Espacio DE-MENTE [Heraldo de Aragón] (III) |
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| Escrito por Fernando Corbalán | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Tercera entrega de "Espacio DE-MENTE" (Heraldo de Aragón). Para ver la introducción de esta iniciativa, ir a Espacio DE-MENTE (I). Esta entrega se compone de 10 artículos: El mecanismo de la serie se explica en el primero de los ‘espacios dementes’ (autor de los artículos: Fernando Corbalán).
ESPACIO DE-MENTE (26) SIMPLIFICACIONES EXTRAÑAS A veces simplificar fracciones no es tarea fácil; y como la mente humana tiende a encontrar caminos sencillos (aunque no siempre sean los correctos), hay gentes que se buscan formas un tanto extrañas. Supongamos que tenemos que simplificar 2666/6665, que es un asunto complicado (y cuya utilidad en la vida diaria es bastante complicada de justificar). Alguien pensó: ‘¡Muy fácil!, quito un 6 del numerador y otro del denominador y ya está’; y lo hizo:
y comprobó (tú puedes hacerlo también) que era correcto. Y pensó: ‘¡Es estupendo!. Seguiré quitando un 6 en cada número y acabo rápido’. Y así hizo
y comprobó que había simplificado bien. Muy contento pensó que había descubierto un método nuevo y más rápido de simplificar porque también se cumple en otro caso que encontró:
Dedujo que al menos debía servir cuando había alguna cifra común en el numerador y en el denominador. Pero su dicha duró poco porque un amigo le propuso 366/664, que no es igual a 36/64 ni tampoco a 3/4. Es decir que no es un procedimiento que sirva para simplificar fracciones, incluso aunque haya cifras comunes en el numerador y en el denominador. Pero sí que sirve en algunos casos más de los que te hemos puesto. Intentar buscar otros. Trenes numéricos (sol) Hacemos solo uno de ellos, el apartado d. Para ello llamamos a al segundo vagón, que no conocemos, y llenamos todo el tren siguiendo la regla
Ten en cuenta en lo anterior que (1+a) + a = 1+2a; (1+2a) + (1+a) = 2 + 3a. Y ahora, como sabemos que el último vagón es 14, se tendrá que cumplir que 2 + 3a = 14, luego a = 4. Y ya puedes llenar todo el tren.
La solución del resto se obtiene de la misma forma. ESPACIO DE-MENTE (27) SOPA DE LETRAS Tienes a continuación ocho nombres referidos a unidades de medida; tienes que averiguar cuales son y buscarlos en la Sopa de Letras. La búsqueda puede ser en horizontal (de izquierda a derecha), en vertical (de arriba hacia abajo) o en diagonal (hacia la derecha y hacia abajo). 1.- Decímetro cúbico. 2.- Abreviatura del peso de un litro de agua. 3.- Un millón de veces la unidad de peso. 4.- Unidad de capacidad que se emplea para medir el petróleo. 5.- Medida de longitud utilizada en los países sajones que tiene que ver con un dedo (aquí la utilizamos sobre todo en la TV). 6.- Unidad a partir de la cual se definen las demás en el Sistema Métrico Decimal (está relacionada con el tamaño de la Tierra). 7.- Unidad de superficie usada en agricultura que es también el nombre de la superficie de una porción del plano. 8.- Unidad de longitud usada en Astronomía (que parece de tiempo).
Simplificaciones extrañas (sol) Para tener todas las soluciones hay que resolver la ecuación con tres incógnitas que resulta de la igualdad entre fracciones ab/bc = a/c, que con su expresión decimal y la igualdad de las fracciones da lugar a (10a + b) · c = (10b + c) · a ⇒ 9ac = b (10a - c) [1] Puede hacerse un estudio sistemático de [1], pero basta probar con algunos valores, que tienen que ver con divisores de 9. Por ejemplo, con b = 9 los posibles valores de a y c son: En el caso en que b = 6, tenemos dos nuevas soluciones, que son las que se dan en el ejemplo: 16/64 = 1/4 y 26/65 = 2/5. ESPACIO DE-MENTE (28) MAGIA Podemos averiguar la edad de tu padre y de tu madre de forma algo sorprendente. Tienes que realizar las siguientes operaciones:
Así tendrás un número de cuatro cifras: las dos primeras son la edad de tu padre y las dos siguientes la de tu madre (o los que cumplirá en este año). Compruébalo en tu caso. Y hazlo también con tus amigos y conocidos: seguro que llegas a tener fama de mago. Pero aquí, entre nosotros, hay poco de magia, solo es cuestión de rastrear lo que se hace con los números. ¿Podrías explicar por qué funciona? Si lo hubieras hecho el año pasado, ¿también hubieras adivinado correctamente el resultado? Sopa de letras (sol) 1.-Litro; 2.- Kilo; 3 Tonelada; 4.- Barril; 5.- Pulgada; 6.- Metro; 7.- Área; 8.- Año-luz
ESPACIO DE-MENTE (29) EN CUATRO PARTES Dividir un cuadrado en cuatro partes iguales (de la misma área y de la misma forma) es muy fácil. Aquí tienes dos maneras de las que primero se ocurren
Pero como en este espacio de lo que tratamos es de ejercitar la mente, te pedimos algo un poco más complicado y más divertido: que encuentres procedimientos generales para tener tantas divisiones de un cuadrado en cuatro partes como quieras. Aunque dicho así puede parecer muy complicado, si piensas un poco verás que no lo es tanto: se trata de pensar en métodos que se puedan utilizar cambiando alguna magnitud y que siempre nos den cuatro partes iguales. Lo que te pedimos es equivalente a diseñar un puzzle con cuatro fichas iguales que permiten formar un cuadrado. Magia (sol) Seguimos la pista de lo que vamos haciendo con los números hasta llegar al final. Si es P la edad del padre las sucesivas operaciones nos dan: P ⇒ 2P ⇒ 2P+5 ⇒ 100P + 250 ⇒ 100P + 2005 Si al número final le restamos el año de nacimiento de la madre nos queda 100P + (edad de la madre). Y la expresión decimal de ese número (que es la forma en que escribimos habitualmente) son las edades del padre y de la madre. El año pasado habría que haber hecho todo igual, excepto en el paso 5, en que habría que haber sumado 1754 (para que así la suma final hubiera sido 100P + 2004). Si queremos tener preparado el truco para el año que viene, ¿qué número tendremos que sumar en el paso 5? ESPACIO DE-MENTE (30) PORCENTAJES SUMANDO Un avispado comerciante, que además debía apreciar las operaciones con números y el juego con ellos, anunciaba las rebajas de su tienda con una curiosa ‘suma’ en grandes caracteres: 2 + 2 = 3,40 Por si los destinatarios no estaban muy fuertes en cálculo, debajo, más pequeño, añadía que eso suponía un descuento del 15%. Y así era, porque como la suma correcta es 2 + 2 = 4, si hallamos el 40% de 4 (que como sabes puede hacerse calculando 15x4/100 o directamente 0,15x4) obtenemos 0,60. Por eso, si queremos hacer un descuento del 15% de la suma tendremos que hallar 4 – 0,60 = 3,40 Puedes utilizar el mismo procedimiento para anunciar otros porcentajes de rebaja: por ejemplo escribe las sumas correspondientes al 10%, al 20% y al 25% (y todos los que quieras). Sabes que no solo hay rebajas, sino que con bastante frecuencia suben los precios. Utiliza el mismo tipo de ‘sumas’ (u otras que consideres apropiadas) para aumentos del 10% y del 20% (o los que quieras). En cuatro partes (sol) Hay muchas formas de hacerlo. Te damos dos. En la primera basta con medir una misma distancia d a partir de los cuatro vértices y unir los puntos que resultan
En la otra partimos de la división en cuatro cuadrados y en los mismos lugares de las rectas de división dibujamos la misma figura. En este caso hemos hecho dos segmentos rectos (pero también podrían ser curvas)
Seguro que has encontrado muchas otras (o puedes hacerlo ahora con estas ideas). ESPACIO DE-MENTE (31) DOS JUEGOS A continuación te presentamos dos juegos para dos jugadores. Son parecidos, pero tienen algunas pequeñas diferencias. Con ellos se puede jugar el rato que se quiera, pero luego es bueno analizarlos un poco para ver si hay algún procedimiento para ganar siempre (lo que se llama una ‘estrategia ganadora’). Si lo hay tienes que decir si sirve para el primer jugador o para el que lo hace en segundo lugar, y lo que tendrá que hacer en cualquier posibilidad que se le plantee. 1.- Tenemos dos montones con 8 y 10 fichas. Cada uno de los dos jugadores, en su turno, puede quitar las fichas que quiera, pero de un solo montón. Gana el que se lleva la última. 2.- Tenemos 18 fichas. El primer jugador las distribuye en dos montones (con el número de fichas que quiera en cada uno, a su elección). A partir de ese momento las jugadas (la primera la realiza el otro jugador) consisten en que cada uno de los dos jugadores, en su turno, puede quitar las fichas que quiera, pero de un solo montón. Gana el que se lleva la última. Porcentajes sumando (sol) Como el 10% de 4 es 0,40, su suma correspondiente será 2 + 2 = 4 – 0,40 = 3,60. Haciendo lo mismo nos quedan las expresiones:
En general, para un descuento del N% la ‘igualdad’ será
También sirve para aumentos. En el 10% será 2 + 2 = 4 + 0,40 = 4,40. Y en general para un aumento del M% sería
Puedes hacer cambios en operaciones similares, como 2 + 3 = 5 ó 5 + 5 = 10 (en esta última un descuento del 30% sería 5 + 5 = 7 y un aumento del 10% nos daría 5 + 5 = 11). ESPACIO DE-MENTE (32) EN TRES PARTES Hace unas semanas te proponíamos dividir un cuadrado en cuatro partes iguales. Hoy algo un poco más complicado: queremos partir un cuadrado en tres partes con la misma superficie. Seguro que hay un procedimiento que se te ocurre rápidamente: dividir el lado en tres partes iguales y unirlos.
Pero no te pedimos eso, no conformamos con que los trozos tengan la misma superficie y formados como en la figura
Solo tienes que decir dónde tendrás que poner los puntos A y B para que eso suceda. Y por supuesto las razones por las que así obtienes tres trozos de la misma superficie. Dos juegos (sol) En ambos casos puede ganar siempre el primer jugador (es decir, el primer jugador tiene estrategia ganadora), de la siguiente forma. Juego 1.- En la primera jugada quita dos fichas del montón de 10, con lo que quedan dos montones de 8 fichas. A partir de ese momento hace lo mismo que el otro jugador en el montón en el que él no haya cogido, es decir, deja en todo momento dos montones con el mismo número de fichas. De esa forma siempre se llevará la última. Juego 2.- Después de lo anterior parece clara la estrategia: se distribuyen las 18 fichas en dos montones iguales (de 9 fichas cada uno) y a partir de ese momento hace lo mismo que el otro jugador en el otro montón. Si te apetece seguir jugando otro juego casi igual en la forma pero no en el fondo: Tenemos dos montones con 8 y 10 fichas. Cada uno de los dos jugadores, en su turno, puede quitar las fichas que quiera de un solo montón o, si quiere retirar de los dos, el mismo número de fichas de cada montón. Gana el que se lleva la última. Mira a ver si también tiene estrategia ganadora y para que jugador. ¡Que te diviertas! ESPACIO DE-MENTE (33) SUMAS DE LETRAS Y NÚMEROS Hoy te proponemos unas ‘sumas’ en las que cada letra es siempre el mismo dígito (y dos letras diferentes corresponden a dígitos distintos) y que además representan con palabras sumas verdaderas. La primera es en castellano
Y la segunda en francés (1 + 1 + 9 = 11)
En cada caso tienes que encontrar las cifras que corresponden a cada una de las letras (y que aunque alguna coincida en las dos ‘sumas’, como la O o la E, no tienen por qué ser iguales). En tres partes (sol) Si el lado del cuadrado es L su área será L x L = L2. Vamos a ver dónde tendrá que estar B para que la superficie del triángulo BCD sea la tercera parte: L2/3. Para ello calculamos su área (que es la mitad de la base por la altura) y la igualamos al resultado y así podremos saber cuánto es BC:
Luego para marcar el punto B basta con dividir el lado CD en tres partes iguales y coger una de ellas (y lo mismo con A en el lado EF).
ESPACIO DE-MENTE (34) LA CIFRA DESAPARECIDA Este problema es una adivinanza del norteamericano Sam Lloyd (1841-1911), que fue un famoso autor de pasatiempos relacionados con las matemáticas, cuyo dibujo original es el que adjuntamos
1.- Coge las diez cifras de 0 a 9 y escribe con ellas dos números como quieras. La única limitación es que tienes que utilizar las diez cifras y una sola vez cada una de ellas. Por ejemplo 836920 y 5417. 2.- Suma los dos números que has escrito (en nuestro caso 836920 + 5417 = 842337). 3.- En la suma que obtengas tacha una de las cifras, que tenga algún valor, es decir, que no sea el cero. Y dime el resultado (por ejemplo, en el caso anterior quitamos el 4 y queda 82337). ¡Yo te diré enseguida, solo con saber el resultado final, la cifra que has tachado! ¿Cómo podemos conocer siempre la cifra que falta? Seguro que lo sabes; si no la solución el próximo miércoles. Sumas de letras y números (sol) Para la suma en castellano
Y para la francesa
ESPACIO DE-MENTE (35) SOL Y SOMBRA Para despedirnos de cara al verano un juego solitario, para uno solo. En un tablero de siete casillas alineadas (como el de la figura) se colocan tres de dos colores diferentes en los extremos del mismo, dejando una casilla libre en el centro. Se trata de intercambiar la posición de las fichas de color diferente moviéndolas de la siguiente forma: si hay una casilla libre al lado de una de las fichas, se puede desplazar a la misma; si hay una ficha del otro color y a continuación una casilla libre, se puede saltar por encima de esa ficha y colocarse en la casilla libre. Y además hay que lograr realizar el intercambio en el menor número posible de movimientos.
Una vez que lo hayas hecho puedes complicarlo un poco poniendo, en un tablero de nueve casillas, cuatro fichas de cada color en los extremos y tienes también que intercambiarlas. Si no solo has hecho el anterior sino que te has fijado un poco en el procedimiento, seguro que este te sale sin problemas. Y junto con el deseo de que pases un buen verano, como regalo un puzzle del mismo Sam Lloyd que veíamos la semana pasada. Corta por donde está marcado e intercambia los dos trozos superiores y tendrás una sorpresa: aparece un nuevo duendecillo (ahora son 14 y luego 15). ¿Qué ha pasado?
La cifra desaparecida (sol) La cifra desaparecida es el número complementario a múltiplo de 9, o dicho de otra forma, suma las cifras del número que te den y añade una para que el resultado sea múltiplo de 9. En el ejemplo que dimos, 82337, hacemos 8 + 2 + 3 + 3 + 7 = 23 y como el siguiente múltiplo de 9 es 27 la cifra desaparecida es el 4 que falta para llegar a 27. La excepción que se hace de que la cifra que quitemos no puede ser el cero es porque en ese caso podría ser la cifra tachada 0 o 9. |
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