prado. Madrid) La pantómetra, que apenas se vislumbra en su caja, era el instrumento privilegiado para el cálculo, usado preferentemente por marinos e ingenieros. Mediante el teorema de Tales permitía hacer multiplicaciones y divisiones de forma analógica y sin más aproximación que la requerida para cálculos técnicos. La caja que se muestra parece que corresponde al sector inglés, que tenía diversas escalas, incluyendo trigonométricas y logarítmicas. Las cajas llevaban una regla de aproximación y un compás, sin el cual no se podía operar porque servia para tomar las medidas. La regla de cálculo logarítmica sustituyó a mediados del siglo XIX a la pantómetra como instrumento de cálculo práctico y rápido. La pantómetra fue hegemónica durante tres siglos (desde Galileo) y la regla de cálculo solo uno, hasta que la calculadora electrónica la sustituye en los años setenta del siglo pasado. Otra muestra de consola la encontramos en la del catalejo, que también enseña un compás que se usa para los geométricos planos arquitectónicos. El paisaje de fondo es una marina, de ahí el anteojo. (Consola del catalejo. Museo del Prado. Madrid) Terminamos con un elipsógrafo del Museo de Florencia. El Opificio ha tenido el acierto de dedicar casi toda la entreplanta a los instrumentos para la fabricación de las piedras duras. El elipsógrafo marcaba y cortaba la elipse deseada: dos ejes perpendiculares permiten el deslizamiento y trazando una elipse en el extremo. (Elipsógrafo. Museo de las piedras duras. Florencia)

Martes, 18 de Abril de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

345. 119. A contar tópicos se ha dicho

Normalmente, cuando aparece en una película un personaje de cierta inteligencia, con habilidades matemáticas, o directamente un matemático, uno se hace idea de que la película va a ser profunda, o al menos en algún momento. Bueno, pues todo tiene sus excepciones. No obstante, siempre podemos ampliar nuestro bagaje cultural. Seguramente todos relacionemos a Ben Affleck con su inseparable amigo y compañero de estudios Matt Damon en la estupenda El indomable Will Hunting (Good Will Hunting, Gus Van Sant, EE. UU., 1997). Ganaron el Oscar al mejor guion aquel año, que escribieron juntos, y como recordaremos, el protagonista (Damon), era un joven extraordinariamente dotado para las matemáticas que por azares del destino trabajaba en el servicio de limpieza del MIT. En aquella, Affleck no tenía ninguna relación con las matemáticas. Quizá haya tenido ganas de encarnar también a alguien con altas capacidades para el análisis y de cierta inteligencia después de escribir aquel guión en el que su amigo se llevó todo el protagonismo en ese sentido (no es momento ahora de hablar de los diferentes caminos que han tomado sus carreras, con un Damon centrado más en interpretar, y un Affleck más interesado en la dirección, con algún título realmente interesante; pero también hay que comer, así que de vez en cuando interpreta algún que otro papel más ligerito). Por cierto, en El indomable Will Hunting también aparecía su hermano, Casey Affleck, flamante ganador del Oscar por Manchester frente al mar en la última gala de hace un par de meses. Pues, aunque para el actor, esta interpretación estaría entre las cinco mejores que ha hecho en su carrera (junto a las de El indomable Will Hunting, Argo, Persiguiendo a Amy y The Batman (en posproducción aún), según sus manifestaciones), lo cierto es que la película no va a perdurar como Will Hunting como paradigma de las matemáticas, precisamente. Echémosla un vistazo, después de presentar sus datos básicos: Ficha Técnica: Título: El Contable. Título Original: The Accountant. Nacionalidad: EE. UU., 2016.  Dirección: Gavin O'Connor. Guion: Bill Dubuque. Fotografía: Seamus McGarvey, en Color. Montaje: Richard Pearson. Música: Mark Isham. Producción: Lynette Howell Taylor y Mark Williams. Duración:  128 min. Ficha artística: Intérpretes: Ben Affleck (Christian Wolff), Anna Kendrick (Dana Cummings), J.K. Simmons (Ray King), Jon Bernthal (Brax), Jeffrey Tambor (Francis Silverberg), Cynthia Addai-Robinson (Marybeth Medina), John Lithgow (Lamar Blackburn), Jean Smart (Rita Blackburn), Andy Umberger (Ed Chilton), Alison Wright (Justine), Jason Davis (Neurólogo), Robert C. Treveiler (Padre de Chris), Mary Kraft (Madre de Chris), Seth Lee (Chris joven), Jake Presley (Hermano pequeño). Breve Sinopsis (simplemente introductoria): Christian Wolff es un contable que trabaja en una pequeña oficina, asesorando a personas con dificultades económicas. Su trato con ellas, aunque correcto, es muy distante y frio. Paralelamente se nos presentan escenas de asesinatos, y un flashback de un niño con características autistas, diagnosticado por un especialista que está entrevistándose con sus padres. No es difícil deducir que Wolff y el niño son la misma persona. Por otro lado, el veterano director de delitos financieros del Departamento del Tesoro, a punto de jubilarse, chantajea a una aplicada analista para que se encargue de un asunto personal: tratar de descubrir la identidad de una persona a la que lleva años persiguiendo sin ningún éxito. Comentario Si además de escuchar a Affleck vendernos la moto de su magnífica interpretación (es su trabajo, obviamente, y está correcto en su papel), empleamos unos minutos en oír a los responsables de esta producción (director, guionista, entre otros) en los contenidos adicionales del DVD, desde luego estaremos deseando verla. Nos cuentan que se trata de una película sobre la reconciliación de un hombre con su pasado traumático, con una presentación novedosa de una persona con espectro autista no como víctima sino sacando provecho a las habilidades que tiene, con un argumento intelectualmente atractivo y a la vez divertido y emocionante, …. Vamos, un peliculón. Pero desde luego, si esa fue la intención, digamos a modo de síntesis que se queda en un thriller de acción bastante previsible y convencional (y cuando no, en pocos momentos, retorciendo las cosas artificiosamente), con algún toquecillo disfrutable, apropiado para una tarde en la que no haya otra cosa mejor que hacer. Para empezar, esa “novedad” sobre el espectro autista no es tal, ya que sigue punto por punto el cliché que Hollywood se ha formado sobre este tipo de personas desde que Dustin Hoffman interpretara Rain Man: socialmente limitado, muy inteligente, reacción violenta y desmesurada ante imprevistos, seguimiento obsesivo de patrones, antiestéticas gafas de culo de vaso siendo niño, gags cómicos a propósito de algunos comportamientos del personaje o malos entendidos sobre todo en la relación con las chicas, trato justo a “los buenos”, etc. La única “diferencia”, que tampoco es tal porque hay otras películas con asesino inteligente, es que Wolff no duda en ejecutar a quien sea (bueno, siempre que sea del sexo masculino), y a pesar de eso, queda absuelto de cualquier delito moral, porque oigan, acaba con “los malos”, ha sido capaz de superar traumas infantiles agudizados por su propio padre (un militar como debe ser, y no una nenaza con atisbo alguno de sensibilidad, que además le busca los mejores entrenadores en lucha, preparándolo para enfrentarse a la jungla despiadada que es el mundo actual; con esos antecedentes ¿cuál puede ser la lectura de cabecera de una persona así? ¿Hemingway? ¿Twain? ¿Steinbeck? No, hombre, los héroes Marvel, evidentemente). A pesar de esta justificación, hay demasiada diferencia en el comportamiento entre el Wolff niño y el Wolff adulto, no nos acabamos de creer que sean la misma persona. Pero es que lo suyo son los números. Pero sólo los números. Mejor dicho, la memorización de números. Bueno, tampoco nos pasemos que se sabe una ley estadística al menos. En definitiva, se plantea una fetichización, creo que equivocada, del autismo. Y para quien piense que me paso porque tiene unos cuadros de pintores de prestigio, digamos que los tiene no por alguna connotación artística o medianamente cultural, sino por su valor económico, y otro (el Pollock) porque el contemplarlo tranquiliza su complicada mente. Como película, el argumento se pierde en abrir trama sobre trama, sin rematar ninguna de las anteriores, constituyendo un mosaico de escenas sueltas con un tenue hilillo de soporte. No hay progresión ni crecimiento en los personajes, muchos, por cierto, a los que a pesar de intentarlo (los actores no son estrellas, pero tampoco figurantes de telefilm), en la mayor parte su aparición es muy circunstancial. Eso sí, tenemos flashbacks, flashbacks y flashbacks. Las secuencias de acción en la película son decentes, aunque no particularmente especiales. La coreografía de lucha y el control con la cámara es aceptable, pero nada que destaque sobremanera.  Dado que Christian Wolff es “el héroe”, las escenas de acción en las que está metido carecen de tensión alguna, porque sabemos de antemano que va a ganar. El contable pretende tener cierta complejidad, y basarse en la sorpresa, pero acaba siendo bastante simple. Matemáticas en la película 1.- Ley de Benford o del primer dígito significativo. Entre lo más interesante de la película, matemáticamente hablando, se encuentran las referencias a este resultado del que varias películas y series de televisión (Numb3rs, por ejemplo) se han venido haciendo eco, y de la que se puede encontrar mucha información en la red. La razón de su presencia es por su aplicación en la detección de fraudes fiscales (que es casi exclusivamente como se ha plasmado en pantalla), como ocurre en la que nos ocupa. El protagonista, Chris, gracias a su facilidad para memorizar y analizar números, es capaz de detectar que en los registros contables de Living Robotics, la empresa de los hermanos Blackburn en la que se ha detectado un agujero de varios millones de dólares, hay un dígito cuya sospechosa presencia le da la pista para suponer lo que está sucediendo, cómo se está desviando tanto dinero. Haciendo un intento de síntesis de esta ley, en 1881 al astrónomo y matemático Simon Newcomb le llamó la atención que las primeras páginas de las tablas de logaritmos presentaban un desgaste llamativo respecto de las finales, que prácticamente estaban inmaculadas. Pensando en ello elaboró la hipótesis de que, en listas de datos de fenómenos aleatorios, determinados dígitos son más frecuentes que otros. Sin precisar demostración alguna, estableció unas probabilidades de aparición para cada dígito. Independientemente, en 1938 (demasiado tiempo entre ambos, por lo que lo de “independientemente” lo citan todas las fuentes, pero podría ser cuestionable), el físico Frank Benford observó el mismo fenómeno también en las tablas de logaritmos. Tomando como ejemplo todo tipo de listas de números (no sólo matemáticas o físicas, también listas de direcciones de personas, financieras, de censos, de todo aquello que se le pusiera a tiro; analizó miles de cantidades), estableció una ley logarítmica, en la que la probabilidad de que el primer dígito significativo de una cantidad sea i, (llamémosla B(i), en honor a Benford) viene dada por la expresión Log (1 + 1⁄i), siendo Log el logaritmo decimal (el de base 10). Así aparece esta tabla para cada dígito El matemático Simon Plouffe (famoso por el algoritmo BBP para determinar el enésimo dígito binario de π, historia para otro momento) ha confeccionado una base de datos con más de 215 millones de constantes matemáticas, comprobándose que todos ellos siguen la ley de Benford. Se han descubierto muchas particularidades (a cada cual más curiosa) de esta ley. Por ejemplo, que es la única conocida que es invariante a cambios de escala (en otras palabras, da lo mismo en qué unidades se contemplen las listas de números: siguen esa ley). También es invariante frente a cambios de base logarímica (da igual tomar logaritmo decimal que neperiano, en base tres o siete: verifican la ley todas las listas de números en cualquier base). Todo ello se puede comprobar matemáticamente. Recomiendo al lector interesado que se lea este enlace, en el que se comentan muchas interrogantes que seguramente el lector se esté haciendo, aunque, como dije previamente, hay mucha información disponible en la red, dado que, como resultado llamativo, ha generado abundante literatura al respecto, y resulta por ello ideal para plantear ejercicios para experimentar en clase con alumnos. Es lógico, por tanto, que los inspectores fiscales, los de policía científica, etc., dediquen un ratillo a echar un ojo a ver si hay algún patrón detectable cuando investigan fraudes (al menos en las películas; ¿algún lector anónimo que conozca el asunto podría decirnos si aquí en España se tiene también en cuenta? Sólo por curiosidad, un tanto pícara, lo reconozco). Dana y Christian discuten el uso del número 3 como segundo dígito en los registros falsificados en base a la citada Ley de Benford. Seguramente esté hecho adrede, para ver si el espectador está atento a la película, pero a lo largo de la misma el número 3 es casi omnipresente: cuando Chris se desayuna, toma 3 bizcochos, 3 tiras de panceta, y un huevo frito de 3 huevos; cuando practica tiro, dispara a 3 melones; en el cajón aparecen muy bien colocaditos, 3 cubiertos; guarda 3 cuadros famosos (ver más abajo); ¿se anima el lector a buscar más series de 3 objetos? Es decir, los guionistas, para mostrar que el protagonista no actúa al azar, sino que sigue unas pautas muy definidas (es uno de los rasgos característicos del autismo) infringen constantemente la ley de Benford. Una preguntilla para el lector (iré dejando caer alguna otra): ¿Y Nikola Tesla tendrá algo que ver con todo esto? 2.- Matemáticos célebres. Ciertamente la sociedad en general no conoce demasiados nombres de matemáticos célebres, pero una experta y eficiente analista de datos como se nos presenta a Marybeth Medina, tiene que tardar mucho menos de lo que lo hace en la película en detectar que no puede ser casual que alguien se llame Carl Gauss, Lewis Carroll o Christian Wolff. (Las imágenes están tomada directamente de la película, y no he encontrado ningún sitio real al que pertenezcan, así que seguramente se han creado expresamente para la película). Sospechando Marybeth que las matemáticas tienen algo que ver, y después de comprobar que sus primeras intuiciones la llevan a personas fallecidas, elabora una lista con, según ella, el centenar de matemáticos más famosos de la historia. Sólo hay un momento en el que se ve la lista sobre la mesa (ver imagen), y por curiosidad, ampliando la imagen, es posible leer algunos nombres. No son ni mucho menos los más famosos de la historia, pero si se han molestado en seleccionar nombres de matemáticos, algunos contemporáneos. Aparecen entre otros Kenneth Appel, Vladimir Arnold, Dame Mary Cartwright, James Davenport, Roger Cotes, Isaac Barrow, …. en fin, el que lo desee que amplíe y compruebe. Como precisamente Christian Wolff, no es demasiado conocido, hablemos un poco sobre él. Es considerado sobre todo un filósofo racionalista, aunque estudió física y matemáticas. Obtuvo la cátedra de matemáticas en la Universidad de Halle (1706), por recomendación de Leibniz. El trabajo de Wolff estuvo orientado en gran parte precisamente a difundir y poner en claro la filosofía de Leibniz (Kant, por ejemplo, se acerca a este autor a través de Wolff, como pone de manifiesto en el prólogo de la Crítica de la razón pura). A través del método matemático, Wolff establece un racionalismo sistemático, incluso en su concepción teológica (lo que le traerá serias controversias tanto con católicos como con protestantes que enmarcan su pensamiento como ateo y materialista). Paradójicamente, la filosofía de Wolff está más cerca en conjunto de Descartes que del propio Leibniz. 3.- ¿Cristales o pizarras tradicionales? A la hora de escribir matemáticas para terceros, los protagonistas de las películas (los actuales; evidentemente encarnando a los anteriores al siglo XX no hay elección) se dividen en dos: los que utilizan cristales o pizarras transparentes, y los que usan las pizarras de tiza de toda la vida. Puede parecer simplemente un recurso cinematográfico vistoso, pero lo cierto es que algunos docentes (fuera de nuestras fronteras mayoritariamente) se empiezan a plantear la utilización de pizarras transparentes. Al parecer los primeros en utilizar este tipo de pizarras (aunque no hay constancia documental de ello, o al menos yo no la he encontrado) fueron los militares, para permitir a más espectadores asistir a la explicación más cerca (a ambos lados de la pizarra), además de ver (controlar) todo lo que sucede por delante, por detrás, y que el que escribe pueda establecer un diálogo más directo con los que están atendiendo sin tener que darse la vuelta constantemente. Suelen emplearse rotuladores con tinta fluorescentes que brillan bajo cierto tipo de luz LED que, dispuestas alrededor de la pizarra, la "iluminan" totalmente. El gran inconveniente de situarse por detrás es que se ve la imagen especular (o de tener que escribir al revés, algo bastante complicado, o cuanto menos, tedioso). En los videos tutoriales de clases grabadas que se suben a internet, el problema se ha solventado gracias a que primero se graba el vídeo que después se muestra invertido, girado completamente sobre un eje vertical. Otros colectivos que han manifestado su preferencia por este tipo de pizarras han sido algunos astrofísicos. Dan múltiples razones, tanto didácticas, como artísticas (la mezcla de ecuaciones y símbolos griegos en vidrio hacen que el ambiente académico parezca más "interesante"; no me lo invento: véase aquí el reportaje de la revista Symmetry Magazine de 2007). También se argumenta que utilizar pizarras transparentes fomenta más la participación (¿quizá porque no te manchas de tiza?). No parece que sea esta la razón que impulsa a Christian Wolff, dadas sus limitaciones en el trato con otras personas, ni tampoco para hacerse el interesante, o llamar la atención (recordemos que se pasa la noche haciéndolo él solo); más bien lo hace por tener más espacio que el que una pizarra normal puede proporcionar. Y en papel no se tienen a la vista igual de bien tantas cantidades que puedan consultarse de un vistazo (no olvidemos que está comprobando quince años de registros). Así que, para los que piensen que es sólo, en el caso de la película, un elemento llamativo, un efecto, que se olviden. Los que hemos trabajado ejercicios o problemas un poco largos (y no tiene porqué ser algo complejo, puede ser algo tan “elemental” como el cálculo de una integral un poco larga; para los más “modelnos”: no hemos dispuesto de ordenadores que hagan los cálculos desde siempre), lo entendemos perfectamente. 4.- Miscelánea Algunos datos sueltos sin mayor explicación: El personaje de Dana menciona el instituto Naperville North, un instituto real que tiene en su haber 16 victorias en los campeonatos de matemáticas del estado de Illinois. ¿No os parece extraño que la agente Medina diga al agente King que Christian Wolff dona un millón cien (1000100) dólares al Instituto Harbor de Neurociencia? Seguro que vista la cantidad en cifra os sugiere algo, ¿verdad? 1000100 en binario es 68, y posteriormente en la película el director de la institución indica que se diagnostica alguna forma de autismo entre uno y 68 niños al año. Pueden leer la opinión sobre esta película de nuestro compañero José María Sorando en este enlace, que añade algún aspecto más relacionado con las probabilidades. Curiosidades Tres son los cuadros famosos que aparecen en la película, concretamente en la caravana/trastero de Chris. 1.- Mujer con parasol y niño pequeño en una ladera soleada, de Pierre-Auguste Renoir, óleo sobre lienzo pintado entre 1874 y 1876. Su último propietario fue John Taylor Spaulding, que lo legó al Museum of Fine Arts (MFA) de Boston el 3 de junio de 1948, y desde entonces está allí expuesto, de modo que el protagonista de la película no lo pudo tener nunca. La dama del cuadro es Camille Monet, esposa del pintor impresionista Claude Monet, a la que Renoir pintó en varias ocasiones. 2.- Un amigo necesitado (Perros jugando al póker), la obra más conocida de Cassius Marcellus Coolidge, también conocido como Cash o Kash. A este pintor se le atribuye la hoy extendida idea en parques temáticos, exposiciones o museos, de tener un cuadro, foto o composición con el motivo que sea, con un agujero en el rostro de los personajes para que el visitante pueda poner su cara y hacerse una foto de recuerdo (Comic Foregrounds). Este óleo fue pintado en 1903, y posteriormente ha sido muy imitado por otros autores, incluso con mayor prestigio y renombre que Coolidge (injusticias de la vida). Coolidge hizo una serie de 16 obras con perros en actitudes humanas, 9 de ellas jugando al póker. Obsérvese en primer plano al bulldog que entrega a escondidas un as a su compañero con lo que éste tendrá póker de ases (cuatro ases). Este detalle es el que da nombre al cuadro (ese es el “amigo necesitado”). El primer cuadro de la serie (de 1894) alcanzó en 2005 la suma de 658.000 dólares en una subasta en la sala Sotheby’s de Nueva York. En muchos lugares de la cultura popular (novelas, películas, series de televisión, cómics, incluso videojuegos; nos daría para llenar varias páginas) se hace referencia a esta serie de cuadros. Por ejemplo, para los amigos de Los Simpson, en el episodio La casa-árbol del terror IV (Treehouse of Horror IV), quinto de la quinta temporada (5.05), Homer se vuelve loco por mirar este cuadro; también en los remakes El secreto de Thomas Crown (The Thomas Crown Affair, John McTiernan, EE. UU., 1999), La vuelta al mundo en ochenta días (Around the World in 80 Days, Frank Coraci, EE. UU., 2004), o en Up (Pete Docter y Bob Peterson, EE. UU., 2009), por citar algunos. En la película que nos ocupa, este cuadro (se supone que una lámina, no el original, se utiliza para esconder el cuadro de Pollock que Chris regala finalmente a Dana. ¿En qué momento Dana trae a colación perros jugando al póker antes de que veamos este cuadro? 3.- Forma Libre (Free Form), Jackson Pollock, 1946. Poco se puede comentar sobre este autor, el mayor representante del expresionismo abstracto, que no se sepa. Artista controvertido, de personalidad volátil, luchó contra el alcoholismo la mayor parte de su vida. Contrajo matrimonio con la artista Lee Krasner en 1945, de gran influencia en su obra. Murió de un accidente de tráfico en 1956 conduciendo totalmente ebrio. Varios cineastas por separado han intentado llevar al cine su biografía, pero sólo el empeño personal del actor Ed Harris (que protagonizó y dirigió la película Pollock: la vida de un creador, en el año 2000), llegó finalmente a término, a pesar de la nula colaboración de la fundación Pollock-Krasner. Probablemente Forma Libre sea la primera obra de Pollock realizada mediante la técnica de "goteo". Los expertos consideran que comenzó pintando todo el lienzo en rojo y luego fue añadiendo los enredos blancos y negros, lanzando y goteando pintura diluida en aceite mediante un cepillo o un palo. Es propiedad del MoMA (Museum of Modern Art, Nueva York). Por hacernos una idea de la cotización de Pollock, en 2013 se pagaron 58,4 millones de dólares, el doble del precio de salida, por una obra fechada en 1948, es decir, dos años posterior a la que estamos comentando. Batió en ese momento el record de la sala Christie’s de Nueva York. Para los más curiosos. ¿Es en realidad el cuadro original de Pollock el que aparece en la película, o tiene alguna alteración? ¿Qué significado puede tener tal alteración, caso de que la descubráis? Pudiera parecer extraño que Chris guarde en una caja fuerte una copia de Action Comics # 1 (1938), pero concretamente este ejemplar, en buenas condiciones, está valorado en torno a los 4 millones de dólares. Contiene la primera aparición de Superman de la historia, y hace unos años, en 2011, saltó a las primeras páginas de los periódicos norteamericanos ya que fue encontrado por la policía el ejemplar propiedad del actor Nicholas Cage que le habían robado diez años atrás (en el 2000 presentó la denuncia; éste está valorado “sólo” en 2 millones de dólares porque como se ve en la imagen, presenta algunos signos de deterioro, no está perfecto). Se encontró en un armario de un almacén que compró la persona que lo entregó a la policía. Desgraciadamente para Cage, sus ejemplares Detective Comics # 1 y Detective Comics # 27 (la primera aparición de Batman), robados a la vez, aún no han aparecido. Por cierto, tampoco tiene ya el encontrado: una vez recuperado, lo vendió por 2.1 millones de dólares. Curiosamente, Ben Affleck interpretó a Superman en Hollywoodland (Allen Coulter, EE. UU., 2006) (en realidad interpreta a George Reeves, actor que interpretó a Superman, como sabemos), y a Batman en Batman v Superman: El amanecer de la justicia (Zack Snyder, EE. UU., 2016), siendo hasta el momento el único actor que ha encarnado a ambos superhéroes, además de a Daredevil en la película homónima (Mark Steven Johnson, EE. UU., 2003), y de nuevo a Batman en dos películas de La liga de la justicia, y The Batman, éstas aún en fase de posproducción. Y curiosamente, hay más actores en la película que han personificado en otras películas a personajes de cómics (os digo quienes: J.K. Simmons, Jon Bernthal, Anna Kendrick, y Cynthia Addai-Robinson; vosotros buscáis qué personajes fueron). La rima de Solomon Grundy (Solomon Grundy, un lunes nació, un martes se bautizó, un miércoles se casó, un jueves enfermó, un viernes empeoró, un sábado murió y un domingo se enterró. Y así Solomon Grundy acabó) tiene bastante presencia en la película ya que sirve para calmar a Chris. También este personaje tiene que ver con los comics (DC Comics) ya que se trata de un zombi cuya “vida” está estructurada en torno a esta misma rima. Sin embargo, la rima tiene más historia. Está datada por primera vez en 1842 en el libro Nursery Rhymes and Fairy Tales, de James Orchard Halliwell-Phillipps (1820 – 1889), anticuario inglés, investigador de literatura y recopilador de cuentos tradicionales. La canción está traducida en diferentes idiomas como el francés, alemán e italiano y se utiliza como herramienta educativa para enseñar a los niños los días de la semana en inglés, ya que es muy fácil de memorizar la rima. La rima cuenta la historia de Solomon Grundy, un hombre que, metafóricamente, vive y muere toda su vida en una sola semana. Nacido el lunes, cada día de la semana se hace más viejo pasando por las diferentes etapas de la vida, que termina en sábado. Solomon Grundy se convirtió en un personaje de leyendas urbanas y cómics. Se utiliza también para asustar a los niños, diciéndoles que Solomon Grundy volverá el lunes, de manera similar al “coco”. Por supuesto es cierto, como se indica en la película, que los psicólogos la emplean en las terapias con niños con determinadas patologías. Por otro lado, existe una comida salada británica del siglo XVII llamada Salmagundi (referido a un ingrediente utilizado en el plato), que algunos consideran el origen fonético de la rima. Conclusión Quien disfrute de las películas de acción con algún contenido adicional que se salga de lo habitual del género (es decir de los Rambos, Norris, Seagal, Van Damme y demás engendros de violencia gratuita) puede pasar un rato entretenido, aunque probablemente todo le resulte bastante trillado. Podría decirse que El contable es una precuela de cualquier súper héroe tipo Batman. Seguramente con secuela dentro de un tiempo. No está mal que el espectador asuma que también hay matemáticas en este tipo de películas. Lo peor es que transmite (¡¡ay, la omnipresente segunda enmienda!!) la idea de que la violencia es justificable, y que no importa que cualquiera la emplee con tal de que sus fines sean justos y morales. Pero a nada que tengamos media neurona útil, llegaremos a la conclusión de que esos ideales (justicia, verdad, etc.) no son tan fáciles de discernir, y cualquiera puede obcecarse en un momento dado y dejarse llevar por una rabieta pasajera. Alfonso J. Población Sáez

Miércoles, 05 de Abril de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

346. 148. (Abril 2017) La magia de los puzles

No hace demasiado tiempo que se ha popularizado a través de internet una especie de paradoja geométrica en la que se muestra una tableta de chocolate que, por muchas onzas que nos comamos, nunca se acaba (mira, por ejemplo, el artículo "El chocolate infinito" de Marta Macho en el blog ZTFNews). Aparentemente se trata de una ilusión óptica o de una especie de truco de cámara del estilo de los efectos especiales a los que nos tienen acostumbrados los realizadores cinematográficos. Sin embargo, hay varias versiones en las que el truco puede realizarse en directo y están basadas en distintas técnicas que conjugan la magia y la geometría. Ya hemos tratado en este rincón el tema de las paradojas geométricas en las entregas de febrero de 2006 y mayo de 2008 pero, aprovechando que he recibido recientemente un regalo que pertenece a esta categoría y quiero compartirlo con todos los seguidores de este rincón, vamos a realizar un pequeño recorrido histórico por algunos de estos juegos. Aunque no pertenezca a la categoría de mágico, ha formado parte del arsenal de muchos magos por su componente de sorpresa y por precisar una buena dosis de ingenio para resolverlo. Se trata del llamado juego de las mulas de Sam Loyd, registrado en 1871 y vendido al empresario P.T. Barnum, quien distribuyó millones de copias para promocionar su espectáculo circense. El juego consiste en una cartulina como la que se muestra en la siguiente figura (mostramos dos versiones, la izquierda es la imagen original y la derecha una de las muchas variantes que se han ido realizando posteriormente). El desafío consiste en recortar las tres piezas y colocarlas de tal forma que se vea a los dos jinetes montando sobre las mulas. Si no lo conoces, te animo a intentar resolverlo. Comprobarás enseguida que, a pesar de su aparente simplicidad, no es fácil resolverlo. De hecho, no desvelaré la solución para darte la oportunidad de disfrutar con el reto. Como la mayoría de asuntos relacionados con Sam Loyd, el puzle no es completamente de su invención: un modelo simplificado apareció en el libro "The magician's own book", de autor desconocido y publicado en 1857. La imagen muestra dos perros en una postura alicaída y el problema consiste en trazar dos líneas en cada uno para que se vea a los perros corriendo. En la siguiente imagen mostramos la página del libro con el enunciado del problema y una ampliación de la solución.asuntos relacionados con Sam Loyd, el puzle no es completamente de su invención: un modelo simplificado apareció en el libro "The magician's own book", de autor desconocido y publicado en 1857. La imagen muestra dos perros en una postura alicaída y el problema consiste en trazar dos líneas en cada uno para que se vea a los perros corriendo. En la siguiente imagen mostramos la página del libro con el enunciado del problema y una ampliación de la solución. Ahora bien, la idea tampoco era original en ese momento pues ya se conocía en la Edad Media, como se observa en las imágenes que aparecen en esta página. Lo cierto es que la inclusión de los jinetes por parte de Sam Loyd dio un nuevo impulso al juego. Con el fin de reconocer a Sam Loyd en su justa medida, citaremos otro juego de su invención -esta vez todo indica que sí lo fue- relacionado con animales. Una completa descripción, incluyendo el relato de su gestación y realización por parte del autor, se puede encontrar en el acertijo número siete del capítulo 5 del libro "Los acertijos de Sam Loyd", compilados por Martin Gardner y publicado en castellano en 1988. Básicamente consiste en recortar las seis piezas del burrito que aparece en la imagen y recomponerlas para mostrar un pony. En la imagen de la derecha se muestra otra versión del mismo juego en la que se utilizan únicamente tres piezas. La historia de los puzles relacionados con apariciones y desapariciones podría seguir con los famosos juegos de la desaparición de los guerreros chinos, o de los duendecillos llamados leprechauns, o muchos otros similares como los que ya tratamos en el citado RINCÓN MATEMÁGICO 25 de febrero de 2006. Un par de interesantes recopilaciones de algunos de ellos fue realizada por Mariano Tomatis bajo el título "A selection of vanishing puzzles" y "Curse of the crystal skulls and other vanishing area puzzles". Estos y otros trucos geométricos están basados en una propiedad que Martin Gardner bautizó como "principio de la disposición oculta" en el supermegaimprescindible clásico libro "Mathematics, Magic and Mystery". No continuaremos con dicha historia así que vamos a finalizar con el regalo prometido: el secreto de la desaparición de un elefante. El juego fue realizado por primera vez ante más de 5000 espectadores en enero de 1918 por la elefanta Jennie y su ayudante Harry Houdini, uno de los magos más aclamados en el siglo XX. Posteriormente hemos disfrutado de multitud de versiones y adaptaciones, desapariciones de trenes, de aviones, incluso de edificaciones clásicas. La versión que aquí mostramos es más modesta pero no menos sorprendente, pues ocurrirá en tus propias manos. La revista Magic Magazine publicó en septiembre de 2016 el número 301 de su colección, titulado "The final issue" por ser el final de su trayectoria de 25 años, y allí encontramos un artículo del mago y psicólogo Richard Wiseman donde explica el juego y los detalles de su creación. Si quieres hacerlo tú también, descarga la plantilla pulsando con el ratón sobre la imagen adjunta y sigue las instrucciones que allí se detallan. Descubrirás la historia del juego a través de sus protagonistas: Harry Houdini, Howard Thurston, Charles Morritt y Jim Steinmeyer. De paso verás cómo el elefante desaparece delante de tus narices. Esta historieta en forma de comic ha sido realizada por los humoristas gráficos Richard Worth y Jordan Collver (también llamados Water Closet Press), autores de cuentos relacionados con Harry Houdini y Arthur Conan Doyle, como el titulado "A certain symmetry" cuya portada se muestra en la figura adjunta y en la que ya se sugiere la idea de simetría que aparece a lo largo del cuento. Observaciones finales. Si has llegado hasta aquí, te mereces una solución del problema de las mulas. En el blog de David Richeson, Division by zero, tienes una animación con la respuesta pero no entres a esa página hasta que realmente sientas que no eres capaz de resolverlo. Unas interesantes notas históricas con versiones posteriores del problema de las mulas está descrita en el artículo I due fantini di Samuel Loyd, de Gianfranco Bo. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Sábado, 01 de Abril de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

347. 109. (Marzo 2017) El aumento

EL AUMENTO o cómo, sean cuales fueren las condiciones sanitarias, psicológicas, climáticas, económicas o de otra índole, poner de su lado el máximo de oportunidades cuando usted le pide a su jefe de servicio un reajuste de salario Hace ya unos cuantos años, en 2008, hablamos en esta sección de DivulgaMAT de L’augmentation (El aumento de sueldo) de George Perec. Un año más tarde, la editorial La Uña Rota publicó la primera edición en castellano de esta compleja pero divertida obra de teatro, en la que las matemáticas tienen una presencia importante. El ICMAT, en colaboración con diferentes instituciones, ha organizado dentro de sus actividades de divulgación la representación de esta obra, llevada a escena por la compañía El Hijo Tonto y Andrea Díaz como directora invitada. Se estrenó el pasado 1 de febrero en la Casa Encendida (Madrid); aunque las representaciones previstas terminan en marzo, en este enlace es posible consultar otras posibles puestas en escena. El ICMAT proporciona información diversa sobre esta magnífica obra de Georges Perec… "El Aumento" Contenido Matemático Créditos También puedes disfrutar de algunos fragmentos de la obra en estos videos:

Viernes, 24 de Marzo de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

348. 108. (Febrero 2017) Topología para cuerpos infinitamente inconquistables, de Edgardo Mercado

No es la primera vez que hablamos del trabajo de Edgardo Mercado en este portal. Recordemos su Tierra de Mandelbrot (2004), su Plano difuso (2006) y sus Argumentos a favor de la oscuridad (2007) o su Rotonda (2011). Sus coreografías incorporan guiños a la ciencia y las matemáticas, haciendo aún más bellas, si cabe, sus propuestas. En una entrevista realizada en 2016 (ver [1]), Edgardo Mercado comentaba: […] en mis obras, siempre afloran, desde el diseño y el concepto, temas relacionados a la física o a las matemáticas Imagen extraída de [4] Topología para cuerpos infinitamente inconquistables dio sus primeros pasos durante una residencia artística del coreógrafo en el Centro Nacional de Danza de París en 2014. El Centro de las Artes UNSAM (Buenos Aires, Argentina) la presentaba de este modo en junio de 2016: ¿Qué forma tiene el espacio propio hoy? ¿Cómo se extiende, deforma, hincha o repliega nuestra superficie surcada por diferentes flujos de información? Topologías para cuerpos infinitamente inconquistables es una instalación- performativa que trae consigo una atención diferente de nuestras percepciones, para sumergirnos en una experiencia que transforma el espacio en un paisaje dinámico a través de los cuerpos del público y de veinte performers. Así nos permite cuestionarnos acerca de la conectividad, ubicuidad, y límites del cuerpo en movimiento hoy. Este entramado material-corporal-sonoro nos va conduciendo sutilmente a la exploración táctil de los cuerpos (performers) que son parte de la instalación. Topologías para cuerpos infinitamente inconquistables es entonces un objeto coreográfico interactivo, participativo, desestabilizante, un híbrido entre la experiencia coreográfica y la experiencia inmersiva. Realmente, es pura topología… En este enlace pueden verse algunos fragmentos de Topologías para cuerpos infinitamente inconquistables, interpretada por alumnas y alumnos del Instituto de Artes Mauricio Kagel de la UNSAM, y llevada a cabo en el Centro de las Artes de la UNSAM: Más información: [1] Karina Álvarez Moser, Entrevista a Edgardo Mercado, UNSAM, 20 mayo 2016 [2]Yanina Vázquez, Imperdible: Topologías para cuerpos infinitamente inconquistables, Pronto, 31 mayo 2016 (con varias fotografías) [3] Fragmentos de Topologías para cuerpos infinitamente inconquistables en Vimeo [4] Álbum con numerosas fotografías en la página de Facebook de Edgardo Mercado

Miércoles, 22 de Febrero de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

349. 82. (Marzo 2017) Música fractal (I)

1. Introducción Un tema que lleva tiempo pendiente en esta columna, quizás más del deseable, es el de la música fractal, tema fascinante donde los haya. Y ha llegado la hora de dedicarle una serie con la profundidad que se merece. Los artículos de los próximos meses estarán dedicados a la música fractal. Empezaremos con el del mes de marzo, que es una introducción a los fractales desde un punto de vista matemático. Esperamos dar el tono adecuado para no aburrir a nuestros lectores matemáticos y a la vez ser claros y amenos para nuestros lectores músicos. También esperamos que las conexiones entre los fractales y la composición musical despierten el interés de nuestros lectores a lo largo de esta serie de artículos. La música fractal se puede pensar como una forma de composición algorítmica. Recientemente, hicimos una serie sobre composición algorítmica (véase [Góm16]), pero no incluimos la música fractal porque, dada su entidad, consideramos que merecía una serie por sí misma. Empezaremos este artículo con una sucinta reseña histórica de los fractales; a continuación, entraremos a definir de modo intuitivo qué son y daremos varios ejemplos importantes; por último, daremos una definición más formal. 2. Historia de los fractales El término fractal fue inventado por Benoît Mandelbrot para designar conjuntos con ciertas características de autosemejanza. Sus investigaciones sobre fractales empezaron en los años 60 (véase el artículo How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension [Man67]), pero no es hasta 1975 cuando Mandelbrot empieza a usar el término fractal. Ya en su libro Fractals: Form, Chance and Dimension [Man77] lo presenta formalmente y lo emplea con toda su potencia conceptual. El término está tomado del latín, de fractus, que significa fracturado. Más tarde escribe The fractal geometry of nature [Man83], libro que populariza los fractales definitivamente. Una primera definición, intuitiva y sencilla, es que un fractal es un conjunto de autosemejanza infinita, esto es, un conjunto que cuando se reduce o se agranda su escala el conjunto no cambia. Esta idea ya conlleva una cierta idea del infinito dentro de sí. En la figura 1 vemos un famoso fractal, el triángulo de Serpienski, que ilustra la idea de fractal. Con frecuencia los fractales se construyen mediante un proceso infinito que, sin embargo, se especifica con una serie de reglas finitas. En el caso del triángulo de Serpienski, el proceso empieza con un triángulo equilátero; se sigue dividiendo este triángulo en cuatro insertando un triángulo a escala un tercio en el centro. Esto genera cuatro triángulos y, de los nuevos triángulos, el del centro permanece tal cual está y en el resto se repite este proceso hasta el infinito. El fractal es el resultado de este proceso infinito. Los fractales definidos de esta manera están fuertemente relacionados con la recursión [Wik17c]; la recursión es la definición de un objeto en términos de sí mismo. En el caso de este fractal, la definición empieza por un objeto fijo, que es el triángulo equilátero inicial y continúa con una definición recursiva, que es que en cada paso se subdividan ciertos triángulos y se aplique el proceso de construcción otra vez. Figura 1: El triángulo de Serpienski La autosemejanza se puede manifestar de múltiples maneras: Autosemejanza exacta, donde el mismo patrón o conjunto se repiten idénticamente a cualquier escala, como en el ejemplo anterior. Autosemejanza aproximada, donde el mismo patrón o conjunto se repite aproximadamente a cualquier escala. Por aproximadamente quiere decir que el patrón puede aparecer con algún tipo de distorsión. Autosemejanza estadística, donde los patrones se repite y lo que se preserva son ciertas medidas estadísticas. Autosemejanza cualitativa, donde ciertas propiedades cualitativas se conservan; ejemplos de esto aparecen en los mercados y los modelos de volatilidad. La definición técnica que dio Mandelbrot es la de que un fractal es un objeto cuya dimensión de Haussdorf no es un entero. En la siguiente sección explicaremos con detalle esta definición; es más sencillo de lo que parece y es el lenguaje matemático que aquí puede intimidar un poco al principio. Sin embargo, aunque Mandelbrot bautizó a estos conjuntos tan peculiares, los fractales habían aparecido mucho antes en la historia de las matemáticas y más recientemente en la computación. Los fractales están fuertemente relacionados con la idea del infinito y está ya había aparecido con frecuencia en las matemáticas, por ejemplo, en las series infinitas. Las series infinitas son sumas infinitas de números. Uno pensaría a primera vista que la suma infinita de números tiene que dar infinito, pero sin embargo eso no es cierto. Por ejemplo, la suma de que es una suma infinita da simplemente 1. Pickover [Pic09] (página 310) documenta los primeros rastros de los fractales en la obra del matemático y filósofo del siglo XVII Gottfried Leibniz, quien estudió las series infinitas. Esos rastros consisten en especulaciones sobre estructuras recursivas autosemejantes en los que se acerca mucho a la idea de dimensión fraccionaria. Crilly y sus coautores [CEJ91] localizan indicios de fractales en la obra de Durero (1471–1528), que es anterior a Leibniz. Durero tiene una construcción de pentágonos similar a la de Serpienski. Dos siglos más tarde, a finales del siglo XIX, Cantor encontró una serie de conjuntos en la recta real, que se conocen hoy en día como conjuntos de Cantor, y que tenían propiedades muy peculiares. Con la terminología moderna, resultan ser ejemplos de estructuras fractales. Los conjuntos de Cantor se construían a partir de reglas recursivas como las del triángulo de Serpienski. Otros matemáticos, como Felix Klein y Henri Poincaré, trabajaron con conjuntos que son netamente fractales, en particular en los fractales autoinversos. El artista Mauritus Escher tenía una fascinación por la recursividad y la autosemejanza. En la figura de abajo tenemos uno de sus grabados; en él se la idea de la autosemejanza así como la de la simetría y recubrimiento. Las figuras negras delimitan a las figuras blancas y entre las dos cubren el círculo; las figuras van reduciendo su escala según se acercan a la circunferencia. Figura 2: Grabado de M. C. Escher con un motivo autosemejante Otros matemáticos que trabajaron con los fractales fueron Peano, Hilbert y von Koch, quienes dieron conjuntos fractales cada vez más complejos; Haussdorf, quien generalizó el concepto de dimensión; y más modernamente Julia y Fatou, quienes extendieron las ideas fractales al plano complejo. Con la invención de los ordenadores ya era posible visualizarlos. Las visualizaciones de los fractales producen imágenes muy atractivas y sus aplicaciones han demostrado ser ubicuas (paisajes de videojuegos, compresión de imágenes, arte en sí mismo). En la feria de computación más importante, SIGGRAPH, Loren Carpenter en 1980 hizo una presentación del primer software para generar paisajes fractales. A partir de ahí se popularizaron enormemente. Véanse los libros The fractal geometry of nature [Man83] y Fractal and Chaos [CEJ91] para más información sobre la historia de los fractales. Otros libros interesantes sobre fractales son los siguientes: como un libro para profundizar más sobre fractales, véase [Fel12]; sobre la presencia de los fractales en diversos campos, véase [DeC15]; para la programación de fractales, véase el libro de Ben Trube [Tru13]; para modelos fractales del comportamiento de los mercados, véase [PP94]. 3. ¿Qué son los fractales? Los fractales aparecen en muchos contextos y se pueden generar de múltiples formas. Las más comunes caen en las siguientes categorías (que no son exhaustivas ni mucho menos; véanse [Man83, CEJ91, Wik17a] para más información): Reglas recursivas de subdivisión. Estos fractales corresponden al tipo del triángulo de Serpienski. Se definen una serie de reglas recursivas a través de las cuales se construye el conjunto fractal. Iteración de funciones. Una función se evalúa repetidamente en un punto inicial. La función puede ser de tipo determinista o estocástica. Atractores. Se usan soluciones de un sistema de ecuaciones (diferencial o de otro tipo), sobre todo de ecuaciones que son muy sensibles a las condiciones iniciales. Sistemas L. Se basan en cadenas y su generación a través de reglas de escritura. Suelen generar fractales asociados a procesos de ramificaciones. Fractales aleatorios. Son los fractales que aparecen en procesos aleatorios tales como movimiento browniano, paisajes fractales y otros. Vamos a empezar dando unos cuantos ejemplos de conjuntos fractales y, tras haber adquirido intuición, pasaremos a definiciones más formales. 3.1. Fractales construidos por reglas recursivas El primer conjunto que presentamos es el conjunto de Cantor. Es un fractal que se construye recursivamente. Se toma el intervalo [0,1] de la recta real y se le quita el tercio central, (,). Nos quedan los intervalos [0,] y [,1]. A continuación, se repite el proceso en estos intervalos de manera recursiva y ad infinitum. En la figura 3 tenemos cómo resulta el conjunto de Cantor para las primeras iteraciones. Figura 3: El conjunto de Cantor En cada paso de la construcción del conjunto de Cantor se extrae un tercio del conjunto anterior. Por ejemplo, en el primer paso, se extrae el intervalo [,]; en el segundo, los intervalos [,] y [,]; y así sucesivamente. Si sumamos todas las longitudes de esos intervalos tenemos Usando la fórmula clásica de la suma de progresiones geométricas, sale que la suma de estos intervalos es 1, que es un resultado que al menos a primera vista es sorprendente. Hemos quitado un conjunto infinito de puntos del intervalo [0,1] y lo que resta aun suma 1, la longitud de dicho intervalo. El siguiente fractal que vamos a presentar es el copo de nieve de Koch. Se empieza con un triángulo equilátero, digamos de lado 1, y recursivamente se modifica cada lado como sigue: Divídase los lados en tres segmentos de igual longitud. Dibújese un triángulo equilátero sobre el segmento central obtenido en el paso 1 de manera que apunte hacia fuera. Quítese el segmento central sobre el que se basa el triángulo equilátero del paso 2 En la figura 4 se puede ver a la izquierda el detalle de las reglas recursivas y a la derecha el copo de nieve de Koch. Figura 4: El copo de nieve de Koch El copo de nieve de Koch tiene la propiedad de que su perímetro es infinito, pero el área que encierra es finita. En efecto, llamemos Nn al número de lados del copo de nieve en el paso n. Se tiene que: La anterior expresión es recursiva y con un poco de cálculo se puede ver que la forma explícita es Nn = 3 ⋅ 4n. Si Ln designa la longitud del lado que aparece en el copo de nieve en el paso n, entonces Ln es igual a porque la longitud se reduce a un tercio en cada paso. Por tanto, el perímetro Pn es igual a Pn tiende a infinito cuando n tiende a infinito, pues 4∕3 es mayor que 1. De modo que la longitud del copo de nieve es infinito. Un cálculo con series infinitas prueba que, sin embargo, el área es finita e igual a ; véase [Wik17b] para los detalles de dicho cálculo (que solo requiere matemáticas de secundaria). Esta curva también exhibe la sorprendente propiedad de que es continua en todos los puntos, pero no es diferenciable en ninguno. Probar que esto es así requiere matemáticas que van más allá del propósito de esta columna. 3.2. Fractales construidos por iteración de funciones Hay otra gran familia de fractales, que son los que se basan en la iteración del valor de una función. Por ejemplo, si tenemos la función f(x) = + 1 y tomamos un valor inicial, digamos x0 = 1, entonces las iteraciones sucesivas de f(x) en x0 son: f(x0) = + 1 = ; f(2)(x0) = f(f(x0)) = f() = + 1 = ; f(3)(x0) = f(f(2)(x0)) = f() = + 1 = ; Para un n arbitrario la n-ésima iteración es f(n)(x0) = . Los fractales de este tipo se desarrollan con los números complejos, de modo que las funciones son complejas y no reales. Los números complejos son números de forma x + yi, donde x,y son números reales habituales e i es la unidad imaginaria, que se define por la relación i2 = -1. El número x se llama la parte real e y la parte imaginaria. Los números complejos se pueden sumar y multiplicar. Solo hay que seguir las reglas habituales de cálculo. Si z1 = x1 + y1i y z2 = x2 + y2i son números complejos su suma y producto se calculan como sigue: Consideremos ahora la función compleja f(z) = z2 + c, donde c = a + bi es una constante. Y consideremos también las iteraciones de f(z) en un punto inicial z0, esto es, f(z0),f(2)(z0),…,f(n)(z0). ¿A dónde tiene la iteración de f en z0 cuando n tiende a infinito? Hay varios posibles resultados, dependiendo del valor inicial: La iteración de f se queda fija. Si z0 = 0, obviamente f(n)(z0) = c, para todo n. La iteración de f converge a un punto al cual se acerca cada vez más; esto pasaría, por ejemplo, si hacemos que z0 = - i y c = ; de nuevo, se deja su comprobación al lector. La iteración de f diverge, esto es, f(n)(z0) se aleja infinitamente de z0. Por ejemplo, esto ocurre si tomamos z0 = 2 + 2i y c = 1 (el lector puede comprobar esto). También es posible que para algunos valores se produzca una serie cíclica de valores en las iteraciones. Los casos 1 y 2 anteriores constituyen lo que llamamos el conjunto de puntos convergentes y los casos 3 y 4 el conjunto de puntos divergentes. El conjunto de Julia es el conjunto de puntos que son convergentes pero que están justo al lado de puntos divergentes; es, por así decir, la frontera entre los puntos convergentes y divergentes. El conjunto de Julia tiene naturaleza fractal como puede verse en la figura 5; este conjunto corresponde a la función z2 + c, con c = -0.8 + 0.156i. Figura 5: El conjunto de Julia La coloración de los píxeles (los puntos del plano) se establece en función del comportamiento de los puntos al converger o diverger. Se puede asignar un mismo color a todos los puntos del conjunto divergente o se puede asignar un color en función de la velocidad con que diverjan. Esto explica por qué en la figura 5 vemos más de un color y no dos como cabría esperar si solo asignásemos un color a cada conjunto de puntos convergentes y divergentes. 3.3. Definición matemática de fractal Como dijimos más arriba, un fractal se puede definir como un objeto cuya dimensión de Haussdorff es fraccionaria. Analicemos esta definición con más detalle. Un punto tiene dimensión cero; una línea, dimensión uno, puesto que la podemos describir por un solo parámetro, que es la distancia desde un punto fijo. Un plano tiene dimensión dos y cualquier punto en él se puede localizar unívocamente con dos parámetros. En el espacio de tres dimensiones, alto, largo y ancho son las coordenadas que nos hacen falta para describir cualquier objeto en él. Los conjuntos de dimensiones superiores no se pueden visualizar, pero se pueden conocer y probar muchos resultados acerca de ellos. Los conjuntos fractales que estamos considerando aquí no se acomodan de una manera tan clara en los espacios geométricos habituales. Tomemos, por ejemplo, el copo de nieve de Koch. Dado que es una curva parece que tiene dimensión uno. Sin embargo, la distancia entre dos puntos cualesquiera es infinito. Entonces, será un objeto bidimensional. Pero esta curva no rellena el espacio bidimensional en que se encuentra y, por tanto, difícilmente puede tener dimensión dos. Parece que su dimensión debe estar entre 1 y 2. Esta discusión prueba que necesitamos una definición de dimensión que dé cuenta de estos objetos que parecen estar en dimensiones no enteras. Esa definición es la llamada dimensión de Haussdorf o dimensión fractal. Para ilustrar cómo funciona nos centraremos en los fractales de construcción recursiva. Presentamos dos conceptos primero, el factor de escala f y el número de copias n. La dimensión de Haussdorf d se define como el número que cumple que o tomando logaritmos Calculemos unas cuantas dimensiones de los conjuntos vistos más arriba para ilustrar este concepto. En el conjunto de Cantor en cada paso tenemos un factor de escala de 1∕3 y aparecen dos copias nuevas. Entonces la dimensión es En el número final de la dimensión se ha tomado los cuatro primeros decimales; el número exacto no es relevante. En el caso del triángulo de Serpienski tenemos 3 copias a escala 1∕2 cada una y, por tanto, su dimensión es un número mayor que 1 y menor que 2. Para la curva de Koch, observamos que hay 4 copias y cada una está a escala 1∕3. Por tanto: Como vemos, todos los números anteriores son números fraccionarios. El lector ya se habrá dado cuenta de que en el caso de los fractales construidos por reglas recursivas, con la definición dada es fácil calcular la dimensión de Haussdorf, pero que no lo es en otros tipos de fractales, como pueden ser los construidos por iteración de funciones. La definición que dio Haussdorf permite calcular esa dimensión, pero los detalles se vuelven demasiado técnicos para exponerlos aquí; de nuevo, remitimos el lector al libro de Crilly y sus coautores [CEJ91] para una exposición asequible y clara de esta cuestión.   Bibliografía [CEJ91] A. J. Crilly, R.A. Earnshaw, and H. Jones. Fractals and Chaos. Springer-Verlag, 1991. [DeC15] William DeCotiis. The Fractal. Editado por el autor, 2015. [Fel12] David P. Feldman. Chaos and Fractals: An Elementary Introduction. OUP Oxford, 2012. [Góm16] P. Gómez. Composición algorítmica, mayo de 2016. [Man67] Benoît Mandelbrot. How long is the coast of britain? statistical self-similarity and fractional dimension. Science, 156(3775), 1967. [Man77] Benoît Mandelbrot. Fractals: Form, Chance and Dimension. W H Freeman and Co, 1977. [Man83] Benoît Mandelbrot. The fractal geometry of nature. Macmillan, 1983. [Pic09] Clifford Pickover. The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics. Sterling, 2009. [PP94] Edgar E. Peters and Donada Peters. Fractal Market Analysis: Applying Chaos Theory to Investment and Economics. John Wiley and Sons, 1994. [Tru13] Ben Trube. Fractals: A Programmer’s Approach. Editado por el autor, 2013. [Wik17a] Wikipedia. Fractals, consultada en febrero de 2017. [Wik17b] Wikipedia. Koch snowflake, consultada en febrero de 2017. [Wik17c] Wikipedia. Recursion algorítmica, consultada en febrero de 2017.

Miércoles, 15 de Marzo de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

350. 115. (Marzo 2017) "No, no es racional", de Roberto Muñoz

El 14/3, el 14 de marzo (3/14 según la escritura anglosajona) se celebra el día del número pi. ¿Por qué? Porque este número irracional empieza precisamente de la siguiente manera: 3,141592653589793238462643383279502884197169399375… Para celebrar este día, nuestro compañero y amigo Roberto Muñoz (Universidad Rey Juan Carlos) nos ha regalado el relato "No, no es racional", en el que las matemáticas y el amor se entremezclan, porque… ¿hay pasión racional? Roberto ya nos dejó ‘degustar’ su arte con las letras a través de su precioso relato alfabético dedicado a Alexander Grothendieck. Gracias, Roberto, y ¡Feliz día de pi!   No, no es racional “…toutes le fois qu’un arc de cercle quelconque est conmensurable au rayon, la tangente de cet arc lui est inconmensurable; & que réciproquement, toute tangente conmensurable n’est point celle d’un arc conmensurable…” (J. H. Lambert, Mémoires sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques, Mém. de l’Acad. R. des Sci. de Berlin 17 (1761/1768) 265-322) No puede uno aproximarse a la mujer que ama sin cometer errores. Ni el más avezado galán –conquistador voraz– puede acertar siempre: elegir el movimiento preciso, el paso adecuado, la maniobra astuta de audacia justa. Son errores de medida, de previsión, de observación. Hay que descubrir el momento exacto –ese instante– en el que se pueden sobrepasar ciertos límites sin ser grosero y el idéntico segundo en el que si no se da un paso más se desploma todo, demasiada prudencia, demasiado conservadora esa actitud, ridícula caricatura del amor cortés. Es el amor lo que nubla el proceso: un flirteo o coqueteo, un acercamiento de contenido meramente sexual o la conquista narcisista es más previsible, más racional, un pacto de réditos y deudas, de lo que recibo a cambio de lo que doy. Sexo por sexo. Sexo por protección. Protección por sexo. Protección por autoestima. Cariño por sexo. O lo que se establezca en los términos del contrato, a menudo tácito o implícito o sobreentendido. En numerosas ocasiones equívoco. Pero el amor es otra cosa. La raíz cuadrada de dos –ese número que representa la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado unidad– no es un número racional. No es una fracción, no es una proporción, no es el cociente entre dos números enteros. Esto ha costado vidas, corduras: no todo es armonía, no todo es razón, no todo es equilibrio. Si lo fuera, si la raíz cuadrada de dos fuera el cociente entre dos números enteros, esto tendría la inesperada consecuencia del absurdo, de la contradicción, de la quiebra del sistema. Y no, el sistema no es contradictorio, por lo que esta medida no es racional, no, no lo es, no es un cociente. Si la raíz de dos fuera el resultado de dividir dos números enteros p/q, se podría simplificar la fracción hasta llegar a una fracción irreducible, una fracción que no puede simplificarse ya más. Como el cociente p/q es la raíz cuadrada de dos, al elevar al cuadrado esta fracción el resultado es dos. Así p²=2q². Esto quiere decir que el cuadrado de p es un número par y por tanto p es par, p=2r: Recordemos que los factores primos del cuadrado de p son los mismos que los de p. Esto va a conducir a que también q es par: p²=(2r)²= 2q², esto es, 2r²= q². De este modo p y q, numerador y denominador de una fracción irreducible, son ambos pares lo que es una contradicción pues habíamos simplificado la fracción desde el inicio. Así, la raíz de dos no es un número racional. Este es un hecho desolador: no hay proporción que mida esta longitud, la de la diagonal de un cuadrado de lado unidad, no hay número decimal exacto, ni siquiera periódico que permita escribirla. Sólo podemos conformarnos con aproximarla, acercarnos tanto como queramos, poco a poco, o más rápidamente para nunca llegar, para nunca alcanzarla, como un horizonte lejano y visible, inabarcable. Sólo puede conformarse con aproximarla, acercarse tanto como quiera, poco a poco, o más rápidamente para nunca llegar, para nunca alcanzarla, como un horizonte lejano y visible, inabarcable. El ser humano es, así se definía clásicamente, un ser racional y sin embargo no lo es la realidad, ni siquiera la que él mismo construye cuando pone dos palos de la misma medida formando un ángulo recto. Ninguna máquina, por precisa que sea, podrá medir esa diagonal y decir exactamente su longitud, no es posible, no hay instrumento que sea capaz, ni lo habrá. Un hombre en una playa coge una cuerda y la dobla por la mitad, en sus extremos pone dos palos, uno lo clava, con el otro y la cuerda extendida dibuja en la arena, una vuelta completa. Un redondel, un aro, una circunferencia. Figuras de niño. De profesor antiguo en la pizarra con su tiza atada a un cordel. Grafías sencillas. Y nada, tampoco, de nuevo es incapaz de medir. Un poco más de 3 cuerdas mide su figura. Menos de 3 cuerdas y media. Parte su cuerda en 10 trozos iguales: un poco más de tres cuerdas y un trozo, un poco menos que una cuerda y dos trozos. Parte un trocito en otros 10 trozos iguales: un poco más que coger 4, un poco menos que coger 5. Y así hasta el infinito, sin poder escribir con exactitud esa proporción, la que hay entre la longitud de la cuerda desdoblada y la de la figura que ha construido con ella. Sólo puede conformarse con aproximarla, acercarse tanto como quiera, poco a poco, o más rápidamente para nunca llegar, para nunca alcanzarla, como un horizonte lejano y visible, inabarcable. Porque π no es racional; no, no lo es. Un desaguisado tremendo, una irracionalidad vertiginosa, son tantos los no racionales. Creíamos poder explicar el mundo desde la razón, desde la proporción y, sin embargo, las situaciones en las que no, están por todos lados. En el aro de ese niño. En el cuadrado que pinta esa niña. En la misteriosa proporción de unos rectángulos donde descansa la vista: ni demasiado largos ni demasiado anchos. En las tardes de espera del encuentro con el amante. En el reloj de esfera que cuenta los minutos. En el instante preciso para decir a la amada la palabra adecuada, iniciar una caricia, dar un beso. En la elección idónea del momento procaz. En la incertidumbre de infinitos decimales sin patrón. No es racional, no, no lo es. No es racional que se fije en ti esa mujer. En ti que desconoces las reglas de la aritmética del galanteo, que no sabes de momentos adecuados ni de palabras, ni de gestos. No es racional, no es previsible. Ayer lo hizo.

Martes, 14 de Marzo de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico