231. 91. (Junio 2018) Un curso de teoría matemática de la música

1. ¿Es posible un curso de teoría matemática de la música para universitarios de ambos campos? En el campo de la Teoría Matemática de la Música (TMM de ahora en adelante) se tiende a pensar que es minoritario porque solo lo pueden ejercer quienes tienen una sólida formación en música y en matemáticas. Esto es cierto, sobre todo si hablamos de la formación necesaria para investigar en esta fascinante disciplina. Sin embargo, no estoy de acuerdo en absoluto en que solo se puedan acercar a este campo quienes hayan estudiado a fondo ambas disciplinas, digamos con un doble grado o similar. No es necesario estudios oficiales para disfrutar de la TMM. Para una introducción a la TMM basta un programa inteligente e imaginativo, que sepa combinar los aspectos técnicos con los conceptuales con habilidad, un programa que rete al alumno en ambas facetas, la matemática y la musical. Pero haciendo honor a la verdad, no se puede decir que haya un abundante material de calidad en la bibliografía. Por ejemplo, el libro de Jan Beran [Ber04] Statistics in Musicology está escrito para el experto y, hasta donde alcanza nuestro conocimiento, no hay ningún texto de cierta calidad que presente el material básico de estadística al futuro musicólogo sistemático a nivel de grado o de máster. En los cursos en que se suele enseñar estadística a músicos o bien son demasiado superficiales —haciendo del alumno una especie de usuario final experto en procedimientos pero no en conceptos— o son demasiado técnicos y no se adaptan al perfil del alumno de música —y esto le produce una frustración notable—. Hay unas cuantas excepciones a esta tendencia. Entre ellas citamos las siguientes: Music: A Mathematical Offering [Ben06], de David Benson; Foundations of Diatonic Theory [Joh03], de Timothy Johnson; A Generative Theory of Tonal Music [LJ83], de Lerdahl y Jackendoff (aunque este es para cursos avanzados); The Math Behind the Music [Har06], de Leon Harkleroad; y, por último, Mathematics and Music [Wri], de David Wright. Esta lista no es exhaustiva, pero sí tiene voluntad de ser representativa. Se puede obtener más información sobre libros de TMM en la columna de Divulgamat del mes de febrero de 2017 [Góm17] y en las referencias allí contenidas. Para la columna de este mes de junio nos quedamos con el libro de David Wright Mathematics and Music, que consideramos que tiene muchas virtudes para impartir un curso de TMM a alumnos de los primeros años de universidad. Entre esas virtudes destacamos la concisión en la presentación del material así como el buen diseño de los problemas. En su libro se encuentra el número mínimo de conceptos para adquirir una comprensión sólida del material. Además, los ejercicios, problemas y proyectos propuestos están diseñados con una doble intención: son difíciles como suponer un reto al lector y son realmente interdisciplinares (hay aplicaciones constantes de la música a las matemáticas y viceversa). En la introducción del libro, el propio Wright escribe unas bellas palabras sobre la relación entre las matemáticas y la música, que sirven como una declaración de intenciones. He aquí dichas palabras (nuestra traducción): It has been observed that mathematics is the most abstract of the sciences, music the most abstract of the arts. Mathematics attempts to understand conceptual and logical truth and appreciates the intrinsic beauty of such. Music evokes mood and emotion by the audio medium of tones and rhythms without appealing to circumstantial means of eliciting suc h innate human reactions. Therefore it is not surprising that the symbiosis of the two disciplines is an age old story. (Se ha observado que las matemáticas es la más abstracta de las ciencias; se ha observado que la música es la más abstracta de las artes. La matemática intenta entender la verdad conceptual y lógica y apreciar la belleza que hay en dicha verdad. La música evoca estados de ánimo y emociones por el medio sonoro, usando tonos y los ritmos y sin apelar a los medios circunstanciales que generan tales reacciones humanas innatas. Por tanto, no sorprende que la simbiosis de ambas disciplinas sea una historia que viene de antiguo.) La columna de este mes consistirá en una breve reseña del libro de Wright y cómo es posible usarlo en un curso de introducción a la TMM. David Wright es profesor de matemáticas en la Universidad de Washington en San Luis. Se doctoró en la Universidad de Columbia, en Nueva York, en matemáticas. Es un notable investigador en el campo de la geometría afín algebraica, donde publica con regularidad y participa en congresos internaciones como estrella invitada. Como músico, Wright es arreglista y compositor de música vocal. Su trabajo toca estilos tales como el jazz, blues, gospel, country, doo-wop, entre otros. Es el director asociado del prestigioso coro St. Charles Ambassadors of Harmony. Wright es también consultor musical, sobre todo de música vocal y es bastante conocido como historiador de la música. Aparece en numerosos programas de radio y TV como divulgador de las matemáticas y la música. 2. El temario Para empezar, presentamos el temario del curso de Wright, que, como veremos, está muy bien concebido y es bastante autocontenido (algo importante en un curso de estas características). En la lista de abajo comentamos los principales conceptos que se presentan. Nótese cómo el temario está asociado fuertemente al concepto de número. Conceptos básicos. En este capítulo expone los primeros conceptos básicos de las matemáticas y la música: conjuntos, relación de equivalencia, funciones, gráficas, números enteros, números racionales, números reales; altura del sonido o tono, claves, notas, intervalos musicales, escalas y armadura. Estructura horizontal. El segundo capítulo se ocupa de la dimensión horizontal de la música: notas, compases y forma. En este capítulo no hay matemáticas (tampoco en el siguiente). Armonía y la numerología relacionada. Este capítulo versa sobre la estructura vertical de la música: acordes, notación de la armonía, definición y clasificación de los acordes por su notación numérica (de ahí lo de numerología). Proporciones e intervalos musicales. En este capítulo se explican los intervalos musicales como proporciones. Logaritmos e intervalos musicales. En este capítulo se desarrolla la teoría aditiva de intervalos, lo cual lleva a los logaritmos y las funciones exponenciales. Escalas cromáticas. Aquí se presentan los hechos básicos de la teoría de afinaciones y en particular el temperamento igual. Aquí hace falta algo de álgebra abstracta, pero se puede presentar según se vaya necesitando, como prueba sobradamente Wright en la exposición del material. La identificación de la octava. Este tema tiene su base matemática en la aritmética modular, donde el autor cubre bastante material: el principio del buen orden, la división y sus algoritmos, clases de equivalencias modulares, definición de grupo, homomorfismos de grupos, ejemplos de grupos en la música, grupos cíclicos y generadores. Propiedades de los enteros. En este capítulo se profundiza más en el álgebra abstracta y se ve cómo algunas propiedades son relevantes a ciertos fenómenos musicales. Los enteros como intervalos. En este capítulo los enteros positivos se interpretan como intervalos musicales y se traslada dicha interpretación al teclado. Se discuten ideas previas al concepto de serie armónica. El timbre y las funciones periódicas. El capítulo 10 es uno de los más densos. Contiene una excelente introducción a conceptos tales como el timbre, la influencia de los armónicos en este, funciones continuas, funciones periódicas y teoremas básicos del análisis armónico. No se dan demostraciones (no es el objetivo de este curso) y el material guarda un exquisito equilibrio entre profundidad y rigor. Los números racionales como intervalos. En este capítulo se expone la teoría básica de la afinación: afinación pitagórica, afinación justa, comas, las quintas del lobo, entre otros. La exposición constituye un buen ejercicio sobre el concepto de número racional. La afinación racional. Finalmente, el capítulo 12 describe varios sistemas de afinación basados en ciertos intervalos. 3. El material para el alumno La manera en que está estructurado el texto de Wright está cerca a los métodos de aprendizaje activo, un poco al estilo del método Moore. El material en principio se limita a una serie de definiciones, bien conectadas entre sí y bastante concisas. A continuación se proponen una serie de ejercicios, que van desde los de mera comprobación de la aplicación de los conceptos hasta pequeñas pruebas matemáticas. Algunos problemas se pueden adaptar fácilmente a proyectos de corta duración para los alumnos. Es frecuente en los problemas del libro que se pida interpretar o que se formulen los problemas en forma de pregunta y no solo de cálculo o de procedimiento. El material musical y matemático se mezcla sin solución de continuidad, como podemos en un ejemplo del capítulo 1 en la figura 1. Figura 1: Ejemplo de problemas del libro de Wright (figura tomada de [Wri]) Obsérvese que en el problema 4 se pide la demostración de un resultado matemático y en el problema 5 una identificación de objetos musicales. En el ejemplo siguiente, tomado del capítulo 2, vemos ejercicios que alternan los contenidos matemáticos y musicales. En el último se trata de identificar la forma de una serie de canciones. Con esto vemos que el autor del curso quiere que haya una componente práctica en la música, y no solo meramente teórica. Figura 2: Ejemplo de problemas del libro de Wright (figura tomada de [Wri]) En el capítulo 7, donde ya hay acumulado mucho material, los problemas se vuelven más complejos. Figura 3: Ejemplo de problemas del libro de Wright (figura tomada de [Wri]) 4. Conclusiones Es posible dar un curso de TMM para universitarios y un buen ejemplo de ello es el libro de Wright, el cual, por cierto, tiene una descripción precisa sobre la planificación y el alumnado a quienes va dirigido el libro; véase su introducción. En castellano en cambio no hemos encontrado ningún libro que pueda servir para un curso serio de TMM. El libro de Wright tiene la audacia de poner al alumno en la tesitura de enfrentarse a problemas de ambas disciplinas casi partiendo desde cero, sin más armas que su lógica y su capacidad de aprendizaje. En efecto, para seguir el libro hace falta más predisposición y lógica que una gran base matemática o musical, entendida esa base en el sentido tradicionales.   Bibliografía [Ben06] David Benson. Music: A Mathematical Offering. Cambridge University Press, 2006. [Ber04] J. Beran. Statistics in Musicology. Chapman & Hall/CRC, 2004. [Góm17] P. Gómez. Una recensión subjetiva de libros sobre matemáticas y música, febrero de 2017. [Har06] Leon Harkleroad. The Math Behind the Music. Cambridge University Press, Cambridge, 2006. [Joh03] Timothy Johnson. Foundations of Diatonic Theory. Key College Publishing, 2003. [LJ83] F. Lerdahl and R. Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1983. [Wri] David Wright. Mathematics and Music.

Lunes, 11 de Junio de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

232. 161. (Junio 2018) Los siete cielos

¿Has estudiado el juego propuesto el mes pasado? ¿Has descubierto la propiedad "secreta" que tienen los múltiplos de siete mediante la cual es posible escribir una secuencia encadenada de ellos? ¿Has tratado de averiguar si el proceso puede realizarse con números que tienen más cifras? ¿O menos cifras? No responderemos a ninguna de esas preguntas pero seguiremos estudiando al creador de aquel juego, L. Vosburg Lyons (1892-1976), pues sus contribuciones con juegos de magia matemática relativos a los múltiplos de siete continuaron apareciendo en la citada revista Ibidem. Con respecto a esta revista, podemos apuntar que se publicó en Toronto (Canadá) entre 1955 y 1979. Además, es una de las pocas revistas de magia que incluía de forma habitual acertijos y problemas de lógica, así como juegos relacionados con la matemática recreativa. Sin ir más lejos, en el número 7 de la revista, publicada en septiembre de 1956, aparece el juego titulado "Heavenly Sevens", ilustrado con la imagen que reproducimos a continuación. Esta es la descripción del juego. Entrega a un espectador siete tarjetas numeradas, donde cada una de ellas lleva escrito un número del uno al siete. Pide al espectador que descarte una cualquiera de las tarjetas. Anuncia que formarás con las seis restantes un número que sea múltiplo de siete. Como es posible que hayas memorizado todos los casos, para mayor dificultad, pide al espectador que coloque sobre la mesa, caras hacia arriba, dos de ellas, en el orden que prefiera. Estas serán las dos primeras cifras del número de seis cifras, múltiplo de siete, que tratarás de formar. Recoge las cuatro cifras que quedan sin utilizar y colócalas a continuación de las anteriores de forma tal que el número resultante de seis cifras sea un múltiplo de siete. ¡Pero eso no es todo! Haz que comprueben que el número, escrito de derecha a izquierda, ya no es múltiplo de siete. Cambia de lugar dos de las tarjetas para formar un nuevo número, el cual será todavía múltiplo de siete y, si se escribe de derecha a izquierda, también es múltiplo de siete. Veamos la forma de conseguirlo. El método es un poco elaborado, dada la dificultad del juego, pero el resultado es sorprendente. Ten un poco de paciencia y te aseguro que admirarás el ingenio de su creador. Debes tener en cuenta en primer lugar la siguiente tabla de equivalencias o congruencias: TABLA DE CONGRUENCIAS 1 2 3 4 5 6 7 17 26 35 27 36 45 21 37 46 31 47 56 32 41 57 42 51 67 43 52 61 Observa que, en cada columna, están todas las combinaciones de dos cifras distintas (con las cifras comprendidas entre 1 y 7, pero sin importar el orden) de modo que su suma es un número congruente módulo siete con el número que encabeza dicha columna. Es decir, el resto de la división por siete de la suma de las dos cifras coincide con el del número que encabeza la columna. Por ejemplo, en la cuarta columna están los números 31, 47 y 56 porque 3+1=4, 4+7=11 y 5+6=11, y el resto de la división de estos números entre siete es igual a cuatro. También podrían estar los números 13, 74 y 65 pero lo importante son las cifras, no los números. A continuación, debes recordar (o tener a mano) también los siguientes diagramas de divisibilidades: TABLA DE DIVISIBILIDADES En cada diagrama se representan de forma circular, en el sentido indicado por las flechas, los números de dos cifras que tienen el mismo resto al dividirlos por siete. Por ejemplo, en los diagramas con un cuatro en el centro están representados los números 25, 53 y 32 en la parte superior, y 46, 67 y 74 en la parte inferior. Todos ellos son congruentes con cuatro módulo siete. De hecho, están todos los que pueden escribirse con las cifras del 1 al 7. Con estos datos en mente, veamos el desarrollo del experimento. El espectador elige un número, que será la cifra descartada, y elige otros dos, que serán las dos primeras cifras del múltiplo de siete que debes encontrar, el cual llamaremos N. En lo que sigue, utilizaremos estas otras notaciones: A = cifra descartada; B = primera cifra de N; C = segunda cifra de N; X = cifra tal que el número "AX" es múltiplo de 7. Un ejemplo: el espectador decide descartar el número 3, y quiere que el número empiece por las cifras 2 y 4, en ese orden. Los datos son ahora: A = 3, B = 2, C = 4, X = 5 (porque 35 es múltiplo de 7). Con estos datos, el número de dos cifras "BC" se encuentra en una y solo una de las siguientes situaciones: Caso 1 - La suma de las cifras B + C es congruente con 2·A, módulo 7. Caso 2 - El número de dos cifras "BC" es congruente con "AB" módulo 7. Caso 3 - El número de dos cifras "CB" es congruente con "BA" módulo 7. Caso 4 - El número de dos cifras "BC" es congruente con X módulo 7. Caso 5 - El número de dos cifras "CB" es congruente con X módulo 7. Si seguimos con el ejemplo propuesto, la situación corresponde al caso 1 porque 2 + 4 = 6, que es el doble de 3. Las otras posibilidades de elección de la cifra C, con los mismos valores A = 3 y B = 2, serían: Si C = 5, el número 25 está en el caso 2, porque 25 es congruente con 32 módulo 7 (ambos dan resto 4). Si C = 7, el número 27 está en el caso 3, porque 72 es congruente con 23 módulo 7 (ambos dan resto 2). Si C = 6, el número 26 está en el caso 4, porque 26 es congruente con 5 módulo 7. Si C = 1, el número 21 está en el caso 5, porque 12 es congruente con 5 módulo 7. Veamos ahora la forma de conseguir un múltiplo de siete, según los distintos casos: Regla 1 - Si te encuentras en el caso 1, busca las dos tablas de divisibilidades de X. En una de ellas encontrarás la cifra B: escribe las dos cifras siguientes, en sentido horario. En la otra tabla de divisibilidades de X estará la cifra C: escribe también las otras dos cifras, de nuevo en sentido horario. Intercala las cifras de estos dos números y tendrás el que buscas. En nuestro ejemplo, como X = 5, las tablas de divisibilidades de 5 contienen los ciclos 475 y 126. Como B = 2, el ciclo correspondiente es 261; como C = 4, el ciclo es 475. Intercalando estos dos números llegamos a 246715, que es el múltiplo de siete que estamos buscando. Regla 2 - Si estás en el caso 2, repite el mismo procedimiento de la regla 1. En nuestro ejemplo, si el espectador hubiera elegido C = 5, los mismos ciclos 475 y 126 se escribirían en el orden 261 (pues B = 2) y 547 (pues C = 5), de modo que el número final es 256417. Regla 3 - La misma regla 1 se aplica para el caso 3. Por ejemplo, si el espectador hubiera elegido C = 7, el orden de los ciclos sería 261 (nuevamente porque B = 2) y 754 (ya que C = 7). El número que debes escribir es 276514. Regla 4 - Si estamos en el caso 4, la tercera cifra del número será igual a B + C - A si este valor está comprendido entre 1 y 7, será igual a B + C - A + 7 si fuera igual a cero, y será igual a B + C - A - 7 si fuera mayor que 7. Las cifras cuarta y quinta se obtienen de las tablas de divisibilidades de X, que empiece por la tercera cifra pero en sentido antihorario. La última cifra también se obtiene de las mismas tablas, y será la cifra que falte en la secuencia que empieza por BC en sentido horario. Volviendo al ejemplo en que A = 3, B = 2 y X = 5, si el espectador elige como segunda cifra el seis, el número 26 corresponde al caso 4. La tercera cifra será igual a B + C - A = 2 + 6 - 3 = 5. Los ciclos de las tablas de divisibilidades de X = 5 son 475 y 126. El que empieza en 5 y tiene sentido antihorario es 574 y el que empieza en 26 es 261. El número final sería 265741. Regla 5 - Si estamos en el caso 5, de nuevo la tercera cifra se obtiene como en la regla anterior, se calcula B + C - A y se suma o resta 7 en caso necesario. Las cifras cuarta y quinta se obtienen de las tablas de divisibilidades de X, empezando por la tercera cifra y en sentido horario. La última cifra se obtiene a partir de las mismas tablas, y será la que complete la secuencia que empieza por BC, en sentido antihorario. El último ejemplo correspondiente al caso A = 3 (cifra descartada) y B = 2 (primera cifra) sería aquel en que C = 1 pues CB, que vale 12, es congruente con X módulo 7. La tercera cifra sería B + C - A = 2 + 1 - 3 = 0, de modo que se le suma siete para dar el valor 7. Los ciclos de las tablas de divisibilidades de 5 son 475 y 126, de modo que las cifras cuarta y quinta son las que completan el ciclo que empieza por 7, en sentido horario, es decir 754. La última cifra sería la que completa el ciclo que empieza por 2, en sentido antihorario, es decir 216. En definitiva, el número final es 217546. Recuerda que esto no ha acabado. El número obtenido es múltiplo de siete pero, al invertir sus cifras, ya no lo es. Veamos cómo conseguir que sea múltiplo de siete por partida doble. Regla 1' - En los casos 1 y 5, pasa la tercera cifra al final. En nuestro ejemplo, el número 246715 era el correspondiente al caso 1. Pasamos el 6 al final y obtenemos el número 247156. Tanto este número como 651742 son múltiplos de siete. Por otra parte, el número 217546 era el correspondiente al caso 5. Pasamos ahora el 7 al final para obtener el número 215467. Este número, junto con 764512, son múltiplos de siete. Regla 2' - Si estamos en el caso 2, deben hacerse dos movimientos: la última cifra se coloca entre la segunda y tercera y la penúltima cifra se coloca entre la tercera y cuarta. En el ejemplo estudiado, el número resultante era 256417. Se pasa el 7 entre el 5 y el 6 y el 1 entre el 6 y el 4. Se obtiene el número 257614 y su inverso 416752, los cuales son ambos múltiplos de siete. Regla 3' - En los casos 3 y 4, se coloca la última cifra entre la tercera y cuarta. En el ejemplo que corresponde al caso 3, el número obtenido fue 276514. Al colocar el 4 entre el 6 y el 5, resulta el número 276451. Este número y su inverso, 154672, son múltiplos de 7. En el caso 4, teníamos el número 265741. Se coloca el 1 entre el 5 y el 7 y se obtiene el número 265174 que, junto con 471562, son múltiplos de 7. Comentarios finales: Como se podía suponer, el método no es sencillo. Pero el resultado final es suficientemente sorprendente como para que merezca la pena el esfuerzo de recordar los pasos necesarios, aunque solo sea como homenaje a su descubridor. Además, tu fama como experto calculista se agrandará con este nuevo reto. Por cierto, el propio L. Vosburgh Lyons explica que el método se simplifica de manera significativa si se utilizan sólo los números del 1 al 6, pero no indica el método. ¿Serías capaz de encontrarlo? Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Lunes, 04 de Junio de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

233. 113. (Mayo 2018) Las mujeres matemáticas de “Científicas: pasado, presente y futuro”

La obra de teatro Científicas: pasado, presente y futuro se estrenó el 11 de marzo de 2016 en el Salón de Actos de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Informática de la Universidad de Sevilla. Desde esa fecha se ha seguido representando en diferentes centros en todo el estado español. En el artículo Científicas: pasado, presente y futuro del blog Mujeres con ciencia se publicaban las entrevistas a su director, Francisco Vega (Técnico Especialista de un Laboratorio de Física Aplicada en la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Informática) de la Universidad de Sevilla, y a las cinco profesoras de esa misma universidad que representaban a Hipatia (Isabel Fernández), Ada Lovelace (María del Carmen Romero Ternero), Marie Curie (Adela Muñoz Páez), Rosalind Franklin (Clara Grima) y Hedy Lamarr (María José Jiménez). Marcapáginas diseñados por María del Carmen Romero Ternero. En esta entrada reproducimos las entrevistas realizadas a las dos profesoras que representan a las dos científicas dedicadas a las matemáticas.   Isabel Fernández Delgado: Hipatia Isabel Fernández Delgado es Doctora en Matemáticas por la Universidad de Granada y Profesora Titular del Departamento de Matemática Aplicada I de la Universidad de Sevilla. Su línea de investigación se enmarca en el análisis geométrico; es especialista en superficies minimales. Fue la primera mujer española en ser invitada como conferenciante en un International Congress of Mathematicians (ICM2010, India). Se considera a Hipatia de Alejandría como la primera mujer científica de la historia: filósofa y maestra, destacó en los campos de las matemáticas y la astronomía. Isabel e Hipatia. ¿Conocías a la científica que debías representar (no sólo su nombre) antes de emprender el proyecto? Después de la película Ágora de Amenábar es difícil no conocer a Hipatia, aunque antes de la película reconozco que sólo la conocía de nombre. ¿Qué te parece más destacable (en cuanto a su personalidad) de la científica que interpretas? Creo que de las cinco es la que más difícil lo tuvo, por la época en la que le tocó vivir. Me fascina el hecho de que fuese capaz de hacerse escuchar y respetar en un mundo tan tremendamente dominado por los hombres. ¿Te ha inspirado de alguna manera esta científica tras esta experiencia? Me ha recordado lo afortunados que somos de vivir en una época en la que se han superado muchas barreras (me encanta la cara que se le pone a los más pequeños cuando Hipatia les cuenta que en su época las niñas no podían ir a la escuela), y la responsabilidad que tenemos para superar las que aún quedan. ¿Tienes alguna anécdota especial que te gustaría compartir del proceso antes del estreno de la obra? Todo el proceso de preparación ha sido muy especial, éramos (somos) totalmente amateurs, algunos ni nos conocíamos previamente, y ver cómo el proyecto ha ido tomando forma reunión tras reunión… ha sido mucho trabajo, pero siempre con un ambiente genial, hemos acabado teniendo muchísima complicidad, y lo hemos pasado muy bien preparándolo todo. Me quedo especialmente con los ensayos previos a nuestra primera representación en Sevilla, con los nervios, con los millones de cosas que había que tener listas, con el grupo de whatsapp echando humo, con los larguísimos emails planificándolo todo… y con la ilusión de poder poner nuestro granito de arena para que, como siempre dice Paco, “ninguna niña piense que algo le es ajeno por el simple hecho de ser mujer”. ¿Alguna reacción del público te ha emocionado especialmente? En una de las representaciones de la obra en Sevilla, para 400 niños de varios colegios, muchos de esos niños se quedaron casi una hora hablando con nosotras, todos querían preguntarnos cosas, o contarnos lo que habían aprendido en clase sobre las científicas que representábamos. Y me emocioné mucho con Noa, una niña de 6 años que vino a vernos a La Coruña, y que luego me contó que durante la representación no paraba de decirle a su madre “me está gustando mucho, mamá, ¡no quiero que se acabe nunca!”. Entre las cinco científicas del pasado, te quedarías con la que representas o te habría apetecido representar a alguna otra? Me quedo con la mía, creo que después de tantos ensayos cada una nos hemos mimetizado un poco con nuestra “científica del pasado”, las hemos hecho un poco nuestras. A mis compañeras tampoco me las imagino en otro papel. Yo no soy tan seria ni tan reflexiva como decían que era Hipatia, pero me encanta enfundarme en su traje de época y ponerme un poquito seria. Porque nuestra Hipatia empieza seria, pero luego se le va pasando… Si quieres comentar cualquier otro aspecto de la obra… Quiero aprovechar para declarar públicamente mi admiración por Paco. Él no se dedica a la investigación ni a la divulgación, pero tiene una hija y tiene muy claro el tipo de mundo en el que su hija debería vivir. Me encantan las personas con iniciativa, y a él le sobra. El esfuerzo, determinación, y cariño que le ha puesto a este proyecto, cómo lo ha sacado adelante de la nada, cómo nos ha contagiado su entusiasmo… y siempre con humildad y generosidad. Por lo que más me alegro del éxito que ha tenido este proyecto es por él.   María del Carmen Romero Ternero: Ada Lovelace María del Carmen Romero Ternero es Doctora en Ingeniería Informática y Profesora Contratada del Departamento de Tecnología Electrónica Universidad de Sevilla. Su ámbito de investigación es la inteligencia artificial y la computación afectiva. ¡Una ingeniera informática representando a la matemática Ada Lovelace, considerada como primera persona programadora de la historia! Ada y María del Carmen. ¿Conocías a la científica que debías representar (no sólo su nombre) antes de emprender el proyecto? Conocía a Ada y su papel como la primera persona programadora desde que en segundo de carrera me enseñaron el lenguaje de programación ADA, que se llama así en su nombre. Sin embargo, no conocía nada sobre ella ni lo polifacética que era, y me sorprendió mucho su vida cuando me leí las tres biografías que me pasaron Paco y Adela. ¿Qué te parece más destacable (en cuanto a su personalidad) de la científica que interpretas? Lo visionaria que llegó a ser para su época y la capacidad de usar su creatividad para aplicarla en distintas disciplinas. ¿Te ha inspirado de alguna manera esta científica tras esta experiencia? Lo cierto es que yo me siento identificada con esa capacidad que tenía ella de aplicar la creatividad en distintos campos. Además de ser ingeniera, he de decir que también tengo mi faceta artística, al igual que mi colega Ada. ¿Tienes alguna anécdota especial que te gustaría compartir del proceso antes del estreno de la obra? Me reía mucho cuando Paco me decía que yo tendría que ser la productora de la obra. Lo decía porque siempre que hacía falta algo, me las apañaba para encontrarlo o para encontrar a la persona adecuada que nos ayudara a conseguirlo. Es lo maravilloso de tener muchos (y buenos) amigos. ¿Alguna reacción del público te ha emocionado especialmente? En la segunda representación había casi 400 niños llenando el Salón de Actos de mi Escuela (en la que soy profesora) y entre esos niños estaba mi hija Andrea (de 8 años), que me miraba con una carita a camino entre la vergüenza y la admiración. Cuando acabamos la parte del presente, quisimos dar la opción a preguntar y el corazón me dio un vuelco cuando decenas de manos asomaron entre los asientos porque muchos de ellos querían hacernos preguntas. Aquello fue indescriptible, porque nos confirmaba que habíamos logrado alcanzar el equilibrio que tanto nos empeñábamos en encontrar entre la rigurosidad y la teatralidad para no aburrir a los más pequeños. Logramos mantenerlos fascinados y después preguntaban con mucha curiosidad sobre cosas de las científicas del pasado que ni siquiera habíamos nombrado durante la representación. Ahora sabemos que fue todo un acierto proponer a los colegios la actividad previa, ya que, de ese modo, se metían rápidamente en las historias que allí contábamos. También me ilusionó especialmente que al cabo de unas semanas de la primera representación, un niño me reconociera por la calle y me dijera: “Anda! Pero si tú eres una de las científicas…” y todo eso con una sonrisa de admiración en su boca. Entre las cinco científicas del pasado, te quedarías con la que representas o te habría apetecido representar a alguna otra? Me quedo con la mía (y no sólo por el vestido), pues lo curioso es que me siento bastante identificada con ella. De todas las científicas del pasado, la representación de Ada es la más infantil, por el juego de palabras que usamos de Ada y Hada. Me siento cómoda sobre el escenario con ese toque tan desenfadado que le hemos dado a Ada. Si quieres comentar cualquier otro aspecto de la obra… Ha sido (y está siendo) una experiencia muy gratificante, y no sólo por las caritas de los niños (y de quienes les acompañan a las representaciones), o por la aceptación del proyecto en los medios y la difusión que se le está dando, sino por la amistad y la complicidad que se ha ido consolidando en el grupo de las seis. Hemos construido un gran equipo unido, en el que todas aportamos, todas opinamos y todas escuchamos. Y cuando hablo de todas, incluyo a Paco, que es en femenino genérico. Cuando Paco me habló por primera vez sobre este proyecto en el pasillo de la Escuela, ya intuía yo que tendría recorrido porque, ciertamente, era (es) un proyecto precioso. Sin embargo, también es verdad, que para mí (y para todas) la realidad ha superado las expectativas con creces.

Lunes, 28 de Mayo de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

234. 127. (Mayo 2018) Las sextinas son un caso particular de queninas

Según el diccionario de la RAE, una sextina es: Composición poética que consta de seis estrofas de seis versos endecasílabos cada una, y de otra que sólo se compone de tres. En todas, menos en esta, acaban los versos con las mismas palabras, bien que no ordenadas de igual manera, por haber de concluir con la voz final del último verso de una estrofa el primero de la siguiente. En cada uno de los tres con que se da remate a esta composición entran dos de los seis vocablos repetidos de las estrofas anteriores. Arnaut Daniel, "Lo ferm voler", manuscrito conservado en la Bilbioteca Ambrosiana de Milán (http://www.filmod.unina.it/cdg/G.htm) El trovador provenzal Arnaut Daniel fue el creador de esta forma poética; la primera sextina de la historia de la literatura es su Lo ferm voler qu'el cor m'intra. Lo ferm voler qu'el cor m'intra no'm pot ges becs escoissendre ni ongla de lauzengier qui pert per mal dir s'arma; e pus no l'aus batr'ab ram ni verja, sivals a frau, lai on non aurai oncle, jauzirai joi, en vergier o dins cambra. Quan mi sove de la cambra on a mon dan sai que nulhs om non intra -ans me son tug plus que fraire ni oncle- non ai membre no'm fremisca, neis l'ongla, aissi cum fai l'enfas devant la verja: tal paor ai no'l sia prop de l'arma. Del cor li fos, non de l'arma, e cossentis m'a celat dins sa cambra, que plus mi nafra'l cor que colp de verja qu'ar lo sieus sers lai ont ilh es non intra: de lieis serai aisi cum carn e ongla e non creirai castic d'amic ni d'oncle. Anc la seror de mon oncle non amei plus ni tan, per aquest'arma, qu'aitan vezis cum es lo detz de l'ongla, s'a lieis plagues, volgr'esser de sa cambra: de me pot far l'amors qu'ins el cor m'intra miels a son vol c'om fortz de frevol verja. Pus floric la seca verja ni de n'Adam foron nebot e oncle tan fin'amors cum selha qu'el cor m'intra non cug fos anc en cors no neis en arma: on qu'eu estei, fors en plan o dins cambra, mos cors no's part de lieis tan cum ten l'ongla. Aissi s'empren e s'enongla mos cors en lieis cum l'escors'en la verja, qu'ilh m'es de joi tors e palais e cambra; e non am tan paren, fraire ni oncle, qu'en Paradis n'aura doble joi m'arma, si ja nulhs hom per ben amar lai intra. Arnaut tramet son chantar d'ongl'e d'oncle a Grant Desiei, qui de sa verj'a l'arma, son cledisat qu'apres dins cambra intra. Como puede observarse, sólo hay seis palabras que generan la rima –son 1=intra, 2=ongla, 3=arma, 4=verja, 5=oncle y 6=cambra en el poema de Arnaut Daniel– que van cambiando de lugar de acuerdo con el siguiente esquema: 123456 – 615243 – 364125 – 532614 – 451362 – 246531 – 531. En la sextina de Arnaut Daniel, aparecen las seis palabras en los tres versos finales, aunque no sucede siempre en estas composiciones poéticas. Observad que cada una de las seis palabras que riman pasan por todas las posiciones al cambiar de estrofa. El anterior esquema describe lo que en matemáticas se denomina una permutación –se alternan las seis palabras al cambiar de estrofa–; pero se trata además de una permutación de orden 6, es decir, cuando se hacen seis iteraciones –y no antes– se reencuentran las palabras de rima en su forma original. Si llamamos σ a esta permutación –e id a la ordenación natural (1, 2, 3, 4, 5, 6)– se escribe del modo: y es σ6=id, pero σ≠id, σ2≠id, σ3≠id, σ4≠id y σ5≠id. En cada cambio de estrofa, la palabra que ocupaba el sexto lugar pasa a ocupar el primero, la que se situaba en el primero va a parar al segundo lugar, la que iba en el quinto puesto se traslada al tercero, la que ocupaba la segunda posición pasa a la cuarta, la que estaba en la cuarta va a parar a la quinta y, finalmente, la palabra situada en tercer lugar pasa a ocupar el sexto lugar de la estrofa. De otra manera, podemos colocar los números del 1 al 6 sobre una recta, y pensar σ como una permutación en espiral que, además –como ya hemos comentado–, es una permutación de orden 6: El escritor y cofundador del grupo OuLiPo Raymond Queneau [1] se preguntó si era posible generalizar la estructura de la sextina, reemplazando 6 por n, para escribir un poema de n estrofas, cada una formada por n versos, todos terminados por las mismas n palabras, intercambiadas por la permutación espiral, es decir, por la permutación definida por: La anterior permutación generaliza la estructura de las sextinas de Arnaut Daniel. Por cierto, existen recopilaciones de sextinas ‘modernas’, como el bello texto [3], que contiene sextinas en varias lenguas. Si os animáis a leer algunas de ellas, comprobaréis que son poemas de gran belleza y complejidad. Volviendo a las queninas, podemos preguntarnos: ¿es posible generalizar las sextinas para cualquier valor de n? Dicho de otra manera, ¿la permutación espiral σ definida por Queneau (y citada arriba) es siempre una permutación de orden n? La respuesta es negativa: por ejemplo, para n=4, la permutación espiral definida por Queneau es σ(1)=2, σ(2)=4, σ(3)=3 y σ(4)=1. Pero σ es de orden 3, y no 4 como debería ser (σ≠id, σ2≠id y σ3=id), al quedar el número 3 fijo por la permutación. En honor a Queneau, las permutaciones espirales de orden n –las que permiten crear un poema generalizando a una sextina– se denominan queninas de orden n o n-ninas. Y se dice en tal caso que n es un número de Queneau. No existen queninas de cualquier orden: acabamos de ver que no existen las de orden n=4. Tampoco existen 10-ninas: en este caso la permutación es de orden 7, no de orden 10. Es posible caracterizar los números de Queneau en términos combinatorios. En [2] se enuncia el siguiente teorema –cuyos términos se aclaran después–: Teorema: Si n es un número de Queneau, entonces 2n+1 es un número primo. Además, si 2n+1 es primo, entonces existe una n-nina si y sólo si 2 es de orden 2n módulo 2n+1 o n es impar y 2 es de orden n módulo 2n+1. La prueba es sencilla y preciosa a la vez. En este enunciado, los términos aludidos son: Un número es primo si sólo es divisible por sí mismo y por 1. 2 es de orden p módulo m si 2p-1 es divisible por m, pero 2k-1 no es divisible por m para k < p (estamos trabajando con enteros positivos). Observad que cuando se dice en el enunciado «2 es de orden 2n módulo 2n+1 », n también puede ser impar. Veamos unos ejemplos de números de Queneau para aclarar dudas, si las hubiera : n=1 es un número de Queneau, ya que 2n+1=3 es primo y 22n-1 = 22-1 = 3 es divisible por 3 (y 2k-1 no es divisible por 3 para k < 2). n=2 es un número de Queneau, ya que 2n+1=5 es primo y 22n-1 = 24-1 = 15 es divisible por 5 (y 2k-1 no es divisible por 5 para k < 4). n=3 es un número de Queneau, ya que 2n+1=7 es primo y 2n-1 = 23-1 = 7 es divisible por 7 (y 2k-1 no es divisible por 7 para k < 3). Fijaos que en este caso 2 es de orden n módulo 2n+1 (y no de orden 2n módulo 2n+1). n=4 no es un número de Queneau, ya que 2n+1=9 que no es primo. n=5 es un número de Queneau, ya que 2n+1=11 es primo y 22n-1 = 210-1 = 1023 es divisible por 11 (y 2k-1 no es divisible por 11 para k < 10). n=6 es un número de Queneau –¡las sextinas existen!–, ya que 2n+1=13 es primo y 22n-1 = 212-1 = 4095 es divisible por 13 (y 2k-1 no es divisible por 13 para k < 12). n=7 no es un número de Queneau, ya que 2n+1=15 no es primo. n=8 no es un número de Queneau, ya que aunque 2n+1=17 es primo, el número 28-1 = 255 es divisible por 17.  El teorema dice que –si 8 fuera un número de Queneau– 216-1 debería ser divisible por 17 (que lo es), pero 2k-1 no debería ser divisible por 17 para k < 16. n=9 es un número de Queneau, ya que 2n+1=19 es primo y 22n-1 = 218-1 = 262143 es divisible por 19 (y 2k-1 no es divisible por 19 para k < 18). n=10 no es un número de Queneau, ya que 2n+1=21 que no es primo. De hecho, los números de Queneau menores que 1000 son estos: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 14, 18, 23, 26, 29, 30, 33, 35, 39, 41, 50, 51, 53, 65, 69, 74, 81, 83, 86, 89, 90, 95, 98, 99, 105, 113, 119, 131, 134, 135, 146, 155, 158, 173, 174, 179, 183, 186, 189, 191, 194, 209, 210, 221, 230, 231, 233, 239, 243, 245, 251, 254, 261, 270, 273, 278, 281, 293, 299, 303, 306, 309, 323, 326, 329, 330, 338, 350, 354, 359, 371, 375, 378, 386, 393, 398, 410, 411, 413, 414, 419, 426, 429, 431, 438, 441, 443, 453, 470, 473, 483, 491, 495, 509, 515, 519, 530, 531, 543, 545, 554, 558, 561, 575, 585, 593, 606, 611, 614, 615, 618, 629, 638, 639, 641, 645, 650, 651, 653, 659, 683, 686, 690, 713, 719, 723, 725, 726, 741, 743, 746, 749, 755, 761, 765, 771, 774, 779, 783, 785, 791, 803, 809, 810, 818, 831, 833, 834, 846, 866, 870, 873, 879, 891, 893, 911, 923, 930, 933, 935, 938, 939, 950, 953, 965, 974, 975, 986, 989, 993, 998. Se conjetura que existen infinitos números de Queneau… ¿Te apetece ponerte a pensar en esta conjetura literario-combinatoria? Referencias [1] Jacques Roubaud, N-ine, autrement dit quenine (encore) en La bibliothèque oulipienne VI, Paris, Le Castor Astral, 2003 [2] Jean-Guillaume Dumas, Caractérisation des quenines et leur représentation spirale, Mathematics and Social Sciences 184 (4), 9-23, 2008 [3] Chús Arellano, Jesús Munárriz y Sofía Rhei, Sextinas. Pasado y presente de una forma poética, Hiperión, 2011 [4] Marta Macho Stadler, Los números de Queneau, Cuaderno de Cultura Científica, 7 agosto 2013

Lunes, 28 de Mayo de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

235. 46. (Junio 2018) Alegorías matemáticas españolas destruidas o dañadas

(Alegoría de la Astronomía – Sepulcro de Cisneros, Alcalá de Henares) El tiempo no se detiene y en su transcurrir muchas cosas de valor desaparecen o se mutilan. A veces solo hemos de conformarnos con la crónica y su recuerdo. Un caso ejemplar es la destrucción de alegorías matemáticas renacentistas del territorio español o de algunas de las ejecutadas por sus artistas en el exterior. El Renacimiento fue tanto periodo de renovación como de cambio de forma de los modelos anteriores. La representación alegórica de las Artes Liberales tiene su origen en Marciano Capella a finales del Imperio Romano; los modelos iniciales fueron evolucionando durante el Medioevo y se expandieron en belleza y colorido durante el Renacimiento. La Península Ibérica no fue ajena al despertar: los maestros italianos y flamencos trabajaban en los reinos peninsulares y los del lugar perfeccionaban el oficio en Italia. El Cielo de Salamanca (Cielo de Salamanca – Fernando Gallego) El sobrecogedor mural sobre bóveda que Fernando Gallego (1440-1507) ejecutó para la Biblioteca de la Universidad de Salamanca y que se conoce como Cielo de Salamanca es hoy aproximadamente la tercera parte de lo que fue el original. Si la obra se hubiera conservado entera superaría como modelo al realizado por Tibaldi un siglo después para la biblioteca de San Lorenzo del Escorial. Lamentablemente una de las cosas que solo han dejado rastro literario han sido las Alegorías de las Artes Liberales que estaban incluidas en la representación mística de la divina sabiduría. Entristece profundamente no poder contemplar cómo Gallego representó la Aritmética y la Geometría. Fue precisamente la ampliación de la capilla lo que acabo con la biblioteca. En la Universidad ganó el rezo al conocimiento. La fortuna permitió que un trozo de mural no fuera necesario para ampliar el templo y quedara oculto. Descubierto a inicios de siglo XX, los restos de los frescos fueron trasladados al edificio de las Escuelas Menores donde hoy se exhiben. La historia es larga y poblada de picaras anécdotas: al realizarse el traslado de las redescubiertas pinturas se robaron las sinopias. Lo que queda de la orla mística reza así: Cuando contemplo tus cielos, obra de tus dedos, la luna y las estrellas que tú has formado. (Alegoría de Virgo. Cielo de Salamanca – Fernando Gallego) La reproducción de la constelación zodiacal de Virgo realizada por Gallego da una idea de lo que debieron ser la Aritmética, la Geometría, la Astronomía y la Lógica. Pedro de Berruguete en Gubbio (Alegoría de la Astronomía y la Música. Reproducciones del studiolo de Gubbio) Los palacios de los Montefeltro de Urbino y Gubbio fueron lugares de trabajo y formación de Berruguete. La corte de Urbino era uno de los centros del arte matemático. El studiolo, de Urbino ha conservado gran parte de la decoración y mobiliario: era la cámara reservada para desarrollar la vida interior del humanista. La esplendida decoración debía inspirar para el estudio mediante el ejemplo de los grandes sabios y de las alegorías de las artes. Hemos de lamentar que el equivalente de Gubbio haya sido despojado y en parte perdido. Lo triste no es que las piezas se reubiquen, lo malo es que desaparezcan. La National Galery de Londres conserva alguna de las alegorías de Justo de Gante y Pedro Berruguete pero faltan las más matemáticas. En vano buscamos la Aritmética y la Geometría: La Astronomía, donde estuvo más presente la mano de Berruguete desapareció tras los bombardeos de Berlín. El studiolo de Gubbio era más didáctico que el de Urbino pues se construyó para instruir al joven heredero del ducado. Las imágenes reflejan a un joven recibiendo el conocimiento de cada una de las siete artes liberales. Reproducimos la alegoría de la Música de Londres para hacernos una idea de la magnitud de la pérdida contemplando su delicada belleza. (Alegoría de la Música. Berruguete y Justo de Gante. National Gallery) El sepulcro de Cisneros en Alcalá de Henares (Alegorías matemáticas en el Sepulcro de Cisneros. Alcalá de Henares) En el interior de la Iglesia del Colegio Mayor de San Ildefonso, antigua universidad complutense, se encuentra el Sepulcro de su fundador: el Cardenal Regente Cisneros. Siguiendo el modelo de hermanar fe y sabiduría, y tal como había hecho el Papa Sixto IV en su espectacular sepulcro de bronce esculpido por Pallaiolo, el cardenal tiene una tumba decorada con las Artes Liberales. El Cuadrivio (aritmética, música, astronomía y geometría) están a la mano derecha de Cisneros. La Música y la Astronomía han sido poco mutiladas de sus instrumentos, y se observan el laúd y el astrolabio. De la Aritmética se puede ver la tablilla, y de la Geometría solo podemos imaginar el compás desaparecido. La ejecución de la obra corresponde al italiano Doménico Fanzelli, y tras su muerte al español Bartolomé Ordóñez. Las imágenes descabezadas y la irreconocible Geometría muestran que el tiempo se ha cebado en el mausoleo del que fue el reformador de la Iglesia del Reino de Castilla. Torre de la Armería en Alba de Tormes (Alegoría de la Astronomía. Cristoforo Passini. Alba de Tormes) La escenografía para el Gran Duque de Alba que Cristoforo Passini propone en la Torre de la Armería es similar a la del resto de los artistas hagiográficos de todas las épocas: valiente y vencedor en la batalla, virtuoso en la vida y sabio, culto y sensible en su formación. Ignoramos si el palacio y castillo de Alba de Tormes tenía algo parecido a un studiolo. En la primera planta de la torre que se usaba para conciertos y reuniones se encuentran dos espacios laterales con los elementos decorativos propios de los estudios renacentistas. En uno están las virtudes y en el otro las artes liberales al modo clásico de Capella: bellas damas con los atributos de sus ciencias. Las guerras napoleónicas han reducido la galería de las artes a dos frescos completos y dos mutilados. Solo pueden contemplarse enteras la Astronomía y la Lógica, ambas bellísimas, y las dos mutiladas solo dejan ver al amorcillo acompañante. Pérdida irreparable. La Astronomía en pose relajada reposa sobre una esfera astronómica y sujeta una esfera armilar. La hermosísima Lógica mantiene un dragón enjaulado: las trampas del falso razonamiento deben permanecer a buen recaudo. (Alegoría de la Lógica. Cristoforo Passini. Alba de Tormes)

Viernes, 01 de Junio de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

236. 90. (Mayo 2018) Más sobre medidas de síncopas

1. Ritmos equilibrados y euclídeos La columna de este mes de mayo estará dedicada a la síncopa. Este es un fenómeno siempre fascinante y al que le hemos dedicado en esta columna varios artículos; véase, por ejemplo, la serie Medidas matemáticas de síncopa [Góm11c, Góm11b, Góm11a] en el año 2011, o recientemente la serie Medidas de complejidad rítmica [Góm17a, Góm17b, Góm18]. En este artículo vamos a examinar un trabajo de Chunyang Song y sus coautores, Syncopation and the Score (la síncopa y la partitura) [SAJRCA+13]. En este interesante trabajo sus autores investigan la relación entre el ritmo escrito (la partitura) y la síncopa percibida. Dado que este trabajo versa sobre la síncopa percibida, esto es, la sensación de síncopa comunicada por sujetos, claramente se trata de un estudio de cognición musical. 2. Síncopa y partitura Rememorando lo dicho en nuestra serie sobre la síncopa de 2011 [Góm11c], volvemos al fidedigno Harvard Dictionary of Music [Ran86] para una definición conceptual sólida: “Síncopa: una contradicción momentánea de la métrica o pulso predominante”. El autor de la definición la amplía y enseguida añade que “la síncopa se puede crear por los los valores de las notas mismos o por la acentuación, la articulación, el contorno melódico o el cambio armónico en el contexto por otro lado de una sucesión de notas no sincopadas”. Los autores del artículo, sin duda conscientes de esta definición, la desarrollan en el dominio de la cognición musical. Así, definen pulso como el percepto periódico subyacente que los oyentes humanos extraen de los patrones temporales de la música. Por percepto, aquí se entiende el objeto tal y como lo percibe el sujeto. La definición de pulso está tomada de Trainor [Tra07]. Cuando los oyentes humanos infieren una estructura a partir de las periodicidades destacables en los grupos de pulsos, se produce un constructo abstracto de duraciones temporales que se conoce como métrica. Esas agrupaciones de duraciones temporales se pueden a varios niveles y por tanto la métrica posee una estructura jerárquica. La partitura se puede concebir como una codificación simbólica que describe los eventos que ocurren en una pieza musical. Estos eventos han de ser interpretados por un músico para que el oyente pueda percibir el resultado de la partitura. Si nos restringimos a la música occidental (que en el artículo de Song y sus coautores es una hipótesis implicita), la partitura estará escrita en un compás dado. El compás indica en qué tipo de métrica va a estar la pieza. Hay dos tipos de compases principales: los de subdivisión binaria y los de subdivisión ternaria. Los primeros nos dicen que la agrupación de las duraciones se hará en grupos de dos, mientras que en el caso ternario dicha agrupación será en grupos de tres. Como decíamos arriba, cuando la estructura métrica predominante es contradicha momentáneamente, hablamos de síncopa. Para que dicha contradicción tenga lugar hace falta que la estructura métrica se haya establecido durante un tiempo suficientemente largo como para que el oyente la integre en la escucha de la pieza. Los autores del artículo, y con bastante razón, argumentan que muchas de las medidas de síncopas definidas hasta la fecha no tienen en cuenta este hecho. Una vez establecido el contexto métrico, ¿cómo se produce la síncopa? Se sabe que hay varios mecanismos para ello y Song y sus coautores los identifican con exhaustividad. En la partitura, hay síncopas que se indican poniendo acentos en las partes débiles de la métrica. Son las llamadas síncopas por acentuación (Stravinsky es un experto en este tipo de síncopas). Otro tipo de síncopa es la llamada síncopa de ataque; consiste en que una nota que empieza en parte débil es prolongada hasta otra parte débil. Típicamente, esto se consigue poniendo silencios en partes fuertes o ligando notas entre partes débiles consecutivas. Otra forma de síncopa es la polirritmia. Una polirritmia es la presentación de dos o más ritmos que no comparten las mismas agrupaciones temporales, lo que con frecuencia da una sensación de métricas que compiten entre sí. Hay unas cuantas tradiciones musicales en que es normal las polirritmicas, especialmente las africanas y las afro-cubanas. En la serie Transformaciones rítmicas: de binarizaciones y ternarizaciones [Góm13] del año 2013 analizamos las polirritmias en las tradicionales musicales de la franja atlántica del continente americano; se remite al lector a esa serie para más información sobre este asombroso fenómeno musical y también al libro de Simha Aaron African Polyphony and Polyrhythm [Aro91]. Los autores son conscientes de las medidas de síncopa que hay en la bibliografía y mencionan, entre otras, las siguientes: la medida de complejidad cognitiva de Pressing [Pre99], la medida de síncopa de Longuet-Higgins [LHC84], la medida de complejidad rítmica de Lempel y Ziv [LZ76], la medida de síncopa de Keith [Kei91], o la medida WBND [GMRT05] (WBND significa distancia ponderada de pulso a nota en sus siglas inglesas). Véase [Góm11c, Góm17a, Góm17b, Góm18] para un exposición divulgativa de esos trabajos. Para la definición operativa de polirritmia, Song y sus coautores se basan en el trabajo de Handel y Oshinsky[SJ81]. 3. Síncopa percibida 3.1. Las preguntas de investigación Los autores del trabajo midieron la síncopa percibida a través de experimentos con sujetos. Se reclutaron a 10 músicos, voluntarios, sin pago alguno por la participación en el experimento, con una media de 15 años de formación y práctica (desviación típica 5). Seis de los participantes eran multi-instrumentistas. Las hipótesis que los investigadores querían estudiar eran las siguientes: El papel de la métrica en la percepción de la síncopa; El papel que desempeña la presencia o ausencia de la parte fuerte en la percepción de la síncopa; Si la síncopa se percibe más fuertemente en presencia de polirritmos o bien en presencia de ritmos simples; El papel de la posición de la síncopa dentro del compás. 3.2. Los experimentos La música que escucharon los sujetos estaba compuesta por tres compases, bien en 4/4 o bien en 6/8. El primer compás era siempre el pulso dado por un metrónomo. El segundo y el tercer compás era una repetición de un ritmo que a su vez estaba compuesto por dos medios ritmos básicos. Estos ritmos básicos se combinaban de varias maneras para generar todos los estímulos a que se exponían a los sujetos. La figura 1 muestra un esquema de cómo funciona la generación de los ritmos. Los ritmos básicos tienen o bien dos o bien tres notas. Cada uno de los ritmos básicos se combina con otro para dar un ritmo principal. Las letras mayúsculas en la figura de abajo designan los ritmos básicos, que van desde la A hasta la L. Así, DC quiere decir la combinación del ritmo D con el C en ese preciso orden. El metrónomo se toca al mismo tiempo que los ritmos como referencia. Figura 1: Generación de los ritmos para los experimentos (figura tomada de [SAJRCA+13]) Los ritmos básicos contienen todas las categorías de síncopas (síncopas de acentuación, síncopas de ataque y polirritmias) descritas más arriba. Se generaron en total 99 patrones rítmicos y se aleatorizó la presentación dentro de las categorías de síncopas. El estímulo final fue el de una caja clara para el patrón principal y de un cencerro para el metrónomo. El metrónomo fue acentuado ligeramente en dinámica cuando caía en la primera nota del compás. El tempo del metrónomo fue de 140 pulsos por minuto para el compás de 4/4 y de 280 para el de 6/8. Los sujetos escuchaban los ritmos y tenían que puntuarlos entre 0 y 4, donde 0 es no hay síncopa y 4 tiene máximo nivel de síncopa. Los sujetos podían escuchar tantas veces como quisieran los patrones rítmicos. Además, tuvieron sesiones de práctica para entender bien el procedimiento experimental. Los investigadores sugerían a los sujetos que tomasen descansos para evitar el cansancio auditivo. 3.3. Los resultados La figura 2 muestra un resumen de los resultados. La matriz mostrada en (a) contiene una representación de la media de las puntuaciones para cada patrón rítmico. El eje horizontal muestra el primer ritmo básico y el eje vertical el segundo. La parte (b) muestra la matriz de (a) ahora descompuesta en regiones que corresponden a los patrones rítmicos de los experimentos. La parte (c) muestra intervalos de confianza al 95% para las puntuaciones dadas por los sujetos. Por último, (d) muestra intervalos de confianza para la media de las puntuaciones por ritmo básico. Figura 2: Generación de los ritmos para los experimentos (figura tomada de [SAJRCA+13]) Los resultados que se desprenden de los experimentos de Song y sus coautores son los siguientes: El compás de 6/8 es más sincopado que el de 4/4. Los polirritmos son más sincopados que los ritmos simples. La ausencia de notas en las partes fuertes dan más sensación de síncopa. El cambio de orden en los ritmos básicos afecta a la sensación de síncopa. Dónde se produce la síncopa dentro del compás afecta a su percepción. 4. Conclusiones El trabajo de Song y sus coautores es profundo y metodológicamente impecable. En la parte final del artículo discuten varias medidas de síncopa y señalan fallos de diseño en dichas medidas. Todas las medidas mencionadas en la sección 2, por ejemplo, no tienen en cuenta la posición de la síncopa dentro del compás y dan el mismo peso a la síncopa ocurra donde ocurra. Es el caso de la medida WBND (uno de cuyos coautores es el humilde redactor de este artículo). Esta medida cuantifica la síncopa en base a las notas en parte débil tomando la distancia de la parte débil a la siguiente parte fuerte, pero no modifica la distancia en función de dónde ocurre la nota en parte débil. Lo mismo ocurre con la distancia de Longuet-Higins. La razón por la que hemos analizado este artículo en esta columna es que muestra cómo el rigor que proporcionan las matemáticas es necesario para cualquier investigación mínimamente seria sobre cualquier tema, en este caso el maravilloso mundo de las síncopas. En resumen, un buen artículo, bien escrito, bien investigado, que trata un tema fascinante: la síncopa.   Bibliografía [Aro91] Simha Arom. African Polyphony and Polyrhythm. Cambridge University Press, Cambridge, England, 1991. [GMRT05] Francisco Gómez, Andrew Melvin, David Rapapport, and Godfried Toussaint. Mathematical measures of syncopation. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 73–84, Banff, Alberta, July 31 - August 3 2005. [Góm11a] Paco Gómez. Medidas matemáticas de síncopa (III). Diciembre, 2011. [Góm11b] Paco Gómez. Medidas matemáticas de síncopa (II).  Noviembre, 2011. [Góm11c] Paco Gómez. Medidas matemáticas de síncopa (I). Octubre, 2011. [Góm13] Paco Gómez. Transformaciones rítmicas: de binarizaciones y ternarizaciones (I). Agosto, 2013. [Góm17a] Paco Gómez. Medidas de complejidad rítmica (I). Octubre, 2017. [Góm17b] Paco Gómez. Medidas de complejidad rítmica (II). Octubre, 2017. [Góm18] Paco Gómez. Medidas de complejidad rítmica (III). Enero, 2018. [Kei91] Michael Keith. From Polychords to Pólya: Adventures in Musical Combinatorics. Vinculum Press, Princeton, 1991. [LHC84] H.C. Longuet-Higgins and C.S. The rhythmic interpretation of monophonic music. Music Perception, 1:424–441, 1984. [LZ76] A. Lempel and J. Ziv. On the complexity of finite sequences. IEEE Transactions on Information Theory, 22(1):75–81, 1976. [Pre99] J. Pressing. Cognitive complexity and the structure of musical patterns, 1999. [Ran86] Donald Randel(editor). The New Grove Dictionary of Music and Musicians. Akal, London, 1986. [SAJRCA+13] Chunyang Song, Simpson Andrew J. R., Harte Christopher A., Pearce Marcus T., and Sandler Mark B. Septiembre de 2013. [SJ81] Handel S. and Oshinsky JS. The meter of syncopated auditory polyrhythms. Percept Psychophys, 30:1–9, 1981. [Tra07] L. J. Trainor. Do preferred beat rate and entrainment to the beat have a common origin in movement? Empirical Musicology Review, 2:17–21, 2007.

Lunes, 14 de Mayo de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

237. 131. Las matemáticas son estúpidas

A esta conclusión tan radical llega un joven alumno de primaria. Pero es que la maestra que lo pone al día, no parece explicarse demasiado bien, y tampoco es capaz de rebatir sus argumentos…Y es que hay situaciones que por mucho que pase el tiempo, nunca cambian, o lo hacen mínimamente. Como ya hemos visto en ocasiones pasadas, el cortometraje es un género sumamente interesante para presentar situaciones sobre las que reflexionar y plantear interesantes debates, sin “perder” demasiado tiempo. Hoy describiremos uno de un gran realizador francés, que no es la primera vez que plantea asuntos matemático-filosóficos, y que seguramente no nos dejará indiferentes (o no debería). No se ha estrenado nunca en nuestro país, pero lo tenemos en internet y ha aparecido en alguna edición de DVD. Empecemos, como mandan los cánones, por su descripción técnica y artística: Ficha Técnica: Título Original: Véronique et son cancre. Nacionalidad: Francia, 1958. Dirección: Éric Rohmer. Guion: Éric Rohmer, basado en, de. Fotografía: Charles L. Bitsch, en B/N. Montaje: Jacques Gaillard. Producción: Claude Chabrol (no aparece en los créditos). Duración:  18 min. Ficha artística: Intérpretes: Nicole Berger (Véronique), Stella Dassas (Señora), Alain Delrieu (Jean-Christophe, hijo de la señora). Descripción y Comentarios Digamos que la traducción del título original vendría a ser Verónica y su burro (en el sentido de zopenco, persona que es lenta en entender y/o asimilar las cosas). El corto puede verse íntegramente (está en V.O. en francés) en este enlace. Después de pasar todos los títulos de crédito, la cámara, que inicialmente está mostrando el suelo de una habitación y un balón, asciende para mostrarnos a un niño dormido sobre una silla de mimbre. Suena un timbre y el chico se incorpora de prisa, aún adormilado. Entra una señora, que le regaña por no estar preparado (“Venga, que es tarde”). Lo acompaña hacia otra habitación en la que el niño entra. La señora va a abrir la puerta. Saluda a una joven que entra. Charlan mientras el niño escucha detrás de la puerta, y lo vemos imitando a las mujeres, haciendo burla de su conversación. Esto, junto con el título, ya nos pone en antecedentes de cómo es el amigo. La chica se llama Verónica, una maestra que va a tratar de poner al día al niño porque en la escuela no va demasiado bien. La madre llama al chico que ha cerrado la puerta rápidamente, y se hace el pobrecillo cansado. La madre lo mima, lo coloca el pelo, en fin, que vemos que es un niño súper protegido, diríamos que mimado y malcriado. Mientras Verónica observa el entorno, incluso toca un juguete que emite un ruido estridente que la asusta. La madre aparece con el chico que los presenta y se dan la mano. Se sientan en una mesa, el chico coge la cartera del colegio, y la madre le indica a Verónica lo que desea que haga con él, diciéndola que no vacile si necesita ser dura porque es un niño travieso y perezoso. Que no se fie si le dice que no tiene deberes, que lo compruebe mirando la agenda. La madre se va después de advertir al niño que se porte bien y obedezca a la joven (fantástico el zoom que hace el director al rostro del chico: define perfectamente lo que es su personalidad y cuál va a ser su actitud). Verónica busca en la agenda del niño los deberes que tiene. Y, como no, nos encontramos con las matemáticas. Localiza en el libro del chico lo que está dando (entre medias, podemos ver cómo el chaval tira las cosas al suelo, no para quieto, etc.). Encontrada la página el tema es División de fracciones. El chico no para de molestar haciendo ruidos con el lapicero y todo lo que tiene a mano. Verónica lo reprende varias veces. De mala gana el chico lee el párrafo que la maestra le indica: “Para dividir un número por una fracción, se multiplica el número por la fracción invertida”. Verónica se lo hace repetir en voz alta a ver si ha sido capaz de memorizarlo. Y no, no lo logra. Le pregunta entonces si sabe lo que es la fracción invertida. Él dice que sí, y ella va a probar con un ejemplo concreto. El muchacho saca entonces de su armario una pizarra, unas tizas y un trapo, que tira sobre la mesa. Le dice que escriba un número cualquiera. El chico se lo piensa, pero no se decide, así que Verónica le dice que escriba un 2. Luego que escriba una fracción. Y vuelve a divagar haciendo como que piensa. Ella se enfada y le indica que no puede ser tan difícil que ponga una fracción, así que le dice que escriba ½, uno sobre dos, le dice, y en medio el signo de división. “Dos dividido entre ½. A ver, ¿qué tienes que hacer?” “¿Multiplicar?”, pregunta Jean-Christophe. “Sí, multiplicar por la… Por la fracción…”. Y bueno, responde que por la fracción recíproca. Acaba escribiéndolo ella (ver imagen). Le pregunta que cómo se multiplica ahora, y como no dice nada le explica que se hace dos por dos dividido por uno. Explicitamos el diálogo a partir de aquí porque son interesantes cada una de las intervenciones desde el punto de vista didáctico: Véronique: ¿Qué hacemos con el uno? Jean-Christophe: No lo sé. Véronique: Siempre dices “no lo sé”. Jean-Christophe: Es que no lo sé. Véronique: Tacha el uno. (el chico no se decide) ¡Venga! ¡Táchalo! ¿Lo entiendes? Jean-Christophe: ¿Siempre hay que tachar el uno? Véronique: En algunos casos. A veces los unos son importantes. Jean-Christophe: ¿Por qué? Véronique: Porque…. Es difícil de explicar. Venga, continuemos. Dos por dos dividido por uno es igual ¿a qué? ¿Cuánto son dos por dos? Jean-Christophe: ¿Cuatro? Véronique: Por supuesto, cuatro. ¿Lo has entendido? Jean-Christophe: No. Véronique: ¿Cómo qué no? Jean-Christophe: Tú dijiste que no merece la pena entenderlo. Véronique: Yo nunca he dicho eso. Jean-Christophe: Sí, sobre el uno. Véronique: Ya veremos eso cuando tengamos tiempo. ¿Entiendes lo que hicimos para dividir? Vamos, empecemos de nuevo. Resignada, Véronique borra la pizarra y vuelve a empezar. ¡¡¡Y le pone el mismo ejemplo!!! Véronique: ¿En qué piensas? Jean-Christophe: Que dividiendo por dos nos dé cuatro. Véronique: No dividiendo, multiplicando. Jean-Christophe: Es una división. Véronique: Son fracciones. Para dividir, multiplicas. Jean-Christophe: Ya, pero… Véronique: ¿Qué? Jean-Christophe: No sé. Dividimos dos y nos da cuatro. Y cuatro es más grande. Véronique: Sí, estás en lo cierto. Veamos (Repasa mentalmente las “difíciles” cuentas). Dos multiplicado por dos dividido por uno…, son cuatro. Sí, está bien. Son cuatro. Tiene sentido. Jean-Christophe: Así que estoy en lo cierto. Véronique: Tienes razón, sorprendentemente. Sí, es sorprendente. Por supuesto. Es porque…. Bueno, no importa. Jean-Christophe: ¿Por qué? Véronique: Porque… ¿Tu profesora no te lo explicó? Jean-Christophe: No. Véronique: Entonces no necesitas aprenderlo. Jean-Christophe: Primero me dices que tengo que aprenderlo, ahora que no… ¿lo entiendes tú? Véronique: Sí, por supuesto. Pero darte una explicación es complicado. Lo aprenderás en octavo curso. Jean-Christophe: Pero no se estudia aritmética en octavo. Véronique: Ya, se explica mediante el álgebra. Jean-Christophe: ¿Qué es el álgebra? Véronique: No necesitas pensar en eso ahora. Se sustituyen números por letras. Jean-Christophe: ¿Por qué? Véronique: Es así. Es fácil. Jean-Christophe: No veo porqué. Las matemáticas son estúpidas. No se puede reemplazar unas cosas por otras. Ahora para dividir, multiplicas. Nos enseñan algo, y luego se cambia. ¿Cómo esperan que lo entendamos? Nadie lo entiende, yo tampoco. Véronique: Las matemáticas se hicieron solo para torturarte…. Pareces triste. Véronique hace una caricia al niño, pero éste se aparta furioso. Entonces la maestra le dice que siga leyendo el libro: “Para dividir una fracción entre otra fracción, se multiplica… ufff, la primera fracción por la segunda fracción invertida”. “Bueno, ¿lo has entendido”. “No”, es su respuesta. Fundido a negro. A renglón seguido vemos a la madre prepararse para salir, y antes de irse, pasa a ver cómo van las lecciones. Sorprendentemente todo parece ir bien. Se ha hecho tarde, y tiene que dar la luz. Abraza al chico, agradece a la maestra su esfuerzo, y ésta sigue, en esta ocasión con una redacción de Lengua. Véronique le dice que haga la redacción escribiendo lo que se le ocurra. Él, a nada que escribe, lo tacha, una y otra vez. Ella, mira varias veces el reloj, y ya cansada, se pone un poco más cómoda, descalzándose uno de sus zapatos de tacón. El chico se percata y se pone a echar hacia atrás la silla, meciéndose sobre las patas traseras. En un momento dado, tiene que agarrarse de improviso a la mesa por que casi se cae, asustando a Véronique. Toma su silla y se pone al lado del chico. Le dice que le cuente que hizo el jueves pasado, por ejemplo. Se descalza nuevamente. Jean-Christophe le cuenta que fue a patinar. Cuando Véronique le dice que qué más, el chaval le contesta que simplemente patinó, le escenifica cómo movía los brazos, y rodaba y rodaba. No consigue sacar de él más idea que esa. Le pregunta si le gusta patinar, él responde que sí. “¿Y no se te ocurre ninguna otra cosa?”, a lo que le responde, “¿Y a ti?”. “La redacción te la han mandado a ti, no a mí”, le dice la chica, que viendo que por ahí no saca nada, le dice que hay que volver al principio, a la palabra inicial, al jueves. Véronique: Entonces, el jueves, te levantas. ¿Eso no te dice nada? Puedes escribir que el sol ... Jean-Christophe: ¿Pero qué sol? Mi habitación da al norte. Véronique: Lo principal aquí es el jueves. ¿Esto te dice algo? ¡Jueves! Jean-Christophe: Por supuesto, que es jueves. Véronique: No tengo que dártelo todo masticado. Si el caso tiene lugar el jueves, para que puedas estar en la cama un poco más. Jean-Christophe: No, mi madre me despierta a la misma hora todos los días. Además, la criada siempre se apresura, ya sabes, y siempre con las mismas bromas malas. Véronique: Está bien, está bien, ¿y luego qué? Jean-Christophe: Me baño. Véronique: ¿Y después? Jean-Christophe: Almuerzo. Véronique: ¿Y luego? Jean-Christophe: No lo sé. Me pongo a jugar con el juego de construcción. Véronique: Y cuando desayunas, y juegas, ¿en qué piensas? Jean-Christophe: No sé ... sobre juegos. Véronique: ¿Y nunca pienses en la pista de patinaje? Jean-Christophe: Si, claro. Me gusta ir rodando. Véronique: Ya ves, es muy fácil desarrollar un pensamiento. Jean-Christophe: En cualquier caso, esto no será suficiente para dos páginas. Véronique: Sí, pero puedes agregar más detalles. Jean-Christophe: No tengo que inventar todo esto. Véronique: Pero puedes escribir lo que quieras. Jean-Christophe: ¿Por qué estamos obligados a escribir en dos páginas lo que se puede acomodar en dos líneas? ¿Para qué? Véronique: Para aprender a escribir. Saber escribir cartas o hacer informes. Jean-Christophe: En las cartas se escribe lo que se piensa. Y, no se puede decir que sea necesario escribir todo tipo de tonterías. Véronique: Sí, pero en algunos casos, se trata de ser más convincente. Necesitas hablar tanto como sea posible. Por ejemplo, durante un discurso. Jean-Christophe: Mi padre me dijo que los ministros nunca escriben su propio discurso. Véronique: Pero alguien deberá escribirlos. Jean-Christophe: En cualquier caso, no seré yo. ¿Por qué nos obligan a hacer cosas que nunca haremos en la vida? Véronique: Para aprender a trabajar. Jean-Christophe: El trabajo no es esto. Conrol en el metro no se rompe la cabeza, perforando boletos. Véronique:  Naturalmente. Pero, ¿y los demás? Jean-Christophe: Otros hacen lo mismo. Mi padre, por ejemplo, solo firma algo constantemente. Y mira, soy muy bueno falsificando firmas. Véronique: Sí, como para cualquier tontería, en esto eres muy bueno. Vamos, venga. Escribiremos juntos esta redacción, o de lo contrario, no acabaremos nunca. Jean-Christophe: Puedes irte, ¿sabes? Nos hemos pasado en mucho tiempo. Véronique: No, no, prefiero terminarlo. Vamos a…. ¡Vamos! Jean-Christophe: No te preocupes, no me chivaré. Además, mi madre dijo que puedes irte cuando lo creas conveniente. Véronique: ¿De verdad? ¿Lo terminarás tú? Jean-Christophe: Sí. Véronique: Adiós, Jean-Christophe. Jean-Christophe: Adiós, mademoiselle. Hasta mañana. Por supuesto que el chico, cuando sale Véronique de su casa, no tiene la más mínima intención de acabar la redacción, y lo primero que hace es coger el balón y tirarse al suelo. Rohmer precisó, cuando se estrenó este cortometraje, que los diálogos estaban basados en conversaciones reales que había escuchado entre alumnos y profesores. Como podemos apreciar, aunque rodado de un modo digamos amble, encierra una visión bastante caustico y sarcástico tanto sobre cómo se debe educar a un niño (madre ausente que deja al niño mucho tiempo solo; da la impresión que con la maestra pretende matar dos pájaros de un tiro: controlarlo y enseñarlo. Aunque da la impresión que el que alguien esté con el chico es más importante que el que realmente aprenda algo), como de los métodos clásicos de enseñanza. Han pasado 60 años, pero, ¿han cambiado algo las cosas? Realmente sí: este “burro” del título, aunque ya se le van viendo maneras de completo desinterés y mala educación, poco tiene que ver con algunos niños a los que hoy deben soportar los docentes de los institutos. Rohmer filma este corto antes de su primer largometraje. Aunque con ciertas analogías con el cine de Truffaut, ya se aprecian algunos rasgos inherentes a su posterior estilo: profusos diálogos en situaciones absolutamente cotidianas que, a priori, pueden no despertar demasiado interés en el espectador, discusiones casi filosóficas sobre temas también cotidianos, etc. Quizá el papel del azar sea aquí menos relevante, ya que apenas es perceptible. Recordemos que las matemáticas y/o los matemáticos también se aluden explícitamente en Mi noche con Maud y Cuento de verano, en la obra de este realizador. El personaje de Verónica (con la misma actriz) ya había parecido en el corto Charlotte et Véronique (más conocido por su segundo título Tous les Garcons S'Appellent Patrick) dirigido por Jean-Luc Godard con guion del propio Eric Rohmer. Ambos trabajaron juntos en varias películas y guiones, aunque llegó un momento en que Rohmer decide trabajar solo, aduciendo que Goddard le cambiaba continuamente sus ideas, líneas, etc. De hecho, es Véronique et son cancre, su primer trabajo prescindiendo completamente de Goddard. En la imagen aparece un fotograma del corto Charlotte et Véronique (Jean-Luc Godard, 1957), en el que un estudiante de ingeniería (bastante pesadito por cierto) se trata de liar con todo lo que lleve faldas, dando la casualidad de que lo hace a la vez con dos compañeras de apartamento, aunque finalmente no tendrá lugar el conflicto que espera el espectador después de haber quedado con ellas a la misma hora el mismo día. Concurso del Verano Como ya viene siendo costumbre, llegado el mes de junio os plantearemos esta propuesta en la que hay que descubrir una película (o películas) enigma a partir de las pistas que se dan y de algunos ejercicios de matemáticas y/o de ingenio. Como también viene siendo habitual, no aparecerá hasta finales del mes de junio (se tarda en preparar, y estas fechas son épocas de final de curso, exámenes, etc.). Muchas gracias por vuestra comprensión e interés. Alfonso Jesús Población Sáez

Lunes, 07 de Mayo de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

238. 160. (Mayo 2018) Los múltiplos de siete

El número siete siempre ha sido el comodín de la numerología porque representa la buena suerte cuando conviene y la mala suerte en el resto de los casos. Para los pitagóricos era el número cósmico, la suma del tres -que representa el cielo-  y el cuatro -que representa la tierra-. No voy a aburrirte enumerando las cualidades místicas y propiedades cabalísticas del siete así como sus numerosas apariciones públicas, ya sea contando los días de la semana, las notas musicales, las distintas artes, las maravillas del mundo antiguo, las vidas de un gato, etc., etc. Me limitaré a recomendar la lectura del fantástico artículo titulado "El siete: un número muy popular", escrito por Raúl Ibáñez para la Cátedra de Cultura Científica de la Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea. Ya no necesitarás saber más sobre el número siete. O quizá sí quieras saber más. En este rincón, el siete ha sido protagonista en algunos juegos de magia matemática. Por ejemplo, en el titulado «Fibonacci modular» (noviembre de 2012), donde aparece como base de la aritmética modular, o en el dedicado a los números cíclicos (julio de 2006), donde se aprovechan las características de las cifras decimales de la fracción 1/7. En lo estrictamente aritmético, el siete es un número primo y ha sido el gran relegado en cuanto a las reglas de divisibilidad: es difícil saber si un determinado número es múltiplo de siete. Para los primos anteriores a él, como son el 2, 3 y 5, las reglas de divisibilidad son sencillas, de modo que una rápida inspección permite saber si un número -por grande que sea- es múltiplo de alguno de estos tres números. Pero hay algunas reglas, aunque no tan sencillas, que permiten averiguar si un número es divisible por siete. Aquí van dos de las más comunes: Un número es múltiplo de siete cuando la diferencia entre el número que resulta al eliminar la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es múltiplo de siete. Por ejemplo, para saber si el número 35203 es múltiplo de siete, hacemos la operación: 3520 - 6 = 3514. Como tampoco sabemos si este número es múltiplo de siete, repetimos el proceso: 351 - 8 = 343. Repetimos nuevamente la operación con este otro número: 34 - 6 = 28 = 7 x 4. En definitiva, el número 35203 es múltiplo de siete. Un número es múltiplo de siete cuando la suma del triple del número que resulta al eliminar la cifra de las unidades más la cifra de las unidades es múltiplo de siete. Está claro que este método es más largo que el anterior pues las operaciones se realizan con números más grandes. Mirando el mismo ejemplo anterior, el primer paso de la comprobación sería realizar la operación 3 x 3520 + 3, que no es sencilla. Una estrategia más elemental es ir restando al número algún múltiplo de siete que esté próximo a dicho número. Por ejemplo, como 35 es múltiplo de 7, también lo es 35000. De modo que, como 35203 - 35000 = 203, si 203 es múltiplo de siete, también lo será 35203. Ahora ya podemos aplicar fácilmente cualquiera de los métodos anteriores (o seguir restando múltiplos de siete, claro). En esta ocasión vamos a proponer un método mágico para construir a la vez, y con la ayuda de algún espectador, varios números que son múltiplos de siete. El juego, titulado Mentrix (que supongo será una contracción de las palabras Mens y Matrix), es una creación de L. Vosburg Lyons (neuropsiquiatra e ilustrador gráfico), fue publicado en el número 5 (abril de 1956) de la revista Ibidem (cuya portada e imagen del editor se muestra en la figura), editada por P. Howard Lyons e ilustrada por su esposa Pat Patterson Lyons (así que podría perfectamente haberse llamado el juego de los tres leones). Por cierto, esta misma Pat Patterson fue quien diseñó el puzle paradójico titulado "The vanishing leprechaun" que comentamos en el número 25 (febrero de 2006) de este rincón. Con este juego demostrarás tu habilidad relacionada con los múltiplos de siete así que busca una hoja de papel y/o una calculadora sencilla como la que tienen ahora "todos" los móviles. Pide a un espectador que elija un número de seis cifras, que no sea múltiplo de siete. Con la excusa de saber si es múltiplo de siete, debe realizar la división y comprobar que no es exacta. Eso te permitirá saber cuál es el resto de dicha división. Si da la casualidad de que se trata de un múltiplo de siete, basta que añada o reste una unidad a cualquiera de las cifras. En este caso, también debes conocer el resto de la división por siete. Si eres de la generación que has aprendido a dividir, será fácil obtener el resto. Si se lo dejas a la calculadora, no verás el resto sino unos cuantos decimales. Debes recordar entonces las siguientes equivalencias entre las primeras cifras decimales y el resto: .14 → 1; .28 → 2; .42 → 3; .57 → 4; .71 → 5; .85 → 6. Dibuja a continuación un retículo cuadrado como el de la figura y escribe en cada fila cinco de las cifras del número indicado, dejando en cada fila un hueco correspondiente a una de las cifras. A partir de ahora, ilustraremos el método con un ejemplo, así que supongamos que el espectador ha nombrado el número 495283, y has comprobado que el resto de su división por siete es igual a cinco. Luego has escrito los siguientes números de cinco cifras a partir del número elegido por el espectador. 4 9 5 2 8 4 9 5 2 3 4 9 5 8 3 4 9 2 8 3 4 5 2 8 3 9 5 2 8 3 Observa que quedan sin rellenar los cuadros de la diagonal secundaria. Rellena ahora los huecos de la siguiente forma: Resta a la última cifra del número el resto de la división por siete y escribe dicho valor en el hueco de la primera fila. De este modo, el número de la primera fila es el múltiplo de siete más próximo por debajo al elegido por el espectador. En el ejemplo, habría que restar 3 - 5 pero es negativo. En este caso, se suma 3 + 2 porque se llega así al múltiplo de siete más próximo por encima. La primera fila tendría el número 495285. Observa ahora las dos últimas cifras del número de la primera fila y calcula cuál es su exceso (o defecto) respecto al múltiplo de siete más próximo. En nuestro ejemplo, el 85 tiene un exceso de 1 respecto al 84, que es múltiplo de siete. A continuación, pasa a la segunda fila y busca el número que tenga el mismo exceso respecto al múltiplo de siete de dos cifras que termine en la última cifra. Como debe terminar en tres y tener exceso igual a 1, el múltiplo de siete que buscamos debe terminar en 2. Se trata del 42. Escribe la cifra 4 en el hueco de la segunda fila. Queda entonces el número 495243. Este mismo proceso se repite en las filas sucesivas utilizando el número de dos cifras inmediatamente superior al número de dos cifras cuya decena está sin escribir. Seguimos con el ejemplo: las dos penúltimas cifras del número recién anotado son 24, que tiene un exceso de 3 respecto al 21, que es múltiplo de siete. La siguiente fila termina en 8, de modo que se debe encontrar un múltiplo de siete que termine en 8 - 3=5. Se trata del 35=7 x 5. Hay que escribir el número tres en el hueco de la tercera fila. De momento, el cuadro tiene la siguiente pinta: 4 9 5 2 8 5 4 9 5 2 4 3 4 9 5 3 8 3 4 9 2 8 3 4 5 2 8 3 9 5 2 8 3 Para la siguiente fila, hay que fijarse en el 53, que tiene un exceso de 4 respecto al 49. Como no se puede restar cuatro al 2, se hace por defecto: hace falta sumar 53 + 3 para llegar al siguiente múltiplo de siete. Se suma 3 a la cifra inferior, 2 + 3 = 5, y se busca el múltiplo de siete que termine en 5, que es el 35. Se escribe un tres en el hueco de la cuarta fila. Para la penúltima fila, hay que fijarse en el 93, que es igual a 91 + 2. Se resta 5 - 2 = 3 y se busca el múltiplo de siete que termina en 3: se trata del 63. Se anota la cifra 6. En la última fila, partimos del número 46, que es igual a 42 + 4, es decir que tiene un exceso de 4. Se resta 9 - 4 = 5, se busca el múltiplo de siete que termina en 5, y se encuentra el número 35. Se anota la cifra 3. Así quedaría el cuadro final: 4 9 5 2 8 5 4 9 5 2 4 3 4 9 5 3 8 3 4 9 3 2 8 3 4 6 5 2 8 3 3 9 5 2 8 3 Después de terminar el cuadro, haz que el público compruebe que los seis números son todos múltiplos de siete. La siguiente ilustración de Pat Lyons muestra el ejemplo que aparece en la descripción original del juego. El espectador ha nombrado el número 562346 y el cuadrado de la derecha muestra los seis múltiplos de siete que se han formado: Comentarios finales: Es evidente que el proceso debe ser rápido y fluido para que el juego sea sorprendente y mágico. Será necesario un entrenamiento previo que permita reconocer fácilmente los números de dos cifras que son múltiplos de siete. Como se puede observar, cada múltiplo de siete así obtenido se diferencia del anterior en dos cifras. ¿Se te ocurre cuál es el fundamento matemático que justifica el éxito del juego? Este asunto de los múltiplos de siete me recuerda un acertijo muy simpático: El otro día después del partido tres de los alumnos de la clase de aún vestían sus camisetas del equipo de fútbol. Los números que lucían en sus dorsales eran el 1, el 3 y 6. Enseguida se le ocurrió a uno de ellas la siguiente pregunta: ¿en qué orden debemos colocarnos para formar un número que sea múltiplo de siete? Y, hablando de acertijos, el propio L. Vosburg Lyons, creador del juego que hemos descrito, era también aficionado a los problemas de ingenio. Como muestra, vamos a reproducir el que propuso en el número 48 de la revista Phoenix (1943): Hacer dos cortes rectos en la figura adjunta de modo que quede dividida en no más de cuatro piezas las cuales puedan recomponerse para formar un cuadrado. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Martes, 01 de Mayo de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

239. 45. (Mayo 2018) Anamorfosis en España

(Mesa de Piedras Duras. Museo del Prado, Madrid) El renacer cultural del siglo XIII en Occidente tuvo uno de sus apoyos más significativos en la Óptica Geométrica. De pronto el sencillo tratado de Euclides y el complejo de Alhacén ven como sus copias latinas se extienden por doquier.  Sobre la Perspectiva de rayos que se concentran en el ojo escriben Grossetesta, Roger Bacon, Pechan, Witelo o Judaei. La matemática se convierte en puerta y llave para las demás disciplinas dirá Bacon. La pintura y las otras artes pronto plasmarán en sus obras estos avances ópticos. Será en Florencia donde Filippo Brunelleschi (1377-1446) realizará experimentos visuales y el pintor Masaccio mostrará espectacularmente las posibilidades de la perspectiva cónica en su Trinitá (1427), el fresco de Santa Maria Novella con un único punto de fuga en la bóveda de cañón. Poco más tarde Leon Battista Alberti daba carta de naturaleza a la perspectiva matemática en el tratado De Pictura (1436). A finales del siglo XV se había asumido que el pintor ha de saber matemáticas: tres grandes como Piero della Francesca, Leonardo o Durero escribirán tratados de geometría. (Códice Atlántico. Leonardo da Vinci. Biblioteca Ambrosiana. Milán) El escorzo, la representación de una figura oblicua con el plano proyectivo, será otro avance de la perspectiva, el Cristo morto (1480) de Andrea Mantenga mostrará como las líneas se encojen. En una figura oblicua con el plano se concentran las formas, pero qué pasaría si lo que se inclina es el plano proyectivo: el Renacimiento descubre la representación anamórfica. Suele tomarse como punto de partida de la anamorfosis dos pequeños dibujos del Códice Atlántico de Leonardo: una cara de niño y un ojo se ensanchan para ser vistos de forma realista cuando se miran desde el lateral. La técnica anamórfica se extiende a Alemania, Erhard Schön de Núremberg, discípulo de Durero, ocultará las caras de los protagonistas del cerco de Viena en un paisaje. La anamorfosis se convierte en pintura secreta, incluso con usos pornográficos. Más casta será la utilización de la anamorfosis para expresar la vanidad de las cosas terrenales como hace Hans Holbein con su oculta calavera  de Los embajadores (1533). Anamorfosis de Carlos V (e Isabel de Portugal) El Emperador Carlos se lleva la palma en lo referente a retratos anamórficos; los encontramos en Valladolid, Toledo, Nueva York, Palencia o en los grabados comentados de Erhard Schön. La imagen imperial también se prestaba a los secretos y al virtuosismo: el Renacimiento fue muy propicio a lo oculto. El retrato de Palencia es el más auténtico de los tres que se conservan en España, las dos anamorfosis en San Miguel  y San Julián de Valladolid pueden ser imitaciones locales de la época del palentino y los retratos del Museo de Santa Cruz de Toledo son copias modernas o intentos de falsificación. (Retrato anamórfico de Carlos V, vista frontal. Catedral de Palencia) La pintura secreta se conserva en la Sala Capitular, entrando por el Claustro de la Catedral. De delicada factura, ofrece un sorprendente verismo cuando se mira por el orificio. La carátula superior pone Mirum natura et artis, maravilla de la naturaleza y el arte, y en efecto tiene mucho de ello. La imagen por el orificio no se ha podido reproducir pero si una aproximación lateral que nos va dando idea de cómo el rostro se va contrayendo. Como el retrato que sirve de modelo se toma de perfil la alargada nariz da ese aire de pez espada monstruoso a la representación. (Retrato anamórfico de Carlos V, vista lateral. Catedral de Palencia) Las guías atribuyen el retrato a Lucas Cranach sin más fundamento que su factura alemana. Más conocidas que la palentina son las dos anamorfosis de Valladolid. Cuando en el Museo del Prado se realizó la exposición temporal sobre El retrato en el Renacimiento (2008) tuvimos la oportunidad de apreciar dos anamorfosis del emperador Carlos y su mujer Isabel de Portugal. En aquella ocasión las protecciones impedían apreciar la imagen con el ángulo adecuado. Las dos anamorfosis son anónimas –escuela alemana del siglo XVI o copias locales siguiendo el modelo de Palencia- se encuentran de nuevo en su emplazamiento: la iglesia vallisoletana de San Miguel y San Julián que, antes de la expulsión de los jesuitas, fue de San Ignacio. Los dos pequeños cuadros se exhiben en la sacristía de los jesuitas, uno a cada lado del nuevo altar. Están protegidos con vidrio, pero en sus marcos originales que tienen un agujero que dirige la visión para corregir la deformación de la imagen. Popularmente los vallisoletanos llaman a los cuadros los pescados ante unas narices imperiales tan afiladas. (Retratos anamórficos de Carlos V e Isabel. Sacristía de San Miguel y San Julián. Valladolid) (Retrato anamórfico de Carlos V, vista lateral. Sacristía de San Miguel y San Julián. Valladolid) Diferente es el caso de los retratos de Carlos V e Isabel de Portugal que almacena el Museo de Santa Cruz de Toledo. Son copias recientes de las de Valladolid, y quizá realizadas con intención de falsificar: los agujeros de los xilófagos se han hecho expresamente. Su interés radica en el rescate de las anamorfosis. (Retratos anamórficos de Carlos V e Isabel de Portugal. Museo Santa Cruz. Toledo) Anamorfosis sobre Piedras Duras El Museo Nacional del Prado en Madrid conserva siete consolas realizadas a finales del siglo XVIII en el Real Laboratorio de Piedras Duras del Buen Retiro. El gusto por la taracea de piedra tiene su origen en el periodo napolitano de Carlos III. Una de las mesas consolas tiene anamorfosis. No siempre se exhiben, durante mucho tiempo han estado almacenadas. Aprovechando ciertas exposiciones monográficas se han expuesto las dos consolas más interesantes desde el punto de vista matemático: la de las anamorfosis y la de la pantómetra. Las siete consolas son trampantojos con las ciencias, las artes y los juegos. Hay anamorfosis, caja de instrumentos con pantómetra (compás usado para realizar multiplicaciones y divisiones de forma analógica (teorema de Tales) y que popularizó Galileo). Transportadores de ángulos, escuadras, reglas y compasen se distribuyen al azar y descuidadamente sobre las consolas. La taracea en Piedras Duras, como la de madera, hace un bellísimo uso de la perspectiva con su virtuosismo geométrico. El detalle de la anamorfosis sobre un estuche sirve de portada a esta instantánea. Anamorfosis de Dalí sobre botella de ponche Dalí encontró en Figueres, su ciudad natal, el mejor lugar para recrear su imagen: el viejo teatro que se había destruido en un incendio. La tesis de que la vida es teatro y la persona máscara encontraría en Dalí su confirmación: su imagen se oculta en la interpretación. El Museo de Dalí tiene varias de sus anamorfosis cilíndricas. A Dalí no podía pasarle desapercibida la enigmática pintura de Los embajadores de Holbein y su oculta calavera. La forma de homenajearla es una anamorfosis cilíndrica sobre una botella plateada de ponche. (Calavera anamórfica, Dalí. Museo de Figueres) Al lado de la calavera hay otras dos reflexiones sobre botella/espejo. La cara que se convierte una vez reflejada en un provocativo desnudo es la más daliniana. Dalí interpretó su papel de divo fantoche hasta lo atragante pero nunca podremos negarle su capacidad creativa y su obsesión por extender los límites del arte. Su intensa relación con los matemáticos formaba parte de su exploración. (Desnudo y rostro  anamórfico, Dalí. Museo de Figueres) Las anamorfosis callejeras van haciendo su aparición como decoración urbana, valga como muestra la que representa a Einstein al lado de la Casa de las Ciencias de Logroño, el antiguo matadero municipal en el margen del Ebro. El espejo es un tronco de cono invertido. (Anamorfosis de Einstein. Casa de las Ciencias. Logroño) También Figueres ha rendido homenaje a Dalí con una anamorfosis en una de sus  plazas.

Martes, 01 de Mayo de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

240. 130. El aviso. Matemáticas, ¿dónde?

El pasado 23 de marzo se estrenó comercialmente esta película. Las condiciones iniciales prometían mucho, y además, a la mayor parte de medios se les llena la boca hablando de matemáticas en la promoción. Hablamos sobre ella. Ficha Técnica: Título Original: El aviso. Nacionalidad: España, 2018. Dirección: Daniel Calparsoro. Guion: Patxi Amezcua, Jorge Guerricaechevarría y Chris Sparling, basado en la novela homónima de Paul Pen. Fotografía: Sergi Vilanova, en Color. Montaje: Antonio Frutos. Música: Julio de la Rosa. Producción: Pedro Uriol. Duración: 92 min. Ficha artística: Intérpretes: Aura Garrido (Lucía), Belén Cuesta (Andrea), Sergio Mur (David), Raúl Arévalo (Jon), Luis Callejo (Lisandro), Antonio Durán 'Morris' (médico), Aitor Luna (Pablo), Antonio Dechent (Héctor), Julieta Serrano (Asunción), Eva Llorach (Madre Sara), Javier Perdiguero (Encargado Supermercado), Juan López-Tagle (Enfermero), Hugo Arbués (Nico). Argumento Estamos en 2018. Nico, un niño de diez años, recibe una carta que le advierte de un peligro de muerte. Diez años atrás, en 2008, Jon, un joven obsesionado por las matemáticas, investiga un asalto a una gasolinera en el que su mejor amigo se lleva la peor parte. ¿La razón? No le parece casual que en el mismo lugar se hayan venido sucediendo una serie de atracos con resultado de muerte que parecen tener un patrón común. Publicidad En muchos medios de comunicación se promociona la película aludiendo a las matemáticas. Una pequeña muestra: Revista Quo: ¿El destino es cosa de matemáticas o entre en juego la casualidad? ¿La repetición de un patrón numérico en el tiempo determina nuestro futuro? Contiene las impresiones del matemático Alberto Enciso. El País: Las matemáticas no mienten. El Confidencial: ¿pueden las matemáticas ser culpables de asesinato? Fotogramas: Para aficionados a las intrigas matemáticas Y también en blogs en la red, como Un crimen de precisión matemática, etc. Comentario Siempre estamos encantados (al menos el que esto suscribe) de encontrar nuevas propuestas de matemáticas en el cine, y que éstas además (por pedir que no quede) varíen las ya existentes e incluso introduzcan nuevos resultados, conceptos y matices que no se hayan planteado ya. Todo porque creemos en que es necesaria una buena divulgación de esta materia, ya que tradicionalmente, y más en nuestro país, las matemáticas no han sido demasiado bien aceptadas, en base fundamentalmente a su “dificultad”, el “elevado número de suspensos” y que “existen otras disciplinas más interesantes”. Todos tópicos absolutamente falsos: el primero porque lo que hay que hacer es tratar de explicarlas de otro modo diferente al algorítmico y mostrando sus aplicaciones prácticas y su interés real; el segundo, relacionado con el anterior y falso también, porque está comprobado que los alumnos de los primeros niveles de la enseñanza disfrutan resolviendo situaciones planteadas adecuadamente (son como un juego para ellos) perdiendo ese interés cuando llegan a la enseñanza secundaria con planteamientos más académicos (que no hay que evitar totalmente, pero sí hacer “de otro modo” distinto al del siglo XIX); y el último porque no ha habido hasta tiempos recientes ni interés por divulgar, ni profesionales preparados adecuadamente en los medios de comunicación (y no sólo en conocimientos, sino también sin prejuicios establecidos). Afortunadamente y, a pesar de todo y todos ellos, las matemáticas están presentes en todas partes (no es una frase hecha: es absolutamente cierto y es demostrable), también en las diversas manifestaciones culturales, el cine y la literatura entre ellas. Entendido y asumido esto que ya se ha dicho por activa y por pasiva, el siguiente paso es saber de verdad qué son, para qué sirven las matemáticas y dónde se pueden aplicar. Muchos consideran (como el caso que nos ocupa) que simplemente cuando aparecen cifras, números, o palabras utilizadas en las matemáticas, ya están haciendo matemáticas. Y nada más lejos de la realidad (si no fuera así, toda obra estrictamente literaria también sería matemática porque numera las páginas, los capítulos, introduce cifras en sus desarrollos, y estarán conmigo que eso no tiene nada que ver con la matemática, ¿no?). Los números son sólo símbolos, como las letras del alfabeto para la literatura o la historia. Un instrumento, nada más. Sin características maguferas especiales. Y entre estas banalidades se encuentran las casualidades numéricas. ¿Qué tienen de particular, por ejemplo, las identidades numéricas de las imágenes que se muestran a continuación? ¿Algún mensaje oculto de los dioses? Seguro que algún iluminado se lo encuentra, pero no hay tal. Buscar interpretaciones a casualidades numéricas no es algo nuevo. De hecho, en esta sección, el asunto de la apofenia (ver patrones, conexiones o ambos, en sucesos aleatorios o en datos sin sentido) lo hemos traído a colación varias veces porque en el cine y la televisión es un tema recurrente: recordamos al esperpéntico Jim Carrey detectando el número 23 en todas partes (El  número 23 (The Number 23, Joel Schumacher, EE. UU. 2006); a Maximilian Cohen buscando en los decimales del número π la cabalística secuencia que proporciona el nombre verdadero de Dios y resuelve todo lo habido y por haber en Pi, fe en el caos (Pi, Darren Aronofsky, EE. UU., 1998); cómo los desesperados “supervivientes” de la serie Perdidos (Lost, EE. UU., 2004-2010) están condenados a introducir una secuencia numérica cada cierto tiempo so pena de reventar todo en la segunda temporada; o más recientemente la influencia de la luna lunera cascabelera en los humores hormonados de los habitantes de Perfectos Desconocidos (Alex de la Iglesia, España, 2017). Son cuatro ejemplos, pero los hay a millares, y no exagero, porque los géneros fantástico, de terror y de ciencia ficción llevan ya bastante tiempo inventados, y recurriendo a tópicos y argumentos similares (que sí, que ya sé que no es fácil innovar y proponer algo completamente nuevo, pero hay que intentarlo). Previamente a la película, leí la novela en la que se basa el guion. Lectura amena, sobre todo descripción de tiempos, lugares, y personajes, acertados y realistas. Uno se identifica rápidamente con la situación. Por momentos uno quiere que se profundice en temas como el acoso escolar, la incomunicación en las parejas, la frustración de no haber podido elegir qué estudiar o qué esposa elegir por imposición familiar, la deficiente atención a los hijos, a sus deseos, miedos, anhelos, etc., y de fondo un misterio del que realmente no estaremos seguros si es real o fruto de una mente esquizofrénica hasta el final. Un relato, en suma, bien construido y llevado, seas o no partidario de este último tipo de temas, que personalmente considero bastante trasnochados y anclados en los relatos de fantasía de los años cincuenta, sesenta y setenta del siglo pasado, pero que hoy, en un mundo aparentemente más racional (aunque la realidad nos demuestra diariamente lo contrario, en la que incluso personalidades que dirigen nuestras vidas siguen teniendo sus “oráculos” particulares, en lugar de trabajar e investigar más; así de ignorante sigue el patio). Pero al menos la novela tiene algo más, como digo, que puede en un momento dado hacernos reflexionar sobre otro tipo de temas. Cuando se anuncia su traslado al cine, uno inconscientemente piensa (¡¡tantas veces ha ocurrido!!) que de todo ello sólo va a quedar la parida, el argumento de intriga con pretensiones trascendentes sobre la vida y la muerte. Por supuesto, no voy a desvelar nada importante: lo que hay que hacer es ir a ver la película y/o leer la novela, y que cada cual saque sus conclusiones. Pero era necesario dar un voto de confianza. Al ver el tráiler y leer la publicidad, uno ya empieza a temerse lo peor. ¿Un personaje al que le gustan las matemáticas? En la novela no lo hay, al menos como en la película. Luego uno se percata de que, no se sabe por qué, en la adaptación cinematográfica cambian los nombres de los personajes. Leo pasa a ser Nico, Aaron se convierte en Jon, la madre del chico pasa de Virginia a Lucía, y su forma de ser y tratar al niño es bastante diferente; además ésta es madre soltera y no hay padre infeliz y dominado, pero al fin y al cabo, se trata de una adaptación, no tiene por qué seguir fielmente el original. Ha sucedido muchas veces entre literatura y cine. Son lenguajes diferentes y por tanto se precisan algunas variaciones. Correcto. Sin embargo el propio tráiler ya mosquea: “¡¡Va a pasar otra vez!!” (respecto al original, vuelvo a remarcar). Tal y como se cuenta, recuerda un poco (mucho en realidad) a lo que sucede en la infame Señales del futuro (Knowing, Alex Proyas, EE. UU., 2009) en la que un profesor de astrofísica tan desquiciante como Jon, “descubre” que unos números  escritos por una antigua alumna del instituto de su hijo que habían introducido en una cápsula del tiempo, han venido prediciendo grandes catástrofes y aún quedan algunas por suceder. En este caso, tiene un enorme pizarrón lleno de cifras en colores. Después la cosa degenera por los extraterrestres, y aquí por el tema de la reencarnación. En este caso nos encontramos con Jon, el típico personaje un tanto desequilibrado (sus reacciones son imprevisibles, y puede cambiar de estado de ánimo de un instante a otro) que encima le gustan las matemáticas (o sea, lo que todo profesional del medio odia profundamente, primero porque en el gremio el número de personas con alteraciones psicológicas no sólo es idéntico al de otras profesiones, sino que es más bajo que muchas socialmente menos consideradas como freakies; segundo porque ya estamos un poco hartos de los estereotipos de Asperger, psicópatas calculadores, o despistados ausentes. Vamos que, si los matemáticos fueran de esa índole que pintan, no me explico cómo los padres llevan a sus hijos ni al colegio ni a clases particulares). Como buen magufo que se cree investigador, empieza a percatarse de detalles como que siempre hay el mismo número de personas en la escena de los crímenes, que todos los que lo presencian tienen la misma edad (la que genera la secuencia 10, 21, 32, 42, 53), o que el hecho siempre sucede cada cierto número de años. En la imagen, una foto del escritor de la novela, Paul Pen, tomada de Facebook, mostrando las “complicadísimas” matemáticas en que se ha basado (sumas elementales, básicamente) para pergeñar las fechas (las de la película, diferentes a las de la novela) de un modo aceptable. Esas cuentas, y algún pantallazo con fórmulas o alguna gráfica elemental que son sólo decorados vacíos sin ninguna relación, es todo lo relacionado con las matemáticas que se presenta. ¿Es esa la idea que la gente tiene de las matemáticas? Mal estamos entonces. En la novela, insisto, más coherente ya que no subraya en ningún momento nada de esta disciplina, se citan por ser la carrera frustrada a la que se hubiera querido dedicar Amador, el padre del niño (del que le ha quedado una afición por la astronomía o jugar a ver matrículas capicúas de coches), y una profesora de geometría analítica que sufrió también bullying en su infancia. ¿Sólo por estos detalles sugeridos a la triada de guionistas se les ocurrió la “feliz idea” del personaje de Jon? ¿No se le ocurrió a nadie asesorarse un poco en lo que realmente son las matemáticas antes de proponer este, para mí, disparate? ¿Han visionado alguna película con trasfondo matemático medianamente serio? Imagino que no, porque es claro el mensaje del profesor de Max en Pi, Fe en el Caos: “Cuando tu mente se obsesiona con cualquier cosa, deshechas todo lo demás y sólo eres capaz de ver esa cosa. 320, 450, 22 o 10. Tú has elegido el 216 y lo encontrarás por toda la Naturaleza. Escucha: en el momento que descartas el rigor científico dejas de ser un matemático para convertirte en un numerólogo". Implícita en esta reflexión está la de que un matemático o alguien que conozca mínimamente su método, cuando trabaja, debe ser ajeno a cualquier asunto que lo condicione, mucho más aspectos personales (como el que atañe a Jon, con lo de su amigo). Pero es que el escritor de la novela, Paul Pen, lo dice también en su libro: «De nada me sirve que me pongas el resultado correcto del problema si no me explicas cómo lo has hallado», le había dicho el profesor, con los pies encima de la mesa de su despacho. «Hay cosas que sé sin necesidad de entenderlas», había sido la defensa de Aarón. A lo que el profesor había contestado: «Yo creo que a veces te crees más listo de lo que eres. Y ningún hombre de ciencia puede permitirse ese lujo. Corres el riesgo de acabar cambiando la realidad para que se ajuste a tus cálculos, y no al revés». ¿Dónde está el error entonces? El director ha demostrado sobradamente su solvencia en poner en escena thrillers de interés; la novela tiene argumentos que pueden resultar atractivos; los actores son excelentes…. Pues me sabe mal decirlo, porque también han demostrado su competencia en otros trabajos, pero en este caso es meridianamente claro que si las medias no son buenas ni para las piernas, los tríos a la hora de ajustar el guion ha resultado en este caso decepcionante. No se ha sabido (insisto, es mi opinión, y puede estar equivocada) desarrollar las condiciones iniciales, se dejan flecos por todas partes (hay críticos que esto les encanta, que no todo esté diáfano y masticado), se introducen efectos que no son sino pastiches sin relevancia (las polillitas), y todo desemboca en un final bastante mejorable. Suscribo al cien por cien la conclusión del crítico  Jordi Costa sobre la película: “Calparsoro pone su profesionalidad al servicio de un relato que no crea los suficientes asideros de fe en lo inverosímil para que al espectador le imante el misterio. Da la impresión de que incluso buena parte del reparto tiene serias dificultades para creer en esta historia donde la preservación del enigma no está al servicio de la ambigüedad, sino de una maniobra de distracción para no evidenciar que aquí no hay más que un conjunto vacío”. Bien, pues extiendan esa misma impresión a las matemáticas presentes. Y después de ver la película, lean la novela, y me cuentan. Alfonso Jesús Población Sáez

Martes, 03 de Abril de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico