251. 128. Jugar, ¿sí o no?

Aunque ya alejadas y olvidadas las fiestas de Navidad, traemos en esta ocasión esta ácida y realista visión de la familia, con una excelente recreación y aplicación del manejo de la esperanza matemática. Quizá contagiado por su visión, el autor concluye con alguna que otra reflexión que pueda resultar incomoda. Disculpas por adelantado. Ficha Técnica: Título: Un cuento de Navidad. Título Original: Un conte de Noël. Nacionalidad: Francia, 2008. Dirección: Arnaud Desplechin. Guion: Arnaud Desplechin y Emmanuel Bourdieu, basado en La Greffe (El trasplante), de Jacques Asher y Jean-Pierre Jouet. Fotografía: Eric Gautier, en Color. Montaje: Laurence Briaud. Música: Grégoire Hetzel y Mike Kourtzer. Producción: Pascal Caucheteux. Duración:  150 min. Ficha artística: Intérpretes: Catherine Deneuve (Junon Vuillard), Jean-Paul Roussillon (Abel, marido de Junon), Anne Consigny (Elizabeth Dédalus, hija mayor de Abel y Junon), Mathieu Amalric (Henri Vuillard, hijo mediano de Abel y Junon), Melvil Poupaud (Iván Vuillard, hijo menor de Abel y Junon), Hippolyte Girardot (Claude Dédalus, marido de Elizabeth), Emmanuelle Devos (Faunia, pareja de Henri), Chiara Mastroianni (Sylvia Vuillard, esposa de Iván), Laurent Capelluto (Simon, sobrino de Junon), Emile Berling (Paul Dédalus, hijo de Elizabeth y Claude), Thomas Obled (Basile  Vuillard, hijo de Iván y Sylvia), Clément Obled (Baptiste, hijo de Iván y Sylvia), Azize Kabouche (Doctor Zraïdi, oncólogo). Argumento: Como casi todas las familias, los Vuillard se hallan separados en distintos lugares y mantienen el contacto justo. Con motivo de las fiestas navideñas, se citan en casa de sus padres con sus respectivos hijos, parejas, etc. A la madre, Junon (Catherine Deneuve), le acaban de diagnosticar una enfermedad genética, con visos de desarrollarse en poco tiempo. Un trasplante de médula es una de las posibilidades que le dan para mitigar el problema, aunque puede tener ciertos riesgos secundarios. Para complicar aún más la decisión, los únicos donantes compatibles son uno de sus hijos Henri (Mathieu Amalric), la oveja negra de la familia, y con una vida no muy equilibrada, y un nieto con algunos desequilibrios mentales, lo que desata múltiples controversias no declaradas por parte del resto de hermanos y familiares. Comentario De las típicas películas sobre la Navidad tenemos, reduciéndolo mucho porque siempre hay matices, dos modalidades: las comedias para pasar el rato con alguna (a veces ninguna) pincelada interesante, y las críticas con toda la parafernalia consumista y de buen rollito que marca el canon de celebración de la Buena Nueva de tradición religiosa. Ha habido tantas de ambas clases que el espectador ya está saturado del tema (y más aún porque las televisiones programan con profusión y alevosía infumables telefilmes desde dos meses antes). La que nos ocupa en esta ocasión está encuadrada en este segundo grupo, y siendo una producción cuidada, bien rodada y mejor interpretada (aunque a Deneuve últimamente parece que todo le sobra, y da la sensación precisamente de ir de sobrada, al menos a mí me transmite esa sensación), tiene (también a mi juicio) varios defectos: excesivamente larga, excesivamente intelectual (como la mayor parte del cine galo) y excesivamente “como la vida misma” (nuevamente marca gala: después de dos horas y media la sensación es de que no ha pasado nada, aunque se hayan dicho muchas cosas). Sus virtudes: una mirada nada contenida a la familia burguesa tradicional (¿Por qué una madre tiene por defecto que querer a un hijo? ¿Por qué los hermanos, las parejas, los hijos, han de ser ideales? ¿Por qué una hermana no debería conseguir el alejamiento de un hijo que ha arruinado a sus padres? ¿Por qué no se debe ser brutalmente sincero?, etc.), y el dilema ante la aparición de una enfermedad grave (lo que Poe relata al estilo de su época, la decadencia física y moral de una familia rica cuya exclusiva sangre mata silenciosamente, en nuestros tiempos se explica científicamente). Hay muchas más cuestiones merecedoras de su visionado, y muchas referencias culturales incluyendo la que desvela el propio realizador: “pensaba constantemente en El sueño de una noche de verano, donde un grupo de personajes se reúnen por una celebración y, entre la realidad y la fantasía, fornican, engañan, se enamoran y traicionan. A la mañana siguiente no pueden discernir si les ha ocurrido en realidad, o solamente lo han soñado”. Pero vamos a lo nuestro, a las matemáticas. Esperanza Matemática Uno de los yernos de Junon es matemático, no uno cualquiera, un medallista Fields, se comenta de pasada en una escena. Es el padre de Paul, uno de los donantes compatibles, y esposo de la hija que odia al hermano también compatible (no deseo revelar demasiado del argumento para que quien se decida a verla no se frustre con lo aquí indicado). En una escena, mientras se afeita, nos cuenta lo que piensa: “Desde la hospitalización de Paul y la enfermedad de Junon, no he parado de calcular. Riesgo de mortalidad del trasplante: del 5 al 20 por ciento. Riesgo de recaída: del 15 al 30 por ciento. Probabilidad de curación: de un 40 a un 50 por ciento, pero el riesgo de GVH aguda 50 por ciento”. Aunque expresar una probabilidad en términos de porcentaje es una “licencia” bastante común, matemáticamente es incorrecto: como sabemos una probabilidad es un valor entre 0 y 1. El error no es de doblaje únicamente, la versión original también es incorrecta. Exceptuando este detalle, comprobaremos que el resto de expresiones y operaciones matemáticas son totalmente correctas, y exceptuando también que, al inicio, el narrador nos dice que Joseph nació en 1965 y que murió a los seis años; más adelante vemos en la lápida de su tumba que murió en 1968. Un despiste sin importancia, pero es incorrecto obviamente. Acabando con el párrafo anterior, las siglas GVH corresponden a Graft versus Host, una complicación médica que aparece cuando se trasplanta a un enfermo un tejido de otra persona genéticamente diferente (también puede aparecer con una transfusión de sangre). Las células inmunes (glóbulos blancos) del tejido del donante atacan a las del huésped como reacción a un cuerpo extraño. Es por tanto el complementario del rechazo al trasplante. En el rechazo al trasplante, el cuerpo del enfermo no acepta las células del donante, mientras que en el GVH son las células del donante las que reaccionan contra las del enfermo. Las consecuencias, como se explica en la película son muy graves, entre ellas el síndrome de Lyell o necrosis epidérmica tóxica, en la que se destruye la epidermis, el paciente sufre quemaduras muy graves (por eso Junon comenta que no desea morir como Juan de Arco), y puede desembocar en una muerte por asfixia. Afortunadamente se da en pocos casos (2 casos por millón de habitantes, aproximadamente; suele ser por alergia a algún medicamento), pero es más frecuente como reacción a un trasplante de médula (como se plantea en la película), o a tratamientos de radioterapia. Pero lo más interesante, desde el punto de vista de las matemáticas, aparece en una escena posterior. Transcribo el diálogo tal cual aparece junto a algunas imágenes, y en el siguiente párrafo intento aclarar un poco más todo ello. Abel, el marido de Junon (la lleva bastantes años), un hombre que realiza muchas tareas en el hogar, se ha documentado mucho sobre los riesgos de que Junon se  haga el trasplante de médula. Ha considerado todas las posibilidades en base a los porcentajes medios que aparecen en artículos médicos, y los tiene escritos sobre dos grandes pizarras. Cuando llega Claude, el yerno matemático, los examina y le aporta su opinión, que Abel escucha con mucha atención: Abel: Pero hay una ligera probabilidad de que Junon no esté enferma. Claude (echando un vistazo a sus anotaciones y cálculos): Pero es usted pesimista. Cuanto más se sobrevive, mayor es la esperanza de vida. Esto es lo que teme: que Junon esté sana, y la maten los médicos (está señalando a donde pone – 5 años). Abel: ¿Cinco años menos de vida estando sana? Simon: No, son las estadísticas las que dicen que la enfermedad se desarrollará. Sólo eres una enferma en potencia. Claude (dirigiéndose a Abel): No puede razonar así, a segmentos. Cuenta de un año para otro. Perdone. Junon va a morir en un momento preciso, no en una fecha de cumpleaños. Junon: ¿Y entonces? Claude: Si se hiere o muere, son acontecimientos absolutos. No tendrá un 10 o un 12 por ciento de vida o de muerte, será una totalidad. Pero tiene que jugarlo, quiera o no. Va a tratarse o no. Va a morir o no. Así que está jugando. Hay que pasar del discreto al continuo. Aquí no es 0.50. La fórmula de la esperanza de sobrevivir es una integral de cero a infinito. Eso es. Y esto da 1.45 años. Sin el trasplante, su esperanza de vida son 6 meses. De igual manera, con el tratamiento aumenta a 3.7. Ahora bien, consideramos los cinco años menos de vida en función de la probabilidad, que es baja, y comparamos con los dos o tres años adicionales de vida con el tratamiento, cuya probabilidad es elevada, y nos da… En la pizarra, escribe: – 5 x 8.2 % + 2.3 x 92% = Abel: ¿Me permite? (Le pide el rotulador). Claude: Por supuesto (Abel escribe 1.7, lo que sale la cuenta). Claude: Enferma o no, con tratamiento, su esperanza de vida es de 2 años. Abel: Eso está mejor. Claude: No quiere jugar, pero la única libertad que le queda es la de apostar. Desmenuzando los cálculos Empecemos por explicar por qué Claude, cuando dice que hay que pasar del discreto al continuo, escribe  50% = 1 – e–λ (ver una de las imágenes anteriores). Hace este comentario después de observar la tabla de la imagen y el posterior cálculo. En ella se indican en la parte superior los años (1, 2, 3, 4) y bajo ellos el porcentaje de algo (no entiendo lo que pone al lado, pero interpreto que es la evolución de las células destruidas una vez manifestada la enfermedad: la mitad en un año, la cuarta parte al segundo año, etc., una progresión geométrica decreciente de razón ½ (por eso Abel ha escrito al lado en azul, q = 50%; todo ello son interpretaciones mías, por supuesto. Se admiten otras). Aquí es donde Claude indica que la evolución de una enfermedad no tiene lugar exactamente al fin del año, sino que es un fenómeno continuo, y por eso escribe la expresión de la exponencial, que sale (insisto, mi interpretación) al aplicar el siguiente modelo: llamando x(t) al número de células sanas en el instante t, la tabla de los datos claramente marca que su variación (su derivada) con respecto al tiempo es x’(t) = −λ x(t), con valores iniciales x(1) = ½, x(2) = ¼. El valor negativo de λ es evidentemente porque el número de células sanas va disminuyendo a medida que transcurre el tiempo. Resolver esa sencilla ecuación diferencial de primer orden en variables separadas es inmediato, pero vamos a detallarlo para los que lo tengan un tanto olvidado. Pasamos dividiendo al primer miembro la variable dependiente (la variable dependiente es la que tiene la derivada, la x; la independiente es la t, la del tiempo, que es inexorable nos guste o no, y por eso es independiente, no se puede parar; en cambio la dependiente se puede acelerar, retardar, etc.) = −λ Integramos a continuación ambos miembros, el primero respecto a x, el segundo respecto a t: = En el primer miembro tenemos en el numerador claramente la derivada del denominador, por lo que Ln(x(t)) = −λt + Cte Tomando exponenciales para eliminar el logaritmo, obtenemos que x(t) = α e–λt Tenemos ahora que determinar dos constantes, α y λ. Para eso hemos elegido dos valores iniciales, x(1) = ½, y x(2) = ¼. Utilizando ambos se llega a que α = −1 y λ = ln 2. Es decir que x(t) = − O sea que considerando la cuestión de modo continuo, se llega al mismo resultado que de forma discreta, que el número de células decrece en progresión geométrica de razón ½ (cosa por otro lado clara de los valores de la tabla). Pero la cuenta viene a cuento para entender de donde sale la exponencial en el razonamiento que hace Claude, que es el siguiente (recordemos que escribe 50% = 1 – e–λ). Toma solo el primer dato (sustituye t = 1, el primer año), y lo iguala al 50 % porque está calculando la constante λ a partir de ese dato. El segundo miembro es 1 (porque parte de que antes de manifestarse la enfermedad Junon está sana completamente, por tanto, la unidad) menos el modelo tomado (e–λ). Le sale, obviamente, también λ = ln 2. Se ahorra de este modo resolver la ecuación diferencial que alargaría la escena (y ya sabemos que el público quiere otras cosas). El cálculo de la esperanza con el modelo continuo responde perfectamente a la integral que vemos en la otra imagen Resolviéndola por partes (u = t, dv = λe–λt), sale en efecto 1/λ, y como λ = ln 2 ≈ 0.69, se tiene que la esperanza es 1.45 años (redondea porque en realidad es 1.449275; y si tomara ln2 con más decimales sería 1.4426). Pero es que el razonamiento de Abel tampoco es nada desdeñable, aunque utilizara el modo discreto. En la imagen siguiente, cuando Claude examina inicialmente todos los cálculos, vemos como ha razonado Abel, con todas las posibilidades. Describe como M el que se manifieste la enfermedad, y como T, el someterse al trasplante de médula (que como ya se ha dicho involucra un porcentaje de que se dé el GVH). En la pizarra vemos escrito: ● M y no T: esperanza de vida = 1 año (en efecto, la suma de la serie geométrica de razón ½ da como resultado 1; ha hecho las cuentas en la pizarra blanca; se ve en otras escenas). ● M y T: esperanza de vida 30% x 1 +50% (5 + 1) 3,3 años M → ganancia 3,3 – 1 = 2,3 años ● no M y no T: esperanza vida = 25 años ● no M y T: prob efectos secundarios 20% Perdemos 25 x 20% = – 5 años Claude con su razonamiento, le hace ver que la mejora conjunta de someterse a tratamiento, desarrolle o no la enfermedad, es de – 5 x 8.2 % + 2.3 x 92% = 1,7 años. Pero son ellos los que deben decidir, si jugar o no jugar. ¿Qué decidió? Ved la película. Conclusión y Comentarios Finales De todo lo dicho es obviamente deducible que la mayor parte de las matemáticas que aparecen son correctas, y por tanto se trata de una película muy recomendable a añadir en el listado de películas con matemáticas destacables (a los ilustres desconocidos que se dedican a fusilar todo aquello que aparece por la red sin referenciar donde lo encontraron, he comprobado que esta película NO aparece en ninguna otra lista, …, hasta hoy seguramente; os mantendré informados. No me importa que se utilicen las referencias, pero, por favor, indíquese al menos de donde vinieron; hagamos de internet una herramienta rigurosa y valiosa, no un maremágnum sin ley ni concierto como es ahora). Otra fórmula correcta que aparece en la película es la que aparece en la siguiente imagen, relativa a cálculo combinatorio (en el recuadro superior de la pizarra). Una última reflexión. Recientemente en Valladolid, falleció un excelente periodista local y mejor persona. Por casualidad escuché a otro compañero periodista decir en una televisión local (cito de memoria) lo mal que pasó sus últimos días “por hacer caso a las mentiras de la ciencia”. Evidentemente se refería a que decidió someterse a un tratamiento que podía alargar su esperanza de vida, aunque lamentablemente no fue así. Creo que no hace falta incidir en lo desacertado del comentario, censurando una decisión personal y por tanto totalmente respetable y, sobre todo, creo que no difundible. Allá cada uno. Lo que peor me sienta es el nulo conocimiento de las más elementales nociones de cómo funciona la medicina, las estimaciones, las probabilidades, etc. La Ciencia no es un billete seguro (las matemáticas sí, pero sólo en temas que no comprendan estimación alguna o aparezcan demasiadas variables a considerar). La película es de nuevo un magnífico ejemplo de cómo afrontar este tipo de decisiones, duras, precisamente por su porcentaje de fracaso, que siempre existe. Pero desde luego no hacer nada, o encomendarse a inverosímiles prácticas flower power, tampoco lleva a certeza alguna. Cada persona es libre de decidir, pero por favor, infórmense bien y no hagan demasiado caso a estigmatizaciones sin fundamento. El realizador de la película, Arnaud Desplechin se inspiró en el libro La greffe (su traducción sería El trasplante; no hay versión en castellano publicada), escrito a dos manos por el doctor Jacques Asher, un psiquiatra amigo de su padre, y el oncólogo especializado en afecciones de la sangre Jean-Pierre Jouet. “Ellos describen todo lo que puede generar un trasplante de médula ósea y curiosamente esto dispara en el enfermo y en su familia muchos desórdenes mentales, como alucinaciones o episodios de delirio que hacen que la familia se piense de nuevo como unidad. A partir de esto, imaginé un cuento negro y encantado que se desarrolla en la noche de Navidad”,  confiesa. Y como curiosidad final, la hija de Catherine Deneuve y Marcello Mastroniani, Chiara Mastroianni interpreta a su nuera (¡¡¡y no se llevan demasiado bien!!!). Alfonso Jesús Población Sáez

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252. 157. (Febrero 2018) Tu signo del zodiaco

Como ya es sabido, muchas de las supersticiones, falsas creencias y verdaderas falsedades son aprovechadas con más o menos éxito por los magos/mentalistas para demostrar sus dotes adivinatorias o para poner de manifiesto sus habilidades psíquicas. Con una adecuada mezcla de psicología aplicada, habilidad técnica y matemática elemental, un mago consigue que un resultado inevitable parezca un verdadero milagro. Una de las especialidades de la magia, llamada lectura en frío, combina de forma adecuada estos ingredientes y convierte al mago en un sorprendente médium, con grandes poderes mentales. Un viejo principio, llamado "principio de los anagramas progresivos", es el responsable del toque matemático que hace infalible la adivinación del mago. La historia de este principio, como todas las que involucran la raza humana, está repleta de acontecimientos que no están del todo claros y de falsas atribuciones. Parece que fue Stanley Collins (1881-1966), en la década de 1920-30, el primero en utilizar el principio de los anagramas progresivos en un juego de magia, el cual le permitía adivinar palabras a partir de ciertas letras. Fue publicado en 1922 en el folleto "A holiday in Morocco". Bastante tiempo después -en el volumen 18 de la revista TOPS (marzo de 1953)- aparece publicado el juego "Anagramatic Facsimile", escrito por Stewart James, donde se adivina una palabra en relación con un poema. La primera vez que se utiliza este principio en el contexto del zodiaco debió ser en 1986, con el juego de Bob Farmer titulado Fate accompli, juego que adaptó poco después, bajo el título Signse, Thomas Alan Waters en su monumental obra Mind, Myth and Magick. Muchos otros magos han creado diferentes versiones del juego lo que demuestra el interés que ha despertado este principio. En el volumen 9 de la serie Mentalism Masterclass, Peter Turner recopila varios juegos de adivinación del signo zodiacal utilizando el principio citado y, de forma similar, Patrick Schlagel ofrece un recorrido histórico del principio y desarrolla diversos métodos en su obra Mnemosigh. La pregunta que nos hacemos entonces es: ¿en qué consiste el principio de los anagramas progresivos? A quienes hemos estudiado alguna vez cuestiones de programación nos recuerda a los diagramas de flujo, representaciones gráficas de procesos algorítmicos que son susceptibles de programar en algún lenguaje informático pero tienen la ventaja de poder interpretarse fácilmente. Pero, como dice Kevin Dunn, la mejor forma de explicar el principio es a través de algún ejemplo. Como él lo cuenta en inglés, aquí lo transcribimos tal cual: What frisky anxious monster doesn't consider nearsighted maidens. Piensa una palabra de esta frase. ¿Contiene la letra S? Si no, la palabra pensada es "What". ¿Contiene la letra N? Si no, la palabra pensada es "frisky". El proceso continúa de forma similar y permite adivinar cualquier palabra pensada. La clave está en la última palabra "maidens", la cual irá deletreando el mago de forma regresiva, primero la S, luego la N, después la E, D, I, A y, por último, la M. Un "no" a la primera pregunta corresponde a la primera palabra de la frase; un "no" a la segunda pregunta determina la segunda palabra, y así sucesivamente, hay una correspondencia biunívoca entre las siete letras de la palabra clave y las siete palabras de la frase. Evidentemente, si la respuesta a todas las preguntas es "sí", la palabra pensada es la última. Además, el mentalista siempre podrá afirmar que no va a recibir más de una respuesta negativa a sus preguntas/adivinaciones. La página de Kevin Dunn contiene también un programa informático para construir tus propias frases que permitan aplicar el principio de los anagramas progresivos. Si te armas de paciencia, puedes construir otros ejemplos y estaríamos muy agradecidos si los compartes en este rincón. Lo que proponemos en esta ocasión es la versión más extendida, la de adivinar el signo del zodiaco. A continuación te muestro el diagrama de flujo que deberás imprimir pues te servirá de "chuleta" cuando quieras hacer el juego. Para no dar a conocer el diagrama e, incluso, dar mayor impresión de poder mental, es mejor hacer el juego por teléfono. A modo de indicación sobre la forma de utilizar este gráfico, te daré un par de ejemplos. En ambos casos, el espectador tiene que saber cuál es su signo del zodiaco y debe responder algunas preguntas que debes formular en clave de pseudoadivinación. Primer ejemplo: Pregunta si la palabra contiene la letra I. El espectador contesta que sí. Sigues la flecha que parte de la letra I hacia abajo y te encuentras la letra R. Pregunta ahora si la palabra contiene la letra R. El espectador contesta que sí. Recorres nuevamente la flecha que parte de la letra R hacia abajo y te encuentras con la letra A. Pregunta si la palabra contiene la letra A. El espectador vuelve a contestar que sí. Vuelves a buscar la siguiente letra a partir de la flecha que sale de la letra A hacia abajo. Te encuentras la letra S. Pregunta si la palabra contiene la letra S. El espectador contesta que no. Al seguir la flecha que sale de la letra S hacia arriba te encuentras la letra C. Explica al espectador que has confundido la letra S con la letra C, como ocurre en países sudamericanos o en regiones del sur de España, de modo que pregunta si la palabra contiene la letra C. El espectador contesta que sí, de modo que buscas la siguiente letra en el diagrama a la que se llega desde la flecha que sale de la letra C hacia abajo, la letra P. Pregunta si la palabra contiene la letra P. El espectador contesta que no y tú afirmas categóricamente que su signo es ACUARIO, pues la flecha que sale de la letra P hacia arriba lleva a dicho signo. Segundo ejemplo: Pregunta si la palabra contiene la letra I. El espectador contesta que no. Sigues la flecha que parte de la letra I hacia arriba y te encuentras la letra A. Pregunta si la palabra contiene la letra A. El espectador contesta que no. La flecha que sale de la letra A hacia arriba lleva al signo LEO, de modo que puedes desvelar el signo del espectador añadiendo algún comentario sobre el hecho de haber respondido que no a las dos preguntas, ¡algo característico en los nacidos entre el 23 de julio y el 23 de agosto, como todo el mundo sabe! Si tienes la paciencia de escribir la secuencia de preguntas y respuestas correspondientes a cada signo del zodiaco, comprobarás que, en todos los casos, el número máximo de respuestas negativas es dos. Esto hace que el mentalista pueda justificar esas respuestas negativas con alguna de sus excusas más socorridas: ¡la astrología no es una ciencia exacta! o ¡el espectador no transmite demasiado bien sus pensamientos! Comentarios finales: Algunos programas de ordenador permiten elaborar diagramas similares para adivinar cualquier palabra mediante el uso de los anagramas progresivos, por ejemplo el llamado Panagram creado por Colin Miller y Jamie Badman. Una moderna evolución del principio es el llamado "principio de los anagramas transgresores", cuyas características básicas se desarrollan en un ejemplo cuyo funcionamiento puede leerse en el número de octubre de 2016 de la revista The Jerx. Otro toque matemático que puede añadirse al tema consiste en jugar con la Estadística y preguntarse cuáles son los signos de zodiaco más comunes. En la siguiente gráfica se muestra el resultado de un estudio sobre las frecuencias de los cumpleaños: lo más común es nacer durante los meses de verano, así que es más probable ser Cáncer, Leo, Virgo o Libra. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

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253. 42. (Febrero 2018) Simetrías en los diseños de Sebastien Truchet

(Azulejos de Truchet – Catedral de Tarazona) El azulejo cuadrado dividido diagonalmente en dos colores, llamado de Truchet por los matemáticos y de cartabón por los ceramistas, tiene ya más de tres siglos de historia como objeto matemático. El azulejo se viene usando desde tiempos inmemoriales pero su historia matemática pudo empezar en 1675 con el encargo del ministro Colbert, en nombre del Rey Sol, a la Académie Royale des Sciences de estudiar las técnicas artesanales. Hasta 1693 no se pone en marcha el grupo de trabajo dirigido por el abate Jean Paul Bignon y del que formara parte el padre Sébastien Truchet. Supervisando las obras de los nuevos canales y recopilando información de las técnicas, a Truchet no le pasarán desapercibidos algunos azulejos y se percatará de la fecundidad combinatoria de algo tan sencillo (e inconscientemente de sus simetrías ornamentales cuando buscaba las formas de mayor belleza). En sus propias palabras: En el último viaje que he hecho al Canal de Orleáns por orden de su alteza real, encontré en el castillo llamado La Motte S. Lye, cuatro leguas más allá de Orleáns, varios azulejos cerámicos cuadrados de dos colores separados diagonalmente, que estaban destinados a pavimentar una capilla y varios apartamentos más. Para poder formar agradables figuras y dibujos combinando los azulejos, estudie primero de cuántas formas dos de estos azulejos podían juntarse, disponiéndolos siempre en forma de tablero de ajedrez. … Hemos intentado después formar dibujos y agrupaciones con esas figuras colocadas juntas, siempre en forma de tablero de ajedrez; hemos encontrado una cantidad enorme para poderlos enseñar todos: hemos escogido únicamente cien de ellos, que hemos puesto en limpio, para que cada uno pueda comprobar con sus propios ojos lo cierto de lo que hemos afirmado, y la fecundidad de estas combinaciones de origen tan sencillo. Como resultado de sus estudios, el Padre Truchet publicó una pequeña Memoria sobre las combinaciones de estos azulejos recogida entre las Mémoires de l’Académie Royale des Sciences de 1704. El autor expone primero que cada azulejo individual se puede colocar de cuatro formas distintas para después tomar dos azulejos y colocarlos en las cuatro esquinas de un tablero de ajedrez. El cálculo da que existen 64 formas de colocarlas, las 16 (42) de las combinaciones con repetición de los dos azulejos multiplicadas por 4, por ser cuatro las esquinas. De la combinación de los azulejos se obtiene una cantidad enorme de diseños agradables. Truchet selecciona cien, pero en la Memoria de 1704 solo publica grabados de treinta. Las planchas de cobre llevan la firma del conocido grabador Simonneau. Las investigaciones de Truchet deberían formar parte de una ambiciosa obra enciclopédica, la Description des arts et métiers, faites ou approuvées par Messieurs de l´Académie Royale des Sciences, que no se empezará a publicar en forma de volúmenes hasta 1761. Pero en 1705 el mismo prestigioso grabador Simonneau ya había preparado las cien combinaciones previstas, en realidad son 96, en un formato más pequeño. Truchet trabaja a las órdenes de la corona desarrollando gran actividad, siendo requerido para otros trabajos. Es por ello que tras la memoria de 1704 y los grabados de 1705 parece abandonar sus investigaciones sobre los azulejos diagonales. Los diecisiete grupos del plano y los doce de Truchet Las teselaciones periódicas del plano se clasifican en 17 grupos. Cuatro con el giro único completo, cinco con giro de media vuelta, tres con giro de un tercio de vuelta, otras tres con giro de un cuarto de vuelta y, por último, dos con giro de un sexto de vuelta. En muy pocos lugares se localizan conjuntamente los 17 grupos: el Palacio de la Alhambra es uno de ellos como ha descubierto el profesor Rafael Pérez Gómez. Los artesanos nazaríes demostraron su gran virtuosismo utilizando en la decoración con alicatados y yeserías todos los grupos posibles, ¡y lo lograron mucho antes de que se demostrara teóricamente! Con los azulejos de Truchet podremos construir hasta 12 de los 17 grupos. Un único azulejo siempre permite obtener varios grupos de simetría, aunque él mismo no tenga ninguna simetría propia. El de Truchet tiene un eje de reflexión, la diagonal perpendicular a la de cambio de color, y ello nos ofrece hasta 12 grupos. Los únicos no admitidos son los de giros de 60º y 120º, que son los cinco grupos restantes. Los doce grupos de simetría en los diseños de Truchet de 1704 y 1705 Cuando Truchet realiza sus estudios la combinatoria tenía cierta tradición pero la teoría de grupos de teselaciones no se desarrollará hasta finales del siglo XIX cuando Evgraf Stepanovich Fedorov (1853-1919) clasifica los grupos cristalográficos. La nomenclatura internacional que usamos se debe a Hermann- Mauguin y no tiene todavía un siglo. Truchet no llegó a clasificar los grupos pero, al igual que los artesanos de la Alhambra, si pone ejemplos de los 12 posibles usando la belleza de los diseños como única guía. En la memoria de 1704 se presentan 30 diseños: 10 son p4m, 5 cm, 4 pmg, 3 pm, 3 p4g, 3 p2, 1 pmm y 1 pgg. Faltan los grupos pg, cmm, p4 y p1. La ampliación a 96 diseños de la Descripción de las artes y oficios de 1705 completará los cuatro que faltaban. La mayor frecuencia de aparición del diseño p4m es habitual en todas las teselaciones del plano y se debe a la presencia de más elementos de simetría. Mostramos un ejemplo de cada uno de ellos señalando la celda base (amarillo), los ejes de simetría (rojo) y los ejes deslizantes (verde):

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254. 124. (Enero 2018) Las razones del agua, de Francisco Javier Guerrero

A mediados de noviembre del año pasado, mi amiga Esperanza López García me mandó un mensaje comentándome: “Un amigo publica un poemario y quizás te interese para tu sección de literatura y matemáticas”, y me envió la referencia de Las razones del agua. Lo compré pero, por falta de tiempo, tardé un poco en poder hojearlo, ojearlo y leerlo. El poemario se divide en tres partes –Valle en V, Vega y Estuario– y estructura sus versos siguiendo los quince primeros números de la sucesión de Fibonacci: en la página 13, el 0 preside una hoja en blanco, y siguen las páginas 15 y 17 con un único verso impreso sobre cada una de ellas, la 19 con dos versos, la 21 con tres, y así sucesivamente. La primera parte –Valle– se organiza a partir de los once primeros números de la sucesión de Fibonacci, es decir, sus estrofas contienen 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 y 55 versos respectivamente. La segunda parte –Vega– continúa con los tres números 89, 144 y 233 de esta sucesión; ellos dictan la cantidad de versos que constituyen los tres poemas de Vega. Los 377 versos de Estuario son los que cierran el poemario, y nos transportan a una página desplegable que revela una bellísima ilustración de Lola Castillo. Las alusiones a la sucesión de Fibonacci no sólo aparecen en la estructura del texto.  También se nombra expresamente la manera de construirla, y algunos términos relacionados con ella, como espirales, caracoles logarítmicos, matemática azul, la divina proporción, el número phi, girasoles, algoritmos de cálculo, funciones generadoras, octógonos, el infinito… y las ilustraciones de Lola Castillo incorporan también este concepto matemático en sus trazos. Volveré a hojear, ojear y leer Las razones del agua, porque aun me queda mucho por saborear y sentir sobre lo escrito… y la manera en que está escrito. Información editorial Titulo: Las razones del agua Autor: Francisco Javier Guerrero Ilustradora: Lola Castillo Editorial: Adeshoras Género: Poesía Formato: 13,5 x 21 cm Encuadernación: Rústica con solapas Páginas: 92 ISBN: 978-84-946848-6-9 Las razones del agua es un único poema, escrito sin puntuación y sin mayúsculas, dividido en tres partes que aluden al curso de un río: valle, vega y estuario. La unidad, la aspiración totalizadora, ese anhelo por decirlo todo, está presente desde el principio del volumen: voy a escribir la vida / que yace con nosotros o el lenguaje la ciencia / hoy me voy a morir escribiendo la historia. Con ese propósito, Francisco Javier Guerrero articula quince secuencias que coinciden con los primeros términos de la sucesión de Fibonacci. Así, la matemática es uno de los ejes vertebradores de esta obra, que gravita también alrededor de reflexiones metapoéticas, el compromiso comunitario y la memoria personal. Acompañan al texto ocho ilustraciones de Lola Castillo, que interpreta con su singular universo de imágenes algunos de los aspectos fundamentales de este vasto caudal de versos.

Martes, 16 de Enero de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

255. 127. Game Theory, o como elegir un juego

Si tuviéramos que tomar una decisión importante, y ningún criterio te convenciera. ¿Cómo lo haríamos? El matemático y realizador de cine Santi Spadaro nos indica una opción en su nuevo cortometraje aún no estrenado. Mantuvimos con él una extensa charla en la que nos aporta, en absoluta primicia, detalles curiosos e interesantes, no sólo sobre este trabajo, sino también sobre la necesidad y conveniencia de trabajar en la divulgación de las matemáticas. Ficha Técnica: Título Original: Game Theory. Nacionalidad: Italia, 2017. Dirección: Santi Spadaro. Guion: Santi Spadaro. Fotografía: Esther Verkaik, en Color. Montaje: Santi Spadaro. Música: Canciones: "Pack Up Your Troubles In Your Old Kit Bag (And Smile, Smile, Smile)", de George Asaf y Felix Powell, interpretada por Edward Hamilton (seudónimo de Reinald Werrenrath), 1916; “Over There”, de George M. Cohan e interpretada por Nora Bayes en 1917. Productor Ejecutivo: Per Junel. Duración: 7 min. Ficha artística: Intérpretes: Giorgio Audrito (Smith), Claudio Ternullo (Barnes). Comenzaremos haciendo una breve semblanza del director y los actores protagonistas, los tres con una destacable formación en matemáticas. El director Nacido y criado en Sicilia, Italia, reside en la actualidad en Sao Paulo, Brasil, donde trabaja como docente e investigador en matemáticas. Se inicia en el mundo del rodaje cinematográfico a través de la literatura: desde la escritura de poemas y cuentos cortos a los veinte años, muchos de los cuales se publicaron en reseñas y antologías literarias italianas, a escribir guiones. Su anterior cortometraje, The Bondage Network, una comedia negra sobre la vanidad de las personas en las redes sociales se exhibe en varios festivales de todo el mundo. Uno de sus ideales personales es romper los límites artificiales entre las llamadas ciencias humanas y las exactas que la “sociedad académica” ha ido creando. También es pianista, y ha tocado en diferentes locales musicales. En los enlaces podéis acceder a una información más completa de los datos indicados. Los actores El actor Giorgio Audrito es doctor en matemáticas por la Universidad de Torino desde 2016 defendiendo su tesis “Generic large cardinals and absoluteness,” dirigida por Matteo Viale. Su campo de trabajo es la teoría de conjuntos, y tras ser participante en diferentes olimpiadas matemáticas nacionales (Italia) e internacionales, ha impartido varios cursos de formación y preparación para estos certámenes para jóvenes alumnos. Tiene además una nada desdeñable carrera musical, con varios conciertos en piano y órgano en Italia y en el extranjero (también toca el violín), habiendo compuesto bandas sonoras para videos, cortos (por ejemplo, el mencionado anteriormente de Santi Spadaro) y animaciones. Tampoco desdeña la música pop tocando en bandas locales italianas. Por su parte, Claudio Ternullo (en la imagen) es doctor en filosofía por dos universidades, Pisa (2005) y Liverpool (2010); posteriormente estuvo durante tres años trabajando en Lógica Matemática con una beca post-doctoral en el Centro de Investigación Kurt Gödel de Viena, donde continúa colaborando en la actualidad. Sus áreas de interés e investigación son la lógica y la filosofía de las matemáticas, en particular filosofía en la teoría de conjuntos, fundamentos de las matemáticas, teoría de la argumentación y lógica informal. También ha trabajado en historia de la filosofía, en particular, en el pensamiento político de Platón y en la tradición platónica de la Edad Media. Los tópicos más recientes en los que ha investigado son el platonismo matemático, la indeterminación teórica de conjuntos, la dicotomía universo/multiverso, nuevos axiomas y su justificación, y falacias lógicas. Se puede escuchar una charla suya, “Believing the New Axioms” en este enlace, además de poder leer gran parte de sus artículos de investigación en la red sin más que buscar por su nombre. Entrevista con el director de Game Theory 1.- Sobre su biografía. Mirando su trayectoria profesional y personal, la verdad es que llama la atención la amplia variedad de intereses en los que está involucrado (matemáticas, docencia, música, cine, traducción, poesía, redes sociales, …). Es una persona inquieta culturalmente. ¿Cree que haber estudiado matemáticas puede haber tenido alguna relación? Mr. Spadaro: No creo que mis "estudios en matemáticas" estén relacionados con ello, por la sencilla razón de que desarrollé la mayoría de los intereses que mencionas antes de tener interés en las matemáticas. Tiene más que ver con el hecho de que siempre he sido un ávido lector. En realidad, mientras leía los libros y las columnas de un escritor que nunca siguió un curso de matemáticas en toda su vida, descubrí las matemáticas. Por supuesto que estoy hablando de Martin Gardner. 2.- Desde hace unos años, diferentes matemáticos han ido compaginando su trabajo como investigadores y docentes con tareas de divulgación en diferentes medios de comunicación (Marcus du Sautoy, Cédric Villani, Adrián Paenza, Rogério Martins, entre otros). En el ámbito cinematográfico incluso, Edward Frenkel dirigió, adaptó trabajó en el guion y protagonizó Rites of Love and Math (2009). ¿Es una moda? ¿La satisfacción de un ego personal? O, por el contrario, ¿considera que tiene alguna utilidad social? Coménteme un poco su opinión. Mr. Spadaro: Creo que es absurdo que las matemáticas no se consideren importantes en el bagaje cultural general de un ciudadano cualquiera con un nivel medio de estudios. Se espera (o al menos se esperaba porque los estándares están bajando) haber leído a Dostoievski, reconocer una pintura de Van Gogh, saber en términos generales cómo funciona la gravedad y poder tararear las sinfonías de Beethoven, pero a nadie le importa si no sabes lo que es un número primo. Esto contrasta con la importancia vital que tenían las matemáticas en la ciencia, la filosofía y el arte del siglo XX y en el desarrollo de las últimas tecnologías. Lo que los matemáticos están haciendo cuando aparecen en los medios es tratar de reafirmar su importancia en el debate cultural y esto solo puede ser considerado como una buena señal. 3.- La cuestión anterior tiene que ver con que, en los círculos profesionales de matemáticos, al menos en España, este tipo de actividades, el tratar de relacionarlas con las matemáticas, mostrar que las matemáticas permiten entender el mundo que nos rodea a todos los niveles, aún es considerado por algunos (bastantes, a mi juicio) poco menos que como “veleidades inútiles”, por decirlo eufemísticamente. Que un matemático debe dedicarse a lo suyo en cuerpo y alma (teoremas, demostraciones, problemas, etc.). Usted que ha trabajado en diferentes países, ¿ha tenido la misma percepción? Mr. Spadaro: Para ser sincero, nunca me ha importado lo que las personas piensen y he tenido la suerte de encontrar amigos que compartieron mi interés por la divulgación de las matemáticas en todos los países en los que he vivido. Brasil, en particular, tiene una actitud prometedora hacia el alcance matemático. En São Carlos, no lejos de São Paulo, tengo un amigo, Leandro Aurichi, que incluso logró obtener fondos nacionales para un seminario semanal en el que presenta estimulantes, provocativas incluso, charlas matemáticas. Recuerdo que asistí a una de ellas cuando lo visité. Se trataba de los Teoremas de incompletitud de Godel y se tituló "Una de las peores pesadillas matemáticas". La impartió a las 13:13 un viernes 13. La sala estaba llena de estudiantes y ¡no todos eran estudiantes de matemáticas! Busquen "Seminario de Coisas Legais" en Youtube. El Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC) de la Universidad de Sao  Paulo (Brasil) organiza desde el año 2011 el Seminario de Cosas Interesantes, conjunto de charlas y presentaciones que abordan las matemáticas y áreas afines (computación, estadística y física), de una forma más relajada, más atractiva que las conferencias académicas. Alumnos de grado, postgraduados y profesores escogen asuntos variados y, didácticamente, rompen los tabúes con que esas áreas complejas están consideradas por el público en general. Como todos sabréis, en España, tenemos eventos similares a lo largo de toda nuestra geografía tales como Pint of Science, Naukas, o Lemniskata Zientzia. 4.- ¿De dónde viene su interés por el cine? Coméntenos un poco sus gustos cinematográficos. Mr. Spadaro: Siempre me ha gustado el cine, pero nunca pensé en hacer películas hasta más tarde. Todo evolucionó a partir de mi interés en la literatura. He escrito historias cortas y poemas desde que puedo recordar y continué escribiendo guiones. Pero los guiones no funcionan muy bien por sí mismos y gritan hasta que se convierten en una película. Logré que algunos de ellos fueran rodadas por algunas productoras indie, pero también sentí curiosidad por el proceso de creación de películas, así que compré una cámara DSLR básica y comencé a aprender el lado técnico del rodaje. Todavía estoy aprendiendo, por supuesto, y estoy enganchado desde entonces. Sobre la segunda parte de la pregunta, algunas de mis películas favoritas son "El fantasma de la libertad", que es una gran película de Buñuel compuesta de viñetas absurdas que parecen el equivalente cinemático de una prueba matemática por contradicción; "El cocinero, el ladrón, su esposa y su amante", de Peter Greenaway, una película que se las ingenia para encontrar el humor y la belleza en los rincones más oscuros del alma humana;  y “Mi noche con Maud", de Eric Rohmer en la que es impresionante cómo logra hacer que el diálogo filosófico sea convincente en la pantalla. Me detengo aquí porque podría alargarme sin fin. 5.- Centrándonos en su nuevo trabajo, Game Theory, ¿cuál fue su motivación para ponerlo en marcha? ¿Cómo surgió la idea? Mr. Spadaro: Cuando escribí el guion de Game Theory, participaba en un grupo de escritura en el que cada mes nos desafiaban a escribir un guion con una restricción diferente. Podría ser cualquier cosa, desde escribir un guion que pudiera filmarse en una única toma, hasta escribir uno con un diálogo que rimara. Ese mes, la restricción fue "escribir un guion de cinco páginas sobre el fin del mundo". Me pregunté a mí mismo: ¿qué pasaría si dos personas procedentes de distintos ámbitos de la vida, como un matemático y un médico, estuvieran atrapados en una casa esperando el fin del mundo? Lo admito, no es una premisa muy original, pero pensé que tal vez podría hacerlo más interesante si pudiera hacer que las matemáticas desempeñaran un papel esencial en la trama. Y así nació Game Theory. 6.- En el corto, se mencionan varios juegos (ajedrez, piedra-papel y tijera, la ruleta rusa, el NIM). Son muy conocidos entre los matemáticos, que han publicado diferentes análisis sobre los mismos. Pero para el público en general, ¿no cree que puede ser un inconveniente para entender bien la idea del corto, su referencia sin mayor explicación? Mr. Spadaro: Por el contrario, creo que, si explicamos demasiado, la película se convertiría en una conferencia y aquellos que no tengan un interés previo en el tema pronto perderían interés en ella. Quería que la película funcionara sola y sirviera de adelanto para una charla sobre NIM y juegos combinatorios, donde las personas pudieran obtener explicaciones detalladas sobre el contenido matemático de la película. 7.- El corto, no sé si intencionadamente o no, homenajea la película de Alain Resnais, El último año en Marienbad, que precisamente popularizó el NIM (en Francia, de hecho, se conoce como Marienbad). ¿No cree que para los que conocen esta película de culto, la resolución del corto deja de ser sorprendente, más bien es esperada? Mr. Spadaro: Vi “El último año en Marienbad” hace mucho tiempo y no la volví a ver antes de hacer este corto porque no quería que me influyeran demasiado. Hasta donde recuerdo, NIM no juega un papel tan vital en su trama, suponiendo que la película de Resnais tenga algo parecido a una trama, mientras que nuestro corto tiene una trama bastante lineal y las matemáticas de NIM en realidad juegan un papel esencial en él, por lo que dudo que haber visto la película de Resnais pueda proporcionar spoilers a nuestra película. 8.- Usted ha escrito algunos artículos sobre juegos infinitos. En el cortometraje se critica en cierto modo lo absurdo de trabajar en un tema como ese. ¿Se trata de un guiño con algún doble sentido, o simplemente un ejercicio de autocrítica matemática (me refiero a la pérdida de tiempo que pueda parecer a la gente corriente el estudiar problemas demasiado teóricos, algo así como lo de buscar el sexo de los ángeles (expresión española que no sé si tiene equivalente en otros países)? Mr. Spadaro: ¡No estamos criticando nada! Probablemente te estés refiriendo a una frase que el médico dice que se burla de los juegos infinitos, pero ese es solo su personaje. Los juegos infinitos son una hermosa asignatura con aplicaciones en muchas áreas de las matemáticas. Ciertos fenómenos matemáticos se pueden describir usando juegos y esto nos ayuda a entenderlos mejor. 9.- En el corto se enfrentan dos concepciones diferentes: la de un matemático y la de un médico. Quizá esta segunda no sale bien parada. ¿No teme que le achaquen que se muestra una cierta superioridad, un mirar por encima del hombro o sencillamente, un “no tenéis ni idea de las cosas” de unas profesiones a otras? Mr. Spadaro: El personaje del matemático puede ser arrogante, pero no representa las matemáticas como un todo, solo es un personaje y está allí para servir la historia. Y el personaje del doctor no es menos arrogante, con su ilusión de que su trabajo es más importante que el del matemático. En realidad, sus certezas son desafiadas por la inminente destrucción. Lo curioso es que conozco al menos a dos excelentes matemáticos que dejaron la academia para convertirse en médicos (uno ha sido oftalmólogo en ejercicio desde hace un tiempo y el otro acaba de obtener su título de médico). 10.- El corto ha sido posible gracias a una política de crowfunding, que ha conllevado algún retraso en su ejecución. ¿Es difícil poner en marcha un proyecto como éste? ¿Qué dificultades se ha encontrado en su realización? Mr. Spadaro: El crowdfunding es una forma muy popular hoy en día, tanto para obtener los fondos necesarios para producir una película como para encontrar una audiencia muy necesaria. Incluso directores famosos han recurrido a ella porque no pudieron financiar sus proyectos utilizando los medios tradicionales: por ejemplo, Alejandro Jodorowski, Charlie Kaufman y Jan Svankmajer utilizaron el crowdfunding para financiar sus últimas películas. Pero incluso cuando obtienes los fondos, no es seguro que puedas terminar una película. Hay muchos problemas por resolver: encontrar la mejor ubicación y seleccionar los mejores actores para su historia, encontrar la manera de implementar todas las necesidades del guion en la producción, encontrar un momento de filmación que funcione para todo el equipo técnico y artístico, e incluso una vez que comienza la producción, todo parece ir mal y hay que tener mucha flexibilidad para poder adaptarse a las circunstancias sin desviarse de tu idea. Y eso, especialmente en películas indie como la nuestra, a veces implica usar más de un sombrero en el rodaje. Por ejemplo, no pude encontrar un director de arte que estuviera disponible en el momento del rodaje y tuve que conseguir los accesorios y hacer el diseño del set y la decoración yo mismo. 11.- ¿Se ha estrenado públicamente? ¿Qué proyectos de difusión del corto tiene? ¿Festivales? ¿Internet? Mr. Spadaro: La versión final será estrenada en breve. Al igual que con nuestro cortometraje anterior, que se proyectó en una docena de festivales en todo el mundo, también presentaremos Game Theory en festivales de cine tradicionales. Pero también tengo la intención de presentarlo en eventos dedicados a la exposición matemática, emparejando la proyección con una charla sobre los aspectos matemáticos de la película. Para estar al tanto de las actualizaciones de la película se puede seguir nuestra página de Facebook: https://www.facebook.com/mathematicsandfilm/. 12.- ¿Entendieron bien los actores el papel que debía transmitir cada uno, de acuerdo a su particular visión de la vida? ¿No se le pasó por la cabeza interpretar usted mismo al matemático? Mr. Spadaro: Los protagonistas tienen experiencia tanto en el teatro, como en la parte matemática ya que se dedican a ello (Giorgio es matemático y un científico de la computación, mientras que Claudio es un filósofo de las matemáticas), por lo que ambos conocen perfectamente y están acostumbrados a desempeñar ese papel. Lo más desafiante fue acostumbrarlos a la mecánica de una sesión de filmación, lograr que hicieran tomas múltiples, hacer que se sintieran cómodos con tener un equipo alrededor, etc. 13.- Cuéntenos alguna anécdota del rodaje o algún hecho curioso o destacable que tuviera lugar. Mr. Spadaro: Sobre las tres de la mañana, todos muertos de cansancio, estábamos filmando la última escena de acuerdo a nuestra planificación del rodaje, aquella en la que uno de los personajes se sobresalta al oír un disparo repentino. Pude utilizar una pistola de fogueo para disparar al aire y la reacción del actor sería lo suficientemente parecida a lo que quiero, pero era demasiado tarde: despertaría a los dueños de la localización que viven en el piso de arriba. Intento asustar al actor golpeando cosas sobre la mesa y en la pared, pero simplemente no funciona. Está fingiendo miedo, pero en realidad no está conmocionado, tanto porque está muy cansado como porque puede ver lo que estoy haciendo. Hubiera preferido haber filmado esta escena al principio en lugar de al final. Entonces, con Esther, mi directora de fotografía, tuvimos una idea. Le decimos al actor que ensaye la escena una vez más mientras me voy un momento al baño. Esther prepara la cámara, sin que el actor lo sepa. Empujo la puerta entreabierta detrás de mí, pero en lugar de ir al baño, me vuelvo a la puerta, espero a que el actor diga su frase, y ¡BAM!, golpeo la puerta con tanta fuerza que no puede evitar saltar de miedo. Y digo, “¡Corten!". “¡Se acabó, chicos, todos habéis hecho un gran trabajo!" 14.- ¿Ha quedado satisfecho con el resultado final? ¿Tiene previsto volver a tratar algún asunto matemático en una película en el futuro? Mr. Spadaro: Nunca estoy satisfecho con una película porque siempre hay muchas cosas que podrían haber sido mejores. Pero estoy orgulloso de cada película que he hecho y ahora me siento más seguro de afrontar más películas con un tema matemático. Hay una hermosa historia sobre el matemático húngaro Paul Turan que me gustaría convertir en una película corta. Es una historia que le digo a cualquiera que me pregunte para qué sirve la matemática pura. Estamos en Budapest, entre la ocupación alemana y la rusa. Turan es detenido por las tropas rusas que le piden una identificación, pero no tiene porque fue robada por los nazis unos días antes. Él sabe que probablemente va a ser encarcelado o ejecutado. Sin embargo, recuerda que acaba de editarse una reimpresión de un artículo en teoría de números que coescribió con Erdös, publicada recientemente por una revista rusa, por lo que le entrega el papel a los soldados rusos. Los rusos están tan impresionados con que estos matemáticos húngaros eligieran una revista rusa para publicar su trabajo que deciden dejarlo ir. Más tarde, Turan escribe una carta a Erdös diciendo que ha encontrado "una nueva y maravillosa aplicación de la teoría de números". 15.- ¡Que historia más maravillosa! No la conocía. Desde luego, como matemáticos, te animamos a que pongas ese proyecto en marcha cuanto antes. Otra curiosidad sobre Game Theory. Al inicio, se menciona como causa de lo que va a suceder el THD. ¿Se refiere al fenómeno conocido como Total Harmonic Distortion? Si es así, sus consecuencias (al menos las conocidas) no aparentan ser tan fatales como se da a entender, ¿no? Mr. Spadaro: Mi equipo estuvo preguntándome sobre esto durante el rodaje también, pero no, nunca revelaré qué significa THD. ¡Es un secreto! 16.- Y ya para acabar, llama la atención que en la banda sonora se utilicen canciones patrióticas de la I Guerra Mundial. ¿Tienen algún significado especial, o sencillamente buscaste melodías que estuvieran libres de derechos (en este tipo de producciones, es sabido que hay que intentar abaratar los costes al máximo)? Mr. Spadaro: Ambas cosas son ciertas. Quería dar a este corto el tono de una comedia negra, y pensé que ayudaría tener música estimulante que contrastara con la gravedad del tema para lograr un efecto cómico. Y, ¿qué hay más edificante que una canción patriótica? Afortunadamente, encontré lo que quería en un repositorio de música de dominio público. Además, creo que también encaja perfectamente con el aspecto vintage del diseño del escenario. Agradecemos enormemente a Santi Spadaro su amable y paciente disposición para responder a estas cuestiones, a las que ha añadido datos curiosos y significativos tanto sobre Game Theory (en el enlace podéis ver un avance del corto) como sobre sus próximos proyectos. Además, nos ha facilitado gentilmente las imágenes del corto que aparecen en esta reseña. Le seguiremos la pista. ¡¡Muchísimas Gracias!! En relación a las melodías de las que hablábamos anteriormente, se trata de Pack Up Your Troubles In Your Old Kit Bag (And Smile, Smile, Smile) y Over There (pinchando en los enlaces podéis escucharlas y ver incluso la letra traducida). Fueron canciones patrióticas destinadas a los jóvenes para que se animaran a alistarse a combatir durante la I Guerra Mundial. Además de en este corto, aparecen en numerosas películas (la primera en El abuelo de la criatura (1932); High Pressure (1932); El ángel negro (1938); Por mi chica y por mí (1942); y la segunda en Un yanqui en Oxford (1938); Yankee  Dandy (1942); El Cardenal (1963); Oh, qué guerra tan bonita (1969); 1941 (1979); Ella es el partido (2008), entre otras). Alfonso Jesús Población Sáez

Viernes, 05 de Enero de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

256. 88. (Enero 2018) Medidas de complejidad rítmica (III)

1. Introducción Este artículo es la continuación de la serie sobre medidas de complejidad rítmica. Los dos primeros artículos fueron las columnas de octubre [Góm17a] y noviembre [Góm17b], respectivamente. En estas dos columnas se presentaron las principales medidas de complejidad rítmica, que se dividieron en dos grandes categorías: la primera, las medidas métricas, las medidas basadas en patrones y las medidas basadas en distancias; la segunda, las medidas formales de complejidad, tales como las medidas basadas en la entropía de la información, las basadas en los histogramas de intervalos entre notas consecutivas y las llamadas de irregularidad matemática, que incluyeron el índice de asimetría rítmica y la medida de contratiempo. En esta tercera columna, la última de la serie, tratamos la evaluación perceptual de esas medidas. Sabemos que cada medida ha sido diseñada poniendo atención a ciertos aspectos del fenómeno rítmico. El objetivo final es que las medidas reflejen lo más fielmente posible la medida humana de la complejidad rítmica. Tal medida humana es, por sí misma, un objetivo muy difícil de definir y aun más de medir. Varias preguntas de manera natural e inmediata surgen. ¿Es la percepción humana de la complejidad rítmica un universal? Si no lo es, ¿depende de la cultura?, ¿de la exposición a determinado estilo?; ¿varía con la predisposición genética? Para un individuo fijo, ¿es dicha percepción consistente en el tiempo?; ¿o depende del estado emocional, de su cansancio o de otros factores?; y si es así, ¿de qué factores? En general, ¿cómo se debería medir la complejidad rítmica? ¿Como ritmos puros o bien inmersa en la melodía o en un contexto armónico? En este último caso, ¿cómo se aísla la complejidad melódica de la complejidad rítmica? ¿Qué factores generales afectan la percepción de la complejidad rítmica? Por ejemplo, Vinke [Vin10], en su tesis de maestría, identifica varios factores tales como tempo, formación musical, timbre, acciones motrices asociadas o producidas durante la percepción de los ritmos, pero sabemos que hay otros factores, como el agrupamiento. En su tesis de maestría Thule [Thu08] contesta en parte a estas preguntas, apoyándose en experimentos que psicólogos de la música habían llevado a cabo para tratar de medir la complejidad rítmica. El mérito de Thul y Toussaint, su director de tesis, fue usar esas medidas cognitivas para evaluar la bondad de las múltiples medidas que se habían propuesto, pero que inexplicablemente no se habían evaluado. Puede parecer extraño que un investigador presente una medida de complejidad rítmica y no la evalúe con datos reales para determinar su efectividad. Sin embargo, esta ha sido la situación para la gran parte de las medidas examinadas por Thul. 2. Las medidas humanas de complejidad rítmica En esta sección examinaremos los datos experimentales de tres trabajos diferentes, el de Povel y Essens [PE85], el de Shmulevich y Povel [SP00], y el de Fitch y Rosenfield [FR07], y que sirvieron de base para obtener las medidas humanas de complejidad rítmica. Los dos primeros estudios usan los mismos ritmos como estímulo de entrada, los cuales se pueden ver en la figura 1 más abajo. El primer estudio, el de Povel y Essens, data de 1985 y en él estos autores investigaron la medida de la complejidad rítmica de la ejecución. Estrictamente hablando, no es una medida de la complejidad rítmica, pero la hipótesis subyacente era que la complejidad rítmica y de reproducción están estrechamente relacionadas. Al fin y al cabo, un ritmo complejo debería ser más difícil de reproducir que uno que no lo es. Quince años más tarde, en 2000, Shmulevich and Povel usaron los mismos ritmos para su propio estudio, pero esta vez el objetivo sí era la complejidad rítmica. En 2007 Fitch y Rosenfeld estudiaron la complejidad de la ejecución así como la complejidad métrica; estos autores usaron otros ritmos diferentes a los de los dos primeros estudios. 2.1. Los datos de Povel y Essens Povel y Essens decidieron en su estudio usar ritmos sintetizados por un ordenador con el fin de aislar variables tales como el timbre o la altura del sonido. Los ritmos se pueden ver en la figura 1. Figura 1: Ritmos usados en los experimentos (figura tomada de [Thu08]) La pregunta de investigación que se plantearon estos autores tenía un carácter muy cognitivo. Querían comprobar si los ritmos que inducen un carácter métrico fuerte generan mejores representaciones internas que los ritmos que tienen un carácter métrico débil. En el lenguaje de Povel y Essens, el carácter métrico es descrito como un reloj interno. Los ritmos que usaron en sus experimentos tienen una estructura muy fija. Son todas las permutaciones del patrón de los intervalos de duraciones entre notas consecutivas (IDNC) del conjunto . Según estos autores, este conjunto solo admite variaciones estructurales. Nos queda la duda, sin embargo, de qué resultados se habrían obtenido con un conjunto de ritmos más variado. Por ejemplo, los ritmos en este estudio tienen el mismo número de notas, pero sabemos que la medida de complejidad variaría notablemente con el número de notas. El estudio usa 24 sujetos, los cuales tenían que reproducir un ritmo que acababan de oír. El ritmo se podía oír tantas veces como el sujeto quisiera y además podían tocarlo a la vez si así lo querían (de hecho, en el experimento se les animaba a que así lo hiciesen). Pero cuando daban al botón de parar la reproducción del ritmo, entonces tenían que tocarlo y no tenían la oportunidad de volverlo a tocar. Se exigía al sujeto una reproducción de al menos cuatro veces seguidas. Si un sujeto no estaba satisfecho con la reproducción de un ritmo, podía empezar el proceso desde el principio para ese ritmo concreto. La manera en que Povel y Essens midieron la complejidad rítmica de la reproducción fue a través de un porcentaje que medía la discrepancia de las reproducciones de los sujetos con respecto al ritmo presentado. Los resultados de los experimentos se puede ver en la columna que reza human performance complexity en la figura 1. 2.2. Los datos de Povel y Shmulevich En el experimento de Shmulevich y Povel, como hemos dicho, se usaron los mismos ritmos que antes. Los sujetos fueron reclutados de la Universidad de Nijmegen y todos eran músicos con una media de 9,2 años de experiencia musical. Los ritmos se presentaron a los sujetos sintetizados por MIDI con un sonido de marimba y de manera aleatoria. Los participantes tenían que puntuar los ritmos según la complejidad rítmica en una escala de números enteros que iba de 1 (más sencillo) a 5 (más complejo). En la última columna de la tabla de la figura 1, la que reza human perceptual complexity. 2.3. Los datos de Fitch y Rosenfeld En 2007, Fitch y Rosenfeld llevaron a cabo dos experimentos, uno de reproducción rítmica y otro de complejidad métrica. Los estímulos de sus experimentos se pueden consultar en la figura 2. Los ritmos fueron generados de tal manera que la cantidad de síncopa variara sustancialmente, y donde la síncopa se midió usando la medida de Longuet-Higgins y Lee (véase [LHC84] y [Góm17a]). Los 16 participantes tenían entre 0 y 15 años de experiencia musical y realizaron las dos tareas propuestas en el experimento. Figura 2: Ritmos usados en los experimentos de Fitch y Rosenfeld (figura tomada de [Thu08]) En estos experimentos el ordenador toca un pulso sobre el cual se oye el ritmo y sobre el cual los sujetos tienen también que reproducir dicho ritmo. En el segundo experimento, después de cierto tiempo se supreme el pulso de referencia y el sujeto tiene que seguir reproduciendo el ritmo y además el pulso. Antes de que se suprima el pulso, el ordenador cambia un poco el tempo. Se producen así errores de ritmo que sirven a Fitch y Rosenfeld para evaluar la complejidad rítmica. En la figura 2 las columnas human performance complexity y human metrical complexity corresponden a las medidas obtenidas. La tercera columna se refiere a otro experimento que no hemos descrito aquí. 3. La comparación de las medidas de complejidad Una vez que tenemos las medidas formales de complejidad rítmica y las medidas humanas (los datos experimentales), ¿cómo se lleva a cabo la comparación entre ellas? Cada medida formal debe ser validada con los datos experimentales. Una posible técnica es la correlación. La correlación es una técnica estadística para detectar relaciones entre dos variables, sean aquellas causales o no. Tal detección puede ser muy útil cuando el objetivo es predecir el comportamiento de una variable en función de otra. Cuando una variable es la causa de la otra, entonces hablamos de causalidad. Cuando hay causalidad, se produce correlación entre las variables, pero al revés no es cierto. Es el famoso cántico que entona todo investigador constantemente: correlación no implica causalidad. Para ver ejemplos muy llamativos y también simpáticos de correlaciones que no implican causalidad, véase la página web de Tyler Virgen, Spurious correlations [Vir17], donde uno se entera de que hay una alta correlación el porcentaje de matrimonios en Kentucky y el número de personas que se ahogaron tras caerse de un bote al mar. Para más información sobre la correlación, véanse  [CC83] para los detalles técnicos y [Wik17] para un tratamiento más general. ¿Cómo se cuantifica el grado de correlación entre dos variables? La técnica habitual es a través del llamado coeficiente de correlación de Pearson. Supongamos que X e Y son dos variables (en nuestro caso las medidas), que toman valores n valores xi, yi, respectivamente; ademas, sean X e Y sus medias. El coeficiente de correlación lineal r se define por El coeficiente r toma valores entre -1 y 1. Valores cercanos a bien -1 o 1 indican una alta correlación lineal, esto es, que las variables dependen la una de la otra en la forma de una ecuación lineal del tipo Y = aX + b, donde a,b son ciertas constantes. Si r está próximo a cero, entonces se entiende que no hay dependencia lineal. Esto, por supuesto, no implica que no haya otro tipo de dependencia (cuadrática, exponencial, etc.). De hecho, hay otros coeficientes para medir otros tipos de dependencia aparte de las lineales. Para un tratamiento riguroso y ameno de los problemas de interpretación de la correlación, recomendamos vehementemente al lector el libro de Ellenberg How Not To Be Wrong. The Power Of Mathematical Thinking [Ell15]. Sin embargo, los coeficientes de correlación como el de arriba no son aplicables en nuestro caso porque las variables son ordinales, esto es, reflejan un orden entre objetos. Para el caso concreto de variables ordinales se usa otro coeficiente, el llamado coeficiente de correlación de rangos de Spearman. Aquí la palabra rango significa el orden del objeto (en nuestro caso medidas de complejidad rítmica) en la clasificación general. Si designamos por di la diferencia entre los rangos xi e yi, y n el número de datos, entonces el nuevo coeficiente, rs, se define por: Esta fórmula solo es válida si los rangos no contienen repetidos; ese fue el caso de las medidas de complejidad rítmica. Otro problema matemático que surge ahora es cómo visualizar adecuadamente todos esos coeficientes de correlación. Nótese que el coeficiente de arriba, rs, se tiene que calcular n2 veces, una vez por cada par de medidas. Una vez hecho esto, es posible aplicar una técnica de visualización de análisis de grupos llamada árboles filogenéticos [HB06]. Esta técnica está tomada de la Bioinformática, donde se usa para visualizar la evolución de especies. En este campo, la distancia entre dos especies se toma como la distancia de edición entre el ADN. Para obtener un árbol filogenético hace falta una distancia. En nuestro caso no tenemos una distancia propiamente dicha, pero se pueden transformar los coeficientes de correlación en una distancia con la fórmula ds = 1 - rs. Las etiquetas que aparecen en la figura 3 son las distintas medidas con sus variantes que Thul calculó. No todas las medidas de su tesis han sido descritas aquí. La potencia de los árboles filogenéticos es que la distancia entre dos nodos en el árbol se corresponde con la distancia real en la matriz. Así, por ejemplo, observando la figura de arriba, a la derecha en la parte superior, vemos que están las medidas humanas de complejidad (las etiquetas human perceptual complexity y human performance complexity), y que las medidas más cercanas a ellas son la medida DPNP (WNBD2 en el gráfico), el índice de contratiempo (offbeatness) y la medida de Keith (keith). Figura 3: Árboles filogenéticos para el análisis de grupos (figura tomada de [Thu08]) 4. Conclusiones A lo largo de estas tres columnas hemos estudiado un buen grupo de medidas formales de complejidad rítmica, cómo se obtienen medidas humanas de complejidad rítmica y cómo se correlacionan las unas con las otras para ver cuáles son las más adecuadas. Varias observaciones críticas se pueden hacer al proceso. Por una parte, nos damos cuenta de que algunas medidas formales se definieron de una manera abstracta, sin atender a principios musicales y cognitivos. Un ejemplo de esta categoría podría ser la medida de Lempel-Ziv o la medida de Keith. Esta última se basa en combinatoria y asigna los pesos de las plantillas de manera bastante arbitraria. Por otro lado, las medidas humanas fueron generadas a partir de experimentos no siempre directamente relacionados con la complejidad rítmica y en algunos casos usando conjuntos de ritmos ciertamente limitados. En este sentido, es claro que hacen falta nuevos experimentos para mejorar las medidas humanas. Por último, hace falta un marco teórico más claro con respecto a lo que queremos decir cuando hablamos de complejidad rítmica. En la propia tesis de Thul se listan unos cuantos problemas abiertos.   Bibliografía [CC83] J. Cohen and P. Cohen. Applied Multiple Regression/Correlation Analysis for the Behavioral Sciences. Lawrence Erlbaum Associates, 1983. [Ell15] Jordan Ellenberg. How Not To Be Wrong. The Power Of Mathematical Thinking. Penguin, 2015. [FR07] W.T. Fitch and A. J. Rosenfeld. Perception and production of syncopated rhythms. Music Perception, 25(1):43–58, 2007. [Góm17a] Paco Gómez. Medidas de complejidad rítmica (I), 2017. [Góm17b] Paco Gómez. Medidas de complejidad rítmica (II), 2017. [HB06] Daniel H Huson and David Bryant. Application of phylogenetic networks in evolutionary studies. Mol Biol Evol, 23(2):254–267, 2006. [LHC84] H.C. Longuet-Higgins and C.S. The rhythmic interpretation of monophonic music. Music Perception, 1:424–441, 1984. [PE85] D. Povel and P. Essens. Perception of temporal patterns. Music Perception, 2:411–440, 1985. [SP00] I. Shmulevich and D.-J. Povel. Measures of temporal pattern complexity. Journal of New Music Research, 29(1):61–69, 2000. [Thu08] Eric Thul. Measuring the complexity of musical rhythm. Master’s thesis, McGill University, Canada, 2008. [Vin10] Louis Nicholas Vinke. Factors affecting the perceived rhythmic complexity of auditory rhythms. Master’s thesis, Bowling Green State University, United States of America, 2010. [Vir17] Tyler Virgen. Spurious Correlations. http://www.tylervigen.com/spurious-correlations, consultado en diciembre de 2017. [Wik17] Wikipedia. Correlation and dependence. https://en.wikipedia.org/wiki/Correlation_and_dependence, consultado en diciembre de 2017.

Miércoles, 03 de Enero de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

257. 41. (Enero 2018) Poliedros en marfil

(Sólido de Kelvin. Palazzo Pitti, Florencia) El encanto por los poliedros durante el Renacimiento alcanzó su máxima expresión en las artes decorativas. El Timeo, de dudosa atribución a Platón, fue una cosmología muy conocida durante el medievo que usaba los poliedros regulares como modelo para el demiurgo que construía el universo. Con el despertar de las ciudades y el comercio se produjo el del arte vinculado a las matemáticas. Los poliedros se convierten en un elemento director para los artistas de la nueva perspectiva realista. La recuperación de la tradición pitagórica de los sólidos platónicos y arquimedianos la formaliza el pintor matemático Piero della Francesca (1416-1495) con su Libellus de quinque corporibus regularibus. Los poliedros se hacen hueco en el arte. La divulgación de las posibilidades de los sólidos para el arte de la perspectiva alcanza su cenit con las sesenta ilustraciones de Leonardo da Vinci para De divina proportione (1497) de Fra Luca Pacioli. La pintura, pero sobre todo, la taracea prospectiva hará amplio uso de poliedros platónicos y arquimedianos tanto en su forma sólida como la vacía. Las ciudades alemanas tomarán el relevo de las italianas. Augsburgo y Núremberg tendrán talleres muy productivos que comercializan por toda Europa. Los artesanos/artistas requieren diseños más sofisticados que proporcionarán Lorenz Stöer con su Geometría et perspectiva (1567) o el orfebre Wentzel Jamnitzer en su Perspectiva corporum regularium (1568). Mientras Jamnitzer lleva el proceso de disección al límite, lo que hace Stöer es enmarcar los sólidos en un contexto floral, arquitectónico y a veces casi onírico. La taracea alemana se hará más colorista y sofisticada. Los escultores o los diseñadores de portadas de libros no permanecen al margen de esta eclosión de los poliedros. El gran atractivo estético hace que hasta Johannes Kepler intente reconstruir el modelo del mundo sobre los cinco sólidos regulares convexos en su famoso Misterium Cosmographicum (1596). Kepler desechará su idea pronto pero seguirá estudiando los poliedros ampliando su catálogo con dos poliedros regulares cóncavos y con alguno tan importante como el dodecaedro rómbico. En este panorama de idolatría por los poliedros encontraremos poliedros por doquier sean mausoleos o artículos de lujo. Poliedros en Dresde La capital de Sajonia se convierte durante la época del Elector Augusto (1553-1586) en un centro de atracción de artistas y grandes artesanos. A Dresde acude desde Colonia un virtuoso del torneado y tallado de marfil: Egidio Lobenigk. Lobenigk ejecutó numerosos objetos de marfil. Reproducimos dos pedestales que terminan en dodecaedros huecos que envuelven otros dodecaedros hasta el infinito y que se encontraban en el Museo de la Bóveda Verde (Grüne Gewölbe) del Palacio Real de Dresde y hoy se encuentran instalados en un museo cercano. Forman parte de los Tesoros de las Colecciones Estatales de Arte de Sajonia. (Dodecaedros. Cámara de la Bóveda Verde, Dresde) Los poliedros huecos con las caras agujereadas mediante círculos son un diseño habitual de la época que puede verse en las láminas de Lorenz Stöer y a través de ellas en muchos muebles de taracea, como en San Lorenzo de El Escorial y Bilbao. Las dos piezas están firmadas y fechadas en 1581 y 1584. Muy cerca estaba Kepler de postular su modelo de universo platónico basado en poliedros circunscritos que aparece en el Misterium Cosmographicum (1596). Los artesanos de Könisberg y Dáncig continuaron produciendo los poliedros de marfil a inicios del XVII. El Museo de la Bóveda Verde tiene una cámara espectacular dedicada a los marfiles, muestra del virtuosismo que alcanzó el arte de la talla geométrica del marfil. Aunque el dodecaedro sea el poliedro preferido, el resto de los sólidos platónicos también son reproducidos. (Icosaedro y tetraedro. Cámara de la Bóveda Verde, Dresde) Poliedros en marfil de los Médici El gusto refinado del Elector de Sajonia se extiende al Palacio Pitti de los Médici en Florencia donde hay otra colección importante. El Museo de la Plata del Palazzo Pitti alberga parte de la colección de joyas y curiosidades de lujo de la familia Médici. Los objetos se exhiben en las cámaras de la planta baja, donde los señores recibían a sus visitas, decoradas con espectaculares trampantojos. El pintor matemático Piero Della Francesca había mostrado la utilidad de la representación de los poliedros para dominar la perspectiva. Leonardo dio un nuevo impulso con sus dibujos para Luca Pacioli. La colección medicea muestra que el gusto por los sólidos se mantenía. En ocasiones en una misma pieza se han tallado diferentes poliedros o esferas agujereadas con círculos que ocupan el lugar de las caras o vértices de poliedros regulares o arquimedianos. (Cubo y dos esferas dodecaédricas. Palazzo Pitti, Florencia) Un poliedro muy reproducido tanto en la marquetería alemana como en marfil es el icosidodecaedro. En Florencia encontramos una esfera basada en sus 32 caras. (Esfera icosidodecaédrica. Palazzo Pitti, Florencia) Dodecaedros de marfil en Berlín El Museo Bode de la Isla de los Museos en Berlín quizá no sea tan espectacular como su vecino, el Museo de Pérgamo, pero merece la pena para admirar el arte renacentista en terracota, vidriada o sin vidriar, al modo de Luca della Robbia. Ponemos ahora nuestra atención en los dodecaedros de marfil fechados en 1620, que aparecen sin autor, y cuya virtuosa ejecución de dodecaedros huecos encajados no desmerecen de los de Dresde o Florencia. Los dodecaedros vacíos con apertura circular son las terminaciones de los pináculos de cada copa y son más esféricos que los de Sajonia. Uno de ellos alberga toda una serie hasta el infinitésimo de dodecaedros reducidos, mientras que el otro tiene un cubo apuntado en su interior, como un pasatiempo para extraer. (Dodecaedros. Museo Bode, Berlín)

Martes, 02 de Enero de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

258. 123. (Diciembre 2017) El jardín de Babaï, de Mandana Sadat

Un cuento puede empezar por el principio, llegar al final y luego regresar sobre sus pasos para contarse de una forma distinta. Para poder disfrutar de este ida y vuelta sólo hay que seguir a Babaï, el corderito que, aburrido, decidió un buen día hacer un jardín en el desierto de Irán. Editorial Kókinos El pasado mes de julio participé en el curso de verano del Escorial De las matemáticas a la sociedad: el camino de la divulgación organizado por los profesores José M. Arrieta Algarra y Roberto Rodríguez del Río. Allí hablé –entre otras– sobre matemáticas y literatura, y de algunas propuestas en las que las matemáticas aparecen en la estructura del texto –simetrías, combinatoria, etc.–. Eduardo Saénz de Cabezón, que también participaba en el curso, me recomendó un par de libros cuya organización podía mirarse desde las matemáticas. Uno de ellos era este precioso cuento, El jardín de Babaï, con magníficas ilustraciones, y en el que la historia de Babaï, el corderito, se puede leer en dos sentidos opuestos. El jardín de Babaï es una adaptación de un cuento oriental, que propone dos formas de lectura: una de izquierda a derecha en castellano, y otra en sentido inverso, en persa, en una narración complementaria. El cuento en castellano comienza en la página 4, ocupa las páginas pares hasta la 28 y, en la página 32, ofrece la traducción del cuento completo en persa. Este último, a su vez, comienza en la página 27, evoluciona en las páginas impares –en sentido inverso– hasta la página 5, y ofrece en la página 1 una traducción al persa del cuento narrado en castellano. La historia es la misma, pero contada de diferente manera, en orden temporal –en castellano– o en el contrario –en persa, rememorando lo sucedido– y utilizando ambas versiones las mismas ilustraciones. Las imágenes crecen en complejidad en la historia en castellano, hasta terminar tejiendo una majestuosa alfombra oriental, que representa el jardín del protagonista. Referencia Mandana Sadat (traducido por Esther Rubio Muñoz), El jardín de Babaï, Kókinos, 2007

Domingo, 31 de Diciembre de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

259. 132. (Noviembre 2015) Sé lo que estás pensando

El mentalismo es una de las especialidades de la magia que está más próxima a las matemáticas. El mago que se autodenomina mentalista consigue realizar sus adivinaciones y predicciones mediante un surtido de técnicas, muchas de las cuales consisten en explotar propiedades matemáticas que permiten asegurar el resultado previsto. Evidentemente, para fortalecer la sensación de poseer poderes mentales, el mago debe ocultar convenientemente los principios utilizados en el juego o experimento que propone. Si dichas propiedades son sencillas (por ejemplo, las entradas de marzo de 2004 o febrero de 2012), la puesta en escena debe estar preparada más cuidadosamente, con el fin de ocultarlas. En otros casos, no son tan conocidas las propiedades en las que se basa un juego (por ejemplo, las entradas de febrero de 2010 o diciembre de 2013), de modo que la presentación no necesita estar muy elaborada. Este proceso de convertir en juego de magia una simple curiosidad matemática ha ocupado a muchos magos a lo largo de los tiempos. Y hoy vamos a ilustrarlo con un ejemplo. Siempre es muy difícil situar el origen de un juego en un lugar o autor concreto. Digamos que la historia comienza el año 1951, cuando Bob Hummer pone en el mercado el juego "Mathematical three-card monte", citado ya en este rincón (julio de 2013). En 1954, Jack Yates publica el libro “Minds in close up” que contiene un juego donde muestra un método de adivinación utilizando cuatro objetos, el cual está basado en el efecto de Bob Hummer. Este juego está descrito en el omnipresente libro "Mathematics, magic and mystery" (1956), de Martin Gardner, bajo el título "Yates' four-object divination". Otra descripción del juego de Yates aparece en el libro “Big book of magic tricks” (1977) de Karl Fulves bajo el título "The parity principle". El principio matemático se convierte en juego de magia el año 1974, cuando Paul Curry publica el juego "A penny for your thoughts", en el libro "Paul Curry presents" (aunque también se incluye en la antología "Paul Curry's worlds beyond", publicada en 2001). Por cierto, este Paul Curry (1917-1986) fue un famoso mago aficionado conocido mundialmente por su juego "Fuera de este mundo" y por el puzle "La desaparición del cuadrado". ¿Cómo ha quedado el juego después de este proceso? Como una demostración de habilidad psíquica del mago. Por mucha libertad de movimientos que tenga el espectador, el mago podrá predecir el punto final de su recorrido. Veamos con detalle el proceso. Busca una hoja de papel y recórtala en seis trozos. Luego escribe en cada una de ellos una letra, de la A a la F. Coloca los seis trozos sobre la mesa, formando una fila. Busca ahora una baraja y saca seis cartas, del 2 al 7, de cualquier palo. Retira el resto, que ya no nos servirán. Mezcla las seis cartas y colócalas en la mesa caras arriba, cada una debajo de uno de los trozos de papel. Te quedará una disposición parecida a esta imagen (aunque el orden de las cartas sea otro): Ahora sigue cuidadosamente las siguientes instrucciones. Te daré bastante libertad de movimientos pero no podrás escapar a mi control mental. Intercambia el siete con cualquier carta que esté bajo una vocal. Cambia el cuatro con el cinco. Cambia el dos con el siete. Retira la carta que está bajo la letra F. Cambia la carta de menor valor con cualquiera de las que estén a su lado. Retira la carta que está bajo la letra A. Intercambia de posición las dos cartas de mayor valor. Retira la carta que está bajo la letra E. Cambia la carta de menor valor con cualquiera de las que estén a su lado. Retira la carta que está en la posición de la letra B. Quedan dos cartas que ocupan las posiciones de las letras C y D. Retira la carta que bajo la letra D. Queda una carta y ocupa la posición C. Ya sé que esto no es una buena adivinación. Lo difícil es saber la carta que queda. Concéntrate en la carta. ¡Ya sé lo que estás pensando! Pincha en la imagen para comprobarlo. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Lunes, 09 de Noviembre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

260. 156. (Enero 2018) Dados estrellados

Ya se ha convertido en una tradición findeañera, de momento para aficionados a la numerología matemática, pero que se hará popular con el tiempo. Me estoy refiriendo a las combinaciones aritméticas y propiedades intrínsecas del número que representa el año que está a punto de empezar. Hagamos un pequeño resumen de las curiosidades obtenidas por el incansable Antonio Roldán. Después de que el año 2017 fuera primo, 2018 es producto de dos primos, 2018 = 2 x 1009. No habrá otro primo hasta 2027. También es suma de dos primos, 2018 = 7 + 2011 (esto no es destacable porque la conjetura de Goldbach asegura que esto es cierto para todos los números pero en este caso hay 28 combinaciones distintas con esta propiedad). Es un número capicúa, 2018 = 454 454 = 445 544 445 544, pero con algunas operaciones intermedias 2018 = 42 + 52 + 442 + 52 + 42 2018 = 4 x 4 + 5 x 5 + 44 x 44 + 5 x 5 + 4 x 4. Con las primeras cifras de los números π y e se llega "cómodamente", 2018 = 314 x (1 - 5 + 9 + 2) - (65 + 3 + 5!) + 8; 2018 = 271 x 8 - 2 x 81 + 8 + 2 + 8/4. Una vez cumplido el ritual, pasamos al juego de este mes, que irá acompañado de algún reto para que ocupes el tiempo de asueto que se avecina. En ambos casos, vamos a continuar con el tema desarrollado en la pasada entrega utilizando dados pero en un entorno navideño, a partir del diseño de una estrella, como las que adornan gran cantidad de lugares, tanto públicos como privados. El juego es una idea del mago Pepe Medina, y apareció en el primer número de la revista "El Manuscrito", la mejor publicación sobre magia escrita en castellano. Como verás, la imagen adjunta muestra una estrella de seis puntas, cuyos lados se cortan formando un hexágono. Hemos colocado unos dados en cada vértice del hexágono y unas flechas que unen los lados y las diagonales que pasan por el centro. Vas a realizar un pequeño recorrido por la estrella y veremos si puedo adivinar el resultado final. Lanza un dado y coloca un dedo en la imagen del dado correspondiente al resultado. Si no tienes un dado a mano, puedes hacerlo mentalmente, es decir debes elegir un número del uno al seis. Ahora vas a moverte por la figura y dar tantos pasos como indica el número donde te has colocado. Por ejemplo, si tienes el dedo sobre el número tres, debes dar tres pasos. Cada paso debe consistir en un movimiento a lo largo de cualquiera de las flechas, ya sea a un lado adyacente del hexágono o a través de una diagonal. Habrás llegado al final a otro dado (o al mismo, dependiendo del recorrido que hayas elegido). Creo que no se trata del tres, así que vamos a eliminar dicho número y, en sucesivos movimientos, ya no pasarás por allí. Mira el número del dado al que has llegado y repite el proceso anterior: recorre la figura siguiendo las flechas y dando tantos pasos como indica este último valor. Recuerda que no debes pasar por el tres, pues está eliminado. Creo que esta vez no has llegado al uno así que lo vamos a retirar también. De ahora en adelante, no pasarás por este punto. Haz un último recorrido por la figura, esta vez dando tres pasos, siempre respetando las reglas establecidas. Observa el número del dado correspondiente al final del camino. Creo que ya sé cuál es. Haz clic en el dado de abajo y comprueba si he acertado. Terminamos con un par de pasatiempos con los dados en forma de retos, uno de ellos de habilidad y el otro de lógica (o de paciencia, lo que mejor se te dé). El primero: con tres dados iguales, el objetivo consiste en colocar dos de ellos sobre el tercero, de forma que queden en equilibrio como se muestra en la imagen (tendrás que superar las leyes de gravedad): Para el segundo reto, necesitas cuatro dados iguales, que colocarás formando un cuadrado con el seis a la vista en cada uno de ellos y en la misma dirección, algo así como se ve en la imagen: En tres movimientos, deben quedar los dados con los seises a la vista, formando también un cuadrado, pero con la imagen de los seises girada 90 grados entre ellos, como se muestra en la imagen: Lógicamente, hay algunas reglas: cada movimiento consiste en agarrar dos dados simultánemante con una mano, levantarlos de la mesa y colocarlos de nuevo sobre la mesa en otra posición. Por ejemplo, un movimiento válido es el mostrado a continuación (se han tomado los dos dados de la derecha y se han trasladado a una posición superior): Pero también sería válido, por ejemplo, este otro (los dos dados de la derecha se han colocado encima de los otros dos): Recuerda, en tres movimientos válidos debes pasar de la posición inicial a la posición final. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Martes, 02 de Enero de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico