131. La evitación de los números irracionales en la teoría musical antigua y sus consecuencias

LA GACETA, vol. 17, no. 4, 2014, 743-764. Ver detalles del documento

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132. Categorías. Los 30 primeros años

LA GACETA, vol. 17, no. 2, 2014, 335-347. Ver detalles del documento

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133. Germain, Sophie (1776-1831)

Sophie Germain fue una matemática autodidacta. Nació en París en las últimas décadas del Siglo de las Luces. Los cambios políticos y sociales que se producían en Francia durante su niñez determinaron que, desde muy pequeña, considerara la Ciencia y especialmente las Matemáticas, como el estímulo intelectual que daba sentido y tranquilidad a su existencia. Sus primeros trabajos en Teoría de Números los conocemos a través de su correspondencia con C. F. Gauss, con el que mantenía oculta su identidad bajo el pseudónimo de Monsieur Le Blanc. El teorema que lleva su nombre fue el resultado más importante, desde 1753 hasta 1840, para demostrar el último teorema de Fermat, además permitió demostrar la conjetura para n igual a 5. Posteriormente sus investigaciones se orientaron a la teoría de la elasticidad y en 1816 consiguió el Premio Extraordinario de las Ciencias Matemáticas que la Academia de Ciencias de París otorgaba al mejor estudio que explicara mediante una teoría matemática el comportamiento de las superficies elásticas y publicó varios libros sobre este tema. En los últimos años de su corta vida, además de dos trabajos matemáticos, uno sobre la curvatura de superficies y otro sobre teoría de números, escribió un ensayo sobre filosofía de la ciencia que Augusto Comte citó y elogió en su obra. La historia de Sophie es la de una matemática brillante que no pudo lograr su pleno desarrollo porque en sus años de formación no pudo acceder a una educación matemática formal y en su madurez tuvo que trabajar en solitario porque una jerarquía científica, totalmente masculina, la excluía. Tener una formación autodidacta, anárquica y con lagunas le perjudicará toda su vida. Su aislamiento no fue tan evidente cuando trabajaba en teoría de números, pero cuando comenzó a trabajar en física matemática no tuvo, en un primer momento, los últimos conocimientos matemáticos que entonces se estaban utilizando y que requerían un trabajo cada vez menos solitario y ligado a la comunidad científica. Aunque su obra merecía el reconocimiento académico, nunca recibió título alguno. Una calle de París y un Liceo llevan su nombre, y una placa, en la casa donde murió, (el número 13 de la rue de Savoie) la recuerda como matemática y filósofa. Actualmente, el Instituto de Francia, a propuesta de la Academia de Ciencias, concede anualmente “Le prix Sophie Germain” al investigador que haya realizado el trabajo más importante en Matemáticas, pero todo este reconocimiento es póstumo, ya que incluso en su certificado de defunción lo que figura como profesión es rentista y no matemática.

Miércoles, 26 de Noviembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más

134. Byron, Ada: Condesa de Lovelace (1815-1851)

"Al desabrochar el abrigo, metió las manos en los bolsillos de su pantalón para mostrar mejor el chaleco, que estaba tejido con el dibujo de un mosaico impreciso de diminutos cuadros azules y blancos. Los sastres los denominaban el Estampado a cuadros de Ada, la señora que había programado el telar Jacquard para que tejiera álgebra pura" Gibson y B. Sterling Hace muchos, muchos años, allá por el año 1944, había una hermosa joven en un fábrica de tejidos que producía en serie, metros y metros de telas estampadas. La joven vigilaba el correcto funcionamiento de una máquina que tejía automáticamente los dibujos gracias a unas tarjetas que guardaban todas las órdenes necesarias. Grupos de tarjetas que actuaban una y otra vez para estampar repetidamente el mismo motivo a lo largo de la enorme pieza de tela. Libre de pensar en el número de pasadas y puntos en que antaño ocupaba su atención, cuando atendía su propio telar en la casa familiar, ahora mataba el hastío dejando volar su imaginación en alas de los cuentos de hadas y soñaba que una de ellas se había ocupado de ahorrarle la monotonía de las repeticiones. Recuerda que le gustaba crear o descifrar una muestra, pero luego era embrutecedora la necesidad de repetirla infinidad de veces hasta conseguir la pieza completa. Ciertamente, en un lejano país, muchos años atrás, una hechicera, hija de un poeta mágico y de la princesa de los paralelogramos, inventó un lenguaje nuevo con la intención que la bella joven suponía. Aunque ahora parecía que una horrible bruja la había encadenado a aquella máquina y la había convertido en una pieza más de la enorme fábrica que deglutía millas y millas de hilo y vomitaba sin cesar las piezas “manufacturadas” que engrosaban progresivamente las arcas del amo. La niña hechicera recibió, al nacer, el nombre de Ada y heredó de sus padres dos dones, de su madre el don de hablar el lenguaje de la aritmética y la geometría y de su padre el don de las letras. Gracias a estos dones, siendo muy joven, inventó unas palabras mágicas que, ser pronunciadas por los duendes mecánicos, eran capaces de conseguir lo arriba referido. La industria textil vio pronto la posibilidad de tejer los mismos estampados con muchas menos tarjetas y adiestró a sus duendes en la pronunciación de las palabras mágicas. Los duendes así adiestrados produjeron tal cantidad de telas estampadas y brocados que las aldeas se vaciaron porque las jóvenes aldeanas y los mozos de las aldeas emigraron a lejanas ciudades atraídos por la magia de éstos duendes y en busca de fortuna. Este relato parece un cuento, pero no lo es: Ada, en 1833, era una joven de 17 años. Un lunes del mes de junio, el día 5 exactamente, iba con su madre, Annabella Milbanke, a ver la máquina pensante, era la máquina de diferencias de Charles Babbage. Unas semanas antes le habían conocido en una fiesta en casa de Mary Somerville, que introdujo a Ada en el mundo de las diferencias finitas. Ya en aquella ocasión, Babbage les hizo saber que estaba pensando en construir una máquina totalmente nueva. El proceso simplificador del cálculo seguía avanzando a lo largo de la Historia. Y todavía avanzaría más, cuando la tecnología llegara a estar a la altura del "Hardware" de Charles y del "Software" de Ada. Diez años más tarde del primer encuentro entre Ada y Charles, éste último daría una conferencia en Turín para presentar su Ingenio Analítico, como llamó a la nueva máquina. Acudió a la conferencia el joven ingeniero Menabrea. Quedó tan impresionado que escribió un resumen de la conferencia y lo publicó en francés. Ada, que ahora era la esposa del conde de Lovelace y, por eso, llevaba su apellido, se puso a traducir el resumen de Menabrea. Enterado Babbage, la animó a comentar la traducción y, así, fue como surgió su obra “Sobre la máquina analítica”. En palabras de Ada Byron Lovelace, “La característica que distingue a la máquina analítica, es la inclusión en ella del principio que Jacquard concibió para regular la fabricación, mediante tarjetas perforadas, de los más complicados modelos de brocados. Al capacitar a los mecanismos para combinar entre sí símbolos generales en sucesiones de variedad y extensión ilimitadas, se establece un eslabón entre las operaciones materiales y los procesosmentales abstractos de la rama más teórica de la ciencia matemática. Se desarrolla un lenguaje nuevo, amplio y poderoso, para su empleo futuro en elanálisis, cuyas verdades se podrán manejar de modo que su aplicación sea más práctica y precisa para la humanidad de lo que hasta ahora han hecho las medidas a nuestro alcance”. En sus márgenes una explicación de cómo hacerla funcionar, que triplicaba el texto, mejoraba el reciente invento de las tarjetas perforadas del francés mencionado por ella misma, Jacquard, para que pudieran ser reutilizadas en las tareas cíclicas. Aquello era el invento de las subrutinas, pieza clave en la programación de los modernos ordenadores. En otra de sus páginas se podía leer: "La Máquina Analítica no tiene ninguna pretensión de originar nada. Es capaz de hacer cualquier cosa, siempre que sepamos ordenarle cómo hacerla. Puede seguir el análisis; pero no tiene capacidad de anticipar cualquier relación o verdad analítica. Es de su incumbencia ayudarnos a hacer disponible lo que ya conocemos. Está calculada para hacer esto primordialmente y sobre todo, claro está, por medio de sus facultades ejecutivas; pero es posible que ejerza una influencia indirecta en la ciencia misma de otra manera. Porque, al distribuir y combinar las verdades y las fórmulas del análisis de manera tal que sean lo más fácil y rápidamente disponibles a las combinaciones mecánicas de la máquina, las relaciones y la naturaleza de varios temas en esa ciencia, reciben necesariamente una nueva luz, y se investigan más profundamente". El Ingenio analítico estaba diseñado con dispositivo de entrada, a semejanza de las tarjetas perforadas del telar de Jacquard; almacén, llamado hoy memoria; molino, nuestro micro y moderno procesador, y dispositivo de salida en papel u otra vez en tarjetas, como las actuales impresoras y disqueteras. La máquina podía sumar, restar, multiplicar, dividir –como la máquina de Pascal- y ejecutar instrucciones atendiendo a ciertas condiciones, repetir algunas de las instrucciones y computar cualquier fórmula algebraica, sin intervención humana en el proceso de cálculo. Bastaba para ello traducir las órdenes, condiciones y fórmulas algebraicas a tarjetas perforadas, éstas eran sólo otro lenguaje analítico, un lenguaje de programación, diríamos hoy, en realidad el Software de Ada. Era con esta aportación con lo que la condesa de Lovelace superaba al telar inventado por Jacquard en 1801, que organizaba las hebras de las tejedoras, que a su vez habían aprendido de las arañas o tal vez de las mariposas. Ada Byron nació en Londres el día 10 de diciembre de 1815, con el fin del imperio napoleónico. Fue hija de Anne Isabella Milbanke y de Lord Byron. Las fechas de nacimiento de los progenitores marcan los extremos de uno de los periodos históricamente más relevantes para Europa: la Revolución Francesa. Él con el anuncio de la convocatoria de Estados Generales, pocos meses antes de la toma de la Bastilla, ella el mismo año en que Mary Wollstonecraft publicó la Vindicación de los Derechos de la Mujer en Londres y Francia declaraba su primera República. El matrimonio, celebrado en Londres mientras Napoleón iniciaba sus memorias y su declive, fracasó inmediatamente y Lord Byron abandonó la ciudad pocos meses después. Pasó el verano de 1816 en Suiza con Percy y Mary Shelley, autora de la novela Frankestein. La princesa de los paralelogramos, como llamaba Byron a su esposa que había estudiado álgebra, geometría y astronomía con el Catedrático de Cambridge William Frend, puso todo su empeño en educar a su hija científicamente, alejada de las "triviales" tendencias literarias y en la más severa "disciplina", para contrarrestar los “vapores de la fantasía” que había heredado de su padre. Ada tuvo como profesora de matemáticas a Mary Somerville y también recibió consejo científico de Lord Morgan. Luego, cuando conoció a Babbage, aprovechó esta amistad para seguir creciendo en sus conocimientos matemáticos. En 1835 Ada se casó con El octavo Lord King, nombrado conde de Lovelace en 1838, momento a partir del cual Ada pasó a ser la condesa de Lovelace. El matrimonio tuvo una hija Anna Isabella Noel y dos hijos Byron Noel, vizconde de Ockham y Ralph Gordon Noel, treceavo barón de Wentworth y segundo conde de Lovelace. Además de tal abundancia de títulos nobiliarios, el primer conde de Lovelace proporcionó a Ada la posibilidad de acceder a los fondos bibliográficos de la Royal Society de Londres, para lo cual consiguió ser nombrado miembro de tan afamada sociedad científica. Ella, como mujer, no tenía acceso ni a la biblioteca de esta institución ni a la de ninguna otra de nivel universitario. Murió muy joven ocho años antes de que la primera universidad europea, la suiza, en 1860, admitiera en sus aulas a una mujer. Hasta 1874 ninguna mujer obtendría el doctorado en matemáticas, al que Ada hubiera podido optar por sus dotes, sus conocimientos y sus aportaciones, que la convertían no en poeta como su padre ni matemática como deseaba su madre, sino en una matemática poética, en lo cual fue precursora de los planteamientos más progresistas de la actualidad que abogan por la capacidad de exponer poéticamente una demostración matemática. El programa confeccionado por Ada Byron, sobre tarjetas perforadas, para el Ingenio Analítico de Babage computaba los números de Bernouilli, y da idea de sus conocimientos matemáticos y de su capacidad para crear un programa, mucho más complejo y ambicioso que los pequeños programitas ideados por el propio Babbage. Extrapolaba la primitiva estrategia fabril a una máquina de calcular. La idea de reutilizar las tarjetas encargadas de cierto procedimiento, cada vez que fuera necesario, dentro de un mismo programa, era tan avanzada que en los cien años posteriores no se escribió nada mejor referente a esta materia. Para entonces, ya se estaba aprovechando su aportación en la industria textil que enriquecía a unos pocos y explotaba a tantas y tantas mujeres como la joven del comienzo de este cuento. La salud de Ada nunca fue robusta y, a partir de 1843, a los 27 años, madre de tres criaturas pequeñas y terminadas las notas a la edición de Menabrea, decayó alarmantemente. Los médicos, en un principio, diagnosticaron histeria, era el saco de sastre de aquella época. Ada creyó durante largo tiempo en la certeza del primer diagnóstico. El láudano la alivió del dolor, producido por el terrible cáncer diagnosticado pocos meses antes de su muerte, hasta que su madre se hizo cargo de ella al final de su enfermedad y le retiró todos los calmantes, para que ganara la salvación eterna de su alma con el sufrimiento infinito de su cuerpo. Murió a los 36 años, como su padre, el famoso Lord Byron, al que nunca llegó a conocer, pero del que heredó la poderosa imaginación que la hizo vivir y sufrir. Ada pidió ser enterrada junto a él, que pensó siempre en ella y que le dedicó las últimas palabras antes de morir. De su triunfo científico sólo nos quedan sus iniciales en el artículo “Taylor’s Scientific Memoirs” publicado en 1843. Poner sólo las iniciales la preservaba del ridículo a que hubiera estado expuesta socialmente de haberse sabido que ella, una mujer, publicabamaterial“tan masculino”. Hoy, en la era de la informática, se le han concedido reconocimientos como dar su nombre a un lenguaje de programación, el lenguaje ADA, diseñado por y para el Departamento de Defenda de los Estados Unidos de América. Este lenguaje permite a Ada viajar alrededor del globo y en el tiempo, gracias a su amabilidad, flexibilidad, robustez y adaptabilidad a software nuevo. Está presente en un arsenal de industrias y organizaciones en Bélgica, Francia, Alemania, Suecia, Suiza, España, Reino Unido, y los Estados Unidos que utilizan el lenguaje Ada en los sistemas de control, de fabricación, en los sistemas de las actividades bancarias y de información, aviación, comunicación por satélite, y diseño. Por ejemplo, en los sistemas de control de la industria nuclear checa Westinghouse y elsistema de control del proceso del acero de la Weirton o en el sistema de actividades bancarias en el estado sueco que automatiza así todo el pago de la nómina, gastos, depósitos, y transacciones electrónicas. También se utiliza en telefonía móvil y en el diseño de circuitos integrados, en los sistemas de pruebas de motores de vehículos y a para diseñar toda la automatización de Microsoft Windows. Se invierte un décima parte de tiempo y de presupuesto en el software para cohetes espaciales, lo cual es la razónprimordial por la que los militares de USA utilizan este lenguaje. También se recuerda a Ada Byron Lovelace como personaje principal en novelas, obras de teatro y en un film de realidad virtual “Conceiving Ada”. En nuestro país, La Organización Española para la Coeducación Matemática ha adoptado su nombre, OECOM “Ada Byron”, con la misma finalidad: reconocer en la era cibernética el papel pionero de una mujer en ese campo, tan ligado a las matemáticas como la misma Ada Byron reconoce en las citas apuntadas en esta breve biografía. Libros y revistas Nomdedeu Moreno, Rosario; Mujeres Manzanas y Matemáticas. Entretejidas.Nivola. Madrid. 2000. Nomdedeu Moreno, Rosario; “Un cuento de Adas”.Atrevernos a educar 9-21. Madrid. Marzo. 2003. Toole, Betty Alexandra; The enchantress of numbers. Prophet on the computer age. Strawberry Press. Canada. 1992. Páginas web: Exposición de Teresa Lanceta en Divulgamat http://myhero.com/myhero/hero.asp?hero=a_lovelace http://platea.pntic.mec.es/~mmediavi/Shelley/index.html http://www.adabyron.org/

Martes, 11 de Noviembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

135. 1614-2014. Cuarto centenario de Mirifici Logarithmorun Canonis Descriptio

Siempre he tratado, de acuerdo con mis fuerzas y en la medida de mi capacidad, de acabar con la dificultad y el tedio de realizar cálculos; el fastidio por tales es una forma habitual de disuadir muchísimo del estudio de las matemáticas. Con este objetivo ante mí, emprendí la publicación del Canon de los logaritmos, en el que he trabajado por un largo tiempo en años anteriores… De esta forma se expresaba John Napier, barón de Merchiston, en el prefacio de la obra cuyo cuarto centenario celebramos y por la que es más reconocido: Mirifici Logarithmorun Canonis Descriptio. Los avances científicos, especialmente los estudios astronómicos, requerían cada vez más, cálculos exhaustivos y precisos. La tarea era ingrata y laboriosa; por ello todo lo que se hiciera para simplificarla sería inmediatamente aplicado. La sustitución del producto por la suma no era ninguna novedad: por medios trigonométricos ya era habitual realizar la sustitución: sin(x)•sin(y) = ½ (cos(x-y)-cos(x+y)) La realización de raíces cuadradas y cúbicas se servía de algunas simplificaciones pero sus algoritmos exigían un esfuerzo que, como dice Neper, resultaba disuasorio. A finales del siglo XVI ya había llegado el momento de simplificar tan tediosa y lenta logística. Cuando observamos los descubrimientos paralelos, como si asistiéramos a una carrera por alcanzar la meta de distintos corredores, vemos hasta que punto los avances pueden ser colectivos. De los testimonios documentales sabemos que el suizo constructor de instrumentos y relojes, Jost Bürgi (1552-1632), ya había comunicado en 1588 al astrónomo Nicholaus Bär que tenía un método para simplificar los cálculos. De igual forma Napier, en carta a Tycho Brahe de 1594, había adelantado que estaba trabajando en su maravilloso canon. En 1602, Bürgi obtuvo el privilegio en Praga de Rodolfo II para publicar sus Tablas de Progresiones, pero éstas, no vieron la luz hasta 1620 con el significativo título: Tafeln arithmetischer und geometrischer Zahlenfolgen. Napier y Bürgi trabajaron por separado con la misma idea: la progresión geométrica permite transformar productos en sumas y raíces cuadradas en la sencilla operación de demediar. Fue el teólogo matemático escocés el triunfador para la posteridad pese a que sus tablas fueron pronto arrinconadas por las decimales de Henry Briggs, cuya Aritmética Logarithmica se público en 1624, y con tanto éxito que sus tablas han estado usándose durante siglos. Si atendemos a las palabras de Roberto Napier, sería su padre el que había sugerido a Briggs la realización de tablas en base decimal en su encuentro de 1615. John Napier fallecería en 1617, de forma que su hijo Roberto y Henry Briggs fueron los encargados de publicar en 1619 la Mirifici Logarithmorun Canonis Constructio. La Descriptio ofrece tablas de senos y formas de usarla en trigonometría plana y esférica pero será la Constructio la que nos cuenta cómo se las ingenió Napier para obtener las tablas de senos de números artificiales (sinus numerus artificiales), nombre que utilizará indistintamente con logaritmos. Las tablas dan el logaritmo de cada seno entre 0º y 90º hasta los minutos. Las tablas de Briggs se hicieron pensando en forma aritmética y algebraica pero Napier todavía recurría a la geometría y a la cinemática. Se trata de un móvil que en tiempos en progresión aritmética se aproxima a su objetivo con velocidades decrecientes geométricamente. Como cuando llega al objetivo la velocidad es cero, el logaritmo de ese número grande será cero. Napier utilizó diez millones (10^7) como número objetivo, cosa usual para los astrónomos desde su empleo por Regiomontano como valor del radio de la circunferencia. La tabla de logaritmos de los senos se construirá usando un decaimiento en progresión geométrica de 10^(-7) en cada paso, lo que hace que la razón sea 0,9999999. Expresándolo en notación actual como función exponencial, Napier calcula ingeniosamente la función: Napier, para simplificar los cálculos, comienza dividiendo por diez millones y va restando sucesivamente, después por cien mil, para terminar dividiendo y trabajando con divisiones por 2000. Aunque siempre buscaba divisiones fáciles y simplificaciones para construir las tablas, luego vuelve atrás para reducir los errores a lo admisible. Resulta interesante ver que sin conocer el número e, tanto Napier como Briggs, terminan topándose con él. Los logaritmos de Napier vienen a ser cologaritmos naturales o neperianos. En efecto si operamos con la exponencial (1), inversa y tomando logaritmos naturales: Otro impacto importante de la obra de Napier fue la extensión de la notación de las fracciones decimales, punto incluido, que a partir de los logaritmos se generalizó. En la red podemos encontrar tanto los facsímiles de las ediciones originales en latín como traducciones inglesas comentadas. El libro conmemorativo del tercer centenario, John Napier and the Invention of Logarithms, 1614, de Ernest William  Hobson ha sido reeditado en 2011. La lectura de los pioneros, de sus tanteos y  caminar de ciegos es siempre edificante. Newton podía decir, con razón, tomándolo  de los escolásticos, que veía más lejos por ir subido a hombros de gigantes.

Miércoles, 03 de Septiembre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

136. El método de cuadraturas de Pietro Mengoli (1625-1686)

LA GACETA, vol. 17, no. 1, 2014, 155-173. Ver detalles del documento

Jueves, 10 de Abril de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

137. La introducción de la «Matemática Moderna» en la enseñanza no universitaria en España (1953-1970)

LA GACETA, vol. 16, no. 4, 2013, 727-747. Ver detalles del documento

Jueves, 10 de Abril de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

138. Rey Pastor, Julio (1888-1962)

Logroño (España) 14 de agosto de 1888, Buenos Aires (Argentina) 21 de febrero de 1962. Se formó en Zaragoza, Madrid, Berlín (1911-12) y Gotinga (1913-14). Obtuvo el doctorado en 1909 investigando en geometría algebraica sintética, línea que culminó con Fundamentos de la Geometría proyectiva superior (1916). Catedrático de Análisis Matemático (1911, Oviedo; 1913, Madrid), produjo y dirigió trabajos geométricos y sobre representación conforme hasta 1920. Se instaló en Buenos Aires desde 1921, visitando España varios meses cada año. Con discípulos en ambas orillas, trabajó sobre sumación de series divergentes, con obras como Teoría de los algoritmos lineales de convergencia y de sumación (1931) y Un método de sumación de series (1932). Publicó en revistas europeas, renovando la matemática e impulsando la investigación en sus dos países y en todos los de habla hispana. Sus influyentes libros universitarios se despliegan entre Elementos de análisis algebraico (Madrid, 1917) y Análisis matemático (Buenos Aires, 1952-57-59, con P. Pi Calleja y C. Trejo). Tuvo una actividad importante en historia de la matemática y de las ciencias y en epistemología. En España fue Académico de Ciencias (1920) y de la Lengua (1954). Su figura tuvo relieve internacional, un cráter de la Luna lleva su nombre. Julio Rey Pastor estudió matemáticas en Zaragoza (1904-08), donde recibió la influencia de Z. García de Galdeano (análisis) y J.G. Álvarez Ude (geometría). Se doctoró en Madrid (Correspondencia de figuras elementales, 1909) en la línea de geométrica proyectiva sintética implantada por E. Torroja. En 1911 ganó la cátedra de Análisis Matemático de la Universidad de Oviedo por los méritos acumulados como estudiante, en las revistas de Zaragoza, en los Congresos de la Asociación Española para el Progreso de las Ciencias y en la recién creada Revista de la Sociedad Matemática Española. El curso 1911-12 permaneció en Berlín becado por la Junta para Ampliación de Estudios (JAE). En junio 1913 obtuvo la cátedra análoga de Madrid y se fue a Gotinga (1913-14 ), de nuevo gracias a la JAE. Atraído por concursos convocados por la Academia de Ciencias, compuso durante sus estancias en Alemania dos memorias que fueron premiadas: Teoría geométrica de la polaridad (1912, publicada en 1928) y Fundamentos de la geometría proyectiva superior (1914, publicada en 1916). La tarea en ambas era el estudio sintético de curvas, en la segunda incorporó además grupos de transformaciones y axiomática. De su formación alemana sirgió también Teoría de la representació conforme (1915), un curso publicado en catalán por E. Terradas. Del breve paso por Oviedo quedó la lección inaugural Los matemáticos españoles del siglo XVI (1913), en la que siguió los pasos de J. Echegaray al enjuiciar la matemática española. Con esta obra, su autor se inscribe en el proyecto para una nueva España propuesto por el filósofo J. Ortega, en el que el desarrollo científico debería jugar un papel esencial. Intentó una profunda renovación de la matemática española. En buena medida fue así, pero le pareció insuficiente y lamentó las resistencias encontradas, según declaró al ingresar en la Academia de Ciencias (1920). Las asignaturas a cargo de Rey Pastor, de los dos primeros cursos, trataban de análisis algebraico y teoría clásica de ecuaciones. De las lecciones de primero surgió Elementos de análisis algebraico (1917, 1922,…), texto muy reeditado, de larga duración e influencia, al igual que Teoría de funciones reales (1918, 1925,…). Por otra parte, la JAE había creado bajo su dirección, en 1915, el Laboratorio y Seminario Matemático (LSM), donde inicialmente se trabajó sobre geometría sintética real y compleja, representación conforme, métodos numéricos, teoría de Galois e historia de la matemática. Socio fundador de la Sociedad Matemática Española (1911), Rey Pastor luchó contra el bajo nivel de su revista, que cerró en 1917; dos años después, tras una larga visita a Buenos Aires (1917-18), promovió su reaparición como Revista Matemática Hispano-Americana y con la orientación investigadora del LSM. En 1921 aceptó un contrato para impulsar en Buenos Aires el doctorado en matemáticas. Allí se instaló definitivamente, contrajo matrimonio y tuvo dos hijos. Salvo en el periodo 1936-47, Rey Pastor pasó en Madrid los veranos australes, manteniendo su presencia en la matemática española. Sus primeras lecciones en Buenos Aires dieron lugar a los libros Curso cíclico de matemáticas (1924-29) y Curso de cálculo infinitesimal (1924), que tuvo varias reediciones a partir de 1929. Impartió clases de formación de profesorado, que fueron el germen de Metodología de la matemática elemental (con P. Puig Adam, 1933), iniciando así una fecunda y duradera colaboración para la edición de obras destinadas a la enseñanza media, relación repetida con F. Toranzos en Argentina y con M. Pereira en Uruguay. En 1924 fundó la Sociedad Matemática Argentina. Hacia 1925 inició una serie de cursos preparatorios para el doctorado y la investigación, creando en 1928 el Seminario Matemático Argentino. Ese mismo año empezó a publicar sobre la unificación de los métodos de sumación de series divergentes. Este tema central de su investigación quedó planteado en la memoria Teoría de los algoritmos lineales de convergencia y sumación (1928, publicada en 1931) escrita para sus discípulos en ambas orillas. Rey Pastor ideó un método propio (Un método de sumación de series, Palermo, 1932), pero insistió sobre todo en la teoría general unificadora. Publicó sobre este asunto numerosos artículos hasta 1936, en revistas de sus dos países y también de Francia, Italia y Japón. Durante su atención intermitente a la cátedra madrileña, había publicado Lecciones de álgebra (1924) como texto de segundo curso, libro de corte clásico que su discípulo R. San Juan completó con la teoría de Galois (1935). A partir de 1936, su actividad matemática creativa fue decreciendo, aunque mostraba interés por la topología y el análisis funcional. Al mismo tiempo, intensificaba su dedicación a la historia y la epistemología de la ciencia. Obtuvo la ciudadanía argentina en 1938 y fue nombrado representante de su nuevo país en la Academia Internacional de Historia de las Ciencias. Esta línea de trabajo dio lugar a La ciencia y la técnica en el descubrimiento de América (1942), Historia de la matemática (con J. Babini, 1951) y La técnica en la historia de la humanidad (con N. Drewes, 1957). Entre 1952 y 1955 estuvo separado del servicio por negar su adhesión al régimen de Perón. Acudieron en su ayuda sus discípulos instalados en diversas universidades argentinas, que le procuraron contratos. Una vez reintegrado a su puesto, pidió la excedencia y actuó en varias universidades hasta 1957, un año antes de su jubilación. Durante este periodo aparecieron nuevas obras en colaboración: Geometría integral (con L.A. Santaló, 1951), Geometría analítica (con L.A. Santaló y M. Balanzat, 1955) y la gran obra en tres volúmenes Análisis matemático (con P. Pi Calleja y C. Trejo, 1952-57-59). En 1947, al reanudar sus viajes a Madrid, hizo la tercera edición de Lecciones, con su propia versión de la teoría de Galois; llegó la cuarta en 1957, añadiendo un capítulo final sobre estructuras algebraicas abstractas, tendencia del álgebra que criticaba. Su actividad española en los años cincuenta tuvo un marcado carácter institucional, destacando sus lecciones en el Instituto Nacional de Técnica Aeroespacial (Los problemas lineales de la física, 1955), su relación con el Instituto de Cálculo (Funciones de Bessel y aplicaciones, con A. de Castro, 1958) y el apoyo al nacimiento de nuevas revistas como Arquímedes, en el ámbito de la matemática aplicada, o Theoria, en el de la historia y la filosofía de la ciencia. Su última obra fue La cartografía mallorquina (con E. García Camarero, 1960). No hay que olvidar que fue un brillante conferenciante y escritor, con una variada labor editorial. Recibió diversas distinciones, entre ellas un cráter en la Luna, bautizado con su nombre por la Brithish Astronomical Association (1953), y un sillón en la Real Academia Española de la Lengua (1954). BIBLIOGRAFÍA (Por orden cronológico. 1, 3 y 4 contienen listados de la obra completa.) [1] J.J. González Covarrubia, Julio Rey Pastor, Ediciones Culturales Argentinas, Buenos Aires. 1964. [2] A. Dou, “Julio Rey Pastor”, Razón y Fe, 167, pp.133-146 y 273-282. 1967. [3] S. Ríos, L.A. Santaló y M. Balanzat, Julio Rey Pastor, matemático, Instituto de España, Madrid. 1979. [4] L. Español (ed), Actas I Simposio sobre Julio Rey Pastor, IER, Logroño. 1985. [5] A. Millán, El matemático Julio Rey Pastor, Universidad de La Rioja / IER, Logroño. 1988. [6] L. Español (ed.) Estudios sobre Julio Rey Pastor, IER, Logroño, 1990. [7] A. Millán, La obra geométrica de Julio Rey Pastor (Tesis doctoral) Universidad de Zaragoza. 1990. [8] L. Español, “Julio Rey Pastor en la Revista de la Sociedad Matemática Española (1911-1917)”, LLULL, 19, pp. 381-424. 1996. [9] L. Español, “Rey Pastor ante los cambios en el álgebra de su tiempo”, en L. Español (ed.) Matemática y Región: La Rioja, IER, Logroño, pp. 63-122. 1998. [10] L. Español, C. Sánchez, “Julio Rey Pastor y la teoría de sumación de series divergentes”, LLULL, 24, pp. 89-118. 2001.

Jueves, 15 de Enero de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

139. Qurra, Tabit ben (~830-901)

Contemporáneo de Al-Jwarizmi, aunque bastante más joven (nació en la ciudad mesopotámica de Harran y vivió aproximadamente entre los años 830 y 901), es Abu al-Hasan Tabit ben Qurra. Fundó una escuela de traductores y gracias a ella fueron conocidas en Bagdad obras de Euclides, Arquímedes, Diofanto y Apolonio. De algunas de éstas (los libros V, VI y VII de las Cónicas, por ejemplo) solo conocemos las traducciones árabes, y si no es por los esfuerzos de Tabit ben Qurra y su grupo de trabajo, se habrían perdido para siempre. También se le deben varios resultados originales. Hablaremos de los dos más conocidos. Los números amigos: Recordemos que dos números se llaman amigos si la suma de los divisores propios de cada uno de ellos es igual al otro, y que la más sencilla pareja de números amigos (ya conocida por los pitagóricos) es la de 220 y 248. Tabit ben Qurra demostró que si para un cierto número natural n son primos los números: p = 3•2n - 1        q = 3•2n-1 - 1        r = 32•2n-1 - 1 entonces son amigos los números a=2npq y b=2nr. La demostración es muy elemental: De modo muy parecido se demuestra que los divisores propios de a suman b. Este descubrimiento de Tabit ben Qurra permite elaborar la siguiente tabla de números amigos: Una generalización del teorema de Pitágoras Si trazamos desde el vértice A de un triángulo dos rectas AD y AE tales que los ángulos ADB y AEC sean iguales a A, entonces sucede lo siguiente: AB2 + AC2 = BC (BD + EC) Es muy fácil llegar a esta igualdad generalizando la demostración que del teorema de Pitágoras aparece en el libro I de los Elementos. En efecto, repitiendo al pie de la letra el razonamiento de Euclides sobre la figura que viene a continuación, vemos que: Cuadrado rayado en negro = rectángulo rayado en negro Cuadrado rayado en rojo = rectángulo rayado en rojo Sumando miembro a miembro estas igualdades (suponiendo A obtuso), llegamos a lo siguiente: AB2 + AC2 = BC2 - BCDE = BC2 - BC(BC - BD - EC) = BC (BD + EC) y ya tenemos el teorema. Si A fuera agudo, los rectángulos rayados en rojo y negro se superponen y los puntos D y C invierten sus papeles, pero el razonamiento es idéntico. Si A es recto, tenemos el teorema de Pitágoras. BIBLIOGRAFÍA SOBRE MATEMÁTICA ÁRABE [1] CATALÁ, M. A. (1981), “El nacimiento del álgebra”, en Historia de la ciencia árabe, Real Academia de Ciencias exactas, físicas y naturales, Madrid. [2] MILLÁS VALLICROSA, J. Mª, (1947), “Sobre la valoración de la ciencia arábigo-española de fines del siglo X y principios del XI”, en Al-Andalus, Vol. XII, págs. 199-210. [3] MORENO CASTILLO, R. (1998), “La Matemática en Bagdad”, en Boletín de la Sociedad « Puig Adam » de profesores de Matemáticas, nº 49, págs. 53-67. [4] MORENO CASTILLO, R. (2002), Omar Jayyam, poeta y matemático, Nivola, Madrid. [5] RASHED, R. y VAHABZADEH, B. (1999), Al-Khayyam Mathématicien, Editions Albert Blanchard, París. [6] ROMO SANTOS, C. (1997), “La aritmética árabe durante la Edad Media. Antiguos problemas aritméticos árabes”, en Tarbiya, nº 15, págs. 57-64. [7] SAMSÓ, J. (1971), “En torno al Arquímedes árabe: el testimonio de al-Biruni”, en Al-Andalus, vol. XXXVI, págs. 383-390. [8] SÁNCHEZ PÉREZ, J. A. (1921), Biografías de matemáticos árabes que florecieron en España, Estanislao Maestre, impr., Madrid. [9] SESIANO, J. (1990), “Rhetorische Algebra in der arabiscsh-islamischen Welt”, en Geschichte der Álgebra, Wissenschaftsverlag, Mannheim. [10] SESIANO, J. (1990), “Aufnahme und Fortführung der arabiscshen Algebra im europäischen Mittelater”, en Geschichte der Álgebra, Wissenschaftsverlag, Mannheim. [11] VAHABZADEH, B. (1997), “al-Khayyam´s conception of ratio and proportionality”, en Arabic Sciencies and Philosophy, vo´lumen 7, págs. 247-263. [12] VERNET GINÉS, J. (1978), La cultura hispanoárabe en Oriente y Occidente, Ariel, Barcelona [13] VERNET GINÉS, J. (1986), “La matemática árabe”, en Historia de la matemática hasta el siglo XVII, Real Academia de Ciencias Exactas. Físicas y Naturales, Madrid. [14] VERNET, J. y CATALÁ M. A. (1965), “Las obras matemáticas de Maslama de Madrid, en Al-Andalus, vol. XXX, págs. 15-45. [15] VERNET, J. y CATALÁ M. A. (1965), “Un ingeniero árabe del siglo XI: al-Karayi”, en Al-Andalus, vol. XXXV, págs. 69-92. [16] VILLUENDAS, M. V. (1981), “El origen de la trigonometría”, en Historia de la ciencia árabe, Real Academia de Ciencias exactas, físicas y naturales, Madrid. [17] YOUSCHKEVITCH, A. (1976), Les Mathématiques Arabes, Librairie Philosophique J. Vrin, París.

Jueves, 04 de Diciembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

140. Hilbert, David (1862-1943)

23 Enero 1862, Königsberg (Prusia) – 14 Febrero 1943, Göttingen (Alemania). El nombre de Hilbert ocupa un lugar muy especial en el imaginario colectivo de los matemáticos. Sin duda se trata del matemático más famoso del siglo XX, a lo que contribuyeron de manera muy especial su aportación a la configuración de los métodos axiomáticos actuales, sus profundos resultados en álgebra, teoría de números, geometría y teoría de funciones, los celebérrimos “problemas matemáticos” que dejó planteados en 1900, y las venturas y desventuras de sus intentos de resolver la cuestión de los fundamentos de la matemática. En el año de su muerte, se le celebraba como aquel “a quien el mundo consideró durante las últimas décadas como el más grande matemático vivo”. David Hilbert había nacido en Königsberg (hoy Kaliningrado, Rusia), ciudad de la Prusia oriental situada junto al Báltico. Su ciudad natal era célebre por varias razones, entre ellas haber sido el hogar del famosísimo filósofo Kant, haber dado lugar al problema de los siete puentes que estudió Euler, y haber albergado una importante escuela de físicos y matemáticos que crearon hacia 1830 Jacobi y Neumann. Hijo y nieto de jueces, Hilbert pasó en su ciudad natal los primeros 33 años de vida, y dentro de los estrechos límites de esa ciudad tuvo lugar su desarrollo intelectual. Pero el alto nivel que habían alcanzado las matemáticas en Alemania, unido a una afortunada coincidencia con otros grandes matemáticos, permitieron que “los largos años de seguridad en Königsberg” se convirtieran en “un tiempo de maduración continua”. En la Universidad, Hilbert tuvo la fortuna de asistir a las lecciones de Heinrich Weber (1842–1913) sobre funciones elípticas, teoría de números y teoría de invariantes. Weber era un matemático polifacético, que también realizó contribuciones a la física matemática, y que había editado las obras de Riemann. Era además amigo íntimo de Dedekind, con quien publicó en 1882 un célebre trabajo sobre curvas algebraicas, ofreciendo una fundamentación al modo de la teoría de ideales en cuerpos de números, que abría el camino hacia la geometría algebraica del siglo XX. La influencia de Weber, y a través de él la tradición de Gauss, Riemann y Dedekind, sería decisiva para Hilbert. Menos importante debió ser la influencia de Lindemann, quien pese a ser el director de tesis de Hilbert, y haber demostrado la trascendencia de π, no era un matemático de gran talla. Pero lo que sí resultó decisivo fue la amistad con Adolf Hurwitz (1859–1919) y Hermann Minkowski (1864–1909), el primero llegado en 1884 como profesor asistente (Privatdozent), el segundo aún estudiante como Hilbert pero en Bonn, si bien, al haber nacido en Königsberg, pasaba allí las vacaciones. Así nos lo cuenta: Pronto, aunque todavía era estudiante, me vi invitado por Hurwitz a tratar con él de temas científicos, y tuve la fortuna de llegar así a conocer en su presencia, de la manera menos fatigosa y más interesante, los modos de pensar de aquellas dos escuelas que se enfrentaban entonces y que sin embargo se complementaban una a otra tan magníficamente: la escuela geométrica de Klein y la escuela algebraico-analítica de Berlín. Estas interacciones se hicieron más estimulantes aún, dado que también el genial H. Minkowski, de quien yo ya era amigo …, se unió a nuestro círculo. En innumerables paseos, que por momentos continuaban día tras día, tuvimos ocasión a lo largo de ocho años de repasar todos los rincones del saber matemático, y Hurwitz, con sus conocimientos tan extensos y polifacéticos como firmes y bien ordenados, nos servía siempre como guía. Hurwitz había estudiado en Berlín, logrando dominar no sólo los métodos de Weierstrass, sino también las algo oscuras ideas de Kronecker, pero sobre todo había sido discípulo de Felix Klein, quien pretendía tomar el relevo de Riemann, duramente criticado por los berlineses. Hay que notar que las ideas de Riemann “no eran todavía, como hoy, bien común, y su conocimiento implicaba en cierto modo situarse en una clase superior de matemáticos”. El contraste entre ambos estilos matemáticos enseñó a Hilbert lecciones fundamentales para su futura carrera, si bien él se comprometió siempre con el enfoque más moderno y abstracto: el de Riemann, Dedekind y Cantor. En 1886 Hilbert se convirtió en Privatdozent, dedicándose a publicar en el campo de la teoría de invariantes. En 1892 fue nombrado profesor extraordinario como sucesor de Hurwitz (ahora en Zurich), y el año siguiente obtuvo por fin el puesto de Professor, equivalente a nuestro catedrático. Pero sólo permanecería en su ciudad natal hasta 1895, momento clave en que Felix Klein logró que fuera nombrado catedrático en la Universidad de Göttingen, donde permanecería el resto de su vida. Por esta época trabajaba sobre teoría de números algebraicos, campo en el que probablemente realizó sus aportaciones más profundas. Como vemos, una ojeada superficial a la actividad matemática de Hilbert en estos años clave, de 1886 hasta 1899, podría dar la impresión de un investigador muy bueno, pero muy especializado. Sería quizá difícil prever lo que iba a venir, el ascenso de Hilbert a la cumbre del mundo matemático y la convicción general de que fue uno de los últimos matemáticos universales, que dominó todos los campos de su disciplina. Pero los historiadores han mostrado cómo ya en los años de Königsberg había ido dando cursos sobre todos los campos de la matemática, incluyendo la geometría y la teoría de funciones. Su sólida formación generalista estaba bien avanzada, y también su gran interés por los fundamentos. En 1890, Klein recibía uno de sus artículos sobre teoría de invariantes con el comentario: “no tengo dudas de que es el artículo más importante sobre álgebra general que han publicado los Mathematische Annalen hasta la fecha”. Y el mismo año, le describía en carta al poderosísimo ministro prusiano de educación como la estrella ascendente entre los jóvenes matemáticos alemanes. El hecho de que, en 1893, la DMV [Deutsche Mathematiker Vereinigung] le encargase a Hilbert –junto con el mundialmente reconocido Minkowski– escribir un informe sobre la teoría de números, es buena muestra del alto concepto que se tenía de sus capacidades. Teniendo en cuenta, pues, que la actividad de Hilbert iba más allá de lo que muestran estrictamente sus publicaciones, se puede sin embargo (al modo de Weyl) examinar sus contribuciones escritas dividiéndolas en períodos. Hasta 1893, trabajos sobre formas algebraicas y ante todo invariantes algebraicos; de 1893 a 1899, teoría de números algebraicos, publicando en 1897 el célebre Zahlbericht; entre 1899 y 1903, trabajos sobre fundamentos de la geometría que marcaron el estilo axiomático moderno; entre 1904 y 1912, diversos problemas de análisis: el principio de Dirichlet, cálculo de variaciones, ecuaciones integrales; de 1909 a 1916, problemas de física teórica, incluyendo su concurrencia con Einstein; y por fin, desde 1918, contribuciones a los fundamentos de la matemática. Las primeras contribuciones importantes de Hilbert fueron sobre invariantes algebraicos. Hasta el momento Paul Gordan había establecido, sobre una base algorítmica de complicados cálculos, que existe una base finita para los invariantes y covariantes de las formas binarias. En 1888 Hilbert abordó la cuestión con un enfoque abstracto, conjuntista, estableciendo teoremas de existencia generales a la manera de Dedekind. Pronto logró resolver el caso general para formas de n variables, estableciendo el teorema de la base finita. A la vista de su demostración, Gordan le escribió a Klein que ésta no satisfacía “los más ínfimos requisitos que hacemos a una demostración matemática”. Síntoma de la división profunda que separaba entonces a los constructivistas, como decimos hoy, de los matemáticos de tendencia moderna. Klein debió quedar muy impresionado cuando Hilbert se negó a cambiar una coma en su artículo, diciendo que a falta de una refutación concluyente, aquello era “mi última palabra”. Al resolver problemas centrales de la teoría de invariantes, la obra de Hilbert contribuyó a que ésta perdiera parte del atractivo y la importancia central que había tenido. Él mismo nunca volvió al tema. Algo distinto fue su efecto sobre la teoría de números algebraicos: el encargo que le hizo la DMV dio lugar a un trabajo muy sistemático y profundo, su Informe sobre la teoría de los números algebraicos. Más bien se trataba de una impresionante sistematización de los resultados previos de Dedekind y Kronecker, aumentada por nuevos resultados, especialmente sobre cuerpos de Galois. En artículos publicados los años siguientes (1899, 1902), estas nuevas ideas condujeron a los resultados más originales de Hilbert en este campo, dando inicio a la teoría de cuerpos de clases. El Zahlbericht se convirtió en la obra de referencia para los especialistas por muchos años; tal como esperaba Minkowski, relegó los trabajos de Dedekind y Kronecker a un segundo plano. De todos modos, su exposición no era tan moderna como la del primero, y en los años 1920, precisamente en el Göttingen que lideraba Hilbert, Emmy Noether capitaneó un movimiento de vuelta a Dedekind. Eso sí, la exposición de Hilbert resultaba muy tersa y elegante para los matemáticos de 1900, y sus métodos estaban cuidadosamente elegidos tanto para resolver problemas particulares como para admitir generalizaciones. Era la marca de la casa, de su muy especial estilo de trabajo. A propósito de Noether, hay que mencionar que Hilbert fue un hombre progresista, “singularmente libre de prejuicios nacionales y raciales” como demostró durante las Guerras, y avanzado en cuanto a la integración de la mujer. Cuando su propuesta de habilitar a Emmy Noether como Privatdozent tropezó con una fuerte oposición, y algunos preguntaban cómo una mujer iba a estar en las reuniones de Facultad, se dice que hizo el célebre comentario: “Caballeros, la Facultad no es ningún establecimiento de baños”. En el Zahlbericht, Hilbert enfatizaba que la aritmética había abierto caminos fundamentales en el campo del álgebra y la teoría de funciones, para señalar –con referencias a Dedekind, Weierstrass y Cantor– que “en general, el desarrollo moderno de la matemática pura ha sucedido ante todo bajo el signo del número”. Y acto seguido hablaba también de una “aritmetización de la geometría”, orientada a un desarrollo puramente lógico del tema, a estudiar esa rama de la matemática siguiendo el modelo de la teoría de números en cuanto a rigor y compleción en los fundamentos, y a la introducción directa del número en la geometría. Puede verse aquí la promesa de escribir los célebres Fundamentos de la geometría (1899), que aparecieron con ocasión de una ceremonia en Göttingen de homenaje a Gauss. La obra de Hilbert sobre geometría se convirtió en un modelo para el trabajo con sistemas axiomáticos informales que iba a ser característico de la matemática del siglo XX. Tampoco en este caso se trataba de una novedad absoluta: Hilbert construía sobre las aportaciones previas acerca de geometría proyectiva (von Staudt, Reye, Pasch, H. Wiener, Schur), existían los trabajos de la escuela italiana (Pieri, Veronese) que sin embargo no influyeron en él demasiado, y además es importante tener en cuenta los modelos propiamente aritméticos (especialmente Dedekind) que influyen en su obra. Hilbert presentó un sistema de axiomas que inmediatamente dejaba obsoleto a Euclides, y aritmetizó la geometría por medio de los “cálculos de segmentos” basados en los teoremas fundamentales de Pascal y Desargues. Esto le abría el camino a toda una panoplia de geometrías, incluyendo también geometrías no arquimedianas. Hilbert no sólo propuso la idea de que los axiomas admitían interpretaciones múltiples, sino que desplegó su habilidad matemática manejando un gran número de modelos (muchos puramente aritméticos) que servían para investigar propiedades del sistema de axiomas. En esta época, le interesaban especialmente cuestiones acerca de la independencia entre los axiomas, y los cuerpos teóricos que es posible erigir sobre ciertos grupos de axiomas. Por estas razones su obra serviría como un modelo esencial para la investigación de fundamentos y la práctica axiomática en las décadas siguientes. Página de los Proceedings del ICM de Paris (1900) con la conferencia de Hilbert sobre Problemas Matemáticos. Otro hito fundamental, y una de las razones del aura legendaria que ha tenido Hilbert, fue su conferencia sobre “Problemas matemáticos” en el Congreso Internacional de París, en 1900. Por cierto, no era una conferencia plenaria, aunque con posterioridad haya aparecido como el discurso más influyente de aquel congreso; tampoco parece haber despertado entusiasmo de un modo inmediato. Pero sin duda Hilbert fue muy ambicioso al afrontar el reto de “levantar el velo tras el que se oculta el futuro” de las matemáticas, y estuvo a la altura de la ocasión, con lo que de paso logró influir en ese futuro. En París sólo hubo tiempo para discutir 10 de sus veintitrés problemas: la hipótesis del continuo de Cantor; la cuestión de la consistencia para la aritmética de los reales; la axiomatización de teorías físicas; varios problemas de teoría de números, incluyendo la conjetura de Riemann; una cuestión sobre curvas y superficies definidas por ecuaciones polinómicas; las soluciones analíticas de los problemas regulares en cálculo de variaciones; la existencia de ecuaciones diferenciales ordinarias que correspondan a grupos monodrómicos dados; y una cuestión de Poincaré sobre la parametrización de curvas algebraicas por medio de funciones automorfas. Ahora bien, ya que hemos mencionado el mito Hilbert, conviene analizarlo un poco, y nada mejor que citar a uno de sus discípulos más aventajados, Hermann Weyl: Hilbert imprimió el sello de su espíritu sobre toda una era de las matemáticas. Y sin embargo no creo que baste su investigación para explicar el brillo que irradiaba de él, ni su tremenda influencia. Gauss y Riemann, por mencionar otros dos hombres de Göttingen, fueron matemáticos de más talla que Hilbert, y sin embargo su impacto inmediato sobre sus contemporáneos fue indudablemente menor. No hay duda de que esto se debe en parte a las cambiantes condiciones de los tiempos, pero probablemente fue más determinante el carácter de estos hombres. Hilbert estaba lleno de entusiasmo por la vida, por relacionarse con otra gente, y por disfrutar intercambiando ideas científicas. Tenía su propia y libre manera de aprender y enseñar … a través de conversaciones … en largas caminatas a través de los bosques que rodean Göttingen, o, en los días lluviosos, como peripatéticos, en el paseo cubierto de su jardín. Su optimismo, su pasión espiritual y su fe inquebrantable en el valor de la ciencia eran irresistiblemente contagiosos. Esta pasión y ese optimismo se reflejan también en la florida retórica de sus discursos, por ejemplo en el célebre “wir müssen wissen, wir werden wissen” [debemos saber; llegaremos a saber], o en sus referencias al “paraíso de Cantor”, que de paso demonizaban a figuras como Kronecker o Brouwer. Pero también fue importante el tiempo y el lugar: la pequeña pero poderosa universidad de Göttingen, sobre todo en los “días de gloria” anteriores a 1914, con un impresionante grupo de profesores entre los que descollaban Hilbert y Minkowski, con numerosos discípulos de alto nivel y visitantes extranjeros, todo ello orquestado por ese gran político científico que fue Felix Klein. Fue Klein quien a lo largo de años, ganándose la confianza del poderoso ministro de Educación Althoff, convirtió a Göttingen en el centro matemático más importante del mundo, atrayendo a numerosísimos visitantes. Gracias a él se crearon allí Institutos dedicados a cuestiones de física, matemática aplicada y mecánica, aerodinámica, etc. Weyl lo recuerda así: “Klein reinaba sobre nosotros como un dios distante, ‘divus Felix’, desde arriba de las nubes”. Cuando en 1895 Klein impulsó el nombramiento de Hilbert como catedrático, hubo quien le reprochó que traía a aquel joven para estar cómodo y dominar la situación. Su respuesta fue: “voy a nombrar al más incómodo de todos”; y desde luego hay que reconocer que no tuvo miedo a alguien que le haría sombra. Las excepcionales condiciones que había en Göttingen explican cómo, en 1902, Hilbert hizo algo inaudito en Alemania: rechazar la propuesta de una cátedra en Berlín. En cambio, aprovechó para negociar con el Ministro una plaza para Minkowski en Göttingen, y tras lograrlo exclamó: “ahora somos invencibles”. Volviendo a las etapas investigadoras de Hilbert, la siguiente tiene que ver con diversas cuestiones de análisis, especialmente los trabajos que conducirían al concepto de espacio de Hilbert (introducido por J. von Neumann hacia 1930). El contexto de libre discusión de ideas que existía en Göttingen fue el origen de estos trabajos: en 1901 un visitante sueco expuso en el Seminario Matemático las ideas de Fredholm sobre ecuaciones integrales, que planteaban una analogía con la teoría de ecuaciones lineales. Estas ideas dispararon la productividad de Hilbert en una nueva dirección, absorbiendo su atención hasta 1912. Desarrolló aquella analogía considerando ecuaciones lineales en infinitas incógnitas y varios tipos de formas cuadráticas, dando así un gran impulso al análisis funcional y la teoría espectral. Estas cuestiones se prestaban a múltiples aplicaciones en física matemática, y cabe destacar el tratamiento que dio Hilbert a la teoría cinética de los gases, a la teoría de la radiación, pero también su solución al problema de monodromía para ecuaciones diferenciales lineales que había planteado Riemann. Por estas razones, pero también debido al enorme prestigio de Hilbert y a la productividad de Göttingen, ese círculo de cuestiones del análisis funcional se convirtió en una moda a nivel internacional. Con todo, según la opinión de un experto en el asunto como Weyl, la mayor parte de aquellas contribuciones fueron de valor efímero, y “no fue cuestión de mérito sino un favor de la fortuna” cuando hacia 1923 se descubrió que la teoría espectral en el espacio de Hilbert era la herramienta adecuada para el tratamiento matemático de la física cuántica. Es característico de la completa personalidad de Hilbert que a continuación dedicara su atención a problemas de física teórica. Pero aquí también influye el contexto: las condiciones privilegiadas de Göttingen en estos temas, los largos esfuerzos de Klein por fomentar el trabajo en matemática aplicada, y los intereses de Minkowski. Hilbert impulsó el proyecto de axiomatizar las teorías físicas y desarrolló resultados en física matemática, pero también dedicó su atención a problemas candentes de aquellos años como los del átomo y la relatividad. En este sentido es bien conocido que en 1915 trabajó en competencia amistosa con Einstein sobre los problemas de la teoría de la gravitación relativista. Pero lo cierto es que, contra lo que se ha dicho, no hubo aquí un descubrimiento simultáneo de las ecuaciones de campo einsteinianas: la discusión con Hilbert sirvió de ayuda, pero el logro fue enteramente mérito de Einstein. La última etapa investigadora de Hilbert, ya a una edad avanzada, fue su famosa intervención en la disputa sobre los fundamentos: la formulación del programa de Hilbert, que daba un giro realmente novedoso al tema. Las actitudes de Hilbert sobre los fundamentos evolucionaron desde una preferencia inicial por el logicismo de Dedekind en los años 1890. Tras la primera Guerra Mundial, las críticas a la matemática “clásica” planteadas por Brouwer y Weyl le motivaron a intentar “eliminar de una vez por todas las dudas escépticas sobre las matemáticas”. Sin olvidar nunca el contenido conceptual de las teorías matemáticas ni la importancia de la intuición, Hilbert apostó por resolver el problema de los fundamentos combinando la axiomática con la nueva lógica formal. Esto permitía una formalización completa de las teorías matemáticas conocidas, y el desarrollo de una teoría de la demostración que consideraba las demostraciones como resultado de meras combinaciones de símbolos según reglas formales prescritas. Ahora, bastaba demostrar que ninguna derivación formal, ninguna combinación de símbolos podía conducir a la fórmula 0≠0 y con ello quedaría establecida la consistencia de la teoría formal estudiada. El trabajo sobre este tema en los años 1920 fue esencial para la maduración definitiva de la lógica matemática y para el surgimiento de las teorías de la computación. Fue una obra colectiva, con el gran lógico Paul Bernays como colaborador imprescindible de Hilbert, y con figuras de la talla de von Neumann realizando aportaciones originales. Es bien sabido cómo la genial contribución de Kurt Gödel en 1931 puso fin al proyecto de demostrar la consistencia de la aritmética de Peano por medios finitarios. De todos modos, la aportación del maestro y su entusiasmo lograron mantener el rumbo del gran barco de las matemáticas: pese a que las dudas escépticas nunca fueron exorcizadas del todo, la matemática “clásica” siguió gozando de la mejor salud. Además, no hay que olvidar el poderoso desarrollo de la lógica matemática posterior, ni sus decisivas aplicaciones tecnológicas en el mundo de los ordenadores. Bibliografía L. Corry, David Hilbert and the Axiomatization of Physics (1898–1918), de próxima publicación en Kluwer Academic Press. J. Gray, El reto de Hilbert, Madrid, Crítica, 2003 (incluye traducción de la conferencia de 1900 sobre problemas matemáticos). D. Hilbert, Gesammelte Abhandlungen, 3 vols., Berlin, Springer, 1932, 1933, 1935. - Fundamentos de la geometría, Madrid, CSIC, 1991. (Traducción de la 7ª edición, 1930, por desgracia muy defectuosa en el caso de los apéndices.) - The theory of algebraic number fields, Springer-Verlag, Berlin, 1998 (traduc. de I. T. Adamson, introducción de F. Lemmermeyer and N. Schappacher). M. F. Rañada, David Hilbert, Hermann Minkowski, la axiomatización de la física y el problema número seis, La Gaceta de la RSME 6 (2003), nº 3. C. Reid, Hilbert, New York, Springer, 1970. D. E. Rowe, Klein, Hilbert, and the Göttingen mathematical tradition, Osiris 5 (1989), 186–213. W. Sieg, Hilbert’s Program Sixty Years Later, The Journal of Symbolic Logic 53 (1988), 338–348. H. Weyl, Obituary: David Hilbert & David Hilbert and his mathematical work, en Collected works, vol. 4 (nos. 131 y 132), 121–172.

Jueves, 27 de Noviembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico