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Así lo hicieron

En esta sección se incluirán textos originales, traducciones o adaptaciones de grandes maestros de las matemáticas (Euclides, Fibonacci, Simpson, Euler, Stevin, Descartes, ...) en los que se resuelva algún problema interesante, se demuestre algún teorema, se describa algún procedimiento, etc. En definitiva, cómo pensaron y resolvieron los problemas estos grandes personajes.
 
Desde DivulgaMAT agradecemos las aportaciones y generosidad de los profesores Vicente Meavilla Seguí y Pedro Miguel González Urbaneja por darnos permiso para reproducir algunos de sus trabajos.
 

Resultados 11 - 19 de 19

Historia de las matemáticas/Así lo hicieron
Autor:Vicente Meavilla Seguí
  Resolución retórica de la ecuación de segundo grado Jordanus de Nemore fue un estudioso del siglo XIII de cuya vida se sabe muy poco. Algunos historiadores aseguran que fue nombrado General de la Orden de Dominicos en 1222, pero no hay pruebas que permitan dar autenticidad a esta hipótesis. De se producción matemática destaca la obra De numeris datis en la que, a lo largo de cuatro capítulos o libros, se resuelven más de un centenar de problemas generales que luego se ejemplifican con casos concretos (en dichos ejemplos los números se representan con numerales romanos). En la mayoría de las proposiciones del libro se usan letras para designar la incógnita, sus potencias, y las cantidades conocidas. Este hecho representa un avance considerable respecto a otros textos algebraicos de la misma época. En el cálculo literal, la adición se denota por simple yuxtaposición.                 Para apreciar el talante de la obra, presentamos la proposición 8 del libro IV  en la que se resuelve una ecuación de segundo grado con una incógnita. Referencias bibliográficas HUGHES, B. B. (1981). Jordanus de Nemore. De numeris datis (A critical edition and traslation). Berkeley: University of California Press. MEAVILLA, V. (2001). Aspectos históricos de las Matemáticas elementales. Zaragoza: Prensas Universitarias de Zaragoza.
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Historia de las matemáticas/Así lo hicieron
Autor:Vicente Meavilla Seguí
El teorema de Pitágoras Henry Perigal (1801-1898) El británico Henry Perigal dedicó muchos años de su larga vida a la demostración de teoremas geométricos utilizando la técnica de disección. Ofrecemos dos de sus demostraciones del “teorema de los tres cuadrados”, publicadas en The Messenger of Mathematics (1874).1 Refiriéndose a la primera de ellas, Perigal  se expresaba en los siguientes términos: (...) fue descubierta en 1830 pero impresa en 1835, con una demostración euclidea de Mr. William Godward, para la distribución privada entre mis amigos. Hasta la fecha no había sido publicada, que yo sepa, excepto como un diagrama en mi tarjeta de visita. La primera demostración “por traslación de las partes componentes” Por el centro del cuadrado de la base [cateto mayor] se dibujan dos rectas: una de ellas  paralela a la hipotenusa, y la otra perpendicular a la hipotenusa. Por los puntos medios de los cuatro lados del cuadrado de la hipotenusa se trazan cuatro líneas paralelas a los lados [catetos] del triángulo, tal como se muestra en la figura. Como una de las líneas que corta al cuadrado de la base por su centro es paralela a la hipotenusa y está comprendida entre dos paralelas [los lados del cuadrado] y como la otra línea, que corta a la anterior perpendicularmente, también está comprendida entre dos paralelas [los lados del cuadrado], entonces cada uno de los cuatro segmentos es la mitad del lado del cuadrado de la hipotenusa, que queda dividido, por tanto, en cuatro cuartos simétricos [que encierran un cuadrilátero]. Los lados del cuadrilátero I  son paralelos a los lados correspondientes del cuadrilátero i; además, dos de los lados de cada uno de dichos cuadriláteros son la mitad de la hipotenusa. Por tanto, los dos cuadriláteros (I e i)  tienen el mismo perímetro y la misma área. De forma similar se puede probar que P y L, E y A, R y G son iguales y semejantes. Además, todos tienen el mismo perímetro y la misma área. El lado mayor de E es igual y paralelo al  lado mayor de A, que es paralelo e igual a la perpendicular [cateto menor] más el lado menor de I. Quitando el lado menor de I del lado mayor de E queda el lado del cuadrilátero H. Dicho cuadrilátero, al ser rectangular y tener los cuatro lados iguales, es un cuadrado igual al cuadrado de la perpendicular [cateto menor] del triángulo rectángulo. Por consiguiente, las cinco componentes del cuadrado de la hipotenusa son iguales y semejantes a las partes componentes del cuadrado de la base y al cuadrado de la perpendicular [cateto menor]. Lo que demuestra que el cuadrado sobre la hipotenusa es equivalente a las áreas de los cuadrados sobre los catetos. La segunda demostración: dos cuadrados que se convierten en uno Construcción.- Coloca los dos cuadrados, uno al lado del otro, con sus bases sobre una misma línea recta (o uno sobre otro con dos lados verticales sobre una misma recta, como en la figura). Biseca la suma de sus bases y la diferencia de sus lados. Por estos dos  puntos de división dibuja dos perpendiculares que pasen por el centro [del cuadrado mayor] y acaben en los lados del cuadrado mayor que, por tanto, queda dividido en cuatro partes iguales. Prolonga estas dos líneas la mitad de su longitud más allá de la base y el lado del cuadrado próximo al cuadrado pequeño y dibuja [por lo extremos de las prolongaciones] dos líneas más de la misma longitud y perpendiculares a ellas. Así se forma otro cuadrado que contiene al cuadrado pequeño dentro de cuatro cuadriláteros iguales y semejantes a los cuatro cuartos del cuadrado mayor. Por tanto, el nuevo cuadrado es equivalente a los dos cuadrados dados. Nota: 1 The Messenger of Mathematics (1874), vol. 1, pp. 103-106.
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Historia de las matemáticas/Así lo hicieron
Autor:Vicente Meavilla Seguí
Resolución gráfica de ecuaciones cuadráticas Thomas Simpson (1710-1761) El  inglés Thomas Simpson es conocido en el mundo de las Matemáticas por sus contribuciones a los métodos numéricos de integración. Fue miembro de la Royale Society y de la Real Academia Sueca de Ciencias. También escribió sobre cálculo diferencial (New Treatise of Fluxions, 1737) y probabilidad (The Nature and Laws of Chance, 1740). En el campo de la educación matemática, sus textos sobre álgebra, geometría y trigonometría se editaron profusamente durante el siglo XVIII. En su Treatise of Algebra (1745) se encuentra la resolución gráfica de los tres tipos de ecuaciones cuadráticas siguientes: x2 + ax = bc (primera forma) x2 – ax = bc (segunda forma) ax – x2 = bc (tercera forma) He aquí la traducción del texto original (pp. 234-236).1 Construcción de la primera y segunda formas Con radio  se describe el círculo OAF y, desde un punto A cualquiera de su circunferencia se aplica la línea recta AB  igual a  b – c (o a  c – b si se supone que c es la mayor) prolongándola hasta que BC = c. Desde el punto C, a través del centro O, se traza CDE que corta a la circunferencia en D y E. Entonces, el valor de x vendrá dado por CD, en el primer caso, y por CE en el segundo. Por construcción, DE = a. Entonces, es claro que si CD se designa por x, entonces CE = x + a. Pero si CE se designa por x, entonces CD = x – a. Pero, en virtud de Euclides 37. 3(2), CE · CD = AC · CB. Es decir: (x + a)x = x2 + ax = bc, en el primer caso, y x(x – a) = x2 – ax = bc, en el segundo (...) Si b y c son iguales, entonces la solución es más sencilla y se construye así: Desde cualquier punto F de la circunferencia se dibuja la perpendicular FC, igual a b (o igual a c), al radio FO y después se traza CDE como antes. Notas: 1 Hemos procurado ser fieles al estilo de Simpson, pero hemos modificado ligeramente su simbolismo algebraico. 2 Se refiere a la siguiente proposición del libro tercero de los Elementos de Euclides: Si desde un punto exterior a un círculo se le trazan dos rectas, una de las cuales lo corta y la otra sólo lo toca, el rectángulo comprendido por toda la recta secante y su parte exterior entre el punto y la periferia convexa del círculo equivale al cuadrado de la tangente.      
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Historia de las matemáticas/Así lo hicieron
Autor:Vicente Meavilla Seguí
Números decimales periódicos Leonardo Euler nació en Basilea (Suiza) en 1707. Su padre, pastor calvinista, se preocupó de que la formación intelectual de su hijo fuese de gran calidad. Leonardo estudió matemáticas con Jean Bernoulli, física, astronomía, medicina, teología y lenguas orientales. En 1727, animado por sus amigos y compatriotas Daniel y Nicolás Bernoulli, ingresó en la Academia de San Petersburgo. En 1730 ocupó la cátedra de filosofía natural y a los veintisiete años, después de que Nicolás y Daniel dejasen San Petersburgo, se convirtió en el matemático más relevante de la Academia. A los veintiocho años perdió la vista de su ojo derecho. En 1741 se incorporó a la Academia de Berlín, pero en 1766 volvió a Rusia. En 1771 se quedó ciego pero ello no impidió que Euler siguiera publicando e investigando. Leonhard murió en 1783 mientras se estaba tomando una taza de té y jugando con uno de sus nietos. Se cuenta que cuando el filósofo ateo D. Diderot visitó la corte rusa fue informado de que un matemático suizo había demostrado la existencia de Dios mediante razonamientos de tipo algebraico. Interesado por dicha noticia y esperando rebatir tales argumentos, Diderot concertó una entrevista con Leonardo. Puesto en contacto con Euler, éste le dijo: “Señor (a + bn)/n = x, entonces Dios existe”. Diderot, cuyos conocimientos de álgebra eran nulos, se quedó sin respuesta y regresó a Francia. Euler escribió sobre temas relativos a todas las ramas de las matemáticas. A lo largo de su vida publicó más de quinientos libros y artículos y fue padre de trece hijos.
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Historia de las matemáticas/Así lo hicieron
Autor:Pedro Miguel González Urbaneja
La construcción de Fermat  de la tangente a la Elipse Este método [de máximos y mínimos y tangentes] nunca falla, y puede ser aplicado a un gran número de cuestiones muy hermosas. Pierre de Fermat. OEUVRES DE FERMAT  (TH.OF.III.123). Las memorias de Fermat  sobre máximos y mínimos y tangentes, establecen los derechos indiscutibles de este gran geómetra francés en la invención del Cálculo Diferencial. E.Brassinne. Précis des Oeuvres mathématiques de P.Fermat. Toulouse, 1853, pág.4. 1. Fermat por R. Lefevre. Museo de Arte y Cerámica de Narbonne. 2. Edición de Samuel de Fermat de VARIA OPERA MATHEMATICA de D. PETRI DE FERMAT. Toulouse, 1679. Catorce años después de la muerte de su padre, habiendo reunido algunos originales y copias de los escritos latinos y de cartas inéditas, Samuel Fermat hizo imprimir en 1979 Varia Opera Matemática, que a pesar de lagunas e incorrecciones –Samuel no era matemático–, constituyó hasta finales del siglo XIX (se reimprimió en 1861) una de las pocas publicaciones donde se podían estudiar las investigaciones de Fermat. Fermat es uno de los principales artífices de la inflexión radical que presenta la Matemática del siglo XVII respecto a la clásica griega. En los trabajos matemáticos de Fermat el afán demostrativo euclídeo da paso a la heurística de la creatividad y el descubrimiento. Si importantes son los descubrimientos matemáticos de Fermat, no es inferior su relevancia histórica en el plano metodológico. Lo que  importa para Fermat es la obtención de métodos que permitan resolver de forma directa y operativa los problemas y escribirlos formalmente siguiendo la línea de la propia investigación geométrica, es decir, métodos que al describir el proceso inventivo enseñen a descubrir y rompan la clásica dualidad helénica invención-demostración – «ars inveniendi» versus «ars disserendi»– que tiene lugar en dos estadios de tiempo y espacio diferentes. Con ello, Fermat es capaz de fundir, en un solo acto matemático, el descubrimiento y la demostración. Los diversos trabajos de Fermat sobre máximos y mínimos y tangentes están saturados de múltiples intuiciones y valiosos argumentos e ideas directrices para reconocer la razón que asistía a los grandes matemáticos franceses: Legendre, Laplace y Cauchy –pero también a Newton, como se ha sabido mucho después por estudios recientes y hallazgos en la correspondencia del sabio inglés–  cuando aclamaban a Fermat como el primigenio artífice del Cálculo Diferencial.
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Historia de las matemáticas/Así lo hicieron
Autor:Pedro Miguel González Urbaneja
  La tangente a la Parábola en el Methodus de Fermat Os considero como el más grande geómetra de toda Europa. Carta de Pascal a Fermat de 10 de agosto de 1660. OEUVRES DE FERMAT. Correspondencia de Fermat (TH.OF.II.450). «Lagrange y Laplace hacen remontar el origen del Cálculo Diferencial a los métodos de Fermat sobre máximos y mínimos y tangentes». E. Brassinne. Précis des Oeuvres mathématiques de P.Fermat. Toulouse, 1853, pág.4. Fermat. Lycée Pierre de Fermat de Toulouse. Portada del volumen IV de las OEUVRES DE FERMAT, publicadas en cuatro volúmenes, entre 1891 y 1912, por los impresores-libreros Gauthiers-Villars, bajo la dirección de C.Henry y P.Tannery y los auspicios del Ministerio de Instrucción Pública francés. Fermat es uno de los matemáticos más extraordinarios de todos los tiempos. Fruto de un meticuloso estudio de las obras de Euclides, Arquímedes, Apolonio, Diofanto y Pappus, Fermat poseía una prodigiosa erudición matemática, que propició su apasionada afición a la Matemática y su encomiable labor de comentador y exegeta de los más eximios matemáticos griegos. De Diofanto nace su ingente contribución al nacimiento y desarrollo de la Teoría de Números; de Apolonio y Pappus –junto con Vieta– su creación de una Geometría Analítica y de ambas, al conectar con los trabajos de Arquímedes, resultarían los numerosos métodos y artificios de Cálculo Infinitesimal (Diferencial e Integral) que hacen de Fermat el ascendiente directo de casi todas las disciplinas matemáticas que aparecen en el siglo XVII, a lo largo del cual se desarrolla toda su actividad científica.  En los originales y prácticos métodos de extremos y tangentes de Fermat brota por primera vez el «cociente incremental» que define la derivada. Aunque los extremos y su primera aplicación a las tangentes se mantienen en un ámbito algebraico sin cruzar la frontera entre lo finito y lo infinitesimal, desde el punto de vista  formal Fermat da un paso trascendental hacia la algoritmización de la diferenciación de Newton y Leibniz. Fermat sólo escribió una parte de sus investigaciones y rehusó su publicación; lo esencial de su obra está en su asidua correspondencia con los científicos contemporáneos –donde muestra una sagaz inteligencia que inventa, explica, demuestra y debate con vehemente pasión– y en los márgenes de sus libros. Esto hace de Fermat una de las figuras más atractivas de la Historia de la Matemática, pero también ha contribuido a las lamentables vicisitudes históricas de la publicación de sus trascendentales descubrimientos matemáticos. Fermat deriva un procedimiento para construir las tangentes a las curvas algebraicas de sus métodos de máximos y mínimos. Describiremos brevemente su primer método de extremos y veremos cómo Fermat lo aplica al trazado de tangentes1. Fermat compone hacia 1629 la memoria “Método para la investigación de máximos y mínimos” (Methodus ad disquirendam maximan et miniman et de tangentibus linearum curvarum). Es un procedimiento puramente algorítmico despro­visto de todo fundamento demostrativo, donde introduce la técnica de la «adigualdad». Como segunda parte de este tratado, Fermat describe el primer ejemplo de aplicación del método de máximos y mínimos al trazado de las tangentes a las líneas curvas, la tangente a la parábola. Denominaremos a esta memoria el Methodus. En ella aparece como primicia histórica lo que se convertirá después en el algoritmo para obtener la primera derivada de una función algebraica; se trata de la fructífera idea de incrementar una magnitud asimilable a nuestra variable independiente, que desde entonces se ha convertido en la esencia del Cálculo Diferencial. Fermat se expresa con estas palabras: Método para la investigación de máximos y mínimos (Methodus, TH.OF.III.121–122) Toda la teoría de la Investigación de máximos y mínimos supone la consideración de dos incógnitas y la única regla siguiente: Sea a una incógnita cualquiera del problema (que tenga una, dos o tres dimensiones, según convenga al enunciado). Se expresará la cantidad máxima o mínima por medio de a en términos que pueden ser de cualquier grado. Se sustituirá a continuación la incógnita original a por a+e, y se expresará la cantidad máxima o mínima por medio de a y e, en términos que pueden ser de cualquier grado. se «adigualará» para hablar como Diofanto, las dos expresiones de la cantidad máxima o mínima. Se eliminarán los términos comunes de ambos lados, tras lo cual resultará que a ambos lados habrá términos afectados de e o de una de sus potencias. Se dividirán todos los términos por e, o por alguna potencia superior de e, de modo que desaparecerá la e, de al menos uno de los términos de uno cualquiera de los dos miembros. Se suprimirán, a continuación, todos los términos donde todavía aparece la e o una de sus potencias, y se iguala lo que queda, o bien si en uno de los miembros no queda nada, se igualará, lo que viene a ser lo mismo, los términos afectados con signo positivo a los afectados con signo negativo. La resolución de esta última ecuación dará el valor de a, que conducirá al máximo o mínimo, utilizando la expresión original. He aquí un ejemplo: "Sea dividir una recta AC en E, de manera que AE x EC sea máximo". Pongamos AC=b. Sea a uno de los segmentos, el otro será b–a. El producto del que se debe encontrar el máximo es ba–a2. Sea ahora a+e el primer segmento de b, el segundo segmento será b–a–e, y el producto de segmentos: ba–a2+be–2ae–e2. Se debe «adigualar» al precedente: ba–a2+be–2ae–e2 ba – a2. Suprimiendo términos comunes: be 2ae + e2. Dividiendo todos los términos por e: b 2a + e. Se suprime la e: b = 2a. Para resolver el problema se debe tomar por tanto la mitad de b. Es imposible dar un método más general. Nota: 1 La referencia concreta de un texto de Fermat se hace indicando el tomo y las páginas de las OEUVRES DE FERMAT (publicadas entre 1891 y 1912, en cuatro tomos, por Paul Tannery y Charles Henry), a continuación de la partícula TH.OF. por ejemplo: TH.OF.III.92 indicará que el texto al que se hace alusión se encuentra en la página 92 del tercer tomo.
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Historia de las matemáticas/Así lo hicieron
Autor:Vicente Meavilla Seguí
Algunos algoritmos de la multiplicación Luca Pacioli nació en Borgo de Sansepolcro (Italia) en 1445 y posiblemente recibió sus primeras lecciones en el taller de su paisano el matemático y pintor Piero della Francesca (1412-1492). A los veinte años dejó su ciudad natal y pasó a Venecia donde fue preceptor de los dos hijos del comerciante Antonio Rompiasi. A la vez que desempeñaba esta función, prosiguió sus estudios de Matemáticas en una escuela publica dependiente de la Universidad de Venecia. En 1470, tras la muerte de Antonio, abandonó Venecia y se trasladó a Roma invitado por el arquitecto  León Battista Alberti (1404-1472), uno de los primeros investigadores de la perspectiva geométrica. Años más tarde, en 1472, ingresó en la orden de San Francisco de Asís. En 1475 fue lector de Matemáticas en Perugia y entre 1477 y 1480 dio clases de aritmética en la Universidad de dicha ciudad. En 1481 se trasladó a Zara (actual Croacia) donde escribió un manual de aritmética. Después de una corta estancia en Florencia volvió a Perugia, obtuvo el título de Magíster y explicó Matemáticas desde 1486  hasta 1487. Debido al agotamiento y a su frágil salud dejó la docencia y se instaló en Roma. En 1490 enseñó Teología y Matemáticas en Nápoles. En esta ciudad realizó una colección de poliedros regulares que regaló a  Guidobaldo de Montefeltro, duque de Urbino. De 1490 a 1493 permaneció en su pueblo natal preparando la publicación de su obra Summa de arithmetica geometria proportioni et proportionalità. En 1493 dio lecciones de Matemáticas en Padua. En 1494, una vez terminada la redacción de la Summa, se trasladó a Venecia para supervisar los trabajos de impresión. En 1496 viajó a Milán para enseñar Matemáticas en la corte del duque Ludovico Sforza “il Moro” (1452-1508). Allí conoció a Leonardo da Vinci (1452-1519) quien  realizó los dibujos de los sesenta poliedros que aparecen en su libro De divina proportione. En 1499 Milán fue ocupada por las tropas francesas y Ludovico el Moro fue hecho prisionero. Por este motivo, Luca Pacioli y Leonardo abandonaron la ciudad pasando primero a Mantua, luego a Venecia y finalmente a Florencia. En 1500 Pacioli se convirtió en profesor de Geometría de la Universidad de Pisa, cuya sede se había trasladado a Florencia  desde las revueltas ciudadanas de 1494. Allí continuó su labor docente hasta 1505. No obstante, entre 1501 y 1502 dio clases de Matemáticas en la Universidad de Bolonia donde coincidió con Scipione del Ferro (1465-1526), uno de los grandes algebristas italianos que intervino en la resolución por radicales de la ecuación de tercer grado con una incógnita. En 1505 regresó a Roma y en 1508 viajó a Venecia. En dicha ciudad vio la luz la  primera edición impresa de De divina proportione. En 1510, a causa de su delicada salud, volvió a su ciudad natal. Sin embargo, a instancias del Papa León X, en 1514 volvió a Roma y fue profesor de la Sapienza, la Universidad de la “ciudad eterna”. Luca Pacioli murió en Borgo de Sansepolcro en torno al 1517. En la Summa de arithmetica geometria proportioni et proportionalità, obra de carácter enciclopédico que ocupa más de 600 páginas, se describen ocho procedimientos para calcular el producto de dos números naturales. En las líneas que siguen ofrecemos una somera descripción de cada uno de ellos.
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Historia de las matemáticas/Así lo hicieron
Autor:Vicente Meavilla Seguí
Definición y algunas propiedades del triángulo aritmético Blaise Pascal nació el 19 de junio de 1623 en Clermont - Ferrand y murió el 19 de agosto de 1662 en París. Su padre, el matemático Etienne Pascal, que se hizo cargo de su educación, decidió que Blas no iniciara los estudios de matemáticas hasta haber cumplido los quince años. Por tal motivo, los textos consagrados a esta disciplina fueron puestos fuera del alcance del joven Pascal. Sin embargo, la prohibición paterna despertó su curiosidad por la geometría y a los doce años de edad ya había descubierto que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos. Ante tal descubrimiento, Etienne cambió de parecer y regaló a su hijo un ejemplar de los Elementos de Euclides. A los catorce años, Blaise acompañaba a su progenitor a las reuniones del padre Mersenne en las que participaban científicos de la talla de Roberval y Desargues, a los dieciséis publicó su Essay pour les coniques, y a los dieciocho diseñó y construyó una máquina calculadora. Pascal tuvo, sin duda, una de las mentes más privilegiadas de la historia, pero se interesó más por la teología que por las matemáticas, disciplina a la que se dedicó de forma intermitente. A pesar de ello, sus contribuciones al estudio de las cónicas, al “triángulo aritmético” (que también se conoce como “triángulo de Pascal” y “triángulo de Tartaglia”), y al cálculo de probabilidades le convierten, en palabras del historiador Carl B. Boyer, en el más grande “podría haber sido” de la historia de las matemáticas. Las investigaciones de Pascal sobre el “triángulo aritmético” se encuentran en el Traité du triangle arithmétique avec quelques autres petits traitez sur la mesme matière, publicado en 1665. De este texto hemos extraído los párrafos siguientes: DEFINICIONES Llamo triángulo aritmético a una figura construida del modo siguiente: Desde cualquier punto G dibujo dos líneas perpendiculares GV y Gζ y en cada una tomo tantas partes iguales como quiera, empezando por G, numeradas con 1, 2, 3, 4, etc. Estos números son los “exponentes” de cada una de las divisiones de las líneas. Después, uno los puntos de la primera división de cada una de las dos líneas mediante otra línea, que es la base del triángulo resultante. Del mismo modo, uno los dos puntos de la segunda división por otra línea, construyendo un segundo triángulo de la que aquella es la base. De forma similar, uno todos los puntos de división con el mismo exponente y construyo tantos triángulos y bases como exponentes. Por cada uno de los puntos de división, y paralelamente a los lados, dibujo líneas cuyas intersecciones dan origen a pequeños cuadrados a los que llamo “celdas”.  Las celdas entre dos paralelas dibujadas de izquierda a derecha se llaman “celdas de la misma fila”. Por ejemplo, las celdas G, σ, π, etc., o las celdas φ, ψ, θ, etc. Las celdas entre dos líneas paralelas dibujadas de arriba hacia abajo se llaman “celdas de la misma columna”. Por ejemplo, G, φ, A, D, etc., o σ, ψ, B, etc. Las celdas que están cortadas por la misma base se llaman “celdas de la misma base”. Por ejemplo, D, B, θ, λ,  o A, ψ, π. Las celdas de la misma base que equidistan de sus extremos se llaman “recíprocas”. Por ejemplo, E, R y B, θ son recíprocas porque el exponente de fila  de una es igual al exponente de columna de la otra, como puede verse en el ejemplo anterior donde E está en la segunda columna y en la cuarta fila, y su recíproca R está en la segunda fila y cuarta columna. Se demuestra muy fácilmente que las celdas con exponentes recíprocos están en la misma base y equidistan de sus extremos. También es muy fácil de demostrar que la suma del exponente de columna y el exponente de fila de cualquier celda excede en una unidad al exponente de su base. Por ejemplo, la celda F está en la tercera columna, en la cuarta fila y el la sexta base y la suma de 3 y 4 excede en uno al exponente de la base, que es 6. Una propiedad que surge del hecho de que los dos lados de un triángulo tienen el mismo número de partes. Pero esto es más una observación que una demostración. Del mismo tipo es la observación de que cada base tiene una celda más que su precedente y que cada base tiene tantas celdas como unidades tiene su exponente. Así, la segunda base φσ tiene dos celdas; la tercera, Aψπ tiene tres, etc. Además, los números asignados a cada celda se encuentran por el método siguiente: El número de la primera celda, que está en el ángulo recto, es arbitrario; pero una vez que este número ha sido asignado, todos los demás están determinados. Por esta razón, dicho número se llama “generador” del triángulo. Cada uno de los restantes números se determina así: El número de cada celda es igual a la suma de los números de las celdas perpendicular y horizontal que le preceden inmediatamente. Así, la celda F, o el número de la celda F, es igual a la suma de la celda C y la celda E, y así para las demás. De donde se deducen algunas consecuencias. Siguen las más importantes, en las que considero triángulos generados por la unidad. No obstante, lo que diga de ellos se mantiene para todos los demás.
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Historia de las matemáticas/Así lo hicieron
Autor:Vicente Meavilla Seguí y Carlos Vicén Antolín
Adaptación al castellano del libro Elementos de geometría de Alexis Claude Clairaut, realizada por Vicente Meavilla y Carlos Vicén (prólogo de Claudi Alsina). Los Elementos de Geometría de Alexis Claude Clairaut se publicaron por primera vez en francés en 1741. Posteriormente vieron la luz las ediciones francesas de 1753, 1765, 1775, 1830, 1852, 1853, 1857 y 1861, además de traducciones al italiano, inglés y alemán.   En la adaptación al castellano de la edición de 1775 que ofrecemos a continuación, hemos intentado ser fieles al discurso del autor. Sin embargo, para no causar excesiva fatiga al lector moderno, también hemos procurado adecuar el estilo del texto original al lenguaje actual.   En el libro de Clairaut, como solía ocurrir en los manuales de los siglos XVIII y XIX, las figuras que ilustran los conceptos y procedimientos se agrupan en láminas situadas al final de la obra. Para facilitar la lectura hemos intercalado las ilustraciones en el lugar apropiado del texto.   Sin más preámbulos, le invitamos a que inicie un paseo intelectual por uno de los libros de Didáctica de la Geometría que debería ser de obligada consulta para cualquier aspirante a profesor de Matemáticas y para cualquier docente consagrado a la enseñanza de esta disciplina. Ver detalles del documento
Lunes, 20 de Abril de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

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