Jayyam, Omar (~1048-1131) - Página 2 |
Escrito por Ricardo Moreno (Universidad Complutense de Madrid) | ||||||
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LEMA 1: Dados dos segmentos a y b, encontrar otros dos x e y tales que:
Jayyam resuelve este problema igual que Menecmo, cortando dos parábolas. LEMA 2: Sean dos paralelepípedos de bases cuadradas de lados a y b. La altura del primero es h. Queremos calcular la altura del segundo (lo cual significa fabricar un segmento igual a dicha altura) para que ambos tengan idéntico volumen (figura 1). La proposición 11 del libro VI de los Elementos de Euclides permite dibujar un segmento de longitud m tal que a/b=b/m. Con la proposición 12 del mismo libro construimos un segmento k cuarto proporcional de m, a y h, esto es, tal que m/a=h/k. Este segmento es la altura buscada. En efecto, por la proposición 34 del libro XI: Volumen del primero = a2h = a(ah) = a(mk) = (am)k = b2k = Volumen del segundo
LEMA 3: Conocemos ahora la altura del segundo paralelepípedo y queremos saber el lado de su base. Buscamos un segmento m cuarta proporcional de las tres longitudes conocidas k/n=a/m: Mediante la proposición 13 del libro VI fabricamos otro segmento b media proporcional entre a y m: a/b=b/m. La misma cadena de igualdades utilizada más arriba demuestra que este segmento es el lado buscado. 1. Ecuación x3=c. Según el lema 1 podemos encontrar dos segmentos x e y tales que 1/x=x/y=y/c. Ahora bien, según la primera igualdad, x2=y. Entonces: De aquí se deduce que x3=c. El segmento x es solución de la ecuación. Ecuación x3+bx=c. Dibujamos un cuadrado de lado √b (proposición 13 del libro VI de los Elementos) y sobre él, por el lema 2, un paralelepípedo de altura h y volumen c. Construimos ahora una parábola de vértice O y lado recto OA=√b, y un círculo de diámetro OH=h y tangente al eje de la parábola en su vértice (ver figura 2).
Ambas curvas se cortan en O y en otro punto P. En adelante nos fijaremos en los segmentos OX=x y OY=y que el punto de encuentro de las cónicas proyecta sobre rectas relacionadas con ellas (en este caso, el eje de la parábola y el diámetro de la circunferencia perpendicular a él). Por la proposición 33 del libro III y el corolario de la proposición 8 del libro VI de los Elementos, los triángulos rojo y verde son semejantes: Y por ser P un punto de la parábola: Combinamos las do proporciones y tenemos lo siguiente: de donde se deduce que OX3=OA2HX. El segmento OX=x es la solución: x3+bx = OX3+OA2OX = OA2HX+OA2OX = OA2(OX+HX) = OA2OH = bh = c
Ecuación x3+cx=bx. Los segmentos OA y OH y la parábola son los de antes. Tangente en O a su eje, dibujamos una hipérbola de lado recto OH (figura 3).
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