121. 81. (Marzo 2011) Un Penney por tu jugada

Una de las frases que un mago escucha más a menudo es "¡Eres mago!, no me apostaría nada contigo." Esto significa que existe la creencia de que los magos conocen técnicas con las que tienen ventaja en los juegos de azar o bien son capaces de hacer trampas indetectables para públicos profanos. Casi nadie sospecha que los magos pueden utilizar en su provecho, de forma más o menos disimulada, las propiedades matemáticas que se esconden en algunos juegos de azar. Uno de estos juegos, sin aparente ventaja para ninguno de los participantes, es el que comentaremos en esta entrega. El llamado juego de Penney, cuyo nombre se debe al matemático Walter Penney (quien lo planteó en forma de problema el año 1969 en la revista Journal of Recreational Mathematics), consiste en lo siguiente: Dos jugadores seleccionan una sucesión de resultados, de tamaño prefijado, de lanzamientos de una moneda. Digamos que, al iniciar el juego, ambos jugadores acuerdan que la longitud de la sucesión sea tres y que el jugador A elige la sucesión CCX y el jugador B elige la sucesión XCC (donde "C" representa cara y "X" representa cruz). A continuación, se lanza sucesivas veces una moneda y se anotan los resultados en el orden en que aparecen. Gana el jugador cuya sucesión sea la primera en salir en el orden elegido y de forma consecutiva. Por ejemplo, si los resultados del lanzamiento de la moneda son CXCXCC, ganará el jugador B porque los tres últimos términos de la sucesión son XCC, que es su combinación elegida y aún no ha aparecido la sucesión CCX. Lo curioso del juego es que no existe una jugada que gane a todas las demás. Por lo tanto, sea cual sea la jugada elegida por el primer jugador, el segundo jugador puede elegir otra jugada mejor. Así pues, si se juega una nueva partida y el jugador A elige la sucesión que había elegido previamente el jugador B, éste puede elegir otra sucesión con más probabilidades de éxito. Esta propiedad de no-transitividad, poco común en los juegos de azar, ya la comentamos en otro artículo de esta sección (matemagia 45: todos ganan a todos) y aquí vamos a explicar la estrategia ganadora para este juego. Para el caso más común de sucesiones de longitud tres, las ocho posibles elecciones de cada jugador junto con las probabilidades de que gane el jugador B se detallan en el siguiente cuadro: B A CCC CCX CXC XCC CXX XCX XXC XXX CCC 1/2 2/5 1/8 2/5 5/12 3/10 1/2 CCX 1/2 2/3 1/4 2/3 5/8 1/2 7/10 CXC 3/5 1/3 1/2 1/2 1/2 3/8 7/12 XCC 7/8 3/4 1/2 1/2 1/2 1/3 3/5 CXX 3/5 1/3 1/2 1/2 1/2 3/4 7/8 XCX 7/12 3/8 1/2 1/2 1/2 1/3 3/5 XXC 7/10 1/2 5/8 2/3 1/4 2/3 1/2 XXX 1/2 3/10 5/12 2/5 1/8 2/5 1/2 De lo anterior se deduce que la mejor elección del jugador B será la que corresponde al mayor valor en cada columna (sombreado en la tabla anterior). En la tabla siguiente se muestran dichas jugadas: cada elección del jugador A (primera columna), admite una jugada mejor del jugador B (segunda columna) con probabilidad de ganar indicada en la tercera columna. Primer jugador Segundo jugador Comparativa de ganancias a favor del segundo CCC CCX CXC XCC CXX XCX XXC XXX XCC XCC CCX XXC CCX XXC CXX CXX 7 a 1 3 a 1 2 a 1 2 a 1 2 a 1 2 a 1 3 a 1 7 a 1 Una manera sencilla de recordar cuál es la secuencia que debe seleccionar el segundo jugador es la siguiente: el primer símbolo será el valor opuesto al segundo símbolo elegido por el primer jugador; los dos últimos valores serán los dos primeros valores, en el mismo orden, de la secuencia elegida por el primer jugador (subrayados en la tabla anterior). No es difícil interpretar los valores de la tabla anterior. Por ejemplo, en la primera fila, el primer jugador sólo ganará cuando los tres primeros resultados del lanzamiento de la moneda sean CARA-CARA-CARA. Si sale CRUZ en cualquiera de los tres primeros lanzamientos, el primer jugador no ganará: antes de salir tres caras habrán salido dos y, junto a la cruz anterior, la secuencia ganadora será XCC. Una interesante variación del juego, apropiada para demostrar las habilidades precognitivas del mago, es la propuesta por Steve Humble y Yutaka Nishiyama y consiste en sustituir la moneda por una baraja de cartas y cambiar los resultados cara o cruz por roja o negra. Una posible presentación del experimento sería la siguiente. MARCHA DEL JUEGO Entrega una baraja de cartas a un espectador para que la mezcle y la deje sobre la mesa, caras abajo. La baraja debe ser francesa, porque nos fijaremos en los colores de las cartas. Pide al espectador que anote en una hoja de papel una secuencia de colores formada por tres valores, a su elección. Supongamos que elige la secuencia roja-negra-negra. Escribe tú en otra hoja otra secuencia de colores. En nuestro ejemplo, escribirás roja-roja-negra (siguiendo las instrucciones que hemos descrito al principio). Explica ahora que irás mostrando las cartas, en el orden que han quedado después de la mezcla, anotando sus colores, hasta que aparezca alguna de las secuencias elegidas previamente. Cada vez que aparezca una de las secuencias, se retiran las cartas utilizadas y se empieza de nuevo, es decir se van girando cara arriba una a una las cartas siguientes y se anotan sus colores hasta que vuelva a aparecer una de las secuencias elegidas. La partida termina cuando se hayan utilizado las 52 cartas de la baraja. Ganará quien haya conseguido que su secuencia aparezca más veces. En promedio, cada partida tendrá alrededor de siete resultados y, debido a la ventaja que ofrece el conocer de antemano la "apuesta" del espectador, es muy probable que ganes siempre. La tabla siguiente muestra las probabilidades de ganancia de cada jugador. Primer jugador Segundo jugador Probabilidad de que gane el primer jugador Probabilidad de que gane el segundo jugador NNN NNR NRN RNN NRR RNR RRN RRR RNN RNN NNR RRN NNR RRN NRR NRR 0,11% 2,62% 11,61% 5,18% 5,18% 11,61% 2,62% 0,11% 99,49% 93,54% 80,11% 88,29% 88,29% 80,11% 93,54% 99,49% Comentarios finales La naturaleza poco intuitiva de esta propiedad puede conducirnos a paradojas, como la siguiente: Supongamos que participan en el juego cuatro jugadores. Digamos que A elige la secuencia XXC; el jugador B, que conoce la estrategia, elige la secuencia CXX; el jugador C, para ganar a B, elige la secuencia CCX; por último, el jugador D tendrá que elegir la secuencia XCC. Esto alegra al jugador A pues observa que su jugada es mejor que la del jugador D, la cual era mejor que la del jugador C, y así sucesivamente. ¿Quién ganará la partida? Un programa de ordenador que realiza simulaciones del juego se puede encontrar en la página web http://www.haverford.edu/math/cgreene/390b-00/software/CoinFlip.html El siguiente video http://www.youtube.com/watch?v=IMsa-qBlPIE muestra al mago Brian Brushwood realizar el juego en público. Como no podía ser de otra manera, este y otros ejemplos de fenómenos no transitivos han sido objeto de estudio por Martin Gardner en su libro "Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas", donde recopila artículos aparecidos en la revista "Scientific American". No dejes de consultar en el libro citado el sorprendente algoritmo que inventó John Conway para determinar las probabilidades de ganar el juego según las diferentes elecciones de cada jugador. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Martes, 01 de Marzo de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

122. 80. (Febrero 2011) Transmisión telepática

¿Crees en la percepción extrasensorial? ¿Tienes desarrolladas tus capacidades mentales? ¿Conoces alguien con habilidades telequinésicas, o telepáticas, o precognitivas? Si es así, has llegado al lugar equivocado. En este rincón sólo creemos en el poder de las matemáticas para simular todas esas habilidades, sólo alcanzamos a utilizar principios matemáticos que explican fenómenos paranormales. Tanto si crees o no en la parapsicología, te invitamos a participar en este experimento. Esta será la primera vez que harán falta dos personas para realizarlo y ambas deben conocer las claves de transmisión telepática que se producirá durante el juego. Así que busca alguien que aprenda el juego contigo. Uno de los dos hará el papel de médium (transmisor de información telepática) y el otro de vidente (receptor de dicha información). ¡Ah!, se me olvidaba: este juego aparece también en la sección MATHEMAGIC de la revista electrónica Computer Science for Fun, que ya citábamos en la entrega anterior de este rincón. En primer lugar describiré la marcha del juego, como la tiene que ver un espectador que no conoce el secreto, y después explicaré el método de transmisión que debéis aprender para realizarlo. MARCHA DEL JUEGO Con el vidente vuelto de espaldas o retirado a otra habitación, el médium entrega una baraja a un espectador para que la mezcle. Con las cartas en la mano, el espectador forma sobre la mesa un rectángulo de cartas, colocando cartas caras arriba o caras abajo, a su antojo. Por ejemplo, una disposición posible sería la siguiente: Para complicar aún más el cuadro, el médium añade cartas, también algunas cara arriba y otras cara abajo, formando un rectángulo de mayor tamaño. A continuación, un segundo espectador selecciona libremente una de las cartas del cuadrado, la invierte y la vuelve a colocar en su lugar (si estaba cara arriba la deja cara abajo y viceversa). En este momento, se llama al vidente para que observe la distribución resultante. Mientras lo hace, el médium trata de transmitirle mentalmente el lugar de la carta invertida. Un momento después, el vidente encuentra dicha carta. Si quieres pensar en la solución, adelante. Posiblemente la encuentres entre las técnicas de corrección de errores que posee la teoría de códigos, esa especialidad matemática actualmente tan importante en los procesos de transmisión de información. Tanto si encuentras la solución como si no, te ofrezco una explicación en la siguiente página: EXPLICACIÓN Como comprenderás, el secreto está en las cartas que el médium coloca para aparentemente complicar el cuadro dibujado por el espectador. En realidad, lo que hace es añadir "cartas de control" que dan información sobre el número de cartas cara arriba y cara abajo que hay en cada fila y columna a la vez que detectan si se produce alguna alteración de dicha disposición. Así pues, el médium tendrá que añadir una fila y columna al cuadrado original. Explicaremos el método a partir del ejemplo mostrado en la descripción del juego: Mira la primera fila y cuenta el número de cartas cara arriba: si es par, coloca a la derecha una carta cara abajo; si es impar, coloca una carta cara arriba. La primera fila quedará entonces así: Repite la operación con las demás filas. La disposición quedaría como la siguiente: Por último, realiza la misma operación con las columnas. Debajo de cada una de ellas coloca una carta cara arriba o cara abajo, según que el número de cartas cara arriba sea impar o par, respectivamente. La disposición final es ahora: Esta técnica está basada en la aritmética binaria: si representamos las cartas cara arriba por el número "1" y las cartas cara abajo por el número "0", cada carta de control hace que la suma (en realidad a la última cifra de la suma) de las cartas de cada fila y cada columna sea cero, lo que significa que el número de unos en cada fila y columna será par. Veamos cuál sería la disposición de estas cartas haciendo la equivalencia descrita: 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 Así pues, cuando un espectador vuelve una de las cartas, altera la paridad del rectángulo de cartas y dicha alteración afecta a la fila y a la columna que contienen dicha carta. Cuando el vidente se vuelve cara al público, comprobará cuál de las filas y columnas no verifica la propiedad anterior. La carta que ocupe dicha fila y columna será la que el espectador ha alterado. En resumen, el trabajo de transmisión del médium se limita a completar el cuadro de cartas para conseguir la paridad de todas las filas y columnas. El trabajo de recepción del vidente se reduce a averiguar qué fila y qué columna no cumplen la regla de paridad. Si queréis dar la impresión de poder mental, la colocación de las cartas por parte del médium debe ser aparentemente aleatoria, sin notarse que está realizando algún cálculo. Del mismo modo, el vidente debe dar la impresión de concentración mental, sin dar importancia aparente al cuadro de cartas que está viendo. Una posible presentación alternativa consiste en realizar el juego una sola persona: después de completar el cuadro con las reglas descritas, el mago se vuelve de espaldas y pide a un espectador que invierta la posición de una de las cartas y la vuelva a colocar en su lugar. Cuando el mago se vuelve de cara, podrá simular dotes de percepción extrasensorial y adivinar la carta que se ha volteado. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Martes, 01 de Febrero de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

123. 79. (Enero 2011) SOLUCIÓN CONCURSO NAVIDEÑO 2010

ROJAS Y NEGRAS BAJO CONTROL (EXPLICACIÓN) Comprobaremos a continuación que simplemente el principio de paridad explica el resultado, aparentemente sorprendente, del juego. Para ello vamos a repetir el proceso seguido durante la realización del juego para quedarnos con la información sustancial. El primer reparto realizado a través del deletreo hace que hayamos dividido la baraja en dos montones iguales, de 26 cartas cada uno. Observa que la secuencia ROJA-NEGRA-ROJA tiene 13 letras. Al repetirla, hemos separado 26 cartas. Supongamos que ese montón tiene R1 cartas rojas y N1 cartas negras. Sabemos entonces que R1 + N1 = 26. La segunda parte del proceso hace que coloquemos R1 cartas cara abajo en un montón delante del montón de cartas rojas y N1 cartas cara abajo en otro montón delante del montón de cartas negras. Supongamos que el primero de los montones tiene R2 cartas rojas y N2 cartas negras y que el segundo montón tiene R3 cartas rojas y N3 cartas negras. La situación es la mostrada en la figura adjunta: R2 + N2 R3 + N3 R1 N1 De esta forma, sabemos que R1 = R2 + N2 y que N1 = R3 + N3 pero también R1 + R2 + R3 = 26 así como N1 + N2 + N3 = 26. Reuniendo todas estas ecuaciones, llegamos a R1 + R2 + R3 = 26 = R1 + N1 = R1 + R3 + N3. Simplificando en la primera y última expresiones obtenemos R2 = N3, que corresponde al resultado esperado. Hemos recibido algunas soluciones correctas así que, para no desvirtuar sus ideas, podéis acceder a todas ellas para comprobar el trabajo que se han tomado nuestros seguidores. Agradecemos a todos ellos su colaboración, y animamos a todos vosotros a seguir participando. No es necesario esperar a los concursos pues esperamos siempre vuestros comentarios, ideas y, por supuesto, artículos que podamos incluir en nuestro rincón. Soluciones recibidas: María Jesús Arcos Marisa Berdasco Roberto Camponovo Jesús Escudero Miguel Herraiz A modo de observación, de la solución de Jesús se deduce fácilmente que no es necesario que la baraja esté completa. Lo único necesario es que haya el mismo número de cartas rojas que de negras. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Lunes, 10 de Enero de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

124. 78. (Diciembre 2010) CONCURSO NAVIDEÑO 2010

ROJAS Y NEGRAS BAJO CONTROL Muchos hemos experimentado las bondades y miserias de la exploración por internet. A veces, para encontrar una información interesante, original y verídica, necesitamos pasar por un montón de páginas que no despiertan el menor interés, otras que no aportan nada nuevo y muchas con graves inexactitudes y errores. El mundo de la magia matemática tampoco se libra de esta tendencia. Lo bueno de todo esto es que, a veces, aparece nuevo material o, simplemente, adaptaciones originales o novedosas de viejos juegos. Es el caso de la revista electrónica Computer Science for Fun, creada, escrita y editada por Paul Curzon, Peter McOwan y Jonathan Black de la escuela de Ingeniería Electrónica y Ciencias de la Computación de Queen Mary, Universidad de Londres. En particular, la sección MATHEMAGIC contiene un folleto y algunos juegos interactivos más o menos conocidos. Describiremos en esta y próximas entregas algunos de ellos, que nos han parecido más interesantes. Con el primero de los juegos te demostraré que soy capaz de controlar el número de cartas rojas y negras que forman algunos montones de cartas que harás de forma completamente libre. Para realizarlo, necesitarás una baraja francesa completa (con 52 cartas, sin comodines). Con la baraja en la mano, sigue las siguientes instrucciones. Mezcla bien la baraja. Mientras deletreas la palabra ROJA, reparte sobre la mesa, en un solo montón y caras abajo una carta por cada letra. Luego deletrea la palabra NEGRA y reparte sobre las cartas anteriores nuevamente una carta por cada letra. Por último vuelve a deletrear la palabra ROJA y reparte en el mismo montón una carta por cada letra. Repite el ritual anterior: deletrea las palabras ROJA-NEGRA-ROJA mientras repartes sobre la mesa, en otro montón, una carta por cada letra deletreada. Deja aparte y caras abajo las cartas que han sobrado. Las utilizaremos más tarde. Recoge los dos montones repartidos y mézclalos entre sí. Coloca ahora cara arriba las cartas en tu mano. Si la carta que está encima del montón es ROJA, déjala a la izquierda en un montón que llamaremos ROJAS y delante de dicha carta coloca, cara abajo, una de las cartas del montón que habías apartado, formando un nuevo montón. Di en voz alta la palabra ROJA mientras lo haces. Si dicha carta es NEGRA, la dejas a la derecha formando un montón que llamaremos NEGRAS y coloca delante de dicha carta, cara abajo, una carta del montón apartado. En este caso, dirás en voz alta la palabra NEGRA. Repite la operación anterior con todas las cartas de la mano, es decir, si la carta superior es ROJA, la dejas cara arriba en el montón de las rojas y colocas una carta cara abajo en el montón que está delante de las cartas rojas; si es NEGRA, la dejas en el montón de las negras y colocas una carta cara abajo en el montón que está delante de las cartas negras. No olvides nombrar en voz alta el color de la carta correspondiente. Al final del proceso tendrás cuatro montones, dos caras arriba y dos caras abajo, como se muestra en la imagen. Sabemos que el montón inferior de la izquierda tiene todas las cartas rojas y el de la derecha tiene todas las cartas negras. ¿Qué pasa con los montones que están cara abajo? ¿Puedo saber cuántas cartas rojas y negras contienen? Sólo sería posible si yo hubiera podido controlar tus movimientos. Hagamos la comprobación: cuenta el número de cartas rojas en el montón de las rojas y cuenta también el número de cartas negras que hay en el montón de las negras. ¡Coinciden! Ya imaginas que no tengo el control mental del que presumo: es la aritmética la que lo posee. Seguro que tú puedes descubrir fácilmente la razón. Así pues, como es habitual en estas fechas, vamos a dejar que pienses el problema y vamos a premiar a quienes nos ofrezcan una solución razonada. Puedes enviar tu respuesta a pedro.alegria@ehu.es y el mes de enero publicaremos las mejores soluciones. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Martes, 07 de Diciembre de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

125. 77. (Noviembre 2010) Agua y vino

Un problema muy conocido de matemática recreativa es el siguiente: Tenemos dos recipientes, el primero con un litro de agua y el segundo con un litro de vino. Con una cucharilla se pasa 1 mililitro del primer recipiente al segundo y se mezcla. A continuación se pasa un mililitro del segundo recipiente al primero. El problema consiste en averiguar si, al final del proceso, hay más vino en el primer recipiente que agua en el segundo. Si no encuentras la respuesta, puedes hacer la siguiente simulación con cartas: Divide la baraja en dos partes iguales y coloca sobre una mesa la mitad de las cartas caras arriba en un montón a la derecha y la otra mitad de cartas caras abajo en un montón a la izquierda. Elige un número pequeño que llamaremos X, digamos entre cuatro y ocho, y pasa X cartas del montón de la izquierda al montón de la derecha. Mezcla el nuevo grupo de cartas y pasa nuevamente X cartas del montón de la derecha al montón de la izquierda. Vuelve a mezclar el conjunto y repite la operación: pasa X cartas del montón de la izquierda al montón de la derecha y mezcla este montón. Pasa nuevamente X cartas del montón de la derecha al montón de la izquierda. Cuenta por último el número de cartas caras abajo del montón de la derecha y comprueba que coincide con el número de cartas caras arriba del montón de la izquierda. Ya ves que la respuesta al problema inicial es que siempre habrá tanta agua en el recipiente del vino como vino en el recipiente del agua, independientemente del número de veces que se repita el proceso. Puedes convertir este experimento en un juego de magia, como lo describe Martin Gardner en el libro Hexaflexagons, Probability Paradoxes and the Tower of Hanoi.(Cambridge University Press, 2008). Busca una baraja y pide a un espectador que realice las siguientes operaciones, mientras estás de espaldas: Reparte sobre la mesa 20 cartas en un montón sobre la mesa, caras arriba. Reparte otras 20 cartas en otro montón, a la derecha del primero, esta vez caras abajo. Pasa 4 cartas del montón de la izquierda sobre el montón de la derecha y mezcla este paquete, perdiendo las cartas caras arriba entre las demás. Pasa ahora 4 cartas del montón de la derecha sobre el montón de la izquierda y mezcla este paquete. Observa que no puede saberse el número de cartas invertidas en cada paquete. Por si acaso, repetiremos el proceso: pasa ahora 5 cartas del montón de la izquierda sobre el montón de la derecha y mezcla este paquete. Pasa ahora cinco cartas del montón de la derecha sobre el montón de la izquierda y mezcla este paquete. Entrégame, a la espalda, uno cualquiera de los paquetes. Ahora trataré de colocar las cartas para que haya en cada paquete el mismo número de cartas caras arriba. Secretamente, gira todo el paquete que tienes en tus manos. Muestra dicho paquete y pide al espectador que cuente el número de cartas caras arriba en cada paquete, comprobando que coinciden. La explicación es simple: como el resultado final del proceso hace que el número de cartas caras arriba del primer paquete coincide con el número de cartas caras abajo del segundo, al girar uno de los dos paquetes, ambos paquetes tendrán el mismo número de cartas caras arriba (y también el mismo número de cartas caras abajo). Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Martes, 02 de Noviembre de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

126. 76. (Octubre 2010) PRIME TIME

Los números primos no son claves solamente en la historia de las matemáticas, también se han utilizado como símbolos cabalísticos, se han asociado a creencias supersticiosas y se han prestado a discusiones filosóficas. Tampoco pueden faltar en esta sección: los números primos protagonizan algunos juegos de magia, como el que describimos a continuación. Este juego aparece en el folleto titulado "Impuzzibilities", escrito por Jim Steinmeyer, mago más conocido por ser el "hombre invisible", es decir el inventor, diseñador y creador de muchas de las grandes ilusiones de magia interpretadas por los magos más populares del último cuarto de siglo. También es un gran conocedor y estudioso de la historia de la magia, tema sobre el que ha escrito varios libros. Sigue las instrucciones que se indican y trata de averiguar la relación del juego con los números primos. Saca de la baraja cinco cartas, del as al cinco de cualquier palo. El resto no se utilizará. Colócalas en orden, del as al cinco, caras arriba en la mano. El as será la carta superior y el cinco estará debajo. Ahora piensa un número menor que cinco. Ese será tu número mágico. Según el número elegido, pasa de arriba abajo del paquete tantas cartas como indique dicho número. Por ejemplo, si habías pensado el cuatro, pasarás cuatro cartas y te quedaría a la vista el cinco. Gira cara abajo la carta superior del paquete y déjala en el mismo sitio. En nuestro ejemplo, girarías el cinco y quedaría cara abajo sobre el resto. Repite los pasos 4 y 5, es decir, pasa de arriba abajo del paquete tantas cartas como tu número mágico, gira la carta que ha quedado encima del paquete (si está cara arriba la colocas cara abajo y si está cara abajo la colocas cara arriba) y déjala otra vez encima del paquete. Vuelve a repetir el mismo proceso dos veces más. Al final habrás girado cuatro cartas. Pues bien, observo que queda solamente una carta cara arriba. Además, puedo adivinar que se trata del as. Explicación (extraída del libro "Magia por principios", 2008): Se atribuye a George Sands, en un juego publicado en la revista The Pallbearers Review (1975) el llamado Principio del Número Primo: “Se tiene una baraja con un número primo p de cartas (por ejemplo, 5, 7, 11, 13, 17, …), se da a elegir una de las cartas y se coloca encima. Se elige un número n menor que p y se realizan las siguientes operaciones. Se pasan una a una n cartas de arriba abajo de la baraja y se gira cara arriba la carta que ha quedado encima. Se vuelve a repetir el proceso: se pasan n cartas de arriba abajo de la baraja y se gira nuevamente la carta superior. No importa si la carta está cara arriba o cara abajo: simplemente se gira la carta que corresponda. Si se realiza la operación p – 1 veces, se habrán girado p – 1 cartas. Casualmente, o quizá mágicamente, todas las cartas giradas estaban cara abajo. Sólo queda una carta cara arriba. Al final, la única carta cara arriba es la elegida.” La explicación descansa en el hecho de que, al ser p primo, ninguno de los valores n, 2n, 3n, …, (p – 1)n (con n < p) es múltiplo de p. Como el proceso seguido no invierte el orden de las cartas y las cartas correspondientes a dichos valores son las que se colocan caras arriba, la primera carta no se volverá en todo el proceso. Sólo al realizar el proceso p veces llegaríamos a la carta superior (pues p·n sí es múltiplo de p). Puedes encontrar otros juegos basados en el mismo principio en el libro citado arriba. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Viernes, 01 de Octubre de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

127. 54. (Octubre 2008) La moneda falsa

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Miércoles, 01 de Octubre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

128. 25. (Febrero 2006) Paradojas Geométricas

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Miércoles, 01 de Febrero de 2006 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

129. 22. (Noviembre 2005) Predicción con el dominó

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Martes, 01 de Noviembre de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

130. 47. (Febrero 2008) Magia matemática en el Renacimiento

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Viernes, 01 de Febrero de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico