1. Álgebra geométrica: notas históricas

1. Introducción La palabra “álgebra” con la que se designa una parte de las Matemáticas, proviene del término al-jabr que aparece en el título de un texto del siglo IX, escrito por el matemático árabe al-Khowarizmi. Los contenidos y métodos de esta disciplina no han permanecido invariables a lo largo de los tiempos, sino que han estado sometidos a cambios diversos. Así, en sus inicios, el álgebra era el arte de reducir y resolver ecuaciones. Actualmente, el álgebra moderna se centra en el estudio de estructuras (grupos, anillos, ...), pero su punto de arranque proviene de las investigaciones del genial Evariste Galois (1811-1832) sobre la resolución de ecuaciones por radicales. En la historia del álgebra se suelen distinguir tres periodos bien diferenciados: (i) Periodo retórico, en el que todas las expresiones se escribían utilizando el lenguaje ordinario. (ii) Periodo sincopado, en el que se empezaban a utilizar símbolos y abreviaturas para representar la incógnita, sus potencias y los signos de las operaciones elementales. (iii) Periodo simbólico, en el que se usaban símbolos especiales tanto para la incógnita y sus potencias como para las operaciones y relaciones. En la clasificación anterior no se incluye un tipo especial de álgebra que se sirve o se ayuda de diagramas para obtener resultados interesantes (expresiones notables, resolución de ecuaciones, ...). Esta álgebra geométrica o álgebra diagramática parece que se originó en la Escuela Pitagórica (allá por el siglo VI a. C.) y fue dada a conocer por Euclides de Alejandría (ca. 300 a. C.) en el libro II de sus famosos Elementos. Euclides de Alejandría En las líneas siguientes (haciendo un recorrido por distintas épocas y culturas, y centrándonos en la resolución de ecuaciones) ofreceremos algunos ejemplos de este tipo especial de álgebra en el que se utiliza el razonamiento visual en lugar del analítico.

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2. Matemáticos brillantes con problemas visuales

La mayoría de los profesores conocen que Euler sufrió problemas de visión en la edad adulta y que se quedó ciego de mayor, pero continuó trabajando. Aunque hay otros matemáticos que han llegado a resultados notables incluso siendo ciegos desde niños, como es el caso de Nicholas Saunderson o de Bernard Morin. El análisis de su vida y su obra puede tener interés para la didáctica de las matemáticas para todos los alumnos. ¿Podría Euler haber seguido trabajando sin su prodigiosa memoria? ¿Qué repercusiones puede tener en el futuro el no memorizar?  Dadas las aportaciones de Louis Antoine y Bernard Morin, ¿qué importancia se le debería dar a la manipulación manual en la didáctica de la topología en la universidad? Esta es la relación de algunos matemáticos con dificultades visuales que realizaron trabajos notables: Ibn al Saffar( ¿ - ca. 1035) Este matemático andalusí nació en córdoba en el seno de una familia de buena posición y tuvo una educación esmerada sobresaliendo en literatura, como erudito, y en matemáticas. Es uno de los discípulos de la escuela que fundó en esta ciudad Maslama. Vivió con un hermano que se dedicaba a construir astrolabios y él mismo diseñó uno que tuvo gran aceptación tanto entre los árabes como entre los latinos. Viajó a Bagdad pasando por Marruecos y Túnez a pesar de que según las noticias que nos han llegado tenía sus dificultades físicas. Al final de su vida estaba  ciego y paralítico. Nicholas Saunderson (1682-1739) Este científico nació en Yorkshire (Inglaterra).Cuando tenía un año perdió la vista quizás debido a una infección. A pesar de ello tuvo a lo largo de su vida un enorme interés por aprender.  Estudio latín, griego, francés y matemáticas. En 1707 llegó a Cambridge. Tuvo muchas dificultades pero   con la ayuda de uno de sus profesores William Winston consiguió dar clases de matemáticas, astronomía y óptica. En 1711 a petición de profesores de la universidad se le concedió el cargo de cuarto profesor Lucasiano de Matemáticas. Los tres primeros habían sido Barrow, Newton y su profesor William Winston.  En 1718 fue admitido en la Royal Society  y en 1728 fue nombrado doctor en Leyes por Jorge II. Creó una especie de ábaco para sus alumnos ciegos que se puede contemplar en Viena en un museo para invidentes. Fue autor de dos textos Elements of Algebra y The Method of Fluxions Leonard Euler (1707-1783) Uno de los mejores matemáticos de todos los tiempos. En torno al año 1738 perdió la vista del ojo derecho. No se sabe la causa. El opinaba que fue debido a un exceso de trabajo en cartografía pero algunos especialistas creían que sería consecuencia de una infección que había padecido. No obstante siguió trabajando con la misma intensidad. Ya de mayor perdió la visión del otro ojo a consecuencia de unas cataratas  quedando prácticamente ciego, solamente podía leer caracteres muy grandes. A pesar de todo siguió trabajando con gran entusiasmo con la ayuda de varias personas, entre ellas uno de sus hijos. Su extraordinaria  memoria sin ninguna duda le ayudó. Lev Pontryagin (1908-1988) Nació en Moscú y perdió la vista a los 14 años por un accidente. A pesar de ello, con la ayuda de su madre,  se convirtió en uno de los mejores matemáticos del siglo XX en los campos de la topología y de la optimización. A él se deben los llamados espacios de Pontryagin y los cuadrados de Pontryagyn. Fue autor de varias monografías y de libros de texto que alcanzaron  mucha popularidad en el país. Louis Antoine (1888-1971) A los 17 años perdió la visión a consecuencia de una herida sufrida en la primera guerra mundial lo que le impide continuar ejerciendo como profesor de Secundaria. El matemático  Henri Lebesgue le anima a que no abandone poniéndole como ejemplo a Euler y le sugiere que trabaje en topología, campo en el qué la bibliografía era aún muy escasa.  En 1921 defiende su tesis que contiene lo esencial de sus trabajos científicos. En ella  explica un método para construir un cierto conjunto de Cantor en el espacio tridimensional que ha pasado a la historia con su nombre: el collar de Antoine. En 1922 obtuvo una plaza de maítre de conférences en Rennes y pudo desarrollar con brillantez este cargo. Ronald Fisher (1890-1962) Ha pasado a la historia como uno de los más grandes estadísticos a pesar de que tenía una deficiencia visual congénita. Su madre le apoyó durante su aprendizaje temprano lo que le dio seguridad. Consiguió estudiar en Cambridge y publicó a lo largo de su vida varios textos importantes de estadística que junto a la eugenesia eran sus campos de interés. Bernard Morín  (1931 -   ) Este francés se quedó ciego desde temprana edad, al parecer debido a un glaucoma, lo que no le impidió estudiar en el Instituto de Estudios  de Princeton y trabajar en un grupo pionero en topología. Este trabajo se puede ver en Internet en Turning a Sphere inside –out. Su nombre va ligado también a otras superficies. A edad muy avanzada continuó trabajando. Es importante resaltar que, a pesar de su ceguera temprana, fue capaz de trabajar en topología. Quizás la enseñanza de la topología debería emplear previamente al diseño por ordenador la manipulación manual. Bibliografía y páginas web JACKSON ALLYN The World of Blind Mathematicians, Notices of the AMS vol. 49, no. 10 (2002) 1246-1251 MACHO STADLER Marta. El problema de William Molyneux, ::ZTFNews, 2013 MACHO STADLER, Marta. Nicholas Saunderson, extraordinario calculador, ::ZTFNews, 2013 MACHO STADLER. Louis Antoine y su fabuloso collar, ::ZTFNews, 2013 MACHO STADLER, Marta. Pontryagin, un genio matemático a pesar de su ceguera, ::ZTFNews, 2013 VEGUÍN CASAS, María Victoria (2010). Historia de las matemáticas en la península Ibérica. Barcelona, Reverté, pp.178-179.

Miércoles, 22 de Abril de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

3. Los Sólidos Platónicos: Historia de los Poliedros Regulares

«Pitágoras investigó los teoremas de un modo inmaterial e intelectual y descubrió la dificultad de los números irracionales y la construcción de las figuras cósmicas [poliedros]». PROCLO DE LICIA. Comentarios al Libro I de los Elementos de Euclides. «Hace falta explicar qué propiedades deberían tener los cuerpos más bellos, [...], deben tener la propiedad de dividir en partes iguales y semejantes la superficie de la esfera en que están inscritos». PLATÓN. Timeo 54b-55a. «La culminación de Los Elementos de Euclides con la construcción de los poliedros responde al interés especial que mostraban los filósofos griegos por todo lo que atañe a los cuerpos regulares». F.KLEIN. Matemática elemental desde un punto de vista superior. Vol. II. Geometría. Biblioteca Matemática. Dtor: J.Rey Pastor. Madrid, 1931. p.260. Estudios de Leonardo da Vinci (1513) sobre la Geometría de los poliedros con especial énfasis en el Cubo y el Icosaedro. Códice Atlántico (f. 518r). ÍNDICE 1. Introducción 2. Los poliedros en el Neolítico 3. La Cosmogonía poliédrica pitagórica 4. Los Poliedros en El Timeo de Platón 5. El Libro XIII de Los Elementos de Euclides 6. Los Poliedros en el Renacimiento. Della Francesca, Luca Pacioli y  Durero 7. La Cosmología poliédrica de Kepler 8. Los poliedros en los tiempos modernos 9. Los Poliedros en el Arte del siglo XX: Gaudí, Escher y Dalí 10. Epílogo 11. Bibliografía   1. Introducción La exuberante geometría de los sólidos platónicos, por sus significativos atributos de naturaleza geométrica, estética, simbólica, mística y cósmica, ha fascinado en todas las civilizaciones, desde los pueblos neolíticos hasta nuestros días. Los poliedros son el núcleo de la cosmogonía pitagórica del Timeo de Platón que los asocia con la composición de los elementos naturales básicos, teoría de orden místico-filosófico que tendrá una decisiva influencia en la cosmología poliédrica de Kepler. Euclides recoge la herencia pitagórica y platónica y sitúa a los cinco sólidos regulares en el clímax final de Los Elementos, como glorificación y cenit de un tratado geométrico tan brillante, en lo que se considera el primer teorema de clasificación de la Matemática. Los poliedros han sido en todas las épocas símbolo y expresión placentera de la belleza ideal, de ahí su presencia en la composición de muchas obras y tratados de artistas y teóricos renacentistas (Piero della Francesca, Pacioli, Leonardo, Durero,...), que diseñan y escriben entre el Arte y la Geometría, tomando como argumento el encanto y la seductora perfección de los sólidos platónicos. En los tiempos modernos los poliedros han sido un importante nexo que vincula cuestiones de Matemática superior (Topología algebraica, Teoría de Grupos, …) con la resolución de ecuaciones algebraicas y la Cristalografía, pero también, por su belleza y misterio, una fuente inagotable de inspiración que enciende la fantasía de creadores, diseñadores y artistas, entre los que sobresale la espectacularidad de los impresionantes trabajos de aplicación de los poliedros en Gaudí, Escher y Dalí, que como sus antepasados, geómetras y artistas, imputan a su geometría funciones de orden estético, cosmológico, científico, místico y teológico. Nota: La mayor parte del contenido de este texto es la traducción al castellano del siguiente artículo que he publicado en catalán: GONZALEZ URBANEJA, P.M.: Els sòlids pitagòricoplatònics. Geometria, Art, Mística i Filosofia. BIAIX. 21, pp. 10-24, 12/03. Federació d’entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya.

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4. Astronomía: El cielo y las mujeres en los mitos y en la historia

A pesar de que la contribución de los saberes femeninos ha sido sistemáticamente eliminada de todas las historias, es posible rastrearla en los mitos y leyendas que decantan las creencias populares. El culto a la Luna lo fue a la sabiduría de las leyes naturales y a los poderes creativos y fértiles de la Naturaleza dadora de la Vida y de la Muerte y artífice del renacimiento anual. En las latitudes medias, se puede asignar una estación a cada una de las etapas de ese renacimiento. Las estaciones llevaron a la observación de los cielos y los periodos de las mujeres llevaron al descubrimiento de la analogía entre los ciclos de la luna y el ciclo menstrual de la mujer. La divinidad lunar fue adorada como el mismo principio femenino. En las primeras civilizaciones, cuando los dioses y las diosas fueron personificados, existían diosas que controlaban muchos aspectos de la vida y el destino humanos. “El que las mujeres hubieran ascendido hasta la cima de la divinidad refleja la posición que ocupaban, dentro de la sociedad, antes de que se implantara la familia patriarcal, la propiedad de la tierra y la división de clases."1 La degradación de las divinidades femeninas a favor de los dioses comenzó con el nacimiento de ese sistema patriarcal, que en Egipto se supone hacia la V dinastía del imperio antiguo. Esta degradación es ya evidente en la mitología grecolatina, escrita en el cielo, pedagógicamente, en la Ilíada y la Odisea: Con aquel dulce viento, Ulises divino desplegó su velamen; sentado rigió con destreza el timón; no bajaba a sus ojos el sueño, velaba a las Pléyades vuelto, al Boyero de ocaso tardío y a la Osa, a que otros dan el nombre del Carro y que gira sin dejar su lugar al acecho de Orión; solo ella de entre todos los astros no baja a bañarse al Océano. La divina entre diosas Calipso dejó dicho a Ulises que arrumbase llevándola siempre a su izquierda." Odisea, Canto V (269-277) La Osa no baja a bañarse al Océano porque Zeus, el dios Todopoderoso, así lo dispuso: El nombre de las Osas proviene de Arcas, que significa oso en griego. Arcas fue hijo del dios Zeus y de la ninfa Calixto, de la corte de la diosa Diana. Calixto fue expulsada por Diana tras dejarse seducir por Zeus. La diosa Hera, esposa celosa de Zeus, convirtió a la madre, Calixto, y al hijo, Arcas, en osos. Zeus los puso en el cielo, una junto al otro y Hera, envidiosa de verles en el cielo, pidió a Poseidón, el dios del mar, que les prohibiera bañarse en sus verdes aguas, por eso nunca llegan a tocar el horizonte. Al otro lado del espejo, Casiopea, reina de Egipto, gira en el cielo en torno a la estrella Polar, junto a su hija Andromeda y su esposo Cefeo. La hermosa Casiopea se creía más bella que las nereidas, ninfas de los mares. Furioso, Poseidón envió un monstruo al país. Consultado el Oráculo, éste indicó que, para aplacar al dios de los mares y los océanos , Andrómeda debía ser encadenada a una roca, en la orilla de la playa, para ser devorada por una monstruosa ballena. Perseo, hijo de Júpiter y esposo de Andromeda, salvó a la princesa montado sobre Pegaso, el caballo alado. Desde entonces evoluciona junto a ella en las noches boreales y sigue protegiéndola de la ballena a la que estaba destinada en sacrificio.

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