181. Presentación de la sección "Historia" de la Gaceta

LA GACETA vol. 1, no. 2 (1998), 229-233. Ver detalles del documento

Martes, 10 de Febrero de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

182. A un siglo del descubrimiento de "EL MÉTODO" de Arquímedes por Heiberg

LA GACETA vol. 9, no. 3 (2006), 715-744. Ver detalles del documento

Martes, 03 de Febrero de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

183. Los Sólidos Platónicos: Historia de los Poliedros Regulares

«Pitágoras investigó los teoremas de un modo inmaterial e intelectual y descubrió la dificultad de los números irracionales y la construcción de las figuras cósmicas [poliedros]». PROCLO DE LICIA. Comentarios al Libro I de los Elementos de Euclides. «Hace falta explicar qué propiedades deberían tener los cuerpos más bellos, [...], deben tener la propiedad de dividir en partes iguales y semejantes la superficie de la esfera en que están inscritos». PLATÓN. Timeo 54b-55a. «La culminación de Los Elementos de Euclides con la construcción de los poliedros responde al interés especial que mostraban los filósofos griegos por todo lo que atañe a los cuerpos regulares». F.KLEIN. Matemática elemental desde un punto de vista superior. Vol. II. Geometría. Biblioteca Matemática. Dtor: J.Rey Pastor. Madrid, 1931. p.260. Estudios de Leonardo da Vinci (1513) sobre la Geometría de los poliedros con especial énfasis en el Cubo y el Icosaedro. Códice Atlántico (f. 518r). ÍNDICE 1. Introducción 2. Los poliedros en el Neolítico 3. La Cosmogonía poliédrica pitagórica 4. Los Poliedros en El Timeo de Platón 5. El Libro XIII de Los Elementos de Euclides 6. Los Poliedros en el Renacimiento. Della Francesca, Luca Pacioli y  Durero 7. La Cosmología poliédrica de Kepler 8. Los poliedros en los tiempos modernos 9. Los Poliedros en el Arte del siglo XX: Gaudí, Escher y Dalí 10. Epílogo 11. Bibliografía   1. Introducción La exuberante geometría de los sólidos platónicos, por sus significativos atributos de naturaleza geométrica, estética, simbólica, mística y cósmica, ha fascinado en todas las civilizaciones, desde los pueblos neolíticos hasta nuestros días. Los poliedros son el núcleo de la cosmogonía pitagórica del Timeo de Platón que los asocia con la composición de los elementos naturales básicos, teoría de orden místico-filosófico que tendrá una decisiva influencia en la cosmología poliédrica de Kepler. Euclides recoge la herencia pitagórica y platónica y sitúa a los cinco sólidos regulares en el clímax final de Los Elementos, como glorificación y cenit de un tratado geométrico tan brillante, en lo que se considera el primer teorema de clasificación de la Matemática. Los poliedros han sido en todas las épocas símbolo y expresión placentera de la belleza ideal, de ahí su presencia en la composición de muchas obras y tratados de artistas y teóricos renacentistas (Piero della Francesca, Pacioli, Leonardo, Durero,...), que diseñan y escriben entre el Arte y la Geometría, tomando como argumento el encanto y la seductora perfección de los sólidos platónicos. En los tiempos modernos los poliedros han sido un importante nexo que vincula cuestiones de Matemática superior (Topología algebraica, Teoría de Grupos, …) con la resolución de ecuaciones algebraicas y la Cristalografía, pero también, por su belleza y misterio, una fuente inagotable de inspiración que enciende la fantasía de creadores, diseñadores y artistas, entre los que sobresale la espectacularidad de los impresionantes trabajos de aplicación de los poliedros en Gaudí, Escher y Dalí, que como sus antepasados, geómetras y artistas, imputan a su geometría funciones de orden estético, cosmológico, científico, místico y teológico. Nota: La mayor parte del contenido de este texto es la traducción al castellano del siguiente artículo que he publicado en catalán: GONZALEZ URBANEJA, P.M.: Els sòlids pitagòricoplatònics. Geometria, Art, Mística i Filosofia. BIAIX. 21, pp. 10-24, 12/03. Federació d’entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya.

Jueves, 08 de Enero de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más

184. Astronomía: El cielo y las mujeres en los mitos y en la historia

A pesar de que la contribución de los saberes femeninos ha sido sistemáticamente eliminada de todas las historias, es posible rastrearla en los mitos y leyendas que decantan las creencias populares. El culto a la Luna lo fue a la sabiduría de las leyes naturales y a los poderes creativos y fértiles de la Naturaleza dadora de la Vida y de la Muerte y artífice del renacimiento anual. En las latitudes medias, se puede asignar una estación a cada una de las etapas de ese renacimiento. Las estaciones llevaron a la observación de los cielos y los periodos de las mujeres llevaron al descubrimiento de la analogía entre los ciclos de la luna y el ciclo menstrual de la mujer. La divinidad lunar fue adorada como el mismo principio femenino. En las primeras civilizaciones, cuando los dioses y las diosas fueron personificados, existían diosas que controlaban muchos aspectos de la vida y el destino humanos. “El que las mujeres hubieran ascendido hasta la cima de la divinidad refleja la posición que ocupaban, dentro de la sociedad, antes de que se implantara la familia patriarcal, la propiedad de la tierra y la división de clases."1 La degradación de las divinidades femeninas a favor de los dioses comenzó con el nacimiento de ese sistema patriarcal, que en Egipto se supone hacia la V dinastía del imperio antiguo. Esta degradación es ya evidente en la mitología grecolatina, escrita en el cielo, pedagógicamente, en la Ilíada y la Odisea: Con aquel dulce viento, Ulises divino desplegó su velamen; sentado rigió con destreza el timón; no bajaba a sus ojos el sueño, velaba a las Pléyades vuelto, al Boyero de ocaso tardío y a la Osa, a que otros dan el nombre del Carro y que gira sin dejar su lugar al acecho de Orión; solo ella de entre todos los astros no baja a bañarse al Océano. La divina entre diosas Calipso dejó dicho a Ulises que arrumbase llevándola siempre a su izquierda." Odisea, Canto V (269-277) La Osa no baja a bañarse al Océano porque Zeus, el dios Todopoderoso, así lo dispuso: El nombre de las Osas proviene de Arcas, que significa oso en griego. Arcas fue hijo del dios Zeus y de la ninfa Calixto, de la corte de la diosa Diana. Calixto fue expulsada por Diana tras dejarse seducir por Zeus. La diosa Hera, esposa celosa de Zeus, convirtió a la madre, Calixto, y al hijo, Arcas, en osos. Zeus los puso en el cielo, una junto al otro y Hera, envidiosa de verles en el cielo, pidió a Poseidón, el dios del mar, que les prohibiera bañarse en sus verdes aguas, por eso nunca llegan a tocar el horizonte. Al otro lado del espejo, Casiopea, reina de Egipto, gira en el cielo en torno a la estrella Polar, junto a su hija Andromeda y su esposo Cefeo. La hermosa Casiopea se creía más bella que las nereidas, ninfas de los mares. Furioso, Poseidón envió un monstruo al país. Consultado el Oráculo, éste indicó que, para aplacar al dios de los mares y los océanos , Andrómeda debía ser encadenada a una roca, en la orilla de la playa, para ser devorada por una monstruosa ballena. Perseo, hijo de Júpiter y esposo de Andromeda, salvó a la princesa montado sobre Pegaso, el caballo alado. Desde entonces evoluciona junto a ella en las noches boreales y sigue protegiéndola de la ballena a la que estaba destinada en sacrificio.

Jueves, 08 de Enero de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más

185. Sixto Ríos García: el matemático que impulsó la Estadística española en el siglo XX

LA GACETA, vol. 12, no. 2, 2009, 369–391. Ver detalles del documento

Martes, 26 de Mayo de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

186. El Siglo XIX

Junto a Arquímedes y Newton, Gauss es sin duda uno de los tres genios de la historia de las Matemáticas. Sus aportaciones en todos los campos matemáticos fueron increíbles, aunque algunos de sus descubrimientos tuvieran que esperar más de un siglo para ser valorados debidamente.     Gauss (1777-1855) Cauchy (1789-1857) Galois (1811-1832) Abel (182-1829) Lovatchevsky (1792-1856) Kovalévskaia (1850-1891) Reimann (1826-1866) David Hilbert (1862-1943)     Las aportaciones de Gauss en todos los campos de la Matemática son inestimables: Teoría de números, Astronomía, Magnetismo, Geometría, Análisis... Cualquier gran descubrimiento matemático a lo largo de este siglo encuentra detrás la alargada sombra de Gauss. Sólo en Francia otra figura es capaz de hacerle sombra, Cauchy, dando paso, o mejor obstaculizando, a dos jóvenes genios: Abel y Galois.

Viernes, 13 de Febrero de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

187. El Siglo XVIII

La familia matemática por excelencia en la historia, los Bernuilli, el matemático más prolífico, Euler, los matemáticos de la Revolución Francesa... van a convertir el siglo XVIII en el siglo de oro de las Matemáticas. No podemos ver a todos pero esta es una notable selección:  Matemáticos Siglo XVIII L´Hopital (1661-1704) Jean Bernuilli (1667-1748) Jakob Bernouilli (1654-1705) Maupertuis (1698-1759) Leonard Euler (1707-1783)   Matemáticos de la Revolución Francesa Gaspar Monge (1746-1818) Joseph Louis Lagrange (1736-1813) Adrien Marie Legendre (1752-1833) Pierre Simon de Laplace (1749-1827) Muchos ven en la Revolución Francesa sólo el imperio del Terror simbolizado en la guillotina, que por desgracia tiraba por tierra no sólo las viejas ideas sino también las cabezas de los que las defendían y de paso también las de algún que otro revolucionario. Pero a la Revolución Francesa también le debemos la declaración de los derechos del Hombre y del Ciudadano. Desde entonces ya nada será igual en el viejo continente. El árbol de la Ciencia en la Enciclopedia Francesa Lo que en un principio iba a ser una simple traducción de la Cyclopedia del inglés Chambers, va a convertirse en manos de Diderot en la recopilación de todos los conocimientos contemporáneos, en una obra de progreso que recogerá todas las artes mecánicas. El encargado de la parte científica será D´Alembert el matemático francés más brillante de la época.

Viernes, 13 de Febrero de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

188. Fermat y Descartes

Aunque Fermat sea más conocido por su famoso "último teorema" que ha traído en vilo a los matemáticos durante más de 3 siglos, es junto a Descartes el padre de una aportación mucho más importante, la geometría analítica. Ambos estuvieron a un solo paso de algo mucho más notable: la creación de cálculo diferencial.     Rene Descartes (1596-1650)   Pierre de Fermat "La Geometría" Los "torbellinos" del sistema solar. Descartes   "La Geometría" es uno de los tres ensayos que acompañan el Discurso del Método, y del que son un ejercicio de aplicación sistemática. Los otros dos ensayos son "Los Meteoros" y "La Dióptrica" "La Geometría" está dividida en tres "Libros". El primero de ellos trata "Sobre los problemas que pueden construirse empleando solamente círculos y líneas rectas". El segundo "Sobre la naturaleza de las curvas". El tercero "Sobre la construcción de problemas sólidos y supersólidos". Su mayor aportación, es la combinación de recursos algebraicos y geométricos, para la resolución de problemas cuyo enunciado puede venir dado en forma de problema geométrico o algebraico. La historia ha simplificado esta combinación reduciéndola a una simple traducción de curvas geométricas a ecuaciones algebraicas, pero Descartes en el libro tercero de la Geometría se recrea justo en el viaje en sentido contrario. En él descubre la regla de la alternancia de los signos de los coeficientes de una ecuación: Una ecuación tiene a lo sumo tantas raices "verdaderas" (positivas) como cambios de signos entre los coeficientes y tantas "falsas" como permanencias de signo. Y demuestra que toda ecuación de cuarto grado es la intersección de una parábola con una circunferencia   Fermat contagió esta fiebre de buscar números amigos a su colega y competidor Descartes que encontró estos otros dos aún más sorprendentes: 9.363.584 y 9.437.056 Pierre de Fermat   Fermat nació en los albores del siglo XVII, en 1601 en Beaumont, un pueblo del suroeste de Francia. Su padre era un rico comerciante de pieles lo que le permitió realizar sus estudios de leyes en la Universidad de Toulouse, donde nunca destacó en Matemáticas. No publicó en su vida ningún libro sobre matemáticas. De hecho llegó a escribir a Pascal: "No quiero que aparezca mi nombre en ninguno de los trabajos considerados dignos de exposición pública" La Aritmética de Diofanto comentada por Fermat   La Aritmética constaba de 13 libros de los cuales sólo seis sobrevivieron a la destrucción de la gran biblioteca de Alejandría, primero por los cristianos y luego por los musulmanes. En 1621 aparece en Francia una traducción al latín de estos seis libros, realizada por Bachet, otro aficionado a los acertijos matemáticos. Este libro se convertiría en el libro de cabecera de Fermat durante muchos años. En él Diofanto propone más de cien problemas numéricos y da brillantes soluciones a todos ellos Los números amigos : Los pitagóricos ya habían observado una rara relación entre los números 220 y 284. Relación bastante sutil por cierto. Los divisores de 220 son: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110 Los de 284 son: 1, 2, 4, 71 y 142. En apariencia no tiene mucho parecido, salvo por este curioso hecho: Si sumamos todos los divisores de 220: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 obtenemos 284, el segundo número. Y si sumamos los de 284: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 obtenemos el primero 220 Con suma paciencia y una admirable visión numérica, tras más de dos mil años, Fermat va a descubrir la segunda pareja de números amigos. Unos amigos mucho más complicados que 220 y 284. Se trata de estos dos números: 17296 y 18416. Descubre además una regla general (conocida por ibn Qurra): "Si q = 3·2 p-1-1; r = 3·2 p - 1; s = 9·2 p-1-1 entonces n = 2 p·q·r     y    m = 2 p·s son números amigos" 17296 corresponde a los valores de p = 2; q = 5 y r = 11 18416 corresponde a los valores de p = 2; s = 71 Algunos de sus resultados en Teoría de Números Así descubrió y demostró que el número 26 es el único que esta comprendido entre dos enteros, que son respectivamente un cuadrado 25 (5 al cuadrado) y un cubo 27 (3 al cubo) 52 < 26 < 33 Hay dos grandes familias de números primos: Unos son de la forma 4 n + 1: 5, 13, 17, 29, 37, 41... Los otros de la forma 4 n +3: 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47... Fermat descubrió que todos los de la primera familia se pueden escribir como la suma de dos cuadrados. Pero en cambio, NINGUNO, de los de la segunda familia se puede descomponer en la suma de dos cuadrados. El pequeño teorema de Fermat : Si a es un número natural cualquiera, por ejemplo 9 y p un número primo que no es divisor de a, por ejemplo 5; siempre se cumple que p, es este caso 5, es divisor exacto de a p-1 -1, en nuestro caso 95 - 1 - 1. En efecto 94 - 1 = 6561 - 1 = 6560 que es divisible por 5 6560 : 5 = 1312. Esta brillante joya numérica se conoce como el "pequeño teorema de Fermat". Y, cómo no, fue demostrado por Euler cuando tenía 29 años. Su gran fallo: Fermat afirmó que todos los números de la forma 2(2)n + 1 son números primos Euler se encargaría de demostrar que por una vez Fermat estaba equivocado: Si n = 5 232 + 1 = 4.294.967.297 = 641 x 6.700.417 no es primo La Observación es el enunciado del último teorema X n + Y n = Z n Es imposible encontrar la forma de convertir un cubo en la suma de dos cubos, una potencia cuarta en la suma de dos potencias cuartas, o en general cualquier potencia más alta que el cuadrado en suma de dos potencias de la misma clase; para este hecho he encontrado una demostración excelente. El margen es demasiado pequeño para que dicha demostración quepa en él" Pierre de Fermat   Euler lo demostró para n = 3 y n = 4 Dirichlet y Legendre para n = 5 Lamé para n = 7 Kummer para todos los primos menores que 100 salvo para n = 37, 59 y 67 Wiles. En 1994 demostró al fin el último teorema de Fermat       Andrews Wiles   El 25 de octubre de 1994 es un día que pasará a la historia de las Matemáticas. Ese día un joven matemático inglés Andrews Wiles presentó dos manuscritos - unas 130 páginas en total - que contenían la demostración del Último Teorema de Fermat "La solución de un problema legendario conmociona el mundo de las matemáticas"       Wiles, tuvo que utilizar unas técnicas matemáticas descubiertas a lo largo de los siglos XIX y XX, inaccesibles por su complejidad para la mayoría de los matemáticos actuales. Por supuesto muy alejadas de los conocimientos matemáticos de la época de Fermat. "Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem"       El último teorema de Fermat demostrado En la época de Fermat y Descartes un aristócrata inglés va a patentar un poderoso método de cálculo, sin duda el más popular de la historia: los logaritmos.       Tablas de logaritmos de Neper

Viernes, 13 de Febrero de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

189. Clairaut (Elementos de geometría, de Alexis Claude Clairaut)

Adaptación al castellano del libro Elementos de geometría de Alexis Claude Clairaut, realizada por Vicente Meavilla y Carlos Vicén (prólogo de Claudi Alsina). Los Elementos de Geometría de Alexis Claude Clairaut se publicaron por primera vez en francés en 1741. Posteriormente vieron la luz las ediciones francesas de 1753, 1765, 1775, 1830, 1852, 1853, 1857 y 1861, además de traducciones al italiano, inglés y alemán.   En la adaptación al castellano de la edición de 1775 que ofrecemos a continuación, hemos intentado ser fieles al discurso del autor. Sin embargo, para no causar excesiva fatiga al lector moderno, también hemos procurado adecuar el estilo del texto original al lenguaje actual.   En el libro de Clairaut, como solía ocurrir en los manuales de los siglos XVIII y XIX, las figuras que ilustran los conceptos y procedimientos se agrupan en láminas situadas al final de la obra. Para facilitar la lectura hemos intercalado las ilustraciones en el lugar apropiado del texto.   Sin más preámbulos, le invitamos a que inicie un paseo intelectual por uno de los libros de Didáctica de la Geometría que debería ser de obligada consulta para cualquier aspirante a profesor de Matemáticas y para cualquier docente consagrado a la enseñanza de esta disciplina. Ver detalles del documento

Lunes, 20 de Abril de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

190. El Renacimiento

Esta época, siglos XV y XVI va a ser testigo de una gran Revolución Científica, y no sólo en la Astronomía. La Tierra, y de paso el hombre, va dejar de ser el centro del Universo. Copérnico, Kepler, Galileo... van a poner las bases de una nueva manera de ver el mundo. En las matemáticas, además de recuperar un sinfin de obras griegas se va a producir el florecimiento de una nueva rama: el Álgebra. Galileo (1564-1642) Leonardo da Vinci (1452-1519) Luca Pacioli (1445-1514) Cardano (1501-1576) Kepler (1571-1630) Durero (1471-1528) Tartaglia (1500-1557) Bombeli (1526-1573) Stevin (1548-1620)   Margarita Philosophica. Gregor Reisch 1503 Alegoría de la Aritmética Geometría De revolutionis

Viernes, 13 de Febrero de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico