281. 17. Matemáticas Televisivas

Repasamos en esta ocasión algunos momentos recientes en los que la tele se ha acordado de las matemáticas, y retomamos la guía de la segunda temporada de Numb3rs que el canal temático Calle 13 emite cada lunes de manera regular. Aunque siguen mostrándonos en general como bichos raros, o en el mejor de los casos, repelentes (cada vez menos afortunadamente, gracias a los esfuerzos de muchos compañeros, dentro y fuera de las aulas), lo cierto es que las matemáticas aparecen de una u otra manera en la televisión con bastante frecuencia. Es algo normal, lógico, diría yo, a tenor de lo que los matemáticos siempre decimos: las matemáticas están presentes en todas y cada una de las actividades que realizamos habitualmente; y no sólo eso, sino que el mundo que nos rodea, aunque nunca se hubiese formalizado esta disciplina, tiene una estructura y un comportamiento matemático (y físico, químico, biológico, etc., pero también matemático, aunque haya quien no le guste admitirlo). En diferentes encuestas, los ciudadanos europeos responden que en cuestiones de divulgación científica, los máximos referentes en sus países donde encontrar información son la televisión, seguida de cerca por periódicos y revistas, y a más distanciada, la radio. Está bastante claro que aquí en nuestro país, ese no sería el orden. Quizá las encuestas nos estén engañando. Trataremos en próximas reseñas de averiguar el tipo de programación divulgativa de los países de nuestro entorno y comprobaremos que hay de cierto en todo ello, con especial atención en nuestras matemáticas. Hoy veremos algunas pinceladas de lo que hay por aquí. El que esto suscribe no ve demasiada televisión (desistí hace tiempo hasta de ver cine por televisión: eso sí diariamente me programo yo mismo una película en DVD, comprada o alquilada, y soy yo quien decide qué ver, cuando ir al baño, cuando empieza y termina la proyección, o el idioma en que quiero disfrutarla, sin tener que aguantar el pertinaz bombardeo publicitario, de mayor duración normalmente que la propia película; en fin, rarezas que tiene uno), aunque los amigos, familiares o lectores de esta sección siempre acaban comentándome alguna anécdota o apunte que haya aparecido en tal o cual programa. Hace unas semanas sin embargo y para variar, en el episodio 122 de la serie Cuéntame cómo pasó (de título Mucho calor, muchas risitas y un ataque de flebitis) yo mismo pude ver una escena de las típicas en las que nos encasillan. Les cuento: Como Carlitos ha suspendido algunas asignaturas, su maestro, Don Severiano, se acerca a su casa a tomarle las lecciones y obligarle a estudiar y trabajar un poco (cosa que parece un tanto extraña, puesto que eso de que el propio profesor que le va a examinar en Septiembre le de clases particulares, fomenta mil y una suspicacias; además que a Don Severiano no le vendrían tampoco mal unas vacaciones para afrontar el nuevo curso más descansado y de paso no chafar el trabajo de alguna academia o estudiante universitario que necesitara unas pesetillas). Pues bien, Carlitos está con cara de aburrido y de fastidio mirando el cuaderno, mientras el maestro lee el periódico, sin hacerle tampoco mucho caso. Entonces Carlitos pregunta: Carlitos: ¿Las ecuaciones de segundo grado sirven para algo? Don Severiano medita unos segundos con cara de póquer y responde: Don Severiano: Sirven para un montón de cosas. Carlitos (incrédulo): ¿Para qué? D. Severiano: Pues, …., ¡para desasnar borregos como tú, por ejemplo! ¡Venga ya, y termina!¡ Como ven, lo de siempre. Cierto que en esa época (verano de 1974) todos tenemos en mente a algunos maestros, más o menos así, pero la serie, que idealiza lo que le da la gana, bien podría haber propuesto un maestro un poco menos “carca”, o al menos haber dado un ejemplo más positivo de las aplicaciones de una ecuación de segundo grado, aunque sólo fuera uno, y luego la conversación siguiera por los mismos derroteros, bien porque el niño no lo entendiera o porque no le valiera la respuesta. Quien sabe, a lo mejor los guionistas pretenden enseñarnos el tipo de maestros que hemos sufrido, y justificar el grado de conocimiento de la generación que hoy rige nuestro país (lean el acertado comentario de un compañero en las Cartas al director de EL PAIS del martes 24 de octubre, en el que uno de los D. Pablo actuales identificaba el 11% de una cantidad con la onceava parte). Probablemente habréis oído hablar de Youtube. Según la Wikipedia, YouTube es un portal de internet que permite a los usuarios subir, ver y compartir vídeos. Fue fundado en febrero de 2005 por tres antiguos empleados de la empresa PayPal: Chad Hurley, Steve Chen, Jawed Karim. YouTube usa un formato Adobe Flash para servir su contenido. Es popular de la misma manera que lo es Google Video debido a la posibilidad de alojar vídeos personales de manera sencilla. YouTube aloja una variedad de clips de películas y programas de televisión, videos musicales, y vídeos caseros (a pesar de las reglas de YouTube contra subir vídeos con copyright, este material existe en abundancia). Youtube es propiedad de Google, desde su compra, 10 de octubre de 2006 por 1.650 millones de dólares. Para evitar copias de los archivos de vídeo, éstos están distribuidos en formato Macromedia Flash, que impide a los usuarios hacer copias digitales fácilmente. Como otros sitios de vídeos, la calidad de imagen y sonido suele ser pobre, pero a nosotros nos pueden ayudar a recordar algunos momentos televisivos ciertamente curiosos. A continuación, enlazo algunos de esos vídeos sobre el tema que nos ocupa, para que saquéis vuestras propias conclusiones sobre como nos ven desde la televisión: 1.- Proyecto Estalmat en Andalucía. Noticia difundida por Canal Sur Noticias. 2.- ICM 2006 de Madrid. Un buen reportaje emitido en las noticias de Televisión Española. 3.- Mas ICM. La misma noticia vista por los informativos de Tele 5. 4.- El calculista Alberto Coto en Crónicas Marcianas. 5.- El mismo calculista en Ver para creer (Antena 3). Como en el anterior, operaciones aritméticas (que no matemáticas) tratadas como espectáculo circense. 6.- Más de lo mismo en España Directo. Al menos aquí se le entrevista. 7.- Y también en Canal Sur Televisión (Shalakabula). En la web personal del protagonista (www.albertocoto.com) hay más apariciones televisivas, todas similares. 8.- El culebrón mejicano Rebeldes también tiene sus incursiones en las clases de matemáticas, (más que nada por su profesor). Recomiendo a las personas de cierta sensibilidad que obvien la visión tanto de éste como del siguiente vídeo. 9.- Parodia aberrante de una alumna superdotada en matemáticas. El esperpento debió obtener gran audiencia porque el Sr. Buenafuente la ha ido sacando más veces repitiendo gags y (con perdón) gilipolleces. Bien podemos hacernos una ligera idea de lo que vende, matemáticamente hablando (excepción lógica de los informativos). Quizá por eso, la ínclita Antena 3 suprimió Numb3rs de un plumazo. Seguramente piensan que el premio Carl Sagan a la mejor serie divulgativa de este año es cosa baladí ya que a ellos sólo les importan los niveles de audiencia de su ¿Dónde estás corazón? que además educa e instruye más (fíjense en los vídeos anteriores, a qué cadena corresponde cada uno). En efecto, el pasado 7 de Mayo, los creadores de la serie y productores ejecutivos, Cheryl Heuton y Nicolas Falacci recibieron este premio que valora la popularización de la Ciencia. Este premio le otorga la CSSP (Council of Scientific Society Presidents), organización fundada en 1973, dedicada al desarrollo y difusión de la Ciencia. Por otro lado las actividades propuestas a los institutos en el programa We all use Math everyday, organizadas por Texas Instruments y The National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), incluyen en esta tercera temporada versiones de las mismas EN ESPAÑOL (un español de allí, pero entendible a fin de cuentas). Pero afortunadamente para unos pocos (los que estén apuntados al canal Calle 13), esta cadena está ofreciendo los lunes la segunda temporada y además en unas condiciones aceptables (horario respetado y asequible, capítulos en orden, sin contraprogramación, etc.). Pues bien, tratando de dar respuesta un poco a todos, mientras dure su emisión, trataré de hacer una breve guía matemática de los capítulos que se verán mes a mes. Por cierto la primera temporada de la serie ya se vende en España desde Octubre. Para abrir boca, ¿recordáis el problema de Monte Hall (descrito en la reseña de abril de 2006 del episodio 13, Man Hunt? Pues aquí podéis ver la escena en castellano, escena que creo que se eliminó finalmente del capítulo. Y un montaje musical de un fan de la serie que me ha gustado. Disfrutadlos. NUMB3RS.- SEGUNDA TEMPORADA- En Estados Unidos la segunda temporada comenzó el 23 de Septiembre de 2005 y terminó el 19 de Mayo de 2006 (24 episodios). En ella hay algunos cambios argumentales: Terry Lake vuelve a reincorporarse a su trabajo en Washington DC y dos nuevos miembros se unen al equipo del FBI de Don: Megan Reeves y Colby Granger. Charlie, el hermano matemático, tiene nuevos retos matemáticos entre los que se encuentra la puesta en marcha de una nueva teoría que bautiza con el exótico nombre de Teoría de Emergencia Cognitiva. Capítulos programados para el mes de Noviembre En las páginas oficiales de la productora de la serie, los capítulos se numeran al estilo de los resultados y teoremas de los libros de matemáticas. El primer número indica la temporada y las dos cifras después del punto, el número del capítulo. Mes a mes iremos describiendo brevemente los contenidos matemáticos que irán apareciendo en cada episodio, precedidos de un sucinto resumen del argumento. En paréntesis se indica el título original. 2.05.- El sicario (Assissin) (6 – 11 – 2006) Argumento: Los agentes Don y Megan entran en el apartamento de Henry, un experto falsificador de documentos, aunque éste logra escapar. Henry había ayudado a un peligroso asesino a cometer un crimen. En el apartamento, Don descubre un texto encriptado que Charlie descifrará fácilmente. En el texto se indica la siguiente víctima: en exiliado colombiano que reside en Los Ángeles. Aspectos Matemáticos: Teoría de juegos, criptografía y construcción de aviones de papel. Charlie, el hermano matemático intenta descubrir los próximos movimientos del asesino sabiendo quien será la víctima. Es un ejemplo de teoría de juegos aplicado al comportamiento humano, donde los objetivos de cada jugador (asesino y víctima) son opuestos, y el comportamiento de uno afecta al del contrario. Construir la matriz de pagos de juegos sencillos (dilema del prisionero, juego de piedra, papel y tijera, o una simplificación de la situación que se plantea en el telefilme) o decidir que juegos son de suma cero, pueden ser actividades apropiadas para ilustrar esta rama matemática. En otro momento, Charlie descifra “sin ayuda del ordenador” un mensaje escrito en clave. Ésta consistía en sustituir unas letras por otras. Un burdo intento de esconder información con un procedimiento que una persona con mínimos conocimientos de criptoanálisis es capaz de descifrar sin más que observar la frecuencia con que aparecen cada letra en el texto para encontrar el patrón empleado. Un buen motivo para describir a nuestros alumnos la importancia de la criptografía a lo largo de la Historia o proponerles algún ejercicio de cifrado/descifrado de códigos sencillos (códigos de César, Tabla de Vigénere, RSA en Bachillerato, etc.). Es obligada la cita al magnífico libro de Simon Singh (Los códigos secretos, publicada en castellano por Editorial Debate) o una visita a su magnífica página web (en inglés), que además permite practicar con simulaciones interactivas. Finalmente, el capítulo explora algunos aspectos de Aerodinámica, en una escena en la que Charlie y su colega Larry discuten sobre los factores que intervienen en el vuelo de una avioncito de papel. Hablan por ejemplo del número de Reynolds que mide cómo la “viscosidad” del aire afecta al vuelo. Los aviones de papel tiene un número de Reynolds bajo mientras que el de un avión real es mucho mayor. Cuanto mayor sea esta constante, menos afecta al aire a su vuelo. Los alumnos pueden experimentar como pequeños cambios en el diseño o en los materiales empleados en la construcción de un avión (de papel, de cartón, etc.) modifican su comportamiento. Hay muchas webs dedicadas a este tema, si bien una de las más asequibles puede ser www.paperplane.org. 2.06.- Objetivo Final (Soft Target) (13 – 11 – 2006) Argumento: Unos hombres con mochilas entran en una estación de metro. Al saltar las alarmas empieza una persecución. Al cabo de un rato, las mochilas comienzan e emitir un gas letal. Aspectos Matemáticos: Percolación, Cálculo de probabilidades. La teoría de la percolación consiste en la búsqueda y el análisis de modelos matemáticos para explicar el comportamiento aleatorio de un fluido en un medio poroso. Fue introducida por Broadbent y Hammersley en 1957. La percolación es el modelo más sencillo para un número considerable de fenómenos físicos, en los cuales el desorden está presente. Por ejemplo, cómo se extiende el fuego en un bosque, el agua a través de una esponja (o del propio suelo), el desplazamiento de animales de un hábitat a otro, etc. En Objetivo Final, Chalie tratará de averiguar cómo se ha comportado un criminal para lograr burlar los controles de seguridad del Metro. El modelo más sencillo para simular este tipo de fenómenos es considerar un retículo cuadrado infinito en el plano, dividido en rectas paralelas horizontales y verticales (una malla). Una molécula se desplaza en cada paso con una determinada probabilidad p; si no, no se mueve. Se estudia entonces la posibilidad de que partiendo del origen se tenga una trayectoria infinita. Ese comportamiento depende del valor de p, para el que existe un valor crítico (llamado de transición de fase). Esta teoría, de creciente interés en la actualidad, emplea conceptos geométricos y de cálculo de probabilidades. Tiene mucho que ver con los paseos aleatorios (cadenas de Markov) que los alumnos de Estadística conocen muy bien. Aunque su desarrollo teórico sea de nivel universitario, las actividades que proponen en We all use Math everyday son sencillas, muy ilustrativas y asequibles para cualquier alumno de Secundaria con unos conocimientos mínimos de cálculo de probabilidades. Previo al desarrollo de la teoría de la percolación, para simular movimientos aleatorios se utilizó un modelo llamada la caja de Galton (también conocido como Quincunx). Sir Francis Galton (1822- 1911) fue un estadístico británico que diseñó este modelo, que recuerda al triángulo de Pascal en su forma, en el que los coeficientes binomiales se reemplazan por pequeños topes que forman un enrejado o celosía, en los que choca una bola lanzada desde la parte superior. Existen diferentes juguetes para niños basados en este modelo. En el telefilme Charlie utiliza también un método de regresión múltiple llamado Análisis Lineal del Discriminante (LDA) para tratar de predecir cuál seré el próximo ataque terrorista. Este método utiliza diagramas de árbol para visualizar todas las posibilidades. El campo más conocido en el que se emplean diagramas de árbol es de nuevo el cálculo de probabilidades. Normalmente para calcular las probabilidades de, por ejemplo, obtener dos caras al lanzar dos veces una moneda, no se emplea este tipo de diagramas ya que al ser sucesos independientes, asumimos que con el producto de las probabilidades de cada suceso lo tenemos resuelto. Pero cuando trabajamos con probabilidades condicionadas, no viene nada mal tener al lado un esquema de árbol. En el episodio, Charlie explica a su hermano Don el uso de estos esquemas mediante un ejercicio con naipes: de una pila de 16 cartas (4 jotas, 4 reinas, 4 reyes y 4 ases), toma 3 cartas anotando en cada descarte si la carta es un as o no. La probabilidad de obtener un as cambia después de cada descarte. El diagrama de árbol que se muestra en el dibujo (complétense los círculos es blanco y las interrogaciones) modeliza esta situación. La pregunta a resolver es hallar la probabilidad de obtener al menos dos ases en tres descartes (draws). Este tipo de esquemas no sólo se emplea en el cálculo de probabilidades sino que también son frecuentes en inteligencia artificial. Hay muchos algoritmos utilizados para crear árboles de decisión lo más precisos posible. La mayoría utilizan técnicas de entropía como base para decidir el orden en el que se deben disponer los nodos. Finalmente el padre de los protagonistas está agobiado pensando la cantidad de formas diferentes en que puede disponer en una mesa a los invitados a una boda. Charlie le explica que aunque en efecto hay muchas posibilidades, éstas se reducen bastante si primero decide quien se sienta al lado de quien (parejas, amigos, separación de personas que no se llevan bien, etc.). Los ejercicios de Combinatoria sobre este tema son muy conocidos y las variaciones (mesa redonda, mesa cuadrada, por ejemplo) son múltiples. Lo interesante de estas cuestiones es evidentemente hallar un modelo general. En resumen, un capítulo que no pueden perderse los amigos del cálculo de probabilidades y la estadística. 2.07.- Convergencia (Convergence) (20 – 11 – 2006) Argumento: Don investiga una serie de asaltos a casas en las que los ladrones roban únicamente cosas de alto valor (joyas, objetos de arte). En una de ellas, la dueña y su hijo adolescente han sido heridos. Su marido aparece muerto en la piscina de la casa atado de pies y manos. Por otro lado, el profesor Marshall Penfield (Colin Hanks) demuestra en una conferencia que una de las teorías en las que Charlie trabaja está equivocada. Aspectos Matemáticos: Dinámica de proyectiles, Teoría de Grupos, Calendarios, GPS. En uno de los asaltos, los delincuentes dispararon al aire un disparo para asustar a los dueños de la casa. Los agentes David y Colby tratan de localizar la bala consultando a Charlie sobre dónde empezar la búsqueda. A partir de datos como el tipo de bala, el ángulo estimado en el que la pistola se encontraba, la velocidad inicial de salida, etc., Charlie modeliza mediante coordenadas paramétricas la posible trayectoria (tipo parabólico) para acotar la zona sobre la que buscar. Una buena ocasión para, a partir de la visualización de la escena, describir este tipo de movimiento, las características de una parábola y las expresiones en coordenadas cartesianas y paramétricas (las paramétricas tiene mucho más sentido para otro tipo de curvas, que también pueden introducirse para alumnos de Bachillerato). En otro momento Charlie escribe en una pizarra “1 + 1 = 2”, preguntando a sus alumnos sobre situaciones concretas en las que esta igualdad sea correcta y otras en las que no. (A Russell y Whitehead les lleva 362 páginas de su Principia Matemática probar que para la axiomática clásica la igualdad es cierta). Es claro que hay sistemas (el binario el más obvio) en el que la igualdad es falsa. Buen momento para introducir el concepto de grupo y practicar con operaciones diferentes a las usuales. Posteriormente el matemático define los calendarios como herramientas matemáticas. La medida del tiempo ha sido un tema muy estudiado por diferentes civilizaciones desde los principios de la Historia. Cada cultura de hecho tiene modelos diferentes según se basen como referencia en el Sol, la Luna o los planetas. La evolución histórica del calendario (juliano, gregoriano, etc.) es un tema curioso, atractivo para los alumnos y que plantea diferentes cálculos matemáticos, en el que además puede que aún no se haya dicho la última palabra. La actividad sugerida por el equipo de Texas Instruments y el NCTM tiene otro enfoque: analizar y entender un calendario perpetuo de los que vienen en las agendas. Finalmente en el episodio también aparecen las matrices en un momento determinado. Éstas son una herramienta básica en temas que van desde el álgebra lineal (aplicaciones lineales, resolución de sistemas lineales, etc.), el almacenamiento de datos (algoritmos informáticos en programación), la teoría de juegos (matrices de pago) y cálculo de probabilidades, hasta el análisis de complejas redes de comunicación. El visionado del capítulo sería un buen momento tanto para describirlas (a través de un juego elemental) como para explicar las operaciones de suma y producto. Sin embargo la cuestión que trae de cabeza al equipo de Don en este episodio tiene que ver con el hecho de que los asaltantes parecen conocer a la perfección las localizaciones exactas de sus víctimas. Charlie sospecha que emplean algún mecanismo basado en la tecnología GPS (Sistemas de Posicionamiento Global, de sobra conocidos por todos gracias a los de los automóviles). En el capítulo explica cómo funciona el proceso trilateral de los receptores GPS. A grandes rasgos, un receptor de GPS calcula la distancia a la que se encuentra de un satélite, conocida la cantidad de tiempo que tarda en recibir una transmisión y la velocidad de ésta. Como la posición del satélite es conocida, puede determinarse que el receptor de GPS se encuentra sobre una esfera de radio igual a la distancia entre el receptor de GPS y el satélite. Estos cálculos se repiten con tres satélites más. ¿Porqué? Porque la intersección de las cuatro esferas es un único punto, justamente el que marca la posición exacta del GPS, y por tanto del que lo lleva. 2.09.- A la vista de todos (In Plain Sight) (27 – 11 – 2006) Argumento: Megan se siente culpable de la muerte de un compañero del FBI por una explosión en una clínica en la que se sospecha que se están elaborando drogas ilegalmente. Aspectos Matemáticos: Comportamiento de manadas animales, Esteganografía. La modelización de fenómenos en la Naturaleza es uno de los campos de aplicación en los que las matemáticas han trabajado durante mucho tiempo. El comportamiento de las manadas de animales en sus migraciones, por ejemplo, parecen obedecer ciertas reglas: evitar colisiones tanto entre los miembros de la manada como ante los obstáculos del recorrido, el grupo que los dirige nunca se despista de la dirección correcta, etc. La simulación de estos comportamientos es complicada entre otros factores porque la propia estructura de la manada no es fija y el campo de operaciones es tridimensional. Sin embargo las aplicaciones son variadas: la estructura de una red criminal al cambiar de jefe (el ejemplo del telefilme), los movimientos de los luchadores o el desplazamiento de los ejércitos de los videojuegos, y ya que estamos en una sección de cine, en los efectos especiales (recordemos como ejemplos la simulación del movimiento de los enjambres de escarabajos en las dos entregas de La Momia (The Mummy, 1999 y The Mummy Returns, 2001 ambas dirigidas por Stephen Sommers), los murciélagos y pingüinos de Batman Returns (Tim Burton, 1992) o la estampida de El rey León (The Lion King, Roger Allers y Rob Minkoff, 1994). Compárense estos efectos con los de Los pájaros (The Birds, Alfred Hitchcock, 1963) para hacerse una idea de cómo han evolucionado estas técnicas. Sobre las matemáticas que requieren estos modelos pueden consultarse esta dirección (en inglés). El capítulo vuelve a tocar el tema de los mensajes ocultos, en este caso con la Esteganografia. En este caso no sólo es el contenido del mensaje el que está oculto (criptografía), sino que trata de ocultarse también la existencia de tal mensaje. Por lo general un mensaje de este tipo parece ser otra cosa, como una lista de compras, un artículo, una foto, etc. El origen de este nombre proviene de un tratado de Johannes Trithemius (1462-1516), monje alemán fundador de la sociedad secreta Sodalitas Celtica (Cofradía Céltica), dedicada al estudio de las lenguas, las matemáticas, la astrología y la magia de los números, titulado Steganographia del griego "escritura secreta". Este tratado habla de la criptografía y de la esteganografía y está disfrazado como un libro de magia negra. Los mensajes en la esteganografía muchas veces son cifrados primero por medios tradicionales, para posteriormente ser ocultados por ejemplo en un texto que pueda contener dicho mensaje cifrado, resultando el mensaje esteganográfico. Un texto puede ser manipulado en el tamaño de letra, espaciado, tipo y otras características para ocultar un mensaje, sólo el que lo recibe, quien sabe la técnica usada, puede extraer el mensaje y luego descifrarlo. Algunos ejemplos de técnicas de esteganografía que han sido usados en la historia son: Mensajes ocultos en tabletas de cera en la antigua Grecia (la gente escribía mensajes en una tabla de madera y después la cubrían con cera para que pareciera que no había sido usada); mensajes secretos en papel, escritos con tintas invisibles entre líneas o en las partes en blanco de los mensajes; micro-puntos utilizados por agentes de espionaje durante la segunda guerra mundial para mandar información; mensajes escritos en un cinturón enrollado en un bastón, de forma que sólo el diámetro adecuado revela el mensaje; mensajes escritos en el cuero cabelludo, que tras crecer el pelo de nuevo, oculta el mensaje; etc. Los ejemplos que aparecen en el capítulo que Charlie descubre son bastante complicados. Comentario Final: Como podéis observar, Numb3rs introduce siempre aplicaciones prácticas en donde las matemáticas se utilizan de forma positiva, un buen ejemplo de divulgación en el los guionistas han hecho caso a sus asesores matemáticos. Compárese ahora con la introducción del típico ejercicio de escuela (como el descrito al principio de esta reseña de la serie Cuéntame cómo pasó) presente en la mayor parte de las películas de producción española y siempre en el sentido más negativo, como de castigo hacia los pobrecillos alumnos. Sólo cabe un calificativo, al menos para mí: penoso. Es decir que si se quiere se puede introducir una matemática coherente y a la vez entretenida. Como igualmente penosa ha sido (no me cansaré de repetirlo) la actitud de Antena 3 televisión de eliminar la serie privando a una gran mayoría de espectadores de su visionado. Así pues, afortunados abonados al Canal 13, disfrutad mientras podáis. Y a los demás, os recuerdo de nuevo que la primera temporada ya está comercializada en nuestro país en DVD. Y también os recuerdo que cualquier comentario, discrepancia, colaboración o sugerencia podéis hacérnosla llegar. También os recuerdo dos direcciones web que deberíais visitar. Otra dedicada como ésta a las matemáticas en el cine, la de nuestro compañero José María Sorando, y escuchar el programa semanal de Radio Euskadi de Raúl Ibáñez, los jueves de 19:35 a 20:00 aproximadamente. Un saludo y hasta el mes que viene.

Miércoles, 01 de Noviembre de 2006 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

282. 18. Perdidos con los números

En esta ocasión además de anticipar el contenido matemático de los episodios de Numb3rs que Calle 13 tiene previsto para este mes, damos cumplida respuesta a algunas cuestiones que nuestros lectores nos plantean (¡por fin os vais animando!), entre ellas las que tienen que ver con una cadena de números que aparece en otra serie de éxito, Perdidos (Lost) que Tve1 ha emitido de vez en cuando. Vamos primero con lo más sencillo. Algunos de vosotros tenéis alguna dificultad para conseguir el libro Las Matemáticas en el cine, coeditado por Proyecto Sur de Ediciones y la RSME. En efecto hay algunas zonas del país en las que la distribuidora de libros no sirve los pedidos demasiado bien o los libreros no desean entrar en conflicto con otras distribuidoras de la propia región. En ese caso hay varias librerías que sin ningún problema y con bastante rapidez sirven el libro pedido por internet. Se trata de Casa del libro, Librería Catalonia (Barcelona) o Librerías Proteo y Prometeo (Madrid). También la propia editorial Proyecto Sur lo envía aunque no lo tenga anunciado en su página web. Un regalo original para estas Navidades. Otra cuestión planteada es la “queja” acerca del espacio que se dedica a la serie Numb3rs que no todos pueden ver (el canal Calle 13 es de pago). Ciertamente es una lástima que la serie no la emita una cadena generalista, pero no es menos cierto que lo importante son los aspectos matemáticos que contempla, los cuales se describen de manera que no haga falta ver los capítulos para entenderlos (aunque si se siguen, obviamente, mejor), y sobre todo, que sirvan para darnos ideas de cara a elaborar nuestras propias actividades sobre aplicaciones a la vida cotidiana de campos matemáticos que no entran en los currículos de nuestras asignaturas pero que pueden describirse de un modo sencillo. Ese es para mí el aspecto más destacable de la serie (argumentalmente es una de tantas), el esfuerzo por mostrar aplicaciones reales de las matemáticas. El mes pasado un compañero del IES Sant Quirze del Vallés, Josep Mª Aguadé, nos envió un mensaje indicándonos otra serie televisiva de culto, Perdidos, que en su segunda temporada plantea algunos enigmas con la secuencia  4, 8, 15, 16, 23, 42. Para situar al lector no familiarizado con la serie (mi caso por ejemplo hasta comenzar a redactar esta reseña) hagamos un breve resumen del argumento tomado de una de las abundantes páginas dedicadas a la serie que circulan por internet El vuelo 815 de una compañía aérea se estrella en una remota isla en medio del océano Pacífico. Los 48 supervivientes se dan cuenta enseguida de que están realmente perdidos a miles de kilómetros de su ruta prevista por lo que es poco probable que sean rescatados. Pronto serán conscientes de que en aquel lugar suceden extraños fenómenos que provocarán en ellos diferentes reacciones y respuestas. Obviamente no faltan las típicas filias y fobias de la convivencia diaria que junto a misteriosas situaciones irán crispando el ambiente hasta extremos inaguantables. (¿No os suena a Cube (Vincenzo Natali, Canadá, 1997)? ¿O a El señor de las moscas (Lord of the Flies, dos versiones una británica de 1963 y otra norteamericana de 1990)?). Uno de los aciertos de los guionistas ha sido sin duda el no desvelar en los primeros capítulos el trasfondo fantástico de la serie (¿no os suena esto a Twin Peaks (David Lynch, EE. UU., 1990)?) lo que ha servido para enganchar a muchos aficionados tanto a la ciencia ficción como al misterio y a algún otro que pasaba por el canal correspondiente en ese momento. Y por supuesto el boca a boca junto a una brillante puesta en escena, todo hay que decirlo, ha convertido a esta serie en una más de culto con muchos seguidores en todo el mundo. Para aderezar un poco más el guiso argumental cada superviviente, como si de los reality tipo Gran Hermano se tratara, tiene un pasado cercano a lo surrealista que los realizadores de la serie nos van introduciendo en pequeñas dosis para que la cosa se alargue ad infinitum (no me gustaría parecer demasiado negativo, pero según voy escribiendo estas líneas me lo voy pareciendo; esto seguramente es fruto de que uno ha visto ya tantas películas y series que seguramente pocas me parecen realmente originales). Además se han ido difundiendo datos en internet sobre elementos ficticios de la serie que se han hecho pasar por reales, como una web de la inexistente compañía aérea del vuelo accidentado, la fundación Hanso o el proyecto Dharma que explica parte de la serie a partir de la segunda temporada. Es en este instante donde surge la citada sucesión (episodio titulado Números) a partir de la cual los protagonistas y los televidentes comienzan a asociarla a todo tipo de sucesos tanto de su pasado como de su futuro. Y aquí es donde los guionistas juegan con todos, haciendo aparecer esos números,  combinaciones y operaciones con ellos en todas partes, dando a entender que éstos esconden más de lo que parece, algo así como “la sucesión que rige el destino del mundo”. Como casi siempre en este tipo de películas, la persona que los descubre acaba recluido en un sanatorio mental. Y no me extraña. En la película Pi (Fe en el Caos) (Darren Aronofsky, EE. UU., 1998) el matemático Max Cohen cree haber encontrado un patrón universal que rige cualquier aspecto sobre la Tierra. Este patrón se basa en una cadena de 216 números que aparecen en los decimales de π, que explicarían las fluctuaciones de la Bolsa ya que su ordenador los obtiene también estudiando ese asunto, que describirían la esencia de Dios según una secta judía y que aparece en la Torah, su libro sagrado, etc. Al hablarlo con su profesor, éste le explica: “Si te empeñas en encontrar el 216, lo encontrarás por todas partes. Habrá 216 pasos desde la esquina hasta la puerta de tu casa y el ascensor tardará 216 segundos en llegar a tu piso. Cuando tu mente se obsesiona con cualquier cosa, deshechas todo lo demás y sólo eres capaz de ver esa cosa. 320, 450, 22 o 10. Tú has elegido el 216 y lo encontrarás por toda la Naturaleza. Escucha: en el momento que descartas el rigor científico dejas de ser un matemático para convertirte en un numerólogo”. En el libro de Martin Gardner, Los mágicos números del Dr. Matrix, editado en nuestro país por Gedisa, podemos encontrar el número 666, por ejemplo, ya sabéis, el número de la Bestia, aparece por todas partes, pero eso no es lo importante. Lo importante es que aunque no aparezca, lo podemos hacer surgir sin más que elegir convenientemente el sistema sobre el que contar. Y no sólo el 666, sino CUALQUIER número. Y hay muchos personajes que se ganan la vida engañando con este tipo de cosas a los demás con fantasías bastante burdas. ¿Por qué siempre se molestan en buscar el 666? ¿Por qué no tratan de buscar algún procedimiento para generar los números primos, que esos sí aparecen “misteriosamente” en todas partes (teorema fundamental de la aritmética)? ¿O la ley que rija la aparición de los primos gemelos? No, eso no interesa, ¿verdad? No es fácil, y sobre todo, no da dinero. Pues eso quizá nos aportara claves más trascendentes que toda la bazofia que nos largan. Me viene a la cabeza un reportaje de este pasado mes de noviembre, en el programa Cuarto Milenio, en el que se iba a hablar del otrora popular Triángulo de las Bermudas. A todos nos llaman la atención los misterios, y me dispuse a verlo tratando de ponerme al día sobre el tema, a ver si siguen desapareciendo barcos y aviones. El presentador introdujo el asunto mostrando algunos de los libros que fueron éxitos de venta en los pasados setenta. Yo mismo he leído algunos. ¿Y qué se comentó en el reportaje? Los mismos casos que contaban esos libros antiguos acompañados de alguna que otra afirmación (más bien preguntas) un tanto demenciales. Sólo faltó decir que no es casualidad que la zona describa un triángulo, el polígono más sencillo, el símbolo de Dios, la Santísima Trinidad, (los tres mosqueteros y las tres mellizas, añado yo) y bla, bla, bla. Al final se explicaba todo. Aquello era una excusa para presentar la enésima serie sobre el tema que la cadena iba a programar la semana siguiente. Habiendo dejado clara por tanto mi postura (y creo que la de cualquiera con dos dedos de frente) sobre cualquier interpretación seudo-para-normal, volvamos a la sucesión de Perdidos. Las sucesiones numéricas constituyen una mina en la generación de juegos y problemas (incluso aparecen en tests elaborados por sesudos psicólogos). Uno de estos juegos consiste en continuar una sucesión numérica, encontrar el patrón que la genera. Desde el punto de vista matemático, sin ningún dato adicional que convierta a la sucesión en única, esto no tiene ningún sentido, ya que aunque conozcamos cinco, veinte o tres mil términos de una sucesión, ésta no tiene por qué continuar como aparentemente se deduce de una cantidad finita de ellos. Por ejemplo si nos preguntan sobre qué número sigue a los siguientes 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 probablemente digamos que 89 porque cada número parece ser la suma de los dos precedentes (sucesión de Fibonacci). ¿Qué diría el psicólogo encargado de evaluar un test en el que no se dé ninguna posible respuesta a un señor que responda 91? Diría que está mal cuando en realidad, la persona habría respondido conforme a otro modelo, el del menor entero mayor o igual que en/2−1 (o dicho de otro modo, [e(x-1)/2], donde [x] es la parte entera de x). Calculándolo con DERIVE tendremos que  VECTOR(CEILING(SQRT(e^(n−2))), n, 1, 12) se simplifica a  [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 91, 149] (sucesión A005181 de Sloane). Y no es un caso patológico, habría centenares de sucesiones. Esto está indicado en un resultado conocido como Ley fuerte de los pequeños números (Strong Law of Small Numbers, Gardner 1980, Guy 1990), que indica que no hay suficientes números pequeños para cumplir los muchos requisitos que se les impongan, por lo que aparentes regularidades con números pequeños no son más que meras coincidencias. Por cierto he citado a Neil J. A. Sloane. Este matemático e informático comenzó en 1993 la publicación de una notable Enciclopedia de Sucesiones de números Enteros en la que incluía unas 5500 sucesiones diferentes. Desde entonces ha ido incrementando exponencialmente su número gracias a colaboraciones de amigos, compañeros y cualquier persona que quiera enviarle alguna nueva con algún motivo justificado. En la red tiene un enlace a The On-Line Enciclopedia of Integer Sequences. Si escribimos nuestra sucesión, aparecen dos resultados: Sucesión A104101.- Los Números de  “Perdidos” Estos números son el argumento central de la serie de televisión “Perdidos” en los episodios 18 y 101. Otro numero de la sucesión, quizá el siguiente, es el 540: el número de días que dos personas están en la estación 3: 4+8+15+16+23+42 = 108 x 5 = 540.. De acuerdo con el guión de la serie, 108 no es parte de la sucesión, sólo es la suma de los términos conocidos. Y después hay varios enlaces a otras páginas en los que se vuelve a elucubrar sobre la serie, y otras sucesiones con las que tiene relación. Sucesión A122115.-  a(n) = a(n−1) + a(n−3) + a(n−5) para n > 2. -3, -1, 4, 8, 15, 16, 23, 42, 66, 104, 162, 251, 397, 625, 980, 1539, 2415, 3792, 5956, 9351, … Yo no me he resistido a meter el lápiz (bueno el ordenador) y he calculado el polinomio interpolador que tiene como datos los valores, 4, 8, 15, 16, 23, 42, para los nodos 1, 2, 3 ,4, 5, 6, respectivamente. Esto nos da un polinomio de grado 5: Con él, el siguiente término sería el 46, y a partir de ahí todos valores negativos, pero podemos tomar el polinomio en valor absoluto y arreglado. Seguiría entonces con 52, 426, 1364, 3295, 6816, … Lo único que me ha llamado la atención es que cualquier valor que le dé al polinomio me devuelve siempre un valor entero (atención otra vez a los amantes de lo oculto, esto es curioso, pero no excepcional; hay muchos polinomios racionales tales que al sustituir valores enteros, nos devuelve siempre un entero). ¿Os animáis a demostrar que o bien esto es cierto en general, o a buscar un contraejemplo que lo contradiga? ¡Hala, ejercicio para las Navidades! En todo caso, estoy completamente de acuerdo con Josep: ejemplos como éste pueden motivar a los alumnos a trabajar con conceptos matemáticos de interés, pero eso sí, sin que nos acaben obsesionando. EPISODIOS DE NUMB3RS PROGRAMADOS ESTE MES EN CALLE 13 Os recordamos que la fecha de emisión son los lunes que se indican en cada episodio a las 22:20, pero que cada uno se vuelve a emitir tres veces más: los martes de la misma semana a las 17:45, y los sábados a la 21:30 y los domingos a las 15:30, éstos de la semana siguiente. 2.10.- Tóxicos (Toxin) (4 – 12 – 2006) Argumento: Después de que dos personas estuvieran a punto de morir envenenados, Don descubre que alguien está adulterando medicamentos. Don piensa que podría ser un ex-empleado de la compañía farmacéutica. Aspectos Matemáticos: Criptoanálisis (descifrado de códigos) y teoría de la información, entropía, el problema de los puentes de Königsberg (teoría de grafos), árboles de Steiner. El FBI encuentra un bloc de notas del sospechoso con algunos mensajes escritos en clave, aunque sin especificar ésta. Inicialmente los agentes conjeturan que podrían contener algún número de teléfono (aparecen diez dígitos en uno de los mensajes) que pudiera llevarles a descubrir a un misterioso cómplice del envenenador. Don sugiere poner a trabajar los ordenadores del departamento para descifrar el texto, mientras que su hermano Charlie propone un análisis basado en conceptos de teoría de la información. Charlie explica que para descifrar un texto en clave como el que han encontrado (basado en el método de sustitución: desplazar las letras del mensaje original una cantidad constante sustituyendo cada una por la que corresponda según esa cantidad) conviene tener un buen conocimiento del idioma (en este caso del inglés). Esto es debido a que en cada idioma hay letras que aparecen con más frecuencia que otras (por ejemplo, “a”, “o”, “s”, se utilizan más que “x”, “q”, “z”). Del mismo modo hay palabras que se utilizan más (artículos, preposiciones) que otras, o parejas de letras (diptongos, por ejemplo) que se combinan mucho más que otras. Un análisis de las frecuencias de aparición puede ser determinante. En concreto el mensaje encontrado es XJEW EMF WJFKF UQGGK WJEW ZQGG? y posteriormente se intercepta XJC QK WJF QAWFASFS HQIWQP? Charlie propone utilizar la misma clave en ambos casos. Tratad de descifrarlo antes de ver el capítulo. Como pista puede utilizarse algo tan obvio como es que ambas son preguntas y por tanto las frases empiezan con alguno de los típicos pronombres interrogativos del inglés. La verdad es que descifrar las frases anteriores para personas que tienen cierta soltura (en algunos periódicos aparecen cifrados como éstos en la sección de pasatiempos) no es demasiado complicado. Estos malhechores son un tanto ingenuos si pretenden que estas instrucciones permanezcan ocultas con un cifrado como el que utilizan. Una vez conocida la clave, los agentes escribirán un mensaje trampa para tratar de descubrir al cómplice que aún no conocen. La teoría de la información, desarrollada por el ingeniero y matemático Claude Elwood Shannon  (1916-2001), es la base del encriptado y descifrado de códigos. Basándose en las leyes de Boole y las leyes de la lógica, diseñó circuitos digitales. Trabajo en los laboratorios Bell y posteriormente en el MIT (Instituto Tecnológico de Massachussets, puntera y emblemática universidad privada norteamericana), siendo uno de los primeros en utilizar los bits como unidad de información así como técnicas de Inteligencia Artificial. En este enlace podéis encontrar más datos sobre su vida y su trabajo. Charlie también sugiere utilizar el concepto de entropía esperada (concepto definido precisamente por Shannon en 1948) para hacer una estimación de la dificultad que podría tener descifrar esos mensajes. En criptografía la entropía mide la cantidad de “incertidumbre” utilizando distribuciones de probabilidad. A mayor entropía, más difícil resultará la tarea. Si todos los elementos tienen la misma probabilidad de aparecer, la entropía es máxima, mientras que si unos tiene más probabilidad que otros (como en el caso de las letras de un texto de un idioma como se comentó anteriormente) la entropía se hace menor, y las posibilidades de descifrarlo aumentan. En general la entropía esperada de que un determinado dígito aparezca dentro de un conjunto de cifras viene dada por la expresión p(n) (−log2 p(n)), siendo p(n) la probabilidad de que ese dígito aparezca. Si lo que se analizan son varios códigos, la entropía es la suma de cada uno de ellos. Se utiliza habitualmente el logaritmo en base 2, y entonces la entropía se mide en bits. Por ejemplo, el lanzamiento de una moneda al aire para ver si sale cara o cruz (dos estados con probabilidad 0.5), tiene una entropía: H = 0.5 (−log2(0.5)) + 0.5 (−log2(0.5)) = 0.5 log2(2) + 0.5 log2(2) = 0.5 + 0.5 = 1 bit. La entropía tiene mucha importancia en la ciencia en campos como la biología, la física, la química, etc. Charlie también menciona el famoso problema de los siete puentes de Köningsberg como ejemplo para indicar cómo seguir el rastro del envenenador. Como es sabido el problema lo resolvió Leonhard Euler (1707 – 1783) con un argumento que originó el posterior desarrollo de la teoría de grafos, teoría aplicable a la resolución de multitud de problemas y situaciones reales en los más diversos campos. En la red uno puede encontrar infinidad de páginas dedicadas a la teoría de grafos, incluso apuntes completos para seguir cursos tanto de introducción como avanzados. A modo de resumen, el problema consistía en lo siguiente. La ciudad de Köningsberg estaba dividida en cuatro zonas por el río Pregel. Estas zonas se conectaban en la época de Euler por siete puentes tal y como aparecen en el dibujo. Los ciudadanos se preguntaron si sería posible recorrer los siete puentes sin pasar dos veces por el mismo punto y acabando el recorrido en el mismo punto de partida. Euler utilizó el esquema adjunto para representar la situación, donde los puntos (nodos o vértices del grafo) simbolizan las cuatro zonas de la ciudad, y los segmentos que las unen (aristas o lados del grafo) los siete puentes. A partir de este grafo, Euler demostró la imposibilidad de la existencia de tal recorrido. Posteriormente otros problemas influyeron en el desarrollo de la teoría de grafos como el estudio de las redes eléctricas, la enumeración de isómeros de hidrocarburos, etc. Hoy en día es rara la disciplina científica o humanística que no utiliza la teoría de grafos. Como ejemplos podemos citar la psicología en dinámica de grupos, la sociología en los sociogramas, la física teórica que usa los diagramas de Feynmann donde se representan las partículas elementales mediante líneas, el estudio de flujos en redes en programación lineal e investigación operativa, el recorrido óptimo de los camiones de basura en una ciudad, el trazado de carreteras, o los típicos pasatiempos de trazar un dibujo de un solo trazo sin levantar el lápiz del papel. Finalmente el episodio nos depara aún otro concepto matemático de interés. El envenenador ha hecho acto de presencia en tres lugares diferentes de las montañas de San Gabriel. Charlie conjetura que su escondite debe estar en algún lugar próximo a esas tres localizaciones. ¿Por qué no en las inmediaciones del punto geométrico que sea la distancia más corta a esos tres sitios? Ese punto de distancia mínima es conocido como punto de Steiner. Por otra parte, existe un tipo  especial de grafo conocido con el nombre de árbol. Se trata de grafos conexos y sin ciclos (ver dibujo adjunto). Dados  N puntos en el plano, construir un árbol de modo que su longitud total sea la mínima posible y cuyos nodos sean los puntos dados se denomina árbol recubridor euclídeo mínimo (en inglés, EMST, Euclidean Minimum Spanning Tree). El EMST puede no ser la solución optima al problema, es decir, que pueden existir otros árboles que conteniendo a los vértices del problema original su longitud sea menor que la del EMST. Estos árboles se denominan árboles de Steiner (Steiner Trees), y son el resultado de añadir al conjunto original algunos vértices nuevos. La computación de los árboles de Steiner resulta ser un problema difícil como demostraron en 1976 Garey, Graham y Johnson. Con la tecnología actual no somos capaces de afrontar problemas de árboles de Steiner con más de 25 puntos. Es superfluo apuntar las muchas aplicaciones de gran interés correspondientes a los árboles EMST y los de Steiner: Sistemas de Telecomunicaciones de Datos, Diseño de Redes de Sistema Eléctrico, Planificación de Transporte Urbano, todos ellos con coste de la instalación mínimo, ya que se exige que el recorrido sea mínimo. El primero en utilizar el concepto de árbol fue Gustavo Kirchhoff (1824 – 1887) en sus trabajos sobre redes eléctricas Más tarde la teoría de árboles fue desarrollada (y bautizada así) por Arthur Cayley (1821 – 1895) en el estudio de determinados isómeros de los carburos saturados. El matemático suizo Jacob Steiner (1796 – 1863) trabajó en problemas de caminos mínimos, de ahí que el árbol óptimo descrito con anterioridad se bautizase con su nombre. Con la aparición de los computadores, los árboles se utilizan en el estudio de las estructuras de datos, clasificación, teoría de la codificación y problemas de optimización. 2.11.- El legado de la tribu (Bones of Contention) (11 – 12 – 2006) Argumento: Una investigadora especializada en antigüedades nativas americanas es asaltada y asesinada en el museo en el que trabaja. El equipo de Don tratará de averiguar quien lo hizo y porqué. Mientras el padre de los hermanos protagonistas lo está pasando mal recordando algo del pasado. Aspectos Matemáticos: Función exponencial, Diagramas de Voronoi. En este episodio Charlie explica a su hermano el fundamento matemático de la datación de un objeto mediante la técnica del Carbono 14, una aplicación que reúne conceptos de química, biología y física y que permitió a Willard F. Lobby obtener el premio Nobel en 1960. Esta técnica se basa en el hecho de que cualquier organismo vivo mantiene una cantidad constante del isótopo radiactivo denominado carbono 14 (14C, en lo sucesivo, descubierto en 1940 por Martin Kamen y Sam Ruben) que va decreciendo de forma exponencial (como cualquier sustancia radiactiva) después de la muerte del citado organismo. El 14C es producido de un modo continuo en la atmósfera como consecuencia del bombardeo de átomos de nitrógeno por neutrones cósmicos. Este isótopo creado es inestable, por lo que, espontáneamente, se transmuta en nitrógeno-14 (14N). Estos procesos de generación-degradación de 14C se encuentran prácticamente equilibrados, de manera que el isótopo se encuentra homogéneamente mezclado con los átomos no radiactivos en el dióxido de carbono de la atmósfera. El proceso de fotosíntesis incorpora el átomo radiactivo en las plantas de manera que la proporción 14C / 12C en éstas es similar a la atmosférica. Los animales incorporan, por ingestión, el carbono de las plantas. Tras la muerte del organismo vivo no se incorporan nuevos átomos de 14C a los tejidos y la concentración del isótopo va decreciendo conforme va transformándose en 14N. La vida media del 14C es de 5730 años. Cada 5730 años la cantidad de 14C en el organismo (ahora muerto) se reduce a la mitad (se trata de resolver una sencilla ecuación diferencial, y´(t) = k y(t), de primer orden en variables separadas). De este modo puede ser datado el momento de la muerte de dicho organismo. Se conoce por edad radiocarbónica y se expresa en años BP (Before Present). Esta escala equivale a los años transcurridos desde la muerte del ejemplar hasta el año 1950 de nuestro calendario, fecha elegida por convenio por ser en la segunda mitad del siglo XX cuando los ensayos nucleares (la política y la guerra siempre jo…, perdón, fastidiándolo todo) provocaron severas anomalías en las curvas de concentración relativa de los isótopos radiactivos en la atmósfera. Al comparar las concentraciones teóricas de 14C con las de muestras de maderas de edades conocidas se descubrió que existían diferencias con los resultados esperados. Esas diferencias se deben a que la concentración de carbono radiactivo en la atmósfera también ha variado respecto al tiempo. Hoy se conoce con precisión la evolución de la concentración de 14C en los últimos 25000 años, por lo que puede corregirse esa estimación de edad comparándolo con curvas obtenidas mediante interpolación de datos conocidos. La edad así hallada se denomina edad calibrada y se expresa en años Cal BP. Otro concepto que Charlie menciona en este capítulo a propósito de los restaurantes de comida rápida es el de los diagramas de Voronoi. Estos diagramas se basan en la representación de información mediante estructuras poligonales. Éstas aportan mayor información que las rectangulares ya que podemos observar de un vistazo conexiones entre más elementos. Pongamos un ejemplo. En algunas tiendas que reparten a domicilio se describe mediante un mapa las zonas de la ciudad a las que esa tienda suministra sus productos. Si se trata de una cadena de tiendas aparecen también las zonas de las que se encargan el resto de las “sucursales”. Esos mapas pueden describirse mediante un diagrama de Voronoi en el que se representan con diferentes colores las zonas de influencia (de reparto) de cada una de las tiendas. En el dibujo, un ejemplo de este tipo de diagramas, en el que los puntos son el lugar donde se encuentra la tienda y cada zona poligonal convexa, sus áreas de influencia. Construir un diagrama de este tipo con 3 o 4 zonas de influencia tiene su interés. Para determinar los bordes de cada región es preciso obtener la mediatriz de cada segmento. Otro ejemplo, más atrayente seguramente para los alumnos, es la descripción de la defensa en zona de un equipo de baloncesto (o sea cómo hacer el reparto para cada jugador de una zona del campo). Aquí puede verse esta actividad (en inglés). Por supuesto que los diagramas de Voronoi se aplican a otros campos científicos como la arqueología, la astronomía, la biología o el marketing. Hay un modo de dividir el mapa en triángulos que está relacionado con los diagramas de Voronoi: la triangulación de Delaunay. De hecho, es el dual geométrico de los diagramas de Voronoi. Tal y como nos enseñaron en la escuela, para cualquier triángulo puede construirse un único círculo que pasa por los tres vértices (el círculo circunscrito). Su centro se denomina circuncentro y es la intersección de las tres mediatrices del triángulo (en la literatura anglosajona las mediatrices se denominan bisectores perpendiculares). Esta triangulación/teselación se caracteriza por la propiedad de que para cada triángulo, su círculo circunscrito no tiene que contener ningún otro vértice del resto de triángulos. Parece complicado pero no lo es; de hecho hay varios algoritmos programables para que los ordenadores nos hagan el trabajo sucio. Una de las aplicaciones de la triangulación de Delaunay es la interpolación de datos. Por poner un ejemplo asequible, supongamos que medimos la profundidad de un lago en diferentes puntos. Si éstos están uniformemente espaciados en filas y columnas, podemos dibujar un mapa del fondo del lago con cierta precisión. Sin embargo es bastante improbable que desde una barca se puedan obtener las medidas donde uno desea. Así que se toman medidas donde se puede que posteriormente se interpolan. Un procedimiento es tomar las mediciones como puntos base y construir una triangulación de Delaunay. Luego se superpone una malla uniforme. Cada punto de esa malla aparece en alguno de los triángulos de Delaunay y de nuevo interpolando los valores que quedan dentro de los triángulos calculamos los valores de los vértices de la malla que nos interesan (se dan diferentes pesos a los valores dependiendo de la distancia a los vértices). Resulta bastante instructivo para alumnos de Bachillerato proponer unas actividades sencillas (simplificadas) tanto sobre los diagramas de Voronoi como de Triangulación de Delaunay, ya que pueden constatar que conceptos como circuncentro, mediatriz, pendiente, etc., no son conceptos exclusivamente abstractos y por tanto ociosos, sino aplicables y mucho a problemas reales. 2.12.- El pirómano (Scorched) (18 – 12 - 2006) Argumento: Un pirómano que cree formar parte de un grupo terrorista extremista provoca un incendio en un coche mediante un cóctel Molotov, muriendo un hombre. El nombre del supuesto grupo aparece en el lugar pintado con un spray y es el cuarto que sucede, aunque el primero que causa víctimas. Aspectos Matemáticos: Gráficas en tres dimensiones, sistemas dinámicos. En el análisis de las causas que pueden haber provocado un incendio se estudian diferentes elementos, como restos de objetos quemados o de gasolina u otros productos inflamables que puedan determinar si ha sido casual o provocado. Charlie afirma analizar un total de 600 variables diferentes para resolver la cuestión. A partir de este número de características se obtienen sin embargo un número mucho mayor de posibilidades (si se considera por ejemplo la variable “rastros de gasolina”, dando el valor 0 si no los hay y el valor 1 si se encuentran, se tienen dos posibilidades distintas. Con dos variables obtenemos cuatro respuestas posibles. Con 600, tantas como 2600). Charlie está convencido de que los cinco incendios que han tenido lugar son obra de la misma persona. Trata entonces de encontrar características comunes en ellos, algo así como las huellas pirománticas del incendiario. Para ello, trata de interpolar diferentes datos recogidos en los lugares donde se han cometido, con un procedimiento que los guionistas han llamado algo así como Análisis de los Componentes Principales (PCA). En realidad se trata de encontrar el plano que mejor se ajuste a los datos que ha ido recogiendo (una especie de ajuste pero en tres dimensiones). En este enlace se describe el procedimiento (basado en conceptos de álgebra lineal). Por otra parte la evolución de un incendio puede ser estudiada como un proceso dinámico. El problema es que modelizar un fuego incluye considerar muchas variables (humedad, velocidad del viento, dirección del viento, densidad del combustible, temperatura inicial, etc.). Una modelización de la evolución de un incendio en un bosque en el que podemos introducir algunos parámetros puede verse aquí (está en inglés, pero es muy sencillo). 2.13.- Bandas Callejeras (The O.G.) (25 – 12 – 2006) Argumento: Don y su equipo necesitan atrapar a un hombre llamado Travis Grant que parece ser la última persona que ha visto vivo a su compañero el agente Rhimes. Rhimes estaba infiltrado en una banda a la que pertenece Grant. Al parecer Rhimes no llegó a ser descubierto por nadie de la banda por lo que no está claro el motivo de su muerte. Entretanto, Charlie y Amita (recuerden: la alumna a la que dirige la tesis) se enfrentan con el departamento de Geología en un torneo de dardos. NOTA: Las siglas O.G. del título original son el acrónimo de Original Gangota, término que designa a ciertas bandas juveniles callejeras. La canción de hip-hop Remember the Name, interpretada por el grupo rapero Fort T que presenta el capítulo es una referencia que trata de situar al espectador en este ambiente. Aspectos Matemáticos: Distribución de Poisson, Análisis de redes. En esta ocasión, El FBI investiga una serie de asesinatos realizados por bandas callejeras. Basándose en cómo se relacionan los miembros de las bandas, Charlie crea una red que modelice esas informaciones. A través de esa red espera averiguar quien será la próxima víctima. El análisis de redes es una aplicación de los sistemas de ecuaciones lineales. Para analizar matemáticamente una red, estudiamos los distintos nodos que aparecen en la misma y tenemos en cuenta que el flujo que entra en cada uno tiene que ser igual al flujo que sale. A partir de ahí, planteamos un sistema de ecuaciones lineales. Por ejemplo, el gráfico adjunto podría representar el flujo de tráfico en una ciudad, o la cantidad de agua que pasa por una tubería (los nodos serían plazas en un caso o uniones de tuberías en el otro) con valores constantes en algunos de los bordes (medidos según el caso en litros por segundo, o miles de litros por hora, o número de coches por hora). Los distintos hilos (o bordes) serán las calles de la ciudad en el caso del flujo de tráfico, o las canalizaciones de agua. Debajo, en la tabla, tendríamos la descripción de cómo se obtiene el sistema de ecuaciones lineales. Resolviendo el sistema obtenemos infinitas soluciones (x1 = 20 λ, x2 = 60 λ, x3 = 20 λ, x4 = 20 + λ, x5 = λ). Variando el flujo que se hace pasar por el hilo x5 podemos controlar y ver como varía el flujo en el resto de hilos y nodos de la red. Estos modelos son bastante útiles en la realidad. En el caso de una red de comportamiento social como la que plantea Charlie, los nodos (o vértices) serían los individuos de la banda, y los hilos mostrarían cómo la información llega de uno a otro miembro del grupo. De un esquema como el anterior es posible obtener la matriz del camino más corto que ilustraría el menor número de enlaces entre dos nodos cualesquiera. De este modo podemos conocer el tipo de rol que cada miembro de la banda desempeña en la misma. Se pueden definir muchos más conceptos sobre una red que no detallamos por no extendernos demasiado. Por otra parte se alude a la distribución de Poisson para calcular la probabilidad de que ocurran unos sucesos en un tiempo fijo conocida una tasa media de los mismos y siendo independientes del tiempo. Por ejemplo, supongamos que en cierto aparcamiento una persona es robada de media cada dos días. La policía utilizaría ese dato para estimar la probabilidad de que una persona cualquiera sea robada en ese parking en un día concreto, o en el periodo de tres semanas. Matemáticamente, la probabilidad de que un determinado suceso ocurra exactamente k veces viene dada por donde m es el número esperado de ocurrencias durante un intervalo dado. Por ejemplo, si  el 2 % de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa, obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas, tendríamos, k = 5, m = 400 (0.02) = 8, luego p(5, 8) = 0.092. La distribución fue descubierta por Siméon-Denis Poisson (1781–1840) que la publicó, junto con su teoría de probabilidad, en 1838. A todo esto,  ¡¡¡¡¡FELICES FIESTAS A TODOS !!!!!

Viernes, 01 de Diciembre de 2006 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

283. 19. Seguimos Perdidos

El presente mes están programados cinco episodios de Numb3rs que incluyen mucha información matemática (que por cuestiones de espacio no está descrita totalmente). El lector que no pueda ver la serie no se encontrará, sin embargo, perdido ya que se procura que todo el mundo pueda seguir estas reseñas. A propósito de Perdidos, seguimos respondiendo enigmas…. Entiéndase bien el título de este mes. No es que hayamos perdido el rumbo, es que estamos visionando los capítulos de esta serie desde la primera temporada, rastreando afanosamente si hay alguna clave que ayude a resolver la génesis de la misteriosa sucesión que determina (según el argumento de la serie) el destino de la Humanidad (ecuación de Valenzetti la han llamado). Por cierto, que en el fondo no hay sucesión que valga, por lo que no se entiende ese afán por saber el siguiente término. Son seis números sin más. Nadie por el momento me ha enviado la prueba de que dado P(x), polinomio interpolador de esos números, P(n)∈Ζ, para cada n∈Ζ. Os dejaremos pensarlo otro mes más. P(x) =  (– 9 x5 + 170 x4 – 1175 x3 + 3670 x2 – 4896 x + 2400) Hay otro polinomio que se cita en la Red sobre estos números, el llamado polinomio de Shaw-Basho (le bautizo como SB(x)), que alguien propuso (ni Shaw ni Basho, al parecer, existen), SB(x) =  (42 x5 – 305 x4 + 1100 x3 – 895 x2 + 1018 x + 480) que verifica que al sustituir x por 0, 1, 2, 3, etc. devuelve 4, 12, 35, 89, 213, 511, 1194, 2622, …, respectivamente. En la página http://www.dougshaw.com/lost/ se indica que lo curioso de esta sucesión es que al ir haciendo sucesivas diferencias entre esos números, se van obteniendo los siguientes resultados: 1ª Sucesión: 4, 12, 35, 89, 213, 511, 1194, 2622, 5346, 10150, 18093, ... 2ª Sucesión: 8, 23, 54, 124, 298, 683, 1428, 2624, 4804, 7943, 12458, ... 3ª Sucesión: 15, 31, 70, 174, 385, 745, 1296, 2080, 3139, 4515, 6250, ... 4ª Sucesión: 16, 39, 104, 211, 360, 551, 784, 1059, 1376, 1735, ... 5ª Sucesión: 23, 65, 107, 149, 191, 233, 275, 317, 359,  ... 6ª Sucesión: 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, ... 7ª Sucesión: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, .. 8ª Sucesión: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, … Obsérvese que los primeros términos de las sucesivas sucesiones (en rojo) son los famosos números. Nada que decir, ya que el polinomio se ha construido precisamente para que cumpla esa condición (ver abajo). Luego se afirma, como si fuera algo increíble, que la sucesión se autodestruye. Desde luego, ¡se ve cada cosa por ahí escrita¡. La página pertenece al parecer a un profesor, doctor en Matemáticas en la Universidad de Iowa. Pues bien, señores míos (me voy a tomar la molestia de mandar al autor de la página un e-mail a ver si se pone a estudiar algo de Cálculo Numérico), para CUALQUIER conjunto de  valores numéricos que verifique un cierto polinomio de grado menor o igual que N, TODAS sus diferencias divididas de grado mayor o igual que N+1 se anulan. Aquí no son exactamente diferencias divididas, pero funcionan igual. Si se quiere obtener un tal polinomio, basta con construir una tabla del siguiente modo: Necesitamos para ello disponer de las imágenes de los nodos (los nodos son los valores de la primera columna, 0, 1, 2, 3, 4, 5), y calcular el polinomio interpolador. Para el que sepa cómo se construye el polinomio interpolador mediante diferencias divididas, una tabla similar a ésta, quizá piense que ya podríamos construir el polinomio así: L(x) = 4 + 8 (x − 0) + 15 x(x − 1) + 16 x(x − 1) (x − 2) +23 x(x − 1) (x − 2)(x − 3) + 42 x(x −1) (x − 2)(x −3) (x − 4) = 42 x5 − 397 x4 + 1348 x3 − 1880 x2 + 895 x + 4 Pero si calcula las sucesiones de diferencias descritas con anterioridad, verá que no se cumplen. ¿Por qué? Porque la forma anterior de componer el polinomio interpolador está basado en diferencias divididas (para calcular la tercera columna se restan los valores consecutivos de la columna anterior pero hay que dividirlos por 2, para la cuarta hay que dividirlos por 3, etc. la diferencia entre los nodos). Lo que buscamos nosotros es ligeramente distinto: queremos que los valores de TODAS las columnas sean los valores de rojo, pero sin dividir por ningún valor. Es decir queremos una tabla en diferencias SIN DIVIDIR. Entonces vamos calculando, desde el final al principio los valores de los asteriscos, hasta que tengamos las imágenes de cada nodo (es decir, la segunda columna completa). Es sencillo, sólo hay que sumar. (42 + 23 = 65, etc.). Se tiene entonces la tabla Véase que por columnas son justamente los valores de las sucesiones que aparecen arriba. Bien, se calcula entonces el polinomio interpolador que pasa por los puntos (0,4), (1, 12), (2, 35), (3, 89), (4, 213) y (5, 511), y se obtiene obviamente el polinomio ÚNICO SB(x), el polinomio de Shaw-Basho cuya obtención no tiene nada de misteriosa, ni tiene ninguna propiedad especial que no tenga cualquier otro polinomio así construido. Los números estos se han elegido completamente al azar. Sin embargo algunos seguidores de la serie, parece que por no tener una ocupación mejor, se empeñan en cientos de blogs en buscarles tres pies al gato. En 1959 el neuropsicólogo Klaus Conrad (1905−1961) definió la apofenia como la experiencia (esto es un eufemismo; debería decir el trastorno) consistente en ver patrones, conexiones o ambos en sucesos aleatorios o datos sin sentido alguno. Conrad describió originalmente este fenómeno en relación con la distorsión de la realidad presente en la psicosis, pero se  utiliza en un sentido más amplio para describir esta tendencia en individuos sanos sin que esto implique necesariamente la presencia de enfermedades neurológicas o mentales (espero que este último sea el caso de los lectores de estas páginas). La apofenia se usa a menudo como explicación de afirmaciones paranormales o religiosas. Otros estudios describen la apofenia como un vínculo entre la psicosis y la creatividad. ¿A qué viene este apunte? Pues porque les voy a deleitar con las casualidades que más me han llamado la atención sobre estos números, para que observen cómo hila de fino el personal y para advertirles que estas cosas no deben tenerlas más que como curiosidades. 1.- Si sumamos cualquiera de los seis números de tres en tres, el resultado es siempre un múltiplo de 3. (¿Y qué?  Esto se logra de infinitas maneras) 2.- Tomando las diferencias entre pares consecutivos de los números y sumándolas, se obtiene la diferencia entre el último y el penúltimo número (que como se ve en el fotograma de la lotería de uno de los protagonistas, está separado del resto, es el número complementario): (8 − 4) + (15 − 8) + (16 −15) + (23 −16) = (42 − 23) 4 + 7 + 1 + 7 = 19 3.- Una combinación lineal de cinco de los números genera el sexto. Además siempre son tres sumas y dos diferencias de factor unidad: 15 + 16 + 23 − 42 − 8 = 4 15 + 16 + 23 − 42 − 4 = 8 4 + 8 + 42 − 16 − 23 = 15 4 + 8 + 42 − 15 − 23 = 16 4 + 8 + 42 − 15 − 16 = 23 15 + 16 + 23 − 4 − 8 = 42 4.- La suma de los números (108; recordemos, cada 108 minutos los sufridos supervivientes deben introducir los números en un ordenador), su producto (7418880) y su media aritmética (18) tienen como suma de dígitos el valor 9. Normal, ocurre para cualquier múltiplo de 9, y esos tres valores son múltiplos todos de 9 (véase, por otro lado, la descomposición de los números en factores primos). 5.- En la mitología budista e hindú, el número 108 es muy importante. Observan 108 pecados en el Ser Humano, por lo que en las celebraciones de Año Nuevo, tañen una campana 108 veces. Además se dice que los dioses hindúes tienen 108 nombres. 6.- Esos dorsales de los Yankees de béisbol están retirados en memoria de los grandes jugadores que los llevaron: 4.- Lou Gehrig (recuerden la peli de Gary Cooper, El orgullo de los Yankees), 8.- Yogi Berra y Hill Dickney, 15.- Thurman Munson (que murió en un accidente de avión, precisamente), 16.- Whitey Ford, 23.- Don Mattingly, 42.-Mariano Rivera. Sabiendo lo pesados que se ponen los norteamericanos con este deporte, no diría yo que  no fuera ésta la causa más plausible de elección de estos números. Y muchas más peregrinas coincidencias y apariciones (véase el número de placa policial de Catwoman en la imagen) ….. Viendo toda la parafernalia generada por unas simples cifras que nos pueden dar pie hasta para explicar cómo se calcula un polinomio interpolador, por favor, señores guionistas, introduzcan más cosillas de este tipo en sus producciones, aunque si fuera posible, que nos dieran más juego, algo así como lo que sucede en NUMB3RS, de la que ya me ocupo. Coincide que este mes el día 1 de Enero es lunes, es decir que hay capítulo nuevo de Numb3rs. Entenderéis (espero) los cientos de seguidores de estas humildes reseñas que esta vez no esté colgada de la red a tiempo, aunque se procurará que esté lo antes posible. No os preocupéis, que se re-emiten varios días. Episodio 2.13.- Doble o Nada (Double Down). Fechas de emisión: Lunes 1 de Enero (22:20), Martes 2 de Enero (17:45), Sábado 13 de Enero (21:30), Domingo 14 (15:30). Argumento: Un joven ruso es asesinado después de ganar al Blackjack en el Club de Naipes de Los Ángeles. En los pasados seis meses tuvieron lugar cuatro robos en este casino. En la mochila de la víctima aparecen libros repletos de ecuaciones, por lo que Don pide a su hermano que las examine. A Larry no le resultan del todo desconocidas. Aspectos Matemáticos: Probabilidad, Números aleatorios y seudo-aleatorios, Combinatoria, Series Temporales. Muy apropiada la emisión de este capítulo en periodo navideño en el que tradicionalmente jugamos alguna que otra partida a las cartas. Y un buen episodio para aprender algunas cosas sobre casas de juego y probabilidades que ojalá hagan recapacitar a más de uno sobre un conocido dicho: La Banca nunca pierde. En el episodio se juega al Blackjack. Comencemos describiendo las reglas de este juego, muy similar a nuestras Siete y Media. Usualmente se juega entre dos personas, el que juega y el croupier (puede haber hasta 7 jugadores; no obstante el resto sólo pueden apostar sobre la mano del que juega, siempre que éste lo permita, y sin poder dar consejos ni instrucciones a los demás. En la imagen, mesa típica del juego). A cada jugador se le dan dos cartas, una se muestra sobre la mesa; la otra sólo la ve el jugador. Se pueden pedir más cartas, pero sólo una puede estar oculta. Gana el jugador que tiene el valor más cercano a 21 sin pasarse. Los ases pueden valer 1 u 11 (a discreción del jugador; si decide que valga 1 o si no aparecen ases, se denomina “mano fuerte”; si elige 11, es una “mano floja”); dieces, jotas, reinas y reyes valen 10, y el resto de cartas toman su valor facial. El término “blackjack” hace referencia a conseguir 21 con sólo dos cartas. Se trata de un juego tipo chemin de fer (esta expresión significa ferrocarril). Se originó en los casinos franceses en torno al 1700 y ha derivado en un conjunto de variantes que incluyen el Baccarat, Vingt-Et-Un (conocido como el 21 en Norteamérica y como Pontoon en Australia). Como ya hemos dicho, en nuestro país la variante más popular de este tipo son las Siete y Media. En el blackjack el jugador (no la banca) tiene más opciones: ♣ Doblar su apuesta (título del capítulo, double down): si las dos primeras cartas del jugador suman 9, 10 u 11, puede doblar su apuesta. En este caso, le será servida una sola carta. ♣ Separar parejas (Splitting Pairs): Si las dos primeras cartas del jugador son del mismo valor, podrá separarlas depositando una apuesta igual a la inicial y jugando dos manos independientes. Puede separar tantas manos como cartas del mismo valor le sean servidas. Si separa un par de ases, sólo podrá recibir una carta para cada as, y si una de estas cartas fuese un 10 o una figura, su puntuación será de 21, pero no de Blackjack. Es bastante arriesgado separar dos reyes puesto que tienes ya una buena puntuación (20). Es lo que hace Alex Chernov en este episodio. ♣ Seguro (Insurance): Si la primera carta del croupier es un as, los jugadores pueden asegurar sus apuestas contra el posible Blackjack de la banca, depositando una suma igual, como máximo, a la mitad de la apuesta. Si el croupier logra el blackjack, pagará al jugador el seguro a razón de 2 a 1; si no lo consigue, el jugador perderá su apuesta de seguro.   Las reglas del blackjack varían ligeramente entre los diferentes casinos del mundo. Esto es consecuencia directa del descubrimiento por parte de jugadores de mentalidad matemática durante los años sesenta (entre ellos el célebre profesor Edward O. Thorp), de que en el blackjack no sólo era posible jugar en igualdad de condiciones que la Banca, sino también con mayor ventaja. Con ayuda de los ordenadores se ha estudiado cual sería la jugada óptima para cada una de las distintas situaciones que se puede dar en el blackjack. Por ejemplo, la mayor parte de los jugadores de blackjack sabe que la peor carta que pueden recibir es un 5, ya que ofrece posibilidades muy pobres de cara a hacer un buen juego y con frecuencia conduce al «fiambre», lo cual, evidentemente, favorece a la banca. Después del 5 y por orden de importancia, las peores cartas son 4, 3, 2 y 6. No es sorprendente, por tanto, que los gerentes de los casinos efectuaran modificaciones en las reglas del juego que les favorecieran. Para aquéllos que dominan la complejidad del juego y se dedican lo suficiente a aplicar los descubrimientos de los expertos, el blackjack puede representar una profesión de la que poder vivir, aunque en realidad pocos lo hacen, ya que cuando un casino descubre a un profesional, con toda seguridad, le impiden jugar. Recuérdese por ejemplo el caso de la familia Pelayo y sus ganancias en la ruleta. La página http://www.bjmath.com/bjmath/toc.htm contiene gran cantidad de artículos matemáticos (para seguir algunos es necesario conocer bastante a fondo ciertos temas de estadística e investigación operativa) aplicados a este juego. A menos que se tenga una súper memoria y uno sea capaz de hacer cálculos con mucha rapidez, es muy difícil saber si se tiene ventaja sobre el croupier. Todos los sistemas se basan en recordar las cartas que han salido, aunque en ningún caso se puede saber con certeza cuando se va a ganar. Los tres estudiantes del capítulo han analizado sin embargo otra faceta del juego. Los casinos suelen utilizar un barajador automático para mezclar las cartas. Estos artilugios utilizan un algoritmo para simular aleatoriedad, pero los informáticos y los matemáticos saben que cualquier máquina (ordenadores incluidos) nunca genera números aleatorios, sino seudo-aleatorios. Por definición un número seudo-aleatorio es un número generado por un proceso algorítmico o una fórmula. A pesar de no mostrar ningún patrón o regularidad aparente desde un punto de vista estadístico, al generarse por un procedimiento determinista, las mismas condiciones iniciales producen siempre el mismo resultado. En cambio un número aleatorio como su propio nombre indica no debe estar sujeto a ningún proceso, sólo a variables al azar. Los seres humanos vivimos en un medio aleatorio y nuestro comportamiento lo es también. No podemos conocer de antemano el momento en que se fundirá una bombilla, o cuando empieza o deja de llover, la cantidad de palabras que decimos en una hora, incluso la longitud de nuestra vida, Todo lo que nos sucede depende de muchísimos factores. A cada instante, con cada paso que se da y con cada decisión que se toma (incluso las inconscientes reflejas), se opta por una de entre infinitas posibilidades. Para cualquier inicio de día existen incontables posibles finales. Por eso para generar números aleatorios se emplean procedimientos tomados de la Naturaleza (que nos garantiza entropía máxima); los más usuales, el ruido eléctrico generado por  la agitación y movimiento de los electrones o la desintegración de elementos radiactivos. La generación de números aleatorios es importante en diversas áreas, especialmente en todo lo referido a la criptografía (que como venimos indicando en estos artículos es  indispensable para garantizar la seguridad en las comunicaciones, en las trasferencias bancarias, el uso de tarjetas de crédito, etc.). El número de posibilidades de colocar un mazo de 52 cartas es de 52! (un número del orden de 8 x 1067) y en teoría cada una de esas posiciones de las cartas tiene la misma probabilidad. La magnitud del número anterior hace prácticamente imposible la posibilidad de que dos mazos seleccionados aleatoriamente tengan, o hayan tenido jamás la misma distribución de sus naipes. Sin embargo si que es posible hacer predicciones de tipo probabilística en un mazo que no esté barajado de una forma puramente aleatoria. Los protagonistas del capítulo al parecer han logrado determinar, a partir de datos experimentales, generar una simulación del algoritmo que tiene implementado el barajador. El mago y matemático Persi Diaconis es un experto en el barajado de cartas de forma teórica y práctica (es también profesor de Estadística, ¡como no!, en la Universidad de Stanford). En un estudio de años ha concluido que se necesitan al menos cinco barajamientos “perfectos” para empezar a hablar de aleatoriedad y más de siete para garantizarla. Y eso barajando correctamente, porque si la técnica no es correcta se necesitan muchos más. De formas de barajar las cartas saben mucho los magos e ilusionistas. Existen muchas formas (para ellos son técnicas) de barajar. El barajado perfecto anteriormente citado (lo hemos visto en las películas muchas veces) consiste en dividir la baraja en dos mitades e ir hojeándolas con los pulgares para que se vayan intercalando las cartas de ambas mitades. Si en lugar de eso, cortamos la baraja a la mitad y colocamos la parte inferior sobre la superior, sería necesario hacer 2500 veces esa operación para lograr el mismo grado de aleatoriedad que la de las 7 veces del modo “perfecto”. Este modo de barajar se llama en inglés “Riffle” del cual no sé si hay una traducción al castellano. En este enlace podéis haceros una idea de la gran variedad de formas distintas de barajado que podemos realizar. Finalmente, en el capítulo Charlie y Amita citan las series temporales como herramienta de apoyo en la reconstrucción del juego y el intercambio de dinero que los jóvenes realizaron antes del asesinato de uno de ellos, y así tratar de reproducir cuales fueron los pasos que siguieron el, o los, asesinos. Brevemente, se define una serie temporal (también llamada histórica, cronológica o de tiempo) como un conjunto de datos correspondientes a un determinado fenómeno, ordenados respecto al tiempo. Por ejemplo, las ventas de una empresa en los últimos cinco años, o la cantidad de lluvia caída al día en el último trimestre. Aunque entre más dentro del campo de la computación, en el episodio también se muestra la identificación de personas a partir de dos fotografías tomadas en diferentes épocas (en el capítulo, una foto de un carné de conducir y una foto escolar). Hoy en día hay software muy potente que realiza este tipo de pruebas (lo hemos visto en muchas películas). Sin embargo no todo es tan “bonito” como suele presentarse, hay bastantes limitaciones. Por ejemplo, las fotos deben haberse tomado en unas condiciones determinadas de luz, con una buena resolución y a ser posible en una postura similar. Quizá en otro momento, expliquemos este asunto con un poco más de detalle. Episodio 2.14 – Tráfico Sangriento (Harvest) Fechas de emisión: Lunes, 8 de Enero (22:20), Martes 9 de Enero (17:45), Sábado 20 de Enero (21:30), Domingo 21 (15:30). Argumento: Alan, Amita, Larry y Charlie están presentes en la última conferencia de un Simposio Matemático. Charlie, ganador del premio Pascal en una edición anterior, es invitado a entregar el premio al ganador de este año, alguien al que conoce muy bien. Mientras, cuatro mujeres viajaban hacia Los Ángeles para vender uno de sus riñones. Una de ellas es encontrada muerta, dos están desaparecidas y la última está bajo la vigilancia del FBI. Don y sus compañeros tratarán de localizar a las que están desaparecidas. Aspectos Matemáticos: Relación entre el radio y el área de un círculo, Modelos ocultos de Markov, Elipses. Don y su equipo localizan un laboratorio oculto en los sótanos de un viejo motel en el que se están llevando a cabo transplantes ilegales de órganos. Encuentran restos de sangre y un bloque de hielo en un rincón. Cuando Charlie observa el charco formado por el hielo, pide las fotografías que ha tomado el FBI para tratar de estimar, a partir del ritmo de deshielo del bloque, del tamaño del charco (superficie que abarca) y suponiendo que la temperatura del lugar se mantiene constante, el momento en el que el lugar fue utilizado por última vez. Se trata de una cuestión elemental de razones de cambio (derivadas) relacionadas. En la discusión para resolver el asunto, Charlie y Amita exponen también algunas de las propiedades del agua sobre diferentes superficies. Hablan de conceptos físicos como la adhesión (atracción molecular a las superficies), la cohesión (atracción de las moléculas entre sí) y la tensión superficial. En un fluido cada molécula  interacciona con las que le rodean. El radio de acción de las fuerzas moleculares es relativamente pequeño, abarca a las moléculas vecinas más cercanas. Como todo sistema tiende a adoptar espontáneamente el estado de energía potencial más baja, los líquidos tienen tendencia a presentar al exterior la superficie más pequeña posible. Otro tema que se plantea es el de tratar de identificar los posibles destinos de la ambulancia que transporta los órganos a partir de rutas no determinadas. Para ello, el matemático expone que se puede utilizar un modelo oculto de Markov que permita disminuir el amplio número de posibilidades que se les presentan. Este tipo de modelos  permiten caracterizar procesos estocásticos para los que no se cuenta con demasiadas observaciones. La idea consiste, a grandes rasgos, en modelizar un proceso doble, para el que se supone que los datos observados son producto de hacer pasar el proceso real (el que está oculto) a través de un medio cuyo resultado sea el proceso que sí es observable. Viene a ser como una caja negra en la que la secuencia de símbolos de salida generados con respecto, por ejemplo, al tiempo, es visible, pero la secuencia de estados por los que se ha pasado es desconocida. Algunas de las aplicaciones en las que se utilizan estos modelos es la de determinar cambios meteorológicos, reconocimiento automático de la voz, clasificación de los estados del sueño, configuración de procedimientos para segmentar eficazmente las direcciones postales de interés para una empresa, etc. Estos métodos se desarrollaron a partir de la década de los  cincuenta del siglo pasado, y deben su nombre al matemático Andrei Markov (1856 – 1922), uno de cuyos trabajos consistió precisamente en ilustrar gráficamente la probabilidad de un suceso que afectara a probabilidades futuras, información almacenada en una matriz a partir de la cual se establecen los diferentes cálculos. Finalmente, tras analizar los recorridos de la ambulancia, Charlie aventura, a partir de diferentes medidas de distancias, que es probable que los lugares que buscan se encuentren en los focos de una elipse. En este capítulo se hace referencia al apellido de Amita, Ramanujan, que como todos sabemos, corresponde al mejor matemático indio de todos los tiempos, Srinivasa Ramanujan (1887  – 1920). La familia de Amita es de procedencia Tamil (una de las culturas e idiomas más extendidos de la India), natural de Chennai, una de las mayores ciudades costeras de la India, con unos 7 millones de habitantes, antes conocida (antes de 1996) como Madrás. Srinivasa Ramanujan también provenía de la cultura Tamil, aunque era natural de un pequeño pueblo llamado Kumbakonam, y como es sabido fue un genio autodidacta. Sobre su vida podéis encontrar abundante información en la red. Episodio 2.15 – El Corredor (The Running Man) Fechas de emisión: Lunes 15 de Enero (22:20), Martes 16 de Enero (17:45), Sábado 27 de Enero (21:30), Domingo 28 (15:30). Argumento: Un sintetizador de ADN capaz de crear enfermedades “a la carta” desaparece de la facultad donde Charlie es profesor. Don y su equipo se hacen cargo del caso. Aspectos Matemáticos: Fracciones Continuas, Ley de Benford. Desde los Pitagóricos sabemos de las relaciones entre la música y las matemáticas. La diferente longitud de cuerdas tensas o distintos diámetros de tubos producen notas musicales diferentes. Por ejemplo, si la longitud de una cuerda es doble que la de otra, la más corta produce un sonido una octava más alto que el más largo. Este es el intervalo que separa un Do del Do de la escala siguiente. Las notas de la escala no guardan igual espacio entre sí. La distancia mayor entre una nota y otra se llama tono, y la distancia menor se llama semitono. La escala más conocida y utilizada es la formada normalmente por siete notas, Do, Re, Mi, Fa, Sol, La Si, aunque las hay también de seis u ocho. Si a esas notas le añadimos el siguiente Do, obtenemos la escala diatónica. La proporción de mayor interés es la de 3/2. Si una cuerda tiene una longitud de 3 unidades y otra de 2, la más corta proporciona la distancia exacta entre Do y Sol. Otras proporciones son la de 4/3, una cuarta perfecta (distancia de Do a Fa), o 81/64, una tercera mayor (distancia de Do a Mi). Sabemos que los sonidos se producen mediante una sencilla vibración. El número de vibraciones por unidad de tiempo se denomina frecuencia. Si dos cuerdas o tubos tienen longitudes o diámetros, respectivamente, proporcionales, entonces las frecuencias que producen están en una proporción inversa, es decir, a menor longitud, mayor frecuencia. Si un Do tiene una frecuencia de 256, entonces el Sol correspondiente tiene una frecuencia de 256 por 3/2, es decir, 384. Una quinta (una proporción de 3/2) puede utilizarse para obtener todas las notas de la escala que utilicemos. Tomemos un Do y saltemos por quintas, obtendremos Do – Sol – Re – La – Mi – Si – Fa# – Do# llegando a Do#, en el llamado “ciclo de quintas”. Si reordenamos las cinco primeras notas de la forma Do, Re, Mi, Sol, La, se obtiene la escala pentatónica mayor. Estas escalas son las más simples de todas y probablemente las más utilizadas en estilos como el blues, el heavy metal y el rock. (la escala de Blues contiene una nota adicional, la llamada nota de blues (blue note), que se sitúa entre la cuarta y la quinta). Ocurre que hay bastantes problemas para crear todas las notas de la escala usual a partir del ciclo de quintas, ya que no volvemos exactamente al Do en el que empezamos (ver la sucesión anterior) y algunas de las notas intermedias que deberían estar a una quinta, no lo están. Esto creó muchos problemas con diferentes instrumentos a lo largo de la historia. A principios del s. XVIII se solucionó con una correcta afinación de los instrumentos. La idea es, básicamente, dividir la proporción 2 a 1 (la octava) en 12 partes iguales, 12 porque hay 12 semitonos en una octava: Do, Do#, Re, Re#, Mi, Fa, Fa#, Sol, Sol#, La, La#, Si (después de Si vuelve a Do). La proporción de las frecuencias entre notas sucesivas en la escala cromática (la de 12 tonos) es la misma. Esto equivale a que el producto de las 12 proporciones debe ser igual a la de 2/1 de la octava, es decir, numéricamente, 2. Luego cada proporción es la raíz doceava de 2,  21/12 (1.059463094). Para ir de Do a Sol, un espacio de siete semitonos, hay que multiplicar la frecuencia de Do por 21/12 siete veces, es decir 27/12 (aproximadamente 1.4983, muy próximo a 3/2 = 1.5, aunque no exacto). Charlie habla en este capítulo una flauta pentatónica (ver foto). Estas flautas son ideales para explorar la escala pentatónica. (Él se construye otro tipo de flauta, sin agujeros para los dedos, que sigue la escala armónica y cuyos sonidos se producen únicamente soplando a diferentes longitudes). Charlie explica que para poder construir una flauta pentatónica (es decir, para situar los agujeros correctamente) es necesario aproximar un número irracional (el explicado anteriormente) por un número racional. Esto se logra matemáticamente mediante los desarrollos en fracciones continuas. Esta presentación musical puede ser por tanto una buena introducción para esos alumnos de secundaria tan poco receptivos, y de paso quizá aprendan también que sus canciones favoritas existen porque las matemáticas lo han querido. Vayamos a otro asunto. Está extendida entre la gente la idea de que todos los números tienen una distribución uniforme y aleatoria, y que todos son igualmente probables. Basándose en este supuesto, una de las técnicas que utilizan los investigadores (y en este episodio Charlie) para descubrir si ciertos datos han sido falsificados, es acudir a la Ley de Benford, también conocida como ley del primer dígito: en un conjunto de datos numéricos que provengan del “mundo real”, la probabilidad de que el primer dígito en esos datos sea un 1 es mayor que la de que sea un 2, ésta a su vez mayor que la de que sea un 3, y así sucesivamente. Este hecho fue estudiado en 1881 por el astrónomo Simon Newcomb al darse cuenta de que las páginas iniciales de su libro de logaritmos estaban más desgastadas por el uso que las restantes. En 1938, el físico Frank Benford retomó la idea. Durante seis años, analizó cerca de 20000 datos de los más variopintos lugares (constantes científicas, resultados del mercado de valores, profundidades de lagos, números aparecidos en la prensa, etc.). Cuando sus investigaciones corroboraron sus hipótesis, desarrolló el enunciado anterior, junto con la expresión p(d) = log (1 + 1/d), una estimación de la probabilidad de que el dígito d aparezca el primero en un conjunto de datos cualquiera. De esta expresión se obtendría la siguiente tabla d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 p(d) en % 30 17.6 12.5 9.7 7.9 6,7 5.8 5.1 4.6 Como vemos, según esta ley, el 1 es más de seis veces más probable de liderar un número que el 9, una diferencia considerable. Hay algunas restricciones a la hora de utilizar esta ley: no se debe aplicar a conjuntos de números prefijados (tales como números de la seguridad social o listas telefónicas), ni a números con una distribución uniforme de dígitos (números de lotería) o a conjuntos de números que presenten valores máximos o mínimos. El trabajo de Benford presupone que los datos puedan seguir una progresión geométrica (por ejemplo, un crecimiento exponencial), por lo que dos ejemplos típicos de aplicación pueden ser el crecimiento de la población o la información financiera. No obstante, en otros tipos de datos como tasas de mortalidad o los números de Fibonacci, la ley de Benford también parece cumplirse. En el siguiente enlace de la revista Matematicalia, podéis ampliar esta información en un magnífico artículo. Episodio 2.16 – Grupos de Protesta (Protest) Fechas de emisión: Lunes 22 de Enero (22:20), Martes 23 de Enero (17:45), Sábado 3 de Febrero (21:30), Domingo 4 de Febrero (15:30). Argumento: Una bomba situada bajo un coche del gobierno aparcado cerca del Centro de Reclutamiento del Ejército Norteamericano explota matando a un hombre y dejando a su mujer en coma. Don y su equipo intentarán encontrar a los artífices del atentado antes de que otro acto de protesta contra la guerra provoque más víctimas. El padre de los Eppes conoce a uno de los hombres involucrados en el atentado. Aspectos Matemáticos: Análisis de Redes, Teoría de Grafos y números de Ramsey, Sucesiones definidas recursivamente. Como sucedía en el capítulo 2.13, Bandas Callejeras, Charlie utiliza análisis social de redes. En este caso examina las relaciones entre miembros de grupos organizados que protestaban durante los años sesenta y setenta contra la guerra de Vietnam (en este episodio es contra la Guerra en Irak). Organizar tantos datos es posible hoy día gracias a la potencia de los ordenadores que tenemos. Veamos un ejemplo. El grafo siguiente representa los contactos entre diferentes personas por teléfono o correo electrónico al menos una vez por semana en un periodo de un año. Este tipo de diagramas son generados automáticamente por un programa informático que ha manejado miles de llamadas telefónicas. Con un diagrama como éste podemos, entre otras cosas, medir el grado de cada nodo (el número de contactos que una persona ha tenido con las demás). En el ejemplo, B, D y E tienen grado 5, mientras que K sólo tiene grado 2. Asimismo puede observarse claramente que F tiene un papel destacado ya que conecta dos bloques diferentes. Si la red anterior representara una organización en la que los segmentos fueran las diferentes líneas de mando y que K fuera el jefe, observaríamos que éste depende en gran medida de F. En la práctica el software de este tipo puede manejar una enorme cantidad de datos e individuos pudiendo presentar distintas clases de conexiones, algunas totalmente insospechadas a simple vista. Como vemos, los grafos pueden ayudarnos a interpretar y analizar toda esa información. Relacionados con ellos están los números de Ramsey, que surgen al responder a cuestiones como la siguiente: en cualquier reunión de 6 personas, ¿cuál es el mínimo número de ellas que no se conocen entre sí? ¿Y el mínimo número de ellas que se conocen? La respuesta es que o bien 3 de ellas se conocen o bien 3 de ellas no se conocen. ¿Por qué? Observemos los grafos siguientes: De todas las posibles conexiones entre todas las personas (dibujo de la izquierda), se puede dibujar como mínimo o un triángulo rojo (personas que se conocen) o uno azul (personas que no se conocen). El teorema de Ramsey establece que para cualquier par de enteros positivos m y n, siempre existe un número de Ramsey R(m, n), aunque no existe una fórmula que nos proporcione tales números (números que son enormes a partir de cierto valor). En el caso del ejercicio anterior R(3, 3) = 6, es decir, 6 es el mínimo número de personas que debe haber en una reunión para que o bien 3 se conozcan o bien 3 no se conozcan. Estos números fueron introducidos por Frank Plumpton Ramsey (1903 – 1930) y han interesado a muchos matemáticos, entre ellos, el célebre Paul Erdös. Los números de Ramsey no sólo se aplican a reuniones de personas, sino también a otros asuntos como determinar el  número mínimo de puntos necesario para construir un polígono convexo. Existen aún muchas incógnitas sobre estos números, así que el que quiera pasar a la posteridad, aquí tiene un tema al que dedicarse. En una de las pizarras de Charlie aparece la conjetura de Collatz (también conocida como conjetura 3n+1), un problema en el que Charlie trabaja en sus ratos libres. Para formar una sucesión de Collatz, se parte de un número natural cualquiera. Si es par, se divide por 2; si es impar se multiplica por 3 y se le suma 1. Se repite el proceso varias veces, y siempre se acaba en el bucle 1, 4, 2, sea cual sea el valor inicial. Esta conjetura, no demostrada aún rigurosamente, fue propuesta por Lothar Collatz en 1937. Más formalmente, el proceso es el siguiente: Existen diversos grupos de computación que se dedican a comprobar la conjetura para números cada vez más grandes. A fecha de 12 de Diciembre de 2006, se había comprobado hasta el valor 12 x 258. En este enlace, podéis leer más sobre esta cuestión y actualizar datos. Como ocurría con el último teorema de Fermat o la conjetura de Goldbach es una evidencia intuitiva fuerte a favor de la veracidad del resultado, aunque matemáticamente no demuestra absolutamente nada. Es un ejemplo de sucesión definida recursivamente (para calcular algunos términos se necesitan uno o más de los anteriores). La famosa sucesión de Fibonacci (Fn = Fn−1 + Fn−2 , para n>2, con F1 = F2 = 1) es otro ejemplo de sucesión de este tipo. Otro ejemplo es el de los llamados números felices: aquellos en los que al elevar sus dígitos al cuadrado y sumarles, al cabo de un número finito de pasos, obtenemos el número 1. Por ejemplo, el número 19 es un número feliz porque 12 + 92 = 1 + 81 = 82 82 + 22 = 64 + 4 = 68 62 + 82 = 36 + 64 = 100 12 + 02 + 02 = 1 + 0 + 0 = 1 Los números que no verifican esta condición se les llama infelices o tristes. Un entretenimiento para nuestros alumnos: ¿será el 2007 un año feliz? Episodio 2.17 – Juegos Mentales (Mind Games) Fechas de emisión: Lunes 29 de Enero (22:20), Martes 30 de Enero (17:45), Sábado 10 de Febrero (21:30), Domingo 11 de Febrero (15:30). Argumento: El FBI contrata los servicios de un vidente que les ayude a resolver una serie de asesinatos. Éste los manda a un inhóspito lugar en el medio de ninguna parte y descubren la escena de un crimen. Don y su equipo se hacen cargo de la investigación. Charlie y el vidente tendrán violentas discusiones sobre los procedimientos aplicados al caso. Aspectos Matemáticos: probabilidad, movimiento browniano. Para probar los poderes del vidente, los agentes le muestran 25 naipes tapados y le piden que prediga el color de cada carta. Como el porcentaje de fallo es del 50%, si fuera de verdad vidente es esperable que acierte en algo más de la mitad de los naipes. Larry apunta: “la probabilidad de acertarlos todos es la misma que la de fallarlos todos”. Los videntes afirman poseer lo que se ha dado en llamar percepción extrasensorial (ESP, en inglés), un poder a partir del cual pueden conocer, visualizar o percibir, según los casos, situaciones que escapan a los sentidos de una persona normal. Se puede dejar un mínimo margen de confianza, pero lo que es realmente constatable es que desde hace décadas, la CSICOP (organización norteamericana que estudia científicamente hechos paranormales) realiza tests a cientos de personas que afirman tener ESP y por ahora nadie ha pasado ninguna de esas pruebas. El ex mago James Randi (el que descubrió el truco de los dobleces de cucharas de Uri Géller) ofrece UN MILLÓN DE DÓLARES a quien pueda demostrar y realizar repetidamente algún acto de este tipo y que él mismo sea incapaz de repetir. Hasta ahora nadie ha ganado el premio, así que anímense señores tarotistas, brujos y sanadores que hay por ahí, que la fortuna les espera sin necesidad de engañar a nadie. Por otro lado, Charlie emplea la ecuación de Fokker-Planck (se trata de una ecuación en derivadas parciales de segundo orden, cuya descripción supera los contenidos esperables de una sección como ésta; el lector interesado puede buscarla no obstante en Google y allí localizará cientos de artículos detallados) para predecir el flujo de inmigrantes ilegales. Esta ecuación fue originalmente desarrollada para estudiar el movimiento browniano, es decir, el aparentemente aleatorio movimiento de una partícula nanoscópica que se halla en un medio fluido (por ejemplo polen en una gota de agua). Recibe su nombre en honor a Robert Brown que lo describe en 1827. La descripción matemática del fenómeno fue elaborada por Albert Einstein y constituye el primero de sus artículos del "año mirabilis" 1905. La teoría de Einstein demostraba la teoría atómica, todavía en disputa a principios del siglo XX, e iniciaba el campo de la física estadística. Posteriormente Norbert Wiener y Paul Levy elaboraron el modelo que describe una partícula que en cada instante se desplaza de manera independiente de su pasado: es como si la partícula “olvidara” de donde viene y decidiese continuamente y mediante un procedimiento al azar hacia adonde ir. En definitiva, que este movimiento, a pesar de ser continuo, cambia en todo punto de dirección y de velocidad. Tiene trayectoria continua, pero no tiene tangente en ningún punto. Un refinamiento de los cálculos de Einstein fue realizado por el físico Paul Langevin que diferenció dentro del movimiento browniano una fuerza externa (gravedad, magnetismo u otras fuerzas deterministas), una fuerza viscosa (causada por el rozamiento entre moléculas) y un “ruido” aleatorio (imprevisible). La ecuación de Langevin describe, estadísticamente, la fuerza total sobre una partícula. Este modelo se ajusta mejor al análisis que hace Charlie: la fuerza externa es la atracción que los inmigrantes sienten hacia las ofertas de empleo y casa ofrecidas por ranchos y granjeros; la fuerza viscosa (negativa) es el control policial ejercido en los puestos fronterizos; y el “ruido” aleatorio viene determinado por la confusión de los inmigrantes sobre las decisiones a tomar. Los valores numéricos que Charlie asigna a cada una de estas fuerzas no aparecen justificados, son apreciaciones suyas. Este esquema no parece demasiado realista, pero ciertamente los guionistas también deben explayarse de vez en cuando…

Lunes, 01 de Enero de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

284. 20. Aritmética modular para Sawyer, Locke y demás Perdidos

De cómo un conjunto de números aparecido en la serie Perdidos permite introducir a los alumnos en la interpolación polinómica (ver mes pasado) y la aritmética modular. Después la guía habitual de la serie Numb3rs, ahora incrementada por su recuperación en Antena 3 los jueves. Solución a la cuestión planteada a propósito de los números de Lost Recordemos la cuestión planteada hace dos meses: el polinomio interpolador con nodos los números naturales del 1 al 6 e imágenes los valores 4, 8, 15, 16, 23, 42, respectivamente, es decir el polinomio P(x) =  (– 9 x5 + 170 x4 – 1175 x3 + 3670 x2 – 4896 x + 2400) toma valores enteros (P(x) ∈ Z) para cualquier x∈Z (para los no habituados, Z designa al conjunto de los números enteros). Se pide probar (o refutar) esta afirmación. De la media docena de mensajes recibidos (es un alivio saber que hay alguien por ahí), describo la enviada por Alberto Castaño Domínguez, lector habitual de esta y otras secciones de DivulgaMAT, por ser la más concisa y elegante (al menos bajo mi punto de vista). A su razonamiento añado algunos comentarios que intentan acercar la prueba a la inmensa mayoría. Utiliza (como debe ser en un ejercicio de este tipo) congruencias. Supongo que todos conocéis qué es eso. Por si acaso, hagamos un pequeño repaso. Hay muchas situaciones, aplicaciones, problemas, en los que únicamente se está interesado en conocer el resto de la división de dos números enteros. Estas cuestiones las estudia la aritmética modular, y el concepto básico inicial que emplea es el de números congruentes. Dos números a y b son congruentes módulo m si al dividir ambos por ese valor m producen el mismo resto. Se representa así:  a ≡ b mod m. Por ejemplo, 23 ≡  15  mod 4, porque al dividir 23 entre 4 y 15 entre 4 el resto es el mismo, 3. Es fácil probar que a ≡ b mod m, si y sólo si, a-b es un múltiplo de m En matemáticas esto se escribe diciendo que  m|(a-b) (se lee, m divide a a−b, es decir, que a−b dividido entre m tiene resto cero). Diariamente utilizamos las congruencias en muchas ocasiones. Por ejemplo leyendo la hora de los relojes: las 23 horas son las 11 de la noche. El reloj sólo tiene 12 horas, sólo utiliza 12 números, y después de recorrerlos todos, las 13 horas equivale a la 1 de la tarde (o sea 23 ≡ 11 mod 12). La letra del NIF se calcula mediante congruencias. En informática para asignar localizaciones de memoria de un ordenador a los datos que componen un fichero (por ejemplo para asignar claves a los usuarios de tarjetas de crédito, o para localizar los datos de los alumnos de un colegio), se utilizan congruencias. Volvamos a nuestro polinomio. Escribamos su expresión del siguiente modo: −40 P(x)  = 9 x5 - 170 x4 + 1175 x3 - 3670 x2 + 4896 x − 2400 El problema es equivalente a demostrar que el segundo miembro de la igualdad toma siempre valores múltiplos de 40 para cualquier x entero que pongamos. Para que un número sea múltiplo de 40, debe ser múltiplo de 8 y de 5. Pues probemos esto último. Podemos simplificar un poco los coeficientes. 170 = 21 x 8 + 2. O sea que al dividir 170 entre 8 nos da el mismo resto que al dividir 2 entre 8 (es decir, 170 ≡ 2  mod 8), por lo que ¿para qué vamos a trabajar con números grandes? En lugar de 170 pongamos 2 que para lo que queremos ver, da igual. De este modo, repasando todos los coeficientes, tenemos que 9 ≡ 1  mod 8 170 ≡ 2  mod 8 1175 ≡ 7 ≡ − 1   mod 8 3670 ≡ 6 ≡ − 2   mod 8 4896 ≡ 0  mod 8 (o sea 4896 es un múltiplo de 8) 2400 ≡ 0  mod 8  (2400 es un múltiplo de 8, es decir 8 divide a 2400) Entonces en vez de trabajar con el polinomio inicial, podemos trabajar con uno más sencillo: Q(x) = x5 − 2x4 − x3 + 2x2 =  x2 (x3 − 2x2 − x + 2) Finalmente se trata de comprobar que al sustituir x por cualquiera de los ocho valores con los que trabajamos módulo 8, obtenemos un múltiplo de 8. Es decir, Q(0) = 0, Q(1) = 0, Q(2) = 0, Q(3) = 72, Q(4) = 480, Q(5) = 1800, Q(6) = 5040, Q(7) = 11760 Todos ellos dan resto cero al dividirlos por 8 (son múltiplos de 8): 72 = 23·32, 480 = 25·3·5, 1800 = 23·32·52, 5040 = 24·32·5·7, 11760 = 24·3·5·72 Cualquier entero que sustituyamos a continuación sería congruente con estos valores (es decir Q(8) ≡Q(0), Q(9) ≡Q(1), etc.). Por tanto hemos probado que para cualquier entero que utilicemos, el resultado es múltiplo de 8. Utilizamos el mismo razonamiento para demostrar que P(x) es múltiplo de 5 para cualquier x entero que pongamos. Calculemos los coeficientes de P(x) módulo 5: 9 ≡ 4 ≡ − 1  mod 5 170 ≡ 0  mod 5 1175 ≡ 0 mod 5 3670 ≡ 0   mod 5 4896 ≡ 1  mod 5 2400 ≡ 0  mod 5 Ahora el polinomio módulo 5 es  R(x) = −x5 + x R(0) = 0, R(1) = 0, R(2) = −30, R(3) = −240, R(4) = −1020 Todos ellos como veis múltiplos de 5. Por tanto  9 x5 − 170 x4 + 1175 x3 − 3670 x2 + 4896 x − 2400 es múltiplo de 40 siempre (al serlo de 5 y de 8) y por eso toma valores enteros para cualquier entero x que sustituyamos en su expresión. Veo por ahí alguien que levanta la mano y pregunta que porqué no hemos hecho la cuenta una única vez buscando las congruencias directamente con 40 en vez de con 5 y con 8 y así trabajar con un único polinomio. En efecto, se puede hacer, pero piensa un poco. Con el polinomio obtenido debemos después calcular ¡40 valores! Mientras que así, aunque trabajemos con dos polinomios (muy sencillos por otro lado), sólo hemos precisado calcular 13 imágenes. Por muy supersticioso que uno sea, el ahorro de trabajo compensa.  ¿Alguna otra pregunta? No. Pues continuemos…… NOTICIAS 1.- Alex de la Iglesia ha comenzado el rodaje de la película Los crímenes de Oxford, basada en la novela homónima de nuestro compañero y colaborador de DivulgaMAT, Guillermo Martínez. En http://blasfemandoenelvrticedeluniverso.blogspot.com podéis ir leyendo cómo se va desarrollando el rodaje diariamente junto a las reflexiones del director. Entre los actores se encuentran Elijah Word, Sir John Hurt (que encarna al matemático Arthur Seldon), Leonor Watling y Tom Frederic, entre otros. 2.- Desde el jueves 18 de Enero Antena 3 Televisión ha decidido emitir los capítulos de la primera temporada de Numb3rs que no habían programado en un horario más “normal” (23:00). El 18 de Enero pusieron el capítulo 1.8.- Crisis de Identidad y el 25 de Enero el 1.9.- El francotirador. Si todo va como debe ser, el jueves 1 de febrero emitirán el episodio 1.10.- Una bomba sucia, el 8 de febrero el 1.11.- El sacrificio, el 15 el episodio 1.12.- Más allá del ruido y el 22 el 1.13.- La caza del hombre. Sus reseñas las tenéis en el artículo del mes de Abril de 2006. Recordemos que en la primera tanda no emitieron el episodio 1.4.- Fallo de Estructura (que podría aparecer en cualquier momento, o no). Guía de Numb3rs.- Episodios previstos por el canal Calle 13 para este mes Episodio 2.18.- Todo es justo  (All´s Fair). Fechas de emisión: Lunes 5 de Febrero (22:20), Martes 6 de Febrero (17:45), Sábado 17 de  Febrero (21:30), Domingo 18 (15:30). Argumento: Saida es una ciudadana iraquí que va a realizar un documental en los Estados Unidos. Mientras hablaba por un teléfono móvil, es raptada y asesinada el día anterior a mantener una importante entrevista. Previamente había recibido algunas amenazas de muerte. El agente Kareem Allawi se une al equipo de Don para investigar el caso. Mientras, Charlie cena con una antigua amiga, Susan Berry, que se encuentra en Los Ángeles en la promoción de un libro. Ambos parecen llevarse muy bien …. Aspectos Matemáticos: Probabilidad y Regresión Logística, juegos con información incompleta,  Sudokus y Cuadrados Latinos. En este capítulo, el agente Don trata de resolver un crimen en el que el testimonio de varios testigos parece ser falso. Varios testigos indican que tres sospechosos tienen aproximadamente la misma estatura, pero esos valores no concuerdan con el sexo de los mismos. Entonces pregunta a su hermano si hay algún procedimiento matemático que ayude a determinar que declaraciones de los testigos son las correctas. Su hermano propone utilizar una regresión logística. Se trata de un modelo útil cuando se trata de predecir el valor de una variable que sólo admite dos posibilidades (dicotómica). La función de regresión proporciona la probabilidad de que se verifique un suceso y su expresión más común es con α, β, γ constantes. Es un modelo que se utiliza mucho en ciencias de la salud (presencia o ausencia de enfermedad o infección en un individuo), en biología, sociología, etc. La anterior expresión responde a un modelo en una sola variable (volviendo al ejemplo médico, se utiliza un único factor de riesgo como dato), aunque pueden manejarse más variables (xj, j= 1, ..., m), en cuyo caso hablamos de regresión logística múltiple. En otro momento Charlie vuelve a echar mano de la teoría de juegos para analizar las motivaciones y estrategias que determinan que personas pudieran ser las más proclives a cometer un acto terrorista. Utilizando los datos que conocen de cada sospechoso, los hermanos asignan a cada uno una probabilidad de llegar a cometer un crimen. En esta ocasión el modelo a utilizar es el mismo que se emplearía en un juego en el que parte de la información es desconocida o se ha perdido. A pesar de ello, un análisis de la situación puede llevarnos a adoptar decisiones realistas. La utilización de modelos de tipología social se remonta a Auguste Cournot hacia 1838. Los mayores avances en este tipo de modelos fueron logrados posteriormente por John Nash (el de la “mente maravillosa”) y por John Harsanyi (1920-2000). Mientras que Nash basaba sus trabajos en la suposición de que los jugadores conocen las preferencias de los demás, Harsanyi empleó modelos con información incompleta. Éste obtuvo también el premio Nobel de economía en 1994 por el desarrollo de este tipo de situaciones. En un juego con información incompleta, un juego Bayesiano, la cuestión es cómo diseñar y manejar un modelo desconociendo las estrategias de los oponentes. Es una situación similar a la de Charlie y Don en la búsqueda de un terrorista. Harsanyi creía que los jugadores tienen ciertas preferencias y por ello hay una probabilidad subjetiva que podría asignárseles. En el caso del episodio, los terroristas podrían estar sólo interesados en el dinero o quizá actúen movidos por una meta. A modo de ejemplo, pensad en el siguiente juego: dos jugadores lanzan al aire una moneda. Si coincide el resultado (dos caras o dos cruces) gana el jugador A; si no coinciden, gana B. Pero cada jugador decide aleatoriamente si muestra el resultado (juega) o no. ¿Cuál de los dos creéis que tiene ventaja? En otra escena Alan, Charlie y Larry están haciendo un sudoku. Todo el mundo a estas alturas sabe en qué consiste este pasatiempo. Los primeros sudokus aparecieron en mayo de 1979 en la revista Dell Péncil Puzzles and Word Games con el nombre de Number Place. Parece ser que fue el arquitecto jubilado Howard Garns, fallecido en 1989, el autor de este entretenimiento. En 1984 llegó a Japón que lo rebautizó como Sudoku, una especie de acrónimo de la frase “las cifras deben quedar solteras”. Su difusión mundial  se debe a otro jubilado, el juez neozelandés Wayne Gould, residente en Hong-Kong, que escribió un programa informático que genera sudokus automáticamente. Después, ya sabemos, el boom gracias a los periódicos de medio mundo. El precursor del sudoku es el llamado cuadrado latino. Un cuadrado latino de lado n es una matriz de n2 casillas en las que hay que disponer n símbolos de modo que nunca aparezca dos veces el mismo símbolo en una misma fila o columna. Su origen se remonta a la Edad Media, si bien fue Leonhard Euler (1707-1783) el que lo denominó de esta manera y lo analizó. De lado 3 existen únicamente 12 cuadrados latinos, de lado 4 hay 576, y de lado 9, 5.524.751.496.156.892.842.531.225.600. Si eliminamos simetrías, giros y permutaciones de líneas y columnas, el número de cuadrados latinos de lado 9 decrece hasta los 377.597.570.964.258.816, como demostraron Stanley E. Bammel y Jerome Rothstein en 1975. En el sudoku se disponen los dígitos del 1 al 9, por lo que existen menos sudokus que cuadrados latinos. Gracias a los ordenadores se ha establecido que el número total es de 6.670.903.752.021.072.936.960, resultado obtenido por Bertram Felgenhauer de la Universidad Técnica de Dresde, y Frazer Jarvis de la Universidad de Sheffield, comprobando varias veces ese número. En el capítulo Charlie redondea el número diciendo que son 6.7 sextillones (6.67 x 1021). El número es inmenso y difícil imaginarnos su magnitud. Plantearos la siguiente pregunta: ¿Cuál de los siguientes valores creéis que se acerca más a ese número? 1.- El número de segundos que hay en un año. 2.- El número de segundos que hay en 100 años. 3.- El número de seres humanos sobre la Tierra. 4.- La masa terrestre en toneladas métricas. 5.- El número de estrellas del Universo conocido. Parece poco probable que alguien pueda escribirlos todos. En realidad escribiendo uno por minuto, sin parar en 100 años, no lograría escribir un 1% del total. ¡Vamos que ni lo intenten! Por cierto el que aparece en la ilustración dicen que es de los difíciles. Episodio 2.19 – La materia oscura  (Dark Matter) Fechas de emisión: Lunes, 12 de Febrero (22:20), Martes 13 de Febrero (17:45), Sábado 24 de Febrero (21:30), Domingo 25 (15:30). Argumento: En un instituto de Secundaria se producen varios disparos, muriendo varias personas. El equipo de Don tratará de encontrar a los asesinos cuyo comportamiento parece obedecer a las reglas de unos juegos de ordenador. Charlie, que había jurado no volver a pisar un instituto desde que se graduó, tendrá que echar una mano. Aspectos Matemáticos:  Chips de radio frecuencia (RFID) La única referencia relacionada ligeramente con las matemáticas del capítulo es el de la localización de los estudiantes mediante unos chips RFID implementados en sus tarjetas de identificación escolares. Describamos brevemente en qué consisten. Las siglas anteriores corresponden a identificadores por radio-frecuencias (Radio Frequency Identification). Existen básicamente dos tipos de chips de estas características: los activos y los pasivos. Son dispositivos pequeños, del tamaño de una pegatina, que se adhieren a objetos, animales o personas. En el sistema activo el chip incorpora una radio minúscula con sus pilas y su antena. Un administrador del sistema (normalmente unas antenas más potentes que hacen la función de transmisor-receptor) envía en un momento dado una señal al chip (que para ahorrar batería está normalmente apagado) y éste manda datos que el fabricante ha implementado en el aparato (tales como lugar de fabricación, número de serie y otros tipos de identificadores) a través de su propia antena. El administrador recoge estos datos, los registra y almacena. Los chips de este tipo tienen un tamaño aproximado de una moneda y sus rangos prácticos de alcance pueden llegar a los diez metros, siendo la duración de su batería de hasta varios años. En el capítulo cada alumno tiene uno de estos chips en su tarjeta de estudiante en los que además se incluyen sus datos personales. En varios lugares del instituto hay antenas que envían señales a estos chips cada cierto tiempo. Cuando un alumno se encuentra dentro de la zona de influencia de estas antenas administradoras, el chip RFID se enciende y manda sus datos que son almacenados. El elevado número de alumnos y la frecuencia con que se mandan datos (que puede ser cada segundo) constituyen una cantidad impresionante de datos que es sin embargo fácilmente clasificada y analizada por un programa informático. Esto permite conocer donde se encuentra cada estudiante en todo momento dentro de un rango de influencia concreto. Los receptores pasivos no tienen un sistema propio de energía sino que son “alimentados” por la señal transmitida por el transmisor-receptor. Esta señal es una onda electromagnética con capacidad suficiente para activar el circuito del chip que es alterada por la información que contiene y rebotada al receptor.  Estos chips son más baratos (aproximadamente la décima parte del valor de los “activos”). Es previsible que en un futuro no muy lejano todos los objetos tengan un chip de éstos. Es decir, pantalones, zapatos, libros, etc., tendrán un chip en el que constará donde se compró el artículo, cuando y quien lo hizo. Imaginaos: uno entra en una tienda y una voz sintetizada que comience a decir, “Hola, fulanito de tal. Esos pantalones que llevas los compraste hace tres años y va siendo hora de que los cambies. En la planta cuarta está la sección de caballero en la que encontrarás…., y bla, bla, bla”. ¡Qué horror!, ¿verdad? Vayamos a las matemáticas. Supongamos un objeto en el suelo situado en unas coordenadas (x, y). Supongamos que el objeto comienza a moverse. Sus coordenadas camban con el tiempo. Después de t segundos el objeto se encuentra en un punto (x(t), y(t)). Por ejemplo si su posición en el instante t viniera dada por (3t-2, 2t+5), entonces el objeto se está moviendo a lo largo de una línea recta. Al comienzo estaría en el punto (-2, 5) y al cabo de 4 segundos estaría en (10, 13). El camino que recorre el objeto se denomina trayectoria. La descripción de su posición en función del tiempo se llama dar una parametrización. Charlie en el episodio que nos ocupa trata de parametrizar la trayectoria de cada alumno a lo largo del instituto durante los disparos. Utiliza para ello los datos obtenidos por los chips de los carnés de los estudiantes: fija un sistema de coordenadas para cada habitación a partir de un plano del instituto (coloca el origen en un lugar central de cada sala, designa dos pasillos como ejes X, Y), después elige un estudiante cualquiera y toma sus datos del chip desde el receptor que esté más próximo a él en cada momento. Con estos datos, un ordenador calcula las coordenadas del estudiante, lo que da una parametrización de su trayectoria. De forma similar lo hace con el resto de alumnos presentes en cada habitación y posteriormente utiliza un programa de animación que le muestre gráficamente los movimientos de todos los estudiantes a la vez durante el tiempo que duraron los disparos. Con ello trata de localizar y describir los movimientos de los “pistoleros”. En http://es.wikiedia.org/wiki/RFID podéis ampliar la información relativa a este tipo de dispositivos. Episodio 2.20 – Disparos y Rosas  (Guns and Roses) Fechas de emisión: Lunes 19 de Febrero (22:20), Martes 20 de Febrero (17:45), Sábado 3 de Marzo (21:30), Domingo 4 de Marzo  (15:30). Argumento: Una agente del ATF (Siglas correspondientes a Alcohol, Tobacco and Firearms, es decir, se trata de una organización Norteamericana que depende del Departamento del Tesoro, dedicada a estos asuntos, Alcohol, Tabaco y Armas de fuego), Nikki Amstead, aparece muerta en su domicilio en lo que parece ser un suicidio. Su compañero Eric Turner le pide a Don que le ayude a investigar el caso. A Don no parece hacerle demasiada gracia. Conocía a la fallecida demasiado bien… Aspectos Matemáticos: Biomatemáticas: Análisis de ondas sonoras (sónar) y alineación de pruebas de ADN. Producto matricial. Cuando la agente aparece muerta, el sonido del disparo fue registrado por varios instrumentos creando lo que se conoce como “huella acústica” de la habitación y sus ocupantes. De forma análoga a como los murciélagos y otros animales emplean su sónar natural, Charlie será capaz de descubrir a partir de esas grabaciones que algo (o alguien) falta en la habitación. El fundamento del sónar de los submarinos (y los de los animales mencionados) se basa en la medición del tiempo que un sonido tarda desde que se envía hasta que vuelve rebotado. Lo que los humanos hemos desarrollado es muy simple (no es más que estimar la distancia de acuerdo a la velocidad según el medio en el que se emita el sonido, dividiendo el resultado a la mitad ya que el sonido va y viene, y aplicar ciertos valores de corrección) en los animales es mucho más sutil. Los murciélagos emiten ultrasonidos de una duración de uno o dos milisegundos cada uno en una proporción que puede variar de 20 a 60 ultrasonidos ¡por segundo! A una frecuencia que varía entre los 20 – 100 Kilohertzios (un kilohertzio, 1 KHz,  es mil ciclos por segundo). Aunque las comparaciones ya sabemos como son, en este caso es bastante significativa: el ser humano sólo percibe frecuencias entre 20 Hertzios y 20 Kilohertzios, y la frecuencia de la voz humana es de 1 KHz. Además cada especie de murciélago tiene su propia “firma vocal”; de hecho algunos naturalistas son capaces de reconocer la especie de murciélago simplemente oyendo sus chillidos. Otro aspecto relacionado con el eco es el efecto Doppler. Es la variación aparente de la frecuencia de una onda al ser detectada por un observador en movimiento relativo frente al emisor. Christian Andreas Doppler (1803-1853), físico y matemático austriaco, propuso este efecto en 1842. El ejemplo clásico es el del paso de un tren o una ambulancia a nuestro lado: el sonido de la sirena que oímos parece distorsionado según lo lejos o cerca que estemos de dicha sirena. Incluso los murciélagos con sus ultrasonidos perciben este efecto. Cuando un murciélago lanza ultrasonidos para averiguar la distancia a la que está un insecto (para zampárselo), el eco que le retorna está a una frecuencia más alta que la que utilizó al enviarlo si el bicho se está acercando; al contrario si éste trata de escapar. Tal y como se van obteniendo nuevas pruebas, a Charlie cada vez le parece menos verosímil la hipótesis del suicidio. Para aclarar las cosas un poco más, decide utilizar lo que él denomina “test de estrés de Holmes-Rahe modificado”. Este test “mide” el nivel de estrés de una persona a partir de valores obtenidos en situaciones concretas. El resultado es un número. Cuanto más alto es, mayor estrés soporta la persona en su vida. Para explicar cómo funciona alude a las puntuaciones que se dan en los torneos de monopatín: la puntuación dada por los jueces mide la dificultad del salto, la puesta en escena del mismo, etc. Este sistema de puntuación se utiliza también con algunas variaciones en deportes olímpicos como la gimnasia o los saltos de trampolín. Con un ejemplo lo entenderemos mejor. Supongamos que un atleta va a realizar seis ejercicios baremados con un orden de dificultad de 2.3, 3.1, 3.9, 3.6, 2.8 y 3.2, respectivamente. Hay tres jueces que dan las siguientes puntuaciones a cada ejercicio: Juez 1: 5.1, 4.2, 3.9, 5.0, 5.8, 5.2 Juez 2: 5.2, 3.8, 4.0, 4.8, 5.7, 5.4 Juez 3: 4.9, 4.0, 4.2, 4.9, 5.6, 5.6 La nota final de cada juez vendrá dada por el producto de sus puntuaciones por el nivel de dificultad del ejercicio evaluado. Y hacer estas sumas y productos resulta un tanto engorroso. Para facilitar la labor se utiliza el producto matricial. Colocamos los niveles de dificultad en una matriz 1 x 6 (un vector en este caso) y las puntuaciones de los jueces en una matriz 6 x 3 del siguiente modo: Así obtenemos de forma sencilla (en las competiciones reales, lo hace el ordenador o la calculadora) las puntuaciones totales de cada juez. Todo se basa en una eficaz disposición de los datos. Un ejemplo curioso para mostrar a los alumnos una aplicación de las matrices. Volviendo al test de estrés. Se pide al paciente que rellene un formulario en el que aparece una lista de incidencias (muerte del cónyuge, separación matrimonial, pérdida de trabajo, etc.) y que marque con una cruz aquellos que han sucedido en su vida en el último año. El modelo de Holmes-Rahe da a cada uno de ellos un baremo (similar al orden de dificultad del ejemplo de las puntuaciones deportivas). Una vez relleno (suelen incluir unas 40 incidencias con la posibilidad de añadir otras que no aparezcan) un producto matricial como el anterior nos da un valor final. Si es mayor de cierto umbral, el paciente tiene una predisposición a enfermar por estrés. Si el puntaje es menor que otro valor (que suele ser la mitad del umbral anterior) las posibilidades de enfermar son escasas. Además de recoger los sonidos efectuados antes de la muerte de la víctima, el equipo del FBI toma diferentes muestras de ADN de la habitación. Analizando estas muestras, Charlie tratará de obtener algún dato sobre los familiares del sospechoso. Aunque las muestras de ADN no permiten identificar a una persona en concreto, si que se pueden deducir algunos rasgos como enfermedades congénitas, color del pelo, si tiene pecas, etc. Existen empresas que han conformado índices estadísticos de la información que las cadenas de ADN suministran. Charlie emplea una técnica denominada alineación de secuencias de ADN. Consiste en comparar dos de ellas atendiendo a sus componentes. Es conocido (y si no lo recordamos ahora) que el ADN se compone de cuatro nucleótidos que contienen las bases adenina (A), guanina (G), citosina (C)  y tiamina (T). En estado natural, los pares de bases se forman sólo entre A y T,  y G y C en forma de doble hélice; por tanto, la secuencia de las bases de una de las dos cadenas se puede deducir de la otra. Dadas dos cadenas de ADN se trata de casar el máximo número de bases posible (sin reordenarlas obviamente). La tarea no es trivial: el ADN del ser humano contiene unos 3 x 109 pares de nucleótidos. Este procedimiento es útil para observar la evolución de una especie comparando las secuencias de ADN de generaciones sucesivas. La manera de decidir el probable alineamiento de un par de secuencias de ADN es mediante algoritmos como los de Needleman-Wunsch o Smith-Waterman. Suelen ser variantes del más conocido algoritmo de Dijkstra. En este enlace puede ampliarse esta información un poco más. El estudio de las matemáticas aplicadas a la Biología conforman una disciplina conocida como Biomatemáticas. Episodio 2.21 – Disparos a discreción   (Rampage) Fechas de emisión: Lunes 26 de Febrero (22:20), Martes 27 de Febrero (17:45), Sábado 10 de Marzo (21:30), Domingo 11 de Marzo (15:30). Argumento: Un individuo entra en las oficinas del FBI disparando a diestro y siniestro. Los agentes tratarán de determinar los motivos que le indujeron a comportarse así y su posible relación con un peligroso traficante de armas que se encuentra a la espera de juicio. Charlie está un tanto asustado porque casi le alcanzan los disparos y no quiere ni oír hablar de volver a las dependencias del FBI, lo cual dificulta la resolución del caso. Aspectos Matemáticos: Movimiento browniano, Hipercubos. Lo primero que piensa Charlie sobre el comportamiento del sujeto es que se ajusta a un movimiento browniano. El movimiento browniano es el movimiento aleatorio que se observa en algunas partículas que se hallan en un medio fluido (por ejemplo, polen en una gota de agua). Recibe su nombre en honor a Robert Brown que lo describe en 1827. En 1785, el mismo fenómeno había sido descrito por Jan Ingenhousz sobre partículas de carbón en alcohol. En 1900, Louis Bachelier describió por primera vez el movimiento browniano matemáticamente. Posteriormente, en 1923, Norbert Wiener y Paul Lévy elaboraron el modelo que sigue una partícula que en cada instante se desplaza de manera independiente de su pasado, como si la partícula “olvidara” de dónde viene y decidiese continuamente, y mediante un procedimiento aleatorio, hacia dónde ir. Es pues un movimiento que, a pesar de ser continuo, cambia en todo punto de dirección y de velocidad; tiene trayectoria continua, pero no tiene tangente en ningún punto. En 1945 Albert Einstein dedicó uno de sus artículos a este asunto. El movimiento aleatorio de estas partículas se debe a que su superficie es bombardeada incesantemente por las moléculas del fluido sometidas a una agitación térmica. Este bombardeo a escala atómica no es siempre completamente uniforme y sufre variaciones estadísticas importantes. Así la presión ejercida sobre los lados puede variar ligeramente con el tiempo provocando el movimiento observado cuyo aspecto parece completamente errático. Matemáticamente se modeliza utilizando un proceso iterativo en el que cada paso está determinado por una distribución normal de probabilidad de media nula y desviación estandar que varía dependiendo del modelo. En la vida cotidiana podemos observar este fenómeno fácilmente. ¿Quién no se ha fijado en las partículas de polvo que hay en el aire cuando un rayo de sol entra por la ventana de nuestra casa? Si a continuación golpeamos la superficie de un sofá o de un cojín, observaremos como esas partículas de polvo se mueven en todas las direcciones de un modo aparentemente caótico. Ese mismo efecto lo observamos cuando miramos en la oscuridad del cine al foco de proyección. O al fijarnos en la bocanada de humo de un fumador. Son ejemplos en los que el fluido es el aire atmosférico. Cuando tenemos que hacer la suspensión de un medicamento en agua, echamos el contenido del mismo en un vaso y vemos como, una vez que entra en contacto con el agua, esas partículas se mueven sin parar, de un modo zigzagueante y en todas las direcciones. También la difusión y la ósmosis son fenómenos basados en el movimiento browniano. El movimiento browniano está muy ligado a las caminatas aleatorias de las que hablábamos en el episodio del mes pasado Juegos Mentales, y a los fractales. Una actividad sencilla de llevar a cabo con alumnos sobre el movimiento Browniano es el conocido juego del Caos. Una versión de este juego es la siguiente: se dibujan los vértices de un triángulo equilátero; a continuación se elige un punto al azar que será el punto inicial de nuestro experimento. Se calcula el punto medio entre este punto inicial y uno de los vértices del triángulo elegido también al azar. Se traza el segmento que une el punto inicial con este punto medio. Este punto pasa a ser el nuevo valor inicial. A continuación se hace lo mismo, se elige un vértice del triángulo, se calcula el punto medio entre éste y el nuevo valor inicial, se traza el segmento correspondiente y así sucesivamente. Tras unas cuantas iteraciones, compárense los gráficos de varios alumnos. ¿Se trata de verdad de un proceso aleatorio? Una vez que Charlie analice los movimientos del sujeto, concluirá que de azar nada: da la impresión de que trata de evitar a una de las personas que hay en la sala. Pero no fusilemos todo el argumento, …. En otro instante los hermanos discuten sobre acotación de desigualdades como un procedimiento para intentar localizar a un sospechoso. Conocida la posición del individuo en un momento dado, se trata de acotar la zona cercana de influencia a la que éste podría desplazarse. Su conversación es interrumpida, pero desde el punto de vista matemático, se utilizan diagramas de Venn (círculos en dos dimensiones, y esferas en tres) en muchas ocasiones para acotar o estrechar las posibilidades de búsqueda de algo o alguien. Finalmente hay una conversación entre Charlie y Amita, su alumna doctorando, sobre la cuarta dimensión. En concreto de refieren a un Hipercubo (también conocido como Tesseract). En realidad no son lo mismo. Un hipercubo es el nombre con el que se conoce cualquier objeto de más de tres dimensiones, mientras que tesseract sería el equivalente en cuatro dimensiones de un cubo. O sea un tesseract es un hipercubo de cuatro dimensiones. En el siguiente enlace podéis tratar de imaginar cómo sería mediante la explicación y posterior descarga de un fichero ejecutable. Tenéis que buscar el artículo titulado Hipercubo tetradimensional (hacia el final de la página). Existen multitud de referencias en el Arte y la Literatura a los hipercubos (daría para varios artículos). En Planilandia, la famosa novela de Edwin A. Abbott, el narrador imagina uno de estos hipercubos. En la sección de reseñas de libros de DivulgaMAT podéis ver la de esta novela. Recientemente ha sido reeditada, pero por si no la encontráis o no queréis esperar, picando en el título podéis descargárosla íntegra en formato pdf. Por añadir un ejemplo artístico, en Crucifixión (Corpus Hypercubus), de Salvador Dalí, 1954, Jesucristo aparece sobre el desarrollo de un hipercubo (si el desarrollo de un cubo de 3 dimensiones se despliega en una cruz de 6 cuadrados, el tesseract despliega sus 8 cubos tridimensionales en una cruz, la que dibuja Dalí). La película Cube 2: Hypercube (secuela horrible de la original, sólo superada (en mala) por la siguiente Cube Zero que dicen que es una precuela), los personajes están atrapados en un hipercubo aunque si no nos lo dicen ni nos enteramos.

Jueves, 01 de Febrero de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

285. 21. Planilandia (I)

Marzo, un hermoso mes en el que nos adentramos en el curioso mundo descrito por Edwin Abbott, apuntamos algunas noticias breves y acabamos con la reseña de los últimos tres episodios de la segunda temporada de Numb3rs. El personaje que veis a la izquierda es el escritor, profesor y teólogo inglés Edwin Abbott Abbott (1838 – 1926), autor, como la mayor parte de vosotros sabréis, de una novela curiosa: Planilandia, un romance de muchas dimensiones (Flatland, a romance on many dimensions, 1884). Se trata de un cuento en el que se describen las aventuras de un cuadrado en Linealandia y en Espaciolandia, lugares a los que llega en un intento de salvar su querida Planilandia de la destrucción total. La novela está escrita bajo el seudónimo A Square, es decir, traduciendo textualmente, Un Cuadrado, aunque posteriormente veremos que lo más correcto sería decir, Cuadrado A. Se ha especulado mucho sobre este seudónimo, aunque lo más probable es que sea un anagrama del propio autor: al apellidarse Abbott Abbott (sus padres eran primos carnales), la gente bromeaba llamándole A Square, es decir A al cuadrado. El relato, además de tratar de popularizar algunas nociones de geometría elemental, satiriza de un modo inteligente y cruel en ocasiones los valores sociales, morales, y religiosos de la sociedad británica de la época victoriana. Un resumen y crítica de la historia original la podéis leer en http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&task=view&id=3470&Itemid=46. Por otro lado, la novela completa en su versión original en inglés está disponible aquí, mientras que la versión en castellano, está en este otro enlace. ¿Y que hace este señor y su novela en esta sección?, os preguntareis. La razón en clara: hacer un repaso de las versiones cinematográficas de esta novela. Y es que aunque del contenido del libro pudiera pensarse que es uno de los argumentos menos propicios para realizar una película, existen al menos cuatro, dos de ellas muy recientes: 1.- Flatland (EE. UU., 1965). Película de animación dirigida por Eric Martin. El actor Dudley Moore es el cuadrado narrador de la historia. 2.- Flatland (1982). Cortometraje dirigido por el matemático Michelle Emmer. 3.- Flatland: the Film (EE. UU., 2006). Película independiente de animación dirigida por Ladd Ehlinger Jr. Guión: Tom Whalen. Música: Mark Slater. Las voces han sido grabadas desinteresadamente por personas conocidas (locutores de radio, profesores, etc.) del lugar de residencia del director, Hunstville, Alabama. Él mismo comercializa y distribuye la película. Duración: 83 minutos. 4.- Flatland: the Movie (EE. UU., 2007). Película de animación dirigida por Jeffrey Travis. Las voces de los protagonistas son Kristen Bell (Hex), Martin Sheen (Arthur Square), Tony Hale (King of Pointland), Joe Estevez (Abbott Square), Curtis Luciani (King of Lineland), Shannon McCormick (Octagon Doctor), Garry Peters (Pantocyclus), Lee Eddy (Helios). Duración: 95 minutos. Este mes nos centraremos en la tercera de ellas. El director ha mantenido las ideas básicas del libro original, si bien en algunos momentos actualiza el argumento a nuestros días. Por ejemplo, aparece un presidente megalómano que se inventa una serie de pretextos no comprobados para declarar la guerra a un país que en absoluto los amenaza (¿les suena? Recordemos en cualquier caso que la película es norteamericana). La estética de los personajes de Planilandia es la del clásico comecocos (con formas poligonales, claro). En la imagen observamos al protagonista (el cuadrado) junto a su hijo (el hexágono más pequeño). Planilandia es un lugar rígido en el que el pensamiento individual no está bien visto: todo el mundo conoce su función y sus limitaciones, y no debe intentar sobrepasarlas. El aspecto físico de los habitantes de Planilandia determina su estatus social: cuantos más lados tiene la figura de un individuo, más alto es su rango, lo cual significa que pertenece a una clase social con mayor poder económico y político. Así, lo más bajo de la estructura social masculina son los triángulos que constituyen las fuerzas del orden (ejército, policía, etc.). La clase dirigente (reyes, gobernantes, políticos, etc.) se representa mediante círculos. Los niños nacen con una forma irregular y durante su crecimiento son sometidos a un proceso de reconfiguración en el que alcanzarán su forma definitiva. Este proceso incluye una operación practicada por una herramienta similar a un cascanueces de tamaño enorme, operación siempre dolorosa y cuyo resultado no siempre alcanza su propósito (en realidad casi nunca). Los niños que fallecen en el proceso se eliminan. En la imagen, el Presidente del país (círculo con la corona) observa el cuerpo inerte de su hijo (círculo menor con corona pequeña). Las mujeres no tienen forma definida. Son rectas que emiten un grito según se mueven para avisar de su condición ya que los miembros masculinos sólo pueden visualizarlas como un punto, y no las ven llegar (recordemos que el libro muestra despiadadamente la sociedad de la época; eso incluye una acentuada misoginia, de la que no queda claro si se describe como sátira o simplemente el autor asume que “debe ser así”). Todos los ciudadanos de Planilandia tienen un contorno blanco. Tener uno de diferente color, denominado “cromatismo” es ilegal y se califica como sedición por el Presidente del país. Su furia contra éstos es tal que ordena el asesinato del solitario legislador del Senado (en la imagen, un triángulo-soldado acaba con él). Precisamente uno de las causas por las que declara la guerra a otro país es porque en él está permitido el cromatismo. La presión social ejercida contra el Cuadrado A es dura y es debida a que su hermano, un activista político llamado Cuadrado B, es sorprendido en una manifestación y encarcelado por orden presidencial. Es entonces cuando en Cuadrado A se despierta el interés por conocer otros conceptos de mundos desconocidos. Un sueño lo transporta a Linealandia, donde se enfrenta al Rey Línea que no admite la existencia de otro mundo que no sea el suyo unidimensional (se presenta al rey Línea con dos voces diferentes, una para cada uno de sus extremos). En la siguiente imagen vemos a Cuadrado A en Linealandia, donde acaba concluyendo que sus habitantes son tan estúpidos como los de Planilandia. Es entonces cuando Cuadrado A recibe la inesperada visita de Esfera A, personaje que aparece desde algún lugar desconocido llamado Espaciolandia. En la siguiente imagen podemos ver el primer encuentro entre la esfera y nuestro cuadrado protagonista. Los dos viajan a Espaciolandia donde Cuadrado A aprenderá y vivirá aventuras que es mejor no desvelar para no fusilar toda la película. Como vemos en estas instantáneas una de las notas predominantes de la película es el uso del color. El director ha jugado con diferentes tonalidades según el país en el que se desarrolle la acción: del oscuro y misterioso monocromo predominante en Linealandia a la locura chillona y multicolor de Espaciolandia. Otro acierto de Ehlinger es la inclusión de rótulos explicativos en determinadas escenas con detalles que el espectador no debe pasar por alto para entender la trama posterior. Hay que advertir que no es en absoluto una película para niños. Hay escenas bastante duras a pesar de estar representadas por figuras planas: el asesinato del Senador reducido a trocitos, la puesta en escena de la desnuda celda a la que Cuadrado B va a parar, la muerte de Cuadrado A por efecto de la gravedad de Espaciolandia, la reconfiguración de los niños, etc, escenas además intensificadas por el fuerte acompañamiento musical que conllevan. Por otro lado temas como el racismo, las desigualdades sociales, el maltrato a las mujeres, la manipulación política, no parecen asuntos demasiado apropiados para jóvenes espectadores, ni siquiera para aquellos adultos cuya pretensión no vaya más allá de pasar un rato. La película no se ha comercializado por los cauces habituales. El autor ha pretendido controlar personalmente no sólo su edición sino también su distribución.  En http://flatlandthefilm.com/index.html puede verse el trailer de la película y la forma de conseguirla en DVD en una edición especial limitada y firmada por el propio director (por supuesto en su versión original, en inglés). Como afirma su realizador, se trata de una película independiente, financiada totalmente por él, que debe mostrar que tiene un mercado antes de que una distribuidora la promocione. Sin una estrella o un gran nombre detrás, la única posibilidad de que un producto como éste sea conocido es llevarla a festivales como Sundance o Cannes y allí reciba las críticas oportunas. Pero introducirla en el circuito de los festivales requiere dinero, cantidad que el autor reconoce no tener ya, por lo que ha optado por venderla de este modo para conseguir esa financiación. Su precio es de $20.00 que incluyen empaquetado y envío, pero tranquilos, de momento no hay DVD compatible para los reproductores europeos, aunque se anuncia que estará pronto. Podemos sin embargo “matar el gusanillo” con el trailer. Su traducción para los que no dominen mucho el idioma de Shakespeare es la siguiente: Imagina un mundo con sólo dos dimensiones // Sin altura, sólo longitud y anchura// ¿Qué podría vivir en un mundo bidimensional? // ¿Qué podría vivir en esta …. Planilandia? ¿Qué sucedería si alguien atacara este mundo desde un mundo tridimensional? De la aclamada novela de ciencia ficción de Edwin Abbott,…. Planilandia. // ¡Oh, es sólo una pequeña guerra! Y finalmente veamos una escena más de la película: Reflejos en Planilandia. La traducción de ésta sería más o menos como sigue (está algo resumida para no extenderme demasiado): La escena comienza con el Cuadrado A girando sobre si mismo para entrar en Espaciolandia Cuadrado: ¿Qué me estás haciendo? ¿Qué sucede? Esfera: Ya no estás en Planilandia. ¡Es la Realidad! ¿Mareado?¿Puedes ponerte en pie? Descansa un momento … Cuadrado: Me encuentro algo extraño ¿Qué es? Esfera: Es que no estás acostumbrado a la gravedad, algo que tenemos en Espaciolandia. Nada de lo que debas preocuparte.. Cuadrado: ¡Es todo tan… perfecto! Todo lo que veo parece divinamente perfecto, maravilloso y sabio. Esfera: Eres libre de pensar lo que quieras, pero antes, echemos un vistazo a lo siguiente… Cuadrado: ¡Oh, mira!¡Es un habitante de Planilandia! ¡Puedo ver su interior! Esfera: También puedes verte a ti mismo… Cuadrado: ¿A mi mismo?¿Cómo? ¡Estoy dentro de mi mismo! Esfera: En 3-D tenemos instrumentos que lo permiten (le muestra un espejo). Cuadrado: ¡Soy yo! Esfera: No, es tu reflejo. Cuadrado: Gracias. Gracias por mostrarme. ¡Ahora lo veo todo! ¡Ahora lo entiendo todo! Continuará ….. NOTICIAS  BREVES 1.- La revista digital de divulgación científica Tecnociencia (hasta el Noviembre pasado también se editaba en papel) ha publicado el pasado mes de Febrero una crítica del libro “Las matemáticas en el cine” que podéis leer aquí. Independientemente de que compartáis o no la misma (que espero que sí) os recomiendo que leáis esta publicación ya que suele contener artículos de interés muy bien orientados. 2.- Como no podía ser de otro modo, Antena 3 TV volvió a eliminar Numb3rs después de emitir dos capítulos. El Canal Calle 13 finaliza el 19 de marzo la segunda temporada de la serie. Sin embargo el lunes siguiente, 26, vuelve a emitir el episodio 2.01, es decir el primero de esa segunda temporada. Como los cuatro primeros episodios no fueron reseñados en estas páginas, lo haremos con ocasión de su emisión. Por otro lado vuelve también a emitir la Primera temporada con el siguiente horario: episodio 1.01 (lunes 5, 22:20; martes 6, 18:00), episodio 1.02 (lunes 12, 22:20; martes 13, 18:00), episodio 1.03 (lunes 19, 22:20; martes 20, 18:00), episodio 1.04 (lunes 26, 22:20; martes 27, 18:00). Esto provoca un ligero cambio de horario en los episodios de la segunda temporada de este mes que podéis ver en los resúmenes que van a continuación. Guía de Numb3rs.- Episodios previstos por el canal Calle 13 para este mes Episodio 2.22 – Objetivo Impreciso (Backscatter) Fechas de emisión: Lunes 5 de Marzo (21:30), Martes 6 de Marzo (17:10), Sábado 17 de Marzo (21:30), Domingo 22 de Marzo (15:15). Argumento: El equipo investiga un fraude bancario en el que alguien ha “limpiado” las cuentas corrientes de muchos clientes del Banco (incluyendo la de Don). Además dos empleados han sido secuestrados. Aspectos Matemáticos: Análisis de Backscattering, Interpretación de gráficas de funciones, Funciones explícitas e implícitas, Progresiones geométricas y crecimiento exponencial, Códigos de César. Para entender minimamente algunas de las cosas que aparecen o se dicen en este episodio, debemos conocer algunos conceptos informáticos. Cuando nos conectamos a Internet (desde nuestro domicilio, en el trabajo, en una biblioteca o desde donde sea) lo más habitual es que utilicemos una dirección IP (siglas de Internet Protocol). Una dirección IP es un número que identifica de un modo lógico y jerárquico nuestro ordenador dentro de una red que emplea ese mismo valor. (Aclaremos que ese número no es el número hexadecimal fijo que tenemos asignado a nuestra tarjeta de red por el fabricante; de hecho la dirección IP puede cambiar). A través de Internet, los ordenadores se conectan entre sí mediante sus respectivas direcciones IP. Sin embargo, los seres humanos utilizamos otra notación más fácil de recordar, como los nombres de dominio; la traducción entre unos y otros se realiza mediante los servidores de nombres de dominio DNS (Domain Name System), bases de datos que almacenan esa información. Los sitios de Internet generalmente tienen una dirección IP fija, es decir, no cambia con el tiempo. Los servidores de correo, DNS, FTP públicos, y servidores de páginas web necesariamente deben contar con una dirección IP fija o estática, ya que así podemos localizarlos en la red. Los usuarios sin embargo solemos tener direcciones IP dinámicas. Como este nombre indica, se trata de unas direcciones con una duración máxima determinada. Normalmente cada vez que el usuario se reconecta a la red, utiliza una dirección IP diferente. El mecanismo (protocolo) que asigna estas nuevas direcciones se denomina DHCP (Dynamic Host Configuration Protocol). ¿Por qué aparecen estas IP si con las otras nos vale? Sencillo. Porque las IP fijas son más fáciles de vulnerar por hackers o cualquiera que domine un poco el tema y nos puede preparar una buena faena como pasa en el episodio que nos ocupa.  Por otro lado las IP fijas son más caras de mantener para las empresas que nos suministran la conexión, ya que aunque no estemos conectados a la red, deben mantener la dirección IP en perfecto estado de uso. Un router es un dispositivo hardware o software de interconexión de redes de computadoras que opera en la capa tres (nivel de red). Este dispositivo interconecta segmentos de red o redes enteras. Hace pasar paquetes de datos entre redes tomando como base la información de la capa de red. El router toma decisiones lógicas con respecto a la mejor ruta para el envío de datos a través de una red interconectada y luego dirige los paquetes hacia el segmento y el puerto de salida adecuados. Sus decisiones se basan en diversos parámetros. Una de las más importantes es decidir la dirección de la red hacia la que va destinado el paquete (En el caso del protocolo IP esta sería la dirección IP). Otras decisiones son la carga de tráfico de red en las distintas interfaces de red del router y establecer la velocidad de cada uno de ellos, dependiendo del protocolo que se utilice. Don y su equipo logran bloquear los ataques de un grupo de hackers de Internet relacionados con la Mafia Rusa (como a estas alturas conocerán por otras películas, son un grupo de criminales de diferentes etnias, principalmente judíos y chechenos, que aparecen con la desintegración de la antigua Unión Soviética en 1991; sus métodos son similares a la conocida Mafia italiana, de ahí su nombre). Sin embargo, el grupo se rehace y Charlie deberá tratar de averiguar el modo mediante el que realizan sus ataques en la red antes de que la cosa sea incontrolable. Utilizan una técnica llamada en inglés Backscatter Análisis del que no conozco traducción al castellano. Consiste en lo siguiente: Internet es básicamente un sistema de intercambio que funciona de un modo similar al de la distribución de las cartas de las agencias de correos. Cuando un hacker ataca, burla los protocolos que se ponen en marcha para localizar la dirección IP desde la que actuó (desvía las búsquedas a otros routers mediante diferentes mensajes). Sin embargo, al actuar estos mensajes en tiempo real, un ordenador podría reproducir a través de un complejo proceso toda esta actividad y finalmente localizar de donde partió el ataque. Los ataques que se producen son de los llamados de “negación de servicio” (Denial-of-Service attack, DoS attack). Consisten en inutilizar las páginas que una empresa o un usuario ha colgado en la red. Es un delito que viola las normas y leyes por las que se rige la Red. Básicamente emplean dos métodos: 1.- Forzar al ordenador a ser reseteado continuamente, o consumir sus recursos de manera que no pueda suministrar la información que se pretende. 2.- Obstruir los medios de comunicación entre los usuarios y la víctima para que no puedan comunicarse. Existen muchos más tipos de ataque, en los que puede que entremos al hablar de otras películas. Los lectores interesados en este tema pueden ver animaciones didácticas de diferentes técnicas de Backscattering en la dirección: http://www.caida.org/publications/animations/ aunque, aviso, están en inglés. Charlie cuenta a sus alumnos en una escena los fundamentos de este tipo de análisis. En un momento dado descubre lo que parece un mensaje cifrado. Ya hemos hablado en otras ocasiones de la criptografía y el criptoanálisis. En el caso del episodio se trata de una sencilla sustitución de letras por números (un código de César de lo más elemental con el mensaje WE R WAITING FOR U). Volviendo a los análisis de Backscattering, Charlie presenta algunas gráficas de funciones que trata de interpretar. Alguna de ellas está en la llamada escala logarítmica. Se llama escala logarítmica aquella en la que en vez de indicar en los ejes de coordenadas el valor de las variables se señala su logaritmo. Se suelen utilizar cuando alguna de las variables (o las dos) toma valores muy altos o muy bajos. Por ejemplo, si una magnitud toma valores en potencias de diez (10, 100, 1000, 10000, ...) representar estos valores en un eje resultará bastante engorroso. En cambio si tomamos logaritmos decimales, el 10 se describirá como un 1 (log1010=1), el 100 como un 2 (log10100 =2), el 1000 como un 3 (log101000=3), y así sucesivamente. En el gráfico adjunto, las funciones y = x, y=x2, y=x3 aparecen dibujadas en escala logarítmica. Algunos ejemplos de uso de escalas logarítmicas son la escala Richter para medir la intensidad de un terremoto, la potencia eléctrica o acústica de un fenómeno, la entropía en termodinámica, en teoría de la información, o la frecuencia de las notas musicales. Si echamos un vistazo al pentagrama adjunto, la diferencia en la altura del sonido es proporcional al logaritmo de la frecuencia (de un Do grave al Do siguiente más agudo la frecuencia se dobla. Es decir: que la sucesión de frecuencias de las notas Do están en progresión geométrica). Hablando de progresiones geométricas uno de los procedimientos más habituales de los hackers para atacar los ordenadores también mencionado en el capítulo es el de la cadena de mensajes. Es probable que nos hayan mandado alguna vez (también por correo ordinario) mensajes o cartas en los que se nos dice que tendremos mucha suerte (o cosas similares) reenviamos ese mensaje a otras siete, diez, …, n amigos o conocidos. En internet el colapso que pueden provocar estas cadenas es mayor dada la facilidad y rapidez con que podemos enviar los mensajes. Comprobar los efectos es matemáticamente sencillo: si cada persona que recibe el mensaje lo envía a cinco amigos, véase el número de mensajes al cabo de diez envíos en un tiempo mínimo. ¿Cuántos envíos harán falta para llegar a la población de una ciudad de 3 millones de habitantes? No demasiados, ¿verdad?. Bien pues quede claro que estos comportamientos son ilegales y están perseguidos por la ley (en Estados Unidos al menos; aquí en España no deben estarlo porque el que esto suscribe recibe al menos uno de estos mensajes cada mes). Otro ejemplo de crecimiento exponencial también fraudulento es el ya comentado en otra ocasión (episodio 1.8, reseña Abril 2006) esquema de venta piramidal. En otro momento del episodio Charlie se encuentra dando clase de Cálculo Infinitesimal a sus alumnos. Habla de funciones explícitas e implícitas presentando éstas como más frecuentes que las primeras en las aplicaciones de la vida real. ¿Por qué utilizar las segundas cuando es mucho más sencillo manejar las primeras? Respuesta obvia: porque no siempre es posible despejar unas variables en función de otras. Un ejemplo sencillo: intenten despejar x o y, cualquiera de las dos, en función de la otra en la ecuación x4 + xy + y4 = 3. Es de suponer que a continuación hablara del teorema de la función implícita, pero dos miembros de la mafia rusa entran en el aula, se sientan en la fila de atrás y no le permiten continuar la clase. Por otro lado, aunque podamos despejar unas variables en función de las demás, en muchas ocasiones el resultado es inmanejable. Todos los que hemos dado alguna vez Cálculo conocemos de sobra ejemplos. Simplemente citaré las expresiones de circunferencias, elipses, curvas mecánicas (cicloide, epicicloide, etc.) e inténtese calcular áreas, longitudes, volúmenes con la y en función de x. Episodio 2.23 – Corrientes Subterráneas (Undercurrents) Fechas de emisión: Lunes 12 de Marzo (21:30), Martes 13 de Marzo (17:10), Sábado 24 de Marzo (21:30), Domingo 25 de Marzo (15:30). Argumento: En esta ocasión la investigación es acerca de unas mujeres asiáticas que han aparecido muertas al parecer por gripe aviar. Todas ellas estaban también contra su voluntad involucradas en redes de tráfico sexual. Megan charla con un periodista que conocía a una de las mujeres que le propone contarla lo que sabe a cambio de una exclusiva sobre el caso. Aspectos Matemáticos (y esta vez, y sin que sirva de precedente, también seudo-matemáticos): Campos vectoriales, Dinámica de Fluidos, I Ching. Como en otros capítulos de la primera temporada, se intenta averiguar el punto de origen en el que aparece el cuerpo de una mujer muerta, sólo que en este caso, al ser lanzada al mar, se tiene que tener en cuenta el comportamiento de las olas a través de conceptos de dinámica de fluidos y de análisis vectorial. Charlie compone unas ecuaciones y unos diagramas de flujo según el acercamiento a la costa de unas pequeñas boyas lanzadas al mar en diferentes lugares. Así trata de definir un campo vectorial (funciones vectoriales de Rn en Rm) que le de una pista sobre cómo ha sido arrastrado el cadáver a la costa e inferir el punto desde el que partió. Las funciones de varias variables (campos escalares y vectoriales en una terminología más de la Física) aparecen en múltiples estudios: meteorología (las líneas isóbaras no son más que curvas de nivel asociadas a diferentes campos escalares), topografía (los mapas topográficos son nuevamente ejemplos de diversas curvas de nivel en los que sabiendo algo de matemáticas se puede determinar fácilmente la ruta a seguir para desde un punto cualquiera llegar lo más rápidamente posible a una cima o un valle), etc. También aparecen funciones vectoriales en el análisis que hace Charlie del algoritmo (secreto) utilizado en el puerto de Los Ángeles para etiquetar los containers con sustancias peligrosas. Al observar el cuerpo de la mujer, el inefable Larry “Bizcochito” (no sé si es el doblaje o qué, pero me resulta insufrible) descubre unos hexagramas tatuados en su pie. Explicaré brevemente qué es esto tratando de dejar de lado en la medida de lo posible toda la parafernalia paranormal que se ha montado en torno a ellos. El I Ching (traducido por El libro de los cambios) dicen que es el texto chino clásico más antiguo que se conoce, de unos 5000 años de antigüedad (mes arriba, mes abajo). Desde remotos tiempos ha sido utilizado para la adivinación y como obra moral, filosófica y cosmológica. Se basa en 64 hexagramas simbólicos, cada uno compuesto a su vez por un par de trigramas que están formados por tres líneas paralelas. Las líneas pueden ser continuas (representando el yang o principio activo) o discontinuas (representando el yin o principio pasivo) siguiendo la cosmología primitiva china, que explicaba todos los fenómenos en términos de alternancia del yin y el yang. Existen ocho trigramas básicos, cada uno denominado según un fenómeno natural, y en los 64 hexagramas se agotan todas las posibles combinaciones de las seis líneas (única operación matemática verificable que podemos hacer a propósito del tema). El libro se consulta dividiendo y contando 50 tallos de la milenrama, supuesta planta mágica, o echando unas monedas al aire, lo que dará como resultado una serie de números que indican las líneas para el hexagrama resultante. Los números determinan si cada línea es yin o yang y si es estática o se encuentra en movimiento (a punto de cambiar a la posición opuesta). Así pues, los hexagramas se conciben como dentro de un cambio mutuo y perpetuo siguiendo el orden cíclico del universo. Los hexagramas evolucionaron como símbolos de la buenaventura. Según cuenta la leyenda, el dios emperador mítico Fuxi (2400 A.C.) descubrió los ocho trigramas en el caparazón de una tortuga sagrada (los primeros adivinadores chinos predecían el futuro agujereando huesos o caparazones de tortugas (¡pobrecillas!) y examinando las grietas resultantes que puede que inspiraran las líneas del Yijing). El significado de cada hexagrama se explica en pasajes poéticos enigmáticos y en otros diversos comentarios filosóficos. Las partes más antiguas del libro se remontan a la primitiva dinastía Zhou. Se cree por efecto de la tradición que fue Wen Wang (1150 A.C.) el que añadió a los hexagramas originales adivinatorios un carácter moral. Confucio, sus seguidores y algún que otro listillo no determinado puede que añadieran más comentarios filosóficos ya que se tiene constancia de que se guiaban por este libro. El tatuaje de la infortunada del episodio tiene esta pinta: Charlie emplea mucho tiempo tratando de encontrar una interpretación a estos hexagramas, pero finalmente será su alumna favorita Amita quien le explique que significan Influencia, Espera, Abundancia, Fuerza y Verdad Interna, respectivamente. No es mi intención fusilar el argumento completo, pero no me resisto a indicar que cada hexagrama tiene asociado un número (en este caso, 31-05-55-01-61) que finalmente tendrán algo que ver con la solución del caso (como se ve no son las medidas de la difunta, o sea que por ahí no va la cosa). Bajando un poco de la nube en la que nos encontramos, curiosamente el I Ching sirvió para establecer las bases de un importante concepto que ha revolucionado nuestra vida: el sistema binario. En 1666, Gottfried Wilhelm Leibniz escribió Sobre el arte de la Combinatoria. En este tratado defendía la implantación de un lenguaje diferente al hablado o al escrito, enteramente lógico y matemático. “Será difícil concebir un lenguaje así”, argumentaba, “pero una vez logrado, será fácil comprenderlo sin necesidad de ningún diccionario”. La idea fue ignorada tanto por la comunidad científica de la época como por él mismo durante unos diez años, …., hasta que cayó en sus manos un libro sobre I Ching. En él vio una confirmación de sus teorías sobre la dualidad, una serie de posibilidades si/no, on/off en la forma de masculino/femenino, luz/oscuridad, etc. que conforman la complejas interacciones que suceden en la vida. “Si la vida misma puede reducirse a una serie de posibilidades duales”, razonó, “igualmente le sucederá al pensamiento y a la lógica”. Animado por estos pensamientos, Leibniz trató de refinar su rudimentario sistema aunque no pudiera encontrarle una aplicación práctica concreta (¡que sorpresa, si viviera hoy!). En la imagen, una calculadora mecánica construida por Leibniz para números en sistema decimal. Aunque pensó en crear otra máquina para números binarios, las largas cadenas de ceros y unos que surgían al pasar los números de notación decimal a binario le desanimaron profundamente. Hacia el final de su vida se “le fue un poco la olla” hacia temas místico-religiosos (como le pasó a Newton) y afirmó que los números binarios representan la Creación. El número 1 sería Dios y el 0 el Vacío, la Nada. Episodio 2.24 – Inyección Letal (Hot Shot) Fechas de emisión: Lunes 19 de Marzo (21:30), Martes 20 de Marzo (17:10), Sábado 31 de Marzo (21:30), Domingo 1 de Abril (15:30). Argumento: Don y su equipo buscan en esta ocasión a un asesino en serie que droga a mujeres, las mata y después las viste y las maquilla cuidadosamente antes de volver a colocarlas en sus automóviles como si nada las hubiera pasado. Charlie entretanto se obsesiona con un robo ocurrido en una tienda de comestibles estando su padre dentro. Aspectos Matemáticos: Grafos dirigidos, Histogramas, Modelos parabólicos. Para tratar de encontrar al asesino, Charlie sugiere hacer un estudio de los hábitos de sus víctimas. Así tratará de averiguar donde le pudieron conocer. Para ello representa toda esa información mediante un grafo dirigido. Un grafo dirigido o dígrafo, G = y E = . La dirección de cada arco se representa mediante una flecha. A partir de esta definición se dan otras muchas (indicaré las básicas): Dos aristas de un grafo son adyacentes si tienen un vértice en común. De forma similar, dos vértices son llamados adyacentes si existe una arista que los une. Una arista es incidente a un vértice si ésta lo une a otro. Si un grafo sólo tiene un vértice y ninguna arista, se le denomina trivial. Un grafo ó dígrafo es ponderado cuando a cada arista se le asocia un valor (coste, peso, longitud, etc. según lo que modele). Normalmente los vértices y las aristas de un grafo, por su naturaleza como elementos de un conjunto, son distinguibles. Este tipo de grafos son llamados etiquetados. Pueden también etiquetarse sólo los vértices o las aristas. Una arista forma un bucle cuando coinciden el vértice inicio y el fin. Dos aristas son paralelas cuando son incidentes con los mismos vértices. Un grafo sin aristas paralelas ni bucles se llama grafo simple. Un camino es simple cuando no pasa dos veces por la misma arista. Un circuito es un camino simple cerrado, es decir, un camino sin aristas repetidas en el coinciden los vértices inicial y final. Si en un camino cerrado sólo coinciden los vértices inicial y final, tenemos un ciclo. Cuando en un grafo sin vértices aislados podemos establecer un camino simple que pasa por todas las aristas sólo una vez, hablamos de camino euleriano. Uno puede entretenerse un rato analizando cuál de estas definiciones cumple el grafo del dibujo. El grafo de la figura puede representar los movimientos de tres de las víctimas en un día: la víctima 1 va de la tienda C a la B y luego a la A; la víctima 2 sale de la tienda C a la E y después va a la A; la víctima 3 sale de la tienda E hacia la D, luego a la C y vuelve a la D. En el episodio Charlie contempla los movimientos de las víctimas dentro de una misma habitación (una cocina) respecto a la mesa, el fregadero y el frigorífico. Cualquier modificación de los recorridos es una posible pista para descubrir al asesino. Otro procedimiento que el matemático utiliza para predecir un cambio en el comportamiento de las víctimas es el denominado estimación de densidad basada en núcleos (KDE, Kernel Density Estimation, Bowman y Azzalini, 1997). Matemáticamente se trata de lo siguiente: tenemos una variable aleatoria que desconocemos y pretendemos estimar a través de otras. Para ello se utiliza una serie de posibles predictores y una medida para determinar cual de todos ellos se ajusta mejor a esa variable desconocida. Esos predoctores se localizan, por ejemplo, a través de una muestra aleatoria, es decir, una sucesión de variables aleatorias independientes con la misma distribución que la buscada.  Suele entonces ocurrir que la sucesión de variables aleatorias no tenga la regularidad de la que buscamos (no sea derivable, continua, etc.). Entonces se hace una mejora llamada estimación de núcleos. Es evidente que para un neófito en Estadística todo esto suena “a chino”. Sólo tratamos de constatar que en el guión desarrollado en el capítulo se han preocupado de describir conceptos y técnicas reales. Uno de los conceptos que utiliza el KDE y sí es asequible es el histograma de frecuencias. Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras, donde la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados. En el eje vertical se representan las frecuencias, y en el eje horizontal los valores de las variables, normalmente señalando las marcas de clase, es decir, la mitad del intervalo en el que están agrupados los datos. Se utiliza cuando se estudia una variable continua, como franjas de edades o altura de una muestra, y, por comodidad, sus valores se agrupan en clases, es decir, valores contiguos. En los casos en los que los datos son cualitativos (no-numéricos), como sexo, grado de acuerdo o nivel de estudios, es preferible un diagrama de sectores. Los histogramas son más frecuentes en ciencias sociales, humanas y económicas que en ciencias naturales y exactas. Un histograma de frecuencias relativas es un histograma basado en porcentajes. Recordemos que la muerte de las víctimas fue debida a una combinación de drogas que les fueron inyectadas. El FBI trata de determinar la hora a la que esas personas fueron inyectadas para comprobar si el sospechoso podría estar en ese momento allí. Don cree que las víctimas fueron inyectadas al menos 13 horas antes de que encontraran sus cuerpos. Charlie sugiere entonces que la cantidad de droga aún en sus cuerpos podría servirles para conocer cuando se produjo la inyección. Cada víctima tiene 12.5 mg de morfina en sangre y 1.0 mg de diazepam (droga de eliminación lenta indicada para tratar la ansiedad, trastornos psicosomáticos, tortícolis, espasmos musculares). Charlie recopila entonces de un estudio farmacéutico una tabla de datos que muestra en una población de 50 personas cómo sus cuerpos absorben la morfina al cabo de 13 horas partiendo de una dosis de 20 mg. Y realiza un histograma de frecuencias que posteriormente analiza. Finalmente, otro tema que se toca es el de las trayectorias parabólicas. Larry, el físico amigo de Charlie, aparece como casi siempre haciendo el tonto. En este caso está en su despacho tirando uvas con una cuchara que utiliza como catapulta para practicar para una pelea de comida que tradicionalmente hacen en el Departamento de Física (¡infantilidad a tope!). Se remonta a Galileo para recordar cómo la trayectoria que sigue un proyectil es una parábola y hace diferentes pruebas teniendo en cuenta diversas variables: los obstáculos que puede haber entremedias, la fuerza con que golpea la cuchara, hasta dónde se pretende llegar con el lanzamiento, el ángulo de lanzamiento, etc. Episodio 2.01 – Juicio de Valor (Judgement Call) Fechas de emisión: Lunes 26 de Marzo (21:30), Martes 27 de Marzo (17:10). Argumento: Don y Charlie investigan el asesinato de la mujer de un juez. No está claro si el objetivo era ella o su marido que estaba juzgando un caso sobre la pena de muerte para el líder de una banda. Aspectos Matemáticos: Scatterplot, Probabilidad Condicional y Fórmula de Bayes,.Aguja de bufón. En el episodio Charlie muestra a los agentes del FBI una gráfica conocida como scatterplot. Un scatterplot se utiliza para compara dos conjuntos de datos y ver si tienen alguna relación o hay una correlación entre ellos. Da una buena visión de conjunto de la relación entre las dos variables. Veamos algunos ejemplos: 1.- Las variables son la temperatura de un lugar y el número de aparatos de aire  acondicionado que se han vendido allí. Al aumentar la temperatura, es esperable un aumento de las ventas. Es un ejemplo de correlación positiva. 2.- Temperatura y número de estufas vendidas. Es esperable  que al aumentar la temperatura las ventas de esos aparatos desciendan. Correlación Negativa. 3.- Temperatura y número de lavavajillas vendidos. Aparentemente no existe  relación alguna entre estas dos variables, por lo que no hay correlación. Examinando los ficheros de sospechosos del caso y mediante un scatterplot, los agentes son capaces de seleccionar aquellos que verifican los criterios que manejan sin tener que investigar cada uno individualmente. Del mismo aplican una serie de filtros (programas de ordenador que seleccionan la información) muchos de los cuales se basan en la aplicación de probabilidades condicionales. Dado el tipo de crimen que investigan, Don estrecha su investigación en torno a cuatro sospechosos. Se tienen una serie de datos aportados por los testigos, como color del pelo, estatura y peso del criminal. Atendiendo a estas características en los sospechosos, calculan la probabilidad (condicional) asociada a cada uno. Supongamos que el FBI tiene una lista de criminales almacenada en sus ordenadores. Supongamos que hay 10 tipos de criminales (ladrones, violadores, asesinos en serie, traficantes de drogas, etc.). Supongamos que para cada uno de estos tipos existen 10 posibles ciudades en las que el sujeto esté viviendo y que para cada una de estas ciudades hay informes sobre 10 criminales. En estas condiciones debemos revisar 103 informes. Tenemos tres niveles: tipo de criminal, ciudad, individuo, con 10 posibilidades para cada uno. Si hubiera N niveles, tendríamos un total de 10N criminales. Por tanto, de algún modo, el número de criminales es una función exponencial del número de niveles. A esta conclusión llega Jessie, la agente que trata de ayudar a Charlie a organizar los datos. Utiliza erróneamente el término “exponencial” como sinónimo de “muy grande”, una equivocación muy común entre los no matemáticos. Charlie la corrige con una definición técnica e innecesaria de crecimiento exponencial. Su error era suponer que el número de niveles se incrementa, es variable, cuando no es así. Sin duda hay un número fijo de niveles con los que el FBI clasifica sus datos, pero cada uno de estos no tiene porque tener exactamente 10 subniveles, puede ser un número menor o mayor, pero no tiene porqué ser necesariamente una potencia de 10. Pero vayamos a lo que interesa: hay un montón de informes que contiene mucha información, alguna será útil para el caso, pero otra no. ¿Cómo puede uno organizar esta enorme cantidad de información de manera eficaz para que nos proporcione los sospechosos adecuados? En primer lugar precisemos que los ordenadores son útiles si pueden comparar automáticamente ítems de información asociada a cada criminal. El primer paso será buscar información numérica para que el ordenador pueda confrontarla fácilmente, es decir necesitamos una “cuantificación” de datos. Por ejemplo el registro de un criminal puede contener una lista de delitos: 5 atracos, 2 asesinatos, 4 robos. Otro dato útil es pasar estos datos a porcentajes, o sea que porcentaje tiene cada uno de atracos, asesinatos, robos. Estos porcentajes pueden darnos la probabilidad de cometer un determinado tipo de delito. Si nos centramos en un sospechoso concreto, así sabemos las posibilidades que tiene de cometer un asesinato frente a las de un robo. Sin embargo esto no es útil para elegir un sospechoso entre muchos, que es lo que Jesse y Charlie pretenden. Lo que necesitan es la probabilidad de que un asesinato concreto pueda ser cometido por un sospechoso concreto. Es lo que Charlie denomina teoría de la decisión reversa (RDT, reverse decision theory), y es la que emplea análisis bayesiano (nombre dado en honor al matemático Thomas Bayes, 1702 – 1761). Para entenderlo, al menos superficialmente, veamos un ejemplo. Supongamos que E es el suceso “se ha cometido un asesinato”. Designemos por p(E) la probabilidad de que este suceso tenga lugar. Si en la ciudad X en una semana de cada cuatro crímenes, tres son asesinatos, entonces podemos escribir que p(E) =3/4 = 0.75. Si indicamos por S el suceso “Smith ha cometido un delito”, la probabilidad condicionada p(E|S) será la probabilidad de que el delito sea un asesinato sabiendo que ha sido Smith el que lo ha provocado. Si solamente el 2% de los delitos de Smith fueran asesinatos, entonces p(E|S) = 0.02. En el episodio sabemos a ciencia cierta que se ha cometido un asesinato. Queremos conocer la probabilidad de que haya sido Smith el que lo haya hecho, es decir, buscamos la probabilidad p(S|E), es decir lo opuesto a lo anterior. Aquí es donde se aplica la fórmula de Bayes: Hacia el final del capítulo, Charlie menciona que uno de los misterios de las matemáticas es la aparición del número “pi” en los más insospechados lugares. Recuerda que pi es la relación que guarda la longitud de una circunferencia con su diámetro, que es constante sea cual sea el tamaño del dicha circunferencia, hecho conocido desde tiempos de los Griegos. La primera demostración correcta la dio Eudoxo, un contemporáneo de Euclides. También menciona el problema de la aguja de Bufón, problema en el que también aparece pi. Se trata de lanzar una aguja sobre un papel en el que se han trazado rectas paralelas distanciadas entre sí de manera uniforme. Se puede demostrar que si la distancia entre las rectas es igual a la longitud de la aguja, la probabilidad de que la aguja cruce alguna de las líneas es 2/pi. Se podría incluir algunas cosas más sobre éste y otros aspectos del capítulo pero esto va creciendo demasiado y no pretendo aburrir más al personal. Únicamente comentar para finalizar que uno de los filtros más empleados en la actualidad basados en ideas bayesianas son los filtros de spam (mensajes basura, con virus o sin interés para el usuario) del correo electrónico. Comparando las palabras que aparecen frecuentemente en los correos con spam con los que no son spam, el filtro puede determinar con una probabilidad alta qué mensajes son de uno y otro tipo. Existe un artículo muy interesante sobre estas técnicas en http://www.paulgraham.com/spam.html, en inglés, claro.

Jueves, 01 de Marzo de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

286. 22. Planilandia (II)

Seguimos dando una vuelta por las versiones animadas que se han realizado sobre la obra de Edwin A. Abbott, y sobre todo, visionando algunas escenas. Uno de los cortos nos lleva a la película ¿Y tú que sabes? estrenada el año pasado. Acabamos con los resúmenes de los capítulos de la segunda temporada de Numb3rs, hasta que alguna cadena de televisión estrene la tercera o algún lector interesado pida alguna información sobre la misma. El mes pasado nos acercábamos a Flatland: the film. Un amigo de esta sección me ha comentado en un correo que, aún sin haber visto la película, le cuesta creer que haya escenas que yo califiqué de “duras”. Bien, en el siguiente enlace podéis ver la ejecución de un opositor al régimen. Al finalizar el máximo mandatario se pregunta si será recordado como el fiel guardián de la República o como un asesino de inocentes. Que cada uno juzgue por si mismo si es o no violenta. También en You Tube puede verse un cortometraje del personaje conocido como Doctor Quantum, titulado el Dr. Quantum visita Planilandia. Es curioso, y puede ser exportable a las aulas (de paso los alumnos pueden practicar un poco de inglés que no les vendrá tampoco mal). Para aquellos que no estén muy entrenados en la lengua de la Gran Bretaña, ahí va nuestra castellana versión. Después de entrar en una especie de túnel y de un par de piruetas acrobáticas, el doctor empieza: Dr. Q.: Bienvenidos a Planilandia. Un mundo de dos dimensiones únicamente. Sólo hacia delante y hacia atrás, izquierda y derecha. En este mundo no existe arriba ni abajo. Habitantes de Planilandia: ¿Dónde está Dotty1? No está en la fila. ¿Qué diablos es esa cosa? Dr. Q.: En este mundo los seres bidimensionales no tienen idea de los objetos tridimensionales. Estos dos planilandeses no saben de cubos, esferas, tetraedros ni de mi. Desde la perspectiva 2-D, mi dedo 3-D aparece de forma similar a esto …. Habitantes: ¡Oh, Dios mio! ¿Qué demonios es eso? Dr. Q.: ¡Hola, pequeño círculo! (Grita asustado) ¿Miedo a lo desconocido? ¿Qué debería decir? Es imposible. Si vemos sólo lo que conocemos, ¿cómo alguien puede ver algo nuevo? Lo desconocido. ¿Cómo salir jamás de nuestra caja? ¡Hola, pequeño círculo! ¡No tengas miedo! Círculo: ¿Quién dice eso? ¿Dónde estás? Dr. Q.: Eso sólo explica parte del truco. Estoy en otra dimensión, en otro espacio. ¡Estoy por encima de ti! Círculo: ¡Nunca, nunca uses esa palabra! Dr. Q. : ¿Qué palabra? Círculo: La palabra que empieza por E2. Dr. Q.: ¿Encima? (el círculo grita). Círculo: ¡Esta prohibida! Dr. Q.: ¿Qué crees que significa? Círculo: No lo sé. Y no quiero saberlo. Podrías ser duramente castigado si usas esa palabra. ¿Eres un fantasma? Dr. Q.: (Riéndose) Espero que no. Tengo una perspectiva diferente a la tuya. Puedo ver cosas de un modo que tú no puedes. Círculo: ¡Oh! ¿Cómo qué? Dr. Q.: Tú tienes bien guardada tu caja fuerte. Dentro de ella tienes doce monedas, un testamento y un pasaporte. Círculo: (sorprendido) ¿Cómo lo sabes? ¿Dónde estás? ¿Eres un Dios? Dr. Q.: ¡No más que tú! Verás, como estoy por encima de ti (el círculo vuelve a gritar al oir la palabra), en la tercera dimensión, puedo ver dentro de las cosas de tu mundo. Círculo: ¡Tercera Dimensión! ¡Eres un fantasma tonto! ¡Sólo hay dos! ¡Mira! (Comienza a moverse a los lados). Dr. Q.: Si pudiera tocar el interior de tu estómago, ¿cómo lo haría? Círculo: Tendrías que cortar mi piel. Si no es imposible. (Le toca, le hace cosquillas) ¡Para! ¡Para! Dr. Q.: ¿Preparado para más? Círculo: ¿Más qué? Dr. Q. : Dimensiones, direcciones. Círculo: ¡Oh, no! ¡Pero si no hay más! (Duda) ¿Más? ¿Qué me ocurriría?¿En que me convertiría? Dr. Q.: ¡Adquirirás conocimiento! Círculo: ¡De acuerdo! Dr. Q.: ¡Excelente! (Toma el círculo y lo levanta a la 3-D) Círculo.: ¡Oh! ¡Nunca lo imaginé! Voz en off: ¿No es divertido? Lo que más tememos es lo que nos lleva a los mayores descubrimientos. 1.- Dot en inglés es punto, así que Dotty será un niño punto, un puntito, que se ha escapado como suelen hacer los niños. 2.- En el diálogo en inglés la frase es The A-word, porque la palabra es Above. Al traducirlo he puesto la palabra que empieza por E, para poder decir luego Encima. Cosas de los idiomas. Este dibujo animado, el Dr. Quantum, es el alter ego del Dr. Fred Alan Wolf, doctor en Física Cuántica por  la Universidad de California desde 1963. Desde hace años populariza la ciencia (sobre todo su especialidad, la Física Cuántica) a través del programa de televisión The Know Zone (algo así como La Zona del Saber) de Discovery Channel. Ha publicado once libros (como el que veis a la derecha), artículos en revistas, programas de radio y televisión. Según se dice en sus biografías su fascinación por el mundo de la Física comenzó siendo niño cuando oyó en un noticiario el enorme poder de la primera explosión atómica. Ese interés aumentó dedicándose al estudio de las matemáticas y de la física. Después de doctorarse, comenzó sus investigaciones sobre el comportamiento de las partículas atmosféricas tras una explosión nuclear integrándose en el Proyecto Orión (proyecto dedicado a investigar la propulsión nuclear en la exploración espacial). Ha obtenido diversos premios por sus trabajos de divulgación de la física y ha sido traducido a varios idiomas, incluido el español. Esto en cuanto a la parte científica, porque también es de los que se ha dedicado a profundizar en las relaciones entre el conocimiento humano, la psicología, la fisiología, lo místico y lo espiritual (es decir, planteamientos que podríamos calificar de "magufos". NOTA: Magufo designa a quien ejerce o "investiga" una pseudociencia). Desde luego lo que es envidiable es el empeño divulgativo de personas como ésta y la disponibilidad de los medios de comunicación para llevar a cabo esta tarea. ¿Por qué aquí no sucede? Quizá haya que introducir algún que otro engañabobos acientífico o chismes rosas de los investigadores para tener alguna aceptación, y aprovechar para meter entre col y col, lechuga. (En España, el galardonado Eduardo Punset también ha coqueteado en su programa Redes alguna vez con este tipo de patrañas místico-morales). Quizá recordéis a este respecto la película documental  ¿Y tú que sabes? (What the bleep do we know?, Dirigida por Mark Vicente, Betsy Chase i William Arntz, EE. UU., 2004). Confieso que aún no la he visto, aunque tengo referencias, no todas demasiado positivas. Me parece de interés el siguiente artículo para aquellos que deseen conocer más sobre esta producción o hayan visto la película. Os muestro los carteles de la versión original y la española para que observéis el habitual uso comercial que últimamente se hace de los símbolos matemáticos (se intenta captar la atención de personas medianamente cultas para dar a entender que conocer algo de esos símbolos da alguna prestancia especial o una distinción de clase). La traducción del título también intenta “picar” al espectador, porque lo correcto hubiera sido ¿Qué sabemos?, pero es menos llamativo. La interrogación What the bleep aparece también en el vídeo de Planilandia (sus habitantes exclaman What the bleep is that thing? al poner el Dr. Quantum el dedo sobre su universo). Podría hablarse del movimiento What the bleep, del que podéis averiguar más pinchando en el enlace (han creado incluso una simbología propia, What tHe βL∈∈P!?) Más Planilandia el mes que viene ….   Guía de Numb3rs.- Episodios previstos por el canal Calle 13 para este mes Acabamos con los resúmenes de los tres episodios de Numb3rs que Canal 13 ya emitió y no reseñé aprovechando que este mes los repiten. Episodio 2.02.- Para bien o para mal (Bettor or Worse) Argumento: Una mujer irrumpe en una joyería pidiendo ver al dueño. Le da una nota y le amenaza diciéndole que o la ayuda o su esposa e hija morirán. Después de hacer lo que dice la nota, la mujer le asegura que verá a su familia al cabo de 24 horas siempre y cuando ni la policía ni el FBI intervengan. Pero un guarda de seguridad la dispara y la mujer muere. El pánico se apodera del hombre. Aspectos Matemáticos: Números seudo aleatorios, Autómatas Celulares, Sucesiones de Farey. En la reseña del mes de Enero, ya hablamos de los números aleatorios y seudo aleatorios (episodio 2.13, Doble o Nada). En este capítulo, el agente Don Eppes necesita asignar unos códigos aleatorios de dos dígitos a 40 miembros de su equipo del FBI, Los números son elegidos del 00 al 99. Charlie le recuerda la diferencia entre estos dos tipos de números, y se pone a componer una fórmula que genere números seudo aleatorios. Para poner en marcha este tipo de funciones, se precisa de un valor inicial o semilla. Como establece esa fórmula a partir de unos valores concretos, no está del todo seguro de si funcionará correctamente (es decir, si no repetirá números para agentes distintos). Concretamente la función que diseña es la siguiente: siendo x0 el valor inicial, itera la expresión (41x0 + 35) /101 y toma los dos primeros dígitos de la parte decimal del número resultante. Por ejemplo, si x0 = 29, x1 = 1224/101 = 12.1188…, luego toma el valor 11 (léase bien las condiciones: se prescinde de la parte entera del número). Un ejercicio entretenido es tratar de obtener los 40 valores necesarios a partir de la fórmula anterior, a partir de diferentes valores iniciales. Podremos quizá entonces resolver la siguiente cuestión: ¿es útil la fórmula propuesta por Charlie? Si no es así, indicar la razón. Espero vuestras respuestas. En esta capítulo el matemático utiliza los llamados autómatas celulares para tratar de visualizar un mensaje que cambia cada vez que es reenviado. Aunque no existe una definición formal universalmente aceptada del concepto de autómata celular, básicamente consiste en un conjunto de datos que forman una estructura, y un número finito de reglas que se pueden aplicar a cada elemento de esa estructura. La lista de reglas suele basarse en modelos biológicos, que fue la primera aplicación para la que fueron concebidos los autómatas. Aunque John von Neumann fue su precursor a finales de los años cuarenta del pasado siglo, son Konrad Zuse y Stanislaw Ulam los que desarrollan la idea más ampliamente, y más recientemente Stephen Wolfram. El interés que ha despertado esta técnica radica en la sencillez y en la simplicidad que caracteriza la construcción de los modelos. Suele emplearse un retículo bidimensional (en más dimensiones un espacio n-dimensional) dividido en un número de sub-espacios homogéneos, conocidos como celdas (o sea se realiza una teselación homogénea del plano; para entendernos una cuadrícula similar a la de una página de un cuaderno). Cada celda (cuadrícula) puede estar en un estado de entre un conjunto finito que se representa mediante diferentes colores. La asignación de un estado a cada celda se le llama establecer una configuración.  Los conjuntos contiguos de celdas se llaman vecindades, que vienen determinadas por sus posiciones relativas respecto a cada celda. Finalmente se establece una Regla de Evolución,  una función que define cómo cambia de estado cada celda dependiendo del estado inmediatamente anterior de su vecindad. Esas reglas se aplican siguiendo un Reloj Virtual de Cómputo conectado a cada celda del autómata. Un ejemplo muy conocido es el Juego de la Vida de J. H. Conway popularizado en 1970 por Martin Gardner. El modelo que Charlie emplea en el episodio es un autómata de dimensión uno. Supongamos que el primer mensaje que recibe se representa mediante el gráfico que vemos dibujado. Charlie descubre que el mensaje evoluciona según las siguientes reglas: En cada nueva etapa, una celda estará viva si exactamente una de sus vecinas lo está. En cada nueva etapa, una celda estará muerta si ninguna, o dos de sus vecinas, están vivas. Las celdas vivas son las sombreadas y las muertas las que están en blanco. Siguiendo estas reglas, ¿cuál será la siguiente configuración a la representada? Veamos. La primera celda tiene una contigua viva, por lo que en el siguiente paso, estará viva. La segunda celda tiene muertas sus dos celdas vecinas por lo que en el paso siguiente, estará muerta. La tercera celda está entre dos celdas vivas, por lo que en el próximo paso, estará muerta.. Es sencillo ver que las dos últimas estarán vivas. De este modo, el nuevo estado del mensaje será el que aparece en la imagen de la derecha. El proceso se itera las veces que se precisen, obviamente, después de implementadas las reglas en el ordenador. Otras dos referencias que aparecen en el capítulo son las sucesiones de Farey (“Buscamos fracciones. Concretamente, una sucesión de Farey”, es la referencia exacta de Charlie en el guión). Una sucesión de Farey de orden n es la formada por todas las fracciones propias (es decir, menores o iguales que 1) con denominador menor o igual que n ordenadas de menor a mayor. Cada sucesión de Farey comienza en el 0, representado por la fracción 0/1, y termina en el 1, representado por la fracción 1/1, aunque algunos autores suelen omitir ambos términos. Los primeros términos de la sucesión de Farey, denotada por Fn, son: F1 = F2 = F3 = F4 = F5 = F6 = Dos propiedades inmediatas de estas sucesiones (el lector podrá probarlas sin demasiada dificultad) son: Cualquier par de fracciones consecutivas a/b y c/d, verifican que bc - ad = 1. Tres fracciones consecutivas cualesquiera a/b, c/d, y e/f, verifican que c/d = (a + e)/(b + f) Relacionados con las sucesiones de Farey están las fracciones continuas, el llamado árbol de Stern-Brocot,  y los círculos de Ford, que no describiremos por ahora. Estas sucesiones reciben el nombre del geólogo británico John Farey (1766-1826), que publicó una carta sobre ellas en un número de la revista Philosophical Magazine en 1816. En ella Farey conjeturó la segunda de las propiedades descrita anteriormente aunque, por lo que se sabe, no llegó a probarla. La carta de Farey fue leída por Cauchy que probó la afirmación de Farey en su libro Exercises de mathématique. Lo curioso es que al parecer fue el desconocido matemático C.Haros, el primero que publicó un resultado semejante en el año 1812, circunstancia desconocida tanto por Farey como por Cauchy. Una vez más, un accidente histórico ligó el nombre de Farey con este tipo de sucesiones en lugar del nombre de su descubridor original. Episodio 2.03 – Obsesión (Obsesión) Argumento: Un hombre irrumpe en la casa de una cantante pop, Skylar Wyatt, que está casada con un actor. Ella ha estado recibiendo cartas amenazadoras desde hace algún tiempo pero no se las tomó demasiado en serio hasta ahora. Megan intenta localizar al asaltante a partir de su descripción física. Posteriormente un fotógrafo aparece muerto. Los hermanos Eppes tratarán de esclarecer ambas situaciones. Aspectos Matemáticos: El problema de la Galería de Arte, Trigonometría, Conceptos de geometría esférica elemental (latitud, longitud, etc.). Ninguna de las cámaras de seguridad de la casa asaltada ha logrado captar una sola imagen del intruso. Esta circunstancia lleva a Charlie a analizar la situación de las cámaras a lo largo de la casa, lo que nos lleva a un famoso problema, conocido como el problema de la Galería de Arte, propuesto en 1973 por el matemático Victor Klee. Aunque su descripción es sencilla, hubo que recurrir a técnicas de geometría computacional para dar una solución general del mismo. El enunciado es el siguiente: ¿Cual es el número mínimo de vigilantes en un museo o una galería de arte que garanticen que todos los lugares de la sala estén controlados al menos por uno de ellos en todo momento? A un nivel elemental, el problema puede resolverse probando, experimentando. Pero al ir variando la forma de la sala o la capacidad de los vigilantes el problema puede transformarse en un asunto realmente complicado. La solución viene dada por el teorema de Chvatal, que establece que se precisa un número máximo de [n/3] cámaras (atentos a la notación: el corchete indica la parte entera de n/3), siendo n el número de vértices que tenga la sala. Se supone que cada cámara puede orientarse para controlar cualquier dirección (en cada instante sólo controla, obviamente una dirección concreta) y que no puede ver a través de las paredes (parece de Perogrullo pero no lo es: esto reduce el ángulo de movilidad de la cámara). Veamos algunos casos concretos. Supongamos que tenemos tres salas con las siguientes formas. Los polígonos tiene respectivamente 4, 6 y 8 lados. Según el teorema, cada caso necesitaría, respectivamente, un número máximo de guardias igual a [4/3], [6/3] y [8/3], es decir, 1, 2 y 2 vigilantes, respectivamente. Sin embargo, cualquiera entiende que con un único vigilante en cada sala es suficiente para controlar cada punto de la misma. Esto sucede siempre que la forma de la sala sea convexa, es decir, que podamos unir dos puntos cualesquiera de la sala por un segmento totalmente contenido en ella. Pero hay salas que pueden no ser convexas, o que tengan columnas que impidan la visión, etc. Véanse otras posibles salas más abajo. Además el teorema indica el número máximo de vigilantes pero no dice dónde deben colocarse para actuar de la forma más eficaz. Václav Chvatal resolvió el problema siendo aún alumno de la universidad de Montreal. Posteriormente, Steve Fisk, estudiando el trabajo de Chvatal, encontró una demostración más sencilla y completa ¡mientras dormía en un viaje en autobús por Afganistán! Para el lector que quiera entretenerse o para aquellos que sean dueños de una tienda de todo a cien, traten de descubrir cuántos y donde deben colocarse los vigilantes o las cámaras de seguridad en los siguientes casos: En otro momento del capítulo, Charlie observa unas fotografías que muestran un aro de baloncesto y la sombra que el Sol proyecta del mismo. Utilizando razones trigonométricas y algo de geometría esférica es capaz de determinar el ángulo de elevación del Sol, de ahí la hora en que fueron tomadas las fotos, y lo más importante para resolver el caso, desde donde. Es de suponer que quienes estén leyendo estas reseñas estén suficientemente familiarizados con la trigonometría, dado que es un tema básico en todos los planes de estudio de las ESO y el Bachillerato. Es probable además que conozcan que es una herramienta fundamental para calcular datos de lugares inaccesibles (seguramente les sonará aquello de la medida de la altura de las pirámides, o de ciertas montañas, etc.). En todo caso en la red pueden sino ponerse al día. Una actividad muy recomendable y entretenida en relación al episodio y a la trigonometría es la construcción de un reloj de sol. Episodio 2.04 – Riesgo Calculado (Calculated Risk) Argumento: Don alberga en su casa a Daniel, un joven testigo, ya que el plan de protección no se hace cargo de su custodia. La madre de Daniel, una mujer de negocios de una compañía eléctrica, ha sido asesinada. Aspectos Matemáticos: Probabilidad Condicional, Árboles de probabilidad condicional, Interés compuesto. Es probable que nuestros alumnos tengan cierta idea de cómo calcular la probabilidad de que un suceso simple suceda. Por ejemplo la probabilidad de sacar un as de un mazo de cartas, o la de extraer una bola de cierto color de un conjunto multicolor. Sin embargo cuando encadenamos varios sucesos, y su resultado influye en los posteriores, es necesario utilizar el concepto un poco más elaborado de probabilidad condicional, que por otro lado modeliza una cantidad mayor de situaciones de la vida cotidiana. En la industria médica, por ejemplo, verificar si una medicina es efectiva o inocua depende de muchos factores como la salud del paciente o si se ha administrado correctamente. Las compañías farmacéuticas tratan de controlar estas variables haciendo tests. Y obviamente aquí no cabe el método de ensayo-error, porque nos podemos ir quedando sin elementos en el espacio muestral. En el capítulo Charlie tratará de reducir una enorme cantidad de variables mediante la “poda” de un diagrama de árbol. Aunque esto requiere la utilización de complejos algoritmos avanzados, la idea básica se fundamenta en los conceptos de sucesos dependientes y probabilidad condicional. El manejo y análisis de este tipo de estructuras es llevado a cabo, normalmente, por informáticos, que sí, necesitan matemáticas para su trabajo, pero los matemáticos como Charlie no suelen dedicarse a estos menesteres. Por otro lado, la mujer asesinada había hecho varias inversiones de dinero que los hermanos proceden a investigar. A lo largo del tiempo, el precio de la mayor parte de los bienes de consumo que contratamos se incrementa (el precio del gas, de la electricidad, etc.). Las personas que invierten en bolsa u otros productos bancarios suelen asesorarse antes de decidirse por tal o cual empresa o producto financiero, aunque nadie (en teoría) puede asegurar ningún comportamiento futuro. No obstante hay mucha gente que invierte en productos futuros (planes de pensiones) como la mujer del capítulo. Las empresas también tratan de ajustar sus activos para poder hacer frente a los costes que tendrán en el futuro. El invertir en futuribles no deja de ser un riesgo: si los precios (o las acciones) bajan, perdemos dinero. Una herramienta para hacer “predicciones financieras” es el concepto de interés compuesto, que viene dado por la expresión  A = P ( 1 + r/n )nt, donde A es el dinero que obtendremos al cabo de un tiempo, P la cantidad invertida inicialmente, r el interés al que imponemos nuestro capital (escrito en forma decimal), n el número de periodos al año y t el tiempo en años. Por ejemplo, 1000 euros invertidos al 7% en periodos de cuatro meses durante 8 años, nos ha producido en ese tiempo 1742.21 euros. Como dije antes, muchas personas se afanan en localizar la mejor opción para su dinero, de ahí las continuas ofertas de los bancos. Personalmente es un tema que no sólo me aburre sino que me repele bastante, quizá porque uno nunca ha tenido aspiraciones de ser millonario, o quizá porque lo poco que uno sabe de los números (y de las entidades bancarias) me han llevado al convencimiento de que NADIE con un sueldo normalito (es decir, que no sea ya millonario) va a lograr incrementar su capital sustancialmente si no es robando o porque le toque la lotería. Calculen sino, cuanto debe uno invertir para que desde los 23 años hasta los 65 si alguien le ofreciera ingresar sus ganancias cada 2 semanas (algo imposible a todas luces) pudiera tener, digamos por ejemplo, 1 millón de euros al término de ese tiempo. Los números no mienten, y desde luego hay entretenimientos más saludables que pulular de banco en banco (claro que de eso se valen también estos señores, de despreocupados como yo). Os recuerdo que cualquier comentario, duda, aclaración o crítica podéis hacérmela llegar a alfonso@mat.uva.es.

Domingo, 01 de Abril de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

287. 23. Planilandia (y III)

Finalizamos este mes la descripción de las películas sobre la obra  de Edwin A. Abbott con una de las primeras versiones y otra aún no estrenada comercialmente aunque lo hará en breve. En 1982, el cineasta y matemático Michelle Emmer dirigió el cortometraje Flatland. Personalmente no he logrado verlo y en la red apenas hay información sobre el mismo. Sin embargo el propio Emmer en su libro Mathematics, Art,  Technology and Cinema (Springer-Verlag, 2003), dedica un capítulo a explicar algunos aspectos sobre su realización. Describimos algunos de los más relevantes o llamativos. El autor comienza haciendo el siguiente símil: el funcionamiento de una cámara es como el de un operador geométrico que transforma objetos tridimensionales en objetos planos. (R3→R2). La película (un objeto 2D) es posteriormente proyectada mediante una fuente de luz sobre una pantalla o en una pantalla de televisión (también objetos 2D) (R2→R2). Por tanto a priori una cámara debería ser un instrumento adecuado para representar la historia de Planilandia, una historia sobre mundos de diferentes dimensiones. La historia que se plantea contar es básicamente la siguiente: partimos de un mundo en dos dimensiones hasta que el cuadrado protagonista se encuentra con la esfera y descubre un mundo tridimensional. Ambos acaban finalmente soñando con un mundo de cuatro dimensiones. Entre los problemas que hubo que solventar (recordemos que no se trata de una superproducción en la que se dispone de mucho dinero ni en aquellos años los realizadores disponían de unos medios tan sofisticados como los actuales (ordenadores, etc.)), Emmer indica los siguientes: 1.- Cómo hacer la película. Se descartó desde el principio la animación en beneficio de objetos reales de dos y tres dimensiones; hacia el final se realiza una simulación de un cubo y una esfera tetradimensionales. 2.- Cómo trasladar los dibujos de Abbott a imágenes buscando modelos para los colores y las formas que siguieran los patrones de principios del siglo XX (recuérdese que el libro se publicó en 1884). 3.- En el libro hay un momento en el que a los habitantes de Flatland les entra la moda del color, y comienzan a pintar todos los objetos. Por tanto previamente ellos y los objetos con los que conviven (casas, árboles, etc.) no deberían tener color. Por otro lado el texto indica que los personajes masculinos deben ser polígonos regulares y los femeninos, segmentos. 4.- Sin embargo Emmer pretendía realizar una película a color y no a blanco y negro. Los habitantes de Planilandia se reconocen entre sí porque sus lados emiten un resplandor. Así pues la luz parecía la clave para conformar a los habitantes de Planilandia. Deberían ser luminosos pero sin color. Se decidieron por un material transparente que permitiera tener bordes que reflejaran la luz, que brillaran. Las casas y los árboles, por el contrario deberían ser de un material oscuro y opaco. La búsqueda de tal material llevó al equipo técnico varios meses. 5.- Los habitantes (segmentos, triángulos, cuadrados, polígonos y círculos) tendrían que ser pequeños porque en algunas escenas, incluida la batalla, aparecían hasta un centenar de personajes. El propio escritor sugiere en su novela que para entenderla bien se piense en objetos que se mueven sobre una mesa. Es difícil sin embargo bajar la cámara a la altura de los habitantes de Planilandia para observar cómo se perciben unos a otros, y además sin que el espectador vea las paredes de la habitación donde se realiza la filmación. Era necesario “inventarse” una superficie plana que permitiera visualizar a nivel del borde pero que no dejara ver el fondo. La solución adoptada consistió en curvar el frente de la mesa hacia abajo, lugar donde se situó la cámara, y curvar a su vez la parte trasera de la mesa hacia arriba para simular un efecto de profundidad infinita. Sin embargo al hacer esto, como la mesa era iluminada desde arriba, el reflejo en la parte curva era más intenso que siendo plana. Además esas partes curvas eran captadas por la cámara de un modo extraño, diferente al resto. Esto desembocó en un problema geométrico: encontrar la curvatura ideal para el frente y el fondo de la mesa de manera que la luminosidad fuese igual o al menos similar. El material empleado, aunque pueda parecer increíble a la vista de los resultados obtenidos finalmente, fue formica negra. Una iluminación difusa desde cierta altura creaba el efecto de un color de fondo transparente azulado sobre el que los personajes se movían. Daba la impresión de que los objetos se movían en un espacio vacío, inmaterial. Tras varios experimentos, el material elegido para construir los personajes fue Perspex, aunque fue costoso para los técnicos cortar este material en trozos pequeños a partir de largas planchas. En un pequeño estudio se montó la mesa curvada, se fijó la cámara a dicha mesa mediante raíles y las luces se colocaron por encima de la mesa. Para obtener un movimiento correcto y fluido de los personajes (en animación cada fotograma es una imagen distinta de las demás y cada segundo de película contiene 24 fotogramas) fue necesario dibujar el itinerario de cada uno y su velocidad. Cada uno tiene una forma particular de moverse. Una vez determinados los aspectos técnicos relacionados con los personajes, fue preciso construir la historia. Primero se hizo el guión y luego el storyboard. Se procuró ser fiel al texto original de Abbott donde fue posible. Los párrafos complicados o muy difíciles de poner en escena fueron suprimidos. A pesar de todo, una gran duda quedaba en el aire: ¿cómo rodar el encuentro entre el cuadrado y la esfera y entre éstos y el cubo en cuatro dimensiones? A principios de los años ochenta, Thomas Banchoff había hecho una película en 16 mm. sobre el hipercubo. Su sugerencia fue crear los gráficos animados por ordenador. Por eso los dos últimos minutos de la película están realizados mediante ordenador. La diferencia es apreciable, pero sirve para acentuar la distancia entre el mundo plano del cuadrado y la realidad virtual. Esa escena final permite además la reflexión final de la película sobre el significado de la Ciencia, la libertad y las elecciones que cada uno de nosotros toma en la vida. Ese final constituyó el mejor posible para la historia en aquel momento, un final que el realizador confiesa no haber sabido cómo llevarlo a cabo de no haber contado con la ayuda de Banchoff. Una última curiosidad: la música del cortometraje corrió a cargo del gran Ennio Morricone. Podría parecer que ya son suficientes versiones sobre esta novelita. Pues bien, para este próximo mes de Junio de 2007 está previsto que acabe la postproducción de otra película norteamericana titulada Flatland the movie. Pinchando en el pentágono podemos ver el trailer de la película (está en inglés pero se entiende, creo, bastante bien). El argumento de esta película tiene algunas diferencias con el original que venimos comentando. En este caso los protagonistas son Arthur, un cuadrado y Hex, su curiosa nieta de seis lados. Un día llega un enigmático visitante de Spaceland que hará comprender a nuestros protagonistas la verdadera realidad de la tercera dimensión poniendo sus vidas en peligro al amenazar el orden establecido por los malignos Círculos que han estado gobernando Flatland durante miles de años. El proyecto de la película fue anunciado oficialmente el 22 de Enero de 2006 como un cortometraje de 30 minutos de duración en el que estarían incluidos drama, acción y algunas lecciones de geometría. El mensaje que pretende llevar al público es tomar conciencia de las limitaciones que tenemos acerca de nuestra percepción de la realidad y tratar de hacernos pensar en la existencia de dimensiones mayores de tres. Realizar la película era el sueño desde la infancia del trio Jeffrey Travis, Dano Johnson y Seth Caplan, admiradores de la novela de Abbott. Travis se encargaría de la dirección, Caplan la produciría y Johnson sería el director de animación. En principio la producción se esperaba que estuviera terminada en seis meses. La película sería parte de un DVD educativo para su utilización en enseñanza secundaria y también sería emitida por televisión. El 25 de Julio de 2006 se anuncia que el conocido actor Martin Sheen interpretará el papel de Arthur. Sus responsables afirmaron estar encantados ya que era la persona en quien habían pensado desde un principio “por su gran talento y la pasión que imprime a sus trabajos” (quizá más por el hecho de tener un famoso que respalde una película independiente de bajo presupuesto, aunque por supuesto esto no lo dijeron). El 14 de Agosto recibieron otra buena noticia: la conocida (en los EE. UU.) actriz de un show televisivo Kristen Bell encarnaría el papel de Hex. El conocido Michael York también se ha sumado al proyecto poniendo la voz a Spherius, la esfera tridimensional. El 15 de septiembre el matemático John Benson, ganador de un premio a la excelencia en la enseñanza de las matemáticas junto al productor Seth Caplan presentaron las primeras escenas ante el National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) en una conferencia en Chicago. El 12 de octubre se anuncia la participación de la organización Hollywood Math and Science Film Consulting. La citada organización fue fundada por los profesores de la Universidad de Oxford Lizzie Burns, doctora en bioquímica, y Jonathan D. Farley,  doctor en matemáticas. Presta servicio a aquellas productoras, guionistas o cineastas que deseen que los detalles técnicos y el lenguaje relacionados con las matemáticas, la medicina o la ciencia en general presentes en las películas sea real, sin errores. Tienen un equipo de matemáticos, físicos y otros científicos que garantizan sus decisiones y poseen también contactos en la Academia de las Artes y las Ciencias de Hollywood. No desean eliminar los componentes fantásticos de las películas, pero sí describir la ciencia como es. Algunos de sus trabajos han sido en los guiones de las series Numb3rs, Médium y recientemente en los documentales de Wired Science. En el caso de Flatland the movie su trabajo ha consistido en el asesoramiento en la redacción del guión de la película y el desarrollo de unas practicas de trabajo para alumnos y profesores como suplemento a la película. El resto del personal técnico acreditado de esta empresa son la doctora Sarah Greenwald, (premio en el 2005 por sus esfuerzos en divulgación, es la responsable de la página web que explica los aspectos científicos de la serie de animación Los Simpson), el doctor en medicina Wayne Grody (profesor en los departamentos de medicina de laboratorio, medicina patológica, y en Genética de la Universidad de California,  además de director del laboratorio de patología molecular del Centro Médico de la UCLA), el doctor en matemáticas por la Universidad de Harvard Anthony Harbin, entre otros. Como vemos en los EE. UU. no resulta “extraño”, ni “raro” ni una pérdida de tiempo o de talento que prestigiosos científicos se dediquen a la divulgación. Quizá eso tenga algo que ver con que las Universidades norteamericanas copen los primeros puestos en investigación, o quizá no, pero es un dato. En todo caso podríamos, por si acaso, hacer algo más al respecto por estos lares. De todos modos es, no probable sino seguro, que ni nuestra excelente y excelsa comunidad científica, ni los responsables en educación, ni los medios de comunicación de nuestro país nunca leerán éste u otros comentarios similares de otros medios, lugares o personas. Y es que ya se sabe, para unos, trivialidades las menos, por favor; para otros, primero hay que enterarse de que van todas estas cosas y cuesta mucho esfuerzo y tiempo, y probablemente no lleguen a tiempo de las próximas elecciones; y los otros rentabilizan más los asuntos frívolos y de casqueria.  O sea que como dice el dicho, el que quiera saber, que vaya a Salamanca…..

Martes, 01 de Mayo de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

288. 24. CONCURSO DEL VERANO DE 2007

El curso 2006-2007 llega a su fin en lo que al periodo lectivo se refiere. Tod@s ansiamos la llegada del verano para descansar mente y cuerpo (algunos lo harán menos porque ya se relajaron bastante durante el curso y les toca hincar codos; a otros aún nos queda la ardua y penosa tarea de examinar, corregir, evaluar y repartir alegrías y disgustos). Pero ¿qué sería del verano sin el tradicional concurso cinematomatemático? Pues nada, seguid leyendo. Y es que ya llevamos así como quien no quiere la cosa la tercera edición de este concurso. En las dos convocatorias anteriores, curiosamente, acertasteis más cuestiones matemáticas que cinematográficas, lo cual nos lleva a pensar que, una de tres, o los que leéis estas reseñas preferís las “tracas” al cine (lo cual no deja de ser motivo de sorpresa pero también de satisfacción), o no tenéis mucha idea de cine (os puede ayudar cualquier amigo que escriba crítica de cine en algún sitio que los hay a cientos) o que las preguntas son dificilillas (claro, con toda la información que hay por la Red, hay que liarlo un poco). Pues venga, a ver si este año, la cosa mejora. Pero antes, algunas noticias breves. En la siguiente dirección, http://www.math.harvard.edu/~knill/mathmovies/index.html se incluyen escenas matemáticas de algunas películas. Aunque están en inglés (el autor de la página es norteamericano), la calidad de imagen no es demasiado buena y en algunas el sonido es también deficiente, puede resultar interesante visionarlas, sobre todo aquellas que no se han estrenado en nuestro país. Si además se echa un vistazo al libro Las matemática en el cine de la editorial Proyecto Sur, se pueden entender aceptablemente. Algunas de ellas sin embargo no se sabe muy bien qué pintan ya que la única referencia matemática es la cita de un número. Por otra parte, se ha anunciado  para el próximo 20 de junio la salida al mercado de la segunda temporada de Numb3rs en DVD para todos aquellos que no la hayáis podido seguir en el canal de pago Calle 13, la cadena que la ha venido emitiendo este año. Son 8 discos con los 24 capítulos de la serie en formato panorámico. Su precio, 59.95 €. Colateralmente a las matemáticas, aún en algunos cines se puede ver la película El  número 23 (Joel Schumacher, EE. UU. 2006), con la apofenia como tema de fondo (asunto ya tratado en otros films, como Pi o la serie Perdidos; ver reseña del mes de Diciembre de 2006). A raiz de su estreno han aparecido mogollón de páginas en las que se cuentan diferentes Curiosidades sobre el número 23. Una de ellas es la del enlace. Personalmente no tengo ninguna intención de verla porque me niego a ver nada que tenga que ver con el actor protagonista al que no aguanto ni en foto, pero si alguno cree  que está bien y es de algún interés matemático, escribidme un mensaje y me lo contáis.   El Concurso Cuadrados Mágicos Es probable que conozcáis de sobra el  grabado Melancolía I, de Durero, realizado en 1514. Aparecen en él diversos elementos relacionados con las matemáticas y la física. Hay en la red multitud de explicaciones e interpretaciones de esta obra. Sin entretenernos demasiado citemos una frase relacionada con la temática del grabado atribuida a Martín Lucero: “las matemáticas hacen melancólicos a los hombres, igual que la medicina los hace enfermos o la teología pecadores”. En la esquina superior derecha, debajo de la campana y sobre la cabeza del personaje principal aparece un cuadrado mágico que además nos da la fecha de realización de la obra. Como también sabréis existen 880 cuadrados mágicos diferentes de orden cuatro, siendo éste el más célebre debido a su presencia en este grabado. Pero este cuadrado también ha hecho su aparición en el cine. Las primeras cuestiones son: I.- Citar al menos dos películas distintas en las que éste u otro cuadrado mágico aparezca. Como pista adicional indicaremos que la nacionalidad de al menos dos de ellas es europea. II.- Indicar un lugar de la geografía española en la que aparezca algún cuadrado mágico y explicar si es posible el objeto de su presencia. El fotograma misterioso A continuación se puede ver una imagen de una película en la que si uno se fija un poco aparece una pizarra con expresiones matemáticas. Dos cuestiones más: III.- ¿De qué película se trata? ¿Tiene su argumento algo que ver con las matemáticas? En su defecto (esto se valora sólo con la mitad de la puntuación), nombre de alguno de los dos actores que aparecen. IV.- ¿Tienen esas expresiones algún sentido, responden a alguna cuestión matemática concreta? Si es así, indicar cuál. Un símbolo “extraño” Sobre las cuatro bandas horizontales de la imagen se puede ver una figura que aparece en algunas películas. Se trata de una insignia. Se pregunta lo siguiente: V.- Película o películas en las que aparece. VI.- Encontrar funciones cuya representación gráfica componga lo más fielmente posible la citada imagen. VII.- Si se inscribe esa figura dentro de una circunferencia de radio r que pase por sus tres vértices, ¿qué superficie del círculo encerraría esa insignia? Cada una de las cuestiones planteadas se valorará sobre 10 puntos. El concursante que logre mayor puntuación ganará alguno de los fantásticos libros que DivulgaMAT gentilmente proporciona como premio a vuestros conocimientos y esfuerzo. Como siempre, las respuestas deben enviarse a la dirección alfonso@mat.uva.es antes del viernes 21 de Septiembre de 2007, indicando en el título del mensaje “Verano 2007”. Ánimo a tod@s. Disfrutad de un buen verano. Y ya sabéis que en Octubre nos volvemos a ver, si os parece bien.

Domingo, 01 de Julio de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

289. 25. BALANCE VERANIEGO

XIII Jornadas de Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas La Federación Española de Profesores de Matemáticas (FESPM) y la Sociedad Andaluza de Educación Matemática  THALES organizaron en Granada las XIII JAEM del 4 al 7 de julio de 2007. En su amplio programa aparecieron propuestas que relacionan las Matemáticas y el Cine. Concretamente en una de las exposiciones del Zoco, Abel José Martín Álvarez  y Marta Martín Sierra presentaron una colección de láminas de carteles y fotogramas de películas con alguna referencia matemática. Su objetivo, según sus propias palabras es “utilizar el cine como medio de popularización y divulgación, cuidando los procedimientos y la forma de mezclarlos, para que al alumnado le guste, le siente bien, y le permita hacer una mejor digestión de los conceptos y la abstracción matemática, con la intención de que sea para todo y para todos”. Su valoración ha resultado altamente positiva ya que la exposición tuvo una gran aceptación entre los asistentes. Muchos hicieron fotografías de los posters o incluso se hicieron fotografías con el zoco de fondo. Reconocían las películas, se comentaban y se reflexionaba sobre su contenido matemático. También se echaban en falta algunos títulos, comentándose la conveniencia de incorporarlas al trabajo. Uno de las partes que más llamó la atención fue la dedicada a Los Simpsons, serie que incluye unos cuantos matemáticos entre sus guionistas como ya hemos comentado en otras ocasiones. Algunos particulares y miembros de Sociedades de Profesores se interesaron por disponer de la exposición para presentarla en los Centros de varias provincias. Dado el coste económico y las dificultades logísticas que acarrearía esta iniciativa, sus creadores propusieron  de momento la colocación de la exposición al completo en la Red para que el que lo desee pueda hacer un recorrido virtual por la misma. Abel Martín es profesor del IES Pérez de Ayala de Oviedo y mantiene el portal aula matemática, en el que se pueden encontrar diferentes propuestas relacionadas con las matemáticas enfocadas en la mayor parte de los casos a la labor docente. Una de estas secciones es Las matemáticas y el cine en la que están haciendo un esfuerzo increíble de recopilación de imágenes y de descripción de escenas de películas en las que las matemáticas están presentes. Es en esta sección en la que aparece la exposición completa que han llevado a las JAEM. Por otro lado, en las mismas JAEM el grupo Alquerque presentó una ponencia titulada ¡Divulga Matemáticas! que podéis leer aquí, que examina a fondo las diferentes experiencias divulgativas que se han llevado o se llevan a cabo respecto a las matemáticas. Uno de sus apartados analiza el cine, la televisión y el teatro. Curso de Verano en Avilés Del 9 al 13 de julio tuvo lugar en el Edificio de Servicios Universitarios de Avilés la segunda edición del Curso Una Mirada a las Matemáticas a través del Cine, organizado por Luis José Rodríguez Muñiz, profesor titular del Departamento de Estadística e Investigación Operativa y Didáctica Matemática de la Universidad de Oviedo. Se trata de un curso homologable por 4,5 créditos de libre configuración en enseñanzas regladas y por 3 créditos de Formación Permanente para profesorado en activo no universitario del Principado de Asturias. El número de plazas estaba limitado a 50 y los alumnos debían contestar satisfactoriamente a un cuestionario relacionado con las charlas y las películas proyectadas durante la semana, junto a la presentación de un trabajo final. Las sesiones eran de nueve de la mañana a tres de la tarde y tenían un esquema similar: conferencia, película y análisis posterior de la misma. La semana se distribuyó del siguiente modo: Conferencia Números y Geometría, Visionado pautado de la película Pi, fe en el caos y Análisis de la misma, abordando entre otros aspectos la sucesión de Fibonacci, el número Pi y la teoría de números, a cargo del profesor Ignacio Martínez López de la Universidad de Oviedo; la segunda jornada versó sobre la teoría de grafos, se realizó un visionado pautado de El Indomable Will Hunting, comentándose posteriormente los apuntes históricos sobre las matemáticas que en ella aparecen por parte del profesor Luis José Rodríguez Muñiz; la tercera jornada se centró en la lógica matemática, proyectando y analizándose la película Alicia en el país de las maravillas por la profesora Susana Irene Díaz Rodríguez; el jueves 12 se dedicó a la didáctica de las matemáticas, con la proyección de El amor tiene dos caras, a cargo del profesor Eduardo Zurbano Fernández; finalmente, el que esto escribe hizo un análisis general de cómo han sido vistas las matemáticas por el cine comercial (conferencia titulada Incursiones Matemáticas por el cine) en la que se proyectó un montaje de cuarenta y cinco minutos de duración con escenas de contenido matemático de una veintena de películas diferentes. A continuación mostré una forma de introducir el cine en el aula: a partir de unas escenas de películas se propone trabajar temas como el concepto de paralelismo, las geometrías no euclídeas (en particular la hiperbólica), el último teorema de Fermat y el algoritmo de la curva elíptica en la factorización de números primos de muchos dígitos, tratando de transmitir la idea de que no sólo podemos abordar temas elementales a través del cine, sino también aspectos de nivel superior. Finalmente tuvo lugar una mesa redonda en la que participamos Félix Mendez (periodista especializado en temas científicos del periódico La Nueva España de Avilés), Luis Rodríguez Muñiz (organizador del curso que hizo las veces de moderador), la profesora María José García Salgado (profesora del Departamento de Ciencias Jurídicas Básicas con una amplia experiencia en la utilización del cine en la enseñanza del Derecho: lleva varios cursos impartiendo la asignatura Derecho y Cine) e Ignacio Martínez López (ponente del curso y profesor del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Oviedo). Los medios de comunicación de Avilés se hicieron eco de este y otros cursos universitarios, y diariamente aparecían reseñas del día anterior en los dos periódicos locales: La Nueva España de Avilés (www.lne.es) y La Voz de Avilés  (www.elcomerciodigital.com/aviles/). Aquí están algunos enlaces relativos al curso en el primero de los periódicos citados: Presentación del curso, Entrevista a Irene Díaz, Mesa Redonda. Si alguno de los participantes en el curso quiere dejarnos sus impresiones sobre el mismo, puede enviarlas a la dirección de siempre. Diálogos de Cine Durante este fresquito estío, han seguido llegando mensajes y sugerencias de amigos y compañeros a los que agradecemos sus colaboraciones que enriquecen esta sección. Julio Zárate, desde Burgos, nos enviaba al siguiente diálogo entre Jack Lemmon (C.C. Baxter) y Shirley MacLaine), del clásico El Apartamento (The Apartment, Billy Wilder, EE. UU., 1960): Fran Kubelik: Se ha resfriado, ¡eh!. C.C. Baxter: Si, lamentaría pegárselo. Fran Kubelik: Yo nunca me resfrío. C.C. Baxter: ¿De veras?. He estado leyendo una estadística sobre accidentes y enfermedades. El ciudadano neoyorkino entre los 20 y los 50 tiene dos resfriados y medio por año. Fran Kubelik:  ¡Qué gran responsabilidad la mía! C.C. Baxter: ¿Por qué?. Fran Kubelik: Porque como yo no me resfrío, para que no fallen las estadísticas otro infeliz ha de tener cinco resfriados. Un nuevo ejemplo bastante claro de lo que entiende la gente (¡y muchos periodistas!) de porcentajes y estadísticas. Desde aquí os proponemos que nos enviéis diálogos semejantes que hayáis visto en películas y nos las comentéis. Julio también nos mandaba títulos de películas en las que aparezca algo relacionado con las matemáticas. ¿Existirán títulos para cada número del uno al cien, por ejemplo? A modo de ejemplo, con los diez primeros: 1, 2, 3: Uno, dos, tres (One, two, three; Billy Wilder, EE. UU., 1961) 4: Los cuatro jinetes del Apocalipsis (The Four Horsemen of the Apocalypse, Vincente Minnelli, EE. UU., 1962) 5: Cinco tumbas al Cairo (Five graves to Cairo, Billy Wilder, EE. UU., 1943) 6: La Mitad de Seis Peniques (Half a Sixpence, George Sydney, EE. UU., 1967) 7: Los siete magníficos (The Magnificent Seven, John Sturges, EE. UU., 1960) 8: Ocho y medio (8½, Federico Fellini, Italia, 1963) 9: Nueve semanas y media (Nine 1/2 Weeks, Adrian Lyne, EE. UU., 1986) 10: Los diez Mandamientos (The Ten Commandments, Cecil B. de Mille, 1956). ¿Os fijáis que Billy Wilder aporta bastantes? Y en versión original dos más que se pierden en la título dado en español: Stalag 17 (aquí llamada Traidor en el infierno), The Seven Year Itch (La tentación vive arriba). ¿Y que la fracción ½ también parece popular? (Conste que son las primeras que me han venido a la cabeza). ¡A ver quien llega a la centena! Por cierto Julio Zárate es también coautor junto a José Chamoso de uno de los paseos matemáticos editados por Nivola, Matemáticas en la prensa. Avance Próximos Estrenos Tenemos a la vista dos estrenos de películas relacionadas con las matemáticas y/o los matemáticos. La Habitación de Fermat (Fermat´s Room, Luis Piedrahita y Rodrigo Sopeña, España, 2007): Cuatro matemáticos que no se conocen entre sí son invitados por un misterioso anfitrión con el reto de resolver un gran enigma. El problema es que si no lo hacen a tiempo, acabarán aplastados ya que las paredes van estrechando la habitación en la que se encuentran. ¿Qué relación los ha unido?¿Quién puede desear acabar con ellos? En el reparto se encuentran Federico Luppi, Santi Millán, Lluís Homar, Alejo Sauras y Elena Ballesteros. Es el debut de estos guionistas/realizadores, con una amplia trayectoria en el mundo de la televisión. La premiere mundial de La habitación de Fermat será el próximo 7 de octubre en el Festival Internacional de Cinema de Catalunya, Sitges 2007. Su estreno comercial se anuncia para el 16 de noviembre de 2007. Por cierto, ¿No os suena ya todo esto al argumento de otras películas? Para ir abriendo boca, ahí tenéis el Trailer de La habitación de Fermat Los crímenes de Oxford (The Oxford Murders, Alex de la Iglesia). En reseñas precedentes ya os hemos venido informando del rodaje de esta película basada en la novela de nuestro compañero y colaborador de DivulgaMAT, Guillermo Martínez. El estreno se ha fijado para el 18 de Enero simultáneamente en inglés y castellano. Por ahora tenemos fotos del rodaje y el póster probable de la película. RESPUESTA A LAS CUESTIONES DEL CONCURSO DEL VERANO 2007 Cuadrados Mágicos I.- Dos películas en las que aparece un cuadrado mágico en alguna escena son Las aventuras del Barón de Münchhausen (Münchhausen, Josef von Baky, Alemania, 1943) con Hans Albers en el papel protagonista y Brigitte Horney como la emperatriz Catalina la Grande. Fue el cuarto largometraje alemán rodado en color, rodada con efectos asombrosos para la época en los estudios UFA, capricho (se derrochó de todo estando el país inmerso en plena guerra sufriendo la población grandes privaciones) Josef Goebbels para conmemorar el 25 Aniversario de la UFA. Ha restaurada en 1995por la Fundación Murnau. Sobre este personaje se han realizado muchas adaptaciones al cine (1911, 1943, 1961, 1979, 1988), y versiones televisivas. En la imagen se ve al mentiroso Barón con el mago Cagliostro. Al fondo se observa el cuadrado mágico de orden cuatro: 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 El mismo que aparece en la obra Melancolía de Durero. La segunda película era más sencilla de localizar (al menos si se ha leído el libro Las Matemáticas en el Cine con cierto detalle; ver página 291). Se trata de Bianca (Nanni Moretti, Italia, 1983). Aunque la fotografía no tiene una excesiva calidad, ahí va como prueba: En este caso el cuadrado que aparece, también de orden cuatro y con la fecha del grabado de Durero, 1514, en la fila inferior, es 13 2 3 16 11 8 5 10 6 9 12 7 4 15 14 1 II.- Como nos explica el ganador del concurso, “un cuadrado mágico muy famoso se encuentra en la fachada de la Pasión del templo de la Sagrada Familia en Barcelona. La constante de este cuadrado es 33, la edad de Cristo al morir” Es muy similar al cuadrado mágico de Melancolía, pero dos de los números del cuadrado (el 12 y el 16) están disminuidos en dos unidades (10 y 14) con lo que aparecen repeticiones y se rebajar la constante mágica en una unidad. Obsérvese además al comparar uno y otro que se han invertido las filas de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha (vamos que en el fondo es el mismo cuadrado de la obra de Durero). Es obra, como toda la fachada del escultor Josep María Subirachs. Desde 1987, año en que asume el encargo de diseñar y esculpir esta fachada, vive y trabaja en una modesta vivienda situada en el interior del propio templo de la Sagrada Familia, a imagen y semejanza de su admirado Antonio Gaudí. El fotograma misterioso III. y IV- Esta sí era difícil. Se trata de la película Inquietud (Inquietude, Manoel de Oliveira, Portugal/Francia/España/Suiza, 1998). En ella tres historias de diferente naturaleza se hilvanan ingeniosamente. Es una escena de la  primera en la que un padre incita a su hijo al suicidio para escapar de la decrepitud. La película no trata de matemáticas y las expresiones del encerado no parecen responder a nada conjunto sino más bien son cosas sueltas (una suma, una función, una integral). Un símbolo “extraño” V.- Se trata de un logo de la saga Star Trek. El reproducido era concretamente de la serie de televisión Star Trek: the next generation, ya que su diseño ha ido cambiando con el tiempo. VI.- Aunque podría mejorarse, una aproximación rápida seria construir dos funciones por interpolación. La externa formada por dos trozos de parábola simétricos, uno de las cuales pase que pase por los puntos (-4, 0), (-2.5, 7) y (0, 13.5). Para la interna (de color morado en el dibujo), puede utilizarse un polinomio cúbico de Hermite con los datos siguientes: Punto (-4, 0) con pendiente √3 Punto (0.8, 6) con pendiente 0 Punto (4, 0) con pendiente -√3 El área encerrada por ambas curvas (es una sencilla integral polinómica) resulta para estos datos de 1846/45 - 208√3/75 que es aproximadamente 36.2186. Como la altura máxima que se ha dado es de 13.5, si se desea que sea de otro tamaño basta con aplicar la proporción adecuada. VII.- La circunferencia circunscrita a los vértices dados es x2 + (y-665/108)2 = 628849/11664, siendo su superficie π r2 = π (628849/11664) ≈ 169.37476. El trozo de círculo ocupado por la insignia será la diferencia entre este valor y el del apartado anterior. El ganador del concurso ha sido Alberto Castaño Domínguez. ¡¡¡ ENHORABUENA ¡!!

Lunes, 01 de Octubre de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

290. 26. Recursos Didácticos

Este mes centraremos nuestra atención en una serie de divulgación reciente, Digits. Del Número al Bit, daremos cumplida noticia de algunos eventos que tendrán lugar en breve relacionados con el cine y las matemáticas en nuestro país, y añadiremos más diálogos matemáticos y títulos con número a las respectivas secciones inauguradas en Octubre. El cine no sólo contempla la producción de películas comerciales de ficción. Últimamente el género documental ha suscitado el interés de muchos espectadores, sobre todo cuando los temas son lo suficientemente atractivos o inciden en asuntos con cierta carga de polémica (películas de Michael Moore, sobre el 11-S, o la reciente Una verdad incómoda sobre el cambio climático). Sin embargo por muy verosímiles que puedan parecer siempre han ido ligadas a la controversia, desde el pionero Nanuk el esquimal (Nanook of the north, Robert Flaherty, EE. UU., 1922), pasando por Las Hurdes, tierra sin pan (Luis Buñuel, España, 1932) hasta las series naturalistas de Jacques Cousteau o Félix Rodríguez de la Fuente. Mucho se ha debatido por los expertos sobre si todo documental es falso o no, o si lo es consciente o inconscientemente por parte del realizador. Quizá sea pertinente recordar también los casos del cine de propaganda bélica o el de clara intoxicación cultural manejado normalmente por intereses políticos partidistas para convencernos de sus bondades. Probablemente los documentales relacionados con las matemáticas no llenen las salas cinematográficas ni eleven el share televisivo a niveles demasiado altos, pero una cosa es segura: la manipulación a la que nos puedan someter es limitada. Limitada a nuestros propios conocimientos. Dígits, Del número al bit, es una coproducción de la Televisió de Catalunya, Lavínia TV, La Productora y Docu.net, de 50 capítulos de 5 minutos cada uno. Con imágenes procedentes de  fondos documentales, recreaciones infográficas, filmaciones e Internet, la serie describe ideas, personajes y experiencias del pasado y el presente de la numerización de la información y las comunicaciones. Con un vocabulario sencillo y un ritmo ágil, Dígits se dirige a cualquiera que esté interesado en este fenómeno de nuestro tiempo y en sus diversas aplicaciones. Su breve duración, que limita su profundidad, es sin embargo muy acertada para llegar a un público amplio, al que casi no le da tiempo a cambiar de canal. Su gran inconveniente, sin querer entrar en absurdas polémicas recientes, es que está en catalán (recuperar, conservar y difundir un idioma es un hecho cultural enriquecedor y necesario; pretender que todo el mundo mundial lo hable y domine, es sencillamente, insensato; obligar a hacerlo, es, perdónenme los más sensibles al tema, puedo estar equivocado, de una soberbia que no deseo calificar. Cada cual debe ser libre de decidir que idiomas aprender, aunque no por ello impedirle el acceso a la información). Estaría bien doblarla, o mejor, para respetar más el original, subtitularla. En todo caso, la dicción es pausada y clara, lo que permite a un no catalán parlante entender aceptablemente bien su contenido. La serie ha sido emitida de octubre a diciembre de 2006 por el canal 33 de la Televisió de Catalunya (TVC) y repuesta de enero a marzo de 2007 por el canal 33 TDT de la misma cadena. Sus responsables han creado también un portal (www.digits.cat) sobre los números, las medidas, los cálculos, los instrumentos de cálculo y, en particular, los ordenadores. En ella se incluye el texto y algunos fotogramas de cada capítulo (en total, más de 500 imágenes). Cada imagen se acompaña de unas Notas, con enlaces recomendados e información complementaria, y de una o varias Colaboraciones, que son comentarios sobre la persona, la obra o el concepto representado. Además, los vídeos de todos los capítulos pueden verse en línea en la web www.edu3.cat, una iniciativa de la Generalitat de Catalunya, y algunos en YouTube: Cálculos Griegos, Constantes Universales, Potencias de Diez, Animación Digital, Tres dimensiones, Realidad Virtual, Medir el Espacio, Música Digital y Números Cualificados. El resto de capítulos de la serie la integran los siguientes títulos: Números Notables, Cálculos Vistosos, Telefonía, El Ciberespacio, Medir el Tiempo, El profeta de los Números, Autómatas de Ficción, Cifrar mensajes, La máquina soñada, El ordenador personal, Piedras, símbolos y Bolas, Programar Ordenadores, Calculadoras, Medir el Espacio, Música Visual, Cálculos Electrónicos, Inteligencia Artificial, El chip minúsculo, El código Digital, El Número de Oro, Interactividad, Efectos Especiales, Cálculos Lógicos, Aventuras Virtuales, Visiones del pasado, Cálculos de Navegantes, Videojuegos, Números Enormes, etc. Describo a continuación, a modo de ejemplo, el contenido de algunos de estos capítulos y el enlace a YouTube donde se pueden visualizar (basta pinchar en el título, salvo el de La máquina soñada). La máquina soñada Mucho antes de la aparición de los ordenadores, un científico inglés diseñó una máquina que, sobre el papel, era como un ordenador. El capítulo se dedica a este invento que no llegaría a fabricarse nunca. Durante el siglo XIX, los astrónomos, navegantes y contables realizaban sus cálculos mediante el uso de tablas numéricas, que elaboradas manualmente, solían contener errores. Charles Babbage era una matemático inglés que iba a aplicar sus conocimientos a la  resolución de problemas prácticos. Dedicó toda su vida a diseñar máquinas para calcular automáticamente esas tablas numéricas y evitar así las equivocaciones. Su primer proyecto fue la “máquina de diferencias”, basada en un conocido procedimiento para trabajar con polinomios. Las sucesivas diferencias constantes de los polinomios se podían utilizar para aproximar valores en lugar de efectuar multiplicaciones. Babagge pensaba que la máquina que funcionaba de este modo podría calcular un polinomio cada dos segundos. Después de muchas pruebas y modificaciones, el proyecto fue abandonado. Seguidamente, Babbage inició un proyecto más ambicioso, la "máquina analítica", capaz de realizar una variedad de cálculos más amplia. Esta nueva máquina tenía cinco componentes principales: el "almacén", donde se guardaban los datos; el "molino", que los procesaba; el "control", que lo gobernaba todo; "la entrada", a través de la cual se introducían los datos del problema, y la "salida", por donde se producían los resultados del cálculo.          Tenía unos 30 metros de largo por 10 de ancho y funcionaba mediante vapor. Pero este ingenio tampoco se hizo realidad. La tecnología del momento no permitió su construcción. En cualquier caso su diseño fue un hecho extraordinario, ya que contenía los mismos componentes esenciales que el ordenador moderno. Cálculos Griegos El legado de la Antigua Grecia es impresionante: arquitectura, escultura, filosofía. También las matemáticas. El capítulo expone las relaciones de personajes como Tales, Pitágoras, Euclides o Arquímedes. Tales creía que todo tenia un origen común, que todo provenía de un único principio:  el agua. Para Tales, las causas de los fenómenos de la naturaleza debían de buscarse en la misma naturaleza, y no entre los dioses y los mitos. Esta nueva manera de pensar va a inundar todo el saber, incluida la matemática. El primer gran matemático va a ser Pitágoras, que pensaba que el origen de todo eran los números. Por eso buscaba armonías numéricas para todo, lo que le llevaría a formular su famoso teorema. Aristarco, Eratóstenes o Aristóteles van ser otros matemáticos de aquellos tiempos. Todos trabajaban también en astronomía y en filosofía, ya que había pocas divisiones entre los conocimientos. El más influyente de todos va ser Euclides, que escribió los "Elementos", una obra que incluía centenares de demostraciones a partir de unos principios básicos, los axiomas. Otro matemático destacado fue Arquímedes, también interesado por la física y las aplicaciones sus principios a la construcción de máquinas. Las ideas matemáticas de Arquímedes se ponen de manifiesto en la obra "El Palimpsesto", que contiene, por ejemplo, un método para calcular la relación entre el perímetro de un círculo y su diámetro. De este cálculo se deduce el valor del número pi. El libro también analiza el concepto de número infinitamente pequeño, el infinitésimo. Al cabo de varios siglos, Newton y Leibniz lo volverán a descubrir, y la física va cambiará para siempre. En la Antigua Grecia, el sistema para hacer operaciones con los números y representarlos se  basaba en el alfabeto. Las primeras letras representaban las unidades, las nueve letras siguientes las decenas, y las nueve ultimas las centenas. Números Cualificados El capítulo repasa diferentes tipos de números dependiendo, por ejemplo, del resultado de realizar sucesivas sumas o divisiones. Los matemáticos clasifican los números en naturales, enteros, fraccionarios, racionales... Pero también los da otros adjetivos: perfectos, amigos, capicúas, triangulares, cuadrados, cúbicos, mágicos, felices, primos... Un número es perfecto si la suma sus divisores resulta él mismo. Uno de estos números es el 6, ya que sus divisores, 1, 2 y 3, suman, justamente, 6.  Los números amigos son aquellos en que la suma de los divisores de uno equivalen a la suma de los divisores del otro. Por ejemplo, 220 y 284 son amigos. Los capicúas, o números palindrómicos, son aquellos que se leen igual tanto si se comienza por la derecha como por la izquierda. También están los números asociados a figuras geométricas planas como los polígonos. Por  ejemplo, los números triangulares, cuadrados, pentagonales o hexagonales. También hay números asociados a figuras de tres dimensiones, como los números cúbicos y los piramidales. En la obra de Durero "Melancolía" aparece un cuadrado mágico, es decir, una cuadricula con números ordenados por filas, columnas y diagonales que suman siempre la misma cantidad, la constante mágica. En la Sagrada Familia de Barcelona hay un cuadrado mágico que tiene como constante el número 33. Un número es feliz cuando la suma reiterada de los cuadrados de sus dígitos acaba siendo 1. Son números felices el 7, el 10, el 13, el 19... Los números más interesantes para los estudiosos son los primos. Un número es primo cuando sólo es divisible por sí mismo y la unidad. Por ejemplo, el 29, ya que sólo se puede dividir por 1 y por 29. Hoy en día los números primos se utilizan para encriptar los mensajes que circulan por internet para garantizar su confidencialidad. Próximos Acontecimientos Cinefilo-Matemáticos Como seguramente sabréis, nos encontramos en pleno Año de la Ciencia. La Facultad de Ciencias Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid ha organizado unas actividades entre las que se encuentran algunas dedicadas al cine y las matemáticas. Concretamente el 5 y el 16 de Noviembre, de 11:00 a 13:00, se proyectarán las películas Enigma y La verdad Oculta, presentadas por las profesoras Dña. Mercedes Sánchez  y Dña. Yolanda Ortega Mallén, en el Aula Rey Pastor de la Facultad de Ciencias Matemáticas de la UCM, Plaza de la Ciencias, nº 3 Ciudad Universitaria, con un aforo de 400 personas. El día 14 de Noviembre en el Aula Miguel de Guzmán tendrá lugar la Conferencia impartida por el profesor Alfonso Jesús Población Sáez sobre Las Matemáticas en el Cine, de 18:00 a 20:00. Esta conferencia podrá seguirse por internet. Más información en la página de la UCM. El 20 de Noviembre también impartiré una conferencia dentro del Seminario Investigación Científica: Creación y Búsqueda de Recursos para el Aula, en el CAP de Retiro (Madrid). Y finalmente, el 27 de Noviembre, a las 18:00, dentro del ciclo de Conferencias-Taller de Matemáticas Las Matemáticas, Base de Cultura, en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Oviedo, dedicaremos la jornada también al Cine y las Matemáticas. Como veis, el Cine y las Matemáticas van a cobrar un especial protagonismo este mes de Noviembre, de todo lo cual os tendremos puntualmente informados el próximo mes. Títulos Numéricos Este mes tocan los diez números siguientes. 11: La cuadrilla de los once (Ocean´s Eleven, Lewis Milestone, EE. UU., 1960) 12: Doce del patíbulo (The Dirty Dozen, Robert Aldrich, 1957); Doce Hombres sin piedad (Twelve Angry Men, Sidney Lumet, 1957) 13: Trece días (Thirteen Days, Roger Donaldson, EE. UU., 2000) (También Viernes 13, 13 Rue Madeleine, El guerrero número 13, etc. El número 13 ha dado lugar a muchos títulos) 14: 14 Kilómetros (Gerardo Olivares, España, 2007) (La ganadora de este año de la 52 SEMINCI de Valladolid) 15: 15 días contigo (Jesús Ponce, España, 2005) 16: Dulces dieciséis (Sweet Sixteen, Ken Loach, Reino Unido, Alemania, España, 2002) 17: El número 17 (Number Seventeen, Alfred Hitchcock, Reino Unido, 1932) 18: Tenemos 18 años (Jesús Franco, España, 1959) 19: Diecinueve (Nainteîn, Kensho Yamashita, Japón, 1987) 20: Los violentos años veinte (The roaring twenties, Raoul Walsh, EE. UU., 1939) ¿Os animáis a seguir? Diálogos de Cine Nuestro compañero Julio Zárate (un saludo desde aquí), nos envió un nuevo diálogo, en este caso de la anarco-comedia Torapia (Karra Elejalde, España, 2004): [Basilio (Karra Elejalde), el ladrón protagonista, se cuela en una iglesia con un pincho moruno en la mano para montar un escándalo que obligue a la policía a llevarle al psiquiátrico San Quintín]. Basilio: ¡Otra vez no, a San Quintín, no! Poli asturiano: ¿Cómo que no? ¡Usté tá locu! Basilio: Si, un poco…, manías, rarezas… noto por dentro que me estoy desquiciando un poco (Le suelta un rotundo eructo). ¡Este pincho estaba malo! A cualquiera le puede pasar. Asúmalo. Poli asturiano: ¿Yo? ¿Qué lo asume yo? ¡Nada de asumar! En cuanto a lo primero, yo no asumo, ¡yo arresto! Y en cuanto a lo segundo, no suministrote una hostia y divídote en cuatro porque se nos multiplicarían los problemas. A ver si vamos a acabar aquí todos quebraus. ¿Entendiste la ecuación, Aristóteles? ¡Hala! ¡Al furgón!... ¡Que no se por qué no métote un tres catorce que íbate parecer pi! ¡A San Quintín!

Jueves, 01 de Noviembre de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico