117. LOS NÚMEROS NATURALES |
Hallar tres números naturales en progresón aritmética de diferencia( o razón) 2, tales que la suma de sus cuadrados sea un número de 4 cifras iguales.
Si bien este problema es relativo a las progresiones aritméticas no es necesario conocer muchos conocimientos relativos a ese campo. De acuerdo al concepto de progresión aritmética de razón 2 , los números buscados son : n - 2, n y n + 2.Una vez planteado este supuesto, el resto del problema se resuelve usando conceptos de divisibilidad. La suma de los cuadrados de los tres números es:
que, necesariamente, de acuerdo al enunciado del problemas, será de la forma: M (1.111) para alguna cifra M del 1 al 9. Ahora bien el número M (1.111) - 8 y también el número 4M – 8 son divisibles por 3 (comprobar este último resultado). Si recordamos las ecuaciones diofánticas podemos poner : 4M - 8 = 3A, o de manera equivalente que : 4M – 3A = 8 , en la que rápidamente observamos que M = 2; A = 0 es una solución. Otras posibilidades son M = 5; A = 4 y M = 8; A = 8. Ahora bien teniendo en cuenta :
Se ha de verificar que:
Este último valor además de ser entero, debe ser un cuadrado. Pero esto solo ocurre para M = 5 en el que obtenemos n = 43, por tanto los números buscados son: 41, 43 y 45.
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