81. Cardano, Gerónimo (1501-1576)

1. Algunos datos biográficos y científicos 1501. Gerónimo Cardano [= Hieronimus Cardanus = Girolamo Cardano] nació en Pavía (Italia) el 24 de septiembre. Fue hijo ilegítimo del abogado Fazio Cardano, que le inició en el estudio de las matemáticas y le permitió que estudiase medicina en la Universidad de Pavía. De allí pasó a la Universidad de Padua donde completó su formación. Por aquel entonces, Cardanus era un empedernido jugador de cartas y dados cuyos conocimientos sobre probabilidad le permitían vivir del juego. 1525. Se doctoró en medicina y solicitó su ingreso en el Colegio de Médicos de Milán. Al descubrirse que era hijo bastardo las puertas de la institución se le cerraron. 1539. Después de varias tentativas, Hieronimus fue admitido en el Colegio de Médicos de Milán. Este mismo año, Girolamo se enteró del descubrimiento de Tartaglia relativo a la resolución de la cúbica x3 + px = q, y quiso incluirlo en su obra Practica Arithmetice, & Mensurandi singularis (Milán, 1539) que estaba terminando. Practica Arithmetice es un tratado en el que, a lo largo de sesenta y ocho capítulos, se desarrollan contenidos elementales de aritmética, álgebra y geometría. Un problema de álgebra Divide 10 en dos partes tales que la diferencia de sus cuadrados sea 40. Sea 1 co. [= x] una de las partes. La otra parte es 10.m.1 co [= 10 – x]. Los cuadrados de las partes son 1 ce. [= x2] y 100. p. 1 ce. m. 20 co. [ = 100 + x2 – 20x]. Su diferencia es 40, por tanto 1 ce. p. 40. es igual a 1 ce. p. 100. m. 20 co. [x2 + 40 = x2 + 100 – 20x]. Entonces, 60 es igual a 20 co. [20x = 60] . Por tanto la cosa vale 3 [x = 3] y la otra parte 7 (…) Practica Arithmetice, cap. 65, probl. 29 Un problema de geometría práctica En este problema se calcula la profundidad de un pozo utilizando el instrumento llamado cuadrante y haciendo uso de la teoría de semejanza de triángulos. Este tipo de cuestiones solían formar parte de la mayoría de manuales renacentistas. Practica Arithmetice, cap. 67, probl. 1 Cardano propuso al librero Zuan Antonio da Bassano, amigo de ambos, que visitase a Tartaglia para que le facilitase el método de resolución. Este encuentro tuvo lugar el 2 de enero y la respuesta de Tartaglia fue negativa. Gerónimo le escribió una carta, fechada el 12 de febrero, en la que reiteró su petición. Tartaglia permaneció firme en su decisión de no comunicar su fórmula. El 13 de marzo Cardanus le remitió una nueva carta en la que le invitaba a su casa de Milán, prometiendo que le pondría en contacto con Alfonso de Ávalos, gobernador del Milanesado. Tartaglia aceptó con la esperanza de  presentar al gobernador sus recientes investigaciones en el campo de la artillería.  La reunión se celebró el 25 de marzo de 1539. En esta ocasión, Hieronimus logró su objetivo y Tartaglia le reveló sus métodos para resolver las  cúbicas x3 + px = q , x3 + q = px , x3 = px + q  (p > 0 , q > 0) [VÉASE la biografía de Nicolás Fontana (“Tartaglia)]. Girolamo juró por los Santos Evangelios que no haría públicos los descubrimientos de Nicolás. 1542. Cardano y su discípulo Ludovico Ferrari (1522-1565) viajaron a Bolonia y obtuvieron permiso de Aníbal de la Nave, yerno de Scipione del Ferro, para consultar los documentos científicos que éste había heredado de su suegro. Entre ellos encontraron la resolución de la ecuación x3 + px = q que precedía a la de Tartaglia en veinte años. Esta fue la regla que, tres años más tarde, Gerónimo incluyó en su Artis Magnae, Sive de Regulis Algebraicis [= Ars Magna]. 1545. Cardanus publicó su obra matemática más importante, Ars Magna, el primer gran tratado en latín dedicado exclusivamente al álgebra. En él se exponen los métodos de resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, se realizan cálculos con números complejos y se presenta un método para la resolución aproximada de ecuaciones de cualquier grado. Ars Magna De subtilitate 1550. Se editó De subtilitate, enciclopedia consagrada a la filosofía natural. 1564. Se publicó el Liber de ludo aleae considerado como el primer estudio sobre la teoría de probabilidad. 1570. Hieronimus fue encarcelado por hereje, dado que escribió el horóscopo de Cristo en su De astrorum iudiciis (1554) Se editó Opus novum de proportionibus numerorum en la que aparece el “triángulo aritmético” o “triángulo de Tartaglia”. 1571. Girolamo publicó su autobiografía, De vita propia. En ella leemos: Tan pocas cosas llamativas hay en mi fisonomía, que muchos pintores venidos de tierras lejanas para retratarme no hallaron en mí ningún rasgo cuya presencia en mi retrato bastara por sí sola para que me reconocieran. 1576. Cardano murió en Roma el 21 de septiembre de 1576. Se cree que se suicidó para no contradecir una previsión astrológica sobre la fecha de su muerte. 2. El álgebra del Ars Magna La cúbica x3 + px = q En el Ars Magna, Hieronimus hace un estudio exhaustivo sobre la resolución de la ecuación de tercer grado con una incógnita (véase el cuadro adjunto). ARS MAGNA CAPÍTULO TIPO DE ECUACIÓN DENOMINACIÓN XI x3 + px= q Cubo y primera potencia iguales a número XII x3 = px + q Cubo igual a primera potencia y número XIII x3 + q = px Cubo y números iguales a primera potencia XIV x3 = px2 + q Cubo igual a cuadrados y número XV x3 + px2 = q Cubo y cuadrados iguales a número XVI x3 + q = px2 Cubo y número iguales a cuadrados XVII x3 + px2 + qx = r Cubo, cuadrados y primeras potencias iguales a número XVIII x3 + qx = px2 + r Cubo y primeras potencias iguales a cuadrados y número XIX x3 + px2 = qx + r Cubo y cuadrados iguales a primeras potencias y número XX x3 = px2 + qx + r Cubo igual a cuadrados, primeras potencias y número XXI x3 + r = px2 + qx Cubo y número iguales a cuadrados y primeras potencias XXII x3 + qx + r = px2 Cubo, primeras potencias y número iguales a cuadrados XXIII x3 + px2 + r = qx Cubo, cuadrados y número iguales a primeras potencias En el capítulo once, Gerónimo ofrece su procedimiento de resolución para la cúbica x3 + px = q. El método de Cardanus  se apoya en razonamientos geométricos que se inspiran en un diagrama tridimensional como el de la figura adjunta. La simple inspección del diagrama anterior pone de manifiesto que: u3 – v3 = (u – v)3 + 3(u – v)2v + 3(u – v)v2 => u3 – v3 = (u – v)3 + 3(u – v)[(u – v)v + v2] => u3 – v3 = (u – v)3 + 3(u – v)[uv – v2 + v2] => u3 – v3 = (u – v)3 + 3uv(u – v)                  [1] Comparando la identidad [1] con la ecuación propuesta, resulta que u – v = x, siempre que: u3 – v3 = q 3uv = p A partir de estas dos igualdades se deduce que: Por tanto: La cúbica x3 + px2 + qx = r El capítulo XVII (Cubo, cuadrados y primeras potencias iguales a número) del Artis Magnae, Sive de Regulis Algebraicis contiene la resolución de la ecuación x3 + 6x2 + 20x = 100 La estrategia utilizada por Cardano consiste en transformar la ecuación dada en otra equivalente sin término cuadrático. Para ello, Hieronimus se sirve del cambio de variable: x = y – (6/3) = y – 2 Advirtamos que para el caso general, ax3 + bx2 + cx = d, el cambio adecuado sería x = y – (b/ 3a). Con esto, la cúbica x3 + 6x2 + 20x = 100 se convierte en y3 + 8y = 124          [2], ecuación de tercer grado en la incógnita y que se puede resolver utilizando el procedimiento descrito en el capítulo XI. Una vez calculados los valores de y que satisfacen la ecuación [2], los valores de x se obtienen deshaciendo el cambio de variable. La ecuación de cuarto grado En el capítulo XXXIX, Girolamo ofrece la resolución de la ecuación de cuarto grado debida a su discípulo Ludovico Ferrari. Para describir el método de Ferrari, Gerónimo resuelve un problema propuesto por Zuanne de Tonini da Coi, cuya traducción al simbolismo algebraico moderno desemboca en la ecuación: x4 + 6x2 + 36 = 60x          [3] En primer lugar, Cardanus introduce la identidad (x2 + a + b)2 = (x2 + a)2 + 2x2b + 2ab + b2 [4] Acto seguido, sumando 6x2 a los dos miembros de [3], resulta que: x4 + 6x2 + 36 + 6x2 = 60x + 6x2 => (x2 + 6)2 = 60x + 6x2 [5] Si en la identidad [4] hacemos a = 6 se obtiene: (x2 + 6 + b)2 = (x2 + 6)2 + 2x2b + 12b + b2 En consecuencia, si sumamos  2x2b + 12b + b2 a los dos miembros de [5] se tiene que: (x2 + 6)2 + 2x2b + 12b + b2 = 60x + 6x2 + 2x2b + 12b + b2 => (x2 + 6 + b)2 = (6 + 2b)x2 + 60x + (b2 + 12b)          [6] El primer miembro de [6] es un cuadrado perfecto. El segundo miembro también lo será si la ecuación (6 + 2b)x2 + 60x + (b2 + 12b)= 0 tiene una raíz doble. Para ello su discriminante debe ser cero. Es decir: 602 – 4(6 + 2b)(b2 + 12b) = 0  =>  602 = 4(6 + 2b)(b2 + 12b)  => (6 + 2b)(b2 + 12b) = 302 =>  2b3 + 30b2 + 72b = 900  =>  b3 + 15b2 + 36b = 450 La última ecuación es de tercer grado en la incógnita b y se puede resolver por el método explicado en el capítulo XVII (Cubo, cuadrados y primeras potencias iguales a número) del Ars Magna. Una vez determinado el valor de b para el cual el segundo miembro de [6] es el cuadrado de un binomio, se puede extraer la raíz cuadrada de los dos miembros de [6] obteniéndose una ecuación de segundo grado en x. Por consiguiente, la ecuación x4 + 6x2 + 36 = 60x está resuelta. Resolución aproximada de ecuaciones En el capítulo XXX de su Ars Magna, Cardano ofrece una regla (regula aurea) para el cálculo aproximado de las raíces de una ecuación polinómica con coeficientes enteros. En primera instancia, Gerónimo describe verbalmente la regla y, acto seguido (sin justificación alguna), la aplica a las ecuaciones: x4 + 3x3 = 100  ,  x2 + 20 = 10x  ,  x3 = 6x + 20  y  x4 + 6x2 + 200 = 10x3 + 12x Presentamos la adaptación del texto de Cardanus concerniente al cálculo de una raíz aproximada de la ecuación x4 + 3x3 = 100. Sea la ecuación x4 + 3x3 = 100. Sea f(x) = x4 + 3x3. Si x = x1 = 2 [= primera aproximación], entonces f(x1) = f(2) = 40 [= primer producto]. Si x = x2 = 3 [= segunda aproximación], entonces f(x2) = f(3) = 162 [ = segundo producto]. Con esto: f(x2) – f(x1) = 162 – 40 = 122 [= diferencia mayor] 100 – f(x1) = 100 – 40= 60 [= primera diferencia] f(x2) – 100 = 162 – 100 = 62 [= segunda diferencia] Llegados a este punto, Hieronimus llama solución imperfecta de la ecuación propuesta a . Sustituyendo este valor numérico en el primer miembro de dicha ecuación se obtiene un valor aproximadamente igual a 85. Restando 85 de 162 [= segundo producto] se obtiene  77. Restando 152/61 de 3 [= segunda aproximación] queda 31/61. Multiplicando 31/61 por 62 [= segunda diferencia] se obtiene 1922/61. Dividiendo el producto obtenido por 77 resulta 1922/4697. Restando el cociente obtenido de 3 [= segunda aproximación] queda 12169/4697 = 2,5908…, que, según Gerónimo,  es una buena aproximación de la solución de la ecuación x4 + 3x3 = 100. Cardano concluye advirtiendo que si se repite el mismo proceso todavía se puede aproximar mejor el valor de la incógnita. 3. Cardano y la Matemática Recreativa El juego de los anillos chinos o Baguenaudier El juego de los anillos chinos, conocido también como baguenaudier, es un juego mecánico construido con un número determinado de  anillas del mismo tamaño montadas sobre una horquilla y ligadas entre sí por unos hilos (alambres, varillas, etc.), tal como se indica en la figura adjunta. El primer testimonio que existe en Europa sobre los anillos chinos se encuentra en el manuscrito De Viribus Quantitatis, escrito por Luca Pacioli (1445-1517) entre 1496 y 1508. Unos años más tarde, Cardano se ocupó  del baguenaudier en el libro XV de su obra De subtilitate (1550). Por este motivo, el rompecabezas chino también se conoce con el nombre de Anillos de Cardano. Trasvases Practica Arithmetice, cap. 65, probl. 33 El problema propuesto por Hieronimus se puede formular en los siguientes términos: Una vasija llena contiene 8 onzas de bálsamo. ¿Cómo pueden dividirse las 8 onzas en dos partes iguales utilizando dos vasijas de 3 y 5 onzas, respectivamente? En esencia, la solución de Girolamo es la que se muestra en el cuadro siguiente: Los maridos celosos Practica Arithmetice, cap. 66, probl. 73 Entre los problemas de traslados dificultosos, el de los maridos celosos fue tratado por Tartaglia, por  Claude Gaspar Bachet de Meziriac (1581-1638) y por otros autores. Tres hermosas mujeres estaban casadas con tres hombres jóvenes, guapos y galantes, pero también celosos. Un día, mientras daban un paseo, llegaron a la orilla de un río. Para cruzarlo disponían de un bote cuya capacidad máxima era para dos personas. ¿Cómo lograron cruzar el río, si ninguna mujer podía quedar en compañía de ningún hombre a menos que su marido estuviera presente? Cardano lo incluyó en su Practica Arithmetice y su resolución se esquematiza en el diagrama adjunto donde se designa por M1, M2 y M3 a cada uno de los maridos y por E1, E2 y E3 a sus respectivas esposas. Cuadrados mágicos Se llama cuadrado mágico de orden n a un cuadrado formado por n2 números naturales diferentes tales que los n números de cada fila, columna o diagonal, tienen la misma suma a la que se llama constante mágica del cuadrado. Un cuadrado mágico de orden n se llama normal si los números que lo forman son los n2 primeros números naturales. A lo largo de la historia los cuadrados mágicos han atraído a un gran número de matemáticos eminentes tales como Thabit ibn Qurra (s. IX), Michael Stifel (ca. 1486-1567), Pierre de Fermat (1601-1665) y Leonhard Euler (1707-1783). Gerónimo tampoco pudo sustraerse a esta atracción y, en el capítulo 42 de su Practica Arithmetice, presentó siete cuadrados mágicos normales asociados a algunos cuerpos celestes (Luna, Mercurio, Júpiter, Sol, Saturno, Venus y Marte). Las constantes mágicas de los cuadrados asociados a la Luna, Mercurio, Júpiter, Sol, Venus y Marte son, respectivamente, 15, 34, 260, 111, 369, 65 y 175. Hagamos notar que la primera fila del cuadrado mágico de Saturno debe ser 37, 78, 29, 70, 21, 62, 13, 54, 5. Practica Arithmetice,cap. 42 Referencias bibliográficas CARDANO, G. (1991). Mi vida. Madrid: Alianza Editorial. CARDANO, G. (1993). Ars Magna or the rules of Algebra (Translated by T. Richard Witmer). New York: Dover. GRINSTEAD, C. M. & SNELL, J. L. (1997). Introduction to Probability. American Mathematical Society. LORIA, G. (1982). Storia delle matematiche dall’alba della civiltà al tramonto del secolo XIX. Milán: Cisalpino-Goliardica. MARTÍN CASALDERREY, F. (2000). Cardano y Tartaglia. Las matemáticas en el Renacimiento italiano. Madrid: Nívola libros y ediciones, S. L. MEAVILLA SEGUÍ, V. (2005). La historia de las Matemáticas como recurso didáctico: ideas, sugerencias y materiales para la clase. Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM). RODRÍGUEZ VIDAL, R. y RODRÍGUEZ RIGUAL, M. C. (1986). Cuentos y cuentas de los matemáticos. Barcelona: Editorial Reverté, S. A. STRUIK, D. J. (1986). A Source Book in Mathematics, 1200-1800. Princeton: Princeton University Press. VAN DER WAENDER, L. B. (1985). A history of Algebra. From al-Khwarismi to Emmy Noether. Berlín: Springer-Verlag. Referencias on-line De subtilitate http://nausikaa2.mpiwg-berlin.mpg.de/cgi-bin/toc/toc.x.cgi?dir=carda_subti_016_la_1663&step=thumb Opus novum de proportionibus numerorum http://archimedes.mpiwg-berlin.mpg.de/cgi-bin/toc/toc.cgi?dir=carda_propo_015_la_1570;step=thumb Practica Arithmetice http://www.cervantesvirtual.com/servlet/SirveObras/03693958677926017654480/index.htm http://fondosdigitales.us.es/books/search/digitalbook_view?oid_page=2587

Miércoles, 10 de Junio de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

82. Eratóstenes de Cirene (276-194 a.n.e.)

Eratóstenes nació en Cirene, ahora llamada Shahat en el Norte de Africa, en Libia. Estudió luego en Atenas lo que sería un antiguo equivalente a una formación universitaria. Cuando tendría unos treinta años fue llamado a Alejandría por el rey Ptolomeo III Evergertes, probablemente por recomendación del poeta Calimaco, también natural de Cirene, que trabajaba en la Biblioteca. Fue tutor del príncipe heredero, el futuro Ptolomeo IV Philopator y mantuvo siempre una cercana relación con la casa real. Alrededor del 235 aC, fue nombrado bibliotecario de la gran Biblioteca del Museo, donde permaneció unos 45 años hasta su muerte. La Biblioteca de Alejandría había sido planeada por Ptolomeo I Soter y llevada a cabo por su hijo Ptolomeo II Philadelfo. El Museo era un lugar donde florecía una actividad intelectual, poética, musical o científica. El nombre viene porque las hijas de Zeus, las nueve musas, siendo al principio fuentes de inspiración de los poetas épicos, después lo fueron de todos los poetas y los músicos y finalmente de todos los hombres de letras, filósofos y científicos. Anteriormente, el mismo Platón en su Academia o Aristóteles después en su Liceo tenían unos jardines con un pequeño templo para el culto de las musas, el Museo. Eratóstenes fue uno de los más notables eruditos de su tiempo, con actividades intelectuales muy variadas. Trabajó en geografía, astronomía, matemáticas, filosofía, cronología, gramática, crítica literaria y también fue poeta. Sus compañeros le llamaban el “pentalos”, el atleta capaz de tomar parte en cinco pruebas distintas. Probablemente porque trabajó en tantos campos, se le llamada también el “beta”, lo cuál se puede interpretar como que una persona que ocupa su tiempo en demasiadas cosas no puede ser excelente en cada una de ellas. Sin embargo fue un estudioso realmente brillante y uno de los grandes sabios de la antigüedad. Arquímedes, aunque pasó la mayor parte de su vida en su ciudad de Siracusa, parece ser que estudió de joven en Alejandría, donde conoció e hizo amistad con Eratóstenes. Arquímedes le dedicó después su libro “El Método” y le mandó el llamado problema bovinum o problema de los bueyes, para que lo transmitiera y diera a conocer a los matemáticos alejandrinos. Desafortunadamente no nos ha llegado ningún texto intacto de Eratóstenes. Conocemos su obra por la multitud de fragmentos diseminados en las obras de autores posteriores. En sus últimos años, cuando era ya octogenario, se dice que se volvió ciego y que murió por suicidio dejando de comer.

Martes, 18 de Noviembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más

83. Euclides de Alejandría (300 a.n.e.)

Euclides ha sido el matemático griego clásico por antonomasia y su nombre aún es, quizá, el más popular en la larga y poblada historia de las matemáticas. Pero nadie ha sabido resumir mejor que E. M. Forster la ocultación de su persona bajo el personaje: «Nada sabemos de él. A decir verdad, hoy lo consideramos como una rama del saber más que como hombre» (Alejandría. Sección I, E, [i]. Barcelona, Seix Barral, 1984; p.64). Euclides pasa por ser, en dos palabras, la geometría: la geometría clásica griega, en términos más precisos. Es una identificación que debe a sus Elementos, la obra más editada nunca tras la Biblia según quienes llevan estas cuentas. Luego veremos que ni Euclides, ni los Elementos son sólo geometría. En todo caso, entre los polígrafos antiguos, Euclides ya daba nombre a esta disciplina y él mismo pasaba a ser conocido por el mero apodo de “el elementador (el autor de los Elementos)”. Bueno, si oyen de alguien que haya desaparecido, soterrado bajo el peso del éxito de su propio best-seller, piensen en Euclides. La referencias más dignas de crédito lo sitúan, en el tiempo, entre la generación de los discípulos directos de Platón (muerto en 347) y la de Arquímedes (nacido hacia 287); en el espacio, cerca del rey Tolomeo I Sóter –del que era “comensal [parásitos]”, escribe Ateneo (s. II d.n.e.)–, en Alejandría, donde al parecer creó escuela. Según Proclo: «No mucho más joven [que Hermótimo de Colofón y Filipo de Medma, discípulos de Platón] es Euclides, quien compiló los elementos poniendo en orden varios teoremas de Eudoxo, perfeccionando muchos resultados de Teeteto y dando así mismo pruebas incontestables de aquello que sus predecesores sólo habían probado con escaso rigor. Vivió en tiempos del primer Tolomeo, pues Arquímedes, que vino inmediatamente después, menciona a Euclides» (In I Euclidis Elementorum librum commentarii, 68.6-14).

Miércoles, 19 de Noviembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más

84. Eudoxo de Cnido (en torno a 400-347 a.n.e.)

Fue el matemático griego más notable del s. IV a.n.e. No sólo fundó la astronomía matemática, sino que contribuyó decisivamente a la teoría de la proporción y al método de “convergencia” (o, peor llamado, de “exhausción”). Nació en Cnido -en la península hoy de Reşadiye, Turquía- en un medio familiar relacionado tal vez con la medicina: al menos, fueron médicos quienes tutelaron sus primeros viajes. Pertenece a la saga de los antiguos sabios viajeros, no siempre fiable a propósito de viajes concretos, pero reveladora de la transmisión y comunicación de conocimientos por el Mediterráneo desde las costas orientales y Egipto hasta la Magna Grecia. Según esta tradición, Eudoxo estudió matemáticas con Arquitas, en Tarento, y medicina con Filistio en Sicilia. Luego visitó Atenas y pudo asistir a la recién creada Academia de Platón. Tras una breve estancia en Atenas, volvió a su ciudad natal, y desde allí, provisto de una carta de presentación ante el faraón Nectanebo I, partió hacia Egipto para estudiar durante más de un año astronomía con los sacerdotes de Heliópolis, al tiempo que iniciaba sus propias observaciones astronómicas en un observatorio relativamente cercano. Él mismo, al parecer, llegó a disponer más tarde de un observatorio en Cnido desde el que pudo observar la estrella Canopea. Tiene acreditados dos títulos, Espejo y Fenómenos, quizá referidos a dos versiones de una obra que, según Hiparco, describía las constelaciones y procuraba fijar las bases de un calendario astronómico, así como un tercero, Sobre velocidades, que da nombre a un tratado astronómico-geométrico. También se le atribuye, sin mucho fundamento, otro libro calendárico sobre el ciclo de 8 años, Octaeteride, e incluso la invención de un astrolabio. Lo cierto es que el Arte de Eudoxo, un tratado en papiro de confección muy posterior, recoge informaciones de este género que pueden proceder en buena parte de algunos escritos suyos hoy perdidos.

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85. Euler, Leonhard (1707-1783)

“Leed a Euler, es el maestro de todos nosotros”, Pierre Simón de Laplace. En el 2007 se cumplen 300 años del nacimiento del matemático más prolífico de toda la historia. A lo largo de su dilatada vida científica amplió las fronteras de las matemáticas en todas sus ramas, y no sólo las fronteras de las matemáticas, su actividad creadora se extiende por la casi totalidad de las ciencias. Su influencia impregna todas las materias científicas a lo largo del siglo XVIII. Sin su figura las matemáticas serían otras. Sin embargo, Euler es aún un genio por descubrir. Este es un pequeño homenaje a su amor por las matemáticas y a su enorme creatividad. Leonhard Euler nació en Basilea el 15 de abril de 1707, su padre Paulus Euler, pastor calvinista, quería que Leonhard, siguiera sus pasos en los estudios teológicos, así que lo inscribió en la universidad de Basilea para cursar estudios de teología, humanidades clásicas y lenguas orientales, pero la vocación de Euler se enfocaba hacia las matemáticas. Tanto que consiguió recibir unas clases particulares especiales del propio Johann Bernoulli, quien reconoció desde el principio el talento del joven Euler y debió mediar ante su padre para que estudiase una carrera de carácter científico en lugar de teología. El propio Euler lo cuenta en su autobiografía: “Pronto tuve la oportunidad de ser presentado al famoso profesor Johann Bernoulli. Estaba realmente muy ocupado, y así rehusó de plano darme lecciones particulares, pero me dio en cambio consejos mucho más valiosos para comenzar a leer por mi propia cuenta libros de matemáticas más difíciles y estudiarlos con toda la diligencia que pudiera. Si me encontraba con algún obstáculo o dificultad tenía permiso para visitarle con plena libertad todos los sábados por la tarde...” Así Euler acabó estudiando medicina, astronomía y filosofía natural. Comenzó a publicar con tan solo 19 años; su primera memoria Constructio lincarum isochronarum in medio quocunque resistente impresionó a Johann Bernoulli. Quizás animado por él, Euler, que no había visto un barco de vela en su vida, presentó a la Academia de París, con tan solo veinte años, una memoria sobre la distribución óptima de mástiles y velas en los barcos. En estos escritos ya se vislumbra  la manera  original y creativa, que tenía Euler,  para  resolver  cuestiones y problemas científicos. En esta ocasión no obtuvo el premio que concedía la Academia, tan sólo una mención honorífica. Pero la Academia acabaría rendida a los méritos de Leonhard concediéndole hasta doce premios a lo largo de su vida. En 1727, recién cumplidos los 20, Euler opta a la cátedra de filosofía natural de la universidad de Basilea, con un trabajo sobre el sonido, Dissertatio physica de sono, pero es rechazado por su juventud.

Miércoles, 19 de Noviembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más

86. Everest Boole, Mary (1832-1916)

Mary Everest Boole nació en Inglaterra en 1832, hija del reverendo Thomas Roupell Everest y de Mary Ryall. Cuando Mary tenía cinco años, la familia se mudó a Poissy (Francia) para que Samuel Hahnemann, el fundador de la medicina homeopática, tratase a Thomas de una grave enfermedad. Aunque el crecer en Poissy le dio a Mary la oportunidad de ponerse en contacto con una cultura e idioma diferentes, su vida resultaba a veces difícil y solitaria. Por ejemplo, era duro para la familia Everest, que provenía de la tradición de un reverendo inglés, vivir en un pueblo católico francés. El primer idioma que aprendió Mary fue el francés y luego dominó el inglés. El Dr. Everest creía fervientemente en la homeopatía, un sistema médico cuyo objetivo era promover la salud y prevenir la enfermedad. Algunos clientes de la homeopatía eran extremistas y llegaban a darse baños en agua congelada para aumentar la resistencia a las enfermedades. Fue durante el proceso de curación del Dr. Everest cuando Mary estuvo muy cerca de él, participando incluso en alguno de los tratamientos homeopáticos. Fue el tío de Mary, George Everest, quien hizo famoso el nombre de la familia. El Coronel Sir George Everest era el Topógrafo General de India y pasó veinte años en este país. Era el responsable de completar la medición trigonométrica de India a lo largo del arco meridiano desde el sur de India hasta el norte de Nepal. El finalizar la medición de India permitió la posterior medición del Monte Everest (en ese tiempo sin nombre propio) y calcular la altura de su cima. Más tarde se le llamó Monte Everest en honor a George Everest. Mary y su tío George estaban muy unidos y George había pensado incluso adoptarla, pero Mary amaba demasiado a sus padres como para admitir la adopción.

Jueves, 20 de Noviembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más

87. Fermat, Pierre de (1601-1665)

[17 de agosto de 1601, Beaumont-de-Lomagne (Tarn et Garonne). 12 de enero de 1665, Castres (Tarn).] Fermat nació el mismo año que el siglo XVII y aunque sus contribuciones matemáticas nunca fueron publicadas en vida, fueron de tal calidad  que la relativamente modesta difusión que tuvieron entre la comunidad científica europea fue suficiente como para que su siglo le recuerde como uno de sus mejores hijos. Y eso que el diecisiete fue un siglo pródigo en matemáticos/científicos de primera fila: Descartes, Leibniz, Newton, Jacobo y Juan Bernoulli, Huygens, Galileo, Torricelli, Cavalieri, Wallis, etc. La lista se haría interminable. Y, como es lógico, tanta materia gris no podía dejar de producir  matemáticas de primera calidad. Tanta, que la producción del diecisiete marcaría un antes y un después. En el diecisiete la matemática se empezó a consolidar como una ciencia independiente, más o menos en las líneas que hoy la conocemos. Fermat contribuyó decisivamente a ello. Además del álgebra, la geometría analítica y el cálculo, otras ramas de la matemática empezaron a cultivarse en ese siglo: por ejemplo, la teoría de números (en el sentido moderno) y el cálculo de probabilidades. En esas dos ramas, Fermat tuvo algo que decir. En teoría de números, mucho. Hay quien le considera el padre de la teoría de números moderna. En ese terreno, su famoso Gran Teorema (o Último Teorema como los anglosajones le llaman) le ha dado la fama universal de la cual era mucho más merecedor por sus contribuciones al álgebra, a la geometría y al cálculo. Fermat nació cerca de Toulouse, en un pueblo llamado Beaumont-de-Lomagne (entonces parte de la Gascoña y hoy en el departamento de Tarn et Garonne). Vivió en Toulouse y murió también muy cerca, en Castres (Tarn). Durante toda su vida casi no se movió de la región. Su familia tenía una buena posición económica y social. Su padre era un rico comerciante y su madre pertenecía a una familia de la nobleza local. Tuvo un hermano y dos hermanas. Fermat, probablemente, se crió en su pueblo natal y fue educado en un cercano monasterio franciscano hasta que ingresó en la Universidad de Toulouse. Sin que se sepa la razón, interrumpió sus estudios en Toulouse y, durante unos años, vivió en Burdeos, donde contactó con algunos matemáticos que conocían bien la herencia de Vieta: Beaugrand, d’Espagnet… Ahí se formó en el álgebra y el simbolismo de Vieta que tan útiles le serían más adelante. De esos años data su primera producción matemática: la restitución del libro perdido de las Cónicas de Apolonio: Plane Loci y los primeros trabajos sobre máximos y mínimos. Después de la etapa en Burdeos reingresó en la universidad, esta vez en Orléans, donde obtuvo su título en Leyes hacia 1631, año en que se instala en Toulouse en calidad de consejero del Parlamento de Toulouse. Ese mismo año se casa con una prima lejana, Louise de Long, que pertenece a la familia de alcurnia de su madre ligada a la noblesse de robe. Fermat añade el “de” a su apellido. El matrimonio Fermat tuvo cinco hijos, dos varones y tres hembras. El hijo mayor, Clément-Samuel heredaría el interés de su progenitor por las matemáticas, aunque no su genialidad. A Clément-Samuel le debemos la edición y publicación  de las obras completas de su padre en 1679. La vida de Fermat transcurre de una manera muy tranquila en Toulouse; profesionalmente va obteniendo promociones de manera que ingresa en la cámara alta del parlamento de Toulouse en 1638 y accede a la corte suprema en 1652. En esa época va regularmente a Castres a ejercer de magistrado. Castres, en el siglo XVII albergó uno de los tribunales establecidos por el Edicto de Nantes para dar un tratamiento justo a los hugonotes en sus litigios. Estos tribunales tenían un determinado número de magistrados católicos y protestantes. Fermat ocupó en diversas ocasiones una plaza del cupo católico. De hecho murió en Castres pocos días después de terminar de juzgar un caso. En Toulouse reanudó sus contactos con personajes ligados a la matemática. Uno de los más relevantes para el futuro de Fermat fue Monsieur de Carcavi, colega suyo en el parlamento pero también matemático aficionado. Carcavi se trasladó a Paris en 1636 donde contactó con el Padre Mersenne, el personaje que, mediante su abundante correspondencia haría  las veces de centro difusor de la ciencia en la Francia del XVII. Mersenne se interesó inmediatamente en los trabajos de Fermat gracias a la descripción que le hizo Carcavi de estos y empezó a cartearse con él. Inicialmente el interés de Mersenne se centró en algunos comentarios de Fermat sobre la caída libre de graves, tema en el que Fermat objetaba a la descripción de Galileo. Rápidamente Fermat informó a Mersenne sobre su trabajo sobre espirales (motivado por sus estudios sobre caída libre) y sobre su restitución del libro perdido de Apolonio. También en esa época Fermat anuncia a Mersenne que está en posesión de “diversos análisis para diversos problemas tanto numéricos como geométricos para cuya solución el análisis de Vieta es insuficiente.” De hecho, a principios de 1636 Fermat había concluido su Ad locos planos et solidos isagoge [Introducción a los lugares planos y sólidos], donde mediante el lenguaje algebraico de Vieta estudia las curvas que se pueden expresar mediante ecuaciones de primero y segundo grado y establece que son precisamente la recta y las cónicas. También establece que, en general, una curva tiene una ecuación y que una ecuación algebraica representa siempre una curva. Por esa razón se atribuye a Fermat una cierta prioridad sobre la creación de la Geometría Analítica frente a Descartes que publicó su Geometria en 1637. En el mismo cruce de cartas con Mersenne, Fermat no puede resistir la tentación de incluir un par de problemas sobre máximos y mínimos para que Mersenne los divulgue a modo de desafío entre la comunidad matemática. Fermat dispone de su Methodus ad disquirendam maximam et minimam et de tangentibus linearum curvarum [Método para determinar máximos y mínimos y trazar tangentes a líneas curvas], que le permite resolver este tipos de problemas de manera muy general. Su enfoque se basa en dos hechos: 1) en un máximo o mínimo la tangente a la curva es paralela al eje de abscisas (en lenguaje actual) y en consecuencia el valor de la función en ese punto ha de ser único (con relación a sus vecinos); 2) los valores cercanos al extremo han de ser alcanzados como mínimo dos veces por la función, un poco antes del extremo y un poco después. Comparando pues el valor de la función en el extremo, f(a), con un valor muy cercano, f(a+e), donde e es una cantidad muy pequeña, esos valores han de ser prácticamente iguales, se pueden adigualar, en lenguaje de Fermat. De ese proceso de adigualación se obtiene una ecuación que, una vez eliminado el valor e por ser despreciable, permite calcular a. De hecho Fermat llega a la ecuación que hoy en día escribimos como f’(x)=0. Por eso se le considera también precursor del cálculo diferencial aunque su proceso de adigualación está lejos de las ideas de límite que más tarde entraran en escena. Obviamente Fermat solo trata este tipo de problemas en funciones algebraicas. Los problemas de máximos y mínimos que Fermat ha planteado a Mersenne son de  tal dificultad que Mersenne pide a Fermat la divulgación de sus métodos. De esta manera los escritos de Fermat sobre el tema, antes mencionados, empiezan a circular estableciendo al  mismo tiempo su reputación como matemático de primera fila. Roberval, Mersenne y otros matemáticos de la época le instan a que publique sus resultados, a lo cual Fermat se niega. De hecho, en vida sólo publicó un trabajo y hubo que esperar a 1679 a que su hijo mayor publicase su obra. No está clara la razón de la negativa de Fermat a publicar. Por un lado Fermat se consideraba sólo un aficionado dado que no se dedicaba por entero a la matemática. Y por otro lado, Fermat era consciente de que para publicar sus resultados, debería ser mucho más claro y didáctico en sus explicaciones, lo que le acarrearía mucho trabajo adicional y consumiría una parte importante del tiempo que podía dedicar a la investigación. Aunque su fama crece en Europa, no todo es de color de rosa. A principios de 1637, su amigo Beaugrand le manda una copia del manuscrito (aún no publicado) de la Dióptrica de Descartes. Fermat, enfrascado en una intensa correspondencia con Roberval y Étienne Pascal sobre métodos de cuadratura y su aplicación a la determinación de centros de gravedad, le presta poca atención hasta que Mersenne, preocupado por la indiscreción de Beaugrand (quien había obtenido la copia de manera poco ortodoxa), le pide que no divulgue a nadie más que a él mismo sus comentarios sobre el trabajo de Descartes. Fermat contesta a Mersenne de una manera bastante ingenua (no conocía a Descartes ni sabía nada del Discurso del Método ni del mal carácter del filósofo) señalando errores en la deducción de la ley de la reflexión y de la refracción y calificando la obra en general como un simple intento de hallar la verdad “a tientas entre las tinieblas”. Se ofrece incluso para echar una mano en la clarificación de algunos problemas. Mersenne, consciente de la delicada situación, guardó la carta de Fermat durante unos meses hasta que, ante la insistencia de Descartes para que le comunicase cualquier crítica a la Dióptrica, se la mandó. La reacción de Descartes a la crítica de Fermat fue, al principio paternalista. Fermat no había entendido sus métodos. Mientras tanto, Fermat había obtenido una copia de la Geometria y se apresuró a mandar a Mersenne sus trabajos sobre el tema, para demostrar al menos la independencia de sus descubrimientos. Mersenne, mostrando nuevamente poco tacto, le envía esos trabajos a Descartes quien enfurece y emprende un ataque sin cuartel contra el “aficionado de Toulouse.” La controversia se extiende al método de trazado de tangentes y el método para hallar máximos y mínimos. Después de un sinfín de cartas (aderezadas con el poco tacto de Mersenne) Descartes termina por retar a Fermat a usar su método para trazar las tangentes a una curva de su invención, el folio, con una ecuación implícita de tercer grado, x3+y3=pxy. La respuesta de Fermat con el cálculo de las tangentes al folio obliga a Descartes a admitir que el método de Fermat es superior al suyo y, a regañadientes, le  reconoce una cierta talla intelectual aunque le sigue atacando en privado. La irritación que Fermat producía en Descartes queda muy bien reflejada en una frase de este último: “Fermat es gascón. Yo no.” Durante los últimos años de la década de los 30 y los primeros de la década de los 40, Fermat sigue trabajando en su método de máximos y mínimos aplicándolo a varios problemas diferentes y también intenta generalizar, sin mucho éxito, su geometría analítica a tres dimensiones. Su Isagoge ad locos ad superficiem de 1643 recoge sus ideas al respecto. Del mismo año, 1643, data su famosa carta a Brûlart, donde Fermat resumiría de manera bastante clara su método para determinar máximos y mínimos y su cálculo de tangentes. La década 1645-1655 fue una década dura para Francia, sacudida por la guerra civil y por una epidemia de plaga que en 1651 estuvo a punto de costar la vida a Fermat. De hecho Fermat fue dado por muerto por algunos de sus colegas. En ese período, Fermat produce poco y  mantiene poca correspondencia. No es hasta 1655 que Fermat recupera el ritmo de trabajo. De finales de los años 50 datan algunos de los trabajos más importantes de Fermat, en parte recopilaciones de trabajos anteriores, en parte nuevas ideas. De esa época son su Tratado de cuadraturas y su Tratado sobre rectificación de curvas y su famosa demostración de la ley de refracción basada en su principio del tiempo mínimo, expresado como una ley natural: “la naturaleza siempre actúa por el camino más corto”. Pero el tema que ha de dar a Fermat fama universal es  la teoría de números. Su interés por los números enteros y sus maravillosas propiedades había empezado en la década de los 1630 cuando Fermat leyó la traducción de Bachet de la Aritmética de Diofanto. En el estrecho margen justo al lado del problema 8 del libro II: “Dado un número que sea un cuadrado, descomponerlo como suma de otros dos números cuadrados”,  Fermat escribió su famosa conjetura: la ecuación xn + yn = zn no tiene soluciones enteras positivas para n>2. En sus propias palabras: ... [E]s imposible que un cubo se pueda expresar como una suma de dos cubos o que una potencia cuarta se escriba como una suma de potencias cuartas o, en general, que un número que sea una potencia de grado mayor que dos se pueda descomponer como suma de dos potencias del mismo grado. He encontrado una demostración verdaderamente maravillosa de este resultado pero este margen es demasiado estrecho para contenerla. La creencia actual es que Fermat  había demostrado el teorema para n=4 (y quizás también para n=3) y creía que podía generalizar su demostración para cualquier valor de n. La demostración del caso n=4 utilizaba otro gran descubrimiento de Fermat, el método de descenso infinito. Esencialmente el método consiste en demostrar la imposibilidad de una proposición que depende de un entero positivo n, probando que si hubiese algún valor estrictamente positivo que hiciese verdadera la proposición, existiría otro valor también estrictamente positivo que la haría verdadera pero estrictamente inferior al anterior. El Gran Teorema de Fermat para el caso  n=3 fue demostrado 100 años más tarde por Euler, también con la ayuda del método del descenso infinito. El siglo XIX vio la demostración de algunos casos particulares más a cargo de grandes matemáticos como Lejeune-Dirichlet, Legendre, Lamé y Sophie Germain. No sabremos nunca si Fermat realmente disponía de una demostración maravillosa para cualquier valor de n. Pero en cualquier caso, el reto de demostrar el Gran Teorema de Fermat había empezado con aquella nota garabateada en el margen de un libro. La aventura terminaría 350 años más tarde cuando, en 1994, Andrew Wiles publicó la demostración del Gran Teorema de Fermat. Por el camino habían pasado una legión de matemáticos de todas las categorías y especialidades (sería difícil hallar un matemático que en algún momento de su vida no haya dado alguna vuelta al teorema). Los intentos de demostración aportarían también grandes contribuciones a las matemáticas (la teoría de ideales de Kummer por citar sólo un ejemplo). Antes de la demostración de Wiles, Gerd Faltings había conseguido (en 1983) un resultado que acotaba totalmente las soluciones de la ecuación de Fermat. Faltings demostró que para cada valor de n, la ecuación xn+yn=zn tiene, a lo sumo, un número finito de soluciones enteras (de hecho Faltings demostró lo que se conocía como la Conjetura de Mordell sobre curvas algebraicas que implicaba el Gran Teorema de Fermat). La demostración de Wiles, sin embargo, no sigue el camino que había iniciado Faltings sino que da una enorme vuelta. Se basa en la conjetura Taniyama-Shimura (de hecho Wiles se limita a demostrar esta conjetura) que relaciona de manera espectacular dos campos de las matemáticas completamente alejados el uno del otro: la teoría de formas modulares y las curvas elípticas. Para conocer más a fondo la apasionante historia del Gran Teorema, los libros de RIBENBOIM [7] y SINGH [8] y constituyen una lectura amena al alcance de todos. Para una historia mucho más técnica, se pueden consultar el artículo de COX [17] o el libro de EDWARDS [4]. El enorme interés de Fermat por los números enteros era una novedad en la Europa del siglo XVII. Nadie tenía demasiado interés en perder el tiempo explorando propiedades de números enteros que no tenían ninguna aplicación directa. Sólo un par de problemas clásicos atraían la atención de los matemáticos de la época: el estudio de números perfectos (aquellos que son iguales a la suma de sus divisores, exceptuando ellos mismos) y la caracterización de las ternas pitagóricas (tripletes de números enteros (x,y,z) que satisfacen el teorema de Pitágoras x2+y2 = z2). Como consecuencia del interés de Fermat en el primero de esos problemas, Fermat descubrió el que se conoce hoy en día como el Pequeño Teorema de Fermat, una verdadera joya en teoría de números. En términos modernos dice que si p es un número primo y a es primo con p, entonces ap≡a (mod p). No deja de ser paradójico que Fermat sea recordado por su Gran Teorema, en gran parte estéril porque ningún resultado importante se deduce de él, y no por su Pequeño Teorema que es crucial en álgebra y en la teoría de números moderna y sus aplicaciones, como es por ejemplo, la moderna criptografía, base de la seguridad de las transmisiones en Internet. El segundo problema, la caracterización de las ternas pitagóricas, conduce a Fermat a su interés por las descomposiciones de potencias y problemas como la descomposición de los primos de la forma 4n+1 como suma de dos cuadrados (de manera única), la descomposición de un entero positivo como suma de cuatro cuadrados y la resolución de diferentes ecuaciones diofánticas de segundo grado. La más famosa es la ecuación diofántica conocida como ecuación de Pell o ecuación de Pell-Fermat. Se trata de la ecuación x2-Ny2=1, donde N no es un cuadrado perfecto. Excluyendo la solución trivial (1,0), Fermat conjeturó la existencia de infinitas soluciones enteras positivas para cualquier valor de N (no cuadrado perfecto) y retó a los matemáticos europeos a demostrarlo. El problema fue parcialmente solucionado por Wallis y Brouncker  mediante el desarrollo en fracción continua de √N. Sería completamente solucionado por Lagrange en 1771. El libro de Barbeau [3] es una excelente referencia para este tema. Fermat es famoso también por los números primos que llevan su nombre, los de la forma 2²n + 1. Los primeros números de esta forma: 3, 5, 17, 257, 655537, son primos. El siguiente es ya un número respetable, 4 294 967 297 y no es fácil, usando sólo lápiz y papel, averiguar si es primo o no. De hecho, Fermat no tuvo suficiente paciencia para comprobarlo. Si la hubiera tenido hubiese obtenido (como más tarde hizo Euler) que 4294967297= 641 · 6700417. Sin embargo tuvo la osadía de conjeturar que todos los números de la forma 2²n + 1 eran primos. Esta conjetura le tuvo en jaque toda su vida, ya que en varias ocasiones se lamentó de no haber podido obtener su demostración. Vale la pena comentar que no se han hallado otros primos de Fermat además de los cinco primeros y aún no se ha demostrado que existan más. Los últimos años de Fermat aún ven la luz de otra contribución importante: el cálculo de probabilidades. El joven Blaise Pascal, hijo de Étienne con quien Fermat había correspondido a través de Mersenne, le propone a Fermat un problema sobre la repartición justa de las apuestas si una serie de partidas se interrumpen antes de llegar al final acordado. Concretamente, ¿cómo hay que repartir una apuesta de 64 monedas para el primero de dos jugadores que gane 3 partidas si el juego se interrumpe antes de que nadie haya ganado? (Se supone que ambos jugadores tienen, en cada partida, las mismas oportunidades de ganar). Pascal y Fermat intercambian una serie de cartas sobre el tema que puede considerarse como el inicio del moderno cálculo de probabilidades. Los dos llegan al mismo resultado por caminos diferentes: Pascal intuye el resultado mediante una recurrencia, pero se ve obligado a utilizar el cálculo combinatorio y el uso de su Triángulo Aritmético (Triángulo de Pascal) para demostrarlo mientras que Fermat usa directamente el cálculo combinatorio. Hacia 1660, la salud de Fermat empieza a flaquear. Por motivos de salud, tiene que posponer un encuentro con Blaise Pascal quien también se encuentra enfermo (de hecho muere dos años más tarde). Su actividad matemática decae casi completamente y en enero de 1665 muere en la ciudad de Castres donde pocos días antes ha asistido a la sesión del tribunal del Edicto. Eric T. Bell, en sus famosas biografías de matemáticos [Men of Mathematics, Simon and Schuster, Nueva York,1965 (1ª edición de 1937)] calificó a Fermat como el “Príncipe de los amateurs”. Y aunque es cierto que las matemáticas para Fermat fueron solamente un “hobby”, también es cierto que sus contribuciones fueron de primera categoría y dignas del mejor profesional. Su reticencia a publicar y a explicarse mejor hicieron que muchas de sus contribuciones fueran poco comprendidas y que algunas pasasen incluso desapercibidas pero hay que reconocer que, al menos en el campo de la teoría de números, creó problemas nuevos y creó instrumentos nuevos para abordarlos. Este fue su principal legado para la posteridad. Bibliografía: Biografías [1] MAHONEY, M. S., The Mathematical Career of Pierre de Fermat, 1601-1665. Princeton University Press, Princeton, 2ª ed., 1994. (1ª ed., 1973). [2] TORRECILLAS JOVER, B., Fermat. El mago de los números, Núm. 2 Col. La matemática y sus personajes, Nivola libros y ediciones S.L., Madrid 1999. Libros [3] BARBEAU, EDWARD J., Pell's equation, Springer-Verlag, Nueva York, 2003. [4] EDWARDS, H. M., Fermat’s Last Theorem. A Genetic Introduction to Algeraic Number Theory. [Reimpresión corregida del original de 1977], Springer-Verlag, Nueva York, 1996. [5] FERMAT, P. de, Oeuvres de Pierre Fermat, 4 vols. más suplemento, Tannery, P., Henry, C., editores.  Gauthier--Villars, París, 1894-1912. [6] ITARD, JEAN, Pierre Fermat, Suplementos de la revista Elemente der Mathematik, 10,  Birkhäuser Verlag, Basel,1979. [7] RIBENBOIM, PAULO, Fermat's last theorem for amateurs, Springer-Verlag, Nueva York, 1999 [8] SINGH, S., El enigma de Fermat,  Planeta, Barcelona, 1997. Artículos [9] Adminet France. Beaumont de Lomagne http://www.cdg82.fr/beaumont/ (seguir el enlace Pierre de Fermat). [10] ALBIS GONZÁLEZ, VÍCTOR SAMUEL, “El señor de Fermat y sus problemas. I”, Boletín de  Matemáticas 7 (1973),  219-232. [11] ALBIS GONZÁLEZ, VÍCTOR SAMUEL, “El señor de Fermat y sus problemas. II”, Boletín de  Matemáticas 8 (1974),  198-210. [12] ALBIS GONZÁLEZ, VÍCTOR SAMUEL, “El señor de Fermat y sus problemas. III”, Boletín de  Matemáticas 10 (1976),  86-95. [13] ANDERSEN, KIRSTI,  “The mathematical technique in Fermat's deduction of the law of refraction”, Historia Math. 10 (1983),  48-62. [14] BEATO SIRVENT, JESÚS, “El último teorema de Fermat. Diario de una conquista”, Epsilon. Revista de la Sociedad Andaluza de Educación  Matemática ``Thales', 15 (1999),  97-120. [15] BOYER, Carl B., “Fermat and Descartes”, Scripta Math. 18 (1952), 189-217 (1953). [16] BREGER, HERBERT, “The mysteries of adaequare: a vindication of Fermat”, Arch. Hist. Exact Sci. 46 (1994), 193-219. [17] COX, DAVID A., “Introduction to Fermat's last theorem”, Amer. Math. Monthly 101 (1994),  3-14. [18] DUHAMEL, J. M. C., “Mémoire sur la méthode de maxima et minima de Fermat et sur les méthodes des tangentes de Fermat et Descartes”, Mémoires de l'Académie des Sciences de l'Institut Impérial de France 32 (1864),  269-330. [19] HOFMAN, J. E., “On a problem of Fermat in the theory of numbers. (Determination of a Pythagorean triangle in which the hypotenuse and the sum of the sides are perfect squares)”, Rev. Mat. Hisp.-Amer. 29 (1969), 13-50. [20] ITARD, J. “Les méthodes utilisées par Fermat en théorie des nombres”, Rev. Hist. Sci. Appl. 3 (1950), 21-26. [21] ITARD, J., “Fermat, précurseur du calcul différentiel”, Arch. Internat. Hist. Sci. 27 (1948), 589-610. [22] MORDELL, L. J.,  “Tres conferencias sobre el último teorema de Fermat”, Lecturas Matemáticas 14 (1993), 1-35. [23] PARADÍS, J., PLA, J., VIADER, P., “Fermat and the quadrature of the folium of Descartes”, Amer. Math. Motnhly ??. [24] RASHED, ROSHDI  “Pierre Fermat et les débuts modernes de l'analyse Diophantienne”, Historia Scientiarum. Second Series. International Journal of  the History of Science Society of Japan 9 (1999), 3-16. [25] RASHED, ROSHDI  “Fermat and algebraic geometry”, Historia Scientiarum. Second Series. International Journal of the History of Science Society of Japan 11 (2001), 1-23 [26] TURNBULL WWW Servidor.

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88. Fibonacci, Leonardo de Pisa (1180-1250)

Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci (hijo de Bonaccio), nació en esta ciudad en el año 1180. Su padre, un mercader italiano con intereses en el norte de África, le inició en asuntos de negocios y contabilidad mercantil, lo cual despertó en él un interés por las matemáticas que iban mucho más allá de sus aplicaciones prácticas. Estudió bajo la dirección de un maestro árabe y recorrió Egipto, Siria, Grecia y Sicilia. Tuvo ocasión de conocer el sistema de numeración indo-árabe, del cual se convirtió en un acérrimo defensor. Murió en 1250. Muy poco más se sabe de su vida. Un torneo matemático y una colección de problemas Pasaba por la ciudad de Pisa el emperador Federico II, allá por el año 1225, y quiso conocer al célebre sabio que en ella vivía. Dos filósofos de su séquito, Juan de Palermo y Teodoro, concertaron un encuentro. Además, organizaron un torneo matemático para que Federico comprobara que la fama de Leonardo no carecía de fundamento. Le plantearon tres problemas y el pisano los resolvió. Los tres problemas fueron los siguientes. El primero, encontrar un número cuyo cuadrado, al sumarle o restarle cinco, dé otros cuadrados. Leonardo parte de la siguiente identidad (a veces conocida como de Fibonacci): (m2+n2)2 ± 4mn(m2-n2) = (m2-n2±2mn)2 Si pudiéramos dar con dos números enteros m y n tales que 4mn(m2-n2)=5 el problema tendría solución entera. Pero se puede demostrar (es cosa inmediata) que no existen tales números, de modo que habremos de conformarnos con soluciones racionales. Dividimos ambos miembros de la igualdad por p2 y resulta:

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89. Galileo Galilei (1564-1642)

Matemático, Físico, Astrónomo y Astrólogo italiano, a quien se debe la popularización y generalización del Método Científico, basado en la experimentación y la confrontación inductiva deductiva. Galileo Galilei: Tenacidad y Pasión (Pisa, 1564; Arcetri, Florencia, 1642) "La Naturaleza y la Biblia derivan de Dios, y es absurdo querer contradecir la Naturaleza que es la expresión directa de la voluntad divina sobre la base de la interpretación humana de las Sagradas Escrituras. Por el contrario, se debe aprender a leer e interpretar las escrituras a través de la Naturaleza". El párrafo anterior, parte del alegato que pronunciara Galileo ante el tribunal de la inquisición en 1633, ilustra a la perfección la dicotomía que gobernó toda su creación científica, en contraposición con sus creencias católicas y los azarosos avatares que jalonaron su vida particular. Hijo de Vicenzo Galilei, reconocido músico, que renovara en buena medida la escritura musical de la época, y de Guilia Ammanmati, nacida en Pescia; Galileo fue el mayor de siete hermanos, y, desde temprana edad hubo de enfrentar la dureza de una formación rigurosa, en no pocas ocasiones alejado de sus familiares. Así, con ocho años, sus padres se trasladan a Florencia, mientras Galileo permanece en Pisa al cuidado de Muzio Tedaldi, pariente por parte materna. No obstante, a los diez años se reúne con sus padres, quienes confían su educación a Jacopo Borghini. Este lo inscribió pocos años después en el Monasterio camalfolense de Vallombrasa, donde profesa como novicio. Su padre, instado por la tradición de sus ancestros (el nombre de Galileo le fue impuesto al pisano en recuerdo de uno de sus antepasados, médico de gran prestigio), le envía de nuevo con Tedaldi, quien lo matricula en 1581 en la carrera de medicina en la Universidad de Pisa.

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90. Galois, Evariste (1811-1832)

No siempre los grandes matemáticos están alejados de las controversias políticas de su época. Unos se han acercado a las mismas desde posiciones completamente reaccionarias (como es el caso de Cauchy), mientras que otros lo han hecho desde un punto de vista revolucionario. Es lo que pasa con Galois, que además ejemplifica cómo se puede influir en el futuro desde la extrema juventud y con una obra que no pasa de algunas decenas de páginas. Evariste Galois, nació en 1811 en los alrededores de París, en el momento del máximo esplendor del Imperio de Napoleón, en una familia republicana, que sufre las dificultades de la caída en 1814 de Napoleón y la vuelta de la monarquía derrocada en la Revolución de 1789. Estudió al principio en su casa bajo la dirección de su madre, para ir más tarde a uno de los centros más prestigiosos de París, el Liceo Luis el Grande, donde está en todo su apogeo la contrarrevolución educativa. Tras unos años de estudio descubre las matemáticas durante el curso 1826/27 y le producen un deslumbramiento intelectual de tal calibre que se dedicará con toda su energía a las mismas, ‘olvidando’ el resto de las materias. Tiene además la suerte de encontrar en el Liceo un gran profesor de matemáticas, M. Richard, al tanto de los últimos avances de las mismas, que reconoce el genio de Evariste para las matemáticas y le ayuda en sus estudios, y hasta le presenta en la ‘sociedad’ matemática. Richard se dio cuenta del valor de los resultados que lograba su alumno y guardó durante toda su vida los manuscritos que le entregaba Evariste y los dejó a su muerte a otro gran matemático, Ch. Hermite, pensando que también él sabría apreciar su valor (hoy se conservan en la Biblioteca del Instituto de Francia). Incluso logra que a los 17 años (en 1829) le publiquen un artículo (‘Demostración de un teorema sobre las fracciones continuas periódicas’) en la revista ‘Annales de mathématiques pures et appliquées’. Los elogiosos juicios de Richard constan en las calificaciones que escribe sobre Evariste durante el curso: “Este alumno tiene una destacada superioridad sobre todos sus compañeros”, y también “este alumno no trabaja más que las partes superiores de las matemáticas”.

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