141. La limitada recepción de la topología en España durante el primer cuarto del siglo XX

LA GACETA, vol. 16, no. 2, 2013, 331-360. Ver detalles del documento

Jueves, 18 de Julio de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

142. Pedro de Lucuce y Ponce y las instituciones matemático-militares españolas del siglo XVIII

LA GACETA, vol. 16, no. 1, 2013, 147-168. Ver detalles del documento

Jueves, 18 de Julio de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

143. La historia del problema isoperimétrico clásico con geometría elemental

LA GACETA, vol. 15, no. 2, 2012, 335-354. Ver detalles del documento

Jueves, 18 de Julio de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

144. La colección de modelos matemáticos de la Universidad de Zaragoza

LA GACETA, vol. 15, no. 1, 2012, 187-204. Ver detalles del documento

Jueves, 18 de Julio de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

145. Wiener, Norbert (1894-1964)

1. VIDA Norbert Wiener nació en Columbia, Missouri (Estados Unidos) el 26 de noviembre de 1894. Era de origen judío, aunque no supo de esto hasta su adolescencia. Su padre, Leo Wiener (1862-1939), era una persona de carácter. Había llegado a Estados Unidos cuando tenía solamente 18 años, sin una formación académica formal, y, gracias a su tremenda facilidad para las lenguas, consiguió con el tiempo un puesto como profesor de lenguas eslavas en la universidad de Harvard, donde ocuparía una cátedra a partir de 1911 y se jubilaría como profesor emérito en 1930. Parece ser que la madre de Wiener, de nombre Bertha, no ejerció demasiada influencia sobre éste. En su autobiografía, Wiener solamente menciona que era "una mujer pequeña, vigorosa y vivaz" , mientras que al padre le dedica largas páginas en las que se mezclan la admiración y el resentimiento. Parece ser que su padre le amargó la infancia, al hacerse cargo personalmente de su educación y someterlo a una disciplina férrea, que acabaría marcando en él un carácter inseguro y suspicaz. Wiener tuvo el honor de la fama (o la desgracia, según se mire) en al menos dos momen­tos importantes de su vida. El primero fue cuando comenzó sus estudios universitarios en el Tufts Collegue, con sólo 11 años de edad. Así, Wiener era calificado de "niño prodigio" y sometido a la presión de la prensa. Asistía a las clases cuando aún llevaba, en sus propias palabras, pantalones cortos. Se licenció sin problemas y, tras algunos fracasos personales en su intento de comenzar una carrera en zoología, fue enviado a realizar el doctorado a Harvard. Allí defendió una tesis sobre una cuestión técnica de lógica matemática, rela­cionada con los trabajos recientes de Russell y Whitehead, obteniendo el título de doctor con sólo 18 años. La otra ocasión de fama vendría mucho tiempo después, cuando publicó sus primeros trabajos sobre cibernética y, además, se enfrentó al status qua al denunciar el uso inmoral que se estaba realizando de la ciencia, sometiendo la a intereses puramente militares. Tras defender su tesis, Wiener obtuvo una beca para visitar a Russell en Inglaterra. Sin embargo, no se estableció una relación fluida entre ellos, lo cual llevó a Wiener a abandonar sus intereses en lógica matemática y, con la ayuda del también genio de las matemáticas Hardy, se introdujo en el análisis matemático. Concretamente, Hardy explicó a Wiener los entresijos del mundo de la variable compleja y la teoría de la medida. Estos fueron dos de los ingredientes fundamentales con los que Wiener condimentaría una larga trayectoria investigadora, en la que con el tiempo logró importantes éxitos. Un tercer y cuarto ingredientes fueron el análisis de Fourier y una visión profunda de los problemas de la física, la ingeniería electrónica y la biología. Wiener no empleó todo el tiempo de su beca en permanecer en Inglaterra sino que aprovechó su cercanía al viejo continente para visitar Alemania. En particular, viajó a Gotinga, donde asistiría a los cursos de Hilbert y Landau. Además, durante su estancia estudió algo de física, mostrando un especial interés por los trabajos de Einstein de 1905 (su "año milagroso", en el que investigaría entre otros temas el efecto fotoeléctrico, el movimiento Browniano y la teoría especial de la relatividad). En 1914 estalló la Gran Guerra y Wiener volvió rápidamente a Estados Unidos, donde pasaría el verano en New Hampshire. Luego volvió a Inglaterra, pero allí no estaban las cosas como para dedicarse a la investigación y, además, no encontraba a nadie con quien poder colaborar, así que regresó a la casa familiar, a Boston. Pasaron cuatro largos años, en los que Wiener iría cambiando de un empleo a otro, hasta que, en 1919, consiguió un puesto de profesor en el Instituto Tecnológico de Massachusets (MIT). Allí permanecería el resto de su vida académica. Se puede decir que Wiener disfrutó, a partir de entonces, de la vida típica de un profesor universitario estadounidense, dedicado sobre todo a sus investigaciones. En otras palabras, al tener resuelta su economía (y más, tras conseguir una cátedra, en 1931) su vida se centró completamente en la investigación y el cuidado de sus relaciones con el resto de eruditos con los que trabajó, o a los que admiró, tanto en Estados Unidos como en Europa y otros países, como México o China. A Wiener le encantaba viajar y, probablemente herencia de su padre, disfrutaba mucho con los idiomas. Sobre él se ha dicho que "hablaba varios idiomas ... pero no se le entendía bien en ninguno de ellos" . Entre 1920 y 1923, Wiener obtuvo su primer gran éxito, que fue la consecución de un modelo matemático para el movimiento Browniano. Además, en 1920, durante una visita a Fréchet, justo antes del congreso internacional de matemáticos que tendría lugar en Estrasburgo ese mismo año, propuso un conjunto de axiomas para la caracterización de ciertos espacios, que luego se comprobaría que coincidían plenamente con los espacios que Banach estaba estudiando simultáneamente en Polonia. Wiener se dedicó muy pronto a otros temas, al verse desbordado por la cantidad de publicaciones que aparecían constan­temente en relación a los espacios de Banach- Wiener. No soportaba la competencia. Le desquiciaba pensar que cualquier día podría encontrarse con que alguien había publicado ya algo en lo que él estaba trabajando en ese momento. Ya de vuelta en EEUU, se ocupó durante un tiempo en la solución de un problema muy importante en teoría del potencial: el problema de Zaremba. Esta cuestión también le causó algunas dificultades, pues su bril­lante resolución del problema dejaba en evidencia el trabajo que aún estaban realizando algunos matemáticos en Harvard, y Kellogg le pidió que retrasara su publicación. Esto sentó muy mal a Wiener y, por supuesto no lo hizo. De esta forma Wiener consiguió un poco de respeto por parte de sus colegas norteamericanos -que no habían sabido apreciar sus otros trabajos-, pero a cambio tuvo un fuerte enfrentamiento personal con Kellog, que era ya un prestigioso e influyente matemático de Harvard. Wiener trabajó muy duro en varias cuestiones matemáticas relacionadas con la in­geniería eléctrica. Su primera contribución en este campo fue proporcionar una base matemática sólida para el cálculo operacional de Heaviside, pero tras esto vinieron muchas otras aportaciones importantes. Entre ellas, le debemos una buena parte del lenguaje y las técnicas de la teoría de filtros de ondas, tanto en el caso determinista como en el caso aleatorio. Además, su ampliación del análisis armónico y, en particular, la introducción de técnicas propias del cálculo de probabilidades en este área, han tenido una enorme repercusión en el desarrollo de la matemática aplicada en general y de la teoría de la comunicación en particular. Trabajó en colaboración tanto con matemáticos de primera fila, como Paley o Hopf, como con físicos (Born), ingenieros (Lee, Bigelow), fisiólogos (Rosenblueth), etc. Consiguió, con su publicación de "Cibernética" en 1948, dar el salto a la fama, más allá de los círculos profesionales relacionados con las matemáticas o la ingeniería. Como ya hemos mencionado, le gustaba viajar. Tras su reclutamiento en el MIT pasó muchos veranos visitando a matemáticos en Europa y, posteriormente, también viajaría a China, India y, en numerosas ocasiones, a México. Apostó fuertemente por el carácter internacional y puramente apolítico de las matemá­ticas, asistiendo siempre que pudo a los congresos internacionales de matemáticos. Par­ticipó, desde su posición de catedrático en el MIT, en el reclutamiento de numerosos matemáticos judíos que tuvieron que exiliarse tras el ascenso de Hitler al poder. Entre otros, es seguro que ayudó a encontrar una posición en EEUU a O. Szász, H. Rademacher, G. Polya, G. Szégö y K. Menger. Durante la segunda guerra mundial se ocupó de estudiar el problema de la predicción de la posición de un blanco móvil mediante el uso de filtros causales y técnicas estadísticas. En ese periodo redactó un informe técnico (secreto, muy a su pesar) que resolvía este problema de manera muy eficaz. Su informe vería la luz en 1949, en forma de monografía, un poco despues de que Kolmogorov publicara -con otras técnicas y en la URSS, en idioma ruso- resultados muy similares. Durante la locura del Macartismo, Wiener defendió abiertamente a algunos colegas del MIT que estaban siendo investigados. En particular, presionó al rector (amenazando con su inmediata salida del MIT) para que dicha institución no tomase represalias contra Struik por su supuesta vin­culación con el partido comunista. A Struik le impidieron dar clases pero mantuvieron su sueldo mientras estaba siendo investigado. Wiener murió el 18 de marzo de 1964 en Estocolmo, de un ataque al corazón. Terminamos esta sección incluyendo una lista de los doctorandos de Wiener (que deja clara la enorme influencia que ha tenido su obra en el siglo XX), y una breve cronografía, con datos variados sobre su vida y obra. Lista de doctorandos de Wiener. Gleason Kenrick. "A New Method of Periodogram Analysis with Il1ustrative Ap­plications" (tesis codirigida con Frank Hitchcock), 1927, MIT. Carl Muckenhoupt. "Almost Periodic Functions and Vibrating Systems" (tesis codirigida con Philip Franklin), 1929, MIT. Dorothy Weeks. "A Study of the Interference of Polarized Light by the Method of Coherency Matrices", 1930, MIT. Yuk Wing Lee. "Synthesis of Electric Networks by Means of the Fourier Trans­forms of Laguerre's Functions", 1930, MIT. (Lee tiene 258 descendientes científicos). Shikao Ikehara. "An Extension of Landau's Theorem in the Analytic Theory of Numbers", 1930, MIT. Sebastian Littauer. "Applications of the Fourier Transform Theorem on the Ex­ponential Scale", 1930, MIT. James Estes. "The Lift and Moment of an Arbitrary Aerofoil-Joukovsky Poten­tial", 1933, MIT. Norman Levinson. "On the Non-Vanishing of a Function", 1935, MIT. (Levinson tiene 377 descendientes científicos). Henry Malin. "On Gap Theorems", 1935, MIT. Bernard Friedman. "Analyticity of Equilibrium Figures of Rotation" ,1936, MIT. (Friedman tiene 100 descendientes científicos). Brockway McMillan. "The Calculus of the Discrete Homogeneous Chaos", 1939, MIT. Abe Gelbart. "On the Growth Properties of a Function of Two Complex Variables Given by its Power Series Expansion", 1940, MIT. (Gelbart tiene 66 descendientes científicos). Colin Cherry. "On Human Communication: A Review, a Survey, and a Criticism", 1956, Imperial College. (Cherry tiene 102 descendientes científicos). Amar Bose. "A Theory of Nonlinear Systems" (tesis codirigida con Yuk Wing Lee), 1956, MIT. (Bose tiene 69 descendientes científicos). Donald Brennan. "On the Pathological Character of Independent Random Vari­ables", 1959, MIT. William Stahlman. "The Astronomical Tables of Codex Vaticanusgraecus 1291", (tesis codirigida con Otto Neugebauer), 1960, Brown University. Donald Thfts., "Design Problems in Pulse Transmission", (tesis codirigida con Yuk Wing Lee), 1960, MIT. (Tufts tiene 126 descendientes científicos). George Zames. "Nonlinear Operators for System Analysis", (tesis codirigida con Yuk Wing Lee), 1960, MIT. (Zames tiene 11 descendientes científicos). Cronología. 1894 Nace Norbert Wiener en Columbia, Missouri (EEUU), hijo de Leo Wiener y Bertha Kahn. 1901 Primer viaje a Europa. 1903 Primer ingreso de Wiener en la escuela. Antes de esto, su educación había corrido a cargo del padre. 1906-1909 Tufts Collegue. Se gradúa en filosofía, con mención especial en matemáticas, a los 14 años. 1913 Doctor en filosofía por la Universidad de Harvard. Becado para visitar a Russell. Conoce a Hardy. Viaja a Gotinga, donde conoce a Hilbert, Landau, etc. 1914 Inicio de la Primera Guerra Mundial. Wiener regresa a EEUU. 1917 EEUU entra en la Primera Guerra Mundial. Wiener intenta alistarse en el ejército pero no es admitido por su extrema miopía. 1919 Consigue trabajo como profesor en el departamento de matemáticas del MIT. 1920 Caracterización de la estructura de cuerpo en base a una única operación binaria. Congreso de Estrasburgo. Definición de los espacios de Wiener-Banach. Visita a Frechet. 1920-1923 Fundación matemática del movimiento Browniano. 1924 Solución del problema de Zaremba. Conflicto con O.D. Kellogg. 1925 Conferencia en Gotinga sobre el principio de incertidumbre de la teoría de señales. Es invitado para realizar una estancia el siguiente curso académico. Recibe a BUrIl en el MIT, con quien redacta un importante artículo sobre mecánica cuántica. 1926 Cálculo operacional de Heaviside. Concepto de operador causal. Concepto de distribución. Solución generalizada de la ecuación del telégrafo. Se casa con Marguerite Engelmann. 1927 Nace Bárbara, la primera hija de Wiener. 1928 Primeros trabajos sobre teoremas Tauberianos. 1929 Profesor titular en el MIT. Nace Peggy, la segunda (y última) hija de Wiencr. 1930 Publica "Análisis Armónico Generalizado" en Acta Math. Tesis de Yuk Wing Lee. 1930-1931 Conoce a E. Hopf, a quien ayuda a entrar en el departamento de matemáticas del MIT. Publican juntos un importante artículo sobre ecuaciones integrales (en 1931). En él se estudian por primera vez las ecuaciones de Wiener-Hopf. 1931-1932 Profesor visitante en la Universidad de Cambridge. Da conferencias sobre La integral de Fourier y sus aplicaciones en el Trinity Collegue y publica su primera monografía sobre este tema en Cambridge University Press. Participa en el ICM de Zurich como representante del MIT. 1932 Publica "Teoremas Tauberianos" en Ann. of Math. Catedrático en el MIT. 1933 Premio Bocher. Elegido miembro de la Academia Nacional de Ciencias. Conoce a Arturo Rosenblueth, quien será su mejor amigo el resto de su vida. Visita de Paley, con quien trabajaría sobre la transformada de Fourier en el dominio complejo. Caracterización de los filtros físicamente realizables. Muerte de Paley en un accidente de sky. 1934 Libro con Paley. 1935 Primera patente con Yuk Wing Lee. (Habría otras dos más en 1938). 1935-1936 Viaje a China, donde visita a Y.W. Lee en la Tsing Hua University de Pekín. Participa en el ICM de Oslo. Conoce a S. Mandelbrojt. 1937 Conferencia Dohme en la John Hopkins University sobre teoremas Tauberianos. 1938 Conferencia semicentenaria de la AMS. 1940 Memorandum sobre un ordenador digital. Comienza a trabajar con J. Bigelow en su proyecto para el estudio de baterías antiaéreas. 1941 Dimite como miembro de la Academia Nacional de Ciencias. 1942 Redacción del Diablo Amarillo: "Extrapolación, interpolación, y suavizado de series temporales estacionarias" (El informe verá la luz en forma de libro y para un público no restringido en 1949). Conoce a McCulloch. 1943 Conoce a Pitts. 1944 Creación, con J. van Neumann, de la "Sociedad Teleológica". 1946 Nombrado doctor honoris causa por el Tufts Collegue. Asiste a las tres primeras Conferencias Macy. En diciembre publica su carta de denuncia en The Atlantic Monthly. 1946-1950 Consigue, junto con Rosenblueth, una beca de la Fundación Rockefeller para que puedan visitarse todos los años, un año en el MIT y al siguiente en el Instituto Nacional de Cardiología de México. 1947 Congreso en Nancy sobre análisis armónico. Conoce a Freyrnann. 1948 Primera versión de Cibernética. (La segunda versión aparece en 1961). 1949 Lord & Taylor American Design Award. 1950 El uso humano de los seres humanos. (La segunda versión aparece en 1954). 1951 McCulloch y "sus chicos" se trasladan al Laboratorio de Investigación en electrónica del MIT. Wiener imparte una Conferencia Fullbright en París. Visita España, donde imparte una conferencia en Madrid. 1952 Ruptura con McCulloch. Premio Alvarega del Colegio de Médicos de Philadelphia. Imparte las conferencias Forbes-Haws en la Universidad de Miami. 1953 Ex-prodigio. Escuela de verano, con R. Fano y C. Shannon, sobre los problemas matemáticos de la teoría de la comunicación. 1955 Profesor visitante en Calcuta. 1956 Soy un matemático. Conferencia en Japón. Escuela de verano en la UCLA (repe­tirá en 1959,1961 y 1963) 1957 Doctor honoris causa por el Grinnell Collegue. Medalla Virchow de la Escuela médica Rudolf Virchow. 1960 Conferencias en la Universidad de Nápoles (vuelve en 1962). Visita a Rusia. Medalla de investigación ASTME. Profesor Emérito en el MIT. 1964 Medalla Nacional de Ciencias. Dios y Golem. Muere en Estocolmo de un ataque al corazón. Existe abundante material sobre la vida y obra de Wiener (basta echar un vistazo a las referencias, al final de este artículo). En español se han publicado las monografías [1] Y [14], aunque esta última está agotada, fuera de circulación. 2. OBRA La lista de aportaciones matemáticas importantes realizadas por Wiener es extensa y su temática es variada. En la siguiente tabla reflejamos aquellas que consideramos de mayor relevancia: Aportaciones matemáticas más relevantes de N. Wiener. Movimiento Browniano. Introducción de los procesos estocásticos, precursor de la teoría de la probabilidad en espacios de dimensión infinita. Fundamento matemático para el cálculo operacional de Heaviside. Definición de los espacios de Banach (originalmente denominados espaclOS de Banach- Wiener). Teoría del Potencial -solución del Problema de Zaremba. Análisis armónico generalizado y teoremas Tauberianos. Nueva demostración del teorema del número primo. Definición de la transformada de Fourier . Filtrado y teoría de la predicción Memorandum sobre la construcción de un ordenador digital (1940) Cibernética Caos homogéneo Entropía, teoría ergódica, filtros no lineales, etc. http://www.21stcenturywiener.org/ Evidentemente, en una reseña biográfica breve como la presente, no se pueden abordar una a una y en detalle todas las temáticas contenidas en la lista anterior. Es por ello que hemos optado, para dar una idea más precisa del tipo de trabajo que realizó nuestro personaje, por desarrollar sólo algunos de los items anteriores. Concretamente, en esta nota nos concentramos en el trabajo de Wiener relacionado con el análisis de Fourier. Un tratamiento detallado de toda la obra científica de Wiener, se puede encontrar en las monografías [4], [22]. Nosotros vamos a seguir aquí, en gran medida, los capítulos 3 y 4 de [4] y el artículo [5]. 2.1. Un paseo desde el cálculo operacional de Heaviside hasta las distribu­ciones, utilizando técnicas de análisis de Fourier. Desde el momento en que Wiener llegó al MIT, se asumió que él podría ser la persona que ayudaría a la gente del depar­tamento de ingeniería eléctrica a proporcionar un fundamento sólido a las diversas her­ramientas matemáticas que ellos usaban para sus propias investigaciones. Concretamente, la tarea más urgente que se le asignó fue el establecimiento de un fundamento matemático sólido para el cálculo operacional de Heaviside (HOC, en todo este artículo). Esta cuestión le fue propuesta por Jackson -que era el director del departamento en 1920 y quien había sido un amigo de Wiener durante su infancia. La idea principal del HOC es tratar al operador diferencial p = d/dt como un objeto algebraico incluido en un cuerpo (desconocido) e identificar su inverso algebraico q = p-1 con el operador integral q(x) =  f(t)dt. Con estas hipótesis, el HOC sería útil para la resolución de numerosas ecuaciones difer­enciales mediante el procedimiento de trasladar el problema diferencial en un problema meramente algebraico. Veamos, para entender cómo funciona la técnica que acabamos de describir, cómo se aplica este método a un ejemplo sencillo. Supongamos que queremos resolver un circuito RC, el cual queda descrito por la ecuación diferencial ordinaria RCy'(t) + y(t) = x(t), donde R, C son constantes -la resistencia y la conductancia del circuito-, y x(t) = i(t)u(t) es la diferencia de potencial introducida en el sistema. Aquí u(t) representa la función de Heaviside, que vale 0 para t ≤ 0 y 1 para t > 0. Finalmente, y(t) es la salida del sistema. Consideremos el caso especial dado por x(t) = Eu(t), donde E es una constante dada. Este es un ejemplo importante, pues modeliza el problema de introducir en el instante t = 0 una diferencia de potencial constante E en el sistema, y ver cuál es la respuesta del mismo. Si queremos usar, para resolver este problema, las técnicas del HOC, operamos del siguiente modo: comenzamos escribiendo el problema como (RCp + l)y(t) = x(t), de modo que y(t) = x(t). A continuación, desarrollamos el cociente como serie de potencias de q = 1/p, (1)       Por último, utilizamos que para k = 1,2, ... , de modo que que es la solución exacta de la ecuación. Claro que hay varios pasos en la argumentación anterior que no tienen un sustento riguroso. Por ejemplo, no sabemos qué pueda significar q = 1/p y tampoco está claro en qué sentido converge la serie de potencias dada por (1). Por tanto, deberíamos preguntamos cuál es la razón por la que, sin embargo, este método nos proporciona una respuesta correcta. A Wiener le pidieron que encontrase una explicación del HOC que fuese satisfactoria desde un punto de vista matemático. En su artículo de 1926 [30], Wiener describía esta cuestión del siguiente modo: El problema de obtener una interpretación rigurosa del cálculo operacional de Heaviside (...) está aún abierto. Existen varios caminos que parecen llevar  a este objetivo. Junto con la teoría de núcleos permutables de Volterra y la teoría de transformaciones de Pincherle, la transformada de Laplace y la integral de Fourier parecen ser herramientas prometedoras. Sin embargo, al igual que la teoría de Pincherle, la teoría de la transformada de Laplace es aplicable directamente sólo a las funciones analíticas. La integral de Fourier, que puede tratarse como derivada de una forma compleja de la tmnsformada de Laplace, no está sujeta a esta objeción. Por otra parte, las funciones a las que se puede aplicar- la forma clásica de la integral de Fourier, están sujetas a restricciones muy severas en su comportamiento en el infinito. Wiener estaba convencido de que un uso adecuado del análisis de Fourier proporcionaría una solución al problema. La razón fundamental que le conducía a esta conclusión es que el HOC hace un uso extensivo de los operadores de la forma , donde es una serie de potencias, y éstos satisfacen el siguiente resultado técnico: Lema 2.1. Sean g(t) = eiwt y f(t) = eiαt. Entonces L = g() satisface la fórmula: L(f) = f(iw) f(t) = g(iα) f(t) Demostración. Por definición, , de modo que lo que concluye la prueba. Wiener explicaba en su artículo la importancia de esta propiedad del siguiente modo: Cuando se aplica a la función enit, el operador f(d/dt) es equivalente al multiplicador. El resultado de aplicar un operador dado a una integral de Fourier-dada puede ser, por tanto, concebido de manera natuml como la multiplicación de cada término de la forma enit en la integral por un multiplicador que solamente depende de n. Esto es, el operador d/dt no tiene una localización particular en el dominio complejo sino que recorre hacia arriba y abajo todo el eje imaginario. Así pues, resulta demasiado ambicioso pensar que, en general, cualquier desarrollo en serie u otra representación analítica arbitraria de f tendrá el efecto de que f(d/dt) converge al ser aplicado a una función arbitraria. En este artículo se adopta la estrategia de disectar una función en un número finito o infinito de rangos de frecuencia y aplicar en cada rango la expansión concreta del operador que produzca resultados convergentes sobre ese rango. Es gracias a este método de disección que las series asintóticas de Heaviside son justificadas. Las ideas que acabamos de mostrar fueron fundamentales para que Wiener se lanzase a la creación de un nuevo análisis de Fourier, al que bautizaría como "análisis de Fourier generalizado" (GHA en lo sucesivo), que sería aplicable a funciones muy generales. En particular, se trataba de construir un proceso de análisis-síntesis de funciones aperiódicas que no decaen en el infinito. Una motivación muy poderosa para el estudio de esta cuestión radicaba en el hecho de que este tipo de funciones, para las que el análisis armónico clásico no es aplicable, aparecen en numerosos contextos de la física. Las dos teorías del análisis armónico, formadas por las series de Fourier clásicas y la teoría de Plancherel, no abarcan todas las posibilidades del análisis armónico. Las series de Fourier se restrin­gen a la clase muy especial de las funciones periódicas, mientras que la teoría de Plancherel se restringe a estudiar funciones que son de cuadrado sumable y, por tanto, tienden en media a cero cuando su argumento tiende a infinito. Ninguna de estas teorías es apropiada para el tratamiento de un rayo de luz blanca, que se supone perdura por un tiempo ilimitado. Sin embargo, los físicos que se enfrentaron por primera vez al pmblema de descomponer la luz blanca en sus componentes se vieron forzados a utilizar una u otra de estas herramientas ... En su artículo de 1926 Wiener también inició el estudio de los operadores entre espacios de funciones, ya que éstos eran una herramienta básica para el HOC. En particular, intro­dujo el concepto de operador causal (o, con la terminología original, operador retrospec­tivo), lo cual le permitió la demostración de varios resultados interesantes. El operador L se dice "causal" si y solo si para todo número real t se tiene que, si en­tonces L(f)(t) = L(g)(t). Estos operadores son muy importantes en la ingeniería, porque modelan los sistemas que son realizables en tiempo real y, con una mínima variación, sirven para describir todos los sistemas lineales que son físicamente realizables. Wiener los investigó con insistencia en las décadas de 1920 y 1930 y, finalmente, demostró algunos resultados fundamentales sobre ellos. En particular, demostró, con la ayuda de su alumno de doctorado Lee [18] que todo sistema físicamente realizable es, de hecho, realizable en el metal. Esto significa que fueron capaces de construir una red eléctrica, posteriormente bautizada con el nombre de "red de Lee- Wiener", que aproxima el comportamiento de cualquier operador físicamente realizable con precisión arbitraria. Es más, Wiener y Lee crearon una patente para los derechos de explotación de esta red en Estados Unidos y luego se la vendieron a la compañía telefónica AT&T [35]. Creían que la AT&T usaría su invento y les daría fama, por lo que acordaron un precio muy a la baja. Sin embargo, la compañía sólo quería disponer de la patente para guardarla en un cajón y, de ese modo, evitar que otros pudieran utilizar la red de Lee-Wiener en sus inventos, lo cual suprimía la posibilidad de una verdadera competencia. Wiener se sintió terriblemente frustrado por estos hechos, lo cual le llevó a odiar amargamente a la AT&T, a arremeter contra ellos en su libro "Inventar" e incluso a escribir una novela -que intentó que se llevara al cine, pero no lo logró- que tituló "El tentador" y en la que se denunciaban este tipo de acciones por parte de las grandes compañías. Otro resultado muy importante que consiguió demostrar, con la ayuda del matemático inglés Paley, es la caracterización matemática, en el dominio de la frecuencia, de los operadores físicamente realizables, como los operadores de la forma L(X)(ξ) = X(ξ)H(ξ) para los que H(ξ) ∈ L2() y Evidentemente, este resultado es de enorme profundidad. Wiener estaba tan orgulloso de haberlo probado que lo mencionó de forma reiterada en sus escritos matemáticos y biográficos. Por ejemplo, en [33, p. 37] afirmaba: Este resultado es parte fundamental para la teoría de filtros. Establece que, en todo circuito eléctrico, sea cual sea éste, la atenuación, tornada como función de la frecuencia w y dividida por 1+w2, define una función de la frecuencia que es absolutamente integmble. Esto es consecuencia del hecho de que la atenuación es el logaritmo del valor absoluto de la transformada de Fourier- de la respuesta al im­pulso unidad f(t), la cual se anula para valores negativos de t; o, en otras palabras, porque ninguna red eléctrica puede predecir- estrictamente el futuro. Así pues, ningún filtro físicamente realizable puede tener­ una atenuación infinita en una banda finita de frecuencias. El filtro perfecto es físicamente irrealizable por su propia naturaleza, no simplemente por lo inapropiado de los medios que tenemos a nuestra dis­posición. Ningún instrumento que actúe solamente sobre el pasado posee una capacidad de discriminación lo suficientemente fina como para separar una frecuencia de otra con absoluta precisión. Y, en su autobiografía, cuando hablaba de sus investigaciones con Payley [31, p. 168], afirmaba: Un problema interesante que atacamos conjuntamente fue establecer las condiciones precisas que res­tringen a la transformada de Fourier de una función que se anula sobre una semirecta. Este es, por sus propios méritos, un problema matemático profundo, y Paley se enfrentó a él con vigor. Pero lo que fue una ayuda para mí, aunque no resultó útil para Paley fue que se trata, esencialmente, de un problema en ingeniería eléctrica. Se sabía desde hacía muchos años que existe una cierta limitación sobre la precisión con la que un filtro de ondas eléctrico puede eliminar una determinada banda de frecuencias, aunque los físicos y los ingenieros no estaban al tanto de la base matemática profunda que existe tras esta limitación. Al resolver lo que para Paley no era más que un hermoso y difícil problema de ajedrez, completamente autocontenido, yo mostré al mismo tiempo que las limitaciones bajo las cuales estaban trabajando los ingenieros eléctricos son precisamente aquellas que imviden al futuro tener algún tipo de influencia sobre el pasado. Como la motivación fundamental del cálculo operacional de Heaviside era su uso para la resolución de algunos problemas de la física o la ingeniería, Wiener decidió utilizar su método para resolver la que entonces se consideraba la ecuación más importante de la ingeniería eléctrica: la ecuación del telégrafo. Ésta se escribe como sigue: vxx = RCvt + LCvtt; v(x, 0) = 0, v(0, t) = f(t). Aquí, v(x, t) representa el voltaje en un punto de un cable que se encuentra a distancia x del origen (el punto donde se introduce el voltaje) y en el instante de tiempo t. Así, f(t) = v(0, t) representa el voltaje que se introduce en un extremo del cable (el origen) en el instante de tiempo t y nosotros estamos interesados en conocer la cantidad v(L, t), donde L representa la longitud del cable. Fijémonos un poco más detenidamente en esta ecuación. Evidentemente, la entrada f(t) de un mensaje telegráfico estándar es una función discontinua, por lo que podemos asumir, en principio, que v(0,·) es discontinua. Entonces, ¿qué significado podemos dar a las derivadas que aparecen en la ecuación del telégrafo? Sobre esta cuestión Wiener se pronunció del siguiente modo: (...) existen casos en los que v debe ser tratada como una solución de nuestra ecuación diferencial en un sentido general aún cuando ésta no posea derivadas de todos órdenes que aparecen indicadas en la ecuación y, de hecho, aún cuando ésta no sea diferenciable de ningún orden. Es una cuestión interesante el precisar el modo en el que una función no diferenciable pueda satisfacer, en un sentido generalizado, una ecuación diferencial. Evidentemente, el problema de proporcionar un concepto de solución para las ecuaciones diferenciales que permita tratar como soluciones de las mismas a funciones que en realidad no son derivables, era. ya un problema viejo. Piénsese por ejemplo, que podemos introducir como condición inicial para el problema de la cuerda vibrante, un pulso triangular. Estos problemas están modelados por ecuaciones diferenciales, pero admiten como condiciones iniciales funciones no derivables y, sin embargo, siempre tienen una solución física. He ahí la enorme motivación que existía, mucho antes incluso de la aparición en escena de Wiener, para resolver el problema que estamos discutiendo. Wiener, de hecho, fue capaz de proporcionar la idea apropiada para resolver estas ecuaciones "en un sentido general": "(...) Sea G(x, y) una función positiva e infinitamente diferenciable dentro de una cierta región polig­onal acotada R del plano XY, con la propiedad de que ella y todas sus derivadas se anulan en la periferia de ∂R y que vale identicamente cero en el exterior de R. Entonces existe una función G1(x, y) tal que para toda función u con derivadas acotadas sumables de los primeros dos órdenes, como puede demostrarse integrando por partes. Así pues, una condición necesaria y suficiente para que u verifique la ecuación diferencial Auxx + Buxy + Cuyy + Dux + Euy + Fu = 0 en casi todo punto es que para toda función G1(x, y) (pues las funciones G forman un sistema completo sobre cualquier región), y que posea las derivadas requeridas. Podemos, por tanto, tratar las funciones que son ortogonales a todas las funciones G1 como soluciones de la ecuación diferencial en un sentido generalizado." Así, el artículo de 1926 fue también importante porque en él Wiener introdujo un con­cepto de "solución generalizada" de una ecuación en derivadas parciales que, en términos modernos, es exactamente el mismo que el concepto de "solución débil" pma estas ccua­ciones, Podemos, pues, afirmar que Wiener introdujo las distribuciones (en el sentido de Schwartz) ¡con dos décadas de antelación! No hace falta añadir que Wiener demostró que la solución que él obtenía para la ecuación del telégrafo en base al uso de su versión depurada del cálculo operacional de Heaviside, era de hecho una solución generalizada (o solución débil, con la terminología actual) de dicha ecuación. 2.2. Análisis armónico generalizado y teoremas Tauberianos. El éxito obtenido con su trabajo en el cálculo operacional de Heaviside, así como el estudio de algunos fenómenos físicos, como la luz blanca, supusieron una fuerte motivación para que Wiener se lanzara a lo que entonces parecía una empresa imposible: ampliar el abanico de funciones a las que es posible aplicar el análisis armónico. En particular, introdujo el conjunto S de las funciones f: → que son medibles en el sentido de Lebesgue y cuya función de covarianza, está bien definida para todo t ∈ y, además, satisface que Φ ∈ C(). Este conjunto de funciones, que desde entonces se ha bautizado como la clase de Wiener, es lo suficientemente amplio como para abarcar el estudio de todos los procesos físicos y los contextos matemáticos en los que Wiener estaba interesado. En particular, permite el estudio de la luz blanca, la clase de Bohr-Besicovitch de funciones casi-periódicas, y las funciones muestrales asociadas a numerosos procesos estocásticos (incluyendo el movimiento Browniano idealizado, o proceso de Wiener). Desde una perspectiva meramente matemática, las funciones de covarianza son intere­santes porque, cuando las calculamos a partir de un polinomio trigonométrico f(t) = , obtenemos que lo que se interpreta afirmando que la función de covarianza Φ(t) preserva la información de f(t) relativa a la amplitud de su espectro, aunque elimina todo lo relacionado con las fases. En particular, conserva la información relativa a la energía de la señal f(t). La función de covarianza posee numerosas propiedades que son interesantes. Por ejemplo, satisface la desigualdad , lo cual implica que Φ(t) es continua en el origen si y solo si es continua en todo punto de la recta real, pues Φ(0) es un número real. Además, se puede interpretar como la potencia de la señal f(t). Wiener observó que si se intenta identificar qué parte de la potencia de f(t) se encuentra concentrada entre las frecuencias -A y A y se toma el límite A → +∞, sucede que éste coincide con limε→0 Φ(ε) y posee un valor menor o igual que Φ(0). En consecuencia, Wiener restringió su atención a aquellas funciones cuya covarianza asociada es una función continua, pues las otras funciones necesitarían, para una descripción basada en técnicas del análisis armónico, del uso de ciertas "frecuencias ocultas", lo cual es algo evidentemente desagradable. Para introducir su análisis armónico, Wiener necesitaba definir un concepto de espectro que fuese aplicable a la clase S y construir una transformada que enviase los elementos de S a su espectro. Además, esta transformada debía ser necesariamente invertible y preservar la energía de las señales. Un primer paso, para la construcción de su transformada, fue la demostración de que los elementos de la clase de Wiener satisfacen la desigualdad , la cual garantiza que, desde el punto de vista de la norma energía, existe el siguiente límite: La función W(f) que acabamos de definir resultó de enorme importancia, pues se pudo demostrar que si f(t) es una señal de energía finita y F(ξ) es su transformada de Fourier, entonces W(f) es una primitiva de F(ξ). Además, Wiener también demostró que (este límite se toma nuevamente en el sentido de la norma energía) y, como consecuencia, existe una función Λ(ξ) que es monótona decreciente, no negativa, de variación acotada y satisface la fórmula . Lo que es más, Λ(ξ) se puede recuperar a partir de la función de covarianza gracias a la expresión Por último, si imponemos que limξ→-∞ Λ(ξ) = 0 entonces Λ(ξ) representa la potencia total incluida en el espectro de la señal f(t) para las frecuencias que se encuentran entre -∞ y ξ. Wiener denominó a la función Λ(ξ) el espectro integrado o periodograma f(t). El espectro integrado puede adoptar formas variadas, incluyendo los casos de espectro discreto, continuo y mixto, y Wiener se dedicó de forma muy intensa al estudio de cada uno de estos casos. Es importante observar que todos los resultados que hemos enunciado aquí sobre el espectro integrado fueron restablecidos en los años setenta del siglo pasado por Benedetto [7], en términos distribucionales. De hecho, un buen resumen de ellos descansa sobre la afirmación de que la transformada de Wiener W(f) está bien definida para toda función f(t) que satisface la desigualdad , y, además, satisface que W(f)' = (f), donde tanto la transformada de Fourier (f), como la derivada W(f)', como la igualdad en la fórmula anterior, se toman en sentido distribucional. Para poder completar su teoría y, además, estar en disposición de atribuirle las cuali­dades de un "análisis armónico", Wiener necesitaba demostrar un resultado que pudiera clasificarse como análogo al conocido teorema de Plancherel. Este objetivo fue, en re­alidad, el más duro de obtener. De hecho, aunque ya en 1926 Wiener disponía de una formulación precisa para su resultado, el cual afirma que la fórmula se satisface para toda función f(t) de la clase de Wiener S, la demostración del teorema se resistió durante años, porque pasaba por probar que si 9 is una función positiva, entonces (2)                un hecho nada fácil de demostrar. En efecto, Wiener necesitó tirar de una gran cantidad de tiempo e imaginación para lograr una prueba rigurosa de la identidad anterior. Fue precisamente la necesidad de probar esta fórmula lo que le llevó al estudio de los llamados teoremas Tauberianos. Hardy y Littlewood habían demostrado una buena colección de resultados de este tipo, en los que se estudia el comportamiento asintótico, para y → 0+, de numerosas integrales del tipo . Para estudiar estas integrales, Wiener tuvo la idea de realizar el cambio de variables x = e-s, y = e-t, y utilizar las nuevas funciones f(u) = Φ(eu), g(u) = e-uφ(e-u ), lo cual provoca el siguiente conjunto de igualdades: Así pues, via este sencillo cambio de variables, Wiener transformó el estudio de los teo­remas Tauberianos de Hardy y Littlewood en el estudio del límite limt→+∞(g*f)(t), que es un problema sobre convoluciones o (como le gustaba a Wiener llamarlas) filtros de ondas. En pocas palabras, Wiener se llevó el problema original a su propio terreno (el estudio de la transformada de Fourier, los filtros de ondas, etc.), transformándolo en el siguiente interesante problema: dado un filtro de ondas L(f) = g * f (i.e., dado el único filtro de ondas cuya respuesta al impulso unidad está dada por g(t)), ¿para qué entradas f(t) podemos garantizar que la salida y(t) = L(f)(t) posee un límite bien definido cuando t→+∞? Además, demostró el siguiente resultado: Teorema 2.1 (Gran Teorema Tauberiano de Wiener). Supongamos que f ∈ L∞() y g ∈ L1(). Si existe una función g0 ∈ L1() tal que su transformada de Fourier G0 = (g0) satisface G0(ξ) ≠ 0 para todo ξ ∈ y existe el límite (3)          entonces el límite limt→∞(g*f)(t) también existe y, además, satisface (con la misma constante A) la igualdad (4)        Además, si la función g0(t) satisface y para todo par de funciones f ∈ L∞(), g ∈ L1() se tiene que (3) implica (4), entonces la transformada de Fourier de g0 satisface (g0)(ξ) ≠ 0 para todo ξ ∈ . Wiener demostró, además, una versión del teorema anterior adaptada al uso de convolu­ciones contra medidas, , donde se ha sustituido la función f(t) por una medida η definida en toda la recta real. Es precisamente el uso de estas medidas lo que hace posible establecer un puente entre el problema de estimar integrales impropias y el de estudiar la convergencia (o divergencia) de una serie numérica, que era el verdadero origen de los teoremas Tauberianos. Evidentemente, la demostración del Gran Teorema Tauberiano de Wiener es una tarea harto complicada. Para abordarla, Wiener tuvo que demostrar una amplia batería de resultados auxiliares, el más importante de los cuales era el siguiente hermoso resultado: Lema 2.2 (Pequeño teorema Tauberiano de Wiener o Lema de Wiener). Supongamos que f(t) es una función continua y 2π-periódica tal que f(t) ≠ 0 para todo t ∈ , y denotemos por a la sucesión de los coeficientes de Fourier f. Entonces ∈ l1() si y solo si ∈ l1() La prueba original de Wiener de su pequeño teorema Tauberiano fue completamente frontal. Lo que hizo fue, sencillamente, calcular los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier de 1/f en términos de los coeficientes de Fourier de f y, a continuación, realizó una serie de estimaciones que le condujeron de forma muy elegante al resultado deseado (tras utilizar varios trucos delicados, incluyendo la multiplicación por cierta función trapezoidal y el uso de particiones de la unidad). Es probable que, debido al método de demostración utilizado, Wiener no tuvo conciencia de que su lema proporcionaba una hermosa caracterización de los elementos invertibles de l1(), cuando este se interpreta como un álgebra de Banach con la convolución de sucesiones como operación de producto. Este hecho fue resaltado unos años más tarde por el matemático ruso 1. M. Gelfand, y fue el punto de partida pélra que éste creara una nueva rama del análisis funcional: las álgebras de Banach. Existe aún otro punto de vista desde el cual el Lema de Wiener se puede interpretar como un resultado natural. La idea principal consiste en utilizar el hecho, ampliamente conocido por los que trabajan en análisis armónico y en teoría de aproximación, de que existe una estrecha relación entre la velocidad con la que decae a cero la sucesión de coefi­cientes de Fourier de una función, y su suavidad. Concretamente, cuanto más rápidamente decae a cero la sucesión de coeficientes de Fourier de f, más suave es f. y también vicev­ersa: a mayor suavidad de f más rápidamente decae a cero la sucesión de sus coeficientes de Fourier. AsÍ, el Lema de Wiener establece que las funciones f que son algebraicamente invertibles y que son suaves hasta cierto orden (concretamente, suaves en el sentido que fija la relación ∈ l1() tienen la cualidad de que sus inversos algebraicos son suaves del mismo orden. Es más, podemos afirmar, orgullosos por nuestra partici­pación en este teorema concreto, que un resultado de este tipo se satisface para "todos" los conceptos de suavidad. Este resultado ha sido demostrado recientemente por Almira y Luther en [3], para el caso de los conceptos de suavidad asociados a la pertenencia a un cierto espacio de aproximación y, posteriormente, ha sido demostrado en otros muchos contextos por Grochenig y Klotz (ver [13], [16], [17]), entre otros. La importancia de los teoremas Tauberianos de Wiener no se limita a su originalidad. Fue muy importante que él pudiera recuperar, como consecuencia de su Gran Teorema Tauberiano, todos los resultados clásicos que habían abordado previamente Rardy y Lit­tlewood. Además, Wiener fue capaz de demostrar algunos teoremas nuevos en este área. En particular, demostró un teorema Tauberiano para las series de Lambert, a partir del cual se sabía cómo obtener una demostración muy elegante del teorema del número primo (y que sólo había sido conjeturado con anterioridad al trabajo de Wiener, resistiendo nu­merosos ataques de otros matemáticos importantes). Además, Wiener fue capaz, por fin, de demostrar la validez de (2) y, como consecuencia, colocar sobre suelo firme su análisis armónico generalizado. Tan pronto como su amigo Tamarkin, que era entonces catedrático en la Universidad de Brown, supo que Wiener había demostrado los resultados que acabamos de exponer, le animó con enorme insistencia para que redactara dos artículos monográficos extensos en los que se detallaran sus avances tanto sobre los teoremas Tauberianos como sobre el análisis armónico generalizado. Wiener redactó ambos trabajos. En el primero se incluían los resultados relacionados con el GHA y fue publicado en la revista Acta Math­ematica en 1930. El segundo, dedicado a los teoremas Tauberianos, apareció en Annals of Mathematics en 1932. Fue precisamente con la publicación de estas memorias que Wiener logró una plaza en el "Olimpo" de las matemáticas, avanzando con fuerza hacia la primera línea de la investigación y obteniendo por primera vez el reconocimiento de los matemáticos norteamericanos, algo que aún no había conseguido a pesar de sus importantes contribuciones relacionadas con el movimiento Browniano, la teoría del potencial o el cálculo operacional de Heaviside. En 1933 ganó el premio Bocher y en 1934 fue nom­brado Fellow de la academia nacional de ciencias de EEUU. Aunque Wiener fue admirado en vida (y posteriormente) por ingenieros y físicos, gracias a sus contribuciones a la teoría de filtros, la teoría de la predicción, la cibernética, el movimiento Browniano, etc., los matemáticos de todo el mundo le conocen, sobre todo, por sus teoremas Tauberianos, y esta contribución puede considerarse de tal importancia que por sí misma bastaría para concederle un lugar de honor en la historia del análisis matemático. BIBLIOGRAFÍA [1] D. R. Adams, Potential and Capacity before and after Wiener, Proc. of the Centenary Simposia on N. Wiener, 63-80. [2] J. L. Aguiar Benítez, Norbert Wiener, Números 43-44 (2000) 319-322. [3] J. M. Almira and U. Luther, Inverse closedness of approximation algebras, Journal of Mathematieal Analysis and Applications 314 (1) (2006) 30-44. [4] J. M. Almira, Norbert Wiener. Un matemático entre ingenieros, en "La matemática en sus personajes" 41, Ed. Nivola, 2009. [5] J. M. Almira, A. E. Romero, A note on Norbert Wiener contributions to Harmonic Analysis and Tauberian Theorems, in "Mathematical Models in Engineering, Biology, and Medicine", American Institute of Physics Conference Proceedings, 1124 (2009) 19-28. [6] .J. M. Almira, A. E. Romero, How distant is the ideal filter of being a causal one?, At.lant.ic Electronic .J. of Maths. 3 (2008) 47-56 (disponible en http://www.aejm.ca/V3N1/ Almira.V3Nl.pdf). [7] J. J. Benedetto, Generalized Harmonic Analysis and Gabor and Wavelet Systems, in Proceedings 01 the NOTbert Wiener Centenary Congress, V. Mandrekar and P. R. Masani Editors, p. 85-113, AMS Bookstore, 1994. [8] A. G. Bose, Ten years with Norbert Wiener, Conferencia presentada en" A symposium on the Legacy of Norbert Wiener in Honor of the 100th Anniversary of his Birth", Cambridge, MA., 1994. [9] Felix Browder (editor). Norbert Wiener: 1894-1964. Providence, RI: Bulletin of the American Math. Society 72, Number 1, Part 2 (1966) (disponible en http://projecteuclid.org) [10] F. Conway, J. Siegelman, Dark hero of information age. In search of Norbert Wiener, the father of Cybernetics, Basic Books, 2004. [11] H. Freudenthal, Norbert Wiener, en Dictionary of Scientifie Biography, Vol. XIV, Chas. Cribner's Sons, 1976, 344-347. [12] 1. Grattan-Guinness, Wiener on the logies of Russell and Sehroder, Annals of Seienee 32 (1975) 103-132. [13] K. Grochenig, A. Klotz, Noncommutative approximation: Inverse closed suba.lgebras and off-diagonal deeay of matrices, Constr. Approx. [14] S. J. Heims, J. von Neumann y N. Wiener (1) y (2), Biblioteca Salvat de Grandes Biografías, Vols 81 y 82, 1986. [15] D. Jerison, I.M. Singer, D. W. Stroock, (Eds.), The legacy of Norbert Wiener: A Centennial symposium, Proc. Symposia in Pure Mathematics 60, AMS, 1997. [16] A. Klotz, Spectral invariance of Besov-Bessel subalgebras, J. Approx. Theory 164 (2) (2012) 268-296. [17] A. Klotz, Inverse c10sed ultradifferential subalgebras, en Arxiv:l0l2.3362, 2012. [18] Y. W. Lee, Synthesis of ElectTic NetwoTks by the use the FouTÍeT tmnsform of Laguerre's functions, Ph. D. dissertation, M.I.T., Cambridge, Massachusets, June 1930. [19] Y. W. Lee, Norman Levinson, and W. T. Martin (Editors), Selected papers of Norbert Wiener: Expository papers by Y. W. Lee, Norman Levinson, and W. T. Martin, The MIT Press, Cambridge, Mass., 1964. [20] V. Mandrekar, Mathematical work of Norbert Wiener, Notices of the AMS, 42 (6) (1995), 664-669. [21] M. B. Marcus, Book review: Dark hero of the information age: In search of Norbert Wiener the father of cybernetics, by F. Conway and J. Siegleman, Notices of the AMS, 53 (2006) 574-579. [22] P. R Masani, Norbert Wiener (1894-1964), Vita Mathematica, 5, Birkhiiuser, 1990. [23] L. Montagnini. Le armonie del disordine: Norbert Wiener matematico-filosofo del Novecento. Venice, Italy: Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti. 2005. [24] RE.A.C. Paley and N. Wiener, FouTÍeT tmnsfoTms in the complex domain, Amer. Math. Soco Col­loquium Publications XIX, 1934. [25] N. Wiener, The average of an analytic functional, Proc. Nat. Acad. Sic. USA 7 (1921) 253-260. [26] N. Wiener, The average of an analytic functional and the Brownian movement, Proc. Nat. Acad. Sic. USA 7 (1921) 294-298. [27] N. Wiener, Differential space, J. Math. and Physics 2 (1923) 131-174. [28] N. Wiener, The Dirichlet problem, J. Math. and Physics 3 (1924) 127-146. [29] N. Wiener, Une condition nécessaire et suffisante de possibilité pour le probleme de Dirichlet, C.R. Acad. Sci. Paris 178 (1924) 1050-1054. [30] N. Wiener, The Operational Calculus, Mathematische Annalen 95 (1926) 557-584. [31] N. Wiener, Generalized Harmonic Analysis, Acta Math. 55 (1930) 117-258. [32] N. Wiener, Tauberian Theorems, Ann. of Math. 33 (1932) 1-100. [33] N. Wiener, Extmpolation, inteTpolation and smoothing of stationaTY time seTies, Technology Press of the M.I.T. and John Wiley and Sons, Inc., New York, 1948. [34] N. Wiener, 1 am a mathematician, The M.I.T. Press, 1956. [35] N. Wiener and Y.W. Lee, Electric network system, U.S. Patent 2024900, December 17, 1935.

Viernes, 25 de Enero de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

146. Brahmagupta (siglo VI)

Brahmagupta vivió durante el siglo VI de nuestra era. Su obra más importante es Brama Sputa Siddhanta (El sistema revisado de Brama), un texto de astronomía que contiene varios capítulos sobre matemáticas. En otro trabajo astronómico, titulado Khanda Khadyaka, se encuentran dispersos algunos desarrollos trigonométricos de interés. Los números negativos En la obra de Brahmagupta aparece sistematizado, por primera vez en la historia, el cálculo con números negativos y el cero. Los griegos tuvieron una idea del vacío, pero no lo llegaron a tratar como un número. Y la regla de los signos, aunque subyacente en algunas fórmulas sobre productos de restas, nunca había sido enunciada explícitamente: Positivo dividido por positivo, o negativo por negativo es positivo. Cero dividido por cero es nada. Positivo dividido por negativo es negativo. Negativo dividido por positivo es negativo. Positivo o negativo dividido por cero es una fracción que tiene al cero por denominador A la luz de este texto se puede ver que para Brahmagupta 0/0 = 0. Sobre el significado de  a/0 (para un número a ≠ 0) no se atreve a pronunciarse. Las ecuaciones de segundo grado Las aportaciones más importantes de Brahmagupta están en el campo del álgebra. Para las ecuaciones cuadráticas da soluciones generales, proporcionando las dos raíces, sin desechar las negativas. La regla para resolver la ecuación ax2 + c = bx la enuncia así: Deja el número en un lado y en el otro el cuadrado de la incógnita menos la incógnita. Multiplica el número por cuatro veces el coeficiente del cuadrado, súmalo al cuadrado del coeficiente del término medio, y la raíz de esto menos el coeficiente del término medio dividido por dos veces el coeficiente del cuadrado es la incógnita.   Para aplicar esta regla a la ecuación x2 - 10x = -9 va haciendo los cálculos del siguiente modo: 4(-9) = -36, -36 + 100 = 64, √64 = 8, 8 - (-10) = 18 y 18/2 = 9. El teorema chino de los restos Dos números enteros a y b son congruentes respecto de otro entero m si su diferencia es múltiplo de m (o si dan idéntico resto al ser divididos entre m). Esto se escribe así: a ≡ b (mod m). El menor número congruente con a respecto de m se llama el resto de a en relación a m, y es justamente el resto de dividir a por m. Las congruencias mantienen las operaciones aritméticas, de modo que si a ≡ b (mod m) y c ≡ d (mod m), entonces a + c ≡ b + d (mod m) y ac ≡ bd (mod m). La idea de número congruente no fue claramente definida hasta el  siglo XVIII, pero fue utilizado desde mucho antes. Supongamos ahora que tenemos dos series de números enteros a1, a2,..., an y m1, m2,..., mn, y que queremos encontrar un número x para el cual se cumpla lo siguiente: x ≡ a1 (mod m1) x ≡ a2 (mod m2) ................... x ≡ an (mod mn) El llamado teorema chino de los restos, afirma que la condición necesaria y suficiente para que el número buscado exista consiste en que ai ≡ aj (mod mij), siempre que i ≠ j, y siendo mij el máximo común divisor de mi y mj. En el Brama Sputa Siddhanta se encuentra el siguiente problema que es un caso particular del teorema chino: Tenemos una cesta de huevos. Si los cogemos de dos en dos, sobra uno, si de tres en tres, sobran dos, si de cuatro en cuatro, sobran tres, si de cinco en cinco, sobran cuatro, si de seis en seis, sobran cinco, y si los cogemos de siete en siete, no sobra ninguno. ¿Cuál es el mínimo número de huevos que puede haber en la cesta? Si x es el número de huevos, tenemos la siguiente colección de ecuaciones: x = 2y + 1 x = 5v + 4 x = 3z + 2 x = 6w + 5 x = 4u + 3 x = 7y El problema se resuelve aplicando sucesivamente el método de Aryabhata, y se llega de este modo a la solución más pequeña posible, que es 119. En el lenguaje de los números congruentes, el problema puede  ahora ser formulado de esta manera: x ≡ 1 (mod 2) x ≡ 4 (mod 5) x ≡ 2 (mod 3) x ≡ 5 (mod 6) x ≡ 3 (mod 4) x ≡ 0 (mod 7) Es fácil comprobar que cumple las hipótesis del teorema chino. Así que, antes de resolverlo, ya se sabe que tiene solución. La ecuación de Pell Entre los problemas indeterminados que aparecen en la obra de Brahmagupta ocupa un importante lugar la ecuación que la posteridad llamaría ecuación de Pell: x2 - Dy2 = 1 Si D = d2, no hay soluciones (salvo x = 1 e y = 0): si D = d2, resultaría que (x + dy)(x - dy) = 1, y esto es imposible. Pero si D no es un cuadrado, hay infinitas. Y es fácil encontrar las más sencillas por tanteo. Brahmagupta dio con un camino para, a partir de dos soluciones, fabricar una tercera. Este método (que en sánscrito se denomina samasa) es el siguiente: si los pares de números (α,β) y (χ,δ) son soluciones, también lo es el par de números calculados de la siguiente manera: σ = αχ + βδD ω = αδ + βχ Que esto es así es algo de muy simple comprobación. Sea, por ejemplo, la ecuación: x2 - 8y2 = 1 Fácilmente se llega a la solución (3,1). Compuesta consigo misma, tenemos otra solución (17,6), y componiendo las dos, una tercera (99,35). Y así sucesivamente. Triángulos racionales Un triángulos cuyos lados y cuya superficie son números racionales (y en consecuencia también sus alturas) se llama triángulo racional. Brahmagupta tiene la siguiente aportación sobre triángulos racionales. Si los lados de un triángulo son: entonces es racional, resultado de yuxtaponer dos triángulos rectángulos con un cateto común de longitud p (ver la figura que aparece a continuación): AP = p, AC = b, AB = c, PB = c - r y PC = b - q. El cuadrilátero cíclico Por tres puntos no alineados siempre pasa una circunferencia. Por cuatro puntos no siempre sucede así. Por esta razón no todo cuadrilátero tiene una circunferencia circunscrita. Los que sí la tienen se llaman cíclicos. Sobre ellos descubrió  Brahmagupta un hermoso teorema que pasamos a describir. Llamamos fórmula de Herón a la expresión del área de un triángulo en función de sus lados. Si éstos son a, b y c, y  p = (a+b+c)/2 es el semiperímetro, la superficie es: Esta fórmula ha sido muy utilizada por agrimensores y topógrafos, porque no necesita buscar la altura del triángulo, cosa que en terreno abierto no siempre es fácil. Brahmagupta encontró una fórmula que amplía la de Herón a cuadriláteros cíclicos. Si a, b, c y d son los lados del cuadrilátero y p es el semiperímetro, la superficie es: Si d = 0 sale la fórmula de Herón. Pero ignoramos (los textos sánscritos son muy oscuros) si Brahmagupta sabía que su teorema no era válido para cualquier cuadrilátero. Bibliografía DICKSON, L. E. (1971), History of de theory of numbers, Chelsea Publishing company, New York. GERICKE, H. (1984), Mathematik in Antike Orient, Springer-Verlag, Berlín. GHEVERGHESE, G. (1996), La cresta del pavo real, Ediciones Pirámide, Madrid. MORENO, R. (2011), Aryabhata, Brahmagupta y Bhaskara, tres matemáticos de la India, Editorial Nivola, Madrid. ORE, O.  (1988), Number Theory and its History, Dover Publications, New York. VAN DER WAERDEN, B. L. (1983), Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, Springer-Verlag, Berlín.

Viernes, 27 de Julio de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

147. Bhaskhara (1114-1185)

Bhaskhara vivió entre los años 1114 y 1185, y es el último gran matemático de la India medieval. En sus dos tratados, Vija-Ganita y Lilavati, reunió muchas aportaciones originales con diversos problemas procedentes de Brahmagupta y de otras fuentes. Lilavati es el nombre de la hija de Bhaskhara. El día de su nacimiento, cuenta una leyenda, los astros predijeron que moriría soltera. Pasaron los años y Lilavati se convirtió en una hermosísima mujer. Su padre, queriendo contrariar al destino, le buscó un apuesto joven como marido. Después convocó a los astrólogos más célebres, y entre todos señalaron la hora precisa en que la boda debía celebrarse. Prepararon una clepsidra, consistente en un depósito cilíndrico con la base perforada metido en un recipiente lleno de agua. De este modo, el agua entraba en el cilindro, y cuando éste quedara del todo hundido, sería llegado el momento para oficiar el matrimonio. Lilavati, curiosa, se asomó a la clepsidra, y una de las perlas que adornaban su vestido cayó dentro y obstruyó el orificio. Así, la hora propicia nunca llegó y el novio, aconsejado por los astrólogos, huyó. Bhaskhara aceptó la inutilidad de enfrentarse al destino y, para consolar a su hija, dio su nombre a su obra más importante. De esta manera, el nombre de Lilavati vivió para siempre, y esto fue para ella como una segunda vida. El cálculo con el cero En el Vija-Ganita aparece por primera vez la afirmación de que el resultado dividir por cero es infinito: La fracción en la que el denominador es cero se llama cantidad infinita. En esta cantidad en la cual cero es el divisor no hay alteración posible por mucho que se añada o se quite, lo mismo que no hay cambio en Dios infinito e inmutable. Después de esta cita se sostiene que (a/0)0 = a, Como si Bhaskhara no fuera capaz de mantener la claridad de ideas que se transparenta en el texto. Problemas de segundo grado Este problema de segundo grado aparece en el Lilavati: De un enjambre de abejas, un número igual a la raíz cuadrada de la mitad de su número total fue a libar a las flores. Después, un número de abejas igual a ocho novenas partes del enjambre total fue a libar al mismo lugar. Después fue un zángano, se introdujo en una de las flores y quedó atrapado dentro de ella. A su zumbido, su consorte llegó desde el exterior. ¿Cuántas abejas tenía el enjambre? Del enunciado se desprende que todas las abejas fueron a libar a las flores y que la pareja del zángano fue la última en llegar. Entonces, si x es el número de abejas del enjambre, el problema se traduce a la ecuación: Se puede considerar como incógnita a √x o, aun mejor, hacer x = 2z2, y entonces la nueva ecuación es 2z2 - 9z - 18 = 0. Su solución es 6, y el número de abejas es 72. Este otro problema, también de segundo grado procede en cambio del Vija-Ganita: En un bosque, un número de monos igual al cuadrado de la octava parte del total del número de monos está jugando ruidosamente. Los doce monos restantes, en una actitud más comedida, están en una colina cercana, molestos por los gritos que vienen del bosque. ¿Cuál es el número total de monos de la manada? El número x de monos es solución de la ecuación: A diferencia de la ecuación anterior, las dos soluciones x = 16 y x = 48 son igualmente admisibles. Problemas diofánticos De entre los problemas indeterminados del Lilavati, destacaremos el siguiente: buscar cuatro números cuya suma coincida con la de sus cuadrados. Esto equivale a resolver la ecuación: x + y + z + u = x2 + y2 + z2 + u2 Claramente carece de soluciones enteras, y habrá que conformarse con racionales. Bhaskhara da la solución x = 1/3, y = 2/3, z = 1 y u = 4/3. Este otro problema diofántico es del Vija-Ganita: Un hombre tiene 5 rubíes, 8 zafiros, 7 perlas y 90 monedas. Otro tiene 7 rubíes, 9 zafiros, 6 perlas y 62 monedas. Sabiendo que ambos son igualmente ricos, calcular los precios de cada clase de gema. Si x es el precio de cada rubí, y el de cada zafiro, y z el de cada perla, el problema da lugar a la ecuación: 5x + 8y + 7z + 90 = 7x + 9y + 6z + 62 que convenientemente simplificada, se convierte es esta otra: 2x + y - z = 28 Bhaskhara  supone z = 1, y la ecuación se convierte en 2x + y = 29, que proporciona las soluciones x = 14, y = 1 y z = 1, y también x = 13, y = 3 y z = 1. Un problema de tercer grado Entre los problemas diofánticos del Vija-Ganita tiene un enorme interés este de tercer grado. Se trata de encontrar dos números tales que la suma de sus cubos sea un cuadrado y la de sus cuadrados sea un cubo. Bhaskhara supone los números de la forma x = z2 e y = 2z2. Esto garantiza ya la primera condición: x3 + y3 = z6 + 8z6 = 9z6 = (3z3)2 Ahora hay que escoger z de modo que se cumpla la segunda: x2 + y2 = z4 + 4z4 = 5z4 El número más pequeño que convierte al último miembro en un cubo es z = 25, de manera que x = 625 e y = 1250 son los números buscados: 6252 + 12502 = 390625 + 1562500 = 1953125 = 1253 6253 + 12503 = 244140625 + 1953125000 = 2197265625 = 468752 Sobre un triángulo racional Bhaskhara planteó el problema de encontrar un triángulo rectángulo de lados racionales cuya superficie fuera numéricamente igual a la longitud de su hipotenusa. Para empezar, las longitudes de los lados del tal triángulo no pueden ser números enteros. En efecto, si la hipotenusa mide a y los catetos b y c, han de suceder estas dos cosas: a2 = b2 + c2 2a = bc Ambas llevan a que b2 = 4(b/c)2 + 4. Si b = c, b = √8, que no es un número entero. Si b ≠ c, b2 no es entero y tampoco b. Bhaskhara parte del triángulo de lados 3, 4 y 5, y postuló que el buscado por él tenía por lados 3x, 4x y 5x. Esto lleva a la ecuación 6x2 = 5x, cuya solución es x = 5/6.  Los lados miden entonces 5/2, 10/3 y 25/6. La culebra y el pavo real Uno de los problemas geométricos más populares del Lilavati es el siguiente: Un pavo real está posado en lo alto de un poste, en cuya base una culebra tiene su escondrijo. Localiza a la culebra a una distancia del pie del poste igual a tres veces su  altura, se lanza sobre ella mientras ésta intenta ganar su nido, y la apresa cuando ambos han recorrido la misma distancia. ¿A qué distancia del agujero tuvo lugar la captura? Bhaskhara resuelve el problema de la siguiente manera: si OA es el poste y la culebra es avistada en el punto C, entonces OA = h y OC = 3h (ver figura). Si la captura tiene lugar en un punto B a una distancia x de su base, entonces: h2 + x2 = (3h - x)2 Unos cálculos sencillísimos llevan a que x = 4h/3. Bibliografía DICKSON, L. E. (1971), History of de theory of numbers, Chelsea Publishing company, New York. GERICKE, H. (1984), Mathematik in Antike Orient, Springer-Verlag, Berlín. GHEVERGHESE, G. (1996), La cresta del pavo real, Ediciones Pirámide, Madrid. MORENO, R. (2011), Aryabhata, Brahmagupta y Bhaskara, tres matemáticos de la India, Editorial Nivola, Madrid. ORE, O.  (1988), Number Theory and its History, Dover Publications, New York. VAN DER WAERDEN, B. L. (1983), Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, Springer-Verlag, Berlín.

Miércoles, 25 de Julio de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

148. Aryabhata (476-?)

Aryabhata, el más antiguo de los matemáticos hindúes cuyos trabajos se conservan, nació en el 476, en un lugar que desconocemos. Su obra más importante, llamada por la posteridad Aryabhatiya, es un libro en verso organizado en cuatro capítulos en el que se habla de muy diversos temas de astronomía y matemáticas. En él aparecen aportaciones propias del autor, y también se recogen y sistematizan resultados procedentes de los Siddhantas (una colección de textos donde teorías astronómicas de origen griego aparecen mezcladas con viejas creencias hindúes) y de obras ce científicos anteriores. Así, aunque el Aryabhatiya carece del orden expositivo de los Elementos, el papel de Aryabhata en la matemática India recuerda al de Euclides en la griega, porque de los escritos de los matemáticos anteriores solo han sobrevivido pequeños fragmentos. El método de inversión para resolver ecuaciones algebraicas En el Aryabhatiya aparecen algunas ecuaciones algebraicas resueltas por el método de inversión, que consiste en partir del resultado e ir haciendo las operaciones inversas en sentido contrario a como se dan en el enunciado. Una de ellas es la siguiente: Se multiplica un número por 3, al producto se le suman sus tres cuartas partes, la suma se divide por 7, del cociente se resta su tercera parte, la diferencia se multiplica por sí misma, al cuadrado se le resta 52, de la diferencia se extrae la raíz cuadrada, a la cual se la suma 8, dicha suma se divide por 10 y el resultado es finalmente 2. ¿Cuál es ese número? Entonces se procede de la siguiente manera: Si la última operación antes de llegar a 2 es dividir por 10, multiplicamos 2 por 10: 2 x 10 = 20. La penúltima operación consistió en sumar 8, entonces restamos 8: 20 - 8 = 12. La antepenúltima consistió en una raíz cuadrada, luego calculamos el cuadrado de lo que tenemos: 122 = 144. Antes de hacer la raíz se restó 52, que es lo que se ha de sumar ahora: 144 + 52 = 196. Antes de restar 52 se hizo un cuadrado, entonces se ha de hacer ahora una raíz cuadrada: √196 = 14. Previamente a la raíz, se había sustraído de una cantidad su tercera parte, lo cual equivale a multiplicarla por dos tercios, entonces multiplicamos por tres medios: 14 x (3/2) = 21. La cantidad multiplicada por tres medios era el resultado de dividir algo entre 7, por consiguiente se ha de multiplicar el último resultado por 7: 21 x 7 = 147. Lo que se había dividido entre 7 es el triple del número buscado al cual se le había sumado sus tres cuartas partes, lo cual equivale a multiplicar por siete cuartos, entonces hay que multiplicar ahora por cuatro séptimos y dividir por 3: (147 x (4/7)) / 3 = 28. El método de pulverización para resolver ecuaciones diofánticas Los matemáticos hindúes resolvieron las ecuaciones diofánticas lineales según un procedimiento llamado kuttaka, palabra sánscrita que se podría traducir por pulverización.  Vamos a describir el método a través del siguiente ejemplo: 29x + 4 = 8y Dividimos el coeficiente mayor entre el menor: 29 = 8 x 3 + 5, y hacemos el cambio y = 3x + u, lo que da lugar a una nueva ecuación 5x + 4 = 8u. Volvemos a dividir el coeficiente mayor entre el menor: 8 = 5 x 1 + 3, y hacemos x = u + v, y tenemos una tercera ecuación 5v + 4 = 3u. La tercera división es 5 = 3 x 1 + 2, hacemos u = v + w, y tenemos una cuarta ecuación 2v + 4 = 3w. La cuarta división es 3 = 2 x 1 + 1. Hacemos v = w + t, y tenemos una quinta ecuación 2t + 4 = w. El coeficiente de una de las incógnitas es 1, entonces damos la otra un cierto valor y hacemos el camino inverso: si t = 0, entonces w = 4, v = 4, u = 8, x = 12 e y = 44. Si se necesita la solución más pequeña posible, se divide 12 por 8 (el coeficiente de la y) y 44 por 29 (el coeficiente de la x), divisiones que dan lugar a los restos 4 y 15. Estos restos son la solución buscada. En cuanto tenemos una solución particular, es fácil comprobar que las demás proceden de la siguiente fórmula: x = 4 + 8m y = 15 + 29m Sobre progresiones aritméticas Una progresión aritmética es una sucesión de números cada uno de los cuales se deduce del anterior sumándole un numero fijo d llamado diferencia de la progresión. Entonces, si  es una progresión, a2 = a1 + d, y en general ap = a1 + (p-1)d. Aryabhata tiene algunas consideraciones sobre progresiones aritméticas. En primer lugar, explica cómo sumar m términos consecutivos, multiplicando el número de sumandos por el término central (dando así por sentado que el número de sumandos es impar), y para calcularlo proporciona la siguiente regla: El número de términos menos uno se divide por dos, se suma el número de términos que preceden, se multiplica el resultado por la diferencia, y al producto se le suma el primer elemento de la progresión. Si los términos a sumar son ap+1, ap+2, ..., ap+m, el “número de términos que preceden” es p, el elemento central se calcula como sigue: También explica como calcular el número total de términos cuando se conoce el primero, la suma de todos ellos y la diferencia de la progresión: Multiplica la suma por ocho veces la diferencia, suma el cuadrado de la distancia entre el doble del primer miembro y la diferencia, haz la raíz cuadrada, resta dos veces el primer término, divide el resultado por la diferencia, suma uno y divide por dos. En efecto, por lo que se ha visto antes, la suma de todos los elementos de la progresión es (porque ahora m = n y p = 0): El número n es solución de la ecuación cuadrática: dn2 + (2a1 - d)n - 2S = 0 Resolviéndola, tenemos la regla de Aryabhata: La trigonometría del Aryabhatiya La trigonometría griega trabajaba con las cuerdas de los arcos. La idea del seno, la semicuerda del ángulo doble, es de origen hindú. En el Aryabhatiya se da una tabla de los senos de 24 ángulos, cada uno de los cuales excede al anterior en (3 + 3/4)º. Pero no se utilizaba, como se hace hoy, una circunferencia de radio uno, de manera que su concepto de seno no es idéntico al nuestro, de manera que si R es el radio de la circunferencia, el seno hindú de un ángulo es el seno actual multiplicado por R. Aryabhata toma como unidad de longitud el minuto de arco. Como da al número  el valor de 3.1416, el radio es: La longitud del radio es aproximadamente 3438 veces la del arco de un minuto. Como valor del seno del ángulo más pequeño de su tabla toma 225, la longitud del arco. El error cometido es insignificante: Para el cálculo de los demás senos, se sirve de la siguiente fórmula (en la cual α = (3 + 3/4)º): De este modo: Y así va completando su tabla. Bibliografía DICKSON, L. E. (1971), History of de theory of numbers, Chelsea Publishing company, New York. GERICKE, H. (1984), Mathematik in Antike Orient, Springer-Verlag, Berlín. GHEVERGHESE, G. (1996), La cresta del pavo real, Ediciones Pirámide, Madrid. MORENO, R. (2011), Aryabhata, Brahmagupta y Bhaskara, tres matemáticos de la India, Editorial Nivola, Madrid. ORE, O.  (1988), Number Theory and its History, Dover Publications, New York. VAN DER WAERDEN, B. L. (1983), Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, Springer-Verlag, Berlín.

Sábado, 21 de Julio de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

149. Los instrumentos matemáticos en la Nueva España: circulación, usos y transformaciones de la medición

LA GACETA, vol. 14, no. 4, 2011, 739-752. Ver detalles del documento

Martes, 22 de Noviembre de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

150. Sociedad Matemática Española: Estado de la misma en el mes de junio de 1939

LA GACETA, vol. 14, no. 4, 2011, 773–790. Ver detalles del documento

Martes, 22 de Noviembre de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico