221. 134. Mujeres, Matemáticas, España

Recientemente La2 emitió una comedia española en la que se mostraban algunos ancestrales tópicos (que en determinados contextos perviven), entre ellos, el de que determinadas materias no son adecuadas según el género. Debería ser un asunto obsoleto al que acercarnos exclusivamente desde un punto de vista cómico, pero lamentablemente nos queda mucho camino y muchas mentalidades que pulir. Vamos a empezar el curso reivindicando, en órdenes y aspectos muy diferentes. El pasado 17 de septiembre en Historia de nuestro cine, se emitió la película Los que no fuimos a la guerra (Julio Diamante, España, 1962), una poco conocida producción basada en la novela homónima de Wenceslao Fernández Flores, ópera prima de su director. El argumento no tiene aparentemente nada reseñable más que el de una típica comedia ambientada durante la época de la Primera Guerra Mundial (1914-1918), y sucede en un pequeño pueblo en el que los habitantes están divididos entre francófilos y germanófilos, los bandos mayoritarios de la citada confrontación. Sin embargo, desde el inicio, uno se percata de que las situaciones cómicas basadas en equívocos con estos dos bandos, tienen bastantes similitudes con situaciones cotidianas, con un aire de crítica bastante mordaz, y por supuesto, con la no tan lejana Guerra Civil (la película se rueda en plena post-post-guerra). La presentación previa a cargo del crítico y escritor cinematográfico Carlos Aguilar nos informó precisamente de que fueron suprimidos hasta 25 minutos de metraje por problemas con la censura, lo que en algunos momentos se manifiesta en alguna que otra incoherencia en el argumento. Yendo a la fuente original, la novela publicada en 1930, difícil de localizar, ésta, como la película, no consiste más que en una serie de anécdotas y chascarrillos en los que el autor critica de forma satírica todo tipo de fanatismo ideológico, además de dejar patente el absurdo de las guerras.  Tampoco se corta a la hora de ridiculizar aspectos incipientes en la época (hoy no corregidos, pero sí aumentados) como el engaño manifiesto de la publicidad, o poner de vuelta y media a los que especulan con la carestía y la pobreza de sus convecinos. Entre los temas que aborda se encuentra también el de la situación de la mujer en aquella sociedad, asunto que es el que ha motivado estas líneas a propósito de su valía o no para con las ciencias, el cálculo en particular. Entre las distintas tramas y subtramas nos encontramos a dos novios, Aurora (Laura Valenzuela) y Javier (Agustín González), vecinos de portal, de esos que se conocen de toda la vida, y que probablemente nunca lleguen a nada. Él no tiene oficio ni beneficio, y en un momento dado, ella decide ponerse a trabajar en una tienda del pueblo. En la presentación/entrevista con el gerente del establecimiento, ella indica que ha estudiado contabilidad en el colegio, que tiene buena letra, sabe escribir a máquina, y lo más relevante para el jefe, “me conformo con ganar poquito”. “Una buena cualidad”, responde el sujeto, “Y eso se une a una linda presencia”. Javier, el novio, la ha espiado, y a la salida la reprende ya que supone (el celoso ibérico siempre alerta) que estaba tonteando: Aurora: No es eso. Lo que ocurre es que he decidido trabajar. Javier: Pero, ¿y qué van a decir tus padres? Aurora: Se tendrán que aguantar. No es ninguna deshonra. Javier: ¡Una señorita como tú! ¡Estar a la vista de todo el mundo! Si quieres trabajar, trabaja en algo más recomendable. No sé, ¡ilumina tarjetas postales! Aurora: No. Voy a ser cajera. ¿Qué incompatibilidad existe entre las matemáticas y el ser mujer? Si hago sumas, ¿me saldrá la barba? Javier: ¡Son cosas de hombres! Aurora: Eso decís vosotros. La mujer no es más que una madre. Pero cuando os lanzáis a esa estupidez de la guerra y os faltan brazos y cerebros, se ve que nosotras podemos hacer de todo: guiar un tranvía, despachar expedientes…. Javier (sin más argumentos): ¡Bonita moral, bonita moral! ¿Es tu última palabra? Aurora: ¡Sí! Javier: Muy bien, pues entonces, adiós. Curiosamente (o a lo mejor no), unos años antes, otra película española, Solo para hombres (Fernando Fernán Gómez, 1960), ambientada a finales del siglo XIX, versa sobre como una joven, Florita Sandoval (Analía Gadé, en este caso) decide ir contra todo lo establecido y colocarse como empleada pública. En este caso, es una adaptación de la comedia teatral de Miguel Mihura, Sublime decisión (no confundir con la película homónima norteamericana, que nada tiene que ver), escrita en 1955, y la idea de la “incapacidad” de la mujer para ciertas tareas es similar. Aprobado el ingreso de Florita en un ministerio, su familia en pleno la acompaña a su primer día de trabajo para asegurarse de que la dejan “en buenas manos”. Una vez allí, su jefe inmediato no sabe qué tarea encomendarla, además de no querer alterar “la organización habitual” de sus empleados que tardan tres días en escribir unos sobres de unas cartas, etc. En cualquier caso, el recibimiento es − ¿Se ha traído alguna cosita para coser? Al final escribe esos sobres que estaban sin acabar, y pidiendo más cosas para hacer, el Sr. Hernández, el segundo de a bordo, se estruja las meninges para ver cómo quitársela de encima. Tiene lugar este diálogo: Sr. Hernández: ¿Usted que está haciendo, Pablito? Pablo: La multiplicación. Sr. Hernández: Esa que no le sale nunca. Pablo: Es que es muy difícil. Sr. Hernández: Pues a lo mejor esta señorita que es muy lista…. Florita: Sí, démela. Pablo: No, este no es un trabajo para una mujer. Florita: ¿Quién sabe? A lo mejor me sale a mí. Pablo: ¡De ninguna manera! No se moleste. Sr. Hernández: Désela, Pablo. Y así probamos. Y usted mientras vaya abriendo el correo. Pablo: Sí, señor, como usted mande. Tome usted señorita, y lo siento mucho. Florita: No se preocupe. Pocos minutos después: Florita: Bueno, ya está la cuenta. Sr. Hernández: ¿La cuenta? Florita: Sí señor, ya la he multiplicado. Con la prueba por 9. Mire usted. Sr. Hernández: Claro, con la prueba por…, eso. ¡Muy bien, señorita! ¡Muy bien! Vuelva a su sitio mientras yo la leo. Acérquese, Pablito. ¿Ha visto usted que bien queda con esa prueba? Pablo: Es extraordinario. ¡Qué talento! Sr. Hernández: Muy bien, señorita. Estamos muy contentos con usted. Y ahora descanse un rato, mientras yo (con fastidio) leo el periódico. El asunto se convierte en un problema nacional, siendo reseñado en los periódicos (ver imagen), y debatido en el Parlamento. De hecho, un diputado expone muy airadamente: − Y aunque así fuera, ¿está por la Naturaleza capacitada la mujer para el trabajo intelectual? ¿Puede una mujer ser capaz de echar cuentas o escribir un sobre con letra seria? Nosotros lo ponemos en duda. Ambas películas están en tono de comedia, y seguramente en su momento harían gracia. Hoy debería hacernos también, y más si cabe, si estuviéramos en condiciones de observarlas como una añoranza de tiempos pasados, casi antediluvianos. Pero es que, en la actualidad, al menos al que esto escribe, lo que le provocan es un cabreo absoluto, y no por las películas, sino porque, siglo XXI, acabando el año 2018, diariamente nos despertamos con más y más noticias que denigran a la mujer, que lejos de lograr una igualdad justa y de sentido común, nos acercamos peligrosamente a situaciones que no sé ni cómo considerar. De barbarie, supongo. En contra se puede aducir que esas son situaciones aisladas, de cafres que perviven aún por ahí, pero, ¡es que son demasiados! ¿No les parece? También enfada que esas parodias sobre el funcionariado, los partidos políticos, la chismología barriobajera, etc., sigan al tanto de la calle. Y volviendo a la primera película, a lo largo de todo el metraje, los asuntos del dinero y la economía están muy presentes, de manera que la motivación de prácticamente todos los personajes, por tener o por no tener, está unida al vil metal. Aunque no tenga relación directa con las matemáticas, no me resisto a relatar una escena entre una anciana que va a ingresar 25 pesetas en El día de mañana, el banco del pueblo. El cajero detecta que uno de los duros es falso, y así se lo indica. El director del banco así lo corrobora: Cajero: Doña Josefa, este duro es más falso que Judas. Doña Josefa: ¿Pues qué tiene? El director lo deja caer sobre el mostrador para escuchas cómo suena (y suena a lata) Director: Lo que no tiene es ni pizca de plata. Doña Josefa (riendo): ¿Y a usted qué más le da? Un banco es un banco, y con tantos duros como manejan, tampoco importa que uno sea más bueno que otro. (Ahora, tras la gracia, pasa al ataque). Algo tienen que hacer por mí, que les traje dos clientes hace diez días (guiñando un ojo). Director (tomando el duro): Transijo por esta vez, pero que sea la última. El condenado se parece más a un higo que a un duro, y me voy a ver negro para echármelo de encima. En fin, dele su recibo. Y Cuando se quedan solos el director y el cajero: Director (después de guardarse los duros “buenos”): Procure endosárselo a alguien. Cajero (babeante y sonriente): Sí, sí señor. Ahí tienen un buen ejercicio: ¿cuántos delitos distintos se han ilustrado en esta escena? Recordemos que la novela se escribió en 1930, y la película es de 1962. Así pues, echando un ojo a nuestra actualidad, lo que ocurre últimamente casi a diario, ¿no estará íntimamente ligado a nuestros genes ibéricos? Pero es que acto seguido, el director del banco encarga a Javier que entregue al Sr. Gil (¿premonición?) en una oscura dirección cien pesetas, y a cambio recoja un millón y medio de marcos. Director: El marco está ahora bajísimo. Por eso es el momento de comprar. Es una gran combinación. He invertido en ella grandes sumas de dinero, pero tan pronto suba el marco, habré hecho una fortuna. El mundo es de los que se arriesgan. Javier: Hablando de dinero, ¿no podría usted adelantarme una pequeña cantidad? Director (dándole una palmada en el hombro; cinismo puro): No se preocupe de las cosas materiales. Y piense en su futuro. ¡Ale, ale! ¡A labrarse un porvenir! Desafortunadamente para Javier, el Sr. Gil no está cuando él va, y acaba encontrándose con un amigo, Aguilera (Juanjo Menéndez) que lo acaba camelando para que apueste las cien pesetas del director del banco en una ruleta ilegal y casera instalada en la misma dirección en la que debía hacer la entrega. No pueden fallar, tienen una combinación infalible. ¿Resultado? El obvio. Lo pierden todo (aquí sí, con un mínimo de cálculo de probabilidades hubiera bastado para no arriesgarse. Pero la gente sigue tirando el dinero: vean esta noticia de hace unos días; no hay que saber demasiado de gráficas para entender la que ilustra dicha noticia). Por cierto, Solo para hombres también fue emitida, en marzo de 2016, en el programa Historia de nuestro cine, un necesario espacio gracias al cual podíamos visionar diariamente producciones no demasiado conocidas o no fácilmente localizables de una cinematografía, la española, que, contrariamente a lo que mucha gente cree (por desconocimiento, obviamente), no sólo se ha forjado con películas de consumo fácil y argumento trivial (lo que se viene a conocer con el despectivo adjetivo de “españoladas”), de comedias setenteras erótico-festivas, de dramas de la guerra civil u otras intelectualoides lentas y/o incomprensibles, surrealistas y almodovarianas. Éstas y otras lindezas que se suelen adjudicar al cine español justifican sobradamente la necesidad de programas que lo pongan en su justo lugar (ni mejor ni peor) y que nos enseñen a reconocer las virtudes (y los defectos, por supuesto) que paradójicamente ensalzan y copian desde otras latitudes a las que curiosamente nos plegamos como modelo a seguir. Desgraciadamente, estas ideas no son compartidas por los programadores (suponemos que con datos de audiencias en la mano) que han reducido drásticamente la sesión cinematográfica desde este mes a un único día a la semana. Aun así, esperemos que dure. La prueba del nueve Algún lector estará pensando qué, salvo unas cuentas y alguna mención muy tangencial, ¿dónde hay matemáticas en esta ocasión? Bueno, hoy tocaba reflexión. Pero por no dejarlos con las ganas, hablemos, siquiera someramente, de una de las más famosas (al menos en nuestro país) “demostraciones” que explicaban los maestros con anterioridad a 1965 (pongo ese año un tanto aventuradamente, ya lo comprobaré; la razón es que es cuando yo nací, y a mí no me lo contaron nunca, pero a mi padre, por ejemplo, sí). De hecho, obsérvese la imagen adjunta: pertenece al libro Aritmética. Segundo grado, de la Editorial Luis Vives, editado en Zaragoza en 1949. Aparte de explicar en qué consiste la citada “prueba”, propone un ejemplo en el que, a pesar de que dicha prueba indica que la multiplicación es correcta, es evidente que está mal sin más que fijarnos cómo se ha colocado la fila del segundo factor en la multiplicación. De hecho, al explicarla debe advertirse de que, si la prueba “no sale”, efectivamente la multiplicación tiene algún error; pero sí sale bien, no podemos garantizar que el producto sea correcto. Por eso he colocado siempre unas comillas en la palabra prueba o demostración, ya que sólo puede darnos “la mitad” de la información. ¿Qué sucede en realidad? Recordemos que dos números a y b se dice que son congruentes modulo m, y se representa mediante a ≡ b (mod m), cuando ambos tienen el mismo resto al dividirlos por m. Eso sucede además cuando a – b son múltiplos de m. Por ejemplo, 9 ≡ 7 (mod 2), porque 7 y 9 tienen el mismo resto al dividirlos por 2; 14 ≡ 24 (mod 5) por idéntica razón. Y en ambos casos 9 – 7 es múltiplo de 2, y 24 – 14 es múltiplo de 5. Pues bien, si a ≡ b (mod m) y  c ≡ d (mod m), entonces (I)   a + c ≡ b + d (mod m) (II)           ac ≡ bd (mod m) Pero, atención, se trata de una condición necesaria, pero no suficiente; es decir que siendo cierta la conclusión, la hipótesis no tiene porqué serlo. En términos de lógica, si la proposición P implica la proposición Q (esto se indica simbólicamente mediante P ⟹ Q), el reciproco no tiene porqué ser cierto (ejemplo de andar por casa: tengo una radio que funciona a pilas; proposición P: mi radio funciona; proposición Q: tengo pilas; sin embargo, ¿que mi radio funcione es porque tengo pilas? No necesariamente. Tiene que tener las conexiones bien, no estar estropeada por algún otro motivo, etc., o sea que el que Q sea cierto, el que tenga pilas, no asegura P, que mi radio funcione). Ahora bien, si Q es falso, automáticamente P es falso (no Q ⟹ no P: si no tengo pilas, mi radio no funciona). Pues esto es lo mismo que sucede con la prueba del 9: si “no da”, hay error, pero “si da bien”, no puede asegurarse que la operación esté hecha correctamente. En el ejemplo de la multiplicación que muestra la página del libro anterior (8347 x 653 = 5450591), obsérvese que, si nos hubiera dado 5440691, nos hubiera dado la prueba “bien”, y sin embargo es claramente falsa. Así pues, la “prueba del 9” sólo decide algo si dicha prueba (bien aplicada claro, sin confusiones en ella) no cuadra; si no, no sirve para nada. Por otro lado, no sólo puede aplicarse a multiplicaciones, sino también a sumas, restas y divisiones, es decir, a cualquier operación, gracias a las propiedades I y II descritas arriba de la suma y del producto de las congruencias. Antes otra cuestión. ¿Y porque se elige 9 como valor para m? ¿Por qué no tomamos 2, 3 o cualquier otro número? Sencillo: porque al dividir por 9 no hace falta dividir para saber qué resto se obtiene; basta con sumar los dígitos del número en cuestión varias veces hasta quedarnos con una sola cifra. Por ejemplo, queremos saber cuál es el resto de dividir 12345 entre 9. No hace falta que hagas la división, basta con que sumes los dígitos del número: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, y con el resultado vuelvas a hacerlo: 1 + 5 = 6, hasta que quede un único dígito. Ese es el resto, y se llama raíz digital del número. Por tanto, como es tan fácil calcular el resto entre 9, por eso se toma ese y no otro. Este es el fundamento además de muchos trucos del tipo adivinar el número que has pensado, etc. ¿Cómo se usa la prueba del nueve para sumas? Tenemos una suma que queremos comprobar si es correcta, por ejemplo 83 + 64 = 137 (¿para qué vamos a complicarnos más?, números sencillos). Está mal, lo sabemos, pero vamos a ver qué nos diría la prueba del nueve. Calculamos los restos de todos esos números al ser divididos por 9: Primer sumando: 8 + 3 = 11, 1 + 1 = 2. 2 es el resto (la raíz digital de 83) Segundo sumando: 6 + 4 = 10, 1 + 0 = 1. 1 es el resto (la raíz digital de 64) Por la propiedad I, el resto de la suma al dividir por 9, debe ser 2 + 1 = 3. Veamos. Resultado de la suma: 1 + 3 + 7 = 11, 1 + 1 = 2. No da 3, luego la suma es INCORRECTA. La suma “buena” es 147. La prueba del 9 hubiera dado 1 + 4 + 7 = 12, 1 + 2 = 3. ¿Podríamos haber afirmado entonces que la suma estaba bien hecha? No, porque si nos hubiera dado 237 (2 + 3 + 7 = 12, 1 + 2 = 3), también nos coincidirían los valores, y sin embargo, está mal. Espero que, con este ejemplo, quede meridianamente claro lo que pasa. Igualmente haríamos con restas y divisiones. La prueba del nueve es un procedimiento de verificación muy antiguo. No se conoce con certeza quien lo desarrolló, las fuentes más antiguas y fiables parece que están en la India. Lo que sí es seguro es que los árabes lo introdujeron en Europa. Leonardo de Pisa, Fibonacci, lo describe en su Liber Abaci, publicado en 1202. Un truco de adivinación El siguiente juego puede plantearse de muchas maneras, adivinar un número, u otra cosa que se nos ocurra, y dejarlo escrito en un papel tapado antes de empezar para sorpresa del amigo al que se lo hagamos. Es decir, es adaptable, en cuanto veamos la mecánica. Se le dice a la persona en cuestión que, sin decírnoslo, elija un número del 1 al 9. A continuación debe seguir los siguientes pasos: 1.- Multiplicar el número por 2. 2.- Restar 1 al resultado. 3.- Multiplicar el resultado por 9. 4.- Sumar los dígitos del número resultante hasta que solo quede uno (lo de la raíz digital de antes; si le sale 34, hacer 3 + 4 = 7, etc.). 5.- Tomar de la siguiente frase “mágica” la letra que corresponda al número obtenido El compás y la regla molan un montón 6.- Pensar en un postre lácteo que empiece con esa letra, y que mire el papel en el que lo habremos escrito antes de empezar el juego. TAREA: Intentar demostrar porqué, elijas el número que elijas al inicio, indefectiblemente esa cadena de órdenes siempre nos lleva al yogurt. Cerrando el círculo, casualmente aparece publicada una reseña en un periódico con la misma idea que yo pretendo mostrar desde el cine que leo con mucho interés, sobre todo porque es uno de mis referentes en esto de la divulgación matemática, el genial Ian Stewart, catedrático emérito de la universidad de Warwick. Se trata de un extracto de su reciente libro Mentes maravillosas (editorial Crítica, Barcelona, septiembre 2018), en el que también se reflexiona sobre la capacidad del sexo femenino para esto de las matemáticas. Está claro que el patriarcado machista no es cuestión de nacionalidades. ¿No habrá un complejo de inferioridad y de incompetencia manifiestas en todo ello? Hasta el mes que viene. Alfonso Jesús Población Sáez

Lunes, 08 de Octubre de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

222. 48. (Octubre 2018) La diáspora de los astrolabios andalusíes

(Astrolabio desmontado de Muammad ibn al Saffar (1020) – Subastado en 2017) El astrolabio o planisferio es un dispositivo astronómico basado en la proyección de la esfera celeste sobre un plano y que tiene su origen en la matemática griega del periodo alejandrino. Se atribuye a Apolonio de Perga (262-190 a.C.) la fuente de la teoría geométrica, a Hiparco de Nicea (190-120 a.C.) la invención, y a Ptolomeo (100-158 d.C.) el primer manual para la construcción del instrumento. Los bizantinos fabricaron astrolabios pero fueron los astrónomos arábigos los que lo convirtieron en un instrumento de amplio uso que transmitieron a Europa occidental. El astrolabio plano habitual usado por los sabios árabes es el que utiliza la proyección estereográfica con foco en el Polo Sur y el Ecuador como plano de proyección. Un planisferio consta de una madre que aloja las láminas de cada latitud con un limbo (borde graduado), una araña (red) móvil con la eclíptica y la posición de las principales estrella para uso nocturno y las láminas (o tímpanos, o climas) con las coordenadas locales (azimut y almucantares, que son los meridianos y paralelos de la semiesfera local). El reverso permite calcular alturas con una alidada móvil con dos perforaciones para enfocar el astro. El siglo XI fue el gran siglo de la matemática y la astronomía en al-Andalus. La construcción de astrolabios forma parte de su pujanza. El califato había sentado las bases, creando un ambiente propicio a la ciencia, y con su desaparición los sabios encontraron en las cortes de taifas la mejor de las acogidas: Sevilla, Toledo, Zaragoza, Badajoz sustituyeron a Córdoba en aplicación. Una sociedad tan letrada deja testimonio escrito de ese clima tan favorable a la sabiduría. El cadi toledano Said al-Andalusí (1029-1070) recogió en su Libro de las categorías de las naciones la crónica de lo que iba a ser la emergencia de la alta matemática en al-Andalus. Los geómetras que en el libro aparecen como promotores cumplieron con creces.  En relación con los astrolabistas, el cadí escribe: Abu l-Qasim Ibn as-Saffar tenía un hermano llamado Muhammad célebre por la fabricación del astrolabio. Nadie antes que él en el al-Andalus, fue más hábil que él en su fabricación... Ibrahim ibn Said as- Sahlí al-Asturlabí vive en Toledo. Entre los más distinguidos de los geómetras está Ali ibn Jalaf… Abu Ishaqibn Yahya an- Naqqas conocido como az-Zarqiyal (Azarquiel), es el más entendido de los hombres de nuestro tiempo en las observaciones de los astros y en el cálculo de sus movimientos. (Astrolabio de Ibrahim ibn al-Sahlí (Toledo - 1067). Museo Arqueológico Nacional. Madrid) Cuatro nombres importantes han sido citados: ibn as-Saffar, as-Sahlí, ibn Jalaf y Azarquiel. Los apelativos (nisba) explícitos de al-Asturlabí, as-Saffar (trabajador del cobre) o al-Naqqas (cincelador de cobre y latón) dan cuenta de su actividad y origen. Los astrolabios andalusíes suelen estar firmados por sus autores, por ello se conservan instrumentos con los dos primeros nombres. No hay piezas de los otros dos, en cambio dejaron fama imborrable en Los libros del saber de astronomía mandados redactar por Alfonso X. De la época nazarí es la otra crónica detallada, la Ihata, escrita por el prolífico visir ibn al-Jatib (segunda mitad del siglo XIV): Ahmad ibn Husayn ibn Baso se hizo célebre por su habilidad en la construcción de instrumentos astronómicos y consiguió que sus piezas, por las que se pagaban precios muy altos, desplazasen a la de otros reputados autores como el sevillano Muammad al-Jamairi o el toledano Muammad ibn al Saffar. Se estima en un centenar y medio el número de astrolabios árabes que se conservan. Una tercera parte, unos cincuenta, pueden ser andalusíes. Los astrolabios formaron parte de la diáspora musulmana de al-Andalus. Algunos saldrían fuera con sus propietarios y otros, que se quedaron, serían vendidos a los principales museos y coleccionistas. Unos pocos quedan en la Península. Incluso ha habido suerte y alguno ha aparecido entre los escombros al hacer obras en Granada. Recogemos algunos de los más importantes, con su lugar de fabricación y actual localización: Año Autor Medina Localización actual Ciudad 1020 Muammad ibn al Saffar Denia Subastado 1029 Muammad ibn al Saffar Toledo Deutsche Staatsbibliothek Berlín 1026 Muammad ibn al Saffar Denia National Museums Scotland Edimburgo 1067 Ibrahim ibn Said al-Sahli Toledo MAN Madrid 1068 Ibrahim ibn Said al-Sahli Toledo Museo Historia Ciencia Oxford 1071 Ibrahim ibn Said al-Sahli Valencia Museo Astronómico y Copernicano Roma 1081 Ibn Sa‘īd as-Ṣabbān Guadalajara Museo Historia Ciencia Oxford 1086 Ibrahim ibn Said al-Sahli Valencia Museo de la Orangerie Kassel 1080 Ahmad ibn Muhammad al-Naqqhash Zaragoza Germanisches Nationalmuseum Núremberg 1220 Muammad al-Jamairi Sevilla DB Fez 1221 Muammad al-Jamairi Sevilla Museo Historia de la Ciencia Oxford 1224 Muammad al-Jamairi Sevilla BTTM – M Ciencia y Técnica Estambul 1224 Muammad al-Jamairi Sevilla Museo Historia de la Ciencia Oxford 1250 Muammad al-Jamairi Sevilla AP Chicago 1294 Ahmad ibn Husayn ibn Baso Granada RAH Madrid 1304 Ahmad ibn Husayn ibn Baso Granada Linton collection Nueva York 1309 Ahmad ibn Husayn ibn Baso Granada Linton collection Belgica 1316 Abu Ali ibn Baso Granada Museo Specola Bolonia 1320 Ibrahim al-Raqqam Guadix RAH Madrid XIV Anónimo I Valencia de Don Juan Madrid 1308 Anónimo NM of American History Washington 1476 Muhammad ibn Faray Granada Museo Capodimonti Nápoles 1481 Muhammad Ibn Zawal Granada Museo Arqueológico Granada Azaleas zarqaliyyas 1216 Muammad al-Jamairi Sevilla Observatorio Roma 1221 Muammad al-Jamairi Sevilla Biblioteca Nacional París 1252 Muhammad ibn Hudhayl Murcia Real Academia de Ciencias Barcelona De los 25 astrolabios y azaleas citadas apenas media docena permanecen en España. Los otros son objetos de valor de distintos museos. Tomamos como muestra el astrolabio andalusí de Kassel que es similar al del Museo Arqueológico Nacional del mismo autor. Astrolabio de Ibrahim ibn al-Sahlí (1086) en Kassel El Gabinete Astronómico-físico del Palacio de la Orangerie exhibe los instrumentos del Landgraf Wilhelm IV de Kassel-Hessen, un gobernante que fue tanto mecenas de la ciencia matemática emergente como uno de sus activos practicantes. Tycho Brahe y Jost Bürgi dejaron su huella en Kassel Entre la colección astronómica destaca el planisferio de latón que conserva todas sus laminas. Se trata de un astrolabio fechado en Valencia en el 1086, en el que fue el siglo de oro de la matemática en al-Andalus. El astrolabio fue construido por  Ibrahim ibn al-Sahlí. Se trata del Ibrahim b. Said as Shalí al-Asturlabí que moraba en Toledo cuando fue citado por Said al-Andalusí (1029-1070) en su. Libro de las categorías de las naciones. En 1085 se había producido la definitiva conquista castellana de la ciudad del Tajo. Los astrolabios son una muestra patente del desarrollo científico andalusí. La diáspora hispanomusulmana ha afectado también a su legado: solo se conservan en España una pequeña parte de los fabricados. (Astrolabio de Ibrahim ibn al-Sahlí (1086) –Museo Orangerie. Kassel) El astrolabio es una calculadora astronómica analógica basada en la proyección estereográfica de una esfera sobre el plano del Ecuador usando el Polo Sur como vértice del cono. La base teórica se debe a Ptolomeo pero la primera referencia directa se encuentra en Juan Filópono (490-566). La proyección de la lámina del horizonte depende de la latitud (el clima, decían los árabes) por eso se fabricaban diferentes láminas para las ciudades más importantes. Mejoras originales andalusíes: ibn Jalaf,  Azarquiel e ibn Baso Los astrónomos andalusíes no se limitaron a reproducir los modelos de astrolabios orientales y desarrollaron algunas mejoras de calado. A ibn Jalaf se debe la lámina universal, Azarquiel diseña dos tipos de azafea e ibn Baso introduce la lamina general, uno de las incorporaciones más exitosas, tanto que llega hasta la India. Los tres astrónomos dan respuesta al problema del cambio de lámina con su lámina universal. No se sabe a quien atribuir la idea de cambiar el foco y el plano de la proyección estereográfica para evitar el inconveniente de tener una lámina para cada latitud pues ibn Jalaf y Azarquiel son contemporáneos. Ibn Jalaf se atribuye a sí mismo el merito de cambiar el foco y el plano proyectivo. Los astrolabios proyectan sobre el plano del Ecuador (desde el polo sur) mientras que la azafea y la lámina universal lo hacen sobre el plano meridiano del coluro de los solsticios (y desde el punto vernal). La versión mejorada de la azafea (zarqaliyya) utiliza además la proyección ortogonal para el dorso. (Azafea zarqaliyya de ibn Hudhayl de Murcia. 1252. RACAB - Barcelona) La azafea es un versátil instrumento astronómico inventado por el sabio y artífice toledano Azarquiel a mediados del siglo XI. En España solo se conserva el ejemplar de la Real Academia de Ciencias y Artes de Barcelona (RACAB) que fue ejecutada en 1252 por Muhammad ibn Muhammad ibn Hudhayl en la ciudad de Murcia. La azafea permite con facilidad extrema conocer la duración de los días o la visibilidad de estrellas. La palabra azafea significa placa, o lámina, y sustituye en muchos usos al astrolabio. Frente a éste que necesita una lámina para cada latitud, aquella es universal.  La azafea suprime la red mientras que la lámina universal de ibn Jalaf la mantiene. Desgraciadamente no se conserva ningún ejemplar de este último tipo. Lo que más se parece es el precioso planisferio universal de al-Sarraj (1328) del Museo Benaki de Arte Islámico en Atenas. (Planisferio universal de al-Sarraj (1328). Museo Benaki. Atenas) La solución de Azarquiel/al-Jalaf a la lamina universal fue cambiar la proyección ecuatorial por otra meridiana. En cambio el granadino ibn Baso mantiene la ecuatorial y las diferentes láminas por latitudes pero construye otra general con escala de horizontes desde el ecuador. De esta forma los astrolabios mantienen los tímpanos para distintas latitudes pero añaden una lámina más para cualquier latitud: la lámina general. Se conservan dos decenas de ejemplares de este tipo por el mundo y solo dos en España: una firmada por el mismo ibn Baso en la Real Academia de la Historia (RAH) y otra anónima en el Instituto Valencia de Don Juan. La lámina general de ibn Baso está marcada con tres clases de círculos: los horizontes múltiples (círculos máximos con diámetro Este-Oeste), los paralelos del eje del mundo y los arcos (a modo de paralelos del eje Este-Oeste). El principal inconveniente de la lámina es la dificultad de lectura por la saturación de líneas. (Lámina general de ibn Baso. Siglo XIV. Instituto Valencia de don Juan. Madrid)

Martes, 02 de Octubre de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

223. 164. (Octubre 2018) El código KONAMI

Una de las frases relacionadas con la más temprana formación matemática, y que casi todos conservamos en la memoria desde nuestra más tierna infancia, es aquella que soltamos en muchas y muy variadas situaciones: "el orden de los factores no altera el producto". Si nos ponemos a pensar en dicha frase, enseguida caemos en la cuenta que se refería inicialmente a una propiedad que tienen las operaciones básicas de la suma y producto de números, la famosa propiedad conmutativa. Da lo mismo sumar 3 + 15 que 15 + 3, pero también es lo mismo multiplicar 3 x 15 que 15 x 3. Antiguamente, cuando no había máquinas que hicieran esas operaciones, era muy cómodo utilizar esa propiedad porque nos ahorrábamos aprender las tablas completas de multiplicar: con la mitad era suficiente. Lo que no sospechamos es que hay otras muchas operaciones que no son conmutativas: cuando quieres tomar una taza de café, no es lo mismo echar azúcar al café y luego removerlo que remover el café y luego echar el azúcar; cuando sales de casa, no es lo mismo girar a la derecha, recorrer dos calles, girar a la izquierda y recorrer una calle que girar a la izquierda, recorrer una calle, girar a la derecha y recorrer dos calles (observa en la figura siguiente los dos posibles recorridos que siguen las mismas indicaciones pero en distinto orden). El juego que vamos a describir está basado en esta falta de conmutatividad del recorrido por una cuadrícula. La cuadrícula que utilizaremos es el tablero de ajedrez y las instrucciones para recorrerlo vendrán ilustradas mediante señales de tráfico. Pero antes, daremos el crédito de la idea al personaje de la imagen, Tomas Blomberg. El juego titulado "The Konami Code" aparece en el libro "Blomberg Laboratories", escrito por Andi Gladwin y que recoge una buena parte de los juegos e ideas de Tomas Blomberg. Este mago sueco tiene formación científica (es ingeniero y trabaja en programación) lo que propicia que muchos de sus juegos tengan alguna componente matemática. Más aún, las ilustraciones del libro no son las típicas fotografías al uso en el mundo editorial mágico sino que están generadas por ordenador, a partir de programas informáticos elaborados por el propio Tomas. El título del juego viene sugerido por el famoso código Konami, combinación secreta de teclas diseñada en 1985 por Kazuhisa Hashimoto para conseguir todos los beneficios de un juego de ordenador sin tener que ganarlos en el transcurso del propio juego. El principio "matemático" del juego de Tomas Blomberg fue desarrollado por el editor de la revista online "The Jerx", en el número de noviembre de 2015, presentando algunas interesantes variaciones del juego. La que vamos a describir a continuación está basada en esta versión. Necesitarás imprimir y recortar las siguientes diez señales de tráfico y, si no tienes un tablero de ajedrez, utilizar el de la imagen adjunta. DOS CASILLAS A LA IZQUIERDA UNA CASILLA A LA IZQUIERDA UNA CASILLA HACIA ARRIBA DOS CASILLAS HACIA ARRIBA DOS CASILLAS HACIA ARRIBA UNA CASILLA HACIA ABAJO UNA CASILLA HACIA ABAJO UNA CASILLA A LA DERECHA UNA CASILLA A LA DERECHA UNA CASILLA A LA IZQUIERDA Verás que la dama está situada en la casilla d4. Vas a realizar diez movimientos con la dama, empezando por dicha posición y siguiendo las indicaciones de las tarjetas. Para ello, mezcla las diez tarjetas con las flechas y colócalas en un montón. Mira la primera tarjeta y mueve la dama tantas casillas y según la dirección indicada por dicha tarjeta. Mira ahora la segunda tarjeta y, desde la posición a la que ha llegado la dama en el recorrido anterior, realiza un segundo recorrido de acuerdo a las instrucciones de esta tarjeta. Sigue así con todas las tarjetas y recuerda que las posiciones sucesivas habrían sido distintas si la mezcla hubiera dado una permutación diferente de las tarjetas. Por cierto, si en algún momento la tarjeta que corresponde hace que la dama se salga del tablero, pasa dicha tarjeta al fondo del paquete: será la última instrucción. Al final del recorrido, la dama habrá llegado a otra casilla, la cual era desconocida de antemano. Sin embargo, si pulsas con el ratón en mi bola de cristal, verás si he acertado dónde ha terminado la dama su viaje. Comentarios finales. Este principio ha despertado cierto interés y se pueden encontrar otras versiones y presentaciones originales, como la del portal Four Suits Magic. Seguro que encuentras también algunas similitudes entre este juego y el que nos ofrece Nelo Maestre de Divermates, titulado Matemáticas del Caribe. En este caso, el recorrido no se limita a trayectos horizontales y verticales: también se aceptan otras direcciones. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

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224. 133. SOLUCIÓN CONCURSO DEL VERANO DE 2018

Una nueva edición de este concurso, en el que he vuelto a disfrutar con las ocurrentes y meritorias respuestas de los participantes. Desgranamos a continuación todas las cuestiones. En esta ocasión pretendía que la película fuera más conocida que en años precedentes, y opté por Doctor Zhivago, la versión dirigida por el gran David Lean en 1965. No se encuentra entre mis favoritas de este director (aunque me parece muy relevante prácticamente toda su obra), pero reconozco que es, estéticamente y argumentalmente una producción excepcional, rodada como todo el mundo sabe en su mayor parte en nuestro país. Así pues, la película ha ofrecido poca dificultad a los concursantes; Cuestiones Matemáticas M – 1.- Un grupo de diez amigos quedan para ir al cine. A la vez, un grupo de otros nueve amigos van a la misma película también juntos. Catorce de esas diecinueve personas compran un cucurucho de palomitas. El coste total de la entrada a la película más el cucurucho de palomitas de maíz para uno de los dos grupos resultó ser el mismo que para el otro grupo. Si la entrada al cine costaba 6 euros, ¿cuáles son los posibles precios de las palomitas? Todos los concursantes han respondido correctamente a esta cuestión, la más sencilla, para animar al personal. Dado que el grupo más grande necesita comprar solo un boleto más que el grupo más pequeño, la diferencia de precio para las entradas entre los grupos es de 6 €. Por tanto, el grupo más pequeño pagó 6 € más por palomitas de maíz que el grupo más grande para compensar la diferencia. Así, el grupo más pequeño debe haber comprado más de la mitad de las 14 bolsas de palomitas de maíz, por lo menos 8 bolsas. Por otro lado, como cada persona sólo puede comprar como máximo un cucurucho, por lo menos 9 bolsas. Las posibilidades del precio de las palomitas son entonces: Grupo más grande Grupo más pequeño Diferencia Precio por cucurucho 5 cucuruchos 9 cucuruchos 4 6 €/4 = 1.50 € 6 cucuruchos 8 cucuruchos 2 6 €/2 = 3.00 € M – 2.- Los números 100231 y 25561 proporcionan el mismo resto, el número de largometrajes dirigidos por el realizador de la película, cuando se dividen por el año de estreno de la película que nos ocupa. ¿De qué año es la película? ¿Cuántas películas dirigió el director? Todos los concursantes dieron la respuesta correcta, pero uno lo hizo sin explicación matemática alguna. Recordemos que en este apartado es preciso incluir una prueba. Dar simplemente la solución no sirve dado que, encontrada la película a partir de la resolución de otras cuestiones, indicar fecha de estreno y películas del director no tiene demasiado misterio ya que son datos localizables fácilmente. En este caso de los diez puntos, sólo se dan la mitad, cinco. Una forma de resolverlo, utilizando exclusivamente los datos del enunciado es la siguiente: Del enunciado del problema se deduce que, llamando x al divisor (el año de estreno de la película) e y al resto (número de películas dirigidas por el realizador), se tiene que ax + y = 100231 bx + y = 25561 Al restar ambas ecuaciones, tenemos que  x(a – b) = 74670 = 2·3·5·19·131. Si multiplicamos esos factores, observamos que el único año de producción posible (el cine se descubrió en 1895 y la producción nos llega hasta 2018) es 3·5·131 = 1965. De ahí se deduce inmediatamente el número de películas del director, 16. M – 3.- Demostrar que, si un tetraedro solamente tiene un lado mayor que la unidad, entonces su volumen es menor o igual que un octavo. ¿Podría ser el ejercicio que muestra la imagen de la película? Sean A, B, C, D los vértices del tetraedro con todos los lados menores o iguales a la unidad excepto AD. Denotaremos por a, b, c los lados del triángulo ABC y h la altura de A a BC. Por el punto medio M, de BC, tracemos la perpendicular MN de longitud h (ver figura). Supongamos que A y C se encuentran al mismo lado de la recta MN. Entonces BN ≤ BA. Elevando al cuadrado la desigualdad, tenemos que Como, por hipótesis, c ≤ 1, esto nos lleva a que h2 ≤ 1 − , y de ahí a que Sea k la altura desde D a BC en el triángulo DBC, cuyos lados también tiene longitudes menores o iguales a la unidad. Un razonamiento análogo al anterior demuestra que k ≤ . La altura del tetraedro desde D al triángulo ABC considerado como base, es como máximo k, así que el volumen V de ABCD es Como a ≤ 1, tenemos que Este ejercicio era un poco más difícil. Uno de los concursantes lo dejó sin hacer y otro demostró que el volumen debería ser menor que 1/3, pero se pedía una acotación más fina. El resto lo resolvió correctamente. Sobre si podría o no ser el ejercicio que resolvia Lara, seguramente no, pero se buscó uno en el que la imagen que aparecía tuviera algún parecido con el propuesto. Desde luego algo de geometría era, pero seguramente más elemental. M – 4.- Un triángulo ABC tiene lados AB = 5, AC = 7, y BC = 8. El punto D se encuentra sobre el lado AC de modo que AB = CD. Extendamos el lado BA a partir de A hasta un punto E tal que AC = BE. La línea ED corta entonces al lado BC en el punto F. ¿Cuánto miden AD, AE, BF y FC? De nuevo pleno de aciertos en los concursantes. El ejercicio también era más sencillo. Han utilizado trigonometría elemental, o geometría analítica. Alguno lo ha resuelto ayudándose de Geogebra. Se detalla a continuación una resolución aún más elemental. Como |CD| = |AB| = 5, y |AC| = 7, |AD| = |AC| − |CD| = 2. Análogamente, |AE| = |BE| − |AB| = |AC| − |AB| = 2. Por tanto, el triángulo DAE es isósceles y ∠AED = ∠ADE = ∠CDF. Más aún, ∠BAC = 180º − ∠DAE = ∠AED + ∠ADE = 2 ∠AED. Tracemos la bisectriz de ∠BAC, siendo G la intersección de esa bisectriz con el lado BC, como se muestra en el dibujo. El argumento utilizado anteriormente demuestra que todas las medidas de los ángulos indicados son iguales, por lo que AG || EF. Como AG y EF son paralelos, el triángulo ABG es semejante al triángulo EBF, y por tanto Análogamente, los triángulos CAG y CDF son semejantes, de donde Teniendo en cuenta estas proporciones, para algún valor a, tenemos que |BG| = 5a, |GF| = 2a, y |FC| = 5a.  Entonces |BC| = |BG| + |GF| + |FC| = 12a. Pero como |BC| = 8, se deduce que  a = 8/12 = 2/3, y por tanto, |FC| = 10/3, y |BF| = |BG| + |GF| = 14/3. M – 5.- Resolver las siguientes integrales de algún modo “no convencional” Lo cierto es que las integrales siguen causando cierto “rechazo” entre la gente. Pero no podían faltar en una película ambientada en la Unión Soviética, no en vano, de aquel país provienen un montón de manuales con cientos de ejercicios de integrales que, antes de la difusión de software de cálculo simbólico, había que ingeniárselas para resolverlas (cuando se pedían en modo exacto, obviamente). Se pedía resolverlas mediante alguna “idea feliz” que nos simplificara los tediosos cálculos que a veces acompañan a este tipo de ejercicios. i.- Para la primera estudiamos las simetrías de las rectas y = 9 – x e y = x + 3 comprobando que se corta en x = 3, el punto medio de los extremos de la integral. Además, ambas rectas son positivas en el intervalo [2, 4]. Probemos un cambio de variable que convierta 9 – x en t + 3: 9 – x = t + 3 Eso nos lleva al cambio t = 6 – x. Con él el extremo x = 2 va a parar a t = 4, y x = 4 a t = 2. En definitiva Obsérvese que el signo menos desaparece si intercambiamos los extremos de integración, y que ambas integrales tiene el mismo denominador. La variable de integración es irrelevante cuál sea, de modo que si sumamos ambas integrales tenemos que Por lo que I = 1. ii.- En el caso de la segunda integral, el truco consiste en darla un nombre, por ejemplo y sacarnos de “la chistera” otra integral “parecida” Gracias a las propiedades de las integrales tenemos entonces que I1 + I2 = ∫dx = x + C1. Además, I1 - I2 = = - ln(sen x + cos x) + C2. Resolviendo el sistema lineal, deducimos el valor de ambas (dos por el precio de una, ja ja ja). La pedida es finalmente I1 = ½ (x - ln(sen x + cos x)) + Cte. iii.- Para la última, puede escribirse sen(πx) = cos(π/2 – πx), y entonces 1 + sen(πx) = 2 cos2(π/4 – πx/2). Entonces con el cambio de variable t = π/4 – πx/2, llegamos a una integral inmediata, y deshaciendo el cambio, se tiene que M – 6.- ¿Cuál es la probabilidad de obtener un rey, una reina y un Jack en una baraja francesa (de póker) convencional (52 cartas; sin comodines, por tanto)? Veámoslo de dos modos diferentes. La probabilidad de sacar un rey a la primera es 4/52. La probabilidad de sacar una reina después de un rey en la siguiente extracción, sin haber reemplazado la carta anterior, es 4/51. Análogamente la de sacar una sota (un Jack) la tercera es de 4/50. Por tanto, la probabilidad total (son sucesos independientes) será de Por otro lado, hay seis órdenes posibles de obtenerlos: KQJ, KJQ, QKJ, QJK, JKQ, JQK. Por tanto la probabilidad es  6 x = ≈ 0.29% También se puede razonar así: el número de formas de elegir tres cartas cualesquiera del mazo de 52 es . Elegir un rey de los cuatro posibles es , y análogamente una reina y una sota. Por tanto, la probabilidad conjunta es En el caso de las cuestiones de cálculo de probabilidades, siempre surgen dudas respecto a qué se pregunta en realidad. A pesar de que la propia naturaleza del concurso incluye algún tipo de interpretación para dar un poco de juego en cuanto a qué demonios se quiere decir con esto o aquello, lo cierto es que, en este caso, yo creo que estaba totalmente claro, pero os agradezco las puntualizaciones a la hora de mejorar en lo posible los enunciados. Excepto dos personas, el resto interpretó correctamente lo que se pedía. M – 7.- ¿Y la probabilidad de extraer el rey, habiendo extraído previamente la reina y la sota? Típico ejercicio de probabilidad condicionada, aunque también podemos razonar de un modo más directo: se han extraído ya dos cartas que no se han reemplazado (quedan por tanto 50 en el mazo), y queremos calcular la probabilidad de obtener un rey en la siguiente extracción (no ha salido ninguno, por lo que hay 4). La probabilidad pedida es entonces 4/50 = 2/25 ≈ 0.08 M – 8.- ¿Qué opción es mejor teniendo en cuenta que deseamos que, en caso necesario, se desagüe la mayor cantidad de agua posible lo más rápidamente posible? ¿Qué tamaño de tubería se debería usar? La imagen muestra las dos opciones que plantea el ejercicio. Si utilizáramos una única tubería, su radio sería, como máximo, de 3 metros (la sección tiene de anchura 12 m.; como es semicircular, la altura será de 6 m., y tratamos de meter una tubería circular lo más grande posible). El área de la sección de la tubería sería por tanto de 9π m2. Si utilizáramos dos tuberías de radio r, la longitud del cuadrado punteado de la imagen sería r. Utilizando el teorema de Pitágoras, la diagonal del cuadrado sería r. El radio del semicírculo sería por tanto r + r = (+ 1) r. Entonces (+ 1) r = 6, y r = 6/(+1) = 6− 6. La superficie de las dos tuberías tendría por tanto área 2π r2 = 2π (6− 6)2 = π (216 − 144) ≈ 12.3532 π > 9π Por tanto, dos tuberías aliviarían mayor cantidad de agua. M – 9.- ¿Y si optan en vez de tuberías por una cámara de sección cuadrada? La situación es la planteada en la imagen, sólo debemos calcular las dimensiones del cuadrado en cuestión. Aplicando el teorema de Pitágoras, se tiene que 62 = x2 + (2x)2, y de ahí la raíz positiva El lado del cuadrado inscrito será entonces , y la sección de agua desalojada será entonces ≈ 28.8 m2. En definitiva, un poco más que una sola tubería circular, pero menos que dos circulares. M – 10.- Si finalmente fuera rectangular, ¿cuál serían las dimensiones de superficie máxima? Se trata de un problema clásico de optimización, de cálculo de máximos. En este caso, denotando por x como en M – 9 a la mitad de la base del rectángulo, e y a su altura (de la ecuación de la circunferencia se sigue que esa altura es ), la función a optimizar será la que nos proporciona el área del rectángulo, esto es f(x) = 2x, x∈[0, 6] Del análisis elemental se sabe que toda función continua alcanza el máximo y mínimo absolutos en un intervalo cerrado. En este caso nos interesa el valor máximo. Derivamos la función e igualamos el resultado a cero para obtener los puntos críticos. Esto nos da los valores x = 3, x = −3 Para deducir cuál es el máximo y el mínimo absolutos no hace falta ir a la derivada segunda en este caso ya que el citado teorema de Weierstrass nos asegura que los extremos absolutos se encuentran entre los valores obtenidos y los extremos del intervalo (al ser éste cerrado y acotado). Hay además un valor para el que la derivada primera no existe, x = 6, pero es un caso extremo en el que la función se anula, así que nos permitiremos la licencia de “pasar de él” de acuerdo con el ejercicio que nos ocupa. Así, se tiene que f(0) = f(6) = 0, f(3) = 36, f(−3) = −36, de modo que el máximo absoluto se alcanza para x = 3, siendo la sección 36 m2. De modo que, recapitulando todos los casos, de mayor a menor sección de agua desalojada, ordenaríamos los casos así: dos círculos, rectángulo, cuadrado, un círculo. Uno de los participantes, Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos, experto por tanto en este tipo de cuestiones, nos dejó una estupenda descripción desde el punto de vista de la Física de este tipo de problemas de desagües: “El caudal que desagua una conducción es el producto de la velocidad del fluido y de la sección de la tubería, Q = V ∙ S. Dicho esto, cuando el desagüe es en “lámina libre” o sea, la tubería no entra en presión (funcionamiento que es bastante más complejo de formular) y también en régimen laminar (que sería como decir que las gotas de agua van ordenaditas sin formar remolinos), la velocidad del fluido viene gobernada por la fórmula de Manning, la cual, a igualdad de otros parámetros (pendiente de la conducción, material, rugosidad, etc.) depende de una magnitud que se llama radio hidráulico y que se calcula del modo siguiente: Rh = A / P, donde Rh = radio hidráulico de la sección. A = área mojada (área de la sección de agua) Este parámetro, Rh, es un factor en la fórmula de Manning y tiene exponente 2/3”. Muchas Gracias por esta ampliación. Este es uno de los objetivos del juego: todos disfrutamos y todos aprendemos un poco más. M – 11.- ¿Qué cantidad de hombres y mujeres proporcionan el mayor rendimiento de acuerdo a los datos facilitados? ¿Es un buen plan, o con la mano de obra indicada podríamos tener un rendimiento mayor? Describe tal procedimiento, si lo encuentras. En este caso se trataba de resolver un ejercicio de programación lineal. Denotamos por x el número de hombres e y el número de mujeres. Modelizando las condiciones que se dan en el enunciado resulta la siguiente situación Maximizar el rendimiento z = 2x + y Sujeto a las condiciones y < 2x, si x < 20 y = 100,  si 20 ≤ x ≤ 30 y + 2x < 100,  si x ³ 30 0 ≤ x ≤ 50, 0 ≤ y ≤ 100 Al representar gráficamente esas condiciones, se obtiene la región factible que aparece en la imagen (que es el objeto oculto del que se habla en la cuestión C – 13, una balalaika). La resolución de estos ejercicios es a través del vector gradiente de la función objetivo z, en este caso el vector (2, 1). Gráficamente el mayor crecimiento se da a lo largo de todo el segmento 100 – 2x, 30 ≤ x ≤ 50 (óptimo múltiple). Siendo z = f(x, y) = 2x + y, f(x, 100 – 2x) = 100, con 30 ≤ x ≤ 50 El jefe de la central, Yevgraf, se las apaña mediante este procedimiento para que el rendimiento descienda lo menos posible en ausencia de mano de obra masculina. El rendimiento en los diferentes casos quedaría entonces así: Caso ideal, 50 hombres, 100 mujeres, f(50, 100) = 200 0 ≤ x ≤ 20, f(x, 2x) = 4x, en el que el máximo rendimiento es 80. 20 ≤ x ≤ 30, y = 100, de modo que el rendimiento está entre 140 y 160. 30 ≤ x ≤ 50, f(x, 100 – 2x) = 100. En efecto, hay mejores apaños, pero entre su prepotencia y que quería que apareciera la balalaika, esto fue lo mejor que se ocurrió, ja ja ja. M – 12.- Esa noche logra reunir ocho trozos de madera, iguales en longitud cuatro a cuatro, la mitad de ellos el doble de largos. Con ellos podría construir dos cuadrados perfectos, uno el doble del otro. Pero, ¿podría colocarlos de manera que encerraran tres cuadrados exactamente iguales? ¿Cómo? Cuestión tipo rompecabezas. La imagen adjunta nos indica cómo conseguirlo (los lados del cuadrado grande van de negro, y los del cuadrado pequeño, de azul; imagen enviada por uno de los concursantes). No se han dado por válidas aquellas soluciones en las que sobrara algún lado de cualquier cuadrado, o quedara algún cuadrado de los tres que se pedían sin algún lado. M – 13.- Algunas cuestiones acerca de la cruz griega para resolver: i.- Cortarla en cuatro trozos con los que componer un cuadrado perfecto. Hay infinitas formas de cortar una cruz griega con ese resultado porque dos cortes rectos cualesquiera que sean paralelos a los mostrados en la imagen adjunta que nos envió uno de los concursantes, se recolocan siempre en un cuadrado perfecto. Este apartado lo resolvieron todos los participantes. ii.- Cortarla en tres trozos con los que hacer un romboide. De nuevo la figura adjunta nos indica un modo de hacerlo. iii.- Cortarla en tres trozos con los que se pueda componer un rectángulo de base el doble de su altura. iv.- En tiempos de guerra escasea todo. Se necesitan brazaletes para las enfermeras con una cruz roja, pero sin desperdiciar la poca tela roja de la que disponen. ¿Cómo cortar una pieza cuadrada de modo que logremos tener dos Cruces Rojas exactamente iguales sin ninguna pérdida de tela? v.- ¿Y si quisiéramos que las cruces resultaran de diferente tamaño? vi.- Cortar una Cruz Roja en cinco partes que formen dos Cruces Rojas más pequeñas, pero del mismo tamaño. En este caso la cruz central es de una sola pieza, y la otra se forma con los otros cuatro trozos que sobran. Cuestiones de tipo cultural C – 1.- Dos ejemplos de películas en las que el color sea decisivo, explicando brevemente por qué. Las respuestas de los concursantes han sido las siguientes: Sin City, ciudad del pecado (Robert Rodriguez, EE. UU., 2005) y Sin City: Una dama por la que matar (Sin City: A Dame to Kill For, Robert Rodriguez, EE. UU., 2014) en las que, solo aparecen algunos colores primordiales, como el rojo para destacar algunos elementos sobre otros; Sweeney Todd: El barbero diabólico de la calle Fleet (Sweeney Todd: The Demon Barber of Fleet Street, Tim Burton, EE. UU., 2008), donde se juega con los colores vivos y los colores grises para denotar escenas tristes o alegres, jugando también con la belleza y el degradado, lo limpio y lo sucio; Chocolat (Lasse Hallström, Reino Unido, 2000) donde al inicio se nos presenta un pequeño pueblo donde reina una sociedad cerrada e intolerante, en colores oscuros (grises, negros, azules). Después llegan al pueblo una mujer y su hija, calzando unos zapatos rojos trasgresores. El film se va trasformando en colores y al final hay una fiesta iluminada por un inmenso colorido síntoma del cambio ocurrido en la sociedad; American Beauty (Sam Mendes, EE. UU., 1999) que representa la vida de una familia aburrida y rutinaria, en colores grises. De pronto aparece el color rojo de las rosas y de la sangre, indicativo de pasión y muerte; En Grease (Randal Kleiser, EE. UU., 1978), la gama de colores del vestuario de la protagonista va cambiando de acuerdo a la evolución del personaje. Asimismo, el de otros intérpretes de acuerdo a lo que pretendan transmitir, bien a los demás, bien al espectador; En La Lista de Schindler (Schindler's List, Steven Spielberg, EE. UU., 1993), película a blanco y negro, el color refleja un estremecedor simbolismo en el abrigo rojo de una niña y el color de unas velas;  En Alicia en el país de las maravillas (Alice in Wonderland, Tim Burton, EE. UU. 2010), los personajes principales tienen sus propios colores según lo que transmitan: Alicia el azul (frescura, libertad, verdad), el Sombrerero Loco el naranja (optimismo, diversión, entusiasmo, exaltación) y la reina el rojo (autoridad, impulsividad, agresividad, peligro). En El Pianista (The Pianist, Roman Polanski, Reino Unido, 2002) los colores grises y fríos evocan el horror del Holocausto; Del Rosa al Amarillo (Manuel Summers, España, 1963) rodada en blanco y negro separa las dos historias de amor con los dos colores, que sirven para representar dos etapas distintas de la vida, la adolescencia y la vejez; En Tres colores: azul (Trois couleurs:Bleu, Krzysztof Kieslowski, Francia, 1993) el azul trata de representar la libertad con una mujer como protagonista, y se usa magistralmente en multitud de escenas. Yo, por mi parte, cuando pensé en la cuestión, tenía en mi cabeza títulos más clásicos (uno ya se va haciendo mayor, qué le vamos a hacer): El retrato de Dorian Gray (The Picture of Dorian Gray, Albert Lewin, EE. UU., 1945) rodada a blanco y negro salvo la aparición final, impactante, del cuadro; y El mago de Oz (The Wizard of Oz, Victor Fleming, EE. UU., 1939), en el que contrasta la vistosidad de Oz (a todo color), con la apatía de Kansas, donde vive Dorothy en blanco y negro. C – 2.- Dos películas en las que, si no se ven en pantalla grande, no te enteras de nada, de dos décadas distintas y de dos nacionalidades diferentes. Los concursantes han propuesto, con bastante acierto (juzgue el lector las elecciones), las siguientes: muchas de ellas por la espectacularidad de los paisajes, vestuario, juegos de luces, la música escuchada con un equipo en condiciones, etc., como en El bueno, el feo y el malo (Il buono, il brutto, il cattivo; Sergio Leone; Italia; 1966), El correo del zar (Strogoff, Eriprando Visconti, Francia 1970), Nacida libre (Born free, James Hill, Reino Unido, 1966), Barry Lyndon (Stanley Kubrick, Reino Unido, 1975), Ran (Akira Kurosawa, Japón, 1985), La misión (The Mission, Roland Joffé, Reino Unido, 1986), Titanic (James Cameron, EE. UU., 1997), Memorias de África (Out of Africa, Sydney Pollack, EE. UU., 1985) y 2001, una odisea del espacio (2001: A Space Odyssey, Stanley Kubrick, Reino Unido, 1968), Handia (Jon Garaño y Aitor Arregi, España, 2017), Cleopatra (Joseph L. Mankiewicz, EE. UU., 1963),  Los amantes del círculo Polar (Julio Médem, España, 1998). En otras ocasiones, el 3D, como en Spy Kids 3-D: Game Over (Robert Rodriguez, EE. UU, 2003) o Avatar (James Cameron, EE. UU., 2009), hace que la pantalla grande sea, hoy por hoy, casi la única opción. C – 3.- Dos ejemplos de salas de cine de tu ciudad que hayan desaparecido, dando algún dato, y anuncio de alguna película programada allí, publicada en algún periódico. Si fuera el caso, indicar algún dato evocador y nostálgico de esa sala. Una pregunta para el recuerdo. Los concursantes nos recordaron salas en Segovia: el Teatro Cervantes, que abrió en 1923 como teatro y las cerró, como sala de cine, en 1984; el Cine Victoria, Las Sirenas y Juan Bravo. Mérida (Badajoz): teatro cine María Luisa (1856). Gijón, Asturias:  existían al menos 7 grandes salas de cine hasta finales de los años 80. En la actualidad solo queda un multicine moderno con 8 salas. A destacar el Cine Brisamar, de arte y ensayo, donde vendían un bono para 10 películas, todas subtituladas; que cerró a finales de los 80 y que actualmente es un edificio en ruinas. Y el cine Maria Cristina, cine tradicional con patio de butacas, entresuelo y el “gallinero” que cerró en 1983, siendo en la actualidad unos grandes almacenes. Santander: Cine Coliseum, que abrió en 1933 como Teatro María Lisarda y cerró en 1999 para convertirse en un hotel de la cadena Silken. Y el Cine Capitol, inaugurado en 1962, sufrió un incendio en 1978 teniendo que ser reconstruido en su totalidad. Portugalete (Bizkaia): Coliseo Java. Se inauguró en 1962 y cerró sus puertas sobre el año 2004. Tenía 956 localidades. Hoy es un supermercado. Sestao (Bizkaia): Cine Amezaga. Inaugurado en 1962. Cerró sus puertas en el año 2000. Nueve años después de su cierre, sufrió un incendio (intencionado, al parecer) y lo derribaron; ahora en su lugar hay un parking. Zaragoza: Cines Renoir (1997 – 2012), programaba películas en versión original. Leciñena (Zaragoza): Cine de las Guardiolas, regentado por dos hermanas. Cerró en 1968 En Valladolid, las salas desaparecidas desde los años 70 del siglo pasado (hubo más anteriormente) han sido muchas: Cines Alameda, Avenida, Babón, Capitol, Castilla, Cervantes (reconvertido en la actualidad en teatro), Coca, Delicias, Embajadores, Goya, Groucho, Lafuente (después Manteria-Renoir), Matallana, Parquesol Plaza, Roxy, Rex, La Rubia, Vistarama, y los teatros que han pasado a ser únicamente eso, teatros, o están cerrados (Calderón, Carrión, Lope de Vega, Zorrilla) e incluso alguno demolido (Teatro Pradera). El fenómeno de las multisalas en centros comerciales no nos ha dejado sin cines, pero supeditados al desplazamiento en automóvil. Sólo sobreviven tres héroes en el centro de la ciudad (Broadway, Casablanca y Manhattan). C – 4.- Dos películas con transiciones, describiendo brevemente las escenas en las que suceden. Esta cuestión ha costado un poco más, y eso que en realidad no había que irse muy lejos (otras películas de David Lean, como ha propuesto algún concursante). A los que no han detallado las escenas concretas se les ha dado una puntuación menor que 10. Sus propuestas han sido: En Lawrence de Arabia (David Lean, Reino Unido, 1962) el sonido del flash se enlaza con el sonido del jinete que se acerca, un golpe sobre un carro de combate se enlaza con la orden de partida de otro carro de combate en otro lugar; etc. En El Puente sobre el río Kwai (David Lean, Reino Unido, 1957) el sonido de los prisioneros bañándose se contrapone con el sonido de grillos para los que están encerrados en la celda de castigo. En Superman (Richard Donner, Reino Unido, 1978) el protagonista patea furiosamente una pelota de fútbol americano y el sonido se transforma en el pitido de un tren, el mismo tren que lleva a sus amigos y que él adelanta para estupefacción de todos ellos. En Titanic (James Cameron, EE. UU., 1997) hay muchas escenas de este tipo, por ejemplo, una orden del capitán se traslada al rugido sordo de la hélice, en el viento que sopla en la proa y en el suave murmullo de agua que rompe contra la proa del barco. En Apocalypse Now (Francis Ford Coppola, EE. UU., 1979) se ve y oye un helicóptero que cambia a un ventilador. En 39 escalones (The 39 Steps, Alfred Hitchcock, Reino Unido, 1935) se pasa del rostro de una portera gritando al chirriante silbido de una locomotora saliendo del túnel. C – 5.- Las tres pasiones del protagonista Esta era una cuestión de “control” para asegurarme que los participantes vieran la película. La cuestión se refiere a las pasiones del personaje protagonista, Yuri, y algún concursante lo ha tomado como pasiones de Omar Sharif, el actor. Como quiera que la pregunta podía dar lugar a confusión, ambas posibilidades se han dado como válidas. Las tres pasiones de Yuri serían la poesía, la medicina y, por supuesto, Lara (Julie Christie). Las que se han señalado de Omar Sharif han sido el juego (sobre todo el bridge), las mujeres hermosas y los caballos (en efecto así lo indicó en alguna entrevista). C – 6.- Dos obras literarias, que fueran prohibidas en el país de su autor, señalando brevemente los motivos. En esta pregunta los concursantes se han explayado aportando un montón de obras. La prohibición o censura de libros dice más bien poco a favor de unos gobiernos que deberían haberse dedicado a gobernar mejor. Listamos algunas (todas ellas absolutamente recomendables, por cierto): La Regenta (Leopoldo Alas Clarín, España). Prohibida hasta 1962 por su anticlericalismo, sexualidad y denuncia de la hipocresía en la sociedad de provincias. Trópico de cáncer (Henry Miller, Estados Unidos). Prohibida por su contenido sexual. La metamorfosis (Franz Kafka, Checoslovaquia). Prohibida por considerarse un disparate. Madame Bovary (Gustave Flaubert, Francia). Prohibida por ser moralmente ofensiva. Las uvas de la ira (John Steinbeck, EE. UU.) prohibida en su país de origen por la descripción que se hacía de la pobreza, que provocó indignación. Rebelión en la granja (George Orwell, Reino Unido) los planes que pone en marcha el cerdo Napoleón y sus resultados eran comparables con los planes quinquenales de Stalin y sus fracasos. Archipiélago Gulag (Alexander Solzhenitsyn, URSS) que relata el sufrimiento en los campos de trabajo bajo la era Stalin. El amante de Lady Chatterley (D. H. Lawrence, Gran Bretaña) fue prohibido por obsceno (describe relaciones sexuales muy explícitamente), no critica la infidelidad, retrata relaciones íntimas entre personas de diferente clase social (Gran Bretaña era muy conservadora en esa época), El Decameron (Giovanni Bocaccio, Italia). A la Iglesia Católica en este caso no le parecían demasiado bien estos cuentos picarescos y erótico-festivos. La colmena (Camilo José Cela, España) tuvo que ser editada en Buenos Aires, ya que en España se consideró que tenía demasiadas alusiones al sexo. La casa de Bernarda Alba (Federico García Lorca, España) y la mayor parte de sus obras. Describe magistralmente las actitudes de las mujeres y el papel del hombre en la vida de las mismas, haciendo visible una realidad que el franquismo quería no solo ocultar, sino también perpetuar. Persépolis (Marjane Satrapi, Irán). Relato autobiográfico en el que se cuestionan la legitimidad de las normas que se aplican en aquel país. C – 7.- ¿Qué actores se barajaron antes del definitivo para realizar la película-enigma de este año? El actor Peter O'Toole, protagonista de Lawrence de Arabia, fue la elección original de David Lean para Yuri Zhivago, pero declinó el papel; Max von Sydow y Paul Newman también fueron considerados. Michael Caine cuenta en su autobiografía que también participó en las pruebas de pantalla con Julie Christie, pero (después de ver los resultados con David Lean) fue quien sugirió a Omar Sharif. Siendo estos cuatro los consignados en la literatura cinematográfica, quien haya indicado menos, se le ha asignado la parte proporcional (redondeada para no incluir decimales; o sea 8 para el que cite tres, 5 para dos, 3 para uno). C – 8.- ¿Quién es la mujer de la imagen? Señala alguna película en la que participara, y si en alguna ocasión trabajó junto a su esposo. Se trata de la actriz Faten Hamama (1931 – 2015), actriz, guionista y productora egipcia, primera esposa del actor Omar Sharif. Participó junto a Omar en las películas siguientes: Siraa Fil-Wadi (Youssef Chahine, Egipto, 1954) (el debut en el cine de Omar Sharif, conocida internacionalmente como The Blazing Sun). Ayyamine el helwa (Helmy Halim, Egipto, 1955), internacionalmente distribuida como Our Best Days. Siraa Fil-Mina (Youssef Chahine, Egipto, 1956), conocida internacionalmente como Dark Waters. La Anam (Salah Abouseif, Egipto, 1957), distribuida como I Never Sleep. Ard el salam (Kamal El Sheikh, Egipto, 1957), conocida como Land of Peace. Sayedat el kasr (Kamal El Sheikh, Egipto, 1958), distribuida internacionalmente como Lady of the Castle. Nahr el Hub (Ezzel Dine Zulficar, Egipto, 1961). Internacionalmente conocida como The River of Love, es una versión egipcia de Anna Karenina. Siendo ocho tópicos (el nombre y siete películas), como anteriormente, se puntuó la parte proporcional en caso de dar menos (en este caso, 0, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, respectivamente). C – 9.- ¿Personaje con gusto por las ciencias exactas de la novela? ¿Por qué decimos que resucita? ¿Qué otro personaje, no presente en la película, tiene amplios conocimientos de matemáticas? Se trata de Pavel Ferapoitovich, es decir, Pasha Antipov. Este personaje retoma su pasión por las matemáticas cuando vive en Yuriati, un lugar cerca de los Urales. Se hace referencia a su resurrección debido a que es dado por muerto durante su periodo de servicio como subteniente, atestiguando uno de sus compañeros que le había visto siendo alcanzado por una granada, pero en realidad había sido capturado y hecho prisionero por el enemigo. Tiempo después de aquello consigue escapar y a su vez se cambia el nombre, Strielnikov. Como particularidad, casi al final de la historia se vuelve a decir que ha muerto, pero vuelve a reaparecer. En la novela hay varios personajes con amplios conocimientos de matemáticas, como Nikolai Nikolaevich, que mantiene una conversación profunda al principio de la novela con otra persona, o Shura Schlesinger, que, aunque era teósofa, conocía el rito ortodoxo, las matemáticas, las artes mágicas de la India... C – 10.- Frases semejantes en películas diferentes. ¿Qué tienen en común además esas películas? Gran parte de ambas películas fueron rodadas en España (en la Comunidad de Castilla y León por concretar más): en Burgos (El bueno, el feo y el malo), y en Soria (Doctor Zhivago). Esta fue la idea, pero los concursantes han añadido nuevas facetas comunes correctas: la presencia en el rodaje de una locomotora de vapor Baldwin, o incluir dos de las melodías más célebres de la historia del cine. ¡¡Bravo!! Cómo afináis. C – 11.- ¿Qué otra improvisación no esperada ni escrita tuvo lugar entre Rod Steiger y Julie Christie en el rodaje de esta misma película? Después del baile, en el carruaje en que se desplazan, debían darse un beso. Tras dos tomas, el director no quedaba satisfecho con la escena, y en una nueva toma, Steiger decidió darle a la actriz “un beso con lengua”, lo que evidentemente la sorprendió y cabreó, como así aparece en el forcejeo posterior, que quedó tal cual para la posteridad en la película. C – 12.- ¿Qué otra célebre película se rodó en esa central hidroeléctrica? Se trata de la presa de Aldeadávila de la Ribera, en Salamanca, en la que se rodó también el impactante desenlace de La cabina (Antonio Mercero, España, 1972) C – 13.- Objeto oculto en algún lugar presente a lo largo de toda la película, muy querido por su protagonista. ¿Cuál es? ¿Qué importancia tiene en el argumento? Una balalaika. Es el hilo conductor que nos indica los miembros de la saga: madre de Zhivago, Zhivago y su hija. Además, es el instrumento primordial del tema sonoro de la película. Puntuaciones de los Concursantes Como cada año, me lo he pasado genial viendo como las distancias entre los participantes se reducían, cambiaban, se acercaban, según iba metiendo los datos en la hoja de cálculo. Mi más sincera enhorabuena a tod@s. El resultado final es el que veis. Uno de los participantes me ha sugerido que detallara la puntuación en las preguntas de matemáticas (en rojo), y las de tipo cultural (en azul), y lo cierto es que es curioso que el ganador haya obtenido idéntica puntuación en uno y otro lado. Curiosidades de las cifras. Francisco Pi Martínez ............... 236 (118 + 118) Marta Pérez Ceballos ............... 234 (112 + 122) Pablo Palacio Puente ............... 231 (119 + 112) Paz Jiménez Seral ................... 217 (118 + 99) Celso de Frutos de Nicolás ......... 155 (81 + 74) Alberto Gustavo Colomo ............ 142 (35 + 107) Sobre todo, esperamos que hayáis pasado un buen rato, y reiteramos nuestra enhorabuena por vuestras respuestas, algunas de verdadero mérito; y también a aquellos que lo han intentado y finalmente no se han animado a mandar nada, que seguro que los ha habido. En esta ocasión, la RSME (Real Sociedad Matemática Española) nos ha facilitado tres títulos de la Biblioteca Estímulos Matemáticos (colaboración de la RSME y la editorial SM) para los tres primeros clasificados. Son Círculos Matemáticos; Lilavati. Matemática en verso del siglo XII; y Gardner para aficionados. En unos días recibiréis un correo electrónico para que nos facilitéis una dirección postal a la que enviároslos. Muchas Gracias por vuestra participación (bienvenidos los que participarais por primera vez, espero que os haya gustado y emocionado por los que mantenéis vuestra fidelidad desde hace años). Hasta la próxima (pero seguid la sección, que está presente todo el año, cada mes con una reseña nueva, y también con página en Facebook y Twitter, con contenidos breves, imágenes de películas fundamentalmente, cada poco tiempo). Alfonso Jesús Población Sáez

Jueves, 13 de Septiembre de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

225. 92. (Septiembre 2018) Mathematics and Computation in Music 2019

1. Society for Mathematics and Computation in Music En esta primera columna del curso querría hablar del congreso Mathematics and Computation in Music 2019, que se celebrará entre los días 18 y 21 de junio de 2019. Está organizado por Mariana Montiel, de la Universidad Estatal de Georgia (GSU), el autor de esta columna, de la Universidad Politécnica de Madrid (UPM), y el Real Conservatorio Superior de Música de Madrid (RSCMM). Es un honor y un placer asumir la organización de este congreso, pero es también una enorme responsabilidad. En estas breves líneas queríamos mostrar al lector el origen y circunstancias del congreso, que constituye una exposición de todo el esfuerzo de investigación y conocimiento que se está haciendo en el fascinante campo de la Teoría Matemática de la Música. Este congreso es el órgano de expresión de la Society for Mathematics and Computation in Music [SMC18] (Sociedad para las Matemáticas y la Computación en la Música o SCMC). Está sociedad fue fundada en 2006 por Guerino Mazzola [Wik18] (su actual presidente) y otras figuras destacadas del campo (Thomas Noll, Moreno Andreatta, David Clampitt, entre otros). La reunión inaugural tuvo lugar en Berlín en mayo de 2007, en el Instituto Estatal de Musicología [fM18]. Allí se constituyó la sociedad formalmente y ha venido funcionando desde entonces con eficacia y gran fuerza. Se puede consultar un resumen de su actividad en sus boletines informativos (http://www.smcm-net.info/newsletter/SMCM_Newsletter_9.pdf). Si el lector está interesado en hacerse miembro de la sociedad, el enlace para el alta es http://www.smcm-net.info/registration.html Figura 1: La sociedad para las matemáticas y la computación en la música El Journal of Mathematics and Music [TFC18] es la revista oficial de la SCMC, de cuya publicación se encarga la prestigiosa editorial Taylor & Francis [Fra18]. Los campos de publicación de la revista son, de acuerdo a lo que reza en su página web, enfoques matemáticos a las estructuras y procesos musicales. La naturaleza de la revista es esencialmente interdisciplinar, como no se podía esperar otra cosa de este campo. Entre sus contenidos se pueden encontrar artículos que abordan cuestiones ontológicas y epistemológicas hasta modelos computacionales o matemáticos de objetos musicales, tratados con metodologías muy diversas, desde las propias de la ingeniería, las matemáticas hasta las cognitivas o lingüísticas. La revista está en el índice del JCR (las revistas con revisión por pares) y su factor de impacto en 2017 fue de 0.143. Es la principal referencia en las revistas del campo. Figura 2: La revista Journal of Mathematics and Music 2. Mathematics and Computation in Music 2019 La edición de 2019 no es la primera de este congreso. El congreso de la SMCM se celebra bianualmente y empezó en mayo de 2007, en Berlín, en Instituto Nacional de Musicología (el Staatliches Institut für Musikforschung). Abajo está la lista de los anteriores organizadores de este congreso; en 2014 hubo un congreso extra celebrado en Puerto Vallarta, México. MCM 2017: Universidad Nacional Autónoma de México, Facultad de Matemáticas, México. http://www.mcm2017.org/ MCM 2015: Queen Mary University of London, organizado Escuela de Ingeniería Eléctrica y Computación (Centro para la Música Digital) y la Facultad de Matemáticas. http://mcm2015.qmul.ac.uk/ International Congress on Music and Mathematics, organizado por la Universidad de Guadalajara, el INBA y la Universidad Nacional Autónoma de México en noviembre de 2014 en Puerto Vallarta, México. http://icmm.cucei.udg.mx/ MCM 2013: McGill University, Schulich School of Music y el CIRMMT, Montreal, Canada. http://www.music.mcgill.ca/mcm2013/ MCM 2011: Institut de Recherche et Coordination Acoustique/Musique (IRCAM), París. http://mcm2011.ircam.fr/drupal/?q=node/1 MCM 2009: Universidad de Yale, New Haven, Connecticut, Estados Unidos. http://www.mcm2009.info/ MCM 2007: Staatliches Institut für Musikforschung, Berlin. Como ya dijimos arriba, el MCM 19 va estar organizado por la UPM, GSU y el RSCMM. Este congreso interdisciplinar tendrá actividad científica (ponencias, paneles especiales, conferencias plenarias, mesas redondas) y actividad musical (conciertos). La actividad científica tendrá lugar en la Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Sistemas Informáticos (ETSISI), situada en el Campus Sur de la UPM (en el kilómetro 7 de la carretera de Valencia) y la actividad musical en el RSCMM, en su sede de Atocha. Hay una página web, https://mcm19.etsisi.upm.es y cuya portada se puede ver más abajo, donde se encuentra toda la información relevante de este congreso. Figura 3: La página web del congreso Los temas del congreso son los siguientes: Modelos y enfoques matemáticos y computacionales de la música, incluyendo aspectos lógicos, filosóficos y metodológicos. Musicología, teoría musical y análisis musical. Composición, interpretación e improvisación. La percepción y cognición de cualquier aspecto de la estructura musical. Música y emoción. Aspectos educativos and la práctica de la Teoría Matemática de la Música. Interacción musical y gestos. La historia de las matemáticas y la computación en la música. Aplicaciones de la teoría matemática y computacional de la música y herramientas computacionales para músicos, musicólogos y otros practicantes de la actividad musical. El estudio de los objetos derivados de la teoría matemática de la música. Las fechas importantes son estas: La fecha límite para todos los tipos de artículos: el 15 de enero de 2019. Notificación de aceptación: el 5 de marzo de 2019. Fecha para la inscripción anticipada: el uno de mayo de 2019. Fechas del congreso: del 18 al 21 de junio de 2019. El programa musical del MCM 2019, que tendrá lugar en el RSCMM, es el siguiente: MA - Music of Change. Naoki Kita, violín; Guerino Mazzola, piano; Heinz Geisser, batería y percusiones. Integral of sonatas para piano y guitarra de Diabelli y la sonata para piano y guitarra de Ponce. Octavio Alberto Agustín-Aquino, guitarra y Emilio Lluis-Puebla, piano. Desnudas de palabras. Conjunto de Pablo Romero Luis. Math’n’ Pop Concert: How to turn a Poem into a Song (with a little help of mathematics). Moreno Andreatta. Seguiremos informando sobre esta apasionante aventura matemático-musical.   Bibliografía [fM18] Staatliches Institut für Musikforschung. Página web. https://en.wikipedia.org/wiki/State_Institute_for_Music_Research, consultado en agosto de 2018. [Fra18] Taylor & Francis. Página web. www.tandfonline.com/, consultado en agosto de 2018. [SMC18] SMCM. Society for mathematics and computation in music. http://www.smcm-net.info/, consultado en agosto de 2018. [TFC18] Thomas Thomas Fiore and Clifton (editors) Callender. Journal of mathematics and music. www.tandfonline.com/JMM, consultado en agosto de 2018. [Wik18] Wikipedia. Guerino mazzola. https://en.wikipedia.org/wiki/Guerino_Mazzola, consultado en agosto de 2018.

Miércoles, 12 de Septiembre de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

226. 163. (Septiembre 2018) Miente si quieres

Decía Oscar Wilde que "el objetivo del mentiroso es sencillamente encantar, deleitar, proporcionar placer. Él es la mismísima base de la sociedad civilizada". No estamos muy seguros de compartir ninguna de estas afirmaciones pero, en lo que se refiere a la magia, una componente fundamental en la actuación de cualquier mago es el uso de la mentira, al menos del engaño; un engaño que el público acepta precisamente para ser encantado y deleitado, como afirma el afamado escritor. A mediados del año 2013 iniciamos una serie de juegos matemáticos con el denominador común de la detección de mentiras: detector de mentiras (número 104), deletrea tu mentira (número 105), ¿verdad o mentira? (número 106) y ¿has mentido? (número 107). En algunos casos, los juegos están basados en aspectos de lógica matemática, en otros se aplican algunas propiedades aritméticas sencillas y el resto son aplicaciones básicas de la parte de la criptografía relativa a la detección de errores. En esta ocasión describiremos otro juego de estas características pero en realidad, con esta excusa, queremos presentar a su autor: Leo Boudreau es un ingeniero estadounidense dedicado al mentalismo semiprofesionalmente y de quien dicen es el mayor experto en las aplicaciones mágicas de los ciclos de de Bruijn, una de las cuales ya estudiamos en el número 94 de este rincón. Es autor de tres libros dedicados al mentalismo, Psimatrika (1986), Spirited Pasteboards (1987) y Skullduggery (1989). Si eres coleccionista, puedes adquirir el conjunto completo en el portal biblio.com; si no, te puedes conformar con las versiones en formato electrónico a la venta en lybrary.com. Trabajos posteriores a la publicación de sus libros han ido apareciendo en el chat The magic café, los cuales han sido recopilados en el blog Grey Matters de Scott Cram. El juego que nos ofrece Leo Boudreau se titula "Lie to me" y, en realidad, se trata de una versión simplificada del detector de mentiras ya citado pero con una presentación más natural y con objetos cotidianos. Como la mayoría de juegos de este estilo, su funcionamiento está basado en la aritmética binaria. Esta es la descripción: Muestra cuatro objetos. Para facilitar la explicación, digamos que son un ANILLO, un BOLÍGRAFO, una CARTERA y un DADO. Indica a un espectador que escoja mentalmente uno de ellos. Además, debe decidir representar uno de los siguientes personajes: SINCERO O MENTIROSO. A continuación, le harás tres preguntas las cuales responderá de acuerdo al objeto y al personaje elegidos. Es decir, responderá siempre la verdad si ha elegido ser sincero y mentirá siempre si ha preferido ser mentiroso. Primera pregunta: -¿Has escogido el bolígrafo o la cartera? Segunda pregunta: -¿Has escogido el dado o el bolígrafo? Tercera pregunta: -¿Has escogido la cartera o el dado? Termina adivinando cuál es el objeto escogido por el espectador indicándole además si ha contestado la verdad o ha estado mintiendo. Para saber cuál es el objeto escogido y descubrir si ha mentido o no, haremos una tabla con todas las posibilidades de respuesta a cada pregunta. Como ya habrás adivinado, indicaremos cada objeto por su inicial: A B C D     primera pregunta - X X - segunda pregunta - X - X tercera pregunta - - X X verdad mentira objeto elegido objeto elegido A B C D A B C D no sí sí no sí no no sí no sí no sí sí no sí no no no sí sí sí sí no no Como se puede observar, cada una de las ocho posibles secuencias de respuestas corresponde a una única permutación de tres elementos en el conjunto . Si realizamos la equivalencia "sí = 1" y "no = 0", la siguiente tabla permite adivinar si el espectador ha decidido decir la verdad así como el objeto elegido: Respuestas Objeto Personaje 000 001 010 011 100 101 110 111 A B C D D C B A sincero mentiroso mentiroso sincero mentiroso sincero sincero mentiroso Lo que propone Leo Boudreau no requiere recordar esta tabla sino pasar al sistema decimal el número binario correspondiente. Además, esa conversión puede hacerse progresivamente, a partir de cada respuesta. De este modo, cualquier respuesta negativa corresponde al valor cero y cada una de las respuestas afirmativas tiene valor 1, 2 y 4, respectivamente. Al ampliar la tabla anterior (teniendo en cuenta que el número correspondiente a las respuestas tiene las cifras invertidas ya que la primera respuesta corresponde a la cifra de las unidades, la segunda a la cifra de las decenas y la tercera a la cifra de las centenas), nos queda la siguiente: Respuestas Número binario Número decimal Objeto Personaje 000 001 010 011 100 101 110 111 000 100 010 110 001 101 011 111 0 4 2 6 1 5 3 7 A B C D D C B A sincero mentiroso mentiroso sincero mentiroso sincero sincero mentiroso En definitiva, observamos que los totales de 0, 3, 5 y 6 corrresponden a los objetos A, B, C y D, respectivamente, y el espectador ha sido sincero. Si no ha salido ninguno de esos totales, el espectador ha mentido. Al restar dicho total de siete, se obtiene el objeto elegido por dicho espectador. Veamos un ejemplo para ilustrar el proceso: el espectador ha seleccionado la cartera y ha decidido ser mentiroso. A la primera pregunta "¿es bolígrafo o cartera?" ha respondido que no. Asignas el valor 0. A la segunda pregunta "¿es dado o bolígrafo?" ha respondido que sí. Sumas 2 y recuerdas el número 0 + 2 = 2. A la tercera pregunta "¿es cartera o dado?" ha respondido que no. Sumas 0 y obtienes el total 0 + 2 = 2. Como el número 2 no coincide con ninguno de los valores asignados (que son 0, 3, 5 y 6), ya sabes que el espectador ha mentido. Además, como 7 - 2 = 5 y el valor 5 corresponde al objeto C, también sabes que ha elegido la cartera. Comentarios finales: En su folleto "Lie to me", Leo Boudreau explica que se puede realizar el juego con más de cuatro objetos adaptando convenientemente las preguntas que deben realizarse y los valores que deben asignarse a cada objeto. Te concedo el privilegio de descubrir por ti mismo las modificaciones pertinentes. Un juego similar al descrito es el titulado Cubist Magic, escrito por Jeremiah Farrell y publicado en el libro "Puzzlers' tribute: a feast for the mind", segundo de la colección que recoge las recopilaciones de los encuentros Gathering for Gardner, en homenaje a Martin Gardner. De hecho, este juego ya ha aparecido en nuestro rincón (número 59, marzo de 2009). Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Viernes, 07 de Septiembre de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

227. 47. (Septiembre 2018) Poliedros en la gnomónica

(Reloj rombicuboctaédrico. 1578. Landesmuseum Württemberg, Stuttgart) La gnomónica, el arte de construir relojes solares, era una parte de las matemáticas aplicadas muy vinculada a la astronomía. El gnomón es el objeto alargado que proyecta la sombra que permite hacer la lectura; suele ser una barra, un triángulo, un paralelogramo (para muros norte/sur) e incluso un orificio gnomónico en los dispositivos de cámara oscura. La parte teórica de la gnomónica es simple: una barra paralela al eje de rotación de la Tierra mueve regularmente su sombra a razón de 15º a la hora sobre un plano paralelo al Ecuador. El reloj solar más sencillo se construye con un triángulo rectángulo vertical orientado al sur y cuya hipotenusa sea paralela al eje de giro. Sobre un plano perpendicular a la hipotenusa la sombra se moverá con velocidad angular constante. (Retrato de Nicolas Kratzer. 1528. Hans Holbein el Joven. Museo Louvre) La inclinación de 23º 27´ del eje de la Tierra sobre el eje de translación alrededor del Sol hace que la longitud de la sombra cambie (permitirá hacer un calendario) pero no altera la regularidad del movimiento.  Un reloj solar solo vale para una latitud determinada. Cualquier cambio del plano proyectivo se obtiene mediante intersección del plano gnomón/Sol con el plano que recibe la sombra. Se trataba de una actividad que requería cierto virtuosismo de cálculo en el Renacimiento. Los poliedros han sido objetos privilegiados para construir relojes solares por sus múltiples caras planas. Podemos encontrar relojes con formas de varios poliedros: el cubo como más sencillo al rombicuboctaedro mayor. Una muestra de la construcción de relojes solares de múltiples caras la encontramos en el Retrato de Nicolas Kratzer (1528) de Hans Holbein el Joven que se encuentra en el Museo del Louvre de París. El astrónomo matemático Kratzer es pintado mientras fabrica un reloj octaédrico con dos vértices truncados. (Reloj icosaédrico. 1633. Palace of Holyroodhouse, Edimburgo) Si hay un lugar privilegiado para encontrar relojes poliédricos es Escocia. En los alrededores de Edimburgo encontramos rutas que van mostrando relojes solares múltiples sobre las caras de diferentes poliedros. Así en los jardines del palacio real de Holyroodhouse encontraremos un reloj icosaédrico de 1633. Un poliedro muy frecuente usado por los relojeros matemáticos más virtuosos es el rombicuboctaedro; una muestra es el que encabeza el escrito localizado en el Landesmuseum Württemberg de Stuttgart y otro situado en Palacio Carberry Tower de Edimburgo. (Reloj rombicuboctaédrico.  Hotel Carberry Tower. Edimburgo) Continuamos en Escocia con otro rombicuboctaedro, el mayor esta vez, que se encuentra en Nunraw Abbey, unos 25 kilómetros al Este de Edimburgo. (Reloj rombicuboctaédrico mayor.  Nunraw Abbey. Escocia) (Reloj dodecaédrico.  Palacio Madama. Turín) Los cinco sólidos platónicos han servido para construir relojes solares. Uno dodecaédrico lo encontramos en el Palacio Madama de Turín, uno de los edificios del conjunto Patrimonio de la Humanidad de la Casa de Saboya. El museo se encuentra en la animada Plaza del Castillo y, aunque hoy no lo parezca, el Castillo fue el propio Palacio, cuya fachada actual es dieciochesca. El Observatorio Astronómico de Turín estaba en el interior. En España hay varios lugares de gran interés gnomónico, uno de ellos es Palma, ciudad que ofrece paseos deliciosos a través de sus 37 relojes catalogados. Destacamos uno, localizado en el Paseo Marítimo formado por dos tetraedros girados y unidos por el vértice, lo que nos permiten jugar con la sombra en cada una de las caras. (Relojes tetraédricos.  Paseo Marítimo. Palma) El octaedro es relativamente corriente, reproducimos uno que se exhibe entre la rica colección de instrumentos matemáticos del Germanisches Museum de Núremberg. (Reloj octaédrico.  Germanisches Museum. Núremberg) Hemos dejado para el final el cubo, el que requiere de menos capacidad de cálculo. Un bonito ejemplo se localiza en una de las casas palacio de Ávila entre los objetos de escritorio. (Reloj cúbico. Ávila)

Jueves, 06 de Septiembre de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

228. 114. (Septiembre 2018) Ada.Ada.Ada., de Zoe Philpott

Ada.Ada.Ada. es un espectáculo de sesenta minutos de duración. Habla sobre la vida y la obra de la matemática Ada Lovelace (1815-1852), considerada como la primera persona programadora de la historia. Esta performance cerró la cuarta edición de la conferencia internacional de educación STEAMConf, celebrada durante el pasado mes de abril. La emprendedora y diseñadora Zoe Philpott es Ada Lovelace. Sobre el escenario lleva una indumentaria que une lo viejo y lo nuevo. La protagonista lleva un fastuoso vestido del siglo XIX, como corresponde a una condesa. Pero ese ropaje está provisto de 4 400 luces LED que la actriz activa mediante guantes de satén, dependiendo del momento de la obra. Esta llamativa iluminación sobre un vestido de la época victoriana simboliza las revolucionarias ideas de Ada Lovelace, la hija de la princesa de los paralelogramos y del poeta maldito. El vestido es la historia sobre su inspiración, un reflejo de una lucha contra los límites preestablecidos y de pensar con visión de futuro. Zoe Philpott en El País Ada.Ada.Ada es a la vez una conferencia, una pieza de teatro y un espectáculo en el que el público interactúa para convertirse en el primer ordenador del mundo y utilizar un programa sencillo entre todos. La experiencia pone de manifiesto la importancia de los logros conseguidos por Ada Lovelace y su impacto en la tecnología actual, además de demostrar que cada uno de los asistentes puede formar parte de la tecnología. CCCB Nota Adaptado de Ada.Ada.Ada. publicado en Mujeres con ciencia en julio de 2018. Más información Ada.Ada.Ada STEAMConf2018 Ada.Ada.Ada – Ada Lovelace en el Centro de Cultura Contemporánea de Barcelona (CCCB) Ada.Ada.Ada. Performance en homenaje a Ada Lovelace. CCCB Jordi Pueyo Busquets, 4.400 bombillas para la silenciada historia de la mujer que escribió la primera ‘app’ en 1843. Un monólogo reivindica el papel clave de Ada Lovelace en la historia de la ingeniería informática, El País, 18 abril 2018 Ada.Ada.Ada. Shift, octubre 2017

Sábado, 01 de Septiembre de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

229. 162. (Julio 2018) Los discos de calcular

A lo largo de la historia, una gran variedad de material educativo en forma de dispositivos, artefactos, cacharros, ..., se ha diseñado para ayudar en el aprendizaje de las operaciones aritméticas durante las etapas más tempranas de la escuela. Sin entrar en el eterno conflicto entre los partidarios y detractores sobre el uso de instrumentos electrónicos que permiten esquivar el ejercicio rutinario de aprender las reglas básicas de la suma, resta, multiplicación y división, podemos afirmar que uno de los métodos pedagógicos más reconocidos por su eficacia es el desarrollado por María Montessori. Bajo las directrices de las ideas filosóficas que propugna el método Montessori, se han elaborado multitud de guías didácticas con material manipulativo original con el cual introducir los conceptos aritméticos básicos: regletas de colores, discos numerados, plantillas diversas, figuras geométricas y un largo etcétera. Es fácil encontrar en internet todo este material así como diversos estudios sobre la eficacia de su método. Como puedes suponer, esta introducción no tiene relación con el tema de esta sección. O quizá sí: la mención al uso de material manipulativo en la enseñanza es una excusa para presentar el juego que traemos hoy, que va de sumas y restas. El juego está firmado por L. Vosburg Lyons, personaje ya citado en las entradas precedentes (mayo de 2018 y junio de 2018), y apareció publicado en marzo de 1944, en el número 55 de la revista de magia The Phoenix, bajo el título "Dizzy Discs". La revista The Phoenix fue publicada por Walter Gibson y Bruce Elliott y apareció cada dos semanas durante los años 1942 y 1954, alcanzando un total de 300 números de cuatro páginas. Como ave que renace de sus cenizas, la revista volvió a aparecer con el nombre de "The New Phoenix", publicándose 98 números entre 1954 y 1965, sucediéndose en la edición Jay Marshall, Roy Benson, Don Tanner y Karl Fulves. En esta revista aparecían regularmente las contribuciones mágicas de las mentes más lúcidas del mundo del ilusionismo. No podían faltar por tanto los juegos de magia matemática, tan del gusto de la época. Al igual que ocurrió en las dos entregas anteriores de este rincón, L. Vosburg Lyons será el que nos muestre el secreto de una nueva demostración de habilidad calculística. A partir de un par de números elegidos por un espectador, el mago calculará inmediatamente la suma y la resta. Imprime y recorta los seis discos de la figura adjunta. Observa que todos ellos están formados por una cifra central y las nueve cifras restantes formando un círculo (o un nonágono (o un eneágono)). A partir de ahora identificaremos cada disco por su número central. Coloca los discos sobre la mesa en dos filas, en el mismo orden de la figura. En realidad, solo importa que los discos 1, 4 y 7 estén en la fila superior y los discos 2, 5 y 8 en la fila inferior. Pide a tu colaborador/a que elija una cualquiera de las cifras del borde de cualquier disco (tendrá 54 posibilidades pues hay nueve cifras en cada disco). Pongamos por ejemplo que se ha elegido la cifra 7 del disco 2 (el primero de la fila inferior). Haz escribir en una hoja de papel un número con todas las cifras de ese disco, siguiendo el sentido horario, empezando por la cifra elegida. Por tu parte, debes recordar la última cifra de este número. Según nuestro ejemplo, el número escrito será 753086419 y la última cifra es 9. Pide ahora que seleccionen otra cifra de otro disco, pero de la misma fila que el disco anterior. Haz escribir bajo el anterior, un nuevo número de nueve cifras, de la misma forma que el anterior y fíjate, mientras tanto, cuál es la última cifra de este nuevo número. Digamos, por ejemplo, que la segunda cifra elegida es 1, del disco 5. El nuevo número es pues 160493827 y su última cifra es 7. Ya sabes cuál será la última cifra de la suma de ambos números, basta sumar las cifras que has recordado. Debes buscar esa cifra en el disco cuyo número central sea la suma de los discos elegidos (si dicha suma es mayor que 9, réstale 9). Volviendo a nuestro ejemplo, los discos seleccionados eran el 2 y el 5. Como su suma es igual a 7, debes buscar la cifra 6 (pues 9 + 7 = 16) en el disco 7. Pide a tu ayudante que sume los dos números. Mientras tanto, tú escribirás también la suma en otra hoja de papel pero llegas al resultado mucho antes que él. Según nuestro ejemplo, escribirás las cifras del disco 7 en sentido horario teniendo en cuenta que la última es el 6. El resultado final será 913580246. En efecto, 753086419 +  160493827 ------------------ 913580246 La segunda parte del experimento consiste en una resta: nuevamente pides a tu colaborador/a que seleccione dos números y, mientras los resta, tú das el resultado de forma casi inmediata. El esquema de elección es el mismo que para la suma pero con dos variantes: las cifras seleccionadas deben elegirse de dos discos que estén en filas diferentes y la segunda cifra debe ser menor que la primera. Al saber la última cifra de cada número, puedes calcular la cifra final de la resta, número que buscarás en el disco que sea la resta de los discos elegidos. Ahora bien, si la resta de los discos es negativa, tendrás que sumar 9 al resultado. Hagamos un ejemplo: del disco 4 eligen el número 6 y del disco 5 eligen el número 2. El espectador debe escribir los números 617283950 y 271604938. Tú ya sabes que la resta debe terminar en 2 (pues es la resta de las dos últimas cifras) y que el número total está contenido en el disco 4 - 5 + 9 = 8. Es fácil escribir el resultado final de la resta: 345679012. Se puede comprobar también que 617283950 -  271604938 ------------------ 345679012 Comentarios finales: Hasta aquí la descripción del juego como lo cuenta el bueno de Lyons. Sin embargo, hay algunas irregularidades que observarás en cuanto trates de comprobar la eficacia del método con algunos otros ejemplos. Concretamente, si la suma de los dos números tiene más de nueve cifras, no funciona bien el sistema de los discos. La solución no es sencilla pero veremos algunos casos y cómo se manejan. Digamos que el espectador ha elegido las cifras 4 y 8 de los discos 1 y 4, respectivamente. De esta forma, escribiría los números 432098765 y 839506172. Según el método general, debes buscar la cifra 7 en el disco 5 y anotar todas las cifras en sentido horario hasta terminar en 7. Ese número no da la suma correcta. En este caso, lo mejor es sumar las cifras elegidas por el espectador: 8 + 4 = 12. Esto significa que el número empieza por las cifras 12, de modo que lo mejor es buscar la cifra 2 en el disco 5 y escribir todas las cifras a partir de ella. Además, hay una corrección adicional: hay que restar una unidad a la última cifra. Vamos a comprobar este ajuste al método con otro ejemplo: Disco Cifra elegida Número 2 8 3 7 308641975 790123456 Como 2 + 8 = 10, debes buscar la suma en el disco 1. La suma de las cifras elegidas es igual a 10, de modo que la secuencia de cifras empieza en cero: 098765432. Al restar una unidad a la última cifra, se obtiene la suma correcta: 1098765431. Un problema más interesante es averiguar cómo se han elaborado los discos para conseguir los efectos deseados. Una vez descubierto el método, la siguiente pregunta es: ¿se pueden conseguir efectos similares con otros conjuntos de discos? Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Lunes, 02 de Julio de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

230. 132. CONCURSO DEL VERANO DE 2018

Echando mano de la introducción del año pasado, nos encontramos con “¿Qué tal se presenta este verano? Caluroso, ¿verdad? Al menos junio está siendo tórrido”. Cortaremos aquí antes de que alguien empiece a echar pestes teniendo en cuenta la que ha estado cayendo hasta hace muy poquito. De modo que, sin mayores explicaciones, vamos con nuestra cita estival con los ejercicios de matemáticas y la búsqueda de la (o las) película(s) enigmática(s), con mucho de nostalgia en esta ocasión. Para los nuevos, recordemos la mecánica: a partir de las pistas que se dan (algunas pueden despistar más que otra cosa), hay que averiguar el título de una película (o películas) oculta, y de paso, responder unas preguntillas (las de tipo matemático en color rojo; las de tipo cultural, azules). Quien o quienes mayor puntuación alcancen serán los ganadores, a los que la dirección de DivulgaMAT les hará llegar algún obsequio. Se intenta (no siempre se logra) plantear cuestiones de todos los niveles (sencillas, medias, difíciles), pero como nadie sabe a que categoría pertenece cada una (además de que la dificultad de algo siempre es un concepto subjetivo), ninguna a priori debería evitarse. Ni dejar de enviar las respuestas, aunque sólo se sepa una (quien sabe, a lo mejor, nadie ha acertado más, cosas más raras se ven diariamente). Y por supuesto, descubrir (o revisar) títulos, quizá olvidados, de la Historia del Cine. Este año, para variar, una película de esas que dicen que hay que ver antes de morir al menos una vez (o sea, muy conocida). Y, además, a colorines, que la gente se queja del B/N (equivocadamente, porque son las mejores, pero, en fin, para gustos se hicieron, precisamente, los colores). CONCURSO Y hablando de colores, el color es fundamental en la película que nos ocupa. Hay muchas películas en las que los diferentes colores definen bien a los personajes, bien los acontecimientos que suceden, o que premonizan (C – 1). Los colores esenciales de la película que nos ocupa son, curiosamente, los de la bandera del país donde se rueda mayoritariamente. En la obertura, aparece el mismo óleo bajo diferentes tonalidades. Vemos dos de ellas. Estamos ante una de esas películas que no tiene nada que ver disfrutarla en pantalla grande a verla en el ordenador, en la tele, o ya en el colmo de los despropósitos, en un Smartphone. ¡¡Cómo han cambiado los tiempos!! (C – 2). Además, hoy ir a una sala de cine, supone, aparte de no poder ir andando porque en la mayoría de ciudades se han ido yendo a centros comerciales del extrarradio (C – 3), estar oyendo junto a la banda sonora, las declamaciones de los actores (cada vez más reducidas también) o el estruendo de los efectos sonoros, un ruidito característico, bastante molesto  por cierto, de crujidos y movimiento de mandíbulas diversos. Esto me sugiere la siguiente cuestión: un grupo de diez amigos quedan para ir al cine. A la vez, un grupo de otros nueve amigos van a la misma película también juntos. Catorce de esas diecinueve personas compran un cucurucho de palomitas. El coste total de la entrada a la película más el cucurucho de palomitas de maíz para uno de los dos grupos resultó ser el mismo que para el otro grupo. Si la entrada al cine costaba 6 euros, ¿cuáles son los posibles precios de las palomitas? (M – 1). De la experiencia de años precedentes, una de las cuestiones que más sitúan a los participantes de este concurso a la hora de adivinar la película es el conocer el año de estreno. Esto les permite normalmente acotar la búsqueda en internet, porque normalmente no han visto la película (y es una manera de que la vean). En esta ocasión, esto no debería hacer falta, pero por si acaso, digamos que los números 100231 y 25561 les pueden servir de ayuda. ¿Por qué? Pues porque cada uno de esos números proporciona el mismo resto, que indica el número de largometrajes dirigidos por el realizador de la película, cuando se dividen por el año de estreno de la película que nos ocupa (M – 2). Entrando en materia, uno de los personajes de la película se fija en el cuaderno de la hija de la paciente que ha ido a asistir, que por cierto se ha intentado envenenar. Y detiene su atención en el cuadrilátero de la imagen. Seguramente el problema que trata de resolver sea el de probar que, si un tetraedro solamente tiene un lado mayor que la unidad, entonces su volumen es menor o igual que un octavo. ¿Crees que ese puede ser el ejercicio? Justifica tu respuesta haciendo el citado ejercicio. (M – 3) . En otra de las páginas vemos un triángulo. Venga, vamos con algo de triángulos: Un triángulo ABC tiene lados AB = 5, AC=7, y BC = 8. El punto D se encuentra sobre el lado AC de modo que AB = CD. Extendamos el lado BA a partir de A hasta un punto E tal que AC = BE. La línea ED corta entonces al lado BC en el punto F. ¿Cuánto miden AD, AE, BF y FC? (M – 4). Como en otras películas y relatos, la coincidencia entre personajes es el eje que articula el relato. Se cruzan diferentes líneas argumentales, para terminar en el desolado final característico de la obra del realizador de esta película (me encanta este director, por cierto). Esas acciones se enlazan frecuentemente más con un sonido que con una imagen. Por ejemplo, el ruido del porta muestras de un microscopio se enlaza con el de un tranvía arrancando, o el chasquido de un fusil con el de una ventana abriéndose (C – 4). El protagonista principal es, curiosamente el que menos habla, el menos importante en la narración, es sólo la excusa para mostrarnos unos sucesos clave en la historia, y la relación entre los demás personajes. Es un idealista que se empeña en aislarse de todo lo que sucede a su alrededor con sus tres pasiones (ninguna son las matemáticas, aunque el actor protagonista se graduó en la Universidad en esta disciplina y en Física) (C – 5). Parece siempre fuera de lugar, ausente, compungido casi siempre (salvo en una fase del relato, en la que hay más soledad). Ni siquiera el actor aparece en primer lugar en los títulos de crédito, sino entre los secundarios. Aunque no se indique en ningún momento que sea una obra autobiográfica, lo cierto es que el personaje principal tiene muchos rasgos comunes con el escritor de la novela, una novela prohibida en su país de origen durante mucho tiempo (C – 6). Por estas características del personaje, el realizador eligió a un actor bastante limitado expresivamente, dócil, que no le diera problema alguno (lo conocía de haber hecho otra película antes con él), y quizá por eso, desechó a un montón de candidatos que la productora hubiera preferido como protagonista, con mucho más caché comercial (C – 7). Por cierto, aunque el actor principal se casara en dos ocasiones, el amor de su vida, según declaró en varias ocasiones, es la compañera de profesión que aparece en la imagen (C – 8). Volviendo a las matemáticas, hay un personaje en la novela que, habiéndose doctorado en estudios clásicos e impartir clase en un instituto de latín e historia antigua, posee una secreta pasión por las ciencias exactas. De forma autodidacta, estudia por la noche matemáticas con la idea de alcanzar un nivel universitario que lo permita trasladarse a la ciudad. Sus largas horas de estudio nocturno lo llevan a padecer insomnio. Seguramente dedicó horas a resolver integrales como éstas para las que fue capaz de desarrollar técnicas alejadas de los procedimientos convencionales (M – 5). Además, poseía un sentido de la justicia y la honestidad, de la nobleza y de los buenos sentimientos, y tenía una clarividencia y equilibrio extremos. Es destacable el hecho de que, a pesar de morir, está muy presente en el relato. Como si resucitase de algún modo. En la película, por cierto, se obvian las referencias a las matemáticas, a pesar de que en la novela se mencionan media docena de veces, y no sólo con este personaje (C – 9). En una fiesta del árbol de Navidad, un relevante personaje tiene bastante suerte en las cartas. Lo está ganado todo. En la imagen vemos que muestra un rey, y sobre la mesa ha sacado también una reina y un Jack (en realidad son otras figuras; no estamos en Norteamérica, pero también esta baraja tiene 52 cartas y tres comodines). La partida no se juega con comodines. ¿Cuál es la probabilidad de obtener esas tres cartas? (M – 6). ¿Y la probabilidad de extraer el rey, habiendo extraído previamente la reina y la sota? (M – 7). Su racha de suerte no se acaba ya que alguien, una mujer, lo dispara en plena fiesta. Una mujer que está ya harta de haber sufrido desde niña sus abusos, y que descubre en esa misma fiesta (esto no es de la película, sino de la novela) que probablemente está haciendo lo mismo con otras niñas. Para ver la catadura de este individuo, y entender la reacción de la mujer, horas antes habían tenido algunas palabras (y alguna cosa más), no demasiado cariñosas. El la dice: “El mundo se divide en dos categorías. Los que tienen el revólver cargado y los que cavan. Tú cavas” ¡¡¡No, no, perdón?! ¡¡¡Lamentable confusión!!! Le dice esto otro: “Existen dos clases de hombres. Solamente dos. Y ese joven pertenece a una de ellas. Ideas elevadas, es absolutamente honrado, es la clase de hombre que el mundo pretende admirar, pero que, de hecho, desprecia. Es la clase de hombre que provoca la infelicidad. Especialmente en las mujeres. Los de la otra clase no tienen ideas elevadas, no son puros, ¡pero viven! […] Casarte con él sería un auténtico desastre. Porque hay dos clases de mujeres. Y tú, como tú y yo sabemos, no perteneces a la primera” (C – 10). Entonces la mujer le pega un bofetón, y él, sin cortarse un pelo se lo devuelve. Intercambio de tortazos que ya hemos visto en otras películas entre un hombre y una mujer. Lo relevante, en esta ocasión, es que, el sopapo del actor a la actriz, ni estaba ensayado, ni venía en el guion, ni lo había indicado el director, ni nadie, fue decisión inesperada del actor, de ahí que la reacción de la actriz sea “totalmente espontánea” (C – 11). La película comienza y acaba en el mismo lugar, de hecho, toda ella es un flashback, con estructura circular. Entre los numerosos (y bellos) parajes en los que se van sucediendo las escenas (probablemente familiares para muchos lectores de estas líneas) nos encontramos una presa de una central hidroeléctrica (C – 12). La sección de algunos de sus túneles de aliviadero es semicircular, de 12 metros de ancho. A la hora de canalizar el agua en caso de emergencia, los ingenieros tienen dos opciones: colocar una tubería circular grande, o dos más pequeñas de igual radio. ¿Qué opción es mejor teniendo en cuenta que deseamos que, en caso necesario, se desagüe la mayor cantidad de agua posible lo más rápidamente posible? ¿Qué tamaño de tubería se debería usar? (M – 8). ¿Y si optan en vez de tuberías por una cámara de sección cuadrada? (M – 9). Si finalmente fuera rectangular, ¿cuál serían las dimensiones de superficie máxima? (M – 10). Diariamente una gran cantidad de hombres y mujeres trabajan en la presa, día y noche. Un ingeniero se queja al encargado – Este trabajo es degradante. No deberían emplear seres humanos para remover la tierra. No resulta eficaz. Si me dieran dos excavadoras más a estas horas habría adelantado un año del plan. Impertérrito, el jefe no articula palabra alguna. Piensa seguramente en la planificación realizada para ese sector con todo detalle. Grupos de 150, 100 mujeres y 50 hombres. La capacidad de trabajo físico de cada hombre, comprobado experimentalmente, el doble de la de cada mujer. Dependiendo de las necesidades, algunos días tenía más mano de obra que otros. Si no disponía al menos de 20 hombres, el número de mujeres no debía sobrepasar al doble del de hombres. Cuando llegaban entre 20 y 30 hombres, compensaba el déficit con 100 féminas. Las mujeres nunca faltaban. Los hombres, por su mayor fuerza física, eran requeridos en todos los sectores de la central. Y si tenía la suerte de contar con más de 30 hombres, la suma de mujeres más el doble de hombres la mantenía por debajo de los 100 individuos. Así, pensaba, la producción era máxima, y se sentía orgulloso de haber decidido personalmente esas proporciones. (M – 11) (C – 13). Por cierto, este personaje está desde el principio buscando a alguien, que hace tiempo que no localiza. En cierta ocasión lo descubre en la noche robando leña a hurtadillas, a altas horas de la madrugada, evitando ser visto. Así lo describe: “Un hombre desesperado en busca de algo con que calentarse es patético. Cinco millones de personas desesperadas en busca de combustible destruirían una ciudad” (M – 12) . “He ejecutado a hombres mejores que yo, sin que me temblara la mano”, reconoce. Y, sin embargo, en esa ocasión, no delata al infractor, e incluso lo libra de otro peligro que se le viene encima. Como en otras películas, los espejos, la imagen reflejada, la sombra de esa imagen, etc., tienen mucha importancia, porque nos informan del carácter de muchos personajes y de muchas situaciones. Hay a lo largo del metraje, un montón de objetos, casi con personalidad propia, que nos informan de detalles sutiles. Seguro que a más de uno este jarrón le trae a la mente algún famoso cuadro, aunque aquí el propósito es otro…  La cruz que vemos en la otra imagen tiene también su presencia en la película (M – 13). Si andas muy despistado, pero sabes algo de música, esta pista puede que te sea fundamental. Corresponde al tema central de la película, y fue (y sigue siendo) un tema muy popular. Desempolva tu piano, guitarra, flauta, o lo que creas conveniente, y mira a ver si te suena a algo conocido este trocito de la partitura. Cuestiones Matemáticas M – 1.- Resolver la cuestión planteada. M – 2.- ¿De qué año es la película? ¿Cuántas películas dirigió el director? M – 3.- Resolver las cuestiones planteadas. M – 4.- Resolver la cuestión planteada, es decir, dar los valores de AD, AE, BF y FC. M – 5.- Cuando decimos “métodos no convencionales”, queremos decir que, por ejemplo, para resolver las integrales trigonométricas descritas, no utilizaba el cambio de variable estándar t = tg(x/2). Resolver, indicando el procedimiento seguido (no nos vale sólo con el resultado final, que seguramente encontremos con facilidad con el ordenador; el personaje, no disponía de esa ayuda). M – 6.- Calcular dicha probabilidad. M – 7.- Resolver, indicando cuál de las dos probabilidades se ajusta mejor a la escena de la película. M – 8, M – 9 y M – 10.- Resolver. M – 11.- ¿Qué cantidad de hombres y mujeres proporcionan el mayor rendimiento de acuerdo a los datos facilitados? ¿Es un buen plan, o con la mano de obra indicada podríamos tener un rendimiento mayor? Describe tal procedimiento, si lo encuentras. M – 12.- Esa noche logra reunir ocho trozos de madera, iguales en longitud cuatro a cuatro, la mitad de ellos el doble de largos. Con ellos podría construir dos cuadrados perfectos, uno el doble del otro. Pero, ¿podría colocarlos de manera que encerraran tres cuadrados exactamente iguales? ¿Cómo? M – 13.- Algunas cuestiones acerca de esta cruz griega para resolver: i.- Cortarla en cuatro trozos con los que componer un cuadrado perfecto. ii.- Cortarla en tres trozos con los que hacer un romboide. iii.- Cortarla en tres trozos con los que se pueda componer un rectángulo de base el doble de su altura. iv.- En tiempos de guerra escasea todo. Se necesitan brazaletes para las enfermeras con una cruz roja, pero sin desperdiciar la poca tela roja de la que disponen. ¿Cómo cortar una pieza cuadrada de modo que logremos tener dos Cruces Rojas exactamente iguales sin ninguna pérdida de tela? v.- ¿Y si quisiéramos que las cruces resultaran de diferente tamaño? vi.- Cortar una Cruz Roja en cinco partes que formen dos Cruces Rojas más pequeñas, pero del mismo tamaño. Otra imagen de la película (otra pista más; este año, ¡¡no os quejareis!!), triste, lamentable, pero que me resulta visualmente muy impactante y, a pesar de todo, con cierta belleza en su composición. Cuestiones culturales C – 1.- Indica dos ejemplos de películas en las que esto sucede, explicando brevemente por qué. C – 2.- Propón, justificando un poco tu elección, dos películas en las que, si no se ven en pantalla grande, no la disfrutas casi nada, de dos décadas distintas y de dos nacionalidades diferentes. C – 3.- Señala dos ejemplos de salas de cine de tu ciudad que hayan desaparecido, dándonos algunos retazos de su existencia (fechas de apertura, cierre, tipo de sala, fotografía (si tuvieras; esta característica no es indispensable), y anuncio de alguna película programada allí publicada en algún periódico). Si la localidad donde vives es demasiado pequeña, elige y da esos datos de alguna ciudad. Si además tuviste la suerte de presenciar alguna película en alguna de esas salas (esto es no apto para menores de cuarenta años seguramente), te dejamos que nos cuentes algún dato evocador y nostálgico. C – 4.- Indica dos películas en las que suceda esto mismo, describiendo brevemente las escenas en las que suceden. C – 5.- Una cuestión anacrónica: cuando averigües la película de la que estamos hablando, señala cuáles son esas tres pasiones del protagonista. C – 6.- Cita dos obras literarias, que fueran prohibidas en el país de su autor, señalando brevemente los motivos. C – 7.- ¿Qué actores se barajaron antes del definitivo para realizar la película? C – 8 .- ¿Quién es la mujer de la imagen? Señala alguna película en la que participara, y si en alguna ocasión trabajó junto a su esposo. C – 9.- ¿De qué personaje hablamos? ¿Por qué decimos que resucita? ¿Qué otro personaje, no presente en la película, tiene amplios conocimientos de matemáticas? C – 10.- Ambas frases tienen un inicio parecido, de ahí la confusión, pero además las películas a las que pertenecen ambos diálogos tienen alguna cosa más en común. ¿Cuál? C – 11.- ¿Qué otra improvisación no esperada ni escrita tuvo lugar entre ambos actores en el rodaje de esta misma película? C – 12.- ¿Qué otra célebre película se rodó en el mismo lugar que ésta? C – 13.- Curiosamente, en la resolución de la cuestión anterior, aparece oculto en algún lugar un objeto presente a lo largo de toda la película, muy querido por su protagonista. ¿Cuál es? ¿Qué importancia tiene en el argumento? Y la cuestión final: ¿Cuál es el título de la película? ¿La conocías? ¿Cuál ha sido la pista que te ha llevado a encontrarla? ¿Qué te han parecido película, novela y concurso? Baremo: Todas las cuestiones tanto las rojas (las matemáticas) como las azules (cine y demás) se valorarán con 10 puntos. En total, 260 puntos en juego, creo. Todo comentario, sugerencia, queja, etc., será bien recibido. Si no salen algunas cosas, no importa; lo que cuenta es tratar de pasar un buen rato, disfrutar de películas (que el verano da para mucho), y mantener las neuronas un poco activas. P.D.: Espero que no haya ningún error en las cuestiones. Se han repasado varias veces, pero algunas, al ser inventadas o retocadas de otros enunciados, podrían tener alguna errata. Sed benévolos con vuestros calificativos si tal cosa sucediera. El plazo para enviar las respuestas, es como en años precedentes, hasta las 00:00 del sábado 1 de Septiembre, o las 23:59 del viernes 31 de agosto de 2018, a la dirección alfonso@mat.uva.es, indicando en el asunto Verano 2018. ¡¡¡¡Buen Verano Cine-matemático!!!!

Miércoles, 27 de Junio de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico