331. 151. (Julio 2017) CONCURSO DEL VERANO 2017: La ruleta de colores

No abandonamos todavía el principio de paridad y sus sin-cuenta variantes, aplicaciones y consecuencias que hemos venido desarrollando a lo largo del tiempo en este rincón. Así como quienes nos dedicamos a las matemáticas manejamos constantemente la dualidad «número par-número impar» y quienes nos dedicamos a la magia con cartas realizamos juegos en los que se pone de manifiesto la distinción «carta roja-carta negra», también quienes se dedican a la ruleta tienen presente a menudo la doble dualidad «rojo-negro» y «par-impar». Es bien sabido que, si nos olvidamos del cero o doble cero que están reservados astutamente para aumentar las ganancias del casino, los 36 números que forman una ruleta están igualmente distribuidos: 18 son rojos y 18 son negros pero también 18 son pares y 18 son impares. Curiosamente, aunque por razones obvias, la mitad de los números pares son rojos y la mitad son negros (por supuesto, la misma separación ocurre con los impares). Esto permite que las apuestas sean "equitativas" pues la probabilidad de acertar al rojo es la misma que la de acertar al negro pero también la probabilidad de acertar al negro-impar es la misma que la de acertar al negro-par, al rojo-impar y al rojo-par. En lo que respecta a los colores, una baraja se comporta como una ruleta: la mitad de las cartas son rojas y la mitad son negras. No podemos extender el paralelismo a otros aspectos, pues si asignamos el valor 11 a la Jota, el valor 12 a la Dama y el valor 13 al Rey, evidentemente hay más cartas impares que pares. Sin embargo, la distinción de la baraja en cuatro palos permite realizar otra clasificación equitativa: las cartas de picas y corazones pueden jugar el papel de pares y las de diamantes y tréboles el papel de impares. Como en ocasiones anteriores, la distinción en colores bastará para nuestros propósitos. Aprovechando la llegada del verano, damos la palabra a nuestros lectores y proponemos un nuevo concurso, relacionado con el tema de las apuestas sobre los colores de las cartas. En las siguientes líneas, describiremos un juego de magia, en el que el mago es capaz de predecir los colores de las cartas en diferentes circunstancias, y dejaremos que trates de deducir cómo puede conseguirlo. Sigue cuidadosamente los pasos y descubre la explicación llenando las lagunas que hemos dejado. Se necesita una preparación previa de la baraja: debe estar ordenada de modo que los colores queden alternados, roja-negra-roja-negra-..., no importa si se empieza por negra o por roja. PRIMERA FASE El mago entrega la baraja a un espectador y le pide que corte y complete el corte. A continuación, el espectador reparte las dos primeras cartas, caras hacia arriba, sobre la mesa. Elige cualquiera de ellas y la inserta cara arriba en cualquier lugar de la baraja, que por supuesto está cara abajo. De esta forma se simula una apuesta de color en una ruleta. El espectador ahora reparte las dos primeras cartas de la parte superior y las coloca en la parte inferior, en su mismo orden (siguiendo con la analogía, empieza a girar la ruleta). Repite el reparto hasta que una de las dos cartas esté cara arriba. Deja sobre la mesa esta pareja de cartas. Antes de realizar dicho reparto, el mago es capaz de adivinar si dichas cartas son del mismo color o no. ¿Cómo puede saber el mago si las dos cartas son del mismo o de diferente color? El experimento se realizará una vez más pero, esta vez, el mago escribe la predicción antes de empezar el proceso. Luego retira las dos cartas que el espectador había repartido inicialmente, pues ya no se utilizarán, y coloca sobre la baraja la carta restante. SEGUNDA FASE Una vez escrita la predicción por el mago, el espectador recoge las cartas, corta y completa el corte. A continuación, el espectador retira la carta superior o la inferior de la baraja (la que él quiera), la gira cara arriba y la inserta en cualquier lugar de la baraja. De nuevo, el espectador reparte las dos primeras cartas de la parte superior y las coloca en la parte inferior, en su mismo orden. Repite el reparto hasta que una de las dos cartas esté cara arriba. Deja sobre la mesa esta pareja de cartas. Se mira si son del mismo color o no y se comprueba el acierto del mago. ¿Cuál ha sido la predicción del mago y cómo ha podido acertar de nuevo? La tercera fase del experimento es más sorprendente aún. El mago escribe otra predicción y el espectador recibe de nuevo la baraja de la que se han retirado también las dos cartas de la mesa. TERCERA FASE El espectador coloca las cartas a su espalda, corta y completa el corte. Luego, toma la carta inferior, la gira cara arriba y la inserta en algún lugar de la mitad superior de la baraja. Después, toma la carta superior, la gira cara arriba y la inserta en cualquier lugar de la mitad inferior de la baraja. Por último, el espectador coloca la baraja a la vista, reparte las cartas de dos en dos desde la parte superior hasta que una de las dos cartas esté cara arriba. Deja esa pareja sobre la mesa y sigue repartiendo de dos en dos hasta que aparezca la segunda carta cara arriba. Deja la segunda pareja junto a la primera. Se mira si alguna de las parejas son del mismo color o no y se comprueba el tercer acierto del mago. ¿Cuál ha sido esta doble predicción del mago? ¿Cómo ha podido acertar teniendo el espectador las cartas a su espalda? Como de costumbre, esperamos tu solución (puedes enviarla a pedro.alegria@ehu.es). Entre las respuestas correctas, seleccionaremos las más completas, mejor explicadas, más imaginativas y más originales. La redacción de Divulgamat sorteará un libro de divulgación matemática entre los ganadores. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Sábado, 01 de Julio de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

332. 110. (Junio 2017) "Matemáticas y pintura. Juan Gris, Ángeles Santos, Pablo Picasso" de Capi Corrales Rodrigáñez

Matemáticas y pintura: Juan Gris, Ángeles Santos, Pablo Picasso (Calamar Ediciones e Universidad Complutense de Madrid. Cátedra Miguel de Guzmán, 2017) es la última aventura –creo, o la penúltima–  de la matemática Capi Corrales. La editorial presenta esta preciosa obra de la siguiente manera: Las relaciones entre las matemáticas y el arte a lo largo de los siglos han ido conformando un espacio común, que sólo hasta bien entrado el siglo XX el mundo académico se ha propuesto explorar. Este libro nos acerca a la topología a partir de las obras de Juan Gris; o a la geometría de las variedades a partir del cuadro “Un mundo” de Ángeles Santos; y como Pablo Picasso en muchos de sus cuadros combinó ambas herramientas geométricas. Todas las obras que aparecen pueden verse en el Museo Nacional Centro de Arte Reina Sofía (MNCARS), del que se hace una breve historia. ¿Y por qué hablamos de ella en esta sección de Teatro y matemáticas? Porque se me antoja una pequeña obra de teatro, parecida a Infinities, en la que una representación teatral tiene lugar, una representación muy especial en la que el público se mueve persiguiendo cada escena en el especial escenario del MNCARS, con una narradora-actriz –Capi Corrales– que lo acompaña a través de un curioso escenario. El espacio escénico: el MNCARS Se presenta la historia de este espacio: un incendio, un hospital y el museo final. Primer acto: Juan Gris Capi nos presenta tres obras de este autor: La ventana abierta (1921), Guitarra ante el mar (1925) y Guitarra con incrustaciones (1925). Su discurso pretende que nos fijemos en las formas, en lo que ilustran y como lo hacen… para dar paso al segundo acto. Segundo acto: La topología Puede representarse en cualquier lugar del MNCARS. Las pinturas de Juan Gris ayudan a Capi Corrales a introducirnos en la topología, una disciplina matemática en la que se estudian cualidades de objetos inalterables por deformaciones continuas. Este acto consta de tres escenas: Escena 1: Nacimiento de la topología Escena 2: El siglo XIX Escena 3: La topología hoy Tercer acto: Ángeles Santos Vamos a la sala del MNCARS que aloja el cuadro Un mundo (1929) de Ángeles Santos. En ese mundo, como indica nuestra narradora-actriz, se aprecia lo local y lo global, el detalle y el conjunto, un mundo de tres dimensiones magníficamente representado en un lienzo. Cuarto acto: Geometría de las variedades Al igual que el segundo acto, puede representarse en cualquier lugar del MNCARS. El tercer acto ha sido una pequeña introducción a la geometría de variedades. ¿Y qué es una variedad? Quinto y último acto: Pablo Picasso y la combinación de ambos tipos de herramientas En la sala correspondiente del MNCARS, observamos el cuadro Mujer sentada acodada (1939) de Pablo Picasso. La geometría utilizada por Ángeles Santos y la topología de los lienzos de Juan Gris inspiran a Picasso. Baja el telón.

Miércoles, 28 de Junio de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

333. 118. (Junio 2017) El error de Maston, de Jules Verne

Sans dessus dessous –Sin arriba ni abajo o El secreto de Maston– es una novela de Jules Verne publicada en 1889; en ella aparecen algunos de los personajes de De la Tierra a la Luna. Los protagonistas de la novela son los miembros del Gun Club de Baltimore que, en esta ocasión, intentan rectificar el eje de rotación de la Tierra para hacerlo perpendicular al plano de la eclíptica. ¿Cómo? Utilizando el efecto de retroceso de un cañón gigante, puesto en funcionamiento con un explosivo de gran potencia. Sus intereses no son altruistas: desean cambiar el clima para acceder a una gran extensión de carbón –la fuente de energía de aquella época– bajo los hielos del Polo Norte. El matemático J.-T. Maston, el secretario del Gun Club, será el encargado de realizar los cómputos para conseguir tan extraordinaria hazaña. Recordamos que la eclíptica es la línea curva por donde ‘transcurre’ el Sol alrededor de  nuestro planeta, en su ‘movimiento aparente’ visto desde la Tierra. Está formada por la intersección del plano de la órbita terrestre con la esfera celeste. La órbita de la Tierra alrededor del Sol define el plano que contiene a la eclíptica y, por tanto, el del movimiento aparente del Sol visto desde la Tierra. El eje de rotación de la Tierra se encuentra inclinado respecto al plano de la eclíptica. La novela de Jules Verne comienza con una conversación entre el matemático y Evangelina Scorbitt, una viuda millonaria y enamorada de Maston: Así, pues, señor Maston, ¿opináis que una mujer no sería nunca capaz de hacer progresar las ciencias matemáticas o experimentales? – Sintiéndolo mucho, me veo obligado a reconocerlo, señora Scorbitt –contestó J.-T. Maston–. A pesar de que hayan existido y existan, particularmente en Rusia, algunas mujeres matemáticas muy notables. Pero, debido a su estructura cerebral, es imposible que ninguna mujer llegue a ser un Arquímedes o un Newton, por ejemplo. – ¡Oh, señor Maston! Permitidme que proteste en nombre de nuestro sexo… – Sexo mucho más adorable, señora Scorbitt, porque no ha sido creado para dedicarlo a estudios trascendentales. – Entonces, señor Maston, según vos, ¿ninguna mujer hubiera podido descubrir la ley de la gravedad al ver caer una manzana, tal como le ocurrió al ilustre sabio inglés? – Una mujer que viera caer una manzana, señora Scorbitt, no pensaría en otra cosa más que… en comérsela, repitiendo lo que ya hizo una vez nuestra madre Eva. – No hay derecho que nos neguéis toda aptitud para entender en cuestiones elevadas. – ¿Toda aptitud? No, señora Scorbitt, nada de eso. Pero debo haceros observar que desde que el mundo está habitado por seres humanos, y naturalmente, por mujeres, no se sabe de ninguna que haya hecho algún descubrimiento análogo a los que hicieron Aristóteles, Euclides, Kepler y Laplace en el mundo científico. – Esto no es ninguna razón. ¿Es que el pasado debe responder irremisiblemente al porvenir? – ¡Hum! Lo que no se ha hecho en tantos miles de años es muy posible que no se haga nunca. Evangelina Scorbitt y J.-T. Maston. Ilustración de George Roux. Sorprendentemente, y a pesar de su despectivo trato hacia las mujeres, el misógino J.-T. Maston consigue que Evangelina Scorbitt financie, en parte, su aventura. El diálogo no tiene desperdicio, desde la alusión a la inferioridad intelectual de las mujeres debido a su estructura cerebral, pasando por la mención a la manzana de Eva (y de Newton), hasta la contundente afirmación de que las mujeres nunca podrían conseguir ser científicas. Maston suaviza sus opiniones respecto a las mujeres con la frase ‘A pesar de que hayan existido y existan, particularmente en Rusia, algunas mujeres matemáticas muy notables’, en la que el matemático haría alusión a Sofia Kovalevskaya (1850-1891). Verne añadió esta frase a sugerencia del matemático Albert Badoureau –del que hablaremos más tarde– que asesoró al escritor en la redacción de la novela. Se conoce este dato gracias a la correspondencia entre el escritor y el científico, publicada en Le Titan moderne (ver [3]), en la que Badoureau sugiere: La conversación del principio entre J.-T. Maston y Mrs. Scorbitt podría modificarse. Ha habido grandes matemáticas, en particular en Rusia. Primera página del manuscrito de Sans dessus dessous. Imagen extraída de [4]. (© Bibliothèque municipale de Nantes / Musée Jules Verne). Detalle del comentario añadido, sugerido por Badoureau, en la imagen anterior. Según estas notas, Badoureau conocía a Sofia Kovaleskaya antes de que la Academia de Ciencias de París le concediera en Premio Bordin (el 24 de diciembre de 1888). Jacques Crovisier comenta en [4] que podía deberse a la fama de la matemática en el mundo académico o quizás gracias a Henri Poincaré –que mantuvo una relación epistolar con Sofia Kovaleskaya, al estar ambos interesados en el estudio de los anillos de Saturno–, antiguo compañero y amigo de Badoureau. Para responder a las críticas de ‘científico aficionado’ que recibió en otros de sus escritos, Jules Verne pidió a su amigo, el matemático e ingeniero Albert Badoureau (1853-1923) –del que acabamos de hablar más arriba– que redactara un capítulo suplementario explicando los cálculos incluidos en la novela. Ese apéndice, con numerosos dibujos ilustrativos, desapareció tras las primeras ediciones, aunque puede verse en [10]. Badoureau fue un matemático notable; se le debe, por ejemplo, un estudio de referencia sobre los poliedros semiregulares (ver [2]). Albert Badoureau (fotografía tomada en 1877) y Alcide Pierdeux (dibujo de George Roux). De hecho, Badoureau no se limitó a redactar el dosier científico explicando la parte técnica de la novela, también envió a Verne algunas sugerencias puramente literarias –como la referente a las ‘mujeres matemáticas muy notables’–. Por ello, y en agradecimiento, uno de los personajes principales de El secreto de Maston, Alcide Pierdeux, es un álter ego de Badoureau. En la novela, Pierdeux –que en francés se lee πr2 (PI-ERE-DEUX), es decir, el área de un círculo de radio r– es un ingeniero del Cuerpo Nacional de Minas de Francia y matemático de talento. El otro científico que aparece en la novela, como ya hemos comentado, es el calculador prodigioso, J.-T. Maston. J.-T. Maston (dibujo de George Roux). Afortunadamente, Maston comete un error en sus cálculos: si la empresa hubiera tenido éxito, el disparo del colosal proyectil desde el gigantesco cañón habría producido el deshielo de las regiones polares, provocando grandes inundaciones y perniciosos cambios de altitud. De hecho, Evangelina Scorbitt es la responsable –involuntaria– de que la hazaña de Maston no llegue a buen término: es la heroína de la historia, el fracaso de la empresa de los socios del Gun Club evita grandes catástrofes en todo el planeta. Aunque, tal y como comienza el relato, se podría interpretar que ‘una torpe mujer’ desbarata la empresa del ‘insigne científico’… En efecto, Evangelina Scorbitt realiza una llamada telefónica a J.-T. Maston en una noche en la que tiene lugar una terrible  tormenta. Justo en el momento de contestar la llamada, cae un rayo y la corriente pasa a través del hilo telefónico, atravesando el garfio del científico. Este episodio provoca un despiste en Maston, que acaba  cometiendo un error en sus cálculos. Ilustraciones de George Roux. Al final de la novela Alcide Pierdeux explica el motivo del fracaso de la gesta a través de una carta que envía al periódico Le Temps. En efecto, debido al ‘despiste’ provocado por la descarga eléctrica, Maston se equivoca y expresa la longitud de la circunferencia de la Tierra en kilómetros creyendo que lo hace en metros. Este error se amplía en los cálculos posteriores, produciendo un fallo tan grande que los efectos del disparo son insignificantes. De hecho, al rehacer las cuentas correctamente, Maston comprueba que la idea de rectificar el eje de rotación de la Tierra es tecnológicamente imposible…   Más información: [1] Michèle Audin, Souvenirs sur Sofia Kovalevskaya, Calvage & Mounet, 2008 [2] Jean Paul Albert Badoureau, Mémoire sur les Figures Isocèles, Journal de l’École polytechnique 49 (1881), 47-172. [3] Albert Badoureau, Le Titan Moderne. Notes et observations remises à Jules Verne pour la rédaction de son roman Sans dessus dessous, Actes Sud, 2005 [4] Jacques Crovisier, Albert Badoureau, mathématicien oublié, Quadrature 66 (2007) 15-19. [5] Jacques Crovisier, Sans dessus dessous, ou la Terre désaxée, LÉSIA [6] Jacques Crovisier, Jules et Albert à propos de Sophie dans Sans dessus dessous, Verniana [7]  Marta Macho Stadler, El error de Maston, un calculador prodigioso, Cuaderno de Cultura Científica, Matemoción, 17 agosto 2016 [8] Marta Macho Stadler, Sofia Kovalevskaya, en una novela de Jules Verne, Mujeres con ciencia, Ciencia y más, 22 agosto 2016 [9] Cristian Tello, El secreto de Maston, Julio Verne, el más desconocido de los hombres, 2016 [10] Primera versión completa de Sans dessus dessous (Wikipedia) y Tercera edición de Sans-dessus-dessous (Gallica).

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334. 84. (Junio 2017) Aritmética modular, transposiciones e inversiones en las fugas de Bach

1. Introducción Con el artículo de este mes queremos debatir una cuestión que aparece con frecuencia cuando un observador escéptico oye hablar de las relaciones entre las matemáticas y la música, y esa cuestión es sencillamente la de si esas relaciones son reales. En otras palabras,¿hay de verdad matemáticas en la música? ¿O no será que estamos forzando la existencia de esa relación? ¿En qué sentido hay matemáticas en la música? La respuesta a esto vendrá dada por la definición de matemáticas que estemos usando. Vamos a explorar un poco más en su definición para poder dilucidar esta cuestión. En su famoso libro Las matemáticas: contenidos, métodos y significado Aleksandrov et al. [AKL12] dan tres rasgos característicos de las matemáticas, a saber: abstracción, demostraciones y aplicaciones. Cualquier persona que haya tenido un mínimo contacto con las matemáticas convendrá en que esos tres rasgos forman parte de la esencia de las matemáticas. Un matemático profesional o en general un científico podrá añadir más. No hay duda de que la abstracción está en cada pliegue de las matemáticas. Las matemáticas operan con objetos (números, funciones, objetos geométricos) sin preocupación alguna sobre su significado real. Las aplicaciones pondrán nombre a esos objetos abstractos cuando sea menester. Los matemáticos examinan propiedades de objetos en apariencia dispares e identifican propiedades comunes a ellos, a partir de las cuales crean otros objetos más abstractos. Así, por ejemplo, es fácil imaginar como surgieron los números naturales ℕ. Sería probablemente a partir de la abstracción del cardinal de colecciones de objetos cotidianos, fuesen un rebaño de ovejas o los dedos de la mano. Tras el descubrimiento de los números naturales vendría las operaciones de suma y resta, y con ellas, inevitablemente, el descubrimiento de los números enteros ℤ, como extensión natural para contener los resultados de ciertas operaciones de resta, las que dan números negativos. La división de números enteros debió conducir a los números racionales ℚ, como conjunto que contendría a todos los resultados posibles de las divisiones en ℤ. Hasta aquí tendríamos todos los conjuntos de números que nos permitirían operar con cantidades discretas. Si surgiese la necesidad de operar con cantidades continuas, entonces habría que construir un conjunto adecuado y ese el de los números reales ℝ (y aquí ya estamos hablando de conjuntos cuya construcción es compleja). Si aún deseásemos abstraer aun más, podríamos ampliar los números reales de modo que contuviese a todas las raíces de los polinomios de coeficientes reales; habríamos topado con los números complejos ℂ. Estos pueden incluirse en conjuntos más abstractos tales como cuaterniones. Este es un típico proceso de abstracción de las matemáticas. La abstracción existe en otras ciencias, desde la física a la biología. Por ejemplo, piénsese en los esfuerzos de la física por dar una teoría unificada de las fuerzas en el universo. Sin embargo, en las matemáticas la abstracción tiene características distintivas. Las matemáticas normalmente prescinden de todas las propiedades de un objeto salvo sus relaciones cuantitativas y sus formas espaciales. Dicha abstracción ocurre en un proceso gradual de lo más concreto hacia lo más general, como hemos mostrado en el ejemplo anterior con los distintos conjuntos de números. Además, las matemáticas no se mueven de ese mundo de abstracción. Mientras que un físico u otro científico comprueba sus teorías mediante experimentos, esto es, volviendo al mundo sensible, el matemático comprueba la veracidad de las teorías únicamente a través de la argumentación lógica y la computación. Ciertamente, muchos problemas de gran abstracción matemática se han originado en problemas prácticos. Estos han servido de inspiración, pero una vez que han sido formulados matemáticamente en términos abstractos, su origen se ha olvidado. La siguiente característica son las demostraciones, el rigor lógico, en suma. Las demostraciones matemáticas son cadenas de razonamientos lógicamente válidos que enlazan las hipótesis con la tesis o conclusión. Esos razonamientos tienen que ser impoluto, escrupulosamente rigurosos, y como dice Aleksandrov y sus coautores, tiene que ser incontestable y completamente convincente por cualquiera que lo entienda (página 3 de [AKL12]). Ese rigor tiene sus límites y ha evolucionado mucho a lo largo de la historia. El rigor tal y como lo entendemos modernamente se empezó a establecer a finales del siglo XIX, como ya hemos mencionado, con los esfuerzos de matemáticos como Cauchy, Riemann, Cantor, Dedekind y otros. Hasta entonces el concepto de “prueba” era relativo. A veces una prueba se reducía a una explicación convincente pero no rigurosa, incluso podía ser una explicación literaria. La notación también era un problema; no era tan concisa y potente como lo es hoy en día y con frecuencia había problemas de ambigüedad. En otras ocasiones se encontraban en las pruebas misticismo o razonamientos religiosos o filosóficos. Incluso hoy en día el concepto de demostración es relativo según el lector a quien esté dirigida. Una demostración de un teorema destinada a ser publicada en una revista de investigación no es lo mismo que una demostración que se explica a un estudiante de bachillerato. El nivel de rigor varía así como la retórica con que se transmite. La escritura de una demostración es un tema importante en la enseñanza de las matemáticas. La última característica de las matemáticas es su inmenso y asombroso abanico de aplicaciones. Las matemáticas las usamos constantemente en nuestra vida cotidiana. Medimos el tiempo, hacemos estimaciones de cantidades, calculamos valores medios para tomar decisiones, comprobamos la cuenta de la compra, evaluamos probabilidades, interpretamos estadísticas, entre otras. Y todo esto es sin apenas darnos cuenta; diríamos que son las matemáticas inconscientes. Las matemáticas son el fundamento de la tecnología en su sentido más amplio. El reinado de las matemáticas se ha extendido aun más con el advenimiento del ordenador. Se ha añadido una capa más de significado a las matemáticas y esta es la de computacional. Ya no solo se quiere resolver un problema, sino que se quiere dar una solución que sea computable y en muchos casos programable. Las matemáticas tienen una formidable capacidad para modelizar fenómenos de la naturaleza, desde modelos climáticos a modelos atómicos, las matemáticas aparecen como herramienta fundamental. En las últimas décadas las matemáticas han empezado a modelizar fenómenos típicos de disciplinas de letras y artes. Así, se habla de lingüística computacional, de teoría computacional de la música, por poner dos ejemplos sobresalientes. A las tres características de la matemática añadiría una más: su capacidad de belleza. Sabemos que esto puedo sonar extraño, incluso algo frívolo, pero nada más lejos de la realidad. Y en unas notas sobre didáctica de la matemática es obligado hablar de ello, pues esa belleza que poseen las matemáticas puede transmitirse y, lo que es mejor, puede ser un eficaz medio de enseñanza. Es inevitable en este punto no citar a Bertrand Russell [Rus19] (nuestra traducción): Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty, a beauty cold and austere, like that of sculpture, without appeal to any part of our weaker nature, without the gorgeous trappings of painting or music, yet sublimely pure, and capable of a stern perfection such as only the greatest art can show. The true spirit of delight, the exaltation, the sense of being more than Man, which is the touchstone of the highest excellence, is to be found in mathematics as surely as poetry. [Las matemáticas, cuando se ven correctamente, no solo poseen verdad, sino belleza suprema, una belleza fría y austera, como la de una escultura, sin los ropajes preciosos de la música, y aun sublimemente pura, y capaz de una severa perfección solo como un arte grande puede mostrar. El verdadero espíritu del deleite, la exaltación, el sentido de ser más que el Hombre, que es la piedra de toque de la más alta excelencia, se encuentra en las matemáticas tanto como en la poesía.] Nosotros no concebimos la comprensión no ya artística, sino científica sin la mediación de la belleza. La experiencia estética interior descubre caminos a la comprensión que de otra manera pasarían completamente inadvertidos o a los cuales arribaría dando un largo y penoso rodeo. La experiencia estética es como un fogonazo súbito que nos alumbra senderos ocultos conducentes a tierras ignotas. En realidad, no sabemos que hay al final del camino, pero hace tiempo que comprendimos que es el tránsito por el camino lo importante. Hay belleza en toda construcción que muestre unidad orgánica, coherencia formal, afán de indagación, visión profunda y original y, sobre todo, autenticidad. Y esto se puede encontrar en la novena sinfonía de Beethoven o en teoremas de la teoría de números. En matemáticas esa belleza se encuentra en sus resultados y en sus métodos. La fórmula de Euler, eπi + 1 = 0 es un resultado de gran belleza por su concisión y profundidad. Otra fuente de belleza son las demostraciones. Cuando una demostración usa un número mínimo de hipótesis, es sorprendentemente sucinta, obtiene un resultado a partir de resultados aparentemente no relacionados, entonces seguramente nos hallamos ante una prueba bella. Volvamos a la pregunta inicial: ¿son reales las matemáticas que vemos en la música? La respuesta es, a la luz de la definición anterior, que sí lo son. La música proporciona objetos que comparten varias propiedades y que permiten a las matemáticas realizar su ejercicio de abstracción. De hecho, en muchas ocasiones es posible aplicar teorías matemáticas ya consolidadas a la música. Por ejemplo, como vamos a ver en el artículo de este mes, se puede analizar una pieza musical usando aritmética modular y operaciones geométricas (transposiciones e inversiones). El rigor se emplea de una manera más limitada en la teoría matemática de la música, principalmente para probar teoremas. Las aplicaciones, sin embargo, son numerosas, sobre todo para modelizar la música y para su tratamiento computacional. 2. Aritmética modular y transposiciones e inversiones 2.1. Aritmética modular El uso de la aritmética modular tiene que ver con el principio de equivalencia de la octava. Este principio establece que dos notas que están separadas por una octava perfecta se perciben como más cercanas que cuando están separadas por cualquier otro intervalo (distinto del unísono). Dos notas a una octava de distancia tienen una proporción de sus frecuencias de 2:1, tomando el cociente entre la nota más aguda y la más grave. Cuando se tocan dos notas en octava la cantidad de armónicos comunes entre ambas notas es muy alto; esto podría ser una de las razones por las que este fenómeno ocurre. Sin embargo, se sabe que es un fenómeno cultural, aprendido. Los sumerios, por ejemplo, no tenían ni siquiera una palabra para el concepto de octava ni del estudio de sus escritos sobre teoría musical para deducirse su existencia o uso. En otras culturas se encuentra la palabra octava, pero no con el sentido que se le da en la música occidental, en el sentido de equivalencia de notas; en esas culturas está más asociado al concepto de tesitura. Hay estudios que han examinado la cuestión en primates y bebés y parece que hay una cierta base biológica, pero está lejos de entenderse el fenómeno por el momento; véase [DL84, Deu99] para más información. En ciertos sistemas musicales, como el occidental, el principio de equivalencia de la octava hace que las notas separadas por una octava se consideran como la misma. La aritmética modular es un tipo de aritmética que es adecuada para describir una aritmética circular. El ejemplo clásico que se suele dar es el de la hora en el reloj. Las horas están definidas desde las cero horas, la media noche, hasta las 11 horas, una hora antes del mediodía. A partir de ahí se repite el mismo ciclo. Como el día está compuesto de dos periodos de horas, añadimos la etiqueta de “por la mañana” si es el primer periodo o “por la tarde” si es el segundo periodo. Pero la idea es la misma: volvemos al punto de partida una vez que hemos recorrido un tramo de 12 horas. ¿Cómo formalizamos esto en matemáticas? ¿Cómo introducimos abstracción aquí? ¿Cómo aplicamos estas ideas a la música? Empezamos considerando ℤ, el conjunto de los números enteros, como conjunto de partida. ¿Por qué ℤ y no, por ejemplo, ℕ, los números naturales? La razón es que no siempre recorreremos en sentido positivo el conjunto; a veces, lo recorreremos en sentido negativo y necesitaremos contemplar valores negativos. Siguiendo con la abstracción, en el caso del reloj el periodo era 12, pero en general será cualquier número natural no negativo, pongamos n. Entonces diremos que dos números a,b son equivalentes si puedo pasar de uno a otro dando saltos del tamaño del periodo n. El número n se llama módulo. En términos matemáticos diríamos que a y b son congruentes y lo definiríamos diciendo que a es congruente con b si existe un entero k tal que a - b = k ⋅ n Si a y b son congruentes módulo n, se escribe a ≡ b mod n. Por ejemplo, si tomamos n = 2, entonces todos los números enteros pares son congruentes entre sí. En efecto, si a,b son dos números pares, entonces se pueden escribir como a = 2k1 y b = 2k2, para ciertos k1,k2. Su diferencia será a - b = 2(k1 - k2), que muestra que son congruentes. De modo similar, se puede ver que todos los números impares son congruentes entre sí. Si n = 3, entonces todos los números de la forma 3k + 1, con k un número entero, son congruentes entre sí. Y de modo similar, lo serán los de la forma 3k entre sí, y los de la forma 3k + 2 entre sí. Si n es un módulo arbitrario y a un número entero cualquiera, para saber cuál es el número congruente más pequeño con a basta hacer la división entera de a entre n. De esta división tendremos la relación a = c ⋅ n + r, donde c es el cociente de la división y r el resto. De esa expresión se sigue que a y r son congruentes módulo n. Como el resto r siempre cumple que mayor o igual que 0 y menor o igual que n - 1, r es el menor entero positivo congruente con a. Hemos probado que el resto de la división entera de a por el módulo es congruente con a. En música la aritmética modular que interesa es la de módulo 12, es decir, cuando n = 12. ¿Por qué es esto así? Sencillamente, porque la octava en la música occidental se divide en 12 semitonos iguales. La aritmética modular además redefine ligeramente las operaciones aritméticas habituales. Si estamos en aritmética módulo 12, entonces 7 + 6 no son 13, sino 1, porque 13 ≡ 1 mod 12. Así todos los resultados de operaciones aritméticas se reducen a su correspondiente valor módulo entre 0 y 12. Por ejemplo, 7 ⋅ 5 mod 12 es 11 porque 35 - 11 = 2 ⋅ 12. La aritmética módulo 12 en música nos permite centrarnos en los tonos en particular sin tener que considerar en que octava aparecen. Esto es muy útil para el análisis armónico y orquestal. Por ejemplo, en el análisis de obras orquestales nos fijamos en las notas que aparecen en un cierto compás, pero no dónde aparecen ni en qué instrumentos están distribuidas. Un acorde de do mayor tendrá las notas do, mi y sol, aunque estas puedan asignarse a una gran cantidad de combinación de instrumentos. Para el análisis de la textura o de la orquestación es relevante qué instrumentos tocan esas notas, pero no en cambio para el análisis armónico o melódico. Usar la aritmética modular para el análisis armónico facilita el mismo porque implícitamente usa el principio de la equivalencia de la octava. 3. Transposiciones e inversiones Fijemos en todo lo que sigue el módulo en 12, según justificamos antes. Dada una nota x, una transposición Tm(x), donde m es un entero fijo, es la nota Tm(x) = x + m mod12 Esto, como se ve inmediatamente, no es más que añadir una nota fija de valor m y aplicar la equivalencia de la octava. La idea de la transposición en la aritmética refleja exactamente la idea de la transposición en música. Si a cada nota de una melodía se le añade 12, se ha transpuesto una octava; si se le añade 7, entonces la transposición es una quinta justa (7 semitonos es una quinta), y así de modo similar con cualquier otro valor que se añada. La otra operación que nos interesa es la inversión. En música invertir un intervalo da otro, que es su complementario respecto a la octava. La inversión de una quinta es una cuarta; la de una tercera, una sexta; la de una segunda, una séptima; y así con el resto de los intervalos. No obstante, también es interesante invertir respecto a una nota fija, como cuando se invierte un acorde. La primera inversión de un acorde de do mayor en posición fundamental es una inversión respecto a la tercera nota, el sol. La función que capta la esencia de la inversión musical es la función inversión, definida por Im(x) = - x+ m mod12 Si m = 12, la inversión es respecto a la octava y entonces estamos ante las inversiones interválicas normales (unísono va a octava, segunda a séptima y así sucesivamente). Cuando m toma otros valores, la inversión es respecto a la nota que representa m. Para fijar ideas, supongamos las siguientes asignaciones de notas y números: do = 0, re♭ = 1, re = 2, mi♭ = 3, mi = 4, fa = 5, fa# = 6 sol = 7, sol# = 8, la = 9, la# = 10, si = 11 El acorde de do mayor corresponde al conjunto . Una transposición por una quinta es T7() = = = donde se ha aplicado el módulo 12. Esto nos ha llevado el acorde de do mayor al de sol mayor; véase la figura 1. Figura 1: Transposición del acorde de do mayor Calculemos la inversión I7 de este mismo acorde: I7() = = = Las notas obtenidas corresponden al acorde de do menor. En efecto, el acorde de do mayor está compuesto por una tercera mayor seguida de una tercera menor. La función inversión I7 intercambia estos dos intervalos en el acorde y entonces se produce un acorde menor; véase la figura 2. Figura 2: Inversión del acorde de do mayor respecto a sol En general, la inversión Im produce la reflexión de las notas con respecto al eje que pasa por la nota m. Por ejemplo, si la nota x está a k semitonos de distancia por debajo de m, Im(x) estará a k semitonos por encima de x. Si la nota x está a k semitonos por encima de m, la situación es análoga. 4. La fuga número 6 en re menor de El clave bien temperado, libro I, de Johann Sebastian Bach Para ilustrar el uso de las transposiciones e inversiones en la música, y cómo estas son presencias vivas de las matemáticas en la música, vamos a analizar la fuga número 6 en re menor de El clave bien temperado, libro I, de Johann Sebastian Bach. La partitura de la fuga se encuentra al final del artículo (ha sido tomada de la página Musecore: https://musescore.com/classicman/scores/298826). Para este análisis nos hemos apoyado en los excelentes trabajos de José Rodríguez Alvira [Alv17] y Tim Smith [Smi17] así como las notas del curso sobre matemáticas y música de Thomas Fiore [Fio17]. La fuga es a tres voces y comienza con la exposición del sujeto; véase la figura 3 (S significa sujeto). El sujeto está dividido en tres partes, a, b1 y b2. La parte a o cabeza es una subida por grados conjuntos hasta una cuarta seguida de un tercera menor descendente; la figuración es toda en corcheas. El motivo b, divido en dos partes, primero tiene una caída de una tercera menor seguida por dos grados conjuntos, todos dados en semicorcheas. El motivo b2 viene dado en negras, con un salto y un grado conjunto. Figura 3: Sujeto de la fuga En el tercer compás aparece de nuevo el sujeto, ahora empezando en la dominante, en la. El contrasujeto CS está divido en dos partes, CSa y CSb. Mientras, la primera voz expone el contrasujeto. Figura 4: Contrasujeto de la fuga La primera parte del contrasujeto, CSa, es una inversión de a del sujeto, con una figuración de semicorcheas, que se puede interpretar como una disminución rítmica. La segunda parte, CSb, es una secuencia de b1 del sujeto, transpuesta en distintas notas. Obsérvese que con estas repeticiones de los motivos Bach crea una obra que tiene una gran unidad formal. Para ver cómo se distribuyen los motivos, recomendamos al lector que vea la excelente animación de la fuga hecha por Tim Smith [Smi17]. Figura 5: Descomposición del contrasujeto en submotivos En el compás 6 de la fuga entra la tercera voz, que expone de nuevo el sujeto sin transposición alguna, tal y como lo hizo la voz uno en el compás 1. Figura 6: Entrada de la tercera voz En el compás 8 empieza el primer episodio, que es donde se desarrolla el material melódico presentado hasta en forma de sujetos y contrasujetos. Ahora Bach cogerá distintas partes de los motivos melódicos y jugará con ellos por medio de transposiciones, inversiones y otros mecanismos. El sujeto se expone en el soprano sobre la nota mi, pero ahora el intervalo final es de una tercera disminuida. El motivo b1 se repite con distintas transposiciones. En la segunda voz, el motivo b se repite entero, creando así una especie de eco entre b y b1. Por su parte el contrasujeto sigue en el bajo, donde se oye el contrasujeto CSb repetirse en forma de secuencia (que no es más que nuevas transposiciones). En el compás 12 la voz alto expone el sujeto con una inversión. Figura 7: El primer episodio de la fuga Tras el episodio, viene el stretto. Es un recurso imitativo en que los diferentes sujetos y contrasujetos, con sus respectivos motivos, se solapan entre ellos. Esto da más densidad rítmica y textural a la fuga. El stretto suele ser un pasaje de clímax en la fuga. En esta fuga oímos el tema en la voz de soprano, que es respondida en el compás siguiente por el bajo. Tras la respuesta el bajo sigue exponiendo el sujeto en forma invertida. La voz interior también usa el motivo a como respuesta a la voz del soprano, pero luego se pasa bruscamente al motivo b1, que aparece también invertido. Esta sección acaba con una cadencia a la menor. Figura 8: El stretto de la fuga Tras el stretto viene un segundo episodio, que comienza en el compás 36 y llega hasta el final de la fuga. El contrasujeto CSa se expone con múltiples transposiciones mientras que en las voces alto y bajo se toca el motivo a del sujeto a una distancia de tercera entre cada voz. Figura 9: El segundo episodio de la fuga Como podemos ver tras este sucinto análisis, la presencia de transposiciones e inversiones en esta fuga es constante. Interpretar la estructura de la fuga en términos matemáticos da otra visión a la escucha de la fuga. Sin duda, enriquece su escucha porque refuerza el entendimiento de la estructura de la fuga. A la pregunta, hecha con frecuencia, de si Bach tenía en mente estas estructuras matemáticas cuando componía la fuga, la respuesta más probable es que no. El uso de esas operaciones matemáticas sobre los motivos musicales tienen fines estrictamente musicales, relacionados con dotar a la obra de estructura y expresividad, pero no la de satisfacer ninguna pretensión matemática o formalista. Podemos percibir todas esas transposiciones e inversiones, pero mucho antes que eso está la expresividad y la musicalidad de la fuga. Figura 10: La fuga número 6 en re menor de El clave bien temperado, libro I, de Johann Sebastian Bach   Bibliografía [AKL12] A.D. Aleksandrov, A.N. Kolmogorov, and M.A. Lavrentiev. Mathematics: Its Content, Methods and Meaning. Dover Publications, 2012. Primera edición en 1956. [Alv17] José Rodríguez Alvira. Analysis of bach’s fugue bwv 851 in d minor (wtc i). https://www.teoria.com/en/articles/2017/BWV851/index.php, accedido en mayo de 2017. [Deu99] Diana Deutsch. The psychology of music. San Diego: Academic Press, 1999. Intervals, Scales, and Tuning, capítulo escrito por Burns, Edward M. [DL84] Armand F. Demany L. The perceptual reality of tone chroma in early infancy. Journal of Acoustical Society of America, 76:57–66, 1984. [Fio17] Thomas Fiore. Mathematics and music. http://www-personal.umd.umich.edu/~tmfiore/1/musictotal.pdf, accedido en mayo de 2017. [Rus19] Bertrand Russell. ”The Study of Mathematics”. Mysticism and Logic: And Other Essays. Longman, 1919. [Smi17] Tim Smith. The canons and fugues of j. s. bach. http://bach.nau.edu/clavier/nature/fugues/Fugue06.html, accedido en mayo de 2017.

Viernes, 16 de Junio de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

335. 121. Revista "Making Of" Especial Matemáticas

Por fin una revista dedica un monográfico a la utilización del Cine en la enseñanza de las Matemáticas. Os hacemos una rápida síntesis de lo que contiene, por si fuera de vuestro interés. Aunque en la anterior entrega nos despedíamos hasta final del mes de junio con la propuesta del Concurso del Verano, la aparición este mes de un número especial doble de la revista Making Of en los quioscos dedicada a las Matemáticas, ha motivado que, siquiera telegráficamente, le dediquemos esta reseña. Para los que no la conozcan, la revista Making Of es una publicación centrada en la aplicación del cine en las actividades de enseñanza-aprendizaje. Además, trata de ofrecer al profesorado información puntual sobre todos los recursos que sobre el cine se encuentran a su disposición en Internet. De una periodicidad de ocho números al año, incluye en todos una Guía Didáctica de 16 páginas sobre una película específica, junto con un buen número de fichas y sugerencias para desarrollar actividades en el aula a partir de los estrenos que se proyectan en los cines españoles. Editada por el Centro de Comunicación y Pedagogía, a partir del enlace se accede a una amplia información tanto de esta revista como de Comunicación y Pedagogía, y de Revista de Literatura cuyo último número apareció en 2014. Describimos cada uno de los artículos que componen el sumario de la revista en el orden en el que aparecen. ¿Cine en clase de matemáticas?... también, de José María Sorando Muzás. En cada número, la publicación pone a disposición del público un artículo de libre acceso en su página web. En este caso este es el artículo elegido, en el que José María nos hace un recorrido general de las matemáticas que podemos encontrar en las películas y series de televisión, los diferentes contextos en los que aparecen, y expresa porqué y cómo recurrir al recurso del visionado de escenas para motivar tanto algún tema concreto del currículo como a los propios alumnos. Buen conocedor de la problemática que involucra la enseñanza de esta materia, va dejando caer sus impresiones y su experiencia en algunos comentarios, lo que no sólo ameniza el texto, sino que además permite que cada lector reflexione sobre la propuesta. Finaliza con tres ejemplos prácticos de actividades concretas a trasladar al aula (uno para primaria, otro para ESO y el último para Bachillerato). Personalizar las matemáticas, por Alfonso Jesús Población Sáez. Cuando estudiamos una determinada materia, sobre todo las de carácter científico, da la impresión de que todo ese saber ha sido transmitido de ese modo, ordenado, detallado y sin erratas, por algún ente o institución que no se cita por ninguna parte. Nada más lejos de la realidad. Las matemáticas en concreto han sido fruto de continuos planteamientos y replanteamientos, durante muchos siglos y gracias a personas de carne y hueso de todas las partes del mundo. Conocer lo que les movió a trabajar esos problemas, saber algo de sus vidas y su entorno, en definitiva, averiguar algo de la historia de las matemáticas, no sólo tiene valor humanista, sino que en determinados momentos puede hacernos entender mejor las cosas y nos puede incluso (ha sucedido, no es una utopía intelectual) recuperar métodos de demostración y enfoque matemáticos considerados obsoletos o superados, para resolver otros más actuales. El número de horas docentes es el que es, y es necesario (insuficiente en muchos casos) para completar los temas de las asignaturas, así que, salvo por los comentarios aislados de docentes a los que les entusiasme este asunto, poco vamos a poder encontrar sobre todo esto. Pero gracias al cine, podemos completar esa laguna, a través de los biopics que han ido produciéndose. Desgraciadamente, gran parte de ellos no se han estrenado en nuestro país, por lo que la reseña pretende también dar a conocer referencias que pueden interesar, y quizá, aunque sea difícil, promover iniciativas para poder disfrutarlas, aunque fuera subtituladas. Ángel Requena Fraile es otro compañero que lleva tiempo proponiendo la utilización del cine en el aula, y un montón de otros recursos. Muy activo tanto en Internet como en redes sociales, es autor (entre otras) de la página turismo matemático (y colaborador también en DivulgaMAT con la sección Instantáneas Matemáticas), la recuperación de las reglas de cálculo en la docencia, uso de las TICs en general, en fin, un montón de trabajos de gran interés. En este monográfico ha participado con dos artículos. Por seguir el orden de la revista, echamos un vistazo de momento al primero, Arqueología del cálculo a través del cine: tras una introducción en la que, por un lado, expone que la enseñanza tradicional ha quedado un tanto rezagada respecto a los modelos que propone, y por otro, la constatación de una auténtica sobreinformación en todos los sentidos a través de múltiples y variopintos medios, parece necesario enseñar al alumno actual cómo obtener un provecho real de dichos medios. Entre los trepidantes cambios a los que asistimos, el autor considera el cine, dentro de los múltiples usos con que puede utilizarse en el aula, como una herramienta arqueológica que nos enseña la evolución de los instrumentos técnicos que hemos utilizado para calcular hasta llegar a los ordenadores actuales. Ábaco, reglas de cálculo, calculadoras de bolsillo, son algunos de ellos que aparecen en películas como El apartamento, El vuelo del Fénix, Asesinos de reemplazo, Enigma y otras, citadas en el artículo. Uno de los artistas que más ha llamado la atención a los matemáticos ha sido Maurits C. Escher. Juan Matías Sepulcre nos hace un repaso en Escher en la gran pantalla a películas y series de televisión en las que se han empleado algunas de las ideas de las litografías de Escher, además de sugerir algunas actividades para llevar a clase. Entre ellas, las relacionadas con la obra Relatividad (película Dentro del laberinto, a partir de la cual describe dichas actividades). Se menciona también al realizador Christopher Nolan y sus películas Origen e Interstellar, que utilizando diferentes efectos ópticos basados en el particular mundo de Escher consigue sugerir unos mundos realmente inquietantes y creíbles. También en este caso se proponen algunas cuestiones que, como en el caso anterior, no son de matemáticas de tradicionales, esto es, de planteamiento y cálculo, sino de búsqueda e interpretación geométricas, lo cual no deja de ser matemática, aunque más conceptual. Finalmente, se añaden otras referencias a otras obras de Escher en el cine y la televisión y en otros medios como el cómic, cubiertas de discos o los videojuegos. Los cuatro artículos siguientes, basados en otras tantas películas, les resultarán familiares al lector que se haya acercado alguna vez a este tema de la enseñanza de las matemáticas a través del cine. En tres de ellos se indican actividades concretas y se comentan sus soluciones: En Cohetes y ecuaciones en Cielo de octubre Pablo Beltrán-Pellicer plantea una práctica desde el punto de vista de la didáctica de las matemáticas, no en vano es autor de una tesis doctoral, Series y largometrajes como recurso didáctico en matemáticas en educación secundaria, que se centra en esta disciplina. Describe tres fragmentos de la película de una duración de no más de dos minutos, para los que propone varias cuestiones (reforzamiento del lenguaje algebraico, conversión de unidades, estimación de valores, encontrar una expresión polinómica que se ajuste a unos datos, ecuaciones de segundo grado) para alumnos de 2º ESO.  Se trabajan además aspectos de expresión lingüística, gráficas como complemento a expresiones algebraicas, todo ello con argumentos y explicaciones didácticas. En Los problemas de La habitación de Fermat, Ángel Requena expone los enigmas planteados a los protagonistas de la película (la mayor parte de ellos recurrentes en los libros de matemática recreativa) y muestra sus soluciones (en una de las cuestiones, no se han tenido en cuenta los superíndices, frecuente en periódicos y revistas, y aparece la igualdad 36=22 32; es evidente que debe ser 22 32). El autor nos aporta en algunos de ellos comentarios complementarios y nos desvela al final un gazapo por el que la idea que sustenta todo el argumento de la película se cae haciéndola inviable. En Donald descubre que le gustan las matemáticas, la profesora Eva Mª Perdiguero Garzo describe lo que nos vamos a encontrar en el mediometraje animado Donald en el país de las matemáticas (Donald in Mathemagic Land, Hamilton Luske, EE. UU., 1959). Lo divide en cuatro etapas: Grecia y los pitagóricos, Matemáticas en el Arte, Naturaleza y Matemáticas, y Jugamos con las matemáticas. A pesar de ser un documental muy popular y sobradamente conocido, nunca está de más recordarlo ya que es un material de interés sobre todo en primaria y primeros cursos de la ESO. ¿Un aula para las chicas y otra para los chicos? Tampoco podían faltar Marta Martín Sierra y Abel Martín Álvarez, creadores del portal Mathsmovies, un compendio de referencias a las matemáticas en el cine (organizadas en diferentes salas, como si de la asistencia a un cine real se tratara), junto a exposiciones, material didáctico elaborado para llevar al aula, referencias a cursos y conferencias que han impartido, y por supuesto un amplio trabajo sobre las matemáticas en los Simpson. Precisamente este artículo muestra la experiencia concreta llevada a cabo en el IES Los Sauces de Benavente (Zamora) el día internacional de la mujer (8 de marzo). Y por eso la elección del episodio Las chicas sólo quieren sumar, para abordar también el asunto de la coeducación. Antes de presentar la batería de 23 actividades (con varios sub-apartados cada una), los autores nos exponen las competencias abordadas con este tipo de experiencia (de hecho, son más las cuestiones relacionadas con el resto de competencias que con la matemática propiamente dicha), objetivos, temporalización, etc. Muy curioso y revelador el acercamiento a leyes educativas del pasado en relación a lo que deben y no deben aprender las niñas y sobre cómo debía ser el comportamiento (no sólo dentro del aula) de las maestras. Finalmente, en Cómo usar el cine en el aula de matemáticas, el profesor Jorge García nos describe la experiencia práctica llevada a cabo por un grupo de alumnos del IES Alcántara (de Alcantarilla, Murcia) junto a otros tres centros europeos de Francia, Grecia y Dinamarca dentro del proyecto CineMaths Paradise. El objetivo era desarrollar estrategias para el uso del cine en la enseñanza de las matemáticas. Para ello idearon una serie de actividades organizadas en cuatro áreas distintas que posteriormente pusieron en común en diferentes encuentros en cada uno de los países participantes. La Guía Didáctica está dedicada a El hombre que conocía el infinito. Después de las secciones habituales de esta colección acerca de la película (introducción, argumento, director, descripción de los personajes (Ramanujan, Hardy, Littlewood, Janaki y Sir Francis Spring), aspectos sobre la temática de la película (Historia de las matemáticas, la contribución de Ramanujan, la cultura de la India, las relaciones interpersonales), entramos en la aplicación didáctica, para la que se describen los aspectos no exclusivamente matemáticos por los que la película es interesante y atractiva para el alumnado. Se plantean una serie de objetivos (matemáticos, cultura de la India, discriminación étnica y relaciones interpersonales), y se proponen tres posibles modos de evaluar la actividad que se haga. A continuación, se exponen al docente posibles actividades previas al visionado de la película como motivación y crear cierto interés por lo que se va a ver. Finalmente, una amplia lista de temas, cuestiones, sugerencias de profundización en los temas antes descritos en los objetivos a los que se añaden algunos estrictamente sobre la valoración de la película. Pocas son las directamente relacionadas con las matemáticas (son en general más sobre cultura matemática, historia, matemáticos célebres), pero realmente las investigaciones y trabajos del personaje son de tal profundidad y complejidad que exceden lo que un alumno de enseñanzas medias puede llegar a comprender (incluso complejo para estudiantes que no sean de postgrado en matemáticas o investigadores de esas materias) por lo que resulta razonable la elección de dichos temas. Como comentábamos inicialmente, es una grata noticia la aparición de este monográfico. Confiamos que no sea un caso aislado y en posteriores números sus responsables se animen a continuar incluyendo aspectos relacionados con la ciencia en general, y por supuesto con las matemáticas en particular, con el mismo rigor, seriedad y profundidad con lo que lo viene haciendo con el resto de disciplinas curriculares. Es toda una gozada para los que tenemos al cine como valor cultural, artístico, y por supuesto, educativo. Alfonso J. Población Sáez

Miércoles, 14 de Junio de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

336. 150. (Junio 2017) Alternando colores

El concepto de paridad es uno de los más sencillos de explicar y entender pero todavía encierra algunos aspectos misteriosos que no logramos interpretar correctamente. Por una parte, resulta muy fácil distinguir si una cantidad de objetos es par o impar: se van apartando grupos de dos objetos hasta que se acaben todos (en cuyo caso el número era par) o hasta que sobre uno (en cuyo caso el número era impar). Ahora bien, en varias ocasiones han aparecido en este rincón algunas curiosidades sorprendentes relacionadas con la dualidad par-impar: en el número de octubre de 2014 (matemagia 120) podrás encontrar la última aparición del principio y algunas referencias a entregas anteriores, referencias que llegan incluso a la primera entrada de este rincón, allá por el mes de marzo de 2004 (matemagia 1). Volvemos otra vez a tratar este tema introduciendo una variante que ha tenido mucha repercusión en el mundo de la magia y que vuelve a rescatar del anonimato a uno de los personajes más interesantes en el contexto de la magia matemática. Bob Hummer (1906-1981) fue un mago americano de carácter... digamos que peculiar. Ya hemos comentado aquí algunos aspectos de su extravagante personalidad (ver por ejemplo los comentarios expresados en la entrega de julio de 2013, matemagia 107) pero se puede encontrar una descripción más detallada en la introducción del libro de Karl Fulves "Bob Hummer's collected secrets" (1980), escrita por Martin Gardner, gracias a que lo conoció personalmente desde 1940, época en la que ambos vivían en Chicago. En palabras de Martin Gardner, Bob Hummer fue una de las personalidades de la magia moderna más extrañas y originales. Aunque Bob no recibió ninguna formación académica en matemáticas, de hecho en ninguna otra rama de conocimiento, era obvio para cualquier seguidor de sus trucos que fue un genio aplicando a la magia curiosos principios matemáticos, especialmente los relacionados con la dualidad par-impar en el campo de la Combinatoria. Vivió siempre al borde de la miseria pero no perdía ocasión de mostrar su contagioso sentido del humor incluso durante los últimos años de su vida, que pasó "visitando" regularmente hospitales para enfermos mentales. En el campo de la magia no matemática es famoso -y todavía se comercializa de forma regular- su truco "the whirling card" (la carta flotante) que realizaba en sus espectáculos de magia cómica. Pero una de sus contribuciones más fructíferas está relacionada con la magia matemática y comienza en 1942, año en el que publica por primera vez el folleto titulado "Face up face down mysteries", donde se incluyen juegos como "Hummer's 18 card mystery" o "The little moonies" (también descritos en el libro Matemática, magia y misterio de Martin Gardner), los cuales están basados en lo que llamaremos a partir de ahora el principio de Hummer. Para entender este principio, veamos un ejemplo práctico. Así que consigue un grupo de cartas, una cantidad par de ellas, y colócalas de modo que se alternen los colores (no importa si el orden es roja-negra-roja-negra-... o bien negra-roja-negra-roja-...). Con este grupo de cartas en la mano, vas a realizar la llamada mezcla CATTO (acrónimo de la expresión «Cut And Turn Two Over» acuñada por el mago Charles Hudson, aunque ahora es más común llamarla simplemente mezcla CATO). Separa las dos cartas superiores del paquete, gíralas como si fueran una carta y déjalas otra vez sobre el paquete. Corta el paquete por cualquier lugar y completa el corte. Repite los pasos 1 y 2 las veces que quieras. Te quedará un paquete con algunas cartas cara arriba y otras cartas cara abajo. Por último, reparte las cartas en dos montones sobre la mesa, izquierda-derecha-izquierda-derecha-... Gira uno de los dos montones y colócalo sobre el otro. El resultado final es que todas las cartas negras están en un sentido y todas las cartas rojas están en el otro sentido. En el capítulo 1 del libro "Magical mathematics" de Persi Diaconis y Ronald Graham aparece una detallada explicación del principio, ¡hasta con teoremas matemáticos!, y algunos interesantes juegos basados en él. Puedes encontrar otra selección de juegos relacionados con el principio de Hummer en el capítulo 5 del libro "Magia por principios". También hay un video y algunas explicaciones en la página Mathaware dedicada a Martin Gardner. No vamos a repetir aquí ninguno de esos juegos sino a proponer una variante de este principio -una especie de extensión al caso bidimensional- tal como aparece en la columna "Card Colm" de febrero de 2006, mantenida por Colm Mulcahy. Así funciona el juego: El mago entrega la baraja a un espectador para que forme sobre la mesa un rectángulo de cartas, eligiendo libremente qué cartas estarán cara arriba y qué cartas estarán cara abajo. Supongamos, por ejemplo, que el espectador ha decidido colocar 28 cartas en la disposición que se muestra en esta imagen: Con el mago de espaldas, el espectador elige cuatro cartas entre las que están en la mesa que sean vértices de un rectángulo y gira las cuatro cartas, dejándolas nuevamente en su lugar. Siguiendo con el ejemplo, supongamos que el espectador ha seleccionado el rectángulo marcado en la imagen siguiente y ha girado los cuatro vértices, as de picas, tres de trébol, seis de trébol y ocho de picas. El resultado es el mostrado a continuación: El espectador puede repetir dicho proceso todas las veces que quiera, eligiendo otros cuatro vértices de un rectángulo y girando las cartas correspondientes, de modo que es posible que una misma carta se gire varias veces. En nuestro ejemplo, si el segundo rectángulo elegido por el espectador es el que se muestra en la imagen, la nueva disposición de las cartas sería la siguiente: En un determinado momento, el espectador elige una carta del retículo y la gira, recordando de qué carta se trata. Después de ello, puede seguir seleccionando rectángulos de cartas y girando sus cuatro vértices. Por último, el mago se vuelve de cara a la mesa y, de un rápido vistazo, descubre cuál es la carta elegida por el espectador. No vamos a entrar en los detalles de la explicación, pues basta saber que el juego está basado en el principio de paridad. Quizá algún lector pueda también encontrar alguna relación entre este juego y el descrito en la entrada de febrero de 2011 (matemagia 80), no sólo por la presentación y el resultado final sino por la similitud de su funcionamiento. Como ocurre muy a menudo, una combinación de diferentes principios matemáticos permite diseñar juegos de magia más elaborados y sorprendentes. Uno de ellos es el titulado "Grados de libertad", que aparece en el libro Querido Mr. Fantasy de John Bannon y está descrito en el blog magiaporprincipios. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Jueves, 01 de Junio de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

337. 37. (Junio 2017) Florencia gnomónica

(Reloj solar múltiple de Santa Maria Novella) Hay muchos lugares de interés gnomónico. Desde el pequeño municipio valenciano de Otos, decorado con relojes solares de artistas muy conocidos, a las líneas meridianas de las iglesias de Sicilia, donde el tiempo es protagonista. Durante el solsticio de invierno lo recomendable es visitar Palma para ver como la luz solar atraviesa la catedral o admirar los sofisticados relojes solares del paseo marítimo. Seleccionando el lugar más atractivo para el solsticio de verano, hemos elegido Florencia. Única época en que puede verse la pequeña porción de meridiana sobre el pavimento donde alcanza la luz en Santa Maria dei Fiore, el Duomo. Seis meridianas, un reloj solar renacentista múltiple y un zodiaco medieval hacen de Florencia el paraíso gnomónico. El solsticio de verano en Santa Maria dei Fiore (Meridiana. Santa Maria dei Fiore) La catedral de Florencia ofrece en los días próximos al solsticio de verano la oportunidad de acceder a su línea meridiana con el foro gnomónico más alto del mundo. Aprovechando las aperturas de la linterna, culminación de la espectacular cúpula de Brunelleschi, se ha adosado una pieza agujereada que permite que en el pavimento aparezca una elipse de casi un metro de eje mayor. La meridiana es la más antigua conservada: fue construida en 1475 por el astrónomo Paolo del Pozzo Toscanelli, quien aprovechó los 90 metros de altura de la cúpula. El círculo grande de mármol sobre el pavimento indica el punto solsticial de 1510 y sus dimensiones. La línea próxima fue trazada a mediados del siglo XVIII por el jesuita Leonardo Ximenes tras la restauración y estudio del dispositivo. La gran mancha luminosa es provocada por el agujero de 4 centímetros de la linterna y ofrece una imagen imborrable durante las visitas guiadas en el medio día solar. El transepto izquierdo (Capilla Santa Croce) no se visita durante el resto del año, y en el izquierdo se celebran las misas. La fachada solar de Santa Maria Novella (Reloj solar renacentista. Santa Maria Novella) La bellísima fachada albertina de la Basílica de Santa Maria Novella realza, si cabe, más su valor con los dos ingenios astronómicos que construyó el padre Egnazio Danti en los años 70 del siglo XVI: una esfera armilar de dos aros en el lado izquierdo y un cuadrante solar con múltiples gnómones en el lado derecho. Danti fue profesor de matemáticas en Bolonia, cosmógrafo ducal de Cosme I y miembro de la comisión para el cambio del Calendario Juliano. Hijo de arquitecto, vivió entre la ciencia y el arte, y tuvo como principio que el saber matemático debía llegar a los artesanos, navegantes y al pueblo llano. A Danti se debe la primera gran meridiana de cámara oscura de San Petronio en Bolonia. La armilla era el testimonio más claro para todo el mundo de que el equinoccio no se estaba produciendo el 21 sino el 11 de marzo. Uno de los aros, el vertical (meridiano) muestra el mediodía solar, mientras que el otro es ecuatorial, y por tanto en el equinoccio solo proyectará un segmento horizontal en lugar de una elipse. (Armilla solar renacentista. Santa Maria Novella) El virtuoso cuadrante de la derecha era una losa marmórea perpendicular a la fachada sostenida por una ménsula con seis funciones diferentes a un lado y otro. Actualmente se ve una fiel réplica restaurada en aluminio y resina. Los seis relojes dan la hora itálica (cuenta desde la tramontana), la hora bohémica (cuenta desde el alba), la hora astronómica (comienza en el mediodía solar), la hora común ultramontana (francesa, española y alemana: doce horas de medianoche a mediodía), hora planetaria (hebrea y romana: hora cero al amanecer, seis al mediodía y doce al anochecer), y las horas canónicas (para el culto de los monjes: nona, prima, tercia, sexta, nona y duodécima). La elipse errante de Santa María Novella La iglesia de Santa María Novella fue convertida por el matemático Egnazio Danti (1536-1586) en un laboratorio para las investigaciones astronómicas. La actuación de Danti en Santa Maria Novella no se limitó a los sofisticados ingenios de la fachada, también proyectó dos meridianas de cámara oscura en el interior que completarían el conjunto. (Elipse solar. Santa Maria Novella) Como la meridiana de Santa Maria dei Fiore solo estaba operativa con el Sol en su máxima altura, Danti aprovechó la orientación sur de la fachada de Santa María Novella para construir su propia meridiana, que nunca se completó. Dos orificios gnomónicos, uno en una tesela del rosetón y sobre el techo, poco más arriba, proyectan sendas elipses errantes sobre el suelo o las columnas de la nave. Merece la pena seguirla en su órbita en distintos tiempos: antes, mientras y al final de la visita de los distintos frescos de la iglesia, claustro, Capilla de los Españoles y refectorio. Hay proyecto de construir una línea meridiana permanente sobre el pavimento. Las marcas provisionales se pueden ver en el interior. En determinados momentos se ha instalado una meridiana temporal. El solsticio de verano en San Miniato al Monte La bellísima basílica florentina de San Miniato al Monte muestra al exterior la pureza de sus formas románicas. La antigüedad de la iglesia y sus formas han dado lugar a múltiples leyendas esotéricas y numerológicas sin gran interés ni fundamento. Lo que si merece la pena es la observación del fenómeno luminoso que tiene lugar en el círculo zodiacal medieval de taracea de mármol del pavimento. (Cancer iluminado.  Zodiaco de San Miniato al Monte) Vemos como durante el solsticio de estío se ilumina el signo de Cancer del hermoso zodiaco. Espectáculo que lleva ocho siglos repitiéndose: la luz difusa se acaba concentrando sobre el cangrejo al mediodía solar. El Museo Galileo viene organizando visitas guiadas para observar el fenómeno y conviene aprovecharlas. La reserva para la meridiana del duomo se puede hacer en los días anteriores y posteriores pues ofrece más alternativas. Meridiana de la “Palazzina” del Pitti La Palazzina della Meridiana es donde se ha instalado el Museo del Vestido. Antes de pasar el control de entrada, a la derecha, hay una sala abovedada con frescos donde se localiza la meridiana de cámara oscura construida en 1696. (Meridiana. Palazzo Pitti) El fresco con motivos mitológicos y astronómicos fue pintado por Domenico Gabbani para Ferdinando de Medici. La meridiana fue un regalo del artista al gran duque. El orificio gnomónico se encuentra a siete metros de altura y forma parte del fresco. La meridiana es una lámina de latón bien marcada con los días para hacer de calendario. La línea se quiebra y asciende por la pared norte en la esquina de la sala. El fresco barroco mezcla alegorías de las artes e instrumentos geométricos con los dioses grecorromanos en una gran apoteosis cosmológica. El “torrino” astronómico de la Specola La Specola de Florencia, el observatorio astronómico, fue mandada construir por el Granduca en la década de los ochenta del siglo XVIII. El edificio alberga hoy el Museo de Historia Natural y se halla en la margen derecha del río Arno, muy próximo al Palacio Pitti. (Meridiana. Specola) Los antiguos instrumentos y una bella meridiana de 1784 se encuentran en el torrino octogonal de la parte superior. El orificio gnomónico se localiza a 3 metros de altura en la curiosa Sala delle Cicogne, decorada con tan familiar ave. La línea incrustada sobre el pavimento es metálica y rodeada de placas de mármol blanco con los signos del zodiaco y los meses marcados. La meridiana también sirve de calendario como la de la Palazzina del Pitti. La visita debe concertarse previamente ya que el torrino no está incluido en la entrada al Museo: se hace guiada para los grupos que han reservado. Meridianas exteriores del Museo Galileo En la puerta del Instituto y Museo de Historia de la Ciencia se colocaron en el año 2007 un obelisco y una línea meridiana. Todo abierto hacia el Arno. El obelisco de bronce termina en una esfera facetada de vidrio, un poliedro derivado del septuaginta duarun solidum de Leonardo, y cumple las funciones de gnomón para la línea y el reloj solar marcados sobre el pavimento. (Meridiana. Museo Galileo) La parte sur del obelisco alberga una graciosa salamanquesa cuya cola también sirve de pequeña meridiana de las estaciones con los signos del zodiaco marcados. Al mediodía, durante el solsticio, la sombra del obelisco es la más corta sobre el suelo y la de la salamanquesa es la más baja. Sobre la pared del museo se expone la ecuación del tiempo para la corrección de la hora solar al tiempo medio legal. La meridiana de la Cartuja de Galluzzo La Cartuja de Galluzzo ocupa una de las bellas colinas de las proximidades de Florencia, al sur de la Puerta Romana. Fundada en el siglo XIV, fue habitada por monjes cartujos hasta 1958 y desde entonces alberga una pequeña comunidad de cistercienses. El monasterio conserva varios recuerdos gnomónicos como corresponde a las órdenes religiosas que realizan sus rezos y actividades según el ciclo solar de forma precisa. (Meridiana. Cartuja de Galluzzo) La meridiana de cámara oscura se encuentra en una galería de la segunda planta, encima de la entrada próxima al punto de recuerdos y licores. La Cartuja y la Meridiana se enseñan por alguno de los amables monjes, según la disponibilidad porque son muy pocos. Se trata de una línea meridiana quebrada que se eleva desde el suelo por la pared. La parte vertical mide 2´5 metros y 2´80 la horizontal. La parte del suelo ha perdido la analema, si llegó a tenerla, mientras que la de la pared sigue bien trazada. El agujero gnomónico es de bronce y tiene forma de estrella de ocho puntas como también la marca del equinoccio. La meridiana sirve de calendario pues sus marcas destacan los días de los meses y de ajuste horario. La línea es de mármol negro rodeado de blanco. Los signos del zodiaco estan marcados sobre la piedra. La parte superior conserva parte de una inscripción: “G.B.D…CCLXIII”. Se interpreta que corresponde a Giovan Battista Donati, director del Observatorio Astronómico de Florencia entre 1856 y 1872, de forma que la fecha marcada es 1863. Es probable que la línea sea mucho más antigua y que la inscripción se corresponda con la marca de la analema. Por esas fechas se estaba estableciendo la nueva hora europea frente a la antigua hora italiana.

Jueves, 01 de Junio de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

338. 117. (Mayo 2017) "Arte y matemáticas. Espacio (Elena Asins), papiroflexia y música"

Aunque la propuesta de hoy no encaja del todo en esta sección de Literatura y matemáticas, la traigo por su enorme interés. Al fin y al cabo, podría pensarse como un ensayo a ocho manos, en el que se presentan distintas facetas de la artista Elena Asins (1940-2015), o como un bello relato sobre la obra de esta pionera desde la mirada de cuatro profesionales de las matemáticas. Arte y matemáticas. Espacio (Elena Asins), papiroflexia y música es el título del monográfico que la revista “El rapto de Europa” (número 34, mayo 2017) dedica a la Premio Nacional de Artes Plásticas de 2011, artista que no dudó en usar la tecnología en su práctica creativa. La matemática Capi Corrales (UCM), que conoció personalmente y colaboró con Elena Asins, ha coordinado este monográfico que cuenta con cuatro estudios, desde las matemáticas, de diferentes aspectos de la obra de esta artista. En Elena Asins (1940-2015), investigaciones del espacio, Capi Corrales Rodrigáñez presenta algunas de las obras de la artista, que como comenta la matemática “son fruto de una intuición espacial, una intuición que le permitía moverse en los espacios sobre los que trabajaba […]. Porque no los construía ni los inventaba; los veía en su mente.” Los pasos de una dimensión a otra se ven representados en algunas de sus esculturas, que Capi analiza introduciendo diferentes geometrías y el concepto matemático de variedad. En Algunas reflexiones sobre la obra de Elena Asins desde la geometría, Antonio F. Costa (UNED) comenta, desde su mirada de geómetra, sus impresiones ante la obra de Elena Asins. Se centra en las iteraciones y en la rotura de la simetría en algunas de sus propuestas. En este caso, Antonio hace un recorrido por algunas de sus creaciones bidimensionales, en las que las repeticiones añaden una tercera dimensión temporal a la obra. La artista propone extraños embaldosados de sus lienzos, teselaciones que recuerdan a los cuasicristales, esas secciones de estructuras cristalinas de dimensiones superiores. En Papiroflexia: un antiguo arte repleto de matemáticas José Ignacio Royo Prieto (UPV/EHU) habla sobre el origami, el arte de plegado de papel de origen japonés, y su relación con las matemáticas. José Ignacio explica con gran acierto el camino de ida y vuelta entre el arte del plegado y la ciencia matemática, mostrando como ambas disciplinas, a priori tan distintas, beben la una de la otra. Las aplicaciones a la ciencia y la vida cotidiana de este arte en papel se multiplican día a día… y el plegado fue una técnica de investigación artística que Elena Asins utilizó constantemente. Por último, en Paneles, música y paraboloides. Dos pinceladas de la obra de Iannis Xenakis, Marco Castrillón López (UCM) rinde homenaje al compositor e ingeniero Iannis Xenakis (1922-2001) que, como Elena Asins, supo explorar las matemáticas y las tecnologías para crear, en este caso, música. Al igual que la artista, Xenakis usó técnicas informáticas y repeticiones en su proceso creativo. Por cierto, los cuatro artículos que componen este monográfico vienen acompañados de un Rapto de Carlos García Santa Cecilia y un Exlibris de Alfonso González Calero.

Viernes, 26 de Mayo de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

339. 120. Todo acto tiene su consecuencia

Mencionar el adjetivo “cuántico” a lo que sea, dota de cierto peso al nombre al que acompaña, seguramente porque la mecánica cuántica, nos suena a disciplina no demasiado asequible. ¿Pueden sus postulados trasladarse al argumento de una película? Algunos lo han intentado. Seguramente todos hemos experimentado en alguna ocasión la pertinencia de dichos populares, como “las desgracias nunca vienen solas” o “si pongo un circo, me crecen los enanos”. Tratar de buscarle explicación racional a ese tipo de acontecimientos puede ser perder el tiempo, pero desde luego lo es con toda seguridad justificarlo en base a idioteces del tipo “el destino”, “castigo divino”, “estaba de pasar”, etc. Algunos filósofos, pensadores, novelistas, cineastas, y demás han mostrado los sucesos de este tipo como consecuencia del azar, la casualidad (Woody Allen, sin ir más lejos, en el cine; recuérdese Match Point, entre otras). Los hermanos Coen nos proponen además (porque también el azar aparece en algún momento, o así lo entiendo yo, en la película que vamos a comentar) una nueva explicación: la física cuántica. Y para que quede claro, el protagonista es precisamente un profesor de esta materia que, sin embargo, y a pesar de ser “un tipo serio” en sus planteamientos, no se percata de ello, y busca soluciones en lugares equivocados. Vamos a ello. Ficha Técnica: Título: Un tipo serio. Título Original: A serious man. Nacionalidad: EE. UU., 2009.  Dirección: Ethan Coen, Joel Coen. Guion: Ethan Coen, Joel Coen. Fotografía: Roger Deakins, en Color. Montaje: Ethan Coen, Joel Coen (en los créditos firman como Roderick Jaynes). Música: Carter Burwell. Producción: Ethan Coen, Joel Coen. Duración:  106 min. Ficha artística: Intérpretes: Michael Stuhlbarg (Larry Gopnik), Richard Kind (Tío Arthur), Fred Melamed (Sy Ableman), Sari Lennick (Judith Gopnik), Aaron Wolff (Danny Gopnik), Jessica McManus (Sarah Gopnik), Peter Breitmayer (Mr. Brandt), Brent Braunschweig (Mitch Brandt), David Kang (Clive Park), Benjamin Portnoe (Amigo porrero de Danny), Jack Swiler (Compañero de autobús), Jon Kaminski Jr. (Mike Fagle), Ari Hoptman (Arlen Finkle), Alan Mandell (Rabino Marshak), Amy Landecker (Mrs. Samsky), Simon Helberg (Rabino Scott). Un retazo de sinopsis: Como en trabajos precedentes, los hermanos Coen ponen en escena un nuevo melodrama casi doméstico retorcido al límite y protagonizado por personas solitarias que sufren en silencio el acoso burlón de los demás. Larry Gopnik es un profesor de Física al que se le van acumulando los problemas hasta sentirse realmente bloqueado. Y las personas a las que acude para que le ayuden siquiera ligeramente (hasta tres rabinos diferentes, su abogado, etc.) no sólo no le aportan nada, sino que en algunos casos le lían mucho más. Cuando se citan o reseñan películas (o novelas) de determinados autores uno debe ser muy precavido si no quiere meter la pata hasta el fondo. Entre ellos están, sin ningún género de dudas, los hermanos Coen (Joel y Ethan, Ethan y Joel, tanto monta…), debido no sólo a su peculiar estilo, sino a su concienzuda (y consciente) introducción de parámetros, objetos, frases, todo tipo de, lo que los especialistas han dado en llamar, “guiños”, de la más variada procedencia y finalidad. Sobre sus películas se suelen apuntar multitud de “fallos” de todo tipo, bien sean anacronismos, errores de continuidad, geográficos, temporales, …, y estoy seguro de que ellos se “parten el eje” (perdón por el coloquialismo; últimamente hay que medir mucho cualquier expresión, que hay mucho purista suelto, a la caza del palabro o la figura estilística literaria mal empleada) con cada una. Así que da bastante reparo comentar cualquier cosa sobre su trabajo (Por poner un ejemplo, los realizadores se permiten la osadía de insertar un pequeño corto al inicio de la película que no tiene nada que ver con el resto de la película; comentan que sólo lo incluyeron para que el espectador se enfrentara a la historia “con el estado de ánimo adecuado”). Lo que es seguro es que ninguna de sus películas deja indiferente a nadie, y eso es de agradecer cuando la mayor parte de lo que vemos en nuestras pantallas son copias de algo que en el pasado ya se filmó de un modo radicalmente mejor (salvo los efectos especiales que parece que a mucho público es lo único que les interesa). Por si fuera poco, Un tipo serio se mete con temas tan complejos como el principio de incertidumbre, la paradoja del gato de Schrödinger, o la cultura judía. Por empezar por el final, por supuesto este no es el lugar para comentar nada, salvo que, para entender determinadas situaciones de la película, es necesario conocer o informarse al respecto. Como en toda obra artística (libro, película, pintura, arquitectura, escultura, etc.) e incluso expresión cultural, aunque sea popular, es necesario tener conocimientos, y si no se tienen, buscarlos, salvo que, como en la mayor parte de los casos, simplemente “consumamos” y a otra cosa. Pero como toda regla tiene su excepción, voy a “exponer” (intentando no juzgar, pero si dar mi opinión, con el respeto que ello pueda merecer) una situación del misticismo judío que creo que, desde mi concepción lógica y racional, no tiene ningún sentido: la numerología. De ello ya he hablado otras veces, y también se encuentra en otra película, Pi, Fe en el Caos (Darren Aronofsky, EE. UU., 1998). Según esta práctica, a cada letra del alfabeto hebreo (22 caracteres) se le asigna un valor numérico (en ningún lado se explica, o al menos yo no lo he encontrado, la razón de porqué esos valores y no otros, salvo argumentos tales como revelación divina u otros más o menos esotéricos, cuando lo más fácil sería reconocer que son porque convienen esos y no otros), que van del 1 al 10 (de uno en uno), del 10 al 100 (de diez en diez), y del 100 al 400 (de centena en centena). A priori parecen razonables, porque no se saltan ningún valor, y mediante sumas podemos alcanzar valores lo suficientemente altos (recordemos que como se asignan a palabras hebreas existentes, llegaremos a un valor máximo porque no hay palabras como תּ תּ תּ Tav Tav Tav = 400 + 400 + 400 = 1200). Hay una serie de reglas y sistemas (Mitjalfim, At–Bash, Semijut, Sofot Teibot, Rashei Teibot, etc), mediante los que se deducen diferentes enseñanzas.  Hasta aquí ningún problema, cada cual puede creer lo que quiera. El problema es cuando se intenta “deducir” el futuro o establecer relaciones “místicas” entre los seres vivos, las “fuerzas que nos rodean” y los números. El ser humano ha ideado herramientas que sirven para unas cosas y no para otras. ¿Se imaginan utilizar un destornillador para escribir un whatsapp, o escribir en un encerado, o hacer una tortilla? Pues eso es lo que pretenden hacer algunos “iluminados” cuando asignan a los números cualidades, o curar ciertas enfermedades con actitudes o elementos de lo más dispar, o, y volvemos a la película, aplicar la mecánica cuántica a situaciones para las que no está pensada (no se puede ganar dinero de cualquier manera; hay que tener algunos principios morales, aunque sean pocos). Y los hermanos Coen lo hacen, pero lo hacen, creo, con el fin de mostrar lo absurdo de tal situación. El problema está en que algunos (interesadamente o no) se lo toman al pie de la letra, y buscan razones por las que les va tan mal en la vida (como al protagonista de la película). Respecto al principio de incertidumbre, toda la película es una puesta en escena del mismo. Recordemos que el físico Werner Heisenberg enunció este principio (también referido como principio de indeterminación), como que “es imposible medir simultáneamente, y con precisión absoluta, el valor de la posición y la cantidad de movimiento de una partícula”. Existe además una fórmula que establece un límite, marcado por la constante de Planck (habitualmente denotada por h de valor 6.626 x 10^(−34) Julios por segundo): ∆x ∆px ≥ , denotando ∆x la posición indeterminada de la partícula de coordenadas x, ∆px la indeterminación de la cantidad de movimiento. La incertidumbre no es consecuencia del instrumento de medida utilizado, sino del propio hecho de ponernos a medirlo. Si tuviéramos aparatos de medida de una precisión inimaginable, seguiríamos teniendo una cierta incertidumbre en la medida. Y la fórmula anterior nos indica que cuanto mejor sea la medida de uno de los factores, más incertidumbre existirá en el otro (¿entendido pues el adjetivo “simultáneamente” del enunciado? En Ciencia cada palabra utilizada tiene su importancia, aquí no hay lugar a adornos literarios). Este principio (que no es nuevo, que se enuncia en torno a 1870, que ya ha llovido) se aplica a partículas atómicas o elementales, y es ahí donde tiene, en principio, todo su sentido. Y es en ese entorno en el que podemos entender plenamente que la simple presencia de una partícula, sin actividad alguna, por su sola presencia, influye en el comportamiento del resto. Tampoco es tan sorprendente. A nivel macroscópico tenemos la ley de gravitación universal de Newton, o la ley de Coulomb en electricidad, en las que objetos grandes (cargas eléctricas en el segundo caso) ejercen cierta influencia en otras de acuerdo al producto de sus masas y a la distancia a la que se encuentren (atentos magufos de toda especie y condición: que no, que estrellas, planetas y demás cuerpos celestes no nos afectan, precisamente por esto de la distancia a la que se encuentran, y mucho menos en nada que no tenga que ver con lo puramente físico; lo emocional depende de otras cosas). Hay estudios y trabajos recientes que tratan de averiguar si a nivel macroscópico, el principio de incertidumbre puede tener alguna influencia. Como es llamativo, encontraremos bastante información en los medios de comunicación al respecto, aunque éstos, a veces por llamar la atención, a veces por simplificar, y las más por no tener mucha idea ni tiempo para profundizar, inducen a la equivocación más que otra cosa. Aquí, por ejemplo, tenemos una reseña bien documentada, cuyo titular sin embargo induce a la equivocación. Y aquí, una más técnica, aunque de 2013 (la película es anterior). Pero en el cine tenemos licencia para especular. Y es lo que sucede en Un tipo serio. Y lo deja bien claro en la escena en la que, al parecer (porque no se ve en ningún momento que el chaval deje nada sobre la mesa del profesor), un alumno, Clive Park, disconforme con su calificación en la asignatura de Física, cuestiona al protagonista dicha calificación: Clive: No sabía que debía examinar Matemáticas... Larry: No se puede estudiar Física sin Matemáticas, ¿sabes? El chico le argumenta entonces que, de haberlo sabido, hubiera estudiado matemáticas, y entonces habría sacado buena nota. Por tanto, no lo considera justo, y propone repetir el examen, hacer un examen aparte sin que se enteren sus compañeros, diferentes alternativas que Larry rechaza. Clive: Pero yo entiendo la Física. Entiendo el gato muerto… Larry: Pero no puedes entender la Física sin entender las Matemáticas.  Las Mates explican cómo funciona todo, son la clave de todo. Las historias que cuento en clase son sólo una ilustración, son como fábulas para que tengáis una imagen. Quiero decir, ... ni siquiera yo entiendo lo del gato muerto. La clave es la Matemática. Clive: Muy difícil, muy difícil. Un par de apuntes. Es relevante que se aluda a la importancia de las matemáticas en la física cuántica. Desde que se estableció la teoría de la relatividad, siempre se hizo hincapié en la gran relevancia de la geometría y la métrica considerada en tal teoría. Sin embargo, en la mecánica cuántica, pocas veces se aludió a las matemáticas involucradas en ella (salvo artículos técnicos, claro; me refiero a la divulgación de la disciplina en ámbitos no académicos). Lo que si se utilizaron fueron argumentos tipo la paradoja del gato de Schrödinger, a la que se alude en este diálogo y en una escena previa en una clase de pizarra (ver imagen). Cuando el alumno sale del despacho de Larry, éste se percata de que hay un sobre con dinero encima de su mesa, que interpreta lo ha dejado Clive como “compensación” por aprobarle. Como no consigue encontrarlo, le cita otro día, y entonces le dice que cualquier acto tiene sus consecuencias, y no sólo en Física. También hay consecuencias morales. Pues bien, esto que sabe explicar tan diáfanamente a Clive, es lo que le está sucediendo en toda la película. Todas sus acciones (y también sus no-acciones; la mayor parte son inacciones. Magnífico el diálogo telefónico con el de la promoción de discos que por no hacer nada le manda un disco de regalo cada cierto tiempo, aunque no lo quieras. Tal cual la realidad misma. Y la mención al LP Abraxas de Santana, tampoco es baladí en el contexto místico-religioso. Hay referencias culturales a cada momento, pero mencionar sólo las que he pillado, haría esto muy extenso, así que sólo menciono las matemático-físicas, pero lo comento para el que se anime) tendrán consecuencias. La que no entiendo como tal, aunque él crea que sí (ojo: SPOILER) es el accidente automovilístico simultáneo en el tiempo, que no en el lugar, ni de la misma incidencia, que sufre él y su reemplazo matrimonial (digámoslo así). Desde mi punto de vista, ahí hay más azar que incertidumbre. Además de todas estas confrontaciones interpersonales que determinan nuestra existencia, sea por la causa que sea, la película también pone en tela de juicio muchos aspectos de nuestra vida cotidiana (ya se han mencionado algunos). Por ejemplo, las contradicciones de nuestras legislaciones que pueden llevarnos a paradojas sin solución (el pleonasmo de rigor; comentario para quien ya sabe por qué, que no creo que lea nunca): Si me acusas de haber puesto un sobre con dinero en tu mesa, te denuncio por difamación porque yo no lo he puesto, y si te lo quedas, te denuncio por aceptar sobornos. En definitiva, aprueba al chico para que yo acepte que no sé nada de la existencia de tal sobre. O la absoluta desesperación a la que podemos llegar cuando nos encontramos sin saber qué hacer, la impotencia que sentimos (cuando los rabinos se quedan con él de mala manera contándoles cuentos, historias, fábulas (en el fondo como las que él cuenta a los alumnos en clase) que no sabe cómo interpretar: “¡No tenemos respuestas para todo!”, le indica uno de ellos; “¡No tenemos respuestas para nada!”, responde enfadado). Afortunadamente, toda su flemática actitud (él es un tipo serio, lógico, y lo peor es que se lo cree) se revuelve en la cruda realidad de lo que realmente pasa (o lo que desearía que pasase) en sus sueños. Hay más referencias a las matemáticas que describo brevemente. En uno de estos sueños, Larry se encuentra explicando en una clase el principio de incertidumbre. Toca la bocina de fin de la clase, y sin dejar haber terminado, los alumnos se van del aula (obsérvese el aspecto del encerado en la imagen). Visiblemente molesto, elevando la voz les dice “El Principio de Incertidumbre prueba que nunca podemos saber qué demonios está pasando. Pero, aunque no entendáis nada, os pedirán cuentas de esto en el examen final” (doble sentido en esto del “examen final”, teniendo en cuenta el ambiente ortodoxo-religioso de toda la película). Queda solo en el aula y remarca: “Es convincente, es una prueba, es Matemáticas”. Entonces surge el difunto Sy Ableman que le corrige con “La matemática es el arte de lo posible”. Larry replica que no está tan seguro, y añade “además el arte de lo posible es, no recuerdo bien, pero es otra cosa”. Se trata de una clara alusión a la célebre frase de Otto von Bismarck: La política es el arte de lo posible. Otra referencia a las matemáticas la encontramos cuando la policía detiene a su hermano Arthur, acusándole de juego ilegal y otras cosas que suceden en un local semi-clandestino, pero que todo el mundo conoce (otra alusión a la hipocresía de la sociedad). Larry les chilla: “Son sólo Matemáticas. No pueden detener a nadie por las Matemáticas”. Arthur, el hermano soltero, un poco retraído y bastante jeta, que lleva una temporada en casa de Larry, ha ideado el Mentaculus, un cuaderno absolutamente desquiciante desde el punto de vista de la “ciencia convencional” cuando lo vemos al echarlo Larry un vistazo, que define como un mapa de probabilidades del Universo. Si observamos una de sus páginas (en la imagen), vemos que aparece escrito al revés, como en un reflejo, la expresión Bosón de Higgs. Alguna ¿errata? Como decía al principio, quizá sea aventurado aludir a errata tratándose de los hermanos Coen y del celo que muestran en todas y cada una de las innumerables referencias que intercalan conscientemente. Lo cierto es que en una de las cuentas que echa en la pizarra, Larry comete “aparentemente” un fallo. En la última expresión, que además le vemos escribir, si observamos la raíz cuadrada, vemos que simplifica correctamente el a2, que el cuadrado de sale de la raíz cuadrada sin el cuadrado, pero aparece que la raíz cuadrada de 0.77 (claramente un número menor que la unidad, concretamente 0.877496…) es 1.74. ¿Explicación? Tal como está es incorrecto. Un poco antes, escribe ∆P igual a la raíz cuadrada de <p>2 − <p>2, que sería cero. La ecuación correcta sería así: <p2> − <p>2. Es una ecuación de la desviación cuadrática media del momento en el principio de incertidumbre de Heisenberg de la mecánica cuántica. Esto sí es incorrecto, y la prueba está en que más tarde en la escena, después de que los estudiantes se hayan ido y aparezca Sy Ableman, la ecuación está corregida y puesta en la forma correcta. Pero más aún, aparece escrito que = h/2pi = 6.6 x 10^(−34) en unidades MKS (los julios y segundos que indicamos anteriormente). Es incorrecto también. Tomando el valor de la constante de Planck, h, entonces debería ser 1.05 x 10 ^(−34) en unidades MKS. Más Gato En El factor mandarina (The Tangerine Factor, episodio 1.17, 2008) de The Big Bang Theory, Sheldon Cooper alude también al gato de Schrödinger para evadirse de la pregunta de Penny sobre si cree que su relación con Leonard la ve o no con perspectiva de futuro. Sheldon, mostrando una vez más su carácter un tanto pedante, le explica como Erwin Schrödinger, en un intento de explicar la interpretación de la física cuántica, propuso el famoso experimento. En este enlace, puede verse con detalle lo que se cuenta en dicho capítulo. En la imagen, la cara de Penny mientras escucha a Sheldon. Por cierto, la intersección entre Un tipo serio y The Big Bang Theory va más allá de este asunto. ¿Sabéis por qué? Concurso del verano Como viene siendo tradición desde hace un montón de años, el próximo mes de junio la reseña de esta sección se dedicará a proponer el esperado Concurso del Verano, con el que descansamos hasta el inicio del próximo curso en septiembre (con la solución al concurso y la lista de ganadores). Me pongo a ello desde ya. Y recordad que no aparecerá hasta final de mes (se acumula el trabajo en estas fechas para todos, je, je, je). Alfonso J. Población Sáez

Viernes, 12 de Mayo de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

340. 36. (Mayo 2017) Omnia vincit Amor

(El triunfo del amor. Caravaggio. Berlín) Omnia vincit Amor había sentenciado el gran Publius Vergilius Maro en sus Bucólicas (37 a.C.) cuando glosaba la pasión absorbente y sin esperanza de Galo. El verso 69 de la Égloga X dice: Omnia vincit Amor et nos cedamus Amori. (El amor conquista todas las cosas, ríndete al amor) Los poetas epicúreos como Lucrecio y Horacio advertían, por el contrario, contra esa influencia que apartaba a las personas de la vida modesta y sosegada del carpe diem. Será Michelangelo Merisi da Caravaggio, en plena madurez creativa, quien en 1602 dará la forma iconográfica más provocadora al amor convirtiéndolo en un modelo que fue imitado por otros artistas manieristas y barrocos. La alegoría plasma con fuerza, y de forma inquietante, la poderosa victoria del amor sobre todo lo que se le oponga. Cupido deja de ser una figura infantil para convertirse en un joven mórbido realzado por el claroscuro. Eros pisotea los emblemas del poder, las artes y las ciencias. Un compás abierto y una escuadra ponen de manifiesto que también la matemática puede ser vencida por el amor. Thomas Mann planteó en La montaña mágica que la matemática era buen remedio para la concupiscencia. Parece que Virgilio y Caravaggio no estaban de acuerdo con el novelista y no admitían excepciones. El barroco nos ofrece muchas muestras representativas de lo superfluo de los anhelos de los hombres en sus Vanitas. En las “vanidades” se hace patente la piedad barroca y nos aportan muchas imágenes matemáticas. Caravaggio lo entiende de otra forma, lo invierte: entre todas las pasiones humanas hay una más fuerte que todas, incluso produce desenfreno: se trata de la pasión amorosa. No se representa el más leve rastro de recogimiento, solo culto a la vida. Una Alegoría de la Vanidad como la de Valdés Leal presenta la versión opuesta con iconografía similar: el compás, la escuadra y la esfera armilar son pura vanidad humana y no objetos derrotados por el amor. (Alegoría de la Vanidad. Valdés Leal. Wadsworth Atheneum) Mucha tinta académica y no académica se ha derramado sobre el supuesto erotismo de la pintura. Algo que no era evidente para la generación del Caravaggio. Las interpretaciones se suelen hacer mucho más por mirar con ojos del presente que con los de la época. El pintor holandés, afincado en Amberes, Thomas Willeboirts Bosschaert (1613 –1654) realizó varias versiones del tema. Elegimos la tela del Museo Nacional de Suecia en Estocolmo por la riqueza de instrumentos matemáticos. Eros se nos muestra triunfante sobre los despojos del poder, las artes y las ciencias, una vez derrotados. A nuestra derecha descansan el astrolabio, el compás, el globo terráqueo, y un transportador angular, todos lujosos instrumentos que muestran la extensión de la actividad matemática. Los pintores eran vanguardia de la actividad geométrica y no dejaron de plasmar los instrumentos a la más mínima oportunidad. (El triunfo del amor. Willeboirts Bosschaert. Estocolmo) El Museo Lázaro Galdiano de Madrid tiene una pintura gemela pero más pobre en instrumentos. Giovanni Baglione, pintor de éxito y contemporáneo de Caravaggio, entró en polémica con dos cuadros sobre las diferencias entre el amor sacro y el profano. Uno de ellos tiene los mismos elementos: el compás, la escuadra y los libros, que son pisoteados por el amor profano triunfante. (Amor sacro y amor profano. Giovanni Baglione.  Berlín) La fuerza de las imágenes del joven que se impone a todos los poderes, sean militares religiosos o matemáticos hace que el tema se represente una y otra vez. Se conocen dos versiones de Astolfo Petrazzi, una en Atenas (Galeria Nacional) y otra en Roma (Palacio Barberini). El mercado del arte es otro lugar para localizar triunfos del amor: en 2009 salió a subasta otra versión similar del Maestro dei Giocatori. (Triunfo del amor. Astolfo Petrazzi. Atenas) (Triunfo del amor. Astolfo Petrazzi.  Roma) (Omnia vincit Amor. Maestro dei Giocatori) Visiones opuestas Las “vanidades” son muestra de un punto de vista que arrincona a las matemáticas, pero también encontramos reivindicaciones y defensas. Una muestra es el Friso de las Artes Liberales y Mecánicas de Il Giorgione. Un esplendido fresco decorativo de casi dieciséis metros de largo que se encuentra en la Casa Palacio Pellizzari de Castelfranco, villa natal del pintor.  En el Museo Giorgione es la virtud la que siempre vence: (Friso de las Artes Liberales y Mecánicas Il Giorgione. Castelfranco) Otra curiosa representación barroca flamenca la encontramos en un escritorio del Museo Lázaro Galdiano de Madrid. Minerva, alegoría de las ciencias y otros personajes expulsan a Venus y Cupido del lugar de estudio. Los instrumentos matemáticos aparecen al fondo sobre una mesa de trabajo. (Expulsión de Venus y Cupido. Escritorio del Museo Lázaro  Galdiano. Madrid)

Jueves, 04 de Mayo de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico