71. Bourbaki, Nicolas (1935- )

La muy prestigiosa revista Comptes Rendus de l'Académie de Sciences de Paris publicó, al final de los años treinta, alguna nota firmada por Nicolas Bourbaki, del que después se dijo era miembro de la Real Academia de Poldevia. A la vista de ello, el lector podrá dudar de si Poldevia existió realmente o era algo parecido a la Ruritania del Prisionero de Zenda. En apoyo de lo primero puede citarse que años antes prestigiosos intelectuales habían convocado en París un mitin en apoyo del pueblo poldevo, sometido a una insoportable tiranía (¿les suena?), que al parecer tuvo éxito. Y sin embargo, no era así. Algún tiempo antes un grupo de jóvenes y brillantes matemáticos franceses, más o menos de la misma edad, y que tenían en común haber sido normaliens -es decir, haber estudiado en la famosa Escuela Normal Superior, donde se hicieron amigos, y ser profesores en universidades francesas de provincias, habían tenido, visto que no les agradaban los existentes, la idea de escribir un nuevo texto de Análisis. Empezaron a reunirse en algún café cercano a la Sorbona y el proyecto se amplió enseguida a un tratado que ofreciera de modo sistemático y riguroso todas las bases para una presentación de la matemática a la altura de los tiempos. Se pusieron a la tarea (detalles más abajo), adoptando el pseudónimo colectivo de Nicolas Bourbaki, pero la Segunda Guerra Mundial, que afectó gravemente a los interesados, retrasó en unos diez años la puesta en marcha de la redacción y publicación del grueso de la obra. Las notas antes citadas fueron una especie de presentación en sociedad, que no tuvo continuación, y el camino seguido para publicarlas fue hacer que Elie Cartan (1869-1951), uno de los grandes matemáticos franceses, y académico, padre de un miembro del grupo, las presentase. A Cartan padre se le hizo notar que era obligación de la institución cuidar el nivel científico de las notas, pero no los detalles biográficos de sus autores. El académico, que debía estar al cabo de la calle, hizo la propuesta a sus colegas cuando tomaban los licores al final de un banquete y no hubo ninguna objeción. Entre los miembros fundadores estaban Henri Cartan (1904), el único todavía vivo, André Weil (1906-1998), Claude Chevalley (1909-1984), y Jean Dieudonné(1906-1992), todos ellos entre los matemáticos más importantes del siglo. Algunos otros, como Jean Leray, acudieron a las primeras reuniones y se retiraron. El grupo se organizó siguiendo una serie de normas y costumbres, entre las que estaban organizar el trabajo en reuniones, hechas en general en verano, de una o dos semanas en algún lugar agradable de la campiña francesa (A. Weil, de viaje por España, se enamoró de El Escorial y decidió que allí se haría una, pero las guerras lo impidieron). La materia se organizó en libros, divididos a su vez en capítulos. Una vez decidido escribir alguno, se encargaba una redacción a algún miembro, redacción que era criticada (a menudo ferozmente) y si no había acuerdo se encargaba una nueva a otro, proceso que podía repetirse varias veces más. Los miembros debían retirarse a los cincuenta años, para evitar el anquilosamiento, pero parece que no siempre fue así, y es evidente que algunos continuaron influyendo. Entre los que ingresaron después hay matemáticos tan conocidos como Laurent Schwartz (1915-2002), Medalla Fields en 1950, Jean- Pierre Serre (1926, Medalla Fields 1954, Premio Abel 2003), Alexandre Grothendieck (1928, Fields 1966), Roger Godement y Pierre Cartier. Otros, como René Thom (1923-2002, Fields 1958), no quisieron incorporarse.

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72. Boyd Granville, Evelin (1924- )

EL OPTIMISMO DE LA VOLUNTAD Evelin Boyd Granville fue una mujer del siglo XX y un ejemplo de optimismo o fuerza de voluntad. Rodeada por todas las condiciones desfavorables que podrían haberla dejado en la cuneta pudo sobresalir con éxito en su empeño de ser una matemática prestigiosa, gracias a la organización, la cooperación, la disciplina del yo interior, o sea, la fuerza de voluntad. Las dificultades vividas para conseguirlo le hicieron tomar conciencia de las injusticias del sistema y el optimismo de su voluntad la condujo a participar en  movimientos por los Derechos Civiles de las mujeres y de la población negra, como el liderado por Martin Luther King, con el objetivo de que acceder a esos derechos llegue a ser lo normal, no lo excepcional. La edad de la inocencia Nació en Washington en el año 1924, el mismo en que murió Lenin, el líder de la revolución rusa. Lo hizo en el seno de una familia trabajadora de raza negra, compuesta por sus padres, William Boyd y Julia Walker, su hermana Doris, año y medio mayor que ella, y su tía, Louise Walker, que siempre la trató como a una hija. Su infancia se desarrolló inmersa en la Gran Depresión, que devastó el país al final de los años veinte y durante los primeros años treinta. Contaba con cinco años cuando se produjo el Crack De Wall Street, el jueves negro que acabó con los felices años veinte y contribuyó a que florecieran los fascismos que llevaron a la humanidad a la Segunda Guerra Mundial. Evelyn, como cualquier niña que crecía en Washington en aquellos años era conscientes de las dificultades generadas por la segregación racial existente en el país, aunque ella no la había sufrido personalmente. Sus mayores creían firmemente que era imprescindible una buena preparación intelectual para vencer aquella barrera, para hacerse un hueco en la sociedad y para conseguir los cambios necesarios en ella.  Habían leído y habían oído hablar de personas de su raza que habían contribuido a la causa, gracias a una buena formación. Estas personas fueron los modelos a seguir. Ése fue el objetivo que le transmitieron a Evelyn sus mayores y al que dedicaron una parte importante de sus esfuerzos.

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73. Cartan, Elie Joseph (1869-1951)

Prominente matemático francés del siglo XX, nació el 9 de abril en Dolomieu (cerca de Chambéry), en la Saboya francesa, y murió el 6 de mayo en París, Francia. Durante su extensa vida investigadora trabajó en grupos continuos, álgebras de Lie, ecuaciones diferenciales y geometría, proporcionando sus trabajos una síntesis de estas áreas. Hijo del herrero del pueblo, realizó sus estudios primarios en la escuela de Dolomiu, después continuó en el colegio de Vienne y posteriormente en el liceo de Grenoble. Finalmente entró en el liceo Jeanson-de-Sailly para completar su preparación para la Escuela Normal Superior, donde ingresa en 1888. Siguió las enseñanzas de insignes matemáticos de la época, entre otros, H. Poincaré, E. Picard y C. Hermite, disfrutando de una beca de la Fundación Peccot. Después de obtener su doctorado en 1894, fue profesor en las universidades de Montpellier (1894-1896), Lyon (1896-1903), Nancy (1903-1909) y París (1909-1940). El mismo año que es nombrado profesor en la Facultad de Ciencias de Nancy (1903), se casa en Lyon con Marie-Louise Bianconi. Sería en Nancy donde nacerían sus dos hijos mayores, Henri (1904) y Jean (1906), convirtiéndose también el primero de ellos en un excelente matemático. Posteriormente la familia aumentaría con otros dos miembros : Louis y Hélène. La familia Cartan pasaría años después enormes vicisitudes, pues varios de sus hijos murieron en trágicas circunstancias; Jean, compositor, murió a la edad de 25 años, mientras que Louis, físico, fue arrestado por los alemanes en 1942 y ejecutado después de 15 meses en cautividad. Por lo que respecta a la investigación, Cartan se sumó brillantemente a la teoría de grupos continuos que había sido iniciada por Marius Sophus Lie (1842-1899). Su tesis doctoral (1894) puede considerarse una contribución de importancia capital a las álgebras de Lie, y en ella completa la clasificación de las álgebras semisimples que Wilhelm Karl Joseph Killing (1847-1923) había prácticamente encontrado. Posteriormente se volcó en la teoría de las álgebras asociativas e investigó la estructura de estas álgebras sobre los cuerpos de los números reales y complejos. Wedderburn completaría el trabajo de Cartan en este área.

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74. Châtelet, Madame de (1706-1749)

Gabrielle Émilie de Breteuil, marquesa de Châtelet fue una dama francesa que tradujo los "Principia" de Newton y divulgó los conceptos del cálculo diferencial e integral en su libro "Las instituciones de la física", obra en tres volúmenes publicada en 1740. Era una dama de la alta aristocracia y fácilmente podía haber vivido una vida inmersa en los placeres superficiales, y no obstante fue una activa participante en los acontecimientos científicos que hacen de su época, el siglo de las luces, un periodo excitante. En sus salones, además de discutir de teatro, literatura, música, filosofía... se polemizaba sobre los últimos acontecimientos científicos. Mme. de Châtelet, al traducir y analizar la obra de Newton, propagó sus ideas desde Inglaterra a la Europa continental. El determinismo científico de Newton permaneció como idea filosófica hasta mediados del siglo XIX. Su vida El 17 de diciembre de 1706 nació Madame de Châtelet, en Saint-Jean-en-Greve, en Francia, durante el reinado de Luis XIV, y le pusieron el nombre de Gabrielle-Émilie Le Tonnelier de Breteuil. Los Breteuil ya eran importantes en el siglo XV e hicieron fortuna en la magistratura y las finanzas. Su padre, Louis-Nicolas Le Tonnelier de Breteuil, barón de Preuilly, a los cuarenta y nueve años se casó con Gabrielle Anne de Froulay. El rey le otorgó entonces el cargo de introductor de embajadores en el que brilló por su perspicacia y su sentido de la diplomacia. Émilie desde su más tierna infancia tuvo el deseo de saber e hizo todos los esfuerzos para conseguirlo. Sentía curiosidad por todo, y todo lo quería comprender. Estuvo rodeada de un entorno excepcional y recibió una educación atípica para su época. Sus padres tenían un gran respeto por el conocimiento y rodearon a sus hijos de una atmósfera que hoy llamaríamos intelectual. Demostró poseer una capacidad inusual y una inteligencia privilegiada. A los diez años ya había leído a Cicerón y estudiado matemáticas y metafísica; a los doce hablaba inglés, italiano, español y alemán y traducía textos en latín y griego como los de Aristóteles y Virgilio. Estudió a Descartes, comprendiendo las relaciones entre metafísica y ciencia, por ello mantuvo durante toda su vida la exigencia de un pensamiento claro y metódico, dominado por la razón. Esto, probablemente, le llevó a adoptar posturas más avanzadas que las de sus amigos newtonianos. Émilie fue una pura intelectual cartesiana. Como forma de pensamiento sólo conocía la deducción. La inducción no le satisfacía.

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75. Chebyshev, P. L. (1821-1894)

Chebyshev1 es uno de los célebres matemáticos del siglo XIX, creador de varias escuelas matemáticas en Rusia: teoría de los números, teoría de probabilidades, teoría de aproximación de funciones, teoría de mecanismos y máquinas, etc. Es autor de más de 80 publicaciones, algunas de las cuales no tienen títulos matemáticos: "Sobre un mecanismo", "Sobre la confección de vestidos", "Sobre la construcción de mapas geográficos", "Sobre las ruedas dentadas". Su vida Pafnuty Lvovich Chebyshev nació el 16 de Mayo de 1821 en una finca de su padre en Okatovo, región de Kaluga, al oeste de Rusia, en el seno de una familia de rancio abolengo. Su padre, Lev Pavlovich Chebyshev, fue un oficial militar que combatió contra Napoleón. Alguno de sus nueve hermanos siguió la tradición militar de su padre; Vladimir, el más pequeño, fue general y profesor en la Academia de Artillería de San Petersburgo. Existe un artículo [8] sobre la historia de la familia de Chebyshev, en el que figura como descendiente del líder militar tártaro del siglo XVIII, Khan Chabysh. La educación primaria la recibió  en casa. Su madre, Agrafena Ivánovna, le enseñó a leer y escribir, mientras que su prima Sújarieva le enseñó la aritmética y el idioma francés, el cual le sería de gran utilidad. En el año de 1832 la familia Chebyshev se trasladó a Moscú, donde Pafnuty siguió completando su educación secundaria también en casa, pero teniendo  como  tutor en Matemáticas a P. N. Pogorelsky, reconocido en su día como el mejor profesor de matemáticas elementales de Moscú. Pogorelsky escribió alguno de los más populares textos de matemáticas elementales de la época, que ciertamente inspiraron a su discípulo dándole además una sólida formación matemática. Así pues, Chebyshev estaba muy bien preparado para el estudio de las Ciencias Matemáticas a su ingreso, en 1837, en la Universidad de Moscú. Fue el profesor N. D. Brashman quien prácticamente dirigió los estudios universitarios de Chebyshev que finalizaron en el año 1841. Chebyshev siempre expresó un gran respeto por su profesor, atribuyéndole una gran influencia en su posterior desarrollo matemático. El departamento de física y matemáticas en el que Chebyshev estudiaba convocó un premio en el curso 1840-41. Chebyshev presentó un trabajo sobre el cálculo de las  raíces de las ecuaciones, en el que resolvía la ecuación y=f(x) usando el desarrollo en serie de la función inversa de f. El trabajo, no publicado en su momento, fue premiado sólo con la medalla de plata, cuando seguramente fuese merecedor del oro.

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76. Clairaut, Alexis Claude (1713-1765)

Astrónomo y uno de los matemáticos más precoces de todos los tiempos, superando incluso a Blaise Pascal (1623-1662). Se cuenta que a la edad de diez años ya leía los libros de Guillaume François Antoine l'Hospital (1661-1704) sobre cónicas y cálculo infinitesimal. Con tan sólo doce años de edad, Clairaut presentó una memoria sobre cuatro curvas de cuarto grado a la Academia de Ciencias de Paris, la cual, y tras haberse asegurado que era el autor verdadero, se deshizo en grandes elogios. Nació en París el 7 de mayo de 1713 y murió en la misma ciudad el 11 de mayo de 1765. Su padre, Jean-Baptiste, era maestro de matemáticas de París y miembro de la Academia de Berlín, lo que acredita su calidad como matemático. Con sólo dieciocho años, en 1731, publicó la obra Investigaciones sobre las curvas con doble curvatura, gracias a la cual fue admitido en la Academia de Ciencias, aunque hubo de hacerse una excepción con él, ya que el reglamento exigía una edad mínima de veinte años. En la Academia se unió a los “newtonianos”, un pequeño grupo que apoyaba la filosofía natural de Newton. En su tratado de 1731, Alexis Clairaut desarrolló las ideas que René Descartes (1596-1650) había sugerido, casi un siglo antes, en el estudio de las curvas del espacio mediante la consideración de las proyecciones sobre dos planos coordenados. Clairaut las llamó “curvas con doble curvatura” porque la curvatura de estas curvas está determinada por las curvaturas de las dos curvas que se obtienen por proyección de la curva original en dos planos perpendiculares. Determinó así numerosas curvas del espacio mediante intersecciones de superficies variadas, dio las ecuaciones de algunas superficies y demostró que dos de estas ecuaciones son necesarias para describir una curva en el espacio. Se encuentran también en este tratado las fórmulas de la distancia para dos y tres dimensiones, ecuaciones de superficies cuádricas, y las tangentes de curvas del espacio. Clairaut demostró también que una ecuación homogénea en las variables x, y, z (todos los términos del mismo grado) representa un cono cuyo vértice está situado en el origen.

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77. Condorcet, Marqués de (1743-1794)

Marie Jean Antoine Nicolas Caritat, marqués de Condorcet nació en Ribemont en Picardie, en el norte de Francia. Su padre, militar, descendiente de una familia del Dauphiné, murió cuando solamente tenía algunas semanas. Fue educado por la familia de su madre, en un medio de la burguesía de la judicatura picarda, habituado a las responsabilidades económicas y políticas. Tras sus estudios con los jesuitas en Reims, después en el Collège de Navarre en París, se dedicó muy joven a las matemáticas puras, obteniendo en seguida resultados muy generales sobre el cálculo integral. Estos trabajos, comenzados desde el final de los años cincuenta, en colaboración con su amigo y primer maestro, el abad Girault de Keroudou, fueron apreciados y al mismo tiempo criticados por Fontaine y D'Alembert que notaron su estilo a menudo confuso y muy general. Estas investigaciones sobre el cálculo integral le valieron entrar en la Académie des Sciences a los 26 años; culminaron al principio de los años ochenta con un tratado (ciertamente inédito), conteniendo en particular un teorema general sobre la integración de ecuaciones diferenciales en términos finitos, cuarenta años antes que Liouville. Condorcet ha probado en particular la irreducibilidad de las funciones elementales de algunas integrales, como la de exp(x) / x. Ha considerado, probablemente el primero, la eventualidad de las ecuaciones algebraicas no resolubles mediante radicales (cuestión que no se clarificará hasta los trabajos de Abel y de Galois). La mayor parte de sus investigaciones se han publicado en las Mémoires de l’Académie des sciences, pero también en los artículos del «Supplément» de la Encyclopédie (1776-1777). Ha mostrado igualmente la necesidad de explicitar la naturaleza, entonces oscura, de lo que se llaman los términos seculares del movimiento de los planetas. Desde 1767-1770, Condorcet redactó numerosas memorias sobre el derecho, la aritmética política y el cálculo de probabilidades; pero éstos no se dataron ni publicaron hasta 1994. Tomando en serio las dudas de D'Alembert sobre los fundamentos y la pertinencia del cálculo de probabilidades, estimulado por Beccaria, el jóven matemático obtuvo antes que Laplace el principio de verosimilitud (que permite pasar de los efectos a las causas en un marco aleatorio), es lo que hoy en día se llama la regla de sucesión de Bayes-Laplace: si un evento ha sucedido m veces y ha fallado n veces, su probabilidad puede estimarse en (m+l) / (m+n+2). Recordemos que los trabajos de Bayes no se conocieron en el Continente hasta aproximadamente 1780. Las primeras investigaciones de Condorcet, que incluían también los arreglos regulares y la teoría de la esperanza matemática, estaban pues ya marcados por la inquietud de hacer útil el cálculo de probabilidades en las ciencias morales y políticas. Tras una activa participación en el ministerio Turgot (1774-1776), Condorcet, ya secretario adjunto de la Académie des Sciences, asumió totalmente la secretaría perpetua hasta los momentos más fuertes de la Revolución. Prosiguió sus investigaciones tanto en matemáticas puras como en cálculo de probabilidades. Es sobre todo a partir de 1783 cuando elaboró, esta vez publicándola, su obra de madurez sobre las probabilidades, sus problemas "inversos" (hoy en día diríamos la estadística matemática) y las condiciones filosóficas y prácticas de su utilización. El Essai de 1785 contenía una teoría del motivo de creer, la célebre paradoja del voto, pero sobre todo la tentativa de demostración "sobre un ejemplo" (el de los juicios) "que las verdades de las ciencias morales y políticas son susceptibles de la misma certidumbre que aquellas que forman el sistema de los conocimientos físicos", a condición de introducir una evaluación de los diferentes tipos de errores posibles. En particular la evaluación simultánea de las probabilidades de absolver a un culpable y condenar a un inocente estuvo en la base de los trabajos ulteriores de Laplace, de los cuales J. Neyman extrajo su inspiración para definir la teoría de los tests estadísticos con los errores de primera y de segunda especie En la misma época, Condorcet publicó seis memorias sobre el cálculo de probabilidades en los volúmenes de la Académie des Sciences y unos artículos en la Encyclopédie méthodique (1784-1789). Estos escritos contenían innovaciones importantes: una teoría de las esperanza matemática con solución "a distancia finita" del problema de San Petesburgo, una teoría de la complejidad de las sucesiones aleatorias respecto a arreglos regulares, un modelo de dependencia de las probabilidades que no es más que lo que hoy en día se llaman "cadenas de Markov" e incluso "semi-markovianas", respuestas al problema de la estimación estadística cuando las probabilidades de los eventos dependen del tiempo (se podría decir que prefigura, ciertamente de manera torpe y poco utilizable, las series cronológicas), una definición de las probabilidades a partir de las clases de eventos, una teoría económica de la elección individual en un universo con riesgo y en situación de competencia. Lamentablemente, tal era la audacia, la redacción más programática que acabada, y la exposición de las ideas tan poco límpida y tan poco concebida sobre resultados prácticos, que estas innovaciones no se entendieron ni durante su vida, ni aún a lo largo de los dos siglos siguientes. Fuertemente implicado en el movimiento enciclopédico, amigo de D'Alembert, de Turgot y de Voltaire, Condorcet fue el último de los enciclopedistas y el único que conoció la Revolución francesa. Se comprometió a fondo, desarrollando e ilustrando su visión científica de la política, dejando una escasa inclinación a una concepción romántica de la intervención popular. Esto le permitió elaborar ideas muy fecundas en particular sobre la instrucción, las mujeres, la esclavitud, los derechos del hombre, pero tuvo a menudo poca percepción sobre los acontecimientos inmediatos. Pasando a la clandestinidad bajo el Terror por haber criticado demasiado abiertamente la Constitución del año I, redactando en su escondite su célebre Esquisse d'un Tableau historique des progrès de l'esprit humain, huyó, fue arrestado el 27 de marzo de 1794 y encontrado muerto en la prisión de Bourg-Egalité (Bourg-la-Reine) dos días después. No se sabe si se suicidó o si murió de una apoplegía. Bosquejo de un cuadro histórico de los progresos del espíritu humano (París 1795), Marqués de Condorcet Muy estimado en vida, el Condorcet matemático fue después considerado como "mediocre" durante un siglo y medio. Es sólo progresivamente, a partir de 1950, y gracias a G.Th. Guilbaud y D. Black cuando su obra científica fue reconsiderada, primero a propósito de la agregación de las preferencias en relación con el teorema Arrow, después a título de "matemático-filósofo" estudiando y criticando las condiciones en las que se pueden fundar las ciencias humanas y sociales. Sus trabajos matemáticos, hablando con propiedad, no fueron redescubiertos hasta el decenio 1980. Bibliografía Brian, E. (1994) La mesure de l’Etat, Albin Michel, París. Condorcet (1785) Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix, París. Reimpresión, Chelsea, New York (1972). Condorcet (1994) Arithmétique politique. Textes rares ou inédits.  Ed. crítica y comentada por B. Bru y P. Crépel, INED, París. Condorcet, Tableau historique des progrès de l’esprit humain. Projets, Esquisse, Fragments et Notes (1772-1794), bajo la dirección de J.P. Schandeler y P. Crépel, París, INED, 2004. Crépel, P. (1988), in R. Rashed (dir.), Sciences à l’époque de la Révolution française, París, Blanchard, p. 267-325. Gilain, C. (1988), ibid., p. 87-147. Granger, G.G. (1956) La mathématique sociale du marquis de Condorcet, PUF, París. Rashed, R.R. (1974) Condorcet, mathématique et société, Hermann, París. Una versión un poco más corta de esta reseña ha aparecido en inglés en C. Heyde and E. Seneta (eds.), Statisticians of the centuries, New York, etc., Springer and ISI, 2001.

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78. Copérnico, Nicolás (1473-1543)

Astrónomo polaco. Personalidad oscura y desconocida, su obra es muy reducida, consistiendo en un manuscrito no publicado, una carta informando sobre una obra astronómica, un texto sobre economía y su “De Revolutionibus Orbium Celestium”, obra que con su propuesta de un universo heliocéntrico alteraría la perspectiva con la que se afrontaban los problemas astronómicos, iniciando el proceso que cambiaría la visión del cosmos aristotélico. El 19 de Febrero de 1473 nació Nicolás Copérnico en Thorn (hoy Torún), ciudad de la Prusia Real (anexionada a Polonia en 1466),  donde su padre se había asentado y casado con Bárbara Waztendole, hija de un próspero comerciante perteneciente a la burguesía local . Nicolás Copérnico quedó a los 10 años de edad huérfano de padre, siendo acogido junto a su madre y hermanos, por Lucas Watzendrole, tío materno. De haber sido éste un rico comerciante como lo había sido el padre de Copérnico, quizás el joven Nicolás hubiera seguido sus pasos. Pero su tío, que era canónigo y llegaría un tiempo después a ser Obispo en la diócesis de Warmia, había previsto para él que tras una etapa de formación académica en Universidades de prestigio como Cracovia y Padua, en las que él también había estudiado, fuera nombrado canónigo y siguiera, también como él, la carrera eclesiástica. Él debía saber que esa era un buena ocupación: con el respaldo de la Iglesia de Roma y las posesiones del cabildo, su sobrino no debería volver a preocuparse de los aspectos materiales de su vida, pues tendrían ingresos garantizados. Es de suponer que en aquellos años recibiera Copérnico una primera educación adecuada a los fines para los que parecía estar destinado, pero poco o nada se sabe a ciencia cierta sobre su vida y formación hasta que en 1491, con 18 años de edad, su tío le inscribe en la Universidad de Cracovia. Era la más famosa universidad del extenso reino de Polonia y gozaba de un prestigio académico reconocido en toda Europa. Las corrientes humanísticas ya habían llegado y convivían con prestigiosos estudios científicos. Existían activas cátedras de Astronomía y Astrología y entre sus profesores se encontraba Alberto Brudzewo, autor de un comentario a los trabajos astronómicos de Peuerbach que gozó de cierta fama. También parece documentado que alguno de los profesores de la universidad había colaborado con Regiomontano y se explicaban, entre otros, el “Tratado de la Esfera” de Sacrobosco y la “Teoría de los Planetas” de Peuerbach. Copérnico estudió “artes liberales”, un programa de formación básica universitaria que incluía cierta preparación en matemáticas. Pasó en Cracovia 4 años y en 1496 se marchó a Italia, a la Universidad de Bolonia donde también su tío había estudiado. Salvo una corta estancia en Polonia en 1501 para la toma de posesión como canónigo, pasaría en Italia siete años estudiando leyes y medicina entre Bolonia, Padua y Ferrara. En esos años italianos también llevó a cabo observaciones astronómicas que guardará toda su vida y además de completar su formación matemática y astronómica, aprendió griego y entró en contacto con las fuentes literarias, filosóficas y científicas que serían el alimento intelectual de generaciones. Conoció el renacer de las teorías pitagóricas y platónicas, tuvo noticia de los saberes ocultos y antiguos que atraviesan la historia y, también, indudablemente, tomó conciencia de los problemas que acosaban a la astronomía de su época. Con todo ese bagaje en la primavera del año 1503 emprende el viaje de vuelta a su  patria  de donde nunca más saldrá. La vida de Copérnico sufrió un cambio radical. Fue a residir directamente al palacio obispal en Lidzbark. Su tío le acogió como médico y pronto también como consejero, secretario y ayudante íntimo en su labor política, administrativa y diplomática. Con él vivió y viajó durante los años siguientes, hasta la muerte del Obispo, ocurrida en 1512. Pero la influencia italiana no desapareció: Tradujo del griego al latín una obra bizantina del siglo VII que tituló “Epístolas morales, rurales y amatorias”. La publicó en 1509 e iba dedicada a su tío. Su importancia literaria es inapreciable, pero biográficamente tiene interés por tener un prólogo en forma de poema, escrito por un amigo de Copérnico, en el que éste comenta cómo Copérnico, además de acompañar a su tío, lleva acabo observaciones astronómicas de estrellas, Luna y Sol, sobre las que medita y trabaja.  En efecto, alguna de estas observaciones, lo mismo que las hechas en Italia, aparecerán reflejadas en el “De Revolutionibus”. Así pues, Copérnico no había dejado su afición a los cielos. Más aun, parece estar fuera de dudas que en esa época escribió su primera versión del sistema heliocéntrico. Lo hizo en un manuscrito del que repartió unos cuantos ejemplares. Nunca se imprimió y de él se conservan sólo tres copias. El opúsculo en cuestión se titula “De hypothesibus motuum coelestium a se constitutis comentariolus”, es decir, “Breve exposición de las hipótesis acerca de los movimientos celestes”, y, como es usual nos referiremos a él como el “Comentariolus”. Copérnico no lo firmó ni le puso fecha, lo que como tantas otras cosas referidas a nuestro protagonista, ha sido objeto de debate hasta hace no mucho tiempo. Se creyó que era un esbozo previo a su obra mayor, “De Revolutionibus” y que, en tal caso, no estaría escrita mucho antes, de modo que se establecía como fecha posible en torno a 1530,  pero actualmente se admite como fecha tope para su elaboración el año 1514. No es una obra estrictamente matemática, paro en absoluto está carente de argumentaciones y “técnicas” matemáticas, como la introducción de un tercer movimiento de la Tierra al que denominó “declinación”, necesario para mantener el eje paralelo a sí mismo durante su traslación y que le permitió dar cuenta, cualitativa pero simple y elegantemente, de uno de los fenómenos que más se habían resistido, la precesión de los equinoccios. Su lectura, pues, requería ciertos conocimientos que, por un lado la alejaban de los aficionados sin base y por otro supuso que a su autor se le tomara en serio. El contenido del “Comentariolus” es el siguiente: Una breve introducción a la que siguen siete axiomas o postulados y, a continuación, los epígrafes titulados “El orden de las Esferas”, “Los movimientos aparentes del Sol”, “Los movimientos uniformes no deben referirse a los equinoccios sino a las estrellas fijas”, “La Luna”, “Los tres planetas superiores: Saturno, Júpiter y Marte”, “Venus” y “Mercurio”. Los postulados que inauguran la astronomía heliocéntrica moderna aparecidos en el “Comentariolus” son los siguientes: 1. No existe un centro único de todos los círculos o esferas celestes. 2. El centro de la Tierra no es el centro del Universo, sino sólo de la gravedad y de la esfera de la Luna. 3. Todas las esferas giran alrededor del Sol y por lo cual es el centro del Mundo. 4. ... la distancia de la Tierra al Sol es imperceptible en comparación con la distancia del firmamento. 5. Cualquier movimiento que pueda aparecer en el firmamento, no se debe a ningún movimiento de este, sino al movimiento de la Tierra alrededor de sus polos fijos en un movimiento diario. 6. Los que se nos aparecen como movimientos del Sol no se deben a él mismo, sino que están ocasionados por el de la Tierra y nuestra esfera, con la que giramos alrededor del Sol como cualquier otro planeta, y así, la Tierra tiene varios movimientos. 7. Los movimientos observados en los planetas, de retrogradación o directos, tampoco provienen de sus movimientos sino del de la Tierra y este basta por sí solo para explicar las aparentes irregularidades que en el cielo se observan. Es decir, una exposición de motivos, las hipótesis de trabajo y una reformulación de la astronomía de la época desde una nueva perspectiva heliocéntrica. Con todo ello consiguió lo que casi con seguridad había sido su preocupación principal: restaurar el movimiento uniforme en los cielos. A la muerte de Lucas Watzendrole, acaecida en 1512, el capítulo de Warmia y los sucesivos obispos confiarán en Copérnico, bien como canciller, bien como administrador o visitador, y comenzará para él una época de actividad que casi podría describirse como febril. Durante los siguientes veinte años al menos, Copérnico deberá atender a la administración de bienes y servicios de la diócesis, llevará a cabo intensas gestiones diplomáticas, se verá inmerso en una guerra cruel en la que coordina la defensa y fortificación de las ciudades de la diócesis, habrá de meditar sobre los modos de enfrentarse a la inflación debida a los fraudes monetarios de los teutones (afrontó el problema desde una perspectiva teórica y comenzó la elaboración de un informe que terminaría siendo un tratado de economía monetaria -“Monéate cudendae ratio”- publicado en su versión definitiva en 1528), organizará los reasentamientos de colonos en las tierras de Warmia... y además de todo eso, observará el cielo, anotará pacientemente posiciones del Sol, días y horas de eclipses, ocultaciones y conjunciones, y comprobando pacientemente y de forma minuciosa cada dato conocido irá elaborando su obra magna, el “De Revolutionibus”. Sólo utilizó tres instrumentos: el Cuadrante (descrito en el Libro II, cap. 2 del De Revolutionibus), el Astrolabio (Libbro II, cap.14) y el “instrumento paraláctico” (Libro IV, cap. 15). Con ellos, desde su torre, observará Sol, Luna y estrellas durante esos años. La última observación que utiliza en el “De Revolutionibus” es del 12 de Marzo de 1529 y lo es del planeta Venus. Por entonces debía estar finalizando su redacción y tenía ya 56 años. Quizás demasiados para seguir observando en las frías noches bálticas. O quizás no necesitó más. Prácticamente todos los especialistas piensan que “De revolutionibus” estaba acabado en torno a 1530. Pero Copérnico no lo publica. Que se sepa, ni intenciones de hacerlo tuvo.¿Por qué Copérnico, que llevaba quizás 20 años o más trabajando en esa obra, se mostraba indeciso y hasta remiso a publicarla? Él mismo esbozará algunos motivos en la dedicatoria del “De Revolutionibus”, pero, ¿por qué?. Sólo caben hipótesis: Los datos que profusamente utilizaba en su obra provenían de las obras antiguas y, por consiguiente, podían tener errores notables acumulados; por otro lado estaba el problema de la reforma religiosa planteada por el luteranismo y la sensación de vivir un periodo de ortodoxia cambiante en el que, quizás (y Copérnico sí que dio siempre muestras de portarse así) lo mejor era guardar cierta distancia y prudencia respecto a ciertas formulaciones que pudieran “herir sensibilidades” filosóficas o religiosas. Si a todo esto se añade (¿por qué no creerlo, si él mismo lo dice?) sus veleidades elitistas inspiradas en el secretismo pitagórico, quizás podamos hacernos una idea de por qué “De Revolutionibus” permaneció probablemente otra docena de años en los cajones de la mesa del canónigo de Frombork. Sin embargo, lo que no pudo Copérnico fue evitar que las noticias de su existencia y de lo que pensaba acerca de los movimientos y ordenación de los cielos se extendieran por toda Europa como se atraviesan las membranas en un proceso osmótico. Los ecos de la figura solitaria de Frombork llegaron finalmente a la corte papal y en 1536 Copérnico recibió una carta del cardenal Nicolás Schömberg en la que se expresaba así: “Habiéndome hablado hace algunos años de tu capacidad, constante conversación de todos (...). Comprendí que no sólo conocías con suficiencia los hallazgos de los antiguos matemáticos, sino que habías establecido una nueva estructura del mundo, en virtud de la cual enseñas que la Tierra se mueve, que el Sol ocupa la base del mundo y por tanto el lugar central, que el octavo cielo permanece inmóvil y fijo perpetuamente ...“ Así pues, el personaje y la obra “flotaban en el ambiente” hasta el punto que desde las más altas instancias, religiosas por añadidura, se solicitaba la luz pública para estos trabajos. La salida a la situación vendría con la aparición de un joven astrónomo y matemático que se convertiría en el único discípulo en vida de Copérnico y a quien éste consideró como un analizador y corrector suficientemente preparado como para cotejar con él sus cálculos. Cuadro de Jan Matejko (siglo XIX) que muestra a Copérnico en el castillo de Olsztyn (Warmia) rodeado de un astrolabio y la imagen del sistema heliocentrista de "De Revolutionibus". Nos referimos a Rhetico (nombre latinizado que adoptó Georg Joachim von Lauchen, nacido en 1514 en la región de Retia, el Tirol austriaco), que apareció por Frombork al final de la primavera de1539. Rhetico había tenido, gracias a la fortuna económica de sus padres, una educación amplia y exquisita que le había permitido viajar por Italia y estudiar en las universidades alemanas de prestigio: Gotinga, Nuremberg y Wittemberg. Llegó a ser un protegido de Melanchton por cuya influencia, posiblemente,  se le concedió a los 22 años una de las dos cátedras de astronomía de la Universidad de Wittemberg, el centro universitario luterano por excelencia. También a la luterana Wittemberg habían llegado las noticias de la obra de Copérnico. Es precisamente Lutero una de las fuentes de ese dato, pues datada precisamente en ese año de 1539, se tiene noticia de una apreciación del líder reformista en la que manifiesta su desprecio por “un astrólogo que, contra lo que dicen las escrituras, propone establecer el movimiento de la Tierra y no del Sol”. Pero a Rhetico no le debía preocupar tanto la teoría astronómica contenida en la Biblia como la posibilidad de estudiar detenidamente, si existían, los cálculos del canónigo prusiano del que tanto se hablaba. Así pues, solicita permiso para desplazarse a conocer “in situ” al autor y a su obra. Copérnico debió rápidamente reconocer en Rhetico al matemático competente que necesitaba y el joven matemático, que pronto percibió la valía e importancia de la obra que Copérnico guardaba desde hacía años, trató de convencerle de la necesidad de darla a conocer. Rhetico la analizó matemáticamente durante los dos intensos meses que duró la visita y ante la resistencia, a pesar de todo, de Copérnico, llegó a un acuerdo que debió plasmarse de la siguiente manera: Rhetico escribiría un resumen, más extenso y algo más técnico que el “Comentariolus” y sería esto lo que, de momento, se publicaría. Una especie de “globo sonda”. Inmediatamente finaliza Rhetico su trabajo, que fechó en Frombork, el 23 de Septiembre de 1539. El título es “De libris revolutionum Nicolai Copernici narratio prima” (primera narración de los libros de Nicolás Copérnico sobre las revoluciones) y tiene la forma de una carta dirigida a Juan Schöner, astrónomo en Nuremberg, perteneciente al círculo de humanistas que rodeaban a Melanchton. La “Narratio Prima”, que así se conoce, es considerada, a pesar de que su autoría es de Rhetico, como uno de los tres tratados copernicanos (junto al “Comentariolus” y la “carta contra Werner”) que anteceden a “De Revolutionibus”. En ella, Rhetico describe el contenido de los seis libros en los que se divide la obra de “su maestro”, hace apreciaciones sobre algunas particularidades geométricas del trabajo, defiende y explica el principio-guía de mantener exclusivamente movimientos uniformes con la eliminación del ecuante, y todo ello, recogiendo mediciones y cálculos que permitían justificar matemáticamente la nueva hipótesis. La “Narratio Prima” se publicó en Danzig en febrero de 1540 y se difundió intensamente entre los más reticentes, los luteranos. Su efecto debió ser notable pues inmediatamente se solicitó permiso para otra edición, que se hizo en Basilea a los pocos meses. Rhetico, que había vuelto tras el verano a Wittemberg para continuar sus clases, retornó a Frombork en el verano de 1540. Para entonces las solicitudes y la presión sobre Copérnico para que desvelase su trabajo se habían hecho intensas y provenían de todas partes. El joven e ilusionado Rhetico no tuvo que esperar mucho, pues cuando abandonó Frombork, en agosto de 1541, quince meses después de su llegada, llevaba consigo una copia en limpio del manuscrito copernicano, dispuesta para ser impresa en Nuremberg. A partir de ese momento se inicia el proceso de publicación del “De Revolutionibus” que, como tantas otras cosas relacionadas con Copérnico, ha estado rodeada de sombras, constituyendo, en este caso, uno de los episodios que más ha dado que hablar y más páginas escritas ha originado en la historia de la ciencia. Se trata del hecho de que el libro apareciera publicado con un prólogo que no había escrito Copérnico, ni tampoco Rhetico, y que avisaba al lector de que el contenido de la obra era hipotético y su finalidad simplemente la de facilitar los cálculos, sin corresponderse necesariamente con la realidad. Su autor (hecho descubierto curiosamente por Kepler) es Andreas Osiander y lo redacta de forma que no deja clara la autoría, con lo que podía ser interpretado, efectivamente, como una advertencia del propio autor que altera la intención de la obra. Si Copérnico leyó o no el texto de Osiander con anterioridad a ver la obra impresa es algo aun no resuelto. A finales de 1542 Copérnico sufrió una hemorragia cerebral que lo incapacitó parcialmente y supuso un grave deterioro de su salud. Fue en esas condiciones, si lo hizo, como leyó el texto que subrepticiamente cambiaba el significado de su obra. En marzo de 1543 apareció finalmente publicada la obra que había estado gestándose durante 40 años. Su título fue “De Revolutionibus Orbium Celestium libri VI”. La edición incluía la “Advertencia al Lector” redactada por Osiander, la carta que el cardenal Schömberg había escrito a Copérnico en 1536 y una dedicatoria del propio Copérnico al Papa Paulo III, en la que Copérnico nos dice algo sobre la génesis de su trabajo. Los seis libros de que consta la obra se pueden dividir en dos partes perfectamente diferenciadas. El Libro I es, fundamentalmente, la exposición cosmológica del Sistema Copernicano, y en él, sin ningún tipo de aparato matemático, se justifican las proposiciones fundamentales. Sólo los últimos capítulos de este primer libro están dedicados a presentar las matemáticas que usará para las pruebas científicas que en el resto del libro aparecen. Son los capítulos que ya había publicado Rhetico separadamente. Los Libros II al VI constituyen la parte técnica de la obra. En ellos repasa, siguiendo un esquema clásico como el del Almagesto, las cuestiones de que se ocupaba la astronomía: movimientos del Sol y de la Luna, la precesión de los equinoccios, el movimiento de los planetas... dando soluciones a los mismos desde la perspectiva anunciada en la Dedicatoria y en el Libro I.  Copérnico presenta en múltiples ocasiones la “historia” de las observaciones usadas o del modo de resolver alguna irregularidad. Usa profusamente de los datos heredados y conocidos del Almagesto, del Epítome de Regiomontano y otras obras clásicas, a los que añade los suyos, apareciendo 27 observaciones propias. El contenido de estos cinco libros es de lectura prácticamente imposible para los no especialistas en astronomía de posición y geometría esférica, y, como él mismo reclama, debió, de hecho, quedar reservado su estudio a los astrónomos y matemáticos avezados y profesionales. Pero el Libro I no era matemático. Al contrario, era transparente en sus enunciados y razonamientos. La influencia que tuvo lo convirtió en la obra que dio el pistoletazo de salida a un proceso que haría cambiar la perspectiva que el hombre tenía del mundo y del modo como acercarse a él. También de la imagen que de sí mismo se había hecho hasta entonces. Bibliografía AA.VV   Nicolás Copérnico.. Ed. Siglo XXI. Madrid, 1973 A.C.Crombie,  Historia de la Ciencia.  A.U. Madrid, 1980 Copérnico, N.  Comentariolus.  En “Opúsculos sobre el movimiento de la Tierra”. Edición de A. Elena. A.E. Madrid 1983 Copérnico, N.  Sobre las Revoluciones.. Ed. Tecnos. Madrid  1987 Delambre, M.  Histoire de l’Astronomie Moderne., Paris 1821 Elena, A   Las Quimeras de los Cielos. Siglo XXI. Madrid, 1985 Elena, A.  La Revolución Astronómica.  Ed. Akal. Madrid, 1995 Elena, A. y  Ordóñez, J.  Historia de la Ciencia.. U.A.M. , Madrid, 1988 Galuzzi, P. (ed).  Novità Celesti e Crisi del Sapere. Firenze 1984 García Hourcade, J.L. La rebelión de las astrónomos. Copérnico y Kepler.  Ed. Nivola. Madrid 2000. Garin, E.  Las Revolución Cultural del Renacimiento. Ed. Crítica. Barcelona, 1984 Gillispie. Ch.C. (Ed)  Dictionary of Scientific Biography. Charles Scribner’s & Son. New York 1981 Hanson, N.R.  Constelaciones y conjeturas. A.U. Madrid 1973 Hoyle, F.  Nicolás Copérnico.. A.E. Madrid, 1972 Kuhn, T.S.  La Revolución Copernicana.  . Ariel. Barcelona 1978 Mieli, A.  La Eclosión del Renacimiento Espasa Calpe, Madrid 1967 Mondolfo, R. Figuras e ideas del Renacimiento. Ed. Icaria. Barcelona, 1986 Romaña, A.  Difusión del sistema copernicano en el mundo. A. R.A.C.E.F.N.  t. LXVII,2º, 1973 Rosen, E.  Three Copernican Treatises.. Dover Publications, New York, 1959 Solís, C.  La Revolución Copernicana y quienes la hicieron.. Teorema, vol IV/1 1974 Taton, R. (Ed)  Historia General de las Ciencias.. Ed. Orbis. Barcelona, 1988 Vernet, J.  Astrología y Astronomía en el Renacimiento. Ariel. Barcelona, 1974

Jueves, 13 de Noviembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

79. Dedekind, Richard (1831-1916)

J[ulius] W[ilhelm] Richard Dedekind (Braunschweig, Alemania, 6 Octubre 1831 – 12 Febrero 1916). El matemático alemán Richard Dedekind fue una figura clave en el surgimiento de la matemática conjuntista y estructural del siglo XX. Su obra y su importancia han sido reevaluadas en los últimos treinta años, resultando que no deja de crecer la estimación que de él se tiene. Hasta cierto punto, se le puede considerar un moderno Euclides: dejó una huella muy importante en los elementos de la matemática, de ahí que los Bourbaki le consideraran uno de sus antecesores directos. Durante el siglo XX, a Dedekind se le ha conocido sobre todo por su aportación a los fundamentos del sistema numérico (definiciones de los números reales y naturales), pero su principal contribución como investigador fue en el terreno del álgebra y sobre todo la teoría de números algebraicos. Igual que quien sería su director de tesis: Gauss, el “primero entre los matemáticos”, Dedekind nació en Braunschweig (Brunswick), capital de un pequeño ducado situado al oeste de Berlín. Era el cuarto hijo de una familia acomodada, de padre jurista, profesor en el Collegium Carolinum de la ciudad. En ese mismo lugar, convertido en Politécnico, impartiría clases el matemático desde 1862 y durante más de 30 años, encargándose entre otras cosas (como rector) de su transformación en Escuela Técnica Superior. Siendo estudiante, en 1850 fue a la célebre Universidad de Göttingen, y escuchó entre otras las lecciones de Gauss sobre el método de mínimos cuadrados y las de Wilhelm Weber sobre física experimental. Tras el doctorado, fue miembro del Seminario Físico-Matemático de la universidad, donde conocería nada menos que a Bernhard Riemann, figura capital en su desarrollo como matemático. En el año 1854 se “habilitan” como profesores asistentes (Privatdozent) tanto Dedekind como su compañero Riemann, cinco años mayor. Pero, a diferencia de las tremendas contribuciones que hizo Riemann en sus dos tesis y en su lección de habilitación, no encontramos nada comparable en los trabajos de Dedekind. Eso sí, la lección de habilitación mostraba su interés por los fundamentos de la matemática y su orientación reflexiva y sistemática. Fue a partir de 1855, cuando muere Gauss y la universidad contrata a otra gran figura, Gustav Lejeune-Dirichlet, que Dedekind entró realmente en la atmósfera de la alta investigación. La interacción con Riemann, a cuyos cursos asistía regularmente, y la conversación diaria con el riguroso y omniabarcante Dirichlet, resultaron estímulos decisivos. Hacia 1856 nuestro hombre encontró el que sería su principal campo de trabajo. Escucha las lecciones de Dirichlet sobre teoría de números, famosas por haber puesto el contenido de las Disquisitiones arithmeticae de Gauss al alcance del “gran público” matemático, y las discute minuciosamente con su maestro. Pero sobre todo estudia los trabajos de Abel y Galois, a resultas de lo cual imparte un curso sobre álgebra superior y teoría de Galois, aparentemente el primero de este tipo en Alemania. El primero, y el más avanzado por mucho tiempo: se conserva un manuscrito (redactado probablemente hacia 1858, después de concluidas las lecciones) y de él se ha dicho que constituye “el primer tratamiento moderno del tema”. Concibe la teoría directamente en términos de extensiones de cuerpos, estudia cuidadosamente las relaciones entre dichas extensiones y los grupos de las ecuaciones, y además –a diferencia de sus contemporáneos– pone en segundo plano el estudio de las soluciones de ecuaciones. Pero Dedekind no llegó a publicar ese manuscrito cuidadosamente redactado, y de hecho tardó mucho (demasiado) en publicar contribuciones importantes. En 1858 se desplaza a Zurich como profesor del Politécnico (la famosa ETH posterior), año y lugar donde por cierto concibió su célebre definición de los reales mediante cortaduras. En 1862 vuelve a Braunschweig, y durante unos años parece abandonar la investigación para dedicarse a publicar trabajos de sus grandes maestros: las Vorlesungen über Zahlentheorie de Dirichlet (1863) y algunos trabajos de Riemann (en 1868 los célebres trabajos de habilitación, sobre geometría y sobre teoría de funciones reales, con la definición de la integral; en 1876 las obras completas editadas por él y Heinrich Weber). Segunda edición (1871) por R. Dedekind de las “Vorlesungen über Zahlentheorie de Dirichlet, que incluye un apéndice “sobre la teoría de los números enteros algebraicos” La razón de no publicar venía en buena medida de lo exigente que era Dedekind a la hora de juzgar sus logros, cosa quizá normal en alguien que había conocido en persona a Gauss y Riemann (!). Su largo trabajo sobre números algebraicos, hacia 1860, no le había permitido elaborar una teoría perfectamente general, y eso al parecer le desencantó. Por fin, ya a los 40 años, publica la segunda edición de las Vorlesungen de Dirichlet (1871), y dentro de ella –curioso lugar en una época ya de artículos especializados– un apéndice “sobre la teoría de los números enteros algebraicos”. Se ha llegado a decir que este trabajo dio forma a la teoría de números moderna. Aparecían aquí diversas estructuras algebraicas, estudiadas empleando homomorfismos, isomorfismos, clases de equivalencia: las estructuras de cuerpo, anillo –sin este nombre–, módulo, ideal (siempre dentro del contexto particular de los números complejos). La teoría de los enteros algebraicos se convertía en una teoría de ideales en anillos de enteros, y mediante esta transformación Dedekind lograba la generalidad deseada. Un ideal (en un anillo de números) es un conjunto de infinitos números enteros del anillo, cerrado para la suma y también para la multiplicación por números cualquiera del anillo. El replanteamiento que propuso Dedekind significaba introducir “a todo trapo” el lenguaje conjuntista en este campo de la matemática. La recepción de su trabajo fue lenta, sin duda porque se trataba de un cambio muy radical. Este punto es difícil de juzgar hoy para nosotros, acostumbrados como estamos desde muy pronto al lenguaje conjuntista. Pero en aquella época el álgebra era todavía la teoría de las ecuaciones, y el estudio de los enteros algebraicos consistía en estudiar propiedades y relaciones de números concretos. Dedekind pasaba a analizar las propiedades de la multiplicación de ideales, y esto representaba para sus contemporáneos una abstracción sumamente difícil. Se puede decir que sólo hacia 1890 encontró continuadores. Entretanto, Dedekind había publicado otras dos versiones de la teoría de ideales, en sendas reediciones del libro de Dirichlet (1879 y 1893). Estas nuevas versiones introducían cambios muy importantes, guiados por un ideal de pureza de método. Dado que el punto de partida de la teoría eran definiciones de estructuras conjuntistas, el método de trabajo debía basarse en el manejo lo más directo posible de conjuntos y morfismos. Dedekind era, en cierto sentido, más un sistemático que un matemático orientado a la resolución de problemas. En su afán de pureza, y de acuerdo con el espíritu “aritmetizador” de la época, llegó a sugerir en algún momento que el álgebra debía olvidarse de los polinomios. Pero ese mismo afán le llevó a desarrollar métodos que tenían un gran potencial de generalización; de ahí la famosa frase que Emmy Noether solía repetir a sus colaboradores: “ya está todo en Dedekind” (es steht alles schon bei Dedekind). La versión de 1893 incluía un nuevo tratamiento de la teoría de Galois, muy abstracto para la época, en términos de grupos de automorfismos del cuerpo correspondiente. Resultados como el teorema sobre independencia lineal de los automorfismos prefiguran el modo de trabajo del álgebra abstracta de los años 1920 (Artin, Noether). Sin embargo, los matemáticos de su momento se quejaban de tanta abstracción. Frobenius, que conocía bien a Dedekind y su trabajo, bromeaba diciendo que iba demasiado lejos y que sus morfismos eran “demasiado incorpóreos” (recuérdese que fue Dedekind quien introdujo el término “cuerpo”). Les parecía que con medios más tradicionales se podían desarrollar los resultados de un modo más económico y elegante, y así lo hizo por ejemplo Hilbert en su célebre Zahlbericht de 1897. Dedekind respondía que si elaboraran todo desde el principio y justificaran todos los pasos, el desarrollo al modo habitual resultaría más largo y complejo que el suyo. Pero su enfoque purista y abstracto tardó en imponerse. En 1882, Dedekind publicó junto a su buen amigo Heinrich Weber (entonces profesor en Königsberg, con el joven Hilbert entre sus alumnos) un trabajo fundamental sobre curvas algebraicas bajo el título “Teoría de las funciones algebraicas de una variable” (Journal für die reine und angew. Mathematik). Se establecía aquí un paralelismo muy notable con la teoría de ideales, y por esta vía puramente algebraica se llegaba a dar una definición de los puntos en una superficie de Riemann y se alcanzaba a demostrar el teorema de Riemann-Roch. El cambio con respecto al tratamiento habitual de estas cuestiones era de nuevo inmenso, los autores describían su método como “simple pero a la vez riguroso y plenamente general”. El tipo de paralelismo estructural que aquí se plantea sería premonitorio de la matemática del siglo XX. Se abría el camino a la geometría algebraica, que también recibió por entonces estímulos de Kronecker, el gran “contrincante” de Dedekind. A propósito de Kronecker, famoso por su enfrentamiento con Cantor, no está de más recordar que fue todavía más beligerante con Dedekind. (Si éste se lo tomó relajadamente, la razón hay que buscarla en las grandes diferencias entre su personalidad y la del genial pero inestable Cantor.) Kronecker y Dedekind compartían casi todo: campos de trabajo –teoría de números, álgebra, curvas algebraicas–, interés por los fundamentos y capacidad para ir a fondo en ambas direcciones. Pero había buenas razones para su enfrentamiento, no casual sino sintomático de dificultades que ya no desaparecerían. Se trataba del enfrentamiento entre los métodos y concepciones de la matemática moderna, conjuntista y estructural, por un lado, y por otro los métodos y concepciones de la matemática constructivista (que en cierta medida seguía más apegada a los modos de hacer tradicionales). Kronecker fue, en efecto, un antecesor muy coherente de Brouwer, Weyl, Lorenzen o Bishop, partidario de que todos los objetos matemáticos fueran definidos o construidos explícitamente a partir de los números naturales, sin recurrir al artificio de los conjuntos infinitos. Nada más lejano del punto de vista de Dedekind, quien creía, con cierta ingenuidad, que recurrir a conjuntos infinitos eran simplemente hacer uso de la lógica y del pensamiento racional. Siendo como era profesor en una Escuela Técnica, Dedekind no tuvo discípulos, no creó escuela. Pero además de la influencia de sus escritos, magníficamente presentados, estuvo su colaboración con grandes matemáticos como el citado Heinrich Weber, como Frobenius, etc. Años después de su artículo conjunto, Weber publicó un manual de álgebra que sería obra de referencia obligada durante tres décadas. La correspondencia con Frobenius, publicada hace poco, desempeñó un papel importante en el desarrollo de la teoría de caracteres de grupos. Las indicaciones de Dedekind fueron importantes para orientar a Frobenius, y también lo fue el trabajo de aquél sobre números hipercomplejos publicado en 1885. En una de las cartas escribe Frobenius: Hace ya mucho tiempo me sorprendía que no hubiera Ud. participado más activamente en el desarrollo de la teoría abstracta de grupos, pese a que, dada su disposición, este campo debía haberle resultado especialmente atractivo. Ahora veo que se ha ocupado Ud. de ella durante diez años, pero sin compartir con sus amigos y admiradores (¿quizá también, desgraciadamente, dada su disposición?) sus resultados extremadamente bellos. Y por supuesto está la famosísima correspondencia con Cantor, sobre todo de 1872 a 1882, en la que éste iba desarrollando sus geniales ideas nuevas y las sometía al riguroso análisis de su colega.  Es a Dedekind a quien Cantor dirige la conocida frase “lo veo pero no lo creo” (añadiendo “mientras no me dé Ud. su aprobación”) en referencia a la equipotencia de los continuos de cualquier número de dimensiones. El trabajo de Dedekind sobre fundamentos del número estaba íntimamente ligado con su investigación en álgebra y teoría de números. Este tipo de interacción es distintiva de su obra, y precisamente es lo que le condujo a dar con nociones fundamentales que tenían a la vez la generalidad necesaria para reconstruir todo el edificio de la matemática pura. Igual que veía el álgebra en términos de estructuras (esencialmente cuerpos o subestructuras de cuerpos) y morfismos, acabó reduciendo el concepto de número a conjuntos y aplicaciones. Nacía así, en paralelo con las novedosas contribuciones de Cantor, el enfoque conjuntista de los fundamentos. Lo característico y muy original de Cantor fue su fantástico viaje de exploración de lo que él llamaba transfinito; pero en lo relativo a reformular la matemática dentro del enfoque conjuntista, Dedekind fue más lejos y además se anticipó. El primer paso fundamental en esa dirección lo dio Dedekind en 1858, cuando ideó la definición de los números reales mediante cortaduras, insatisfecho porque hasta entonces la teoría de límites se apoyaba en evidencias geométricas. Dedekind advirtió que las propiedades de orden denso de los números racionales hacían posible utilizar el fenómeno de las cortaduras para definir los reales. Una cortadura es una partición de Q en dos subconjuntos disjuntos (A1, A2) tal que cada número de A1 es menor que todo número de A2. El conjunto de los números reales es (en esencia) el conjunto de todas las cortaduras sobre Q, y Dedekind demostraba rigurosamente que dicho conjunto es continuo. De este modo, podía demostrar con rigor que toda sucesión estrictamente creciente y acotada de reales tiene por límite un número real. Con ánimo polémico, Dedekind escribió que hasta ese momento nadie había dado los medios para demostrar que √2 · √3 = √6. De nuevo, su trabajo quedó muchos años sin publicar, y la razón –si creemos a su autor– fue que no era original, sino que cualquier buen matemático que decidiera prestar su atención al tema llegaría a algo similar. Sólo en 1872, teniendo que escribir algo para un volumen de homenaje a su padre, Dedekind sacó sus notas del cajón y publicó “Continuidad y números irracionales”, un artículo magistral. Se debe notar que aquí R queda caracterizado, al pie de la letra, como un cuerpo de números dotado de un orden lineal continuo (el orden denso del cuerpo Q era analizado también con toda precisión, pero sin usar el término “denso”). El descubrimiento de que los números reales eran reducibles a los números racionales, empleando sólo teoría de conjuntos, debió tener un efecto muy poderoso sobre Dedekind. Como muchos de sus contemporáneos, Dedekind creía (ingenuamente) que la teoría de conjuntos no era más que una parte de la lógica elemental. (Este punto de vista exigía recurrir implícita o explícitamente al principio de comprehensión, presunto axioma lógico que años después se demostró contradictorio gracias precisamente a las paradojas.) Al pensar de esa manera llegó al convencimiento de que –como escribió en 1888– “la aritmética”, pero también “el álgebra y el análisis”, son “sólo una parte de la lógica”. Nacía así, hacia 1872, el programa logicista en fundamentos de la matemática. Pero para establecerlo era necesario dar una teoría totalmente rigurosa de los números naturales, basada sólo en la teoría de conjuntos y aplicaciones. ¿Qué son y para qué sirven los números? de R. Dedekind (1888) Dedekind se puso manos a la obra durante los años 1870, y publicó sus resultados en el librito ¿Qué son y para qué sirven los números? (1888), una obra que hizo época, según dijo el propio Hilbert. El nivel de rigor alcanzado en el desarrollo de la aritmética de N era altísimo, sin precedentes, pero lo más notable era el enfoque. La teoría de los naturales, que siempre se habían considerado los objetos finitos por excelencia, se deducía íntegramente a partir de resultados sobre conjuntos infinitos. Otro ejemplo similar: la equipotencia entre todos y partes, que ya desde Galileo se había considerado la gran paradoja del infinito, se convertía simplemente en definición de conjunto infinito. En su libro, Dedekind axiomatizaba la aritmética de los naturales ofreciendo una caracterización de la estructura del conjunto de los números naturales. La idea es que N es un conjunto dotado de una aplicación inyectiva Φ (la función sucesor) y con un elemento distinguido 1, tal que: (a) Φ(N) ⊂ N, lo que le hace infinito; (b) 1 ∉ Φ(N), es decir, no es un sucesor; y (c) N es la Φ-cadena de , lo que intuitivamente significa que es el más pequeño conjunto que satisface (a) y (b) y es cerrado bajo Φ. Estas condiciones son equivalentes a los famosos axiomas de Peano, propuestos por éste un año más tarde. En concreto, la condición (c) de ser una cadena permite deducir el axioma de inducción. Pero lo cierto es que Dedekind era más general y más riguroso que Peano, como muestra por ejemplo el hecho de que desarrolló una teoría general de las definiciones recursivas. Para preparar esa definición de los naturales, Dedekind empezaba su libro presentando una teoría elemental pero general de conjuntos, en la que encontramos algunos de los axiomas de Zermelo. Estudiaba luego la teoría de aplicaciones, por primera vez en la historia, y finalmente desarrollaba una teoría general de cadenas que tuvo mucha importancia en el desarrollo de la teoría de conjuntos. Sólo a partir de la sección 6 limitaba sus consideraciones con vistas a la aritmética finita, y en algún lugar sugería que era fácil generalizar sus ideas al caso transfinito. Ahora bien, hay un punto (afortunadamente sólo uno) donde su enfoque no resultó aceptable a la vista de las antinomias: el intento de demostrar que existe un conjunto infinito. Las paradojas arruinaron la interpretación logicista de esos resultados, pero no el desarrollo teórico mismo, que fue reincorporado dentro de la teoría axiomática de conjuntos. (Por cierto, Zermelo solía denominar “axioma de Dedekind” al axioma del infinito, ya que las ideas esenciales y la necesidad de un principio así se encuentran en su trabajo.) Para quienes entendieron esa obra de Dedekind, y comprendieron sus conexiones con el álgebra y el análisis, los conjuntos y las aplicaciones se convertían en las piedras básicas con las que se construía todo el edificio de la nueva matemática estructural. Una de estas personas fue Hilbert, que –como hemos descubierto recientemente– fue partidario del logicismo de Dedekind hasta 1900 o algo más. Precisamente Hilbert escribió que el enfoque de Dedekind, con su idea de fundar lo finito en lo infinito, resultaba “deslumbrante y cautivador”. Dedekind fue un hombre de vida retirada, modesto, recto y exigente, aunque con sentido del humor. Soltero, vivió una existencia provinciana y cerrada junto a su madre y su hermana, rehusando incluso alguna cátedra universitaria por no alejarse de la familia. Eso sí, parece haber disfrutado mucho de la música (tocaba bien el cello y el piano), de la lectura (junto a su hermana, escritora de éxito), y de la naturaleza. Felix Klein, hombre de mundo, amante del poder y las grandes empresas, escribió de él: Su fuerza estaba en la capacidad de penetrar profundamente en los principios de su ciencia; fue en esencia un hombre de natural contemplativo, al que quizá le faltaba empuje y capacidad de decisión. Quizá, más que nada de esto, de lo que careció es de ambición y, sin duda, de espíritu aventurero. Bibliografía: G. Cantor & R. Dedekind, Briefwechsel, Paris, Hermann, 1937. (Hay trads. francesa de Cavaillès e inglesa de Ewald.) R. Dedekind, Mathematische Werke, 3 vol., Braunschweig, Vieweg, 1930–1932. R. Dedekind, ¿Qué son y para qué sirven los números?, ed. & introduc. J. Ferreirós, Madrid, Alianza/UAM, 1997. R. Dedekind, Theory of algebraic integers [trad. de un artículo original en francés, 1877], Cambridge Univ. Press, 1996. G. L. Dirichlet y R. Dedekind, Vorlesungen über Zahlentheorie, Braunschweig, Vieweg, 1863, 1871, 1879, 1894. Reimpresión de la 4ª edición en New York, Chelsea, 1968 (selecciones de las otras eds. en Werke, vol. 3). Versión inglesa: American Mathematical Society (AMS), 1999. P. Dugac, Richard Dedekind et les fondements des mathématiques (avec de nombreux texts inédits), Paris, Vrin, 1976. H. M. Edwards, The genesis of ideal theory, Arch. Hist. Exact Sciences 23 (1980), 321-378. H. M. Edwards, Dedekind's invention of ideals, Bull. London Math. Soc. 15 (1983), 8-17. Reimpreso en Studies in the history of mathematics (Washington, DC, 1987). J. Ferreirós, Labyrinth of Thought: A history of set theory, Basel, Birkhäuser, 1999.

Martes, 18 de Noviembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

80. Descartes, René (1596-1650)

[31 de marzo de 1596 a la Haye (ahora Descartes), Touraine 11 de febrero de 1650, Estocolmo, Suecia] René Descartes es un filósofo integral cuya obra Géométrie [Geometría] ha jugado un papel muy importante tanto en su sistema filosófico global cuanto en la historia del pensamiento matemático. Por esta razón es de gran provecho releerla de nuevo para comprender la evolución de dicho pensamiento antes y después de Descartes. Descartes fue educado en el colegio de los jesuítas de La Flèche de Anjou. Ingresó a los nueve o diez años y permaneció en la institución hasta 1615. Al parecer, por motivos de salud, se le permitía permanecer en la cama hasta las once de la mañana, una costumbre que Descartes mantendría a lo largo de toda su vida. En La Flèche estudió fundamentalmente a los clásicos, filosofía y lógica en la tradición aristotélica. En cambio, bajo la influencia de Clavius, del Collegio Romano —el centro en el cual se formaban los cuadros de los jesuítas—, los centros educativos de esta orden prestaron un especial interés por las matemáticas de la época. Así pues, Descartes, bajo la atenta mirada del padre Jean François, entró en contacto con los textos matemáticos de la época probablemente a través de la obra crítica de Clavio. Sin embargo, según expone el propio Descartes en la introducción al Discours de la méthode [Discurso del método] las enseñanzas que recibió no le satisfacían, exceptuando las de la matemática porque proporcionaban un conocimiento verdadero. La verdad como garantía del conocimiento es uno de los leitmotivs de Descartes a lo largo de toda su filosofía. Por esta razón pensó que toda forma de pensamiento debería basarse en los mismos principios en los que se basaban las matemáticas: simplicidad y claridad. Estas bases se hallan expuestas de forma específica en las inacabadas Regulæ ad directionem ingeniï [Reglas para la dirección  del espíritu] y en el ya citado Discurso del método. Los estudios de derecho los realizó en la Universidad de Poitiers, en donde obtuvo el grado en 1616. Este mismo año se alistó en la escuela militar de Breda. En 1618, cuando estaba estudiando matemáticas y mecánica bajo el influjo del científico holandés Isaac Beeckman, se planteó la necesidad de establecer una ciencia unificada que fuese apta y útil para el estudio de la Naturaleza. Esta concepción de la unidad del conocimiento no le abandonaría jamás. En 1619 se unió al ejército de Baviera. Entre 1620 y 1628 viajó por Europa. En 1623, hallándose en París, entró en contacto con el padre mínimo Marin Mersenne, circunstancia indispensable para poder mantener un nexo vivo y permanente con el resto de eruditos de Europa. Viajó a Italia para conocer a Galileo Galilei, pero la fortuna no le acompañó y nunca llegó a producirse el encuentro. Cuando en 1628 decidió retirarse de la vida cortesana de París y establecerse definitivamente en un lugar tranquilo, eligió Holanda —los Países Bajos— en los que permaneció los siguientes veinte años. Fueron años de reflexión, de meditación, de trabajo, y de producción. Se ha dicho que Descartes, descontento con las enseñanzas que se impartían en los Centros más prestigiosos basadas en los textos de los filósofos de la Antigüedad, se propuso substituirlas por su nueva visión del conocimiento. Recién acabado de establecerse en Holanda, inició esta tarea con un tratado de filosofía de la naturaleza, Le Monde, ou Traité de la lumière [El Mundo, o Tratado de la luz]. Se basaba en las ideas copernicanas, defendidas por Galileo. Pero cuando éste fue condenado por el Santo Oficio de Roma, decidió no publicar su tratado. A pesar de que nunca perdió el contacto, a través de Mersenne, con los pensadores franceses e ingleses, ni tampoco con Beeckmann, en Holanda conoció, entre otros,  a Mydorge, Hortensius, Huygens, y Frans van Schooten. Con alguno de ellos se estableció una auténtica amistad. Ellos le instaron para que publicara sus ideas, lo cual  Descartes hizo  con un tratado sobre ciencia que tenía por título Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la Verité dans les Scienes, plus trois Essais, La Dioptrique, Les Météors, et la Géométrie [Discurso del método para razonar correctamente y buscar la verdad en las ciencias, seguido de tres Ensayos, La Dióptrica, Los Meteoros, y la Geometría]. Escrito en francés "para que lo pudieran entender hasta las mujeres", se publicó en Leyden en 1637. Refiriéndose a este Tratado, dice a Mydorge: En la Dióptrica y los Meteoros he intentado mostrar que mi método es superior que el método vulgar, y con la Geometría lo he demostrado. Primera edición del “Discours de la Methode” de R. Descates (1637) Este texto está íntimamente ligado con el Tratado, no publicado, de la Luz y también con un texto inacabado de juventud, las Regulæ. Con los ensayos pretende ofrecer textos alternativos a los de óptica, astronomía y geometría de los currículums habituales. Además constituyen un ejemplo de la unidad del pensamiento, por lo menos, por lo que se refiere a la ciencia. En la Geometría estudia los óvalos [de Descartes], que, en la óptica, utiliza para hacer lentes, en la Dióptrica da las leyes matemáticas de la reflexión y de la refracción, y en los Meteoros las usa para explicar el porqué del arco iris. Pero Descartes quería también aportar sus nuevos puntos de vista en los campos de la filosofía, la teología, y la ética. Por esta razón publicó Méditationes de prima philosphia (1641) y Principia Philosophiæ (1644), Les passions de l'âme (1649), etc. Los Principia Philosophiæ constan de cuatro partes que versan sobre el conocimiento humano, sobre los principios de las cosas materiales, sobre el mundo visible, y sobre la Tierra. En dicho tratado sostiene —en la línea de Galileo— que el estudio del universo debe reducirse a la matemática a través de una cierta mecánica. Sin embargo, sus presupuestos metafísicos eran muy rígidos —no aceptaba la posibilidad de la "acción a distancia", ni tampoco la existencia del vacío, etc.—, y le impidieron darse cuenta de la importancia del fenómeno de la gravedad. En este sentido es paradigmático el ejemplo de su demostración de la ley de la refracción de la Dioptrique, basada más en las "cualidades", en la línea clásica, de la luz que en un modelo matemático como el que ofrecería Pierre de Fermat, basado en el principio de la mínima acción: "la luz sigue el camino más breve". Sin embargo, hemos de afirmar, en honor a la verdad, que su mathesis fue bien acogida por los pensadores de la generación siguiente y halló su síntesis —en el tercer tercio del siglo XVII— en la obra genial de Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz. En 1647, con ocasión de un viaje a París, Descartes pudo conocer a Blaise Pascal con el cual sostuvo una discusión acerca de la existencia del vacío en la Naturaleza. En 1649, cuando Descartes era considerado uno de los sabios más notables de Europa, la reina Cristina de Suecia le persuadió para que se instalase en su corte de Estocolmo. Las consultas de la reina a altas horas de la noche y de la madrugada —que quebraban las costumbres de Descartes— junto con el rigor del frío en Suecia en invierno, llevaron a Descartes a contraer, a los pocos meses de estancia en Estocolmo, una neumonía que pondría fin a su vida el 11 de febrero de 1650, cuando aún no había cumplido 54 años. Descartes dejaba una obra importante y sobretodo novedosa. Pero, con la perspectiva del tiempo —sin pretender cuestionar en absoluto su importancia como pensador global y como filósofo de una influencia decisiva en el pensamiento occidental moderno—, podemos afirmar que, de entre todas, la obra que realmente supuso una revolución en la manera de entender la disciplina de la que trataba es la Géométrie. Todavía mantiene, en gran parte, toda su vigencia. Es por esta razón que le dedicaremos un poco más de atención que al resto de sus obras. La importancia matemática de "La géometrie" hizo que, poco después de su aparición, se publicara separadamente del Discurso. Los problemas de la geometría griega eran, según la clasificación de Pappos, de tres tipos: planos, sólidos y grámicos, según que, para resolverlos, bastasen la regla y el compás, se requiriese además alguna de las secciones cónicas o, en fin, algún tipo de curva que no fuese ninguna de éstas, como la cuadratriz, la espiral de Arquímedes, la concoide, la cisoide, etc. Ahora bien, en la época de Descartes, se dispone de un lenguaje nuevo gracias a las aportaciones de muchos ilustres geómetras, de entre los cuales, en Francia, cabe destacar a François Viète. Este nuevo lenguaje permite expresar ciertas curvas, no ya por medio de una característica geométrica definitoria, sino por medio de una expresión algebraica cerrada que, en el más simple de los casos, es una ecuación polinómica en dos variables. Con este bagaje Descartes, en el Libro I, De los problemas resolubles por medio de rectas y circunferencias, analiza los problemas que los griegos resolvían con el uso exclusivo de la regla y el compás, observando que, con estos instrumentos, puede sumar, restar, multiplicar, y dividir dos segmentos dados, y obtener un nuevo segmento cuya longitud sea, respectivamente, la suma, diferencia, producto, y cociente de las longitudes de los segmentos dados. Y, además, puede extraer la raíz cuadrada de un segmento dado. En breve, dados dos segmentos de longitudes a y b, puede construir los segmentos cuyas longitudes resepctivas sean a+b, a-b, ab, a/b, y √a. Para ello, sin embargo, Descartes precisa de un segmento unidad al cual referir las longitudes de los restantes segmentos rectilíneos. Con esta lectura algebraica de la geometría Descartes rompe con dos de los presupuestos epistemológicos de la geometría griega: 1) Todo segmento tiene asignada una longitud —un número—, con independencia del carácter conmensurable o inconmensurable del valor de dicha longitud. 2) El producto de dos o tres segmentos es un segmento y no un rectángulo o un paralelepípedo, con lo que el problema de la dimensión geométrica deja de ser un impedimento para la generalización. Es posible multiplicar más de tres segmentos. La transcripción algebraica le permite afirmar: Las ecuaciones de segundo grado son resolubles con regla y compás. Y puede mostrar cómo hay que hacerlo para resolverlas geométricamente. Conviene recordar en todo momento que lo que Descartes hace —así lo indica en  título del ensayo, Géométrie— es geometría. De ahí la importancia de una construcción geométrica efectiva y completa. Además, en uno de aquellos momentos de genialidad que le caracterizan, afirma que: Cualquier problema resoluble con regla y compás lleva siempre, en última instancia, a una ecuación de segundo grado. Esta afirmación será precisada y demostrada doscientos años más tarde, en 1837, por Jean Pierre Wantzel. Sin embargo, el filósofo era consciente que su método debía ir más allá y resolver problemas que, en la geometría griega, eran difícilmente resolubles o incluso eran imposible resolver.  Por esta razón plantea, a modo de colofón del Libro I, el problema de las tres y las cuatro rectas que había sido estudiado por Apolonio y resuelto parcialmente por Pappos. En síntesis, establece: Dadas cuatro rectas, dos de las cuales pueden ser la misma, el lugar geométrico de los puntos C del plano tales que el producto de las distancias a dos de las rectas es proporcional al producto de las distancias a las otras en una proporción dada, es una sección cónica. El éxito de Descartes es doble. Por un lado, puede reescribir el problema en función de las coordenadas x,y del punto C. Obtiene una ecuación general de segundo grado en x,y. Entonces, en el Libro II, establece: Toda ecuación de la forma Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Ex + 2Fy + G = 0 es una cónica y su naturaleza depende del signo del discriminante Δ = B2 - 4AC. Se plantea entonces la cuestión: ¿Tiene sentido plantear el resolver el problema cuando hay más de cuatro rectas? ¿Es posible resolverlo? La respuesta es afirmativa: No hay limitaciones espaciales y cualquier problema lleva a una ecuación polinómica. Entonces Descartes plantea y resuelve el más simple de los problemas aún  por resolver. Es el problema de las cinco rectas, cuatro de las cuales son paralelas y equidistantes y la quinta es perpendicular a todas ellas. Obtiene la cúbica semiparabólica: y3 - 2ay2 - a2y + 2a3 = axy. Así pues, de lo que se trata es 1) de caracterizar las ecuaciones polinómicas y 2) de ver, de alguna manera, si las ecuaciones polinómicas corresponden a problemas geométricos. Por lo que, a la primera cuestión se refiere, Descartes decide que las únicas curvas que podemos considerar como geométricas son aquellas que admiten una caracterización algebraica polinómica, aun cuando, para él, esta caracterización sea siempre subsidiaria. Lo importante es que procedan de un problema geométrico en el cual se dé una teoría de la proporción dependiente. Las curvas cuya teoría de la proporción es independiente, las llama mecánicas y las excluye de la Geometría. Esto será criticado muy vehementemente por Leibniz que introducirá las curvas algebraicas —son las cartesianas— y las curvas trascendentes —son las que trascienden el álgebra. Para Descartes las curvas geométricas deben ser construíbles con algún ingenio que tenga la misma precisión que la regla y el compás. No hay razón alguna, según Descartes, para limitarse a estos dos instrumentos a la hora de resolver problemas geométricos. De ahí los compases que Descartes ofrece justo al inicio del Libro II, De la Naturaleza de las curvas. Es curioso observar que, con el segundo de sus compases, se puede construir la cúbica semiparabólica que resuelve el problema de las cinco rectas que acaba de analizar. Además se pueden fabricar curvas de cualquier grado. Sin embargo, Descartes no plantea el problema de si toda curva geométrica va asociada a algún tipo de compás que permita construirla. De ahí la importancia de la segunda cuestión planteada: Toda curva polinómica proviene de un problema geométrico. Descartes lo resuelve afirmando que Toda curva geométrica —polinómica— proviene de algún problema de las 2n-1 o 2n rectas. Sin embargo, como observaría Newton, esta afirmación es falsa. A pesar de que la ecuación de una curva sea, para Descartes, algo subsidiario, el geómetra advierte la importancia que tiene conocer la ecuación de una curva para poder determinar elementos geométricos de la curva, cuales son el centro, el vértice, los ejes, los diámetros, etc.  Pero va mucho más lejos y resuelve "el problema más difícil que podía imaginar". Página del Libro II de “La géometrie” de Descartes. Este problema consiste en determinar el ángulo que forman dos curvas. Recordemos toda la discusión de la época escolástica acerca del ángulo de contacto que debía ser más pequeño que cualquier ángulo rectilíneo sin ser nulo, poniendo en tela de juicio la imposibilidad de la existencia de los infinitésimos. El ángulo que forman dos curvas se mide por medio del ángulo que forman las normales de las curvas en el punto de contacto. Es preciso, pues, determinar la normal a una curva en un punto. Para ello Descartes introduce el círculo osculador de una curva, adelantándose a la curvatura de una curva y al radio de curvatura. El círculo osculador a una curva Φ(x,y)=0 en un punto C de la misma, es aquel círculo que la toca pero no la corta. Es decir, que es tangente a la curva en el punto C. Su radio OC, en donde O es el centro de dicho círculo, nos da la dirección de la normal a la curva en el punto C.  Pero, ¿Cómo podemos determinar el círculo osculador a la curva Φ(x,y)=0, en el punto C? La respuesta de Descartes, de este problema geométrico, es algebraica. Bastará que el círculo y la curva se corten en un punto doble. Es decir, tenemos la ecuación de la curva y la ecuación de la circunferencia del círculo osculador: Si eliminamos, por ejemplo, y, obtenemos una ecuación polinómica P(x)=0 que debe tener un a raíz doble x=a. Esto, según Descartes, lo podemos expresar en la forma: P(x)=(x-a)2Q(x), en donde Q(x) es un polinomio que corrige el grado de (x-a)2 y que se obtiene por el método de los coeficientes indeterminados, un método introducido por Descartes y también, simultáneamente, por Fermat. Ello permite determinar finalmente los parámetros v y s, teniendo en cuenta que a es x. Todo ello lo puede aplicar entonces Descartes a la óptica y a la fabricación de lentes. Introduce los famosos óvalos [de Descartes] y los analiza. Sin embargo para una comprensión cabal de su exposición hacía falta familiarizarse con  el lenguaje del álgebra y con las técnicas de resolución de ecuaciones polinómicas. Además, los matemáticos griegos habían planteado, y resuelto, problemas que no eran planos como la trisección del ángulo y la duplicación del cubo. Por esta razón Descartes ofrece un tercer Libro, De la construcción de los problemas sólidos y más que sólidos, en el cual expone los rudimentos del lenguaje algebraico de los polinomios, entre los cuales incluye la famosa regla de los signos que, según John Wallis, ya era conocida con anterioridad por Thomas Harriot. Nos indica la manera de resolver las ecuaciones cúbicas y las cuárticas, en cuyo caso ofrece un método personal de una gran originalidad: Toda cuártica se puede descomponer como el producto de dos ecuaciones de segundo grado, los coeficientes de las cuales se obtienen, por el método de los coeficientes indeterminados, resolviendo una ecuación cúbica. Formalmente, dada la cuártica reducida  x4 + bx2 + cx + d, hacemos x4 + bx2 + cx + d = (x2 + αx + β)(x2 - αx + γ) Entonces basta determinar los números reales α, β, γ, lo cual siempre es posible. Después basta resolver las dos ecuaciones de segundo grado, si ello es posible. Este método sería el que elegiría Leonhard Euler para resolver una  ecuación polinómica en general, pero no podemos garantizar que, para grados superiores, podamos resolver las ecuaciones que permiten determinar los coeficientes de las ecuaciones de segundo grado. Descartes, además, establece el enunciado del teorema fundamental del álgebra en los términos: Podemos imaginar que una ecuación polinómica tiene tantas raíces como el grado. De ahí el nombre de número imaginario que se dio a las raíces no reales de las ecuaciones polinómicas. El primer intento por demostrar este teorema lo debemos a Jean le Rond d'Alembert y data de 1746. Para Descartes, sin embargo, las únicas raíces aceptables son las reales positivas —que llama raíces positivas. Las negativas —que llama falsas— son aceptables porque son las raíces de la ecuación polinómica que se obtiene al substituir X por -X. Pero fiel a su propósito geométrico, Descartes se ve obligado a dar una interpretación geométrica de las ecuaciones cúbicas y cuárticas. Entonces establece que toda cuártica se puede resolver cortando un círculo y una cónica adecuados. Establece con toda claridad la equivalencia que hay entre resolver una cúbica irreducible en el sentido de Gerolamo Cardano —de discriminante negativo— y la trisección del un ángulo, mientras que las cúbicas no irreducibles equivalen a saber doblar un cubo. Da un método geométrico para trisecar un ángulo dado. El carácter generalizador de su método lo lleva a preguntarse como podemos resolver geométricamente una ecuación polinómica, en general. Pero, en realidad, sólo lo hace para las quínticas y las séxticas. La idea consiste en cortar una circunferencia con una curva adecuada —en el caso de las ecuaciones de segundo grado, con una recta; en el caso de las cúbicas y cuárticas, con una cónica. Pues bien, en el caso de las quínticas y las séxticas se puede recurrir a la cúbica semiparabólica que ha obtenido en el caso de las cinco rectas, con lo que su obra se cierra con una unidad que parecía difícil de conseguir. No es ésta la única aportación que Descartes hizo a la matemática —recordemos su método para aproximar con regla y compás la longitud de una circunferencia de radio dado, sus contribuciones en aritmética, su intento por resolver el problema de deBaunne, su aproximación a la fórmula de Euler-Poincaré, las curvas algebraicas que introdujo, como los óvalos, el folio, etc.—, pero es sin duda la más importante de todas y una de las más importantes de la primera mitad del siglo XVII y uno de los textos básicos de toda la historia de la matemática. En él, Descartes no sólo introduce la geometría analítica o cartesiana sino que pone los cimientos de la geometría algebraica. Basten los ítems expuestos para comprender su profundidad, unidad interna, originalidad y novedad y recúrrase a la bibliografía para una mayor profundización. Bibliografía: - Obras de Descartes [1] Oeuvres de Descartes. Publicadas por Charles Adam y Paul Tannery. Vrin. París 1996. [2] Le Monde ou Traité de la lumière. Traducción castellana de Ana Rioja, El Mundo o Tratado de la luz. Alianza editorial. Madrid 1991. [3] Regulæ ad directiomen ingenii. Traducción castellana de Eloy Rada, Reglas para la dirección del espíritu. Alianza editorial. Madrid 1987. [4] Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et cherché la Verité dans les Scienes, plus trois Essais, La Dioptrique, Les Météors, et la Géométrie. Traducción castellana de Guillermo Quintás, Discurso del método para razonar correctamente i buscar la verdad en las ciencias, seguido de tres Ensayos, La Dióptrica, Los Meteoros, y la Geometría. Ediciones Alfaguara. Madrid 1981. [5] Principia philosophiæ. 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