Thomas Simpson (Resolución gráfica de ecuaciones cuadráticas) |
Escrito por Vicente Meavilla Seguí | ||||
Resolución gráfica de ecuaciones cuadráticas
El inglés Thomas Simpson es conocido en el mundo de las Matemáticas por sus contribuciones a los métodos numéricos de integración. Fue miembro de la Royale Society y de la Real Academia Sueca de Ciencias. También escribió sobre cálculo diferencial (New Treatise of Fluxions, 1737) y probabilidad (The Nature and Laws of Chance, 1740). En el campo de la educación matemática, sus textos sobre álgebra, geometría y trigonometría se editaron profusamente durante el siglo XVIII. En su Treatise of Algebra (1745) se encuentra la resolución gráfica de los tres tipos de ecuaciones cuadráticas siguientes:
He aquí la traducción del texto original (pp. 234-236).1 Construcción de la primera y segunda formas Con radio se describe el círculo OAF y, desde un punto A cualquiera de su circunferencia se aplica la línea recta AB igual a b – c (o a c – b si se supone que c es la mayor) prolongándola hasta que BC = c. Desde el punto C, a través del centro O, se traza CDE que corta a la circunferencia en D y E. Entonces, el valor de x vendrá dado por CD, en el primer caso, y por CE en el segundo. Por construcción, DE = a. Entonces, es claro que si CD se designa por x, entonces CE = x + a. Pero si CE se designa por x, entonces CD = x – a. Pero, en virtud de Euclides 37. 3(2), CE · CD = AC · CB. Es decir: (x + a)x = x2 + ax = bc, en el primer caso, y x(x – a) = x2 – ax = bc, en el segundo (...) Si b y c son iguales, entonces la solución es más sencilla y se construye así: Desde cualquier punto F de la circunferencia se dibuja la perpendicular FC, igual a b (o igual a c), al radio FO y después se traza CDE como antes. Notas: 1 Hemos procurado ser fieles al estilo de Simpson, pero hemos modificado ligeramente su simbolismo algebraico. 2 Se refiere a la siguiente proposición del libro tercero de los Elementos de Euclides:
Como el diámetro ED = a, es evidente que si DC o EC se designa por x, entonces la parte que sobra es a – x. Pero DC · EC = AC · CB (Euclides, 36.3)3. Es decir: ax – x2 = bc. Cuando las cantidades b y c sean iguales, el método de construcción es, en este caso, el mismo. Pero si en este caso, o en el precedente, los valores de b y c son tan desiguales que b – c, en el primer caso, o b + c, en el último, son mayores que el diámetro a, entonces en lugar de estas cantidades deberás usar otras como y 2c, o y 3c, cuyo rectángulo o producto es el mismo, o encontrar un medio proporcional entre ellas, de acuerdo con el método común. Referencias bibliográficas:
Referencias on line:
Nota:
Construcción de la tercera forma En primer lugar, con radio , se describe un círculo (como en el caso precedente) en el que se inscribe, por aplicación, la línea recta AB igual a b + c, suma de las dos cantidades dadas, y en ella se toma AC igual a (b) la mayor de ellas. A través de C se dibuja el diámetro DCE. Entonces, DC o EC será la raíz de la ecuación. |
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