211. 16. (Mayo 2008) Edgardo Mercado: acercando la danza y las matemáticas

Edgardo Mercado es coreógrafo, bailarín y docente. De su formación (principalmente en Argentina, EEUU y Francia) y su exitosa carrera en el mundo de la danza se puede saber más en este enlace. Como absoluta profana que soy en el mundo de la danza, la faceta que me interesa destacar de este coreógrafo es la que fusiona su arte con las matemáticas. Antes de volcarse en el mundo de la danza, Edgardo Mercado estudió ciencias físicas e incluso impartió clases de matemáticas de nivel superior. Esta formación científica es la que sin duda le ha llevado a plantear sus coreografías con una especial inspiración matemática, singular y seductora. Esta reseña trata de su trilogía: Tierra de Mandelbrot (2004) distinguida con el premio Teatros del Mundo 2005 en el V Festival Internacional de Buenos Aires, Plano difuso (2006) que recibió el premio especial del Jurado durante el certamen Paradigma Digital, y Argumentos a favor de la oscuridad (2007). Agradezco a Edgardo Mercado el haberme hecho llegar los DVD de estas tres obras. A pesar de que él mismo me advirtió que las grabaciones desdibujan muchas sensaciones, debo reconocer que lo que he visto no me ha dejado indiferente. En las tres obras, y por medio de imágenes incesantemente proyectadas sobre el escenario, aparece la sensación de desintegración: en muchos momentos, sólo se consigue ver parte de los cuerpos de los actores, que se difuminan ante los espectadores. Edgardo Mercado dice de Tierra de Mandelbrot: “En esta obra no hay narrativa, no hay causa-efecto; solo tres sujetos fractales transformando nuestro modo de mirar, percibir y valorar la realidad dentro del marco del paradigma complejo, regido por el orden-desorden, la recursividad y la autosimilitud.” Dos luces aparecen en medio de la oscuridad, apenas se perciben trozos de los cuerpos de dos personas que se manifiestan, reptan, giran y desaparecen. Las dos bailarinas, desnudas, se visten con ropas blancas ordenadas de manera geométrica sobre el suelo. Comienzan a proyectarse luces e imágenes: números, códigos de barras, recortes de luz, que estrían, fraccionan y recomponen los cuerpos de las protagonistas. Aparece el violinista, que a veces toca unos acordes que se mezclan con el sonido electrónico grabado, a veces permanece inmóvil en el escenario. Los pequeños cuadrados proyectados sobre los actores provocan un efecto multiplicativo al moverse: las ideas fractales de recursividad y autosimilitud se dejan ver de manera obsesiva. Puede verse un fragmento de esta obra en este enlace. En Plano difuso aparece proyectada una casa en el fondo del escenario, un hombre encapuchado parece caminar hacia ella. La imagen de la casa de multiplica y de repente todo desaparece. El bailarín reaparece vestido de blanco; las luces e imágenes proyectadas sobre el escenario transmiten sensación de velocidad, de movimiento, de profundidad. Aparecen unos casilleros proyectados, donde imágenes del bailarín, desde diferentes puntos de vista, se van colocando y evolucionando alrededor del actor. La mezcla de estas imágenes digitales con el cuerpo transmite una sensación de irrealidad. Un fragmento de esta obra puede verse en este enlace. Argumentos a favor de la oscuridad, es un montaje experimental que tiene lugar en un largo y estrecho pasillo del Centro de Experimentación del Teatro Colón. Lo que aprecia el espectador depende de la posición que ocupa en las gradas del teatro: dos puntos de vista diferentes aparecen de un lado u otro del dispositivo escénico. Cinco bailarinas evolucionan en una escena en donde se abren puertas y ventanas, se proyectan figuras geométricas, enrejados, códigos de barras y textos recortados que permiten apreciar ciertas palabras: galaxia, velocidad, rotacional, gravitacional, Big Bang, etc., que van invadiendo  la escena. Surgen voces susurrando en diversas lenguas, mientras las bailarinas saltan y se deslizan entre continuos cambios de iluminación y de imágenes digitales que las rodean, las hacen transparentes, intangibles, sin rostro. En la página web de Edgardo Mercado aparece información completa sobre estas tres obras, con explicaciones del coreógrafo sobre su sentido, recortes de prensa con críticas de expertos teatrales, etc., que sin duda pueden dar una visión mucho más veraz que la escrita en estas líneas por, como he dicho al principio, una absoluta profana en el tema. En una entrevista concedida a la cronista teatral Laura Papa,  Edgardo Mercado comentaba: La matemática me brinda herramientas, es un camino que tengo más transitado y por lo tanto me sale más naturalmente diseñar espacial y corporalmente en estos términos.

Jueves, 01 de Mayo de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

212. 15. (Abril 2008) La banda de Moebius

La banda de Moebius de Alain Girodet La obra se estrenó en el Théâtre Tallia de París en julio de 2007, bajo la dirección de Bertrand Destrignéville, y con (citadas/os por orden de aparición)  Coralie Bonnemaiso (Mado), Fredérick Sigrist (Claude), Indira Lacour (Claire) y Hervé Terrisse (Jules). Se trata de una pieza en tres actos para cuatro personajes, dos mujeres (Mado y Claire) y dos hombres (Jules y Claude). En la obra se mezclan seducción, conspiración y manipulación. Las mentiras se suceden, y los personajes van descubriendo, turno por turno, sus ocultas intenciones. Esta comedia policial, con toques de humor y crítica mordaz,  se comporta como una banda de Möbius: el argumento gira y se altera, con sorpresas incesantes. En la publicidad que se hizo para la representación de la obra, se explicaba el título de la siguiente manera: La ‘banda de Moebius’ es una figura matemática que no posee ni interior ni exterior. Esto es lo que sucede con los personajes de esta extraña residencia, de esta mujer de la alta burguesía que invita a su casa a un vagabundo, diciendo que por pura caridad... El decorado es único, representa un salón de aspecto acomodado, con columnas, molduras en  techo y paredes, dorados, mobiliario elegante, entre ellos un escritorio y, en un ángulo de la habitación, un televisor, una mesita y una butaca. Mado, la esposa del barón Jules Voltereine, invita a Claude, un vagabundo del barrio, a pasar la tarde en su lujosa casa, ¿le mueve la caridad o esconde razones inconfesables? Los dos personajes conversan, discuten, se insultan a veces, presentando sus historias personales. Claude había sido profesor de matemáticas, despedido porque, en sus propias palabras, “Me había pasado un trimestre hablando de la banda de Moebius”: Éste era el motivo oficial aunque, en realidad, su cese estaba motivado por haber enseñado su colección de fotos eróticas a sus alumnos. Cuando Claire entra en escena, se descubre que Mado no es quien dice ser: es una empleada de la casa, que sufre el maltrato de sus dueños. Propone a Claude asesinar a Claire, la verdadera esposa del barón, para robarle sus valiosas joyas y huir. Claude dice entonces a Mado: “Mira, es esto: una banda de Möbius. ¿Ves? Por un lado está escrito “princesa”. Y si despliego la cinta, se lee del otro lado “criada”. Eres tú: princesa-criada. Eres una moebiusiana, sin saberlo”. La banda de Möbius confeccionada por Claude (fotografía de Alain Girodet) Más  adelante, Claude prosigue: “Imbecillus, en latin, significa débil, no es un insulto. Tú eres débil, yo soy débil, y menos por menos, en “mates”, da más”. Deciden asesinar a Claire, electrocutándola en la bañera, labor de la que se encarga el vagabundo. Cuando Jules Voltereine regresa de su viaje de trabajo, se revela que Mado ha vuelto a mentir: no desea robar las joyas y huir con ellas, sino eliminar a Claire para casarse con el barón, según ella y Jules habían pactado. De repente,  la supuestamente fallecida Claire, entra en escena, para sorpresa de Mado y Jules. Claude también ha mentido, no es un vagabundo, sino un oficial de la policía judicial (aunque si era cierto que había sido profesor de matemáticas), con el que Claire había contactado para descubrir las malvadas intenciones de su marido Jules y su amante Mado. La vida que Claude se había inventado era de hecho la de su hermano gemelo Antoine: “Es eso, es justamente eso… ¿ves? Yo también, soy… moebiusiano…”. Por cierto, Jules también había mentido, pretendía abandonar a Mado, en cuanto Claire hubiera desaparecido… Referencias: [1] En el blog de Alain Girodet, http://girodet.theatre-contemporain.net/, puede verse información sobre todas sus obras de teatro. [2] http://www.auteursdelombre.net/public/fiche_auteur.php?id_auteur=29, incluye información variada sobre Alain Girodet. [3] http://perso.orange.fr/indira-lacour/pdf/DP_Ruban_de_Moebius.pdf contiene el dossier de prensa redactado para el estreno, con información sobre el autor, el director y las/os protagonistas.

Martes, 01 de Abril de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

213. 13. (Febrero 2008) El árbol teatral

Paul Fournel (1947- ) entró en el grupo OULIPO en 1972, y es su presidente desde el fallecimiento de Noël Arnaud en 2003. Es escritor, poeta, autor dramático y hoy en día Agregado Cultural en la Embajada de Francia en El Cairo. Especialista en Guignol, Paul Fournel ha sido editor y ha dirigido las Éditions Ramsay y después las Éditions Seghers de 1987 a 1992. Jean-Pierre Énard (1943-1987) fue escritor, redactor del  Journal de Mickey, colaborador de la publicación PIF y director de la Bibliothèque Rose de la editorial Hachette. Paul Fournel es el creador de la contrainte (constricción) de estructura llamada  “El árbol teatral”, que utiliza la teoría de grafos para crear una pieza teatral. Debajo aparece la versión íntegra de L’arbre à théâtre. Comédie Combinatoire (en Oulipo, La littérature potentielle, Gallimard, 1973, 277-281), traducida a castellano: se trata sin duda de un método inaudito de generar una obra de teatro. El árbol teatral Comedia combinatoria por Paul Fournel (en colaboración con Jean Pierre Énard) Principio: En origen, el objetivo era hacer una comedia sobre una estructura en árbol. Los problemas provocados por una tal realización son especialmente numerosos y algunos nos han parecido prácticamente irresolubles. Una pieza “en árbol” demandaría en particular un esfuerzo de memoria casi sobrehumano a los actores. Hemos elaborado en consecuencia un grafo original que presenta al espectador todas las posibilidades del árbol, pero que no posee los inconvenientes para los actores. Modo de empleo: los actores interpretan la primera escena y después invitan al espectador  a elegir la continuación del espectáculo entre las dos escenas posibles (II y III). Las modalidades de esta elección se deciden dependiendo del lugar: los espectadores en una sala pueden por ejemplo votar a mano alzada; en el marco de una emisión radiofónica, pueden llamar por teléfono; etc. Lo esencial es que la duración de esta votación no sea demasiado significativa. En el caso que nos interesa el espectador deberá elegir cuatro veces, lo que significa que asistirá a una representación en cinco escenas. Como nuestro árbol consta de 15 escenas (4 de las cuales no involucran la elección del espectador) es posible representar dieciséis obras en cinco escenas diferentes. Normalmente estas dieciséis obras habrían precisado la redacción de 80 escenas (16 x 5). Economizamos por lo tanto 67 escenas. El árbol teatral: para que la estructura sea entendida de entrada por el espectador, hemos intentado construir tramas sencillas y lógicas para las que las elecciones ofertadas al público sean reales y funcionales. Escena 1: El rey está triste, una desgracia ronda el palacio. La reina que regresa de un viaje no consigue reconfortarlo, está triste por una de estas razones entre las que el  público va a elegir: La princesa, su hija, ha perdido la sonrisa (cf. escena 2) La princesa ha sido secuestrada (cf. escena 3) Escena 2: La princesa entra en escena, está triste. El rey ofrece una recompensa a quien le devuelva la sonrisa. La reina, madrastra de la princesa, se alegra en secreto. Los candidatos desfilan sin éxito. El héroe enmascarado llega, la princesa sonríe. El rey y la reina discuten. El rey descubre que la reina tiene un amante del que está embarazada y la reina averigua que el rey tiene un hijo desaparecido. El héroe enmascarado es: ¿El hijo del rey?  (cf. escena 5) ¿El amante de la reina? (cf. escena 4) Escena 3: La reina se lamenta hipócritamente ante el rey. Al estar la princesa desaparecida, es el niño que ella espera quien reinará. En el bosque la princesa retenida se enamora de su secuestrador y le pide que le vuelva a llevar a palacio para demostrarle su amor. En el castillo, el rey y la reina discuten. La reina tiene un amante del que espera un descendiente, el rey tiene un hijo que ha desaparecido. En medio de esta disputa el hombre enmascarado y la princesa llegan. El hombre enmascarado: ¿es el hijo del rey?  (cf. escena 5) ¿o el amante de la reina? (cf. escena 4) Escena 4: El hombre enmascarado es el amante de la reina. La princesa se desmaya. El rey enfurecido pide sus instrumentos de tortura. ¿Matará a su mujer?  (cf. escena 6) ¿Provocará un duelo con el amante? (cf. escena 7) Escena 5: El héroe afirma que es el hijo del rey. La princesa se desmaya. La reina exige pruebas y solicita pérfidamente hacer pasar al joven por la “trampa de nobleza”, para ver si efectivamente es de sangre azul. El rey no percibe lo absurdo de la situación y acepta. Sólo la princesa puede salvar al hombre enmascarado: ¿Se despierta la princesa?  (cf. escena 8) ¿Permanece inconsciente? (cf. escena 9) Escena 6: El rey pasa a su esposa por la máquina. Ve una manera de separarse. ¿Quieren un final feliz?  (cf. 10 + 14) ¿Desean un final infeliz? (cf. 11 + 15) Escena 7: El rey fuerza un duelo con el amante. Durante la pelea, la reina muere. ¿Quieren un final feliz?  (cf. 10 + 14) ¿Desean un final infeliz? (cf. 11 + 15) Escena 8: La princesa despierta. Muestra a su padre lo absurdo de la situación. En un arrebato de rabia, el rey obliga a su mujer a probar el dispositivo, ella muere. ¿Quieren un final feliz?  (cf. 12 + 14) ¿Desean un final infeliz? (cf. 13 + 15) Escena 9: La princesa no se despierta. El rey, antes de lanzar a su hijo en la máquina, desea verificar su funcionamiento y empuja a su esposa, que muere. ¿Quieren un final feliz?  (cf. 12 + 14) ¿Desean un final infeliz? (cf. 13 + 15) Escena 10: La reina ha muerto. El rey y el amante están aliviados. En efecto, el amante había seducido a la reina para introducirse en el palacio. Pero ama a la princesa.  Sin embargo está triste por ser su hermano (reconocimiento). Enlace con la escena 14. Escena 11: El amante furioso mata al rey. Enlace con la escena 15. Escena 12: El rey reconoce a su hijo. El héroe y la princesa están tristes porque se aman y no podrán casarse al ser hermanos. Enlace con la escena 14. Escena 13: El héroe furioso mata al rey (amaba a la reina). Enlace con la escena 15. Escena 14: De hecho, debido a un juego de bodas y adopciones, el héroe y la princesa no son hermanos y podrán casarse. Escena 15: El rey ha muerto. La princesa mata al héroe y se lanza en la “trampa de nobleza” (es rechazada, pero si el público quiere saber la razón, debe volver a ver el espectáculo porque la razón del  repudio se explica en la escena 14). Ejemplos de posibles recorridos: 1 – 2 – 4 – 6 – 10 – 14; 1 – 2 – 5 – 8 – 12 – 14; 1 – 3 – 5 – 9 – 13 – 15, etc. N. B.: Es evidente que un tal resumen no pretende restituir la rigurosa coherencia que hemos intentado mantener a lo largo de la obra.

Viernes, 01 de Febrero de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

214. 11. (Diciembre 2007) Ópera imaginaria, de Pascal Roulin

Ópera imaginaria (¡la ópera como no la habéis visto nunca!) Es una grabación, producida para la televisión pública francesa, realizada por Pascal Roulin en 1993. En la película, un misterioso hombre, el propietario de la ópera, va presentando a los espectadores diversas piezas de ópera, sus argumentos y personajes. Contiene doce extractos de algunas de las óperas más populares, animadas por famosos artistas europeos con distintas técnicas que van desde la plastilina a las imágenes de síntesis 3D. Las óperas representadas son: El payaso (Ruggero Leoncavallo), Rigoletto (Giuseppe Verdi), Carmen (Georges Bizet), Las bodas de Fígaro (Wolfgang Amadeus Mozart), Madame Butterfly (Giacomo Puccini), Los pescadores de perlas (Georges Bizet), La flauta mágica (Wolfgang Amadeus Mozart), La Cenicienta (Gioachino Rossini), Fausto (Charles Gounod), La Traviata (Giuseppe Verdi), Lakmé (Léo Delibes) y La Tosca (Giacomo Puccini). En este escrito se destaca el guiño matemático que aparece en la séptima pieza. En este fragmento se representa el aria Du also bist mein Brautigam? de La flauta mágica, última ópera creada por  Wolfgang Amadeus Mozart, cuya animación se debe al artista alemán Raimund Krumme. El aria está interpretada por la soprano eslovaca Lucía Popp. Estamos en el Acto II, en el Cuadro VII: Pamina (la hija de la Reina de la Noche), creyendo que su amado príncipe Tamino ha muerto, quiere suicidarse con un cuchillo que le ha proporcionado su madre. Los tres jóvenes genios (representados por un cilindro, un cubo y un cono) se lo impiden. En http://www.youtube.com/watch?v=O2X4ED6PjYg puede verse el video de esta preciosa pieza.

Sábado, 01 de Diciembre de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

215. 6. (Junio 2007) El niño y los sortilegios, de Maurice Ravel

Compositor: Maurice Ravel Libreto: Sidonie Gabrielle Colette Personajes: NIÑO Mezzosoprano FUEGO Soprano GATO Barítono PENDULO Barítono PIPISTRELLO Soprano CIVETTA Contralto GATA Contralto LIBELULA Contralto LA MAMA Contralto PASTORCILLA Soprano PRINCESA Soprano RANA Tenor Argumento: La escena tiene lugar en el interior de una casa en Normandía. El protagonista, el niño, intenta hacer sus deberes. La madre ve que las tareas no están hechas y castiga al niño dejándole como merienda sólo una taza de té sin azúcar y un trozo de pan duro. Al quedarse solo, el protagonista demuestra su enojo rompiendo objetos y maltratando a los animales domésticos. Aburrido, se recuesta sobre un sillón y entran en acción los sortilegios a los que alude el título: el sillón comienza a danzar con una silla, los muebles lo imitan enfadados con el protagonista, etc.  El niño,  atemorizado, llora… cuando de las páginas de un libro por él destrozado acude una princesa a consolarlo, aunque le reprocha su conducta. La princesa desaparece y ocupa su lugar un viejo amenazante, que le plantea problemas matemáticos para resolver: es la Aritmética. Sale la luna, el gato y la gata se unen en un afectado dueto amoroso. Los animales que viven en el jardín desafían y amenazan al niño: lo dejan solo y entablan raros diálogos, realizan frenéticas danzas, con tanta euforia que hieren a una ardilla. El niño, conmovido, ayuda al roedor. El resto de los animales, al ver el acto de compasión del protagonista, empiezan a dudar de su maldad. Lo acompañan hasta la casa, los sortilegios han finalizado: el niño regresa al mundo real, reclamando a gritos la presencia de su  madre. La ópera “El niño y los sortilegios” se estrenó en Montecarlo el 21 de marzo de 1925 y un año más tarde se presentó en el Teatro de la Opera Cómica de París. Es una fantasía lírica en dos partes (y un único acto) donde se recrean deliciosas atmósferas de cuento infantil. En 1916, Jacques Rouché, el entonces director de la Ópera de París, solicitó a su amiga Colette, la escritura de un libreto (en principio pensado para un ballet) de ambiente fantástico sobre los sueños de un niño perseguido por animales y objetos por él maltratados: Ballet pour ma fille. Ravel fue elegido para musicalizar la historia que, debido a problemas personales, abandonó el proyecto hasta 1919, año en que retomó el libreto y descubrió sus posibilidades, decidiendo crear una ópera y no un ballet. Portada diseñada por André Hellé para la primera edición de la ópera Esta obra es una sucesión de cuadros independientes que mezclan una multitud de géneros musicales: jazz, foxtrot, ragtime, polka, dúo maullador, vals y música coral. Para reproducir las numerosas onomatopeyas del libreto de Colette, Ravel utiliza instrumentos poco habituales, como un rallador de queso, una carraca con manivela, crótalos, bloques de madera, látigo, etc. Se pueden escuchar fragmentos de esta rica fantasía en el enlace www.iclassics.com/productDetail?contentId=2136 El libreto completo puede encontrarse en la página dedicada a los textos operísticos en castellano www.geocities.com/ubeda2004/enfant/acto1.htm. Destacamos aquí la parte en la que las matemáticas atormentan al niño: […] (Los patea. Voces chillonas salen de entre las páginas que dejan ver a las gesticulantes figuritas de los números. De un álbum abierto como un techo, salta un viejecillo jorobado, de nariz ganchuda, barbado, vestido con números, sombrero en forma de "pi", ceñido con una cinta métrica y armado con una regla. Sostiene un libro de madera que golpea cadenciosamente. Baila mientras recita fragmentos de problemas.) EL VIEJECILLO: ¡Dos grifos de agua fluyen a un tanque! ¡Dos ómnibus dejan una estación a veinte minutos de intervalo, valo, valo, valo! ¡Una campesina, sina, sina, sina, lleva todos sus huevos al mercado! ¡Un mercader de telas, telas, telas, telas, vende seis metros de trapo! (ve al niño y se le acerca de una manera malévola.) EL NIÑO: (aterrado) ¡Dios mío! ¡Es la Aritmética! EL VIEJECILLO, LOS NÚMEROS: ¡Tica, tica, tica! (Danzan alrededor del niño multiplicando sus maléficos pases.) Once más seis: ¡veinticinco! Cuatro más cuatro: ¡dieciocho! Siete por nueve: ¡treinta y tres! EL NIÑO: (sorprendido) ¿Siete por nueve, treinta y tres? LOS NÚMEROS: (levantando las hojas y chillando) Siete por nueve: ¡treinta y tres! etc. EL NIÑO: (con audacia) Tres por nueve: ¡cuatrocientos! EL VIEJECILLO: (balanceándose para mantener el ritmo) Milímetro,centímetro, decímetro,decámetro, hectómetro,kilómetro,miriámetro. ¡Sin fallar!¡Qué felicidad!¡Millones,billones,trillones,y fracciones! LOS NÚMEROS, EL VIEJECILLO: ¡Dos grifos de agua fluyen a un tanque! etc. LOS NÚMEROS: (hacen bailar al niño con ellos) Tres por nueve: ¡treinta y tres!Dos por seis: ¡veintisiete!¿Cuatro más cuatro?... ¿Cuatro más cuatro?...Cuatro por siete: ¿cincuenta y nueve?Dos por seis: ¡treinta y uno!Cinco por cinco: ¡cuarenta y tres!Siete más cuatro: ¡cincuenta y cinco! (Giran desenfrenadamente. El niño, aturdido, cae al suelo. El Viejecillo y el coro se retiran.) Cuatro más cuatro: ¡dieciocho!Once más seis: ¡veinticinco! (El niño se sienta con dificultad. La luna ilumina la habitación. El gato negro se desliza bajo el  sillón. Se estira, bosteza y se relame. El niño no lo ve pues, cansado, tiene la cabeza apoyada en un taburete. El gato juega, haciendo rodar una bola de estambre. Se acerca al niño e intenta  jugar con su cabeza rubia como si fuera una  pelota.) EL NIÑO: ¡Oh! ¡Mi cabeza! ¡Mi cabeza! […]

Viernes, 01 de Junio de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

216. 5. (Abril 2007) Quad, de Samuel Beckett (1906-1989)

El novelista y académico Raymond Federman describe esta obra como “poesía, danza, matemáticas, geometría - es la obra de trabajo más pura que Beckett ha creado jamás”. Quad (1980) es una obra minimalista para televisión, escrita en inglés,  donde todos los elementos de la obra giran en torno al número 4. El propio Beckett la describe como “un ballet para cuatro personas”. Samuel Beckett realiza y pone en escena la obra en 1981, producida por la cadena radiofónica alemana Süddeutscher Rundfunk y difundida en este país el 8 de octubre de 1981, bajo el título de Quadrat I & II. La primera difusión en el Reino Unido (BBC2) tiene lugar en diciembre de 1982, también bajo la dirección del autor. La editorial ubicada en Londres Faber and Faber publica la obra en 1984. Quad I es una obra para cuatro intérpretes, luz y percusión. Los cuatro intérpretes recorren un área dada (un cuadrado imaginario, de lado 6 pasos), siguiendo cada uno su propio trayecto. El único punto marcado en el suelo es el centro E, que Beckett denomina la zona de peligro. Los actores están concentrados en sus propios movimientos, pero deben siempre evitar esta zona, así como cualquier contacto entre ellos. Los trayectos de los actores son: Actor 1 AC CB BA AD DB BC CD DA Actor 2 BA AD DB BC CD DA AC CB Actor 3 CD DA AC CB BA AD DB BC Actor 4 DB BC CD DA AC CB BA AD El actor 1 entra en el punto A y termina su trayecto. Entra el actor 3 y juntos, recorren sus caminos. Después el intérprete 4 aparece y los tres atraviesan sus espacios según la tabla. Finalmente se incorpora el actor 2 y los cuatro efectúan sus recorridos respectivos. Esta escena puede verse en la página de la plataforma-archivo online Media Art Net: http://www.medienkunstnetz.de/works/quadrat/video/1/ Sale el actor 1. Continúan los actores 2, 3 y 4 y tras completar sus trayectos sale el número 3. Después de realizar juntos sus recorridos, sale el actor 4, con lo que acaba la primera serie. El actor 2 continúa, empezando así la segunda serie, y se continúa de este modo hasta completar cuatro series, según la tabla siguiente: Serie 1 1 13 134 1342 342 42 Serie 2 2 21 214 2143 143 43 Serie 3 3 32 321 3214 214 14 Serie 4 4 43 432 4321 321 21 De este modo, han tenido lugar los 4 solos posibles, los 6 dúos (2 de ellos 2 veces) y los 4 tríos (cada uno de ellos 2 veces). En el resto del guión, Samuel Beckett explica como debe introducirse la luz (4 focos de luz de diferentes colores, cada uno iluminando a uno de los actores),  la percusión (4 sonidos - tambor, gong, triángulo y taco de madera – cada uno asociado a uno de los intérpretes),  los pasos (cuyo sonido caracteriza a cada intérprete),  los vestidos (túnicas largas con capucha ocultando la cara y del mismo color de la luz que enfoca al actor),  los intérpretes (deben ser parecidos en estatura, pequeños, delgados y preferentemente con conocimientos de baile), la posición de la cámara y la duración de la pieza (1 paso por segundo, y teniendo en cuenta el tiempo perdido en los ángulos y el centro, unos 25 minutos). En Quad II, las figuras son de un único color, sus movimientos son más lentos y el único sonido es el de sus pasos. Bibliografía: S. Beckett, Quad et autres pièces pour la télévision (suivi de L’épuisé par Gilles Deleuze), Les Éditions de Minuit, 1992. http://www.medienkunstnetz.de/works/quadrat/video/1/

Domingo, 01 de Abril de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

217. 3. (Abril 2006) El caso de los despidos de la empresa Westvaco

(publicado en Uno. Revista de didáctica de las matemáticas 23, 2000 y Cuadernos del Ateneo de La Laguna 10, 2001) Mediante un diálogo, en dos actos, se escenifica una situación realista que sirve para ilustrar una forma de hacer estadística que no suele presentarse al alumnado de bachillerato. La situación es ficticia pero no así los datos ni las ideas que surgen durante la escenificación. Una de las mayores dificultades que tienen los alumnos de bachillerato, en inferencia estadística, es la formulación y contraste de una hipótesis. En la mayoría de los libros de texto, incluso en la introducción al tema, se presenta la hipótesis ya formulada y se solicita un contraste con el modelo de azar que proporciona la distribución Normal. Considero que solo resolviendo tales ejercicios, un alumno no será capaz de encontrar las respuestas a preguntas como: ¿Qué es una hipótesis estadística? ¿Cómo se formula? ¿Cómo se valida? ¿Qué es lo que prueba un test de hipótesis? Para todo test de hipótesis se fija un nivel de significación, ¿qué nos indica? ¿Cómo se fija? La usual presentación del tema en los libros de texto, y podríamos concluir que también en las clases de bachillerato, es tal que el alumnado casi nunca tiene que tomar ninguna decisión. Por ejemplo: formular una hipótesis, elegir el nivel de significación y decidir sobre el resultado o conclusión derivada de la aplicación del test. El siguiente diálogo presenta una situación real que tiene ciertas ventajas frente a las situaciones presentes en los libros de texto. La población de partida tiene pocos datos, las muestras son de tamaño tres y se pueden enumerar una a una. El objetivo es elegir un estadístico, la media muestral, y construir una tabla para la función de distribución de la variable aleatoria asociada. Por último tenemos el nivel de significación del test de hipótesis. Su significado se presenta al final del diálogo mediante un acto que consiste en realizar un sorteo. Hemos elegido el recurso de un diálogo pues hace mucho más vívida la situación de confrontación que siempre aparece en un test de hipótesis y que no suele explotarse. El modelo de Neyman-Pearson para los test de hipótesis estadísticos, enfrenta dos hipótesis: la nula y la alternativa. La evidencia estadística se utiliza como prueba en contra de la hipótesis nula. Esta teoría matemática tiene como referente más cercano una disputa en una corte de justicia. Sin embargo, en la dramatización se ha elegido un momento anterior, el que corresponde a la preparación de un ataque contra la hipótesis nula tomando como evidencia un dato real, la composición de la muestra de los tres trabajadores despedidos.   Primer acto. Los hechos A finales de los años 80, la empresa WESTVACO procedió a una regulación de empleo. Esta se realizó en dos fases. Después de la primera fase de la regulación, las edades de los empleados que permanecieron contratados eran: 25, 33, 35, 38, 40, 55, 55, 55, 56, 64. En la segunda fase, la empresa despidió a tres empleados de edades 55, 55, 64. El comité de empresa argumentó que se había incurrido en discriminación por edad, en los despidos. La empresa afirmó que los tres empleados despedidos habían sido elegidos al azar y no por su edad. El comité de empresa puso el caso en manos de un bufete de abogados. En el bufete de los abogados del comité de empresa Abogado defensor (Ad): Señores, aunque no veo cómo rebatir la afirmación de la empresa, nuestro objetivo será diseñar una estrategia para convencer al jurado que el despido ha sido improcedente. Ayudante-1 (A1): Estoy de acuerdo y, además creo que tenemos ganado el caso. A la vista de los datos, creo que la mejor estrategia será preparar la defensa basándonos en una prueba estadística. Ayudante-2 (A2): Explícate, porque no veo tan claro que podamos rebatir la afirmación de la empresa. A1: Observa la muestra de tres empleados elegidos por la empresa. Son tres de los cinco de más edad. A2: Me colocaré en la situación de los abogados defensores de la empresa. Prueba de que no hemos hecho discriminación por edad es la propia composición de la muestra. Hay dos de 55 años. En la población, sólo ese valor se repite y además tres veces. Luego tiene más probabilidades de aparecer en una muestra aleatoria que ninguno de los otros valores. De ahí que haya dos en la muestra. Además, 56 no está en esa muestra, y 64... Bueno, 64 tuvo mala suerte. Ad: Muy bien A2. Me parece A1 que tu enfoque no nos llevará por buen camino. Veamos, recordemos las matemáticas que aprendimos en el instituto. ¿Qué probabilidad hay de elegir la muestra 55, 55, 64? A2: ¿Pero... es que esas matemáticas servían para algo? A1: Claro. ¡Ya está! Ad y A2 miran a A1 con poco convencimiento. A1: Supongamos que es cierto lo que afirma la empresa. Es decir, demos por hecho que han elegido la muestra al azar. Ad: Me sorprendes, A1, pero sigue, sigue. Me gusta la hipótesis. A1: Bien. ¿Cuál es la probabilidad de que bajo tal hipótesis se dé la muestra 55, 55, 64? A2: Empiezo a sentirme mal, muy mal. Yo estudié el Bachillerato de Ciencias Sociales, y las matemáticas nunca fueron mi fuerte. Más aún, no recuerdo ninguna de las fórmulas... A1: Claro. Te las aprendiste de memoria. Ad: Alto. Dejemos los viejos y malos recuerdos a un lado. Volvamos al caso. Para los 60.000 dollares que les pago al año, me están ustedes haciendo un buen trabajo... Creo que el auxiliar fue bastante bueno en matemáticas. Esperemos que recuerde mejor que ustedes las matemáticas que nunca aprendieron. Entra el auxiliar (Ax), que gana 25000 $ al año, y se le expone el problema. Después de un rato. Ax: Ya lo tengo. El total de muestras de tres elementos que se pueden extraer de un conjunto de diez elementos viene dado por el número combinatorio Ad: ¿Tantas? Ax: Sí. Eso es lo que resulta de aplicar la fórmula. Ad: Y...¿Está usted seguro que es correcta? Ax: Bueno. Creo que sí. Ad: Sigamos. Luego, la probabilidad de elegir la muestra 55, 55, 64 es... ¡UNA entre CIENTOVEINTE! ¿No? Ax: Pues no. Ad: ¿Cómo que no? Ax: Creo que hay..., a ver... , dos. No. Tres muestras con la misma composición. A2: No, si al final resultará que la empresa tiene razón. ¡Vaya un caso que hemos elegido! Ad: Paciencia A2. Explícamelo (dirigiéndose a Ax). Ax: Hay tres empleados con la misma edad, 55 años, y sólo uno de 64 años. ¿De acuerdo? Ad: Hasta aquí, nada nuevo. Ax: Supongamos que los tres empleados, con edad 55 años, se llaman Albert, Barnes y Courant. Ad: No sé que tiene que ver el caso con los nombres de los empleados. Ax: Espere. Déjeme terminar. Construyamos una muestra como la elegida por la empresa utilizando los nombres, en vez de las edades. ¿De acuerdo? Ad: Ya empiezo a ver lo que hay de nuevo. Siga. Ax: Por ejemplo: Albert, Barnes y el señor de 64 años. A2: ¿Y ese señor no tiene nombre? Ax: Seguro que sí, pero no viene al caso. Ad: Por favor, A2, conténgase. Siga, Ax. Ax: Ya tenemos una. Ahora cambiamos Barnes por Courant y tenemos otra distinta: Albert, Courant y el señor de 64 años. Por último, excluimos a Albert y formamos la muestra con Barnes, Courant y ... A2: El señor, sin nombre, de 64 años. ¿No? Ax: Exacto. Ad: Ya lo veo. ¡TRES DE CIENTO VEINTE! ¿Hay alguna otra muestra que tenga esa frecuencia? Ax: Pues...creo que no. A1: No importa, mientras no nombremos a los empleados. Entonces está claro que la probabilidad de elegir al azar 55, 55 y 64 es muy pequeña. Luego la muestra no se ha elegido al azar. A2: ¿Cuál es la probabilidad de elegir la muestra 25, 33 y 35? UNA DE CIENTO VEINTE, ¿No?. La misma. Un buen contra argumento para la defensa de la empresa. Ax: No podemos eludir que hay tres posibles muestras como la elegida por la empresa. Ad: No importa. A2 tiene razón. Nuestro argumento sería rebatido fácilmente por la defensa de la empresa. A2: Se me ocurre... ¿Y si en vez de mirar la composición de la muestra calculamos su media de edad? A1: ¿La media? ¿Para qué? A2: ¿Cuál es la media de edad de los diez empleados? Ax: (Calculando) 45,6 años. La de la muestra elegida es... 58 años. A1: ¡Bastante más! Luego...serviría. Ad: ¿Serviría qué? Tenemos tres muestras con esa misma media. Volvemos a lo de antes. A1: Espera... ¿Y si aplicamos un test de hipótesis? A2: ¡No, por favor! Me niego a salir a la pizarra. Ax: Sí. Creo que sería lo más adecuado. A1: Necesitamos a alguien que nos ayude. Yo recuerdo algo relacionado con las tablas de la ... Normal, creo. Ax: Sí, algo así. Pero creo que aquí no serviría... Ad: Yo estudié el BUP y estoy totalmente perdido. Necesitamos un asesoramiento profesional. Ax: Un amigo mío es matemático. Podría servir. Ad: ¿Profesor universitario? Ax: No. Trabaja en una fábrica de cerveza. Ad: ¿En una fábrica de cerveza? ¿Qué hace un matemático en una fábrica de cerveza? Ax: Creo que controla la calidad. Ad: Un hombre práctico... Creo que nos servirá. Ax: Tendría que ponerme en contacto con él y ver cuándo nos puede ayudar. Ad: De acuerdo Ax. Pero esto corre prisa. Que sea lo antes posible. Segundo acto. Dos días después... En el bufete esperan los mismos personajes del acto anterior. Suena el timbre y entra el matemático. Ad: Buenos días. ¿Señor ...? Matemático(S): El Estudiante. Por favor, llámeme El Estudiante . Ad: ¿El Estudiante? Pero ¿no es usted Licenciado en Matemáticas? (S): Sí, pero mi empresa no me deja utilizar mi verdadero nombre en tareas de asesoramiento externo. Ad: El Estudiante. Está bien. De acuerdo. Me imagino que ya conoce el caso. ¿Es así? S: Sí. Así es. Ax me ha puesto al corriente. A1: Señor Estudiante, he repasado las matemáticas y creo que, aplicando un test de hipótesis como el que me enseñaron en el instituto, resolveremos el problema. S: El test que le enseñaron en el instituto utiliza la distribución Normal. Aquí no vale. A2: Ya me extrañaba a mí que lo que me enseñaron en el instituto sirviera para algo. A1: ¿Cómo que no? ¿Entonces...? Ad: Muy fácil me parecía a mí. Menos mal que Ax ha llamado a su amigo. A1: Pero espere, llevo dos días haciendo cálculos con la ayuda del hijo de un amigo que está estudiando 2º de Bachillerato de CCSS. Primero construimos todas las muestras y calculamos todas las medias. Como la variable tiene muchos valores distintos, los agrupamos por intervalos. Mire este gráfico. Es como una Normal. Tiene forma de campana. ¿No? S: Sí, tiene forma de campana. La forma acampanada es necesaria, pero no es suficiente para garantizar que la distribución sea una distribución Normal. Mejor dicho, para que se pueda aproximar a una distribución Normal. A2: ¿Entramos en clase de lógica? Ax: Yo también hice cálculos y el gráfico de la distribución, sin agrupar por intervalos, no se parece en nada a la Normal. S: Claro. Manipulando adecuadamente los datos se puede confundir a un auditorio sin conocimiento. Ad: Un momento. Imagine que la defensa de la empresa muestra el gráfico de Ax. Los argumentos de A1, aunque no los entiendo, se irían al garete. ¿O no? S: Totalmente. A2: Definitivamente yo me retiro. Ad: Queda usted suspendido de empleo y sueldo A2. ¿Qué podemos hacer S? S: El trabajo que ha hecho A1 se puede aprovechar. A2: ¿Sí, no me diga? S: Sí. Se puede aprovechar. Ad: Sea más explícito por favor. S: Tenemos una población: las edades de los empleados. Tenemos la distribución de medias muestrales de tamaño tres. Tenemos la media y la desviación típica de esa distribución. Sin embargo, tal distribución nos es desconocida. ¿De acuerdo? Pues bien. ¡Construyamos una tabla de números críticos! A2: ¿Crí... qué? Ad: A2 usted se había retirado. A2: Estoy de vuelta. Ad: Sin empleo y sin sueldo. S: En el instituto, dado que utilizaban la Normal como modelo probabilístico teórico para el contraste de hipótesis, nos proporcionaban una tabla con los valores críticos y probabilidades correspondientes, la tabla Normal tipificada. Pero aquí no vale. Entre otras cosas, la población es discreta y tiene muy pocos elementos. A2: ¡Ah! Con que esos son los números críticos. En situación crítica me encontraba yo cada vez que tenía que utilizarla. Me vuelvo a ir y esta vez para siempre. Ad: Sí por favor, váyase de una vez para siempre. Siga, S, por favor. S: ¿Tienen un ordenador con hoja de cálculo? A2:¿Creía que a los matemáticos les bastaba sólo con el papel...? Ax: En mi mesa tengo un ordenador. S: Manos a la obra. Algo más tarde...Vuelven S y Ax con una tabla S: Veamos, señores. Primero les explicaré la tabla. He utilizado colores para que la explicación sea mucho más clara. A2: ¿Colores en matemáticas? Siempre pensé que los matemáticos contemplaban el mundo en blanco y negro. S: Los números en negro corresponden a los valores que puede tomar la media muestral de tamaño tres. Son los calculados por A1, sin agrupar por intervalos. La distribución de medias muestrales tiene una media igual a 45,6. Los números en azul, llamados valores críticos, corresponden a la distancia (tomando como unidad de medida la desviación típica), entre cada media muestral y de valor promedio 45,6. Los números negativos, como pueden ver, corresponden a valores menores y los positivos a mayores. Por último los números en rojo representan la probabilidad acumulada. Es decir, para 31 (media muestral) tenemos 0,01, que es la probabilidad de extraer una muestra cuya media de edad sea igual que 31; para 32 la probabilidad es también 0,01, pero sumando las dos tenemos 0,02. Así, en la tabla, cada probabilidad corresponde a un valor de la media muestral menor o igual al número correspondiente, en negro, a la derecha. A2: No me veo, ni veo a nadie de este bufete, explicando la tabla al jurado. S: Espere. Déjeme continuar. Vamos a elegir un número más avanzado de la tabla. A 40 (valor media muestral) corresponde una probabilidad (acumulada) de 0,21. En otras palabras, la probabilidad de extraer, al azar, una muestra cuya media sea menor o igual que 40 años es 0,21 ( o también 21 de 100). Ad: Me gusta. Pero A2 tiene razón. ¿Cómo vamos a utilizar la tabla en el juicio? S: No será necesario utilizar la tabla en el juicio. No desespere. Déjeme terminar la explicación y, al final, les diré lo que creo que deben hacer. Recuerden que se trata de sembrar la duda, entre el jurado, sobre si la empresa eligió o no al azar la muestra 55, 55, 64. Ad: Adelante. S: La muestra elegida por la empresa tiene de media 58 años. ¿De acuerdo? La pregunta clave es: ¿Cuál es la probabilidad de elegir una muestra cuya media sea menor que la elegida por la empresa? Leamos en la tabla..., 0'95. Ad: Ya lo veo. Y lo que veo me gusta. A1 y A2 (al unísono): A mí también. S: Es decir, 95 veces de cada 100 que extraigamos, al azar, una muestra de la población dada, es de esperar que su media sea menor que la media de la muestra elegida por la empresa. O también, una muestra con media mayor o igual a la elegida por la empresa sólo la obtendríamos 5 veces de cada 100 que realicemos el experimento. En resumen, 1 vez de cada 20. Ad: Bien. Muy bien. Empiezo a ver lo que haremos en la sala del juicio. S: ¿Está usted pensando lo mismo que yo? Ad: Prepararemos 20 bolsas. Cada una contendrá diez papelitos y en cada papelito una de las diez edades de los empleados de la empresa y pediremos a 20 asistentes que extraigan, a ciegas, tres números de su bolsa. S: Exacto. En el peor de los casos, el valor de la media de las muestras extraídas será igual o mayor que 58 sólo una vez. Ad: ¿Podría ocurrir más de una vez? S: Sí. Con la Estadística no hay nada totalmente seguro. Pero es bastante improbable que se dé ese caso. Ad: El espectáculo está garantizado. Esta será nuestra estrategia para probar que la empresa no eligió al azar la muestra. Muchas gracias señor Estudiante. Le estamos profundamente agradecidos. Si ganamos el caso, repartiremos los beneficios con usted. Una vez se ha ido El Estudiante Ad: Interesante el personaje. ¿Cómo es que no se dedica a las matemáticas? A propósito Ax, en cuanto al personaje... ¿cómo es que lo conoce? Ax: Estudiamos juntos, pero yo no pasé de primero en la Facultad de Matemáticas. Además, El Estudiante sí se dedica a las matemáticas, pero en una fábrica de cerveza. Para algunos de sus colegas es un matemático que pierde el tiempo fabricando cerveza, mientras que para otros es un fabricante de cerveza que hace matemáticas. Ad: De cualquier forma, nos ha dado una buena lección de cómo aplicar la Estadística. A2: En el instituto nunca vi nada parecido. Aquello sí que no tenía sentido, fórmulas y más fórmulas. Si fabrica cerveza tan bien como hace matemáticas... ¡La cerveza debe ser excelente! FIN Epílogo W.S. Gosset (Student) tenía un gran problema. A su cargo estaba el control de calidad de la cerveza que producía la fábrica Guinnes en Dublin. ¿Cómo mejorar la calidad? Esa era la principal preocupación de la empresa que le había contratado como químico que era, además de matemático. Disponía de observaciones de un gran número de muestras pequeñas pero, estos valores no se ajustaban a la distribución Normal. Además no conocía la desviación típica de la distribución de medias muestrales. La variación observada en los valores de una muestra a otra era muy grande. ¿Cuál es la distribución del estadístico ? fue la pregunta clave que se hizo. Sus investigaciones posteriores le condujeron a formular y calcular la tabla de números críticos de la distribución que, más tarde, sería conocida como la t de Student. El método estadístico proporciona las técnicas que sirven para su aplicación a problemas prácticos. Pero las técnicas por sí solas, sirven de poco si no se dispone de un buen conocimiento del método. Sólo con las técnicas se puede construir un curriculum. Entonces la labor del profesor será enseñarles las técnicas a los alumnos y proponerles ejercicios para verificar la adquisición de las mismas. Si las técnicas son pocas, la memoria puede almacenarlas por un período de tiempo suficiente, quizás hasta el próximo examen del tema, pero no mucho más. Si las técnicas son muchas, y para los alumnos muchas es todo aquello que pase de dos, la memoria no resiste tal esfuerzo en la mayoría de los casos. Así, se confunde una estimación de la media muestral con un intervalo de confianza de la media poblacional o también se utiliza el valor de la media de una muestra como valor de la hipótesis nula en un test de hipótesis. Total que más da. ¿Acaso no son medias también? Sí, todas son medias pero cada una tiene un significado diferente, aclararía el profesor. Los alumnos saben, por experiencia propia, que porque lo diga el profesor no se aclara casi nada. Un problema, un auténtico problema, pone a prueba las técnicas y los significados de los términos que se utilizan en las técnicas. Un problema como el que sirve de pretexto para este artículo tiene todas esas ventajas, siempre que el profesor no se dedique a contar la historia. Hay que recrearla en clase. Los alumnos deben hacer los cálculos y discutir los significados. ¿No tengo tiempo? A Student una respuesta como esa le habría costado el puesto de trabajo. Para la creatividad siempre hay tiempo y más si es a costa de suprimir rutina. Sobre todo porque es mucho más gratificante. ¿Que la clase se puede convertir en un caos? Sí, con toda seguridad. Sólo conozco un lugar donde no suele haber ruido y todo está perfectamente ordenado, pero por desgracia no suele haber nadie vivo. ¿Y el rigor? En su sitio. El rigor es algo inventado por los matemáticos para la comunicación entre matemáticos no para el acto de creación. Euler una vez dijo "Si dispusiera de los enunciados de los teoremas que debo probar, ¡que fácil sería la tarea!" Notas 1. J.Arbuthnot (1667-1735) utilizó este tipo de razonamiento causal para probar la hipótesis de que la providencia divina gobierna el sexo de los recién nacidos. Sea H la hipótesis contraria, el azar gobierna el sexo, entonces H se rechaza al ser p(S/H) muy pequeña, siendo S un suceso para el que tenemos evidencia empírica. La evidencia empírica la proporcionó el registro de bautizados de la ciudad de Londres, durante 82 años seguidos. En tal registro, Arbuthnot encontró que, durante aquellos 82 años, siempre habían nacido más varones que hembras. 2. W.S. Gosset (1876-1937) trabajaba en la fábrica de cervezas Guinnes de Dublin cuando construyó la primera tabla de números críticos para una distribución desconocida de probabilidad. La empresa no le autorizó a publicar sus investigaciones con su propio nombre y se vio obligado a utilizar un seudónimo. Desde entonces tal distribución se conoce con el nombre de la distribución t de Student. 3. McMullen ( en William Sealy Gosset, 1876-1937. E S Pearson and M G Kendall, Studies in the History of Statistics and Probability (London, 1970), 355-404) hace la siguiente observación: Para muchos, en el mundo de la estadística, se consideraba a Student como un consejero estadístico de la destilería Guinnes, para otros parecia ser un destilador que dedicaba su tiempo libre a la estadística... aunque hay algo de verdad en las dos afirmaciones, ambas omiten el punto central, que es la íntima conexión entre su investigación estadística y los problemas prácticos en los que se involucró. Student desarrolló una gran cantidad de trabajo rutinario así como su trabajo estadístico en la destilería, y añadido a todo esto preparó sus muy variadas publicaciones.

Sábado, 01 de Abril de 2006 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

218. 135. La maravillosa Sra. Maisel (PdM V)

Hace apenas unos días se anunció el estreno de la segunda temporada de la serie triunfadora en los pasados Emmy, La maravillosa Sra. Maisel. La primera temporada se ha podido ver en España, y en uno de sus capítulos tenemos algo que comentar, matemáticamente hablando, por supuesto, además de volver a tirar de las orejas a los traductores una vez más. Ficha Técnica: Título: La maravillosa Sra. Maisel. Título Original: The Marvelous Mrs. Maisel. Nacionalidad: EE. UU., 2017. Dirección: Amy Sherman-Palladino (9 episodios, concretamente el que nos ocupa). Guion: Amy Sherman-Palladino, creadora de la serie. Fotografía: Eric Moynier y M. David Mullen, en Color. Montaje: Kate Sanford, Tim Streeto y Brian A. Kates. Música: Eric Gorfain y Sam Phillips. Producción: Dhana Gilbert. Duración: Episodios de 57 min., aproximadamente. Ficha artística: Intérpretes (se citan sólo los que han aparecido en más episodios hasta el momento): Matilda Szydagis (Zelda, 13 episodios), Rachel Brosnahan (Miriam 'Midge' Maisel, 9 episodios), Alex Borstein (Susie Myerson, 9 episodios) Michael Zegen (Joel Maisel, 9 episodios), Marin Hinkle (Rose Weissman, 9 episodios), Tony Shalhoub (Abe Weissman, 9 episodios). Hace escasamente unos días (el 25 de octubre) se anunció el estreno de la segunda temporada de esta serie (será el 5 de diciembre en España) que arrasó en todas las categorías de comedia de los premios de televisión de los Globos de Oro (se llevó dos, a la mejor comedia y a la mejor actriz), ocho premios Emmy (mejor comedia del año, mejor guion, mejor dirección, mejor actriz cómica protagonista, mejor actriz cómica secundaria, mejor casting, mejor montaje, mejor dirección musical). En total ha conseguido hasta el momento 24 galardones y otras 23 nominaciones sin premio. Toda una revelación a pesar de la escasa publicidad que se la ha dado en general. Se trata de una serie de Amazon Prime Video (quizá sea ésta una de las razones por las que ha pasado de puntillas, por la escasa promoción que esta plataforma hace de sus productos, o que estamos todos ya un poco saturados con los anuncios de tantas cadenas y no hacemos demasiado caso), y se puede encontrar en el catálogo en español de esta plataforma. O quizá porque inicialmente su argumento no llama demasiado la atención. Cuenta los desvelos de la joven Miriam Maisel (la suelen llamar por el diminutivo apocopado Midge), una chica judía en el Manhattan de los años 50 del pasado siglo, cuya vida parecía planificada desde que nació: ir a la universidad, casarse, tener hijos, respetar los ritos de su religión, organizar las fiestas de su entorno de amigos y familiares, etc. Casi sin darse cuenta, se encuentra exactamente donde tenía que estar, viviendo feliz con su esposo y sus dos hijos en el Upper West Side. Pero, inesperadamente, su vida perfecta se vuelve del revés cuando su esposo la deja por otra mujer. Completamente descolocada, Midge no tiene más remedio que volver a evaluar qué hacer con su vida. Por casualidad, se encuentra en el escenario de un local en el que se hacen monólogos, descubriendo que tiene una habilidad especial para la comedia y decide utilizar este nuevo talento para reconstruir una vida diferente. La serie rastreará la trayectoria de Midge a medida que avanza en su carrera. Qué tiene de especial No hay más que ver unos minutos de algún capítulo para engancharse definitivamente a la serie. Los diálogos, frescos, ocurrentes, llenos de ironía y doble sentido, son muy ágiles y divertidos, muy característicos de la guionista Amy Sherman, co-creadora de la serie junto a su marido Daniel Palladino (si alguien ha visto Las chicas Gilmore, reconocerá inmediatamente el estilo). Además, el modo de poner en escena y narrar las situaciones es muy destacable. Y los temas que aborda son bastante actuales, sobre todo el papel social de la mujer. Les resultará difícil mantener el nivel de la primera temporada. Por otro lado, el elenco de actores, sobre todo la protagonista principal, es insuperable. Inmediatamente uno se siente identificado con alguno, y sobre todo con Midge. También se han cuidado mucho otros detalles de producción como el vestuario, la puesta en escena, la iluminación, la escenografía, el maquillaje. Sin esta minuciosidad, una serie de época, no resultaría convincente. Se agradece por otra parte que no haya que tragarse 120 capítulos (bueno, esto aún está por ver; money is money) para disfrutar de una serie. De momento ocho, y los que nos esperan para esta nueva temporada. Las matemáticas Resulta que el padre de Midge, Abe Weissman, es profesor universitario de matemáticas (por eso hemos añadido al título de esta reseña lo de PdM, que para quien no lo recuerde o no nos siga habitualmente indica una serie de películas/series en las que el Profesor de Matemáticas tiene un protagonismo relevante). En la imagen lo vemos dirigiéndose al aula donde imparte docencia, en la primera aparición del personaje en su actividad laboral. Lo saludan alumnos, bedeles, incluso un alumno le abre la puerta para que entre, pero él no dice una sola palabra a nadie. No altera su expresión y continúa mirando al frente con gesto serio, muy serio. Avanza con paso firme, no se detiene ni titubea en ningún momento. Esta breve aparición nos define perfectamente cómo es. En el segundo episodio nos lo encontramos impartiendo clase. El tema es independencia lineal, vectores dependientes concretamente. Repasemos la escena: Profesor: Ahí está. Estudiadla (observamos en la pizarra la definición de vectores linealmente dependientes: “Dos vectores v1 y v2 son linealmente dependientes si un vector es un múltiplo del otro”. Como se ve en la siguiente imagen, pone como ejemplo v1 = (1, 2, 4) y v2 = (1/2, 1, 2), y los coloca en una matriz). Bien. Esta matriz está compuesta por dos filas de vectores, v1 y v2, pero el rango es sólo uno. ¿Alguno me dice por qué? Todos los alumnos de la clase levantan la mano. El profesor va descartando uno a uno: Profesor: No, no, no, no, no. Truman. Truman: Porque una vez resuelto el primer nivel, sólo queda un vector independiente. Profesor: Correcto. Bien. ¿Alguien puede hablarme de la nulidad de esta matriz? Vuelve a levantar la mano el total de los alumnos presentes. Profesor: No, no, no, no, no. Truman. Alumno 1 (en bajo): Increíble. Profesor: Disculpa. ¿Tienes algo que comentar? Alumno 1: Nunca me pregunta a mí. Ni a ninguno de nosotros. Solamente a Truman. Profesor: Truman sabe las respuestas. Siempre sabe las respuestas. Alumno 1: Pero nosotros podríamos saberla. Profesor: ¿En serio? ¿La sabes? Alumno: No. Profesor (a otro alumno): ¿Tú sabes la respuesta? Alumno 2: No. Profesor (a otro diferente): ¿Tú la sabes? Alumno 3: No. Profesor: No. Bien. Nadie sabe la respuesta. Sólo Truman. Alumno 1: Pero podríamos saberla. Esa es la cuestión. Profesor: ¿Podríais? ¡Podríais! Charlie, el podría no cuenta. El tal vez no cuenta. A ver si acierto no cuenta. Porque esta aula es un santuario a salvo de las variables del mundo exterior. En esta sala tratamos con valores absolutos y punto. En esta sala esto es lo que cuenta. Estos dos vectores son colineales. (Ver siguiente imagen). Avanzan juntos. Y seguirán avanzando siempre juntos. Este es el voto solemne propio de las matemáticas. En esta sala v2 nunca romperá ese voto para decidir que no necesita al otro vector y fijar por su cuenta una línea independiente. v2 nunca llegará a casa del trabajo y le dirá a v1 “¿Sabes? Creo que necesito mi propio espacio vectorial. Adiós”. (Siguiente imagen: ha dibujado una recta. El supuesto nuevo espacio vectorial al que va a emigrar v2). Porque llegaría el padre de v1 y diría, “¡¡No!! No puedes dejar que v2 haga eso. Tienes que ir a buscar a v2 y que vuelva”. Una solución provisional, porque el padre de v1 no va a poder estar siempre para resolver los problemas de v1. Tomad nota. Comentario Desde luego el razonamiento del profesor Weissman acerca de por qué siempre pregunta al mismo alumno no deja de tener su lógica, aunque tal y como indica el alumno no es demasiado edificante, didácticamente hablando. Pero es que Abe es un tipo bastante particular, también en su vida diaria. Su forma de enseñar podría resultar también llamativa, aunque no lo es tanto ya que somos muchos los que de vez en cuando tenemos que “captar” la atención de los alumnos que suelen estar más a otra cosa, o medio dormidos si es una hora propicia para ello, y “teatralizar” un poco nuestras clases. Sin embargo, la respuesta a porqué el rango de la matriz es uno que da el “aplicado” Truman, es un poco “rara”. Recordémosla: Porque una vez resuelto el primer nivel, sólo queda un vector independiente. ¿Qué es eso del primer nivel? Soy licenciado en matemáticas, ¿me he perdido algo en estos años? ¿Se refiere a la primera fila? ¿Al primer elemento de la matriz? ¿De qué nivel se habla? Como tantas otras veces, la respuesta la tenemos en las lamentables traducciones que se hacen para los doblajes al castellano en asuntos que tiene que ver con materias técnicas (¡¡ya hemos comentado esto en muchas ocasiones, tanto desde esta sección como otros compañeros!! Y ya hemos razonado porqué deberían molestarse en hacer las cosas correctamente, pero bueno, será que nadie nos lee, o a nadie le importan estos “detallitos sin importancia”. Luego que las notas de los ciudadanos en ciencias son malas, o nos reímos de los disparates que se sueltan). Sin más dilación, vayamos a la versión original (¡¡a lo mejor el fallo viene de origen!!). Pues bien, Truman dice esto: Because once it's reduced to echelon form, there's only one independent vector ¿Hace falta que lo comente? Venga sí, dedicándoselo (¡¡con cariño!!) al “eminente” traductor responsable del tema (¡¡por favor, que llegue a sus oídos, si alguien lo conoce!! No para mofa y escarnio, para que se moleste en preguntar o pensar más cómo redactarlo la próxima vez). Textualmente la traducción correcta sería: Porque una vez calculada la matriz escalonada reducida, sólo queda un vector independiente. Para el que no sepa que es esto de la matriz escalonada reducida (o sea que no ha llegado aún a primer curso de cualquier grado en ingeniería, matemáticas, física, etc.), una matriz es escalonada cuando cumple dos cosas: 1.- Si tiene filas nulas, son las últimas. 2.- La primera posición no nula de una fila está al menos una columna a la derecha de la primera posición no nula de la fila anterior. Es más difícil de enunciar que de entender. Los ejemplos nos aclaran a que nos referimos: A = es una matriz escalonada, pero B = no lo es. Básicamente que los ceros deben ir en forma de “escalera”. Una matriz es escalonada reducida cuando es escalonada, el primer elemento no nulo de cada fila (se le llama pivote) es un uno, y cada columna que contenga a un pivote tiene esta entrada como única no nula. La matriz C = es escalonada reducida. Las matrices escalonadas son imprescindibles a la hora de estudiar los temas de Álgebra Lineal, porque nos muestran de un rápido vistazo el comportamiento de los vectores, la discusión de las soluciones de un sistema de ecuaciones lineal, el manejo de las aplicaciones lineales, sus subespacios, los cambios de base, …, en fin, mogollón de conceptos, todos los que estudia, como hemos dicho, el Álgebra Lineal. ¿Y cómo se calculan? Pues haciendo operaciones elementales a las filas de una matriz (no voy a ponerme a explicar aquí y ahora el tema, como podréis comprender; dejaríais de leer). En el caso de la matriz que aparece en el episodio de la serie, , para obtener su matriz escalonada reducida (echelon form, apuntáoslo, amigos traductores), basta con restar la segunda fila de la matriz a la primera multiplicada por ½. Queda, por tanto Da la impresión que han querido reflejar con lo de “una vez resuelto el primer nivel, sólo queda un vector independiente”, el resultado de que se obtiene al hacer esa matriz escalonada reducida. Pero tal y como lo han dejado, si no sabes matemáticas, no se entiende nada, y sabiendo, te cuesta comprender por qué han puesto eso. Vamos que queda incomprensible en cualquier caso, y no estamos para decir cosas incorrectas en las poquitas matemáticas que aparecen en las películas, que luego se coge mala fama injustamente. Y claro, viendo estas cosas, uno se pregunta, ¿estaré enterándome bien de las películas y series que veo? ¿Se estarán inventando los diálogos de algo más? ¿O de todo? Ante estas dudas razonables, ya saben, a aprender idiomas y disfrutar de la versión original, que en idiomas tampoco andamos demasiado bien en general. Disfruten de la maravillosa señora Maisel. (Gracias Ana García Lema por recomendármela). Alfonso Jesús Población Sáez

Miércoles, 07 de Noviembre de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

219. 165. (Noviembre 2018) El oráculo EMOJI

A lo largo de la historia no es extraño encontrar personajes singulares, sobre todo en el ámbito artístico, que no han conseguido la fama y reconocimiento hasta después de su muerte. Ya sea por su carácter excéntrico o porque sus ideas han resultado estar demasiado adelantadas a su tiempo, su vida no ha sido tan fácil como su genio artístico haría suponer. Una de estas personalidades, que aunaba una singular excentricidad con inusuales dotes creativas, fue Bob Hummer, de quien hemos hablado ya en este rincón (julio de 2013, noviembre de 2015 y junio de 2017). Para completar datos de su biografía, es muy recomendable la lectura de los tres artículos escritos por el mago cómico Clarke Crandall y publicados en números consecutivos de la revista de magia "The new tops" en 1964. De hecho, según Martin Gardner, este relato constituye la mejor descripción del carácter y personalidad de Bob Hummer. Después de leer esta vívida descripción, en particular la correspondiente al periodo en que Hummer estuvo "alojado" en casa de Crandall, es inevitable pensar en el paralelismo de la relación Hummer-Crandall con la de Erdös-Graham, bien conocida en el mundillo matemático. Gracias a su inigualable originalidad, Bob Hummer publicó y comercializó varios de sus juegos, para lo cual tenía que contar con la intermediación de los comerciantes de magia. Parece que la experiencia no fue muy de su agrado y, durante mucho tiempo, le persiguió la sospecha de que trataban de robarle sus ideas. Uno de los juegos que no publicó en vida fue rescatado por Martin Gardner y publicado por Karl Fulves en el libro "Bob Hummer's collected secrets" (1980). El juego se titula «Voodoo fortune telling» y, para entender el principio matemático en el que descansa, describiremos el ejemplo que aparece en el citado libro. Retira de la baraja las siguientes cartas: Aparta una de ellas, la que quieras. Adivinaré cuál es esta carta al final del siguiente proceso: Mezcla las restantes seis cartas y repártelas en tres parejas sobre la mesa. Luego cuenta el número de parejas que contienen dos cartas del mismo color. Te saldrá un número comprendido entre cero y tres. Esta será tu primera cifra. Recoge las seis cartas y vuelve a mezclarlas. Reparte otra vez las cartas en tres parejas sobre la mesa y mira ahora cuántas parejas contienen dos cartas cuyos valores son ambos menores que siete o ambos mayores que siete. El número de dichas parejas te dará la segunda cifra que debes recordar. Recoge por última vez las seis cartas y repártelas de nuevo en tres parejas sobre la mesa. Esta vez buscarás el número de parejas cuyas cartas tienen la misma paridad, es decir son ambas pares o ambas impares. El número de parejas con esta propiedad te dará la tercera cifra del número. Con el número de tres cifras obtenido, pulsa en la imagen. Luego busca en la lista tu número y verás que corresponde a la carta que habías retirado al principio. Después de ver el juego, se comprende fácilmente que las cartas utilizadas deben ser tales que admitan representaciones distintas como números de tres cifras en base dos, de acuerdo a sus tres características: color, valor y paridad. En nuestro caso, si establecemos la equivalencia "negro = 0", "menor que siete = 0", "par = 0", las representaciones numéricas de las cartas vienen dadas por la tabla siguiente: CARTA COLOR VALOR PARIDAD 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 Por otra parte, hay una correspondencia entre el conjunto de las posibles cartas elegidas y el de los números que tienen, como máximo, tres cifras en base tres, obtenidos contando el número de parejas que comparten las diferentes características. Por ejemplo, el 9 de corazones corresponde a los números 110, 112, 130, 132, 310, 312, 330 y 332. Ya no es tan fácil entender que ninguna de dichas representaciones numéricas pueda corresponder a dos cartas distintas, lo que hace precisamente que el juego funcione. En el capítulo 15 del libro "The last recreations" (Springer-Verlag 1997), basado en el artículo de febrero de 1981 de su columna mensual "Mathematical Games" para la revista Scientific American, Martin Gardner hace gala de su estrecha relación con Bob Hummer y desvela las ideas que éste desarrolló para ocultar el principio utilizado. Bajo el título «The Hummer's wicked witch» (la bruja adivina de Hummer), Gardner describe el juego que reproducimos a continuación con un pequeño cambio en los personajes. En lugar de cartas, utilizaremos siete tarjetas, en cada una de las cuales aparece nuestro bufón adivino ataviado con un gorro con dos posibles colores, y que muestra diferentes expresiones en cada tarjeta. Además, cada una de las tarjetas incluye una pregunta que el bufón sabrá responder, después de un proceso "completamente aleatorio". Imprime las imágenes para conseguir estas siete tarjetas. A continuación, sigue estas instrucciones: Haz una pregunta al bufón Emoji (ten en cuenta que su respuesta sólo es válida durante la semana siguiente a la pregunta). Para ello, selecciona la carta que contiene la pregunta deseada. Retira esa carta y mezcla las cartas restantes mientras repites mentalmente la pregunta. Separa las dos primeras cartas. Si los sombreros del bufón son del mismo color, deja sobre la mesa dichas cartas al lado derecho. Si son de distinto color, deja las cartas al lado izquierdo. Separa las dos cartas siguientes y repite el procedimiento anterior. Separa el último par de cartas y vuelve a repetir el mismo proceso. Cuenta el número de pares que hay al lado derecho. Anota dicho número (puede ser cero, uno, dos o tres). Recoge las seis cartas y vuelve a mezclar recordando la pregunta. Repite el proceso anterior (separar las cartas mezcladas en tres parejas) pero observando en esta ocasión si lleva o no lleva gafas. A la derecha dejarás las parejas en las que ambos bufones lleven gafas o ninguno de los dos las lleve y, a la izquierda, dejarás las parejas en las que uno de ellos lleve gafas y el otro no. El número de parejas del lado derecho nos indicará un segundo número (también comprendido entre cero y tres) que anotamos a continuación del anterior. Vuelve a recoger las cartas y a mezclar por tercera vez. Reparte otra vez las cartas por parejas observando las expresiones faciales del bufón. Nuevamente anota el número de pares de cartas en las que coincide dicha expresión, ambos sonrientes o ambos enfadados. Anota el tercer número obtenido. Con el total, es decir el número de tres cifras resultante del proceso, busca en el oráculo adjunto la respuesta del bufón a tu pregunta. Observa que dicha respuesta sólo tiene sentido para esa pregunta y no para cualquier otra. Habrás observado que el fundamento del juego es el mismo que el anterior pero el desarrollo del mismo oculta de forma ingeniosa toda sospecha de cualquier principio matemático. Comentarios finales. Se pueden plantear generalizaciones de este juego utilizando 2n - 1 cartas. En este caso, los personajes deben presentar n características distintivas, cada una de ellas con dos posibles valores lo que significa que cada carta se puede representar como un número de n cifras formadas con los dígitos 0 y 1 (de hecho están representados todos los números salvo uno). El caso correspondiente a n = 4 fue desarrollado también por Martin Gardner y publicado bajo el título «Hummer's Fortune Telling Book» allá por 1941. En este caso, el libro con las posibles respuestas debe tener 4096 líneas. En el juego «The Hummer's wicked witch», no se alcanzan todas las permutaciones posibles, lo que permitió a Martin Gardner proponer una segunda parte del juego. El espectador hace una pregunta cuyas únicas posibles respuestas sean SÍ o NO. Se reparten tres veces las siete cartas en tres parejas, descartando cada vez la última carta, y se cuenta el número de parejas que tienen la misma característica -color del sombrero la primera vez, expresión visual la segunda y expresión facial la tercera- así como el número de parejas que no comparten dicha característica. Se restan ambas cantidades, la mayor menos la menor, y se obtienen las tres cifras de un número. Al buscar dicho número en la tabla del oráculo anterior, se obtiene la respuesta a dicha pregunta. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Miércoles, 07 de Noviembre de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

220. 93. (Octubre 2018) La geometría de la música (I)

1. Geometría y Música Este año de 2018 inaugura una serie de artículos sobre la geometría y la música, o más exactamente sobre métodos y modelos geométricos de la música. De manera natural, la estructura geométrica aparece en multitud de contextos musicales, sencillamente como reflejo visual de la propia estructura musical. Pensemos sin ir más lejos en el círculo de quintas, en las representaciones circulares de los ritmos de clave [DGMM+08], en el tonnetz de Euler, en las representaciones en forma de árbol de la teoría generativa de la música [LJ83], la representación interna de la música mediante cadenas de Markov [Góm18], o la nomenclatura de acordes de Forte [For77], entre otras muchas. En esta serie hablaremos principalmente de la modelización geométrica en la armonía. Para ello, sin duda alguna, Dimitri Tymoczko [Tym18] es una de los autores más originales y profundos que ha tratado esta cuestión. Este compositor y teórico de la música de la Universidad de Princeton ha sido el primer autor en publicar en la prestigiosísima revista científica Science el primer artículo [CQT08] sobre teoría de la música en la historia de la revista, lo cual constituye un logro en sí mismo. También es muy conocido Tymoczko por su libro A Geometry of Music [Tym11], donde estudia modelos geométricos en relación a la armonía clásica y moderna, incluyendo escalas, conducción de voces y armonía funcional. Esta serie de artículos consistirán en una recensión del libro de Tymoczko (véase la portada en la figura de abajo). Figura 1: A Geometry of Music [Tym11] En esta primera entrega de la serie cubriremos fundamentalmente conceptos musicales, que luego nos servirán de base para el resto de los artículos. El artículo del mes que viene será más matemático y el resto consistirá en una combinación de conceptos musicales y métodos geométricos. El libro de Tymoczko es extenso y profundo, organizado en 10 capítulos con 450 páginas en total y cubriendo temas que van desde la tonalidad clásica hasta la práctica común extendida pasando por el jazz. Glosarlo exhaustivamente no es el objetivo de esta columna; daremos los ejemplos más representativos de cómo usar métodos geométricos para el análisis de la música. 2. Los cinco componentes de la tonalidad En el capítulo uno, Tymoczko empieza con una discusión del término tonalidad. Se puede entender tonalidad en un sentido restrictivo como la música occidental de los siglos XVIII y XIX principalmente. Así, la música de Arvo Pärt, Varèse o Xenakis se pueden concebir como música post-tonal (o como humorísticamente lo pone el autor asaltos sonoros organizados). Sin embargo, el término tonalidad se puede emplear en un sentido más amplio y entonces comprende músicas tales como el impresionismo, rock, el folk, el minimalismo y por supuesto el jazz. El propósito del libro de Tymoczko es “proporcionar al lector categorías generales para discutir música que no es ni clásica ni completamente atonal”[Tym11, p. 3 y 4]. Y, en efecto, el libro tiene un nivel de abstracción que lo hace enriquecedor y atractivo; esto no obsta para que encontremos múltiples ejemplos que ilustran dichos conceptos abstractos. En primer lugar, Tymoczko define lo que él llama los cinco componentes de la tonalidad. Estos son: 1. Movimiento melódico por grados conjuntos. Esta característica aparece en muchas culturas, no solo en la occidental. Varios autores han analizado la estructura de lo que se consideran buenas melodías y han concluido que el uso de grados conjuntos es una de sus características; véase [RB06] y las referencias allí mencionadas. Las otras características de las buenas melodías son la repetición y el sentido de finalidad. Figura 2: Movimiento por grados conjuntos En la melodía de la izquierda de la figura anterior vemos una melodía por grados conjuntos que acaba en un do final. En la melodía de la derecha, en cambio, la melodía presenta saltos de más de una octava; esto hace que el oído perciba dos melodías entrelazadas, una la del registro superior, mi-fa-fa-sol, y otra en el el registro inferior, re-mi-fa-sol. El primer tipo de melodía se prefiere al segundo en la mayor parte de las culturas musicales. 2. Consonancia acústica. Aquí se refiere el autor a los intervalos considerados consonantes, tales como la octava, la quinta o la cuarta. Muchos estilos musicales muestran una clara preferencia por este tipo de intervalos de tal modo que se les asigna funciones melódicas y armónicas de más importancia que a otros intervalos. Izumi [Izu00] llevó a cabo un interesante estudio en que prueba que los monos pueden distinguir intervalos consonantes y disonantes. Parece que la consonancia acústica podría ser un candidato a universal musical más allá del ser humano. 3. Consistencia armónica. Esta es una característica ligeramente más general que la anterior. Alude al uso de sonoridades que se parecen unas a otras. Siguiendo el ejemplo que Tymoczko da en la página 6 y que se puede ver en la figura de abajo, vemos tres sucesiones de acordes. La sucesión (a) consiste en una serie de acordes mayores y menores que auditivamente son similares. La sucesión (b) también presenta acordes con un cierto grado de similitud a pesar de las disonancias presentes. Por último, la sucesión (c) muestra acordes que son distintos entre sí y que apelan a sonoridades dispares. Figura 3: Consistencia armónica (figura tomada de [Tym11]) 4. Macroarmonía limitada. Este término apunta al hecho ampliamente constatado que en la mayor parte de las culturas musicales se usa un número relativamente pequeño de notas. En el caso de la música occidental, las escalas más frecuentes son la pentatónica, la diatónica y la cromática. Con esas notas se construyen las armonías y las melodías. El juego musical consiste en muchos casos en afirmar la escala dada y salir de esta para la creación de tensión. A veces ni siquiera esto y salir de la escala no está en el estilo musical; la tensión se crea con mecanismos confinados a la propia escala. 5. Centralidad. La centralidad alude a la presencia de ciertos tonos que son más importantes o centrales que otros. Estos tonos sirven como puntos de apoyo o como notas finales en las melodías y progresiones armónicas. Cuando un tono es central una melodía tiene una interpretación diferente a cuando otro tono es el central. Una melodía como do-re-mi-fa se interpreta de distinta manera si do es el tono estable a si lo es fa, por ejemplo. Cuando lo es do, esa melodía pide una continuación. Si el tono estable es fa, entonces la oímos más como un final de melodía. El componente más cultural es, sin duda, la consistencia armónica. La idea de que la música tiene una estructura subyacente de acordes que cambian relativamente rápido es bastante occidental. En otras culturas, en cambio, esta idea no existe o si hay cambios de acordes, estos ocurren con una frecuencia mucho menor que en la música occidental. En la página 7 de su libro Tymoczko hace una interesante descarga de responsabilidad. Afirma que, aunque un oyente típico crecido en la cultura occidental prefiere música que presente estas cinco cualidades, el autor no declara que la música occidental sea intrínsecamente mejor que otras músicas que no posean tales cualidades. En efecto, es claro que, independientemente de la enculturación que hayamos recibido, lo tonal no es sinónimo de bueno en música. Por cierto, que tampoco lo popular es bueno. De hecho, la pregunta de qué es buena música permanece sin respuesta en la bibliografía de la investigación. Para más información sobre la pregunta cercana de qué es un buen músico, véase la tesis de Pablo Romero [Rom18]. 3. Cuatro afirmaciones fundamentales A Geometry of Music se desarrolla en base a cuatro principios fundamentales, que son los que desarrollamos a continuación. Los tres primeros son aseveraciones musicales bastante razonables, que se pueden considerar como plausiblemente verdaderas en la música occidental y en otras tradiciones, y la última es, en cambio, una idea no tanto novedosa como una idea ya conocida pero llevada hasta proporciones inesperadas y aplicada con métodos bastante modernos. Dicha idea es la de que la música tiene estructura geométrica y que, por tanto, se puede analizar con métodos geométricos. En esta afirmación subyace la impresión de que Tymoczko considera que los métodos clásicos de análisis musical no dan cuenta de ese territorio que linda entre la música tonal y la práctica común extendida. Los métodos geométricos que propone el autor consiguen un análisis más amplio y unificado que otros métodos más clásicos. 3.1. La armonía y el contrapunto se restringen mutuamente Esta afirmación es conocida de sobra por compositores desde hace tiempo. Tymoczko la establece aquí como premisa de trabajo y adoptando un tono pedagógico claro y ameno la ilustra. Para los lectores menos familiarizados con la música, reproducimos algunos de sus ejemplos. Si tomamos como acorde base el de do mayor, en un primer momento y buscando la máxima consonancia podríamos escoger entre dos opciones, ilustradas en la figura de abajo. En la opción (a), todas las notas pertenecen al acorde. Esto podría dar una melodía relativamente restringida y algo monótona. En la opción (b), se usan notas de paso y las notas del acorde, entonces, quedan en las partes fuertes. Estas notas de paso unen por grados conjuntos las notas del acorde. Esto da lugar a melodías más variadas. Figura 4: Armonizaciones simples de melodías (figura tomada de [Tym11]) El mecanismo de las notas de paso es válido para acordes ”sencillos”, como es el mayor. En el siguiente ejemplo, en cambio, ya vemos que no funciona. Figura 5: Armonizaciones de melodías con acordes complejos (figura tomada de [Tym11]) En la parte (b) de la figura se ve como hay que introducir muchas notas de paso para ligar las notas del acorde, lo cual descuadra la melodía. Los ejemplos anteriores sirven de soporte a la afirmación de que la armonía y la melodía se restringen mutuamente. Tymoczko presenta un concepto más, el de conducción de voces eficiente, que será primordial en el resto del libro. Siguiendo su ejemplo, supongamos que queremos unir dos acordes, do mayor y fa mayor, mediante tres melodías independientes pero con la restricción de que se muevan lo más posible por grados conjuntos. Esto es posible porque do mayor y fa mayor tienen la propiedad de que cada nota de un acorde está cerca de otra nota del otro acorde; véase la figura 6 (a). En la parte (b) de la figura vemos una posible realización de esa conducción de voces. Figura 6: Conducciones de voces (figura tomada de [Tym11]) Dado que el movimiento entre las voces es lo más pequeño posible (grados conjuntos) estamos ante una conducción de voces eficiente. Esta visión melódica de la armonía es el contrapunto. 3.2. La escala, la macroarmonía y la centralidad son independientes Para Tymoczko, una escala es una medida de distancia musical. Si hablamos de la escala pentatónica do-re-mi-sol-la, do y re está a distancia uno. En la escala cromática estarían a distancia dos. Y si una escala musical es una regla de medir distancias, entonces la macroarmonía es el número total de notas usadas en un periodo acotado de tiempo musical. En principio, y a falta de mayor perspicacia, ambas parecen estar muy interrelacionadas. Sin embargo, es posible separar ambos fenómenos. Es factible tal cosa en pasajes politonales (y no olvidemos que Tymoczko busca explicar música más allá de la práctica común). En un ejemplo que da y que se puede ver en la figura siguiente, vemos una voz, la superior, que se mueve en la escala diatónica de do mientras que la voz inferior se mueve en la pentatónica de sol bemol. El pasaje de abajo usa una escala pentatónica y una diatónica para crear una armonía cromática. El concepto de escala nos permite describir la estructura de cada voz y la macroarmonía, la estructura global. Figura 7: Pasaje politonal (figura tomada de [Tym11]) 3.3. Toda modulación implica conducción de voces Según Tymoczko, la música tonal usa las mismas técnicas de conducción de voces en dos niveles temporales. En el primero, el de las progresiones de acordes, se usan las conducciones eficientes de voces para ligar acordes que son estructuralmente similares. En el segundo, las modulaciones, se usan esas conducciones eficientes para ligar escalas estructuralmente similares. Como se puede apreciar, el punto de vista de este autor es que las progresiones de acordes ligan escalas en lugar de triadas. 3.4. La música puede entenderse desde un punto de vista geométrico Esta afirmación de Tymoczko es la tesis más contundente de su libro y la razón de ser de su trabajo. Las estructuras geométricas ya se habían usado en la música en el pasado, y es quizás el círculo de quintas con su estructura de grupo la más conocida. Pero Tymoczko quiere ampliar el rango de aplicaciones y busca explicar teorías armónicas más complejas que la música tonal. Para ello, tiene que emplear modelos más complejos, topológicos, en tres dimensiones, que cuenten con propiedades profundas capaces de reflejar la riqueza de la estructura de la música. En la figura de abajo se puede ver un grafo tridimensional que representa todas las conducciones de voces a distancia de semitono entre las triadas mayor, menor, aumentada y disminuida. En las siguientes entregas de esta serie estudiaremos a fondo este tipo de modelos. Figura 8: Modelos tridimensionales de conducciones de voces (figura tomada de [Tym11]) 4. Conclusiones Tras esta primera exposición de las ideas de Tymoczko, advertimos que el libro de este autor esta dirigido a un compositor ideal, esto es, la intención es describir estructuras conceptuales que puedan servir para crear música más que una investigación histórica de cómo han compuesto música compositores del pasado. También notamos que no tiene mucho interés en la parte perceptual (aunque claramente no la ignora por completo). Tymocko insiste a propósito de este extremo que “no debería suponerse que las estructuras cognitivas que hallan presentes cuando se hace música son las mismas que cuando se percibe esta”.   Bibliografía [CQT08] Clifton Callender, Ian Quinn, and Dmitri Tymoczko. The distance geometry of music. Science, 320:346–348, 2008. [DGMM+08] Erik D. Demaine, Francisco Gomez-Martin, Henk Meijer, David Rappaport, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint, Terry Winograd, and David R. Wood. The distance geometry of music. Computational Geometry: Theory and Application, 2008. [For77] Allen Forte. The Structure of Atonal Music. The Yale University Press, Madison, WI, 1977. [Góm18] Paco Gómez. Cadenas de markov con restricciones aplicadas a modelos cognitivos en la improvisación del jazz, consultado en septiembre de 2018. [Izu00] A. Izumi. Japanese monkeys perceive sensory consonance of chords. Journal of the Acoustical Society of America, 108:3073–3078, 2000. [LJ83] F. Lerdahl and R. Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1983. [RB06] Rudolf E. Radocy and J. David Boyle. Psychological Foundations of Musical Behavior. Charles C Thomas, Illinois, 2006. [Rom18] Pablo Romero. El buen músico: una definición por consenso en los acervos clásico y flamenco, consultado en septiembre de 2018. [Tym11] Dimitri Tymoczko. A geometry of music: harmony and counterpoint in the extended common practice. Oxford University Press, 2011. [Tym18] Dmitri Tymoczko. Página web de Dmitri Tymoczko, consultado en septiembre de 2018.

Miércoles, 17 de Octubre de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico