Los números inversos de Fibonacci |
Escrito por Marta Macho Stadler |
Lunes 13 de Julio de 2015 |
Divide 1 entre 999.999.999.999.999.999.999.998.999.999.999.999.999.999.999.999,
y mira lo que se obtiene: ¿Te has fijado en que los dígitos no nulos de la expresión decimal de este cociente son términos (en orden) de la sucesión de Fibonacci?
En la anterior tabla, los decimales están ordenados en bloques de 24 dígitos. Los últimos dígitos que aparecen en cada una de estos bloques son los términos de la serie de Fibonacci hasta el 1160: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155, 165580141, 267914296, 43349443, 701408733, 1134903170, 1836311903, 2971215073, 4807526976, 7778742049, 12586269025, 20365011074, 32951280099, 53316291173, 86267571272, 139583862445, 225851433717, 365435296162, 591286729879, 956722026041, 1548008755920, 2504730781961, 4052739537881, 6557470319842, 10610209857723, 17167680177565, 27777890035288, 44945570212853, 72723460248141, 117669030460994, 190392490709135, 308061521170129, 498454011879264, 806515533049393, 1304969544928657, 2111485077978050, 3416454622906707, 5527939700884757, 8944394323791464, 14472334024676221, 23416728348467685, 37889062373143906, 61305790721611591, 99194853094755497, 160500643816367088, 259695496911122585, 420196140727489673, 679891637638612258, 1100087778366101931, 1779979416004714189, 2880067194370816120, 4660046610375530309, 7540113804746346429, 12200160415121876738, 19740274219868223167, 1940434634990099905, 51680708854858323072, 83621143489848422977, 135301852344706746049, 218922995834555169026, 354224848179261915075, 573147844013817084101, 927372692193078999176, 1500520536206896083277, 2427893228399975082453, 3928413764606871165730, 6356306993006846248183, 10284720757613717413913, 16641027750620563662096, 26925748508234281076009, 43566776258854844738105, 70492524767089125814114, 114059301025943970552219, 184551825793033096366333, 298611126818977066918552, 483162952612010163284885. Fíjate en las siguientes divisiones:
Los números 89, 9.899, 998.999, etc. (y por supuesto, el número 999.999.999.999.999.999.999.998.999.999.999.999.999.999.999.999), se llaman números inversos de Fibonacci.
Los términos de la sucesión de Fibonacci se definen usualmente como: f0=0, f1=1, y fn+2=fn+1+fn (si n≥0). Pero también pueden definirse a través de la función generadora G(x)=x/(1-x-x2), que cuando se expande en potencias de x, posee como coeficientes los términos de la sucesión de Fibonacci: Observa finalmente que:
Es decir, los números inversos de Fibonacci son justamente los de la forma 102n–10n–1. El divisor de la división propuesta al principio 999.999.999.999.999.999.999.998.999.999.999.999.999.999.999.999 corresponde a n=16.
Visto en Futility Closet Artículo publicado en el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología (ZTF-FCT) de la Universidad del País Vasco ztfnews.wordpress.com |
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