"Las matemáticas poseen no sólo la verdad, sino la suprema belleza, una belleza fría y austera, como la de una escultura."
Bertrand Russell (1872-1970), matemático y filósofo británico

Los microscopios son conocidos por su facultad de permitir visualizar objetos muy pequeños con más claridad. A lo largo de los años, se les han ido añadiendo mecanismos adicionales a fin de realzar los detalles: filtros Rheinberg, condensadores de contraste de fase y de fondo-oscuro por nombrar algunos.

¿Qué sucede si queremos examinar, ampliar y realzar algo que no tiene masa, y que no ocupa espacio? ¿Qué podemos hacer para "ver"

[sin(3 * phi)⁴ + cos(3 * phi)⁴ + sin(3 * theta)⁴ + cos(3 * theta)⁴] ?

¿A qué podría parecerse esta función?, o para ser más precisos, ¿a qué podría parecerse una gráfica tridimensional de la función, si φ (phi) se mueve entre 0 y 2π, y θ (theta) se mueve entre 0 y π?

[x = sen(v) * cos(u)    y = sen(v) * sen(u)    z = cos(v)],

[x = cos(u)      y = sen(u)      z = v],

¿Cómo podríamos realzar nuestra visión de la función matemática usando técnicas adicionales para dar sombra o colorear la gráfica?

Para responder a la primera pregunta, observa la imagen de la portada. ¡Eso es lo que parece la función anterior! Para responder la segunda pregunta, sigue leyendo.

Estoy seguro de que muchos lectores podrían cuestionarse la validez de comparar un microscopio físico viendo un objeto material, con un software informático visualizando una función matemática inmaterial. Solo puedo decir que mis tres aficiones: la fotomicrografía de cristales, la macro-fotografía de flores silvestres, y la visualización de funciones matemáticas esotéricas, comparten muchos problemas, y ofrecen las mismas recompensas visuales.

Hay muchos “microscopios de software” para elegir, y de entre el grupo de unos cinco con los que yo he tenido la oportunidad de trabajar, he elegido el “mejor”, el programa Wolfram Research´s Mathematica. Mathematica es un paquete informático técnico, y como tal, realiza muchas tareas, aunque yo aprovecho principalmente su capacidad gráfica tridimensional. Mathematica es intimidante al principio; tiene un periodo de aprendizaje duro. Uno primero debe aprender el lenguaje de programación Mathematica para poder obtener resultados. Incluso después de haber trabajado con el software durante más de diez años, ¡todavía tengo mucho que aprender! Debajo se muestra una vista de una "ventana" del programa. Como se puede observar, la función representada puede verse desde cualquier ángulo.

Un ejemplo de los resultados obtenidos con Mathematica para una serie de esferas concéntricas,

[x = sin(v) * cos(u)    y = sin(v) * sin(u)    z = cos(v)]

intersecadas por una serie de cilindros concéntricos,

[x = cos(u)      y = sin(u)      z = v]

muestra algunas de las capacidades del sistema. Soporta una rudimentaria capacidad de iluminación, pero la imagen producida todavía se asemeja a una gráfica. Eliminando las líneas negras que muestran los polígonos se podría mejorar el realismo de la imagen final, pero todavía no se parece a la imagen real, tal y como pensamos en ella normalmente.

Para producir un resultado más realista, necesitamos un complemento adicional del software (Igual que un microscopio a veces necesita un condensador diferente. Lo siento, ¡no puedo evitarlo!). En este caso es ideal un "ray-tracer" (trazador de líneas, rayos). Un ray-tracer es un programa de software informático que produce una imagen disparando un haz de luz desde una cámara imaginaria dentro de un escenario tridimensional imaginario. Si el haz de luz interseca un objeto imaginario en ese escenario, podría ser reflejado, refractado, difuminado o absorbido, dependiendo de la composición superficial del objeto. Como el software continúa disparando haces de luz en el escenario, se construye una imagen detallada del mismo. El problema está en que el ray-tracer necesita un escenario al que mirar. Para obtener uno, se puede pedir a Mathematica que cree un archivo que contenga sólo los polígonos que componen la gráfica tridimensional. Este archivo "DXF", como es nombrado, puede ser leido en el ray-tracer para actuar como el escenario imaginario.

El primer ray-tracer a considerar aquí es Corel Software's Bryce (llamado así por el Cañón Bryce en los EE.UU.). Más abajo se puede ver un "pantallazo" del software después de haber completado el trazado de una imagen. ¿Qué tal esto como realismo? La delicadeza del cristal y del plástico, así como las reflexiones más destacadas de la iluminación, están todas fielmente reproducidas. (También podría haber tenido sombras, pero las deshabilité en el software.)

Bryce maneja magnificamente texturas brillantes tales como cristal y metal. Nótese que el usuario puede elegir las texturas, colores, luces y posición de las luces en el escenario. La siguiente imagen muestra el objeto resultante de la superposición de una serie de toros:

[x = (a + cos(v)) * cos(u)    y = (a + cos(v)) * sin(u)    z = sin(v)]

los cuales han sido rotados con respecto a uno dado. Se ha dado a cada toro una textura metálica con una alta reflexión. El plano tiene una textura aleatoriamente desigual, la cual es reflejada en la unión de los toros.