19. Doblando Pentágonos -Apéndices- |
Escrito por Monte y Valle |
Sábado 01 de Abril de 2006 |
Apéndice I Posición del centro del pentágono: punto C La distancia d entre dos puntos (x1,y1) (x2,y2) es . Así pues, si la distancia de (c,c) a (0.5,0) es igual a la distancia de (c,c) a (0.75,1), tenemos la ecuación de donde podemos obtener c (c-0.5)2 + c2 = (c-0.75)2 + (c-1)2 ; Las coordenadas de C en un cuadrado unidad son (x,y)=(c,c) con c =21/40=0.525. El centro del pentágono exacto se encuentra en c = cos 9 / ( cos 27 + cos 9 ) = 0,525731112…. el error cometido es de 0.00139 (0.139%). En un papel de 20 cm de lado el punto C esta a 0,207 milímetros del centro exacto (inapreciable a la vista). Al trasladar el punto D sobre D´ en el paso 9, obtenemos un vértice del pentágono. El punto D´ , tiene coordenadas (x,1). Para encontrar x imponemos que D´ pertenezca a una circunferencia de centro (c,c) y radio r = . Los puntos de una circunferencia de radio r y centro (xc,yc) satisfacen la ecuación (x-xc)2 + (y-yc)2 = r2. Dado que el centro del círculo está en (c,c) con c = 21/40 podemos obtener x (posición de D´ ) tomando y = 1, xc = yc = c y r = obteniendo la ecuación (x-c)2 + (1-c)2 = r2 de donde sale De las dos soluciones, la que buscamos es x = 0.289150. La solución matemáticamente exacta se puede obtener resolviendo la misma ecuación con c = cos 9 / ( cos 27 + cos 9 ) y r = 1 / ( 2 cos 9 cos 18 ). En un papel de 20 cm, el punto D´ se encuentra 0.35 mm a la derecha de la posición exacta (casi inapreciable a la vista, se suele tomar 0,2 mm como límite de la precisión visual). y podemos calcular a partir de la tangente, ya que el triángulo sombreado es rectángulo y por tanto . Antes hemos encontrado la relación , podemos expresar el ángulo como , y por tanto el ángulo D´CD que buscamos se obtiene con r = y c = 21/40 En los pasos 10-11 bisecamos el ángulo D´CD dos veces 11 En el paso 12 obtenemos dos ángulos prácticamente iguales El error, de 0.65º, es aproximadamente 1/10 del ángulo que separa los segundos de un reloj de los de antes. En un papel de 1 m2 la distancia entre los bordes del papel en el paso 12 sería de aproximadamente 6 mm. El triángulo sombreado es rectángulo y uno de sus ángulos es y las longitudes de los catetos adyacente y opuesto son c y c-y respectivamente. A partir de la definición de tangente podemos calcular y (El valor teóricamente exacto es, )
Apéndice II Definiendo la posición de los pliegues con los ángulos y ß como en la figura podemos expresar a en función de y ß y obtenemos las ecuaciones a=(1-c)Tan(2-π/4) y a =c-Tan(2ß-π/2)(1-c-c/Tan(3π/4- ß)) Imponiendo que el borde del papel coincida con la posición del pliegue tenemos que =π-2ß. Suponiendo el punto c = cos 9 / ( cos 27 + cos 9 ) se obtendrían los ángulos exactos =π/10 y ß=π/5 ( =36° y ß=72°) . Con el valor aproximado de c=21/40, obtenemos la ecuación f(ß) Resolviendo f(ß)=0 numéricamente se encuentra ß=72,07164° (1,257887 radianes). El ángulo obtenido =π-2ß es de 35,85672°. x = c - (1-c)tan(2-45) = 0.285960. La solución matemáticamente exacta la hemos obtenido en el Apéndice I con x = 0.287398. podemos calcular y (El valor teóricamente exacto es, ) |
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