Euclides (El Teorema de Pitágoras en Los Elementos de Euclides) - Página 2 |
Escrito por Pedro Miguel González Urbaneja | |||||||||||
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El recíproco del Teorema de Pitágoras en la Proposición I.48 de Los Elementos de Euclides La Proposición I.47 marca la cumbre del Libro I de Los Elementos, pero la sagacidad de Euclides va todavía más allá, exhibiendo una demostración del resultado inverso del Teorema de Pitágoras que es un increíble modelo de economía de recursos en Geometría, en la Proposición I.48 (Euclides: Elementos. Gredos. Madrid, 1996. Libro I, p.263): Dos notas son dignas de ser remarcadas sobre esta demostración: su concisión y el hecho de gran valor lógico-deductivo de que Euclides aplica el propio Teorema de Pitágoras para demostrar su recíproco. Por desgracia esta sencilla demostración es obviada en los libros de texto aunque paradójicamente es utilizada implícitamente tanto como el propio Teorema de Pitágoras y ello desde los antiguos agrimensores egipcios. En efecto, es curioso que mientras cualquier persona se enfrenta al Teorema de Pitágoras en su etapa escolar, muy pocas personas conocen la demostración del teorema inverso, aunque están seguros de su legitimidad y de hecho lo aplican cuando es necesario. Las dos proposiciones, I.47 y I.48 constituyen una unidad secuencial, con la que se alcanza un clímax de esplendor geométrico en el final del Libro I de Los Elementos, ya que tomadas en conjunto caracterizan por completo los triángulos rectángulos, es decir:
He aquí otro relevante rasgo del alto valor pedagógico de Los Elementos de Euclides.
En la Introducción general de la edición de Gredos de Los Elementos de Euclides (Libro I, pp.66–67), así como en el capítulo 4.2.4 de su obra La Trama de la Demostración (Alianza Editorial. Madrid, 1990, p.321), Luís Vega escribe: «El carácter elemental de I.47 y I.48 convierte ambos teoremas en un broche de oro del Libro I desde un punto de vista disciplinario; son una viva muestra de la capacidad de Euclides para dominar por medios relativamente sencillos buena parte de la tradición geométrica antigua. […]. La prueba de esta versión, a todas luces propia de Euclides, discurre al margen de la teoría de la proporción y del recurso a la semejanza de triángulos […] lo que contribuye a hacer significativa la opción de Euclides en el contexto del Libro I, por un desarrollo inicial y sistemático en los términos elementales de la aplicación y transformación de áreas. […]. Revela, además, la capacidad de Euclides para reconstruir de modo sistemático un legado antiguo y forjar nuevas pruebas que se adecuen a esta reconstrucción».
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