241. 112. (Abril 2018) El misterio de Fermat, Teatre de l’Enjòlit

El misterio de Fermat es una propuesta escénica de la compañía Teatre de l’Enjòlit, una obra con texto y dirección de Albert Alemany e interpretada por Elies Barberà , Jenny Beacraft , Arnau Marín y Marta Montiel . “A través de la historia del último teorema de Fermat, queremos transmitir el amor por la ciencia, el reto apasionante de enfrentarse a un enigma y, en definitiva, descubrir un mundo que a menudo se nos presenta hermético pero que esconde una enorme belleza. La historia de El Misterio de Fermat está irremediablemente unida a la historia de las matemáticas. No sólo habla de los principios de las matemáticas, sino que también nos cuenta cómo son los matemáticos y qué los inspira. Nuestro objetivo es acercar este mundo al público joven. Además, la historia del último teorema de Fermat está unida a una trama de valor, engaños, trucos y tragedia que involucró a los héroes más grandes de las matemáticas.” Teatre de l’Enjòlit El misterio de Fermat gira en torno a la historia del último teorema de Fermat, enunciado por el propio Pierre de Fermat en 1637 de este modo: Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro [Arithmetica de Diofanto] es muy pequeño para ponerla. La historia de la resolución de este teorema ha involucrado a numerosas mentes brillantes que resolvieron algunos casos particulares y desarrollaron herramientas matemáticas complejas antes de que Andrew Wiles publicara su demostración, más de trescientos cincuenta años después del enunciado de Fermat. El misterio de Fermat lleva a escena una apasionante historia (real) de descubrimientos, pasiones, errores y logros por medio de escenas cortas y de continuos saltos en el tiempo, involucrando veinticinco personajes históricos. En algunos momentos, los actores y actrices utilizan pizarras para escribir fórmulas y conceptos matemáticos, complementados con la proyección de imágenes sobre el fondo del escenario. Los personajes principales de El misterio de Fermat son: Pierre de Fermat (1601-1665), que no aparece representado por ningún actor, pero es nombrado continuamente, reforzando el misterio al que alude el título de la obra. Marin Mersenne (1588-1648), que tuvo una nutrida correspondencia con Fermat. René Descartes (1596-1650), gran filósofo, amigo y colaborador de Mersenne. Blaise Pascal (1623-1662), que intercambió con Pierre de Fermat numerosas cartas en las que analizaban los juegos de dados, al estar ambos interesados por la teoría de la probabilidad. Leonhard Euler (1707-1783), que demostró el último teorema de Fermat en el caso n=3. Gran parte de los primeros trabajos de Euler en teoría de números se basan en los trabajos de Fermat. De hecho, demostró el pequeño teorema de Fermat, el teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados y también comprobó la falsedad de algunas de las conjeturas de Fermat. Sophie Germain (1776-1831), que realizó importantes aportaciones en teoría de números que permitieron avanzar en la prueba del último teorema de Fermat. Carl Friedrich Gauss (1777-1855), que mantuvo una nutrida correspondencia con Sophie Germain, que se ocultaba bajo el seudónimo de ‘Monsieur Le Blanc’. Ernst Kummer (1810-1893), que probó el último teorema de Fermat para una clase considerable de exponentes primos. Los matemáticos Yutaka Taniyama (1927-1958) y Goro Shimura (1930), que enunciaron la llamada conjetura de Taniyama-Shimura. En 1995, Andrew Wiles y su estudiante Richard Taylor (1962) probaron un caso especial de la conjetura, suficiente para demostrar el último teorema de Fermat. Y por supuesto, Andrew Wiles (1953), que durante siete años se dedicó a avanzar en la teoría matemática que le llevó a la demostración definitiva de la conjetura de Fermat. La obra El misterio de Fermat pretende, al mismo tiempo, entretener, mostrar una parte esencial de la historia de las matemáticas, enseñar algunos conceptos matemáticos sencillos, hablar de la manera en la que ‘se hacen’ matemáticas y de la pasión que sienten las y los profesionales de esta disciplina al recorrer este camino. El misterio de Fermat es un acercamiento a través del arte a ‘otro arte’ menos conocido, al arte de las matemáticas… A través de los personajes que atraviesan la obra, la compañía Teatre de l’Enjòlit busca transmitir el amor por la ciencia, la belleza de las matemáticas y el valor del esfuerzo y la pasión personalizados en la figura de Andrew Wiles. El misterio de Fermat es la historia de la demostración de una conjetura, tan sencilla de entender que parecería también sencilla de verificar o refutar, pero que ha necesitado de varios siglos y matemáticas bellas y complejas para resolverla. Más información: Teatre de l’Enjòlit Dossier sobre la obra El misterio de Fermat

Martes, 03 de Abril de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

242. 44. (Abril 2018) El mazzocchio: de la cabeza a las matemáticas

(Giuliano da Maiano. Mazzocchio. Studiolo de Federico de Montefeltro, Urbino) El mazzocchio, el sombrero toscano en forma de toro poliédrico, fue utilizado una y otra vez como objeto para la práctica de la perspectiva matemática durante el Renacimiento. Desde el estudio geométrico detallado realizado por el pintor matemático Paolo Uccello (1397-1475), pasando por Leonardo y siguiendo por los tratados de perspectiva, el mazzocchio fue uno de los protagonistas de los nuevos tiempos. (Paolo Uccello. Mazzocchio) Uccello no se limitó a pintar el adorno de los caballeros y se concentró en el estudio de la perspectiva de una forma moderna, similar a la descomposición en “elementos finitos” poliédricos, tal como hacen hoy los calculistas de estructuras complejas. El pintor cronista Vasari reprochó a Uccelo el excesivo tiempo que dedicó al arte de la representación matemática. El encargo de las distintas pinturas que reflejaran la Batalla de San Romano (circa 1440) sirvió a Uccello para abordar el estudio del toro en detalle y hacer una representación realista. (Paolo Uccello. Estudio de mazzocchio) (Paolo Uccello. Detalle de mazzocchios en la Batalla de San Romano) Tras los estudios de Uccello el mazzocchio se hace habitual en las representaciones y se convierte en un objeto que demuestra el dominio de la perspectiva matemática. La taracea de madera de los coros o de los studiolos hará amplio uso del toroide seccionado. Muestras destacables son los studiolos de Urbino o de Gubio, y los coros de la Catedral de Módena y del Monasterio del Monte Oliveto. El mazzocchio suele aparecer, además, rodeado de otros objetos matemáticos para dejar claro que su representación demuestra el dominio de la óptica geométrica. En Urbino se encuentra en el mismo armario que los astrolabios y la tablilla de cálculos y en Monte Oliveto junto a los instrumentos del geómetra. (Fra Giovanni da Verona. Mazzocchio. Sillería del coro del Monasterio del Monte Oliveto) En el studiolo del palacio ducal de Gubbio (1482) realizado por Giuliano da Maiano da todo el realce al mazzocchio colocándolo encima de un trampantojo que simula una bancada. El actual museo lo utiliza como símbolo. (Giuliano da Maiano. Mazzocchio. Studiolo del Palacio Ducal, Gubbio) El coro de taracea de la Catedral de Módena fue ejecutado por los hermanos Cristoforo y Lorenzo Canozzi da Lendinara entre los años 1461 y 1465. Los Canozzi siguieron los trabajos de perspectiva de Piero della Francesca y llenaron su obra de trampantojos e ilusiones ópticas. El mazzocchio aparece en uno de cada dos respaldos del coro pero visto en proyección plana. (Canozzi da Lendinara. Mazzocchio. Coro de la catedral, Módena) El propio Leonardo da Vinci representa en sus cuadernos un toro seccionado aunque no lo incluye entre las ilustraciones del libro de De divina proportione de Fra Luca Pacioli. (Leonardo da Vinci. Mazzocchio. Cuadernos) Quizá el momento álgido del mazzocchio sea el tratado del cardenal matemático Daniele Barbaro: La pratica della perspectiva, opera molto vtile a pittori, a scvltori, & ad architetti (1569). Todos los capítulos se inician con un toro y hay un apartado específico con la explicación detallada de la representación. (Daniele Barbaro: La pratica della perspectiva) El mazzocchio no podía pasar desapercibido en la escultura moderna. Minmo Paladino, un destacado exponente de la transvanguardia que ha recreado el estilo renacentista e incorporado a su obra sólidos como el pequeño dodecaedro estrellado también se ha fijado en el mazzocchio. La rosquilla biselada se ha expuesto en Brescia en una gran muestra callejera desde mayo de 2017 a enero de 2018. Adosado a la antigua muralla de Prato hay otro mazzocchio de estructura metálica que la Unione Industriale de la ciudad encargó a los escultores Ben Jakober e Yannick Vu en 1994. La estructura tubular se encuentra próxima a la Porta Frascati. (Minmo Paladino. Mazzocchio. Brescia) (Ben Jakober e Yannick Vu. Mazzocchio. Muralla de Prato)

Martes, 03 de Abril de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

243. 159. (Abril 2018) Triple dilema

Una de las tantas especialidades de las matemáticas es la Combinatoria: según la Wikipedia, pertenece al área de la matemática discreta y estudia la enumeración, construcción y existencia de propiedades de configuraciones que satisfacen ciertas condiciones establecidas. Me gusta más la definición que alguien propuso una vez: la combinatoria es el arte de contar (sin tener que enumerar todos los casos). En magia se debe aplicar a menudo la Combinatoria para destacar la componente de imposibilidad de algún suceso: es relativamente fácil acertar si una moneda caerá de cara o de cruz (hay dos posibles resultados); es bastante difícil adivinar una carta elegida (hay 52 posibilidades); es prácticamente imposible conocer la posición de todas las cartas después de haber sido mezcladas (hay más de 8 x 1067 ordenaciones distintas de una baraja). Así que el personaje de este video (un tal Stephen Fry, comediante británico elegido entre los cincuenta mejores cómicos de la historia) puede afirmar sin equivocarse que es capaz de hacer algo nunca realizado antes por nadie en toda la historia de la humanidad: ha mezclado una baraja y ha dejado las cartas en una posición tal que nunca antes y nunca después se repetirá. El juego que nos ocupa explota una sencilla propiedad combinatoria que, al ser poco intuitiva, produce una sorpresa final. Se trata de una triple coincidencia de colores y aparece en la obra «Self-working handkerchief magic», de Karl Fulves (publicada en 1989). Aunque el autor lo realiza con pañuelos de colores, se pueden utilizar otros objetos, con tal de que puedan distinguirse sólo por su color. Veamos si eres capaz de calcular el número de posibilidades a lo largo de todo el proceso. Busca seis fichas o seis tarjetas -dos blancas, dos rojas y dos azules- y colócalas sobre la mesa en dos filas, como en la imagen. Intercambia la posición de dos de las fichas de la fila inferior. Tienes tres posibles elecciones y ya no podré saber el resultado después de que realices los siguientes movimientos. Cambia la posición de la ficha que está en la esquina superior izquierda con la ficha central de la fila inferior. Cambia la posición de la ficha que está en la esquina inferior derecha con la ficha central de la fila superior. Cambia la posición de la ficha que está en la esquina superior derecha con la que está en la esquina inferior izquierda. Ahora que están todas las fichas movidas de su posición inicial, voy a tratar de emparejarlas: Retira la ficha blanca en la fila superior ... junto con la ficha central en la fila inferior. ¿Son del mismo color? Retira la ficha roja en la fila superior ... junto con la ficha de la derecha en la fila inferior. ¿Son también del mismo color? ¿Quedan en la mesa dos fichas azules? Parece que he acertado las tres veces. Creo que no será muy difícil dar con la solución a pesar de la aparente libertad de movimientos. Una versión más elaborada de este juego, esta vez con cartas, apareció publicada en el libro «Deceptive Practices», del propio Karl Fulves, en 1992, bajo el título "Letter of intent". Te aconsejo participar activamente en el juego porque se sortean premios valiosos. Vamos a comprobar si es tu día de suerte. Verás a continuación tres sobres, cada uno de ellos etiquetados con tres números. Cada uno de ellos tiene un premio pero debe ser la suerte quien decida qué sobre elegirás. Busca seis cartas, del as al seis de cualquier palo, y colócalas sobre la mesa en dos filas como se muestra en la imagen (para facilitar la explicación, colocaré tres cartas negras en la fila superior y tres cartas rojas en la fila inferior): Intercambia una carta de la fila superior (negra) con una carta de la fila inferior (roja). Tú decides cuáles. Intercambia una segunda carta negra de la fila superior con otra carta roja de la fila inferior. Intercambia por último la tercera carta negra de la fila superior con la única carta roja que queda en la fila inferior. El resultado final es que en la fila superior hay tres cartas rojas en el orden que has elegido (seis posibles posiciones) y en la fila inferior hay tres cartas negras, también en un cierto orden (otras seis posibilidades). En definitiva, 36 posibles combinaciones de cartas. Suma ahora los valores de las dos cartas centrales de cada fila. Ese será tu número de la suerte. En los sobres están anotados todos los posibles resultados de las sumas. Busca el sobre que contiene tu número de la suerte y pulsa sobre él. Dentro encontrarás tu premio. Comentarios finales: Con respecto a este juego, surgen diversas preguntas. Una de las primeras sería la siguiente: ¿se puede conseguir un valor predeterminado al final del proceso? Por ejemplo, si queremos que el resultado final sea 7, la situación inicial debe ser: Es fácil obtener una fórmula general para cualquier valor arbitrario que se desee. Parece que el mismo Karl Fulves se ha interesado por este principio y ha publicado diversas variaciones de este proceso en el libro «And a packet of cards», publicado en 1989. Por cierto, puedes comprobar la inagotable producción de Karl Fulves, recorriendo la lista de la mayoría de sus publicaciones, en el artículo publicado por la World Heritage Encyclopedia. Seguro que nos dejamos algo, habida cuenta de la cantidad de seudónimos que ha utilizado nuestro personaje a lo largo de su producción literaria. En la lista ofrecida por el portal Conjuring Arts aparecen nada menos que 32 nombres. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Domingo, 01 de Abril de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

244. 126. (Marzo 2018) “La invención matemática. Cómo se inventa: el trabajo del inconsciente” (edición de Francisco González Fernández), de Henri Poincaré

En abril de 2017 hablábamos en esta sección de DivulgaMAT de la publicación Las ciencias y las humanidades (edición de Francisco González Fernández) de Henri Poincaré. En este ensayo, el matemático francés defendía la traducción de las lenguas clásicas como un modo de ‘dominar los matices que puede expresar el lenguaje’, un modo de aprehender sutilezas en los escritos, de estimular el espíritu creativo, ése tan necesario para cualquier persona que se dedica a la ciencia. Francisco González Fernández, traductor del texto, realizaba un magnífico prólogo en el que comentaba numerosos e interesantes matices del ensayo de Poincaré. Menos de un año más tarde, KRK Ediciones vuelve a publicar un nuevo texto de Poincaré, titulado La invención matemática. Cómo se inventa: el trabajo del inconsciente, de nuevo traducido y prologado por Francisco González Fernández. L’invention mathématique es el título de una conferencia impartida por Henri Poincaré en el Institut général psychologique de París el 23 de mayo de 1908. Fue publicada ese mismo año, entre otras, en la revista L’Enseignement Mathématique. Además, el científico francés publicó Comment on invente. Le travail de l’Inconscient en el periódico Le Matin a finales del año 1908. En esta edición en castellano publicada en febrero de 2018, el profesor Francisco González Fernández, gran estudioso de la obra de Poincaré, traduce los dos textos originales y los analiza en una magnífica introducción, que da grandes claves sobre el posterior discurso del científico. En la contraportada, la editorial presenta el libro de esta manera: ¿Cómo surgen las ideas? ¿Qué caminos conducen a la resolución de un problema? ¿Cuáles son los procesos mentales que intervienen en un acto creativo? En 1908, a petición de la Sociedad Psicológica de París, el gran matemático francés Henri Poincaré (1854-1912) impartió una conferencia en la que quiso responder a estas preguntas contando y elucidando cómo se le había ocurrido una de sus teorías primordiales. Al dar carta de naturaleza a la intuición, a la belleza y al inconsciente en el acto creativo, La invención matemática se convirtió en un modelo explicativo ineludible, no sólo en el ámbito matemático, vigente aún hoy en su esencia y que ha sido refrendado por los datos de la psicología moderna. La conferencia impartida en 1908 por Henri Poincaré (1854-1912) se centraba en la teoría de funciones fuchsianas (forma parte de sus primeras creaciones matemáticas, realizada en los años 1880) y en la manera en la que la había “inventado”. Describe detalles aparentemente insignificantes, pero que él cree relevantes en todo el proceso, desde físicos hasta mentales: ciertos viajes realizados, la memoria, la inspiración, los trabajos consciente e inconsciente… Como comenta en la introducción González Fernández: “Para el matemático francés no se trata de referir el momento en el que se enciende la luz del genio, sino de comprender la naturaleza de esa súbita inspiración”; recordemos que su conferencia estaba dirigida a especialistas en psicología, no a personas entendidas en matemáticas. Poincaré distingue en su texto entre la invención y el descubrimiento, critica la excesiva axiomatización de las matemáticas, y cita el papel fundamental del inconsciente en su proceso creativo, entre otros. Por cierto, su discurso ha sido avalado posteriormente por numerosos neurocientíficos. Termino con una cita Cómo se inventa: el trabajo del inconsciente: Desde que publiqué mi conferencia, he recibido muchas cartas de poetas y de músicos. Tales fenómenos, me decían ellos, no son específicos de la invención matemática: exactamente en estas mismas condiciones actúa la inspiración poética o hacen los músicos sus hallazgos. Finalmente, la creatividad no depende tanto de las disciplinas; ¿quizás lo que las diferencia son los momentos de conclusión en los que se confecciona el producto final? Francisco González Fernández proporciona algunas claves sobre este tema en su exquisita introducción.

Lunes, 19 de Marzo de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

245. 129. Felicidad compartida, doble felicidad

Quizá este conocido dicho sea el que mejor resuma el espíritu del cortometraje que hoy analizamos en torno a las Olimpiadas Matemáticas, con una visualización de la resolución de los problemas realmente atractiva. Ficha Técnica: Título Original: Question 3. Nacionalidad: Gran Bretaña, 2016. Dirección: Martin Sandahl. Guion: Jessie Henry y Martin Gustavsson. Fotografía: Alvaro Florit Zapata, en Color. Montaje: Alex Fenichel. Música: Alex Palmer. Producción: Hileri Bilakhi. Duración:  13 min. Ficha artística: Intérpretes: Benjamin Heath (William), Georgina Jane (Sarah), Jamie Langlands (Vigilante), Caroline Oakes (madre de William). Argumento (síntesis elaborada por el propio director del corto): William, un chico de 17 años, se presenta al examen de la Olimpiada Internacional de Matemáticas en Gran Bretaña. Le diagnosticaron el Síndrome de Asperger, y le encantan las matemáticas más que cualquier otra cosa, por lo que está convencido de que ganará una medalla. Espera que esto lo ayude a volver a conectar con otra estudiante que también se presenta, Sarah, con la que solía quedar para preparar ejercicios, salir a dar una vuelta, etc. Sin embargo, el peso de la responsabilidad y la incomprensión de por qué terminó esa amistad lo distraen de resolver las cuestiones. Comentario Tras la no muy lejana en el tiempo y excelente X+Y (ver reseña 107; también británica, por cierto), este cortometraje nos plantea muchas similitudes con aquella: adolescente con Asperger altamente capacitado para las matemáticas, la relación con su madre, su interés por una chica de su edad, etc. Por ello, y porque no es la primera película centrada en la IMO (International Mathematical Olympiad) (ver reseña 47) caben, por muy odiosas que sean, las comparaciones, o al menos, buscar similitudes y diferencias. Paradójicamente, es la que más matemáticas explicitas presenta (lo cual es un hecho reseñable, dado su reducido metraje) sin ser el tema prioritario del argumento, porque en realidad la película nos habla de la amistad (ya lo indica el lema publicitario que aparece en el cartel: Las matemáticas son complicadas. La amistad, no). Por empezar por lo menos conseguido, llama la atención la puesta en escena tan minimalista de un evento que mueve allí donde se celebra a cientos de personas (participantes, preparadores, profesores, familiares, etc.). Aquí es prácticamente una prueba de tres cuestiones realizada en un gimnasio, y sin nada alrededor más que un profesor vigilante, una madre preocupada por su hijo, y medio centenar de participantes. Es entendible, ya que estamos ante una producción de bajo presupuesto, y seguramente realizado como sucede en nuestro país con la mayor parte de los cortometrajes, a base de pedir favores a amigos, recaudar fondos para hacerlo, tener alguna subvención, y con el trabajo de actores y equipo de forma altruista. Es entendible. Sin embargo, hubiera sido mucho más ajustado a la realidad si se hubiera enmarcado en una competición para elegir a los miembros del equipo nacional, por ejemplo, o una prueba previa. Además, no puede tratarse de un evento internacional ya que en este caso la prueba es por equipos (seis miembros por equipo) y no una individual como aparece en el cortometraje. Seguramente el director ha querido mantener esa dimensión en escena para justificar la valía de la protagonista femenina, que posee una medalla de oro y otra de plata, al menos. Otro aspecto podría decirse no positivo, desde el punto de vista de las matemáticas, es que al final, da la impresión de que al chaval, en realidad las matemáticas le interesan más bien lo justo, y obtener medalla en la IMO mucho menos. Son sólo el instrumento para acercarse a la chica que le gusta. Una de las preocupaciones del director (sólo tiene en su haber dos cortos estrenados ambos en 2016) era tratar de presentar las matemáticas de una manera interesante y relacionada con la historia que se cuenta. Y desde luego, como puede verse en el apartado posterior sobre las matemáticas que aparecen, la presentación de los problemas (tomados de competiciones reales), los comentarios y pensamientos de William, el protagonista, y la resolución, están muy bien llevados. Pero lo que realmente me ha sorprendido de este corto (y llevo ya a cuestas muchas películas sobre matemáticas) es la maravillosa simulación en la resolución del primer problema, con una incorporación de CGI (Computer-generated Images.- Imágenes generadas por ordenador) realmente magistrales. Una gozada y una maravilla. Lo podemos ver en la imagen. William se pone a pensar en los problemas, se imagina solo en el gimnasio, y mientras lee el enunciado, aparecen frente a él representaciones gráficas enormes que se van construyendo a medida que él va pensando, como si en su mente tuviera un software geométrico que va generándose a medida que él avanza. Además, en el suelo, van apareciendo diferentes opciones, diferentes caminos por donde continuar resolviendo el ejercicio. A veces, su elección lo lleva a ninguna parte, y debe retroceder a una opción anterior para rectificar su decisión y continuar por otro lado. Pero no todo es tan sencillo. A veces se atasca, no sabe por dónde continuar, …. Y entonces aparece ella, su musa, su amiga Sarah (con la que ha dejado de salir por alguna razón, y ahora casi ni se dirigen la palabra en la realidad), con mayor experiencia e inteligencia matemática que le da indicaciones, no las soluciones, de por dónde proseguir. Enseña, no resuelve. Esto sucede en el tercer problema. Del segundo no se nos dan mayores explicaciones, pero vemos el folio con la resolución hecha por William. Y el primero, que se le resiste, logran resolverlo juntos, lo que los llena de emoción y alegría. Pero la realidad es distinta. Al finalizar el tiempo para realizar la prueba, cruzan sus miradas, pero no se deciden a hablar. Es William quien finalmente, con la excusa de comentar qué tal le ha salido, cómo has hecho este o aquel problema, etc., comienza la conversación que la madre, súper comprensiva (quizá demasiado idílicas son siempre estas madres que nos plantean este tipo de películas en las que hay algún tipo de discapacidad en los personajes, en este caso el autismo; no digo que tengan que ser madres repelentes o maltratadoras, que también el cine nos las ha retratado en el otro extremo, pero sí un poco más “normales” en el sentido de con los defectos de cualquier persona, algo menos blandengue), anima a que continúe en un momento dado. Y al final, ¿qué? ¿solucionan también los asuntos de su relación? ¿Porque lo dejaron? Vedlo y disfrutadlo, en este enlace, que ya digo que, desde el punto de vista matemático, es estupendo. La mala noticia, espero que para los menos, es que está en inglés. Este cortometraje se produjo en la metfilm School de Londres y ganó un premio especial en el As Film Festival 2017 (Roma, Italia) y fue nominado para un Smart Screen Creative Award de la Metfilm London School en 2016. Los problemas Problema 1: En el cuadrilátero convexo ABCD, las diagonales AC y BD son perpendiculares, y los lados opuestos AB y DC no son paralelos. Supongamos que el punto P, intersección de los bisectores perpendiculares de AB y DC, está dentro del cuadrilátero. Demostrar que ABCD es cíclico si, y sólo si, los triángulos ABP y CDP tienen áreas iguales. Este problema fue propuesto por Charles Leytem, de Luxemburgo, y apareció como primer problema de la 39ª IMO celebrada en Taipei (Taiwan) en julio de 1998. Empecemos diciendo que un cuadrilátero es cíclico cuando sus vértices pasan por una misma circunferencia. Es lo mismo que cuadrilátero inscrito en una circunferencia. Esa circunferencia es obviamente la circunferencia circunscrita al cuadrilátero. Es simplemente otra terminología de algo que conocemos perfectamente. Por otro lado, bisector perpendicular es una línea perpendicular (90 grados) que corta por la mitad a un segmento. En la película, William “visualiza” la situación como aparece en la imagen. Percatémonos (lo dice en la película) que, al ser un cuadrilátero, las diagonales AC y BD son perpendiculares. Por tanto, aparecen marcados tres ángulos rectos, el de esas diagonales, y las perpendiculares de P a AB y de P a CD (los bisectores). A continuación, llama J al punto de intersección de las diagonales AC y BD. En este punto, vamos a hacer una demostración algo diferente de la que nos propone William, que, no obstante, se puede seguir con todo detalle en el corto. Sean H y K los puntos de intersección de las perpendiculares desde P a AC y BD, respectivamente.  El problema consiste en probar que existe una circunferencia que pasa por los cuatro vértices del cuadrilátero, si, y sólo si, las áreas de los triángulos que sombreo en la imagen en verde, son iguales. Trataremos de expresar las áreas de los triángulos buscados ABP y CDP en términos de otros triángulos para los que sepamos calcular el área fácilmente, que en este caso serán los triángulos rectángulos. Pongamos entonces que Área(ABP) = área(AJB) + área(BJP) – área (AJP) Área(CPD) = área(CPJ) + área(CJD) – área (DJP) El que área(ABP) fuera igual a área(CPD), equivaldría entonces a que área(AJB) + área(BJP) – área (AJP) = área(CPJ) + área(CJD) – área (DJP)      [1] Por otro lado, los triángulos AJB y CJD son rectángulos, por lo que sus áreas serán, respectivamente, (AJ × BJ) y (CJ × DJ). Además, área(BJP) + área (DJP) = área(PBD) = (PB × PK) área(AJP) + área (CJP) = área(ACP) = (PH × AC) ya que PBD y ACP son también rectángulos. Por tanto, la igualdad [1] nos lleva a que AJ × BJ – CJ × DJ + PB × PK – AC × PH = 0        [2] La imagen nos permite ver con facilidad que AJ = AH – HJ = AH – PK BJ = BK + KJ = BK + PH CJ = CH + HJ = CH + PK DJ = DK – JK = DK – PH Sustituyendo en [2], y simplificando, se concluye que AH × BK = CH × DK . O sea que, si las áreas de los triángulos indicados son iguales, se verifica esa condición. Pasemos a continuación a probar la condición necesaria y suficiente. Supongamos que el cuadrilátero ABCD es cíclico, tiene una circunferencia circunscrita. Entonces P debe ser el centro (obsérvese que PA = PD tal y como se han ido construyendo los triángulos anteriores) y AH = CH, BK = DK, con lo que al multiplicar ambas igualdades se tiene que AH × BK = CH × DK y por tanto, área(ABP) = área(CDP), tal y como se ha demostrado anteriormente. Recíprocamente, supongamos ahora que las áreas de esos triángulos son iguales. Entonces se tiene la igualdad anterior, AH × BK = CH × DK. Sabemos que PA = PB y PC = PD por construcción. Si demostramos que PA = PC, tendremos entonces que PA = PB = PC = PD = radio de la circunferencia. Razonemos por reducción al absurdo: supongamos que PA > PC. Entonces AH > CH, y por tanto PB > PD, y BK > DK. Con esos datos, AH × BK > CH × DK, llegando a una contradicción. Se razona análogamente en caso de que supongamos que PA < PC, por lo que PA = PC. Problema 2: Determinar todas las parejas de números enteros (x, y) tales que 1 + 2x + 22x+1 = y2 Problema propuesto por el norteamericano Zuming Feng, y apareció como cuarto problema de la 47ª IMO celebrada en Slovenia en julio de 2006. La solución, apenas vislumbrada en el folio que escribe el protagonista es correcta. Comienza del siguiente modo: escribimos la ecuación del siguiente modo: 2x (2x+1 +1) = (y + 1) (y – 1) Para x < –1, el primer miembro no proporciona valores enteros, por lo que para esos valores no hay soluciones. Si x = – 1, tendríamos que 1 = y2 – 1, es decir y2 = 2, que no tiene solución entera. Si x = 0, tendríamos que 3 = y2 – 1, es decir y2 = 4, que nos da como soluciones los pares (0, ±2). Para x > 0, y es impar, por tanto y = 2n +1. Reescribiendo la ecuación, tenemos que 2x (2x+1 +1) = (2n + 2) (2n) = 4n(n + 1) Simplificando, 2x–2 (2x+1 +1) = n(n + 1), con x > 2 (x = 2, nos llevaría a que 9 = n(n + 1), lo cual no es posible ya que ninguna descomposición en dos factores de 9 tiene esa forma). A partir de aquí, termina realizando algunas acotaciones. Me parece más sencillo terminar del siguiente modo: Obviamente, ni n = 2x–2, ni n + 1 = 2x–2 pueden darse (porque en cualquiera de los casos, el otro factor no cuadra ni con n+1, ni con n, respectivamente), por lo que es necesario que 2x+1 +1 se descomponga en factores (impares) r, s, tales que 2x–2 r = s ± 1 Entonces |r| < 8, porque en caso contrario 2x–2 |r| > 2x+1 +1. Por otro lado, 2x–2 r2 = sr ± r, y |r| = 3 es la única posibilidad factible. Entonces 2x–2 9 = (2x+1 +1) ± 3, de donde 2x–2 = 4, y de ahí x = 4 (y = ±23). Por tanto, las únicas soluciones enteras son (0, ±2) y (4, ±23). Problema 3: Cinco cilindros vacíos e idénticos de capacidad 1 decilitro se disponen en los vértices de un pentágono. Dos jugadores, A y B, efectúan una serie de rondas. Al principio de cada una, el jugador B toma medio decilitro de agua y lo vuelca arbitrariamente sobre los cinco cilindros. Entonces, el jugador A elige un par de cilindros adyacentes (que estén sobre el mismo lado del pentágono) y los vacía. Y comienza del mismo modo la siguiente ronda. El objetivo del jugador B es conseguir que alguno de los cilindros rebose, mientras que el del jugador A consiste en evitarlo. ¿Puede el jugador B alcanzar su objetivo? No he encontrado que este curioso ejercicio de estrategia aparezca en ninguna IMO. William no ve claro la estrategia que debe seguir si fuera el jugador A (el que evita que rebosen los cilindros), así que su Sarah imaginaria le propone pasarse al lado contrario, que sea el jugador B. Así consigue hacerle ver lo que debe hacer para resolver la cuestión. No la detallo para no alargar  en exceso esta reseña y que me tilden de pesado. En el corto aparece meridianamente explicado. Termino de redactar esto el 8 de marzo, día de la mujer trabajadora, y el corto es también un estupendo homenaje a las chicas que se dedican a las matemáticas, y un aliciente (espero) para fomentar la vocación matemática entre ellas: Sarah destaca claramente y ha ganado una medalla de oro y otra de plata. Recordad también que el día 14 es el PiDay. Así que marzo es un gran mes, a pesar de sus idus, que yo no me los creo (nací en marzo). Hasta el próximo mes. Alfonso Jesús Población Sáez

Viernes, 09 de Marzo de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

246. 89. (Marzo 2018) Ritmos euclídeos y ritmos equilibrados

1. Ritmos equilibrados y euclídeos La representación geométrica de ritmos y escalas ha sido con frecuencia una herramienta útil para su análisis y para el descubrimiento de nuevos objetos musicales. En esta columna vamos a tratar los patrones rítmicos y de escalas llamados equilibrados y también examinaremos una herramienta, XronoMorph, diseñada por Andrew Milne y Roger Dean [MD16], que permite experimentar con esos ritmos. Para las definiciones que vamos a presentar, necesitamos previamente fijar una circunferencia en la que pondremos los objetos musicales —alturas de sonido o duraciones —. En el vídeo siguiente, A different way to visualize rhythm, John Varney habla de las ventajas de la representación geométrica del ritmo, sobre todo cuando los ritmos son cíclicos y estos se visualizan en una circunferencia. Por sencillez de la exposición, supondremos que los objetos musicales ritmos y, por tanto, los puntos en la circunferencia marcan duraciones consecutivas. El análisis es el mismo si tratamos las escalas. Un ritmo es equilibrado si el centro de gravedad es el propio centro de la circunferencia. Para hablar con propiedad del centro de gravedad, supondremos que cada nota sobre la circunferencia tiene masa unidad y entonces dicho centro es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad dada por las notas. Por ejemplo, en la figura de abajo, los tres ritmos, dados por los círculos negros, son ritmos equilibrados; aquí se ha tomado doce como número de pulsos para los ritmos. Figura 1: Ejemplos de ritmos equilibrados. El concepto de ritmo equilibrado está relacionado con el de ritmo regular. Un ritmo regular es aquel que tiene las notas distribuidas tan regularmente como sea posible a lo largo del círculo. Se sabe que los ritmos regulares solo pueden tener una o dos duraciones posibles y que estas tienen que estar colocadas en un orden especial. Se conocen varios algoritmos para generar ritmos regulares; entre ellos los más importantes son el de Bjorklund [GMTT09b], el de Clough y Douthett [CD91], o el mismísimo algoritmo de Euclides, que cuando se adapta a la formación de grupos, produce ritmos regulares. Los dos primeros ritmos de la figura 1 son regulares. En una columna anterior [Góm12], Amalgamas, aksaks y métricas euclídeas, se trataron a fondo los ritmos regulares, también llamados ritmos euclídeos. Para información más sobre los algoritmos, propiedades de los ritmos regulares y sus aplicciones en música, véanse [DGMM+09, GMTT09b, GMTT09a, CD91]. En lo que sigue usaremos tres notaciones para designar los ritmos: la notación de ceros y unos, adecuada para el tratamiento algorítmico; la notación de x y ., que es cómoda para la lectura musical; y la notación de distancia. Si no se dice nada en contra, cuando un ritmo se represente sobre el círculo, empezaremos a describirlo desde las doce del mediodía. Así, los ritmos de la figura 1, de izquierda a derecha, se designan por R1 =  [101010101010 ] = [x . x .x .x .x .x ] = (222222) R2 = [101101101101] = [x .x x . x x . x x . x] = (21212121) R3 = [110011011001] = [x x ..x x . x x . .x] = (1312131) 2. Ritmos equilibrados y euclídeos 2.1. Ritmos euclídeos En lo que sigue vamos a seguir la exposición del trabajo Si Euclides lo supiese... se sentiría orgulloso [Góm09] del propio autor de estas líneas. El algoritmo de Euclides consiste en hacer divisiones sucesivas para hallar el máximo común divisor de dos números positivos (m.c.d. de aquí en adelante). Si queremos hallar el m.c.d. de dos números a y b, suponiendo que a > b, primero dividimos a entre b, y obtenemos el resto r de la división. Euclides se dio cuenta de que el m.c.d. de a y b era el mismo que el de b y r. En efecto, cuando dividimos a entre b, hallamos un cociente c y un resto r de tal manera que se cumple que: a = c⋅b + r Esta ecuación nos dice que todo divisor común de a y b tiene que serlo también de r. En particular, el m.c.d. de a y b es el m.c.d. de b y r. Por ejemplo, calculemos el máximo común de 17 y 7. Como 17 = 7 ⋅ 2 + 3, entonces el m.c.d.(17, 7) es igual al m.c.d.(7, 3). De nuevo, como 7 = 3 ⋅ 2 + 1, entonces el m.c.d.(7, 3) es igual al m.c.d.(3, 1). Aquí es claro que el m.c.d. entre 3 y 1 es simplemente 1. Por tanto, el m.c.d entre 17 y 7 es 1 también. ¿Cómo se transforma el cálculo del máximo común divisor en un método para generar patrones distribuidos con regularidad máxima? Ilustraremos el proceso con un ejemplo de ritmos. Supongamos que tenemos 17 pulsos y queremos distribuir de forma regular 7 notas entre los 17 pulsos. Sigamos los pasos dados en la figura 2. Primero, alineamos el número de notas y el número de silencios (siete unos y diez ceros); véase la figura 2-paso (1). A continuación, formamos grupos de 7, los cuales corresponden a efectuar la división de 17 entre 7; obtenemos, pues, 7 grupos formados por [1 0] (en columnas en el paso (2) de la figura 2). Sobran tres ceros, lo cual indica que en el paso siguiente formaremos grupos de 3. Tras formar el primer grupo —véase el paso (3) de la figura 2— nos quedamos sin ceros. Continuamos agrupando de 3 en 3 tomando los grupos de la otra caja, en la que quedan 4 columnas (figura 2-paso (4)). Procedemos así que queden uno o cero grupos; de nuevo, esto es equivalente a efectuar la división de 7 entre 3. En nuestro caso, queda un solo grupo y hemos terminado (paso (5)). Finalmente, el ritmo se obtiene leyendo por columnas y de izquierda a derecha la agrupación obtenida (paso (6)). Figura 2: El algoritmo de Euclides para generar ritmos regulares. Aquí cada 1 representa una nota [x] y cada 0, un silencio [.]. El ritmo que hemos generado con nuestra notación se escribe entonces como [x . . x . x . . x . x . . x . x .]. Los ritmos generados por este método se llaman ritmos euclídeos. El ritmo euclídeo de k notas y n pulsos se designa por E(k,n). Otra manera útil de designar un ritmo es mediante las duraciones de las notas en términos de pulsos. El ritmo euclídeo que acabamos de obtener con esta notación se escribe E(7,17) = [x . . x . x . . x . x . . x . x .]= (3232322). Demain y sus coautores [DGMM+09] probaron formalmente que este algoritmo proporciona, salvo rotaciones, la única manera de distribuir k objetos entre n del modo más regular posible. Aún más, había varios algoritmos propuestos de manera independiente y ellos probaron que, en realidad, eran todos equivalentes al viejo algoritmo de Euclides. Damos a continuación una pequeñísima muestra de ritmos euclídeos que se encuentran en las músicas tradicionales del mundo. E(5,8) =[x . x x . x x .]= (21212) es el cinquillo cubano, así como el malfuf de Egipto, o el ritmo coreano para tambor mong P’yon. Si el ritmo se empieza a tocar desde la segunda nota aparece un popular ritmo típico de Oriente Próximo, así como el timini de Senegal. Si se empieza en la tercera nota tenemos el ritmo del tango. E(5,12) =[x . . x . x . . x . x .]= (32322) es un ritmo muy común en África central que tocan los pigmeos aka. Cuando se toca desde la segunda nota es, entre otros, la clave columbia de la música cubana y el ritmo de la danza chakacha de Kenya. E(5,16) =[x . . x . . x . . x . . x . . . ]= (33334) es el ritmo de la bosa-nova de Brasil. Este ritmo se toca a partir de la tercera nota. Existen cerca de dos centenares de ritmos de músicas del mundo documentados que son generados por el algoritmo de Euclides. De nuevo, véase el artículo The distance geometry of music de Demain y sus coautores [DGMM+09]. He aquí una lista de las principales propiedades de los ritmos regulares o ritmos euclídeos: Los ritmos euclídeos tienen solo una o dos duraciones. En el caso de dos duraciones, estas difieren exactamente en una unidad. Por ejemplo, en este ritmo euclídeo (21212) hay dos duraciones de valor 2 y 1. Cuando el número de notas no es primo relativo del número de pulsos, los ritmos euclídeos están formados por la repetición de un patrón. En caso contrario, el ritmo está compuesto por un patrón repetido un número máximo de veces más un único patrón más pequeño, que además es subpatrón del patrón que se repite. Los patrones que forman los ritmos euclídeos son a su vez euclídeos. Esto crea una jerarquía de ritmos euclídeos anidados. La rotación de un ritmo euclídeo es también euclídeo. Esto es consecuencia de que los ritmos euclídeos maximizan las distancias intercordales entre las notas y dichas distancias no cambian con las rotaciones. Tomar el complementario de un ritmo euclídeo (esto es, intercambiar ceros por unos) devuelve un ritmo euclídeo. Los ritmos regulares son ritmos equilibrados, pero el recíproco no es cierto. 2.2. Ritmos equilibrados Cuando se considera el círculo donde se inscriben los ritmos, si el polígono resultante al unir las notas consecutivas del ritmo es regular, entonces el ritmo es equilibrado. De nuevo, el recíproco no es cierto, como atestiguan los polígonos de la figura de arriba. En el artículo Perfect balance: A novel principle for the construction of musical scales and meters, de Milne y coautores [MBHW15], se estudian a fondo las propiedades de los ritmos equilibrados. En dicho artículo los autores asocian a cada ritmo una serie de Fourier discreta uno de cuyos coeficientes es una medida del equilibrio del ritmo. La condición de ser equilibrado se puede pensar como la varianza circular. Si el ritmo tiene varianza cero, entonces se reduce a un único punto. En cambio, si la varianza es máxima entonces el ritmo será equilibrado; véase el artículo mencionado para los detalles técnicos. 3. XronoMorph: una aplicación para la experimentación rítmica Para terminar, querríamos comentar el programa XronoMorph. Se trata de una aplicación que permite experimentar con ritmos equilibrados y ritmos euclídeos. Es una aplicación gratis y funciona en los sistemas operativos Mac OS X y Windows. Usa como objeto centrar para la representación una circunferencia y permite describir polirritmos en términos de polígonos inscritos. Abajo tenemos un vídeo donde se ve la interfaz. En el vídeo de abajo podemos ver un ejemplo en que varios polígonos regulares se superponen. Estos polígonos representan ritmos euclídeos y aparecen organizados en una polirritmia. En el siguiente vídeo tenemos ritmos equilibrados que también forman una polirritmia, en este caso la superposición de un ritmo binario con uno ternario. En este otro vídeo vemos un 3 contra 5. Por último, XronoMorph permite varias operaciones con polígonos, como por ejemplo, la rotación. Se pueden componer polirritmias muy complicadas asignando un instrumento a cada rotación de un polígono. Véase una muestra en el siguiente vídeo.   Bibliografía [CD91] J. Clough and J. Douthett. Maximally even sets. Journal of Music Theory, 35:93–173, 1991. [DGMM+09] Erik D. Demaine, Francisco Gomez-Martin, Henk Meijer, David Rappaport, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint, Terry Winograd, and David R. Wood. The distance geometry of music. Computational Geometry: Theory and Application, 42(5):429–454, 2009. [GMTT09a] F. Gomez-Martin, P. Taslakian, and G. T. Toussaint. Interlocking and euclidean rhythms. Journal of Mathematics and Music, 3(1), 2009. [GMTT09b] F. Gomez-Martin, P. Taslakian, and G. T. Toussaint. Structural properties of euclidean rhythms. Journal of Mathematics and Music, 3(1), 2009. [Góm09] Paco Gómez. Si Euclides lo supiese... se sentiría orgulloso, Noviembre, 2009. [Góm12] Paco Gómez. Amalgamas, aksaks y métricas euclídeas, Noviembre, 2012. [MBHW15] A. Milne, D. Bulger, S. Herff, and Sethares W. Perfect balance: A novel principle for the construction of musical scales and meters. In T. Collins, D. Meredith, and A. editor Volk, editors, Proceedings of the 5th International Conference on Mathematics and Computation in Music, pages 97–108. Springer, Berlin, 2015. [MD16] Andrew J. Milne and Roger T. Dean. Computational creation and morphing of multilevel rhythms by control of evenness. Computer Music Journal, 40(1):35–53, 2016.

Miércoles, 07 de Marzo de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

247. 158. (Marzo 2018) Los detectives de la baraja

Si ya es suficientemente amplio el conjunto de propiedades matemáticas que se pueden encontrar al realizar diferentes tipos de mezclas de cartas, mucho mayor es la diversidad de ideas y aplicaciones a los juegos de magia que tienen dichas propiedades. En este rincón hemos ofrecido muchas pruebas de ello, así que vamos a aportar alguna más. Esta vez nos detendremos de nuevo en la mezcla australiana, que apareció por primera vez en el juego "Salvado por las matemáticas", de mayo de 2006, y posteriormente aplicado al juego "El truco de cartas de Einstein", de mayo de 2010. También puedes ver algunas propiedades matemáticas de esta mezcla en el artículo La leyenda de Josefo y la mezcla australiana, publicado en la revista Eureka (2012). Antes de describir el juego, recordemos rápidamente en qué consiste la mezcla australiana: con las cartas en la mano, se retira la carta superior y se deja sobre la mesa; la siguiente carta se pasa de arriba abajo del paquete; la siguiente carta se deja sobre la mesa, encima de la anterior; la siguiente carta se pasa de arriba abajo del paquete; el proceso se repite hasta que se han repartido todas las cartas sobre la mesa. En realidad, hay dos tipos de mezclas australianas: una de ellas es la que hemos descrito y la otra es la misma salvo que, en lugar de dejar en la mesa la primera carta, se pasa debajo del paquete, la siguiente se deja sobre la mesa y así sucesivamente, alternando una carta bajo el paquete, una carta sobre la mesa. En inglés se distinguen las dos mezclas con los nombres DOWN-UNDER o bien UNDER-DOWN, contracciones de la frase «DOWN on the table-UNDER the packet». Es fácil comprender que el resultado final es distinto y las cartas quedan dispuestas en un orden diferente según se realice una mezcla o la otra. Esta diferencia será importante en el transcurso del juego. Pasamos a describir el juego, cuyo título original es «Jackula» y aparece en el libro "Impromptu card magic", compilación realizada por el siempre recordado Aldo Colombini. El juego es una versión desarrollada por Michael de Marco a partir del titulado "Capture by ritual", que publicó Karl Fulves en el libro "Vampire Chronicles" (1997). Busca en la baraja las dos jotas negras, que serán los detectives con los que podrás encontrar cualquier carta perdida. Saca otras nueve cartas cualesquiera y mézclalas. Reparte ahora sobre la mesa -caras hacia abajo- tres montones de tres cartas cada uno, selecciona y toma uno de estos tres montones, mira y recuerda la carta inferior (la única que ves al girar el montón), coloca este montón sobre cualquiera de los dos restantes y coloca este nuevo montón sobre el tercer montón de cartas. Tienes ahora de nuevo un paquete de nueve cartas, entre ellas la elegida. Coloca las dos jotas en los extremos del paquete, pero caras hacia arriba, como se muestra en la imagen. Para encontrar la carta elegida, los detectives siguen el siguiente proceso de eliminación: Pasa la primera carta -que será una jota- a la parte inferior del paquete; deja sobre la mesa la siguiente carta; pasa de arriba abajo la siguiente carta del paquete; deja sobre la mesa, encima de la anterior, la siguiente carta; pasa de arriba abajo la siguiente carta del paquete, y así sucesivamente, una carta sobre la mesa, una carta de arriba abajo hasta repartir todas las cartas. En resumidas cuentas, realiza una mezcla UNDER-DOWN. Recoge el paquete que se ha formado y abre una pequeña extensión: comprobarás que las jotas han "atrapado" tres cartas. ¿Será la elegida una de ellas? Trataremos de quedarnos solo con una siguiendo un nuevo proceso de eliminación. Deja la primera carta sobre la mesa; pasa de arriba abajo la siguiente carta del paquete; deja sobre la mesa la siguiente carta; pasa de arriba abajo la siguiente carta del paquete, y así sucesivamente, ya sabes cómo seguir el proceso, que se acaba cuando has repartido sobre la mesa todas las cartas. En este caso, has realizado una mezcla DOWN-UNDER. Extiende de nuevo las cartas y observa que las jotas tienen "atrapada" ahora a una sola carta. ¿Es la carta elegida? ¡Espero que sí! Comentarios finales: La mezcla australiana, en sus dos versiones, permite plantearse algunos problemas o idear algunos puzles. El interesante libro de Geoffrey Mott-Smith titulado Mathematical puzzles for beginners and enthusiasts (publicado en 1954) contiene, entre otros, los siguientes: ¿En qué orden deben colocarse todas las cartas de un mismo palo para que, al realizar una mezcla australiana, queden ordenadas de menor a mayor? ¿Y si se trata de toda la baraja? Supongamos que dispones de una baraja de 971 cartas, cada una de ellas contiene un número (del 1 al 971). Se reparte sobre la mesa la número 1, se pasa debajo del mazo la número 2, se deja sobre la mesa la número 3, se pasa debajo del mazo la número 4, y así sucesivamente hasta repartir todas las cartas. ¿Cuál será la última carta repartida? ¿En qué momento se repartirá la carta con el número 288? ¿Qué número tendrá la 643-ésima carta repartida? Matemáticamente, una mezcla equivale a una permutación del conjunto de cartas porque el único efecto que produce mezclar cartas es cambiar el orden de las mismas. Por ejemplo, si ordenamos las diez cartas numéricas de un palo del as al diez y realizamos una mezcla DOWN-UNDER, el orden final de las cartas es (4, 8, 10, 6, 2, 9, 7, 5, 3, as), pero si realizamos una mezcla UNDER-DOWN, la disposición final es (5, 9, as, 7, 3, 10, 8, 6, 4, 2).  Sorprendentemente (o no), hacen falta 21 mezclas consecutivas del tipo UNDER-DOWN para devolver las diez cartas a su orden inicial pero solo se necesitan seis mezclas del tipo DOWN-UNDER para conseguir el orden numérico inicial. En matemáticas se dice que 21 es el orden de la permutación UNDER-DOWN y que 6 es el orden de la permutación DOWN-UNDER en un conjunto de diez elementos. El reto que te planteo es calcular el orden de estas dos permutaciones en el conjunto de 52 elementos, es decir cuántas mezclas consecutivas de cada uno de estos dos tipos son necesarias para devolver toda la baraja a su orden inicial. En el camino descubrirás propiedades inesperadas. Aunque no sea época habitual de concurso, seguro que las respuestas correctas obtenidas entrarán en el sorteo de un obsequio por cortesía de la redacción de Divulgamat. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Jueves, 01 de Marzo de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

248. 43. (Marzo 2018) El dodecaedro en la pintura

(Jake Baddeley, Alegoría de la geometría- 2010) Jake Baddeley es un pintor e ilustrador contemporáneo, nacido en Inglaterra y residente en Holanda, que rememora y se inspira en las obras clásicas del Renacimiento Italiano y de los Maestros Holandeses.  El realismo mágico de Baddeley nos pone de manifiesto hasta qué punto el dodecaedro ha estado presente en la pintura desde que Piero della Francesca, el gran pintor matemático, diera entrada a los poliedros en los tratados de perspectiva. Las ilustraciones de Leonardo para La divina proporción de Fra Luca Pacioli consolidaron el uso de los poliedros en el arte. Los maestros de la taracea en madera, llamados de perspectiva, fueron los que representaran más profusamente los sólidos tanto regulares como arquimedianos, en su forma solidvs como vacvvs.  Si tuviéramos que destacar el poliedro más utilizado para las taraceas, seleccionaríamos el arquimediano icosidodecaedro, pero en la pintura elegimos el dodecaedro. (Leonardo, Ilustraciones de La divina proporción) Siguiendo el orden cronológico, el Retrato de Luca Pacioli (c. 1500) conservado en el Museo Nacional de Capodimonti en Nápoles consagrará la presencia del dodecaedro en la pintura. El lienzo se atribuía a Jacopo de Barbari pero la autoría está prácticamente desechada. El rombicuboctaedro transparente, colgado y parcialmente lleno de agua, es lo más característico pero no puede olvidarse el dodecaedro de nuestra derecha apoyado sobre un libro. (Retrato de Luca Pacioli – c. 1500) Girolamo da Santacroce (c. 1480/85 – c. 1556) fue un modesto pintor veneciano del Renacimiento. A su escuela debemos una Alegoría de la Geometría con un dodecaedro en el suelo. La figura femenina porta una escuadra en su mano sobre un fondo de paisaje idealizado donde destaca más la forma del poliedro. El cuadro estaba en manos privadas y salió a pública subasta. (Girolamo da Santacroce. Alegoría de la Geometría. c. 1525) En una posición similar, sobre el suelo a nuestra derecha, se sitúa el dodecaedro de la Alegoría de la Geometría, grabado de Georg Pencz (1500 – 1550), un pintor y grabador de gran prestigio nacido en Núremberg. Sus reproducciones sirvieron de inspiración a otros artistas y se usaron en las artes decorativas, especialmente en la cerámica. La Geometría dibuja en una tablilla, pisa un ortoedro y a su lado el grabador ha colocado un octaedro y un dodecaedro. (Georg Pencz. Alegoría de la Geometría. c. 1545) Otro grabado con un dodecaedro se encuentra en el Diógenes de Girolamo Francesco Maria Mazzola (1503 – 1540), llamado il Parmigianino por su lugar de nacimiento y por su reducida estatura. El pintor de Parma es uno de los grandes del manierismo. El filósofo cínico Diógenes elige la pobreza y la retirada del mundo pero su pensamiento se dirige hacia la Matemática. El libro abierto con el dodecaedro es señalado con una vara. Existe un grabado gemelo del Diógenes pero sin el dodecaedro. (Parmigianino. Diógenes. c. 1535) El pintor flamenco Nicolas Neufchâtel (1524 – 1590), llamado Lucidel, plasmó en 1561 La lección de geometría del maestro Johann Neudörffer. La pintura muestra las enseñanzas en Núremberg, uno de los primeros lugares del mundo donde los profesores de matemáticas fueron pagados por la municipalidad, y donde en el siglo XVI se crea un ambiente adecuado para el florecimiento de la ciencia y el arte. Los sólidos vacíos que dibujó Leonardo sirven de referencia para la nueva pintura matemática de la época. El maestro sujeta y señala un dodecaedro a su alumno que toma nota o lo reproduce. El cuadro se puede contemplar en la Alte Pinakothek de Munich. (Nicolas Neufchâtel, Lección de geometría. 1561) En la Biblioteca del Monasterio de San Lorenzo de El Escorial no podía faltar el dodecaedro. Aparece dos veces, una ligada a la Geometría y otra a la Filosofía. Los frescos de la Biblioteca fueron pintados por Pellegrino Tibaldi (1527 – 1596), también llamado Il Pellegrini, pintor manierista y arquitecto lombardo muy influenciado por Miguel Ángel. El matemático que aparece con el dodecaedro es Regiomontano. Encima de los Sacerdotes Egipcios y en línea con Arquímedes que trabaja sobre una esfera. (Pellegrino Tibaldi, Regiomontano, c. 1590) (Pellegrino Tibaldi, Escuela de Atenas, c. 1590) Entre los pintores del siglo XX será Salvador Dalí el que hará el mayor uso del dodecaedro, tanto por su carácter místico, la quintaesencia estelar, como por su relación con la razón áurea. Seleccionamos como emblemática la representación de La última cena (1955) que se encuentra en la Galería Nacional de Arte de Washington. (Salvador Dalí, Última cena. 1955) Terminamos el recorrido con los Reptiles (1943) de Maurits Cornelis Escher, el genial holandés que también sucumbió al encanto del dodecaedro. (MC Escher, Reptiles. 1955)

Jueves, 01 de Marzo de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

249. 125. (Febrero 2018) Poemas para Flash Gordon, de Luís Pousa

Mi amigo Pablo González Sequeiros me regaló hace unas semanas el poemario Poemas para Flash Gordon (Reino de Cordelia, 2017) del matemático, escritor y periodista Luís Pousa. La editorial lo presenta del siguiente modo: Desde la madurez de la edad, Luís Pousa regresa al mundo de la infancia y de la juventud, a aquella etapa de su vida donde todas las puertas estaban abiertas y apenas había comenzado a elegir cómo cerrar alguna de ellas. Poemas para Flash Gordon es un homenaje a la cultura pop que le formó como ser humano, a los tebeos clásicos norteamericanos, al cine del Oeste, a la televisión…; pero también a Franz Kafka, a Bukowski, Rimbaud, Lorca, Walt Whitman o el bosón de Higgs… Nombres y ciudades, paisajes y personas se entrelazan en este poemario que despide un mundo irrepetible, pero definitivamente instalado en la memoria. El poemario consta de dieciséis poemas: Para Flash Gordon, El otro lado de las cosas, Rimbaud, Sobre un tema de Charles Bukowski, Poema de la UCI, Umbral, El lugar de los hechos, Deseo de ser piel roja, Todavía, Felicidad, Rosalía, El bar de O’Malley, Autorretrato en el espejo convexo, Canción para Liberty Balance, Algunas cosas que debería hacer en cualquier caso antes de morir, y El blues del bosón de Higgs. Las referencias a la ciencia y a las matemáticas se cruzan en estos versos de Luís Pousa dedicados al superhéroe de la famosa historieta de ciencia ficción estadounidense. En El lugar de los hechos, el autor alude a ‘[…] ese yo infinitesimal / que somos a cada paso.’ En Autorretrato en el espejo convexo, la geometría aparece como elemento fundamental: ‘[…] Ya sé que es un efecto visual / del espejo convexo, una deformación geométrica / de la imagen que se curva / sobre la superficie esférica, […]’. El poema Algunas cosas que debería hacer en cualquier caso antes de morir comienza aludiendo a Georges Perec y su afición por las listas –recordemos su impresionante La vida instrucciones de uso, y todas las listas que elaboró en su Cahier des charges de La vie mode d’emploi para poder aplicar las trabas impuestas a su texto–, y alude más adelante a dos geniales matemáticos: ‘[…] Y escuchar de viva voz los pensamientos / de Kurt Gödel y Georg Cantor. […]’. Cantor vuelve a aparecer en el poema final El blues del bosón de Higgs: ‘[…] con el palacio de cristal / que llamamos álgebra, / con los números transfinitos / de Georg Cantor, […]’. Son exquisitas las matemáticas que atraviesan este poemario, también exquisito, que os recomiendo no dejéis pasar. Por cierto, ¡gracias, Pablo!

Lunes, 19 de Febrero de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

250. 91. (Febrero 2012) El pianista sin par

A las puertas del centenario en esta sección, parece incuestionable la estrecha relación que existe entre la magia y las matemáticas. Si te queda alguna duda, repasa los artículos anteriores de esta sección: te esperamos. Esta vez vamos a relacionar nuestros dos temas hermanos con otra disciplina artística: la música. La relación será metafórica aunque no podemos olvidar el gran paralelismo que siempre se ha mantenido entre la música y las matemáticas (lee el artículo Música y Matemáticas de Elisa Benítez, con muchas referencias sobre el tema), así como entre la música y la magia (la creación de una atmósfera mágica en cualquier representación se ha realizado tradicionalmente con ayuda fundamental de la música). Esto me recuerda una actuación memorable de Juan Tamariz, cuando logró el primer premio de Cartomagia en el XII Congreso Mundial de Magia en París. No te pierdas el video de Youtube con la representación para el programa Txan-tata-txan (primera parte y segunda parte). El juego que describimos en esta ocasión puede considerarse un clásico de la magia. Inventado, aparentemente, por Francis Carlyle, incluido en el repertorio de los grandes maestros John Mulholland, Nate Leipzig y Dai Vernon, y descrito por John Scarne en el libro "Scarne on card tricks" de 1950 (aunque ahora se sospecha que contrató a un "negro", Benjamin Braude). Sólo hará falta una baraja, un ayudante con dotes de pianista y saber contar hasta dos. Pide a tu ayudante que coloque las manos sobre la mesa imitando la postura de un pianista frente al piano. Coloca dos cartas entre los dedos meñique y anular de su mano derecha, pidiéndole que las sujete ligeramente, diciendo simplemente: "Aquí hay dos cartas, un número par." Coloca otras dos cartas entre los dedos medio y anular de su mano derecha diciendo: "Aquí también hay dos cartas, otro número par." Repite la misma acción con el resto de intersecciones interdigitales de ambas manos, colocando siempre dos cartas y recalcando en cada caso que el número de cartas colocadas es par, con una excepción: entre los dedos meñique y anular de la mano izquierda colocas sólo una carta. Di entonces: "Y aquí hay una carta, que es un número impar." La situación es ahora la indicada en la figura adjunta. Recoge ahora las dos cartas que están entre los dedos meñique y anular de la mano derecha y colócalas sobre la mesa formando dos montones. Repite de nuevo: "Aquí hay dos cartas, un número par." La figura siguiente ilustra esta acción. Retira las dos cartas que están entre los dedos mayor y anular de la mano derecha y las colocas también sobre la mesa: una de ellas en el montón de la derecha y la otra en el montón de la izquierda. Recalca el hecho: "Y aquí otras dos cartas, también un número par." Continúa repartiendo el resto de parejas de cartas sobre la mesa, siempre dejando una sobre cada montón y siempre confirmando que se trata de un número par. Cuando llegues a la carta aislada, pide a tu ayudante que elija uno de los montones sobre el que colocar dicha carta. Coloca la carta en el montón elegido y confirma que ahora dicho montón es el impar. Pasa las manos ligeramente sobre ambos montones afirmando que la carta impar va a viajar mágicamente. Recoge el montón que contenía la carta impar y reparte sobre la mesa las cartas de dos en dos, diciendo: un par, un par, un par y un par. ¡La carta impar ha desaparecido de este montón! Recoge el otro montón y reparte parejas de cartas sobre la mesa: un par de cartas, un par de cartas, un par de cartas y una carta. ¡La carta impar ha pasado a este montón! Comentarios finales. ¿A ti te ha sorprendido? Pues lo normal es que este juego sorprenda a la mayoría, por muy evidente que parezca al leerlo. La sutileza del lenguaje utilizado hace que la explicación pase desapercibida. Puede ser muy instructivo explicar a los niños el concepto de número par e impar mediante este juego. Entenderán muy fácilmente que la división por dos de un número par no necesariamente es par. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco) Esta dirección electrónica esta protegida contra spambots. Es necesario activar Javascript para visualizarla

Miércoles, 01 de Febrero de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico