171. Jordanus de Nemore (Resolución retórica de la ecuación de segundo grado)

  Resolución retórica de la ecuación de segundo grado Jordanus de Nemore fue un estudioso del siglo XIII de cuya vida se sabe muy poco. Algunos historiadores aseguran que fue nombrado General de la Orden de Dominicos en 1222, pero no hay pruebas que permitan dar autenticidad a esta hipótesis. De se producción matemática destaca la obra De numeris datis en la que, a lo largo de cuatro capítulos o libros, se resuelven más de un centenar de problemas generales que luego se ejemplifican con casos concretos (en dichos ejemplos los números se representan con numerales romanos). En la mayoría de las proposiciones del libro se usan letras para designar la incógnita, sus potencias, y las cantidades conocidas. Este hecho representa un avance considerable respecto a otros textos algebraicos de la misma época. En el cálculo literal, la adición se denota por simple yuxtaposición.                 Para apreciar el talante de la obra, presentamos la proposición 8 del libro IV  en la que se resuelve una ecuación de segundo grado con una incógnita. Referencias bibliográficas HUGHES, B. B. (1981). Jordanus de Nemore. De numeris datis (A critical edition and traslation). Berkeley: University of California Press. MEAVILLA, V. (2001). Aspectos históricos de las Matemáticas elementales. Zaragoza: Prensas Universitarias de Zaragoza.

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172. Perigal (El Teorema de Pitágoras)

El teorema de Pitágoras Henry Perigal (1801-1898) El británico Henry Perigal dedicó muchos años de su larga vida a la demostración de teoremas geométricos utilizando la técnica de disección. Ofrecemos dos de sus demostraciones del “teorema de los tres cuadrados”, publicadas en The Messenger of Mathematics (1874).1 Refiriéndose a la primera de ellas, Perigal  se expresaba en los siguientes términos: (...) fue descubierta en 1830 pero impresa en 1835, con una demostración euclidea de Mr. William Godward, para la distribución privada entre mis amigos. Hasta la fecha no había sido publicada, que yo sepa, excepto como un diagrama en mi tarjeta de visita. La primera demostración “por traslación de las partes componentes” Por el centro del cuadrado de la base [cateto mayor] se dibujan dos rectas: una de ellas  paralela a la hipotenusa, y la otra perpendicular a la hipotenusa. Por los puntos medios de los cuatro lados del cuadrado de la hipotenusa se trazan cuatro líneas paralelas a los lados [catetos] del triángulo, tal como se muestra en la figura. Como una de las líneas que corta al cuadrado de la base por su centro es paralela a la hipotenusa y está comprendida entre dos paralelas [los lados del cuadrado] y como la otra línea, que corta a la anterior perpendicularmente, también está comprendida entre dos paralelas [los lados del cuadrado], entonces cada uno de los cuatro segmentos es la mitad del lado del cuadrado de la hipotenusa, que queda dividido, por tanto, en cuatro cuartos simétricos [que encierran un cuadrilátero]. Los lados del cuadrilátero I  son paralelos a los lados correspondientes del cuadrilátero i; además, dos de los lados de cada uno de dichos cuadriláteros son la mitad de la hipotenusa. Por tanto, los dos cuadriláteros (I e i)  tienen el mismo perímetro y la misma área. De forma similar se puede probar que P y L, E y A, R y G son iguales y semejantes. Además, todos tienen el mismo perímetro y la misma área. El lado mayor de E es igual y paralelo al  lado mayor de A, que es paralelo e igual a la perpendicular [cateto menor] más el lado menor de I. Quitando el lado menor de I del lado mayor de E queda el lado del cuadrilátero H. Dicho cuadrilátero, al ser rectangular y tener los cuatro lados iguales, es un cuadrado igual al cuadrado de la perpendicular [cateto menor] del triángulo rectángulo. Por consiguiente, las cinco componentes del cuadrado de la hipotenusa son iguales y semejantes a las partes componentes del cuadrado de la base y al cuadrado de la perpendicular [cateto menor]. Lo que demuestra que el cuadrado sobre la hipotenusa es equivalente a las áreas de los cuadrados sobre los catetos. La segunda demostración: dos cuadrados que se convierten en uno Construcción.- Coloca los dos cuadrados, uno al lado del otro, con sus bases sobre una misma línea recta (o uno sobre otro con dos lados verticales sobre una misma recta, como en la figura). Biseca la suma de sus bases y la diferencia de sus lados. Por estos dos  puntos de división dibuja dos perpendiculares que pasen por el centro [del cuadrado mayor] y acaben en los lados del cuadrado mayor que, por tanto, queda dividido en cuatro partes iguales. Prolonga estas dos líneas la mitad de su longitud más allá de la base y el lado del cuadrado próximo al cuadrado pequeño y dibuja [por lo extremos de las prolongaciones] dos líneas más de la misma longitud y perpendiculares a ellas. Así se forma otro cuadrado que contiene al cuadrado pequeño dentro de cuatro cuadriláteros iguales y semejantes a los cuatro cuartos del cuadrado mayor. Por tanto, el nuevo cuadrado es equivalente a los dos cuadrados dados. Nota: 1 The Messenger of Mathematics (1874), vol. 1, pp. 103-106.

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173. Thomas Simpson (Resolución gráfica de ecuaciones cuadráticas)

Resolución gráfica de ecuaciones cuadráticas Thomas Simpson (1710-1761) El  inglés Thomas Simpson es conocido en el mundo de las Matemáticas por sus contribuciones a los métodos numéricos de integración. Fue miembro de la Royale Society y de la Real Academia Sueca de Ciencias. También escribió sobre cálculo diferencial (New Treatise of Fluxions, 1737) y probabilidad (The Nature and Laws of Chance, 1740). En el campo de la educación matemática, sus textos sobre álgebra, geometría y trigonometría se editaron profusamente durante el siglo XVIII. En su Treatise of Algebra (1745) se encuentra la resolución gráfica de los tres tipos de ecuaciones cuadráticas siguientes: x2 + ax = bc (primera forma) x2 – ax = bc (segunda forma) ax – x2 = bc (tercera forma) He aquí la traducción del texto original (pp. 234-236).1 Construcción de la primera y segunda formas Con radio  se describe el círculo OAF y, desde un punto A cualquiera de su circunferencia se aplica la línea recta AB  igual a  b – c (o a  c – b si se supone que c es la mayor) prolongándola hasta que BC = c. Desde el punto C, a través del centro O, se traza CDE que corta a la circunferencia en D y E. Entonces, el valor de x vendrá dado por CD, en el primer caso, y por CE en el segundo. Por construcción, DE = a. Entonces, es claro que si CD se designa por x, entonces CE = x + a. Pero si CE se designa por x, entonces CD = x – a. Pero, en virtud de Euclides 37. 3(2), CE · CD = AC · CB. Es decir: (x + a)x = x2 + ax = bc, en el primer caso, y x(x – a) = x2 – ax = bc, en el segundo (...) Si b y c son iguales, entonces la solución es más sencilla y se construye así: Desde cualquier punto F de la circunferencia se dibuja la perpendicular FC, igual a b (o igual a c), al radio FO y después se traza CDE como antes. Notas: 1 Hemos procurado ser fieles al estilo de Simpson, pero hemos modificado ligeramente su simbolismo algebraico. 2 Se refiere a la siguiente proposición del libro tercero de los Elementos de Euclides: Si desde un punto exterior a un círculo se le trazan dos rectas, una de las cuales lo corta y la otra sólo lo toca, el rectángulo comprendido por toda la recta secante y su parte exterior entre el punto y la periferia convexa del círculo equivale al cuadrado de la tangente.      

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174. Euler (Números decimales periódicos)

Números decimales periódicos Leonardo Euler nació en Basilea (Suiza) en 1707. Su padre, pastor calvinista, se preocupó de que la formación intelectual de su hijo fuese de gran calidad. Leonardo estudió matemáticas con Jean Bernoulli, física, astronomía, medicina, teología y lenguas orientales. En 1727, animado por sus amigos y compatriotas Daniel y Nicolás Bernoulli, ingresó en la Academia de San Petersburgo. En 1730 ocupó la cátedra de filosofía natural y a los veintisiete años, después de que Nicolás y Daniel dejasen San Petersburgo, se convirtió en el matemático más relevante de la Academia. A los veintiocho años perdió la vista de su ojo derecho. En 1741 se incorporó a la Academia de Berlín, pero en 1766 volvió a Rusia. En 1771 se quedó ciego pero ello no impidió que Euler siguiera publicando e investigando. Leonhard murió en 1783 mientras se estaba tomando una taza de té y jugando con uno de sus nietos. Se cuenta que cuando el filósofo ateo D. Diderot visitó la corte rusa fue informado de que un matemático suizo había demostrado la existencia de Dios mediante razonamientos de tipo algebraico. Interesado por dicha noticia y esperando rebatir tales argumentos, Diderot concertó una entrevista con Leonardo. Puesto en contacto con Euler, éste le dijo: “Señor (a + bn)/n = x, entonces Dios existe”. Diderot, cuyos conocimientos de álgebra eran nulos, se quedó sin respuesta y regresó a Francia. Euler escribió sobre temas relativos a todas las ramas de las matemáticas. A lo largo de su vida publicó más de quinientos libros y artículos y fue padre de trece hijos.

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175. Fermat (La construcción de Fermat de la tangente a la Elipse)

La construcción de Fermat  de la tangente a la Elipse Este método [de máximos y mínimos y tangentes] nunca falla, y puede ser aplicado a un gran número de cuestiones muy hermosas. Pierre de Fermat. OEUVRES DE FERMAT  (TH.OF.III.123). Las memorias de Fermat  sobre máximos y mínimos y tangentes, establecen los derechos indiscutibles de este gran geómetra francés en la invención del Cálculo Diferencial. E.Brassinne. Précis des Oeuvres mathématiques de P.Fermat. Toulouse, 1853, pág.4. 1. Fermat por R. Lefevre. Museo de Arte y Cerámica de Narbonne. 2. Edición de Samuel de Fermat de VARIA OPERA MATHEMATICA de D. PETRI DE FERMAT. Toulouse, 1679. Catorce años después de la muerte de su padre, habiendo reunido algunos originales y copias de los escritos latinos y de cartas inéditas, Samuel Fermat hizo imprimir en 1979 Varia Opera Matemática, que a pesar de lagunas e incorrecciones –Samuel no era matemático–, constituyó hasta finales del siglo XIX (se reimprimió en 1861) una de las pocas publicaciones donde se podían estudiar las investigaciones de Fermat. Fermat es uno de los principales artífices de la inflexión radical que presenta la Matemática del siglo XVII respecto a la clásica griega. En los trabajos matemáticos de Fermat el afán demostrativo euclídeo da paso a la heurística de la creatividad y el descubrimiento. Si importantes son los descubrimientos matemáticos de Fermat, no es inferior su relevancia histórica en el plano metodológico. Lo que  importa para Fermat es la obtención de métodos que permitan resolver de forma directa y operativa los problemas y escribirlos formalmente siguiendo la línea de la propia investigación geométrica, es decir, métodos que al describir el proceso inventivo enseñen a descubrir y rompan la clásica dualidad helénica invención-demostración – «ars inveniendi» versus «ars disserendi»– que tiene lugar en dos estadios de tiempo y espacio diferentes. Con ello, Fermat es capaz de fundir, en un solo acto matemático, el descubrimiento y la demostración. Los diversos trabajos de Fermat sobre máximos y mínimos y tangentes están saturados de múltiples intuiciones y valiosos argumentos e ideas directrices para reconocer la razón que asistía a los grandes matemáticos franceses: Legendre, Laplace y Cauchy –pero también a Newton, como se ha sabido mucho después por estudios recientes y hallazgos en la correspondencia del sabio inglés–  cuando aclamaban a Fermat como el primigenio artífice del Cálculo Diferencial.

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176. Fermat (La tangente a la Parábola en el Methodus de Fermat)

  La tangente a la Parábola en el Methodus de Fermat Os considero como el más grande geómetra de toda Europa. Carta de Pascal a Fermat de 10 de agosto de 1660. OEUVRES DE FERMAT. Correspondencia de Fermat (TH.OF.II.450). «Lagrange y Laplace hacen remontar el origen del Cálculo Diferencial a los métodos de Fermat sobre máximos y mínimos y tangentes». E. Brassinne. Précis des Oeuvres mathématiques de P.Fermat. Toulouse, 1853, pág.4. Fermat. Lycée Pierre de Fermat de Toulouse. Portada del volumen IV de las OEUVRES DE FERMAT, publicadas en cuatro volúmenes, entre 1891 y 1912, por los impresores-libreros Gauthiers-Villars, bajo la dirección de C.Henry y P.Tannery y los auspicios del Ministerio de Instrucción Pública francés. Fermat es uno de los matemáticos más extraordinarios de todos los tiempos. Fruto de un meticuloso estudio de las obras de Euclides, Arquímedes, Apolonio, Diofanto y Pappus, Fermat poseía una prodigiosa erudición matemática, que propició su apasionada afición a la Matemática y su encomiable labor de comentador y exegeta de los más eximios matemáticos griegos. De Diofanto nace su ingente contribución al nacimiento y desarrollo de la Teoría de Números; de Apolonio y Pappus –junto con Vieta– su creación de una Geometría Analítica y de ambas, al conectar con los trabajos de Arquímedes, resultarían los numerosos métodos y artificios de Cálculo Infinitesimal (Diferencial e Integral) que hacen de Fermat el ascendiente directo de casi todas las disciplinas matemáticas que aparecen en el siglo XVII, a lo largo del cual se desarrolla toda su actividad científica.  En los originales y prácticos métodos de extremos y tangentes de Fermat brota por primera vez el «cociente incremental» que define la derivada. Aunque los extremos y su primera aplicación a las tangentes se mantienen en un ámbito algebraico sin cruzar la frontera entre lo finito y lo infinitesimal, desde el punto de vista  formal Fermat da un paso trascendental hacia la algoritmización de la diferenciación de Newton y Leibniz. Fermat sólo escribió una parte de sus investigaciones y rehusó su publicación; lo esencial de su obra está en su asidua correspondencia con los científicos contemporáneos –donde muestra una sagaz inteligencia que inventa, explica, demuestra y debate con vehemente pasión– y en los márgenes de sus libros. Esto hace de Fermat una de las figuras más atractivas de la Historia de la Matemática, pero también ha contribuido a las lamentables vicisitudes históricas de la publicación de sus trascendentales descubrimientos matemáticos. Fermat deriva un procedimiento para construir las tangentes a las curvas algebraicas de sus métodos de máximos y mínimos. Describiremos brevemente su primer método de extremos y veremos cómo Fermat lo aplica al trazado de tangentes1. Fermat compone hacia 1629 la memoria “Método para la investigación de máximos y mínimos” (Methodus ad disquirendam maximan et miniman et de tangentibus linearum curvarum). Es un procedimiento puramente algorítmico despro­visto de todo fundamento demostrativo, donde introduce la técnica de la «adigualdad». Como segunda parte de este tratado, Fermat describe el primer ejemplo de aplicación del método de máximos y mínimos al trazado de las tangentes a las líneas curvas, la tangente a la parábola. Denominaremos a esta memoria el Methodus. En ella aparece como primicia histórica lo que se convertirá después en el algoritmo para obtener la primera derivada de una función algebraica; se trata de la fructífera idea de incrementar una magnitud asimilable a nuestra variable independiente, que desde entonces se ha convertido en la esencia del Cálculo Diferencial. Fermat se expresa con estas palabras: Método para la investigación de máximos y mínimos (Methodus, TH.OF.III.121–122) Toda la teoría de la Investigación de máximos y mínimos supone la consideración de dos incógnitas y la única regla siguiente: Sea a una incógnita cualquiera del problema (que tenga una, dos o tres dimensiones, según convenga al enunciado). Se expresará la cantidad máxima o mínima por medio de a en términos que pueden ser de cualquier grado. Se sustituirá a continuación la incógnita original a por a+e, y se expresará la cantidad máxima o mínima por medio de a y e, en términos que pueden ser de cualquier grado. se «adigualará» para hablar como Diofanto, las dos expresiones de la cantidad máxima o mínima. Se eliminarán los términos comunes de ambos lados, tras lo cual resultará que a ambos lados habrá términos afectados de e o de una de sus potencias. Se dividirán todos los términos por e, o por alguna potencia superior de e, de modo que desaparecerá la e, de al menos uno de los términos de uno cualquiera de los dos miembros. Se suprimirán, a continuación, todos los términos donde todavía aparece la e o una de sus potencias, y se iguala lo que queda, o bien si en uno de los miembros no queda nada, se igualará, lo que viene a ser lo mismo, los términos afectados con signo positivo a los afectados con signo negativo. La resolución de esta última ecuación dará el valor de a, que conducirá al máximo o mínimo, utilizando la expresión original. He aquí un ejemplo: "Sea dividir una recta AC en E, de manera que AE x EC sea máximo". Pongamos AC=b. Sea a uno de los segmentos, el otro será b–a. El producto del que se debe encontrar el máximo es ba–a2. Sea ahora a+e el primer segmento de b, el segundo segmento será b–a–e, y el producto de segmentos: ba–a2+be–2ae–e2. Se debe «adigualar» al precedente: ba–a2+be–2ae–e2 ba – a2. Suprimiendo términos comunes: be 2ae + e2. Dividiendo todos los términos por e: b 2a + e. Se suprime la e: b = 2a. Para resolver el problema se debe tomar por tanto la mitad de b. Es imposible dar un método más general. Nota: 1 La referencia concreta de un texto de Fermat se hace indicando el tomo y las páginas de las OEUVRES DE FERMAT (publicadas entre 1891 y 1912, en cuatro tomos, por Paul Tannery y Charles Henry), a continuación de la partícula TH.OF. por ejemplo: TH.OF.III.92 indicará que el texto al que se hace alusión se encuentra en la página 92 del tercer tomo.

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177. Luca Pacioli (Algunos algoritmos de la multiplicación)

Algunos algoritmos de la multiplicación Luca Pacioli nació en Borgo de Sansepolcro (Italia) en 1445 y posiblemente recibió sus primeras lecciones en el taller de su paisano el matemático y pintor Piero della Francesca (1412-1492). A los veinte años dejó su ciudad natal y pasó a Venecia donde fue preceptor de los dos hijos del comerciante Antonio Rompiasi. A la vez que desempeñaba esta función, prosiguió sus estudios de Matemáticas en una escuela publica dependiente de la Universidad de Venecia. En 1470, tras la muerte de Antonio, abandonó Venecia y se trasladó a Roma invitado por el arquitecto  León Battista Alberti (1404-1472), uno de los primeros investigadores de la perspectiva geométrica. Años más tarde, en 1472, ingresó en la orden de San Francisco de Asís. En 1475 fue lector de Matemáticas en Perugia y entre 1477 y 1480 dio clases de aritmética en la Universidad de dicha ciudad. En 1481 se trasladó a Zara (actual Croacia) donde escribió un manual de aritmética. Después de una corta estancia en Florencia volvió a Perugia, obtuvo el título de Magíster y explicó Matemáticas desde 1486  hasta 1487. Debido al agotamiento y a su frágil salud dejó la docencia y se instaló en Roma. En 1490 enseñó Teología y Matemáticas en Nápoles. En esta ciudad realizó una colección de poliedros regulares que regaló a  Guidobaldo de Montefeltro, duque de Urbino. De 1490 a 1493 permaneció en su pueblo natal preparando la publicación de su obra Summa de arithmetica geometria proportioni et proportionalità. En 1493 dio lecciones de Matemáticas en Padua. En 1494, una vez terminada la redacción de la Summa, se trasladó a Venecia para supervisar los trabajos de impresión. En 1496 viajó a Milán para enseñar Matemáticas en la corte del duque Ludovico Sforza “il Moro” (1452-1508). Allí conoció a Leonardo da Vinci (1452-1519) quien  realizó los dibujos de los sesenta poliedros que aparecen en su libro De divina proportione. En 1499 Milán fue ocupada por las tropas francesas y Ludovico el Moro fue hecho prisionero. Por este motivo, Luca Pacioli y Leonardo abandonaron la ciudad pasando primero a Mantua, luego a Venecia y finalmente a Florencia. En 1500 Pacioli se convirtió en profesor de Geometría de la Universidad de Pisa, cuya sede se había trasladado a Florencia  desde las revueltas ciudadanas de 1494. Allí continuó su labor docente hasta 1505. No obstante, entre 1501 y 1502 dio clases de Matemáticas en la Universidad de Bolonia donde coincidió con Scipione del Ferro (1465-1526), uno de los grandes algebristas italianos que intervino en la resolución por radicales de la ecuación de tercer grado con una incógnita. En 1505 regresó a Roma y en 1508 viajó a Venecia. En dicha ciudad vio la luz la  primera edición impresa de De divina proportione. En 1510, a causa de su delicada salud, volvió a su ciudad natal. Sin embargo, a instancias del Papa León X, en 1514 volvió a Roma y fue profesor de la Sapienza, la Universidad de la “ciudad eterna”. Luca Pacioli murió en Borgo de Sansepolcro en torno al 1517. En la Summa de arithmetica geometria proportioni et proportionalità, obra de carácter enciclopédico que ocupa más de 600 páginas, se describen ocho procedimientos para calcular el producto de dos números naturales. En las líneas que siguen ofrecemos una somera descripción de cada uno de ellos.

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178. Pascal (Definición y algunas propiedades del triángulo aritmético)

Definición y algunas propiedades del triángulo aritmético Blaise Pascal nació el 19 de junio de 1623 en Clermont - Ferrand y murió el 19 de agosto de 1662 en París. Su padre, el matemático Etienne Pascal, que se hizo cargo de su educación, decidió que Blas no iniciara los estudios de matemáticas hasta haber cumplido los quince años. Por tal motivo, los textos consagrados a esta disciplina fueron puestos fuera del alcance del joven Pascal. Sin embargo, la prohibición paterna despertó su curiosidad por la geometría y a los doce años de edad ya había descubierto que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos. Ante tal descubrimiento, Etienne cambió de parecer y regaló a su hijo un ejemplar de los Elementos de Euclides. A los catorce años, Blaise acompañaba a su progenitor a las reuniones del padre Mersenne en las que participaban científicos de la talla de Roberval y Desargues, a los dieciséis publicó su Essay pour les coniques, y a los dieciocho diseñó y construyó una máquina calculadora. Pascal tuvo, sin duda, una de las mentes más privilegiadas de la historia, pero se interesó más por la teología que por las matemáticas, disciplina a la que se dedicó de forma intermitente. A pesar de ello, sus contribuciones al estudio de las cónicas, al “triángulo aritmético” (que también se conoce como “triángulo de Pascal” y “triángulo de Tartaglia”), y al cálculo de probabilidades le convierten, en palabras del historiador Carl B. Boyer, en el más grande “podría haber sido” de la historia de las matemáticas. Las investigaciones de Pascal sobre el “triángulo aritmético” se encuentran en el Traité du triangle arithmétique avec quelques autres petits traitez sur la mesme matière, publicado en 1665. De este texto hemos extraído los párrafos siguientes: DEFINICIONES Llamo triángulo aritmético a una figura construida del modo siguiente: Desde cualquier punto G dibujo dos líneas perpendiculares GV y Gζ y en cada una tomo tantas partes iguales como quiera, empezando por G, numeradas con 1, 2, 3, 4, etc. Estos números son los “exponentes” de cada una de las divisiones de las líneas. Después, uno los puntos de la primera división de cada una de las dos líneas mediante otra línea, que es la base del triángulo resultante. Del mismo modo, uno los dos puntos de la segunda división por otra línea, construyendo un segundo triángulo de la que aquella es la base. De forma similar, uno todos los puntos de división con el mismo exponente y construyo tantos triángulos y bases como exponentes. Por cada uno de los puntos de división, y paralelamente a los lados, dibujo líneas cuyas intersecciones dan origen a pequeños cuadrados a los que llamo “celdas”.  Las celdas entre dos paralelas dibujadas de izquierda a derecha se llaman “celdas de la misma fila”. Por ejemplo, las celdas G, σ, π, etc., o las celdas φ, ψ, θ, etc. Las celdas entre dos líneas paralelas dibujadas de arriba hacia abajo se llaman “celdas de la misma columna”. Por ejemplo, G, φ, A, D, etc., o σ, ψ, B, etc. Las celdas que están cortadas por la misma base se llaman “celdas de la misma base”. Por ejemplo, D, B, θ, λ,  o A, ψ, π. Las celdas de la misma base que equidistan de sus extremos se llaman “recíprocas”. Por ejemplo, E, R y B, θ son recíprocas porque el exponente de fila  de una es igual al exponente de columna de la otra, como puede verse en el ejemplo anterior donde E está en la segunda columna y en la cuarta fila, y su recíproca R está en la segunda fila y cuarta columna. Se demuestra muy fácilmente que las celdas con exponentes recíprocos están en la misma base y equidistan de sus extremos. También es muy fácil de demostrar que la suma del exponente de columna y el exponente de fila de cualquier celda excede en una unidad al exponente de su base. Por ejemplo, la celda F está en la tercera columna, en la cuarta fila y el la sexta base y la suma de 3 y 4 excede en uno al exponente de la base, que es 6. Una propiedad que surge del hecho de que los dos lados de un triángulo tienen el mismo número de partes. Pero esto es más una observación que una demostración. Del mismo tipo es la observación de que cada base tiene una celda más que su precedente y que cada base tiene tantas celdas como unidades tiene su exponente. Así, la segunda base φσ tiene dos celdas; la tercera, Aψπ tiene tres, etc. Además, los números asignados a cada celda se encuentran por el método siguiente: El número de la primera celda, que está en el ángulo recto, es arbitrario; pero una vez que este número ha sido asignado, todos los demás están determinados. Por esta razón, dicho número se llama “generador” del triángulo. Cada uno de los restantes números se determina así: El número de cada celda es igual a la suma de los números de las celdas perpendicular y horizontal que le preceden inmediatamente. Así, la celda F, o el número de la celda F, es igual a la suma de la celda C y la celda E, y así para las demás. De donde se deducen algunas consecuencias. Siguen las más importantes, en las que considero triángulos generados por la unidad. No obstante, lo que diga de ellos se mantiene para todos los demás.

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179. Liu Hui (220-280)

1. Vida y obra del matemático chino Liu Hui Este texto está totalmente inspirado en la biografía de Liu Hui contenida en [Pla09b].1 1.1. Notas biográficas de Liu Hui. Antes de hacer la presentación concreta de sus aportaciones metodológicas, didácticas y técnicas, dedicaremos unas palabras a este matemático chino, mucho menos conocido que Euclides y del cual apenas se sabe nada. Ello, sin embargo, no debe extrañarnos, porque de Euclides y de Diofanto, por ejemplo, sabemos también poquísimo. Liu Hui [劉徽] vivió en el Reino de Wei, es decir en la parte central del norte de la China, en la provincia actual de Shanshi, en el siglo iii de nuestra era. Es por lo tanto contemporáneo de Diofanto de Alejandría. Tras el colapso de la dinastía Han, se crearon los “Tres Reinos”. Además del Reino de Wei, los generales Han crearon un reino al sur del Yangzi y otro en el oeste de la China, en la provincia actual de Szechwan. Liu Hui vivió en el período de los Tres Reinos de China. Vivió, pues, en un período de constante confrontación e intrigas políticas. Sin embargo, actualmente, este período se considera uno de los más románticos de la historia de China. Se desconoce completamente como influyeron todas estas circunstancias en la vida de Liu Hui. Lo que sí sabemos es que, en el año 260, escribió un texto breve, Haidao suanjing [Manual Matemático de la Isla del Mar] y probablemente, en el 263, un comentario extraordinariamente notable del Jiuzhang suanshu [que hoy conocemos como Nueve Capítulos de la Arte Matemática china]. De hecho, lo único que sabemos realmente es que lo escribió “en el cuarto año del reino Jingyuan del príncipe Chenliu de los Wei”2. El hecho de conocer el autor de estos dos tratados es importante porque, con anterioridad al siglo tercero de nuestra era, la mayoría de los textos de matemática china que se han conservado son anónimos. Atendiendo a los estudios cada vez más detallados y especializados de la matemática oriental, realizados durante la segunda mitad del siglo XX, conviene matizar las palabras de Dirk J. Struik: No hubo nadie en la matemática oriental de la antigüedad que intentara hallar lo que actualmente conocemos como una demostración. No se da nunca una argumentación, sólo se prescriben ciertas reglas. Esto es todo3. Y, más aún, debemos afirmar con rotundidad que esta percepción es errónea. En China, por ejemplo, debemos considerar a Liu Hui como la figura de un matemático que procuró ofrecer presentaciones razonadas de las reglas del Jiuzhang suanshu4. Algunas de sus contribuciones o comentarios a los capítulos del Jiuzhang suanshu las detallaremos más adelante5. Además, en la Introducción, nos ofrece una nota histórica importante: En el pasado, el tirano Qin [∼221–207]6 mandó quemar los libros. Ello comportó la destrucción del conocimiento clásico [chino]. Después [entre 260 aC–150 aC], Zhang Cang [?–152 aC], marqués de Bei Ping y el ministro de agricultura y finanzas, Geng Shouchang [siglo I aC] fueron famosos por su gran talento para efectuar cálculos. Y, puesto que los textos antiguos habían sido destruídos, Zhang Cang y su equipo, trabajando con los restos incompletos de los textos, los reconstruyeron completando las partes que se habían perdido. La consecuencia fue que los textos que obtuvieron, comparándolos con los de los antiguos y atendiendo a los títulos, tenían diferencias notables con aquellos que pretendían reconstruir y estaban escritos en una terminología mucho más moderna7. Ahora, dedicaremos las dos secciones siguientes al análisis breve, pero suficiente, del Haidao suanjing, original de Liu Hui, y al Jiuzhang suanshu. 1.2. Liu Hui y el Haidao suanjing. Es una obra breve que consta solamente de nueve problemas. Lo escribió originalmente como parte de sus comentarios al Jiuzhang suanshu, pero, con posterioridad, fue desgajado del resto y presentado como un texto independiente8. Se trata, de hecho, de un texto sobre el teorema Gougu [teorema de Pitágoras]. Pero, a diferencia del uso que, de él, se hace en el capítulo noveno del Jiuzhang suanshu, aquí su utiliza para medir alturas y distancias de objetos que no pueden ser medidos directamente. De hecho son problemas que hoy consideraríamos como problemas de trigonometría, en los cuales hay que determinar el lado de un triángulo rectángulo recurriendo a la relación entre otras medidas preestablecidas, o quizás más simplemente a la semejanza de triángulos o teorema de Tales. Se pretende determinar la altura y la distancia de una isla en el mar, de una torre, o de un árbol situados en la cima de un cerro, o la distancia a la que nos hallamos de una ciudad cuadrada, la profundidad de una garganta de la naturaleza, la anchura de un río, la profundidad de un valle con un lago en la parte inferior, la anchura de una fortaleza en la cima de un montículo, y las medidas de una ciudad que observamos desde lo alto de un cerro. Para ver lo que, en realidad, se hace en el texto nada mejor que analizar alguno de sus problemas. Sólo analizaremos el primero, que trata de la altura y distancia de una isla en el mar —y que da nombre al libro9. Problema 1. Se trata de una isla en el mar. Clavamos en el suelo dos palos de la misma altura, 3 zhang, que se hallan separados entre si 100 bu. Se hallan alineados con la cima más alta de la isla. Si nos retiramos 123 bu del palo más próximo a la isla, vemos que el extremo superior de dicho palo y la cima más alta de la isla están en línea recta. Si nos retiramos 127 bu del palo más alejado de la isla, vemos que el extremo superior de dicho palo y la cima más alta de la isla están en línea recta. Díme: ¿Cuál es la altura de la isla y la distancia que la separa del palo más próximo? Respuesta. La altura de la isla es de 4 li 55 bu, y se halla a 102 li 150 bu del palo más próximo. La isla del mar Método de resolución. Multiplica la distancia que separa los palos [en la figura d := P1P2 = 1000 bu] por la altura de los palos [que es de 3 zhang]. Divide este producto por la diferencia que hay entre los palos y el respectivo punto de intersección [en la figura δ := P2Y − P1X = 127 − 123 bu]. Suma a este cociente la altura del palo y tendrás la altura de la isla. Para hallar la distancia de la isla al palo más próximo, multiplica la distancia entre los dos palos [en la figura d := P1P2] por la distancia que te has desplazado del primer palo [en la figura e1 := P1X], y divídelo por [δ], la diferencia de las distancias movidas10. 1.3. Una síntesis breve del Jiuzhang suanshu. Todo el saber de la matemática china precedente a la época de Liu Hui se recoge en el Jiuzhang suanshu, y él, como veíamos en la sección anterior, añade un décimo capítulo que data del año 260 dC11. Nadie duda de este hecho, que podemos sintetizar con las primeras palabras de la Introducción de la traducción inglesa: El Nueve Capítulos de la Arte Matemática juega, en la matemática oriental, un papel análogo al que, en la occidental, ha jugado el Elementos de Euclides. Sin embargo, el Nueve Capítulos se preocupa siempre muchísimo más de la determinación de algoritmos que resuelvan los problemas. Por ello, su influencia ha sido pedagógica y de aplicación práctica. En vez de los teoremas que los lectores occidentales están acostumbrados a encontrar en las obras escritas en la tradición euclídea, el Nueve Capítulos proporciona reglas algorítmicas12.[... ] Es imposible entender el desarrollo de la matemática china, desde sus inicios hasta nuestros días, sin efectuar un estudio substancial de los contenidos del Jiuzhang suanshu13. Las palabras que acabamos de citar son un reflejo de un convencimiento que han defendido los estudiosos de la matemática china, como refleja la opinión de Ougura Kinnosuke: El Nueve Capítulos de la Arte Matemática es la obra fundamental de las matemáticas chinas. Contiene métodos matemáticos excelentes. Si se compara con las matemáticas griegas, es inferior en todo lo que se refiere a la geometría y la teoría de números; en cambio, por lo que a la aritmética y el álgebra (anterior a Diofanto —de aproximadamente el 275 de nuestra era) se refiere, estoy convencido de que las sobrepasan14. Y para ejemplificarlo, Kinnosuke se refiere a la resolución de los sistemas de ecuaciones lineales. Es interesante, además, fijarse en la distinción que establece, en el texto citado, entre la aritmética y la teoría de números. En cierto modo, corresponde a la distinción griega entre logística y aritmética. Aquella estudiaría el uso concreto de los números naturales —su representación y algoritmos de cálculo—; ésta, más teorizante, se preocuparía de establecer las propiedades de los números enteros positivos. A tenor de las palabras que acabamos de leer parece razonable hacer una presentación, aunque sea somera, del Jiuzhang suanshu puesto que constituye el tronco de la matemática china. Sin embargo, conviene indicar, como ya apuntábamos en el preámbulo, que el objetivo de este pequeño texto de matemática china no consiste en un estudio detallado y pormenorizado de este insigne texto sino que pretende ser —y así se presenta— un análisis más amplio de la matemática china, exponiendo las cuestiones y resultados más notables obtenidos por los matemáticos chinos antes de la llegada de Ricci15. De entre todos los textos que componen los Shibu suanjing de los Tang, el Jiuzhang suanshu es el mejor de todos. En él hallamos los rasgos específicos de las matemáticas chinas. Constituye, como indica el texto citado, el arquetipo —el texto paradigmático— de las obras matemáticas chinas. Es, pues, el momento de examinarlo de más de cerca. El Jiuzhang suanshu contiene 246 problemas que se distribuyen de acuerdo con la taxonomía siguiente. Problemas relativos a: Campos rectangulares, 38. Mijo y arroz sin cáscara, 46. Repartos proporcionales según el rango, 20. Disminución de la longitud, 24. Discusiones de los trabajos públicos, 28. Taxación equitativa, 28. Excesos y déficits, 20. Comparación de disposiciones, 18. Base-altura, 24. El texto de Ogura Kinnosuke, que hemos citado, analiza el Jiuzhang suanshu como un documento sobre la sociedad y clasifica su contenido de acuerdo con las siguientes rúbricas: terrenos y trabajos agrícolas, trabajos públicos, intercambios de grano y de alimentos, artesanía, precio de las mercancías, intereses, transporte e impuestos, tarifas aduaneras, anécdotas relativas a los burócratas, etc. Esta taxonomía recuerda —oh, eco lejano!— las palabras del papiro Rhind [∼1800 aC]: Estudio completo y profundo de todas las cosas, penetración de todo lo que existe, penetración de todos los secretos...16 Sin embargo, este estudio completo y profundo, como ya hemos indicado, se expone en base a problemas que podríamos considerar “problemas concreto”, del quehacer cotiano, aún cuando esto sería un error. Los problemas se hallan estructurados como el del texto de Liu Hui, Haidao suanjing que hemos indicado con anterioridad: enunciado, solución, cálculo, sin ninguna explicación razonada de dicho cálculo. Es natutal que los matemáticos se hicieran las siguientes preguntas: El por qué del algorismo? Su validez es general o, en cambio, es sólo es aceptable en dicho caso particular? Cabe un método general, justificable desde algún tipo de raciocinio? Tales son, de hecho, las preguntas que se plantearon los matemáticos chinos, en general, y también Liu Hui. Lo que hace de este insigne erudito es la cantidad de algorismos, razones, generalizaciones, explicaciones que da a cada uno de los problemas, como podemos constatar en las ediciones ingles y francesa del Nueve Capítulos, citados a lo largo del texto y en la bibliografía. 1.4. Citas del propio Liu Hui. Para terminar esta presentación de Liu Hui y de su obra, recordemos que los entendidos afirman que fue un gran matemático que, además, tenía un conocimiento muy profundo y rico de la lengua y del lenguaje chinos. Así pues, a pesar de la falta total de información acerca de la vida de Liu Hui, como ya hemos indicado en la §1.1, su obra nos dice algo de él porque él mismo, en sus reflexiones, abre la puerta para que le conozcamos mejor. En la introducción de sus comentarios al Jiuzhang suanshu, dice: [... ] Además las matemáticas forman parte de las seis artes. Nuestros antepasados las usaban para seleccionar las personas que tenían talento, para instruir a los hijos de los altos dignatarios [del reino]. A pesar de que se denominen “las nueve partes de la matemática”, proporcionan la capacidad de alcanzar lo sutil y de penetrar lo ínfimo, explorando sus límites. Por lo que a la transmisión de sus métodos se refiere, se pueden establecer conocimientos comunes, con el uso de la regla, el compás, los números y las medidas. No hay nada que sea extremadamente difícil. En la actualidad, sin embargo, los que aprecian estas cuestiones son pocos y ello se debe a que, aunque las personas con un grado amplio y profundo de cultura son muchas, no está claro que sean capaces de alcanzar los distintos puntos de vista y de penetrarlos17. Una doble reflexión —que no puede dejarnos indiferentes y que además nos es familiar. Si bien son fáciles, se pueden asimilar porque gozan de metodologías comunes fácilmente asimilables. Sin embargo, de hecho, no consiguen despertar el interés de las personas con cultura, quizás porque no tiene capacidad para “penetrarlas”. Y, por encima de todo, es un matemático que, si bien en el pasaje anterior, nos puede haber parecido algo engreído por el hecho de atribuirse unas capacidades —indudablemente las tenía— que no todas las personas cultas alcanzan, también es capaz de mostrarnos su humildad cuando un problema se escapa a su comprensión: [... ] Desearía, con mis pingües conocimientos, aplicarme a resolver este problema, pero me parece de carezco del principio exacto para ello. No osaría, en absoluto, tratarlo a la ligera. Esperaré a que alguien logre hablar de él con conocimeinto y verdad18. Con esta presentación quedan claros, creo, tanto el contenido del Jiuzhang suanshu, la originalidad y enjundia del texto de Liu, Haidao suanjing y su propia valía como matemático. Notas: 1 El lector interesado en este matemático puede consultar http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Liu Hui.html, o bien, [PY08], y la bibliografía que, en ellos, se propone. 2 Véase [Kan99, pág. 3], o [Che44, pág. 57]. 3 Véase [Str67, pág. 30]. 4 Véanse los comentarios de Liu Hui al Jiuzhang suanshu en [Kan99], o en [Che44]. 5 Véase [Pla09a] o, más extenso, [Pla09b]. 6 En referencia al primer emperador de la dinastía Qin. 7 Véase [Kan99, pág. 53], o [Che44, pág. 127]. 8 Actualmente disponemos de excelentes traducciones al inglés, con comentarios y notas, cuales son [Swe92], y [Kan99, págs. 518–559]. 9 El lector interesado en profundizar más en este texto puede consultar [Pla09b, págs. 84–91], y para la totalidad del texto, puede ver [Swe92]. 10 Véase [Swe92, pág. 20], o [Kan99, págs. 539; 541–543]. Para las expresiones relativas a las medidas que usa el texto, véase [Pla09b, pág. 69]. 11 Comentaristas posteriores a Liu Hui mantendrán este nuevo capítulo en sus comentarios. 12 Se hallan enumeradas en [Kan99, pág. 595]. En total, entre aritméticos, algebraicos y geométricos, se contabilizan 83. 13 Véase [Kan99, pág. vii]. 14 Véase [Kin35, vol. 1, págs. 189–207]. 15 Véase, para ello, [Kan99], [Che44], o [Pla09b, págs. 21–25]. 16 Véase [Pla07], o [Cla99, pág. 122]. 17 Véase [Kan99, pág. 53], o [Che44, pág. 127]. 18 Véase [Kan99, pág. 229], o [Che44, pág. 381]. Esta reflexión tiene lugar cuando intenta justificar la expresión del volumen de la esfera, de la que hablaremos. Véase [Pla09b, págs. 151–156] Referencias: [Che44] Karine Chemla, Les Neuf Chaptres. La Classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires, Dunod, París, 2044, los autores son: Karine Chemla y Guo Shuchun. [Cla99] Marshall Clagett, Ancient Egyptian Science. A Source Book. Volume Three. Ancient Egyptyan Mathematics, American Philosophical Society, Filadel a, 1999. [Gil90] Charles Coulston Gillispie, Complete dictionary of scientific biography, Charles Scribner's Sons, Nova York, 1970-1990. [Kan99] Shen Kangshen, The Nine Chapters on the mathematical Art: Companion and Commentary, Oxford University Press, Science Press, Beijing, 1999, los autores son: Shen Kangsheng, John N. Crossley, Anthony W.-C. Lun. [Kin35] Ogura Kinnosuke, El aspecto social de las matemáticas chinas; la sociedad de los qin y de los han vista a través de los Nueve Capítulos de la arte matemática (en japonés), Iwanami shoten, Tókyo, 1935, en Sûgakushi kenkyü (Investigaciones acerca de la historia de las matemáticas). [Pla07] Josep Pla, Les matemàtiques egípcies, Barcelona, 2007, Curso de matemáticas egipcias. Museu Egipci de Barcelona. Fundació Clos. Barcelona, febrero­abril 2007. Pendiente de publicación. [Pla09a] Josep Pla, “Matemáticas: Unidad de pensamiento. Diversidad cultural”, La Gaceta de la Real Academia Matemática española 12 (1) (2009), págs. 169–189. [Pla09b] Josep Pla, Liu Hui. Nueve Capítulos de la matemática china, Nivola, Madrid, 2009. [PY08] Hang Peng-Yoke, Liu Hui, [Gil90], vol. 8, Charles Scribner’s Sons, 2008, pp. pàgines 418–425. [Str67] Dirk J. Struik, A Concise History of Mathematics, Dover Publications, Inc., Nueva York, 1967, reeditado por Dover Publications, Inc. Nueva York, 1967. [Swe92] Frank Swetz, The Sea Island Mathematical Manual; Surveying and Mathematics in Ancient China, Pensilvania State University Press, Pensilvania, USA, 1992.

Jueves, 26 de Noviembre de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

180. Ingeniería y Matemática en España en la primera mitad del siglo XX: Pedro Miguel González-Quijano (Jerez de la Frontera, 23-IV-1870 – Madrid, 3-XI-1958)

LA GACETA, vol. 12, no. 4, 2009, 751–772. Ver detalles del documento

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