Los siguientes números son primos y palindrómicos –capicúas–: 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, 10301, 10501, 10601, 11311, 11411, 12421, 12721, 12821, 13331, 13831, 13931, 14341, 14741, 15451, 15551, 16061, 16361, 16561, 16661, 17471, 17971, 18181, etc.

¿Has visto que en esta lista hemos pasado de números primos capicúas de tres cifras a números de cinco cifras?

¿Por qué? Para explicar la razón, vamos a utilizar unos conceptos sencillos de teoría de congruencias –el enlace corresponde a los apuntes de la asignatura de Matemáticas Básicas del curso 2012/2013 en el Grado de Matemáticas de la UPV/EHU–.

Si N, a y b (a < b) son números naturales, decimos que  N es congruente con a módulo b,

N ≡ a (mód b),

cuando al dividir N por b, el resto de la división es a.

Vamos a usar dos propiedades fundamentales de congruencias:

1. si N₁ ≡ a₁ (mód b) y N₂ ≡ a₂ (mód b), es N₁ + N₂ ≡ a₁ + a₂ (mód b), y
2. si N₁ ≡ a₁ (mód b) y N₂ ≡ a₂ (mód b), es N₁ x N₂ ≡ a₁ x a₂ (mód b).

Aplicando la propiedad 2., obtenemos:

1. 1 ≡ 1 (mód 11),
2. 10 ≡ -1 (mód 11),
3. 100 ≡ 10 x 10 (mód 11) ≡ -1 x (-1) (mód 11)  ≡ 1 (mód 11),
4. 1000 ≡ 100 x 10 (mód 11) ≡ 1 x (-1) (mód 11)  ≡ -1 (mód 11), etc.,

es decir,

1. 10ⁿ ≡ 1 (mód 11) si n es par y
2. 10ⁿ ≡ -1 (mód 11) si n es impar.

Si tomamos cualquier número N de 4 cifras, su representación decimal es:

N = 1000a + 100b + 10c + d, con a distinto de cero.

Si N es además palindrómico, entonces a = d y b = c, es decir,

N = 1000a + 100b + 10b + a.

Y usando las propiedades de congruencias 1. y 2. citadas arriba, es:

N = 1000a + 100b + 10b + a ≡ (-a) + b + (-b) + a (mód 11) ≡ 0 (mód 11),

es decir, N es múltiplo de 11; y al tener 4 cifras, no puede ser primo.

Es decir, acabamos de probar que no existen números primos palindrómicos con 4 cifras.

De hecho, argumentando exactamente del mismo modo, se puede probar que no existen primos palindrómicos con un número par de cifras (excepto el 11).

Más información: A002385, The OEIS

Hemos hablado da palíndromos variados en:

• Symmetry: un corto palindrómico
• Un enunciado palindrómico
• Mapa palindrómico
• Mañana es… 31-8-13
• Un primo muy largo y muy simétrico
• El primo de Belfegor
• ¿Qué es un omirp?
• ¡Simpático primo!

Artículo publicado en el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología (ZTF-FCT) de la Universidad del País Vasco ztfnews.wordpress.com