91. Gauss, Carl Friedrich (1777-1855)

“El príncipe de los matemáticos” No es exagerado este título póstumo, Príncipe de los Matemáticos, acuñado en una moneda, con que el rey Jorge V de Hannover honró a Gauss tras su muerte. Según E.T Bell, y es una opinión compartida por la mayoría de los historiadores de la ciencia, Gauss junto a Arquímedes y Newton ocuparía el podium de los grandes genios de las matemáticas a lo largo de la Historia. No se puede entender el avance y la revolución de las matemáticas del siglo XIX sin la mítica figura de Gauss. Su figura ilumina de forma completa la primera mitad del siglo. Sus aportaciones se producen en todos los campos de las matemáticas, tanto puras – Teoría de Números, Análisis, Geometría – como aplicadas – Astronomía, Geodesia, Teoría de errores – y en Física –Magnetismo, Óptica, Teoría del potencial... Este gran matemático alemán llevó las Matemáticas del siglo XIX a cumbres insospechadas unas décadas antes y elevó la Aritmética Superior a la cima de las Matemáticas, citando sus propias palabras, “las matemáticas son la reina de las ciencias y la aritmética la reina de las matemáticas”. La apacible vida de un genio precoz El 4 de mayo de 1777 el viejo párroco de la iglesia de Wendengraben, en Brunswick, Alemania, procede a inscribir en el registro parroquial al más reciente de sus nuevos feligreses: Johann Friedrich Carl; se trata de un niño varón, nacido cuatro días antes, el último día del mes de abril, el hijo de un humilde matrimonio, la pareja formada por Geghard Dietrich Gauss  y Dorothea Benze, ambos de 33 años. Con el paso de los años, este niño abandonará su primer nombre Johann y será conocido en toda Europa como Carl Freidrich Gauss, así es como firmará sus obras. Su padre, Geghard Dietrich, desempeñó a lo largo de su vida los oficios manuales más diversos: jardinero, como su padre, matarife, albañil, mantenedor de los canales de riego de la ciudad, maestro constructor de fuentes y hasta cajero de una sociedad de seguros y pompas fúnebres. Dorothea, su madre, nació en Velpke, una aldea próxima a Brunswick. Su padre era cantero y murió de tuberculosis a la edad de treinta años, dejando a la familia en una situación precaria. Dorothea tuvo que emigrar a Brunswick, junto a su hermano Friedrich, cuando contaba 26 años para trabajar de criada. Esta fue su ocupación hasta que en 1776 contrajo matrimonio con el versátil Geghard, que había enviudado unos años antes. En el seno de esta humilde familia, muy alejada de los salones ilustrados de la nobleza germana, el joven Gauss va a dar muestras tempranas de su genio precoz. Él mismo, ya anciano, acostumbraba a alardear de haber aprendido a contar antes que a escribir y de haber aprendido a leer por sí mismo, deletreando las letras de los nombres de los parientes y amigos de la familia. Y a él le debemos el relato de la anécdota que le coloca como el más precoz de los matemáticos. Cuando tenía tan sólo tres años, una mañana de un sábado de verano, cuando su padre procedía a efectuar las cuentas para abonar los salarios de los operarios a su cargo, el niño le sorprende afirmando que la suma está mal hecha y dando el resultado correcto.  El repaso posterior de Gerhard dio la razón al niño. Nadie le había enseñado los números y mucho menos a sumar. “Ligget se!” (¡Aquí está!) A los siete años, tras serios esfuerzos de Dorothea para convencer al padre, Gauss ingresa en la escuela primaria, una vieja escuela, la Katherinen Volkschule, dirigida por J.G Büttner, donde compartirá aula con otros cien escolares. La disciplina férrea parecía ser el único argumento pedagógico de Büttner, y de casi todos los maestros de la época. A los nueve años Gauss asiste a su primera clase de Aritmética. Büttner propone a su centenar de pupilos un problema terrible: calcular la suma de los cien primeros números. Nada más terminar de proponer el problema, el jovencito Gauss traza un número en su pizarrín y lo deposita en la mesa del maestro exclamando: “Ligget se!” (¡Ahí está!). Había escrito 5.050. La respuesta correcta. Ante los ojos atónitos de Büttner y del resto de sus compañeros, Gauss había aplicado, por supuesto sin saberlo, el algoritmo de la suma de los términos de una progresión aritmética. Se había dado cuenta de que la suma de la primera y la última cifra daba el mismo resultado que la suma de la segunda y la penúltima, etc., es decir: 1+ 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... = 101 Como hay 50 parejas de números de esta forma el resultado se obtendrá multiplicando 101 · 50 = 5.050 “Ligget se!” Büttner tenía un ayudante, un joven estudiante de 17 años, Martin Bartels, que se encargaba de las clases de escritura de los más pequeños. Pero, por suerte para Gauss y para la ciencia, Bartels era un amante de las matemáticas, y un buen matemático, que acabó obteniendo una cátedra en la universidad de Kazan en la que dio clases de 1808 a 1820 teniendo como alumno a Lobachevski. A pesar de la diferencia de edad, Gauss tenía 10 años, juntos se iniciaron en los caminos de las matemáticas. En los libros de Bartels, Gauss se familiarizó con el binomio de Newton para exponentes no enteros y con las series infinitas e inició los primeros pasos por el análisis. Con 11 años de edad Gauss dejará la Katherinen Volkschule para ingresar en el Gymnasium Catharineum, a pesar de las reticencias de su padre a que continúe sus estudios. Allí estudia latín y griego y al cabo de dos años accede al grado superior de la enseñanza secundaria. Su fama se empieza a extender por los círculos cultivados de Brunswick y llegará a oídos del duque Karl Wilhelm Ferdinand (1735-1806). Así, en 1791, apadrinado por E.A.W. Zimmerman (1743-1815), profesor de Collegium Carolinum y consejero provincial del duque, éste le recibe en audiencia. Gauss es un adolescente de 14 años que deja impresionado al anciano duque con su habilidad de cálculo. El duque le proporcionará los fondos para que pueda proseguir su formación y le regalará las tablas de logaritmos elaboradas por Johann Carl Schulze. El 18 de febrero de 1792, antes de cumplir los 15 años hace su inscripción en el Collegium Carolinum de Brunswick. En este colegio da clases de matemáticas y ciencias naturales  E. A W. Von Zimmermann (1743-1815) su valedor ante el duque. Gauss permanecerá en él hasta 1795, estudiando lenguas clásicas, literatura, filosofía y, por supuesto, matemáticas superiores, siendo un alumno brillante en todas ellas. Entre sus lecturas de matemáticas de esta época están los Principia Mathematica de Newton, el Ars Conjectandi de Jackob Bernoulli y algunas de las memorias de Euler. En el Collegium Carolinum Gauss iniciará alguna de sus futuras investigaciones matemáticas, según sus propias confesiones posteriores, como la distribución de los números primos o los fundamentos de la geometría. Cuando en el otoño de 1795 se traslada a la Universidad Georgia Augusta de Göttingen, con una beca del Duque. Gauss aún no ha decidido su futuro académico dudando entre los estudios de Filología clásica y las Matemáticas. Las lecciones de matemáticas, no muy buenas según la opinión de Gauss; las impartía el anciano profesor Gotthelf Abraham Kästner que tenía entonces 76 años. En esta época conoce a Wolfgang (Farkas) Bolyai, que se incorporó a la universidad un año después que él. Gauss, unos años más tarde llegó a afirmar: “Bolyai fue el único que supo interpretar mis criterios metafísicos sobre las Matemáticas”.  Y también que Bolyai fue el “espíritu más complicado que jamás conocí”. Bolyai es más explícito al hablar de su amistad: “Nos unía la pasión por las Matemáticas y nuestra conciencia moral, y así paseábamos durante largas horas en silencio, cada uno ocupado en sus propios pensamientos”. Construcción con regla y compás del polígono regular de 17 lados Desde su llegada a Göttingen el joven Gauss siguió desarrollando de forma autónoma sus investigaciones sobre números que había iniciado en el Collegium. Sin duda más fruto de estas investigaciones que de las enseñanzas de Kästner, cuando Gauss estaba en su casa de Brunswick, se va a producir un descubrimiento que será clave, no sólo en la carrera de Gauss, sino en el futuro de las matemáticas: el heptadecágono, el polígono regular de 17 lados se puede construir con regla y compás. (Construcción) Él mismo, muchos años más tarde, recordará el momento, en una carta que dirige a Gerling fechada el 6 de enero de 1819: “Fue el día 29 de marzo de 1796, durante unas vacaciones en Brunswick, y la casualidad no tuvo la menor participación en ello ya que fue fruto de esforzadas meditaciones; en la mañana del citado día, antes de levantarme de la cama, tuve la suerte de ver con la mayor claridad toda esta correlación, de forma que en el mismo sitio e inmediatamente apliqué al heptadecágono la correspondiente confirmación numérica.” El día siguiente, el 30 de marzo, justo un mes antes de cumplir los 19 años, Gauss se decantará definitivamente por las matemáticas y hará su primera anotación en su diario de notas, un pequeño cuaderno de 19 páginas, que acompañará a Gauss hasta 1814, el diario científico más importante de la historia de las matemáticas, en el que irá anotando, a veces de forma críptica, los resultados matemáticos que le vienen a la cabeza, en total 144 anotaciones. Por este diario desfilará un alto porcentaje de los descubrimientos matemáticos del siglo XIX. En este libro no fueron recogidos todos los descubrimientos de Gauss en el período prolífico de 1796 a 1814. Pero muchos de los anotados bastarían para establecer la prioridad de Gauss en campos, donde algunos de sus contemporáneos se niegan a creer que Gauss les precediera. Muchos hallazgos que quedaron enterrados durante décadas en este diario habrían encumbrado a media docena de grandes matemáticos de haber sido publicados. Algunos jamás se hicieron públicos durante la vida de Gauss, y nunca pretendió la prioridad cuando otros autores se le anticiparon. Sus anotaciones constituían descubrimientos esenciales de la Matemática del siglo XIX. Un documento que por desgracia para la ciencia no verá la luz hasta casi 50 años después de la muerte de Gauss “Principia quibus innititur sectio circuli, ac divisibilitas eiusdem geometrica in septemdecim partes, etc. Mart. 30 Brunsv.” Con tan sólo 18 años, el joven Gauss había hecho un descubrimiento que por sí solo le habría hecho pasar a la historia de las matemáticas. Un descubrimiento que constituía sólo la punta del iceberg de una teoría mucho más amplia que dará origen tres años más tarde a las Disquisitiones Arithmeticae, obra que Gauss va madurando durante su estancia en la universidad de Gottingën. Al terminar sus estudios Gauss deja de percibir la subvención del duque y regresa a la casa de sus padres en Brunswick. Por fortuna la situación no duró mucho tiempo. A principios de 1799 el duque le renueva su apoyo económico con la misma cuantía que cuando estaba estudiando. Esto le va a permitir continuar sin preocupaciones monetarias con sus investigaciones matemáticas, en concreto ultimar la obra que recogía todas sus conclusiones sobre los números, las Disquisitiones Arithmeticae. Ahora nos explicamos el encendido prefacio de Gauss manifestando su sincero agradecimiento al duque Karl Wilhelm Ferdinand. Gauss siempre fue una persona agradecida al duque, al fin y al cabo la persona que había hecho posible recibir una formación alejada de sus posibilidades familiares. El Teorema Fundamental del Álgebra Pero  los estímulos del duque no acabaron aquí, él mismo sufragará los gastos para que Gauss obtenga el doctorado en filosofía en la universidad de Helmstedt. Gauss leerá su tesis “in absentia” y dispensado del examen oral. El título de su tesis: Demonstratio nova theoremattis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus posse, (Nueva demostración del teorema que dice que toda función algebraica racional puede descomponerse en factores de primer o segundo grado con coeficientes reales). El título contiene un ligero error que hará aún más grande al joven Gauss. No es una nueva demostración, es la primera demostración completa de la historia del Teorema fundamental del álgebra. El sueño del gran Euler. El presidente del tribunal es el mejor matemático germano de la época, Johann Friedrich Pfaff. Que este teorema cautivó a Gauss lo demuestra el hecho de que realizara tres demostraciones más del mismo. La segunda en 1815, basada en las ideas de Euler, rehuye los planteamientos geométricos y es el primer intento serio de una demostración exclusivamente algebraica. En la de 1816 ya utiliza expresamente los números complejos y de paso realiza una crítica a los intentos de otros matemáticos basados en métodos analíticos. La última demostración realizada en 1849 con motivo del cincuentenario de su tesis, es muy similar a la primera, pero en ella Gauss extiende el campo de variación de los coeficientes a los números complejos. 1801. Un año glorioso El primer año del siglo XIX va a ser testigo del ascenso del joven Gauss, que cuenta con 24 años, a las más altas cimas de la matemática europea con el reconocimiento de toda la comunidad científica. Sus dos cartas de presentación: la publicación de las Disquisitiones Arithmeticae y el cálculo de la órbita de Ceres. Disquisitiones arithmeticae Gauss inicia sus investigaciones sobre teoría de números durante su estancia en el Collegium Carolinum, en 1795. Pero acomete la elaboración de las Disquisitiones a lo largo de su estancia en la Universidad de Göttingen entre 1795 y 1798. Lo sabemos gracias a su diario científico en el que ya en 1796 aparecen dos de sus resultados más brillantes: la descomposición de todo número entero en tres triangulares y la construcción del heptadecágono regular. Ambos recogidos en las Disquisitiones. A finales de 1798 Gauss entregará el manuscrito a un editor de Leipzig, pero dificultades económicas retrasarán la publicación hasta el verano de 1801. Con las Disquisitiones, Gauss da una nueva orientación a la Teoría de Números, dejando de ser ésta una acumulación de resultados anecdóticos aislados para convertirse en una rama de las matemáticas tan importante como el análisis o la geometría. En el prefacio, Gauss explica el contenido de esta obra, advirtiendo que tratará sobre los números enteros, excluyendo a menudo los fraccionarios y siempre a los irracionales, los sordos como se les conocía hasta entonces. Su discurso tratará no de los temas de numerar y calcular, de los que se dedica la Aritmética elemental, sino de los aspectos propios de los números enteros de los que se ocupa la Aritmética Superior. En él afirma que en esa época desconocía muchos de los resultados contemporáneos: “desconocía todas las que habían sido elaboradas por los más modernos en este campo y estaba privado de todos los recursos mediante los cuales habría podido ayudarme un poco en estas cuestiones”. Las Disquisitiones están organizadas en siete secciones: 1. Números congruentes en general 2. Congruencias de primer grado 3. Residuos de potencias 4. Congruencias de segundo grado 5. Formas y ecuaciones indeterminadas de segundo grado 6. Aplicaciones de las nociones anteriores 7. Ecuaciones de las secciones de un círculo. Un gran descubrimiento, una conquista revolucionaria de notación aritmética: las congruencias Dados dos números enteros a y b si su diferencia (a - b ó b - a) es exactamente divisible por el número m, decimos que a, b son congruentes respecto al módulo m, y simbolizamos esto escribiendo a≡b (mód m ) Así, 100≡2 (mód 7), 35≡2(mód 11). La ventaja de esta notación es que recuerda la forma en que escribimos las ecuaciones algebraicas, trata la divisibilidad aritmética con una breve notación y permite "sumar, restar, multiplicar… congruencias", con tal de que el módulo sea el mismo en todas, para obtener otras congruencias. Y permite estudiar ecuaciones con congruencias: ax + b ≡ c (mód m). Como colofón a las dos primeras secciones Gauss aplica estos métodos a problemas históricos como el de dado un número A determinar la cantidad de números primos con A y menores que él. Se trata de la célebre función φ(A) introducida por Euler. Dando una fórmula general para su cálculo: Si A = am bn cp... siendo a, b, c, ... primos, Y termina con la demostración del teorema fundamental de las congruencias polinómicas Una congruencia de grado m, Axm + Bxm-1 + ... + Mx + N ≡ 0 (mod p) cuyo módulo p es primo que no divide a A, no puede resolverse de más de m maneras diferentes o no puede tener más de m raíces no congruentes con relación a p. En la secciones 3ª y 4º Gauss aborda los residuos cuadráticos y de potencias superiores. Dados r y m números enteros donde r no es divisible por m, si existe un número x tal que x2 ≡ r (mód m), decimos que r es un residuo cuadrático de m, en caso contrario decimos que r es un no-residuo cuadrático de m. Por ejemplo: 13 es residuo cuadrático de 17, pues la ecuación x2 ≡ 13 (mód 17) tiene soluciones x = 8, 25, 42 Demuestra Art. 49 y 50 el Pequeño Teorema de Fermat: Si p es un número primo que no divide a a, ap-1 – 1 es siempre divisible por p. Y el de Wilson: El producto de todos los números menores que un número primo dado, aumentado en una unidad es siempre divisible por dicho número. En la sección 4ª Gauss nos proporciona la primera demostración de la ley de reciprocidad cuadrática, a la que denomina Theorema aureum. Art. 131 y siguientes: Si p es primo de la forma 4n + 1, +p será un residuo o un no-residuo de todo primo que tomado positivamente sea un residuo o un no residuo de p. Si p es de la forma 4n + 3,   -p tiene la misma propiedad. En un lenguaje más asequible, existe una reciprocidad entre el par de congruencias x2 ≡ q (mód p),  x2 ≡ p (mód q) en la que tanto p como q son primos; ambas congruencias son posibles o ambas son imposibles, a no ser que tanto p como q den el resto 3 cuando se dividen por cuatro, en cuyo caso una de las congruencias es posible y la otra no. Gauss contaba con esta demostración desde 1796, a los 19 años. Euler y Legendre lo habían intentado sin éxito como muy bien comenta el propio Gauss en el art. 151. Sólo por esta demostración Gauss ya debería ser considerado como uno de los matemáticos más potentes de la época. Pero habría más, dentro de la misma obra. Las secciones 6ª y 7ª tratan de las formas cuadráticas y sus aplicaciones. Un número entero M puede representarse mediante la expresión ax2 + 2bxy + cy2 = M, donde a, b, c, x e y son números enteros. A la expresión F = ax2 + 2bxy + cy2 Euler la denominó forma cuadrática. Euler ya había utilizado las formas cuadráticas para abordar problemas de números enteros. El problema directo consiste en determinar todos los enteros M que se pueden representar por una forma dada. El inverso, y más interesante, consiste en dados M y a, b y c, encontrar los valores de x e y que representan a M. Para Gauss el objetivo del estudio de formas es demostrar teoremas de teoría de números. Y a lo largo de la sección nos irá proporcionando unas cuantas joyas, algunas de ellas de incalculable valor. Una de ellas le hizo escribir el 16 de julio de 1796, en su diario, una de sus pocas manifestaciones de júbilo: EURHKA:     Num = Δ + Δ + Δ La alegría estaba más que justificada. El joven Gauss acababa de resolver uno de los retos del viejo Fermat. Y no un reto cualquiera; hasta el gran Euler se había estrellado con él. Esta vez Gauss iba a ser el primero en la historia en proporcionar la respuesta a uno de los innumerables enigmas de Fermat: Todo número entero positivo se puede escribir como suma de tres números triangulares. La demostración de este resultado aparece en el art. 293 y es una consecuencia del estudio que Gauss realiza de las formas ternarias. Sección 7ª. De las ecuaciones que definen las secciones del círculo ¿Qué tienen que ver las funciones que dependen del círculo, tan en boga a finales del siglo XVIII, como afirma el propio Gauss en el artículo de introducción de esta sección, con la aritmética superior, con la teoría de números? El joven Gauss no se resiste a la tentación de incluir una sección que contenga su primer resultado estrella, aquel que en bifurcación vital del Collegium le inclinó a decantar su vida por el camino de las matemáticas en detrimento de las lenguas clásicas: la construcción con regla y compás del polígono regular de 17 lados. Aunque en apariencia este resultado tenga más que ver con la geometría o con el análisis que con la aritmética de números enteros. Gauss va a dejar para su último artículo, el 366, un resultado que permite decidir los polígonos regulares construibles con regla y compás: [Para poder seccionar geométricamente el círculo en N partes iguales]... se requiere que N no contenga ningún factor primo impar que no sea de la forma 2m +1, ni tampoco ningún factor primo de la forma 2m +1 más de una vez. De esta forma, se encuentran los 38 valores de N menores que 300: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272. En aquel verano de 1801 Gauss había entrado con todos los honores en el parnaso de los genios matemáticos. A partir de este momento, y como vaticinara Bolyai a su madre en Brunswick, hacía sólo unos pocos años, Gauss se había convertido en el matemático más grande de Europa. En el invierno también sería uno de los astrónomos más populares del viejo continente. La órbita de Ceres Desde que en 1781 Herschel descubriera el planeta Urano, una fiebre por descubrir el esquivo planeta que los astrónomos Titius y Bode habían situado entre Marte y Júpiter. El siglo XIX no puede empezar con mejores augurios en esta desesperada búsqueda. Exactamente la noche del primer día de enero de 1801, Giuseppe Piazzi, un clérigo de Palermo y astrónomo aficionado observa por primera vez lo que él piensa, como Herschel unos años antes, que es un nuevo cometa, un objeto de magnitud 8. Durante cuarenta y dos días, hasta la noche del 11 de febrero realiza el seguimiento del nuevo objeto en su viaje por el fondo de estrellas. Pero una inoportuna gripe le mantiene alejado del telescopio las noches siguientes. Cuando se reincorpora a la observación el astro ha dejado de ser visible durante la noche. Sencillamente ha desaparecido ocultado por el Sol. El corto periodo de observaciones no le permite fijar la órbita del “cometa” y predecir dónde volvería a aparecer en el cielo nocturno. Sus datos abarcaban sólo un arco de 9 grados de la órbita. Cuando los datos de sus observaciones se divulgan un hecho parece claro, la distancia heliocéntrica del objeto lo sitúa entre Marte y Júpiter. En el mes de junio de ese mismo año el astrónomo alemán Franz von Zach utilizando los datos de Piazzi realiza un estudio previo de la órbita, sin ningún éxito. Como el supuesto “cometa” no aparece por ninguna parte del firmamento, Zach envía los datos a un joven matemático de 24 años afincado en Gottingen, cuya fama se empieza extender por toda Alemania para que realice su propia estimación de la órbita. Se trata de Johann Friedrich Carl Gauss. La posición del astro que se deducen de los cálculos de Gauss es muy diferente de todas las demás. Las predicciones de Zach y de otros astrónomos profesionales resultaron erróneas. No así las del joven Gauss, que puso en el intento además de su enorme capacidad de cálculo una de las herramientas matemáticas más fructífera para el cálculo de órbitas planetarias como se demostrará a lo largo del siglo: la ley de mínimos cuadrados, descubierta por Gauss unos seis años antes y que mantuvo sin publicar hasta 1809. En diciembre, Zach decide por fin probar con las predicciones de Gauss y muy cerca de donde los cálculos teóricos de éste situaban el deseado objeto aparece un pequeño punto brillante; es la noche del 7 de diciembre. Las observaciones se prolongan todas las noches de diciembre, al menos todas en las que las condiciones meteorológicas lo permiten y por fin, el 1 de enero de 1802, Orbels en Bremen puede afirmar con toda certeza que el objeto observado encaja a la perfección con los datos de las observaciones de Piazzi de hace un año y con la órbita prevista teóricamente por Gauss. El pretendido cometa de Piazzi era en realidad un nuevo planeta que será observado por los astrónomos más prestigiosos a lo largo de los próximos meses en toda Europa: el 3 de febrero Maskelyne confirma su avistamiento en Grenwich, y unos días más tarde el propio Bode en Berlín y Méchain en París. Pero en el lugar del planeta perdido entre Marte y Júpiter no había uno, sino un rosario de pequeños planetas, los asteroides. Gracias a Ceres, al final del primer año del nuevo siglo, Gauss es además de uno de los matemáticos más notables, el astrónomo más popular de Europa. En marzo de 1802 Olbers descubre Pallas y plantea a Gauss la fijación de su órbita. El método de los mínimos cuadrados vuelve a manifestar su potencia... Orbels le propone la dirección del nuevo observatorio de Gottingën, aún por construir. En noviembre el joven Gauss, que cuenta con 25 años es nombrado miembro de la Real Sociedad de Ciencias de Gottingën. Tres meses más tarde rechazará una oferta para instalarse en San Petersburgo como miembro de la Academia de Ciencias. La década triunfal. 1800-1810 La primera década del siglo XIX es la década triunfal del joven matemático. En 1805 se casa con Johanna Ostoff con la que tendrá tres hijos: Joseph, Minna y Louis. Al año siguiente, poco después del nacimiento de su primer hijo, participará con el coronel francés Epailly en la triangulación de Brunswick, lo que dará origen a su interés por la geodesia. En 1807 es nombrado profesor en Gottingën y director de su observatorio astronómico que por los avatares políticos, la ocupación napoleónica de gran parte de los estados germánicos, no se terminará hasta 1816. Durante estos años prepara la que será la obra cumbre de la astronomía teórica durante más de medio siglo, la Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium (Teoría del movimiento de los cuerpos celestes que giran alrededor del Sol siguiendo secciones cónicas)., publicada en 1809, una obra en dos volúmenes, el primero trata de las ecuaciones diferenciales, las secciones cónicas y las órbitas elípticas, en el segundo Gauss explica su método de mínimos cuadrados para la determinación de la órbita de un planeta. Aunque conocido y aplicado por Gauss desde 1796, la publicación de Legendre de un método similar en 1806 alimentó una agria polémica entre ambos sobre la paternidad del mismo. Gauss es el padre de la moderna teoría de errores. Descubrió que la función de distribución de los errores es: , la célebre campana de Gauss. En la memoria presentada a la Real Sociedad de Gottingen el 15 de febrero de 1821, titulada Método de Mínimos Cuadrados. Teoría de la combinación de las observaciones, Gauss desarrolla de forma completa y general sus ideas ya esbozadas en 1809 en Theoría motus corporum coelestium... Pero 1809 también será un año negro para Gauss; en octubre muere esposa al mes de dar a luz a su tercer hijo Louis, que morirá a los tres meses. Un año más tarde y tras rechazar una oferta de Humbolt para ocupar una plaza en la universidad de Berlín, Gauss contrae nuevo matrimonio con Minna Waldeck, amiga de Johanna, con la que tendrá dos hijos varones Eugen y Wilhelm y una hija Therèse. 1810 -1830. Astronomía, Geodesia y Matemáticas. Desde 1810 hasta 1830 la mente de Gauss se ocupa de sus tareas como director del astronómico que se inaugurará en 1816 y que le obligará a realizar uno de los pocos viajes conocidos de Gauss para adquirir material científico para el mismo, pero no abandona sus investigaciones matemáticas. Investiga sobre series infinitas y sobre la serie hipergeométrica, sobre aproximación de integrales y sobre estimadores estadísticos. Serie hipergeométrica En 1816 confiará en carta a su ex -alumno Schumacher (profesor de Astronomía en Copenhague) sus ideas sobre la geometría no euclídea que llevaba desarrollando desde hacía 20 años. En 1818 el ministro Arnswaldt encarga a Gauss la triangulación y medición de Hannover. Es una práctica muy habitual sobre todo tras la medición del meridiano realizada por los franceses e impuesta por las necesidades militares – toda Europa está en guerra - de una cartografía precisa. Durante casi 8 años, hasta 1825, Gauss dedicará sus esfuerzos a una práctica rutinaria y agotadora, al alcance de cualquier calculista mediano: efectúa mediciones durante el día y realiza los cálculos durante la noche, que le apartarán de actividades mucho más productivas en el ámbito de las matemáticas. Podemos afirmar que durante casi 20 años el genial Gauss perdió gran parte de su tiempo en tediosos cálculos astronómicos y geodésicos. Pero fruto de esta tarea nacerán más de 70 escritos sobre Geodesia,  la aplicación del método de mínimos cuadrados a medidas terrestres, el invento del heliotropo, un mecanismo ingenioso gracias al cual pueden ser transmitidas instantáneamente señales por medio de la luz del sol reflejada, y su interés por la geometría de superficies. La triangulación de Hannover se reinició en 1828, duró hasta 1844, y en ella participó su hijo Joseph, oficial del ejército. Geometría diferencial: 1827. Disquisitiones circa generales superficies curvas Esta obra, fruto de las ideas sobre la geometría de superficies nacidas de sus observaciones geodésicas constituye la contribución definitiva de Gauss a la geometría diferencial. Gauss concibe la superficie “no como el límite de un sólido, sino como un sólido flexible e inextensible, una de cuyas dimensiones está obligada a desvanecer”. Pero su gran aportación va a ser no estudiar la superficie desde un punto de vista global sino desde un punto de vista local, en el entorno de un punto. Esto le va a permitir despreciar las potencias de grado superior a dos en el cálculo de las distancias. En esta obra está Gauss aborda tres grandes problemas: la medida de la curvatura, la representación conforme y la aplicabilidad de superficies. Gauss define la curvatura total de una porción de superficie encerrada dentro de una curva C de la siguiente manera: La normal a una superficie en un punto dado es la recta que pasa por el punto y que es perpendicular al plano tangente a la superficie en el punto. En cada punto de C existe una normal a la superficie. Si trazamos todas las normales en los puntos de C tendremos un haz de rectas. En una esfera de radio unidad trazamos las paralelas a las rectas normales a C que pasen por el centro de la esfera. Este haz de rectas corta a la superficie esférica determinando una curva C'. El área encerrada de la superficie esférica encerrada por esta curva C' se denomina curvatura total de la porción de superficie limitada por C. La curvatura total en un punto interior de C es el límite de la razón entre el área de C' y el área de C cuando la superficie C tiende al punto. Cada normal en un punto de una superficie genera un haz de planos que lo tienen como eje. Cada uno de esos planos corta a la superficie en curvas planas dentro de ellos. Cada una de esas curvas en el punto de apoyo de la normal tiene una curvatura dada. Entonces dado un punto de una superficie habrá un conjunto de curvaturas planas. Se sabe que hay una máxima y una mínima. La curvatura gaussiana que es el producto de la curvatura máxima por la curvatura mínima, las curvaturas principales introducidas por Euler. En su estudio de superficies Gauss utiliza de forma magistral la representación paramétrica introducida por Euler, realizando una visión intrínseca de la superficie como una variedad bidimensional, las coordenadas (x, y, z) de un punto vienen dadas por tres ecuaciones dependiendo de dos parámetros: x=x(u,v); y=y(u,v);  z=z(u,v). Demuestra que si dos superficies son isométricas (aplicable la una sobre la otra) la curvatura total en dos puntos correspondientes es la misma. (theorema egregium). Una conclusión inmediata es que para mover sin distorsión una parte de una superficie sobre otra parte de la misma superficie es necesario que la superficie tenga curvatura constante. Así una parte de una esfera puede ser desplazada sin distorsión sobre otra, pero esto no ocurrirá con un paraboloide. Trata también el problema de determinar las geodésicas (el equivalente a las rectas en el plano) de una superficie. En un artículo publicado en 1827 demuestra que la curvatura total de un triángulo cuyos lados son geodésicas y los ángulos α1, α2 y α3 viene dada por ∫∫KdA = α1+α2+α3-π, donde K es la curvatura variable en los puntos del triángulo. En esta obra se pone definitivamente de manifiesto una observación interesante: la superficie puede ser un espacio en sí misma y las líneas rectas son las geodésicas siendo su geometría, una geometría no euclídea. Los números complejos Desde 1799 Gauss dominaba la idea de una representación bidimensional de los complejos, de hecho los utilizó en su tesis doctoral aunque no de forma explícita. Y en 1811, tiene completamente acabada no sólo la representación de los complejos como puntos de un plano bidimensional, sino también la idea de integración de funciones complejas, el teorema integral y el desarrollo en serie de potencias de funciones analíticas. Buena prueba de ello es la carta que dirige a Bessel este año, comentando un ensayo de éste sobre la integral logarítmica ∫, en la que podemos leer: ¿Qué debemos entender por ∫φ(x)·dx para x=a+bi? Evidentemente si se quiere partir de conceptos claros es necesario admitir que x, partiendo del valor para el cual la integral debe ser cero, mediante incrementos infinitesimales (cada uno de la forma a + bi) pasa a x = a + bi y entonces se suman todos los φ(x)·dx. Así el sentido de la integral queda completamente establecido. Pero el paso se puede dar de infinitas maneras: así como la totalidad de las magnitudes reales se pueden imaginar en forma de una recta infinita, también la totalidad de todas las magnitudes reales e imaginarias se puede en imaginar mediante un plano infinito, cada uno de cuyos puntos de abscisa a y ordenada b representará la magnitud a+bi. El paso continuo de un valor de x a otro a+bi se representa entonces mediante una línea, posiblemente de infinitas maneras. Afirmo ahora que la integral ∫φ(x)·dx para dos caminos distintos siempre conserva un mismo valor si dentro de la parte del plano comprendida entre las dos líneas representantes del cambio, φ(x) no se hace infinita. Este maravilloso teorema, cuya demostración no es difícil la daré en otro momento. El teorema está vinculado con otras verdades magníficas relacionadas con el desarrollo en series” Gauss, como 150 años antes hiciera Fermat con su famoso último teorema, nos amenaza con la publicación de una demostración, que él ya parece tener, de un resultado que será demostrado por Cauchy  en 1825 y que hoy se conoce como teorema de la integral compleja de Cauchy. Habrá que esperar hasta 1831, para que Gauss, en una extensión de la teoría de los restos bicuadráticos a los números complejos, haga su presentación definitiva y su representación geométrica ante la sociedad matemática, propiciando gracias a su reconocida autoridad su aceptación definitiva. En esta obra introduce la noción de enteros complejos sobre los que generalizará resultados obtenidos para enteros reales. Gauss y la geometría no euclídea. La preocupación de Gauss por el problema de las paralelas, el quinto postulado de Euclides, data de 1796, de su estancia en Gottingën. Su profesor Kastnër disponía de una biblioteca de varios miles de volúmenes sobre este tema y seguro que contagió su inquietud a dos jóvenes inquietos como Gauss y Bolyai. A partir de 1813 hasta 1831 elabora su geometría no euclídea. En 1813 escribe a Schumacher: “En la teoría de las líneas paralelas, nosotros, no nos encontramos más allá de Euclides. Esta es la parte de la matemática, que más tarde o más temprano debe adquirir una fisonomía absolutamente distinta”. Gauss encuentra numerosos resultados pero no se atreve a publicarlos. En 1829 en carta a Bessel le comunica: “Pasará tiempo antes de que yo elabore para conocimiento público mis extensas investigaciones, y quizás esto no llegue a ocurrir durante mi vida, pues temo el griterío de los beocios (das geschrei der böotier), si alguna vez me propusiera exponer mi criterio”. No es de extrañar que cuando Gauss recibe en 1831 el anexo de Johann Bolyai, hijo de su viejo compañero, La ciencia absoluta del espacio, exponiendo sus ideas sobre una geometría no euclídea, Gauss responda a Wolgang: “Si empiezo diciendo que no puedo alabar semejante trabajo te sentirás desconcertado, pero no puedo hacer otra cosa, porque alabarlo sería alabarme a mí mismo, pues todo el contenido del escrito, el camino seguido por tu hijo y los resultados a los que ha llegado coinciden casi completamente con mis meditaciones, parte de las cuales han tenido lugar desde hace 30 o 35 años”. Sin embargo Gauss consideró públicamente a Janos Bolyai y a Lobachevski, cuando conoció los escritos de éste en 1841, como genios de primera magnitud; de hecho y a propuesta de Gauss Lobachevski fue nombrado miembro de la Academia de Gottingën en 1842. Hoy nadie discute que la paternidad de la primera geometría no euclídea es una gloria compartida por Gauss, Bolyai y Lobachevski. El magnetismo terrestre 1831 será un año clave en la vida de Gauss. Si un año antes su hijo Eugen emigra a Estados Unidos al parecer por desavenencias familiares, este año muere Minna la segunda esposa de Gauss. Desde entonces será su hija Therèse la que se encargará de los asuntos domésticos.  Pero a finales de ese año llega a Gottingën Wilhelm Weber, para ocupar la plaza de profesor de Física. A partir de este momento un decaído Gauss va a encontrar otra vez en la ciencia la solución de sus males familiares. En estrecha colaboración con Weber Gauss desarrollará una intensa labor en el estudio del magnetismo terrestre. Acoge con entusiasmo la propuesta de Alexander von Humbodlt de crear una red de observatorios magnéticos que cubran toda la superficie terrestre. En la década de los 30 publica varias obras sobre el tema: Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata (1832), que trata teorías actuales sobre magnetismo terrestre, anticipando las ideas de Poisson, la medida absoluta de la fuerza magnética y una definición empírica del magnetismo terrestre,  Allgemeine Theorie Erdmagnetismus (1839), en la que demuestra que solo puede haber dos polos y sienta las bases para determinar la intensidad de la componente horizontal de la fuerza magnética junto con el ángulo de inclinación. Se ayuda de la ecuación de Laplace y especifica la ubicación del polo sur magnético. Ambos construyen el primer telégrafo electromagnético que conseguía transmitir hasta nueve letras por minuto a una distancia de 500 pies, la que se paraba el Observatorio Astronómico de la Facultad de Física. Junto a Weber es autor del primer atlas geomagnético terrestre y de más de 40 obras sobre mediciones magnéticas de la Sociedad de Magnetismo, fundada por ellos, y de nuevas herramientas para medir el campo magnético. Sin embargo, un hecho va a truncar esta fructífera colaboración, Weber, junto a otros 6 profesores, es despedido de su cargo por negarse a jurar fidelidad al nuevo rey Ernesto Augusto von Cumberland, que había derogado la constitución de 1833. Gauss, de carácter conservador, no movería un dedo a pesar de su influencia para detener el despido, a pesar de que entre los 7 de Gottingën estaban su propio yerno y su inseparable colaborador. Tras la marcha definitiva de Weber de Gottingën la producción científica de Gauss disminuye de forma rotunda. Trabaja en sus observaciones astronómicas, en dióptrica, en la teoría del potencial, en geodesia pero todas son obras menores. Los últimos años En 1849, con motivo del cincuentenario de su doctorado impartirá su famosa conferencia en la que presentará su cuarta demostración del Teorema Fundamental del Álgebra, una variación de la presentada en su tesis, incorporando ya de manera abierta los coeficientes complejos. Jacobi y Dirichlet serán testigos excepcionales. El reconocimiento de Gauss es general en Alemania y en toda Europa. Continuará con sus observaciones astronómicas hasta 1851, contando entre sus alumnos en estos años a Dedekind y Cantor. Y en junio de 1854, será el presidente del tribunal de la prueba para la habilitación de Riemann como profesor de matemáticas. En ella, Riemann a petición del tribunal leerá su famosa exposición, Sobre las hipótesis en que se fundamenta  la geometría, que sin duda impactó al anciano Gauss por lo que suponía de reconocimiento de las geometrías no  euclídeas. Curioso ante el progreso tecnológico visitará unos días más tarde las obras del ferrocarril Hannover – Gottingen, excursión en la que casi pierde la vida al sufrir un grave accidente el coche de caballos en que viajaba. De cualquier manera, el corazón del anciano Gauss, aquejado de hidropesía, está dando sus últimos latidos. Y dejará de latir de forma irremediable en la madrugada del 23 de febrero de 1855 mientras dormía plácidamente. Tenía 77 años, 10 meses y 22 días y sobre sus hombros la obra matemática más grandiosa en la historia de Humanidad. Sin duda, como muy bien reflejaba la inscripción de la  moneda acuñada en su honor por el rey Jorge V de Hannover, Gauss era “el Príncipe de los Matemáticos”. Como decía su amigo Sartorius von Waltershausen, "Gauss fue sencillo y sin afectación desde su juventud hasta el día de su muerte. Un pequeño estudio, una mesita de trabajo con un tapete verde, un pupitre pintado de blanco, un estrecho sofá, y, después de cumplir los 70 años, un sillón, una lámpara con pantalla, una alcoba fresca, alimentos sencillos, una bata y un gorro de terciopelo eran todas sus necesidades". Bibliografía Internet: Los Grandes Matemáticos. Gauss. E. T. Bell. Edición en Internet: http://www.geocities.com/grandesmatematicos/index.html http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Gauss.html http://www.geocities.com/RainForest/Vines/2977/gauss/english.html http://www.geocities.com/RainForest/Vines/2977/gauss/formulae/heptadecagon.html http://www.dim.uchile.cl/~mkiwi/applets/tfa/ http://mathworld.wolfram.com/Congruence.html Libros: C. B. Boyer: Historia de la matemática. Alianza Universidad. Madrid. 1986. W. K. Bühler: Gauss A biographical Study. Springer-Verlag. New York. 1981 G W Dunnington, Carl Friedrich Gauss : Titan of Science (New York, 1955). C. F Gauss: Méthode des moindres carrés. Traduits en francais par J. Bertrand. Mallet-Bachelier. Paris 1855. C.F. Gauss: Werke. Hildesheim Georg Olms, 1973.. C. F Gauss: Disquisicions aritmètiques. Traducción de la profesora Pascual Xufrí G., editato por la sociedad Catalana de Matemáticas. Barcelona. 1996. A. García Azcárate, Legendre. La honestidad de un científico. Ed. Nivola. Madrid 2002 T Hall, Carl Friedrich Gauss : A Biography (1970). V. Pardo Rego, Lagrange. La elegancia matemática. Ed. Nivola. Madrid 2003 G M Rassias (ed.), The mathematical heritage of C F Gauss (Singapore, 1991). Reich, K. Gauss. 1777/1977. Inter Nationes. Bonn-Bad Gedessberg. 1977. Vídeos: Gauss. De lo real a lo imaginario. Serie Universo Matemático. Guión: Antonio Pérez. RTVE. 2000.

Martes, 25 de Noviembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

92. Hiparco de Nicea (180 a.n.e. - ?)

Igual que sucede con la mayor parte de los científicos del periodo helenístico, se sabe muy poco de la vida de Hiparco: tan sólo que nació en Nicea de Bitinia hacia el año 180 a.n.e. y que realizó la mayor parte de sus observaciones astronómicas en Rodas, donde fundó un observatorio, y en Alejandría, entre los años 161 y 127 a.n.e. (por eso, también se le conoce como Hiparco de Rodas o de Bitinia). De sus trabajos, según numerosas fuentes secundarias, sólo nos ha llegado el Comentario a Arato y Eudoxo. Dicho comentario consta de tres libros, comentando tres escritos distintos: un tratado perdido de Eudoxo en el que describía y daba nombre a diversas constelaciones, el poema astronómico Los fenómenos de Arato del s. III y que se basaba, al parecer, en otro escrito de Eudoxo y, por último, el comentario que Atalo de Rodas escribió, poco antes de la época de Hiparco, sobre el poema de Arato. Dados estos datos y los que aparecen en el Almagesto, la principal fuente escrita de información sobre él, su relevancia para la historia de la astronomía resulta muy difícil de evaluar: mientras unos historiadores han minimizado la importancia de su obra a favor de las de Apolonio o Ptolomeo, otros le atribuyen la mayor parte del Almagesto de este último autor. Ninguna de estas dos opiniones contradictorias pueden ser consideradas exactas. Lo que sí se sabe con seguridad es que, en su época, Hiparco era una autoridad, el mayor astrónomo. Una de las características de las ciencias del periodo alejandrino, la supremacía de la observación, encuentra su representación más destacada en este autor, lo que queda patente en la cantidad de observaciones astronómicas que llevó a cabo durante su vida, a la vez que utilizó muchas de las realizadas por sus predecesores – griegos y también babilonios - y las contrastó con las propias. Además, inventó o perfeccionó diversos aparatos que le permitieron ser más exacto y preciso en sus observaciones y mediciones. Así, por ejemplo, inventó una dioptra especial que le sirvió para medir las variaciones del diámetro aparente del Sol y la Luna, a la vez que perfeccionó la dioptra común, que se utilizaba para medir la altura de los astros o sus separaciones angulares.

Jueves, 27 de Noviembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más

93. Hipatia (¿? - 415)

El nombre de Hipatia significa la más grande. La leyenda de Hipatia de Alejandría nos muestra a una joven, virgen y bella, matemática y filósofa, cuya muerte violenta marca un punto de inflexión entre la cultura del razonamiento griego y el oscurantismo del mundo medieval. Como ocurre con todas las biografías de los matemáticos (y matemáticas) de la antigüedad, se sabe muy poco de su vida, y de su obra se conoce sólo una pequeña parte. Fue recordada como una gran maestra y admirada por la magnitud de sus conocimientos. Era considerada como el mejor matemático vivo del mundo greco-romano. En la época de la Ilustración, Toland y Voltaire, utilizaron su figura como expresión de la irracionalidad del fanatismo religioso, y en el Romanticismo la recrearon como la encarnación del espíritu de Platón y el cuerpo de Afrodita. Pero toda esta notoriedad ha hecho que se pierdan de vista sus logros intelectuales y su auténtica biografía. Enseñó Matemáticas, Astronomía y Filosofía, escribió un trabajo titulado “El Canón Astronómico”, comentó las grandes obras de la matemática griega como la “Aritmética” de Diofanto, “Las Cónicas” de Apolonio, el libro III del “Almagesto” de Tolomeo, probablemente comentara junto a su padre, los “Elementos” de Euclides y el resto del “Almagesto”. Construyó instrumentos científicos como el astrolabio y el hidroscopio. Vivió durante la época del Imperio Romano en Alejandría1, aunque por su formación podemos considerar que era griega, por la ubicación de Alejandría, egipcia y por la época, romana2. El padre de Hipatia, Teón, fue también un ilustre matemático y astrónomo cuya vida está asociada al Museo3, del que puede haber sido el último director. Se sabe de él por dos eclipses, uno de Sol y otro de Luna que tuvieron lugar durante el reinado de Teodosio I. De ella se ha dicho: "Hipatia es la primera mujer de ciencia cuya vida está bien documentada". “Aunque la mayoría de sus escritos se han perdido existen numerosas referencias a ellos”. "Fue la última científica pagana del mundo antiguo, y su muerte coincidió con los últimos años del Imperio romano". "Ha llegado a simbolizar el fin de la ciencia antigua" [1]. Hipatia: Su vida No se conoce cuando nació Hipatia pero se sabe que murió en marzo del 415. Sobre su año de nacimiento se barajan tres posibles fechas, todas ellas aproximadas, según se estime que en el momento de su muerte fuese una mujer mayor, madura o joven. Así, Dzielska [3], encuentra razonables los argumentos de Malalas, autor bizantino del siglo VI, que considera que Hipatia era en la época de su muerte una mujer mayor, una palará, lo que situaría su nacimiento hacia el 350 o 355. Un argumento a favor de esa fecha es que su discípulo Sinesio, que recibió lecciones hacia el 393 con unos veinte años, escribió cartas mostrando gran admiración hacia su maestra, difícil de imaginar si hubieran tenido una edad parecida. Por otro lado, Waithe [15] recoge de Hoche, autor del siglo XIX, como fecha probable el año 375 (o 370 [1; 13; 14]) pues en la época de su muerte se habla de ella como de una mujer bella, y considera que ese calificativo no tendría lugar si hubiera tenido más de 40 años. Considera que Hipatia fue directora de la Escuela Neoplatónica con 25 o 30 años, y que Sinesio tendría sólo cinco años menos que ella. Kingsley [9] considera la fecha del 390 pues estima que murió joven. Teón supervisó la educación de su hija y, con un espíritu especialmente abierto para su época, permitió que desarrollara sus dotes excepcionales y se convirtiera en una astrónoma, filósofa y matemática. Quiso que fuese un ser humano perfecto por lo que vigiló la educación de su mente y de su cuerpo. Este entrenamiento consiguió su objetivo ya que la belleza de Hipatia y su talento fueron legendarios4. Se dice que fue superior a su padre, especialmente en la observación de los astros. Después de haber recibido enseñanza en filosofía y matemáticas de los profesores del Museo, Hipatia viajó por Italia y Atenas. Parece ser que en Atenas siguió los cursos de la Escuela Filosófica dirigida por Temistius, Plutarco el Joven y por su hija Asclepigenia. Se dedicó, al volver a Alejandría, a enseñar Matemáticas, Astronomía, Filosofía y Mecánica a personas de todas las religiones. Estaba bien considerada tanto en la comunidad cristiana como en la suya propia. Ocupó la cátedra de Filosofía de Plotino. Su casa se convirtió en un centro intelectual. Adquirió el sobrenombre de la Filósofa. Venían estudiantes de Europa, Asia y África a escuchar sus enseñanzas sobre la Aritmética de Diofanto. Era amiga y consejera de Orestes, el prefecto del Imperio Romano de Oriente. Fue respetada como una eminente profesora, carismática incluso. Las enseñanzas de Hipatia corresponderían a explicar las doctrinas de Plotino y de Iamblichus, un platonismo con estrecha relación con el neopitagorismo. En esta tradición las matemáticas formaban parte de la formación filosófica5. Muchas personas eminentes iban a sus clases y seguían sus doctrinas. Se conocen varios de sus discípulos, siendo el más importante Sinesio de Cirene, filósofo y cristiano, de familia ilustre, que llegó a ser nombrado Obispo de Temópolis. Algunos autores establecen un paralelismo entre la figura de Sócrates y su discípulo Platón, y de la de Hipatia y su discípulo Sinesio. Pero Sinesio murió dos años antes que ella, lo que impidió que pudiera, como homenaje póstumo, divulgar su obra y su pensamiento. Se conocen siete cartas de Sinesio dirigidas a Hipatia. También, en otras cartas, Sinesio la menciona y la evoca en estos términos [8]: “Hemos visto, hemos oído a aquella que preside los misterios sagrados de la filosofía. Es santa y querida por la divinidad”, “... madre, hermana, maestra, benefactora mía en todo, y todo lo que para mí tienen valor en dichos y hechos”. “He perdido ... lo que es lo más importante, tu alma divinísima, lo único que yo esperé que se mantuviera firme para superar los sinsabores de la fortuna y los embates del destino”. “Saluda cariñosamente a la muy venerable filósofa, la predilecta de la divinidad, y a ese feliz grupo que disfruta de su divina voz y más que a nadie, al santísimo padre Teotecno, y a mi compañero...”. Otros discípulos fueron: Herculino, Olimpo, Teotecno, Gayo... En Historia Eclesiástica, 7.13, de Sócrates Escolástico, escrita 120 años después de la muerte de Hipatia, puede leerse [8; 13]: “Había una mujer en Alejandría llamada Hipatia, hija del filósofo Teón que tuvo tales logros en literatura y en ciencia como para sobrepasar a todos los filósofos de su tiempo. Siguiendo la escuela de Platón y de Plotino, explicaba los principios de la filosofía a sus oyentes, algunos de los cuales venían de muy lejos para oír sus lecciones. Debido a su autocontrol y distinción que había adquirido en el cultivo de su mente, ella aparecía en público en presencia de magistrados”. Entre Hipatia y los iniciados habría una relación de afecto, familiaridad y compromiso que no existiría con los otros alumnos. El miedo de sus discípulos debido a los acontecimientos violentos de la época no ayudaron a que éstos rescataran su figura y su obra después de su muerte. El dato mejor conocido en la vida de Hipatia es su muerte. Según la polémica planteada sobre la fecha de su nacimiento podría tener, entonces, 25, 45 o 60 años. Pagana, científica y personaje político influyente, su situación fue cada vez más peligrosa en Alejandría. En el 412 el patriarca Cirilo, cristiano6 fanático, persiguió a los judíos. El gobierno de Alejandría era disputado entre el Prefecto de Roma, Orestes, y el Patriarca de Alejandría, Cirilo. Dos campos se oponían violentamente con distintos intereses: el orden antiguo, simbolizado por el gobernador Orestes, defensor del imperio greco-romano y de la emergente comunidad judía; y el poder cristiano en expansión conducido por Cirilo, que se apoyaba en el nacionalismo egipcio, en el malestar social y en las masas oprimidas de esclavos y de no ciudadanos. Todos ellos se dejaban convertir a la nueva religión. Hipatia no quiso convertirse al cristianismo. En la cuaresma, en marzo del 415, acusada de ejercer sobre Orestes una influencia contraria a Cirilo, fue asesinada. Un grupo de cristianos, exaltados, la encontraron en el centro de Alejandría, "la arrancaron de su carruaje; la dejaron totalmente desnuda; le tasajearon la piel y las carnes, hasta que el aliento dejó su cuerpo; descuartizaron su cuerpo ..." [1]. Para algunos autores [8] fue víctima del conflicto entre el poder civil de Orestes y el eclesiástico de Cirilo, más que una confrontación entre paganismo y cristianismo, idea que surgió posteriormente entre los pensadores ilustrados, como Voltaire y Toland. Los asesinos de Hipatia no fueron castigados. Orestes, prefecto romano de Egipto, antiguo alumno y viejo amigo de Hipatia, informó a Roma para que se iniciara una investigación, que fue pospuesta repetidas veces. Con Hipatia desapareció el pensamiento matemático griego que emergerá de nuevo un milenio más tarde durante el Renacimiento. Hipatia: Su obra Según el Suda, Hipatia es autora de tres trabajos: un comentario7 a la Aritmética de Diofanto de Alejandría, el Canón Astronómico y un comentario a las Secciones Conicas de Apolonio de Perga. En el comentario sobre la Aritmética de Diofanto mostraba que la aritmética es más que cálculo, lo que según Sócrates Escolástico [15], contribuyó a que tal trabajo fuera conservado. Los comentarios de Hipatia incluían nuevos problemas y distintas soluciones que fueron incorporadas a los manuscritos diofánticos [1]. Otra aportación fue demostrar la generalidad e indeterminación del problema por sustitución de valores numéricos desconocidos que no están relacionados y que no son múltiplos, potencias, raíces cuadradas o fracciones de los originales. El historiador P. Tannery [2, 15] sugiere que todos los manuscritos existentes conocidos derivan de una fuente común, y que esa fuente es el Comentario de Hipatia. Considera que el comentario y la copia de Hipatia es la más antigua de las conservadas de la Aritmética de Diofanto, (este comentario se refiere a los seis primeros libros). Supone que sobrevivió un ejemplar, al que llama α, copiado por Miguel Psellus, filósofo bizantino del siglo XI, copia que se pierde después de la caída de Constantinopla. Supone que una segunda copia fue hecha entre los siglos VIII y IX, que también se pierde, pero antes fue copiada en el siglo XIII, y que a través de sus sucesivas copias, ha llegado a nosotros una del siglo XVI que se conserva en el Parisinus 2379. Escribió un tratado Sobre la geometría de las Cónicas de Apolonio. El texto de Hipatia es una vulgarización del texto de Apolonio sobre las secciones cónicas. Con su muerte las secciones cónicas cayeron en el olvido hasta el siglo XVII. Su padre, Teón, fue un prolífico escritor de “Comentarios”. Han sobrevivido varios de sus trabajos matemáticos, como la revisión de los Elementos de Euclides, y la revisión de El Data y La Óptica también de Euclides. Esta edición de los Elementos es la base de casi todas las siguientes ediciones de ese libro [1; 15], es la versión de referencia hasta finales del siglo XIX. Es probable que Hipatia colaborara con él en dicha mejora y revisión, pues Hipatia es mencionada por su padre como su discípula y asociada, y juntos escribieron un tratado sobre la obra matemática de Euclides. Otras de las obras de Teón son los trece libros de comentarios del Almagesto de Tolomeo, y dos al Manual de Tablas de Talauma: El Gran Comentario y El pequeño comentario. El comentario de Teón del Almagesto ha sido impreso en varias ediciones. Teón se refiere a Hipatia en el libro tercero del Almagesto de Tolomeo como que ella hizo una edición revisada: paravagoostheísees. Dice así: “Comentario de Teón de Alejandría al tercer libro del Sistema Matemático de Tolomeo. Edición controlada por la filósofa Hipatia, mi hija” [13]. Las palabras de Teón admiten diferentes interpretaciones, desde que sólo revisó el comentario a este libro III, a que, mientras el padre elaboró el comentario, ella realizó la edición corregida del libro [13]. Se han buscado [12] diferencias lingüísticas entre ese libro III y el resto de los libros, lo que lleva a concluir que Hipatia hizo, con toda probabilidad, nuevas aportaciones tales como el pasaje de la división por sexagesimales al final de dicho libro III. Otros autores sugieren que al no poder distinguir entre el trabajo de Teón y el de Hipatia, quizás, revisaron conjuntamente todo, o que Hipatia completó el de Teón una vez finalizado, incluso cuando éste ya había muerto. No se descarta que el trabajo de Hipatia no se reduzca a ese libro III sino que fuese una colaboración continuada. Parece ser que Hipatia mantuvo la tesis del heliocentrismo contra el geocentrismo. Los comentarios al libro III del Almagesto se consideran de gran importancia pues es fácil que Copérnico tuviera conocimiento de ellos y este conocimiento pudiera haber influido en la “Revolución Copernicana”, pues el único ejemplar del libro III se conservaba en Florencia en la biblioteca de los Médicis, en el Medici 28.18, y Copérnico estuvo en Florencia estudiando textos astronómicos griegos, y especialmente la obra de Tolomeo. La importancia de estos comentarios radica en que, cuando Teón comentó el Almagesto, Hipatia observó que la obra de Tolomeo daba lugar a numerosas conclusiones matemáticas, de las que su padre no se había dado cuenta. Hipatia calculó los valores matemáticos de los acontecimientos celestes descritos por Tolomeo. Las Tablas o Canón Astronómico serían el resultado de ello. El Canon Astronómico, tablas que elaboró Hipatia para el estudio de los movimientos de los astros, puede que formase parte de esa obra, pero también puede haber constituido una obra original independiente [1, 4]. Gracias a su correspondencia con Sinesio de Cirene tenemos noticias de otras de sus contribuciones científicas, por ejemplo la invención de un buen número de aparatos. En la Carta 160 dirigida por Sinesio a Peonio, un militar que gustaba de la ciencia, dice que le envía como regalo un astrolabio de plata. Dice [8]: “Procede para estas demostraciones de un modo seguro, porque usa como auxiliares a la geometría y a la aritmética a las que no sería impropio considerar como un modelo fijo de verdad. Te daré un regalo que es más agradable para mi dártelo que para ti recibirlo. Es un trabajo concebido por mi mismo, añadiendo todo lo que ella, mi más reverenciada maestra colaboró conmigo, y fue ejecutado por las manos más habilidosas que hay en nuestro país en la artesanía de la plata”. Se puede inferir que la teoría del astrolabio y los detalles de su construcción pasaran de Tolomeo, vía Teón a Hipatia, y de ésta a su discípulo Sinesio. En la Carta 15, Sinesio le pide a Hipatia un hidroscopio. La verdadera naturaleza de ese hidroscopio nos es desconocida, pero en dicha carta Sinesio lo describe con todo detalle, y justifica su petición por su mala salud, luego pretendía utilizarlo para pesar o medir la fluidez de los líquidos, lo que tendría aplicaciones médicas. “Me encuentro tan sumamente mal de salud que necesito un hidroscopio. ... será posible contar las incisiones que son las que dan a conocer el peso” [8]. Hay autores que suponen que es una clepsidra o reloj de agua, otros como Fermat que es un hidrómetro o un densímetro, según se piense que medía volúmenes o pesos del agua. Otros instrumentos atribuidos por algunos autores a Hipatia son un planisferio [14] y un aparato para destilar agua [4]. Bibliografía [1]. ALIC, M. (1991): El legado de Hipatia. Historia de las mujeres desde la Antigüedad hasta fines del siglo XIX. Siglo veintiuno editores. Madrid. pp. 58 - 63. [2]. DEAKIN, M. A. B. (1994): Hypatia and Her Mathematics. The American Mathematical Monthly. 101. 3. 234 - 243. [3]. DZIELSKA, M. (1996): Hypatia of Alexandria. F. Lyra. Massachusetts. [4]. EYCHENNE, E. (1993): Mathematiciennes: des inconnues parmi d’autres... Brochure de l’IREM de Besançon. [5]. FIGUEIRAS, L.; MOLERO, M.; SALVADOR, A.; ZUASTI, N. (1998): Género y Matemáticas. Editorial Síntesis. Madrid. pp. 115-124. [6]. FIGUEIRAS, L.; MOLERO, M.; SALVADOR, A.; ZUASTI, N. (1998): El juego de Ada. Matemáticas en las Matemáticas. Proyecto Sur de Ediciones, S. L. Granada. pp. 39 - 51. [7]. FITZGERALD, A. (1926): The Letters of Synesius of Cirene. Oxford University Press. [8]. GONZÁLEZ, A (2002): Hipatia. Ediciones del Orto. [9]. KINGSLEY, CH. (1857): Hypatia or new foes with an old face. Leipzip. [10]. MATAIX, S. (1999): Matemática es nombre de mujer. Editorial Rubes. Madrid. [11]. RIST, J. M. (1965): Hypatia. Phoenix 19. 214 - 225. [12]. ROME, A. (1926): Le troisiéme livre des commentaires sur l’Almageste par Théon el Hypatia. Ann. Soc. Sci. Bruxelles 46. [13]. SOLSONA, N. (1997): Mujeres Científicas de todos los tiempos. Talasa Ed. Madrid. pp. 26 - 32. [14]. TEE, G. J. (1983): The Pioneering Women Mathematicians. The Mathematical Intelligencer. 5, nº 4. 27-36. [15]. WAITHE, M. E. (1987): Hypatia of Alexandria. A History of Women Philosophers. 1/600 BC-500 AD. 169 - 195. [16] http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Hypatia.html http://www.nodo50.org/arevolucionaria/articulos3/Hipatia.htm http://www.scottlan.edu/Iriddle/women/hypatia http://www.bib.uc3m/nogales/csagan.html Notas: 1 Alejandría era un centro intelectual y comercial en el delta del Nilo y el lugar donde se conservó la cultura griega. Era una ciudad cosmopolita habitada por una población de origen griego, el grupo más importante, y por egipcios, romanos, judíos y, en menor cantidad, etnias árabes, sirias y persas [16]. Fue durante siglos la metrópoli intelectual y cultural del mundo. La creó Alejandro Magno, que planeó que fuese la ciudad mejor del mundo, y muchos opinan que lo consiguió. Después de la muerte de Alejandro, hacia el año 306 a. C. su imperio se dividió. Tolomeo I heredó Egipto y Alejandría fue la capital de su reino. En Alejandría, Tolomeo fundó una escuela, o instituto, la primera universidad en el sentido que hoy le damos, conocida como el Museo. Como profesores de esta escuela hizo llamar a sabios de primera línea. En el año 30 a. C el suicidio de Cleopatra permitió que el Imperio Romano ocupara Egipto, aunque Alejandría mantuvo su tradición intelectual de herencia griega. Como los romanos tenían voluntad de expansión, adoptaron las técnicas convenientes para dicha difusión, y las matemáticas griegas no eran útiles desde ese punto de vista, por lo que no fueron apreciadas. 2 Durante el Imperio Romano se puede considerar que había tres niveles distintos de instrucción: el superior, con conocimientos de matemáticas, literatura y oratoria, propio de la elite de las ciudades, donde tanto hombres como mujeres tenían un alto grado de formación, lo que contribuía a la cohesión en tan basto imperio; el segundo, con conocimientos aritméticos y alfabetización que permitían trabajar en asuntos administrativos y el tercero formado por la población rural y urbana. La mujer estaba sometida a la autoridad paterna o del marido. Adquiría derechos por herencia o por divorcio, pero bajo la tutela del estado que restringía sus derechos públicos. Sin educación y sin independencia económica era difícil materializar sus eventuales aspiraciones intelectuales [5]. En este contexto, Hipatia es una excepción, favorecida por la rara liberalidad de su padre. 3 El Museo era una institución dedicada a la investigación y la enseñanza, fundada por Tolomeo, general de Alejandro Magno, con más de cien profesores, dos bibliotecas: una interna con 400.000 volúmenes “compuestos”, es decir, con obras de diferentes autores, y 90.000 volúmenes “simples”, con textos de un solo autor; y otra externa o de Serapeo, con unos 43.000 volúmenes [16], un zoológico, jardines botánicos, observatorio y salas de disección. El Museo de Alejandría tenía siete siglos cuando nació Hipatia. En el Museo trabajaron importantes matemáticos: Euclides (330? - 270? a. C.) fue probablemente el primer gran matemático de esta institución. De su vida se sabe tan poco que no se conoce su lugar de nacimiento, aunque se le llama Euclides de Alejandría, pues trabajó allí enseñando matemáticas. Arquímedes de Siracusa (287 - 212 a. C.) pudo haber estudiado algún tiempo en Alejandría con los discípulos de Euclides. Apolonio (262? - 180? a. C.). Eratóstenes de Cirene (284? - 192? a. C.) que desempeñó en Alejandría el cargo de bibliotecario, y a esa época se debe su estimación del diámetro de la Tierra. Diofanto de Alejandría (325 - 409), vivió y trabajó en Alejandría, escribió su Aritmética hacia el año 250 por la que se le ha llamado “padre del álgebra”, y Pappus de Alejandría (300 - 350) que también trabajó allí. 4 El historiador Damascio de Damasco, 100 años después de la muerte de Hipatia, considerado el último filósofo de la Escuela de Atenas, escribió: “... de naturaleza más noble que su padre, no se conformó con el saber que viene de las matemáticas, en las que había sido instruida por él, sino que se dedicó a las otras ciencias filosóficas con mucha entrega” [16]. La calificación de “noble” de Damascio se explica por el sentido que da Platón a la condición de nobleza, como propia de “una persona de buena memoria, tenaz y amante de toda clase de trabajo”. Dice también: “... el resto de la ciudad la amaba y la obsequiaba grandemente y era normal que fueran a buscarla los jefes cada vez que se hacían cargo de las cuestiones públicas”. 5 Algunos autores relacionan esta conexión entre la Filosofía y la Matemática considerando que la naturaleza de la Matemática es abstracta, y de ella derivan las ideas de las cosas materiales. Así, la Geometría, que tiene su origen en la medida de la Tierra, transciende este inicio, y en Los Elementos, se entra de lleno en el mundo de las ideas. Entonces la Matemática puede ser vista como el paradigma de la trascendencia de lo material de lo que trata el platonismo. 6 En esta época el cristianismo se instituyó como la religión oficial del Imperio Romano. Recordemos que en el 380 Teodosio abrazó la fe cristiana y redactó el edicto de Tesalónica en el que instaba a todo el pueblo a hacer lo mismo. En el año 390, Teófilo, obispo de Alejandría, hizo destruir o convertir los templos helénicos paganos. En el 395 se separó el Imperio de Occidente, con capital en Roma, del de Oriente, con capital en Constantinopla. El emperador Justiniano, el 529, cerró la Escuela Neoplatónica. 7 “Comentario” viene a significar una edición, una copia de la obra, en ocasiones comentada y corregida, más extensa que el original. Recordemos que la famosa anotación de Fermat, que da lugar a la Conjetura de Fermat, fue hecha en el margen de la Aritmética de Diofanto. En muchas ocasiones sólo han llegado a nosotros traducciones y copias de traducciones de estos comentarios, que permitieron la transmisión de obras y de autores que de no haber sido así hoy estarían completamente desaparecidos.

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94. Jayyam, Omar (~1048-1131)

Poco se sabe de la vida de Omar Jayyam. Tan solo que nació a mediados del siglo XI en Nishapur (Persia), donde pasó casi toda su vida, y que murió en el 1131. En el 1074 fue llamado por Malik Sha para reformar el calendario, cuando ya era un famoso científico. El Álgebra La obra fundamental de Jayyam es un Álgebra, escrita alrededor del 1074. Se conservan varias copias de fecha bastante temprana, por lo que es un tratado muy bien conocido. En las ecuaciones algebraicas de grado menor o igual que tres reconoce Jayyam veinticinco formas distintas. Seis ya habían sido estudiadas por los algebristas anteriores. Otras cinco son reducibles a éstas. Las catorce restantes, que no pueden ser resueltas geométricamente con la sola ayuda de los Elementos, son las siguientes: Cubo de la cosa igual a número x3 = c Cubo de la cosa más cosa igual a número x3 + bx = c Cubo de la cosa más número igual a cosa x3 + c = bx Cubo de la cosa igual a cosa más número x3 = bx + c Cubo de la cosa más cuadrado de la cosa igual a número x3 + ax2 = c Cubo de la cosa más número igual a cuadrado de la cosa x3 + c = ax2 Cubo de la cosa igual a cuadrado de la cosa más número x3 = ax2 + c Cubo de la cosa más cuadrado de la cosa más cosa igual a número x3 + ax2 + bx = c Cubo de la cosa más cuadrado de la cosa más número igual a cosa x3 + ax2 + c = bx Cubo de la cosa más cosa más número igual a cuadrado de la cosa x3 + bx + c = ax2 Cubo de la cosa igual a cuadrado de la cosa más cosa más número x3 = ax2 + bx + c Cubo de la cosa más cuadrado de la cosa igual a cosa más número x3 + ax2 = bx + c Cubo de la cosa más cosa igual a cuadrado de la cosa más número x3 + bx = ax2 + c Cubo de la cosa más número igual a cuadrado de la cosa más cosa x3 + c = ax2 + bx Después de demostrar unos lemas muy sencillos, veremos como Jayyam resolvió algunas de ellas. Las palabras “número” y “segmento” serán utilizadas indistintamente.

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95. Kamil, Abu (~850-930)

La muerte de al-Jwarizmi coincide aproximadamente con el nacimiento en Egipto de Abu Kamil ibn Aslam ibn Mohammed, llamado el calculista egipcio. Vivió ochenta años y nos dejó numerosas obras matemáticas. Entre ellas un tratado de álgebra, cuyo original árabe se ha perdido, pero del que nos han llegado dos traducciones, una latina y otra hebrea. Las ecuaciones de segundo grado las resuelve geométricamente, como su predecesor de Bagdad, pero se apoya más directamente en los Elementos. Demuestra una proposición cuyo equivalente algebraico es la célebre fórmula de suma por diferencia igual diferencia de sus cuadrados. Con este resultado, la ecuación x2+bx=c puede se escrita de este modo (al cual llega al-Jwarizmi más dificultosamente): Dos novedades más hay en el Álgebra de Abu Kamil. Una de ellas consiste en que trabaja con varias incógnitas y la otra, la soltura con que maneja cantidades irracionales, que tanto pueden ser coeficientes de las ecuaciones como soluciones. Incluso estudia las condiciones para que una suma o diferencia de raíces sea un número racional o por lo menos la raíz de un número racional. Para ello utiliza la fórmula: y proporciona el siguiente ejemplo numérico: En otra obra, el Libro sobre la medida, estudia los pentágonos y los decágonos regulares y las relaciones numéricas que existen entre sus elementos. El Libro de las cosas raras en aritmética está dedicado a estudiar sistemas de ecuaciones  indeterminadas y a buscar sus soluciones enteras.

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96. Kolmogórov, Andrei Nikolayevich (1903-1987)

La vida de Andrei Nikoláyevich Kolmogórov es un ejemplo de consagración al trabajo científico, aún en condiciones tan singulares como dos revoluciones sociales y dos guerras mundiales. Su carácter se forjó en la época del estalinismo y vivió la posterior rectificación de errores y el "inmovilismo" que dio paso a la perestroika. La extensión y variedad de los intereses científicos de Andrei Nikoláyevich Kolmogórov es realmente sorprendente. Aunque siempre se consideró a sí mismo como un matemático puro, una parte esencial de la obra de Kolmogórov fueron sus investigaciones en las ramas de las aplicaciones, tanto en las ciencias físicas como en la biología, la oceanología, la geología, la mineralogía, la balística y la lingüística. Desde muy joven se interesó por la historia en general y por la historia de la matemática en particular. Promovió la edición de diversas publicaciones de carácter divulgativo y una cuantiosa parte de su obra está dedicada a este encomiable empeño. Andrei Nikoláyevich era hijo de Nikolai Matveievich Katáev, técnico agrónomo, quien murió en el año 18 durante la guerra civil luchando en las filas del ejercito rojo. Andrei Nikoláyevich no llevó su apellido porque Katáev nunca se casó con su madre, Mariya Yakovlievna, quien murió en el parto. El pequeño Andrei creció en una de las propiedades de su abuelo materno, el boyardo Yákovliev Kolmogórov. Cuidaron de él sus tías maternas, Vera, quién hasta su muerte en 1950 se mantuvo junto a Kolmogórov y Nadieshda que gustaba de la medicina, y más tarde estableció residencia en Voronesh. Sus tías se preocuparon en desarrollar su curiosidad por la naturaleza y su interés en los libros.

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97. Kovalévskaia, Sonia (1850-1891)

Sonia Kovalévskaya fue una matemática rusa del siglo XIX, que para poder estudiar en la universidad tuvo que salir fuera de Rusia, pedir permisos especiales para asistir a clase y solicitar clases particulares a ilustres matemáticos. Después de obtener el doctorado en Matemáticas, a pesar de que ninguna universidad en Europa admitía a una mujer como profesora, consiguió serlo en la entonces recién creada Universidad de Estocolmo. Sus investigaciones se centran en el Análisis Matemático. Su nombre ha pasado a la historia por el Teorema de Cauchy-Kovaleskaya. Su especialización, por lo que en su época fue conocida en toda Europa, era la teoría de funciones abelianas. Su trabajo sobre los anillos de Saturno representa su aportación a la matemática aplicada. Su mayor éxito matemático fue su investigación sobre la rotación de un sólido alrededor de un punto fijo por el que obtuvo el Premio Bordin de la Academia de Ciencias de París. Su trabajo póstumo, una simplificación de un Teorema de Bruns. Sonja, Sofja, Sonya, Sophie, Sophia, Sonia, Sofya, son algunos de los nombres que hacen referencia a esta mujer excepcional como escritora, como matemática y como persona. No sólo fue la primera mujer que se doctoró en Matemáticas y consiguió ser profesora de Universidad, sino que también escribió obras literarias. El relato de su corta vida es fascinante. Comenzó en un pueblecito de Rusia, donde vivió su adolescencia y desde allí, en una época en la que las mujeres carecían totalmente de autonomía y les estaba totalmente prohibido asistir a la universidad, su genio matemático, su espíritu libre y su especial personalidad para superar las barreras que se interponían a sus aspiraciones, le permitieron alcanzar las más altas cotas del pensamiento científico. Su talento literario, plasmado en su obra autobiográfica Recuerdos de la infancia, nos conmueve. Llegó a ser amiga y colega de los más grandes matemáticos de la época como Weierstrass, Poincaré, Chevichev, Hermite, Picard, Mittag-Leffler, etc., y de científicos y literatos como Darwin, Elliot, Ibsen, Mendeleyev, Dostoyesky, etc. Todo esto podía ser suficiente para interesarnos por su vida, pero, ante todo fue "una gran matemática" creativa, original e innovadora. Su vida El 15 de enero de 1850 nació en Moscú, Sofía Vassilíevna Korvin-Krukovskaya, a la que familiarmente llamaron Sonia. Su padre Vasili Korvin-Krukovski era general de artillería y su madre Elizaveta Shubert, veinte años más joven que su marido, era hija del astrónomo de origen alemán Fiodor Fiodorovitch Schubert. Ambos pertenecían a la nobleza rusa y frecuentaban los ambientes intelectuales. Fue la segunda hija del matrimonio. Su hermana Aniuta era seis años mayor y Fedia, su hermano menor, era tres años más pequeño. Cuando Sonia tenía seis años su padre se retiró del ejercito y se estableció en la hacienda patrimonial de Palibino. La pasión de Sonia hacia las Matemáticas surgió en su niñez escuchando los relatos de su tío Piotr Vassilievitch que, sin ser matemático, le transmitió un profundo interés por esta Ciencia, tratando temas como la cuadratura del círculo, la noción de asíntota y otras consideraciones sobre el infinito. A los trece años empezó a mostrar muy buenas cualidades para el álgebra, pero su padre decidió frenar los estudios de su hija. Ella consiguió hacerse con una copia de El Álgebra de Bourdon y la mantenía escondida para leerla cuando toda la casa dormía. Un vecino profesor de física, Nikolai Nikanorovich Tyrtov, dejó a la familia una copia de su nuevo libro que Sonia comenzó a estudiar. Cuando Tyrtov escuchó sus explicaciones y las deducciones que había hecho de todo aquello que no conocía quedó estupefacto y recomendó a su padre que facilitara a su hija el estudio de las Matemáticas. En 1865, la familia de Sonia se trasladó a San Petersburgo para que ella y su hermano menor pudieran seguir estudiando. Estudió geometría analítica y cálculo infinitesimal con el profesor Alexandre Nikoláyevitch Strannoliubski. Éste quedó asombrado por la rapidez con la que comprendía complejos conceptos matemáticos como asíntota o límite pues "parecía que los hubiera sabido de antemano". Y Sonia recordó que cuando fueron a vivir al campo no había suficiente papel pintado para todas las habitaciones y el cuarto de los niños fue empapelado con un libro litografiado de Ostrogradski sobre cálculo diferencial e integral. De esta manera se había familiarizado con muchas fórmulas matemáticas, y a pesar de que para ella, en aquella época, carecían de sentido, cuando comenzó a estudiar esos conceptos tuvo la sensación de que ya los conocía. En Rusia, entre la juventud, había surgido un movimiento denominado nihilismo1 que preconizaba la liberación de los esclavos, la emancipación de la mujer, la importancia de la educación y de la ciencia, además de revelarse contra todo tipo de autoridad. Como estaba prohibido el acceso de las mujeres a la universidad, las jóvenes habían encontrado una forma muy curiosa para salir de Rusia y poder estudiar. La estrategia consistía en convencer a un joven, que compartiera estas mismas ideas, a contraer un matrimonio de conveniencia. Sonia acompañaba siempre a su hermana Aniuta y a las amigas de ésta, a pesar de que eran mayores que ella, y como tantas jóvenes rusas, compartían estas ideas. Un día, Aniuta y una amiga, decidieron ponerlas en práctica. El elegido fue Vladimir Kovalevski, un joven que quería continuar sus estudios en Alemania. Sin embargo su respuesta las desconcertó, ya que aceptaba el juego, pero era con Sonia con quien quería casarse. A pesar de la oposición de su padre, pues Sonia sólo tenía 18 años, lograron convencerlo. La boda se celebró ese mismo año, 1868. En la primavera de 1869 la pareja se estableció en Heidelberg. Pero al llegar se dieron cuenta de que allí tampoco estaba permitido el acceso de las mujeres a la universidad, aunque después de muchos esfuerzos, Sonia consiguió un permiso para que la admitieran como oyente. Estudió con los profesores P. du Bois-Raymond y L. Koenigsberger. En otoño de 1870 Sonia decidió ir a Berlín para estudiar con Karl Weierstrass (1815-1897), a quién consideraba "el padre del Análisis Matemático". Como allí tampoco estaba permitido el acceso de las mujeres a las actividades universitarias, incluso de forma mucho más firme, ya que no podían ni escuchar las conferencias, se dirigió directamente a Weierstrass para pedirle clases particulares. El célebre profesor, un hombre de 55 años, comprensivo y simpático, se mostró perplejo ante la petición de Sonia y, para ponerla a prueba, le dio un conjunto de problemas preparados para sus alumnos más avanzados. Cuando una semana más tarde llegó Sonia con los problemas resueltos, Weierstrass dudó, pero la invitó a sentarse y al examinar cuidadosamente su trabajo, observó asombrado que no sólo sus soluciones eran exactas, sino que además eran ingeniosas, claras y originales. Weierstrass, impresionado por su talento matemático, sintió hacia ella una especial ternura y a partir de ese momento se convirtió en su amigo más fiel, que siempre la apoyó y animó en su trabajo. Durante los cuatro años siguientes la admitió como alumna particular dándole clases gratuitas. En 1874 Weierstrass consideró que los trabajos de Sonia eran suficientes para obtener un doctorado. Como en Berlín era imposible, habló con un antiguo alumno suyo, Lazarus Fuchs de la Universidad de Göttingen, para que se le concediera el doctorado sin examen oral, sólo con los trabajos entregados. Después de una enorme cantidad de gestiones, la Universidad aceptó y Sonia presentó tres trabajos de investigación, el primero Sobre la teoría de ecuaciones en derivadas parciales, el segundo Suplementos y observaciones a las investigaciones de Laplace sobre la forma de los anillos de Saturno y el tercero Sobre la reducción de una determinada clase de integrales abelianas de tercer orden a integrales elípticas. Su primer trabajo fue aceptado como tesis doctoral y se le concedió el grado de doctora “cum laude" Sonia ya era doctora, sin embargo no encontraba trabajo en ninguna universidad de Europa por lo que volvió a Rusia con su marido donde solicitó un permiso para presentarse a una prueba que le permitiera enseñar en una universidad rusa, pero el Ministro de Educación se lo denegó. Ese invierno murió su padre de una enfermedad cardiaca. El aislamiento y el dolor en que quedó sumida y la necesidad de afecto y consuelo, la unió cada vez más a Vladimir y poco a poco fueron cambiando sus relaciones de amistad por las de marido y mujer. En San Petersburgo los Kovalevski se introdujeron enseguida en el círculo social más distinguido de la ciudad, donde llevaron una vida mundana repleta de fiestas y de lujo. Sonia había abandonado las matemáticas, se dedicaba a la literatura y escribía en un periódico artículos científicos y críticas de teatro. Vladimir tenía una editorial en la que publicaba obras de popularización científica. En 1878 nació su hija, llamada familiarmente Fufa. En enero de 1880 fue invitada por Chevichev a dar una conferencia para el Sexto Congreso de Ciencias Naturales. Eligió una disertación sobre integrales abelianas. En una noche la tradujo al ruso y, cuando la presentó, entusiasmó al público, entre el que estaba Gösta Mittag-Leffler, alumno de Weierstrass, que había ido al congreso para escucharla y convencerla, de parte del maestro, para que reanudara su trabajo matemático. Sonia decidió volver a una vida dedicada a las Matemáticas en el extranjero. Primero fue a Berlín, donde Weierstrass le aconsejó que trabajara sobre la propagación de la luz en un medio cristalino, después a París dónde conoció a Hermite, Poincaré y Picard, y fue elegida miembro de la Sociedad Matemática. El 15 de abril de 1883 murió su marido. El 11 de noviembre de 1883, a propuesta de Mittag-Leffler, fue aceptada como profesora en la Universidad de Estocolmo. El puesto docente que se le ofrecía durante ese primer año, en el que se pretendía probar su competencia, no era oficialmente remunerado, la pagaban sus alumnos y a través de una suscripción popular. Su llegada fue un acontecimiento que salió en la prensa y un periódico la saludaba como “princesa de la ciencia” a lo que ella replicó: “¡Una princesa! Si tan sólo me asignaran un salario” [3]. El curso siguiente fue nombrada oficialmente profesora por un periodo de cinco años. En Estocolmo colaboró en la redacción del Acta Mathematica, una revista internacional fundada por Mittag-Leffler en 1882 que después de más de un siglo sigue teniendo vigencia, lo que le permitió estar en contacto con matemáticos de todo el mundo. En junio de 1886, en un viaje a París, decidió ocuparse de un problema matemático con el que podía obtener el Premio Bordin de la Academia de Ciencias de París. En los primeros meses de 1888, Sonia encontró casualmente a Máxime Kovalevski, jurista ruso y pariente lejano de su marido. Desde su primer encuentro sintió por él una gran simpatía y admiración y poco a poco sus sentimientos se fueron transformando en un amor apasionado. Durante todo el año, la vida de Sonia fue una continua lucha entre su amor a Máxime y su trabajo matemático. En la víspera de Navidad de 1888, la Academia de Ciencias de París, en una sesión solemne, le concedió el Premio Bordin por su trabajo: Sobre el problema de la rotación de un cuerpo alrededor de un punto fijo. Se anunció que el trabajo ganador, escogido entre quince presentaciones anónimas era tan elegante que se había añadido al premio un suplemento de 2.000 francos. Esta distinción científica no era sólo una de las más grandes que una mujer había recibido nunca, sino una de las más altas que cualquier hombre hubiera querido alcanzar. En mayo de 1889 fue nombrada profesora vitalicia en Estocolmo, con la valoración positiva de Bjerknes y Hermite. En otoño de 1889 amplió y pulió la memoria por la que había recibido el premio Bordin separándola en dos trabajos. A uno de ellos la Academia Sueca le otorgó un premio de 1.500 coronas. Fue nombrada miembro honorífico de la Academia de Ciencias de San Petesburgo pero no consiguió ser miembro de pleno derecho a pesar de sus esfuerzos por conseguirlo. Cuando llegó a Estocolmo de un viaje se encontraba muy mal, pero dio clase durante dos días, hasta que llegó el fin de semana en el que cayó exhausta. El 10 de febrero de 1891, la enfermedad tuvo más fuerza que ella. La noticia de su muerte conmovió a todo el mundo. Matemáticos, artistas e intelectuales de toda Europa enviaron telegramas y flores. En todos los periódicos y revistas aparecieron artículos alabando a esta mujer excepcional. Su obra El teorema de Cauchy-Kovalévskaya [16],[9] formaba parte del trabajo por el que obtuvo el doctorado. Fue publicado en Crelle´s Journal. Es un teorema de existencia y unicidad de soluciones de una ecuación en derivadas parciales de orden k con condiciones iniciales para funciones analíticas. En 1842 Cauchy había demostrado la existencia de solución de una ecuación en derivadas parciales lineales de primer orden. En la misma época, Weierstrass, que no conocía los trabajos de Cauchy, demostró la existencia y "unicidad" de la solución para un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias y propone a Sonia extender estos resultados a un sistema de ecuaciones en derivadas parciales. Este teorema, elaborado independientemente del de Cauchy, generaliza sus resultados y establece unas demostraciones tan simples, completas y elegantes que son las que se exponen en la actualidad en los libros de Análisis. Su trabajo sobre funciones abelianas fue otro de los que presentó para su tesis. Su investigación en este campo trataba del estudio de los casos en los que las funciones abelianas2 pueden reducirse a integrales elípticas y fue publicado en el Acta Mathematica. Las funciones abelianas eran uno de los temas de investigación más importantes del siglo XIX, Legendre las clasificó, Abel y Jacobi de manera independiente obtuvieron los principales resultados respecto a estas funciones. Riemann y Weierstrass resolvieron simultáneamente el problema general de la inversión de estas integrales. Sonia estudió los casos en los que las integrales abelianas de tercer orden pueden reducirse a integrales elípticas, aunque no era un problema de la parte central de la teoría, su logro más importante fue el hecho de reemplazar un criterio trascendente por uno algebraico. Además su especialización en este campo contribuyó favorablemente al reconocimiento que tuvo Sonia entre los matemáticos de la época. Otra de las memorias presentadas para obtener el doctorado trataba de la forma y estabilidad de los anillos de Saturno, publicada en la revista de Astronomía Astronomische Nachrichten en 1885. Laplace (1799), en su tratado de Mecánica Celeste, había formulado las condiciones de equilibrio de fuerzas, suponiendo que los anillos eran fluidos, de sección elíptica y hacía varias aproximaciones en el cálculo del potencial del anillo. Sin embargo Maxwell (1859) había mostrado que era muy improbable que el anillo pudiera tener cualquier estructura continua, como el trabajo de Laplace había postulado. Sonia abandonó la hipótesis de elipticidad y, utilizando un desarrollo en serie de Fourier, resolvió un sistema con infinitas variables por el método de aproximaciones sucesivas. En un artículo que publicó comentaba que los últimos trabajos de Maxwell hacían poco aceptable la hipótesis de la estructura líquida de los anillos y que éstos estaban formados por partículas de hielo y rocas, como posteriormente se demostró. Muchos autores han comentado que el resultado más importante de Kovalévskaya sobre los anillos de Saturno fue determinar su forma oval. Otros [2] opinan que lo más significativo de su trabajo fue plantear dos problemas importantes en matemática aplicada como son el análisis de errores y la estabilidad, además de proponer, de manera heurística, técnicas para resolver ecuaciones integrales, que fueron desarrolladas de forma rigurosa por Hammerstein en 1930. Sus investigaciones sobre la propagación de la luz en un medio cristalino, [10] fueron una propuesta de Weierstrass que la orientó a determinar las soluciones de las ecuaciones de Lamé. Éste era un problema de Física en la época de Fressnel; Gabriel Lamé, en 1866, lo había convertido en matemático, pero para determinar la solución tuvo que recurrir a la hipótesis de la existencia de éter rodeando la materia que vibra. Sonia en su trabajo prescinde de esta hipótesis. Otro resultado sobre ecuaciones en derivadas parciales fue una demostración simplificada del teorema de Burns [12] publicada después de su muerte en el Acta Mathematica. En esta demostración utilizaba una parametrización de una superficie para obtener una ecuación a la que podía aplicar el teorema de Cauchy-Kovalévskaya y obtener fácilmente la solución. Posiblemente la investigación más importante fue la que realizó sobre la rotación de un cuerpo sólido alrededor de un punto fijo [16], [11] por la que recibió el Premio Bordin de la Academia de Ciencias de París y más tarde el premio de la Academia de Ciencias de Suecia. Ambos trabajos fueron publicados en el Acta Mathematica. Una de las aplicaciones más importantes de la mecánica newtoniana es el estudio del movimiento de un cuerpo. Leonhard Euler (1758) había resuelto el problema cuando el punto respecto al que gira es el centro de gravedad. J. L. Lagrange (1811-1815), el de un cuerpo de revolución que gira alrededor de un eje. Pero estaba sin resolver el caso general. La Academia de Ciencias de Prusia había propuesto este problema para un concurso los años 1855 y 1858, pero nadie se había presentado. Sonia resolvió de forma analítica las ecuaciones del movimiento. Planteó un sistema de seis ecuaciones diferenciales, consideró el tiempo como una variable compleja y analizó los casos en los que las seis funciones implicadas, las tres componentes del vector velocidad angular y las tres del vector unitario vertical (aceleración de la gravedad), eran funciones meromorfas del tiempo, con este planteamiento los movimientos estudiados por Euler y Lagrange eran casos particulares, además encontró un tercer caso y lo estudió. Con ello este problema quedaba analíticamente resuelto. Su libro autobiográfico “Recuerdos de la infancia”, [3], [13] un relato que nos narra las vivencias y los sentimientos de su niñez, además de describir los problemas y los ideales de la sociedad rusa en la segunda mitad del siglo XIX, fue traducido al sueco y publicado con el título Las hermanas Rajevsky. Sonia formó con su amiga Anne-Charlotte Leffler, hermana de Mittag, una sociedad literaria que firmaba con el pseudónimo Korvin-Leffler. El primer resultado de esa colaboración fue una obra de teatro "La lucha por la felicidad" que se publicó en 1887. Cuando Sonia murió, Anne escribió su biografía [3], [15]. Su novela póstuma "Vera Barantsova", que contaba la historia de una joven mártir revolucionaria, fue publicada en Suecia (1892) por sus amigos a partir de sus manuscritos no revisados y en Rusia (1906) con el título "Una nihilista"[14]. Su dedicación simultánea a las investigaciones matemáticas y a la literatura causó un cierto desconcierto en muchas de las personas de su alrededor. En una carta escrita por Sonia [3] comentaba que no era nada extraño, ya que tanto el poeta como el matemático deben ser capaces de profundizar en la realidad y de esta forma ver lo que los demás no ven. Además la Matemática, para ella, era la Ciencia que exigía más imaginación. Bibliografía [1] ALIC, M. (1991): El legado de Hipatia. Historia de las mujeres desde la Antigüedad hasta fines del siglo XIX. Siglo veintiuno editores, Madrid, 192-203. [2] COOKE, R. (1984): The Mathematics of Sonya Kovalevskaya. Springer Verlag, New York. [3] DETRAZ, J. (1993): Kovalevskaïa: l'aventure d'une mathématicienne. Belin, París. [4] DUBREIL-JACOTIN, M. L. (1948): Figures de Mathématiciennes, "Les grands courants de la pensée mathématique". F. Le Lionnais (ed.). Cahiers du sud, Paris, 262-266. [5] FIGUEIRAS, L.; MOLERO, M.; SALVADOR, A.; ZUASTI, N. (1998): Género y Matemáticas. Editorial Síntesis, Madrid, 170-182. [6] FIGUEIRAS, L.; MOLERO, M.; SALVADOR, A.; ZUASTI, N. (1998): El juego de Ada. Matemáticas en las Matemáticas. Proyecto Sur de Ediciones, S. L. Granada, 129-145. [7] KOBLITZ, A. H. (1983) A Convergence of Lives: Sophia Kovaleskaia: Scientist, Writer, Revolutionary. Birkhaeuser, Boston. [8] KOBLITZ, A. H. (1987): Sofia Vasilevna Kovalevskaia, "Women of Mathematics. A bibliographic sourcebook". L. S. Grinstein, P. J. Campbell (ed.). Greenwood Press, Westport, Connecticut, 103-113. [9] KOVALEVSKAYA, S. V. (1875): Zur theorie der partiellen Differentialgleichungen. "Crelle Journal", 80, 1-32. [10] KOVALEVSKAYA, S. V. (1884): Sur la propagation de la lumière dans un milieu cristallisé. "Comptes rendus", 98, 356-357. [11] KOVALEVSKAYA, S. V. (1889): Mémoire sur un cas particulier de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe. "Acta Mathematica", 12, 177-232. [12] KOVALEVSKAYA, S. V. (1891): Sur un théorème de M. Bruns. "Acta Mathematica", 15, 45-52. [13] KOVALEVSKAYA, S. V. (1978): A Russian Childhood. Sofya Kovalevskaya. B. Stillman, (ed.). Springer-Verlag, New York. [14] KOVALEVSKAYA, S. V. (1892): The Nihilist Woman. Volnaya Russkaya, Geneva. [15] LEFFLER, A. (1895): Sonja Kovalevsky. Reclam, Leipzig.Traducido al francés en [3]. [16] MEARES, K. A.: The Works of Sonya Kovalevskaya (extracto de un articulo). [17] MOLERO, M. y SALVADOR, A. (2002): Sonia Kovalévskaya. Ed. Orto, Madrid. [18] RAPPAPORT, K. D. (1981): S. Kovalevsky: A Mathematical Lesson. "The American Mathematical Monthly", 88, 564-573. Sección 12.2 del menú en: www.matharticles.com [19] SOLSONA, N. (1997): Mujeres Científicas de todos los tiempos. Talasa, Madrid. Más en la web: [20] BURSLEM, T.: Sofia Vasilevna Kovalevskaya. http://turnbull.dcs.st-and.ac.uk/history/Miscellaneous/Kovalevskaya/biog.html [21] COOKE, R.: The life of S. V. Kovalevskaya. http://www.emba.uvm.edu/~cooke/svklife.pdf [22] O'CONNOR, J. J.; ROBERTSON, E. F.: Sofia Vasilyevna Kovalevskaya. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Kovalevskaya.html [23] WILSON B.: Sofia Kovalevskaya. http://www.agnesscott.edu/lriddle/women/kova.htm Y en la web en castellano: [24] BELL E. T.: Los grandes matemáticos. http://www.geocities.com/grandesmatematicos/cap22.html Notas: 1 El nihilismo debe su nombre a la novela Padres e hijos de Turgenev, fue un movimiento político de la juventud rusa progresista de esta época que era considerado radical por el gobierno zarista. 2 Una función abeliana es una integral de la forma F(x) = ∫x0R(t,u)dt, siendo R(t,u) una función racional y las variables t y u están relacionadas por una ecuación polinómica P(t,u) = 0; es decir la integral de una función racional sobre una curva algebraica.

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98. Legendre, Adrien Marie (1752-1833)

Adrien Marie Legendre, uno de los grandes matemáticos de la Revolución Francesa, sin llegar a la altura de un Euler o un Lagrange que él consideraba sus maestros, supo aportar resultados valiosos en muchos campos, y hacer que su nombre aparezca en muchas partes de las matemáticas. Sin embargo su carrera aparece, al estudioso de la historia de los descubrimientos matemáticos, como la de un personaje particularmente desafortunado. Pese a haber tocado a algunos de los problemas más importantes de su época, se dejó muchas veces sobrepasar por espíritus más brillantes. Por Laplace: en Teoría del Potencial, a pesar de los polinomios que llevan su nombre, por Gauss con la Ley de Reciprocidad Cuadrática en Teoría de Números, por Abel y Jacobi con la inversión de las Funciones Elípticas, por Lobachevski y Bolyaí por no atreverse a plantear una geometría no-euclideana. (Nota DivulgaMAT: véase el comentario sobre la imagen de Legendre al final del artículo) Los primeros años Aunque se tienen muy pocos datos sobre la familia de Legendre, las biografías existentes coinciden en que se trataba de una familia acomodada que, desde el nacimiento el 18 de Septiembre de 1752 en París , de Adrien Marie, se planteó el darle una buena educación. Cuando uno no pertenece a la nobleza y no puede por lo tanto acceder a los centros especiales de enseñanza superior, las llamadas Escuelas especiales, que preparan a los oficiales del ejercito, lo lógico es estudiar en algunos de los colegios regentados por eclesiásticos. Al vivir en París, Adrien Marie ingresó para sus estudios en el "Collège Mazarin", también llamado "Colegio de las Cuatro-Naciones". Este hecho fue decisivo para su vocación de matemático.

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99. Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646-1716)

El padre de Leibniz era jurista y profesor de moral en la universidad de Leipzig, ciudad donde nació Gottfried, quien, aunque nunca fue muy fervoroso, abogó toda su vida por la reunificación de las iglesias. No obstante tanto la familia como su entorno eran luteranos. Aquella posición, el irenismo, como se llamaba en su época, tenía connotaciones políticas tanto como religiosas, pues pretendía asimismo la unificación de los 350 estados en los que estaba dividida Alemania. Precisamente, una de las características más originales de Leibniz es su propósito de sintetizar y conciliar las opiniones y concepciones más opuestas en todos los ámbitos del pensamiento. Su padre murió cuando él tenía sólo 6 años y le quedó en herencia la amplia biblioteca privada de su padre, de la que se sirvió libremente, de forma que Leibniz fue en gran medida autodidacta, hasta el punto de que a los ocho años ya leía en latín a Tito Livio. Siempre fue más aficionado a la lectura y el pensamiento que a las actividades físicas. El latín fue una de sus lenguas favoritas así como el francés, y en ellas dos están redactados casi todos sus escritos filosóficos o científicos. También abogó por el desarrollo de la lengua alemana. Desde sus primeros escritos manifiesta su interés por las matemáticas y por la aplicación de las mismas al conocimiento en todos los niveles. Su Dissertatio de Arte Combinatoria, editada en 1666, aparece como consecuencia de sus estudios en la universidad de Leipzig en las áreas de filosofía, historia, matemáticas y derecho, y en ese escrito se encuentran buena parte de sus ideas fundamentales sobre combinatoria y  algunas de sus reglas básicas o método de investigación científica, que él llamó el Arte de Inventar.

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100. Lie, Sophus (1842-1899)

Gran matemático noruego de la segunda mitad del siglo XIX. Debe su gloria principalmente a la teoría de los grupos de transformaciones. Contribuyó notablemente al desarrollo de la geometría diferencial, geometría algebraica y teoría de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Actualmente, la Teoría de Lie no sólo se aplica en matemáticas, sino que cada vez es mayor su utilización en física teórica, en la moderna teoría de supercuerdas, y en óptica, constituyendo una importante aproximación a la unificación de la mecánica cuántica y la relatividad general. Sophus Marius Lie fue el penúltimo varón de los siete hijos (cuatro varones y tres hembras) del matrimonio formado por Johann Herman Lie, pastor luterano que vivía en Nordfjordeid y su esposa, Mette Maren. En esa pequeña localidad, situada en la costa occidental noruega, nació Sophus el 17 de diciembre de 1842. Sus primeros estudios los realizó Lie en la escuela comunal (Realskole) de la ciudad de Moss, adonde se había trasladado su familia en 1851, en la que cursó Primaria y Secundaria. A los 15 años, Lie ingresó en la Nissen's Private Latin School de Christiania (actualmente Oslo, desde 1925). Allí conoció a Ernst Motzfeldt, de su misma edad, con el que inició una gran amistad y que sería para él de gran ayuda a lo largo de toda su vida. Lie pensaba seguir la carrera militar, sin embargo, problemas de visión le hicieron abandonar esa idea. Eso hizo que entrara entonces, en 1859, en la Royal Fredrik's University de Christiania, para estudiar Matemáticas y Ciencias. En esa Universidad, Lie tuvo como profesores, entre otros, a L. Sylow y a C. A. Bjerknes. En 1865, Lie obtuvo su diploma de licenciado en Ciencias, sin haber mostrado especial habilidad o inclinación por las Matemáticas. Después, tras un tiempo sin saber qué camino seguir, ejerció de tutor de otros estudiantes dándoles clases particulares, al tiempo que perseguía objetivos propios de astronomía y mecánica, hasta 1868. En ese año y tras leer las obras de los geómetras Poncelet y Plücker, Lie se sintió muy atraído por el trabajo de ambos. De hecho, su admiración por estos dos grandes maestros, a los cuales nunca llegó a conocer, se mantuvo toda su vida.

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