Tartaglia, Nicolás Fontana (ca.1499-1557) |
Escrito por Vicente Meavilla Seguí (Universidad de Zaragoza) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. Algunos datos biográficos y científicos 1499-1500. Nicolás Fontana nació en Brescia (Italia). 1512. Durante la toma de Brescia por el ejército francés, al mando de Gaston de Foix, murió el padre de Nicolás y éste recibió una cuchillada que le afectó la mandíbula y el paladar.
Esta herida le ocasionó una especie de tartamudez, que le valió el apodo de “Tartaglia” [= tartamudo]. Nicolás aprendió a leer y a escribir por sí mismo y también fue autodidacta en su aprendizaje de las ciencias físicas y matemáticas. 1516-1518. Se trasladó a Verona donde enseñó Matemáticas. 1534. Se instaló en Venecia donde impartió clases de Matemáticas en la escuela parroquial de San Zanipolo y se relacionó con los artilleros venecianos. 1535. Tartaglia fue retado por Antonio María Fior, discípulo de Scipione del Ferro (1465-1526), a un torneo matemático en el que cada contendiente debía resolver treinta problemas propuestos por su adversario. Nicolás presentó una colección de cuestiones variadas sobre aritmética, geometría y álgebra. Por su parte, Antonio María propuso una serie de problemas con un denominador común: todos se podían resolver mediante una ecuación cúbica del tipo x3 + px = q (p > 0 , q > 0). El perdedor se comprometía a pagar una comida para un número de comensales igual al de cuestiones resueltas por el ganador. 1537. Se publicó el tratado Nova scientia inventa (Venecia) consagrado a la balística. En él, Tartaglia sostuvo que la trayectoria de un proyectil lanzado por un cañón se componía de tres tramos: el primero, rectilíneo e inclinado; el segundo, curvilíneo [= un arco de circunferencia]; el tercero, rectilíneo y vertical.
1539. Gerónimo Cardano (1501-1576), famoso médico, astrólogo, filósofo y matemático, residente en Milán, se enteró del descubrimiento de Tartaglia relativo a la ecuación x3 + px = q, y quiso incluirlo en su obra Practica Arithmetica Generalis que estaba terminando.
Cardano propuso al librero Zuan Antonio da Bassano, amigo de ambos, que visitase a Tartaglia para que le facilitase el método de resolución. Este encuentro tuvo lugar el 2 de enero y la respuesta de Tartaglia fue negativa.
Cardano juró por los Santos Evangelios que no haría públicos los descubrimientos de Nicolás. 1542. Cardano y su discípulo Ludovico Ferrari (1522-1565) viajaron a Bolonia y obtuvieron permiso de Aníbal de la Nave, yerno de Scipione del Ferro, para consultar los documentos científicos que éste había heredado de su suegro. Entre ellos encontraron la resolución de la ecuación x3 + px = q que precedía a la de Tartaglia en veinte años. Esta fue la regla que, tres años más tarde, Cardano incluyó en su Artis Magnae, Sive de Regulis Algebraicis [= Ars Magna]. 1545. Se imprimió el Ars Magna. En el capítulo XI de esta obra [Cubo y primera potencia iguales a número], se ofrece la resolución de la cúbica x3 + px = q y se atribuye la paternidad de la regla a Scipione del Ferro de Bolonia. No obstante, Cardano señala que, en su disputa con Antonio María Fior, Tartaglia la (re)descubrió. 1546. Se editaron las Quesiti et inventioni diverse, escritas en forma de diálogo y dedicadas a la ingeniería y al arte militar. En esta obra Tartaglia rectificó la teoría propuesta en Nova scientia inventa y consideró que la trayectoria de un proyectil lanzado por un cañón es totalmente curvilínea. 1547. El 10 de febrero Tartaglia recibió respuesta a sus quejas por parte de Ludovico Ferrari. Se inició así una sucesión de réplicas y contrarréplicas, los famosos cartelli y risposti. Ferrari escribió seis y Tartaglia otros seis. En el último de ellos, fechado el 24 de julio de 1548, Tartaglia aceptaba las condiciones de un duelo matemático con Ferrari que empezó y acabó el 10 de agosto de 1548 con la victoria del discípulo de Cardano. 1551. Se publicó La travagliata inventione (Venecia), manual en el que se tratan asuntos tan diversos como la recuperación de barcos hundidos, la predicción del tiempo, etc. 1556. Se editaron las dos primeras partes del General trattato de numeri et misure, dividido en seis. Las cuatro siguientes se publicaron en 1560 y la sexta fue escrita por un “docto matemático” que utilizó material del “tartamudo” de Brescia.
La sexta parte se consagra al álgebra, pero su contenido no va más allá de las ecuaciones de segundo grado. A la parte teórica sigue una colección de problemas mercantiles y geométricos resolubles por ecuaciones lineales o cuadráticas.
1557. Nicolás Fontana murió en Venecia el 13 de diciembre.
En sus investigaciones de carácter algebraico, los matemáticos del Renacimiento italiano no utilizaron un simbolismo como el actual. Para representar la incógnita, sus potencias y los signos de las operaciones elementales hicieron uso de algunos caracteres [los caracteres cósicos] y abreviaturas. Para ilustrar el lenguaje del que se sirvió Tartaglia en sus trabajos algebraicos presentamos dos textos (uno de Quesiti et inventioni diverse y otro que se incluye en la respuesta de Nicolás al segundo cartello de Ludovico Ferrari. TEXTO 1 M.A. Una figura rómbica, cuyos lados miden 10 pies, tiene un área de 72 pies superficiales. Pregunto, ¿Cuál es la razón del diámetro [diagonal] mayor al diámetro [diagonal] menor? N. No me parece un problema muy difícil, dado que, dividiendo el rombo en dos triángulos, cada uno de ellos tendrá un área de 36. Para saber cuál es la base de cada uno pongo que dicha base es una cosa. Luego, calculo la perpendicular [altura] y encuentro que es igual a R. universal de 100 men. 1/4 de censo. De modo similar calculo el área, que es igual a R. universal de 25 censos men. 1/16 de censo de censo. Esto debe ser igual a 36. Elevo al cuadrado los dos términos y resulta 1296 igual a 25 censos men. 1/16 censo de censo. Quito los quebrados, restauro las partes y encuentro que el valor de la cosa es R. universal de 200 más [Tartaglia escribe piu] R. 19264. Esto será el diámetro mayor del rombo. El diámetro menor será R. V. 200 men. R. 19264. Quesiti et inventioni diverse, libro IX, quesito XIII COMENTARIO
Teniendo en cuenta la tabla anterior, los cálculos de Tartaglia se puede traducir del modo siguiente:
Encuentro que 27 cu.cu más 36 primeros relatos más 54 segundos relatos más 8 cubos iguales a 1000. Pregunto si esta ecuación (y otras similares) es resoluble por fórmula general y, en caso afirmativo, cuánto vale la cosa. COMENTARIO
La ecuación presentada por Tartaglia se convierte en: 27x9 + 36x5 + 54x7 + 8x3 = 1000, si se atiende a la información contenida en el cuadro anterior. 3. La resolución algebraica de la ecuación cúbica: tragicomedia en cuatro actos Primer acto: los dos problemas de Zuanne de Tonini da Coi Si atendemos al testimonio de Tartaglia, contenido en el diálogo mantenido con Zuanne de Tonini da Coi (Quesiti et inventioni diverse, libro IX, quesito XIV), en 1530 o antes Nicolás ya conocía una regla general para la resolución de la cúbica x3 + px2 = q (p, q > 0). Sin embargo, por aquel entonces Tartaglia desconocía el procedimiento para resolver cúbicas del tipo x3 = px + q.
Segundo acto: El desafío entre Antonio María Fior y Nicolás Tartaglia Parece ser que la primera persona que resolvió algebraicamente la ecuación de tercer grado x3 + px = q (p > 0, q > 0) fue Scipione del Ferro, profesor de la Universidad de Bolonia. Según Tartaglia (Quesiti et inventione diversi, libro IX, quesito XXV) lo hizo en 1506 y según Cardano (Ars Magna, capítulo XI) en 1515. Scipione nunca publicó su solución pero la dio a conocer a un reducido grupo de amigos entre los que se encontraba su discípulo Antonio María Fior. El año 1535, Tartaglia fue retado por Antonio María a un torneo matemático en el que cada contendiente debía resolver treinta problemas propuestos por su adversario. Nicolás presentó una colección de cuestiones sobre aritmética, geometría y álgebra (sólo han llegado hasta nosotros cuatro de ellas). Por su parte, Fior propuso una serie de problemas que se podían resolver mediante una cúbica del tipo x3 + px = q (p > 0 , q > 0) Tartaglia resolvió los treinta problemas y ganó el desafío.
Tercer acto: Tercetos de tercer grado Gerónimo Cardano se enteró del descubrimiento de Tartaglia relativo a la resolución de la cúbica x3 + px = q, y quiso incluirlo en su obra Practica Arithmetica Generalis que estaba a punto de terminar. Cardano propuso al librero Zuan Antonio da Bassano, amigo de ambos, que visitase a Tartaglia con la esperanza de que le facilitase la regla general. Este encuentro tuvo lugar el 2 de enero de 1539 (Quesiti et inventioni diverse, libro IX, quesito XXXI). Tartaglia respondió en los siguientes términos: Decidle a su excelencia que cuando quiera publicar mis descubrimientos lo haré en alguna de mis obras y no en las de otros. Ante esta negativa, el emisario, siguiendo instrucciones de Cardano, solicitó a Nicolás que le facilitase las treinta cuestiones que le había propuesto Fior junto con sus resoluciones. Tartaglia accedió a la primera petición pero no a la segunda, dado que: Una vez que él [Cardano] tuviese uno de dichos problemas con su solución entendería rápidamente la regla que he descubierto con la que podría encontrar muchas otras reglas relativas a tal materia. Esta nueva negativa no desanimó a Zuan Antonio que, de inmediato, presentó a Tartaglia los siete problemas siguientes con la intención de que le facilitase sus métodos de resolución.
Nicolás no cayó en la trampa y, por consiguiente, no resolvió los problemas. Así acabó la entrevista entre Zuan Antonio da Bassano y Tartaglia. El 12 de febrero Cardano escribió una carta a Tartaglia en la que reiteraba su petición, pero éste permaneció firme en su decisión de no comunicar su fórmula aunque accedió a resolver dos problemas propuestos por Cardano.
El 13 de marzo Cardano mandó una nueva carta a Tartaglia en la que le invitaba a su casa de Milán, prometiendo que le pondría en contacto con Alfonso de Ávalos, gobernador del Milanesado. Nicolás aceptó con la esperanza de presentar al gobernador sus recientes investigaciones en el campo de la artillería. La reunión se celebró el 25 de marzo de 1539. Esta vez Gerónimo logró su objetivo y Tartaglia le reveló sus métodos para resolver las cúbicas (i) x3 + px = q , (ii) x3 + q = px , (iii) x3 = px + q (p , q > 0). Para ello, se sirvió de unos tercetos que se han hecho famosos en la historia de las Matemáticas. Cardano juró por los Santos Evangelios que no haría públicos los descubrimientos de Nicolás. Presentamos la adaptación al castellano de los tres primeros tercetos [regla para la ecuación del tipo (i)] y su traducción al simbolismo algebraico moderno.
Desconocemos la forma en que Tartaglia descubrió esta regla, pero bien pudo ser del modo siguiente. Se sabe que: De donde: Entonces: Si se compara la identidad anterior con la ecuación x3 + px = q que se quiere resolver, resulta que: En consecuencia, la regla de Tartaglia es correcta. Sólo queda obtener la expresión de x en función de p y q. Entonces, dado que la ecuación x3 + px = q tiene una única solución real positiva, se tiene que: Por tanto: Dicha expresión se conoce como fórmula de Tartaglia-Cardano. Cuarto acto: la controversia Tartaglia-Cardano-Ferrari Durante el intervalo comprendido entre marzo de 1539 hasta 1545, Nicolás y Gerónimo se dedicaron principalmente a traducir a Euclides y Arquímedes (Tartaglia) y a preparar la edición de Artis Magnae Sive de Regulis Algebraicis (Cardano). OPERA ARCHIMEDIS SYRACVSANI PHILOSOPHI En 1542, atendiendo al testimonio de Ludovico Ferrari (Cartello II), Cardano y Ferrari se desplazaron a Bolonia para visitar a Aníbal de la Nave, yerno de Scipione del Ferro. Allí consultaron los documentos que Aníbal había heredado de su suegro y encontraron la resolución de la ecuación x3 + px = q debida a Scipione. Este procedimiento era anterior al de Tartaglia en unos veinte años y fue el que, según Ferrari, Cardano incluyó en su Ars Magna (Nuremberg, 1545). En el capítulo XI de dicha obra, Gerónimo se expresaba en los siguientes términos: Scipione del Ferro, de Bolonia, hace treinta años que descubrió esta regla y la comunicó a Antonio María Fior de Venecia, cuyo desafío con Nicolás Tartaglia de Brescia dio a Nicolás la oportunidad de descubrirla. Él me la dio sin la demostración. Con esta ayuda busqué la demostración de varias formas. Fue muy difícil. Mi versión es la siguiente. Ante este hecho Tartaglia consideró que Cardano había faltado a su juramento y le acusó, entre otras cosas, de traidor. Cardano no contestó a las provocaciones de Tartaglia, pero el 10 de febrero de 1547 su discípulo Ferrari retó a Nicolás a un desafío público sobre Geometría, Aritmética y todas las disciplinas que de ellas dependen como Astrología, Música, Cosmografía, Perspectiva, Arquitectura y otras. Para ello utilizó un panfleto de cuatro páginas de contenido y cuatro páginas de nombres de matemáticos y personajes ilustres (cincuenta en total, entre los que figuraba Aníbal de la Nave) de varias ciudades italianas (Roma, Venecia, Milán, Florencia, Ferrara, Bolonia, Salerno, Padua, Pavía, Pisa y Verona) a los que mandó copia del documento. Ferrari proponía una garantía de 200 escudos y un plazo de treinta días para que Tartaglia diese respuesta a su escrito. Nicolás respondió a Ludovico nueve días después. Seis páginas con las firmas de tres testigos y una postdata en la que comunicaba que había hecho mil copias de su escrito para distribuirlas por toda Italia. En su respuesta, Tartaglia ponía de manifiesto que no quería enfrentarse a él, sino a su maestro. Se iniciaba así una acalorada disputa a lo largo de la cual se sucedieron seis cartelli y seis risposti ordenados cronológicamente en el cuadro siguiente:
En su segundo cartel de once páginas escritas en latín, Ferrari comentaba el descubrimiento de la regla para la cúbica x3 + px = q por Scipione del Ferro. En su segunda respuesta, Tartaglia proclamaba que había descubierto dicha regla de forma autónoma, aunque no descartaba la posibilidad de que otros la hubiesen podido encontrar con anterioridad o que algunos pudieran descubrirla más adelante de forma independiente. Defendiéndose de las acusaciones de haber plagiado la obra de Jordanus de Nemore, Nicolás se expresaba así: A esto respondo que, en este caso, basta con que consideréis que hice las demostraciones, y las demostraciones (como debéis saber) son de mayor consideración, doctrina, ciencia y dificultad que las proposiciones. Porque cualquier proposición matemática sin su demostración no tiene ningún valor para los matemáticos. Proponer algo es fácil. Cualquier ignorante puede formar una proposición, pero no es capaz de demostrarla.
Dado que Tartaglia defendía como formato del duelo una lista de cuestiones que debían ser resueltas en un tiempo determinado, al final de su segunda respuesta propuso una colección de treinta y un problemas.
Ferrari respondió en su tercer cartel con treinta y un problemas más.
Nicolás los resolvió (tercera respuesta) y se creyó vencedor.
En el quinto cartel, Ferrari respondió a las cuestiones de Tartaglia y declaró que sólo cinco de las respuestas de Nicolás eran correctas. Por fin, en su sexta respuesta, Tartaglia aceptó el desafío público. Éste tuvo lugar en Milán el 10 de agosto de 1548. En un ambiente muy hostil, en palabras de Nicolás, se desarrolló la primera sesión del duelo a la que no acudió Cardano. Esta hostilidad fue la causa de que Tartaglia, creyendo que su integridad física estaba en peligro, no asistiese a la sesión del día siguiente y, por consiguiente, perdiera el desafío. De este modo concluía uno de los episodios más bochornosos de la historia del álgebra.
4. Tartaglia y la matemática recreativa Para acabar esta breve biografía del “tartamudo” de Brescia, presentamos dos recreaciones matemáticas contenidas en el General trattato de numeri et misure. Blancas y negras, turcos y cristianos (…) Se quieren colocar 30 fichas sobre un tablero, 15 blancas y 15 negras, de modo que ordenándolas y contando adecuadamente se quiten todas las negras sin quitar ninguna blanca. De otro modo: en una barca hay 15 cristianos y 15 turcos. Como hay exceso de carga, el número de tripulantes se debe reducir a la mitad. Se trata de colocarlos de modo que, contándolos adecuadamente, se queden todos los cristianos y salgan los turcos. Pregunto, ¿cómo debe hacerse? Para obtener la solución del problema, Tartaglia recurre, entre otras, a la siguiente regla mnemotécnica: En el verso Ecce amata federe amaram fecere araneam meam asigna a la vocales a, e, i, o , u los valores 1, 2, 3, 4 y 5, respectivamente. Entonces, la sucesión de vocales ee aaa eee aaa eee aaea ea, obtenida a partir del verso, se transforma en la sucesión numérica 22 111 222 111 222 1121 21 que admite la siguiente traducción. CCTTCTCTTCCTTCTCTTCCTTCTCCTCCT siendo C [= cristiano] y T [= turco]. Contando de izquierda a derecha y de tres en tres, se consigue eliminar a todos los turcos sin que se elimine a cristiano alguno. Un problema de trasvases El problema propuesto por Tartaglia, cuyo enunciado no es “políticamente correcto”, equivale al siguiente: Una vasija llena contiene 8 onzas de bálsamo. ¿Cómo pueden dividirse las 8 onzas en dos partes iguales utilizando dos vasijas de 3 y 5 onzas, respectivamente? Esquematizamos la solución de Nicolás en el cuadro siguiente:
Referencias bibliográficas
Referencias on-line
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