311. 44. Ágora e Hipatia

El estreno de la película de Amenábar el 9 de octubre ha retrasado unos días esta cita mensual con el cine, pero nos parecía lo suficientemente interesante como para justificar esa pequeña demora. Y ciertamente no nos ha defraudado. Ágora abarca muchas facetas de la Cultura y de la existencia del Ser Humano. Historia, Filosofía, Astronomía, Matemáticas, Física, Sociología, y por supuesto Cine. Personalmente creo que es admirable la osadía del tándem Alejandro Amenábar/Mateo Gil para, en los tiempos que corren, afrontar una superproducción de este calibre, con esta temática y en un país con una tradición cinematográfica bastante alejada de este tipo de parámetros. Y aunque seguramente haya momentos mejorables, el conjunto es magnífico, ideal desde todos los puntos de vista para utilizar en las aulas a alumnos a partir de la Secundaria. Trataré de ceñirme a lo estrictamente matemático, aunque el film da para mucho más. En lo que sigue, se comentan algunas de las escenas clave de la película, y aunque no importa conocerlas porque la fuerza de las imágenes es tal que impresionan en todo caso, ADVIERTO que se desvelan algunos de los momentos más intensos del argumento. La promoción de la película ha sido de las más exhaustivas que recuerdo: cortinillas y tráileres en televisión, en internet, entrevistas al director, programas especiales sobre el rodaje, artículos en periódicos y revistas, programación de otras películas del director,…., hasta críticas que denostan o alaban el film, incluso sin haberlo visto. Un gran despliegue, aunque en algunos aspectos poco preciso. La mayor parte hablaba de la filósofa y astrónoma Hipatia, “una mujer prácticamente desconocida”, añadían. De nuevo un indicador de la nula cultura de la Ciencia que poseemos incluso los que están convencidos de ser muy eruditos. En nuestro país existen varios colectivos con el nombre de Hipatia; del año 2000 para acá se han publicado en castellano al menos siete libros o novelas con su nombre en el título (ya no digo que versen sobre ella, que aún hay más, digo en el título principal, en letras GORDAS en la portada). Cualquiera que haya ojeado mínimamente un libro de divulgación Matemática (sí, amigos periodistas, los hay que no tienen ni siquiera un signo +, listos para que ustedes los entiendan también y de vez en cuando comenten en sus respectivos medios) encontrará casi sin quererlo el nombre de Hipatia, porque su vida, su leyenda, llama mucho la atención. Por eso, aunque no sólo por ello, debemos agradecer a algunos cineastas, novelistas y demás “personas mediáticas” que apuesten por “culturizar” a la sociedad ya que desde las aulas parece que no lo logramos. Una segunda reflexión previa a entrar propiamente en la película, relacionada también con el comentario anterior. No hay que tener miedo a emplear la palabra Matemáticas, Geometría, Trigonometría, etc. En la película se muestran ideas matemáticas, como tiene que ser. Los astrónomos de la Antigüedad no disponían más que de la simple observación para estudiar los cielos. Sus importantes descubrimientos, base de nuestro conocimiento actual, como se indica en los rótulos finales de la película, no se deben a elucubraciones sicodélicas, filosóficas o imaginativas. No, así no hubieran llegado muy lejos. La herramienta más potente de que disponían eran las Matemáticas. ¿Cómo dedujo Eratóstenes el tamaño de la Tierra de un modo tan preciso? ¿Por una revelación divina? ¿Por una aparición paranormal? ¿Y la distancia a la Luna? ¿En un viaje astral? ¿Por qué no triunfó el modelo heliocéntrico de Aristarco de Samos como muy acertadamente se menciona en la película? Sencillamente por la ausencia de un modelo matemático consistente. Nos guste o no, la respuesta está en las Matemáticas. Alejandro Amenábar ha declarado en múltiples entrevistas que llegó a Hipatia a través del Cosmos de Carl Sagan. ¿Y cómo presenta Carl Sagan a Hipatia? “Matemática y Astrónoma”. Eso es lo preciso y sólo he leído mencionar tal palabra a Mateo Gil en unas declaraciones a la revista Cinerama (Octubre, nº 176, pag. 12). Y para ello sólo tengo una explicación. Mencionar la palabra “Matemáticas” al parecer repele. Le pasó a Alex de la Iglesia con sus Crímenes de Oxford, y da la impresión de que Amenábar, por si acaso, ha optado por evitar su mención explícita (aunque en la película aparecen como veremos a continuación). Podría argumentarse que en esa época no estaba aún definida la Matemática como disciplina propia, que formaba parte de la Filosofía, pero no es así, dado que ya en épocas anteriores se escribieron tratados de Geometría, Mecánica, Trigonometría, etc., utilizando tales denominaciones. Más Matemáticas de lo que parece Desde estas reseñas, desde las del libro Las matemáticas en el cine, llevo insistiendo en que la imaginación de los cineastas a la hora de introducir aspectos matemáticos o científicos en general es bastante limitada, apenas una decena de situaciones que se repiten hasta la saciedad en muchas películas. Hay que reconocer que no es una tarea sencilla. Por eso cuando aparece alguna nueva puesta en escena, hay que reconocerlo y valorarlo. Por supuesto que este tipo de comentarios nunca los encontraremos en los críticos habituales de cine porque no tienen (o no quieren “perder demasiado tiempo” en documentarse en aspectos para ellos “menores”). Pero el equipo que planifica, diseña y piensa la película sí ha tenido que trabajar esas escenas. Y en una película como ésta es importante, al menos tanto como el vestuario, la puesta en escena, la música, etc. Normalmente estas producciones disponen de un asesor científico, matemático, histórico, etc., aunque luego las decisiones finales las tome el propio director, el montador, …, y otras veces el productor que es el que pone la pasta. En este caso en los aspectos científicos se ha contado con el asesoramiento de Javier Ordóñez Rodríguez, licenciado en Ciencias Físicas, doctor en Filosofía y catedrático de Historia de la Ciencia en la Universidad Autónoma de Madrid, y con el astrofísico e investigador del Instituto de Astrofísica de Canarias Antonio Mampaso (en la foto de Carmen del Puerto (Museo de la Ciencia y el Cosmos de Tenerife). publicada en SINC (Servicio de Informaciones y Noticias Científicas), Antonio Mampaso y Alejandro Amenábar delante de uno de los instrumentos usados en la película Ágora que representa las órbitas planetarias según el modelo de Ptolomeo y las constelaciones zodiacales. Una entrevista al astrofísico sobre su papel en la película puede verse en http://www.plataformasinc.esindex.php/esl/Entrevistas/El-mejor-legado-de-Hipatia-es-su-propia-historia). Y sinceramente a ambos hay que felicitarles tanto por el contenido como por la forma de exponerlo que aparece en pantalla. Conocemos poco de la verdadera Hipatia, pero sí sabemos que era una magnífica comunicadora y maestra. De remotos lugares del Imperio Romano se acercaban a aprender de sus enseñanzas. Las primeras escenas de la película nos van a tratar de situar, alternativamente, tanto al personaje como al contexto histórico y social en el que se desenvuelve. Por eso lo primero es una lección, en este caso acerca de la gravedad, con un sencillo pañuelo como instrumento didáctico: ¿Por qué no se caen las estrellas? ¿Por qué sólo giran de Oeste a Esta? ¿Por qué en cambio un pañuelo cae al suelo en la Tierra? Un procedimiento pedagógico que ha perdurado a través del tiempo; planteamiento de los problemas a resolver y torbellino de ideas. Los alumnos proponen soluciones. El maestro rebate y analiza sus respuestas. Finalmente explica sus conocimientos, aunque en este caso eran más las preguntas que lo que podía demostrar. Una maestra alejada de los preceptos dogmáticos de una clase magistral incuestionable. Como debe ser (y aún diecisiete siglos después no es). Sus únicas respuestas, las del sistema ptolemaico. “La perfección del círculo. Las estrellas no caerán gracias a que están en un círculo. En la Tierra  caen por ser el centro (del Universo) que los atrae y sujeta al suelo”. En otra escena breve, Hipatia realiza cálculos con su padre Teón (“… ¿16 partiendo de 227? Son 14”). En efecto 227/16 son 14 y resto 3. Sobre la mesa se vislumbra un círculo dividido en partes. Probablemente estén trabajando en las Tablas Manuales de Ptolomeo. A nuestros días han llegado no sólo a través del original sino también gracias a los dos Comentarios de Teón a dichas tablas, el primero sobre cómo se han calculado a partir del Almagesto y el segundo sobre cómo utilizar dichas tablas. En ellas se hacen cálculos aritméticos con las operaciones básicas, fracciones sexagesimales y hasta el cálculo de raíces cuadradas. El manuscrito más antiguo que se conserva data del siglo IX y es copia directa de una versión anterior  utilizada en Siria en el siglo V. Así pues, escena perfectamente plausible y bien documentada. El sistema ptolemaico vuelve a aparecer en el modelo que Davo, esclavo de Teón, ha construido y que provoca la admiración de su maestra (foto adjunta) que lo expone al día siguiente a sus discípulos en la siguiente lección. Aparecen representadas las cinco errantes conocidas (Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno). La Tierra no era incluida porque pensaban que no giraba, que estaba fija como el resto de estrellas. Sin embargo su movimiento y sobre todo las estaciones resultaban incompatibles con ese modelo. La explicación más aproximada podría ser que su movimiento fuera debido a la suma de dos círculos. Orestes, otro de los alumnos-discípulo de Hipatia, califica la explicación de caprichosa y sumamente complicada. Buscar una explicación más sencilla es el eje vertebrador de la parte científica de la película, el desvelo que realmente le obsesiona a Hipatia, y que llega en otro momento a cabrearla por ser incapaz de encontrar una explicación. Un poco más adelante, cuando el caos se empieza a adueñar de la ciudad, con constantes provocaciones, peleas y venganzas de las diferentes facciones más radicales de las diferentes culturas que conviven, los propios discípulos de Hipatia se encuentran divididos. En una de sus reuniones se produce un rifi-rafe entre Orestes y Sinesio. Es preciosa la forma en que Hipatia los aplaca con argumentos matemáticos: Hipatia: ¿Cuál es la primera regla de Euclides? Silesio: Si dos cosas son iguales a una tercera, todas son iguales entre sí. Hipatia: Bien.¿Y no sois ambos semejantes a mí? […] Quiero deciros esto a todos los que estais en esta habitación (Observamos  mediante un barrido de la cámara que hay cristianos, paganos, judíos, negros, esclavos) Es más lo que nos une que lo que nos separa. Y pase lo que pase en las calles, somos hermanos. Somos hermanos. Recordad que las peleas son para el vulgo y los esclavos” (Mal gesto de Davo, el esclavo de Teón). Como es de sobra conocido (aunque visto lo visto empiezo a dudarlo), Euclides concibió, ordenó y compiló todo el saber matemático en una gran obra de varios tomos, Los Elementos. Fue la primera vez en la Historia que se ordenó de un modo sistemático los conocimientos matemáticos, basándose en axionas, reglas y proposiciones o teoremas. Hipatia enuncia la primera de las reglas. Y tampoco es caprichosa la elección de esta obra porque a Hipatia y a su padre se debe uno de los ejemplares más antiguos de esta obra que ha llegado a nuestros días a través también de otro de sus Comentarios. Ese afán de la matemática por preservar lo máximo posible de la Biblioteca de Alejandría ante su inminente destrucción (hecho que no está probado que ocurriera en su época, pero que pudiera haber sido) no sabemos si la preocupaba de verdad, pero lo cierto es que gracias a ella disponemos de algunas de las obras clave de la matemática griega (otra es la Aritmética de Diofanto, de la que no sabríamos absolutamente nada sino es por sus Comentarios sobre ella).  De nuevo chapeau para los guionistas. Y llegamos a una de las escenas más logradas de la película a mi juicio. Probablemente no lo sea para otras personas para las que incluso pasará desapercibida pero a mí me ha emocionado quizá por recuerdos personales. Es de noche. Hipatia y sus discípulos están encerrados en la Biblioteca, sitiados por las enfurecidas masas. Se muestra a la mujer de espaldas produciéndose un contrapicado hacia el firmamento, de manera que la cámara queda a la altura de sus talones. Se acomoda posteriormente en una escalinata al frescor de la noche con sus discípulos y otros filósofos. Pensemos en una noche estrellada en el campo, con cielo despejado, alejados de la ciudad y sin luz alguna que contamine ni reverbere. Una de los espectáculos más hermosos de los que podamos disfrutar que nos une en el tiempo a cualquier otra persona que haya existido (y confiemos en poder agregar que existirá) Hipatia: ¿Y si hubiera una explicación más sencilla para las errantes? Alguien desde la oscuridad: La hay. Pero es tan absurda y tan antigua que nadie la considera. Se refiere a la versión heliocéntrica de Aristarco de Samos (s. III a. C.), que como señalamos anteriormente, no triunfó por la falta de cálculos y mediciones precisas, en definitiva, por un modelo matemático consistente. En ese momento se apela a la necesidad de preservar el saber para generaciones futuras (“Su obra se perdió (la de Aristarco) en el incendio de la primera Biblioteca. Nuestra Biblioteca es todo lo que queda del saber de los hombres”). Es una clara alusión a los siglos que hubieron de pasar hasta que Kepler y Copérnico redescubrieran aquellas teorías. Pero la barbarie casi siempre se sale con la suya y tenemos que redescubrir la rueda cada poco. Amenábar muestra cómo se destrozan los legajos y pergaminos por todas partes, dando una vuelta de 180 grados a la cámara para simbolizar cómo el mundo queda boca abajo. Más adelante nos mostrará el establo en que queda convertida. Mientras tanto, Hipatia empieza a cuestionarse el modelo en el que siempre creyó. A bordo de un barco, explica a Orestes un experimento con la ayuda de su nuevo ayudante Aspasio. Éste se ha subido a lo alto del mástil: “Cuando Aspasio arroje el saco, la nave estará avanzando. Por tanto el saco no caerá a los pies del mástil, sino un poco más atrás. Yo diría que, más o menos (retrocede unos pasos) por aquí”. Orestes no entiende a dónde quiere llegar (probablemente el espectador tampoco). El esclavo lo arroja y el resultado no es el esperado: “¡La prueba definitiva! El saco se comporta como si el barco estuviera quieto. ¡La Tierra, igual con el Sol!”.). Es decir, a pesar del movimiento, el saco se comporta igual que si estuvieran quietos. Experiencias como ésta provocan su replanteamiento de todo: Orestes hace un razonamiento a propósito de lo visto y ella es sincera:  “Se puede refutar lo que has dicho, pero ahora no sé cómo”. Necesita pensar, hacer cálculos, madurar las ideas. Necesita tiempo. Posteriormente, vemos el estudio de Hipatia, reducto en el que se ha visto obligada a trabajar, a dar sus lecciones, su pequeña biblioteca de Alejandría como ella misma la define. Allí aparece un cono de Apolunio en madera (en la imagen, detalle de las secciones cónicas; no obstante me dio la impresión, no podría asegurarlo, que el precioso objeto de diseño que se muestra, en el que al ir desmontando sus piezas aparecen todas estas secciones, no era un cono, sino un paraboloide) que utiliza para mostrar las Cónicas, preguntándose, ¿por qué convive el círculos con curvas tan impuras? Un tanto decepcionada de la política, aunque siempre comprometida, dedica su vida a su trabajo. “Si tan sólo lograra desentrañar un poco, con eso me iría a la tumba como una mujer feliz” Palabras sin duda proféticas, anticipo de lo que la espera y que Amenábar coloca al más puro estilo leaneano. Y llegamos al momento clave, el descubrimiento de la forma que rige el Universo (el director juega con la idea de que Hipatia descubriera el movimiento elíptico de los planetas pero que su trágica muerte impidió reflejar por escrito para la posteridad; sin embargo ella moriría feliz. No hay certeza alguna de ello, pero de Hipatia también nos ha llegado un estudio sobre las Cónicas, por lo que ¿por qué no pudiera haber sido así?) “¿Y si otra curva se oculta en los cielos? La pereza del círculo nos ha impedido ver más allá. Tengo que reconsiderarlo todo”. En un magnífico Arenario (ver imagen), otro hallazgo para este tipo de escenas en las que los realizadores siempre recurren a una pizarra, dibuja utilizando dos lampadarios como focos, una elipse, la curva que estaba buscando, la solución al problema, el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Su emoción sin duda se transmite perfectamente al espectador: “¡No es un círculo, es una elipse! El círculo es una elipse muy especial, cuyos focos se han confundido en uno solo”. La muerte de Hipatia El hecho más documentado sobre esta mujer es la forma en que fue asesinada. Fuentes de diferentes credos e ideologías de su tiempo (Sócrates Escolástico, Damascio, Filostorgio, Juan Malalas, Juan de Nikiû, y Sinesio de Cirene) la describen, coinciden en los detalles, y lamentan. Dicen que fue apeada brutalmente del carro en el que se desplazaba, y lapidada en la misma calle para posteriormente ser despedazada, arrastrada por la ciudad y quemados sus restos. Demasiado para mostrarlo en una película que pretende ser para casi todos los públicos. La resolución que decide el director es piadosa aunque no exenta de dramatismo. Davo trata de advertirla de que van a buscarla pero no llega a tiempo. Los monjes parabolanos la llevan hasta su altar a empujones (¡que pensamientos tendríamos nosotros sabiendo a dónde nos llevan y lo que nos espera!), la desnudan profiriéndola constantes insultos vejatorios (una indefensa mujer rodeada por fornidos “machotes”), y salen a la calle a buscar piedras (instantes de un dramatismo indescriptible). Davo se queda a custodiarla, pero en realidad lo que desea es abrazar y proteger por última vez a su amada maestra, pasando por su mente todos los felices momentos de su existencia a su lado, y en un acto de compasión, la asfixia (aunque parece que se desmaya) para evitarla el sufrimiento. La última visión de la mujer es una ventana elíptica que quiere reflejar al menos un hálito de felicidad. Las bestias la apedrean aún en el suelo y Davo, un inepto cobarde sin personalidad alguna, sale del lugar mientras la cámara realiza un picado sobre el edificio. Lo vemos salir a través de un respiradero con forma elíptica que nos viene a decir que la verdad prevalece aún a pesar de cualquier acción humana por radical que sea. La ciencia por encima y a pesar de cualquier creencia. Fundamentalismos y Críticas Reaccionarias Se ha dicho por activa y por pasiva que la película es un canto a la razón, a la convivencia, al peligro de los fundamentalismos, etc. Más que eso, es una atinada reflexión sobre la esencia del Ser Humano a lo largo de la Historia, de la que desde luego no podemos sentirnos nada orgullosos como seres inteligentes que nos creemos. Desde el inicio de los tiempos el Hombre ha mostrado (y lo sigue haciendo) su faceta más animal (y huelga decir la consabida frase de que es el único ser que mata y destruye sin necesidad, por puro placer o para satisfacer sus egoísmos) para conseguir sus fines: ambición, poder, dinero. Cualquier ideología busca ser la dominante. Y para lograrlo todo vale. Se critica al director argumentando que los personajes están poco definidos, que les falta alma. No lo entiendo. Es claro que Davo es un joven esclavo resentido de su condición que busca a toda costa liberar su rabia como sea y contra quien sea y encuentra en los radicales parabolanos el instrumento ideal. Le valdría cualquier otro grupo, pero éstos le convencen con su maquillaje  de buenas intenciones con obras de caridad. Está hecho tal lío que va dando bandazos de unos a otros. En esencia un joven sin personalidad al que “le va la marcha”. Orestes es un trepa de mucho cuidado que cambia de chaqueta según las circunstancias y que cree dominar la situación aunque al final su ineptitud le estalla en los morros. Sinesio es un aparente buen hombre ávido de medrar como Orestes pero que no se le ve venir y que le conviene defender sus ideales de los que está autoconvencido. Los parabolanos lo tienen muy claro desde principio al fin (en el fondo son los más íntegros junto con Hipatia, porque no engañan a nadie, aunque eso sí, manipulan y tergiversan lo que haga falta: el fin justifica los medios). La mujer apenas aparece en un mundo tan misógino. Son puros objetos utilitarios: trabajar, tener hijos y dar placer. Es a lo que reduce San Pablo su papel en las lecturas que Cirilo exhorta: 1ª epístola a los Corintios 14,34 y a Timoteo 2,12. Y la plebe, masculina en su mayoría, apelelada por los discursos y los “milagritos” (homenaje a los sorianos de San Pedro Manrique y a otros pueblos pisadores de luminarias) con ganas de hacer el cafre de vez en cuando, pero sin saber a quien obedecen. Y un grupo de “raritos” que buscan tres pies al gato: “Filosofía. Justo lo que necesitamos ahora”. ¿Personajes poco definidos? Para nada. Otro punto que se crítica es el ritmo de la película, que Amenábar ha disfrutado tanto de los medios a su disposición que ha empezado a hacer travellings y movimientos de cámara a tontas y a locas. Desde mi perspectiva cinematográfica, reconozco que algunas escenas podrían haberse resuelto de otra manera (pero esto es como el fútbol; cada aficionado tiene su propio sistema y alineación). Sin embargo creo que el ritmo, vertiginoso durante la primera hora, es perfecto. Las escenas de las lecciones de Hipatia están en su justo punto, tranquilas pero sin cansar, mientras que lo que sucede en las calles transmite perfectamente el clima de inquietud y revueltas, haciendo creíble al espectador lo que sucede. La violencia es explícita pero no repulsiva. Sin embargo, después del saqueo de la Biblioteca, con Orestes de Prefecto, sí baja un poco la intensidad. Son los momentos en que se están cociendo las intrigas políticas, utilizando la religión y las Escrituras como excusa para una nueva masacre. Pero es breve, enseguida los avances de la investigación de Hipatia y la resolución final vuelven a meternos de lleno en situación. Respecto a las polémicas religiosas creadas de antemano, honestamente no creo que nadie tenga que achacar nada a la película, si acaso a la Historia, o a los protagonistas de la misma. Salvo que alguien se sienta identificado con las actuaciones de los parabolanos en la actualidad que, sinceramente, siglos después parece poco inteligente. Todas las ideologías han tenido sus luces y sus sombras. Todas, sin excepción, y su mayor o menor grandeza consiste en reconocerlas. Grupos radicales ha habido, los hay y los habrá siempre. Zelotas, parabolanos, la secta de los asesinos de Alamut, los jemeres rojos, las SS, los ultras, los yijadistas, la lista de “comandos ejecutores” es larga a lo largo de la Historia.  Pero al final, como muestra la película, no somos más que insignificantes insectos a los que Dios (en caso de que exista) observa desde algún lugar del Universo, seguramente lamentando que no hayan evolucionado tanto como los otros seres de su creación, y que lo de a su imagen y semejanza se quedara sólo en la apariencia exterior. Por cierto, eso lo hemos entendido a la primera, no había que reiterarlo tanto, ni colocar tan explícitamente hormigas y ovejas, amigo Alejandro. Conclusión Técnicamente la película es excelente, y culturalmente muy rica. Quizá algún actor no esté a la altura, pero el conjunto lo diluye. Como se ha dicho anteriormente, es de agradecer que nuestro cine produzca películas no sólo de evasión, y que haya cineastas que se preocupen por la cultura y su difusión, cuidando cada pequeño detalle (en la foto Amenazar, aleccionando a Aspasio).  Totalmente recomendable para comentar en nuestras aulas, a pesar de la SGAE. Sólo una última cosa (corríjanme si estoy equivocado): el Ágora es griega no romana. Su homólogo romano es el Foro, pero comprendo que el título sería menos atractivo.

Miércoles, 14 de Octubre de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

312. 125. Matemáticas como evasión del horror

Hace tiempo que no revisamos algún título clásico, preocupados siempre por las últimas novedades. Pero no está de más revisar de vez en cuando los títulos míticos. Seguramente nos encontraremos más de una sorpresa (a veces positiva, a veces negativa). Lo que desde luego encontraremos es un cine más actual y menos acomodaticio de lo que creemos, y paradójicamente, de lo que nos proponen hoy. Ficha Técnica: Título: Sin novedad en el frente. Título Original: All Quiet on the Western Front. Nacionalidad: EE. UU., 1930. Dirección: Lewis Milestone. Guion: George Abbott, Maxwell Anderson y Del Andrews, sobre la novela de Erich Maria Remarque. Fotografía: Arthur Edeson y Karl Freund (éste no acreditado), en B/N. Montaje: Edgar Adams (la versión sonora), Milton Carruth (la versión muda). Música: Sam Perry y Heinz Roemheld, de la versión muda; Lou Handman, en la versión sonora. No figura ninguno en los títulos de crédito. Producción: Carl Laemmle Jr. Duración:  136 min. Galardones: 2 Oscars@ de Hollywood (mejor película y mejor dirección), y otras dos nominaciones (mejor fotografía y mejor guion), entre otros muchos premios internacionales. Ficha artística: Intérpretes: Louis Wolheim (Kat), Lew Ayres (Paul), John Wray (Himmelstoss), Arnold Lucy (Kantorek), Ben Alexander (Kemmerich), Scott Kolk (Leer), Owen Davis Jr. (Peter), Walter Rogers (Behn), William Bakewell (Albert), Russell Gleason (Mueller), Richard Alexander (Westhus), Harold Goodwin (Detering), Slim Summerville (Tjaden), G. Pat Collins (Bertinck), Beryl Mercer (Madre de Paul), Edmund Breese (Herr Meyer). Hablar de Sin novedad en el frente resulta a día de hoy absolutamente ocioso, siendo como es, una de las mejores (o al menos, influyentes) obras de la historia de la literatura. Aparte de que, si no se ha dicho ya todo, por ahí anda. Cualquiera puede encontrar cientos de páginas, estudios, críticas, comentarios, etc. Desde este punto de vista, simplemente, recomendar su lectura, y/o su visionado al que no la haya visto, y especialmente a la gente más joven (los alérgicos al blanco y negro tienen versiones a colorines, que indicaré más abajo, aunque ninguna de la calidad cinematográfica de ésta). Centrémonos por tanto en la, muy breve, escena relacionada con las matemáticas de un modo explícito (porque cualquier película contiene aspectos matemáticos, aunque no se nombren, dado que las matemáticas están detrás de cualquier actividad humana diaria). Hacia la hora de metraje de la versión sonora comercializada en DVD, encontramos a uno de los jóvenes protagonistas, Mueller, matando el tiempo en un descanso antes de volver a partir a las trincheras. El jefe del grupo, Stanislaus Katczinsky, mayor que ellos y verdadero maestro en las artes de la guerra y la vida (en el peor sentido posible), al que se dirigen abreviadamente como Kat, se encuentra limpiando sus armas, preparándolas para un nuevo combate. Tiene lugar entonces la siguiente conversación: Mueller: ¡Lo tengo Kat! Kat: ¿Eh? Mueller: Escucha. La suma de una serie aritmética es S = a + L z2. Interesante, ¿no? Kat: ¿Para qué quieres aprender esas cosas? Si te cruzas con una bala, ¡se acabó todo! Mueller: Me resulta divertido. Independientemente del tema habitual de que determinadas cosas no sirven para nada en determinados contextos (un nuevo ejemplo a sumar a la indiferencia a la ciencia en el cine), ¿a qué demonios se refiere con lo de “suma de una serie aritmética”? Antes de hablar de suma, ¿Qué es una “serie aritmética”? El concepto de serie es claro: una suma infinita. El problema está claramente en el adjetivo “aritmética”. Lo más “razonable”, dada la expresión posterior, es que se refiera a la suma de los términos de una progresión aritmética. Recordemos que una progresión aritmética es una sucesión de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera es una constante, usualmente llamada diferencia, d, de la progresión. Por ejemplo, 2, 4, 6, 8, 10, …. es una progresión aritmética de diferencia d = 2. En nuestro actual 3º ESO se explican las progresiones (aritméticas y geométricas), y se “deducen” (parece que cada vez menos, dado que cuando recogemos a los alumnos en la universidad, no recuerdan prácticamente ni fórmulas ni demostraciones de prácticamente nada de las progresiones; y conste que no es culpa del profesorado, sino más bien de cómo están organizados los cursos: en bachillerato se incide mucho en los contenidos de las pruebas de acceso a la universidad, muchos, ya que la ESO se ha relajado escandalosamente para “mitigar” el fracaso escolar y que todo parezca “guay del Paraguay”, cosa que tampoco se logra, y bastante tienen los alumnos y profesores con tratar de memorizar, porque no hacen otra cosa, los extensos contenidos de esos dos cursos. Pues eso que las progresiones quedan muy lejos, y ya apechugarán con ellas los que vayan por ciencias, que son los “listos”, teóricamente. En fin, corramos un “estúpido” velo, que nos desviamos del tema) el término general, y la suma de n términos consecutivos de la progresión. A esta suma, hay autores que llaman precisamente serie aritmética, como se hace en la película, aunque bajo mi punto de vista, como dije anteriormente, sería más correcto utilizar otra expresión ya que la palabra serie va inequívocamente asociada a una suma infinita. En general, si denotamos la progresión por an, esa suma viene dada por la expresión , siendo a1 el primer término, y an el último. ¿Por qué entonces la expresión citada en la película? ¿Tiene algún sentido? La expresión anterior puede rescribirse en términos únicamente del primer término (lo llamaremos a), y de n y d, escribiendo los términos del siguiente modo: a, a + d, a + 2d, a + 3d, ……, a + nd En este caso, S queda (la cuenta es sencilla) S = (n + 1) (2a + nd) / 2 Multiplicando los factores del numerador, se tiene S = ½ (2an + 2 a + n2d + nd) = a + ½ (n2d + n (d + 2 a)) Observemos que el segundo sumando del segundo miembro es un polinomio de grado dos en n. Ese sumando (que tiene n2, n y constantes) siempre se puede, haciendo operaciones, expresar como el cuadrado de un binomio (engorroso parece por las constantes, pero por poder, se puede), y cambiar lo que está bajo el cuadrado, de variable, por ejemplo, poner z, como se dice en la película (L sería otra constante). Si algún lector tiene ganas y la paciencia suficiente que nos mande la expresión final (o que demuestre que no es posible, porque a mí se me haya pasado algún detalle). El caso es que, aparentemente, la citada expresión, no es habitual, pero no es imposible (a priori como digo). La cita en la obra original La costumbre en los que llevamos tiempo dedicándonos a esto de reseñar citas en películas, u otros lugares, es acudir inmediatamente a la fuente original, caso de haberla y localizarla, para comprobar cómo de fiel han sido guionistas y responsables de la película (que es lo que se debe hacer, digo yo). En este caso no es complicado encontrar el libro original de Erich Maria Remarque. Situando con unas pinceladas al escritor, digamos que su verdadero nombre era Erich Paul Remark (Osnabrück, Alemania, 22 de junio de 1898 - Locarno, Suiza, 25 de septiembre de 1970), que participó en la I Guerra Mundial lo que le sirvió para describir de manera implacable todas las miserias, sufrimientos y desgracias vividas en el frente. Se le considera uno de los más destacados enemigos del nazismo. En 1933, los nazis destruyeron obras suyas durante las quemas públicas de libros que se llevaron a cabo en Alemania entre el 10 de mayo y el 21 de junio (¿recuerdan la película Fahrenheit 451, de François Truffaut, y la novela homónima de Ray Bradbury?). Su relación (indirecta) con el cine no acaba ahí, ya que Erich Maria Lamarque se desposó en segundas nupcias con la magnífica actriz (a mí me lo parece) Paulette Goddard, y más directamente, otras obras suyas fueron llevadas al cine: Tres camaradas (Three Comrades, Frank Borzage, EE. UU.,1937), Arco de Triunfo (Arch of Triumph, Lewis Milestone, EE. UU.,1946), El otro amor (The Other Love, André De Toth, EE. UU.,1947), Tiempo de amar, tiempo de morir (A Time to Love and a Time to Die, Douglas Sirk, EE. UU., 1954). También fue considerado (el escritor) en un primer momento para interpretar el personaje principal de Paul, que finalmente recayó en Lew Ayres. Pues bien, en la novela original no hay tal referencia a las progresiones aritméticas. El párrafo que describe el entretenimiento del soldado Mueller es el siguiente “Era ya mediodía cuando los primeros de nosotros salimos a gatas de los barracones. Media hora más tarde cada uno había cogido ya su plato y nos reunimos ante la olla del rancho, que despedía un olor fuerte y apetitoso. Naturalmente, los más hambrientos se pusieron delante: el que tiene las ideas más claras de todos nosotros, Albert Kropp, y que por eso no ha llegado a más que a cabo segundo; Müller V, que todavía lleva consigo los libros de texto y sueña con notas de exámenes (incluso en medio de un bombardeo se dedica a empollar teoremas de física); Leer, que lleva barba y siente una gran predilección por las mujeres de los prostíbulos para oficiales; jura que, por orden de la Comandancia, están obligadas a llevar ropa interior de seda y a bañarse en caso de clientes que sobrepasen el grado de capitán; el cuarto soy yo, Paul Bäumer. Los cuatro tenemos diecinueve años, los cuatro hemos salido de la misma clase para ir a la guerra”. Así pues, han sustituido para la película las leyes físicas (en física no se suele usar el término “teoremas”), por ese resultado de matemáticas. De verdad, si no han leído la novela, háganlo. No les defraudará en absoluto (la lectura es muy ágil y directa). O vean la película (la participación del maestro en el aula, al inicio, es realmente espeluznante. El cine ha transmitido muchas veces la imagen del maestro progresista, preocupado por los alumnos, protector incluso, pero no tanto la de un posible manipulador al servicio del régimen, como en este caso). Un breve apunte sobre la versión en inglés. En la lectura de la fórmula S = a + L z2, el actor dice “… zeta over two”. Literalmente eso es “zeta dividido por dos”, que matemáticamente no puede ser. Por eso es destacable en este caso el doblaje que ha puesto al cuadrado, que tiene mucho más sentido, como se ha indicado más arriba. No son muchos los ejemplos en los que el doblaje “arregla” fallos (más bien lo usual es lo contrario). Recordemos que la película original es muda, y que su sonorización se ha realizado por la Biblioteca del Congreso Norteamericano en colaboración con Turner Classics en septiembre de 2011 e incluye pizarras con subtítulos entre escenas. La versión que podemos encontrar en España en DVD y Blu-Ray es totalmente sonora, sin dichas pizarras, y se ha editado en 2014. Hay muchísimas anécdotas sobre la película. Destaquemos dos: la película estuvo prohibida en muchos países (en Italia, por ejemplo, se estrenó en 1954; en Alemania por considerar que se mostraba a los soldados alemanes como unos cobardes, mientras que, en Polonia, porque les parecía que era de propaganda pro-alemana. Ironías de la vida), y el actor principal, Lew Ayres, tras su participación en la película, se hizo objetor de conciencia, y rechazó participar en la II Guerra Mundial. Como consecuencia, sus películas fueron retiradas de la exhibición en muchos estados norteamericanos. Esta es, sin duda, la película estadounidense más violenta de su tiempo. Esto se debe a que el Código de Producción no se aplicó estrictamente hasta 1934, y también porque Universal Pictures consideró que el tema era lo suficientemente importante como para permitir que se viera la violencia. La escena en la que un soldado agarra un alambre de púas y luego es volado por un proyectil de artillería, dejando solo sus manos agarrando el alambre de púas, fue relatada al director Lewis Milestone por un ex soldado alemán que trabajaba como figurante, que vio eso suceder durante un ataque francés a su posición durante la guerra. Milestone no dudó en utilizarlo en la película. Otras versiones Además de la versión clásica, existe una miniserie para televisión, dirigida en 1979 por Delbert Mann, de dos horas y diez minutos aproximadamente (a colorines), filmada en Checoslovaquia (una de las primeras co-producciones británico-americanas rodadas en un país del bloque comunista), e interpretada por Richard Thomas y un montón de secundarios de lujo, como Ernest Borgnine, Donald Pleasence, Ian Holm y Patricia Neal, entre otros. En ésta no he comprobado si aparece alguna referencia a las matemáticas (o a la física, en su defecto). Más deberes para los interesados. Alfonso Jesús Población Sáez

Miércoles, 08 de Noviembre de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

313. 5. (Septiembre 2007) Azulejos que ensinam (geometría)

¡Una grata sorpresa en Coimbra! Azulejos que ensinam (geometría) Exposición y catálogo. Biblioteca Geral da Universidade de Coimbra, Mayo-Septiembre, 2007. La renovación pedagógica puede seguir múltiples vías; la emprendida por los jesuitas portugueses a fines del XVII y hasta su expulsión en el XVIII quizás no sea la más efectiva pero es sin duda una de las más bellas: plasmar en azulejos los hitos de sus enseñanzas de las ciencias. Cierto enigma -solo parcialmente resuelto- envuelve a los diecinueve azulejos de contenido geométrico que se han expuesto en el verano de 2007 en la biblioteca de la Universidad de Coimbra (UC). Los azulejos están perfectamente datados después de que el profesor Antonio Leal Duarte de la facultad de Matemáticas de la UC identificara las figuras reproducidas como provenientes de la edición de Los Elementos realizada en el siglo XVII por el jesuita Andrea Tacquet. La expulsión de la orden por el marques de Pombal tuvo lugar en 1757. Lo que no se conoce con exactitud es si llegaron a colocarse todos y en qué lugar. Parece que la procedencia más probable sea el colegio de Coimbra, si bien la Compañía de Jesús tenía colegios universitarios en Lisboa, Coimbra y Évora. Los azulejos fueron en su gran mayoría adquiridos por el Museo Machado de Castro, pero sin conocer la procedencia original. A nuestros efectos lo que resulta delicioso es encontrarse reproducidas las ilustraciones de 14 proposiciones de Euclides y 5 de Arquímedes. Además en cada una se indica la figura y la proposición correspondiente. Como muestra de interés de la exposición reproducimos aquí dos azulejos. En el primero es fácil reconocer que nos explica como trazar la tangente a una circunferencia desde un punto exterior a ella. El segundo es la figura que sirve de apoyo a la demostración –basada en Arquímedes- de que la superficie de una esfera inscrita en un cono de sección equilátera esta en relación 4:9 con la superficie total del cono. Animamos a los colegas a visitar Coimbra antes del 28 de Septiembre de 2007, además el viajero encontrará una exposición anamórfica en el museo de Física y la siempre agradable (matemáticamente hablando) fachada de la facultad de Matemáticas, totalmente decorada con reproducciones de símbolos y teoremas matemáticos.

Sábado, 01 de Septiembre de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

314. 7. (Marzo 2009) Mi pentágono de la Belleza

0. Introducción Siempre aprendí que una persona es un animal racional, cualidad esta que nos distingue del resto de los seres vivos. Con el tiempo he comprendido que somos más animales emocionales que racionales ya que la mayoría de las decisiones las tomamos desde el corazón y no con el cerebro. Entonces, ¿qué será más importante: educar en la práctica de pensar bien o en el control de las reacciones? Desde la enseñanza de las ciencias y tecnologías se persigue, entre otros, el objetivo de aprender a razonar en situaciones problemáticas; desde las humanidades, el desarrollo de la sensibilidad y equilibrio emocional. Viene de antiguo la exigencia de educar en el trivium y cuadrivium, las 7 artes liberales, para llegar a ser “personas libres”. Mas, en un mundo globalizado, no basta con que la ciudadanía tenga capacidad para utilizar las tecnologías y asumir los avances científicos sino que debe desarrollar valores que caractericen a esa nueva sociedad que estamos forjando entre todos. Paz, democracia y solidaridad deben ser tres puntos obligados para definir este nuevo plano social sin olvidar otros logrados con anterioridad como la libertad, la igualdad y la fraternidad. El desarrollo de la inteligencia emocional, y no sólo la racional, es pieza clave en esa nueva educación necesaria para lograr que otro mundo sea posible. Ahora, con rabiosa actualidad, surgen voces que exigen una mejor formación ciudadana en Matemáticas que garantice el desarrollo científico y tecnológico de un estado, o conjunto de ellos, a fin de evitar la dependencia tecnológica de otros y alcanzar el equilibrio socioeconómico y político al que aspiramos. Está bien, pero llegados a este punto, conviene recordar las palabras de Jacobi en una carta a Legendre en julio de 1830: La finalidad primordial de las Matemáticas no consiste en su utilidad pública y en la explicación de los fenómenos naturales… sino en rendir honor al espíritu humano. Las líneas que siguen están concebidas para mostrar cómo han servido las Matemáticas para crear una belleza que sin ellas hubiera sido imposible conseguir y cómo me explico, a mí mismo, la que puedo percibir a mi alrededor. Un murciano ilustre, Ibn cArabí1, dijo: Dios es Bello y Ama la Belleza, el Altísimo es el Artesano del mundo (…). Todo el mundo alcanza el culmen de la belleza, nada en el mundo es feo. Dios reunió en él toda la hermosura y la belleza. No cabe nada más bello, más maravilloso, ni más hermoso que el mundo. Cómo “recrear” la belleza del mundo ha sido una tarea incesante que se plasma en la Historia del Arte. Para lograrlo, han sido necesarios múltiples análisis, hechos en contextos muy diversos y variados, que han dado lugar a modelos teóricos que han permitido reflejarla en casos singulares. La búsqueda de la belleza ha sido una constante en todas las culturas aparecidas en nuestro mundo. Es posible que esto se deba al hecho de que el ser humano ha sido siempre consciente de que nada feo ha sobrevivido largo tiempo, o quizá porque hemos aprendido que la belleza no es una característica permanente en quien la posee, quizá tal vez, porque, al ser una sensación, un concepto, una percepción, nuestro subconsciente nos incita a que no se escape, a que quede inmortalizada de algún modo y que no se pierda, de forma que podamos recrearnos en ella de forma continuada. Aceptando que la belleza es una percepción, son nuestros sentidos quienes se encargan de recibir información que se convierte en conocimiento asociando formas, clasificándolas con infinitos criterios (color, forma, tamaño, olor, suavidad,…), rectificando imperfecciones y creando algoritmos de reducción a formas básicas, sencillas, que facilitan la comprensión. Cuando se recorre este camino de forma consciente, sentimos el goce de haber descubierto algo, de entenderlo, de haberlo interiorizado y ser capaces de reproducirlo cuando lo consideremos oportuno y que nos habilita para búsquedas o interpretaciones más complejas y, por tanto, más placenteras. Es curioso pensar que desde la búsqueda de la belleza podemos encontrar nuestra dimensión más humana cuando somos capaces de dominar eficazmente la complejidad del mundo ordenando su pluralidad y eliminando el caos. Como sostenía Pitágoras, todo es armonía y número, y como al eliminar el caos surge la armonía, quizá por eso soy matemático, porque he buscado esta forma de pensar que nos caracteriza para la analizar lo que más me interesa: la belleza. Una forma de pensar que es, en si misma, bella y que produce los mayores goces jamás imaginados cuando encuentra las solución de un problema. Por eso me interesa la belleza, porque está unida indisociablemente a lo verdadero y a lo bueno. Y para gozarla plenamente, he elaborado mi algoritmo para analizar la belleza que intuyo en determinadas situaciones. Se basa en la búsqueda de la simplicidad, la composición, la armonía, el orden y la comunicación que provoca. Estos serán los vértices de un pentágono, forma geométrica unida a la belleza de modo profundo, que vengo a llamar mi pentágono de la belleza y que ejemplificaré apoyándome en obras de arte universales. 1. Simplicidad. El lenguaje de la arquitectura islámica La complejidad aparente de una situación no es sino el fruto de la multiplicidad que debe reducirse a la unidad. La principal característica de la belleza debe ser la simplicidad. Un ejemplo paradigmático de un estilo decorativo tremendamente cargado en su decoración lo tenemos sin duda alguna en el Arte Islámico. Mucho se ha escrito acerca del horror vacui –o miedo al vacío- de los artistas musulmanes que les hace redecorar lo ya decorado. Sin embargo, podría estar más próxima a la realidad la interpretación de sus procedimientos decorativos basándolos en una recurrente reproducción de la belleza del mundo, obra de Allah, en sus tres dimensiones -el Universo, la Naturaleza y el ser humano- que al estar representadas sobre superficies planas, sólo es posible hacerlo desde la superposición de formas. FOTO DE PARED CON DECORACIÓN VEGETAL, EPIGRÁFICA Y GEOMÉTRICA. Esta es la razón por la cual surgen, aparentemente entremezcladas, las tres decoraciones de la arquitectura alhambreña: la geométrica, como representación del orden universal, la vegetal, como testimonio de la vida natural, y la epigráfica, como referencia directa al ser humano, único ser vivo sobre de este mundo capaz de hablar y poseer sentimientos. Así, la tierra y el cielo aparecen en forma de cuadrados y círculos, respectivamente; los árboles, con sus tallos, hojas y frutos, surgen en jardines planos, formando la decoración con atauriques, de yeso, plantados sobre las paredes; y, por último, las palabras, esencia y característica de los seres inteligentes, nacen construidas también desde la Geometría, alabando al Creador. Por tanto, nada más lejos de la realidad que la existencia de miedo alguno en los artistas musulmanes; solamente se trata de un enorme ejercicio de abstracción que acerca a sus creadores hacia la Divinidad. Así pues, la multiplicidad se reduce a 3 situaciones independientes, más sencillas, que hay que estudiar por separado. El siguiente reto para los tracistas musulmanes consiste en cómo conseguir que las cosas sean bellas porque Allah está presente en todas ellas. Sin embargo, en el Corán está escrito: No Me verás (Corán, 7:143).  Además, también está escrito: No hay nada que se Le asemeje (Corán, 42:11). No hay, pues, ninguna Forma de Allah, de ahí que el recurso a la imaginación, a un pensamiento abstracto, conduzca a los artistas musulmanes a crear un mundo de formas simbólicas, estéticamente proporcionadas y armoniosas, con las que se crea un lenguaje geométrico, simple. De lo anterior se deduce fácilmente que esta belleza serena de la arquitectura islámica descansa sobre la Geometría. Plantilla para el mosaico de “los aviones” Si se simetriza la poligonal formada por los segmentos dibujados dentro del triángulo sombreado de forma que el centro del cuadrado sea un centro de rotación de orden 4 y, después, los lados de la trama sean ejes de reflexión, se dibuja el diseño básico del mosaico de la Alhambra de Granada: Mosaico de “los aviones” Todo el diseño se reduce a dos segmentos en una poligonal asimétrica. ¿Cabe mayor simplicidad? 2. Composición. Las meninas El ojo humano es capaz de detectar 3 dimensiones, por lo que la técnica islámica de superponer conceptos no puede aplicarse si deseo reproducir la belleza de un paisaje o escena. Además, cada elemento debe ocupar “su sitio”. Así nace la necesidad de encontrar una determinada composición que explique lo que no se ve, lo que no es evidente y, sin embargo, está haciendo de soporte de la obra. En Arte se conoce como composición geométrica. Desde el punto de vista técnico, Las meninas de Velázquez marcan el cenit de la pintura basada en el uso de la perspectiva y en la composición geométrica. Esta última se basa en la creación de espacios según rectángulos áureos, en los que se inscriben tanto personajes como elementos decorativos de la habitación, y en la iluminación de la escena central creando una atmósfera con un aire inigualable que se “mueve” siguiendo una espiral, también áurea o de Durero, que se crea mediante el método de los rectángulos recíprocos internos a partir de un rectángulo áureo 2. Salvador Dalí, al ser preguntado en una entrevista acerca de qué salvaría del Prado en caso de incendio, dijo: Salvaría Las meninas de Velázquez. Concretamente, el aire que hay en ellas que es el mejor aire jamás creado en un cuadro. Espiral de la luz Obsérvese cómo la luz que entra por las ventanas laterales de la habitación sigue el camino marcado por la espiral hasta llegar, prácticamente, a la paleta del pintor. Otro guiño más que Velázquez nos hace, ya que toda la luz del cuadro sale realmente de dicha paleta. ¡Qué importancia han dado los artistas siempre a la luz! Antes de continuar, conviene hacer una breve reflexión. Al estar presente el pintor en la escena es fácil imaginar que utilizó un gran espejo para verla reflejada en él mientras la dibujaba. Pero no resulta tan fácil si se piensa que los espejos invierten la orientación del espacio (recuérdese cómo figura escrito el nombre AMBULANCIA sobre tales vehículos) y para que tal cosa no se produzca hemos de trabajar sobre la imagen reflejada en un segundo espejo para que se deshaga la inversión. Esto nos lleva a pensar que Velázquez trabajó mirando la escena en un doble espejo colocado en el suelo como un libro abierto por unas “páginas” que son espejos; en el de la derecha se refleja la imagen directa de la escena y esta, a su vez, se refleja en el de la izquierda. Las meninas de Velázquez están consideradas como el cuadro en el cual se aplican de forma magistral todas las teorías sobre el uso de la perspectiva descubiertas hasta el s.XVII. Nadie ha conseguido mejorar la representación del espacio físico tridimensional en un cuadro 3. De ahí, que Las meninas de Velázquez marcasen un antes y un después en la Pintura al aplicar, no sólo la perspectiva lineal, sino también la menguante, la del color, la aérea y la alternancia luz-penumbra. Perspectiva lineal La perspectiva lineal. En el siglo XV se produjo el descubrimiento y la aplicación de la perspectiva artificialis, cuya base matemática y geométrica, es decir, científica, elevó a los artistas a una categoría superior. La pintura pasará de arte manual -artesanal- a arte liberal. Se creará así un espacio pictórico, homogéneo, continuo e infinito, en el que, según Nicolás de Cusa, cualquier punto puede tomarse como centro. Generalmente se utiliza una perspectiva central en la que los ejes vertical y horizontal -línea del horizonte-, en su intersección, coinciden con el punto de fuga. Es la perspectiva lineal. Los artistas del Renacimiento reconocieron que la perspectiva, que era una técnica importante para crear la ilusión de la tridimensionalidad en sus pinturas, no estaba completamente desarrollada con la geometría de Euclides. El punto evidente de partida es que mientras las líneas paralelas nunca se cortan en la geometría de Euclides, en la perspectiva lo hacen en el punto de fuga. La perspectiva ha sido descrita como una geometría visual mientras que la de Euclides es una geometría táctil. Si bien Filippo Brunelleschi (1377-1446) es quién tiene reconocida la introducción de la Perspectiva en la pintura, la formalización matemática la hizo en el siglo XVI el francés Girard Desargues. Este siglo fue el de los descubrimientos y exploraciones. Según avanzaban las naciones europeas en su dominio del mundo, así se hacían de necesarios los mapas de todo tipo. El trabajo de transferir la información geográfica del globo esférico a un trozo de papel plano es también un problema de Geometría Proyectiva, razón esta por la cual cobró gran protagonismo y fue desarrollada con interés. Esta rama de las Matemáticas, conocida como Geometría Proyectiva, fue a su vez olvidada durante dos siglos para ser después redescubierta y constituir un campo importante de las Matemáticas puras o, avanzando en sus aplicaciones, desarrollar las técnicas propias de la Descriptiva. En aquel momento se produjo la escisión que llega hasta nuestros días y que hace que los procedimientos propios de la Descriptiva sean sólo algoritmos para la resolución gráfica de problemas geométricos. La siguiente anécdota me permite poner de manifiesto lo inconveniente de tal escisión. Recuerdo que un colega estaba estancado en su investigación para acabar un capítulo de su tesis doctoral y decidió solicitar mi colaboración. Tenía que obtener la verdadera medida de unas longitudes en la facha de un edificio a partir de una fotografía. El problema, matemáticamente hablando, era doble. Primero, había que determinar el punto exacto desde el cual estaba hecha la foto y, segundo, trazar desde él una radiación de rectas que se cortarían con las rectas horizontales de la fachada del edificio de la foto en los puntos que determinaban los extremos de los segmentos cuya longitud se deseaba calcular. El primer paso se reducía a emplear el método de los lugares geométricos para determinar el punto desde el que se hizo la fotografía. El segundo consistía en saber que el único invariante de la Geometría Proyectiva es la razón doble de cuatro puntos alineados. En resumen, de nada sirve conocer procedimientos algorítmicos sin la base necesaria para conocer sus porqués. Sin embargo, lo más lamentable es que los matemáticos están, en general, muy lejos de las técnicas propias de la Descriptiva y los técnicos, también en general, aún más lejos de las Matemáticas. Perspectiva de color Perspectiva de color. En este caso, cuanto más lejos aparece representado un objeto, más tenues son sus colores. Existe también en el mundo real un desvaimiento de los tonos al aumentar la lejanía. El color para el primer plano es el blanco de la luz de la ventana, el segundo plano presenta blancos amarillentos en los vestidos y rostros de las meninas y la infanta, el tercer plano está determinado por los tres personajes que hay tras ellas y los colores se oscurecen considerablemente tanto en rostros como en vestidos y el cuarto, y último, plano lo da la pared del fondo con tonos casi negros con los que se produce la penumbra. Perspectiva menguante Perspectiva menguante. A medida que aumenta la distancia, disminuye la nitidez, los contornos se van haciendo borrosos y desdibujados, al igual que ocurre en la realidad. Alternancia luz-penumbra Alternancia de luz y penumbra. La parte inferior de la escena aparece iluminada, supuestamente, por la luz del día que entra por la ventana; la superior, está oscura, en penumbra. De este modo se enfatizan los personajes del primer plano y se da profundidad al espacio de la habitación. 3. La armonía. La plaza del cardenal Belluga En el Timeo de Platón se dice: Lo que produce la belleza es la armonía de las partes del cuerpo entre sí y con el alma; porque la naturaleza ha dispuesto el cuerpo como un instrumento que debe estar en armonía con todas las necesidades de la vida. Al mismo tiempo es preciso que, mediante un debido acuerdo, el alma posea virtudes análogas a las cualidades del cuerpo, y que en ella la templanza corresponda a la salud, la prudencia a la sensibilidad, el valor al vigor y a la fuerza y la justicia a la belleza. La naturaleza nos suministra gérmenes de estas cualidades, pero es preciso desenvolverlas y perfeccionarlas mediante la cultura; las del cuerpo con la gimnasia y la medicina, las del alma con la educación y la filosofía. Quizá sea esta la razón por la que desde tiempo inmemorial hasta nuestros días se hayan buscado fórmulas con las que medir la belleza del cuerpo humano basadas en las proporciones entre sus partes. EE.UU.: loco por medir la belleza, un científico inventó el "coeficiente de atracción física". Así titulaba el diario Clarín.com, en su edición del lunes 17 de noviembre de 2003, una columna en la que se decía que el Dr. Devendra Singh 4, de la Universidad de Texas, había definido el coeficiente de atracción física mediante el cociente de dividir el perímetro de la cintura entre el de la cadera. ¿Cuál era el ideal? 0.7, que obedece a una cintura de 70 cm y una cadera de 90 cm. No cabe la menor duda de que la muñeca Barbi ha creado un estilo en las féminas estadounidenses.  Las “Barbis” tendrían un coeficiente medio de atracción física igual a 0.54, por lo que para este profesor universitario se trata de personas enfermas. Como no es asumible que la mayoría de las adolescentes tuviesen escaso atractivo, otros científicos dijeron que el mencionado coeficiente no es útil ya que, para ellos, la belleza tiene otro parámetro: la simetría. Charles Feng, de la Universidad de Stanford, tras estudiar a un grupo de bebés que manifestaban predilección por personas cuya simetría bilateral se manifestaba con mayor claridad que en las restantes, trasladó su análisis a personas adultas y manifestó que generalmente, los occidentales se inclinan por las mujeres con mandíbulas no demasiado pronunciadas, narices pequeñas, ojos grandes y pómulos salientes, todos rasgos asemejables a los de los bebés. De hecho, según Feng, las revistas “Playboy” y “Hustler” “eligen a las mujeres que ilustran sus páginas a partir de estos criterios, muy vinculados a la más pura 'intuición masculina'. Para consagrar a una nueva conejita de Playboy, Bill Farley, portavoz de la revista, dice que seleccionamos a una mujer proporcionada y perseguimos la simetría. Según datos recientes, en EE.UU. las operaciones más habituales (liposucción, implantes mamarios y retoques de nariz) han sido remplazadas por las inyecciones de botox. Lo que hasta hace un tiempo sólo estaba al alcance de las estrellas de Hollywood, se ha convertido en algo que muchas mujeres pueden pagar, señaló Alan Matarasso, un prestigioso cirujano plásticos estadounidense. En la sociedad, la gente atractiva tiende a adaptarse mejor al ambiente y, por lo tanto, ser más popular. A este fenómeno se lo conoce como “efecto aureola”, debido a que la perfección se asocia a los ángeles, escribió Feng. ¿Será por eso que los estadounidenses gastan más en belleza que en educación? La situación, además de machista, es ridícula, por lo que me animé a buscar otros estudios sobre medidas de la belleza en la sociedad europea. Sorprendentemente, en marzo del año pasado, otra investigación relacionada con la belleza había genera polémica. El País publicaba el día 19 de marzo de 2007: Los más guapos del mundo. Naomi Campbell y Christian Bale son la pareja más atractiva, según un estudio de la Universidad de Gdansk sobre el índice de belleza. La noticia decía: ¿Se creen ustedes atractivos? A lo mejor deberían preguntárselo al polaco Leszek Pokrywka. Este profesor del Departamento de Histología de la Universidad de Gandsk y su equipo acaban de publicar un estudio acerca de un supuesto índice universal de belleza. Más de cinco siglos después de que Leonardo da Vinci dibujara el Homo Cuadratus de proporciones perfectas (también conocido como Hombre de Vitrubio), esta investigación pretende definir un nuevo canon estético de superbelleza. El atractivo del cuerpo de la mujer es uno de los factores más importantes en materia de selección, pero ¿cuáles son las características físicas que permiten evaluar que el atractivo es fundamental para la psicología evolutiva, dijo Leszek Pokrywka, director del estudio. Tras su investigación, dio a conocer un "índice universal de belleza" para hombres y mujeres, basado en las medidas de la cintura en relación con la altura, el perímetro del busto, el índice de masa corporal, el índice de grasa acumulada en las piernas, la altura, la circunferencia de las pantorrillas en relación con la altura, y hasta el índice de grasa en el omóplato (!). Así fue como encontré al profesor Leszeck Pokrywka, autor de un nuevo índice de belleza mediante el desarrollo de una fórmula matemática. Pensé, menos mal, tal índice es aplicable a mujeres y hombres, por lo que parece que este colega entiende y, al menos, ¡no es machista! El estudio realizado por los investigadores de la Universidad de Gdansk se basaba en los datos físicos de las 24 finalistas en un concurso nacional de belleza, junto con los de otras 115 estudiantes universitarias. They said that while weight, height and hip ratio were normally used to assess female attractiveness, these might not throw up crucial differences between the super-attractive and others. Dijeron que, si bien el peso, altura y cadera se utilizan normalmente para evaluar el atractivo femenino, en este caso, estas medidas no presentan diferencias cruciales entre las mujeres de ambos grupos, por lo que había que referirse a otras. For men, scientists said height, BMI, waist-to-hip and waist-to-chest ratios were key measures. Para los hombres, los científicos eligieron la estatura, IMC, las proporciones cintura-cadera y cintura-pecho como medidas principales. Super-attractive women had a thigh-to-height ratio some 12 per cent lower than other women, giving them a more slender look. La mujer superatractiva tenía un muslo cuya relación con la altura era, aproximadamente, el 12% menor que el de otras mujeres, lo que le da un aspecto más delgado. Skinfold tests on the calf showed 15mm of fat compared with 18mm in other women. La grasa acumulada bajo la piel en las piernas de las mises era de un espesor de 15mm, mientras que en el resto de la muestra era de 18 mm.The study also showed that the average super-attractive height was 5ft 9in, with the waist 76 per cent of the size of the chest, and 70 per cent of the size of the hips. El estudio también mostró que el promedio de mujer superatractiva medía 175 cm, la cintura era el 76% del tamaño del pecho y el 70% del tamaño de las caderas. Models built like Naomi Campbell came closest to the ideal. La modelo Naomi Campbell fue la mujer que se acercaba más al ideal: Índice de masa corporal: 20.85 El perímetro de pecho es el 49.3% de su altura Proporción pecho/cintura: 1.4 Proporción pierna/cuerpo: 1.4 El perímetro de la pantorrilla es el 19.5% de su altura Perímetro del muslo es el 29.7% de la altura Altura: 175cm Resumiendo, en una mujer “10” la cintura es 2/3 de la cadera y 3/4 del perímetro de pecho. Debe tener las piernas largas y los muslos y las pantorrillas delgadas. Pueden hacer cálculos y comprobar que la Campbell debe tener 86.3 cm de pecho, 61.6 cm de cintura, 102 cm de piernas, 73 cm de cuerpo, 52 cm de muslo, 34 cm de pantorrilla,… El hombre perfecto resultó ser el actor británico Christian Bale: Índice de masa corporal: 26,5 Proporción cintura/pecho: 0,6 Proporción cuerpo/piernas: 1 Altura: 188cm What it all means: En resumen, aunque es evidente que para los hombres no se tomaron tantas molestias como para las mujeres, se puede afirmar que The physically ideal man is more than 6ft tall, with legs the same length as his upper body.el hombre “10” mide más de 180 de altura, sus piernas tienen la misma longitud que la parte superior del cuerpo, razón por la queThe leg-to-body ratio of 1 makes him appear more muscular, which is why the ideal BMI for men is higher than for women. parece más musculoso que la mujer, de ahí que el IMC ideal para los hombres sea mayor que el de las mujeres. Hagan cuantos cálculos deseen. Quede claro que, para hombre perfecto, sólo hemos de visitar el Museo del Prado y echarle una mirada al Crucificado de Velázquez. El Crucificado, Velázquez El 24 de marzo de este año, es decir, hace sólo unos días, se ha publicado que un estudiante de  la Universidad de Tel Aviv ha dado respuesta a la vieja pregunta Espejito, espejito, ¿hay alguien más bella que yo? La madrastra de Blancanieves ya no tendría que preguntarle a su espejo mágico quién es la más bella de las mujeres porque ya se puede obtener la respuesta al consultar un programa de computación. El logro es, fundamentalmente, de Amit Kagian 5. Este estudiante diseñó un insólito programa capaz de determinar qué mujeres son bellas a partir de una fotografía de su rostro. Nuestro software permite al ordenador realizar tareas complejas de juicios estéticos, explicó su creador. En el caso del estudio en Israel, Kagian partió de la idea de que los juicios estéticos están unidos a sentimientos, a consideraciones abstractas, pero ahora hemos conseguido que un ordenador los haga, lo que constituye un avance sustancial en el desarrollo de la inteligencia artificial.  Además, el modelo matemático utilizado se basa en la estética del número de oro y en la simetría axial del rostro humano. ¡Cómo no! Si se coge un metro y uno se mide desde la cabeza a los pies y divide el resultado entre la longitud del ombligo al suelo, el cociente se aproximadamente 1,6. La medida de la longitud total del brazo, entre la distancia desde la punta de los dedos al codo, también es 1,6. Pero es que el del lado mayor de una tarjeta de crédito entre el menor, también es 1,6; el de la altura total del Partenón y la distancia hasta el final de las columnas es igual a 1,6. Esa división que determina tantas y tantas formas naturales y artificiales es lo que se conoce como la divina proporción y el fruto de esos cocientes es Φ, un misterioso número que puede encontrarse, incluso, en el crecimiento de los conejos o en el diseño industrial contemporáneo. El descubrimiento de Φ es fruto del trabajo de diferentes matemáticos a lo largo de muchos siglos. Aunque Pitágoras y Platón habían puesto las bases, fue Euclides el que habló de la teoría de las proporciones en su obra Los Elementos. En dicho libro formula por primera vez la definición de sección áurea, es decir, que Euclides describe cómo se divide un segmento en media y extrema razón: el cociente entre la longitud total de un segmento y su lado mayor  es igual al cociente entre el lado mayor y el menor, siempre que se de la proporción áurea. Si el segmento total es el cuerpo humano, la división entre la distancia de los pies al ombligo es igual al cociente entre esta segunda longitud y la medida de los pies a la rodilla. Y esas mismas proporciones se cumplen con en otras partes del cuerpo humano y en otros muchos seres vivos. Siempre que se utilice el mismo sistema de medida, esta regla se cumple para todas las escalas semejantes, desde obras arquitectónicas  hasta cualquier otro objeto creado por las personas. Nacen así obras artificiales a imagen y semejanza del género humano. Lo que subyace bajo la aplicación de la divina proporción en las obras humanas es el concepto de belleza.  Aquello que determina el crecimiento armonioso de una persona, también hace que guste o no una obra de arte, un edificio o un objeto de diseño. El concepto de belleza es realmente cultural. Hay una belleza explícita y luego otra implícita. Aquello que veo en mi entorno, lo que se parezca a mí, me gustará –aunque sea de forma subconsciente–. Lo demás lo encontraremos raro. Además de su aplicación en el arte clásico, con obras tan emblemáticas como El Partenón, la proporción áurea se ha seguido aplicando hasta la actualidad. En el siglo XX, Le Corbusier inventó un modulor basándose en estas teorías que ha tenido un peso trascendental en todo el diseño y, sobre todo, en la arquitectura singular del Siglo XX. En una entrevista, le preguntaron: P- ¿Sigue pensando lo mismo que escribió sobre el Modulor? R- Es una de mis definiciones. Luca Paccioli escribió durante el Renacimiento la "Divina Proporzione", inspirada en cosas del pasado. El número de oro, Pitágoras. Yo aporté algo nuevo al número de oro gracias al sistema métrico de la Revolución. Antes eran el pie y la pulgada, una escala humana. Y con el métrico perdimos eso ya que despersonalizó los instrumentos de medida. El metro, el centímetro, el decímetro no son de la escala, el modulor sí. Tomé las proporciones desde el plexo solar hasta la cabeza y el brazo y encontré la sección de oro allí. Y creé un sistema de dimensionamiento que responde a las dimensiones del cuerpo humano. Lo descubrí sin darme cuenta. No soy pretencioso, pero es importante. Y abre a la industria enormes posibilidades. Es un útil moderno. Es sorprendente ver que una gama de medida, un piano afinado, a la escala humana es una innovación sensacional. El modulor, Le Corbusier El peso de la proporción áurea en las obras creadas por el hombre se entiende mejor si se comprenden bien todas las aplicaciones geométricas que presenta. Los segmentos que pueden dividirse en media y extrema razón de manera indefinida, permiten establecer elementos importantes a la hora de hacer la composición geométrica de un edificio de forma que no se rompa la armonía entre las partes y el todo. Este modo de proceder es una constante a lo largo de los tiempos en la Arquitectura, por lo que podríamos escoger de entre un sin fin de realizaciones arquitectónicas para ponerlo de manifiesto. Sin embargo, he elegido el caso de la plaza del cardenal Belluga, en Murcia, para hacerlo. En dicho espacio urbano, dominado por la impresionante fachada de la catedral, se ha buscado a lo largo de los años la convivencia respetuosa entre estilos arquitectónicos tan diversos como el renacentista, el barroco, el neoclásico o la rabiosa arquitectura minimalista actual. Si se aplica la división áurea al segmento que determina la altura del cuerpo principal de la fachada que hay en la plaza del cardenal Belluga, quedan determinadas las partes que la definen, incluyendo los de la torre-campanario, símbolo indiscutible de la ciudad. Aunque la torre se comenzó a construir en el año 1521, con estilo renacentista,  y se finalizó en 1973, con remates neoclásicos, la estética áurea se ha impuesto en las diferentes épocas. El método de construcción de rectángulos recíprocos internos, dicho anteriormente, ha sido usado para acabar de determinar todas las partes presentes en la fachada. En el año 1991 se iniciaron las obras de ampliación del Ayuntamiento de Murcia bajo el proyecto y dirección de Rafael Moneo. Como no podía ser de otra forma, esta nueva “parte” de la plaza se debía al resto de la arquitectura que hay en ella. Fundamentalmente, a la catedral, alrededor de la cual se ha creado la estética del entorno. Alzados de la catedral y de la ampliación del Ayuntamiento. Plaza del cardenal Belluga. Murcia 4. Orden. Doña María  Agustina de Sarmiento Ya he dicho antes que el desarrollo de la Geometría Proyectiva se vio favorecido durante el siglo XVI por la necesidad de realizar mapas y cartas geográficas con las que poder llevar a acabo viajes y descubrimientos de nuevas partes del mundo. La solución adoptada con más frecuencia consistió en proyectar la esfera sobre un cilindro que toca a la esfera en su ecuador; es conocida como la proyección de Mercator. Desde entonces ya ha llovido mucho. Las fotografías que suministran los satélites dejan atrás a todas las técnicas empleadas hasta nuestros días. Pero si volvemos la mirada al siglo pasado, cabe preguntarse acerca del fundamento teórico en el que se apoyó la elaboración de un atlas que aún hoy usamos. Imagine una esfera, similar al globo terrestre, a la que se pegan pequeños papelitos de forma que quede totalmente recubierta por ellos. Sobre cada papelito se proyecta, ortogonalmente de dentro afuera, el trozo de esfera sobre el cual está pegado. Cada papelito formará una “carta” que, haciendo un libro con ellas, formarán un “atlas”. La formalización de estas ideas es parte de la llamada Geometría Diferencial, una geometría propia del siglo XX, en la que los “papelitos” son planos tangentes en puntos de cartas locales de la esfera, y que estudia localmente curvas y superficies 6: El problema de construir mapas planos de la superficie de la tierra fue uno de los que dio origen a la geometría diferencial, que se puede describir a grandes rasgos como la investigación de las propiedades de curvas y superficies en el entorno de un punto. El término “geometría diferencial” fue usado así por primera vez por Luigi Bianchi (1856 – 1928) en 1894, pues se trata de un marco teórico más general en el cual se integran las geometrías no euclidianas y más que eso: todas las geometrías. La geometría ya no trata de puntos o rectas del espacio, sino de lo que se llama variedades. El punto de partida puede decirse que era el trabajo realizado por Gauss en la construcción de mapas y la llamada Geodesia, que apoyaría un nuevo enfoque sobre la naturaleza del espacio. La Geometría Diferencial trata de las propiedades de las curvas y superficies que varían de un punto a otro, y están sujetas a variaciones (de punto en punto) donde tiene sentido la utilización de las técnicas del Cálculo. Gauss, en su Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas, ofreció la nueva idea que usaría Riemann: una superficie se podía ver como un espacio en sí mismo. En su investigación, Riemann concluyó que, para estudiar el espacio, debía hacerse localmente y no como un todo: el espacio se debía analizar por pedazos. Una variedad diferencial es uno de esos pedazos a estudio. Constituye, de esta forma, la Geometría Diferencial un elemento revolucionario para la concepción del espacio, más aún que las restantes geometrías, dado que éstas mantenían la imagen de un espacio real intocable en el cual se encontraban las figuras, cuyas propiedades “reales” tenían que desvelarse matemáticamente bien con unos métodos sintéticos puros, bien con unos medios de coordenadas no intrínsecas. El cubismo. Por todo lo visto anteriormente, Las meninas de Velázquez están asociadas al concepto clásico del espacio –habitación en la cual se está desarrollando la escena- en el que se encuentran las figuras –los personajes del cuadro-. ¿Cabe pensar en unas meninas desde el nuevo concepto del espacio que da la Geometría Diferencial? La respuesta es afirmativa: Sí. Red de triángulos para definir “un espacio”. Cuadro de la serie de Las meninas de Picasso. Pablo Ruiz Picasso recrea el espacio “a trozos” de Las meninas. El espacio no sólo tiene tres dimensiones que hay que representar fielmente en el lienzo. Se estudia localmente, de ahí la evidente triangulación de este cuadro que forma parte de la serie aludida al comienzo. Si en el cuadro de Velázquez se hace desaparecer un personaje o un elemento decorativo de la habitación, el espacio no se verá modificado, sólo lo hará la escena; si, por el contrario, se elimina un trozo de esta versión de Picasso, el espacio hay que reorganizarlo completamente de nuevo. Es una nueva concepción del espacio como una red de redes en cuyos vértices se encuentran los puntos que definen a cada una de ellas y que se eligen siguiendo un mismo criterio. Por otro lado, como ya ha quedado de manifiesto, Velázquez utiliza todo el conocimiento disponible en su época sobre diferentes perspectivas para que su cuadro fuese perfectamente visto por cualquier persona que lo observe a la distancia adecuada (perpendicularmente a su plano, delante de él, justo en el medio y a una distancia igual a su anchura). A Picasso se le ocurrió cómo se vería el cuadro desde dentro del cuadro; es decir, cómo lo verían los personajes que forman parte de él. ¡Genial!, ¿verdad? Claro, cada uno vería “su trozo”, como si fuese uno de los papelitos a los que me refería antes sobre los que se proyectaba la esfera “localmente” (es decir, por entornos de puntos) que después se “pegarían” juntos para hacer el atlas. Concretamente, de doña María Agustina de Sarmiento verían sus compañeros y compañeras de cuadro los siguientes elementos que, junto al punto de vista externo, son suficientes para representar completamente al personaje 7 (recuérdese que todos los papelitos pegados deben representar la tierra entera): Doña María Agustina de Sarmiento vista por 6 ojos. a) Bandeja, desde arriba y búcaro –vistos por doña María Agustina Sarmiento–, b) palma de la mano –vista desde la posición de Velázquez-, c) contorno de cabeza y pelo –visto por la Velasco y los guardadamas-, d) ojo izquierdo –visto por Nieto Velázquez-, e) ojo derecho y lazo en lado derecho de su cabeza –vistos por cualquier espectador del cuadro- f) y garganta –vista por el mastín, desde abajo-. Pegados los trozos convenientemente, queda: Doña María Agustina de Sarmiento. Picasso, 1957. ¡Qué bien entendió este pintor malagueño la geometría propia de su tiempo! ¿Cómo, si no es que estaba investigando sobre un nuevo lenguaje pictórico, puede entenderse tal dedicación a esta serie? Seis planos de coordenadas, seis proyecciones sobre ellos y no sólo tres como en la Geometría Euclídea, son los propios para representar el espacio de cuatro dimensiones: ¡eso es el cubismo! Esto responde completamente a la pregunta que hacía al comienzo de este epígrafe. No me cansaré de llamar genio entre los genios a ese insigne pintor andaluz, sin lugar a dudas el pintor español más influyente del siglo pasado. 5. Comunicación. La Alhambra, la plaza del cardenal Belluga, Velázquez y Picasso Desde mi formación sé que las Matemáticas juegan un papel importante a la hora de facilitar la comunicación entre personas, aunque sus culturas estén distantes aún en el tiempo. El uso de símbolos, con significado colectivo y universal, es una característica de las Matemáticas que tienen desde el s. IX en el Álgebra el lenguaje que utilizan todas las ciencias. El Arte, en general, se apoya en la reproducción de ciertos códigos con los que cada artista nos hace llegar su mensaje, sin tiempo ni lugar, utilizando como medio de comunicación su obra. Además, ya se ha dicho antes, la creación artística exige el dominio de determinadas técnicas y normas compositivas que, en ocasiones, han ido unidas al conocimiento matemático de la época. El hecho de darme cuenta de que una obra de arte “habla” a quien sabe interrogarla, ha creado en mí la práctica de intentar acercarme a quien la creó estableciendo una “conversación” que gira a su alrededor. Desde los símbolos que veo en ella y su composición estructural, busco las claves que han hecho que sea auténtica, bella y tenga valor actual, características obligadas que ha de tener una producción artística para que sea considerada obra de arte universal. De esta forma puedo profundizar en ellas, ver más allá de lo que puede ser evidente y descubrir toda su belleza para, después, compartirla con los demás ofreciendo un punto de vista, ni mejor ni peor que el de otras personas, que es el mío propio. El lenguaje de los geómetras del Islám Observando los diferentes Nombres de Allah que aparecen en el Corán, los sabios del Islam han señalado la preeminencia de dos tipos de Nombres: Nombres de Majestad y Nombres de Belleza. Los de Majestad son mayoritarios: al-Malik (el Rey), al-‘Azîz (el Poderoso), al-Ÿabbâr (el Dominador), al-Mutakabbir (el Altivo), al-Quddús (el Insondable), al-Qahhâr (el Subyugador), al-‘Alî (el Altísimo), al-Kabir (el Grande), al-Ÿalil (el Majestuoso), etc. Como Nombres de Belleza, señalar al-Rahmân (el Misericordioso o Matricial), al-Rahîm (el Compasivo o Matriciante), al-Halîm (el Manso), as-Salam (la Paz) y al-Wadûd (el Cariñoso), al-Bari (el Innovador), entre otros. Ibn cArabí, citado anteriormente, atribuye una expansión de la creación divina ligada directamente a lo que hoy calificaríamos de creatividad artística e intelectual: «En cuanto al Nombre al-Bari, de él se produce la expansión [divina] hacia los geómetras inteligentes (al-adkiya’ al-muhandisin), hacia los descubridores (ashab al-istinbatat), hacia los inventores de las artes (al-mujtari cun al-sana’i) y hacia aquellos que realizan figuras extraordinarias (al-askal al-gariba). Todos ellos se inspiran a partir de este Nombre, que se expande hacia los que componen bellas formas (al-musawwirin fi husn al-sura) en la balanza 8». Así, “quienes realizan bellas formas”, es decir, geómetras, tracistas, artesanos, arquitectos, ingenieros, artistas plásticos, en general, “creadores de formas insólitas”, actúan reproduciendo el modelo divino, con la diferencia de que sus creaciones no llegan a cobrar vida pero con ellas podrá sentirse interior, profunda e intensamente, la Belleza de Allah. El lenguaje común a todos ellos es el geométrico, razón por la cual la decoración geométrica es parte insustituible del arte islámico. Vuestro Dios es un Dios Uno. No hay más dios que Él. (Corán, 2:163). De todo lo anterior surge una estética del Uno y lo múltiple. La decoración geométrica permite crear un lenguaje simbólico basado en la existencia de “un” diseño básico elemental, que no se puede reducir a otro más sencillo, que será “multiplicado” hasta el infinito bien proyectándolo desde un punto central, extendiéndolo siguiendo una dirección constante o dos independientes. Esta es la base de las rosáceas, frisos y mosaicos periódicos que decoran la arquitectura de La Alhambra. La luz, el color y el brillo como elementos intrínsecamente unidos a ella mediante los alicatados, son manifestaciones continuas de la presencia de Allah. El lenguaje de Moneo La ampliación del Ayuntamiento de Murcia, que hiciera Rafael Moneo, se encuentra en la plaza más importante de la ciudad, la del cardenal Belluga. El proyecto del nuevo edificio tenía que resolver el problema de su coexistencia, principalmente, con la gran fachada barroca de la catedral y con el palacio del cardenal Belluga.. Hay que decir, en primer lugar, que es un proyecto de fachada basada en un plano vertical capaz de cerrar el espacio abierto de la plaza, devolverle el sentido de contención y clausura que tenía y recuperar el carácter celebratorio del barroco de este espacio incorporando al poder civil como espectador privilegiado al espacio urbano de mayor entidad de la ciudad, aclara Moneo 9, ya que el edificio carece de puertas a la plaza. Este plano pétreo se concibió como un retablo abstracto, llevando hasta sus últimos extremos el manejo en clave contemporánea de recursos arquitectónicos tradicionales. Moneo dice al respecto: La fachada-retablo no quiere ni puede competir con los órdenes clásicos y se organiza a modo de partitura musical, numérica, aceptando el sistema de niveles horizontales de los forjados. Sin mostrar simetrías, ofrece como elemento clave el hueco del balcón al que se asoma la galería, dialogando con la planta noble del palacio del cardenal Belluga. No podía ser de otro modo. Los lenguajes de Velázquez y de Picasso Hace ya algún tiempo mantuve una larga conversación con don Diego de Velázquez y Silva y Pablo Ruiz Picasso, simultáneamente. Tuvo lugar en Madrid, el día 23 de Junio de 2006. Eran las 10.40 horas de la mañana cuando llegué a estar entre “dos meninas”. Por un momento me sentí infante ya que a mi izquierda estaban Las meninas que permanentemente se exhiben en el Museo del Prado, y, a la derecha, Las meninas que ocasionalmente se encontraban también allí, enfrentadas a las primeras, procedentes del Museo Picasso de Barcelona. Había ido a visitar la exposición que, con motivo de los 25 años con el Guernica, se organizó en los museos madrileños del Prado y Reina Sofía: Picasso, tradición y vanguardia. En aquel momento tenía enfrentadas formas precisas de un lado y, del otro, otras que no lo eran (algunas incluso estaban reinventadas); a mi izquierda había una sinfonía de colores perfectamente orquestada en contraste con blancos y negros o grises azulados de mi derecha; una luz lateral y otra al fondo, cinco del mismo lado más, también, la del fondo; un lienzo vertical y otro horizontal;… Comenzaron a resonar y, a la vez, a apelotonarse muchas preguntas en mi cabeza, provocadas sin duda por mis rápidas y desordenadas miradas hacia ambos lados en donde se encontraban los cuadros. Nada más parecía existir a mi alrededor. Ya estaba inmerso en la búsqueda de las claves que tanto Velázquez como Picasso habían plasmado en sus obras. ¿Qué estaban diciéndome ambos pintores? Tras el desasosiego inicial (¡siempre sucede igual!) viene la calma y la reflexión serena. Es entonces cuando comienzo a elaborar, ordenadamente, conjeturas. Durante la visita al Prado gocé hasta el punto de emocionarme, como para que se humedeciesen mis ojos en más de una ocasión. Pude ver bastantes aspectos y realizar un sin fin comparaciones, también de anotaciones que me permitieron seguir pensando de vuelta a casa. Velázquez y Picasso me hablaron sobre todo lo que sigue. El lenguaje de Velázquez Diego de Velázquez, con su barroquismo, muestra diferentes cuadros dentro de un mismo cuadro. Es el caso de La familia real, nombre inicial de Las meninas, a pesar de que faltan en la escena el príncipe Baltasar Carlos (fallecido con anterioridad a la realización del cuadro) y la infanta María Teresa. Posible situación de los personajes durante las sesiones de elaboración de Las meninas. La habitación en la que se representa la escena forma parte de los que fueron aposentos del príncipe Baltasar Carlos. Fuera, y de espaldas, se encuentra la infanta María Teresa, razón por la que no se refleja en ningún espejo. Ya, dentro de ella, también de espaldas, podemos ver a los reyes. El pintor barroco nos narra diferentes historias ligadas a personajes, unos de la Mitología (como Minerva y Aracne o Apolo y Marsias, en sendos cuadros colgados en la pared del fondo)y otros de la familia real (como Felipe IV, su esposa doña Mariana de Austria y la infanta Margarita, hija de ambos) junto a su corte: las dos meninas, doña María Agustina de Sarmiento y doña Isabel de Velasco, entretenedores de la infanta, como la enana María Bárbola y Nicolasito Pertusato (que no era ningún niño, a pesar de su apariencia), las personas encargadas de su vigilancia, Mercedes de Ulloa y Diego Ruiz de Azcona, y el aposentador de la reina Nieto Velázquez. Personajes de Las meninas Así mismo, se dibuja a sí mismo en la escena reivindicando la faceta intelectual de su trabajo, considerado hasta el momento como meramente artesanal, lo que le daba carácter caballeresco y no de artesano, y lo hizo sin tener el atrevimiento de figurar junto a los reyes, razón por la cual los hace aparecer reflejados en el espejo de la pared del fondo. Velázquez se encuentra pintando un cuadro. Hay quien sostiene que se trataba, recursiva y barrocamente, de las mismas Meninas. Pero también hay quienes sostienen que se trata de un lienzo sin trazo alguno, cuan tabula rasa, en alusión a la mente de la infanta Margarita que, al igual que el cuadro, hay que desarrollar de forma armoniosa desde la educación en los clásicos (de ahí las escenas mitológicas antes dichas de los cuadros que hay en la habitación). Por último, debo señalar que la escena central refleja una costumbre de la época como es la bucarofagia. Consistía en comer un barro rojo que provocaba la eliminación de glóbulos rojos en la sangre y daba a la piel el tono blanquecino que la moda del momento imponía. Además, servía como anticonceptivo y corrector de desarreglos hormonales. Lope de Vega lo dice en “El acero de Madrid”: Niña de color quebrado/o tienes amores/o comes barro. Ese es el motivo central del cuadro: doña Agustina de Sarmiento entrega un búcaro a la infanta Margarita, no para que beba agua sino para que se coma el barro. El lenguaje de Picasso En 1881 nacía en Málaga Pablo Ruiz Picasso. Todo un referente del vanguardismo artístico del siglo pasado y, sin lugar a duda, el pintor español más influyente de dicho siglo. No voy a entrar en las diferentes etapas de su pintura y analizar los lenguajes que empleó en los períodos azul y rosa, el cubismo, la recuperación del orden clásico en los años 20, su relación con el movimiento surrealista, los difíciles años entre la Guerra Civil española y la II Guerra Mundial hasta las fértiles últimas décadas de su producción. Sólo voy a referirme a la serie que realizó de Las meninas cuando contaba con 76 años de edad, era multimillonario y contaba con el reconocimiento internacional como artista. Entonces, ¿por qué hace 58 cuadros en dicha serie? Es evidente que nunca pretendió copiar a Velázquez. Así mismo, tampoco necesitaba dinero porque ya tenía más que suficiente. Entonces, ¿qué buscaba? Ya ha quedado claro que estaba investigando y que fruto de dicha investigación vio la luz el cubismo. Picasso se va a permitir además de la reinterpretación de la obra, la introducción de algunos elementos nuevos en el cuadro, como palomas, quizá porque cambia el taller palatino de la corte de los Habsburgo al taller-palomar de La Californie, villa de Cannes a donde se fue a vivir e instaló su taller. De las 58 telas, 45 se centraban genéricamente en Las meninas con tamaños que oscilan entre el metro y medio y los 20 centímetros. Y 19 de ellas eran variaciones de la infanta María Margarita, la mayoría cubistas, descomponiendo en planos el retrato de Velázquez. Conforme pasan los días, Las meninas de Picasso se llenan de la luz mediterránea de la Costa Azul. Picasso abre las ventanas de la derecha por que le da importancia capital a la luz. Agiganta la figura de Velázquez y elimina la riqueza cromática que convierte en tonalidades de grises fríos y azulados, blancos y tela sin pintar, como si se tratara de una fotografía en blanco y negro, lo que confiere a la obra del pintor malagueño un ambiente más dramático, como algunos historiadores y críticos interpretan que tuvo que ser la corte de Felipe IV. La Infanta Margarita, que diez años después llegaría a ser como resultado de su matrimonio Emperatriz de Austria, es el eje central de los dos cuadros. Velázquez la pintó vestida de seda amarilla, en proximidad cromática con su infantil y rubia melena, mientras Picasso, debido a la casi total ausencia de color en su reinterpretación de Las meninas, la viste de blanco, color de la inocencia, con lo que le confiere igualmente un protagonismo destacado sobre el entorno más oscuro que la rodea, a diferencia de las dos meninas que están a ambos lados, cuyos personajes Picasso caricaturiza con una cierta acritud haciendo una crítica sobre la enrarecida atmósfera palaciega, llena de intrigas y de falsedades. Los reyes son apenas dos brochazos sobre un supuesto espejo. El cuadro dedicado a la menina doña María Agustina de Sarmiento presenta una mano derecha enorme, desproporcionada, seguramente, para dar mayor énfasis a la entrega del pequeño búcaro a la Infanta Margarita María. A pesar de prescindir de la mayoría de detalles accesorios, curiosamente, ha mantenido el pequeño adorno de su cabello. María Bárbola es retratada por Picasso con una cierta ternura. Su cara grande y redonda como una luna llena, refleja sencillez y bondad. El color blanco de su rostro, así como la posición vertical de sus manos, como en un gesto de aplaudir o de ingenua alegría, ayuda a esta sensación. Velázquez, en cambio, con su extraordinaria facilidad para retratar a los más variados personajes, muestra sus facciones más realistas y grotescas, características del enanismo que padecía. Isabel de Velasco ocupa un espacio destacado dentro del lienzo. Pero Picasso apenas la esboza. Para él es básicamente un rostro. Un rostro extraño que tiene dos "lecturas" que se alternan entre sí. Tras examinarlo durante unos instantes,  se aprecian dos interpretaciones distintas. En una parece que tenga una gigantesca boca abierta, y en otra, se descubre un perfil, de color más claro, con una gran nariz y una diminuta boca cerrada. A los dos guardadamas, D. Diego Ruiz de Ancona y Dña. Marcela de Ulloa, Picasso los ha unificado y representado como dentro de una especie de cajones. Posiblemente por el paralelismo de sus funciones y por estar sometidos a un estricto cumplimiento de las normas palaciegas. Algunos críticos han interpretado que Picasso los "vistió" de ataúdes, como si se tratara de muertos en vida. Estos personajes ni siquiera se aproximan en su aspecto a los de la obra de Velázquez. Picasso hace una total recreación de ellos. Aquí, el artista malagueño dejó volar su imaginación y creó unos símbolos que, tal vez, representaran a unas determinadas funciones grises y anodinas. Pretendiendo reflejar más el espíritu de unos cargos sometidos al protocolo y al servilismo, que no a unas personas concretas. A Nicolás Pertusato, Picasso lo esboza (más que pintarlo) mediante un escueto dibujo de línea, con un tratamiento minimalista parecido al que emplean los niños para representar a las personas. Incluso está dibujado directamente sobre el lienzo blanco, como inacabado. Es la pura representación de la sencillez. Su silueta no corresponde en absoluto con la del personaje velazqueño, Picasso incluye el personaje, pero se lo reinventa a su gusto. Nieto Velásquez aparece nítidamente recortado sobre la escalera del fondo, igual que en el cuadro original de Velázquez, llevando el contraste hasta el extremo máximo al hacer la silueta totalmente negra sobre un recuadro absolutamente blanco.  El personaje aparece invertido en el cuadro de Picasso, tal vez por haber sido realizado de memoria. Como prolongación de su capa "un rayo de luz", que en el cuadro original servía para marcar planos de profundidad, se adentra en el cuatro por delante de una puerta en la que sus cuarterones han sido desalineados de forma anárquica, eliminando su simetría y orden. En la recreación de Picasso, la figura de Velázquez está engrandecida y desproporcionada respecto al resto de los personajes, ocupando una superficie muchísimo mayor y en tonos más claros, como si hubiera querido destacar la importancia del pintor, dentro de la obra. Mantiene sus elementos más simbólicos y recordados, como son: la melena, el bigote y la cruz de la Orden de Santiago. (Debe recordarse que dicha cruz fue agregada, sobre el pecho del artista, posteriormente a su fallecimiento). Obsérvese que tras el lienzo sobre el que pinta Velázquez, Picasso, en su versión, ha añadido un pequeño bastidor, como si quisiera recordar que es "un cuadro dentro de otro cuadro" tal como lo imaginó Velázquez al pintarlo. En la totalidad del lienzo, Picasso sustituyó los cálidos tonos sepias y marrones por una amplia gama de grises. Con ello el pintor malagueño se atreve a recrear, no sólo las figuras, sino hasta el color ambiental. Evidentemente, es la visión del genio republicano. 6. La mayor obra de Arte en honor a la inteligencia humana. Las Matemáticas La palabra Matemáticas, como tantas otras, fue acuñada en Grecia con el nombre maqhma, en trascripción latina mathema, que quiere expresar conocimiento. Utilizada en femenino, es una ciencia deductiva que estudia las propiedades de entes abstractos como los números, las figuras geométricas o los símbolos, y de las relaciones que entre ellos se establecen. Suele utilizarse en plural con el mismo significado que en singular. La palabra Matemático-ca se deriva de la griega maqhmatikoz. Utilizada como adjetivo, tiene el significado de exacto, preciso. También es utilizada para referirse a un elemento perteneciente o relativo a las Matemáticas. Como sustantivo, masculino o femenino, se usa para nombrar a la persona que profesa las Matemáticas o tiene en ellas especiales conocimientos. Esta concepción de las Matemáticas llegó hasta Galileo (1564-1642): ciencia necesaria para conocer el mundo. Descartes (1596-1650) pensaba que: Es la ciencia del orden y la medida. Albert Einstein, por su parte, planteó la siguiente paradoja: ¿Cómo es posible que las Matemáticas, un producto del pensamiento humano que es independiente de la experiencia, se ajuste tan excelentemente a los objetos de la realidad física? ¿Puede la razón humana sin experiencia pensar propiedades de las cosas reales? Pues, por lo que se ve, sí puede. El carácter abstracto de los objetos matemáticos y la teoría que se construye con ellos deductivamente la hacen análoga a un juego, un gran juego. La modelización matemática es la clave de ese juego. Según Sixto Ríos (1995, Modelización, p. 17, Alianza Editorial), es un proceso mental que conduce a convertir un problema opaco de la realidad en un problema clarificado matemático, de modo que resolviendo éste se consiga una solución o, al menos, un buen conocimiento del primero. Este proceso mental pone orden  y rigor en la composición final hasta el punto de haber logrado, con los teoremas de incomplitud de Gödel, llegar a decidir sobre la propia esencia de las Matemáticas: su autenticidad. El conocido matemático inglés G.H. Hardy, en su libro titulado Apología de un matemático, dice que: Un matemático, como un pintor o un poeta, es un fabricante de modelos. Si sus modelos son más duraderos que los de estos últimos, es debido a que están hechos con ideas. Los modelos del matemático, como los del pintor o los del poeta deben ser hermosos. La belleza es la primera prueba; no hay lugar permanente en el mundo para una Matemática fea. La modelización matemática se puede asociar a la composición, hecha a base de hermosas ideas, perfectamente armonizadas, necesaria para determinar el objeto final. El lenguaje matemático, escrito en códigos con significado universal, permite la comunicación entre seres inteligentes. Así, para comprobar si hay vida inteligente en otros lugares del universo, en las misiones espaciales Voyager se incluye en la caja negra, entre otras cosas, el enunciado de un teorema de Matemáticas. ¿Son realmente bellas las Matemáticas? En una ocasión, el catalán Noel Clarasó hizo esta pregunta en una de sus intervenciones públicas: ¿Sabe usted cuál es el ideal de belleza de un sapo? Él mismo dio la respuesta: ¡una sapa! En este mismo sentido, puede argumentarse que, para un matemático, naturalmente que son bellas. Algunos, incluso, persiguen la unión entre dos de los trascendentales filosóficos mediante las Matemáticas: Mi trabajo siempre ha tratado de unir verdad y belleza, y cuando he tenido que elegir entre una y otra normalmente he elegido la belleza. Así se expresaba Hermann Weyl, autor del clásico Simetría. Aunque la más rotunda en este sentido corresponde a Beltrand Rusell: Las matemáticas no solamente poseen la verdad, sino la suprema belleza, una belleza fría y austera, como la de la escultura, sin atractivo para la parte más débil de nuestra naturaleza... Russell encontró en las Matemáticas y en la ciencia, en general, un modelo de conocimiento, concluyendo la frase anterior así: «las matemáticas tienen la ventaja de enseñarle a uno a pensar sin pasión.» En mi condición de matemático, sin apasionamiento de ningún tipo, creo inclinarme por la belleza platónica. Como sostiene Alfred N. Whitehead, hay que admitir que el estudio de las Matemáticas es una locura divina del espíritu humano, un refugio ante la urgencia aguijoneante de los sucesos contingentes. ¿Acaso las Matemáticas no son bellas hasta el punto de poder enamorarse de ellas?, ¿qué cuerpo tienen?, ¿qué rostro?, ¿cuál es su estómago?, ¿y su corazón?, ¿cómo son sus dedos? Aunque hay obras de arte en las que se reflejan las diferentes musas, no busquemos por ahí. Las Matemáticas esencialmente son una forma de pensar, de preguntar y de hacernos preguntas, desde la que analizamos la complejidad de nuestro mundo y, también, de la propia herramienta que hemos inventado para abordarla: las Matemáticas. Aplique a cualquier situación propia de las Matemáticas, o a todas ellas en su conjunto, los cinco vértices del pentágono de la belleza y decida. Yo ya lo hice y siento pasión por ellas.   Notas: 1 En 1165 nació en Murcia Muhyi al-Din Ibn ‘Arabi, filósofo, teólogo, poeta y viajero, honra de la cultura andalusí. Su familia se trasladó a Sevilla cuando su ciudad natal fue tomada por el sultán Yacqub b Yusuf, el vencedor de Alarcos, de donde volvió tras años de exilio en 1198. Sus viajes le llevaron a los Santos Lugares del Islam, Asia Menor y Mesopotamia. Murió en Damasco en 1240. Ibn Arabí fue uno de los grandes pensadores de al-Andalus. 2 Para que un rectángulo sea considerado áureo o de oro, su proporción (cociente entre la longitud del lado mayor y la del menor) tiene que ser el número Φ = (1 + √5)/2. Actualmente, las cartillas de ahorro y tarjetas de crédito pueden ser consideradas como rectángulos áureos. En la imagen han sido colocadas de forma que se visualice la construcción de un rectángulo áureo, la tarjeta Maestro de Caja Granada, recíproco interno al también áureo materializado por la cartilla de ahorro que está debajo en la composición. 3 Vermeer van Delft, fue un pintor barroco como Velázquez. Aunque preocupado por escenas cotidianas de la sociedad holandesa en al que vivió, puede verse en ellas su preocupación por la ciencia. Un buen ejemplo de ello lo tenemos en el cuadro El geógrafo. Sólo se conocen cuatro de sus cuadros en los que representa a hombres, siendo este uno de ellos. El nombre se debe a que un cartulano, mapa del mundo conocido, adorna la pared, y el personaje además se inclina con un compás sobre un extenso pliego que podría ser un mapa, disponiéndose a medir lo que pueden ser unos planos. En realidad no se sabe cuál es el motivo de la escena, excepto que se trata de un científico ya que Vermeer nos presenta a su figura realizando una actividad concreta, de tal manera que no se presentan como figuras alegóricas, sino en el marco de lo cotidiano. Vermeer también recrea magistralmente el espacio tridimensional y es un gran maestro de la luz. Sin embargo, usó una cámara oscura para producir perspectivas realistas en sus pinturas. El geógrafo. Vermeer, 1668-69. 4 El primer índice para la medida estética de un objeto lo encontré en un libro del matemático George David Birkhoff (1884-1944), conocido por sus trabajos en ecuaciones diferenciales, y que también se interesó por la estética. En 1930 comenzó a estudiar arte, música y poesía en diversos países. En 1933 escribió el libro Aesthetic Measure, publicado por Harvard University Press. En él figura la siguiente fórmula para obtener la medida estética, o medida de la belleza, de un polígono: M=O/C; O es una medida del orden del polígono y C de su complejidad. He de confesar que la aplicación a casos concretos de esta fórmula es farragosa y de poca utilidad, razón por la que creo tuvo poco eco. 5 A machine learning predictor of facial attractiveness revealing human-like psychophysical biases. Amit Kagian, Gideon Dror, Tommer Leyvand, Isaac Meilijson, Daniel Cohen-Or and Eytan Ruppin. Vision Research, 48(2), January 2008, Pages 235-243. 6 Bell, E.T., Historia de las matemáticas, p. 365, Ed. Fondo Cultura Económica (2003). 7 Corrales Rodrigáñez, C., Un paseo por el siglo XX de la mano de Fermat y Picasso, Ed. U. Complutense (2001). 8 La “balanza” es un tecnicismo sufí que significa “el intelecto iluminado con luz santa”. 9 Arquitectura Viva, Número 75-76 , I-IV 1999, p. 34

Domingo, 01 de Marzo de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

315. 87. (Noviembre 2017) Medidas de complejidad rítmica (II)

1. Introducción Este es el segundo artículo de la serie sobre medidas de complejidad rítmica. En el primer artículo [Góm17] se presentaron las principales preguntas alrededor de la cuestión de cómo medir la complejidad rítmica y se pasó a revista a unas cuantas medidas (las medidas métricas, las medidas basadas en patrones y las medidas basadas en distancias). En la columna de hoy continuaremos con el examen de las medidas formales de complejidad; en particular, estudiaremos las basadas en la entropía de la información, las basadas en los histogramas de intervalos entre notas consecutivas y las llamadas de irregularidad matemática, que incluirán el índice de asimetría rítmica y la medida de contratiempo. En la siguiente columna estudiaremos cómo medir la bondad de todas esas medidas desde distintos puntos de vista, pero pondremos especial énfasis en la evaluación perceptual de las medidas. 2. Entropía de la información 2.1. La medida H de complejidad Las medidas de complejidad rítmica de esta sección se basan en la idea de la entropía definida por Shannon [Sha48]; la entropía también se llama incertidumbre de la información. Este es un concepto que aparece en varias disciplinas científicas tales como la termodinámica, la mecánica estadística y por supuesto la teoría de la información. La idea que subyace debajo de la definición es que las palabras más inesperadas son las que más información aportan. La idea de lo inesperado es formalizado a través de las distribuciones de probabilidad de modo que lo más inesperado tiene menos probabilidad. Supongamos que X e Y son dos variables aleatorias discretas con distribuciones de probabilidad p(x) y p(y), respectivamente. Se define la entropía H(X) por la expresión Se supone que 0 ⋅ log 2(0) = 0. Si p(x,y) es la probabilidad del vector aleatorio (X,Y) su entropía conjunta es La medida H de la complejidad rítmica se basa en modelos de percepción de estímulos binarios [VT69]. Los ritmos se pueden ver como un estímulo binario, una nota o un silencio. La medida construye un espacio de probabilidad sobre el conjunto de ritmos de manera recursiva y luego aplica las fórmulas de arriba para obtener la entropía. Los detalles son un tanto técnicos y nos conformaremos con esta breve descripción. Para más información, véase las páginas 29 a 36 de la tesis de Thul [Thu08]. 2.2. Codificación de Lempel-Ziv La complejidad rítmica se puede medir en términos de la capacidad de compresión del ritmo en particular. En efecto, la idea que subyace debajo es que si un ritmo es muy complejo se podrá comprimir poco y si es poco complejo admitirá un alto grado de compresión. Este enfoque, como es claro, pertenece a la teoría de la información. Pero ¿cómo se comprime la información? Uno de los algoritmos más populares es el de Lempel-Ziv [LZ76]. Este algoritmo toma una secuencia (que puede ser un texto o en nuestro caso un ritmo) y lo analiza de izquierda a derecha. A partir de ese análisis construye un diccionario que contiene el vocabulario necesario para describir la secuencia entera. Por ejemplo, si la secuencia es (aa), el diccionario estará formado por la expresión an, donde aquí la potencia significa la concatenación de la letra a n veces. Como se puede ver, dado que la secuencia es muy simple, su diccionario es muy corto. Sin embargo, la cadena r = 0001101001000101 tiene como diccionario D = , que tiene tamaño 6, y que es más largo que el de la secuencia an. La complejidad de ese ritmo sería 6. Los detalles de la construcción también en este caso revisten cierto carácter técnicos y hemos optado por remitir al lector interesado a la sección 3.4.4 de la tesis de Thule [Thu08] o también al artículo de Lempel-Ziv [LZ76]. 3. Histogramas de las duraciones de las notas Los histogramas se han usado en Estadística largamente como forma de resumir y visualizar información, especial una gran cantidad de datos, de manera que su interpretación fuera más fácil y efectiva. Un histograma está formada por una serie de rectángulos o barras cuya superficie es proporcional a la frecuencia de los valores asociados a cada barra. En teoría de la música, los intervalos de duraciones entre notas consecutivas (IDNC) es el número de pulso que hay entre ambas. Aquí se está suponiendo implícitamente que el pulso es una unidad mínima en el ritmo y que aquel no admite subdivisiones. En la mayoría de los casos es posible suponer la existencia de tal pulso mínimo. Los histogramas se pueden calcular con IDNCs locales o IDNCs globales. Los IDNCs locales no son más que los intervalos obtenidos entre dos notas consecutivas del ritmo. Por ejemplo, para la clave son, de ritmo [x . . x . . x . . . x . x . . .], su histograma es el que muestra la figura 1; a la izquierda de la figura se ve la representación de este ritmo sobre el círculo. Las duraciones de este ritmo son (3, 3, 4, 2, 4). Figura 1: Histogramas locales de los intervalos de duraciones entre notas consecutivas (figura tomada de [Thu08]) Los histogramas globales de los IDNCs, en cambio, consideran todos los intervalos que se generan entre todos los pares de notas posibles. Si el ritmo tiene k notas, entonces ese número es (k 2) = . La figura 2 muestra el histograma global para la clave son. Este ritmo tiene 5 notas y 10 posibles intervalos entre pares de notas, que son (3,3,4,2,4,7,6,7,6,6). Figura 2: Histogramas globales de los intervalos de duraciones entre notas consecutivas (figura tomada de [Thu08]) 3.1. Desviación estándar de los INCDs La desviación estándar de un conjuntos de datos es una medida de dispersión respecto a la media. La media, a su vez, es una medida de centralización. Si los datos son , entonces la media x se define como y la desviación estándar dv como La desviación estándar hace un promedio de los errores cuadráticos cometidos al sustituir cada dato por la media. Cuando la desviación es cero, implica que todos los datos son iguales entre sí y los datos alcanzan la máxima homogeneidad. Según la desviación típica se hace más grande, los datos se vuelven más homogéneos. La desviación típica se puede ver cómo una medida de cuán representativa es la media respecto al conjunto de datos. Cuando se usa en este sentido se suele complementar con el coeficiente de variación, que se define como . Este coeficiente, normalmente expresado como un porcentaje, nos da la cantidad de dispersión por unidad de media. Para la medida de la complejidad rítmica, se considera que un ritmo que tiene baja desviación estándar tiene poca complejidad. Tendrá pocos valores diferentes para los INDCs. En cambio, si su desviación estándar es alta, esto significará que hay mucha diversidad de valores de los INDCs. No se le escapa al lector que está medida tendrá sus limitaciones, como mostrarán los experimentos, pues no siempre la variedad de duraciones implicará una complejidad intrínseca de los mismos. La desviación estándar se puede calcular tanto para los histogramas locales como los histogramas globales. 3.2. Entropía de la información sobre los histogramas El histograma de un conjunto de datos siempre da lugar a una distribución de probabilidad. Si hay n datos, cada dato tiene probabilidad 1∕n de aparecer. Si un dato aparece k veces, su probabilidad será k∕n. Siendo esto así, se puede aplicar todas las ideas desarrolladas más arriba sobre la teoría de la información, esto es, usando la fórmula H(X) = -∑x∈X p(x)log2 p(x), donde X es la distribución dada por los histogramas. 4. Irregularidad matemática Las medidas que estudiaremos en esta sección tienen su base en ideas matemáticas. Constituyen las ideas más formales de todas las presentadas hasta ahora. En otro contexto similar, la medida de síncopa, estudiamos las dos medidas siguientes, el índice de asimetría rítmica y la medida de contratiempo; véanse las columnas de octubre a diciembre de 2011 [Góm11a, Góm11b, Góm11c]. 4.1. Índice de asimetría rítmica Simha Arom [Aro91] descubrió que los pigmeos aka usan ritmos que tienen lo que él llama la propiedad de asimetría rítmica [CT03, Che02]. Un ritmo con un tramo temporal consistente en un número par de unidades de tiempo tiene la propiedad de asimetría rítmica si no hay dos notas que partan el ciclo (el tramo temporal entero) en dos subintervalos de igual longitud. Tal partición se llama un bipartición igual. Nótese que la propiedad de asimetría rítmica se define solo para tramos temporales de longitud par. Para tramos de longitud impar todos los ritmos tiene esa propiedad, lo que desprovee a la medida de todo interés. Aunque limitada, esta propiedad es un primer paso hacia una definición matemática de la complejidad rítmica. Toussaint [Tou03] propuso una generalización de esta propiedad que tenía más capacidad de discriminación. Originalmente, Simha Arom [Aro91] definió la propiedad de asimetría rítmica de una manera estrictamente dicotómica, blanco o negro, todo o nada, esto es, el ritmo o tiene la propiedad o no la tiene. Este concepto se puede generalizar a una variable que tome más valores y que mida la cantidad de asimetría rítmica que un ritmo posee. Esta variable de asimetría rítmica se define como el número de biparticiones iguales que admite un ritmo. Cuantas menos biparticiones un ritmo admita, más asimetría rítmica tendrá. La medida de asimetría se concibe entonces como una medida de complejidad rítmica. 4.2. La medida de contratiempo Consideremos en primer lugar los ritmos definidos sobre un tramo temporal de 12 unidades de tiempo. Un intervalo de 12 unidades se puede dividir de manera exacta, sin resto, por cuatro números mayores estrictamente que 1 y menores que 12. Estos números son 6, 4, 3 y 2. Dividir el círculo de 12 unidades por estos números da lugar a un segmento, un triángulo, un cuadrado y un hexágono, respectivamente. Normalmente, la música africana incorpora un tambor u otro instrumento de percusión que toca al menos una porción de estos patrones. A veces la música se acompaña con ritmos de palmas que usan alguno de estos patrones. Por ejemplo, la musica funeral neporo del noroeste de Ghana emplea el triángulo, el cuadrado y el hexágono en sus ritmos de palmas [Wig98]. En cualquier caso, el ritmo tiene un pulso que podemos asociar con la posición “cero” en el ciclo. En la música polirrítmica estos cuatro subpatrones forman los posibles patrones métricos. Dos de estos patrones, el segmento y el cuadrado, son binarios y dos, el triángulo y el hexágono, ternarios. En la figura 3 se muestra las subdivisiones dadas por los divisores de 12 para los ritmos bembé y la clave son. El primero es ternario y es [x . . x . x x . x . x . x] y el segundo es binario y se describe como [x . . x . . x . . . x . x . . .]. Figura 3: La medida de contratiempo (figura tomada de [Thu08]) Por tanto, las notas que se tocan en otras posiciones están en posiciones de contratiempo en un sentido fuertemente polirrítmico. Hay cuatro posiciones que no aparecen en ninguno de estos cuatro patrones. Esas posiciones son 1, 5, 7 y 11. Las notas en esas posiciones se llamarán notas a contratiempo. Un ritmo que contenga al menos una nota en una de esas posiciones se dirá que tiene la propiedad del contratiempo. La medida de contratiempo es el número de notas a contratiempo que contiene. Estas notas a contratiempo (1, 5, 7, y 11) tienen una interpretación en términos de teoría de grupos. Las 12 posiciones para las 12 posibles notas forman un grupo cíclico de orden 12 designado por C12. Los valores de las posiciones de las notas a contratiempo corresponden a los tamaños de los intervalos que tienen la propiedad de que, si se recorre el ciclo empezando en “cero” en sentido horario en saltos de tamaño igual al tamaño de uno de estos intervalos, entonces en algún momento se vuelve al punto de inicio tras haber visitado todas las 12 posiciones. Recíprocamente, si las longitudes de los saltos se toman del conjunto complementario , entonces el punto de inicio se alcanzará sin haber visitado las 12 posiciones del ciclo. Por esta razón, los elementos 1, 5, 7 y 11 se llaman generadores del grupo C12 Los números que indican la posición de las notas a contratiempo en el ciclo también tienen una interpretación desde el punto de vista de la teoría de números. Consideremos un tramo temporal de n unidades. Las posiciones de las notas a contratiempo se conocen como coprimos de n (véase[CG96]) . Los coprimos de n son los enteros positivos menores que n que son primos relativos con n. Dos números son primos relativos si el único divisor que tienen en común es 1. La función indicatriz de Euler, designada por ϕ(n), es el número de coprimos de n, y es por tanto el valor máximo que la medida de contratiempo puede tomar para un ritmo con un tramo temporal de n unidades. Ya que cada grupo cíclico Cn tiene un conjunto de generadores, la medida de contratiempo descrita se puede generalizar a ritmos definidos sobre tramos temporales de n unidades, donde n puede tomar otros valores distintos a 12. Aunque la medida funciona mejor con valores pares de n, tiene alguna aplicabilidad para valores impares de n. Por otra parte, si n es un número primo p, entonces todos los números entre 1 y p - 1 son coprimos con p. En tal caso la medida es infructuosa, ya que todas las posiciones entre 1 y p - 1 serían notas a contratiempo bajo la presente definición de contratiempo. 5. Conclusiones En este artículo hemos presentado medidas métricas y medidas basadas en patrones y medidas basadas en distancias para la complejidad rítmica. Como ha podido comprobar el lector, los enfoques son muy distintos y producen a su vez resultados también distintos. Queda para los siguientes artículos estudiar su validación perceptual.   Bibliografía [Aro91] Simha Arom. African Polyphony and Polyrhythm. Cambridge University Press, Cambridge, England, 1991. [CG96] J. H. Conway and R. K. Guy. Euler’s Totient Numbers. The Book of Numbers, pages 154–156, 1996. [Che02] Marc Chemillier. Ethnomusicology, ethnomathematics. The logic underlying orally transmitted artistic practices. In G. Assayag, H. G. Feichtinger, and J. F. Rodrigues, editors, Mathematics and Music, pages 161–183. Springer-Verlag, 2002. [CT03] Marc Chemillier and Charlotte Truchet. Computation of words satisfying the “rhythmic oddity property” (after Simha Arom’s works). Information Processing Letters, 86:255–261, 2003. [Góm11a] Paco Gómez. Medidas matemática de síncopa (I), 2011. [Góm11b] Paco Gómez. Medidas matemática de síncopa (II), 2011. [Góm11c] Paco Gómez. Medidas matemática de síncopa (III), 2011. [Góm17] Paco Gómez. Medidas de complejidad rítmica (I), 2017. [LZ76] A. Lempel and J. Ziv. On the complexity of finite sequences. IEEE Transactions on Information Theory, 22(1):75–81, 1976. [Sha48] C.E. Shannon. A mathematical theory of communication. The Bell System Technical Journal, 27:623–656, 1948. [Thu08] Eric Thul. Measuring the complexity of musical rhythm. Master’s thesis, McGill University, Canada, 2008. [Tou03] Godfried T. Toussaint. Classification and phylogenetic analysis of African ternary rhythm timelines. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 25–36, Granada, Spain, July 23-27 2003. [VT69] P. C. Vitz and T. C. Todd. A coded element model of the perceptual processing of sequential stimuli. Psycological Review, 75(6):443–449, 1969. [Wig98] Trevor Wiggins. Techniques of variation and concepts of musical understanding in Northern Ghana. British Journal of Ethnomusicology, 7:117–142, 1998.

Miércoles, 08 de Noviembre de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

316. 121. (Octubre 2017) Materatura, el blog de matemáticas y literatura de Xavi Roca

Xavi Roca es una de esas personas extraordinarias que se cruzan en tu vida… por casualidad –¡esto no tiene nada que ver con la fábula de Tomás de Iriarte!–. Xavi es profesor de matemáticas en un instituto de enseñanza secundaria, y un apasionado por la literatura. En su blog Materatura, Xavi comparte sus maravillosos relatos cortos con contenido matemático –números transfinitos, grafos de visibilidad, el cero, el infinito, estadística, probabilidad, la banda de Möbius, la botella de Klein, paradojas, teorema de incompletitud, números enteros y fraccionarios, álgebra, geometría, teoría de números, teorema de Pitágoras, números irracionales, número pi, …–. No solo lo hace en su blog, me consta que en sus aulas también intenta interesar a su alumnado por las matemáticas y la literatura, por la literatura y las matemáticas, no separadas, unidas en una perfecta combinación. Desde hace meses saboreo sus relatos. Os invito a conocer sus letras y sus ‘cifras’, con un extracto de su “Jandro, Hegel y las Matemáticas” para convenceros… […] Sin decir nada, le construí a Jandro una banda de Moebius. Cogí una servilleta y la recorté hasta obtener una banda mucho más larga que estrecha. Uní los dos extremos cortos de la banda, pero de manera invertida. Le pregunté entonces qué cara consideraba la interna y cuál la externa. Con un dedo recorrí entonces la superficie circularmente, para mostrarle a Jandro que la banda tiene una sola cara, interna y externa al mismo tiempo. […] ¡A disfrutar con los relatos de Xavi en Materatura!

Martes, 31 de Octubre de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

317. 39. (Noviembre 2017) Matemáticas en los púlpitos

Alegoría de la Geometría. Púlpito de la Catedral de Pisa) Las iglesias son un lugar privilegiado para encontrar representaciones matemáticas, bien en forma de alegorías o como objetos e instrumentos. Hay matemáticas en las fachadas, en las ventanas y portales, en las vidrieras, en los coros, en los mausoleos, por los suelos, en las sacristías, en los órganos, en los altares,… ¡y en los púlpitos! Desde el púlpito se habla, se predica o se instruye. Pocos lugares serán  más adecuados para representar la matemática como base del conocimiento. Quien se dirige a los otros debe estar formado. El mundo es comprensible y sus leyes son matemáticas. (Alegoría de la Astronomía. Púlpito de la Catedral de Siena) Los dos púlpitos más famosos se deben a la familia Pisano, los escultores medievales que realizaron también las obras maestras del Campanille del Duomo de Florencia y la Fontana Maggiore de Perugia. Las catedrales de Pisa y Siena muestran sus púlpitos de mármol blanco ricamente decorados soportados por ocho columnas periféricas y una central: en la basa octogonal de esa columna se representaron las alegorías femeninas de las siete Artes Liberales y la Filosofía. El púlpito de la Catedral de Siena El impresionante púlpito de la Catedral de Siena es obra de Nicola Pisano (siglo XIII), el patriarca de la familia y que define el modelo que se repetirá en Pisa. El púlpito es octogonal, al igual que la basa de la columna central donde están representadas las siete Artes Liberales y la Filosofía. Esa columna es el sostén del mensaje que va a lanzar el orador sobre los fieles y por eso debe basarse en la sabiduría. La representación de la Aritmética utiliza la dactilonomía en lugar de números arábigos. La doncella abstraída realiza cálculos con los dedos según el modelo romano conservado por Beda el Venerable (siglo VIII). La Geometría traza figuras con un compás y la Astronomía observa los cielos con un astrolabio. (Alegoría de la Aritmética. Púlpito de la Catedral de Siena) Las Artes en el púlpito del Duomo de Pisa Giovanni Pisano, hijo de Nicola, trabajó con su padre en la Fuente Mayor de Perugia y en Siena, para continuar después por su cuenta en otras ciudades como Pistoia y en el Duomo de Pisa. Nicola había renovado el concepto de púlpito, y siguiendo su modelo, Giovanni realiza el de la catedral de Pisa. Las Artes liberales se encuentran esculpidas en bulto redondo en la basa de la columna central del púlpito. Las figuras de Giovanni están más nítidas, llevan la inscripción y ocupan claramente la cara del prisma octogonal que les corresponde. La iconografía es la que solemos encontrar en los trabajos de los Pisano: compás para la Geometría, astrolabio para la Astronomía y movimiento de dedos para la Aritmética. (Giovanni Pisano. Púlpito de la Catedral de Pisa) (Astronomía y otras. Púlpito de la Catedral de Pisa) Un púlpito matemático en la Isla de Wight La iglesia de los Santos Tomás de Newport en la Isla de Wight alberga un magnífico púlpito de madera con catorce paneles tallados. La obra data de 1637 y representa alegóricamente las siete Virtudes y las siete Artes Liberales. (Alegoría de la Geometría. Púlpito de los Santos Tomás en Newport) La Aritmética reposa sobre una tablilla de números y porta un reloj mecánico, una forma de relacionar la ciencia del número con el tiempo como contrapunto a que la geometría sea la del espacio. (Alegoría de la Aritmética. Púlpito de los Santos Tomás en Newport) El compás y la escuadra son los habituales acompañantes de la Geometría, mientras la Astronomía observa el cielo con un cuadrante. El tallado es muy delicado y su conservación es buena, a excepción de las referencias al rey que fueron eliminadas durante la revolución puritana de los parlamentarios. Un “mirón” del Púlpito de la Catedral de Viena La Catedral de San Esteban de Viena admite múltiples relatos donde no pueden faltar los matemáticos o numerológicos: proporciones, medidas, relojes o representaciones. Entre todos los posibles nos quedamos en primer lugar con el geómetra mirón, los dos autorretratos del escultor y arquitecto renacentista moravo Anton Pilgram. La mirada que penetra, que va más allá, es la base donde se apoya la razón. ¿Lo ves? es lo que solemos decir a los alumnos en lugar de ¿lo comprendes? Los vieneses empezaron a llamar mirón a la figura que debajo del púlpito abría una ventana sin soltar su compás: un observador atento de la realidad que le rodea. (El geómetra Pilgran . Púlpito de la Catedral de Viena) Durante mucho tiempo se atribuyó a Pilgram la autoría del púlpito gótico pero hoy se considera anterior. Lo que sí se debe al arquitecto es el gran píe del viejo órgano. Se considera que Pilgram se autorretrató en la base misma de apoyo de dicho píe con los atributos del geómetra, escuadra y compás, y del bonete universitario. La reproducción del bellísimo púlpito es de la misma figura que hay en el órgano. Antón Pilgram mirándolo todo y dispuesto a medirlo y calcularlo. La tribuna de la Sociedad Felix Meritis en Ámsterdam No es un púlpito de iglesia pero si su heredera laica. La sed de conocimiento de la Ilustración tuvo una de sus más explícitas manifestaciones en la Sociedad Felix Meritis (felicidad a través del mérito) de Ámsterdam. Creada en 1776, la Meritis fue durante un siglo un centro de arte y ciencia, de conciertos y experimentos de la nueva física matemática. (Detalle de la tribuna de oradores Felix Meritis. Rijksmuseum de Ámsterdam) El Rijksmuseum ha dedicado a la Sociedad una sala donde se exponen algunos objetos que dan idea de la inquietud universalista del siglo de las luces. Destacamos el soberbio púlpito de 1779, la tribuna de oradores, un cuidadoso trabajo de ebanistería que es todo un ideario de la época: Libertad, Sabiduría, Virtud e Ingenio, junto a recreación y disfrute, son las palabras que están grabadas. Un detalle de unas de las caras laterales muestra unidos los instrumentos matemáticos, físicos y técnicos junto a otros alegóricos a las llamadas bellas artes. Disuelta en 1888, la Sociedad Felix Meritis ha vuelto a abrir sus puertas un siglo más tarde, estando ahora en plena actividad. (Tribuna de oradores Felix Meritis.  Rijksmuseum de Ámsterdam)

Miércoles, 01 de Noviembre de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

318. 154. (Noviembre 2017) El truco más complicado de la historia

El uno de noviembre de 2017 se cumplen exactamente 103 años, 6 meses y 13 días desde el fallecimiento de Charles Santiago Sanders Peirce. Ante esta fecha tan señalada, no podemos dejar pasar la oportunidad de reseñar la componente mágico-matemática de este personaje. Charles Peirce fue un famoso filósofo norteamericano del siglo XIX y parte del XX, segundo hijo de Sarah Hunt Mills y del matemático Benjamin Peirce (dicen que la figura más prominente de la matemática estadounidense de la primera mitad del siglo XIX). Nació en Cambridge, Massachussets, el año 1839 y fue -junto a William James y John Dewey- el fundador del pragmatismo, teoría filosófica basada en que la verdad se caracteriza por la insistencia de las consecuencias. Parece que el punto de partida de sus ideas filosóficas fue la definición "la matemática es la ciencia que señala las conclusiones necesarias", establecida por su padre en el libro Linear Associative Algebra, de 1872. Sobre nuestro personaje, nos limitaremos a reproducir algunas palabras que escribió Max Fisch en el prólogo del libro “The Play of Musement” de T.A. Sebeok: "¿Quién es el intelectual más original y versátil que ha producido América? Es indudable que se trata de Charles Peirce, pues el segundo de la lista está tan lejos de él que no merece la pena ser nombrado. Él fue, entre otras cosas, matemático, astrónomo, químico, cartógrafo, ingeniero, inventor, así como psicólogo, filólogo, historiador de la ciencia, eterno estudiante de medicina, pero también dramaturgo, actor, escritor, lógico, retórico y metafísico. El artículo "The mathematics of Charles Sanders Peirce" de Louis Kauffman, publicado en Cybernetics & Human Knowing (2001), constituye una especie de resumen de su obra matemática, con especial dedicación a sus contribuciones en lógica. A Peirce le interesaba también la educación matemática y trataba de ilustrar sus explicaciones con todo tipo de entretenimientos. El tercer libro del cuarto volumen de sus Obras Completas se titula The amazing mazes y está dedicado a enseñar ciertos temas de aritmética disimulados en forma de juegos de magia que el autor denomina recreaciones. En sus propias palabras: "Si logras hacerte, querida Bárbara, con un mazo completo de naipes, te haré tragar una leccioncita de matemáticas tan fácilmente como una cucharada de aceite de ricino con un vaso de leche." Una de estas leccioncitas fue descubierta por el mago Tom Ransom casi 100 años después y publicada en la revista de magia Ibidem bajo el título "el truco de cartas más complicado del mundo", probablemente a causa de un par de sutiles principios matemáticos relacionados con la combinatoria y la aritmética modular en los que se basa el juego. Si quieres disfrutar con la profundidad intelectual de nuestro personaje, sigue las instrucciones del juego con las cartas en la mano. De hecho, como dice el propio Peirce, "debido a las leyes inexorables de la Psicología, si no tomas realmente las cartas para seguir todo el proceso, toda esta descripción no tendrá ningún sentido para ti". PRIMERA RECREACIÓN Busca las trece cartas del palo de corazones (del as al rey) y ordénalas de menor a mayor de modo que, estando el montón caras hacia abajo, el as sea la carta superior. Deja el paquete sobre la mesa. Repite la misma operación con las cartas de picas pero eliminando el rey. Sujeta este paquete en la mano. Reparte las cartas de la mano en dos montones sobre la mesa, girándolas cara arriba, alternativamente a izquierda y derecha. Retira la última carta repartida (que será la dama de picas) y déjala a un lado, para formar con ella un tercer montón, de cartas desechadas. En el lugar que debía ocupar la carta retirada del montón de la derecha (la dama de picas) coloca la primera carta del paquete de cartas rojas (as de corazones). Reagrupa ambos montones colocando el de la izquierda sobre el de la derecha. Vuelve cara abajo este paquete y repite el procedimiento indicado en los pasos 3, 4, 5 y 6 (ahora el dos de corazones será la carta que sustituye a la jota de picas, la cual colocarás en el montón de cartas desechadas, sobre la dama de picas). Vuelve a repetir hasta 12 veces el proceso anterior hasta acabar el montón de cartas rojas. Curiosamente, a pesar de que había cada vez más cartas rojas para repartir, el paquete desechado está formado sólo por cartas negras. Coloca el último rey rojo bajo el paquete de cartas rojas, caras hacia abajo. ¿Quieres saber por qué se cumple la propiedad anterior? Resulta que las cartas negras siguen una interesante secuencia: cada una de ellas es igual a la anterior multiplicada por dos, módulo 13, es decir que si el producto es mayor que 12, se resta 13. Es curioso que las sucesivas potencias de dos, módulo 13, dan siempre resultados diferentes: 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 3, 25 = 6, 26 = 12, 27 = 11, 28 = 9, 29 = 5, 210 = 10, 211 = 7. Seguimos: la posición actual de las cartas debe ser la siguiente (de dorsos a caras): Negras Q  J  9  5 10  7  A   2  4  8  3  6 Rojas 7  8  J  9   4  Q  6 10  3  5  2  A   K De forma sorprendente, las cartas están ahora dispuestas para otro efecto de adivinación. SEGUNDA RECREACIÓN Entrega uno de los montones a un espectador, el que quiera, y quédate con el otro. El espectador mira sus cartas y pregunta la posición que ocupa cualquiera de ellas. Basta que mires tus propias cartas para adivinarla. A continuación, el espectador pregunta por el valor de la carta que ocupa una posición determinada y tú también la adivinas rápidamente. La propiedad que permite lograr esta doble adivinación es: Si la n-ésima carta de un paquete tiene el valor k, la k-ésima carta del otro paquete tiene el valor n. Así, por ejemplo, si queremos saber en qué lugar está el 4 de corazones, buscamos la cuarta carta del paquete negro. Como se trata del cinco de picas, el cuatro ocupa la quinta posición. Del mismo modo, para saber qué carta está en séptima posición del paquete rojo, buscamos el siete de picas en el paquete negro. Como está es la sexta carta, el seis de corazones será la séptima carta del paquete rojo. Es posible sorprender más aún a los espectadores mezclando (aparentemente) nuevamente las cartas de la siguiente forma: Se corta por cualquier lugar el paquete de cartas rojas. Se elige un número k, comprendido entre 1 y 12, y se reparten k montones cara arriba, de izquierda a derecha. Se recomponen los montones del modo siguiente: Se designa por O al último montón de la derecha y se cuenta hasta el montón que recibió la última carta (pensando los montones como formando un círculo) bien en sentido horario o antihorario, el que sea más corto. Sea m dicho valor, y h el sentido del movimiento seguido para llegar a m. Se toma un montón cualquiera y se coloca sobre el montón situado m lugares en sentido h. Con el montón formado se hace la misma operación (se coloca sobre el que está m posiciones en sentido h) hasta recomponer el paquete. Por último, se corta de modo que el rey quede en la parte inferior. Se observa el valor de la carta que queda en la parte superior, digamos m, y se corta el otro paquete de modo que el as ocupe la m-ésima posición. Incluso después de estas mezclas y cortes todavía se mantienen las propiedades de reciprocidad entre los paquetes de cartas rojas y negras. Comentarios finales: Según indica Alex Elmsley en el juego Pierce Arrow (publicado en el primer volumen de sus obras completas), los pasos 4 y 5 de la primera parte pueden modificarse haciendo que la carta que se retira en cada reparto y se sustituye por una roja no sea la última sino la que ocupe cualquier lugar (siempre el mismo) en el paquete de las negras. En el artículo "Apuesta exponencial perdedora", del blog magiaporprincipios.blogspot.com, trato de justificar esta propiedad y estudiar si es posible realizar el juego con un número distinto de cartas. Kurt Eisemann, en el artículo Number-theoretical analysis and extensions of "The Most Complicated And Fantastic Card Trick Ever Invented" publicado en la revista American Mathematical Monthly (1984), simplifica el largo proceso anterior y ordena directamente las cartas negras de modo que los valores de las cartas sucesivas representen las potencias módulo 13 de su raíz primitiva 2. Esto produce la secuencia 1 - 2 - 4 - 8 - 3 - 6 - 12 - 11 - 9 - 5 - 10 - 7. En este artículo también se ofrece una justificación teórica de estos principios, así como la generalización a paquetes con otro número de cartas. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Miércoles, 01 de Noviembre de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

319. 86. (Octubre 2017) Medidas de complejidad rítmica (I)

1. Medidas de complejidad rítmica El artículo de este mes inaugura una serie sobre el apasionante tema de las medidas de complejidad rítmica. El material que se presenta en esta serie recoge, de forma divulgativa, el trabajo de autores que han investigado preguntas tales como: dados dos ritmos, ¿cuál de ellos es más complejo?; si el lector es capaz de designar un cierto ritmo como más complejo que otro, ¿puede describir los criterios que rigieron su elección?; ¿depende la complejidad rítmica de la métrica o del agrupamiento?; ¿qué determina la complejidad rítmica?; ¿es una medida asociada intrínsecamente a la estructura del ritmo o depende de la percepción del oyente?; ¿depende la complejidad rítmica de la enculturación del oyente?; ¿lo que es sencillo rítmicamente en una cultura es complejo en otra?; ¿existen universales de complejidad rítmica? Hay más preguntas que se han hecho en la investigación sobre la complejidad rítmica, pero creemos que esta muestra es suficientemente ilustrativa. En esta serie vamos a pasar revista a las medidas de complejidad rítmica más importantes. Seguiremos en buena parte la excelente tesis de maestría de Eric Thul [Thu08]. Primero, empezaremos con las medidas basadas en síncopas, las basadas en patrones y las basadas en distancias. Parte del material que se presenta en este artículo ya fue tratado en 2011 en esta misma revista en la serie Medidas matemáticas de la síncopa; véase [Góm11a, Góm11b, Góm11c]. Dada la distancia en el tiempo y que en esta serie se aborda un problema mayor que en la serie de 2011, consideramos que el lector no se aburrirá. Por medidas de complejidad rítmica queremos decir medidas formales, esto es, medidas definidas desde un punto de vista teórico. Dependiendo del enfoque conceptual, la medida presentará unas u otras características. Si se mira desde un punto de vista computacional, por ejemplo, se puede pensar en la complejidad de Kolmogorov [LV97]; esta medida se define como el programa más corto que, dada una cadena, hay que escribir para producir como salida dicha cadena. Un experto en teoría de la información diría que la entropía de Shannon, que describe la complejidad como la longitud de la representación más pequeña posible de un mensaje (ritmo, en nuestro caso). Quizás el lector no haya pensado que la complejidad rítmica se pueda medir desde estas perspectivas tan inusuales. Falta de perspectiva es lo único que no está ausente en este tema: Lloyd compiló 42 medidas de complejidad y su artículo se llama Medidas de complejidad: una lista no exhaustiva [Llo01]. No cabe duda de que la complejidad rítmica tiene muchos ángulos desde que atacar su definición. Aunque algunos psicólogos a principio de siglo se habían interesado por el problema de la complejidad rítmica (Stetson en 1905 y Weaver en 1939), no fue hasta los años 60 en que los psicólogos empezaron a aplicar la entropía de Shannon en sus estudios que el tema empezó a despertar verdadero interés en la investigación. La entropía de Shannon se puede considerar como la cantidad de información promedio que contienen los símbolos usados; véase, por ejemplo, el trabajo de Vitz y Todd de 1969 [VT69]. A partir de los años ochenta, con los trabajos de Essens, Povel y Schumulevich, se empezó a considerar la necesidad de la validación perceptual , esto es, de que seres humanos validaran perceptualmente la complejidad de las medidas y no solo por su estructura interna; véanse [PE85, Ess95, SP00]. Para un discusión de la variedad de medidas de complejidad y las disciplinas que se han interesado por esta cuestión, véase la introducción de la tesis de maestría de Thul [Thu08], páginas 3 y 4. La intención de esta serie es mostrar cómo funcionan las medidas de complejidad más importantes, cómo se han evaluado y compararlas entre sí. Respecto a la bondad de las medidas, haremos hincapié en la evaluación perceptual así como en su comparación en diversas tradiciones musicales. 2. Medidas métricas 2.1. La medida de complejidad métrica de Toussaint Las medidas que se presentan en esta sección se inspiran en las gramática generativa de la música de Lerdahl y Jackendoff [LJ83]; en su momento dedicamos a su libro Una teoría generativa de la música una serie de título homónimo [Góm14]. En particular, se basan en la jerarquía métrica de pesos, que consiste en asignar un peso a cada subdivisión o pulso del compás en función de su importancia métrica. La importancia métrica se define en función de los divisores del número total de pulsos del ritmo. Para ilustrar esto, consideremos un compás con 16 partes numeradas de 0 a 15, como en la figura de abajo. La posición 0 recibe peso 1 cuando se considera que el compás contiene una redonda. En ninguna otra posición puede empezar una redonda sin salirse del compás. Las posiciones 0 y 8 reciben peso 1 cada una porque en ellas se puede poner una blanca. Las posiciones 0, 4, 8, 12 reciben peso 1 cada una porque pueden albergar las negras. Las posiciones pares reciben 1 cada una porque pueden contener corcheas. Por último, todas las posiciones reciben peso 1 porque en cualquiera se puede poner una semicorchea. El peso final de una posición es la suma de los pesos que ha recibido. Figura 1: Jerarquía métrica de pesos (figura tomada de [Thu08]) Ahora dado un ritmo la complejidad métrica de Toussaint o simplemente la complejidad métrica es la suma de los pesos de las posiciones en que se encuentran las notas de ese ritmo. Por ejemplo, el ritmo [x . . x . . . x . . x . x . . . ], donde x denota una nota y el punto un silencio, tiene notas en las posiciones 0, 3, 7, 10 y 12. Entonces, su complejidad rítmica es 5+1+1+2+3=12. La idea de esta medida es que la complejidad del ritmo está asociada a la complejidad métrica. Al lector no se le habrá escapado que el ejemplo que hemos puesto con un número de pulsos igual a 16 es un caso muy fácil. En realidad, los pesos de la jerarquía métrica dependen de los divisores del número de pulsos. Con 16 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 la jerarquía es única porque la factorización de 16 es única. Por ejemplo, con 12 no es así. El número 12 se puede escribir como 2 ⋅ 2 ⋅ 3, 2 ⋅ 3 ⋅ 2 y 3 ⋅ 2 ⋅ 2 y ello da lugar a tres jerarquías métricas, como muestra la figura de abajo. Figura 2: Jerarquía métrica de pesos para 12 pulsos (figura tomada de [Thu08]) En este caso la medida de un ritmo es la media de las medidas en cada jerarquía métrica. Esta medida tal cual fue presentada inicialmente sufría carencias. Dado que es una medida aditiva, ritmos con más notas serán más complejos que ritmos con menos notas. Varias normalizaciones respecto al número de notas del ritmo y el número de pulsos del compás se han propuesto para corregir esta situación. Por otro lado, la medida premia las notas en las posiciones métricas fuertes, pero no está claro que la complejidad dependa intrínsecamente de pulsos en esas posiciones. Palmer y Krumhansl [PK90] estudiaron empíricamente la cuestión de los pesos de la jerarquía métrica. Llevaron a cabo experimentos con músicos y no músicos para determinar el peso de cada pulso para varios compases. Estos pesos se han usado para modificar la medida de Toussaint y hacer que su diseñe se base en datos perceptuales. 2.2. La medida de Longuet-Higgins y Lee La medida de Longuet-Higgins y Lee (LHL a partir de ahora, por brevedad) es una medida también inspirada en los niveles métricos, como la medida de Toussaint. Los niveles métricos se representan mediante una estructura de árbol que se construye recursivamente. Sea n el número de pulsos que tiene el ritmo. Se factoriza n y se consideran los factores primos de n. Sea p un factor primo de n y ℓ el nivel del árbol que estamos construyendo actualmente. A continuación se genera un árbol con las siguientes reglas: Para todos los nodos m a nivel ℓ, créense p hijos con padre común m. Increméntese ℓ en 1. Elimínese p de la lista de primos y procésese el siguiente factor primo en la lista. Si n = 16, como en el ejemplo anterior, el árbol resultante es el que aparece en la parte de arriba de la figura 4 (el árbol sin pesos). El siguiente paso es agregar los pesos a esta jerarquía métrica. La manera de hacerlo es como sigue. El índice ℓ indica el nivel de la jerarquía métrica y empieza con ℓ = 1. Consideremos las hojas o nodos finales del árbol, y numerémoslos de 0 a 15. Inicializamos todas las hojas a cero. Siempre restamos uno a las hojas, excepto cuando i es cero o i es múltiplo de n/ℓ. Después de procesar el árbol con ℓ = 1, asignamos a ℓ el valor del producto del valor actual de ℓ por el primer factor primo de la factorización de n. Se vuelven a asignar los pesos a este nivel. Se multiplica por el siguiente factor primo y continuamos hasta que todos los factores primos son procesados. El valor final del peso de cada hoja es la suma de los pesos en cada uno de los pasos anteriores. En la figura de abajo aparecen los pesos para el ejemplo con n = 16. Índice 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ℓ = 1 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 ℓ = 2 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 ℓ = 3 0 -1 -1 -1 0 -1 -1 -1 0 -1 -1 -1 0 -1 -1 -1 ℓ = 4 0 -1 0 -1 0 -1 0 -1 0 -1 0 -1 0 -1 0 -1 ℓ = 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Suma 0 -4 -3 -4 -2 -4 -3 -4 -1 -4 -3 -4 -2 -4 -3 -4 Figura 3: Construcción de los pesos en el árbol de jerarquía métrica de la medida LHL El segundo árbol de la figura 4 muestra los pesos finales en las hojas. Obsérvese que los pesos todavía son mayores en las posiciones métricamente fuertes, aunque tomen valores negativos. Figura 4: Jerarquía métrica de la medida LHL (figura tomada de [Thu08]) De nuevo, cuando n no tiene una factorización única se producen varios árboles con diversas jerarquías métricas. La distancia LHL final será una distancia ponderada entre las distintas jerarquías métricas. La figura 5 muestra las jerarquías métricas asociadas a n = 12. Figura 5: Jerarquía métrica de la medida LHL (figura tomada de [Thu08]) Una vez que la jerarquía métrica y los pesos se han generado, dado un ritmo, la complejidad métrica LHL se calcula examinando los pulsos que tienen silencio y que tienen un peso mayor que la nota inmediatamente anterior. Si estamos procesando el pulso i de un ritmo y este resulta ser un silencio, buscamos la nota inmediatamente anterior a él. Sea j el índice donde tal nota se halla. Si wi,wj son los pesos de los pulsos i y j, respectivamente, entonces el peso del pulso i es la cantidad wi -wj. En el resto de los pulsos los pesos valen cero. La medida LHL es la suma de todos los pesos de los pulsos del ritmo. En la figura 6 se el cálculo de la medida LHL para el ritmo soukous [x . . x . . x . . . x x . . . . ]. Los pulsos en que se producen pesos positivos son en 4, 8 y 12. Como se puede apreciar, la nota que precede a esos pulsos tiene un peso métrico menor que el del silencio. Figura 6: Cálculo de la medida LHL para el ritmo del soukous (figura tomada de [Thu08]) 3. Medidas basadas en patrones 3.1. La complejidad cognitiva de Pressing La idea de Pressing [Pre99] descansa en las jerarquías métricas, pero en la fase final adopta un enfoque de búsqueda de patrones. A partir de los resultados de los patrones determina la medida de la complejidad del ritmo. Pressing primero crea una jerarquía métrica al estilo de Longuet-Higgins y Lee, dividiendo sucesivamente el número de pulsos. Si n = 16, como la factorización es única, da lugar a una sola estructura métrica, como se muestra en la figura 7; se ha dividido el ritmo acorde a los divisores de n. Figura 7: Complejidad cognitiva de Pressing para la clave son (figura tomada de [Thu08]) Para medir la complejidad del ritmo, Pressing define unos pesos asociados a cinco tipos de patrones específicos. Usando la terminología de Pressing, llamaremos sub-ritmos a los patrones que se encuentran en un determinado nivel métrico. Por ejemplo, en la figura anterior el segundo nivel tiene dos sub-ritmos; el tercero, cuatro, y así sucesivamente. En la figura 8 se ven los patrones básicos que definió Pressing para su medida para el tercer nivel (nivel (c) en la figura). Estos patrones reciben los nombres de: a) patrón de relleno; b) patrón continuo; c) patrón de parte fuerte; d) patrón de subparte fuerte; e) patrón de síncopa; f) patrón nulo. Los pesos para cada patrón son, respectivamente, 1, 2, 3, 4, 5, y 6. Pressing da una definición de estos patrones para todos los niveles posibles, pero aquí solo hemos mostrado la del tercer nivel. Figura 8: Patrones básicos en la complejidad cognitiva de Pressing La medida es una media ponderada de los patrones que se suman a todos los niveles de la descomposición del ritmo. Pressing no justificó la asignación de los pesos a estos patrones, lo cual le restó aceptación. Otro inconveniente es que Pressing solo definió la medida para ritmo binarios. No obstante, es posible definirla para ritmos ternarios y para un número de pulsos que no tenga factorización única (por vía de una media ponderada de las distintas medidas de cada descomposición del ritmo). 3.2. La complejidad de Keith En [Kei91] Keith examina varios fenómenos de naturaleza rítmica y lleva a cabo un análisis matemático de ellos. Como ejemplo ilustrativo, Keith aborda el problema de medir el grado de síncopa de un ritmo dado. Su definición se apoya en la distinción de tres eventos: retardo, cuando una nota empieza en parte fuerte1 y termina fuera de ella; anticipación, cuando la nota empieza fuera de parte y termina sobre parte fuerte; y síncopa, que se concibe como una combinación de los dos eventos previos (véase la figura 9; de izquierda a derecha: retardo, anticipación y síncopa). Figura 9: Retardo, anticipación y síncopa. De manera algo arbitraria, Keith asigna valores de 1 al retardo, de 2 a la anticipación y de 3 a la síncopa. Esta asignación parece, por lo menos, subjetiva y el propio Keith reconoce que “el problema de decidir la “fuerza” rítmica relativa del retardo, la anticipación y la síncopa es un interesante problema filosófico”. La medida de Keith se limita a métricas compuesta de n pulsos, donde n es una potencia de 2. Vamos a dar su definición detallada con el fin de entender esta limitación. Su idea principal es que, dadoa un evento musical (una nota), para saber si está en parte fuerte o no hay que compararla con una plantilla métrica, que indica las partes fuertes y débiles según el tamaño (duraciones) del evento. Por ejemplo, si la potencia de 2 es 3, entonces habrá 23 = 8 corcheas y las plantillas de partes fuertes y débiles se ilustra en la tabla abajo (F es para la parte fuerte y D para la débil). F D D D D D D D F D D D F D D D F D F D F D F D F F F F F F F F Figura 10: Diferentes niveles métricos en la definición de síncopa de Keith. Un evento de tamaño 8 se compara con la primera plantilla (léase de arriba abajo). Los eventos de tamaño entre 4 y 7 se comparan con la segunda plantilla; los que van de 2 a 3, con la tercera plantilla; y finalmente, las corcheas, de tamaño 1, con la última plantilla, que solo está formada por partes fuertes. Esta plantilla de partes fuertes y débiles recuerda mucho a las jerarquías métricas de la medida de Toussaint y de Longuet-Higgins y Lee. Podemos representar un ritmo de n notas por una sucesión circular (s0,s1,…,sn-1). Usaremos también la sucesión de intervalos entre notas (δ0,δ1,…,δn-1), donde δi = si+1 - si, para 0 ≤ i < n. El número δn es igual a L - sn-1, siendo L la longitud del ritmo completo. La localización de las partes fuertes es una función de la longitud del intervalo entre notas consecutivas. Una hipótesis implícita es que la métrica es siempre binaria y que las partes fuertes ocurren en algún múltiplo de una potencia de dos. Para cualquier nota dada si, la partes fuertes adyacentes se pueden describir como j2k y (j + 1)2k, donde k es el entero tal que 2k ≤ δi < 2k+1, y j es el entero tal que j2k ≤ si < (j + 1)2k. Hagamos un ejemplo que ilustre cómo se calcula la medida de síncopa de Keith para el ritmo de la bossa-nova; véase la figura 11. La bossa-nova tiene la sucesión de notas (0,3,6,10,13,16) y la sucesión de intervalos entre notas (3,3,4,3,3) (hemos incluido el 16 para enfatizar que la última distancia se obtiene entre la última nota del ritmo y la primera). Nótese que la sucesión que damos para la bossa-nova tiene una nota de más para enfatizar el carácter circular de la sucesión. La siguiente tabla muestra los cálculos para obtener 9, el valor de la medida de síncopa, que está dado por la suma de los pesos wi. 0 1 2 3 4 5 si 0 3 6 10 13 16 δi 3 3 4 3 3 wi 1 2 3 1 2 Figura 11: Anotación de los cálculos de la medida de síncopa de Keith para el ritmo de la bossa-nova. 4. Medidas basadas en distancias 4.1. La distancia de permutación La distancia de permutación dirigida se basa en contar el número mínimo de operaciones para transformar un ritmo dado en otro. Es una generalización de la distancia de Hamming. Esas operaciones se limitan a intercambios de notas o silencios entre posiciones adyacentes y tienen las siguientes restricciones: Ambos ritmos han de tener el mismo número de pulsos. Se convierte el ritmo de más notas, R1, al de menos notas, R2. Cada nota de R1 tiene que moverse a una nota de R2. Cada nota de R2 ha de recibir al menos una nota de R1. Las notas no pueden cruzar el final del ritmo y aparecer por el principio. En la figura 12 se muestra la distancia de permutación dirigida entre dos ritmos flamencos, el fandango y la seguiriya; se pueden apreciar los movimientos de las notas de la seguiriya para transformarse en el fandango. El número de movimientos es mínimo. Figura 12: La distancia de permutación dirigida entre el fandango y la seguiriya). La distancia de permutación dirigida es entonces 4. 4.2. La medida ponderada de nota a parte En la definición de la medida ponderada de nota a parte (DPNP a partir de ahora) medida centramos nuestra atención en los ataques de las notas entre partes fuertes en lugar de la estructura métrica, como hace Keith. Esta medida se basa en el concepto de distancia y es más flexible en cuanto que nos permite cuantificar el nivel de síncopa (de complejidad rítmica) de un amplio abanico de ritmos. Por ejemplo, consideremos los ritmos que se muestran en la figura 13; la medida de Keith no es adecuada para medir ritmos de esta complejidad. Figura 13: Ritmos que no pueden medirse con la medida de Keith. Sin embargo, con la medida ponderada de nota a parte sí es posible medirlo; de hecho, tiene valor igual a 41∕8. La distancia ponderada de nota a parte se define como sigue. En primer lugar, supondremos que cada nota termina donde empieza la siguiente. Sean pi,pi+1 dos partes fuertes de la métrica. Sea sj una nota que empieza después o sobre la parte fuerte pi pero antes de la parte fuerte pi+1; primero definimos T(sj) = mín, donde d es la distancia entre notas en términos de duraciones. Aquí la distancia entre dos partes fuertes se toma como la unidad, y, por tanto, la distancia d es siempre una fracción. Por ejemplo, las negras en un compás de 4/4 son partes fuertes, y, si las notas de la figura 14 se refieren a la parte fuerte más cercana: Figura 14: Síncopa medida con la medida DPNP. entonces, las distancias respectivas T(sj) son 1/2, 1/4, 1/4, 1/3, 1/3, 1/5. En la medida de síncopa de Keith la parte fuerte más cercana a una nota estaba implícita. Para permitir una mayor variedad de ritmo la medida DPNP exige especificar cuales son las partes fuertes. En el ejemplo anterior las partes fuertes están dadas por el compás. Así, en el ejemplo de la figura 13 las partes fuertes se encuentran a intervalos de negra. La medida DPNP está especialmente diseñada para entradas en notación estándar, ya que las partes fuertes se deducen del compás. La medida DPNP D(sj) de una nota sj se define entonces como sigue: 0, si sj = pi; , si la nota sj ≠ pi termina antes o en pi+1; , si la nota sj ≠ pi termina después de pi+1 pero antes de o en pi+2; y , si la nota sj ≠ pi termina después de pi+2. Sea n el número de notas de un ritmo. Entonces la medida DPNP de un ritmo es la suma D(sj), para todas las notas sj, dividida por n. La tabla de la figura 16 proporciona una lista de los valores DPNP para varios ritmos. Usaremos la notación que introdujimos antes para representar un ritmo como una sucesión circular, junto con una sucesión de intervalos entre notas y las partes fuertes dadas por el compás para escribir el algoritmo de la medida DPNP. Consideremos una nota si. Esta nota puede empezar en una parte fuerte pj o puede caer entre dos partes fuertes consecutivas. Definimos di como Ahora asignamos un peso wi a una nota si como sigue: si si = pj entonces wi ← 0 si pj < si < si+1 ≤ pj+1 entonces wi ← 1∕di si pj < si < pj+1 < si+1 < pj+2 entonces wi ← 2∕di si pj < si < pj+1 < pj+2 ≤ si+1 entonces wi ← 1∕di Nótese que asignamos el mayor valor de síncopa a una nota si en el caso en que si y si+1 caigan entre dos partes fuertes consecutivas. En la figura 15 hemos registrado los cálculos para determinar la medida DPNP para el ritmo de la bossa-nova. Nótese que el compás implica que las partes fuertes son las blancas. Esto se traduce en un vector de partes fuertes igual a (0,4,8,12,16). La suma de las D(x) para este ritmo es 20 y da una distancia final de 20∕5 = 4. 0 1 2 3 4 5 si 0 3 6 10 13 16 di 0 1/4 1/2 1/2 1/4 wi 0 2×4 2×2 2×2 1×4 Figura 15: Anotación de los cálculos de la medida DPNP para el ritmo de bossa-nova. Nótese que si n no se introduce en la definición de DPNP, entonces la medida crece según lo hace el número de notas del ritmo. Eso daría como resultado una medida incorrecta. En la tabla 16 hay una columna que muestra la suma de las distancias D(x). Se puede apreciar cómo se comporta tal suma en términos de n y la influencia del número de notas en la medida. Ritmo Notación partitura ∑ xD(x) DPNP Retardo 2 1/2 Anticipación 2 1/2 Síncopa 6 6∕5 = 1.2 Tresillo 6 6/6=1 Quintillo 15 15/8=1.875 Bembé 21 21/7=3 Son 14 14/5=2.8 Bossa-Nova 20 20/5=4 Ritmo irregular 35 35/7=5 Figura 16: Ejemplos de la medida DPNP. Los pesos que aparecen en la definición de la medida merecen una explicación. Es razonable dar un peso a una nota que se toca fuera de una parte fuerte. Nuestra medida da menos peso cuando la nota aparece entre dos partes fuertes consecutivas y, según se aproxima la nota a la siguiente parte fuerte, gana más peso. Sin embargo, hay una gran diferencia si la nota cruza una parte fuerte o sencillamente termina antes o en la siguiente parte fuerte. En el primer caso hay una sensación de síncopa más fuerte que en el segundo. Por tanto, recibe más peso con el fin de reflejar este hecho musical. 5. Conclusiones En este artículo hemos presentado medidas métricas y medidas basadas en patrones y medidas basadas en distancias para la complejidad rítmica. Como ha podido comprobar el lector, los enfoques son muy distintos y producen a su vez resultados también distintos. Queda para los siguientes artículos estudiar su validación perceptual.   Nota: 1 La terminología española es parte fuerte para lo que en inglés llaman strong beat o sencillamente beat; a veces el término pulse se usa como equivalente a parte fuerte.   Bibliografía [Ess95] P. Essens. Structuring temporal sequences: Comparison of models and factors of complexity. Perception and Psychophysics, 57(4):519–532, 1995. [Góm11a] Paco Gómez. Medidas matemática de síncopa (I), 2011. [Góm11b] Paco Gómez. Medidas matemática de síncopa (II), 2011. [Góm11c] Paco Gómez. Medidas matemática de síncopa (III), 2011. [Góm14] F. Gómez. Teoría generativa de la música - I, junio de 2014. [Kei91] Michael Keith. From Polychords to Pólya: Adventures in Musical Combinatorics. Vinculum Press, Princeton, 1991. [LJ83] F. Lerdahl and R. Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1983. [Llo01] S. Lloyd. Measures of complexity: a nonexhaustive list. IEEE Control Systems Magazine, 21(4):7–8, 2001. [LV97] M. Li and P. Vitányi. An introduction to Kolmogorov complexity and its applications. Springer, 1997. [PE85] D. Povel and P. Essens. Perception of temporal patterns. Music Perception, 2:411–440, 1985. [PK90] C. Palmer and C. L. Krumhansl. Mental representations for musical meter. Journal of Experimental Psychology, 16(4):708–741, 1990. [Pre99] J. Pressing. Cognitive complexity and the structure of musical patterns, 1999. [SP00] I. Shmulevich and D.-J. Povel. Measures of temporal pattern complexity. Journal of New Music Research, 29(1):61–69, 2000. [Thu08] Eric Thul. Measuring the complexity of musical rhythm. Master’s thesis, McGill University, Canada, 2008. [VT69] P. C. Vitz and T. C. Todd. A coded element model of the perceptual processing of sequential stimuli. Psycological Review, 75(6):443–449, 1969.

Viernes, 13 de Octubre de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

320. 124. Working Class: Por qué las matemáticas importan

Nos acercamos en esta ocasión a un episodio de una serie documental producida por una universidad pública norteamericana, el Pennsylvania College of Technology. Desgranamos su contenido, así como su estilo (muy yanqui, pero muy efectivo). Seguramente muchos de nosotros hemos escuchado alguna vez (de alumnos o de ciudadanos en general) la pregunta de ¿Para qué sirven las Matemáticas, aparte de suspender a mucha gente? Afortunadamente, vivimos unos momentos en los que cada vez esa pregunta la hace menos gente, gracias a que están apareciendo muchos lugares en los que se nos habla de su importancia, muchos compañeros están empleando parte de su tiempo (libre) en la divulgación, etc. Este mes nos vamos a detener en un documental que precisamente nos indica, en concreto, en qué se utilizan las matemáticas hoy en día, aparte de la investigación y la enseñanza. Al principio pensé en entresacar algunas frases, párrafos, etc., pero me he encontrado verdaderas dificultades para ver qué eliminaba, así que he optado por lo fácil (sí, menudo, 18 páginas os esperan). He hecho una transcripción al español íntegra, pensando en las personas que tienen algunos problemas con la lengua de Shakespeare, pero sobre todo porque me ha parecido tan interesante todo lo que se cuenta, que he querido compartirlo con todos. Dura aproximadamente una hora, pero se puede ver en segmentos breves. Así que, como el mes es muy largo, os invito a que os acerquéis a ratitos, y si queréis luego nos mandéis vuestra opinión. La serie se llama Working Class (se trata de un juego de palabras: su traducción literal es Clase Trabajadora, pero aquí se utiliza en el otro sentido, en el de Aula de Trabajo), y su objetivo es, por un lado, mostrar a los estudiantes que quieren entrar en la Universidad cuáles son las salidas profesionales de distintas carreras (tiene por tanto su parte de propaganda, pero no se hace afortunadamente demasiada ostentación; algo muy distinto de lo que hacen las universidades privadas, y ojo, no es una crítica: funcionan como empresas, y como tales deben buscar la rentabilidad), y por otro mostrar al público en general eso mismo, las salidas profesionales. En definitiva, el tan antiguo y loable propósito de aunar teoría y práctica, preparando a los estudiantes para incorporarse al mundo laboral de una manera efectiva. Cada episodio (hasta el momento han terminado tres) se centra en una disciplina concreta y analiza sus posibilidades reales en empresas, trabajos, investigación, etc. La serie la produce la Pennsylvania College of Technology, y la cadena de televisión WVIA Public Media (la filial de PBS y NPR para el noreste de Pennsylvania). Los dos primeros capítulos han recibido varios premios. El primer episodio, Working Class: Dream & Do, muestra carreras relacionadas con el diseño. Fue galardonado en 2016 con el Bronze Telly Award. El segundo episodio, Working Class: Build & Grow Green, ofrece una amplia gama de carreras, que van desde la silvicultura y la horticultura a la ciencia de la construcción y el diseño sostenible, las energías renovables, la tecnología eléctrica, la tecnología HVAC y la automatización de edificios. También logró un Telly Award en 2017. Pues bien, el tercero de la serie está dedicado a las matemáticas: Working Class: Game On! Math Matters (algo así como Aula de Trabajo: ¡A jugar! Las Matemáticas importan) y se ha difundido por internet, aunque su estreno por televisión en horario de máxima audiencia (8 p.m.) será el próximo 19 de octubre. Una pincelada sobre los premios Telly (Telly Awards). Son unos galardones convocados en los EE. UU., cuyo propósito es premiar los mejores trabajos en video y televisión de todo el año. Se convocan desde 1979 y han vivido la evolución de los productos televisivos desde entonces, habiendo entrado en una era en la que el trabajo de televisión y video se crea y consume de maneras nuevas y diferentes. Sus organizadores han adquirido el compromiso de celebrar lo mejor en estos medios, independientemente de su origen. La pasada edición, la 37ª, recibieron 12000 trabajos de los cinco continentes (la mayor parte norteamericanos, todo hay que decirlo). Los ganadores del Premio Telly representan el trabajo de algunas de las agencias de publicidad más respetadas, estaciones de televisión, compañías de producción y editores de todo el mundo. El jurado está formado por miembros de un Consejo, un grupo de más de 200 personas que trabajan en la industria y que anteriormente han ganado el galardón más alto de Telly Awards y como tal, tienen experiencia demostrable en las categorías que revisan. Reciben propuestas hasta octubre de 2017 y anuncian los ganadores en Mayo de 2018. Este capítulo que vamos a ver, competirá este año. La serie Working Class puede verse (en inglés, obviamente) íntegramente en un canal que la universidad ha abierto en YouTube y en el sitio web de la serie http://workingclass.tv. El sitio web también ofrece cortos relacionados con los temas explorados en el episodio, así como un blog escrito por el productor ejecutivo y recursos educativos para ayudar a los maestros y padres que enseñan a sus hijos en casa a incorporar las películas en sus clases. Working Class: ¡A Jugar! Porqué las Matemáticas importan Cada capítulo comienza con una introducción genérica sobre los objetivos de la serie. Varios narradores van diciendo frases, algunos las empiezan, otros las acaban, otras veces las dicen a dúo (algunas las repiten personas varias veces, para que nos quede claro el mensaje; las reproduzco las veces que aparecen). Entremedias alguna persona relevante aporta su opinión personal. Las imágenes se suceden con cierta rapidez y en todo momento suena una música una música de fondo, muy medida, “inspiradora”, según dice el subtítulo en inglés, que va subiendo el volumen progresivamente: El mundo del trabajo. El mundo del trabajo. La oportunidad para hombres y mujeres de poner sus habilidades a trabajar, y las carreras con futuro contribuyen a la calidad de vida de todas las personas. En este momento aparece un hombre que dice, mientras van pasando, con el sonido de un flash de cámara de fotos, imágenes del pasado de hombres y mujeres trabajando: La dignidad del trabajo ha sido siempre una parte de la historia americana. Aulas que conectan el aprendizaje con experiencias reales de trabajo. Dar a los estudiantes la oportunidad de explorar campos vibrantes de su carrera. Y para encontrar áreas de interés con las que puedan lograr establecer un impacto en el mundo real. En el mundo real. En el mundo real. Una mujer nos cuenta: Querer sentir que marcas la diferencia. Creo que esa es una necesidad humana fundamental. Y brevemente aparece el Penn College, su escudo, apenas son unos segundos, y una voz de una estudiante joven (se supone) remata la presentación indicando: Y un episodio de “Working Class” proporciona pistas para resolver los desafíos actuales. Las Matemáticas nos explican el misterio que hay detrás de la tecnología. Otra mujer nos dice: Necesitamos individuos con sólidas habilidades matemáticas y científicas. Necesitamos individuos que puedan operar en equipo, y necesitamos personas con habilidades técnicas. Y lecciones de comunicación, que nos pueden ayudar a trabajar juntos para construir vidas ricas y gratificantes. Vidas ricas y gratificantes. Vidas ricas y gratificantes. Otra persona nos dice: Las personas que hacen las cosas son necesarias. Estudiantes y profesores encuentran pasión y objetivos comunes. Donde las vidas reales se cruzan. Donde las vidas reales se cruzan. En una clase de trabajo real. En una clase de trabajo real. Una clase de trabajo. Una clase de trabajo. Una clase de trabajo. Una clase de trabajo. Ahora sólo vemos el rótulo de la serie durante más tiempo que cualquiera de las fotos y opiniones anteriores mientras la melodía ha cambiado a algo más suave que va bajando en intensidad hasta quedar completamente en silencio, y aparecen los nombres de las instituciones que han producido la serie. Vamos lo que podríamos definir como una puesta en escena epatante. Tras esos dos minutos, y una vez “convencidos”, de que no nos debemos perder lo que sigue (al menos a mí me ha sonado a esto; quizá es que no me guste este estilo tan directo de verdades incontestables tan utilizado por los medios de comunicación actuales, sobre todo los americanos), una pequeña introducción relacionada con el episodio concreto y su temática. El capítulo puede verse completo (56:03 min.), o en pequeños clips. Vuelvo a recomendar, para no cansar, que los disfrutéis por segmentos (pueden verse independientemente entre sí). Así divido la transcripción. Introducción (2:24 min.). Aparecen dos rótulos sobre las matemáticas: En el primero (suena una música de ambiente muy suave, de fondo, que evoca algo espacial, eterno) aparecen algunas de las ramas más conocidas de las matemáticas (se van moviendo alrededor de la palabra central, matemáticas), y se vislumbran algunas conexiones con conceptos concretos (ecuaciones lineales, identidades trigonométricas, aritmética decimal, integrales, geometría analítica, etc.). En el segundo, una frase de esas que podríamos denominar “lapidaria” (pero cierta, por otra parte): MATEMÁTICAS. La ciencia de los números y sus operaciones, interrelaciones, combinaciones, generalizaciones y abstracciones, y de las configuraciones del espacio y su estructura, medida, transformaciones y generalizaciones. A continuación, mientras se nos adelantan imágenes de los ámbitos en los que vamos a ver dónde se aplican las matemáticas (escalada, juegos de ordenador, electrónica, etc.), se entresacan algunas opiniones de los expertos que luego van a aparecer en el documental, dándonos una panorámica general: Voz en off 1: La mayoría de las cosas en la vida son más divertidas cuando puedes jugar con el sistema, pero para jugar con el sistema tienes que entender el sistema. Tienes que entender cómo funcionan las cosas. Tienes que ser capaz de pensar de manera abstracta, y las matemáticas te dan esa ventaja. Voz en off 2: Las matemáticas se utilizan en el arte. Se están utilizando en la música. Nada de eso es posible sin entender todas las matemáticas que hay detrás. Voz en off 3: De lo que la mayoría de la gente no se da cuenta es de que las matemáticas no es algo que creamos como seres humanos. Es algo que descubrimos. Es una ciencia, y hemos estado buscando por qué nuestro mundo funciona desde que estamos registrando la historia, y las matemáticas, son sólo la estructura simbólica que reunimos para explicar lo que estamos viendo suceder. Voz en off 4: Las matemáticas son una habilidad, y como cualquier otra habilidad, como la carpintería, como aprender a conducir un coche, como aprender a leer, no has nacido con ellas. Hay que aprender cómo hacerlo, así que cuando alguien dice que hay gente que se le dan bien las matemáticas y gente a las que no se les dan bien, eso no tiene sentido. Si estás dispuesto a invertir tiempo, si estás dispuesto a practicar, si estás dispuesto a estudiarlas, todo el mundo puede aprender a hacer matemáticas. 1er Segmento (3:49 min) a cargo de Michael Cherry, entrenador del equipo de escalada de las montañas de Shawanpunks (Shawangunk Ridge), cordillera montañosa en el estado de Nueva York. Posteriormente, en otro segmento del documental, volverá a tomar la palabra en su otra faceta de escritor y dibujante de comics. Previamente una frase de Thomas J. Watson, fundador de IBM: Si no estás jugando bien, el juego no es divertido. Cuando eso sucede, me digo a mi mismo, sal ahí, y juega como cuando eras un niño. Narrador: ¿Por qué necesitan los niños las matemáticas? ¿Es aprender matemáticas como escalar una montaña? ¿Explican las matemáticas realmente el misterio que hay detrás de la tecnología? ¿Pueden los videojuegos prepararte para una carrera? Exploraremos estas y otras preguntas durante este episodio de Working Class. ¡A jugar!: Por qué las matemáticas importan. Mike Cherry: Las Matemáticas y la escalada se parecen en que ambas son duras. Si te aproximas a ellas con alegría, y estás interesado en ellas, lo duro es irrelevante. Es algo que quieres hacer. Si escuchas a las personas que escalan hablar entenderás lo que están diciendo si estás familiarizado con la escalada. Utilizarán expresiones como ascendiendo y estallando, puntos muertos, una jerga propia. Igual que en las matemáticas, hay un lenguaje, así que tienes que entender los términos antes de que puedas entender lo que la gente está diciendo. Conversación en un entrenamiento: Y, entonces salgo a esa arista, pie derecho al través, el izquierdo hacia fuera en equilibrio, y para arriba. Una vez que has subido, arriba con el pie inferior. Mike Cherry: La escalada se divide en bouldering y lo que se llama escalada deportiva en términos de escalada de competición. El bouldering es casi siempre en interior o en paredes artificiales al aire libre (NOTA: en castellano se llama búlder, y es una escalada en solitario, en la que el escalador nunca asciende lo suficientemente alto como para tener problemas graves; en espacios cerrados, suele utilizarse una colchoneta para amortiguar posibles caídas), así que, en realidad, en equipo, vamos a diferentes gimnasios y competimos contra otros equipos de diferentes gimnasios. El escalar al aire libre proporciona una sensación muy diferente que la escalada en interiores. Hemos estado entrenando en interiores principalmente, pero en la escalada al aire libre hay que perfeccionar las habilidades que emplearon en las de interior. Es difícil enseñar a los niños que está bien fallar, y creo que con las matemáticas a veces los estudiantes entran con la idea de que van a fallar o no querer parecer estúpido, y tienen que darse cuenta de que las matemáticas son difíciles independientemente del nivel que a ti te resulte difícil. Va a ser difícil. Es como una progresión en la escalada, y aprendes que la tenacidad realmente te ayuda a superarlo, y si el mismo tipo de tenacidad se aplicara a las matemáticas o en el aprendizaje de cualquier tipo, puedes superarlo. Una de las cosas buenas de hacer bouldering en el gimnasio es que puedes aprender a fallar. De hecho, vas a fallar. Vas a fallar repetidamente. Te vas a levantar, te vas a caer, te vas a levantar, te vas a caer. No hay estigma vinculado a ello. Con el equipo de escalada a menudo digo, "Prueba esto", y alguien responderá, "No quiero intentarlo". “¿Por qué no?”. "Podría fallar", y entonces le digo "Lo intentas para fallar". Y si triunfan una y otra vez entonces digo, "Tenemos que encontrar algo que te haga fallar”. Tienes que fallar para mejorar, y lo que pasa es que estás tratando de mejorar su eslabón más débil, porque es el eslabón más débil el que siempre te va a impedir completar el trabajo. 2º segmento (4:37 min), en el que participa Lauren Rhodes, profesora del Pennsylvania College of Technology. Comienza de nuevo con una máxima, en este caso de Galileo: Si comenzara de nuevo mis estudios, seguiría el consejo de Platón, y comenzaría con las matemáticas. Lauren Rhodes: Cuando pienso en matemáticas, definitivamente lo asocio a belleza, y pienso en lo que veo, y en lo que puedo tocar, y en lo que puedo aprender acerca de cosas que no entiendo todavía, y creo que hay más belleza ahí fuera. Parece normal decir hoy en día: "Oh, soy una persona de matemáticas", o "No soy una persona de matemáticas", así que planteo el siguiente argumento. Mira los grandes pasos que la alfabetización ha hecho en las últimas décadas. Ha sido genial. La gente aprende a leer. Hemos aprendido cómo la gente aprende a leer. Hemos superado tantas dificultades de aprendizaje para hacer que todos lean, y de hecho un profesor probablemente sería despedido si le dijera a un estudiante: "Está bien, es probable que no vas a ser un lector". Algunas personas nunca leen. Por supuesto que ni siquiera puedo decir eso con cara seria. Eso es horrible. Eso nunca se lo dirías a nadie. En cierta manera puede que aprender algunas cosas de matemáticas sea más difícil para algunas personas, pero necesitamos encontrar una forma de alfabetización matemática. De alguna manera hemos comenzado a creer en el mito de que si algo es difícil, no estamos hechos para hacerlo. De alguna manera creemos que psicológicamente ciertas personas están destinadas a hacer ciertas cosas, y yo no creo eso. No creo que tengamos ciertas limitaciones abstractas diseñadas para nosotros. Podemos tener diferencias, y tenemos fuertes diferencias, y tenemos cosas que son más fáciles de aprender y cosas que son más difíciles de aprender, pero podemos hacerlo. Podemos aprenderlas, y parte de ser un educador es encontrar una manera en la que cada uno de mis estudiantes pueda aprender. Creo que probablemente lo mejor que un maestro puede hacer es amar su asignatura. Tienen que hacerlo. Tiene que ser algo que quieren hacer. Me siento como un matemático que tiene que vender su tema. Tienes que amarlo. Tiene que llevar esa magia contigo, de modo que hay que poder demostrar a estudiantes incluso si no entienden, digamos, las ondas trigonométricas, las ondas acústicas, las ondas luminosas, explícalas de todos modos. Muéstreles estructuras geométricas que son inusuales y estructuralmente sólidas, pero tienen que saber por qué. ¿Por qué estamos haciendo esto? ¿Dónde está ese álgebra que parece seguir para siempre? ¿Dónde me va a llevar? Tengo muchos, muchos, estudiantes de cálculo que dicen: "Oh, ahora veo por qué tuvimos que aprender eso". Pero realmente habría sido mejor si hubieran sabido a dónde iban hace varios años, si hubieran sabido que las matemáticas que estaban aprendiendo los llevarían allí. Ellos no saben por qué. ¿Por qué necesitarías este álgebra? ¿Por qué necesitarías alguna vez esta geometría, esta trigonometría, este cálculo? Pero, parte de nuestro trabajo es poder decir: "Bueno, esto abre muchas puertas, y esto te permite seguir este camino”, y no por dar ejemplos que sean sólo requisitos para evaluar. Básicamente, necesitamos llevarlos donde quieran ir. He visto a tantos estudiantes que aprecian que alguien vaya a su lado y les diga: "Puedes. Te he visto, sé que puedes. Lo tienes en ti. Sigue adelante". 3er segmento (10:45 min.). Se dedica a la relación de las matemáticas y la informática y nos lo presentan Jacob Miller y Spyke Krepshaw, profesores también del Pennsylvania College of Technology, y Jason Horton, un alumno aventajado. Comienza con el lanzamiento de un cohete al espacio. Voz en off: En 15 segundos, el control será interno. 12, 11, 10, 9, inicio de la secuencia de ignición, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, todos los motores encendidos. Despegamos. Jacob Miller: Me volví, supongo, consciente de las computadoras cuando era realmente un niño muy pequeño. Tenía alrededor de, probablemente, seis años de edad, y me interesé mucho en el programa espacial de la misión Apolo a la Luna en ese momento. De hecho, solía levantarme temprano en la mañana para ver los disparos espaciales de la NASA, y yo estaba fascinado por el centro de control. Me fascinó todo ese proyecto, y en particular la maquinaria que hizo todo posible. Neil Armstrong: Es un pequeño paso para el hombre, un salto gigante para la humanidad. Jacob Miller: Realmente creo que lo más práctico que ha salido de las matemáticas ha sido la informática. Los ordenadores que entendemos hoy realmente comenzaron hacia el final de la Segunda Guerra Mundial cuando estábamos tratando de descifrar los mensajes cifrados. Creo que estamos al borde, al igual que en 1940, cuando estábamos pasando de resolver cosas como problemas criptográficos con lápiz y papel, a hacerlo con máquinas mecánicas, y luego, en muy poco tiempo, mediante tubos de vacío y después mediante circuitos integrados. Mi sentimiento personal es que estamos en un umbral muy similar hoy, estamos a punto de ver que la forma en que solucionamos los problemas está a punto de evolucionar hacia algo diferente. Si uno no entiende por qué las cosas funcionan de la manera que lo hacen, va a ver llegar a soluciones que son de vida muy corta. Funcionarán por un tiempo, y luego van a bloquearse, y si no entiendes lo que los hizo funcionar, si no entiendes por qué la solución tiene que ser de esa forma, no vas a ser capaz de resolver el siguiente problema que surja. Jason Horton, alumno, a una clase: Abrid la página ASPX.CS predeterminada. Jason Horton: La programación es básicamente hablar con un ordenador para darle instrucciones que pueda entender para completar una tarea en su forma más simple. Spyke Krepshaw: Jason Horton es uno de mis estudiantes de gamificación y simulación, y es uno de esos estudiantes que siempre busca más información, y siempre aprende y hace más. Alumno: ¿Qué es eso? Otro alumno: El segundo. Profesor: ¿El segundo? ¿Qué palabra es esa? Alumno: 1433. Spyke Krepshaw: Cuando nuestros estudiantes empiezan en estudios de gamificación y simulación, o el grado medio de seminario interactivo, requieren un cierto nivel de matemáticas, porque en ambos grados hay una buena cantidad de programación de ordenadores. A través de un ordenador: Con suerte, usted no cometerá ningún error. Spyke Krepshaw: El consejo que le damos a casi cualquier estudiante que entra en un grado relacionado con Tecnologías de la Información (en adelante TI) es, te guste la matemática o no, que aprenda tanta como pueda. Spyke Krepshaw: Disfruté con las matemáticas, pero no sobresalí en ellas, y cuando llegué a la universidad, tenía miedo de matricularme en un grado de programación, porque sabía en aquel entonces que era denso en matemáticas. Desde entonces me gustó mucho la programación. Recogí las habilidades de las matemáticas a lo largo del camino, y creo que aprender matemáticas me ha beneficiado para aprender más en los campos de las TI. Jason Horton: Es necesario tener un buen sentido en las matemáticas para entender cómo funcionan los ordenadores a un nivel muy básico, ya que en ellos todo está en binario, que es todo unos y ceros. Cuando intentas convertir un número binario en un número decimal que un ser humano pueda entender, se necesita saber cómo convertirlo correctamente con matemáticas. En lo que respecta a la programación, las matemáticas también son importantes a un nivel superior porque es necesario escribir expresiones matemáticas muchas veces para hacer que el código funcione correctamente para hacer lo que necesita hacer. Dibujar un círculo con un programa, precisa conocer el área de un círculo, la fórmula para generar un perímetro alrededor de un cierto radio para que sea la forma correcta. Una gran parte de las TI está limitada si realmente no te importan mucho las matemáticas. Entiendo que a mucha gente no le gusten las matemáticas, y es a veces porque no entienden los conceptos, y luego son arrojados a una clase de matemáticas de nivel superior, y no entienden completamente los conceptos previos para continuar porque las matemáticas que necesita para avanzar se basan en conceptos anteriores para continuar. Jason Horton: Mi proyecto senior (en nuestro país un trabajo fin de grado, un TFG) es actualmente sobre fractales. Los fractales son puramente fórmula matemática, pero crean patrones muy intrincados y dan ilustraciones artísticas asombrosas. Empleé varias Raspberry Pi, que son básicamente ordenadores en miniatura de 35 dólares, y las puse juntas en un pequeño grupo para dividir básicamente el trabajo para generar los fractales para tratar de obtenerlos más rápidamente, porque los fractales precisan muchos cálculos. Es básicamente una combinación de todo lo que he aprendido hasta ahora, en cuanto a la programación, redes, bases de datos, seguridad. El software es el código real detrás de la prestación, y la red es la comunicación entre ellos. La seguridad está configurando un sistema de bloqueo de cuenta para la interfaz de usuario para que un usuario final utilice este sistema, y la base de datos sería como almacenar las imágenes renderizadas para que pueda verlas más tarde sin tener que volver a calcularlas de nuevo, lo que incluye una gran cantidad de las diferentes técnicas que hemos aprendido en los últimos cuatro años. En este momento, entramos en un juego de ordenador Personaje: ¡Cuidado! Spyke Krepshaw: Los padres escuchan la palabra gamificación, y dicen: “Ok, van a estar jugando al Call of Duty durante los próximos cuatro años”, cuando en realidad no se trata de jugar, sino también de la parte de la simulación. Jugar es para diversión, la simulación es para el aprendizaje, pero estás utilizando las mismas herramientas. Podría ser un entorno 2D o 3D tanto para jugar y divertirse, como para alcanzar unos conocimientos, y como son las mismas herramientas, los propios estudiantes están disfrutando de lo que están aprendiendo un poco mejor porque están aprendiendo a crear un juego o una simulación, aunque en su mente sea un juego. Por lo tanto, realmente lo que están aprendiendo es la programación de ordenadores, y creo que sólo la palabra juego despierta ya su interés. Jacob Miller: Observamos los juegos de ordenador, miramos la industria del entretenimiento en particular los videojuegos, y eso es una parte interesante de la industria. Hay un montón de luces, una gran cantidad de publicidad, pero eso no es necesariamente la mayor parte de la industria. La mayor, la más consistente, la relativa a un trabajo de nueve a cinco, de currito si lo quieres ver así, es la parte de la industria que se dedica a escribir software de simulación, y la gran mayoría de software de simulación es software de formación. Conseguir que alguien aprenda a volar un avión, mostrándoles cómo aterrizar en un simulador antes de que se estampane contra el suelo, conseguir que alguien maneje una pieza de millones de dólares de la maquinaria antes de entrar y destrozarla y maldecirse por ello; estas son las cosas por las que las empresas pagan mucho dinero, y encontrar un programador que sea realmente capaz de escribir el software no es una tarea trivial. Esto no es sólo una moda pasajera. Esto no es sólo algo que su hijo quiere hacer y que nunca va a valer para nada en la vida. Esto tiene el potencial de conseguir realmente un trabajo muy valorado después, y que puede hacer algunas cosas realmente grandes con él. Vuelve a su capacidad de resolver problemas. Si logras aprender cómo operar y programar un ordenador en niveles fundamentales, puedes conseguir entrar en casi cualquier área de cualquier negocio que desees. Siempre se oye hablar de los trabajos que se van a países extranjeros, y una de las cosas que me apresuro a señalar es que muchos de los trabajos que son subcontratados y se van fuera son los trabajos que son de mano de obra sustancialmente no cualificados. Es decir, trabajos que podemos enseñar a una máquina a hacer, o trabajos que podemos enseñar a un ser humano a hacer de un modo muy barato. Si usted desea hacerse más resistente a ese tipo de desempleo, entonces lo que tiene que hacer es un trabajo que no pueda ser subcontratados. Esos son los trabajos que requieren análisis. Esos son los trabajos que requieren que alguien se siente y sea capaz de hacer una buena resolución de problemas. Fundamentalmente, los trabajos de análisis requieren que usted tenga buenas habilidades de resolución de problemas, buenas habilidades matemáticas, y si el problema puede ser resuelto por un ordenador, tener buenas habilidades para la programación. Esos son los tipos de cosas que tiene usted a su favor, y si los tiene, no creo que vaya a tener que preocuparse por estar desempleado, así que mi consejo a cualquiera que esté en la escuela es que aprenda matemáticas, y se las tome en serio. Si el maestro le dice: "Bueno, lo haces solo porque tienes que hacerlo", eso es una tontería. Usted lo hace porque va a ser muy significativo para usted más adelante en la vida. Se le van a abrir a usted todos los trabajos en la vida que no pueden ser subcontratados a China, Brasil o la India. Van a abrirse todas las oportunidades en la vida que sólo están disponibles para las personas que de otro modo deben mirar al resto y preguntarse, “Bueno, ¿qué los hace tan malditamente inteligentes?” A menudo lo que los hace tan malditamente inteligentes es que se interesaron por las matemáticas, y tienen esa ventaja extra que nadie más realmente tiene o estaba interesado en conseguir. Uno de los platos fuertes del documental es la colaboración de Nolan Bushnell, fundador de Atari, uno de los 50 hombres que cambiaron América, según una lista de la revista Newsweek. Aparece en el 4º segmento (8:04 min.), que obviamente se dedica más de lleno a la gamificación o ludificación (palabros horrendos de nueva generación, que como sabrán, designa al uso de estrategias, modelos, dinámicas, mecánicas y elementos propios de los juegos en contextos ajenos a éstos, con el propósito de transmitir un mensaje o unos contenidos o de cambiar un comportamiento, a través de una experiencia lúdica que propicie la motivación, Wikipedia dixit). Y se empieza, como no podía ser de otro modo, con una frase del citado Bushnell: Lo cierto es que las ideas creativas no se producen por destellos repentinos. Evolucionan de forma gradual, por procesos paso a paso de análisis y solución. Jason Horton: Me gustan los juegos tipo rompecabezas. Mi juego favorito de todos los tiempos es probablemente Portal y Portal 2. (NOTA: Portal es un videojuego de lógica para un solo jugador que consta de una serie de rompecabezas que deben ser resueltos tele transportando al personaje y objetos simples mediante un dispositivo que puede crear portales interespaciales entre dos superficies planas. A estos portales es a los que se refiere después el alumno). Hice mi proyecto de temas avanzados el último semestre usando portales. Básicamente reescribí mi propio motor miniatura de portales. Básicamente, cuando se entra en un agujero de una pared, se sale por un agujero diferente en otra pared, y hay muchas matemáticas involucradas para que las cámaras funcionen correctamente como si hubiera una unión perfecta entre las dos habitaciones, de modo que se paseara a través de ellas sin ni siquiera darse cuenta de que está caminando a través de un portal a un área diferente, ya que es perfecta. Parece que estás simplemente cruzando una puerta. Me gusta resolver rompecabezas y los juegos como este que se aprovechan de la mecánica abstracta para básicamente desechar tu percepción de lo que es normal y lanzarte a una nueva normalidad y tener que resolver los desafíos basados en esos nuevos entornos. Crecí con una NES (Nintendo Entertainment System) y una PS1 (PlayStation), así que tengo mucho respeto por aquellos juegos originales. Mi juego favorito mientras crecía era Super Mario Bros III y la Leyenda de Zelda. Realmente disfruté de esos juegos. Los jugué hasta gastarlos. Son tan divertidos. Los sistemas en los años 80 y 90 eran extremadamente limitados. Los programadores tenían que ser ingeniosos y muy inteligentes con las maneras en que iban haciendo estos juegos. Hoy los programadores realmente no tienen que preocuparse por las limitaciones de memoria porque ahora ¿qué tenemos? ¿50 terabytes que se agotan? Eso es ridículo. Nadie podría haber pensado en eso antes, y tenían que trabajar en sistemas que sólo tenían un par de kilobytes de memoria total para trabajar. Todo su programa tenía que correr dentro de ese tipo de espacio de memoria, y los procesos eran extremadamente limitados. Creo que los programadores de entonces eran probablemente los programadores más fuertes de lo que tenemos hoy debido a esto. Las restricciones que tenían, y tenían que ser ingeniosos en más de un sentido para hacer estas cosas y hacer juegos que eran divertidos para jugar con esos recursos limitados. Narrador: ¿Te imaginas un mundo sin videojuegos? Gracias a los pioneros de la industria como Atari no es necesario. Atari llevó juegos de estilo arcade, como el juego de tenis Pong, a los hogares en los años 70. Hoy, el fundador de Atari, Nolan Bushnell, busca inspirar a una nueva generación incorporando tecnología y experiencias de vida prácticas en el aula. Nolan Bushnell: Se trataba más de una evolución en la tecnología que de una innovación por mi parte. Siempre supe que el juego en casa sería genial si pudiéramos construirlo suficientemente barato, y tuvimos que esperar literalmente hasta que se inventó una tecnología llamada N-Channel MOS. N-Channel MOS permitió que los chips fueran lo suficientemente rápidos para las correrías en video. La complejidad era lo suficientemente buena, primero con Pong, y luego más tarde con el VCS (Video Communication Server, Servidor de Comunicación de Video). Si eras un freaky en aquellos años 50, lo tuyo era ser radioaficionado, así que yo quería obtener mi licencia de radio HAM, pero tenía 10 años de edad y por debajo de esa edad obtener esa licencia requería conocer un poco de álgebra y un poco de cálculo, y eso fue realmente un problema para mí porque estaba en el tercer o cuarto grado, así que una de las cosas que creo que es importante es que una vez que tengas una meta, que intentes alcanzarla, así que aprendí por mi cuenta el suficiente álgebra y calculo para poder pasar el test de radioaficionado. Ahora, no soy un genio de las matemáticas, pero fue una situación que quería hacer, que tenía que hacer, y algo parecido está sucediendo hoy con un montón de niños. Hay chavales de 10 años de hoy en día que están diseñando sus propios videojuegos mediante el uso de Unity, y Unity es bastante sencillo para hacer un juego móvil en su teléfono móvil o lo que tengas, pero se necesita un poco de matemáticas. Uno de los problemas que se tienen en la educación, que los niños tienen, es que no saben lo que quieren hacer cuando crecen, por lo que las escuelas deben proporcionar un catálogo de la nueva era, de la nueva métrica, de las nuevas construcciones de pensamiento. Hay una serie de cosas que los niños necesitan poder hacer antes de graduarse de la escuela secundaria. Cada estudiante de secundaria debería saber cómo preparar una presentación en PowerPoint. Ningún chico de 10 años debería permitirse no saber mecanografiar a 50 palabras por minuto. Cada estudiante debería tener una tableta o un Chromebook. Los ordenadores deberían estar integrados en su vida escolar, no solo en un laboratorio de computación, porque un aula debería parecerse más a un laboratorio que a una clase. Hacer cosas como adquirir habilidades de interactuación para la vida y habilidades escolares de una manera real, y si el estudiante no quiere venir a la escuela o se aburre en la escuela es culpa nuestra. Tenemos que cambiar lo que estamos haciendo. Tenemos que abrir los ojos y decir: "Tiene que haber una manera mejor". Tenemos que encontrar esa manera, y va a ser diferente para niños diferentes, por lo tanto, la individualización de la educación se vuelve aún más importante donde algunos niños van a querer aprender matemáticas utilizando el lenguaje del béisbol y otros niños van a querer aprender matemáticas a través del lenguaje de la ciencia o el lenguaje de la política. Jacob Miller: La mayoría de nuestros hijos hoy han sido condicionados por el ambiente que ven a su alrededor. Todo el mundo tiene un teléfono móvil, todo el mundo tiene un teléfono inteligente (Smartphone). Desde edad muy temprana aprenden a jugar con ellos, así que, si estructuran el entorno de enseñanza y aprendizaje como un juego, si lo estructuran como algo donde hay metas claramente definidas, y hay objetivos claramente definidos, y hay un proceso de nivelación claramente definido, ya sabes, yo domino esto, entonces me muevo al siguiente nivel. Yo domino esto, me muevo al siguiente nivel, los niños parecen responder a esto muy bien. Algunos de los clásicos juegos de mesa, Battleship y Stratego, son muy buenos juegos para que los estudiantes piensen en cuáles son las estrategias que mi oponente está pensando, y por lo tanto ¿cuáles son las estrategias y los métodos de resolución de problemas que tengo que emplear? Por lo tanto, hacer que los niños piensen en resolver esos tipos de puzles es lo que creo que les ayudará en términos de pensamiento organizado. 5º segmento (9:19 min.). Se dedica a la electrónica y participa Ed Almasy, profesor de la Universidad. Como en los anteriores aparece precedido de una sentencia, en este caso de Arthur C. Clarke: Cualquier tecnología suficientemente avanzada es indistinguible de la magia. Ed Almasy: Soy un chico de los 70. En los años 70 todavía era bastante mágico poder encender una pequeña caja y oír voces que salían de este pequeño altavoz. Radio, electrónica, computadoras, tecnología de esta naturaleza era mágico. Todavía es mágico. Mi primera experiencia con un ordenador probablemente habría sido en los primeros años 80. Lo que realmente intrigaba acerca de las computadoras era que tenías control total sobre algo. Para mí era al menos poder imaginar algo, pensar en lo que lógicamente haría que eso sucediera, programarlo y ver lo que ocurría. Tuve la oportunidad de ir a una universidad pública y asistir a clases de electrónica digital, y realmente comenzar a entender cómo esta fantástica máquina que me estaba divirtiendo mucho trabajaba internamente en realidad. Empecé a usar las matemáticas que había aprendido y entender las leyes que regían toda esta tecnología fenomenal en ese momento. Todo lo que hacemos en electrónica, desde la distribución de energía hasta la comunicación por radio, hasta el lanzamiento de satélites, equipos de fotografía de alta tecnología y redes de procesamiento de imágenes y comunicaciones, todo se reduce a principios muy básicos, matemáticas muy sencillas. Las matemáticas son y siempre han sido un campo abstracto. Es decir, usted visualiza números y relaciones con números y propiedades de las cosas, y puede relacionarlas con ecuaciones y así sucesivamente, por lo que es muy abstracto. Los dispositivos que usamos y tenemos en el mundo de la electrónica hoy en día, hay un montón de cosas que suceden allí a un ritmo muy rápido, y es muy difícil ver físicamente lo que ocurre. Usted tiene que utilizar su teléfono, y está haciendo algo con él con una aplicación y otras cosas. Hay millones de cálculos en cada segundo, y no se puede ver físicamente que sucede, por lo que tiene que pensar de forma abstracta, y las matemáticas realmente le ayudan a desarrollar esa mentalidad. Tener una mente matemática le ayudará a entender cómo funcionan las cosas en las que no siempre se puede ver físicamente lo que está pasando. Piense en un teléfono inteligente, un pequeño dispositivo. Es una maravilla de la tecnología informática. Es una maravilla de la tecnología de comunicaciones electromagnéticas, tecnología poderosa. Usted tiene una batería allí, una batería muy pequeña, a la que desea exprimir la mayor cantidad de energía tan eficientemente como sea posible. Todo electrónica, todo impulsado por leyes matemáticas fundamentales. Mucho de lo que podemos hacer hoy en día con la tecnología está impulsado por el procesamiento de señal digital. Está en todas las cámaras que usamos. Se utiliza para la compresión de datos cuando se habla por un móvil y está tratando de enviar grandes cantidades de información a través de grandes distancias en un corto período de tiempo. Es una técnica mediante la cual, usando una gran cantidad de ecuaciones simples, montones de ellas, y un procesador muy potente se obtienen algunas cosas realmente increíbles. Pantalla con la definición de TRANSISTOR: Elemento eléctrico básico que altera la corriente eléctrica. Son bloques de circuitos integrados, como los procesadores de los ordenadores, o las CPUs (unidades centrales de procesado). Las CPUs actuales contiene millones de transistores individuales de tamaño microscópico. Ed Almasy: La electrónica ha cambiado muchísimo a lo largo de los años. Cuando era joven, muy joven, pensé que un gran espectáculo y presentación sería traer un simple y sencillo transistor y decir, "Esto es lo más revolucionario que se ha visto nunca, ¿verdad? Este pequeño transistor”. Y ahora, los dispositivos que están en todos nuestros bolsillos tienen literalmente miles de millones, miles de millones de estos transistores haciendo cálculos muy rápidos y la escala de la tecnología ha cambiado mucho durante mi vida. Tenemos una mezcla ecléctica real de cosas que hacen nuestros graduados. Tenemos un buen número de ellos que están involucrados en los campos de automatización. Las fábricas y los edificios y los sistemas complejos son controlados por dispositivos que controlan cuando las cosas se encienden y se apagan y se mueven aquí y allá y así sucesivamente. Muchos de nuestros estudiantes son muy expertos en estos sistemas semi robóticos donde tienen que saber la programación, que tienen que saber cómo los equipos interactúan entre sí. Tienen que conectar las computadoras a estos sistemas. Tienen que escribir programas que conduzcan todo este tipo de cosas, así que hay muchas oportunidades. También hay oportunidad para el diseño de circuitos. Lo que es cada vez más importante en este mundo es ser capaz de aprovechar eficientemente la energía, la energía verde, las baterías pequeñas. A todo el mundo le gustan las pilas pequeñas, los dispositivos pequeños. ¿Con qué frecuencia desea cargar su teléfono móvil? Tan poco como sea posible, por lo que necesita personas que puedan entender y puedan diseñar y trabajar con circuitos que almacenen un cierto volumen de energía y lo hagan durar todo el día. Cada lavadora, cada horno de microondas, todo lo que tiene un poco de luz parpadeante tiene un microcontrolador ahí, que alguien tiene que entender cómo diseñar, programar, hacer que funcione, hacer que interaccione con el resto del mundo. Eso es lo que nuestros estudiantes están haciendo. Mucha gente piensa que la próxima gran cosa es el Internet de las cosas. Internet de las cosas: La interconexión a través de Internet de los dispositivos utilizados en la vida diaria, permitiéndoles que envíen y reciban datos (Diccionario de Oxford). Ed Almasy: Todo va a tener un microcontrolador, todo va a estar recogido en pequeñas piezas de datos, todo va a consistir entonces en el envío de los datos que se recogen en algún lugar. Algunos de los rastreadores de fitness personal, que están siendo muy populares, son un ejemplo de la Internet de cosas, donde dispositivos ubicuos en su cuerpo, en su entorno, en su coche, en su oficina, controlan cosas como la temperatura y la frecuencia cardíaca, el colesterol en cada momento, y estos datos se pueden utilizar para dirigir los medicamentos para informarle de quizás qué clase de opciones de alimento debe usted consumir para ahorrar costes del cuidado médico. Estos sistemas necesitan ser diseñados, tienen que ser puestos en su lugar, necesitan ser ajustados, necesitan ser programados, y creo que nuestros estudiantes están muy bien preparados para ser parte de esta próxima gran cosa que es el Internet de las cosas. Código Ético para Ingenieros: La ingeniería tiene un impacto vital y directo en la calidad de la vida de todo el mundo. En consecuencia, los servicios desarrollados por los ingenieros requieren honestidad, imparcialidad, justicia e igualdad, y deben ser orientados a la protección de la salud pública, seguridad y bienestar. Ed Almasy: Porque podemos poner sensores en todas partes, porque podemos recopilar datos de todo, ¿debemos hacerlo? En muchos casos sí, en muchos casos no. La ética de la ingeniería es una parte importante de lo que hacemos, y es importante que los estudiantes estén más versados que simplemente ser capaces de hacer las cosas técnicas. Tienen que ser capaces de relacionar esto con el mundo real, y ver el impacto de sus decisiones en el mundo real, y decidir y tomar decisiones informadas sobre cómo deben implementar estos sistemas. En algunas de las películas que se estrenan hoy en día, películas de ciencia ficción, vemos una persona de pie, agitando sus brazos, y hay pantallas de ordenadores en 3D, y las cosas con sólo decir una palabra se ensamblan y se hacen en el chasquido de un dedo. Cada día esto se está convirtiendo en más y más realidad. Tienes un Nexus. Tienes tecnología informática, tienes tecnología de fabricación, capacidades de impresión 3D. Usted tiene avances sorprendentes en el campo biomédico y sensores integrados en el cuerpo humano, y todo este material está empezando a aparecer a la vez. Lo que era ciencia ficción en los años 60 cuando yo era un niño, Star Trek, es una vieja reliquia ahora. Tenemos los comunicadores de mano. Todavía estamos trabajando en los rayos transportadores, pero esas cosas están aquí. Estamos llegando con esta convergencia de tecnología increíble. 6º Segmento (5:34 min.), a cargo de otro profesor de la Universidad de Tecnología de Pennsylvania, Edwin Owens, analiza cómo deberían entenderse las matemáticas. No deberían existir cosas como unas matemáticas aburridas (Edsger Wybe Dijkstra, físico y pionero de ciencias de la computación). Edwin Owens: Creo que muchos estudiantes limitan su potencial futuro en ciertas carreras STEM (Science, Technology, Engineering, Math), en las carreras de alta tecnología, en carreras tipo ingeniería porque renuncian a las matemáticas temprano y, a veces las matemáticas son lo único que les impide seguir adelante, porque creen que pueden manejarse sólo con la tecnología. No ven esa matemática oculta detrás de la escena. Creo que una de las cosas más importantes que creo que tanto los maestros como los padres y los estudiantes necesitan entender es que la matemática es más que la manipulación de ecuaciones. Es más que empujar los números alrededor de un trozo de papel. Necesitas entender el concepto, la relación con el mundo real. Si piensas a la manera de las computadoras, hay una entrada y una salida. En matemáticas lo llamaremos un dominio y una imagen, pero básicamente la matemática realiza operaciones en ciertos números o letras que representan algo en la realidad, por lo que asigna números a una operación determinada y los pone en relación con ella, de modo que tal vez la relación es que duplica algo, o tal vez duplica algo y luego agrega cuatro, y eso produce algo diferente. Esos son los pilares fundamentales, por así decirlo, para crear algo nuevo y diferente. Es entender el concepto más que la manipulación. Un montón de estudiantes ven las matemáticas como trabajar un problema y aquí está la respuesta, y mi pregunta es ¿podrías decir qué representa en el mundo real? Ellos necesitan saber eso, y por lo tanto hay una conexión entre entender el fenómeno real y luego construir sobre eso. Las matemáticas están ligadas a la ciencia y a la tecnología. Todo está interrelacionado, y al mirar al mundo ahora, observamos cuánto hemos avanzado en el transporte y la atención de la salud y la industria y todos los productos que se han creado, los robots que tenemos en funcionamiento, muchas de nuestras plantas de fabricación, y cómo son controlados por rutinas. Hoy en día realmente no necesitas a la persona tanto para hacer la parte física de construir algo. Necesitas a alguien que sabe cómo controlar la máquina que está haciendo el control físico. Lo que pienso que es emocionante sobre las matemáticas hoy en día es la matemática que se utiliza en el arte, en la música de hoy, en la televisión. Nada de eso es posible sin entender todas las matemáticas que hay detrás. La parte triste es que la gente no se da cuenta, porque somos consumidores, y simplemente queremos utilizar el producto. Estaba enseñando en una escuela pública cuando salió el primer Apple. En ese momento era una caja negra, y recuerdo haber asistido a un curso en mi trabajo de posgrado en lenguaje máquina, y ahí es cuando realmente entiendes dónde entraron en juego las matemáticas en el desarrollo de programas y ordenadores que controlan la mayor parte de la tecnología. Todo estaba basado en el sistema binario, encendido, apagado, y trabajaremos con dos números, cero y uno. Por lo tanto, cuando escribí programas tuve que hacer todo con números, y vi cómo se podía utilizar todos estos números para hacer un programa que realmente resolvería un problema. La matemática se convirtió en el lenguaje porque puede configurar símbolos que representan algo, igual que en matemáticas cuando se está enseñando una ecuación. Los estudiantes ven una x, y puedo ver que eso representa la altura de un edificio, y así puedes hacer una interpretación entre los números y las palabras. La mayoría de los estudiantes que están luchando con las matemáticas ven letras y números. No ven lo que representan, por lo que un profesor puede hacer las matemáticas más interesantes. Creo que hay que capturar su atención primero con el problema, y después ir hacia atrás y enseñar las habilidades. En una clase real: Entonces, ¿qué dudas hay sobre los signos equivocados? ¿Alguna pregunta, Angie? Angie: ¿Puede hacer el número cuatro y el tres? Edwin Owens: Los estudiantes que trabajan en matemáticas obtienen mucho más que simplemente hacer matemáticas. Aprenden detalles, prestando atención a los detalles. Ellos aprenden a mirar un problema, y verlo por sus partes individuales y descomponerlo en sus componentes, y después juntarlos de nuevo, y abordar una pieza más pequeña primero. Una vez que está funcionando correctamente, entonces puedes construir sobre eso. Si tienes mucha ansiedad y las matemáticas no son lo tuyo, y aun así sabes que vas a una carrera en la que necesitas aprender cierta cantidad de matemáticas, no relegues las matemáticas al último minuto. Elige comenzar donde esté tu habilidad matemática. No trate de saltar por delante de donde está su habilidad matemática. Asegúrese de obtener una clase en la que pueda tener éxito. No fije las probabilidades y tome buenas decisiones y elija una clase que las probabilidades no sean buenas a su favor en primer lugar. Puede ser difícil, pero puede hacerse. 7º Segmento (2:27 min.), dos profesoras, una de Secundaria y otra de Universidad (Lauren Rhodes), charlan sobre cómo plantean sus clases. Profesora en una clase: Ahora, la incógnita está en el segundo miembro. Tenemos nuestra hipotenusa. Cuando pasamos al primer miembro, multiplicamos 8605 veces el seno de 35, ¿terminamos con? Dame una respuesta. Patti Miller: Soy Patti Miller, y enseño matemáticas en el instituto del barrio de Williamsport. He estado dando clase en el curso de doble matrícula del Penn College durante cinco años. Lauren Rhodes: La doble matrícula significa que reciben créditos de la escuela secundaria por sus clases de matemáticas, créditos que necesitan para graduarse y por los que obtienen créditos universitarios. Patti Miller: Es un álgebra técnica con trigonometría, por lo que no entramos en la parte analítica de la trigonometría. Son principalmente las aplicaciones. ¿Cuándo usaré esto? Así que, permite que más veces se apliquen en actividades, y que hagan más exploración. Un par de semanas atrás, los estudiantes usaron una herramienta llamada teodolito para medir el ángulo de elevación para encontrar diferentes alturas, y hoy vamos a ver cómo hacer si no tenemos un triángulo rectángulo. ¿Cómo harías eso, todavía usando las mismas herramientas, pero mediante la ley de los senos? Por lo tanto, vamos a enviarlos a encontrar diferentes alturas de algo que no seriamos capaces de medir, pero podría estimarse. Tenemos ahora una gran tecnología, y yo solía usar un transportador, esparadrapo, cinta métrica, un trozo de hilo y colgar una arandela para alinear el hilo, y tener que averiguar la diferencia, y determinar el ángulo de elevación de esa manera. A veces pienso que sería más divertido, pero ahora hay una aplicación en la tablet para hacerlo, por lo que sólo se pulsa un botón, y les dice el ángulo de elevación, pero creo que también los está preparando para el mundo real. Algunas aplicaciones del mundo real de este tipo estarían en construcción. Encontrar diferentes longitudes de los lados, hacer diferentes cortes, conocer y encontrar diferentes ángulos. Lauren Rhodes: Entonces, a gran escala, cualquier cosa que estás usando de las matemáticas que estás estudiando, si lo necesitaran para seguir algo, algo en órbita, algo en el cielo, algo lejano, se apañarían. 8º Segmento (3:45 min.). Retomamos al entrenador de escalada Mike Cherry en su faceta de guionista y dibujante de cómic. Ha creado a un súper héroe, Plusman (el hombre suma), del que nos habla. Cualquier niño debería intentarlo todo: deporte, música, arte, matemáticas (Tony Buzon, novelista y experto en educación). Mike Cherry: Si piensas en Adam Tegetter, ¿a qué te suena? Niños a coro: Súmalos todos. Mike Cherry: Correcto. Narrador: ¿Podría un superhéroe convencer a los niños de que el aprendizaje de las matemáticas puede ser tan divertido y emocionante como las paredes de una roca de escalada? El entrenador de escalada Mike Cherry sí lo cree. Mike Cherry: Decidí que debería existir un superhéroe matemático. Narrador: Creó las historietas Addventures of Plusman (NOTA: observese el juego de poner Add, sumar, en la palabra Aventuras) para ayudar a los niños a comprender el lenguaje de las matemáticas en el que los conceptos importan más que los números. Mike Cherry: Cuando estaba pensando en Plusman sabía que quería hacerlo gracioso, y que fuera accesible a los estudiantes, para que las leyeran y se rieran, y la idea de incorporar juegos de palabras en ella, tomando el lenguaje de las matemáticas y creando un cómic cómico, un exagerado cómic de un superhéroe de las matemáticas. El personaje de Adam es el típico tipo estereotipado, y por supuesto su nombre Adam Tegetter tiene el doble significado de sumarlos juntos (NOTA: Add them together), y se convierte en Plusman. El Dr. Nein es el genio del mal que está tratando de hacerse con el mundo, pero él está tomando el control con las matemáticas, no con alguna invención malvada. El otro personaje, Hex A. Hedron, cuya cabeza es un cubo, es el Obi-Wan Kenobi de los personajes que puede canalizar la fuerza matemática. Aidee DeGrangle, trabaja para la policía matemática galáctica, y ella tiene su perro-ordenador llamado Trípode, con tres patas, y en realidad es el personaje más inteligente del grupo. Ella está constantemente guiando a Adam para ayudarlo a resolver las cosas y ayudarlo como Plusman, porque incluso como superhéroe matemático, no está muy cómodo con el papel. Sufre de ansiedad matemática, por lo que una de mis ideas con Plusman fue tomar un término matemático, y hacer un juego de palabras entre el término matemático y el término de uso estándar. Para que el estudiante entienda la broma, en realidad tienen que entender ambos significados, y la intención es que miren a través del libro. Si ven un término del que no están seguros de si es un término matemático o no, pueden entonces buscarlo, y pueden explorar lo que significa. La matemática en sí se alimenta de nuevo en el idioma, por lo que para entender un concepto que puede tomar tres o cuatro o cinco lugares diferentes, por lo que no está aprendiendo una definición. Está aprendiendo un concepto, y está aprendiendo la construcción de la matemática que hay detrás de él, así que realmente lo entiendes desde un sentido más amplio. Puedes mirarlo desde diferentes perspectivas, y eso es lo que es la comprensión. Creo que mis libros de historietas hacen que las matemáticas sean accesibles. No puedes mirar a Plusman y estar terriblemente intimidado. No es un personaje intimidante. No es un libro de matemáticas, es un libro de historietas, y pueden comenzar a mirar los términos de matemáticas y verlo en una luz diferente donde es realmente divertido. No es intimidante, no es matemáticas. Esto es algo distinto de lo que he estado aprendiendo. Es una manera diferente de verlo. 9º Segmento (3:28 min.). Conclusión. Tres de los protagonistas del documental exponen una idea final. Jacob Miller: Pienso que la preparación para afrontar una carrera sigue la misma estructura que un juego. Es muy similar al proceso de gamificación. Tienes que empezar en alguna parte, y cada vez que has dominado las habilidades para hacer algo, voy a ser capaz de moverme hacia arriba y así sucesivamente. No asuma que en lo que usted está interesado va a ser necesariamente su carrera, pero utilice eso como una oportunidad para la curiosidad, y explore todas las cosas que están relacionadas con ello. La exploración espacial me llevó en última instancia a la computación. La fascinación por los ordenadores en última instancia, me llevó de vuelta a las matemáticas. Mike Cherry: A veces nos encontramos con lo práctico y con lo poco práctico, y a usted podría encantarle lo poco práctico. A menudo la persona que se esfuerza por hacer lo poco práctico, y realmente se dedica a ello, encuentra que se vuelve práctico. Independientemente de quien sea, encontrará que hay algunas matemáticas que entenderá y algunas matemáticas que no entenderá. Ser malo en una forma de matemáticas no niega que sea bueno en otra forma. Ed Almasy: Cuanto más haces algo, más competente te vuelves en ello, y más empiezas a disfrutarlo. Especialmente donde se puede ver donde es útil, y donde se aplica al mundo real. Tener una comprensión de cómo funciona eso le permite establecer una forma de vida y maximizar su disfrute de los sistemas que están a su alrededor, maximizar sus oportunidades de carrera. Las oportunidades de carrera que van a aparecer, van a estar basadas en la información, los ordenadores, la tecnología, la electrónica. Si usted puede conseguir comprenderlos, usted tiene un gran futuro por delante. Eso no va a desaparecer. Ese es nuestro futuro. Alfonso Jesús Población Sáez

Viernes, 06 de Octubre de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico