61. Abel, Niels Henrik (1802-1829)

N. H. Abel, matemático noruego del siglo XIX, fue un genio incomprendido marcado por la fatalidad. Su vida es un triste, más bien terrible ejemplo del drama que representa en numerosos casos, la íntima conexión de la pobreza y la tragedia. Tuvo que salir de su tierra, para contactar con los grandes matemáticos europeos, sin conseguir que le reconocieran sus sobresalientes méritos hasta después de su muerte. Su fecunda idea de la inversión marcó un hito en la matemática. Su primera mayor aportación fue la prueba de la imposibilidad de resolución algebraica de la ecuación quíntica mediante radicales. Propulsó luego sobremanera el desarrollo de la teoría de integrales elípticas estudiando sus funciones inversas. Su contribución fue además decisiva en la fundamentación del análisis con el uso del rigor, dando precisión al contexto de series infinitas. La repercusión de los numerosos resultados que obtuvo en importantes zonas del análisis , le sitúan entre los más notables matemáticos de la historia. Junto a Henrik Ibsen, Abel es uno de los iconos nacionales de Noruega. Niels Henrik Abel nació el 5 de agosto de 1802 en la isla de Finnöy en la costa sudoccidental de Noruega. Era descendiente de una familia de sacerdotes rurales. Su padre Sorën-Georg Abel ejercía como párroco protestante de la pequeña aldea de Finnöy, en la diócesis de Cristianía (la actual Oslo), aunque también colaboraría como político en pro de una Noruega independiente. Su madre Ana María Simonsen, era hija de un comerciante de Risör. El matrimonio tuvo siete hijos. Abel era el segundo de ellos. Ya cumplido un año, su padre fue designado pastor de un lugar llamado Gjerstad cerca de Risör, donde Abel junto con su hermano primogénito tuvo que iniciar su educación en un período crítico para el desarrollo de su país, ya que la disolución en 1814 de la unión de Noruega con Dinamarca (gobernadas desde Copenhague por el mismo rey) acabó con la cesión de Noruega a Suecia. Esta última estableció entonces un gobierno provisional en Oslo y aunque a Sören se le incluyó en el cuerpo legislativo para su nueva constitución, la fuerte crisis noruega impidió al padre de Abel resolver la precaria situación económica de su familia. Unos años antes, Sören coadyuvaría con eficaces campañas, en la fundación (1811) de la primera Universidad noruega en Cristianía, la cual se pudo crear al proveerse de un cuerpo docente constituido por los mejores maestros de la Escuela Episcopal de Cristianía (existente desde la Edad Media), inaugurando la docencia universitaria en 1813. En 1815 logró conseguir a duras penas, una modesta ayuda para que Abel y el primogénito accediesen a la citada Escuela, donde destacaban en el curriculum Lenguas Clásicas, Religión e Historia.

Lunes, 13 de Octubre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más

62. Germain, Sophie (1776-1831)

Sophie Germain fue una matemática autodidacta. Nació en París en las últimas décadas del Siglo de las Luces. Los cambios políticos y sociales que se producían en Francia durante su niñez determinaron que, desde muy pequeña, considerara la Ciencia y especialmente las Matemáticas, como el estímulo intelectual que daba sentido y tranquilidad a su existencia. Sus primeros trabajos en Teoría de Números los conocemos a través de su correspondencia con C. F. Gauss, con el que mantenía oculta su identidad bajo el pseudónimo de Monsieur Le Blanc. El teorema que lleva su nombre fue el resultado más importante, desde 1753 hasta 1840, para demostrar el último teorema de Fermat, además permitió demostrar la conjetura para n igual a 5. Posteriormente sus investigaciones se orientaron a la teoría de la elasticidad y en 1816 consiguió el Premio Extraordinario de las Ciencias Matemáticas que la Academia de Ciencias de París otorgaba al mejor estudio que explicara mediante una teoría matemática el comportamiento de las superficies elásticas y publicó varios libros sobre este tema. En los últimos años de su corta vida, además de dos trabajos matemáticos, uno sobre la curvatura de superficies y otro sobre teoría de números, escribió un ensayo sobre filosofía de la ciencia que Augusto Comte citó y elogió en su obra. La historia de Sophie es la de una matemática brillante que no pudo lograr su pleno desarrollo porque en sus años de formación no pudo acceder a una educación matemática formal y en su madurez tuvo que trabajar en solitario porque una jerarquía científica, totalmente masculina, la excluía. Tener una formación autodidacta, anárquica y con lagunas le perjudicará toda su vida. Su aislamiento no fue tan evidente cuando trabajaba en teoría de números, pero cuando comenzó a trabajar en física matemática no tuvo, en un primer momento, los últimos conocimientos matemáticos que entonces se estaban utilizando y que requerían un trabajo cada vez menos solitario y ligado a la comunidad científica. Aunque su obra merecía el reconocimiento académico, nunca recibió título alguno. Una calle de París y un Liceo llevan su nombre, y una placa, en la casa donde murió, (el número 13 de la rue de Savoie) la recuerda como matemática y filósofa. Actualmente, el Instituto de Francia, a propuesta de la Academia de Ciencias, concede anualmente “Le prix Sophie Germain” al investigador que haya realizado el trabajo más importante en Matemáticas, pero todo este reconocimiento es póstumo, ya que incluso en su certificado de defunción lo que figura como profesión es rentista y no matemática.

Miércoles, 26 de Noviembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más

63. Byron, Ada: Condesa de Lovelace (1815-1851)

"Al desabrochar el abrigo, metió las manos en los bolsillos de su pantalón para mostrar mejor el chaleco, que estaba tejido con el dibujo de un mosaico impreciso de diminutos cuadros azules y blancos. Los sastres los denominaban el Estampado a cuadros de Ada, la señora que había programado el telar Jacquard para que tejiera álgebra pura" Gibson y B. Sterling Hace muchos, muchos años, allá por el año 1944, había una hermosa joven en un fábrica de tejidos que producía en serie, metros y metros de telas estampadas. La joven vigilaba el correcto funcionamiento de una máquina que tejía automáticamente los dibujos gracias a unas tarjetas que guardaban todas las órdenes necesarias. Grupos de tarjetas que actuaban una y otra vez para estampar repetidamente el mismo motivo a lo largo de la enorme pieza de tela. Libre de pensar en el número de pasadas y puntos en que antaño ocupaba su atención, cuando atendía su propio telar en la casa familiar, ahora mataba el hastío dejando volar su imaginación en alas de los cuentos de hadas y soñaba que una de ellas se había ocupado de ahorrarle la monotonía de las repeticiones. Recuerda que le gustaba crear o descifrar una muestra, pero luego era embrutecedora la necesidad de repetirla infinidad de veces hasta conseguir la pieza completa. Ciertamente, en un lejano país, muchos años atrás, una hechicera, hija de un poeta mágico y de la princesa de los paralelogramos, inventó un lenguaje nuevo con la intención que la bella joven suponía. Aunque ahora parecía que una horrible bruja la había encadenado a aquella máquina y la había convertido en una pieza más de la enorme fábrica que deglutía millas y millas de hilo y vomitaba sin cesar las piezas “manufacturadas” que engrosaban progresivamente las arcas del amo. La niña hechicera recibió, al nacer, el nombre de Ada y heredó de sus padres dos dones, de su madre el don de hablar el lenguaje de la aritmética y la geometría y de su padre el don de las letras. Gracias a estos dones, siendo muy joven, inventó unas palabras mágicas que, ser pronunciadas por los duendes mecánicos, eran capaces de conseguir lo arriba referido. La industria textil vio pronto la posibilidad de tejer los mismos estampados con muchas menos tarjetas y adiestró a sus duendes en la pronunciación de las palabras mágicas. Los duendes así adiestrados produjeron tal cantidad de telas estampadas y brocados que las aldeas se vaciaron porque las jóvenes aldeanas y los mozos de las aldeas emigraron a lejanas ciudades atraídos por la magia de éstos duendes y en busca de fortuna. Este relato parece un cuento, pero no lo es: Ada, en 1833, era una joven de 17 años. Un lunes del mes de junio, el día 5 exactamente, iba con su madre, Annabella Milbanke, a ver la máquina pensante, era la máquina de diferencias de Charles Babbage. Unas semanas antes le habían conocido en una fiesta en casa de Mary Somerville, que introdujo a Ada en el mundo de las diferencias finitas. Ya en aquella ocasión, Babbage les hizo saber que estaba pensando en construir una máquina totalmente nueva. El proceso simplificador del cálculo seguía avanzando a lo largo de la Historia. Y todavía avanzaría más, cuando la tecnología llegara a estar a la altura del "Hardware" de Charles y del "Software" de Ada. Diez años más tarde del primer encuentro entre Ada y Charles, éste último daría una conferencia en Turín para presentar su Ingenio Analítico, como llamó a la nueva máquina. Acudió a la conferencia el joven ingeniero Menabrea. Quedó tan impresionado que escribió un resumen de la conferencia y lo publicó en francés. Ada, que ahora era la esposa del conde de Lovelace y, por eso, llevaba su apellido, se puso a traducir el resumen de Menabrea. Enterado Babbage, la animó a comentar la traducción y, así, fue como surgió su obra “Sobre la máquina analítica”. En palabras de Ada Byron Lovelace, “La característica que distingue a la máquina analítica, es la inclusión en ella del principio que Jacquard concibió para regular la fabricación, mediante tarjetas perforadas, de los más complicados modelos de brocados. Al capacitar a los mecanismos para combinar entre sí símbolos generales en sucesiones de variedad y extensión ilimitadas, se establece un eslabón entre las operaciones materiales y los procesosmentales abstractos de la rama más teórica de la ciencia matemática. Se desarrolla un lenguaje nuevo, amplio y poderoso, para su empleo futuro en elanálisis, cuyas verdades se podrán manejar de modo que su aplicación sea más práctica y precisa para la humanidad de lo que hasta ahora han hecho las medidas a nuestro alcance”. En sus márgenes una explicación de cómo hacerla funcionar, que triplicaba el texto, mejoraba el reciente invento de las tarjetas perforadas del francés mencionado por ella misma, Jacquard, para que pudieran ser reutilizadas en las tareas cíclicas. Aquello era el invento de las subrutinas, pieza clave en la programación de los modernos ordenadores. En otra de sus páginas se podía leer: "La Máquina Analítica no tiene ninguna pretensión de originar nada. Es capaz de hacer cualquier cosa, siempre que sepamos ordenarle cómo hacerla. Puede seguir el análisis; pero no tiene capacidad de anticipar cualquier relación o verdad analítica. Es de su incumbencia ayudarnos a hacer disponible lo que ya conocemos. Está calculada para hacer esto primordialmente y sobre todo, claro está, por medio de sus facultades ejecutivas; pero es posible que ejerza una influencia indirecta en la ciencia misma de otra manera. Porque, al distribuir y combinar las verdades y las fórmulas del análisis de manera tal que sean lo más fácil y rápidamente disponibles a las combinaciones mecánicas de la máquina, las relaciones y la naturaleza de varios temas en esa ciencia, reciben necesariamente una nueva luz, y se investigan más profundamente". El Ingenio analítico estaba diseñado con dispositivo de entrada, a semejanza de las tarjetas perforadas del telar de Jacquard; almacén, llamado hoy memoria; molino, nuestro micro y moderno procesador, y dispositivo de salida en papel u otra vez en tarjetas, como las actuales impresoras y disqueteras. La máquina podía sumar, restar, multiplicar, dividir –como la máquina de Pascal- y ejecutar instrucciones atendiendo a ciertas condiciones, repetir algunas de las instrucciones y computar cualquier fórmula algebraica, sin intervención humana en el proceso de cálculo. Bastaba para ello traducir las órdenes, condiciones y fórmulas algebraicas a tarjetas perforadas, éstas eran sólo otro lenguaje analítico, un lenguaje de programación, diríamos hoy, en realidad el Software de Ada. Era con esta aportación con lo que la condesa de Lovelace superaba al telar inventado por Jacquard en 1801, que organizaba las hebras de las tejedoras, que a su vez habían aprendido de las arañas o tal vez de las mariposas. Ada Byron nació en Londres el día 10 de diciembre de 1815, con el fin del imperio napoleónico. Fue hija de Anne Isabella Milbanke y de Lord Byron. Las fechas de nacimiento de los progenitores marcan los extremos de uno de los periodos históricamente más relevantes para Europa: la Revolución Francesa. Él con el anuncio de la convocatoria de Estados Generales, pocos meses antes de la toma de la Bastilla, ella el mismo año en que Mary Wollstonecraft publicó la Vindicación de los Derechos de la Mujer en Londres y Francia declaraba su primera República. El matrimonio, celebrado en Londres mientras Napoleón iniciaba sus memorias y su declive, fracasó inmediatamente y Lord Byron abandonó la ciudad pocos meses después. Pasó el verano de 1816 en Suiza con Percy y Mary Shelley, autora de la novela Frankestein. La princesa de los paralelogramos, como llamaba Byron a su esposa que había estudiado álgebra, geometría y astronomía con el Catedrático de Cambridge William Frend, puso todo su empeño en educar a su hija científicamente, alejada de las "triviales" tendencias literarias y en la más severa "disciplina", para contrarrestar los “vapores de la fantasía” que había heredado de su padre. Ada tuvo como profesora de matemáticas a Mary Somerville y también recibió consejo científico de Lord Morgan. Luego, cuando conoció a Babbage, aprovechó esta amistad para seguir creciendo en sus conocimientos matemáticos. En 1835 Ada se casó con El octavo Lord King, nombrado conde de Lovelace en 1838, momento a partir del cual Ada pasó a ser la condesa de Lovelace. El matrimonio tuvo una hija Anna Isabella Noel y dos hijos Byron Noel, vizconde de Ockham y Ralph Gordon Noel, treceavo barón de Wentworth y segundo conde de Lovelace. Además de tal abundancia de títulos nobiliarios, el primer conde de Lovelace proporcionó a Ada la posibilidad de acceder a los fondos bibliográficos de la Royal Society de Londres, para lo cual consiguió ser nombrado miembro de tan afamada sociedad científica. Ella, como mujer, no tenía acceso ni a la biblioteca de esta institución ni a la de ninguna otra de nivel universitario. Murió muy joven ocho años antes de que la primera universidad europea, la suiza, en 1860, admitiera en sus aulas a una mujer. Hasta 1874 ninguna mujer obtendría el doctorado en matemáticas, al que Ada hubiera podido optar por sus dotes, sus conocimientos y sus aportaciones, que la convertían no en poeta como su padre ni matemática como deseaba su madre, sino en una matemática poética, en lo cual fue precursora de los planteamientos más progresistas de la actualidad que abogan por la capacidad de exponer poéticamente una demostración matemática. El programa confeccionado por Ada Byron, sobre tarjetas perforadas, para el Ingenio Analítico de Babage computaba los números de Bernouilli, y da idea de sus conocimientos matemáticos y de su capacidad para crear un programa, mucho más complejo y ambicioso que los pequeños programitas ideados por el propio Babbage. Extrapolaba la primitiva estrategia fabril a una máquina de calcular. La idea de reutilizar las tarjetas encargadas de cierto procedimiento, cada vez que fuera necesario, dentro de un mismo programa, era tan avanzada que en los cien años posteriores no se escribió nada mejor referente a esta materia. Para entonces, ya se estaba aprovechando su aportación en la industria textil que enriquecía a unos pocos y explotaba a tantas y tantas mujeres como la joven del comienzo de este cuento. La salud de Ada nunca fue robusta y, a partir de 1843, a los 27 años, madre de tres criaturas pequeñas y terminadas las notas a la edición de Menabrea, decayó alarmantemente. Los médicos, en un principio, diagnosticaron histeria, era el saco de sastre de aquella época. Ada creyó durante largo tiempo en la certeza del primer diagnóstico. El láudano la alivió del dolor, producido por el terrible cáncer diagnosticado pocos meses antes de su muerte, hasta que su madre se hizo cargo de ella al final de su enfermedad y le retiró todos los calmantes, para que ganara la salvación eterna de su alma con el sufrimiento infinito de su cuerpo. Murió a los 36 años, como su padre, el famoso Lord Byron, al que nunca llegó a conocer, pero del que heredó la poderosa imaginación que la hizo vivir y sufrir. Ada pidió ser enterrada junto a él, que pensó siempre en ella y que le dedicó las últimas palabras antes de morir. De su triunfo científico sólo nos quedan sus iniciales en el artículo “Taylor’s Scientific Memoirs” publicado en 1843. Poner sólo las iniciales la preservaba del ridículo a que hubiera estado expuesta socialmente de haberse sabido que ella, una mujer, publicabamaterial“tan masculino”. Hoy, en la era de la informática, se le han concedido reconocimientos como dar su nombre a un lenguaje de programación, el lenguaje ADA, diseñado por y para el Departamento de Defenda de los Estados Unidos de América. Este lenguaje permite a Ada viajar alrededor del globo y en el tiempo, gracias a su amabilidad, flexibilidad, robustez y adaptabilidad a software nuevo. Está presente en un arsenal de industrias y organizaciones en Bélgica, Francia, Alemania, Suecia, Suiza, España, Reino Unido, y los Estados Unidos que utilizan el lenguaje Ada en los sistemas de control, de fabricación, en los sistemas de las actividades bancarias y de información, aviación, comunicación por satélite, y diseño. Por ejemplo, en los sistemas de control de la industria nuclear checa Westinghouse y elsistema de control del proceso del acero de la Weirton o en el sistema de actividades bancarias en el estado sueco que automatiza así todo el pago de la nómina, gastos, depósitos, y transacciones electrónicas. También se utiliza en telefonía móvil y en el diseño de circuitos integrados, en los sistemas de pruebas de motores de vehículos y a para diseñar toda la automatización de Microsoft Windows. Se invierte un décima parte de tiempo y de presupuesto en el software para cohetes espaciales, lo cual es la razónprimordial por la que los militares de USA utilizan este lenguaje. También se recuerda a Ada Byron Lovelace como personaje principal en novelas, obras de teatro y en un film de realidad virtual “Conceiving Ada”. En nuestro país, La Organización Española para la Coeducación Matemática ha adoptado su nombre, OECOM “Ada Byron”, con la misma finalidad: reconocer en la era cibernética el papel pionero de una mujer en ese campo, tan ligado a las matemáticas como la misma Ada Byron reconoce en las citas apuntadas en esta breve biografía. Libros y revistas Nomdedeu Moreno, Rosario; Mujeres Manzanas y Matemáticas. Entretejidas.Nivola. Madrid. 2000. Nomdedeu Moreno, Rosario; “Un cuento de Adas”.Atrevernos a educar 9-21. Madrid. Marzo. 2003. Toole, Betty Alexandra; The enchantress of numbers. Prophet on the computer age. Strawberry Press. Canada. 1992. Páginas web: Exposición de Teresa Lanceta en Divulgamat http://myhero.com/myhero/hero.asp?hero=a_lovelace http://platea.pntic.mec.es/~mmediavi/Shelley/index.html http://www.adabyron.org/

Martes, 11 de Noviembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

64. Qurra, Tabit ben (~830-901)

Contemporáneo de Al-Jwarizmi, aunque bastante más joven (nació en la ciudad mesopotámica de Harran y vivió aproximadamente entre los años 830 y 901), es Abu al-Hasan Tabit ben Qurra. Fundó una escuela de traductores y gracias a ella fueron conocidas en Bagdad obras de Euclides, Arquímedes, Diofanto y Apolonio. De algunas de éstas (los libros V, VI y VII de las Cónicas, por ejemplo) solo conocemos las traducciones árabes, y si no es por los esfuerzos de Tabit ben Qurra y su grupo de trabajo, se habrían perdido para siempre. También se le deben varios resultados originales. Hablaremos de los dos más conocidos. Los números amigos: Recordemos que dos números se llaman amigos si la suma de los divisores propios de cada uno de ellos es igual al otro, y que la más sencilla pareja de números amigos (ya conocida por los pitagóricos) es la de 220 y 248. Tabit ben Qurra demostró que si para un cierto número natural n son primos los números: p = 3•2n - 1        q = 3•2n-1 - 1        r = 32•2n-1 - 1 entonces son amigos los números a=2npq y b=2nr. La demostración es muy elemental: De modo muy parecido se demuestra que los divisores propios de a suman b. Este descubrimiento de Tabit ben Qurra permite elaborar la siguiente tabla de números amigos: Una generalización del teorema de Pitágoras Si trazamos desde el vértice A de un triángulo dos rectas AD y AE tales que los ángulos ADB y AEC sean iguales a A, entonces sucede lo siguiente: AB2 + AC2 = BC (BD + EC) Es muy fácil llegar a esta igualdad generalizando la demostración que del teorema de Pitágoras aparece en el libro I de los Elementos. En efecto, repitiendo al pie de la letra el razonamiento de Euclides sobre la figura que viene a continuación, vemos que: Cuadrado rayado en negro = rectángulo rayado en negro Cuadrado rayado en rojo = rectángulo rayado en rojo Sumando miembro a miembro estas igualdades (suponiendo A obtuso), llegamos a lo siguiente: AB2 + AC2 = BC2 - BCDE = BC2 - BC(BC - BD - EC) = BC (BD + EC) y ya tenemos el teorema. Si A fuera agudo, los rectángulos rayados en rojo y negro se superponen y los puntos D y C invierten sus papeles, pero el razonamiento es idéntico. Si A es recto, tenemos el teorema de Pitágoras. BIBLIOGRAFÍA SOBRE MATEMÁTICA ÁRABE [1] CATALÁ, M. A. (1981), “El nacimiento del álgebra”, en Historia de la ciencia árabe, Real Academia de Ciencias exactas, físicas y naturales, Madrid. [2] MILLÁS VALLICROSA, J. Mª, (1947), “Sobre la valoración de la ciencia arábigo-española de fines del siglo X y principios del XI”, en Al-Andalus, Vol. XII, págs. 199-210. [3] MORENO CASTILLO, R. (1998), “La Matemática en Bagdad”, en Boletín de la Sociedad « Puig Adam » de profesores de Matemáticas, nº 49, págs. 53-67. [4] MORENO CASTILLO, R. (2002), Omar Jayyam, poeta y matemático, Nivola, Madrid. [5] RASHED, R. y VAHABZADEH, B. (1999), Al-Khayyam Mathématicien, Editions Albert Blanchard, París. [6] ROMO SANTOS, C. (1997), “La aritmética árabe durante la Edad Media. Antiguos problemas aritméticos árabes”, en Tarbiya, nº 15, págs. 57-64. [7] SAMSÓ, J. (1971), “En torno al Arquímedes árabe: el testimonio de al-Biruni”, en Al-Andalus, vol. XXXVI, págs. 383-390. [8] SÁNCHEZ PÉREZ, J. A. (1921), Biografías de matemáticos árabes que florecieron en España, Estanislao Maestre, impr., Madrid. [9] SESIANO, J. (1990), “Rhetorische Algebra in der arabiscsh-islamischen Welt”, en Geschichte der Álgebra, Wissenschaftsverlag, Mannheim. [10] SESIANO, J. (1990), “Aufnahme und Fortführung der arabiscshen Algebra im europäischen Mittelater”, en Geschichte der Álgebra, Wissenschaftsverlag, Mannheim. [11] VAHABZADEH, B. (1997), “al-Khayyam´s conception of ratio and proportionality”, en Arabic Sciencies and Philosophy, vo´lumen 7, págs. 247-263. [12] VERNET GINÉS, J. (1978), La cultura hispanoárabe en Oriente y Occidente, Ariel, Barcelona [13] VERNET GINÉS, J. (1986), “La matemática árabe”, en Historia de la matemática hasta el siglo XVII, Real Academia de Ciencias Exactas. Físicas y Naturales, Madrid. [14] VERNET, J. y CATALÁ M. A. (1965), “Las obras matemáticas de Maslama de Madrid, en Al-Andalus, vol. XXX, págs. 15-45. [15] VERNET, J. y CATALÁ M. A. (1965), “Un ingeniero árabe del siglo XI: al-Karayi”, en Al-Andalus, vol. XXXV, págs. 69-92. [16] VILLUENDAS, M. V. (1981), “El origen de la trigonometría”, en Historia de la ciencia árabe, Real Academia de Ciencias exactas, físicas y naturales, Madrid. [17] YOUSCHKEVITCH, A. (1976), Les Mathématiques Arabes, Librairie Philosophique J. Vrin, París.

Jueves, 04 de Diciembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

65. Hilbert, David (1862-1943)

23 Enero 1862, Königsberg (Prusia) – 14 Febrero 1943, Göttingen (Alemania). El nombre de Hilbert ocupa un lugar muy especial en el imaginario colectivo de los matemáticos. Sin duda se trata del matemático más famoso del siglo XX, a lo que contribuyeron de manera muy especial su aportación a la configuración de los métodos axiomáticos actuales, sus profundos resultados en álgebra, teoría de números, geometría y teoría de funciones, los celebérrimos “problemas matemáticos” que dejó planteados en 1900, y las venturas y desventuras de sus intentos de resolver la cuestión de los fundamentos de la matemática. En el año de su muerte, se le celebraba como aquel “a quien el mundo consideró durante las últimas décadas como el más grande matemático vivo”. David Hilbert había nacido en Königsberg (hoy Kaliningrado, Rusia), ciudad de la Prusia oriental situada junto al Báltico. Su ciudad natal era célebre por varias razones, entre ellas haber sido el hogar del famosísimo filósofo Kant, haber dado lugar al problema de los siete puentes que estudió Euler, y haber albergado una importante escuela de físicos y matemáticos que crearon hacia 1830 Jacobi y Neumann. Hijo y nieto de jueces, Hilbert pasó en su ciudad natal los primeros 33 años de vida, y dentro de los estrechos límites de esa ciudad tuvo lugar su desarrollo intelectual. Pero el alto nivel que habían alcanzado las matemáticas en Alemania, unido a una afortunada coincidencia con otros grandes matemáticos, permitieron que “los largos años de seguridad en Königsberg” se convirtieran en “un tiempo de maduración continua”. En la Universidad, Hilbert tuvo la fortuna de asistir a las lecciones de Heinrich Weber (1842–1913) sobre funciones elípticas, teoría de números y teoría de invariantes. Weber era un matemático polifacético, que también realizó contribuciones a la física matemática, y que había editado las obras de Riemann. Era además amigo íntimo de Dedekind, con quien publicó en 1882 un célebre trabajo sobre curvas algebraicas, ofreciendo una fundamentación al modo de la teoría de ideales en cuerpos de números, que abría el camino hacia la geometría algebraica del siglo XX. La influencia de Weber, y a través de él la tradición de Gauss, Riemann y Dedekind, sería decisiva para Hilbert. Menos importante debió ser la influencia de Lindemann, quien pese a ser el director de tesis de Hilbert, y haber demostrado la trascendencia de π, no era un matemático de gran talla. Pero lo que sí resultó decisivo fue la amistad con Adolf Hurwitz (1859–1919) y Hermann Minkowski (1864–1909), el primero llegado en 1884 como profesor asistente (Privatdozent), el segundo aún estudiante como Hilbert pero en Bonn, si bien, al haber nacido en Königsberg, pasaba allí las vacaciones. Así nos lo cuenta: Pronto, aunque todavía era estudiante, me vi invitado por Hurwitz a tratar con él de temas científicos, y tuve la fortuna de llegar así a conocer en su presencia, de la manera menos fatigosa y más interesante, los modos de pensar de aquellas dos escuelas que se enfrentaban entonces y que sin embargo se complementaban una a otra tan magníficamente: la escuela geométrica de Klein y la escuela algebraico-analítica de Berlín. Estas interacciones se hicieron más estimulantes aún, dado que también el genial H. Minkowski, de quien yo ya era amigo …, se unió a nuestro círculo. En innumerables paseos, que por momentos continuaban día tras día, tuvimos ocasión a lo largo de ocho años de repasar todos los rincones del saber matemático, y Hurwitz, con sus conocimientos tan extensos y polifacéticos como firmes y bien ordenados, nos servía siempre como guía. Hurwitz había estudiado en Berlín, logrando dominar no sólo los métodos de Weierstrass, sino también las algo oscuras ideas de Kronecker, pero sobre todo había sido discípulo de Felix Klein, quien pretendía tomar el relevo de Riemann, duramente criticado por los berlineses. Hay que notar que las ideas de Riemann “no eran todavía, como hoy, bien común, y su conocimiento implicaba en cierto modo situarse en una clase superior de matemáticos”. El contraste entre ambos estilos matemáticos enseñó a Hilbert lecciones fundamentales para su futura carrera, si bien él se comprometió siempre con el enfoque más moderno y abstracto: el de Riemann, Dedekind y Cantor. En 1886 Hilbert se convirtió en Privatdozent, dedicándose a publicar en el campo de la teoría de invariantes. En 1892 fue nombrado profesor extraordinario como sucesor de Hurwitz (ahora en Zurich), y el año siguiente obtuvo por fin el puesto de Professor, equivalente a nuestro catedrático. Pero sólo permanecería en su ciudad natal hasta 1895, momento clave en que Felix Klein logró que fuera nombrado catedrático en la Universidad de Göttingen, donde permanecería el resto de su vida. Por esta época trabajaba sobre teoría de números algebraicos, campo en el que probablemente realizó sus aportaciones más profundas. Como vemos, una ojeada superficial a la actividad matemática de Hilbert en estos años clave, de 1886 hasta 1899, podría dar la impresión de un investigador muy bueno, pero muy especializado. Sería quizá difícil prever lo que iba a venir, el ascenso de Hilbert a la cumbre del mundo matemático y la convicción general de que fue uno de los últimos matemáticos universales, que dominó todos los campos de su disciplina. Pero los historiadores han mostrado cómo ya en los años de Königsberg había ido dando cursos sobre todos los campos de la matemática, incluyendo la geometría y la teoría de funciones. Su sólida formación generalista estaba bien avanzada, y también su gran interés por los fundamentos. En 1890, Klein recibía uno de sus artículos sobre teoría de invariantes con el comentario: “no tengo dudas de que es el artículo más importante sobre álgebra general que han publicado los Mathematische Annalen hasta la fecha”. Y el mismo año, le describía en carta al poderosísimo ministro prusiano de educación como la estrella ascendente entre los jóvenes matemáticos alemanes. El hecho de que, en 1893, la DMV [Deutsche Mathematiker Vereinigung] le encargase a Hilbert –junto con el mundialmente reconocido Minkowski– escribir un informe sobre la teoría de números, es buena muestra del alto concepto que se tenía de sus capacidades. Teniendo en cuenta, pues, que la actividad de Hilbert iba más allá de lo que muestran estrictamente sus publicaciones, se puede sin embargo (al modo de Weyl) examinar sus contribuciones escritas dividiéndolas en períodos. Hasta 1893, trabajos sobre formas algebraicas y ante todo invariantes algebraicos; de 1893 a 1899, teoría de números algebraicos, publicando en 1897 el célebre Zahlbericht; entre 1899 y 1903, trabajos sobre fundamentos de la geometría que marcaron el estilo axiomático moderno; entre 1904 y 1912, diversos problemas de análisis: el principio de Dirichlet, cálculo de variaciones, ecuaciones integrales; de 1909 a 1916, problemas de física teórica, incluyendo su concurrencia con Einstein; y por fin, desde 1918, contribuciones a los fundamentos de la matemática. Las primeras contribuciones importantes de Hilbert fueron sobre invariantes algebraicos. Hasta el momento Paul Gordan había establecido, sobre una base algorítmica de complicados cálculos, que existe una base finita para los invariantes y covariantes de las formas binarias. En 1888 Hilbert abordó la cuestión con un enfoque abstracto, conjuntista, estableciendo teoremas de existencia generales a la manera de Dedekind. Pronto logró resolver el caso general para formas de n variables, estableciendo el teorema de la base finita. A la vista de su demostración, Gordan le escribió a Klein que ésta no satisfacía “los más ínfimos requisitos que hacemos a una demostración matemática”. Síntoma de la división profunda que separaba entonces a los constructivistas, como decimos hoy, de los matemáticos de tendencia moderna. Klein debió quedar muy impresionado cuando Hilbert se negó a cambiar una coma en su artículo, diciendo que a falta de una refutación concluyente, aquello era “mi última palabra”. Al resolver problemas centrales de la teoría de invariantes, la obra de Hilbert contribuyó a que ésta perdiera parte del atractivo y la importancia central que había tenido. Él mismo nunca volvió al tema. Algo distinto fue su efecto sobre la teoría de números algebraicos: el encargo que le hizo la DMV dio lugar a un trabajo muy sistemático y profundo, su Informe sobre la teoría de los números algebraicos. Más bien se trataba de una impresionante sistematización de los resultados previos de Dedekind y Kronecker, aumentada por nuevos resultados, especialmente sobre cuerpos de Galois. En artículos publicados los años siguientes (1899, 1902), estas nuevas ideas condujeron a los resultados más originales de Hilbert en este campo, dando inicio a la teoría de cuerpos de clases. El Zahlbericht se convirtió en la obra de referencia para los especialistas por muchos años; tal como esperaba Minkowski, relegó los trabajos de Dedekind y Kronecker a un segundo plano. De todos modos, su exposición no era tan moderna como la del primero, y en los años 1920, precisamente en el Göttingen que lideraba Hilbert, Emmy Noether capitaneó un movimiento de vuelta a Dedekind. Eso sí, la exposición de Hilbert resultaba muy tersa y elegante para los matemáticos de 1900, y sus métodos estaban cuidadosamente elegidos tanto para resolver problemas particulares como para admitir generalizaciones. Era la marca de la casa, de su muy especial estilo de trabajo. A propósito de Noether, hay que mencionar que Hilbert fue un hombre progresista, “singularmente libre de prejuicios nacionales y raciales” como demostró durante las Guerras, y avanzado en cuanto a la integración de la mujer. Cuando su propuesta de habilitar a Emmy Noether como Privatdozent tropezó con una fuerte oposición, y algunos preguntaban cómo una mujer iba a estar en las reuniones de Facultad, se dice que hizo el célebre comentario: “Caballeros, la Facultad no es ningún establecimiento de baños”. En el Zahlbericht, Hilbert enfatizaba que la aritmética había abierto caminos fundamentales en el campo del álgebra y la teoría de funciones, para señalar –con referencias a Dedekind, Weierstrass y Cantor– que “en general, el desarrollo moderno de la matemática pura ha sucedido ante todo bajo el signo del número”. Y acto seguido hablaba también de una “aritmetización de la geometría”, orientada a un desarrollo puramente lógico del tema, a estudiar esa rama de la matemática siguiendo el modelo de la teoría de números en cuanto a rigor y compleción en los fundamentos, y a la introducción directa del número en la geometría. Puede verse aquí la promesa de escribir los célebres Fundamentos de la geometría (1899), que aparecieron con ocasión de una ceremonia en Göttingen de homenaje a Gauss. La obra de Hilbert sobre geometría se convirtió en un modelo para el trabajo con sistemas axiomáticos informales que iba a ser característico de la matemática del siglo XX. Tampoco en este caso se trataba de una novedad absoluta: Hilbert construía sobre las aportaciones previas acerca de geometría proyectiva (von Staudt, Reye, Pasch, H. Wiener, Schur), existían los trabajos de la escuela italiana (Pieri, Veronese) que sin embargo no influyeron en él demasiado, y además es importante tener en cuenta los modelos propiamente aritméticos (especialmente Dedekind) que influyen en su obra. Hilbert presentó un sistema de axiomas que inmediatamente dejaba obsoleto a Euclides, y aritmetizó la geometría por medio de los “cálculos de segmentos” basados en los teoremas fundamentales de Pascal y Desargues. Esto le abría el camino a toda una panoplia de geometrías, incluyendo también geometrías no arquimedianas. Hilbert no sólo propuso la idea de que los axiomas admitían interpretaciones múltiples, sino que desplegó su habilidad matemática manejando un gran número de modelos (muchos puramente aritméticos) que servían para investigar propiedades del sistema de axiomas. En esta época, le interesaban especialmente cuestiones acerca de la independencia entre los axiomas, y los cuerpos teóricos que es posible erigir sobre ciertos grupos de axiomas. Por estas razones su obra serviría como un modelo esencial para la investigación de fundamentos y la práctica axiomática en las décadas siguientes. Página de los Proceedings del ICM de Paris (1900) con la conferencia de Hilbert sobre Problemas Matemáticos. Otro hito fundamental, y una de las razones del aura legendaria que ha tenido Hilbert, fue su conferencia sobre “Problemas matemáticos” en el Congreso Internacional de París, en 1900. Por cierto, no era una conferencia plenaria, aunque con posterioridad haya aparecido como el discurso más influyente de aquel congreso; tampoco parece haber despertado entusiasmo de un modo inmediato. Pero sin duda Hilbert fue muy ambicioso al afrontar el reto de “levantar el velo tras el que se oculta el futuro” de las matemáticas, y estuvo a la altura de la ocasión, con lo que de paso logró influir en ese futuro. En París sólo hubo tiempo para discutir 10 de sus veintitrés problemas: la hipótesis del continuo de Cantor; la cuestión de la consistencia para la aritmética de los reales; la axiomatización de teorías físicas; varios problemas de teoría de números, incluyendo la conjetura de Riemann; una cuestión sobre curvas y superficies definidas por ecuaciones polinómicas; las soluciones analíticas de los problemas regulares en cálculo de variaciones; la existencia de ecuaciones diferenciales ordinarias que correspondan a grupos monodrómicos dados; y una cuestión de Poincaré sobre la parametrización de curvas algebraicas por medio de funciones automorfas. Ahora bien, ya que hemos mencionado el mito Hilbert, conviene analizarlo un poco, y nada mejor que citar a uno de sus discípulos más aventajados, Hermann Weyl: Hilbert imprimió el sello de su espíritu sobre toda una era de las matemáticas. Y sin embargo no creo que baste su investigación para explicar el brillo que irradiaba de él, ni su tremenda influencia. Gauss y Riemann, por mencionar otros dos hombres de Göttingen, fueron matemáticos de más talla que Hilbert, y sin embargo su impacto inmediato sobre sus contemporáneos fue indudablemente menor. No hay duda de que esto se debe en parte a las cambiantes condiciones de los tiempos, pero probablemente fue más determinante el carácter de estos hombres. Hilbert estaba lleno de entusiasmo por la vida, por relacionarse con otra gente, y por disfrutar intercambiando ideas científicas. Tenía su propia y libre manera de aprender y enseñar … a través de conversaciones … en largas caminatas a través de los bosques que rodean Göttingen, o, en los días lluviosos, como peripatéticos, en el paseo cubierto de su jardín. Su optimismo, su pasión espiritual y su fe inquebrantable en el valor de la ciencia eran irresistiblemente contagiosos. Esta pasión y ese optimismo se reflejan también en la florida retórica de sus discursos, por ejemplo en el célebre “wir müssen wissen, wir werden wissen” [debemos saber; llegaremos a saber], o en sus referencias al “paraíso de Cantor”, que de paso demonizaban a figuras como Kronecker o Brouwer. Pero también fue importante el tiempo y el lugar: la pequeña pero poderosa universidad de Göttingen, sobre todo en los “días de gloria” anteriores a 1914, con un impresionante grupo de profesores entre los que descollaban Hilbert y Minkowski, con numerosos discípulos de alto nivel y visitantes extranjeros, todo ello orquestado por ese gran político científico que fue Felix Klein. Fue Klein quien a lo largo de años, ganándose la confianza del poderoso ministro de Educación Althoff, convirtió a Göttingen en el centro matemático más importante del mundo, atrayendo a numerosísimos visitantes. Gracias a él se crearon allí Institutos dedicados a cuestiones de física, matemática aplicada y mecánica, aerodinámica, etc. Weyl lo recuerda así: “Klein reinaba sobre nosotros como un dios distante, ‘divus Felix’, desde arriba de las nubes”. Cuando en 1895 Klein impulsó el nombramiento de Hilbert como catedrático, hubo quien le reprochó que traía a aquel joven para estar cómodo y dominar la situación. Su respuesta fue: “voy a nombrar al más incómodo de todos”; y desde luego hay que reconocer que no tuvo miedo a alguien que le haría sombra. Las excepcionales condiciones que había en Göttingen explican cómo, en 1902, Hilbert hizo algo inaudito en Alemania: rechazar la propuesta de una cátedra en Berlín. En cambio, aprovechó para negociar con el Ministro una plaza para Minkowski en Göttingen, y tras lograrlo exclamó: “ahora somos invencibles”. Volviendo a las etapas investigadoras de Hilbert, la siguiente tiene que ver con diversas cuestiones de análisis, especialmente los trabajos que conducirían al concepto de espacio de Hilbert (introducido por J. von Neumann hacia 1930). El contexto de libre discusión de ideas que existía en Göttingen fue el origen de estos trabajos: en 1901 un visitante sueco expuso en el Seminario Matemático las ideas de Fredholm sobre ecuaciones integrales, que planteaban una analogía con la teoría de ecuaciones lineales. Estas ideas dispararon la productividad de Hilbert en una nueva dirección, absorbiendo su atención hasta 1912. Desarrolló aquella analogía considerando ecuaciones lineales en infinitas incógnitas y varios tipos de formas cuadráticas, dando así un gran impulso al análisis funcional y la teoría espectral. Estas cuestiones se prestaban a múltiples aplicaciones en física matemática, y cabe destacar el tratamiento que dio Hilbert a la teoría cinética de los gases, a la teoría de la radiación, pero también su solución al problema de monodromía para ecuaciones diferenciales lineales que había planteado Riemann. Por estas razones, pero también debido al enorme prestigio de Hilbert y a la productividad de Göttingen, ese círculo de cuestiones del análisis funcional se convirtió en una moda a nivel internacional. Con todo, según la opinión de un experto en el asunto como Weyl, la mayor parte de aquellas contribuciones fueron de valor efímero, y “no fue cuestión de mérito sino un favor de la fortuna” cuando hacia 1923 se descubrió que la teoría espectral en el espacio de Hilbert era la herramienta adecuada para el tratamiento matemático de la física cuántica. Es característico de la completa personalidad de Hilbert que a continuación dedicara su atención a problemas de física teórica. Pero aquí también influye el contexto: las condiciones privilegiadas de Göttingen en estos temas, los largos esfuerzos de Klein por fomentar el trabajo en matemática aplicada, y los intereses de Minkowski. Hilbert impulsó el proyecto de axiomatizar las teorías físicas y desarrolló resultados en física matemática, pero también dedicó su atención a problemas candentes de aquellos años como los del átomo y la relatividad. En este sentido es bien conocido que en 1915 trabajó en competencia amistosa con Einstein sobre los problemas de la teoría de la gravitación relativista. Pero lo cierto es que, contra lo que se ha dicho, no hubo aquí un descubrimiento simultáneo de las ecuaciones de campo einsteinianas: la discusión con Hilbert sirvió de ayuda, pero el logro fue enteramente mérito de Einstein. La última etapa investigadora de Hilbert, ya a una edad avanzada, fue su famosa intervención en la disputa sobre los fundamentos: la formulación del programa de Hilbert, que daba un giro realmente novedoso al tema. Las actitudes de Hilbert sobre los fundamentos evolucionaron desde una preferencia inicial por el logicismo de Dedekind en los años 1890. Tras la primera Guerra Mundial, las críticas a la matemática “clásica” planteadas por Brouwer y Weyl le motivaron a intentar “eliminar de una vez por todas las dudas escépticas sobre las matemáticas”. Sin olvidar nunca el contenido conceptual de las teorías matemáticas ni la importancia de la intuición, Hilbert apostó por resolver el problema de los fundamentos combinando la axiomática con la nueva lógica formal. Esto permitía una formalización completa de las teorías matemáticas conocidas, y el desarrollo de una teoría de la demostración que consideraba las demostraciones como resultado de meras combinaciones de símbolos según reglas formales prescritas. Ahora, bastaba demostrar que ninguna derivación formal, ninguna combinación de símbolos podía conducir a la fórmula 0≠0 y con ello quedaría establecida la consistencia de la teoría formal estudiada. El trabajo sobre este tema en los años 1920 fue esencial para la maduración definitiva de la lógica matemática y para el surgimiento de las teorías de la computación. Fue una obra colectiva, con el gran lógico Paul Bernays como colaborador imprescindible de Hilbert, y con figuras de la talla de von Neumann realizando aportaciones originales. Es bien sabido cómo la genial contribución de Kurt Gödel en 1931 puso fin al proyecto de demostrar la consistencia de la aritmética de Peano por medios finitarios. De todos modos, la aportación del maestro y su entusiasmo lograron mantener el rumbo del gran barco de las matemáticas: pese a que las dudas escépticas nunca fueron exorcizadas del todo, la matemática “clásica” siguió gozando de la mejor salud. Además, no hay que olvidar el poderoso desarrollo de la lógica matemática posterior, ni sus decisivas aplicaciones tecnológicas en el mundo de los ordenadores. Bibliografía L. Corry, David Hilbert and the Axiomatization of Physics (1898–1918), de próxima publicación en Kluwer Academic Press. J. Gray, El reto de Hilbert, Madrid, Crítica, 2003 (incluye traducción de la conferencia de 1900 sobre problemas matemáticos). D. Hilbert, Gesammelte Abhandlungen, 3 vols., Berlin, Springer, 1932, 1933, 1935. - Fundamentos de la geometría, Madrid, CSIC, 1991. (Traducción de la 7ª edición, 1930, por desgracia muy defectuosa en el caso de los apéndices.) - The theory of algebraic number fields, Springer-Verlag, Berlin, 1998 (traduc. de I. T. Adamson, introducción de F. Lemmermeyer and N. Schappacher). M. F. Rañada, David Hilbert, Hermann Minkowski, la axiomatización de la física y el problema número seis, La Gaceta de la RSME 6 (2003), nº 3. C. Reid, Hilbert, New York, Springer, 1970. D. E. Rowe, Klein, Hilbert, and the Göttingen mathematical tradition, Osiris 5 (1989), 186–213. W. Sieg, Hilbert’s Program Sixty Years Later, The Journal of Symbolic Logic 53 (1988), 338–348. H. Weyl, Obituary: David Hilbert & David Hilbert and his mathematical work, en Collected works, vol. 4 (nos. 131 y 132), 121–172.

Jueves, 27 de Noviembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

66. Wiener, Norbert (1894-1964)

1. VIDA Norbert Wiener nació en Columbia, Missouri (Estados Unidos) el 26 de noviembre de 1894. Era de origen judío, aunque no supo de esto hasta su adolescencia. Su padre, Leo Wiener (1862-1939), era una persona de carácter. Había llegado a Estados Unidos cuando tenía solamente 18 años, sin una formación académica formal, y, gracias a su tremenda facilidad para las lenguas, consiguió con el tiempo un puesto como profesor de lenguas eslavas en la universidad de Harvard, donde ocuparía una cátedra a partir de 1911 y se jubilaría como profesor emérito en 1930. Parece ser que la madre de Wiener, de nombre Bertha, no ejerció demasiada influencia sobre éste. En su autobiografía, Wiener solamente menciona que era "una mujer pequeña, vigorosa y vivaz" , mientras que al padre le dedica largas páginas en las que se mezclan la admiración y el resentimiento. Parece ser que su padre le amargó la infancia, al hacerse cargo personalmente de su educación y someterlo a una disciplina férrea, que acabaría marcando en él un carácter inseguro y suspicaz. Wiener tuvo el honor de la fama (o la desgracia, según se mire) en al menos dos momen­tos importantes de su vida. El primero fue cuando comenzó sus estudios universitarios en el Tufts Collegue, con sólo 11 años de edad. Así, Wiener era calificado de "niño prodigio" y sometido a la presión de la prensa. Asistía a las clases cuando aún llevaba, en sus propias palabras, pantalones cortos. Se licenció sin problemas y, tras algunos fracasos personales en su intento de comenzar una carrera en zoología, fue enviado a realizar el doctorado a Harvard. Allí defendió una tesis sobre una cuestión técnica de lógica matemática, rela­cionada con los trabajos recientes de Russell y Whitehead, obteniendo el título de doctor con sólo 18 años. La otra ocasión de fama vendría mucho tiempo después, cuando publicó sus primeros trabajos sobre cibernética y, además, se enfrentó al status qua al denunciar el uso inmoral que se estaba realizando de la ciencia, sometiendo la a intereses puramente militares. Tras defender su tesis, Wiener obtuvo una beca para visitar a Russell en Inglaterra. Sin embargo, no se estableció una relación fluida entre ellos, lo cual llevó a Wiener a abandonar sus intereses en lógica matemática y, con la ayuda del también genio de las matemáticas Hardy, se introdujo en el análisis matemático. Concretamente, Hardy explicó a Wiener los entresijos del mundo de la variable compleja y la teoría de la medida. Estos fueron dos de los ingredientes fundamentales con los que Wiener condimentaría una larga trayectoria investigadora, en la que con el tiempo logró importantes éxitos. Un tercer y cuarto ingredientes fueron el análisis de Fourier y una visión profunda de los problemas de la física, la ingeniería electrónica y la biología. Wiener no empleó todo el tiempo de su beca en permanecer en Inglaterra sino que aprovechó su cercanía al viejo continente para visitar Alemania. En particular, viajó a Gotinga, donde asistiría a los cursos de Hilbert y Landau. Además, durante su estancia estudió algo de física, mostrando un especial interés por los trabajos de Einstein de 1905 (su "año milagroso", en el que investigaría entre otros temas el efecto fotoeléctrico, el movimiento Browniano y la teoría especial de la relatividad). En 1914 estalló la Gran Guerra y Wiener volvió rápidamente a Estados Unidos, donde pasaría el verano en New Hampshire. Luego volvió a Inglaterra, pero allí no estaban las cosas como para dedicarse a la investigación y, además, no encontraba a nadie con quien poder colaborar, así que regresó a la casa familiar, a Boston. Pasaron cuatro largos años, en los que Wiener iría cambiando de un empleo a otro, hasta que, en 1919, consiguió un puesto de profesor en el Instituto Tecnológico de Massachusets (MIT). Allí permanecería el resto de su vida académica. Se puede decir que Wiener disfrutó, a partir de entonces, de la vida típica de un profesor universitario estadounidense, dedicado sobre todo a sus investigaciones. En otras palabras, al tener resuelta su economía (y más, tras conseguir una cátedra, en 1931) su vida se centró completamente en la investigación y el cuidado de sus relaciones con el resto de eruditos con los que trabajó, o a los que admiró, tanto en Estados Unidos como en Europa y otros países, como México o China. A Wiener le encantaba viajar y, probablemente herencia de su padre, disfrutaba mucho con los idiomas. Sobre él se ha dicho que "hablaba varios idiomas ... pero no se le entendía bien en ninguno de ellos" . Entre 1920 y 1923, Wiener obtuvo su primer gran éxito, que fue la consecución de un modelo matemático para el movimiento Browniano. Además, en 1920, durante una visita a Fréchet, justo antes del congreso internacional de matemáticos que tendría lugar en Estrasburgo ese mismo año, propuso un conjunto de axiomas para la caracterización de ciertos espacios, que luego se comprobaría que coincidían plenamente con los espacios que Banach estaba estudiando simultáneamente en Polonia. Wiener se dedicó muy pronto a otros temas, al verse desbordado por la cantidad de publicaciones que aparecían constan­temente en relación a los espacios de Banach- Wiener. No soportaba la competencia. Le desquiciaba pensar que cualquier día podría encontrarse con que alguien había publicado ya algo en lo que él estaba trabajando en ese momento. Ya de vuelta en EEUU, se ocupó durante un tiempo en la solución de un problema muy importante en teoría del potencial: el problema de Zaremba. Esta cuestión también le causó algunas dificultades, pues su bril­lante resolución del problema dejaba en evidencia el trabajo que aún estaban realizando algunos matemáticos en Harvard, y Kellogg le pidió que retrasara su publicación. Esto sentó muy mal a Wiener y, por supuesto no lo hizo. De esta forma Wiener consiguió un poco de respeto por parte de sus colegas norteamericanos -que no habían sabido apreciar sus otros trabajos-, pero a cambio tuvo un fuerte enfrentamiento personal con Kellog, que era ya un prestigioso e influyente matemático de Harvard. Wiener trabajó muy duro en varias cuestiones matemáticas relacionadas con la in­geniería eléctrica. Su primera contribución en este campo fue proporcionar una base matemática sólida para el cálculo operacional de Heaviside, pero tras esto vinieron muchas otras aportaciones importantes. Entre ellas, le debemos una buena parte del lenguaje y las técnicas de la teoría de filtros de ondas, tanto en el caso determinista como en el caso aleatorio. Además, su ampliación del análisis armónico y, en particular, la introducción de técnicas propias del cálculo de probabilidades en este área, han tenido una enorme repercusión en el desarrollo de la matemática aplicada en general y de la teoría de la comunicación en particular. Trabajó en colaboración tanto con matemáticos de primera fila, como Paley o Hopf, como con físicos (Born), ingenieros (Lee, Bigelow), fisiólogos (Rosenblueth), etc. Consiguió, con su publicación de "Cibernética" en 1948, dar el salto a la fama, más allá de los círculos profesionales relacionados con las matemáticas o la ingeniería. Como ya hemos mencionado, le gustaba viajar. Tras su reclutamiento en el MIT pasó muchos veranos visitando a matemáticos en Europa y, posteriormente, también viajaría a China, India y, en numerosas ocasiones, a México. Apostó fuertemente por el carácter internacional y puramente apolítico de las matemá­ticas, asistiendo siempre que pudo a los congresos internacionales de matemáticos. Par­ticipó, desde su posición de catedrático en el MIT, en el reclutamiento de numerosos matemáticos judíos que tuvieron que exiliarse tras el ascenso de Hitler al poder. Entre otros, es seguro que ayudó a encontrar una posición en EEUU a O. Szász, H. Rademacher, G. Polya, G. Szégö y K. Menger. Durante la segunda guerra mundial se ocupó de estudiar el problema de la predicción de la posición de un blanco móvil mediante el uso de filtros causales y técnicas estadísticas. En ese periodo redactó un informe técnico (secreto, muy a su pesar) que resolvía este problema de manera muy eficaz. Su informe vería la luz en 1949, en forma de monografía, un poco despues de que Kolmogorov publicara -con otras técnicas y en la URSS, en idioma ruso- resultados muy similares. Durante la locura del Macartismo, Wiener defendió abiertamente a algunos colegas del MIT que estaban siendo investigados. En particular, presionó al rector (amenazando con su inmediata salida del MIT) para que dicha institución no tomase represalias contra Struik por su supuesta vin­culación con el partido comunista. A Struik le impidieron dar clases pero mantuvieron su sueldo mientras estaba siendo investigado. Wiener murió el 18 de marzo de 1964 en Estocolmo, de un ataque al corazón. Terminamos esta sección incluyendo una lista de los doctorandos de Wiener (que deja clara la enorme influencia que ha tenido su obra en el siglo XX), y una breve cronografía, con datos variados sobre su vida y obra. Lista de doctorandos de Wiener. Gleason Kenrick. "A New Method of Periodogram Analysis with Il1ustrative Ap­plications" (tesis codirigida con Frank Hitchcock), 1927, MIT. Carl Muckenhoupt. "Almost Periodic Functions and Vibrating Systems" (tesis codirigida con Philip Franklin), 1929, MIT. Dorothy Weeks. "A Study of the Interference of Polarized Light by the Method of Coherency Matrices", 1930, MIT. Yuk Wing Lee. "Synthesis of Electric Networks by Means of the Fourier Trans­forms of Laguerre's Functions", 1930, MIT. (Lee tiene 258 descendientes científicos). Shikao Ikehara. "An Extension of Landau's Theorem in the Analytic Theory of Numbers", 1930, MIT. Sebastian Littauer. "Applications of the Fourier Transform Theorem on the Ex­ponential Scale", 1930, MIT. James Estes. "The Lift and Moment of an Arbitrary Aerofoil-Joukovsky Poten­tial", 1933, MIT. Norman Levinson. "On the Non-Vanishing of a Function", 1935, MIT. (Levinson tiene 377 descendientes científicos). Henry Malin. "On Gap Theorems", 1935, MIT. Bernard Friedman. "Analyticity of Equilibrium Figures of Rotation" ,1936, MIT. (Friedman tiene 100 descendientes científicos). Brockway McMillan. "The Calculus of the Discrete Homogeneous Chaos", 1939, MIT. Abe Gelbart. "On the Growth Properties of a Function of Two Complex Variables Given by its Power Series Expansion", 1940, MIT. (Gelbart tiene 66 descendientes científicos). Colin Cherry. "On Human Communication: A Review, a Survey, and a Criticism", 1956, Imperial College. (Cherry tiene 102 descendientes científicos). Amar Bose. "A Theory of Nonlinear Systems" (tesis codirigida con Yuk Wing Lee), 1956, MIT. (Bose tiene 69 descendientes científicos). Donald Brennan. "On the Pathological Character of Independent Random Vari­ables", 1959, MIT. William Stahlman. "The Astronomical Tables of Codex Vaticanusgraecus 1291", (tesis codirigida con Otto Neugebauer), 1960, Brown University. Donald Thfts., "Design Problems in Pulse Transmission", (tesis codirigida con Yuk Wing Lee), 1960, MIT. (Tufts tiene 126 descendientes científicos). George Zames. "Nonlinear Operators for System Analysis", (tesis codirigida con Yuk Wing Lee), 1960, MIT. (Zames tiene 11 descendientes científicos). Cronología. 1894 Nace Norbert Wiener en Columbia, Missouri (EEUU), hijo de Leo Wiener y Bertha Kahn. 1901 Primer viaje a Europa. 1903 Primer ingreso de Wiener en la escuela. Antes de esto, su educación había corrido a cargo del padre. 1906-1909 Tufts Collegue. Se gradúa en filosofía, con mención especial en matemáticas, a los 14 años. 1913 Doctor en filosofía por la Universidad de Harvard. Becado para visitar a Russell. Conoce a Hardy. Viaja a Gotinga, donde conoce a Hilbert, Landau, etc. 1914 Inicio de la Primera Guerra Mundial. Wiener regresa a EEUU. 1917 EEUU entra en la Primera Guerra Mundial. Wiener intenta alistarse en el ejército pero no es admitido por su extrema miopía. 1919 Consigue trabajo como profesor en el departamento de matemáticas del MIT. 1920 Caracterización de la estructura de cuerpo en base a una única operación binaria. Congreso de Estrasburgo. Definición de los espacios de Wiener-Banach. Visita a Frechet. 1920-1923 Fundación matemática del movimiento Browniano. 1924 Solución del problema de Zaremba. Conflicto con O.D. Kellogg. 1925 Conferencia en Gotinga sobre el principio de incertidumbre de la teoría de señales. Es invitado para realizar una estancia el siguiente curso académico. Recibe a BUrIl en el MIT, con quien redacta un importante artículo sobre mecánica cuántica. 1926 Cálculo operacional de Heaviside. Concepto de operador causal. Concepto de distribución. Solución generalizada de la ecuación del telégrafo. Se casa con Marguerite Engelmann. 1927 Nace Bárbara, la primera hija de Wiener. 1928 Primeros trabajos sobre teoremas Tauberianos. 1929 Profesor titular en el MIT. Nace Peggy, la segunda (y última) hija de Wiencr. 1930 Publica "Análisis Armónico Generalizado" en Acta Math. Tesis de Yuk Wing Lee. 1930-1931 Conoce a E. Hopf, a quien ayuda a entrar en el departamento de matemáticas del MIT. Publican juntos un importante artículo sobre ecuaciones integrales (en 1931). En él se estudian por primera vez las ecuaciones de Wiener-Hopf. 1931-1932 Profesor visitante en la Universidad de Cambridge. Da conferencias sobre La integral de Fourier y sus aplicaciones en el Trinity Collegue y publica su primera monografía sobre este tema en Cambridge University Press. Participa en el ICM de Zurich como representante del MIT. 1932 Publica "Teoremas Tauberianos" en Ann. of Math. Catedrático en el MIT. 1933 Premio Bocher. Elegido miembro de la Academia Nacional de Ciencias. Conoce a Arturo Rosenblueth, quien será su mejor amigo el resto de su vida. Visita de Paley, con quien trabajaría sobre la transformada de Fourier en el dominio complejo. Caracterización de los filtros físicamente realizables. Muerte de Paley en un accidente de sky. 1934 Libro con Paley. 1935 Primera patente con Yuk Wing Lee. (Habría otras dos más en 1938). 1935-1936 Viaje a China, donde visita a Y.W. Lee en la Tsing Hua University de Pekín. Participa en el ICM de Oslo. Conoce a S. Mandelbrojt. 1937 Conferencia Dohme en la John Hopkins University sobre teoremas Tauberianos. 1938 Conferencia semicentenaria de la AMS. 1940 Memorandum sobre un ordenador digital. Comienza a trabajar con J. Bigelow en su proyecto para el estudio de baterías antiaéreas. 1941 Dimite como miembro de la Academia Nacional de Ciencias. 1942 Redacción del Diablo Amarillo: "Extrapolación, interpolación, y suavizado de series temporales estacionarias" (El informe verá la luz en forma de libro y para un público no restringido en 1949). Conoce a McCulloch. 1943 Conoce a Pitts. 1944 Creación, con J. van Neumann, de la "Sociedad Teleológica". 1946 Nombrado doctor honoris causa por el Tufts Collegue. Asiste a las tres primeras Conferencias Macy. En diciembre publica su carta de denuncia en The Atlantic Monthly. 1946-1950 Consigue, junto con Rosenblueth, una beca de la Fundación Rockefeller para que puedan visitarse todos los años, un año en el MIT y al siguiente en el Instituto Nacional de Cardiología de México. 1947 Congreso en Nancy sobre análisis armónico. Conoce a Freyrnann. 1948 Primera versión de Cibernética. (La segunda versión aparece en 1961). 1949 Lord & Taylor American Design Award. 1950 El uso humano de los seres humanos. (La segunda versión aparece en 1954). 1951 McCulloch y "sus chicos" se trasladan al Laboratorio de Investigación en electrónica del MIT. Wiener imparte una Conferencia Fullbright en París. Visita España, donde imparte una conferencia en Madrid. 1952 Ruptura con McCulloch. Premio Alvarega del Colegio de Médicos de Philadelphia. Imparte las conferencias Forbes-Haws en la Universidad de Miami. 1953 Ex-prodigio. Escuela de verano, con R. Fano y C. Shannon, sobre los problemas matemáticos de la teoría de la comunicación. 1955 Profesor visitante en Calcuta. 1956 Soy un matemático. Conferencia en Japón. Escuela de verano en la UCLA (repe­tirá en 1959,1961 y 1963) 1957 Doctor honoris causa por el Grinnell Collegue. Medalla Virchow de la Escuela médica Rudolf Virchow. 1960 Conferencias en la Universidad de Nápoles (vuelve en 1962). Visita a Rusia. Medalla de investigación ASTME. Profesor Emérito en el MIT. 1964 Medalla Nacional de Ciencias. Dios y Golem. Muere en Estocolmo de un ataque al corazón. Existe abundante material sobre la vida y obra de Wiener (basta echar un vistazo a las referencias, al final de este artículo). En español se han publicado las monografías [1] Y [14], aunque esta última está agotada, fuera de circulación. 2. OBRA La lista de aportaciones matemáticas importantes realizadas por Wiener es extensa y su temática es variada. En la siguiente tabla reflejamos aquellas que consideramos de mayor relevancia: Aportaciones matemáticas más relevantes de N. Wiener. Movimiento Browniano. Introducción de los procesos estocásticos, precursor de la teoría de la probabilidad en espacios de dimensión infinita. Fundamento matemático para el cálculo operacional de Heaviside. Definición de los espacios de Banach (originalmente denominados espaclOS de Banach- Wiener). Teoría del Potencial -solución del Problema de Zaremba. Análisis armónico generalizado y teoremas Tauberianos. Nueva demostración del teorema del número primo. Definición de la transformada de Fourier . Filtrado y teoría de la predicción Memorandum sobre la construcción de un ordenador digital (1940) Cibernética Caos homogéneo Entropía, teoría ergódica, filtros no lineales, etc. http://www.21stcenturywiener.org/ Evidentemente, en una reseña biográfica breve como la presente, no se pueden abordar una a una y en detalle todas las temáticas contenidas en la lista anterior. Es por ello que hemos optado, para dar una idea más precisa del tipo de trabajo que realizó nuestro personaje, por desarrollar sólo algunos de los items anteriores. Concretamente, en esta nota nos concentramos en el trabajo de Wiener relacionado con el análisis de Fourier. Un tratamiento detallado de toda la obra científica de Wiener, se puede encontrar en las monografías [4], [22]. Nosotros vamos a seguir aquí, en gran medida, los capítulos 3 y 4 de [4] y el artículo [5]. 2.1. Un paseo desde el cálculo operacional de Heaviside hasta las distribu­ciones, utilizando técnicas de análisis de Fourier. Desde el momento en que Wiener llegó al MIT, se asumió que él podría ser la persona que ayudaría a la gente del depar­tamento de ingeniería eléctrica a proporcionar un fundamento sólido a las diversas her­ramientas matemáticas que ellos usaban para sus propias investigaciones. Concretamente, la tarea más urgente que se le asignó fue el establecimiento de un fundamento matemático sólido para el cálculo operacional de Heaviside (HOC, en todo este artículo). Esta cuestión le fue propuesta por Jackson -que era el director del departamento en 1920 y quien había sido un amigo de Wiener durante su infancia. La idea principal del HOC es tratar al operador diferencial p = d/dt como un objeto algebraico incluido en un cuerpo (desconocido) e identificar su inverso algebraico q = p-1 con el operador integral q(x) =  f(t)dt. Con estas hipótesis, el HOC sería útil para la resolución de numerosas ecuaciones difer­enciales mediante el procedimiento de trasladar el problema diferencial en un problema meramente algebraico. Veamos, para entender cómo funciona la técnica que acabamos de describir, cómo se aplica este método a un ejemplo sencillo. Supongamos que queremos resolver un circuito RC, el cual queda descrito por la ecuación diferencial ordinaria RCy'(t) + y(t) = x(t), donde R, C son constantes -la resistencia y la conductancia del circuito-, y x(t) = i(t)u(t) es la diferencia de potencial introducida en el sistema. Aquí u(t) representa la función de Heaviside, que vale 0 para t ≤ 0 y 1 para t > 0. Finalmente, y(t) es la salida del sistema. Consideremos el caso especial dado por x(t) = Eu(t), donde E es una constante dada. Este es un ejemplo importante, pues modeliza el problema de introducir en el instante t = 0 una diferencia de potencial constante E en el sistema, y ver cuál es la respuesta del mismo. Si queremos usar, para resolver este problema, las técnicas del HOC, operamos del siguiente modo: comenzamos escribiendo el problema como (RCp + l)y(t) = x(t), de modo que y(t) = x(t). A continuación, desarrollamos el cociente como serie de potencias de q = 1/p, (1)       Por último, utilizamos que para k = 1,2, ... , de modo que que es la solución exacta de la ecuación. Claro que hay varios pasos en la argumentación anterior que no tienen un sustento riguroso. Por ejemplo, no sabemos qué pueda significar q = 1/p y tampoco está claro en qué sentido converge la serie de potencias dada por (1). Por tanto, deberíamos preguntamos cuál es la razón por la que, sin embargo, este método nos proporciona una respuesta correcta. A Wiener le pidieron que encontrase una explicación del HOC que fuese satisfactoria desde un punto de vista matemático. En su artículo de 1926 [30], Wiener describía esta cuestión del siguiente modo: El problema de obtener una interpretación rigurosa del cálculo operacional de Heaviside (...) está aún abierto. Existen varios caminos que parecen llevar  a este objetivo. Junto con la teoría de núcleos permutables de Volterra y la teoría de transformaciones de Pincherle, la transformada de Laplace y la integral de Fourier parecen ser herramientas prometedoras. Sin embargo, al igual que la teoría de Pincherle, la teoría de la transformada de Laplace es aplicable directamente sólo a las funciones analíticas. La integral de Fourier, que puede tratarse como derivada de una forma compleja de la tmnsformada de Laplace, no está sujeta a esta objeción. Por otra parte, las funciones a las que se puede aplicar- la forma clásica de la integral de Fourier, están sujetas a restricciones muy severas en su comportamiento en el infinito. Wiener estaba convencido de que un uso adecuado del análisis de Fourier proporcionaría una solución al problema. La razón fundamental que le conducía a esta conclusión es que el HOC hace un uso extensivo de los operadores de la forma , donde es una serie de potencias, y éstos satisfacen el siguiente resultado técnico: Lema 2.1. Sean g(t) = eiwt y f(t) = eiαt. Entonces L = g() satisface la fórmula: L(f) = f(iw) f(t) = g(iα) f(t) Demostración. Por definición, , de modo que lo que concluye la prueba. Wiener explicaba en su artículo la importancia de esta propiedad del siguiente modo: Cuando se aplica a la función enit, el operador f(d/dt) es equivalente al multiplicador. El resultado de aplicar un operador dado a una integral de Fourier-dada puede ser, por tanto, concebido de manera natuml como la multiplicación de cada término de la forma enit en la integral por un multiplicador que solamente depende de n. Esto es, el operador d/dt no tiene una localización particular en el dominio complejo sino que recorre hacia arriba y abajo todo el eje imaginario. Así pues, resulta demasiado ambicioso pensar que, en general, cualquier desarrollo en serie u otra representación analítica arbitraria de f tendrá el efecto de que f(d/dt) converge al ser aplicado a una función arbitraria. En este artículo se adopta la estrategia de disectar una función en un número finito o infinito de rangos de frecuencia y aplicar en cada rango la expansión concreta del operador que produzca resultados convergentes sobre ese rango. Es gracias a este método de disección que las series asintóticas de Heaviside son justificadas. Las ideas que acabamos de mostrar fueron fundamentales para que Wiener se lanzase a la creación de un nuevo análisis de Fourier, al que bautizaría como "análisis de Fourier generalizado" (GHA en lo sucesivo), que sería aplicable a funciones muy generales. En particular, se trataba de construir un proceso de análisis-síntesis de funciones aperiódicas que no decaen en el infinito. Una motivación muy poderosa para el estudio de esta cuestión radicaba en el hecho de que este tipo de funciones, para las que el análisis armónico clásico no es aplicable, aparecen en numerosos contextos de la física. Las dos teorías del análisis armónico, formadas por las series de Fourier clásicas y la teoría de Plancherel, no abarcan todas las posibilidades del análisis armónico. Las series de Fourier se restrin­gen a la clase muy especial de las funciones periódicas, mientras que la teoría de Plancherel se restringe a estudiar funciones que son de cuadrado sumable y, por tanto, tienden en media a cero cuando su argumento tiende a infinito. Ninguna de estas teorías es apropiada para el tratamiento de un rayo de luz blanca, que se supone perdura por un tiempo ilimitado. Sin embargo, los físicos que se enfrentaron por primera vez al pmblema de descomponer la luz blanca en sus componentes se vieron forzados a utilizar una u otra de estas herramientas ... En su artículo de 1926 Wiener también inició el estudio de los operadores entre espacios de funciones, ya que éstos eran una herramienta básica para el HOC. En particular, intro­dujo el concepto de operador causal (o, con la terminología original, operador retrospec­tivo), lo cual le permitió la demostración de varios resultados interesantes. El operador L se dice "causal" si y solo si para todo número real t se tiene que, si en­tonces L(f)(t) = L(g)(t). Estos operadores son muy importantes en la ingeniería, porque modelan los sistemas que son realizables en tiempo real y, con una mínima variación, sirven para describir todos los sistemas lineales que son físicamente realizables. Wiener los investigó con insistencia en las décadas de 1920 y 1930 y, finalmente, demostró algunos resultados fundamentales sobre ellos. En particular, demostró, con la ayuda de su alumno de doctorado Lee [18] que todo sistema físicamente realizable es, de hecho, realizable en el metal. Esto significa que fueron capaces de construir una red eléctrica, posteriormente bautizada con el nombre de "red de Lee- Wiener", que aproxima el comportamiento de cualquier operador físicamente realizable con precisión arbitraria. Es más, Wiener y Lee crearon una patente para los derechos de explotación de esta red en Estados Unidos y luego se la vendieron a la compañía telefónica AT&T [35]. Creían que la AT&T usaría su invento y les daría fama, por lo que acordaron un precio muy a la baja. Sin embargo, la compañía sólo quería disponer de la patente para guardarla en un cajón y, de ese modo, evitar que otros pudieran utilizar la red de Lee-Wiener en sus inventos, lo cual suprimía la posibilidad de una verdadera competencia. Wiener se sintió terriblemente frustrado por estos hechos, lo cual le llevó a odiar amargamente a la AT&T, a arremeter contra ellos en su libro "Inventar" e incluso a escribir una novela -que intentó que se llevara al cine, pero no lo logró- que tituló "El tentador" y en la que se denunciaban este tipo de acciones por parte de las grandes compañías. Otro resultado muy importante que consiguió demostrar, con la ayuda del matemático inglés Paley, es la caracterización matemática, en el dominio de la frecuencia, de los operadores físicamente realizables, como los operadores de la forma L(X)(ξ) = X(ξ)H(ξ) para los que H(ξ) ∈ L2() y Evidentemente, este resultado es de enorme profundidad. Wiener estaba tan orgulloso de haberlo probado que lo mencionó de forma reiterada en sus escritos matemáticos y biográficos. Por ejemplo, en [33, p. 37] afirmaba: Este resultado es parte fundamental para la teoría de filtros. Establece que, en todo circuito eléctrico, sea cual sea éste, la atenuación, tornada como función de la frecuencia w y dividida por 1+w2, define una función de la frecuencia que es absolutamente integmble. Esto es consecuencia del hecho de que la atenuación es el logaritmo del valor absoluto de la transformada de Fourier- de la respuesta al im­pulso unidad f(t), la cual se anula para valores negativos de t; o, en otras palabras, porque ninguna red eléctrica puede predecir- estrictamente el futuro. Así pues, ningún filtro físicamente realizable puede tener­ una atenuación infinita en una banda finita de frecuencias. El filtro perfecto es físicamente irrealizable por su propia naturaleza, no simplemente por lo inapropiado de los medios que tenemos a nuestra dis­posición. Ningún instrumento que actúe solamente sobre el pasado posee una capacidad de discriminación lo suficientemente fina como para separar una frecuencia de otra con absoluta precisión. Y, en su autobiografía, cuando hablaba de sus investigaciones con Payley [31, p. 168], afirmaba: Un problema interesante que atacamos conjuntamente fue establecer las condiciones precisas que res­tringen a la transformada de Fourier de una función que se anula sobre una semirecta. Este es, por sus propios méritos, un problema matemático profundo, y Paley se enfrentó a él con vigor. Pero lo que fue una ayuda para mí, aunque no resultó útil para Paley fue que se trata, esencialmente, de un problema en ingeniería eléctrica. Se sabía desde hacía muchos años que existe una cierta limitación sobre la precisión con la que un filtro de ondas eléctrico puede eliminar una determinada banda de frecuencias, aunque los físicos y los ingenieros no estaban al tanto de la base matemática profunda que existe tras esta limitación. Al resolver lo que para Paley no era más que un hermoso y difícil problema de ajedrez, completamente autocontenido, yo mostré al mismo tiempo que las limitaciones bajo las cuales estaban trabajando los ingenieros eléctricos son precisamente aquellas que imviden al futuro tener algún tipo de influencia sobre el pasado. Como la motivación fundamental del cálculo operacional de Heaviside era su uso para la resolución de algunos problemas de la física o la ingeniería, Wiener decidió utilizar su método para resolver la que entonces se consideraba la ecuación más importante de la ingeniería eléctrica: la ecuación del telégrafo. Ésta se escribe como sigue: vxx = RCvt + LCvtt; v(x, 0) = 0, v(0, t) = f(t). Aquí, v(x, t) representa el voltaje en un punto de un cable que se encuentra a distancia x del origen (el punto donde se introduce el voltaje) y en el instante de tiempo t. Así, f(t) = v(0, t) representa el voltaje que se introduce en un extremo del cable (el origen) en el instante de tiempo t y nosotros estamos interesados en conocer la cantidad v(L, t), donde L representa la longitud del cable. Fijémonos un poco más detenidamente en esta ecuación. Evidentemente, la entrada f(t) de un mensaje telegráfico estándar es una función discontinua, por lo que podemos asumir, en principio, que v(0,·) es discontinua. Entonces, ¿qué significado podemos dar a las derivadas que aparecen en la ecuación del telégrafo? Sobre esta cuestión Wiener se pronunció del siguiente modo: (...) existen casos en los que v debe ser tratada como una solución de nuestra ecuación diferencial en un sentido general aún cuando ésta no posea derivadas de todos órdenes que aparecen indicadas en la ecuación y, de hecho, aún cuando ésta no sea diferenciable de ningún orden. Es una cuestión interesante el precisar el modo en el que una función no diferenciable pueda satisfacer, en un sentido generalizado, una ecuación diferencial. Evidentemente, el problema de proporcionar un concepto de solución para las ecuaciones diferenciales que permita tratar como soluciones de las mismas a funciones que en realidad no son derivables, era. ya un problema viejo. Piénsese por ejemplo, que podemos introducir como condición inicial para el problema de la cuerda vibrante, un pulso triangular. Estos problemas están modelados por ecuaciones diferenciales, pero admiten como condiciones iniciales funciones no derivables y, sin embargo, siempre tienen una solución física. He ahí la enorme motivación que existía, mucho antes incluso de la aparición en escena de Wiener, para resolver el problema que estamos discutiendo. Wiener, de hecho, fue capaz de proporcionar la idea apropiada para resolver estas ecuaciones "en un sentido general": "(...) Sea G(x, y) una función positiva e infinitamente diferenciable dentro de una cierta región polig­onal acotada R del plano XY, con la propiedad de que ella y todas sus derivadas se anulan en la periferia de ∂R y que vale identicamente cero en el exterior de R. Entonces existe una función G1(x, y) tal que para toda función u con derivadas acotadas sumables de los primeros dos órdenes, como puede demostrarse integrando por partes. Así pues, una condición necesaria y suficiente para que u verifique la ecuación diferencial Auxx + Buxy + Cuyy + Dux + Euy + Fu = 0 en casi todo punto es que para toda función G1(x, y) (pues las funciones G forman un sistema completo sobre cualquier región), y que posea las derivadas requeridas. Podemos, por tanto, tratar las funciones que son ortogonales a todas las funciones G1 como soluciones de la ecuación diferencial en un sentido generalizado." Así, el artículo de 1926 fue también importante porque en él Wiener introdujo un con­cepto de "solución generalizada" de una ecuación en derivadas parciales que, en términos modernos, es exactamente el mismo que el concepto de "solución débil" pma estas ccua­ciones, Podemos, pues, afirmar que Wiener introdujo las distribuciones (en el sentido de Schwartz) ¡con dos décadas de antelación! No hace falta añadir que Wiener demostró que la solución que él obtenía para la ecuación del telégrafo en base al uso de su versión depurada del cálculo operacional de Heaviside, era de hecho una solución generalizada (o solución débil, con la terminología actual) de dicha ecuación. 2.2. Análisis armónico generalizado y teoremas Tauberianos. El éxito obtenido con su trabajo en el cálculo operacional de Heaviside, así como el estudio de algunos fenómenos físicos, como la luz blanca, supusieron una fuerte motivación para que Wiener se lanzara a lo que entonces parecía una empresa imposible: ampliar el abanico de funciones a las que es posible aplicar el análisis armónico. En particular, introdujo el conjunto S de las funciones f: → que son medibles en el sentido de Lebesgue y cuya función de covarianza, está bien definida para todo t ∈ y, además, satisface que Φ ∈ C(). Este conjunto de funciones, que desde entonces se ha bautizado como la clase de Wiener, es lo suficientemente amplio como para abarcar el estudio de todos los procesos físicos y los contextos matemáticos en los que Wiener estaba interesado. En particular, permite el estudio de la luz blanca, la clase de Bohr-Besicovitch de funciones casi-periódicas, y las funciones muestrales asociadas a numerosos procesos estocásticos (incluyendo el movimiento Browniano idealizado, o proceso de Wiener). Desde una perspectiva meramente matemática, las funciones de covarianza son intere­santes porque, cuando las calculamos a partir de un polinomio trigonométrico f(t) = , obtenemos que lo que se interpreta afirmando que la función de covarianza Φ(t) preserva la información de f(t) relativa a la amplitud de su espectro, aunque elimina todo lo relacionado con las fases. En particular, conserva la información relativa a la energía de la señal f(t). La función de covarianza posee numerosas propiedades que son interesantes. Por ejemplo, satisface la desigualdad , lo cual implica que Φ(t) es continua en el origen si y solo si es continua en todo punto de la recta real, pues Φ(0) es un número real. Además, se puede interpretar como la potencia de la señal f(t). Wiener observó que si se intenta identificar qué parte de la potencia de f(t) se encuentra concentrada entre las frecuencias -A y A y se toma el límite A → +∞, sucede que éste coincide con limε→0 Φ(ε) y posee un valor menor o igual que Φ(0). En consecuencia, Wiener restringió su atención a aquellas funciones cuya covarianza asociada es una función continua, pues las otras funciones necesitarían, para una descripción basada en técnicas del análisis armónico, del uso de ciertas "frecuencias ocultas", lo cual es algo evidentemente desagradable. Para introducir su análisis armónico, Wiener necesitaba definir un concepto de espectro que fuese aplicable a la clase S y construir una transformada que enviase los elementos de S a su espectro. Además, esta transformada debía ser necesariamente invertible y preservar la energía de las señales. Un primer paso, para la construcción de su transformada, fue la demostración de que los elementos de la clase de Wiener satisfacen la desigualdad , la cual garantiza que, desde el punto de vista de la norma energía, existe el siguiente límite: La función W(f) que acabamos de definir resultó de enorme importancia, pues se pudo demostrar que si f(t) es una señal de energía finita y F(ξ) es su transformada de Fourier, entonces W(f) es una primitiva de F(ξ). Además, Wiener también demostró que (este límite se toma nuevamente en el sentido de la norma energía) y, como consecuencia, existe una función Λ(ξ) que es monótona decreciente, no negativa, de variación acotada y satisface la fórmula . Lo que es más, Λ(ξ) se puede recuperar a partir de la función de covarianza gracias a la expresión Por último, si imponemos que limξ→-∞ Λ(ξ) = 0 entonces Λ(ξ) representa la potencia total incluida en el espectro de la señal f(t) para las frecuencias que se encuentran entre -∞ y ξ. Wiener denominó a la función Λ(ξ) el espectro integrado o periodograma f(t). El espectro integrado puede adoptar formas variadas, incluyendo los casos de espectro discreto, continuo y mixto, y Wiener se dedicó de forma muy intensa al estudio de cada uno de estos casos. Es importante observar que todos los resultados que hemos enunciado aquí sobre el espectro integrado fueron restablecidos en los años setenta del siglo pasado por Benedetto [7], en términos distribucionales. De hecho, un buen resumen de ellos descansa sobre la afirmación de que la transformada de Wiener W(f) está bien definida para toda función f(t) que satisface la desigualdad , y, además, satisface que W(f)' = (f), donde tanto la transformada de Fourier (f), como la derivada W(f)', como la igualdad en la fórmula anterior, se toman en sentido distribucional. Para poder completar su teoría y, además, estar en disposición de atribuirle las cuali­dades de un "análisis armónico", Wiener necesitaba demostrar un resultado que pudiera clasificarse como análogo al conocido teorema de Plancherel. Este objetivo fue, en re­alidad, el más duro de obtener. De hecho, aunque ya en 1926 Wiener disponía de una formulación precisa para su resultado, el cual afirma que la fórmula se satisface para toda función f(t) de la clase de Wiener S, la demostración del teorema se resistió durante años, porque pasaba por probar que si 9 is una función positiva, entonces (2)                un hecho nada fácil de demostrar. En efecto, Wiener necesitó tirar de una gran cantidad de tiempo e imaginación para lograr una prueba rigurosa de la identidad anterior. Fue precisamente la necesidad de probar esta fórmula lo que le llevó al estudio de los llamados teoremas Tauberianos. Hardy y Littlewood habían demostrado una buena colección de resultados de este tipo, en los que se estudia el comportamiento asintótico, para y → 0+, de numerosas integrales del tipo . Para estudiar estas integrales, Wiener tuvo la idea de realizar el cambio de variables x = e-s, y = e-t, y utilizar las nuevas funciones f(u) = Φ(eu), g(u) = e-uφ(e-u ), lo cual provoca el siguiente conjunto de igualdades: Así pues, via este sencillo cambio de variables, Wiener transformó el estudio de los teo­remas Tauberianos de Hardy y Littlewood en el estudio del límite limt→+∞(g*f)(t), que es un problema sobre convoluciones o (como le gustaba a Wiener llamarlas) filtros de ondas. En pocas palabras, Wiener se llevó el problema original a su propio terreno (el estudio de la transformada de Fourier, los filtros de ondas, etc.), transformándolo en el siguiente interesante problema: dado un filtro de ondas L(f) = g * f (i.e., dado el único filtro de ondas cuya respuesta al impulso unidad está dada por g(t)), ¿para qué entradas f(t) podemos garantizar que la salida y(t) = L(f)(t) posee un límite bien definido cuando t→+∞? Además, demostró el siguiente resultado: Teorema 2.1 (Gran Teorema Tauberiano de Wiener). Supongamos que f ∈ L∞() y g ∈ L1(). Si existe una función g0 ∈ L1() tal que su transformada de Fourier G0 = (g0) satisface G0(ξ) ≠ 0 para todo ξ ∈ y existe el límite (3)          entonces el límite limt→∞(g*f)(t) también existe y, además, satisface (con la misma constante A) la igualdad (4)        Además, si la función g0(t) satisface y para todo par de funciones f ∈ L∞(), g ∈ L1() se tiene que (3) implica (4), entonces la transformada de Fourier de g0 satisface (g0)(ξ) ≠ 0 para todo ξ ∈ . Wiener demostró, además, una versión del teorema anterior adaptada al uso de convolu­ciones contra medidas, , donde se ha sustituido la función f(t) por una medida η definida en toda la recta real. Es precisamente el uso de estas medidas lo que hace posible establecer un puente entre el problema de estimar integrales impropias y el de estudiar la convergencia (o divergencia) de una serie numérica, que era el verdadero origen de los teoremas Tauberianos. Evidentemente, la demostración del Gran Teorema Tauberiano de Wiener es una tarea harto complicada. Para abordarla, Wiener tuvo que demostrar una amplia batería de resultados auxiliares, el más importante de los cuales era el siguiente hermoso resultado: Lema 2.2 (Pequeño teorema Tauberiano de Wiener o Lema de Wiener). Supongamos que f(t) es una función continua y 2π-periódica tal que f(t) ≠ 0 para todo t ∈ , y denotemos por a la sucesión de los coeficientes de Fourier f. Entonces ∈ l1() si y solo si ∈ l1() La prueba original de Wiener de su pequeño teorema Tauberiano fue completamente frontal. Lo que hizo fue, sencillamente, calcular los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier de 1/f en términos de los coeficientes de Fourier de f y, a continuación, realizó una serie de estimaciones que le condujeron de forma muy elegante al resultado deseado (tras utilizar varios trucos delicados, incluyendo la multiplicación por cierta función trapezoidal y el uso de particiones de la unidad). Es probable que, debido al método de demostración utilizado, Wiener no tuvo conciencia de que su lema proporcionaba una hermosa caracterización de los elementos invertibles de l1(), cuando este se interpreta como un álgebra de Banach con la convolución de sucesiones como operación de producto. Este hecho fue resaltado unos años más tarde por el matemático ruso 1. M. Gelfand, y fue el punto de partida pélra que éste creara una nueva rama del análisis funcional: las álgebras de Banach. Existe aún otro punto de vista desde el cual el Lema de Wiener se puede interpretar como un resultado natural. La idea principal consiste en utilizar el hecho, ampliamente conocido por los que trabajan en análisis armónico y en teoría de aproximación, de que existe una estrecha relación entre la velocidad con la que decae a cero la sucesión de coefi­cientes de Fourier de una función, y su suavidad. Concretamente, cuanto más rápidamente decae a cero la sucesión de coeficientes de Fourier de f, más suave es f. y también vicev­ersa: a mayor suavidad de f más rápidamente decae a cero la sucesión de sus coeficientes de Fourier. AsÍ, el Lema de Wiener establece que las funciones f que son algebraicamente invertibles y que son suaves hasta cierto orden (concretamente, suaves en el sentido que fija la relación ∈ l1() tienen la cualidad de que sus inversos algebraicos son suaves del mismo orden. Es más, podemos afirmar, orgullosos por nuestra partici­pación en este teorema concreto, que un resultado de este tipo se satisface para "todos" los conceptos de suavidad. Este resultado ha sido demostrado recientemente por Almira y Luther en [3], para el caso de los conceptos de suavidad asociados a la pertenencia a un cierto espacio de aproximación y, posteriormente, ha sido demostrado en otros muchos contextos por Grochenig y Klotz (ver [13], [16], [17]), entre otros. La importancia de los teoremas Tauberianos de Wiener no se limita a su originalidad. Fue muy importante que él pudiera recuperar, como consecuencia de su Gran Teorema Tauberiano, todos los resultados clásicos que habían abordado previamente Rardy y Lit­tlewood. Además, Wiener fue capaz de demostrar algunos teoremas nuevos en este área. En particular, demostró un teorema Tauberiano para las series de Lambert, a partir del cual se sabía cómo obtener una demostración muy elegante del teorema del número primo (y que sólo había sido conjeturado con anterioridad al trabajo de Wiener, resistiendo nu­merosos ataques de otros matemáticos importantes). Además, Wiener fue capaz, por fin, de demostrar la validez de (2) y, como consecuencia, colocar sobre suelo firme su análisis armónico generalizado. Tan pronto como su amigo Tamarkin, que era entonces catedrático en la Universidad de Brown, supo que Wiener había demostrado los resultados que acabamos de exponer, le animó con enorme insistencia para que redactara dos artículos monográficos extensos en los que se detallaran sus avances tanto sobre los teoremas Tauberianos como sobre el análisis armónico generalizado. Wiener redactó ambos trabajos. En el primero se incluían los resultados relacionados con el GHA y fue publicado en la revista Acta Math­ematica en 1930. El segundo, dedicado a los teoremas Tauberianos, apareció en Annals of Mathematics en 1932. Fue precisamente con la publicación de estas memorias que Wiener logró una plaza en el "Olimpo" de las matemáticas, avanzando con fuerza hacia la primera línea de la investigación y obteniendo por primera vez el reconocimiento de los matemáticos norteamericanos, algo que aún no había conseguido a pesar de sus importantes contribuciones relacionadas con el movimiento Browniano, la teoría del potencial o el cálculo operacional de Heaviside. En 1933 ganó el premio Bocher y en 1934 fue nom­brado Fellow de la academia nacional de ciencias de EEUU. Aunque Wiener fue admirado en vida (y posteriormente) por ingenieros y físicos, gracias a sus contribuciones a la teoría de filtros, la teoría de la predicción, la cibernética, el movimiento Browniano, etc., los matemáticos de todo el mundo le conocen, sobre todo, por sus teoremas Tauberianos, y esta contribución puede considerarse de tal importancia que por sí misma bastaría para concederle un lugar de honor en la historia del análisis matemático. BIBLIOGRAFÍA [1] D. R. Adams, Potential and Capacity before and after Wiener, Proc. of the Centenary Simposia on N. Wiener, 63-80. [2] J. L. Aguiar Benítez, Norbert Wiener, Números 43-44 (2000) 319-322. [3] J. M. Almira and U. Luther, Inverse closedness of approximation algebras, Journal of Mathematieal Analysis and Applications 314 (1) (2006) 30-44. [4] J. M. Almira, Norbert Wiener. Un matemático entre ingenieros, en "La matemática en sus personajes" 41, Ed. Nivola, 2009. [5] J. M. Almira, A. E. Romero, A note on Norbert Wiener contributions to Harmonic Analysis and Tauberian Theorems, in "Mathematical Models in Engineering, Biology, and Medicine", American Institute of Physics Conference Proceedings, 1124 (2009) 19-28. [6] .J. M. Almira, A. E. Romero, How distant is the ideal filter of being a causal one?, At.lant.ic Electronic .J. of Maths. 3 (2008) 47-56 (disponible en http://www.aejm.ca/V3N1/ Almira.V3Nl.pdf). [7] J. J. Benedetto, Generalized Harmonic Analysis and Gabor and Wavelet Systems, in Proceedings 01 the NOTbert Wiener Centenary Congress, V. Mandrekar and P. R. Masani Editors, p. 85-113, AMS Bookstore, 1994. [8] A. G. Bose, Ten years with Norbert Wiener, Conferencia presentada en" A symposium on the Legacy of Norbert Wiener in Honor of the 100th Anniversary of his Birth", Cambridge, MA., 1994. [9] Felix Browder (editor). Norbert Wiener: 1894-1964. Providence, RI: Bulletin of the American Math. Society 72, Number 1, Part 2 (1966) (disponible en http://projecteuclid.org) [10] F. Conway, J. Siegelman, Dark hero of information age. In search of Norbert Wiener, the father of Cybernetics, Basic Books, 2004. [11] H. Freudenthal, Norbert Wiener, en Dictionary of Scientifie Biography, Vol. XIV, Chas. Cribner's Sons, 1976, 344-347. [12] 1. Grattan-Guinness, Wiener on the logies of Russell and Sehroder, Annals of Seienee 32 (1975) 103-132. [13] K. Grochenig, A. Klotz, Noncommutative approximation: Inverse closed suba.lgebras and off-diagonal deeay of matrices, Constr. Approx. [14] S. J. Heims, J. von Neumann y N. Wiener (1) y (2), Biblioteca Salvat de Grandes Biografías, Vols 81 y 82, 1986. [15] D. Jerison, I.M. Singer, D. W. Stroock, (Eds.), The legacy of Norbert Wiener: A Centennial symposium, Proc. Symposia in Pure Mathematics 60, AMS, 1997. [16] A. Klotz, Spectral invariance of Besov-Bessel subalgebras, J. Approx. Theory 164 (2) (2012) 268-296. [17] A. Klotz, Inverse c10sed ultradifferential subalgebras, en Arxiv:l0l2.3362, 2012. [18] Y. W. Lee, Synthesis of ElectTic NetwoTks by the use the FouTÍeT tmnsform of Laguerre's functions, Ph. D. dissertation, M.I.T., Cambridge, Massachusets, June 1930. [19] Y. W. Lee, Norman Levinson, and W. T. Martin (Editors), Selected papers of Norbert Wiener: Expository papers by Y. W. Lee, Norman Levinson, and W. T. Martin, The MIT Press, Cambridge, Mass., 1964. [20] V. Mandrekar, Mathematical work of Norbert Wiener, Notices of the AMS, 42 (6) (1995), 664-669. [21] M. B. Marcus, Book review: Dark hero of the information age: In search of Norbert Wiener the father of cybernetics, by F. Conway and J. Siegleman, Notices of the AMS, 53 (2006) 574-579. [22] P. R Masani, Norbert Wiener (1894-1964), Vita Mathematica, 5, Birkhiiuser, 1990. [23] L. Montagnini. Le armonie del disordine: Norbert Wiener matematico-filosofo del Novecento. Venice, Italy: Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti. 2005. [24] RE.A.C. Paley and N. Wiener, FouTÍeT tmnsfoTms in the complex domain, Amer. Math. Soco Col­loquium Publications XIX, 1934. [25] N. Wiener, The average of an analytic functional, Proc. Nat. Acad. Sic. USA 7 (1921) 253-260. [26] N. Wiener, The average of an analytic functional and the Brownian movement, Proc. Nat. Acad. Sic. USA 7 (1921) 294-298. [27] N. Wiener, Differential space, J. Math. and Physics 2 (1923) 131-174. [28] N. Wiener, The Dirichlet problem, J. Math. and Physics 3 (1924) 127-146. [29] N. Wiener, Une condition nécessaire et suffisante de possibilité pour le probleme de Dirichlet, C.R. Acad. Sci. Paris 178 (1924) 1050-1054. [30] N. Wiener, The Operational Calculus, Mathematische Annalen 95 (1926) 557-584. [31] N. Wiener, Generalized Harmonic Analysis, Acta Math. 55 (1930) 117-258. [32] N. Wiener, Tauberian Theorems, Ann. of Math. 33 (1932) 1-100. [33] N. Wiener, Extmpolation, inteTpolation and smoothing of stationaTY time seTies, Technology Press of the M.I.T. and John Wiley and Sons, Inc., New York, 1948. [34] N. Wiener, 1 am a mathematician, The M.I.T. Press, 1956. [35] N. Wiener and Y.W. Lee, Electric network system, U.S. Patent 2024900, December 17, 1935.

Viernes, 25 de Enero de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

67. Brahmagupta (siglo VI)

Brahmagupta vivió durante el siglo VI de nuestra era. Su obra más importante es Brama Sputa Siddhanta (El sistema revisado de Brama), un texto de astronomía que contiene varios capítulos sobre matemáticas. En otro trabajo astronómico, titulado Khanda Khadyaka, se encuentran dispersos algunos desarrollos trigonométricos de interés. Los números negativos En la obra de Brahmagupta aparece sistematizado, por primera vez en la historia, el cálculo con números negativos y el cero. Los griegos tuvieron una idea del vacío, pero no lo llegaron a tratar como un número. Y la regla de los signos, aunque subyacente en algunas fórmulas sobre productos de restas, nunca había sido enunciada explícitamente: Positivo dividido por positivo, o negativo por negativo es positivo. Cero dividido por cero es nada. Positivo dividido por negativo es negativo. Negativo dividido por positivo es negativo. Positivo o negativo dividido por cero es una fracción que tiene al cero por denominador A la luz de este texto se puede ver que para Brahmagupta 0/0 = 0. Sobre el significado de  a/0 (para un número a ≠ 0) no se atreve a pronunciarse. Las ecuaciones de segundo grado Las aportaciones más importantes de Brahmagupta están en el campo del álgebra. Para las ecuaciones cuadráticas da soluciones generales, proporcionando las dos raíces, sin desechar las negativas. La regla para resolver la ecuación ax2 + c = bx la enuncia así: Deja el número en un lado y en el otro el cuadrado de la incógnita menos la incógnita. Multiplica el número por cuatro veces el coeficiente del cuadrado, súmalo al cuadrado del coeficiente del término medio, y la raíz de esto menos el coeficiente del término medio dividido por dos veces el coeficiente del cuadrado es la incógnita.   Para aplicar esta regla a la ecuación x2 - 10x = -9 va haciendo los cálculos del siguiente modo: 4(-9) = -36, -36 + 100 = 64, √64 = 8, 8 - (-10) = 18 y 18/2 = 9. El teorema chino de los restos Dos números enteros a y b son congruentes respecto de otro entero m si su diferencia es múltiplo de m (o si dan idéntico resto al ser divididos entre m). Esto se escribe así: a ≡ b (mod m). El menor número congruente con a respecto de m se llama el resto de a en relación a m, y es justamente el resto de dividir a por m. Las congruencias mantienen las operaciones aritméticas, de modo que si a ≡ b (mod m) y c ≡ d (mod m), entonces a + c ≡ b + d (mod m) y ac ≡ bd (mod m). La idea de número congruente no fue claramente definida hasta el  siglo XVIII, pero fue utilizado desde mucho antes. Supongamos ahora que tenemos dos series de números enteros a1, a2,..., an y m1, m2,..., mn, y que queremos encontrar un número x para el cual se cumpla lo siguiente: x ≡ a1 (mod m1) x ≡ a2 (mod m2) ................... x ≡ an (mod mn) El llamado teorema chino de los restos, afirma que la condición necesaria y suficiente para que el número buscado exista consiste en que ai ≡ aj (mod mij), siempre que i ≠ j, y siendo mij el máximo común divisor de mi y mj. En el Brama Sputa Siddhanta se encuentra el siguiente problema que es un caso particular del teorema chino: Tenemos una cesta de huevos. Si los cogemos de dos en dos, sobra uno, si de tres en tres, sobran dos, si de cuatro en cuatro, sobran tres, si de cinco en cinco, sobran cuatro, si de seis en seis, sobran cinco, y si los cogemos de siete en siete, no sobra ninguno. ¿Cuál es el mínimo número de huevos que puede haber en la cesta? Si x es el número de huevos, tenemos la siguiente colección de ecuaciones: x = 2y + 1 x = 5v + 4 x = 3z + 2 x = 6w + 5 x = 4u + 3 x = 7y El problema se resuelve aplicando sucesivamente el método de Aryabhata, y se llega de este modo a la solución más pequeña posible, que es 119. En el lenguaje de los números congruentes, el problema puede  ahora ser formulado de esta manera: x ≡ 1 (mod 2) x ≡ 4 (mod 5) x ≡ 2 (mod 3) x ≡ 5 (mod 6) x ≡ 3 (mod 4) x ≡ 0 (mod 7) Es fácil comprobar que cumple las hipótesis del teorema chino. Así que, antes de resolverlo, ya se sabe que tiene solución. La ecuación de Pell Entre los problemas indeterminados que aparecen en la obra de Brahmagupta ocupa un importante lugar la ecuación que la posteridad llamaría ecuación de Pell: x2 - Dy2 = 1 Si D = d2, no hay soluciones (salvo x = 1 e y = 0): si D = d2, resultaría que (x + dy)(x - dy) = 1, y esto es imposible. Pero si D no es un cuadrado, hay infinitas. Y es fácil encontrar las más sencillas por tanteo. Brahmagupta dio con un camino para, a partir de dos soluciones, fabricar una tercera. Este método (que en sánscrito se denomina samasa) es el siguiente: si los pares de números (α,β) y (χ,δ) son soluciones, también lo es el par de números calculados de la siguiente manera: σ = αχ + βδD ω = αδ + βχ Que esto es así es algo de muy simple comprobación. Sea, por ejemplo, la ecuación: x2 - 8y2 = 1 Fácilmente se llega a la solución (3,1). Compuesta consigo misma, tenemos otra solución (17,6), y componiendo las dos, una tercera (99,35). Y así sucesivamente. Triángulos racionales Un triángulos cuyos lados y cuya superficie son números racionales (y en consecuencia también sus alturas) se llama triángulo racional. Brahmagupta tiene la siguiente aportación sobre triángulos racionales. Si los lados de un triángulo son: entonces es racional, resultado de yuxtaponer dos triángulos rectángulos con un cateto común de longitud p (ver la figura que aparece a continuación): AP = p, AC = b, AB = c, PB = c - r y PC = b - q. El cuadrilátero cíclico Por tres puntos no alineados siempre pasa una circunferencia. Por cuatro puntos no siempre sucede así. Por esta razón no todo cuadrilátero tiene una circunferencia circunscrita. Los que sí la tienen se llaman cíclicos. Sobre ellos descubrió  Brahmagupta un hermoso teorema que pasamos a describir. Llamamos fórmula de Herón a la expresión del área de un triángulo en función de sus lados. Si éstos son a, b y c, y  p = (a+b+c)/2 es el semiperímetro, la superficie es: Esta fórmula ha sido muy utilizada por agrimensores y topógrafos, porque no necesita buscar la altura del triángulo, cosa que en terreno abierto no siempre es fácil. Brahmagupta encontró una fórmula que amplía la de Herón a cuadriláteros cíclicos. Si a, b, c y d son los lados del cuadrilátero y p es el semiperímetro, la superficie es: Si d = 0 sale la fórmula de Herón. Pero ignoramos (los textos sánscritos son muy oscuros) si Brahmagupta sabía que su teorema no era válido para cualquier cuadrilátero. Bibliografía DICKSON, L. E. (1971), History of de theory of numbers, Chelsea Publishing company, New York. GERICKE, H. (1984), Mathematik in Antike Orient, Springer-Verlag, Berlín. GHEVERGHESE, G. (1996), La cresta del pavo real, Ediciones Pirámide, Madrid. MORENO, R. (2011), Aryabhata, Brahmagupta y Bhaskara, tres matemáticos de la India, Editorial Nivola, Madrid. ORE, O.  (1988), Number Theory and its History, Dover Publications, New York. VAN DER WAERDEN, B. L. (1983), Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, Springer-Verlag, Berlín.

Viernes, 27 de Julio de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

68. Bhaskhara (1114-1185)

Bhaskhara vivió entre los años 1114 y 1185, y es el último gran matemático de la India medieval. En sus dos tratados, Vija-Ganita y Lilavati, reunió muchas aportaciones originales con diversos problemas procedentes de Brahmagupta y de otras fuentes. Lilavati es el nombre de la hija de Bhaskhara. El día de su nacimiento, cuenta una leyenda, los astros predijeron que moriría soltera. Pasaron los años y Lilavati se convirtió en una hermosísima mujer. Su padre, queriendo contrariar al destino, le buscó un apuesto joven como marido. Después convocó a los astrólogos más célebres, y entre todos señalaron la hora precisa en que la boda debía celebrarse. Prepararon una clepsidra, consistente en un depósito cilíndrico con la base perforada metido en un recipiente lleno de agua. De este modo, el agua entraba en el cilindro, y cuando éste quedara del todo hundido, sería llegado el momento para oficiar el matrimonio. Lilavati, curiosa, se asomó a la clepsidra, y una de las perlas que adornaban su vestido cayó dentro y obstruyó el orificio. Así, la hora propicia nunca llegó y el novio, aconsejado por los astrólogos, huyó. Bhaskhara aceptó la inutilidad de enfrentarse al destino y, para consolar a su hija, dio su nombre a su obra más importante. De esta manera, el nombre de Lilavati vivió para siempre, y esto fue para ella como una segunda vida. El cálculo con el cero En el Vija-Ganita aparece por primera vez la afirmación de que el resultado dividir por cero es infinito: La fracción en la que el denominador es cero se llama cantidad infinita. En esta cantidad en la cual cero es el divisor no hay alteración posible por mucho que se añada o se quite, lo mismo que no hay cambio en Dios infinito e inmutable. Después de esta cita se sostiene que (a/0)0 = a, Como si Bhaskhara no fuera capaz de mantener la claridad de ideas que se transparenta en el texto. Problemas de segundo grado Este problema de segundo grado aparece en el Lilavati: De un enjambre de abejas, un número igual a la raíz cuadrada de la mitad de su número total fue a libar a las flores. Después, un número de abejas igual a ocho novenas partes del enjambre total fue a libar al mismo lugar. Después fue un zángano, se introdujo en una de las flores y quedó atrapado dentro de ella. A su zumbido, su consorte llegó desde el exterior. ¿Cuántas abejas tenía el enjambre? Del enunciado se desprende que todas las abejas fueron a libar a las flores y que la pareja del zángano fue la última en llegar. Entonces, si x es el número de abejas del enjambre, el problema se traduce a la ecuación: Se puede considerar como incógnita a √x o, aun mejor, hacer x = 2z2, y entonces la nueva ecuación es 2z2 - 9z - 18 = 0. Su solución es 6, y el número de abejas es 72. Este otro problema, también de segundo grado procede en cambio del Vija-Ganita: En un bosque, un número de monos igual al cuadrado de la octava parte del total del número de monos está jugando ruidosamente. Los doce monos restantes, en una actitud más comedida, están en una colina cercana, molestos por los gritos que vienen del bosque. ¿Cuál es el número total de monos de la manada? El número x de monos es solución de la ecuación: A diferencia de la ecuación anterior, las dos soluciones x = 16 y x = 48 son igualmente admisibles. Problemas diofánticos De entre los problemas indeterminados del Lilavati, destacaremos el siguiente: buscar cuatro números cuya suma coincida con la de sus cuadrados. Esto equivale a resolver la ecuación: x + y + z + u = x2 + y2 + z2 + u2 Claramente carece de soluciones enteras, y habrá que conformarse con racionales. Bhaskhara da la solución x = 1/3, y = 2/3, z = 1 y u = 4/3. Este otro problema diofántico es del Vija-Ganita: Un hombre tiene 5 rubíes, 8 zafiros, 7 perlas y 90 monedas. Otro tiene 7 rubíes, 9 zafiros, 6 perlas y 62 monedas. Sabiendo que ambos son igualmente ricos, calcular los precios de cada clase de gema. Si x es el precio de cada rubí, y el de cada zafiro, y z el de cada perla, el problema da lugar a la ecuación: 5x + 8y + 7z + 90 = 7x + 9y + 6z + 62 que convenientemente simplificada, se convierte es esta otra: 2x + y - z = 28 Bhaskhara  supone z = 1, y la ecuación se convierte en 2x + y = 29, que proporciona las soluciones x = 14, y = 1 y z = 1, y también x = 13, y = 3 y z = 1. Un problema de tercer grado Entre los problemas diofánticos del Vija-Ganita tiene un enorme interés este de tercer grado. Se trata de encontrar dos números tales que la suma de sus cubos sea un cuadrado y la de sus cuadrados sea un cubo. Bhaskhara supone los números de la forma x = z2 e y = 2z2. Esto garantiza ya la primera condición: x3 + y3 = z6 + 8z6 = 9z6 = (3z3)2 Ahora hay que escoger z de modo que se cumpla la segunda: x2 + y2 = z4 + 4z4 = 5z4 El número más pequeño que convierte al último miembro en un cubo es z = 25, de manera que x = 625 e y = 1250 son los números buscados: 6252 + 12502 = 390625 + 1562500 = 1953125 = 1253 6253 + 12503 = 244140625 + 1953125000 = 2197265625 = 468752 Sobre un triángulo racional Bhaskhara planteó el problema de encontrar un triángulo rectángulo de lados racionales cuya superficie fuera numéricamente igual a la longitud de su hipotenusa. Para empezar, las longitudes de los lados del tal triángulo no pueden ser números enteros. En efecto, si la hipotenusa mide a y los catetos b y c, han de suceder estas dos cosas: a2 = b2 + c2 2a = bc Ambas llevan a que b2 = 4(b/c)2 + 4. Si b = c, b = √8, que no es un número entero. Si b ≠ c, b2 no es entero y tampoco b. Bhaskhara parte del triángulo de lados 3, 4 y 5, y postuló que el buscado por él tenía por lados 3x, 4x y 5x. Esto lleva a la ecuación 6x2 = 5x, cuya solución es x = 5/6.  Los lados miden entonces 5/2, 10/3 y 25/6. La culebra y el pavo real Uno de los problemas geométricos más populares del Lilavati es el siguiente: Un pavo real está posado en lo alto de un poste, en cuya base una culebra tiene su escondrijo. Localiza a la culebra a una distancia del pie del poste igual a tres veces su  altura, se lanza sobre ella mientras ésta intenta ganar su nido, y la apresa cuando ambos han recorrido la misma distancia. ¿A qué distancia del agujero tuvo lugar la captura? Bhaskhara resuelve el problema de la siguiente manera: si OA es el poste y la culebra es avistada en el punto C, entonces OA = h y OC = 3h (ver figura). Si la captura tiene lugar en un punto B a una distancia x de su base, entonces: h2 + x2 = (3h - x)2 Unos cálculos sencillísimos llevan a que x = 4h/3. Bibliografía DICKSON, L. E. (1971), History of de theory of numbers, Chelsea Publishing company, New York. GERICKE, H. (1984), Mathematik in Antike Orient, Springer-Verlag, Berlín. GHEVERGHESE, G. (1996), La cresta del pavo real, Ediciones Pirámide, Madrid. MORENO, R. (2011), Aryabhata, Brahmagupta y Bhaskara, tres matemáticos de la India, Editorial Nivola, Madrid. ORE, O.  (1988), Number Theory and its History, Dover Publications, New York. VAN DER WAERDEN, B. L. (1983), Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, Springer-Verlag, Berlín.

Miércoles, 25 de Julio de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

69. Aryabhata (476-?)

Aryabhata, el más antiguo de los matemáticos hindúes cuyos trabajos se conservan, nació en el 476, en un lugar que desconocemos. Su obra más importante, llamada por la posteridad Aryabhatiya, es un libro en verso organizado en cuatro capítulos en el que se habla de muy diversos temas de astronomía y matemáticas. En él aparecen aportaciones propias del autor, y también se recogen y sistematizan resultados procedentes de los Siddhantas (una colección de textos donde teorías astronómicas de origen griego aparecen mezcladas con viejas creencias hindúes) y de obras ce científicos anteriores. Así, aunque el Aryabhatiya carece del orden expositivo de los Elementos, el papel de Aryabhata en la matemática India recuerda al de Euclides en la griega, porque de los escritos de los matemáticos anteriores solo han sobrevivido pequeños fragmentos. El método de inversión para resolver ecuaciones algebraicas En el Aryabhatiya aparecen algunas ecuaciones algebraicas resueltas por el método de inversión, que consiste en partir del resultado e ir haciendo las operaciones inversas en sentido contrario a como se dan en el enunciado. Una de ellas es la siguiente: Se multiplica un número por 3, al producto se le suman sus tres cuartas partes, la suma se divide por 7, del cociente se resta su tercera parte, la diferencia se multiplica por sí misma, al cuadrado se le resta 52, de la diferencia se extrae la raíz cuadrada, a la cual se la suma 8, dicha suma se divide por 10 y el resultado es finalmente 2. ¿Cuál es ese número? Entonces se procede de la siguiente manera: Si la última operación antes de llegar a 2 es dividir por 10, multiplicamos 2 por 10: 2 x 10 = 20. La penúltima operación consistió en sumar 8, entonces restamos 8: 20 - 8 = 12. La antepenúltima consistió en una raíz cuadrada, luego calculamos el cuadrado de lo que tenemos: 122 = 144. Antes de hacer la raíz se restó 52, que es lo que se ha de sumar ahora: 144 + 52 = 196. Antes de restar 52 se hizo un cuadrado, entonces se ha de hacer ahora una raíz cuadrada: √196 = 14. Previamente a la raíz, se había sustraído de una cantidad su tercera parte, lo cual equivale a multiplicarla por dos tercios, entonces multiplicamos por tres medios: 14 x (3/2) = 21. La cantidad multiplicada por tres medios era el resultado de dividir algo entre 7, por consiguiente se ha de multiplicar el último resultado por 7: 21 x 7 = 147. Lo que se había dividido entre 7 es el triple del número buscado al cual se le había sumado sus tres cuartas partes, lo cual equivale a multiplicar por siete cuartos, entonces hay que multiplicar ahora por cuatro séptimos y dividir por 3: (147 x (4/7)) / 3 = 28. El método de pulverización para resolver ecuaciones diofánticas Los matemáticos hindúes resolvieron las ecuaciones diofánticas lineales según un procedimiento llamado kuttaka, palabra sánscrita que se podría traducir por pulverización.  Vamos a describir el método a través del siguiente ejemplo: 29x + 4 = 8y Dividimos el coeficiente mayor entre el menor: 29 = 8 x 3 + 5, y hacemos el cambio y = 3x + u, lo que da lugar a una nueva ecuación 5x + 4 = 8u. Volvemos a dividir el coeficiente mayor entre el menor: 8 = 5 x 1 + 3, y hacemos x = u + v, y tenemos una tercera ecuación 5v + 4 = 3u. La tercera división es 5 = 3 x 1 + 2, hacemos u = v + w, y tenemos una cuarta ecuación 2v + 4 = 3w. La cuarta división es 3 = 2 x 1 + 1. Hacemos v = w + t, y tenemos una quinta ecuación 2t + 4 = w. El coeficiente de una de las incógnitas es 1, entonces damos la otra un cierto valor y hacemos el camino inverso: si t = 0, entonces w = 4, v = 4, u = 8, x = 12 e y = 44. Si se necesita la solución más pequeña posible, se divide 12 por 8 (el coeficiente de la y) y 44 por 29 (el coeficiente de la x), divisiones que dan lugar a los restos 4 y 15. Estos restos son la solución buscada. En cuanto tenemos una solución particular, es fácil comprobar que las demás proceden de la siguiente fórmula: x = 4 + 8m y = 15 + 29m Sobre progresiones aritméticas Una progresión aritmética es una sucesión de números cada uno de los cuales se deduce del anterior sumándole un numero fijo d llamado diferencia de la progresión. Entonces, si  es una progresión, a2 = a1 + d, y en general ap = a1 + (p-1)d. Aryabhata tiene algunas consideraciones sobre progresiones aritméticas. En primer lugar, explica cómo sumar m términos consecutivos, multiplicando el número de sumandos por el término central (dando así por sentado que el número de sumandos es impar), y para calcularlo proporciona la siguiente regla: El número de términos menos uno se divide por dos, se suma el número de términos que preceden, se multiplica el resultado por la diferencia, y al producto se le suma el primer elemento de la progresión. Si los términos a sumar son ap+1, ap+2, ..., ap+m, el “número de términos que preceden” es p, el elemento central se calcula como sigue: También explica como calcular el número total de términos cuando se conoce el primero, la suma de todos ellos y la diferencia de la progresión: Multiplica la suma por ocho veces la diferencia, suma el cuadrado de la distancia entre el doble del primer miembro y la diferencia, haz la raíz cuadrada, resta dos veces el primer término, divide el resultado por la diferencia, suma uno y divide por dos. En efecto, por lo que se ha visto antes, la suma de todos los elementos de la progresión es (porque ahora m = n y p = 0): El número n es solución de la ecuación cuadrática: dn2 + (2a1 - d)n - 2S = 0 Resolviéndola, tenemos la regla de Aryabhata: La trigonometría del Aryabhatiya La trigonometría griega trabajaba con las cuerdas de los arcos. La idea del seno, la semicuerda del ángulo doble, es de origen hindú. En el Aryabhatiya se da una tabla de los senos de 24 ángulos, cada uno de los cuales excede al anterior en (3 + 3/4)º. Pero no se utilizaba, como se hace hoy, una circunferencia de radio uno, de manera que su concepto de seno no es idéntico al nuestro, de manera que si R es el radio de la circunferencia, el seno hindú de un ángulo es el seno actual multiplicado por R. Aryabhata toma como unidad de longitud el minuto de arco. Como da al número  el valor de 3.1416, el radio es: La longitud del radio es aproximadamente 3438 veces la del arco de un minuto. Como valor del seno del ángulo más pequeño de su tabla toma 225, la longitud del arco. El error cometido es insignificante: Para el cálculo de los demás senos, se sirve de la siguiente fórmula (en la cual α = (3 + 3/4)º): De este modo: Y así va completando su tabla. Bibliografía DICKSON, L. E. (1971), History of de theory of numbers, Chelsea Publishing company, New York. GERICKE, H. (1984), Mathematik in Antike Orient, Springer-Verlag, Berlín. GHEVERGHESE, G. (1996), La cresta del pavo real, Ediciones Pirámide, Madrid. MORENO, R. (2011), Aryabhata, Brahmagupta y Bhaskara, tres matemáticos de la India, Editorial Nivola, Madrid. ORE, O.  (1988), Number Theory and its History, Dover Publications, New York. VAN DER WAERDEN, B. L. (1983), Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, Springer-Verlag, Berlín.

Sábado, 21 de Julio de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

70. Goldbach, Christian (1690-1764)

Christian Goldbach nace el 18 de marzo de 1690 en el seno de la familia del profesor de Historia y Retórica Bartolomeus Goldbach de la Universidad de Königsberg. El primer maestro de Goldbach fue su padre, quien sin dudas ejerció una notable influencia en la amplitud de intereses culturales que durante toda su vida mostró Christian. Poco sabemos de los años escolares, pero a partir de los 19 años comenzó un diario que se conserva y ha sido estudiado. Su padre murió cuando Christian tenía 18 años de edad y su espíritu inquieto aún no había encontrado el camino cierto para su realización. El hermano mayor de Christian Goldbach estudiaba en la Universidad de Leipzig que era una de las más antiguas de Europa y tenía una reconocida fama. Goldbach también matricula en esta universidad para estar con su hermano mayor y en un ambiente intelectual que le apetece. En Leipzig contacta con Christian Wolff, confeso discípulo de Leibniz en Matemáticas y Filosofía Natural. Será Wolf quien le facilite su primer encuentro con Leibniz, cuando Goldbach acaba de cumplir 21, mientras Leibniz ya contaba con 65 años de edad. No obstante, Leibniz lo estimula a continuar con sus preocupaciones científicas, particularmente matemáticas. Aunque esta no fue la única vez que estos dos sabios se encontraron, la mayor parte de su relación se llevó a cabo por cartas, ya que Goldbach emprende un largo viaje por Europa. En el diario se observa que en la época de este peregrinaje, sus intereses siguen siendo, amplios, sin preferencias científicas o humanistas. En total Leibniz y Goldbach se escribieron 11 cartas, las últimas dedicadas a temas de la teoría matemática de la música y el movimiento de los planetas. La última carta fue escrita por Leibniz en 1713 y Goldbach no continúa la correspondencia a pesar de que Leibniz muere tres años más tarde. Quizás la razón de ello sea el temor a verse envuelto en la penosa polémica con Newton y la Royal Society, que podría obstaculizar su carrera profesional y sus íntimas aspiraciones que fueron estimuladas con el nombramiento el 3 de diciembre de 1714 como Consejero de Federico Guillermo I, Rey de la emergente y pronto poderosa Prusia. En sus prolongados viajes por Europa Goldbach conoció a tres de los miembros de la afamada familia matemática de los Bernoulli: Nicolaus I, sobrino de los hermanos Jacob y Johann, y a dos de los hijos de este último, Nicolaus II y Daniel. Con Nicolaus I se encontró en Londres, en 1712 y después en Padua e intercambiaron sobre los temas científicos de la época. En el primer encuentro, Nicolaus, Goldbach y también el matemático francés exiliado en Inglaterra, Abraham de Moivre, discutieron sobre problemas simples de los números enteros en particular sobre la posibilidad de solución en enteros de las ecuaciones. xp - 3 = 9n o xp - 6 = 9n.También Nicolaus obsequió a Goldbach la tesis desarrollada bajo la guía de su tío Jacob sobre sumas infinitas y su aplicación a la cuadratura de áreas y la rectificación de curvas, la cual en ese momento resultaba para él oscura y difícil de comprender. Así todo parece indicar que desde entonces se ven estimulados sus intereses por los dos temas principales de sus reflexiones matemáticas: las propiedades de los números enteros y las sumas infinitas. A Nicolaus II, Goldbach lo conoció en Venecia en1721. En este encuentro y en la intensa correspondencia que mantuvieron durante un año, hasta la prematura muerte de Nicolaus, discutieron sobre temas relacionados con el nuevo cálculo de los diferenciales. Fue Nicolaus II quien recomendó a Goldbach que escribiera a su hermano Daniel, quien se interesaba tanto por los temas teóricos de las Matemáticas, como por sus aplicaciones. El intercambio epistolar entre Goldbach y Daniel Bernoulli duró más de 8 años y consta de más de 70 cartas. Al principio eran frecuentes los temas de Teoría de Números, pero también intercambiaron ideas sobre diferentes variantes de la ecuación de Riccati, sobre el llamado juego o paradoja de San Petersburgo relacionado con el cálculo de probabilidades y sobre temas de integración de funciones irracionales y sumación de series. Tras un largo peregrinar por Europa que duró alrededor de 6 años, Goldbach regresa a Prusia en 1724, donde conoció personalmente al matemático Jacob Hermann, discípulo de Jacob Bernoulli, quien se aprestaba a viajar a San Petersburgo, para laborar en la recién creada Academia de Ciencias. Goldbach se entusiasmó con la idea y envió una carta al Presidente de la nueva Academia, preguntando por la posibilidad de contratación. Aunque, por ese entonces no tenía resultados científicos significativos, sí poseía experiencia como consejero del reino de Prusia, a lo que sumaba una vasta cultura adquirida en sus viajes y visitas a los más ilustres sabios de la época. Después de algunas negociaciones fue nombrado Secretario de la Academia, con la obligación de escribir las actas de las reuniones, preparar la edición de las obras y conservar los documentos que se precisaran para llevar la historia de la institución y, junto con el Bibliotecario, se ocuparía de la correspondencia entre los académicos y otros sabios de Europa. A las gestiones de Goldbach como Secretario de la Academia se debió la contratación de los hermanos Nicolaus y Daniel Bernoulli, el primero para la cátedra de Mecánica y el segundo para la de Fisiología. Al fallecer Nicolaus, Daniel pasó a la cátedra de Mecánica y propuso a su coterráneo y amigo Leonhard Euler para la plaza de Fisiología. Así conoció Goldbach a quien, a pesar de ser 17 años más joven, sería el mejor corresponsal y confidente de su elucubraciones matemáticas. La correspondencia entre Euler y Goldbach duró hasta poco antes de su fallecimiento y consta de casi 200 cartas sobre diferentes temas. En toda esta correspondencia se manifiesta la gran estima que Euler siempre profesó a las opiniones y consejos de Godbach, a quien escogió como padrino de su primogénito. Durante su estancia en San Petersburgo, Goldbach no solo realizó su trabajo como Secretario de la Academia de Ciencias, sino que pronto se vio inmerso en el torbellino de la alta política rusa de la época. Primero como preceptor del Zar Pedro II, sobrino de Pedro I (el Grande), que contaba con solo 10 años, después como consejero de la emperatriz Anna Ivanovna, también sobrina de Pedro I. Esta labor como consejero de los zares la continuó desarrollando aún cuando retornó a ocuparse de los asuntos de la Academia de Ciencias. Un mérito extraordinario de Goldbach es haber conseguido mantenerse dentro de los confidentes en la corte rusa mientras se sucedieron una tras otras las purgas administrativas y políticas. Cierto es que Goldbach poseía una cultura exquisita, además del alemán dominaba el latín y el francés, y entendía algo de ruso, además de poseer un amplio círculo de amigos influyentes y un indiscutible tacto diplomático. Desde 1742 es aceptado en el colegio de asuntos extranjeros con el rango de Consejero de Estado, realizando funciones que hoy denominaríamos como criptógrafo oficial. Muestra del respeto y el prestigio ganado sea que se le asignó uno de los aposentos del Palacio de Invierno, residencia de los zares rusos, y allí lo encontró la muerte el 1 de diciembre de 1764. El legado matemático de Goldbach Por supuesto que si comparamos los aportes matemáticos de Goldbach con los de cualquiera de los grandes sabios de la primera mitad de este siglo, resultan insignificantes. Pero si valoramos con justicia y objetividad sus influencias en el desarrollo de la comprensión de la naturaleza íntima de las matemáticas puras, sus estímulos al desarrollo de las investigaciones a través de sus contactos personales, de su correspondencia, de sus discursos en la Academia; y no centramos el análisis en sus pocas publicaciones originales o en la ausencia de premios obtenidos, sin dudas puede afirmarse que Christian Goldbach fue uno de los más influyentes sabios del siglo XVIII. Su nombre ha quedado prendado en una conjetura de la teoría de números que aún reclama resolución, pero sus más originales ideas son del campo de las sumas infinitas. En una carta a su amigo Daniel Bernoulli en 1723, Goldbach cuenta cómo comenzó su interés en el tema de la sumación de series. El primo de Daniel, Nicolaus I Bernoulli, le obsequió la tesis que había desarrollado con su tío Jacob sobre el tema de las sumas infinitas. Pero, la tesis de Nicolaus era la quinta y última de las que asesoró Jacob Bernoulli y Goldbach todavía desconocía las cuatro anteriores, por tanto, su ignorancia no le permitió inmediatamente apreciar el arte de calcular que subyacía en la tesis, y la dejó a un lado. Cinco años después lee un artículo de Leibniz “Sobre una relación exacta del círculo con un cuadrado inscrito expresada en números racionales” donde aparecen dos resultados sorprendentes relacionados con sumas infinitas: Una cuadratura aritmética del círculo:1 . Una cuadratura aritmética de la hipérbola: . El atractivo de estos resultados lo decidió a aprender lo necesario para apreciar mejor el arte del cálculo. Así Goldbach se dio a la tarea de indagar más sobre las series a través de los trabajos de algunos de sus contemporáneos, muy especialmente en las tesis dirigidas por Jacob Bernoulli. Así aparece la primera publicación de Goldbach en 1720, unas notas con algunas recetas ingenuas para expresar las sumas parciales de una serie, de forma que la estimación de su suma total fuera más expedita. Pero en sus publicaciones Goldbach no hizo ningún aporte prominente al arte de la sumación de series, ni en este primer artículo ni en los dos siguientes que se publicarían en 1729 y 1732. Sus ideas más originales y fructíferas las expuso en su correspondencia con Daniel Bernoulli y, principalmente, con Leonhard Euler. Era como si Goldbach poseyera un talento especial para componer agraciadas melodías de forma tal que sus brillantes corresponsales se sintieran estimulados a elaborarlas y presentarlas en muy diversas variantes. Fué Goldbach quién motivó a Euler para que se interesara por el famoso problema de Basilea: hallar la suma de la serie . Christian Golbach elaboró un original método de aproximación que lo llevó a estimar el valor de S entre 1,64 y 1,66, envió sus ideas por carta a Euler con el reto de mejorarlo. Dos años más tarde Euler hizo pública una asombrosa aproximación de 6 cifras decimales exactas: 1,643934. Y como es sabido, mas tarde encontró el valor exacto en función de la cuadratura del círculo unidad. Otro ejemplo de la fructífera relación con Euler ha quedado rubricado con el único teorema que enlaza sus nombres y también se refiere a las sumas infinitas. Goldbach conocía una forma de probar la igualdad y desafió a Euler para que encontrara otra demostración más precisa y concisa. En un extenso y maduro trabajo sobre series, Euler publica la demostración de este hecho y según él mismo reconoce, es la misma demostración que Goldbach le comunicó. Este es el resultado que actualmente se conoce como Teorema de Goldbach-Euler. La ingenuidad de Goldbach en el tratamiento de las sumas infinitas está acorde con el estilo fresco y artificioso de la época dorada del arte de sumación. Pero las ideas rudimentarias de Goldbach, corregidas, aumentadas y mejor expresadas por Euler, se pueden considerar como germen de lo que en la encrucijada de los siglos XIX y XX se conformaría como “Teoría de los algoritmos de sumación”. La verdad histórica sobre la enunciación de la conjetura de Goldbach En 1742 Euler se había trasladado a Berlín y Goldbach le escribe a su amigo sobre nuevas proposiciones que ha concebido relacionadas con los números primos: […] quisiera aventurar una conjetura: todo número que esté formado por dos números primos es una suma de tantos números primos como se desee (contando entre ellos a las unidades), hasta alcanzar solo unidades. Pero su especulación no se detiene allí. Al leer lo ya escrito reconoce que pudiera mejorar su conjetura y escribe al margen: [...] Al volver a leer esto encuentro que esta conjetura se pudiera demostrar con sumo rigor en el caso n+1, si se cumple en el caso n y n+1 se divide en dos números primos. La demostración es muy sencilla. Parece ser al menos que todo número de ese tipo que sea mayor que 1 es suma de tres números primos. En esencia, Goldbach indica cómo demostrar, mediante el método que hoy denominamos de inducción matemática, la siguiente tesis: Si un número se puede representar como suma de dos números primos, entonces también se puede representar como suma de tres números primos. Luego, el problema se reduce a determinar cuáles números se pueden representar como suma de dos números primos. Euler envía como respuesta a Goldbach la consideración siguiente: Que un número que sea resoluble en dos números primos, se puede descomponer a la vez en tantos números primos como se quiera, puede ser ilustrado y confirmado a partir de una observación que su excelencia me había comunicado anteriormente, que todo número par es una suma de dos números primos. Puesto que el número propuesto n es par, entonces n es una suma de dos números primos y como n-2 también es una suma de dos números primos, entonces n es una suma de tres, y también de cuatro, etc. Si n es un número impar entonces él es una suma de tres números primos, porque n-1 es una suma de dos y por tanto se puede resolver varias partes. Entonces Euler añade: Pero el que todo número par sea una suma de dos primos lo considero un teorema, a pesar de que no puedo demostrarlo… Sin dudas Euler aplicó su gran ingenio para tratar de demostrar lo que el considera un teorema: Todo número par mayor que 2 puede ser escrito al menos de una forma como suma de dos números primos. Pero ni la perspicacia de Euler ni la de todos los matemáticos que por más de 260 años han dedicado sus esfuerzos a la prueba o refutación de esta afirmación han tenido éxito. Esta conjetura se conoce en la actualidad con el nombre de Conjetura Binaria o Fuerte de Goldbach. A partir de la veracidad de la Conjetura Fuerte de Goldbach, resulta sencillo deducir la llamada Conjetura Débil o Ternaria de Goldbach que se acerca más a lo planteado por Goldbach en su carta a Euler y se expresa en la forma actual: Todo número impar mayor que 5 puede ser escrito al menos de una forma como suma de tres números primos. La demostración de esta afirmación a partir de la validez de la Conjetura Fuerte de Goldbach es muy sencilla, pues si n es un número impar mayor que 3, entonces se cumple que n=3+m, al considerar a m un número par mayor que 2, el cual, a su vez, según la Conjetura Fuerte de Goldbach, es la suma de dos números primos m=p+q. Luego, n=3+p+q. Aunque la Conjetura Débil de Goldbach se deduce directamente de la Conjetura Fuerte, también se han dedicado grandes esfuerzos a demostrarla directamente. En los años 30 del siglo pasado se avanzó considerablemente en el acercamiento a una demostración al probarse que existe un número entero bien determinado C de modo que todo número natural n puede ser escrito como suma de no más de C números primos, es decir, n=p1+p2+...+pm, tales que pi es primo (i=1,...,m)  y m ≤ C. Más adelante se logró probar que C ≤ 300000. La cota para esta constante C se ha logrado disminuir de forma sucesiva, así en los años 70 se logra probar que C ≤ 169 y, en esa misma década, se reduce sucesivamente hasta obtener que C ≤ 26. La mejor cota superior encontrada hasta el momento es 6. Sin dudas, con esto nos vamos acercando a la conjetura de Goldbach. Con el avance vertiginoso de la computación es de esperar que la brecha entre los valores comprobados de la conjetura y los aún dudosos se continúe reduciendo. La gran dificultad no consiste en el desarrollo de algoritmos eficientes para la determinación de las descomposiciones de un número dado en suma de dos números primos, sino, precisamente, en la poca eficiencia que tienen las pruebas para determinar cuando un número es primo. Como el propio Christian Goldbach reconociera, “aquellas proposiciones que son muy probables aunque falte una verdadera demostración” son sumamente útiles, “pues aún cuando se descubra que son incorrectas, pueden conducir al descubrimiento de una nueva verdad”. Bibliografía De las biografías de Goldbach, la que consideramos más completa es la de los historiadores rusos A. P. Yushkevich; Y. J. Kopelievich (1994) Christian Goldbach. 1690-1764. Aus dem Russischen übersetzt von Annerose und Walter Purkert. Vita Mathematica. 8. Basel: Birkhäuser. Por supuesto, recomendamos la más reciente publicada en castellano que hemos utilizado como sustento de esta síntesis C. Sánchez y R. Roldán (2009) Goldbach. Una Conjetura Indomable. Ed. Nivola. Madrid. Una interesante lectura en el maravilloso mundo de los problemas abiertos de la teoría de números y con su primer capítulo dedicado a la conjetura de Goldbach es Guy, R. K. (2004) “Unsolved Problems in Number Theory”, 3rd ed. New York: Springer Verlag. La correspondencia entre Goldbach y Euler constituye una lectura de gran interés que recomendamos fuertemente. Se puede consultar, por ejemplo, en http://www.informatik.uni-giessen.de/staff/richstein   Nota: 1 En la época se denominaba cuadratura de una curva al cálculo de algún área determinada por ella.

Miércoles, 20 de Enero de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico