301. 37. La chica matemática (2)

Un nuevo año suele ser un buen momento para proponerse nuevas metas, gracias a la recarga de energías que proporciona el turrón y al cargo de conciencia de no haber hecho nada en vacaciones. Nosotros, algo más modestos, nos conformamos de momento con seguir con la tarea iniciada y terminar lo que estaba pendiente. Retomamos así a Math Girl, la chica matemática, heroína concebida motivar a los alumnos USAmericanos en conceptos  teóricamente difíciles de asimilar (para ellos). El segundo capítulo de la trilogía puede verse en versión original en http://es.youtube.com/watch?v=Ceui-CIQZe4. Basa su argumento en el límite . El capítulo fue producido por el Interdisciplinary Research in Mathematics and Computational Sciences Centre (IRMACS) de la Universidad Simon Fraser. Después de verlo, lo comentamos. Episodio 2.- La discontinuidad de Cero Factorial (Zero!’s Dis-Continuity, 2006). (Duración: 5:14). Tras los títulos aparece un rótulo que reza: Población de Calculópolis: Math Girl se encuentra tomando un refresco en una mesa de la terraza del Café Cauchy. Su amigo Pat pasa por allí. Math Girl: ¡Hola Pat! ¿Dónde vas? Pat: Voy a ver si cojo sitio para ver la Olimpiada Matemática Internacional. Math Girl: ¡Espera, Pat, estoy recibiendo una señal de alarma en mi teléfono- televisión! ¡Mira! ¡Es BigMath, el regidor de Calculópolis! Pat: ¡Oh, no! ¡Ahora no! BigMath: Math Girl, en el nombre de Gauss, necesitamos tu ayuda inmediatamente. Son mis chicos, los gemelos, en el parque de diversión de las funciones salvajes. ¡Socorro! Zero!: Apartaré a los chicos del poder y gobernaré yo mismo en Calculópolis con mi invención malvada más reciente, la montaña rusa sent/t. El genio total que hará que los gemelos no puedan resistir la vuelta estremecedora. ¡Idiotas! Deberían haber estado más tiempo en clase. Parece (la montaña rusa) bonita y suficientemente suave como le gusta a la gente de Calculopolis. Pero, ¡sorpresa, sorpresa! Hay un agujero en su parte superior. No saben que la división por cero no está permitida. ¡Ah, Ah, Ah! Aprenden la lección cuando se hunden en su destino. Math Girl y Pat: ¡Invocamos el poder de Newton y Leibniz, los creadores del Cálculo! Math Girl: ¡Pobres niños, no es culpa suya! Ellos no saben que cero entre cero es una indeterminación. Tenemos que salvarlos. Pat: ¿Qué podemos hacer? BigMath: Date prisa, Math Girl, Zero! ha puesto en marcha la montaña rusa sent/t. Los niños llegarán al agujero en 4.5 minutos. Math Girl: Tengo un plan. ¡Taparemos el agujero! Como el limite de sent/t cuando t tiende a cero es igual a 1, se trata de una discontinuidad evitable. Pat: ¡Eso es brillante, Math Girl! Gemelos: ¡Esta parte es tan divertida! Confiemos que no descubran que nos hemos pirado la clase. No se da cuenta (se refieren a BigMath) de lo que hacemos porque está demasiado ocupado regulando cómo cuidarnos. Math Girl: Asegúrate de que pones en marcha el mecanismo epsilon-delta. Pat: Roger, ¿es bueno que sepas Cálculo, verdad? Math Girl: Mi aparato epsilon-delta me dice que si el tiempo es menor que 1.0024, entonces la distancia vertical entre el carrito y el agujero es menor que 0.15. Deprisa, necesitamos coger el trozo perdido de nuestra recta real de recambio. Pat: ¡Hagamos rock and roll! Gemelo 1: Hey,  hermanita, ¿ves ese agujero? ¿No ves que no hay nada allí? Gemelo 2: ¡Tienes razón! Zero!: ¿Cómo osáis eliminar mi discontinuidad? ¡Volved con Math Girl! ¡Os las veréis con lo último de Zero!! BigMath: Gracias, Math Girl y Pat. Vuestro súper conocimiento del Cálculo ha salvado a mis gemelos y ha neutralizado el malvado plan de Zero! ¡Niños, yo estaré ocupado cuidando de Calculópolis, pero lo sois todo para mí! Si hubierais estado en clase y prestado más atención …. Gemelos: … hubiéramos sabido que no es posible dividir por cero. Lo sentimos, papá. No deberíamos haberlo hecho. Math Girl, ¿podemos dar una vuelta en tu bicicleta de aire? Math Girl: ¡Desde luego! Pat: Os llevaremos de vuelta a la clase de matemáticas. Comentarios y Discusión Al igual que sucediera en el primer episodio, se nos facilita el número de habitantes de Calculópolis, observando que ha aumentado considerablemente (55000 millones frente a los escasos 42 del capítulo previo). En realidad lo único que parece pretenderse (se me ocurre a mí, no lo he visto escrito en ninguna parte) es incluir números o fechas de unas características concretas. En este caso aparecen el número trascendente π, el 10 (base de nuestro sistema de numeración), las funciones exponencial, logarítmica (ln 2), raíz cuadrada y potencial cuadrática, el irracional √2, el año de producción del episodio (2006), el año de nacimiento de Gauss (1777; a este matemático alude BigMath en su primer comentario), y además del 2 el número primo 229 (2006 – 1777). No se me ocurre otra explicación acerca de esta cantidad. Respecto a matemáticos ilustres, se mencionan aparte del citado, a Cauchy (dando nombre a un Café), y Newton y Leibniz, (designados como los creadores del Cálculo; quizá sea mucho decir, sin restarles mérito alguno por supuesto, pero el propio Newton reconoce la labor de sus predecesores en este asunto en la famosa frase que todos recordaréis. Lo digo porque tratándose de un cartoon didáctico, la afirmación no resulta demasiado rigurosa). Obviamente se invoca a éstos puesto que el asunto a resolver se enmarca tradicionalmente dentro de esta rama de las Matemáticas. Un nuevo personaje aparece en este episodio: el malvado Cero Factorial (0!). Ciertamente a cualquier estudiante o persona que se acerque a las matemáticas, le choca el convenio 0! = 1 conocida la definición del factorial. Recordemos que el factorial de un número natural n es el número que resulta de multiplicar n por todos los números naturales menores que él (esto es, n! = n(n–1)(n–2) …. 3 · 2 · 1). Su utilización es imprescindible en combinatoria y probabilidades. ¿La razón? El factorial de n expresa el número de formas distintas en que pueden colocarse n objetos (recuérdese también que esto es calcular el número de permutaciones que pueden realizarse con esos objetos). Pero, ¿por qué 0! = 1? De lo dicho, no parece que tenga mucho sentido plantear el factorial de cero, puesto que no hay ningún número natural menor que cero (según qué autores el cero no se considera natural, sino entero; a mí siempre me definieron al uno como el primer natural, y así lo considero y explico, ya que, a mi entender y valga la redundancia es lo más “natural”). Muchas expresiones en las que aparecen los factoriales se definen de manera recurrente, es decir, teniendo en cuenta los valores previos. Por ejemplo, n! = n (n–1)! Al ir a calcular 1! nos aparece 0! (salvo que tomemos la expresión para n > 1). Si no convenimos que 0! = 1, no obtenemos el 1! Y sin este tampoco podemos calcular 2!, etc., etc. Por tanto parece razonable utilizar ese convenio que pone en marcha todo el proceso. Esto se entiende perfectamente cuando queremos introducir estas fórmulas en un lenguaje de programación. Martin Gardner, dedica el cuarto capítulo de su Mathematical Magic Show (Festival Mágico-matemático, en castellano, editado por Alianza Editorial) a comentar algunas curiosidades factoriales. De allí os propongo la siguiente cuestión que me ha resultado llamativa: Platón, en el Libro V de sus Leyes, propone que 7! (= 5040) es el número ideal de habitantes de una población, ya que ese número admite 60 divisores diferentes, cantidad interesante desde el punto de vista de posibles repartos, divisiones, etc. Sin embargo no es el número de cuatro cifras con mayor número de divisores. ¿Cuál sería ese número? ¿Y con cinco cifras? La forma razonable que se me ocurre para dar respuesta a estas cuestiones pasa por hacer un pequeño programita que nos de la respuesta, pero si a alguien se le ocurre otro modo menos pedestre, que nos lo cuente. Otra expresión curiosa y útil con los factoriales es la conocida como fórmula de Stirling (en honor al matemático escocés James Stirling, 1692 – 1770, aunque al parecer fue Abraham de Moivre el primero en publicarla, en 1730, en su forma casi definitiva, con demostración incluida. Stirling publica algunos meses después una mejora de la fórmula con un desarrollo asintótico con cinco términos. De Moivre y Stirling eran buenos amigos, y conocer las contribuciones exactas de cada uno no es fácil.): Mucho cuidado con el símbolo de aproximación que probablemente más de uno meterá la pata. Las dos expresiones que aparecen separados por ese símbolo son valores que tienden a infinito cuando n tiende a infinito. Esa aproximación simplemente indica que ambos infinitos son equivalentes, es decir que lo cual es extremadamente útil en el cálculo de algunos límites en los que interviene el factorial. Pero ese comportamiento similar “cuando n es lo suficientemente grande” como se indica en muchos sitios, no implica que aproxime como desearíamos el factorial de un número concreto. La fórmula de Stirling también se escribe como ln n! ~ n ln n – n (es fácil ver que es la misma expresión que la mostrada arriba tras tomar exponenciales) El factorial de n puede generalizarse a cualquier número real positivo mediante la Función Gamma La notación Γ fue ideada por Adrien-Marie Legendre (1752 – 1833). La función Gamma aparece en funciones de distribución de probabilidad, por lo que es bastante usada tanto en probabilidad y estadística como en combinatoria. Entre sus propiedades citaremos que verifica la ecuación funcional  Γ(n+1) = n Γ(n) (obsérvese que esta propiedad es precisamente la que define el factorial para valores naturales) y que está estrechamente relacionada con otra función esencial del Análisis Matemático, la función zeta de Riemann, ζ(s): donde , para s > 1, es dicha función zeta. A la derecha podéis ver el aspecto que presenta la función gamma en el plano complejo. Por otro lado, el sabotaje que ha preparado Cero Factorial en la montaña rusa es la supresión del valor en  t = 0 de la función Cuando se trabaja o estudia en cursos universitarios, uno ya está habituado a considerar como infinitésimos equivalentes el sen x y x en un entorno de x = 0. Quizá sea pertinente recordar cómo se llega a dicha equivalencia utilizando únicamente argumentos trigonométricos: Consideremos la circunferencia de radio unidad (en la gráfica OM = OA = 1). Sea x el ángulo MOB, donde 0 < x < π/2. En la gráfica se observa que Área triángulo MOA < área sector MOA < área triángulo COA Calculemos estos datos Área triángulo MOA = ½ OA · MB = ½ sen x. Área sector MOA = ½ OA · arco(AM) = x/2. Área triángulo COA = ½ OA · AC = ½ tan x. Rescribiendo la desigualdad, tenemos sen x < x < tan x. Si dividimos por sen x la desigualdad, se tiene que Tomando inversos, Dichas desigualdades se han obtenido para  x > 0. Cambiando x por (–x), y teniendo en cuenta la paridad del seno y el coseno (es decir, que sen (–x) = – sen x, cos (–x) = cos x), se concluye que las desigualdades anteriores también son ciertas para x < 0. (Pregunta: ¿Por qué era necesario comprobar esto?). Tomando límites cuando x tiende a cero en dichas desigualdades, se concluye que el límite buscado es 1. Por lo tanto, la discontinuidad es evitable, y se soluciona el problema de la montaña rusa, volviendo a definir correctamente f(0). Uno puede pensar que Cero Factorial anda un tanto escaso de recursos, pero preparar una discontinuidad de otro tipo en la función le llevaría más trabajo (tendría que romperla, y eso se notaría antes de poner en marcha la atracción). De todos modos parece una situación un poco siniestra para ser mostrada como recurso didáctico, ¿no os parece? Los pobres niños sólo se han pirado una clase un día. En fin, no afinemos más que podemos llegar a peores conclusiones aún. Finalmente, MathGirl emplea un artilugio que he traducido por “mecanismo epsilon-delta” (epsilon delta device en la versión original) para aplicar la definición de límite. Recordemos que esta definición indica que “ Para cada ε>0, existe un δ>0 tal que si  0 < |t| <  δ, entonces |sen t / t – 1| < ε ” En el episodio ni siquiera tienen que encontrar el δ que hace falta en función de un ε dado para verificar la condición de límite. Simplemente si t < 1.0024, entonces |sen 1.0024 / 1.0024 – 1| < 0.15. Vamos, que una simple calculadora también lo haría. Ya veremos si en otros capítulos tiene alguna otra característica más relevante. Aprovechando la inclusión de esta función en el argumento del dibujo animado, y dado que teóricamente está orientado a alumnos universitarios, se me ocurre que podrían haberle sacado un poco más de partido, planteando por ejemplo alguna historia relacionada con la integral impropia obteniendo ese valor (hay que pasar a argumentos de integración de Lebesgue), o probar que no es de Lebesgue, etc. La integral de Lebesgue (Henri Lebesgue (1875 – 1941) es una extensión de la clásica integral de Riemann, que permite integrar funciones más generales, y hacerlo en mayor variedad de conjuntos que los intervalos cerrados y acotados [a, b] de la recta real (en conjuntos medibles; aquí entronca con la teoría de la medida, aunque esta integral puede estudiarse perfectamente sin salirse del terreno del Análisis clásico). En la integral de Lebesgue se verifican más resultados de convergencia que en la integral de Riemann. El más importante es seguramente el teorema de la convergencia dominada de Lebesgue que no se cumple en integrales de Riemann. En fin, otra vez, será.

Jueves, 01 de Enero de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

302. 38. Un poco de Álgebra Homológica

Conviene de vez en cuando volver a echar un vistazo a algunas películas del pasado. A veces encontramos algunas sorpresas. Pero también en algunas muy recientes sigue apareciendo algún que otro matemático. En esta ocasión recordaremos Ahora me toca a mí (It´s my turn, Claudia Weil, EE. UU., 1980), que desde luego no pasará a la posteridad como una de las mejores películas de la historia, cinematográficamente hablando, pero sí merece un lugar muy destacado en cuanto a las matemáticas que encierra. La película no es muy conocida, ha sido pocas veces emitida por televisión, es difícil de localizar, y en conjunto, como acabo de comentar, es más bien mediocre, pero es la única en la que se enuncia completamente un teorema y se demuestra con todo detalle, al punto de haber sido referenciada por textos específicos de álgebra homológica. Jill Clayburgh interpreta a Kate Gunzinger, una profesora universitaria de matemáticas un tanto despistada y avasallada por casi todo el mundo que decide en un momento dado tomar sus propias decisiones harta de tener que ceder siempre (de ahí el título de la película). Vayamos con las escenas que nos interesan. Paralelamente a los títulos de crédito y al padecimiento de una de las bandas sonoras más machaconas y omnipresentes que jamás hayamos oído, Kate se dirige a una de sus clases en la Universidad. Se le caen algunas cosas al suelo, vuelve sobre sus pasos como si se le hubiera olvidado algo..., detalles que definen a una persona bastante insegura y serán constantes a lo largo de todo el metraje. En la siguiente escena aparece en un aula explicando la demostración del conocido como lema de la serpiente de álgebra homológica en una pizarra frente a un reducido grupo de alumnos. Uno de ellos, Stanley Cooperman, el listillo de la clase, no hará otra cosa que levantar la mano para mostrar su desacuerdo (y hacerse notar) e interrumpirla sin dejarla prácticamente hablar con comentarios fuera de lugar. Reproduzco el diálogo que mantienen en la versión doblada al castellano (en el libro Las matemáticas en el cine, Proyecto Sur de Ediciones 2006, aparece también la versión original en inglés del mismo): Kate: Dejadme mostraros cómo construir la aplicación S que es lo más divertido del lema. Supongamos que tenemos un elemento en el Ker γ, es decir, un elemento en C, de modo que γ lo lleva a cero en C’. Podemos volver a B vía la aplicación g que es suprayectiva. En ese momento se produce la primera interrupción de Cooperman (en la foto el alumno que se ve de espalda). Cooperman: ¡Un momento, un momento! No es la única solución. Kate prosigue su explicación como puede. Kate: Lo es, Sr. Cooperman, (enlazando con la explicación anterior)…hasta llegar a un elemento en la imagen de f, ¿de acuerdo? Entonces volvemos a un punto fijo b aquí (señala a B). Tomando β de b, llegamos a cero en C’ por la conmutatividad del diagrama. Está por tanto en el núcleo de la aplicación g’ (el alumno hace gestos negativos con la cabeza), y por ello en la imagen de f ’ por la exactitud de la sucesión inferior ... Cooperman: ¡No! Kate: ...podemos retroceder... Cooperman: ¡No! Kate: ...a un elemento de A’... Cooperman: ¡No está bien definido! Kate: Está bien definido gracias a la imagen de α. Y define un elemento en Coker α. Esta es la serpiente (dibuja una flecha en el diagrama, desde Ker γ hasta Coker α). Y el lunes, si les parece bien, apagaremos la teoría de grupos y las consiguientes objeciones del Sr. Cooperman (levanta la pizarra, los alumnos se van y se queda sola con Cooperman recogiendo sus libros y ella limpiándose las manos y colocándose unas pulseras en sus manos). Cooperman: Todo esto no son más que chorradas; parecen mapas de carreteras. ¿Cuándo vamos a hacer algo interesante, como su particular teoría de grupos? ¿Algún progreso en su nuevo proyecto? Kate: (sonriendo forzadamente) No; estoy estancada. Cooperman: Quizá con su método no sea posible llegar a una solución definitiva. Kate: (un tanto perpleja) ¿Usted cree? Cooperman: Yo lo estoy intentando desde un ángulo totalmente nuevo. Y si da resultado, ....., seré famoso. Kate: Eso sería fantástico, me escalofría pensarlo. Yo sería famosa por haberle enseñado (cada uno sale por una puerta diferente del aula) ¡Gilipollas! (en voz baja). Si la película fuera española y ese fuera el diálogo, estaríamos de acuerdo con Cooperman, ya que en el doblaje se han omitido unas cuantas palabras clave en la demostración del resultado. Sin embargo en la versión original está perfecta y claramente descrito. Describamos el resultado desde el principio y su correspondiente demostración: Lema: Se considera el siguiente diagrama conmutativo en una categoría abeliana donde las filas son sucesiones exactas. Existe entonces una sucesión exacta 0 → Ker α → Ker β → Ker γ → Coker α → Coker β → Coker γ → 0. Notas: 1.- La categoría de la que se habla en la película es la de grupos abelianos, pero el resultado es igualmente válido para módulos sobre un anillo, o para espacios vectoriales sobre un cuerpo. 2.- Recordemos (aparece también en la pizarra de la película en un margen) que una sucesión 0 → A  B  C → 0 es exacta si, y sólo si, la imagen de cada una de las cuatro aplicaciones coincide con el núcleo de la siguiente. De esta condición se deduce que la sucesión es exacta, si y sólo si, f es inyectiva, g es suprayectiva y g induce un isomorfismo de Coker(f) = B/f(A) sobre C. Las aplicaciones entre los núcleos y los conúcleos se inducen de manera natural de las aplicaciones horizontales gracias a la conmutatividad del diagrama. La exactitud de esas dos sucesiones inducidas se sigue de forma directa de la exactitud de las filas del diagrama original. El punto importante del lema es cómo conectar el Ker γ con el Coker α (a esa aplicación la llamaremos S). Repasemos la demostración. Sea x∈Ker γ ⊆ C. Como g es suprayectiva, existe un b∈B tal que g(b) = x. Por la conmutatividad del diagrama (g’ · β = γ · g), g’(β(b)) = γ(g(b)) = γ(x) = 0 (porque x∈Ker γ), o sea que β(b)∈Ker g’. Como la sucesión inferior es exacta, Ker g’ = Im(f ’), es decir, existe y∈A’ tal que f ’(y) = β(b). Se define entonces S(x) = y + Im α. Queda para el lector interesado la prueba que tanto demanda el alumno Cooperman, es decir que S está bien definida (o sea que S(x) sólo depende de x y no de las elecciones de b y de z), y las demostraciones de que S es un homomorfismo y que la sucesión resultante es exacta. En ningún caso es demasiado complicado; basta tener un poco de paciencia para escribirlo todo correctamente. Hace años el álgebra homológica no era una materia atractiva: demasiado formalismo, aburrida y poco útil para todos aquellos que no se dedicaran a la topología algebraica. Hacia 1958 esta actitud cambió cuando Serrre la utilizó para la caracterización de anillos regulares locales y utilizó este criterio para demostrar que cualquier localización de uno de estos anillos es asimismo regular (hasta entonces sólo se conocían casos particulares). Casi a la vez se logró demostrar (Auslander y Buchsbaum) que todo anillo regular local es un dominio de factorización única. Con el tiempo, al ampliarse el campo de aplicación del álgebra homológica, ésta se ha ido convirtiendo en una parte necesaria dentro de la formación de los licenciados en matemáticas, aunque su enseñanza sigue siendo dificultosa para el profesor por la pesadez de sus definiciones y la escasez de sus aplicaciones. Esta situación es la que trata de reflejar esta escena de la película que, justo es reconocerlo, está perfectamente documentada. Charles A. Weibel, profesor de la Universidad de Rutgers en su libro An Introduction To Homological Algebra, cuya segunda edición fue publicada en octubre de 1995 por Cambridge University Press, afirma al describir en el libro este resultado que “no se incluye la demostración del teorema de la serpiente porque lo mejor es visualizarla. De hecho, una prueba bastante clara es la mostrada por Jill Clayburgh al inicio de la película “Ahora me toca a mí”. En internet, dicha secuencia puede verse (en inglés) en el enlace www.math.harvard.edu/~Knill/... En los EE. UU. se comercializan gorras, jarras, camisetas, relojes, pins y demás merchandising con dibujos relativos a teoremas varios (no deja de ser un modo de recordarlos). A modo de ejemplo véanse los modelos para el lema de la serpiente y el de la mariposa de Zassenhaus, ambos de álgebra homológica: Al llegar a casa, Kate le cuenta a su compañero Homer (Charles Grodin) el incidente con el alumno. Él es un arquitecto muy atareado tanto con su trabajo como con sus deberes de custodia temporal de sus hijos (está divorciado), y no le hace mucho caso. En la cama, un poco más relajados, Kate garabatea demostraciones matemáticas en la parte de atrás del sobre de una carta (esto de resolver o pensar problemas de matemáticas en cualquier espacio libre del papel que se encuentre más a mano, por pequeño que sea en lugar de ir a buscar un folio en condiciones, seguramente os resultará familiar). Su compañero le sugiere que lo deje, a lo que ella, pensando en lo suyo, le contesta que alcanzaría una consideración similar a Euclides o Newton si lograra resolver el problema que se trae entre manos. (Nada menos que el de la clasificación de los grupos simples). Ella misma añade a continuación: “¡Claro que Newton hizo sus descubrimientos a los 22 años!”. (Tema muy discutido y un tanto polémico: son muchos los que piensan que, salvo raras excepciones, ningún matemático descubrirá nada relevante pasados los treinta años de edad. Las medallas Fields sólo se conceden a menores de 40 años) Lo cierto es que Kate tiene además dos problemas añadidos: decidir si aceptar un trabajo administrativo en Nueva York mejor pagado que sus clases, y asistir a la boda de su padre con una mujer que no le cae nada bien. Finalmente se desplaza allí para cumplir con ambos cometidos. A la salida de la entrevista de trabajo, charla con los matemáticos que le han informado sobre el mismo. Uno de ellos le confiesa la admiración que siente por su tesis doctoral y la pregunta si ha avanzado algo en sus investigaciones. Conocida la respuesta, este profesor la confiesa, “me volví loco con la teoría de grupos”, y a continuación le dejan bien claro que si acepta el trabajo que la proponen, no pueden garantizarla tener tiempo para proseguir con sus investigaciones. Horas después, Kate asiste a una cena familiar previa a la celebración de la boda de su padre, en la que se presentan los familiares y amigos más allegados. Llega tarde, y para no variar, tropezándose y metiendo la pata en algunos momentos. Su padre la presenta a los demás con orgullo como uno de los mejores expedientes de su promoción: “Consiguió matrícula de honor en todos los exámenes preuniversitarios excepto en geometría plana. Su tesis tenía que ver con los conjuntos esporádicos”. (De nuevo una traducción incorrecta: el original dice claramente “grupos esporádicos”). A renglón seguido, Jerome (Charles Kimbrough), un psiquiatra bastante repelente, se interesa, más por morbo que por otra cosa, por la razón por la que no tuvo matrícula en geometría plana. Kate responde: “En el problema había que calcular el área de un patio alrededor de una piscina y apliqué el método correcto, pero coloqué el patio dentro de la piscina (Risas de ella y sonrisita forzada de Jerome). Eso no me ocurriría ahora. Vivo con un arquitecto”. Como en otrtas ocasiones vuelve a aparecer el manido tópico que coloca a los matemáticos como buscadores de la solución perfecta que no sirve para nada. De vuelta a casa, después de un romántico fin de semana con el hijo de su madrastra (un joven Michael Douglas), un destacado jugador de béisbol retirado por una lesión, se encuentra con Homer, que lleva a sus hijos a casa de su ex mujer. Uno de ellos al ver a Kate le dice, “El número primo, ¿no es aquel que sólo puede ser dividido por sí mismo y por la unidad?” Kate le va preguntando sucesivamente si el 2 y el 3 lo son, respondiendo el niño afirmativamente. Al llegar al 4, el niño lo niega porque “es 2 por 2”. Todo ello, mientras su padre va arrastrándolo hacia el coche. Finalmente, al día siguiente, el pesado alumno Cooperman asalta a Kate nada más aparecer por el campus Cooperman: ¿Ha hecho algún progreso? Kate: Creo que me equivoqué en cuanto al enfoque. Tengo unas ideas nuevas sobre el proyecto. Cooperman: ¿Se refiere a la transición del punto cero al punto G? Kate: Sí, en el caso más sencillo. Cooperman: Sí, quizá funcione. Es posible que la clasificación desaparezca. Enseguida llegará al cociente. Es inmediato. (muy alterado) Demuéstremelo. Kate (con prudencia): Es sólo el principio. Lo difícil será demostrarlo. Dejando aparte, lo críptico de estas últimas afirmaciones, lo curioso es que en el año de producción de la película, 1980, el problema del que hablan de la clasificación de grupos simples no estaba resuelto, pero al poco, en 1985, se consiguió, mucho antes de lo que se esperaba. El asesoramiento matemático de la película corrió a cargo de Benedict H. Gross (no aparece en los títulos de crédito), profesor de la Universidad de Harvard, especialista en teoría de números, responsable junto a Don Zagier del teorema de Gross-Zagier acerca de L-funciones sobre curvas elípticas. Así pues su labor de documentación no sólo fue excelente sino premonitoria. El teorema de clasificación establece cinco tipos diferentes para cualquier grupo simple finito, entre los que están los grupos cíclicos de orden primo, algunas clases de grupos de Lie y los grupos esporádicos (de los que existen 26 variedades), de los que habla la película. Este teorema contiene unos 100 teoremas individuales y su demostración completa ocupa 15.000 páginas por lo que se le conoce también como el teorema enorme. Y no son nada gratuitas las afirmaciones de los protagonistas sobre la importancia de su deducción, ya que el papel que desempeñan los grupos simples en teoría de grupos, es similar al de los números primos en teoría de números. Cualquier número natural tiene una factorización única en producto de números primos; cada grupo finito puede representarse como producto de un subgrupo normal por un grupo cociente. Así, es posible construir grupos finitos a partir de grupos simples. Por eso el objetivo prioritario de la teoría de grupos finitos fue durante mucho tiempo el dar una clasificación completa de los grupos simples. Puede parecer extraño que una rama tan abstracta de las matemáticas haya sido elegida como referencia en una película, pero no es un caso único. En Antonia (Antonia´s Line, Marleen Gorris, Holanda, 1995) también el álgebra nomológica es la protagonista de una escena, y curiosamente, también la película está dirigida por una mujer, y también la protagonista que estudia esa materia es del sexo femenino. ¿Hay mas mujeres que hombres dedicándose a esa rama? ¿Simples casualidades? Hala, este mes hemos dado con nuevos enigmas para que los “amantes del misterio” investiguen y rellenen folios y programas radiofónicos y televisivos. Asuntos más recientes Hace unos días se ha estrenado Revolutionary Road, (Sam Mendes, EE.UU. y Reino Unido, 2009) presentada como el retorno de la archifamosa pareja Di Caprio-Winslet. En este caso, la película tiene pinta interesante (aún no la he visto), al menos no tan almibarada como la del Titanic. Uno de los protagonistas esenciales es John Givings (interpretado por Michael Shannon, el de la foto) que encarna a un matemático un tanto desequilibrado (¡cómo no!) pero que es el único (y por ello el público se identifica mucho con su personaje) que se muestra sincero con la pareja protagonista y que les hace ser conscientes de la verdadera realidad de entre todos los hipócritas aduladores que forman parte de su vida. No hace mucho, en El buen alemán (The Good German, Steven Soderbergh, EE. UU., 2006), otro matemático no menos atormentado, era el origen de parte de la intriga que surgía en el Berlín de finales de la II Guerra Mundial. Pero en ninguno de los casos aparece matemática alguna, sólo un personaje que personifique un determinado rol. Estos comportamientos distan mucho de la información que aparece en un reciente informe realizado en los EE. UU publicado en enero en el Wall Street Journal. en la que se considera la profesión de matemático como la mejor de entre una lista de unos doscientos oficios y ocupaciones. En el enlace podéis leerlo. Recordaros finalmente que cualquier petición, sugerencia, crítica o comentario a esta sección podéis hacérmelo llegar a la dirección electrónica que aparece abajo y con mucho gusto trataré de darle cumplida respuesta.

Domingo, 01 de Febrero de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

303. 39. La chica matemática (3)

Terminamos con la, por el momento, trilogía de Math Girl, aprovechando que el día de Pi (14 de Marzo) está cerca. Además nos introduce una formula que puede resultar curiosa y desconcertante. Finalmente os recomendamos una web desde la que podéis ver los capítulos de una educativa serie: DIGITS. El capítulo se encuentra en versión original en http://www.youtube.com/watch?v=mTomRm23KKs&feature=related. La sinopsis del argumento es la siguiente: En Calculopolis se preparan para celebrar el día dedicado a Pi inaugurando una fuente que vierta continuamente dígitos de Pi. El malvado Cero Factorial tratará de sabotear tan loable artilugio. Como el capítulo anterior, la producción corre a cargo del Interdisciplinary Research in Mathematics and Computational Sciences Centre (IRMACS) de la Universidad Simon Fraser. Lo vemos y después lo comentamos. Episodio 3.- ¡Racionaliza Esto! (Rationalize This!, 2007). (Duración: 6:33). Big Math: ¡Hola, Math Girl! ¡ Hola, Pat! Math Girl: ¡Hola, Big Math! Habrás recibido nuestro mensaje hace un instante. ¿Qué sucede? Big Math: En menos de una hora, tendré que inaugurar la fuente de PI como parte del Memorial dedicado al Matemático Desconocido. Todos los habitantes de Calculópolis están preparados para el gran momento. Pero estoy muy preocupado puesto que no he visto a ningún cero internacional. Puede que intenten sabotear la celebración de algún modo. No confío en ellos y nadie sabe dónde están. Math Girl, ¿podrías localizarlos? Math Girl: Creo suponer quien está en el núcleo de todas estas transformaciones. Echaremos un vistazo para tratar de localizarlo. Pat: ¡Debemos darnos prisa, Math Girl! No quisiera perderme el momento en el que los dígitos de Pi salgan de la fuente. Math Girl y Pat: ¡Invocamos el poder de Newton y Leibniz, los creadores del Cálculo! Ambos aparecen ante la entrada de un lugar en el que tiene lugar un mitin: Math Girl: Pat, ¡Mira la entrada! ¡Mira las paredes! Cero!: ¡Por vosotros, amados ceros! ¡Vuestro momento ha llegado! ¡La Historia tendrá que ser re-escrita desde hoy! ¡Y es sólo el principio! Convertiremos Pi en 3.14. ¿Irracional o demostrar que es irracional? Los Caulculopolitas esperan un nuevo monumento que les suministre una cadena sin fin de dígitos de Pi, pero, sorpresa, sorpresa. Después de 3.14 no verán más que a vosotros, mis queridos hermanos ceros. Habéis tenido que esperar mucho tiempo para encontrar vuestro lugar en el nuevo orden de Pi, pero sed pacientes. Los hermanos ceros prevalecerán y ¡convertirán Pi en racional! MathGirl: Esta máquina que ves parece controlar ese ejército de ceros. Mira estos dos botones. Seguro que uno de ellos los detiene pero ¿cuál? Pat: ¡Espera! Mira lo que había en el suelo cuando entramos. Se le debió de caer del bolsillo a algún cero después de escribirlo. Dice: El bit quinto trillonésimo de Pi para abortar. ¡Vaya! Calcular ese número de dígitos nos llevará toda la vida. MathGirl: No necesitamos calcular todo eso. Mi dispositivo BBP puede resolverlo fácilmente. ¡En el nombre de Bailey, Borwein y Plouffe, necesito el bit quinto trillonésimo de Pi, y lo necesito rápido! Pat: Ahora recuerdo. La fórmula BBP proporciona el cálculo del enésimo dígito de Pi sin tener que calcular los dígitos precedentes. MathGirl, eres increíble. MathGirl: Mira, Pat. El dispositivo BBP me da cero como respuesta. Pat: ¡Excelente! Presiona el botón del cero. MathGirl: No, espera. Seguro que es un engaño. Ya sabes como piensa ese retorcido Cero. Tenemos que pensarlo bien, especialmente viendo ese ejército de ceros. Debemos presionar el uno. Pat: O.K., MathGirl. Lo que tu digas. MathGirl: ¡Mira! ¡Lo logramos! Cero!: MathGirl, ¿cómo lo averiguaste? ¡Has detenido mi amado ejército de ceros completamente! ¡Has destruido mis planes otra vez! ¡Sabes que nunca abandonaré! ¡Nunca! Conseguiré vengarme, MathGirl. ¡Volveré! BigMath: Lo has logrado de nuevo, MathGirl. Ahora podremos relajarnos y disfrutar de este hermoso día de Pi.. MathGirl (a nosotros): Sed bienvenidos. Disfrutamos resolviendo problemas como éste. Después de todo, las Matemáticas son hermosas, excitantes y divertidas. Comentarios y aclaraciones De todos es sabido que los norteamericanos tienen algunas costumbres peculiares. Una de ellas es la celebración de dos días dedicados al número PI (No os estoy tomando el pelo; podéis mirar en la red). Uno es el día de PI, el 14 de Marzo (por aquello de 3.14, donde el primer dígito indica el mes y los dos siguientes el día. Y la fiesta da comienzo a las 1:59:26 pm., por lo de 3.1415926) y el día de la aproximación de PI, el 22 de Julio (por lo de 22/7, una de las aproximaciones más antiguas de Pi). A veces también se celebra en otras fechas: El 10 de Noviembre: El día 314 del año (el 9 de Noviembre en años bisiestos). El 21 de Diciembre a la 1:13 pm. : El día 355 del año (el 20 de Diciembre si el año es bisiesto) y el 113 de la hora es la conocida aproximación china 355/113 con seis decimales correctos al número Pi. El primer día de PI tuvo lugar en el San Francisco Exploratorium en 1988. La celebración  consistió en un desfile del personal del centro alrededor de uno de sus espacios circulares a los que se sumó abundante público. Después se procedió a la degustación de pasteles y tartas de fruta (recuérdese la similar pronunciación en inglés de Pi y pie (tarta)). El Exploratorium es un museo de la ciencia público, situado en el distrito de Marina dentro del Palacio de Bellas Artes de San Francisco, California. Es uno de los museos más populares de San Francisco, que alcanza el medio millón de visitas al año. Lo fundó en 1969 el físico Frank Oppenheimer. El Exploratorium está dedicado a la enseñanza de la ciencia a través de exposiciones con abundante material manipulativo en las que el visitante tiene que realizar actividades por si mismo. Muchos de los materiales que presenta han sido creados por artistas no sólo por científicos y educadores. Desde 1997 ha recibido el Webby Award al mejor lugar de divulgación de la Ciencia en cinco ocasiones. El alma mater de esta celebración fue Larry Shaw, un físico hoy ya jubilado, conocido como “El Príncipe de Pi”, aunque aún tiene moral para participar en estas celebraciones año tras año. Después la idea se fue extendiendo, y otras instituciones se sumaron al evento: el MIT (Massachusetts Institute of Technology), una de las universidades privadas más punteras en investigación del mundo, es una de ellas. Algunos han aprovechado ese día para hacerse notar: el 14 de marzo de 2004, Daniel Tammet calculó y recitó 22514 dígitos de Pi. En la penosa película Nunca me han besado (Never been kissed, Raja Gosnell, EE. UU, 1999), se muestra una de estas fiestas de Pi acompañadas de unos diálogos tan inclasificables como el siguiente. Unos chavales les dicen a un grupo de chicas a las que les gustan las matemáticas: “¿Porqué no jugueteáis con las calculadoras y calculáis cuántas vidas os quedan para ser tías guais?”. La hermandad a la que pertenecen se llama “los denominadores”. Eso sí, aparecen muchas, muchas tartas con las que tratan de sacar un  dinerillo para su fiesta de graduación. Si alguien quiere echar un vistazo a cómo será la celebración de este año, puede pinchar directamente en este enlace. Este año se cumpliría además el 130 cumpleaños de Albert Einstein, que nació ese mismo día, y con toda seguridad harán alguna actividad conjunta. De mayor interés desde el punto de vista matemático es la fórmula de Bailey–Borwein–Plouffe mencionada en el cartoon. (MathGirl usa su máquina BBP). Se trata de un algoritmo que calcula el enésimo dígito hexadecimal (o binario) de Pi sin tener que calcular los anteriores. Su expresión fue dada por Simon Plouffe en 1995 y los otros nombre se añaden ya que el artículo en el que se publicó iba firmado por David H. Bailey, Peter Borwein y Plouffe. En el enlace lo tenéis y es muy interesante para los que trabajen en teoría de números y computación. A los demás no les aburriré contándoles lo que viene en el artículo; simplemente expongo la fórmula BBP: expresión que, haciendo la suma de las fracciones, se expresa como cociente de dos polinomios del siguiente modo: Simon Plouffe trabaja en el Centro de Matemáticas Experimentales y Constructivas, un instituto de investigación de la Universidad Simon Fraser en British Columbia. En la imagen podéis ver el logo del Centro e intentar averiguar que significa. (En el enlace aparece la explicación). Es coautor con Neil J. A. Sloane de la famosa Enciclopedia de Sucesiones Enteras. También fue uno de los records en recitar de memoria los dígitos de Pi (llegó a los 4096 dígitos), como lo atestigua la edición francesa del libro Guinness de los Records de 1977. Hacia 1996 era capaz de memorizar 4400 dígitos de PI aunque nunca ha pretendido superar su propio record: ha preferido mantenerlo en 4096 porque según sus palabras, “es un número redondo” (4096 = 2^12). Sobre la razón de tal ocupación, explica, “era joven y no tenía demasiado que hacer, así que me dediqué a ello. Me gustan los números y Pi me fascina”. Aunque parezca una pérdida de tiempo, ejercitar la mente para memorizar y reconocer números ha ayudado mucho a Plouffe (en la foto) en su trabajo de investigación matemática, que en muchas ocasiones precisa buscar relaciones entre diferentes sucesiones y series numéricas. En la actualidad trabaja en el diseño de un sistema automatizado para identificar patrones numéricos, similar al que realiza el cerebro humano. En varias ocasiones ha explicado cuál fue su método para memorizar tantos dígitos de Pi: manejaba bloques de cien dígitos. Comenzaba escribiendo uno de esos bloques cinco o seis veces en un papel. Después intentaba recitarlos mentalmente. Periódicamente se aislaba en una habitación oscura, sin ruidos, ni objeto alguno (“Como un monje”, comenta). Cuando comprobaba que sabía el bloque, repetía el proceso con el siguiente. Al llegar a 4400 dígitos decidió parar. “Podría haber seguido indefinidamente, pero llegó a aburrirme”. Dos años después de su gesta, en 1977, la persona que tenia el record previo, memorizó 5050 dígitos. “Sabía que le podía superar”, dice Plouffe, “pero ya tenía suficiente”. En su página personal, http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/, hay un montón de artículos interesantes (y curiosos) sobre esta `peculiar afición, y sobre todo, sobre teoría de números. También podéis entreteneros un rato en la página denominada La inutilidad de PI y sus irracionales amigos. Desconozco en que cifra se encuentra este record actualmente, pero como referencia el 5 de octubre de 2006 se publicó que Akira Haraguchi, un psiquiatra japonés y ejecutivo de varias empresas de 60 años, necesitó 16 horas para recitar de memoria los primeros 100.000 dígitos de Pi, batiendo su propio record de 83.431 cifras establecido en 1995. Cada una o dos horas, se tomaba un pequeño descanso de 5 minutos en los que comía unas bolitas de arroz. Todo fue registrado en video para posteriormente ser enviado al libro Guinness para su autentificación. Para los más marchosos, hay un video clip musical de "Weird Al" Yankovic, (humorista y cantante estadounidense, famoso por sus sarcásticas canciones sobre la cultura popular que parodian canciones específicas de artistas musicales contemporáneos), con una canción titulada White & Nerdy, en la que el protagonista es el freaky de la imagen de la derecha. Volveréis a comprobar, si tenéis la paciencia de verlo, cómo se cataloga en según que sectores sociales a matemáticos, ajedrecistas, informáticos, físicos, etc. En 2002, matemáticos de la Universidad de Tokio ayudados por un superordenador establecieron un nuevo record mundial de dígitos de Pi en 1.24 trillones de decimales. Volviendo al contenido del capítulo de Math Girl propiamente dicho, no hay mucho que decir salvo que todo es como de encefalograma plano. Los Calculopolitas pretenden inaugurar una fuente que esté suministrando continuamente los dígitos de Pi, lo cual la convierte en una inutilidad total que perfectamente podría dar dígitos al azar, porque salvo en el momento de la inauguración, nadie reconocería a Pi. O a lo mejor tiene un botoncito para que manen los dígitos a gusto del caminante (es decir, con un chorro finito) en cuyo caso basta almacenar unos cientos de dígitos. Por otro lado, la máquina que controla al ejercito de ceros sólo tiene dos posiciones para detenerla (son dígitos binarios, es decir, cero o uno). ¿Y para eso necesitan calcular el bit quinto trillonésimo? ¿Y el malvado cero factorial se asombra de que ha podido parar la máquina? En fin, demencial total. Seguimos defendiendo que cualquier medio es interesante y útil para divulgar aspectos matemáticos y científicos, pero por favor, con unos guiones un poco más trabajados. Para finalizar, os recomiendo que echéis un vistazo a la web DIGITOS del profesor Xavier Berenguer, en la que podéis disfrutar de la mayor parte de los episodios de la serie divulgativa DIGITS, Del Número al Bit, de la que ya hemos hablado ampliamente en otra reseña (Noviembre de 2007). Además para los no catalano-hablantes, Xavier se ha tomado la molestia de escribir el contenido en castellano de esos episodios. En su página hay además otras interesantes propuestas audiovisuales que incluyen animaciones en 3D, CD Roms, etc.

Lunes, 09 de Marzo de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

304. 41. Las lecciones del profesor Escalante (PdM II)

Recordamos este mes las vivencias de un profesor real plasmadas en una película y algunas noticias relacionadas con el cine, la televisión y las matemáticas que han ido surgiendo desde el mes anterior. Los lectores habituales de esta sección recordarán que el mes pasado comenzamos una revisión dedicada a cómo nos muestra el cine a los Profesores de Matemáticas (de ahí el añadido PdM II en el título). Probablemente el mejor modo de haber comenzado hubiera sido con Lecciones Inolvidables (Stand and Deliver, Ramón Menéndez, EE. UU., 1988) al menos por dos razones: ser una de las pocas biografías de un matemático en el cine (aunque sólo de una parte concreta de su vida) medianamente fiel a la realidad, y estar centrada prácticamente en su totalidad en la docencia. Subsanamos lo dicho, debido básicamente a la falta de tiempo para volver a visionar la película, dedicándole este mes nuestra reseña. La película plantea varios asuntos de interés, aunque es evidente que el realizador lo que ha querido subrayar por encima de todo son las desigualdades sociales que sufren algunos colectivos étnicos en el tan cacareado país de la igualdad de oportunidades para todos. De ahí pasa a mostrar algunas consecuencias de tan lamentable situación, en este caso, una dura crítica al sistema de enseñanza norteamericano. Anticipemos que la película no está editada en España ni en video ni en DVD, únicamente se ha pasado un par de veces por televisión hace ya bastante tiempo, y la única manera de hacerse con ella es a través de internet (muy a pesar de la SGAE, la directora de la Academia de Cine Española, etc., etc, pero que me digan sino cómo localizarla “legalmente”) o, como en mi caso, gracias a un amable compañero que me ha facilitado una copia de su emisión televisiva. Las imágenes que aparecen junto a estas líneas son las de los carteles originales de la película y la del vídeo editado en Norteamérica. Esquemáticamente el argumento es el siguiente: el profesor Escalante (interpretado por un magnífico Edward James Olmos, que durante un mes estuvo literalmente pegado quince horas al día al profesor Escalante, sin perderse una sola de sus clases, para preparar su papel) llega a un centro de Secundaria de un barrio de Los Ángeles después de dejar un cómodo trabajo de informático en una empresa, pleno de vocación y ganas de enseñar. Allí ya nos imaginamos lo que se va a encontrar: un grupo de alumnos indisciplinados, algunos pertenecientes a bandas callejeras, y la mayor parte prácticamente analfabetos. Convencido del potencial de estos chicos, adopta unos métodos de enseñanza nada convencionales para tratar de que ellos mismos también se lo crean, y los prepara para unos exámenes estatales de contenidos matemáticos preuniversitarios (básicamente álgebra y cálculo). La mayor parte de los estudiantes alcanzan unas calificaciones excelentes, lo que despierta las sospechas de las instituciones académicas que realizan una investigación. Los inspectores encargados del asunto deciden anular las calificaciones obtenidas basándose en que todos tuvieron los mismos errores en los mismos puntos, y además algunas resoluciones utilizaban procedimientos poco convencionales. Dándoles la opción de repetir las pruebas, aunque con poco tiempo para volver a prepararlas, los estudiantes repiten su hazaña. ¡Cuántas veces hemos visto lo mismo, y siempre con la certera impresión de asistir a un cuento de hadas! Constituyen prácticamente un subgénero dentro del propio subgénero de películas relacionadas con el mundo escolar. Desde la realista Semilla de maldad (Blackboard Jungle, Richard Brooks, EE. UU., 1955), la idealizada Rebelión en las aulas (To Sir,with Love, James Clavell, Gran Bretaña, 1967) (hoy sólo un amable ejemplo sesentero, algo cursi) a auténticos bodrios como El sustituto (The Substitute, Robert Mandel, EE. UU., 1996) o Mentes peligrosas (Dangerous Minds, John N. Smith, EE. UU., 1995). Lecciones Inolvidables, una película de bajo presupuesto, con muchos actores debutantes y amateurs, es una de las más aceptables. Sin embargo  es bastante desconocida (salvo para los que nos gustan las matemáticas), no tiene escenas de acción espectaculares y nunca tuvo la grandilocuente publicidad que hoy se estila hasta para subproductos de lo más vergonzoso. La película tiene muchos momentos destacables: prácticamente cada escena plantea algún aspecto interesante relacionado con la docencia, pero no muestra muchas matemáticas: Un polinomio de segundo grado factorizado en producto en la pizarra: 7x2 – 19x – 6 = (7x + 2)(x – 3). Cómo recordar la tabla del nueve con los dedos. Un ejemplo de porcentajes a partir de unas manzanas repartidas a los alumnos. Aparición del cero y uso de paréntesis. Un ejercicio con enunciado de ecuaciones de primer grado; Juan tiene cinco veces más ligues que Pedro. Carlos tiene un ligue menos que Pedro. Si el número total de ligues de los tres es 20, ¿cuántos ligues tiene cada gigoló?, Una integración por partes en la que un alumno toma un cambio equivocado. ∫ x2 sen x dx; en vez de tomar u = x,  senx dx = dv, escoge el contrario, u = sen x, dv = x2 dx. En la repetición del examen, una cuestioncilla tipo test sobre logaritmos e integrales: ¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a ln 4? Bueno quizá lo correcto hubiera sido decir, no muestra matemáticas muy avanzadas, pero lo cierto es que son bastantes cosas para lo que se estila en el cine. Respecto a los aspectos docentes, la película es de interés sobre todo para profesores, y más todavía para profesores desmotivados (conjuntos que probablemente sean iguales, salvo algún subconjunto de medida nula). Describamos brevemente algunos de estos momentos: A su llegada al instituto Garfield, Escalante se topa con la Secretaria del Centro que no le hace mucho caso después de un rápido vistazo a su aspecto, (Disculpe soy Jaime Escalante, el profesor de informática. Respuesta (sin mirarlo a la cara siquiera) “No tenemos ordenadores”). Una profesora ha presenciado la escena: “Soy Raquel Ortega, la directora del departamento de matemáticas”, informándole de que, en efecto, este curso tampoco hay dinero para comprar ordenadores. Un tanto descolocado, Escalante replica, “se supone que debo enseñar informática”. Recreo. Escalante habla con un profesor de gimnasia que se siente angustiado: “Tenía tanto miedo de que los chicos supieran más que yo, que me despertaba a las cinco de la mañana, me hacía un café y me estudiaba la lección. Y cuando ya lo tenía controlado, van y me cambian el libro de texto”. Escalante: “Las matemáticas se aman o se odian. Si dudas algo ven a verme a clase”. “Gracias Jaime. Te veré más tarde”. Reunión de profesores. Discuten sobre la pérdida de subvenciones estatales si los alumnos no alcanzan unos mínimos: Director: Lo que quiero decir señora Ortega es que no quiero ser el primer director de una escuela de Los Angeles que pierde su homologación. Raquel: Sería la última persona en decir que el departamento de matemáticas no pudiera mejorar. Pero si quiere mejorar resultados, tendrá que comenzar por mejorar el nivel económico. Director: El propósito de esta reunión es estudiar cualquier propuesta para renovar la homologación ¿Hay alguna? Profesor de gimnasia: Sí. Yo no creo que deba seguir enseñando matemáticas. Me contrataron para Educación Física. Raquel: Como he dicho antes, carecemos de los recursos necesarios para llevar a cabo los cambios que exige la Administración. Director: ¿Sr. Sansaki? Seguro que tiene algo que decirnos. Sansaki: Puede que no sea este el momento adecuado pero, lo siento, no volveré después de Navidades. Tengo un trabajo en Aeronáutica. Prof E. Física: ¿Cuánto te van a pagar? Director: Escuchen, tenemos el resto del curso antes de que nos evalúen. Si suspendemos, perderemos …. Raquel: ¿Si suspendemos? No se pueden enseñar logaritmos a analfabetos.  Esos chicos llegan a nosotros con un nivel de 7º grado y no hay un solo profesor en esta habitación que no haga todo lo posible. Escalante: Yo no. Yo puedo hacer más. Raquel: Estoy segura de que al profesor Escalante le guían buenas intenciones, pero sólo lleva aquí unos meses. Escalante (tajante): Los alumnos alcanzarán el nivel esperado, señor Molina. Director: De acuerdo. ¿Qué necesita, Sr. Escalante? Escalante: Ganas. Lo que se necesitan son ganas. En una escena posterior, Raquel, la directora del departamento de matemáticas dimite de su cargo ya que no se le hace demasiado caso y no se pone de acuerdo con Escalante. Pero lo más destacable es el trato de Escalante con los alumnos, cómo logra primero que le hagan algún caso, y después interesarlos. Como no es cuestión de contar toda la película (que insisto, tiene su interés y se ve de un tirón gracias a la verosimilitud de los diálogos), describiremos una única escena, eso sí un poco larga, de Escalante en clase. El profesor se presenta vestido de cocinero, con gorra y delantal, y reparte una manzana a cada estudiante: Alumno: Quiero una hamburguesa. Guárdate las patatas, las cebollas y los pepinillos. Pareces un cocinero chino, tío. (desde entonces los alumnos le ponen el mote de “Kimo”, y a Escalante no le  parece mal: todos le llamarán así en lo sucesivo). De repente deja caer un cuchillo de carnicero sobre una manzana partiendola a la mitad. Algunos alumnos se sobresaltan. Todos los alumnos tiene una manzana en su pupitre. Escalante (a una chica): ¿Qué tienes? Alumna: Una manzana. Otra alumna: ¿Qué quiere decir? Escalante: ¿Cuánto? ¿Qué te queda? Alumna: La mitad Escalante: God. Disculpa mi acento alemán. ¿Qué te queda?, le pregunta a otra. Ana, alumna destacada pero de aspecto infantil: El 25% menos. (hay rubias despampanantes y chicas muy requetepintadas, por eso Ana pasa desapercibida: es muy morena, con gafas, y más bien feucha). Escalante (extrañado): ¿Qué? Ana: El 25% menos, repite. Escalante se extraña porque la manzana parece estar completa. Se acerca al pupitre y al dar la vuelta a la manzana se da cuenta de que falta un cachito. Escalante: Exacto. Un 25% menos. ¿Es verdad que los inteligentes sois mejores amantes? La clase se ríe, un tanto sorprendida de la salida del profesor.  Se dirige a otro chico que se ha comido toda la manzana. Escalante: ¿Eh? ¿Qué te queda? Chico: El corazón. Escalante: Me debes el 100% Nos veremos en el banquillo de los acusados. Ahora abrid vuestros libros, capítulo 2, página 26. Multiplicación de quebrados y porcentajes. 25%, 50%, 75% y 100%. Entran en ese momento dos macarras con muy mala pinta. Se enfrentan al profesor. Macarra 1: ¿Quién manda aquí, tío? Escalante: ¿Justificación? (por llegar tarde a clase) Ambos le dan un papel que Escalante lee. Escalante: Muy bien. Te quedarás de pie al fondo (le dice a Angel, el segundo macarra) de la clase hasta que consiga otro pupitre. Tú siéntate ahí. Vamos leed el primer párrafo, y después el segundo. Se dirige al primero en voz baja: Escalante: ¿Y tus libros? Macarra: No tengo. Escalante: Tienes que venir preparado. Macarra: Lo hago todo de memoria, responde en plan chuleta. Escalante: ¿Te sabes la tabla? Macarra: Me sé la del uno, la del dos, … y la del tres. (va señalando los números con los dedos, dejando en el último el dedo corazón levantado, con un gesto claramente provocador. Ver imagen). Escalante: ¡Ah, vaya! Eres el hombre del dedo. Yo también lo puedo ser. ¿Sabes lo que puedo hacer? Puedo multiplicar por nueve. Entonces con los dedos de ambas manos le explica el truco de la tabla del nueve con varios ejemplos. Toca la campana. Le pide que se quede para hablar con él.  A los demás les indica que hagan los ejercicios del 1 al 20. Alumno: ¿Me da mi revista?, comenta otro alumno según sale de clase. Escalante: No vuelvas a traerla a clase. Macarra: ¿Sabes qué, tío? Ponme un sufi como los demás profesores y yo leeré mis tebeos, contaré los agujeros del techo y yo tranquilo, ¿vale? Escalante: Primero te enseñaré buenos modales. En ese momento, se acercan al profesor Angel junto a otros dos de la banda con gafas de sol negras. Intenta coger algo del bolsillo de la camisa de Escalante. Escalante: Yo no haría eso. Si pierdes el dedo no podrás contar hasta diez. (El alumno se para y le da dos palmaditas en la cara) Macarra: Ya hemos tenido capullos como tú. Pronto te acojonaremos. Evidentemente, eso no sucederá. De hecho Angel será uno de sus mejores alumnos. El primer macarra, el del dedo, pronto dejará de ir a clase. Ese es un aspecto realista: no todos van a poder ser reconducidos. La primera parte de la película es de presentación de un grupo de alumnos (siete, con especial atención a cuatro de ellos), su situación socio-familiar, y los intentos de Escalante por atraerlos a sus clases; después la parte de la preparación al examen y la acusación de copia. Algunas críticas han señalado que la actitud de Escalante, su entusiasmo y sus métodos, aunque loables, no dejan de ser acomodaticios al sistema, en lugar de cuestionarlo y enfrentarse al mismo. Aunque eso sería lo ideal, sin apoyos, lo único que conseguiría finalmente sería acabar desilusionado y “quemado” como sus compañeros y los mayores perjudicados volverían a ser, como siempre, los alumnos. La película está filmada al estilo de las producciones televisivas (no olvidemos el limitado presupuesto de que suelen disponer unos recién licenciados director-guionista, productor, director de fotografía y montadora a la hora de enfrentarse a su primer trabajo). La película fue nominada al oscar al mejor actor principal (Edward James Olmos), obtuvo seis premios Independent Spirit (Ramón Menéndez, como director y guionista; Edward James Olmos y Lou Diamond Phillips como actores principal y secundario, respectivamente, Rosana de Soto, actriz secundaria y Tom Musca a la producción). La verdadera historia Por mucho que se nos anuncie al comienzo de las películas aquello de Basada en una historia real, todos sabemos que los guionistas, productores y directores suelen meter baza si lo consideran pertinente para que el resultado final sea de su agrado (o sea comercial). En este caso, aunque la descripción de los hechos se ajusta bastante a la realidad, también hay diferencias, algunas bastante notorias. La película concluye con unos rótulos en los que se nos indica la progresión de alumnos que aprobaron los exámenes en las sucesivas convocatorias hasta el año de producción de la película (1988). Jaime Escalante (en la foto), en unas declaraciones posteriores al estreno de la película, afirmó que tiene un 90% de realidad y un 10% “de drama”, aunque ese pequeño porcentaje puede cambiar significativamente las cosas. Por ejemplo en la película, el mismo año que Escalante llega a Garfield ya consigue algunos resultados que supera espectacularmente el curso posterior. En realidad fue un proceso de diez años el que le llevó lograr tales resultados. Tampoco impartió Cálculo desde su llegada sino que tardó cinco años en hacerlo. Ni fueron los alumnos que tuvo el primer año los que superaron el examen avanzado (A.P., Advanced Placement). Ni la determinación que manifiesta en la película es cierta: el profesor indica que a las dos horas de haber entrado en Garfield llamó a su anterior empresa, la Burroughs Corporation, para recuperar su antiguo trabajo. En 1979 sólo presentó 5 alumnos al examen de los que aprobaron 2 (Escalante tuvo que utilizar algunas artimañas para que le permitieran dar una clase con sólo cinco alumnos aquel curso). Al año siguiente fueron 9 de los que 7 pasaron el test. Al siguiente 15 de los que sólo suspendió uno. Y llegamos a 1982, el año que relata la película con esos 18 aprobados. Las pedagogos norteamericanos coinciden en que la película, tratando de ser una motivación para otros alumnos (allí se difundió bastante en los institutos) tuvo un efecto contrario al esperado: daba la falsa impresión de que era suficiente un curso de trabajo duro para poder corregir una mala trayectoria de cursos pasados. Y que los profesores estuvieran tan enchufados a su tarea como el Escalante de la película (de hecho las autoridades académicas mostraban orgullosas el resultado final, Escalante el héroe, el icono, pero nunca apostaron por cómo lo había logrado, su paciencia, su duro trabajo, sus programaciones, etc.). Así pues, ni alumnos ni profesores que intentaron seguir el ejemplo, pudieron alcanzar más que algunos decepcionantes resultados. Analizando un poco más detalladamente el éxito de Escalante, se advierten otros factores que lo hicieron posible. El más decisivo fue la apuesta del director, Henry Gradillas, por el programa de Escalante. Los primeros años de estancia de Escalante en Garfield, el director del Centro no apoyó sus iniciativas, llegando a amenazarle con la destitución ante las quejas de los bedeles por la temprana hora a la que los alumnos entraban al centro y lo tarde que salían (hay una escena en la película en la que un portero se sorprende de que los alumnos ya estén esperando a la puerta a la hora de abrir; la realidad fue mucho más cruda).Gradillas en cambio facilitó a Escalante unas llaves del edificio para que entrara y saliera cuando quisiera, y le dio un control total para que pusiera en práctica aquellas acciones que considerara oportunas para llevar a cabo su proyecto.  También trabajó para crear una infraestructura adecuada para fomentar las matemáticas en el instituto: rebajó el número de horas de matemáticas básicas incorporando asignaturas de mayor contenido como álgebra y cálculo, incentivó a los estudiantes a que escogieran estas asignaturas aunque también encendió la ira de muchos padres al reducir actividades extraescolares en beneficio de este tipo de materias. Este proceder le acarreó múltiples enemistades, consecuencia de las cuales en 1987después de disfrutar de un año sabático para terminar su doctorado, se le asignó un puesto diferente en otro lugar. La nueva directora mostró más interés en la promoción deportiva y la de la banda de música. Escalante permaneció sólo 4 años más allí. Los nueve profesores que fue incorporando a su proyecto no tardaron en seguir su camino. Otros factores no menos importantes fueron una buena organización del programa, que incluía un amplio horario a disposición de los estudiantes mediante tutorías personalizadas y la posibilidad de poder incorporarse a sus grupos a los alumnos en cualquier momento del curso. Como ya se dijo anteriormente, llevaría mucho más detallar la película y exprimir todo el jugo que contiene, pero para no aburrir demasiado, lo dejaremos aquí. En la foto se muestra un mural de Jaime Escalante y Edward James Olmos, realizado en 1997 por Hector Ponce, en la intersección del Boulevard Wilshire y la Calle Alvarado, en el Distrito Westlake, al noroeste del centro de Los Ángeles. NOTICIAS BREVES 1.- El  mes pasado llegó hasta nuestros cines Señales del futuro (Knowing, Alex Proyas, EE. UU., 2009), un thriller de ciencia-ficción en el que un profesor de astrofísica del MIT, John Koestler (Nicolas Cage), “descifra” un papel lleno de números que cree que son predicciones de grandes catástrofes que han ocurrido o van a ocurrir. El citado documento aparece en una cápsula del tiempo en el colegio al que asiste el hijo del John, que cincuenta años antes, en la inauguración del centro, había sido enterrada. Profecías catastrofistas, determinismo y azar, niños en trance, extraterrestres y Nicolas Cage tan exagerado como siempre. Este es en resumidas cuentas el cóctel que depara la película junto a lo único salvable, el despliegue de medios y los efectos especiales, que por supuesto no justifican en absoluto el precio de la entrada (al menos para el que esto escribe). Algunos críticos han tratado de defender la película en base al buen hacer de su director en pasados trabajos (fundamentalmente Dark city (1998)), pero hasta los mejores directores a veces firman películas mediocres, cuanto más Alex Proyas cuya única virtud (que no es poca) es la creación de atmósferas inquietantes. En este caso, todo queda en agua de borrajas con un final bastante bluff. En la imagen vemos a Nicolas Cage observando la sábana de cifras que luego descifrará (no me resisto a incluir el comentario que de su actual trayectoria interpretativa he oído en televisión: “adopta una fisonomía que le lleva a aparentar un continuo estado de shock, aunque lo que tenga que representar sea comerse una galleta”). Estamos ya un poco hartos de que se utilicen los números y las matemáticas como si de algo exotérico se tratara, y que su mayor atractivo resulte ser esconder códigos ocultos que presagian acontecimientos futuros.  ¡Estudiar una carrera y tener un puesto en el MIT para ser un émulo de Iker Jiménez! ¡Cuantas ecuaciones diferenciales tiradas por el retrete! Nada que lo mejor es tomárselo como hace Alex de la Iglesia (El día de la Bestia). 2.- Desde el pasado 16 de abril, la Sexta viene emitiendo de lunes a viernes todas las tardes a las 18:25 desde la primera temporada la serie Numb3rs., al igual que ha hecho con otras o como está haciendo Cuatro con Perdidos. En la cadena Calle 13 se emite en la actualidad la cuarta temporada y en los Estados Unidos van por la quinta. Hace tiempo que no hablamos de ella en esta página, aunque no la perdemos de vista. No obstante, para nosotros, desde un punto de vista matemático, su emisión sin más, carece de interés puesto que las matemáticas que aparecen, que repito una vez más, están muy bien documentadas, pasan ante el espectador como el que ve cualquier otra cosa más o menos increíble. Trabajar sus contenidos como hacen algunos institutos de secundaria americanos sí tiene interés y ya hemos indicado repetidas veces el portal donde se alojan muchos documentos y prácticas relacionadas con los contenidos de cada capítulo. Ciertamente emitirla de un modo continuado y en un mismo horario es mejor que las chapuzas de Antena 3, pero tampoco mejorarán (ya que todos juegan a ser adivinos, probemos) excesivamente el interés del público por ella (y ya veremos hasta qué temporada llegan, que mucho me temo que lo dejarán a la tercera, como mucho). Por cierto, ¿en que categoría de la clasificación de profesores del mes pasado de profesores de matemáticas incluiríamos a Charlie Eppes? 3.- Hablando de Antena 3, el pasado 28 de abril, en esa “exitosa” serie llamada Física o Química, de la que me voy a tratar de reservarme cuantos comentarios pueda, hubo ratillo dedicado a (¡qué majos e incomprendidos son los chavalines que pululan por ella, y que penosos los adultos y maestrillos que tienen, todos ellos de psiquiatra! Y yo que pensé que el maniqueísmo era algo y el “passa coleguí” se habían superado hace mucho, mucho tiempo… En fin la crisis, … de ideas) lo que saben los profesores de un instituto de matemáticas (al menos los profesores del colegio concertado que presentan). Berto, un joven que trabaja en un bar de camarero necesita sacarse el graduado escolar (no por dejar de ser un ignorante, no, sino por que si no le echan del curro) y tiene algunos problemillas con las matemáticas. Tiene una “colegui” (Violeta) que no tiene paciencia para explicárselas y enrollan a la profesora más lista del centro, a Blanca para que se le explique alguna cosilla. Ésta le cita en su casa y se siente un poco incómoda (no se sabe muy bien si porque tiene cosas mejores que hacer o porque teme “caer en la tentación”, como todos los integrantes de la serie que están todos más salidos que, como se suele decir, el pico de una plancha). Veamos la escena: Berto:  […] Este problema me tiene frito …[..] Un turista quiere alquilar un coche para un viaje de 10 días. Le presentan dos ofertas. La A, 60 euros al día por kilometraje ilimitado; la B, 12 euros al día y 15 céntimos por kilómetro recorrido. ¿Cuál es la mejor si recorre 2800 kilómetros? ¿Cuántos kilómetros debe recorrer para que cuesten lo mismo? Blanca: Es muy fácil Pan comido, como dices tú. Berto: ¿En serio? Jo, pues a mi hermana le ha costado….. (y hace un gesto con la mano de los que hacen los niños no de primaria, sino de infantil, que en un tío de esas características queda como si estuviera más que retrsadillo) Blanca (sin tener ni idea ni por donde empezar): ¿Si? ¡ Es un viaje de 10 días ¡Pues mira que es fácil! (Coge la calculadora y hace como que hace algo) La A, 60 euros. La B, 12 y 15 c’entimos,… ¡La A, sin duda! ¿No tienes otro problema por ahí para ver el nivel? Berto: Si. El siguiente que hay que también es muy chungo. Blanca: Elena tiene en la maleta 5 camisetas, 3 pantalones cortos, unas zapatillas deportivas y unas sandalias. ¿De cuantas maneras distintas podrá vestirse? Este tiene trampa. Depende de donde vaya Elena. No es lo mismo vestirse para ir a trabajar que para ir a una fiesta, ¿no? Berto: Blanca, ¿tú controlas de mates? Blanca (cortada): Pues claro. ¿Te apetece una cerveza? En escenas posteriores, Blanca aparece buscando desesperadamente a alguien que le resuelva los problemas, olvidándose de una cita, durmiéndose en el sofá, etc. No dudo de que algunos profesores de secundaria de este país tengan dificultades para resolver estas trivialidades (confío que no muchos). Es lo único que puedo compartir de esta escena. A mediados del próximo mes (Junio) os plantearemos, como ya es tradicional, nuestro concurso cinéfilo - matemático del verano. Y confio que esta vez sin retrasos.

Martes, 12 de Mayo de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

305. 49. Cómic y ciencia ficción (1)

En realidad no es fácil encontrar referencias interesantes de tecnociencia en el cómic. Y lo sé por experiencia. Un grupo de investigadores del Instituto de Tecnoética de Barcelona estamos intentando analizar la presencia de la tecnociencia en el cómic. Encontrar esa presencia en la literatura resultó bastante más sencillo y, en 2002, publicamos "Entre la por i l'esperança: percepció de la tecnociencia en la literatura i el cinema" (Entre el miedo y la esperanza: percepción de la tecnociencia en la literatura y el cine) que aguarda ahora su publicación en castellano. Más tarde, nos atrevimos a hacer un monográfico sobre el cine que ha visto hace poco la luz como "Tiem(pos)Modernos". Pero el cómic parece como si se nos atragantara... En 2007 participé en un debate sobre "Ciencia y cómic", en la Biblioteca de la Sagrada Familia de Barcelona, organizado por la Dirección de Promoción de Cultura Científica del Instituto de Cultura de Barcelona que, en el marco del programa "Barcelona Ciència 2007", había promovido, en esa misma biblioteca, una exposición sobre "Ciencia en el cómic". En esa exposición, se daba a entender que la presencia de la ciencia en el cómic se reducía a personajes más bien anecdóticos como podrían ser el druida Panorámix de Astérix y Obélix (sic!), el profesor Tornasol de Tintín, e incluso ese gran creador de problemas que es el profesor Bacterio de Mortadelo y Filemón, sin olvidar al imprescindible Doctor Franz de Copenhague de los imposibles "inventos" del TBO. Lo grave es que Panorámix parece tener poco que ver con la ciencia, a Tornasol puede vérsele a menudo con un péndulo de radiestesia como si fuera un zahorí de la era tecnológica, y el profesor Bacterio reúne en su figura todo lo que no nos gustaría encontrar en la ciencia: errores sin cuento y desastrosas consecuencias inesperadas. Evidentemente, aunque ausentes de esa exposición, según creo recordar, estarían también, en la vertiente digamos que algo más positiva, el Doctor Zarkov de Flash Gordon, el Mortimer de la serie Blake y Mortimer de Edgar P. Jacobs y, desgraciadamente, pocos más (aunque, seguro, todos tendremos algún que otro ejemplo rondando nuestra memoria...). En general, el científico que acostumbra a presentar el cómic se corresponde mucho más con la imagen romántica del científico del siglo XIX que con el gestor de recursos que acaba siendo el científico maduro del siglo XXI. Parece que los años hayan pasado en balde y el clásico memorandum "Science: the Endless Frontier" de Vannevar Bush no se hubiera escrito nunca... Lo cierto es que la ciencia como tal no ha llegado al cómic. En cierta forma la novela dispone de un ilustre precedente cuando al francés Jules Verne se le ocurrió, allá por la década de 1860, que dada la creciente presencia de la ciencia y la tecnología en la vida cotidiana, era necesario escribir lo que el mismo llamó "la novela de la ciencia", de la cual fue brillante cultivador en sus conocidos "Viajes extraordinarios". No ha existido todavía, que yo sepa, una teorización del "cómic de la ciencia" equivalente a la que hiciera Jules Verne hace ya unos ciento-cincuenta años. Por eso, la única referencia interesante a la tecnociencia en el cómic suele encontrarse en la narrativa de ciencia ficción dibujada. Un ejemplo casi irrepetible El cuatro de octubre pasado se cumplieron cincuenta años del lanzamiento del primer Sputnik que iniciaba lo que se llamó la "carrera por el espacio" y que, lo deseo fervientemente, sea recordada en el futuro, simplemente, como los primeros pasos de nuestra especie fuera de la Tierra, olvidando el trasnochado enfrentamiento de culturas y sistemas económicos en que acabó convirtiéndose esa "carrera por el espacio". En realidad, el recuerdo que quiero compartir con ustedes se asocia mejor con el segundo de los Sputnik, lanzado al espacio a principios de noviembre de 1957, el que llevaba en su interior a la perrita Kudryavka, a la que el mundo conoció después como Laika. Una perrita que estaba, en realidad, condenada a muerte ya que no se habían previsto procedimientos de recuperación. El niño que yo era entonces (9 años, a punto de cumplir diez como decía con orgullo entonces...), mirón empedernido de la páginas de fotograbado de La Vanguardia, se sintió, imagino que como todos lo niños que se enteraran del hecho, más bien apesadumbrado por la trágica suerte de esa perrita. Afortunadamente, en poco tiempo la ciencia ficción acudió al rescate de esa pena... Y con un ejemplo brillante de la por otra parte escasa presencia de la ciencia en el cómic. Ocurre que ese niño era también coleccionista y devoto lector de los "tebeos" de Flash Gordon que, en aquel entonces, publicaba en España la editorial madrileña Dólar en su Colección Héroes Modernos (junto a El Hombre Enmascarado, Ben Bolt, Mandrake el Mago, Rip Kirky y un largo etcétera que generaban grandes tensiones para la reducida capacidad económica de mi "paga semanal"...) . El Flash Gordon de la época era el de Dan Barry, menos barroco que el de Alex Raymond, mucho más realista y, también, con gran interés en divulgar la entonces incipiente exploración del espacio. Barry se inspiraba en las ilustraciones de la época sobre los proyectos reales de exploración del espacio (como las de un famoso texto de divulgación: La conquista del espacio de 1949, escrito por Willy Ley e ilustrado por Chesley Bonestell, del que ya les hablaba aquí en febrero de 2006), y acudía sin problemas al consejo e incluso los guiones de buenos escritores de ciencia ficción. En las tiras diarias del 6 de febrero al 14 de marzo de 1958, la aventura de Flash Gordon (y su eterna novia Dale Arden) transcurre en la Luna, en su lado oculto donde ambos descubren una extraña estructura no natural, son atacados por robots y sometidos, con riesgo de su vida, a un test de inteligencia o conocimientos: saber que el número pi está relacionado con la figura geométrica de un círculo y recordar el lugar que ocupan en la tabla periódica el oxígeno y el nitrógeno, los gases más abundantes en nuestra atmósfera. Primero Flash y Dale se encuentran en una habitación cerrada de bajo techo que se está llenando de agua con peligro para su vida. Hay varias puertas, se abre una marcada con un triángulo pero Flash impide que Dale huya hacia ella: hay un gas venenoso. Finalmente, tras interpretar correctamente unos ruidos misteriosos (bip, bip, bip. - bip. - bip, bip, bip, bip. - bip. - bip, bip, bip, bip, bip, bip.- ) Flash abre la puerta marcada con un círculo para llegar a una sala con aire respirable y un techo alto. Flash ha descubierto la secuencia de los "bip": 3-1-4-1-6, es decir: 3,1416, el número pi (π), la proporción entre la longitud de una circunferencia y su círculo. La puerta salvadora tenía que ser la marcada con el círculo... Luego, en esa nueva sala, el aire se va enrareciendo, mientras una pared se ilumina con unos cuadros con símbolos incomprensibles. Los símbolos no significan nada y así lo reconoce Flash Gordon, pero la disposición de los cuadros le recuerda finalmente la de la tabla periódica de los elementos. Por ello, al presionar sobre los cuadros que, pese a sus símbolos extraños, ocupan el lugar que correspondería a los números atómicos del Nitrógeno y del Oxígeno (los dos mayores componentes de la atmósfera terrestre) se renueva el aire. El test de ciencia ha sido superado con éxito. Superada la prueba, Flash y Dale se encuentran con una perrita que Flash reconoce inmediatamente como la Laika del Sputnik-2. La explicación es sencilla: unos extraterrestres han salvado a Laika de una muerte segura pero han quedado sorprendidos de que, en realidad, fuera un animal tan poco inteligente. ¿Cómo podía ser, se preguntaban, que seres perrunos como Laika pudieran haber lanzado un artefacto como el Sputnik si demostraban tan poca inteligencia y escasas capacidades manipulativas? La sorpresa de los extraterrestres es lógica: ellos mismos tienen forma perruna y encontrar otro ser vivo de su misma forma y con escasa inteligencia despierta en ellos todo tipo de preguntas. Al final todo se aclara: Flash Gordon lo explica y los extraterrestres, Flash y el niño que era yo entonces aprenden de una vez para siempre que no hay que juzgar por las apariencias. El fondo (la inteligencia) acaba siendo mucho más importante que la forma (perruna o humana). Y el niño que yo era entonces aprendió también con ese "tebeo" que saber matemáticas o química te podía tal vez salvar la vida algún día (sobre todo si eras Flash Gordon y estabas perdido con tu novia Dale Arden en la cara oculta de la Luna....) y, al menos por unas noches, pudo soñar en que Laika, nuestra involuntaria primera exploradora espacial, no estaba muerta... Unos recuerdos y un aprendizaje que, puedo garantizarlo, han resultado imborrables. Para leer: Ensayo - Entre la por i l'esperança: percepció de la tecnociencia en la literatura i el cinema, Jordi Font-Agustí coordinador, Barcelona, Edicions Proa, 2002. - Tiem(pos) Modernos, Carmen Gallego coordinadora, Madrid, Equipo Sirius, 2007. Cómic - Flash Gordon - Edición Histórica, Tomo IX (1958-1959), Dan Barry, Barcelona, Ediciones B, 1992.

Viernes, 01 de Febrero de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

306. 63. Matemáticos que escriben ciencia ficción: Lino Aldani (in memoriam)

Hace tiempo que pretendo hablarles aquí de matemáticos que escriben ciencia ficción. Como las meigas, haberlos haylos... Aunque no son tantos como yo quisiera o, cuando menos, la mayoría no han alcanzado renombre mundial al menos en su faceta de escritores de ciencia ficción. El primero que viene a la mente, por aquello del imperialismo anglosajón dominante, es Rudy Rucker pero, aunque Rucker me resulte un personaje interesante, no voy a empezar con él (aunque sí les diré, como de pasada, que hace más de una quincena de años, cuando yo organizaba un congreso más o menos internacional sobre ciencia y ciencia ficción en Barcelona, Rudy me escribió para auto-invitarse, eso sí con los gastos pagados por la organización... Todo un personaje tal vez cual corresponde a esa curiosa mezcla de matemático y escritor de ciencia ficción...). Sí les hablaré, y con una cierta pena por su reciente fallecimiento, de un profesor italiano de matemáticas, Lino Aldani, con brillantes relatos en su haber y que, como dije en su día al presentarlo en mi fanzine Kandama, para mí ha sido un "escritor descomunal que tiene el único problema de no escribir en inglés..." Empiezo con el más viejo de mis recuerdos (que no quiero actualizar hoy releyendo el relato, por aquello de mantener la integridad de ese recuerdo que, en los últimos cuarenta años, no me ha abandonado. Un testimonio claro de que la impresión recibida fue excepcional). En 1968, la hoy mítica Nebulae, publicaba en su número 138 (poco antes de cerrar la colección) un volumen titulado Mis universos. Lo traducía el maestro Domingo Santos y, por aquella precariedad de la edición de ciencia ficción en España en aquellos tiempos, era la traducción de la primera antología italiana de Lino Aldani (Quarta dimensione) aunque se habían eliminado algunos relatos (según parece por ser demasiado italianos, aunque ello resulte curioso en la época en que todavía se oían en España canciones italianas y se veían películas de esa nacionalidad...) y se habían añadido otros dos relatos tal vez en compensación... Entre esos relatos, todos ellos de gran interés, había uno que dejó un profundo impacto en el joven que yo era entonces. Se trata de Tecnocracia integral, escrito en 1961, donde se narraban con todo lujo de detalles las pruebas de una dura oposición. Entre las muchas pruebas y los problemas que se planteaban al protagonista del relato se describían cálculos de órbitas espaciales, problemas sobre el impulso que proporcionaban ciertos motores, complejos razonamientos y problemas que parecían de aplicación en lo que el lector imaginaba un ambiente espacial complejo: navegación espacial, motores de novísimas tecnologías, y un largo etcétera. Debo reconocer que, estudiante entonces de ingeniería aeronáutica, esos temas me interesaban y el planteamiento del relato en cierta forma me resarcía de la dureza de los estudios y los exámenes en la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Aeronáuticos de Madrid donde estaba cercano a terminar mis estudios. La sorpresa llegaba al final. Era la que daba razón al título del relato: tecnocracia integral. También lo convertía en una de las más duras críticas a la "titulitis" que ya empezaba a aflorar entonces. El relato concluía con la gran satisfacción del candidato que había superado todas esas pruebas ya que con ello había obtenido su deseado cargo, un cargo que no era el de capitán de una nave espacial como le parecía al lector, sino, mucho más prosaicamente, el de "basurero municipal". Ahí es nada. Más tarde, en 1981, cuando se me ocurrió la locura de editar un fanzine (fan magazine) antes del Word..., ya en la segunda aparición de Kandama, en la primavera de 1981, publiqué con gran satisfacción un relato que también considero maravilloso de Lino Aldani. Se trata de Jaque doble (Scacco doppio, 1972) que saqué de su antología Eclissi 2000 publicada en 1979: uno de los muchos libros italianos de Lino Aldani que pueblan mi biblioteca desde mi estancia en Roma para cursar la Laura d'Ingegneria Aerospaziale a principios de los setenta. Jaque doble es un claro ejemplo de la habilidad de Aldani para orientarse hacia una ciencia ficción que no olvida el aspecto social y que, además, tiene como aliciente adicional (al menos para mí...) centrarse en una partida de ajedrez. Esa partida, que se cita al final del relato, se presenta como la que jugaron Emanuel Lasker (matemático y ajedrecista, campeón del mundo entre 1894 y 1921) y Eugene Delmar (campeón estadounidense de ajedrez) presuntamente en 1910... Pero ocurre que Delmar falleció el 22 de febrero de 1909 y posiblemente la partida sea ficticia, inventada por Aldani para dar la base de su narración... En cualquier caso, debo decir que he intentado buscar esa partida y no consta en ninguna parte. Aldani la cita como (Lasker-Delmar, 1910) y nada más... y, además de la fecha (que podría estar equivocada...) lo cierto es que no he encontrado constancia de esa partida. Si he logrado encontrar una partida registrada entre Lasker y Delmar pero es de 1892 (en unas simultáneas en Nueva York) y, aunque tiene iguales los primeros movimientos, luego difiere mucho de la que cita Aldani y, además, llega hasta 34 movimiento, mientras que la de Jaque doble tiene sólo 15. Y, luego, he llegado a encontrar otras cuatro partidas entre esos ajedrecistas... Y nada. Como sea que tras la publicación en Kandama, en 1981, el relato se ha repetido en el fanzine argentino Axxon 169, en 2006, puede encontrarse en la traducción que hace mi amigo Sergio Gaut vel Hartman en: http://laliteraturadelofantastico.blogspot.com/2007/12/lino-aldani.html una lectura que les recomiendo encarecidamente. La narración reconstruye en cierta forma la peripecia de la partida de ajedrez con la relación entre el narrador y su pareja, Elena, en cierta forma un trasunto de la Dama que va a perder en la partida y al perderla a ella va a perder la partida misma. Y todo ello dando a entender con gran maestría la posible existencia de un orden social opresivo. Mucho en pocas páginas, una verdadera maravilla. Sirvan estos dos ejemplos como recordatorio del interés que prácticamente todos los relatos de Lino Aldani suelen tener. Pasemos a los datos escuetos. Lino Aldani nació el 29 de marzo de 1926 en San Cipriano Po y, hasta 1968, vivió en Roma como profesor de matemáticas. Luego decidió volver a su lugar natal, pero sólo tras haber fundado, en 1963, con Massimo Lo Jacono, la primera revista italiana dedicada íntegramente a la ciencia ficción: FUTURO, de la que sólo se editaron ocho números. Previamente, en 1961, había escrito el primer estudio crítico que aparecía en Italia sobre la ciencia ficción: La fantascienza. Y, evidentemente, desde su llegada a Roma en 1960 escribió y publicó diversos relatos que se recogieron en diversas antologías como Quarta dimensione (1964), Eclissi 2000 (1979) ya mencionadas o Parabole per domani (1987) y alguna que otra novela entre las que destaca Quando le radicci (1977). Falleció el 31 de enero de 2009 en el hospital de Pavía (Italia) víctima de una enfermedad pulmonar incurable. BEMonline (http://www.bemonline.com/portal/) uno de mis portales preferidos de ciencia ficción, tiene previsto dedicarle un pequeño homenaje en un futuro más o menos cercano. En cualquier caso, un profesor de matemáticas que escribía ciencia ficción, que lo hacía muy pero que muy bien y que, al menos en mi caso, ha dejado recuerdos imborrables por muchas y muchas razones. Y, si he de decir la verdad, lamento haber esperado hasta ahora para escribir sobre Lino Aldani, cuando ya ha fallecido. Este es un mundo demasiado atareado y agobiado y a veces sólo recordamos aquello que nos hizo pensar y vibrar de jóvenes cuando nos enteramos de la luctuosa noticia de la desaparición de alguien cuyas ideas hicieron mella en nosotros. Una lástima. Para leer: Ficción - Mis Universos, (antología) Lino Aldani, Barcelona, Edhasa, Colección Nebulae 138, 1968. - Jaque doble (Scacco doppio, 1972), Lino Aldani, en fanzine Kandama número 2, primavera 1981. También en Axxon 169 y en la página web: http://laliteraturadelofantastico.blogspot.com/2007/12/lino-aldani.html - Quando le radici, Piacenza, La Tribuna, 1977. - Eclissi 2000, (antología) Lino Aldani, Milano, De Vecchi, 1979. - Parabole per domani, (antología) Lino Aldani, Chietti, Marino Solfanelli Editore, 1987.

Martes, 07 de Abril de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

307. 65. Eleusis: El juego de la Ciencia

El mes pasado me quedé sin hablarles de un brillante juego más o menos relacionado con la matemática y con la ciencia como es Eleusis de Robert Abbott. Es un juego con más de medio siglo de existencia y a la vez remozado, que ha aparecido ya por dos veces, de la mano de Martin Gardner, en la sección de "Juegos Matemáticos" de Scientific American. Yo lo conocí en su segunda versión, precisamente a través del artículo de Gardner publicado en esa revista en octubre de 1977, pero el juego es más antiguo y ya había merecido que el mismo Martin Gardner hablara de él en junio de 1959, sólo tres años tras su creación: 1956. Pero vayamos por partes. Robert Abbott, nacido en 1933, se dedicó en un principio a crear juegos pero sin excesivo éxito comercial (algunos opinamos que sus juegos eran tal vez demasiado buenos y, también, que tienen escaso éxito ya que no promueven el negocio de los fabricantes de juegos: se puede jugar a los mejores de ellos sin parafernalias especiales: bastan mazos de cartas o un tablero de ajedrez...). Visto lo ocurrido, Abbott abandonó ese empeño de diseñador de juegos y se empleó como profesional de la informática, aunque volvió más tarde a su hobby, esta vez con laberintos basados en la lógica de los que está considerado uno de los mejores inventores del mundo. Algunos de esos laberintos pueden encontrarse en su página web: www.logicmazes.com Eleusis es un sorprendente juego aparentemente sin reglas que emula muy claramente el proceso de razonamiento tan propio de la ciencia. Como sea que jugar a Eleusis enseña de manera directa las dificultades del descubrimiento científico, yo lo uso en algunos cursos de "Ciencia y Pseudociencia" (un curso de libre elección que, me temo, es de los pocos, o tal vez el único, en la Universidad Politécnica de Cataluña donde se habla de lo que es la ciencia y del método y del fraude científico...). Eleusis, tras el empuje que supuso el artículo de Martin Gardner en Scientific American tuvo algunos devotos, y Abbott lo publicó en su libro Abbott's New Card Games de 1963. En 1973 Abbott mejoró el juego con la invención de la figura del "profeta" (ver más adelante) y ésa es la versión de que habló Martin Gardner en su artículo de octubre de 1977 en Scientific American. En aquel entonces, se le bautizó como "New Eleusis", pero con el tiempo el "new" se ha perdido y todo el mundo se refiere a Eleusis en la versión de 1973, popularizada por Gardner en 1977. Tanto es así que es la que se incluye en la nueva edición en castellano del libro Abbott's New Card Games, que se ha puesto al día con la aquiescencia de Abbott quien narra en su web la visita del editor, Oriol Comas, y comenta el prólogo, con el título "Bob Abbott, ese desconocido", que el mismo Oriol escribió en ese libro: Diez juegos que no se parecen a nada (RBA 2008, edición actualizada y revisada de Abbott's New Card Games). Posteriormente, tal y como también comenta Abbott en su página web (y se recoge en Diez juegos que no se parecen a nada), John Golden, un profesor de matemáticas de la Grand Valley State University in Michigan, inventó en 2006 una versión simplificada de Eleusis que recibe el nombre de Eleusis Express. Golden, con el acuerdo de Abbott, intenta que Eleusis Express pueda servir a los profesores de la escuela primaria y secundaria para presentar el método científico. El profesor puede dividir la clase en pequeños grupos para jugar (la cifra ideal para jugar a Eleusis suele ser de cinco o seis personas, aunque se aceptan entre 4 y 8 jugadores) y, tras la sesión de juego, el profesor puede mostrar a los estudiantes como, en realidad, estaban usando el método científico al jugar a Eleusis. En la página web indicada y en el libro Diez juegos que no se parecen a nada se pueden hallar las bases (que no reglas...) tanto de Eleusis como de Eleusis Express. Eleusis es un juego para 4-8 jugadores (mejor seis...) que se suele jugar con tres (o cuatro) mazos de cartas al mismo tiempo y ocho fichas o señaladores (cuatro de cada color). En cada ronda, uno de los jugadores hace el papel de "dios" (o repartidor, o creador de la regla, o como quiera llamársele, aunque eso de llamarle "dios" indica claramente que es quien decide lo importante...). Ese "dios" inventa una regla que escribe en un papel que deja oculto, reparte 14 cartas a cada jugador y pone una primera carta (carta inicial) del mazo en la mesa. Cada jugador, a su turno, pone una carta en la mesa y "dios" dice si es correcta o no, es decir si sigue o no la regla por él establecida. Si la carta es correcta, se pone a la derecha de la carta anterior y el jugador se ha descargado ya de una carta (al final ganará quien menos cartas tenga, al margen de bonificaciones especiales). Si la carta es incorrecta, "dios" lo dice así, la carta se pone en vertical ortogonalmente a la carta a la que debería haber seguido y el jugador es castigado con dos cartas adicionales del mazo (o sea que tiene más cartas de las que tenía antes de jugar y ha perdido su oportunidad de liberarse de cartas en ese turno...). Y así sucesivamente. Los jugadores, a la vista de las cartas correctas e incorrectas, pueden ir adivinando la regla lo que les ha de permitir ir liberándose de más y más cartas en cada turno (si, realmente, han adivinado la regla, claro...). Si el jugador está seguro de la regla, puede, por ejemplo jugar no una carta en su turno, sino una serie de ellas... Un jugador, si cree conocer la regla, puede declararse "profeta" y, a partir de ese momento es el "profeta" quien dice si la/s carta/s que propone cada jugador en su turno son o no correctas. Si el "profeta" está en lo cierto, "dios" lo corrobora y el juego sigue (el "profeta" ya no pone más cartas desde que se declara tal y se marca esa posición en la línea principal con una ficha o señalador). Si el "profeta" se equivoca, "dios" lo denuncia como falso profeta y éste recibe como castigo cinco cartas del mazo. Para declararse profeta hay algunas normas: hacerlo tras acabar de jugar su turno, no ha de haber profeta en activo en esa ronda, no haber actuado antes como profeta en esa misma ronda, y han de quedar al menos dos jugadores más ("dios" no cuenta) en esa ronda. En Eleusis Express, el cambio más esencial es que se reparten 12 cartas, no hay "profeta" y que cuando alguien cree conocer la regla, simplemente la declara y la ronda se acaba. Esto último es algo que Abbott siempre se negó a aceptar aunque ahora, en su página web, parece empezar a encontrarle sentido. Aunque yo sigo usando la versión canónica con el "profeta"... La ronda termina cuando a un jugador ya no le quedan cartas o si todos los jugadores han sido expulsados (por ejemplo, tras la carta número 40 se expulsa al jugador que se equivoca y no acierta con la siguiente carta). La puntuación depende inversamente del número de cartas que tenga cada jugador en su mano. Se determina el número máximo de cartas en una mano y cada jugador recibe como puntuación la diferencia entre ese número y las cartas de su mano. El "profeta", si se ha mantenido hasta el final recibe la puntuación que corresponde a sus cartas (dejó de poner cartas desde que se declaró "profeta") y una bonificación igual a la del número de cartas en la línea principal horizontal (cartas acertadas) tras aquella en la que se declaró profeta (de ahí las fichas o señaladores...) más el doble del número de las cartas erróneas (en líneas ortogonales) tras el señalador que marca su declaración como "profeta". "Dios" recibe como puntuación la más alta de los jugadores. Por eso "dios" tiene interés en inventar reglas que no sean excesivamente complejas para que alguien pueda puntuar bien... Después siguen otras rondas hasta que todos los jugadores han hecho de "dios". Se suman los puntos y, tras un buen rato pensando y jugando se obtiene, si hacía falta..., un ganador. La elección de la regla es importante. Como puede verse, en una baraja suele haber dos variables: el color de las cartas y la numeración de los naipes. Hay reglas que usan una sola variable (tras una carta roja, poner una negra y tras una carta negra poner una roja), otras reglas posibles mezclan dos variables, lo que suele hacerlas más complicadas y difíciles de descubrir (tras una carta par poner carta roja y tras una carta impar poner carta negra) y un largo etcétera de posibilidades. En el libro de Abbott se indican diversas reglas simples y otras más complejas, pero la idea general es que "dios" debería ser prudente: casi siempre una regla es más difícil de descubrir de lo que "dios" podría imaginar... Real as life... El único problema con Eleusis es encontrar seis personas dispuestas a jugar y con la capacidad suficiente para hacer que el juego no resulte banal. Es un brillante y entretenido reto intelectual. Se lo puedo asegurar. Tras Eleusis, han aparecido otros juegos parecidos, sin reglas aparentes y que emulan lo que se consigue con Eleusis. Esos juegos parecidos a Eleusis y en su misma línea podrían ser Penúltima (de 1994, con un tablero de ajedrez) o Zendo (cuyas reglas se publicaron en 2001 y en la versión comercial usa pequeñas pirámides y marcadores). Permítanme un consejo: descarte imitaciones, Eleusis es el juego, bastan unos mazos de cartas... Aunque hablando de Penultima, hay que decir que es un juego inventado por Michael Greene y Adam Chalcraft en Cambridge en 1994 que se define como un juego de lógica inductiva como Eleusis aunque usando un tablero de ajedrez. Es bueno recordar que Penultima se basa en el Ultima (también llamado Baroque Chess) que, como era tal vez de esperar, es un buen juego inventado también por Robert Abbott y del que también (pese a no ser un juego de cartas sino con un tablero de ajedrez) se habla en la moderna edición del libro de Abbott, ese Diez juegos que no se parecen a nada de lectura casi obligada para los amantes de los juegos y de la lógica matemática. En cualquier caso, esto me está llevando a los juegos en un tablero de ajedrez o sea que será bueno dedicar la próxima entrega de esta sección a algunos de esos nuevos juegos basados en el ajedrez como el Ultima o el sorprendente Arimaa que pretende (como también, estoy seguro, ha de lograr el Querni del que les hablaba el mes anterior) que los ordenadores no lleguen a ganar a los humanos al menos con el uso y abuso de técnicas de "fuerza bruta" como ya ocurre hoy con el ajedrez... Pero todo ello será el próximo mes, al fin y al cabo, el verano es un periodo con más tiempo libre que emplear inteligentemente. Por ejemplo, jugando... Para leer: Ensayo - DIEZ JUEGOS QUE NO SE PARECEN A NADA, Robert Abbott, Barcelona, RBA, 2008. Para jugar con Robert Abbott: Eleusis: http://www.logicmazes.com/games/eleusis/index.html Eleusis Express: http://www.logicmazes.com/games/eleusis/express.html Laberintos lógicos: http://www.logicmazes.com Juegos: http://www.logicmazes.com/games/index.htm

Martes, 09 de Junio de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

308. 29. Topología Ficción (1)

Si he de decir la verdad, cuando, hace ya más de dos años, Raúl Ibáñez me encargó esta sección de Divulgamat, el primer tema en el que pensé fue, precisamente, la Topología Ficción. Ya saben, esos relatos que usan o abusan de las cintas de Moebius, las botellas de Klein o los universos de Alicia por citar sólo los casos más emblemáticos. Pero, como habrán ustedes visto, he tardado más de dos años en tratar el tema que, pese a todo, como digo, fue el primero en el que pensé. Hoy empezamos una serie de la que sólo puedo decirles que no sé, en realidad, cuándo voy a terminarla. Ya se sabe: quien avisa no es traidor... La razón del retraso es sencilla: en los años cuarenta y cincuenta las cintas de Moebius y las botellas de Klein aparecieron diversas veces en curiosos relatos de ciencia ficción. En mi memoria, amontonado con otros recuerdos de cuando era niño, estaba (y está...) una ilustración de uno de esos relatos en el que se veían dos monumentales botellas de Klein colgadas de una viga y, en medio de ellas, un hombre trajeado y con cara de asustado. Buscar ese relato (aunque reconozco que sin una dedicación exclusiva ni intensiva...) ha tenido como efecto retrasar casi dos años la temática de la Topología Ficción en esta sección de Divulgamat. Lo siento. Ahora no voy a tener otro remedio que contarles algo de ese relato... A la busca del relato perdido En estos días, google o cualquier otro buscador en la red es una potente herramienta para encontrar según qué cosas. Incluso se encuentran páginas como Mathematical Fiction que mantiene Alex Kasman del College of Charleston y quién, como después he sabido, escribe también interesantes artículos sobre "Mathematics in Science Fiction". Pues bien, ninguno de los relatos de la larga lista reunida por Kasman parece corresponderse con el de mi recuerdo, y eso que en su lista están todos los clásicos de la topología ficción y algunos más de los que, evidentemente, hablaremos en posteriores entregas. No he tenido otro remedio que acudir a ese ingente amontonamiento de libros que ocupa gran parte de mi casa y que podría denominar: "mi biblioteca", y hojear uno por uno diversos ejemplares de los volúmenes y antologías que mi padre compraba en los años cincuenta y que, debo reconocerlo, le he ido "tomando en préstamo" a lo largo de los años sin devolverlos... Al final encontré el relato o, cuando menos, la ilustración de la que les hablaba. Para mi desgracia, el relato, aún cuando hace intervenir las botellas de Klein (el dibujo es en este sentido explícito), no tiene nada que ver con la topología ficción y se trata de una utilización espúrea de la topología que puede servir para ilustrar el gran uso (y el mucho abuso) de esa temática en los años cuarenta y cincuenta en la ciencia ficción estadounidense. Les prometo hablar en serio de todo ello el próximo mes, pero déjenme ahora centrarme en ese relato. Más Allá de la ciencia y la fantasía fue una excepcional revista argentina que inició su aventura en 1953 para durar 48 números, cuatro maravillosos años que fueron eso que suele decirse "seminales" en la historia de la ciencia ficción publicada en castellano. A España llegaba casi en cuentagotas importada por diversos agentes comerciales y los aficionados como mi padre podían comprarla al desorbitado precio de 15 pesetas de las de los años cincuenta. La revista incluía diversas novelas cortas y relatos traducidos del inglés, pero también algunos originales de autores argentinos, una sección de divulgación científica, cartas de los lectores, noticias curiosas del mundo de la ciencia y un curioso y estimulante test ("espaciotest") más bien de divulgación científica. Una verdadera gozada. En el número 20 de Más Allá, el correspondiente a enero de 1955, en las páginas 95 a 102, se publicaba un relato de un tal Harry Walton, titulado en la revista como Terror espacial, e ilustrado por Paul Cooper. Ésa era la ilustración con las dos botellas de Klein que yo recordaba. Déjenme hacer ahora un inciso. Yo he nacido en noviembre de 1948, o sea que en 1955 no tenía ni siquiera siete años. Por eso me inclino a pensar que debí leer esa revista y ese relato algunos años más tarde, aunque, imagino, siempre antes de los diez años. Tengan en cuenta que, en esos tiempos, no teníamos televisión ni Internet ni juegos de ordenador o sea que, mayormente, los niños jugábamos a pelota o a lo que fuera y leíamos tebeos o lo que cayera en nuestras manos. Pueden imaginarse la sorpresa del niño que yo era ante ese extraño artefacto que el relato identificaba con el misterioso nombre de "botella de Klein". Para mi ilustración, en una clásica aplicación de eso que el doctor Miguel Masriera llamaba "enseñar deleitando", el mismo relato incluía una explicación bastante autorizada. Copio literalmente de la traducción de Más Allá: «Prell buscó entre los libros hasta encontrar el que precisaba. Era la obra de George Gamov: "Uno, dos, tres... infinito". Y, en efecto, en la página 62 aparecía una botella de Klein. La descripción decía: "Vasija tridimensional con un extremo saliente que se incurva y proyecta hacia el interior de la misma, para configurar una sola superficie, interna y externa a la vez. Es una fantasía geométrica que sugiere, por analogía, la existencia de cosas más extrañas en otras dimensiones y en otros mundos"». No me atrevo a imaginar ahora lo que le sucedió a mi pobre cerebro de infante enfrentado a la idea de "una sola superficie, interna y externa a la vez", pero me temo que no debió ser nada bueno. Siempre he dicho que esto de leer ciencia ficción a edades tan tiernas no debe ser bueno para la mente... En cualquier caso, ése era el relato y ésa la ilustración. Y la pregunta podría ser: ¿y quién es Harry Walton? La respuesta es breve ya que sólo he localizado cuatro relatos de ese autor, ninguno con el título publicado en Más Allá. Se trata claramente de un autor menor del que sólo se conocen tres relatos publicados en la revista Astounding entre 1939 y 1947 y un cuarto, titulado Intelligence Test aparecido en la revista Science Fiction Plus, en mayo de 1953. Science Fiction Plus fue una de las muchas revistas que publicó Hugo Gernsback el luxemburgués emigrado a los E.E.U.U. que acabó bautizando al género con su actual nombre: "ciencia ficción". Esa revista en particular, Science Fiction Plus, sólo llegó a publicar 8 números entre noviembre de 1952 y diciembre de 1953. Aunque los títulos del relato de Walton sean distintos en su original inglés y en el aparecido en Más Allá, han de ser el mismo relato. Y más teniendo en cuenta que Paul Cooper era uno de los ilustradores fijos en Science Fiction Plus. Como curiosidad añadida, les diré que, normalmente, Más Allá usaba nuevas ilustraciones hechas por artistas argentinos para los relatos que publicaba. Pero parece ser que esas botellas de Klein debieron parecer excesivamente "extrañas" y, simplemente, se usó la ilustración original de Cooper. El relato viene a justificar la extrañeza de las "botellas de Klein". El protagonista, Horacio Prell, director de la imaginaria revista Scientific News Monthly, recibe por correo dos de esas botellas junto con instrucciones para colgarlas, situarse en medio de ellas y golpearlas. Cuando lo hace con las primeras botellas recibidas, una miniaturas, observa un extraño fenómeno acústico analizado también en un osciloscopio (en esos tiempos, cualquier protagonista de relatos de ciencia ficción que se preciara tenía un osciloscopio en casa...). Más tarde, intrigado, recibe las dos botellas "tamaño natural" (como las de la ilustración de Paul Cooper). Cuando experimenta con ellas empieza a desvanecerse, justo en el mismo momento en que su esposa le cuenta el final de un sueño que viene atormentándola desde hace unas noches y en el que un alienígena de otra dimensión plantea "robar" el cuerpo de alguien de la Tierra con unos extraños objetos que son, precisamente, esas "botellas de Klein". En definitiva, salvo la explicación extraída del libro de George Gamov, nada de nada. Sólo un uso más bien aterrador de un objeto en apariencia extraño como podría ser una "botella de Klein". Por eso no encontraba esa referencia en la Mathematical Fiction de Alex Kasman. Ni en ningún otro lugar medianamente serio excepto en mi memoria tal vez marcada por una ilustración que asustó a un niño que, por entonces, no sabía nada de botellas de Klein ni cintas de Moebius. Para finalizar les diré que, en mi búsqueda en la red de referencias a las botellas de Klein he encontrado una página web (http://www.kleinbottle.com/) en donde una empresa, Acme Klein Bottle, vende botellas de Klein o, mejor, lo que ellos mismo reconocen que se trata de la proyección tridimensional de una botella de Klein 4-D. La idea parece proceder de Clifford Stoll quien, por cierto, ha proporcionado material para varios de mis cursos gracias a su primer libro, EL HUEVO DEL CUCO, en donde se habla de uno de los primeros casos de hacking. En cualquier caso, sepan que pueden conseguir "la inmersión en tres dimensiones de una botella de Klein 4-D" por un precio módico. Si no fuera por el miedo de que se rompa en el traslado yo mismo habría pedido una... Pero de todo ello, botellas de Klein, cintas de Moebius y, tal vez, incluso de universos de Alicia, seguiremos hablando el próximo mes... Para leer: Ficción - "Terror Espacial". Harry Walton. Revista Más Allá, número 20, enero 1955. Buenos Aires. (Y como "Intelligence Test" en revista Science Fiction Plus, mayo 1953. Nueva York)

Lunes, 01 de Mayo de 2006 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

309. 42. CONCURSO DEL VERANO DE 2009

Un verano más os proponemos algunas cuestiones para que os entretengáis, y si es posible os divirtáis con el cine y las matemáticas, allá donde hayáis elegido para descansar. Como veis en la foto, yo he elegido esta vez, un lugar apartado y fresquito en la montaña. La aparición de los formatos digitales ha revolucionado la industria del cine. Algunos, los menos, aún maldicen esta circunstancia, no sin razones (exclusivamente pecuniarias), ya que estiman las astronómicas cantidades que han dejado de ganar ante el ingenio de los llamados “piratas” para burlar hasta el momento todos los sistemas de seguridad que han ido incorporando a sus productos. Es sin embargo una cuenta ficticia, en el fondo ganas de atormentarse, porque (y a las cifras de ventas en anteriores sistemas que no merecían el esfuerzo de duplicación me remito) es muy cuestionable que de ser imposible la copia, todas las personas que se han hecho con una película ilícitamente, hubieran comprado el producto original. Se puede extraer por tanto una consecuencia positiva, la difusión de la cultura, que surge de un hecho delictivo. Aunque no nos engañemos, la piratería y me atrevería a decir las mayores perjudicadas en esto, las productoras y distribuidoras, no creo que estén en absoluto preocupadas por las copias ilegales de la obra de Murnau, sino del último lanzamiento de la mega estrella “Perico los Palotes” que es un bodrio infumable, pero que es lo que está de moda, desgraciadamente. Y claro lo que no gane hoy, no lo ganaré nunca, de tan infame que es lo que ofrezco. Controversias aparte, gracias al DVD y al interés cinéfilo de mucha gente, ha sido posible rescatar del olvido y del abandono películas que se están deteriorando minuto a minuto, especialmente aquellas primigenias de nitrato. Se estima que un 80% de las películas rodadas en Hollywood antes de 1920 se han perdido para siempre (imaginaros la situación en otros países) y que gran parte de las producidas antes de 1950 podrían haber tenido idéntico destino. Pero claro, las restauraciones son muy costosas, y muchas veces sus propietarios no pueden abordarlas, sobre todo porque generalmente pretenden una restauración en celuloide para poder seguir disfrutando del formato original para el que fueron concebidos. La recuperación en DVD, cuyo principal fin es la reproducción en pantallas pequeñas, sólo precisa de 480 líneas de resolución, número sensiblemente inferior al que necesitan para su visualización en pantalla grande con unas mínimas condiciones. Pero una vez que se ha recuperado en este formato, la restauración no continúa porque la demanda no compensa su alto coste. Todo este preámbulo viene a cuento porque la recuperación de gran parte del metraje de la película enigma (o quizá debería decir las películas) que se propone para el Concurso de este Verano ha sido difícil de localizar y aún hay partes que quizá no se encuentren nunca. Como ya saben los asiduos a este evento estival, a lo largo del texto aparecen datos sobre películas y problemas de ingenio y/o matemáticos insertados en diálogos y secuencias cuya respuesta puede facilitar la del resto de cuestiones que se van planteando. Además entremedias aparecen imágenes, que habrá que ver si tienen algo o nada que ver con el concurso y que pueden servir de pista o de despiste. Incluso puede haber alguna mentirijilla camuflada para liar un poco más al personal. El objetivo es que lo paséis bien tratando de resolver todo ello (hay cosas fáciles y cosas difíciles, e incluso muy difíciles, pero nada debe desanimarnos, nada hay insuperable). El metraje que el realizador concibió de una de las películas que buscamos fue originalmente de 6 horas, aunque los productores le obligaron a reducirla a 3 horas y media en un primer pase privado. El resultado les pareció tan penoso a los ejecutivos que el propio realizador quemó parte del material rodado. Después, para su explotación comercial, se redujo aún más: acontecimientos históricos posteriores, críticos yanquis que tacharon su mensaje de comunista, remontajes de acuerdo con la política del momento, y más de un incidente la fueron mutilando más aún hasta llegar a …., mejor no lo digo. Esta es una de las razones por las que periódicamente van apareciendo nuevos fotogramas por todo el mundo (por ejemplo, la banda sonora más completa apareció en Gran Bretaña) que el American Film Institute recopila y restaura con mimo para ir recomponiendo el puzzle. De hecho en un sobre conteniendo algunas fotografías promocionales de la época aparece escrita la siguiente expresión: 1º) ¿Qué es esta fórmula que de repente se cuela por aquí? ¿Por qué aparece? ¿Qué tiene que ver con lo que se comenta? 2º) ¿Tiene algo que ver con las siglas DARS? ¡¡Pufff!! Por favor una imagen relajante. Bueno, no me refería exactamente a esto, pero, en fin, si no hay nada mejor más a mano …… El caso es que la película fue una superproducción que casi arruina al estudio, aunque paradójicamente le sirvió para empezar a ser considerado como uno de los majors de Hollywood, …., aunque tardaron algún tiempo en amortizar la inversión (hablamos de 2.5 millones de dólares, del año, del año, …, bueno hace mucho, mucho tiempo). Lo que si que vamos a dar es algunas pistas sobre la fecha en la que se estrenó comercialmente: Según la novela, la edad del protagonista coincide con las dos últimas cifras del año de estreno de la película. La trama es prácticamente contemporánea al año de rodaje. La suma de los dígitos del año del estreno de la película (y curiosamente también la suma de los dígitos del año del estreno de un remake posterior) es el número del siglo al que esa fecha corresponde. La diferencia entre ambas fechas es un cuadrado perfecto, y alguna de ellas es un número primo. 3º) ¿De qué años hablamos? (tanto el del estreno de la película como la del remake) La película logró dos Oscars® (aunque fue nominada a un número mayor), y curiosamente su remake sin embargo está considerado como una de las cien peores películas de la historia del Cine, lo cual dice bastante de la incapacidad de su realizador teniendo más medios y el mismo argumento. En el montaje original, la película era fiel a la novela en la que se basa: el protagonista ha sido rescatado por un trasatlántico completamente amnésico. Sólo empieza a recordar algo de lo que le ha sucedido al oír una composición de Chopin interpretada en un piano. Toda la película sería un flashback. Pero fue tal el desastre en la primera proyección de prueba antes de su estreno oficial que el director modificó todo el esquema: dejó de ser un flashback para pasar a relatar la historia linealmente. Gracias a la edición en DVD podemos ver en los extras tanto ese inicio original (para mi gusto mucho mejor que la versión finalmente estrenada comercialmente; no sé en qué pensaban en su época, pero en absoluto produce hilaridad como se argumentó) como un final alternativo. Probablemente ya no haga falta comentar nada más a los cinéfilos: con estos datos ya sabrán de qué película hablamos, pero sobre todo pensando en la gente más joven, seguiremos un poco con el argumento. La novela comienza así: Los cigarros ya se habían apagado y empezábamos a experimentar la desilusión que generalmente aflige a los compañeros de colegio que vuelven a encontrarse ya adultos, y que tienen mucho menos de común de lo que imaginaban. El caso es que el protagonista y otras cuatro personas deben salir precipitadamente del lugar donde residen, aunque no saben hasta estar en pleno vuelo que no van donde creen, sino que han sido secuestrados. Como en tantas películas, realizan un aterrizaje forzoso en un precioso pero inhóspito lugar a muchos grados bajo cero. La noche avanzaba como si cada minuto fuese algo grávido y tangible que era empujado por el que le seguía. La luz de la luna se desvaneció al cabo de algún tiempo, y con ello aquel distante espectro de la montaña; entonces la triple calamidad de la oscuridad, el frío y el viento aumentó hasta el anochecer. Con la aurora, el viento cesó como por encanto, dejando todo sumido en profunda quietud. Enmarcada por un pálido triángulo, la montaña volvió a aparecer, gris al principio, luego plateada y finalmente rosada cuando los primeros rayos del sol naciente alcanzaron la cúspide. Al disiparse las tinieblas, el valle adquirió forma, revelando un piso de roca y cascotes formando una cuesta. A lo lejos, la blanca pirámide producía en el espíritu la impresión de un problema de Euclides, y cuándo al fin el sol se alzó en el cielo de un azul purísimo, … Después de pasar la noche entre los restos del avión, tras discutir sobre qué rumbo tomar, vieron una fila de figuras humanas embutidas en pieles, descendiendo por la ladera de la colina. Providencialmente, pensaron. El caso es que el lugar más seguro en muchos kilómetros a la redonda era un antiguo monasterio de difícil acceso, después de atravesar un oculto desfiladero (香格里拉). Guiados por estos personajes, comenzó una larga marcha. Casi al anochecer, divisaron el lugar al que se dirigían, a medio camino de la cumbre de la montaña. – Todavía hay un buen trecho. ¿Falta mucho? – Estamos a unos 99 Brahms de la base de la montaña, en un lugar excepcional. Mirando desde aquí, el pie de la montaña, el punto en que estamos y la entrada al monasterio forman un triángulo Pitagórico. – Un triángulo rectángulo. – No, no sólo eso. Esos tres puntos determinan un triángulo rectángulo cuyos tres lados son números enteros. – No conocía tal definición. Mis matemáticas no pasan de lo más elemental. – Fíjese ahora en la cumbre de la montaña. Trazando una recta desde ella hasta aquí, el punto en que estamos, volvemos a tener con la base de la montaña, un triángulo Pitagórico. – ¿Y qué? – No es fácil encontrar un punto como éste. Sobre todo si además la distancia que nos falta por recorrer es idéntica a la que recorrería desde aquí un ave que volara hasta la cima y luego bajara al monasterio. – Muy bien, pero no me ha respondido a mi pregunta – Si lo piensa un poco verá usted que sí. – ¿Cómo sabe que esas medidas son correctas? – ¿Cree usted que hay algo incompatible entre el monaquismo y la trigonometría? Poco después, nuestro protagonista pudo comprobar que en efecto los datos eran correctos, aunque en realidad el guía seguramente hablaba de oídas, era bastante probable que nunca hubiera hecho los cálculos. 4º) ¿A qué altura se encuentra el monasterio? 5º) ¿Por qué se afirma que el monje parece un tanto presuntuoso? La siguiente jornada, aunque peligrosa a veces, fue menos ardua de lo que creyeron, y los tranquilizó del enorme esfuerzo del ascenso. Tuvieron que descender por un sendero estrechísimo, cortado a pico en el flanco de la montaña, lo que tal vez fue una suerte para la mayor parte de nuestros viajeros; aunque nuestro protagonista habría querido poder medir la profundidad del abismo que se abría a sus pies. El paso tenía escasamente dos pies de anchura y la habilidad con que los portadores se las arreglaban para transportar su carga despertó su admiración, así como los templados nervios del chino, que dormía beatíficamente en su silla. Los tibetanos no se preocupaban gran cosa de la estrechez de la senda, pero observó en sus rostros la alegría que les produjo el ver que el paso empezaba a ensancharse y descendían cada vez con mayor velocidad. Después de varias horas más de camino, atravesaron el oculto desfiladero que los permitió atajar gran parte de la distancia. Al ascender una pendiente pronunciadísima, aunque corta, tuvieron que contener el aliento. Caminaron así durante varios pasos. Tres minutos después salieron de la niebla y se encontraron en pleno aire soleado. Doblaron un recodo y vieron que a poca distancia de ellos se alzaba el monasterio. Al verlo por primera vez, les pareció una visión producida por la falta de oxígeno que estaban padeciendo y que, probablemente, había embotado sus facultades. Era, verdaderamente, una vista extraña y casi inverosímil. Un grupo de pabellones coloreados colgaban de la montaña. Era soberbio y exquisito. Atravesaron jardines pletóricos de hermosa flores e increíbles fuentes. Sobre uno de los embaldosados de forma rectangular y colores claros y finos llamaba la atención el trazado de la diagonal del rectángulo en un negro que destacaba del conjunto. “¿Para que habrán trazado esta diagonal?”, pensó nuestro protagonista. En una de las esquinas, en pequeños caracteres observó la inscripción 819 x 1001, que parecían indicar el número de pequeños cuadraditos que componían el mosaico. Inmediatamente le asaltaron algunas cuestiones: 6º) ¿Sobre cuántos puntos de intersección del embaldosado pasa exactamente esa diagonal, si es que pasa sobre alguno? 7º) ¿Por cuantos cuadraditos pasa la citada diagonal? Ensimismado en tales pensamientos, comenzó a subir una escalinata, tropezando en el tercer escalón. En ese momento, oyó reír a una hermosa joven que pensó que el galán había dado ese traspié por mirarla a ella. Porque si, queridos amigos de DivulgaMAT, en una película de esta época (bueno y en cualquiera) no puede faltar la típica historia de amor (de hecho aquí hay dos al menos, una que acaba bien, y otra que acaba mal). ¡Vaya, otra pirula del ordenador! La foto de la pareja que aparece NO es la de la película, pero la dejaremos porque alguna relación tiene con toda esta historia. La chica de la que hablamos tiene bastante que ver con el hecho de que el avión fuera desviado de su ruta. Y también la frase “Hay momentos en la vida de todo hombre en los que se vislumbra la eternidad” 8º) Explicar la razón de este último comentario. Que un monasterio tibetano estuviese provisto de calefacción central no era quizá nada extraordinario pero que se hubiesen mezclado todos los últimos refinamientos de la cultura occidental con la más arraigada tradición del Oriente, era algo inconcebible. Pronto pudieron contemplar que en el lugar todos participaban de una cultura propia y diferente. “Aquí es bastante común vivir hasta una edad muy avanzada. Por el clima, la dieta o el agua de la montaña. Pero nos gusta creer que es por la falta de esfuerzo en nuestra forma de vida. […] Nuestra principal virtud es la moderación. Inculcamos a todos nuestros seguidores la necesidad de evitar el exceso en todo, la gran virtud de huir, si se me permite la paradoja, del exceso de virtud mismo. En el valle que ha visto y en el cual viven varios miles de habitantes, bajo el gobierno directo de nuestra orden, hemos tenido ocasión de apreciar la felicidad que proporciona la fiel observancia de nuestros principios. Gobernamos a nuestros fieles con moderada rectitud y nos contentamos, en cambio, con una obediencia moderada. Puedo añadir que nuestro pueblo es moderadamente sobrio, moderadamente casto y moderadamente honrado”. Una  de las prácticas que ayuda a los moradores del monasterio a perfeccionar sus principios de tranquilidad, paciencia y moderación es pensar, ejercitar la mente. En su impresionante biblioteca no faltaba de nada: desde Platón, en griego, junto a Omar en inglés; Nietzsche se codeaba con Newton; también estaban Tomás More, Hannah More, Thomas Moore, George Moore, e incluso Moore el Viejo. Nuestro protagonista estimó el número de volúmenes entre veinte y treinta mil. Por ello a todo huésped se le planteaban algunas cuestiones como forma de averiguar si eran dignos de permanecer allí e integrarse con los demás a disfrutar de una longeva y saludable existencia. Al protagonista (que aunque no era matemático, su apellido recuerda a alguno) le mostraron algunos hexacubos. Un policubo es un sólido macizo que se obtiene al pegar por sus caras cubos unitarios. El orden de un policubo es el número de cubos necesarios para formarlo. Por ejemplo los policubos de órdenes 1, 2 y 3 son: Hay ocho tetracubos (orden cuatro): En la reseña sobre el Cubo de Muñoz de la Sección Juegos Matemáticos puedes averiguar algo más sobre estas formas geométricas. “Algunos tienen algún plano de simetría, pero otros no. La cuestión es si es usted capaz de encontrar algún hexacubo que no tenga ningún plano de simetría pero sea idéntico a su imagen especular” (la prueba del espejo, la denominaban). Le llevó algunos días, pero finalmente encontró la solución. 9º) ¿Cuántos hexacubos diferentes existen? 10º) ¿Qué solución dio? Nuestros huéspedes pudieron comprobar la paz y la felicidad  con la que los moradores del lugar y del valle vivían (bueno siempre hay alguno que se siente aislado o quiere conocer mundo). Los niños del valle asistían diariamente a clases muy contentos ya que el aprendizaje se basaba en actividades lúdico-musicales. Una de las canciones que nuestro protagonista les oyó cantar decía algo así: “El mundo es un círculo, sin un principio. Nadie sabe tampoco donde acaba realmente. Todo depende de donde te encuentres en el círculo que nunca comienza, y que nadie sabe donde finaliza”. Bueno, algunas cosas no son del todo correctas, pero claro hay que rimar los versos (obviamente el original es en inglés porque las películas de las que hablamos son USAmericanas). Figura 1 Figura 2 Mientras cantaban, en una pizarra observó los dibujos que se reproducen al lado. Debajo decía: • En la figura 1, AB = BC y ∠ABC = 60º. Demostrar que CD = OA √3. • En la figura 2, OA = BC y ∠ABC = 30º. Probar que CD = AB √3. “Para tener apenas diez o doce años estos chicos controlan bastante”, pensó. 11º) ¿A qué canción se refiere el texto? ¿Qué famoso compositor es su autor? 12º) En nuestro mundo un chaval de doce años no podría resolver estas cuestiones, pero a partir de los dieciséis, es probable que sí. Sólo hace falta un poco de “vista”, no se requieren grandes conocimientos trigonométricos. Indicar como se prueban ambas cuestiones. Tanto la novela como la película, podéis comprobar que dan para muchas más cuestiones, pero iremos abreviando, que el verano es el verano. Una de las claves de la obra es la relación en forma de conversaciones del protagonista con un anciano monje, que en un determinado momento fallece (Era muy mayor). Todos los monjes del monasterio, lamas y postulantes, desean acompañarlo en sus exequias fúnebres. Pero una norma del ideario de esta gente es la humildad, la ausencia en lo posible de ostentación, por lo que se desea una ceremonia sencilla. El monje que ha servido de guía a los protagonistas de la película (los cuales, aprovechando los rituales, van a tratar de escapar de allí) idea un procedimiento de selección de los monjes que tendrán el honor de organizar y escoltar de cerca a su Gran Lama en el sepelio. Los monjes se alojan en cien celdas, todas ellas individuales. Comenzó a recorrer el pasillo frente a las celdas desde su inicio abriendo todas las puertas. Volviendo al punto de partida hizo un segundo recorrido cerrando cada segunda puerta. En una tercera ronda, empezando siempre desde la misma primera puerta, se detuvo frente a cada tercera puerta: si estaba abierta, la cerraba, y si estaba cerrada, la abría.  En un cuarto recorrido, hizo lo mismo, abrir las cerradas y cerrar las abiertas, esta vez deteniéndose cada cuarta puerta. La quinta vez lo mismo pero para cada quinta puerta. Y así sucesivamente hasta completar cien trayectos. Los monjes de las celdas que al final quedaron abiertas fueron los elegidos. 13º) ¿Cuáles fueron los seleccionados? Precisamente la escena del entierro del Gran Lama, nunca vista antes de la edición del DVD, es magnífica; el movimiento de cámara realizado, novedoso para la época, permite contemplar la enorme fila de dolientes que van a rendir un último homenaje a su patriarca desde unos ángulos y encuadres poco habituales. El director de esta primera versión, la que más nos interesa porque ya se ha dicho que la segunda es bastante mediocre (aunque seguramente de haber visto alguna, la mayor parte de vosotros habrá sido la segunda, que es a colorines) se sale aparentemente del tipo de películas que le hicieron famoso, aunque la eligió porque el argumento le ofrecía un vehículo excelente para poder expresar su idealismo, sus principios éticos y su interés por mostrar el lado bondadoso de la humanidad. La película se realizó en plena ebullición de conflictos en todo el mundo: donde no había guerras, se estaban preparando. Correspondía lanzar al mundo por tanto un mensaje más positivo, de paz, de esperanza en el ser humano. Pero de nada sirvió. Finalmente algunas cuestiones más: 14º) Titulo, año y directores de las películas de las que venimos hablando. 15º) Explicación de la relación existente con todas las fotos que aparecen a lo largo de la reseña. ¿Cuántas son realmente de las películas? 16º) Señalar al menos dos diferencias esenciales entre el argumento del libro y el de las películas (el libro se encuentra íntegro en la Red). 17º) Relación de la obra con una famosa residencia real del Presidente de los Estados Unidos donde se han tomado decisiones históricas. 18º) Uno de los efectos especiales de las películas ha sido muy utilizado en la historia del Séptimo Arte (sobre todo en el género de terror). ¿A qué nos referimos? Citar al menos dos ocasiones más en las que se haya utilizado esa misma idea. Las puntuaciones de las cuestiones son: Diez puntos para las cuestiones 1, 2, 3, 4, 6, 7, 10, 12, 13 y 15. Cinco puntos para las numeradas como 5, 8, 9, 11, 14, 16, 17 y 18. Es evidente que puede haber mucha variación entre estos 140 puntos posibles, así que aunque sólo seas capaz de responder a una pregunta de cinco puntos, envíame la solución porque puede que te toque algún premio. Las respuestas deben mandarse a la dirección de correo electrónico alfonso@mat.uva.es, indicando en el asunto Verano 2009. Si de paso me dais vuestra opinión sobre el concurso, me hacéis sugerencias, comentarios, etc.,  acerca de la sección,, a lo mejor hasta os doy otros puntos extra. El plazo máximo de recepción de respuestas es el día 30 de Agosto de 2009. ¡¡¡¡Buen Verano a tod@s!!!!.

Miércoles, 01 de Julio de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

310. 43. SOLUCIÓN CONCURSO DEL VERANO DE 2009

Poco a poco nos vamos adentrando en la rutina de un nuevo curso escolar (que no tiene porqué ser vista como algo peyorativo, para eso, entre otras opciones,  estamos nosotros aquí). Mientras esperamos impacientes el estreno de Ágora, para abrir boca, veamos cómo han ido las tareas del verano. Recordemos que teníamos cuestiones (de cine y de matemáticas) y fotografías relacionadas de algún modo con esas cuestiones, que también teníamos que explicar. Seguimos el orden en que se presentaron. Foto 1.- Veíamos una montaña nevada que poco nos dice de momento. Por su aspecto da la impresión de estar en la cordillera del Himalaya, aunque de momento es una mera conjetura. Cuestiones 1ª y 2ª.- Probablemente sean las más difíciles de resolver de todas las que se proponen (hay que empezar jugando fuerte). Sin embargo la introducción que se hace da la pista. Se comentaba que en diferentes lugares del mundo van apareciendo fotografías o fragmentos de películas que se consideraban perdidos para siempre (recientemente ha pasado con Metrópolis, con la que nos ocupa, y con otras muchas). Habitualmente esos materiales se encuentran ocultos en almacenes, trasteros, sótanos, lugares nada aptos para la conservación de unos elementos tan perecederos. Por eso, cuando se trata de verlos, aparecen con rayas, partes descoloridas o completamente desaparecidas, etc. (en adelante a este tipo de “impurezas” la denominaremos como se las conoce científicamente: ruido de la imagen), y con las técnicas actuales hay que tratar de restaurarlos. Para ello se emplean procedimientos de realce de imagen, basadas en operaciones matemáticas que mecánicamente se realizan a través del ordenador (implementadas en software; uno de los programas comerciales más conocidos popularmente es Photoshop, aunque hay muchos, y otros que el técnico restaurador se programa él mismo con lo que quiera conseguir). Según el ruido que se tenga, se aplican unos métodos u otros. Así se puede desear reducir el ruido de fondo, eliminando la textura que tenga dicho fondo resaltando los objetos que estén presentes. En otras ocasiones se quiere ajustar la intensidad y/o el contraste. En la actualidad, se trabaja con imágenes digitales. Esto significa que una imagen no es más que un conjunto (una matriz) de números que guardan la información de cada píxel de la imagen (color, intensidad, contraste, etc.). Y sobre los números se pueden efectuar todas las operaciones que se deseen. Una de las operaciones más empleadas en el tratamiento de imágenes es el paso de un filtro. Hay diferentes tipos (de paso bajo, de paso alto, de mediana, adaptativos, etc.) dependiendo de lo que se quiera conseguir. Aunque pueda parecer complicado, lo que se hace es muy sencillo: a cada píxel se le cambia su valor haciendo una operación sencilla (suma, resta, mediana, varianza, etc.) de acuerdo con los valores de los píxeles de alrededor. A veces se toman sólo los píxeles a izquierda, derecha, arriba, abajo y los de las diagonales (esto se llama utilizar una máscara 3x3) cada uno afectado por un valor adecuado (un peso); en otras ocasiones se toman máscaras 5x5, 7x7, etc., siempre con valores impares. Y eso se ejecuta sobre cada píxel de la imagen. El resultado es una nueva imagen, la imagen filtrada. En la actualidad se siguen estudiando nuevos tipos de filtros, tratando de mejorar más estas técnicas. Algunas de ellas utilizan ideas de la Física, como el que nos ocupa. Se parte de la idea de la difusión de los gases. Este proceso se describe mediante una ecuación diferencial de la forma donde I(x) es la función de intensidad de la imagen, x es un vector que almacena la posición de cada píxel de la imagen, t es el tiempo, I(x, t) es por tanto la evolución de la imagen con el tiempo, c(x, t) es una función llamada coeficiente de difusión, y esos símbolos tan extraños div y ∇ son unos operadores matemáticos llamados divergencia y gradiente, respectivamente.  Los procesos en los que c(x, t) es constante se llaman procesos isotrópicos y en caso contrario, anisotrópicos. La fórmula que aparece en la cuestión es un tipo particular de difusión anisotrópica. Aparecen en la I subíndices i, j y superíndices t. Eso se llama una discretización de la fórmula que no es más que tomar un conjunto finito (aunque grande; todo lo hace el ordenador así que ese valor puede ser enorme) de valores en la imagen, y para cada uno se aplica la ecuación. Es un tipo concreto de filtro llamado SRAD (Speckle Reducing Anisotropic Diffusion) que yo he castellanizado como DARS (Difusión Anisotrópica de Reducción del Speckle). El Speckle no tiene una traducción exacta al castellano. Es un tipo de ruido que afecta a las imágenes, sobre todo a aquellas captadas mediante ultrasonidos, utilizadas habitualmente en medicina para hacer radiografías. Estas técnicas por tanto se utilizan sobre todo en imágenes médicas, más que en la de restauración de fotografías o de películas. Entre las respuestas recibidas, también ha surgido la de Digital Adaptative Recording System y Digital Analog Re-mastering System, que no dudo que existan pero que no tiene relación con la fórmula de la ecuación del calor de la primera cuestión. Seguro que pensáis que me he pasado tres pueblos pero con las facilidades de internet hay que liar un poco las cosas. Además sólo son veinte puntillos de nada. Foto 2.- Claramente es Paris Hilton. ¿Qué tendrá que ver con el tema que nos ocupa? ¿Tendrá la película lugar en París? ¿Estará protagonizada por George Sanders o Zsa Zsa Gabor, antepasados cinematográficos de la Hilton? Sigamos leyendo…. Cuestión 3ª.- Primera cuestión matemática. El cine comenzó en mil ochocientos noventa y tantos, así que el año de estreno sólo puede ser 189x, 19yz o 200t (donde x, y, z, t son dígitos desconocidos). Se dice que “la suma de los dígitos del año del estreno de la película (y curiosamente también la suma de los dígitos del año del estreno de un remake posterior) es el número del siglo al que esa fecha corresponde”. Si fuera la primera opción, 1 + 8 + 9 + x  = 19, con lo que x = 1, pero en ese año el cine aún no existía, o sea que descartado. Tampoco 2 + t = 21 es factible, así que será 1 + 9 + y + z = 20, con lo que y + z = 10. Es decir que nos restringimos a los años 1919, 1991, 1928, 1982, 1937, 1973, 1946, 1964 o 1955. Por otra parte, “la diferencia entre ambas fechas (se refiere a la película y su remake) es un cuadrado perfecto, y alguna de ellas es un número primo”. No tenemos más que probar con dichas cantidades. Sin embargo, cuando calculamos las diferencias entre todas esas cantidades, nos damos cuenta de que hay trece posibilidades, que afectan a todos ellos, por lo que a priori no podemos descartar ninguno. Ahora bien se dice que al menos uno de los dos años que nos interesan es un número primo. Sólo el 1973 es primo, con lo que las posibilidades se reducen a tres: 1973 - 1937 = 36,   1982 - 1973 = 9,     1973 - 1964 = 9. Si hacemos caso al comentario de que la película principal que buscamos es de “hace mucho, mucho tiempo”, en las citadas la fecha más antigua es 1937, con lo que las fechas deberían ser 1937 y el remake de 1973. Pero lo confirmaremos o refutaremos más adelante,…. A continuación se dan muchos datos sobre la película: el argumento, que ganó dos Oscars@, que su remake es una de las peores películas de la historia, se detallan algunos párrafos de la novela, aparece una nueva foto (la 3ª) de una idílica montaña y el nombre en chino del desfiladero que atraviesan, y un problema. Cuestión 4ª.- Los protagonistas se encuentran en un punto a distancia 99 Brahms (unidad inventada de la que podemos olvidarnos) de la base de la montaña. Llamemos b a la altura a la que se encuentra el monasterio desde esa base de la montaña, c a la hipotenusa del primer triángulo pitagórico, d a la distancia del monasterio a la cima de la montaña, y e a la hipotenusa del segundo triángulo pitagórico, tal y como aparece en la imagen adjunta. Después se dice que la distancia que nos falta por recorrer (99 + b) es idéntica a la que recorrería desde aquí un ave que volara hasta la cima y luego bajara al monasterio (e + d). Es decir, 99 + b = e + d. Del teorema de Pitágoras y de esta relación, se obtiene que 992 + (b + d)2 = e2 = (99 + b - d)2 = 992 + 2 × 99 (b - d) + (b - d)2 Sin demasiadas dificultades, desarrollando los binomios, simplificando y despejando d, se obtiene: Se trataría ahora de encontrar valores enteros de b y d (y por supuesto de c y e). Por seguir un procedimiento diferente del puro tanteo o de que el ordenador lo encuentre, podemos acudir al resultado más conocido sobre ternas pitagóricas (que además se localiza fácilmente a través de los socorridos Google o Yahoo): Cada terna pitagórica puede construirse a partir de dos números enteros positivos m y n primos relativos, de distinta paridad, con m > n de la siguiente forma: (2Kmn , K(m2 – n2), K(m2 + n2)), con K número entero. Pequeño apunte notacional: lo de m y n primos relativos se suele describir como (m, n) = 1 (o  mcd(m, n) = 1) y lo de distinta paridad, como m ≡ n + 1 mod 2, que es lo mismo, pero mucho más conciso, preciso y económico respecto a la cantidad de caracteres utilizados. Como 99 es un número impar, no puede obviamente ser de la forma 2Kmn, ni K(m2 + n2), con lo que tratamos de escribirlo como K(m – n) (m + n). Encontramos únicamente las siete posibilidades que aparecen en la siguiente tabla: La última columna, los valores de d, se han calculado a partir de la fracción obtenida anteriormente. El único valor entero se consigue para d = 36 y b = 132. Comprobad que se verifican todas las condiciones del enunciado. Así pues la respuesta a la cuarta cuestión es b =  132 Brahms. Cuestión 5ª.- Es obvio que el monje no ha resuelto el problema que plantea (probablemente solo se ha aprendido los datos, como sucede con algunos guías reales), sino no hablaría de trigonometría (si se intenta resolver el problema metiendo en danza razones trigonométricas, no se llega a ninguna parte). Foto 4ª.- La única foto de las que aparecen que realmente es de la película (de la primera versión). Cuestiones 6ª y 7ª.- El número de cuadrados por los que pasa la diagonal de un rectángulo de lados A y B es una cuestión planteada en muchos libros de matemática recreativa y páginas de internet, pero curiosamente casi siempre parcialmente resuelta (lo que en matemáticas equivale a no resuelta). Casi todos proponen ir resolviendo casos particulares para intentar inferir una regla general, llegando a la relación  d = A + B - 1. Esta solución sólo vale si A y B son primos entre sí. Véase el dibujo del rectángulo 15 x  6. Si la relación anterior fuera correcta, tendríamos que la diagonal corta a 20 cuadrados, cuando podemos contar que son sólo 18. Obsérvese que aparece tres veces el mismo patrón (un rectángulo 5 x 2). Como 5 y 2 son primos, podríamos utilizar la relación expuesta previamente, y de este modo d = 5 + 2 - 1 = 6 cuya comprobación visual es inmediata. Como hay tres de estos rectángulos, el total es 6 x 3 = 18. En general, siempre que A y B tengan algún factor en común, esta descomposición es siempre posible, y se repite exactamente con el factor mcd(A, B). Así pues, D = mcd(A, B) (A / mcd(A, B) + B / mcd(A, B) - 1 ) = A + B - mcd(A, B). En la cuestión 7, como 819 = 9 x 7 x 13,  1001 = 7 x 11 x 13, el mcd(819, 1001) = 7 x 13 = 91. Es decir, se tienen 91 rectángulos de tamaño 9 x 11. De la expresión anterior se sigue que el número de cuadrados que corta la diagonal es D = 819 + 1001 - 91 = 1729 (respuesta a la cuestión 7). Para saber por cuantos vértices de los cuadrados pasa la diagonal (cuestión 6), basta darse cuenta de que cada uno de los 91 rectángulos 9 x 11 proporciona un punto por el que pasa la diagonal.  Si descartamos el último que coincide con el vértice del rectángulo grande, nos quedan 90 cuadrados. Si contamos además los vértices inicial y final del rectángulo completo tendremos que la respuesta es 92 cuadrados. Foto 5ª.- Probablemente esta es la foto CLAVE., o al menos una de las clave, porque es muy conocida. Es la foto promocional e icono de la película Adios Mr. Chips (Goodbye Mr. Chips, Sam Word, Reino Unido, 1939). La novela y el personaje en los que se basa, Mr. Chips, un profesor de universidad, fueron concebidos por el escritor James Hilton, un autor muy popular en su tiempo, hoy prácticamente olvidado. Además de las novelas relativas a Mr. Chips, escribió Horizontes Perdidos, llevada varias veces a la pantalla, dos de las cuales, 1937 y 1973, son las películas que estamos buscando. Cuestión 8ª.- Una vez descubierta la película (o el libro), es fácil ir atando cabos. En este caso el hecho de que el avión que inicialmente debía llevarlos a Shanghai los traslade a Sangri-La, no es casual. Sondra, una de las habitantes de Sangri-La, había propuesto a Conway como la persona idónea para suceder al padre Perrault, enfermo desde hace tiempo. Por eso fue “secuestrado”. Foto 6ª.- Vemos una imagen de una luna azul. Se trata de un  fenómeno en el que se puede apreciar una segunda Luna llena durante un mismo mes del calendario, teniendo lugar cada dos años y medio aproximadamente. El fenómeno Blue Moon cobró popularidad de manera casual, debido a que en el mes de enero y marzo de 1999 sucedieron dos veces respectivamente. Los medios de comunicación reseñaron ampliamente éste acontecimiento, poco conocido hasta entonces. El mes de febrero de dicho año no se produjo ninguna luna llena. Cuatro años de cada siglo, se observan dos “lunas azules” en un mismo año. La primera siempre se produce en enero y la segunda, por lo general, en marzo. Se observará una el día 31 de diciembre de 2009 (el primer plenilunio de ese mes será el día 2 de diciembre). Pero la relación con nuestro concurso es que el idílico monasterio del que habla la novela, Shangri-La, se localiza en el valle de la Luna Azul. Entre las cuestiones octava y novena, se dice que el apellido del protagonista recuerda a un matemático. El personaje principal es Robert Conway. En efecto hay al menos un matemático que se apellida así: John Horton Conway (nacido en Liverpool, Gran Bretaña, el 26 de diciembre de, curiosamente, 1937). Ha trabajado en multitud de áreas matemáticas, entre ellas, en la teoría de conjuntos, teoría de nudos, teoría de números, teoría de juegos y códigos. También ha dedicado parte de su trabajo a la matemática recreativa: creador en 1970 del juego de la vida,  el juego del drago, el Phutball y ha realizado análisis detallados de otros muchos juegos y problemas, como el cubo Soma. Martin Gardner ha difundido sus trabajos ampliamente en libros y artículos. Actualmente es profesor de matemáticas en la Universidad de Princeton. Cuestión 9ª.- Existen 166 hexacubos diferentes con los que se pueden construir complicadas estructuras que generan a su vez interesantes problemas matemáticos. Aunque los 8 tetracubos también han motivado diversas cuestiones, es a partir de los 29 pentacubos donde surgen la mayor parte de los tos artículos y trabajos más populares. Cuestión 10º.- El hexacubo en cuestión es el que muestra la imagen adjunta enviada por uno de nuestros participantes, en la que se ve perfectamente cómo este hexacubo es idéntico a su imagen especular. También es claro que no tiene ningún plano de simetría. Cuestión 11ª.- La canción The world is a circle, aparece en la banda Sonora del remake Lost Horizon (1973) dirigida por Charles Jarrott con un reparto estelar entre los que aparecen Peter Finch, John Gielgud, Liv Ullmann, Charles Boyer, Michael York, entre otros. Fue compuesta por el famoso compositor Burt Bacharach. Cuestión 12ª.- Figura 1.- Sea E un punto sobre AB de modo que el triángulo ∆EBD sea equilátero. La imagen adjunta fue enviada por uno de los concursantes. Su razonamiento concluye así: El punto O, por ser el centro de la circunferencia que pasa por B y D, pertenece a la mediatriz del lado DB. Dado que el triángulo ∆EBD es equilátero, la mediatriz coincide con la bisectriz, y por tanto el ángulo ∠OEA = 30º. Aplicando razones trigonométricas obtenemos que: Despejando: Y racionalizando:    CD = EA = OA√3. Figura 2.- Sea E la otra intersección de AB con el círculo y sea F un punto sobre BD tal que EF⊥BD. En ese caso, EF = EB/2 = AB. Como ∠EBD = 30º, entonces ∠EOD = 60º y ED = EO = OB. Entonces DF = OA = CB, y de ahí CD = BF = EF√3 = AB√3. Foto 7ª.- Se trata de una imagen de una de las protagonistas de la serie Lost (Perdidos), Evangeline Lilly (Kate). La relación con nuestras películas enigma es únicamente el adjetivo Perdidos, que en inglés también coincide con el de las películas en cuestión. Bueno, también en la isla en la que están tiene algo que ver con Shangri-La por aquello de la sanación de enfermedades terminales. Cuestión 13ª.- En el primer trayecto en el que se va de puerta en puerta, se abren todas. Está claro que si en los restantes 99 trayectos, una puerta es visitada un número impar de veces, entonces quedará al final cerrada y su morador no será seleccionado. Por el contrario, las puertas visitadas un número par de veces quedarán finalmente abiertas. Por ejemplo, la puerta 7, sólo es visitada una vez: en la séptima ronda. Quedará pues finalmente cerrada, como cualquier otra que sea un número primo. La número 10, es visitada en la ronda 2ª, en la 5ª y en la 10ª (cerrar-abrir-cerrar), y queda finalmente cerrada. Debemos por tanto fijarnos en los divisores de cada número de puerta. Los únicos números entre 1 y 100 que tienen un número par de divisores (exceptuando el 1 y contando el propio número) son los cuadrados perfectos, esto es, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100, cuyos monjes son los finalmente elegidos para el desfile. Foto 8ª.- Uno de los momentos impactantes del remake de 1973: al salir de Shangri-La, se recupera la edad verdadera, con lo que la enamorada de Michael York, Olivia Hussey (María) queda reducida a cenizas ipso-facto. Cuestión 14ª.- Aunque ya lo hemos venido comentando, volvemos a recordarlo: Horizontes Perdidos (Lost Horizons, Frank Capra, EE. UU., 1937), y Horizontes Perdidos (Lost Horizon, Charles Jarrott, EE. UU., 1973). Cuestión 15ª.- A lo largo del texto ya se han comentado todas las fotos. Sólo la imagen 4ª, de la película de 1937, y la 8ª, del remake de 1973, son auténticas. Cuestión 16ª.- Aunque las películas mantiene el espiritu de la novela, hay bastantes diferencias. Citemos algunas indicadas por los concursantes: En las películas, George, el hermano del protagonista, se despeña horrorizado por la muerte de su amada María (Le-Tsen en la novela)  y la forma en que sucede. En la novela, no existe tal hermano, sino que Robert lleva un ayudante de nombre Mallinsin, y el resultado es menos efectista, ya que el tío se queda tan campante. En las películas el papel del padre Perrault  tiene menor relevancia que en la novela. En el libro son sólo 4 las personas que son secuestradas y llevadas a Shangri La, mientras que en las películas tenemos 5 protagonistas. En las películas, cada uno de los hermanos se enamora de una mujer diferente. En cambio, en el libro sólo hay una mujer (Le-Tsen) por la que se sienten atraídos ambos. Cuestión 17ª.- Shangri-La fue el primer nombre de la sede de descanso presidencial estadounidense en Camp David. Se lo puso su primer ilustre hospedado, el presidente Franklin Delano Roosevelt en 1942. En 1953 Dwight David Eisenhower la renombró como Camp David, en recuerdo de su nieto. Cuestión 18ª.- Aunque cada concursante se ha fijado en un efecto diferente, la pista de “utilizado sobre todo en el género de terror” quería dejar claro a que me refería. Se trataba del terrorífico efecto de envejecer de golpe en un instante quedándote primero en esqueleto y después en ceniza. Aparece en muchas películas, de un modo cada vez más perfeccionado gracias a los ordenadores (y por tanto a las matemáticas). Inicialmente simplemente se superponían diferentes fases, que luego se animaban a cámara rápida. Aparece en multitud de películas, por ejemplo, en La diosa de fuego (She, Robert Day, Gran Bretaña, 1965) o en Drácula, príncipe de las tinieblas (Dracula, Prince of Darkness, Terence Fisher, EE. UU., 1966). Los concursantes que habéis participado en el concurso me habéis dejado realmente sorprendido por vuestro altísimo nivel, no en datos sobre la novela y las películas que eso más o menos con paciencia se localiza en internet, sino en vuestras resoluciones de los problemas matemáticos. Recibid pues desde DivulgaMAT nuestra más sincera enhorabuena. Tras el recuento paciente de la puntuación de cada cuestión, el podium ganador ha quedado del siguiente modo: 1º.- Miguel Herraiz Hidalgo.- 130 puntos. 2º.- Emilio Diaz Rodríguez .- 120 puntos. 3º.- Elías Villalonga Fernández.- 103 puntos.

Lunes, 14 de Septiembre de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico