¿Puede una rana hacerse tan grande como un buey? Banach y Tarski responden |
Escrito por Marta Macho Stadler |
Viernes 30 de Marzo de 2012 |
El matemático polaco Stefan Banach (1892-1945) nació un 30 de marzo de hace 120 años. Es uno de los fundadores del análisis funcional e hizo otras importantes aportaciones a la teoría de conjuntos, la teoría de la medida y otras ramas de las matemáticas. Aprovecho esta especial fecha para hablar sobre una conocida paradoja de la teoría de la medida y que es consecuencia del axioma de elección: es la paradoja de Banach-Tarski, que lleva también el nombre del matemático polaco Alfred Tarski (1902-1983). Math Fun Facts, http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/30001.1-3-8.shtml ¿En que consiste esta paradoja? Banach y Tarski demuestran que: Es posible cortar una bola -por ejemplo, una naranja- en un número finito de trozos y reagruparlos, sin deformarlos, para obtener n bolas disjuntas del mismo radio, donde n es un entero mayor o igual a 2. ¿Troceando convenientemente una naranja y juntando las piezas se pueden obtener dos? ¡Pero si eso es imposible! Es imposible realizarlo físicamente, pero es posible realizarlo de manera teórica. ¿Seguro? Si de una naranja salen dos, ¿no estamos duplicando el volumen? Y eso no es posible. Allí está justamente la cuestión: las piezas en las que se recorta la bola son pocas -ocho- y con movimientos elementales se reconstruyen las dos bolas… pero los trozos intermedios son tan complicados que no tienen volumen. Hablando en términos de teoría de la medida, las piezas en que se recorta la bola son conjuntos no medibles, y por lo tanto, no hay contradicción. ¿Qué no te he convencido? Si quieres ver la prueba -es un poco larga, pero no es complicada- te dejo un montón de referencias, que van desde el artículo original de Banach y Tarski, hasta libros deliciosos. El resultado se obtiene al utilizar el axioma de elección… I. Libros sobre la Paradoja de Banach-Tarski
II. Artículos y otros formatos
III. Y para aprender, pero de manera un poco más ligera…
http://loltheorists.livejournal.com/34821.html
IV. ¿Y ese título tan raro? Como consecuencia del resultado de Banach y Tarski, es posible cortar una bola de cualquier tamaño -un guisante o ¿una rana?- en un número finito de piezas, y recolocarlas convenientemente hasta formar otra bola de radio tan grande como queramos -el Sol o ¿un buey?-. El título aludía a la fábula de Jean de la Fontaine La Rana que pretendía igualarse al buey:
Artículo publicado en el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología (ZTF-FCT) de la Universidad del País Vasco ztfnews.wordpress.com |
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