161. Euclides (El Teorema de los Poliedros en la última Proposición de Los Elementos de Euclides)

El Teorema de los Poliedros en la última Proposición de Los Elementos de Euclides Euclides. Biblioteca de El Escorial. Obra de P. Tibaldi. 1586. «Euclides era platónico, [...], mejoró los trabajos de Teeteto, [...], se propuso como objetivo final del conjunto de sus Elementos la construcción de los cinco poliedros regulares». Proclo. Comentario al Libro I de  Los Elementos de Euclides (Prólogo, 2ª Parte) Según Proclo, Euclides se formó en el ámbito matemático de los sucesores de los discípulos de Platón, en la Academia de Atenas, y por ello tuvo que sufrir la fascinación de sus miembros por los cinco poliedros regulares –llamados Cuerpos Platónicos–, para incluirlos como clímax final, en el Libro XIII y último, de un tratado tan brillante como Los Elementos. De hecho diversos comentaristas griegos atribuyen gran parte del contenido del Libro XIII al gran matemático platónico Teeteto. Fragmentos de los dibujos sobre de los Sólidos Platónicos que Leonardo da Vinci diseñó para la célebre obra de Luca Pacioli La Divina Proporción (Venecia, 1509). A pesar de su título, gran parte de esta magna obra está dedicada a un estudio exhaustivo de los poliedros tanto los platónicos como los arquimedianos. El estudio euclídeo de los poliedros regulares es muy importante para la Historia de la Matemática porque contiene el primer ejemplo de un teorema fundamental de clasificación. Euclides introduce uno por uno, los poliedros regulares en las definiciones XI.12 (pirámide), XI.25 (cubo), XI.26 (octaedro), XI.27 (icosaedro), XI.28 (dodecaedro) de Los Elementos. El objetivo de los Teoremas del Libro XIII de Los Elementos es inscribir cada uno de los poliedros regulares en una esfera, construcciones que Euclides, con un extraordinario virtuosismo geométrico, obtiene, de forma sucesiva, en las Proposiciones XIII.13–XIII.17, hallando la razón de la arista del sólido al diámetro de la esfera circunscrita, obteniendo los resultados que se sintetizan en el cuadro adjunto que muestra la razón de la arista de cada sólido al radio R de la esfera circunscrita.    

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162. Euclides (El Teorema de Pitágoras en Los Elementos de Euclides)

El Teorema de Pitágoras en Los Elementos de Euclides Pitágoras y Euclides. Fragmentos del códice de Nicolo da Bologna Las Virtudes y las Artes de 1355. Biblioteca Ambrosiana de Milán.   CITAS MEMORABLES SOBRE EL TEOREMA DE PITÁGORAS EN LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES Mientras admiro a los que han observado la verdad de este teorema, ensalzo más todavía al autor de Los Elementos, no sólo porque consiguió una demostración mucho más lúcida, sino también porque obtuvo un teorema mucho más general, mediante los irrefutables argumentos del Libro VI [Euclides, VI.31]. Proclo. Comentarios al Libro I de los Elementos de Euclides. (Comentario a la Proposición XLVII) Hasta los 40 años [Hobbes] no se interesó por la Geometría, hecho que ocurrió por accidente al hojear casualmente en una biblioteca un libro de Los Elementos de Euclides, abierto por la Proposición I.47. De la vida de T.Hobbes en Brief Lives de J.Aubrey, 1694. Antes de que la Santa Geometría cayera en mis manos, un tío mío me había contado, a los 12 años, el Teorema de Pitágoras. [...] Es maravilloso que un hombre como Euclides sea capaz de alcanzar tal grado de certeza y pureza haciendo uso exclusivo de su pensamiento. Sketch autobiógráfico sobre A.Einstein. Philosopher-Scientist. P.A.Schilpp, 1951. En la demostración de Euclides del Teorema de Pitágoras están mezcladas de tal modo la intuición y la lógica, que cada paso lógico está evidenciado intuitivamente. F.Klein. Matemática elemental desde un punto de vista superior. Vol. II. Geometría. Biblioteca Matemática. Dtor: J.Rey Pastor. Madrid, 1931. p.319. Cientos de pruebas ha sugerido la proposición pitagórica. [...] Una de las primeras es la de Los Elementos de Euclides que ha soportado la prueba del tiempo mejor que cualquier otra. D.Smith. History of Mathematics. Dover. New York, 1958. Vol.2, p.289. Gran parte de lo que precede en Los Elementos de Euclides [a la Proposición I.47] apuntaba al gran Teorema de Pitágoras, que sirve de adecuado clímax al Libro I. [...] La sutileza de la demostración de Euclides es un ejemplo de la mejor Geometría. W.Dunham. Viaje a través de los genios. Pirámide, Madrid, 1992. p.76. El llamado Teorema de Pitágoras en la Proposición I.47 de Los Elementos de Euclides El primer Libro I de Los Elementos de Euclides termina con el teorema más importantes de la Geometría elemental: El Teorema de Pitágoras y su recíproco (las Proposiciones I.47 y I.48), donde alcanza una verdadera apoteosis geométrica la forma magistral y sumamente bella con que el maestro alejandrino realiza la proeza de demostrar el legendario teorema, con una lógica impecable, una inusitada elegancia y una modesta economía de elementos geométricos construidos de forma muy cuidadosa en las proposiciones anteriores. Euclides enuncia el Teorema de Pitágoras en la forma siguiente (Euclides: Elementos. traduc. y notas de M.L.Puertas. Gredos. Madrid, 1996. Libro I, p.260): Proposición I.47. En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es equivalente a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto. Al no poder utilizar las proporciones en forma pitagórica –por la presencia inexorable de las magnitudes inconmensurables– que suponen la aplicación de la semejanza –que no aparecerá en Los Elementos hasta el Libro VI–, Euclides agudiza el ingenio y obtiene el magnífico resultado aplicando para su demostración, además de algún que otro postulado y axioma, elementos muy simples de Geometría elemental, estudiados previamente. Entre ellos: La construcción de cuadrados sobre segmentos (I.46). Ángulos adyacentes que suman dos rectos (I.14). El primer teorema de congruencia de triángulos (I.4). La relación entre triángulos y paralelogramos que tienen la misma base y situados entre las mismas paralelas (I.36, I.41). «Los paralelogramos que tienen la misma base y están situados entre las mismas paralelas tiene el mismo área» (Euclides I.36). «Si un paralelogramo tiene la misma base que un triángulo y están situados entre las mismas paralelas el área del paralelogramo es doble de la del triángulo» (Euclides I.41). Parece que Euclides está ansioso de situar lo más pronto posible, de la manera más rápida y directa, el Teorema de Pitágoras en Los Elementos, ante la perentoria necesidad de utilizarlo ulteriormente con asiduidad; pero ante la imposibilidad de aplicar de forma tan temprana la Teoría de la Proporción de Eudoxo –que será desarrollada en los Libros V y VI de Los Elementos–, con base en las proposiciones descritas (I.36, I.41), realiza, con una estética inefable y con una sutileza sublime, la siguiente demostración: Los triángulos DCB y ABI son iguales ya que AB=BD, BI=BC y el ángulo B del triángulo DCB es igual al ángulo B del triángulo ABI. El área del cuadrado ABDE es doble del área del triángulo DCB ya que tienen la misma base y están situados entre las mismas paralelas. El área del rectángulo BIKJ es doble del área del triángulo ABI ya que tienen la misma base y están situados entre las mismas paralelas. Combinando los tres resultados anteriores, resulta que el área del rectángulo BIKJ es igual al área del cuadrado ABDE. Razonando de forma análoga se demuestra que el área del rectángulo CHKJ es igual al área del cuadrado ACGF. Luego, ya que el área del cuadrado BIHC es igual a la suma de las áreas de los rectángulos BIKJ y CHKJ, definitivamente, el área del cuadrado cuyo lado subtiende el ángulo recto, BIHC, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados, ABDE y ACG, cuyos lados comprenden el ángulo recto. La demostración euclídea del Teorema de Pitágoras es de naturaleza estrictamente geométrica. En ella juega un papel fundamental una figura que procede de una secuencia de construcciones que, mediante ciertas congruencias de triángulos, va transformando los cuadrados sobre los catetos en dos rectángulos que al encajarse componen el cuadrado sobre la hipotenusa. La figura euclídea se ha hecho famosa por las curiosas calificaciones que se le han dado. E. Lucas en Recréations mathématiques dice que los árabes le llamaban «silla de la novia», porque se parece a la silla que en algunos países orientales llevaba un esclavo a la espalda para transportar a la novia hasta la ceremonia. También se ha llamado «calesa de la mujer recién casada» (Bhaskara), «capucha de franciscano», «cola de pavo real», «figura del molino de viento». El filósofo Schopenhauer, que muy impresionado por el hecho del teorema, siempre se preguntó por la razón natural de la relación pitagórica, llamaba a la demostración de Euclides «una prueba paseando en zancos» y también «prueba de la ratonera». ILUSTRACIONES HISTÓRICAS DEL TEOREMA DE PITÁGORAS EN EUCLIDES Fragmentos de la Proposición I.47 de Los Elementos de Euclides en versiones históricas. 1: Manuscrito griego (siglo XII, Biblioteca Nacional de París). 2: Manuscrito chino (siglo XVII). 3: Manuscrito francés (siglo XV). 4: Manuscrito latino de fecha incierta (la primera traducción medieval al latín, hacia 1142, procede del árabe y es atribuida al filósofo escolástico Adelardo de Bath. 5: Página de un Comentario árabe de 1250 sobre Euclides. Los Elementos de Euclides es, sin duda alguna, el libro científico más traducido y divulgado a lo largo de la Historia de la Cultura. Es el texto que más veces se ha editado, después de La Biblia, siendo, además, la obra más influyente de toda la literatura matemática.   Fragmentos de la Proposición I.47 de Los Elementos de Euclides en versiones impresas. 1. Primera impresión (Ratdolt, Venecia, 1482). Biblioteca del Monasterio de San Millán de Yuso. 2. Editio princeps de Los Elementos de Euclides (S.Grynaeus el viejo, Basilea, 1533). Biblioteca de la Universidad de Sevilla.      

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163. Un texto historiográfico clásico: el artículo "Matemáticas" de Andrei N. Kolmogórov publicado en la

LA GACETA, vol. 9, no. 1, 2006, 99-107. "Matemáticas" (108-141). Ver detalles del documento

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164. Arquímedes (La Cubatura y la Cuadratura de la Esfera en EL MÉTODO de Arquímedes)

La Cubatura y la Cuadratura de la Esfera en EL MÉTODO de Arquímedes «Entre todos los trabajos que se refieren a las disciplinas matemáticas, parece que el primer lugar puede ser reivindicado por los descubrimientos de Arquímedes, que confunden a las almas por el milagro de su sutilidad». E.Torricelli. Opera geometrica. Florencia, 1644. Proemio. Fragmento de un sello griego emitido en 28/04/1983 que representa a Arquímedes (con el tradicional busto del Museo Nacional de Nápoles), diagramas geométricos y la  balanza de su método mecánico de descubrimiento. Se trata de una adaptación del famoso mosaico renacentista que representa la muerte del sabio en la segunda guerra púnica. Arquímedes es uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos, tanto por la magnitud de su contribución al patrimonio matemático de la humanidad como por la genialidad de sus métodos. Una copiosa tradición legendaria, inmortalizada por la imaginación épica de los más egregios literatos greco-latinos –Polibio, Tito Livio, Plutarco,  Cicerón, …– y reivindicada por numerosos escritores y científicos a partir del Renacimiento –Leonardo, Galileo, Cavalieri, Torricelli, Fermat, Pascal, …– elevó la figura de Arquímedes hasta la más alta cima del genio e ingenio humanos, entre el mito y la realidad, magnificados aún más, si cabe, en todos los tiempos, por un ingente despliegue de iconografía arquimediana, que ha embellecido la imagen del sabio personaje hasta cotas casi hagiográficas. No obstante, el retrato que más interesa es el del pensamiento de Arquímedes, plasmado en el sello inmarcesible de sus escritos geométricos, algo que sobrevivirá mientras haya mentes que sigan abriéndose paso hacia el descubrimiento de la verdad matemática persiguiendo encontrar la demostración de la propia verdad. Pero allende el romanticismo que la Literatura ha impregnado a la figura de Arquímedes, interesa sobremanera a la Historia de la Ciencia y sobre todo a la Historia de la Matemática, su ingente contribución a la magnificación del acervo matemático de su época, en una triple vertiente: a) la propia ampliación de los conocimientos euclídeos, b) la consolidación del procedimiento demostrativo, y  c) la aplicación de una eficiente metodología nueva en el descubrimiento matemático. A partir de 1906, fecha en que el gran helenista e historiador de la Matemática J.L.Heiberg exhumó la obra de Arquímedes, EL MÉTODO, tras una encomiable labor de paleografía matemática, sabemos que este tratado es una obra singular de Arquímedes, porque en ella revela a la comunidad matemática alejandrina –en carta dirigida a Eratóstenes– la forma de descubrir los resultados matemáticas por medio de la mecánica, que se ocultaba en el resto de sus escritos científicos. La combinación de Geometría y Estática que Arquímedes había hecho en sus tratados Sobre el Equilibrio de los Planos y en Sobre los Cuerpos Flotantes para establecer rigurosamente ciertas propiedades relacionadas con el equilibrio de ciertos cuerpos geométricos, la realiza de nuevo en EL MÉTODO para descubrir e investigar resultados, que, obtenidos de forma mecánico-geo­métrica en esta obra, demostrará de forma impecablemente rigurosa en sus famosos tratados científicos conocidos. Aquí veremos la aplicación del Método mecánico a la cubatura (volumen) de la esfera, de donde Arquímedes descubre a su vez, mediante una feliz intuición, la Cuadratura (superficie) de la esfera. Primera página de la obra de Arquímedes Sobre la Esfera y el Cilindro. Museo Municipal de Trieste. La obra de Arquímedes Sobre la Esfera y el Cilindro consta de dos Libros. El primer Libro es un complemento natural del Libro XII de Los Elementos de Euclides. Ambos tratan de las figuras esferas, cilindros y conos, pero Arquímedes trasciende de forma muy considerable los resultados euclídeos, al demostrar aquí, de forma magistral, mediante el método de exhaución, nuevos y fundamentales teoremas sobre el volumen (Proposición I.34 y su Corolario) y la superficie de la esfera (Proposición I.33). Los trabajos geométricos desarrollados por Arquímedes en esta obra son probablemente considerados los más importantes por el científico, hasta el punto que, según testimonio de Plutarco (Marcelo, XVII.12), ratificado por Cicerón (Tusculanas V.23), el sabio exhortó a sus deudos a que se grabara en su tumba lo que sería el primer epitafio científico de la historia, las figuras de un cilindro circunscrito a una esfera junto con un epigrama que describiese la relación que las vincula, sencillas proporciones que debieron impresionar al propio Arquímedes: «La esfera y el cilindro circunscrito a ella están en la relación de 2 a 3, tanto en volumen como en superficie total.» «los volúmenes de un cono, una semiesfera y un cilindro de la misma altura y radio están en la razón 1:2:3.»         La cubatura de la esfera en  la Proposición 2 de EL MÉTODO (Archimedis Opera Omnia de  Heiberg, 1910-1913). La Cubatura de la Esfera es, sin duda el ejemplo arquimediano más ilustrativo de la aplicación del método mecánico de descubrimiento al cálculo de volúmenes.

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165. Arquímedes (La Cuadratura del segmento parabólico en EL MÉTODO de Arquímedes)

La Cuadratura del segmento parabólico en EL MÉTODO de Arquímedes «Es imposible encontrar en toda la Geometría cuestiones más difíciles y más importantes explicadas con términos más sencillos ni más comprensibles que los teoremas de la inteligencia  sobrehumana de Arquímedes». Plutarco. Vidas paralelas. Marcelo,XVII.5-8. Busto de Arquímedes. Museo Nacional de Nápoles. Es uno de los iconos más conocidos del genio de Siracusa. Con una inefable capacidad para conjugar a la perfección la intuición del descubrimiento con el virtuosismo de la demostración, Arquímedes es considerado como uno de los matemáticos más fecundos de todos los tiempos. Cuando en el Renacimiento y siglos posteriores tiene lugar la recuperación, reconstrucción y divulgación del legado clásico griego, todos los matemáticos se formulan la pregunta: ¿Cómo había alcanzado Arquímedes sus impresionantes resultados sobre cuadraturas y cubaturas, que luego demostraba rigurosamente mediante el método de exhaución? Ante los sorprendentes descubrimientos arquimedianos, muchos matemáticos albergaron la sospecha de que el sabio disponía de un método milagroso que aplicaba en sus investigaciones y que habría ocultado de forma deliberada. Por ejemplo, Wallis que realizó una edición de las Obras de Arquímedes, publicada en Oxford en 1676, escribía: «Al parecer Arquímedes ocultó adrede las huellas de su investigación, como si hubiera sepultado para la posteridad el secreto de su método de investigación»; y Barrow, que se encargó también de una edición en latín de las Obras de Arquímedes, que se publicó en Londres en 1675, escribía: «Al no poder imaginar qué ingenio mortal pueda llegar a tanto mediante la virtud del razonamiento, estoy seguro que Arquímedes se vio ayudado por el Álgebra, a la que conocía en secreto y que ocultaba de forma estudiada». Efectivamente, Arquímedes poseía un método de investigación, basado en la aplicación de la ley que rige la más sencilla de sus máquinas «La Ley de la Palanca», que plasmó en su obra El Método relativo a los teoremas mecánicos dirigido a Eratóstenes (EL MÉTODO), y en la que mediante procedimientos reconocidos por él mismo como no del todo rigurosos, descubría sus famosos teoremas matemáticos sobre cuadraturas y cubaturas, pero fueron los avatares históricos y no su voluntad, quien lo dejó oculto para la posteridad, ya que la obra de Arquímedes, EL MÉTODO, desapareció de la circulación en tiempos desconocidos y no fue recuperada hasta 1906, gracias a la sagacidad del eximio helenista y erudito J.L.Heiberg. 1. Imagen venerable de J.L.Heiberg (1854-1928). El gran helenista e historiador de la Matemática exhumó la obra de Arquímedes, EL MÉTODO, en circunstancias casi novelescas, en 1906, de un palimpsesto medieval de la biblioteca del Priorato del Phanar del Patriarcado griego del Santo Sepulcro de Jerusalén, en Constantinopla. Tras una titánica labor de arqueología matemática, J.L.Heiberg consiguió transcribir, letra a letra, el contenido del texto arquimediano, reconstruir figuras semiborradas y restablecer el orden secuencial de las hojas que había sido muy alterado. El contenido del palimpsesto que fue utilizado por J.L.Heiberg para  la edición de sus Archimedis Opera Omnia. 2. Portada de la definitiva y canónica edición de Heiberg de las Obras de Arquímedes, Archimedes Opera Omnia (Leipzig, 1910-1913), que incluye El Método sobre los teoremas mecánicos dirigido a Eratóstenes, donde Arquímedes plasma la vía mecánica de sus brillantes descubrimientos, que había omitido en sus restantes escritos científicos. La Cuadratura de un segmento parabólico en Archimedis Opera Omnia de J.L. Heiberg. Es el primer ejemplo y el más sencillo e ilustrativo de la aplicación del método mecánico de Arquímedes al cálculo de cuadraturas.

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166. Cauchy (Función derivada de una función)

Función derivada de una función Augustin-Louis Cauchy nació en París el 21 de agosto de 1789 y murió el 23 de mayo de 1857 en Sceaux (Francia). En 1805 ingresó en la Escuela Politécnica de París y en 1807 lo hizo en la École des Ponts et Chaussées donde estudió ingeniería civil. En 1816 ganó el Gran Premio de la Academia Francesa de Ciencias. Escribió 789 memorias de carácter científico. Las contribuciones de Cauchy a las Matemáticas se refieren a la convergencia-divergencia de series infinitas, funciones reales y complejas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemática. Los conceptos de límite y continuidad que aparecen en nuestros textos de Análisis se deben a Cauchy. Entre sus obras destacan el Cours d’analyse (1821),destinado a los alumnos de la Escuela Politécnica,  Leçons sur le Calcul Différentiel (1829) y  Exercises d'analyse et de physique mathématique (1840-1847). Cauchy era partidario de los Borbones y después de la revolución de 1830 tuvo que abandonar París. Tras un corto tiempo en Suiza aceptó una oferta para ocupar una cátedra en Turín donde estuvo hasta 1832. En 1833 pasó de Turín a Praga donde fue tutor del nieto de Carlos X. Cauchy volvió a París en 1838 donde no pudo ejercer la docencia por negarse a prestar el juramento de lealtad. Cuando Luis Felipe fue destronado en 1848 Cauchy se incorporó a su cátedra en la Escuela Politécnica sin necesidad de prestar el juramento de lealtad al nuevo gobierno. Cauchy fue un católico ferviente. Sus últimas palabras, dirigidas al Arzobispo de París,  fueron: Los hombres desaparecen, pero sus obras perduran. Del tomo primero de su Résumé des Leçons données a l’École Royale Polytechnique, sur le Calcul Infinitésimal (1823) hemos seleccionado la Tercera Lección consagrada a las derivadas de las funciones de una variable.    

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167. Clairaut (El Teorema de Pitágoras)

El teorema de Pitágoras El matemático francés Alexis Claude Clairaut (1713-1765) fue admitido en la Academia de Ciencias francesa cuando aún no tenía dieciocho años de edad, por su trabajo Recherches sur les courbes a double courbure que fue publicado en 1731. A lo largo de su corta vida perteneció a la Royal Society of London, a la Academia de Berlín, a la Academia de San Petersburgo, y a las Academias de Bolonia y Upsala. Desde el 20 de abril de 1736 al 20 de agosto de 1737, Clairault participó en una expedición a Laponia, liderada por Maupertuis, cuyo objetivo era medir la longitud de un meridiano en la tierra. En 1743,  publicó su famoso trabajo Théorie de la figure de la terre donde confirmó la hipótesis de que la tierra estaba achatada en los polos, defendida por Newton-Huygens. Además de sus  contribuciones a la ciencia en general y a las Matemáticas en particular, Clairaut escribió dos textos dedicados a la enseñanza que alcanzaron varias ediciones: uno de álgebra y otro de geometría. En el prefacio de este último manual, Élémens de géométrie, el autor se expresaba en los siguientes términos: Me he propuesto retroceder a lo que pudo haber sido el nacimiento de la Geometría e intentar desarrollar sus principios por un método natural del que se pueda asumir que fue el mismo que el de sus primeros Inventores. Sólo he intentado  evitar aquellos falsas tentativas que ellos tuvieron la necesidad de hacer. De los Élémens de géométrie hemos seleccionado tres apartados en los que Clairaut demuestra el Teorema de Pitágoras1. Nota: 1 Élémens de géométrie,  segunda parte, artículos XVI, XVII y XVIII.

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168. Clairaut (Una lección de álgebra elemental)

Una lección de álgebra elemental Cinco años después de editar sus Elementos de Geometría (1741), Alexis Claude Clairaut publicó otro manual consagrado a la enseñanza de las Matemáticas. Nos referimos a los Elementos de Álgebra que causaron un gran impacto en la comunidad científica francesa. De este último texto hemos seleccionado los seis primeros artículos de la primera parte. En ellos Clairaut pone de manifiesto su estilo didáctico e introduce al lector en el mundo del álgebra simbólica. ELEMENTOS DE ÁLGEBRA PRIMERA PARTE Del Método Algebraico para expresar los problemas por ecuaciones, y de la resolución de las ecuaciones de primer grado Entre los diferentes problemas en los que se ocuparon los primeros Matemáticos, llamados Algebristas, he elegido el siguiente como uno de los más apropiados para mostrar cómo consiguieron formar la Ciencia que se llama Álgebra o Análisis. I Repartir una cantidad, por ejemplo 890, entre tres personas de modo que la primera reciba 180 más que la segunda, y la segunda 115 más que la tercera. En primer lugar, veamos cómo pudo razonar un hombre que, sin ningún conocimiento de Álgebra, se enfrentase a dicho problema. Es evidente que si se conoce una de las tres partes, también se conocen las otras dos. Supongamos, por ejemplo, que se conoce la tercera parte, que es la menor. Si se le suma 115 tenemos la segunda. Para tener la primera se debe añadir 180 a la segunda. Esto equivale a sumar 180 y 115, o sea 295, a la tercera. Cualquiera que sea la tercera parte, sabemos que dicha parte más ella misma aumentada en 115, más ella misma aumentada en 295 debe ser igual a 890. De aquí se sigue que el triple de la parte menor más 115, más 295 (igual a 410) es igual a 890. Entonces, si el triple de la parte que se busca más 410 es igual a 890, resulta que el triple de la parte que se busca debe ser igual a 890 menos 410. Por consiguiente, el triple de la parte menor es igual a 480. Por tanto, la parte menor es igual a 160. La segunda parte es 275 y la primera, o la mayor, es 455. Es verosímil que los primeros Algebristas razonasen de este modo cuando les fueron propuestos problemas similares. Sin duda alguna, a medida que avanzaban hacia la solución de un problema, ellos retenían en la memoria todos los razonamientos que les habían conducido al punto en que se encontraban. Si los problemas no eran más complicados que el anterior, no les hacía falta nada más. No obstante, si necesitaban retener más ideas, era preciso que buscasen un modo más sencillo de expresarlas, algunos signos sencillos con los que pudiesen ver, con sólo una ojeada, lo que habían hecho y lo que les faltaba por hacer. Esta especie de lenguaje particular que imaginaron para ello es el Álgebra.

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169. Descartes (Cómo se elimina el segundo término de una ecuación)

Cómo se elimina el segundo término de una ecuación René Descartes, el padre de la geometría analítica, nació el 31 de marzo de 1596 en La Haye, cerca de Tours, y murió el 11 de febrero de 1650. Su familia poseía una fortuna considerable que permitió a Renato llevar una vida desahogada. A los veinte años obtuvo el Bachillerato y la Licenciatura en Leyes. Desde los veintiún años hasta los veintinueve Descartes se dedicó a viajar por Europa, alistándose en los ejércitos de Mauricio Nassau y Maximiliano V de Baviera. En 1625 regresó a Francia y, en París, perteneció al círculo científico del padre Marín Mersenne, antiguo compañero en el colegio jesuita de La Flêche. Durante su estancia parisina René llevó una vida poco recomendable, dominada por el juego, hasta que se retiró a su casa de Saint Germain y empezó un intenso trabajo en filosofía, física y matemáticas. En 1628 emigró a Holanda donde permaneció durante casi veinte años. Los conocimientos de Descartes se pueden calificar de enciclopédicos dado que, además de las tres disciplinas antedichas, cultivó la óptica, química, música, mecánica, anatomía, embriología, medicina, astronomía y meteorología. En matemáticas su obra capital fue La Géométrie, publicada en 1637 como apéndice de su famoso Discurso del Método, en la que sentó las bases de la geometría analítica. Se cuenta que le surgió la idea de esta nueva geometría cuando, contemplando el movimiento de una mosca en el techo de su habitación, pensó que la trayectoria del insecto se podía describir en función de su distancia a las paredes adyacentes. Con Descartes se inició la práctica actual de usar las últimas letras del alfabeto para las incógnitas y las primeras para los parámetros. Al mismo tiempo, el autor del Discurso del Método, acostumbró a igualar a cero el primer miembro de cualquier ecuación.    

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170. Fermat (Un problema de máximos y mínimos)

  Un problema de máximos y mínimos Pierre Fermat nació en Beaumont-de-Lomagne (Francia) el 17 de agosto de 1601 y murió en Castres (Francia) el 12 de enero de 1665. Abogado de profesión y matemático vocacional contribuyó al desarrollo del álgebra, geometría, cálculo diferencial e integral, teoría de números y cálculo de probabilidades. En vida de Fermat sus investigaciones circularon preferentemente en forma de cartas. Así, la memoria Methodus ad disquirendam maximam et minimam (ca. 1638),en la que se propone un método para el cálculo de máximos y mínimos, fue remitida por Fermat al Padre Marin Mersenne1. La adaptación del texto del Methodus que ofrecemos a continuación se basa en la versión inglesa presentada por D. J. Struik en su A source book in Mathematics 1200-1800. MÉTODO PARA LA EVALUACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS La teoría para la evaluación de máximos y mínimos presupone dos incógnitas y la regla siguiente: Sea a una incógnita cualquiera del problema (que tenga una, dos o tres dimensiones, según la formulación del problema). Expresemos el máximo o el mínimo mediante a, en términos que pueden ser de cualquier grado. Reemplacemos la incógnita original a  por  a + e, y expresemos la cantidad máxima o mínima mediante a y e, en términos que pueden ser de  cualquier grado. Adigualemos, usando el término de Diofanto2, las dos expresiones de la cantidad máxima o mínima y suprimimos sus términos comunes. Con esto, ambos miembros contendrán términos afectados de e o de alguna de sus potencias. Dividiremos todos los términos por e, o por una potencia mayor de e, de modo que e desaparecerá de, al menos, uno de los términos. Después, suprimiremos todos los términos en los que todavía aparezca e o alguna de sus potencias y se igualarán los otros; o si uno de los miembros desaparece, se igualarán los términos positivos y negativos. La solución de esta última ecuación dará el valor de a que conduce al máximo o al mínimo, utilizando la expresión original. He aquí un ejemplo: Dividir el segmento AC por el punto E de modo que AC x EC sea máximo.   Escribamos AC = b y designemos por a uno de los segmentos. Por tanto, el otro será b – a  y el producto, cuyo máximo se quiere encontrar, será ba – a2. Sea ahora a + e el primer segmento de b. El segundo será  b – a – e, y el producto de los segmentos será  ba – a2 + be –2ae – e2. Esto se debe adigualar con el precedente  ba – a2. Reduciendo los términos comunes tendremos be – 2ae + e2. De donde, suprimiendo e, resulta que b = 2a. Para resolver el problema deberemos tomar la mitad de b. Referencias bibliográficas STRUIK, D. J. (1986). A source book in Mathematics 1200-1800. New Jersey: Princeton University Press. Referencias on line Fermat’s rule for maxima and minima http://neo.math.unifi.it/archimede_NEW_inglese/mostra_calcolo/guida/node7.html Notas: 1 Marin Mersenne, teólogo, filósofo y matemático francés, nació en Oizé el 8 de septiembre de 1588 y murió en París el 1 de septiembre de 1648. Estudió en el colegio jesuita de La Flèche, donde tuvo como compañero a Descartes, ocho años más joven que él, con quien trabó una gran amistad. Marin entró en el noviciado de los Mínimos en Nigeon (1611) y fue destinado como profesor de filosofía a Nevers (1614-1620), después pasó a París. Sus primeras obras fueron de carácter teológico pero después se dedicó preferentemente a la ciencia, llevando a cabo investigaciones de tipo experimental y publicando trabajos de contenido matemático. Sin embargo, su principal mérito fue el ánimo que transmitió a los científicos de su época y el interés que prestó a la difusión de sus trabajos. 2 El término adigualar, en latín adequatio, proviene del griego parisótes con el que Diofanto denota que un número se aproxima a otro tanto como sea posible.  

Martes, 13 de Enero de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico