41. Legendre, Adrien Marie (1752-1833)

Adrien Marie Legendre, uno de los grandes matemáticos de la Revolución Francesa, sin llegar a la altura de un Euler o un Lagrange que él consideraba sus maestros, supo aportar resultados valiosos en muchos campos, y hacer que su nombre aparezca en muchas partes de las matemáticas. Sin embargo su carrera aparece, al estudioso de la historia de los descubrimientos matemáticos, como la de un personaje particularmente desafortunado. Pese a haber tocado a algunos de los problemas más importantes de su época, se dejó muchas veces sobrepasar por espíritus más brillantes. Por Laplace: en Teoría del Potencial, a pesar de los polinomios que llevan su nombre, por Gauss con la Ley de Reciprocidad Cuadrática en Teoría de Números, por Abel y Jacobi con la inversión de las Funciones Elípticas, por Lobachevski y Bolyaí por no atreverse a plantear una geometría no-euclideana. (Nota DivulgaMAT: véase el comentario sobre la imagen de Legendre al final del artículo) Los primeros años Aunque se tienen muy pocos datos sobre la familia de Legendre, las biografías existentes coinciden en que se trataba de una familia acomodada que, desde el nacimiento el 18 de Septiembre de 1752 en París , de Adrien Marie, se planteó el darle una buena educación. Cuando uno no pertenece a la nobleza y no puede por lo tanto acceder a los centros especiales de enseñanza superior, las llamadas Escuelas especiales, que preparan a los oficiales del ejercito, lo lógico es estudiar en algunos de los colegios regentados por eclesiásticos. Al vivir en París, Adrien Marie ingresó para sus estudios en el "Collège Mazarin", también llamado "Colegio de las Cuatro-Naciones". Este hecho fue decisivo para su vocación de matemático.

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42. Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646-1716)

El padre de Leibniz era jurista y profesor de moral en la universidad de Leipzig, ciudad donde nació Gottfried, quien, aunque nunca fue muy fervoroso, abogó toda su vida por la reunificación de las iglesias. No obstante tanto la familia como su entorno eran luteranos. Aquella posición, el irenismo, como se llamaba en su época, tenía connotaciones políticas tanto como religiosas, pues pretendía asimismo la unificación de los 350 estados en los que estaba dividida Alemania. Precisamente, una de las características más originales de Leibniz es su propósito de sintetizar y conciliar las opiniones y concepciones más opuestas en todos los ámbitos del pensamiento. Su padre murió cuando él tenía sólo 6 años y le quedó en herencia la amplia biblioteca privada de su padre, de la que se sirvió libremente, de forma que Leibniz fue en gran medida autodidacta, hasta el punto de que a los ocho años ya leía en latín a Tito Livio. Siempre fue más aficionado a la lectura y el pensamiento que a las actividades físicas. El latín fue una de sus lenguas favoritas así como el francés, y en ellas dos están redactados casi todos sus escritos filosóficos o científicos. También abogó por el desarrollo de la lengua alemana. Desde sus primeros escritos manifiesta su interés por las matemáticas y por la aplicación de las mismas al conocimiento en todos los niveles. Su Dissertatio de Arte Combinatoria, editada en 1666, aparece como consecuencia de sus estudios en la universidad de Leipzig en las áreas de filosofía, historia, matemáticas y derecho, y en ese escrito se encuentran buena parte de sus ideas fundamentales sobre combinatoria y  algunas de sus reglas básicas o método de investigación científica, que él llamó el Arte de Inventar.

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43. Lie, Sophus (1842-1899)

Gran matemático noruego de la segunda mitad del siglo XIX. Debe su gloria principalmente a la teoría de los grupos de transformaciones. Contribuyó notablemente al desarrollo de la geometría diferencial, geometría algebraica y teoría de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Actualmente, la Teoría de Lie no sólo se aplica en matemáticas, sino que cada vez es mayor su utilización en física teórica, en la moderna teoría de supercuerdas, y en óptica, constituyendo una importante aproximación a la unificación de la mecánica cuántica y la relatividad general. Sophus Marius Lie fue el penúltimo varón de los siete hijos (cuatro varones y tres hembras) del matrimonio formado por Johann Herman Lie, pastor luterano que vivía en Nordfjordeid y su esposa, Mette Maren. En esa pequeña localidad, situada en la costa occidental noruega, nació Sophus el 17 de diciembre de 1842. Sus primeros estudios los realizó Lie en la escuela comunal (Realskole) de la ciudad de Moss, adonde se había trasladado su familia en 1851, en la que cursó Primaria y Secundaria. A los 15 años, Lie ingresó en la Nissen's Private Latin School de Christiania (actualmente Oslo, desde 1925). Allí conoció a Ernst Motzfeldt, de su misma edad, con el que inició una gran amistad y que sería para él de gran ayuda a lo largo de toda su vida. Lie pensaba seguir la carrera militar, sin embargo, problemas de visión le hicieron abandonar esa idea. Eso hizo que entrara entonces, en 1859, en la Royal Fredrik's University de Christiania, para estudiar Matemáticas y Ciencias. En esa Universidad, Lie tuvo como profesores, entre otros, a L. Sylow y a C. A. Bjerknes. En 1865, Lie obtuvo su diploma de licenciado en Ciencias, sin haber mostrado especial habilidad o inclinación por las Matemáticas. Después, tras un tiempo sin saber qué camino seguir, ejerció de tutor de otros estudiantes dándoles clases particulares, al tiempo que perseguía objetivos propios de astronomía y mecánica, hasta 1868. En ese año y tras leer las obras de los geómetras Poncelet y Plücker, Lie se sintió muy atraído por el trabajo de ambos. De hecho, su admiración por estos dos grandes maestros, a los cuales nunca llegó a conocer, se mantuvo toda su vida.

Martes, 02 de Diciembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más

44. Lobachevski, Nicolai I. (1792-1856)

Lobachevski fue un destacadísimo matemático ruso del siglo XIX. Creador de una de las geometrías no euclideanas, la geometría hiperbólica, junto al húngaro J. Bolyai y el matemático alemán  F. Gauss. Fue rector de la Universidad de Kazán durante dos décadas y un trabajador infatigable. En palabras de Clifford (1845-1879), Lobachevski era bastante más que un matemático, calificándole "el Copérnico de la geometría". Pero la Geometría es sólo una parte del más amplio campo que renovó. Su vida Nicolai Ivanovich Lobachevski nació el 1 de diciembre de 1792 en una pequeña localidad rusa llamada Nizhny Novgorod. Su padre Iván M. Lobacheski  trabajaba en una pequeña oficina dedicada a la inspección de tierras. Su madre Praskovia Aleksándova  era  una persona  dedicada a su familia, que  debido a su  carácter enérgico y resolutivo  pudo sacar adelante a su familia. N.I. Lobachevski era uno de los tres hijos de esta humilde familia. Cuando tenía siete años murió su padre, y ese mismo año -en 1.800 - su madre trasladó la residencia a la populosa ciudad de Kazán, buscando mejores horizontes para sus tres hijos. El  nivel cultural de la población de Kazán  era mas bien bajo. Sus centros docentes, hasta mediados del siglo XVIII,  exclusivamente religiosos, habían sido creados por el régimen zarista con el propósito de incorporar la población musulmana y pagana a las enseñanzas ortodoxas. En el año 1798 se inauguró un centro educativo de nivel superior, el Gimnasium, para que los jóvenes de Kazán pudieran prepararse  debidamente, a fín de ingresar en la afamada Universidad de Moscú o en la prestigiosa Academia de las Ciencias de San Petersburgo. La apertura de este centro superior, fue la razón fundamental  por la que  la viuda Praskovia Aleksándrova se instalara por un tiempo en la ciudad de Kazán. En noviembre de 1.802 solicitó la admisión de sus hijos en el Gimnasium, después de severos exámenes fueron admitidos los tres hermanos. Al inicio de curso  N.I. Lobaschevski  contaba nueve años. La vida escolar en el Gimnasium -según citan varios internos- era extremadamente severa. Sin embargo, en este ambiente hostil y lúgubre, Nicolai encontró a un joven profesor de matemáticas muy motivador, se trata del profesor G. I. Kartashevski, persona interesada por la ciencia en general y por las matemáticas en particular. Kartashevski, se inspiraba en las obras de los matemáticos célebres de la época, especialmente en el libro "Eléments de géométrie" del ilustre matemático francés A. M. Legendre (1752-1833), publicado en el año1794. Las enseñanzas de  este libro y su autor tuvieron una repercusión muy notable – como posteriormente veremos- en los trabajos de geometría de Lobachevski. En el verano de 1807 Lobachevski, acabó sus estudios en el Gimnasium y se incorporó a la universidad de Kazán. Su expediente académico fue brillante. A los quince años, Nicolai ya era capaz de leer memorias científicas en varios idiomas: francés, alemán y latín. La Universidad de Kazán  que había sido fundada en 1804, como resultado de una de las muchas reformas del emperador Alejandro I, abrió sus puertas un año más tarde. Era, por tanto, una Universidad joven cuando Lobachevski comenzó sus estudios. Poco a poco  se fue nutriendo de profesores; así el  año 1808, tomó posesión de la cátedra de matemáticas el profesor  alemán M. F. Bartels (1769-1833), que  era un matemático de primer orden y un excelente pedagogo (Bartels conocía personalmente al célebre F. Gauss, con el cual había coincidido en Brunswick). Como hábil profesor, Bartels, pronto conectó con Lobachevski y le hizo intesarse por temas relacionados con la historia de las matemáticas. Parece probable que el interés de Lobachevski por el problema de las Paralelas fuera estimulado  a raíz de la asistencia a los cursos impartidos por Bartels. El año 1811, Lobachevski recibió el título de Licenciado en Física y Matemáticas  Sus estudios fueron brillantes, con notas sobresalientes en la mayoría de las asignaturas. Inmediatamente fue propesto para el grado de maestro, de manera que a punto de cumplir los 19 años, Lobachevski ya era  docente de la Universidad de Kazán. Comenzaba su vida como pedagogo y  creador. Cuando  tenía 21 años, corría el año 1814, fue nombrado profesor adjunto de física y matemáticas. Ese mismo año, el profesor Bartels fue elegido decano de la facultad  Físico-Matemática.de Kazán. El nuevo cargo de Lobachevski suponía más responsabilidad y nuevos requerimientos para su persona. Además,  la nueva categoría profesional le obligaba a dar una serie de cursos y conferencias sobre diversos temas: Algebra, Aritmética, Trigonometría, Geometría, Teoría de Números, Cálculo Diferencial e Integral. En todos los casos, Lobachevski, se preocupó por preparar con sumo esmero los materiales de cara a que los alumnos comprendieran lo mejor posible la materia. El método de enseñanza, durante muchos años fue motivo de diversas reflexiones. Años más tarde dejará plasmada en un artículo sus revolucionarias e innovadoras ideas al respecto. En julio de 1816, el profesor Lobachevski (sólo tenía 24 años) a petición del profesor y compañero Bartels fue  nombrado profesor extraordinario. A raíz de la fundación de la Santa Alianza, la vida intelectual en el Imperio Ruso se volvió insoportable. El profesor Bartels, viendo el panorama que se cernía sobre la Universidad aceptó, en el año 1820, una oferta para dar clases en la Universidad de Dorpat. Con la marcha de Bartels quedó vacante el puesto de Decano de la Facultad de Física y Matemática. Para cubrir dicho cargo  fue propuesto Lobachevski, a pesar  de que sólo era profesor extraordinario. De repente, Lobachevski se convirtió en la piedra angular de su Facultad. Su valía fue también reconocida en otros estamentos universitarios, se le requería para la mayoría de los proyectos docentes y administrativos. Le fue encomendado clasificar la enorme biblioteca central de la Universidad, que ya disponía de unas decenas de miles de libros, manuscritos y códices, por cierto, completamente desordenados. Se le nombró miembro del comité  de construcción de los edificios universitarios, labor que consistía en poner en marcha las diversas construcciones que  se erigieron por esa época en la Universidad. Además, organizó el laboratorio de Física y la compra de nuevos materiales para el laboratorio. Participó en el proyecto de la construcción de un observatorio astronómico, que posteriormente él mismo utilizaría. Fue nombrado redactor de una revista surgida en el seno de la Universidad y que posteriormente se la denominó "Memorias de la Universidad de Kazán". Formó parte del comité encargado de dirigir y controlar la actividad docente de todos los centros educativos del distrito de Kazán. Cualquiera de esas labores eran de por sí suficientes para una persona normal; sin embargo, Lobachevski parece que se multiplicaba. Sin duda, se convirtió en el personaje central de la Universidad, todo el mundo le estimaba y reconocía su valía. Pero lo más notable es que fuera capaz de no olvidar las matemáticas, de seguir estudiando, investigando, escribiendo, impartiendo clases, etc. El año 1826 tomó el poder el zar Nicolás I e introdujo un régimen  más tolerante. Con ánimo de  impulsar y renovar la vida universitaria el nuevo protector  universitario convocó elecciones a rector. Lobachevski   presentó su candidatura, y en la sesión del 3 de Mayo de 1827, después de una votación muy favorable para él,  fue elegido rector. Tenía sólo 33 años y la tarea que se le avecinaba era compleja. Por delante tenía grandes retos : mejorar  los edificios de la Universidad, construir nuevos edificios, ordenar y proveer  la biblioteca, acondicionar los  distintos laboratorios, comprar materiales para el observatorio, construir una nueva clínica, contratar más  y mejores profesores, crear un buen ambiente universitario, etc. La primera tarea que afrontó Lobachevski, en el cargo como rector, fue rebajar la tensión que existía entre los profesores. Las reuniones del Consejo que antes eran ruidosas y poco planificadas, se desarrollaron  ahora con normalidad y dentro de un clima de absoluta tranquilidad. También se preocupó por mejorar la vida universitaria de los estudiantes, estos participaron en los estamentos universitarios y su voz tuvo eco. Sin duda, estos fueron los primeros éxitos de Lobachevski como rector de la Universidad. Un año después de tomar posesión como rector de la Universidad de Kazán, Lobachevski pronunció un discurso en la sesión solemne de clausura. El discurso supuso una gran conmoción por su frescura de ideas, independencia, y progresismo, fue publicado en 1832 en el “Noticiero de Kazán” con el título :“Sobre las materias de la educación social”.  Lobachevski ocupó el cargo de rector de la Universidad de Kazán durante 19 años más, de manera ininterrumpida. A punto de cumplir los 40 años, el año 1832, Lobachevski contrajo matrimonio con Varvara A. Moiséeva. Su mujer pertenecía a una familia acomodada de Kazán, ésta circunstancia permitió vivir, al principio, a la familia Lobachevski de manera muy cómoda, de hecho durante años su casa fue punto de reunión de distintas personalidades de Kazán. La dilatada vida universitaria de Lobachevski  finaliza el año 1846, ese año cumplía 30 años de servicio como profesor de la Universidad. Después de que Lobachevski se jubilara ,(esencialmente destituido por la Universidad de Kazán), le  fue ofrecido el puesto de ayudante del protector educativo de la región de Kazán, cargo que desempeñó con decoro pero sin ninguna influencia en la vida docente. Coincidiendo con su salida de la Universidad, la mujer de Lobachevski cayó gravemente enferma y al poco tiempo su hijo mayor, el preferido, murió de tuberculosis. Esta conjunción de desgracias , unido al hecho de que estaba quedándose ciego debido a una precoz esclerosis, debilitaron rápidamente su salud. Los últimos años de vida debieron ser muy penosos para él: se sentía abandonado y enfermo. El 2 de febrero de 1856 , Lobachevski falleció en Kazán. Su obra El quinto postulado es una de las piedras angulares sobre la que descansa la grandeza de los Elementos de Euclides. Pero también ha sido la causa  de los más duros ataques a su sistema geométrico. Los cuatro postulados que lo preceden son enunciados sencillos y cortos. El quinto postulado es más enrevesado, su lectura nos da idea de una proposición más que de un postulado. Es posible  que el mismo Euclides tuviera, inicialmente, esa misma idea. De hecho, la ordenación de sus proposiciones,  así como  la demostración que hace del recíproco nos hace pensar en esta posibilidad. Las situaciones derivadas al tratar de demostrar el quinto postulado, en función de los otros cuatro, dieron lugar a un gran enredo intelectual que se conoce como el Problema de las Paralelas. Todos los fracasos por demostrar el quinto postulado  fueron   agrandando más y más la figura de Euclides, pero también  condujeron a la invención de nuevas geometrías en el siglo XIX. La historia del problema de las paralelas es larga y muy complicada para exponerla aquí. Para intentar solucionar la situación derivada del Problema de las paralelas, se hicieron dos tipos  de intentos: el primero consistió en sustituir el quinto postulado por otro enunciado más evidente, mientras que el segundo tipo de esfuerzos se centró en deducirlo de los otros cuatro postulados de Euclides y de los teoremas o proposiciones que se iban construyendo. La primera de las opciones ha dado lugar a postulados sustitutivos, merece la pena recordar el enunciado por el matemático escocés J. Playfair (1748-1819): “ Por un punto P, exterior a una recta l se puede trazar una única recta que pasa por el punto P y que no corta a la recta l “ Un nuevo rumbo geométrico Lobachevski no intentó probar el quinto postulado como teorema, sino que estudió las consecuencias que tenía, respecto a la geometría, el hecho de que no se cumpliera necesariamente el quinto postulado. Una de sus obras principales, en la que se muestra este nuevo espíritu geométrico, es: Geometría (1823). Dicho libro fue severamente criticado por el académico ruso N. I. Fuss (1755-1826). En honor a la verdad, su Geometría resultó muy atrevida para su época, y posiblemente el académico Fuss no comprendió el trasfondo de un planteamiento tan novedoso y rupturista. La propia disposición de los distintos capítulos llama poderosamente la atención. Los cinco primeros capítulos de su libro se construyen sin utilizar en ningún momento el quinto postulado de Euclides. Por tanto estaba elaborando una Geometría Absoluta (aquella que no depende del quinto postulado, sino únicamente de los cuatro primeros postulados). Desde el punto de vista histórico, este hecho es fundamental, ya que es la primera persona que trata de manera autónoma la Geometría Absoluta. Posiblemente influido por la filosofía expresada por D’Alembert (1717-1783), se inclina por un tratamiento desde el punto de vista "métrico". El libro se compone de 13 capítulos, diez de ellos están dedicados a la medida de diferentes elementos geométricos (líneas, ángulos, poliedros, triángulos, prismas, etc.). Los  tres  últimos capítulos los dedica a la teoría de las perpendiculares, de las paralelas y a la igualdad de los triángulos. El aspecto métrico es clave en su trabajo, Lobachevski se da cuenta que la medida de ángulos y de los segmentos no depende del quinto postulado, mientras que la medida de las áreas depende directamente del famoso quinto postulado. Por esta razón, el aspecto de cálculo de áreas de diversas figuras no es abordada hasta bien avanzado el libro. En el tratamiento que realiza de la teoría de las paralelas ya se pueden reconocer breves trazos de sus ulteriores  trabajos. En efecto, en el trabajo presentado,  Lobachevski intentó demostrar el postulado de las paralelas a la inversa de la manera que  fue enunciado por Playfair. Esto es, supuso que por un punto P no situado en la recta  AB pasan,  en el plano, más de una recta  no secante con AB, tal como muestra el dibujo. Lobachevski, a partir de una hipótesis tan absurda  comienza  a deducir resultados, con la intención de encontrar alguna contradicción. Curiosamente construye  un raro, pero armonioso, edificio geométrico que él llama Geometría imaginaria, y que actualmente llamamos Geometría hiperbólica o de Lobachevski. En todo caso el texto no llegó a publicarse hasta varios años más tarde. Sin duda, el libro de Lobachevski fue la semilla de sus investigaciones geométricas posteriores. A pesar de las severísimas críticas  recibidas, siguió trabajando y profundizando en la teoría de las paralelas. Tres años más tarde, el 11 de Febrero de 1826, en una reunión de la Facultad Físico-Matemática, Lobachevski presentó un informe de cara a conocer la opinión de sus colegas profesores, respecto a sus investigaciones geométricas. Dicho informe llevaba "Expositiòn succinte des principies de la gèometrie avec une dèmonstration rigoureuse du thèoréme des parallèles" (1826) ( Exposición sucinta de los principios de la geometría, con una demostración rigurosa del teorema de las paralelas),en él se  recogía buena parte de sus  revolucionarias ideas. Para valorar el informe se reunió una comisión de tres profesores de la Universidad. A pesar de que dichos docentes no estaban al corriente de las cuestiones relativas a la Geometría , adoptaron la decisión de valorar negativamente la publicación del trabajo de Lobachevski. Nuevamente Lobachevski fue vilipendiado. Si bien el trabajo no se editó, sí estamos en condiciones de hablar de su contenido, ya que tres años más tarde, el mismo Lobachevski publicó en la revista “El mensajero de Kazán“ (una revista educativa, de carácter general, que se publicaba en la Universidad de Kazán), una memoria titulada “Acerca de los principios de geometría” (1829). Esta  memoria  es compleja y difícil de leer, pero podemos señalar tres partes diferenciadas: La primera se centra en el estudio de la llamada Geometría Absoluta, en realidad es un resumen su "Geometría" presentada el año 1823 y que tan mal acogida tuvo. La segunda parte expone el contenido de su  “Exposition succinte.....”. A lo largo de muchas páginas se dedica a estudiar  y obtener el ángulo de paralelismo, que él llama π(x). La función de Lobachesvski π(x) El ángulo de paralelismo es estudiado por Lobachevski con suma atención, después de un estudio analítico de funciones llega a la conclusión que el ángulo de paralelismo se puede obtener mediante una función del tipo: El dibujo nos indica que la recta  n es  paralela a m pasando por el punto P. Siendo π(x) el ángulo que forman dichas rectas paralelas en el punto P, dónde x expresa la distancia del punto P a Q. Al igual que los estudios realizados por Lambert, Taurinus, Gauss y tantos otros, aparece en la fórmula del ángulo el valor K. ¿qué significa K?. Lobachevski  dice : “teóricamente K puede tener cualquier valor, cada uno de los valores de la constante K le corresponde una geometría imaginaria .........no hay una sola geometría imaginaria; existe un número infinito de variedades correspondientes a los diversos valores de la constante K. Entre ellas, la vieja geometría euclidiana corresponde al caso límite (cuando K tiende a infinito). La última parte del libro está dedicada  a la medida de longitudes, áreas y volúmenes. El estudio se hace mediante procesos de integración. Además muchos de los cálculos los realiza por varios procedimientos para verificar que las operaciones coinciden. Este hecho le reafirmaba en su convicción de que la geometría que estaba edificando era correcta desde un punto de vista lógico. En 1832 (recordemos que Lobachevski era rector de la Universidad) el Consejo de la Universidad de Kazán, pidió a la Academia de Ciencias de San Petersburgo, un informe "Acerca de los principios de geometría”. La Academia encargó el trabajo al académico M. V. Ostrogradski, que después de estudiarlo hizo la siguiente crítica verbal: "... después de haber estudiado una obra del rector Lobachevski, tengo que observar que: la obra está redactada con tan poco cuidado, que una gran parte es ininteligible. Por eso estimo que dicha obra de Lobachevski no merece la menor atención de la Academia." A Lobachevski le debió molestar enormemente la crítica tan ofensiva del académico ruso. Por lo que nuevamente hizo un gran esfuerzo por explicarse mejor. Con esta intención publica una memoria titulada “Geometría imaginaria” (1835), continuando el año siguiente con  “Aplicación de la geometría imaginaria a algunas integrales” (1836). En realidad estas memorias, publicadas en Memorias de la Universidad de Kazán, no aportaban nada nuevo  a sus trabajos anteriores, pero al disponer de más espacio Lobachevski  explica mejor los procesos  y sus cálculos son más entendibles. La obstinación de Lobachevski le llevó a redactar una y otra vez sus trabajos desde diferentes ópticas, él era consciente que sus escritos no eran sencillos de leer: su concisión, la originalidad de sus planteamientos, las consecuencias derivadas de su teoría y  el escribir en contra del pensamiento geométrico establecido( defendido por el filósofo alemán I. Kant) le llevó a escribir un tratado crucial: “Geomeytrish e Untersuchungen zur theorie der parallellinien” (1840) (Investigaciones geométricas de la teoría de las paralelas). Por medio de este pequeño librito, escrito en alemán, la comunidad matemática toma contacto con las revolucionarias ideas geométricas de Lobachevski. Este librito  debió impresionar a Gauss, ya que en noviembre de 1842 propuso la candidatura de Lobachevski, como "uno de los excelentes matemáticos del Estado Ruso", para que  fuera  nombrado miembro de la Sociedad Científica de Göttingen, que ya entonces tenía el rango de Academia. Sin duda este reconocimiento por parte del mejor matemático vivo, es la consagración de sus teorías geométricas. Actualmente este reconocimiento es compartido con el matemático húngaro J. Bolyai, que de manera independiente, también  trabajó en  la creación de la geometría hiperbólica. El trabajo de Lobachevski en temas no relacionados directamente con la geometría es muy sugestivo. Su pasión por las matemáticas le llevó a interesarse por  otras muchas partes de las matemáticas. Exponemos aquí un listado, de algunos trabajos no geométricos, publicados entre los años 1823 y 1852: “Acerca de la convergencia de las series trigonométricas” (1834), “Sur la probabilité des resultats moyens, tirés des observations répétées” (1842), “Acerca de los valores de algunas integrales definidas” (1852). Pero sin duda la obra, no geométrica, más importante, tanto por su contenido como por su extensión, fue su tratado de Álgebra (1834). Dicho manual  es muy original y constituyó  una obra de matemáticas notable, de hecho Lobachevski era conocido en su época por el contenido de este libro y no por su investigaciones geométricas. Para finalizar diremos que un año antes de su muerte se  celebraba el cincuentenario de la fundación de la Universidad de Kazán, por ese motivo invitaron a Lobachevski a escribir un artículo sobre sus investigaciones geométricas. A pesar de estar enfermo e impedido visualmente, aún tuvo ánimos para escribir su última obra titulada “Pangeometría”, aparecida en las “Memorias de la Universidad de Kazán” el año 1855 (en ruso). Bibliografía 1) Bonola, R. (1923); Geometría no euclideanas. Calpe Madrid. 2) Boyer, C.B.(1986); Historia de la matemática. Alianza Universidad. Madrid. 3) Coxeter, H.S.M. (1978); Non-Euclidean geometry. University of Toronto Press. Toronto. 4) Fernández, S. (2004); Lobachevski. Nivola. Madrid. 5) Gray, J.J.(1992); Ideas de espacio. Mondadori. Madrid. 6) Eves, H. (1969); Estudio de las geometrías". Tomos I y II .UTEHA. México. 7) Smogorzhevski, A. S.(1978) ; Acerca de la geometría de Lobachevski. Mir. Moscú. 8) Kagan,V.F.(1984); Lobachevski. Mir. Moscú. 9) Kline, M. (1992); El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días. Alianza Editorial. Madrid. 10) Lobachesvki, N.I. (1840); Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien. Berlin.(en alemán). En la WEB: 11) O´Connor, J.J.; Robertson, E.F. 12) Bell, E.T.

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45. Mengoli, Pietro (1626/7-1686)

Pietro Mengoli, que en su época fue llamado el “matemático boloñés”, conocía las obras matemáticas más importantes de la época y sus trabajos responden a preocupaciones intelectuales del momento. Cabe señalar que su producción científica queda enmarcada totalmente entre la aparición de La Géométrie de René Descartes (1596-1650), de 1637, y el cálculo infinitesimal de Gotffried Wilhelm Leibniz (1646-1716), de 1684. Mengoli nació en Bolonia en 1626 o en 1627. Aunque Fantuzzi (1788) afirma que murió el 7 de junio de 1686 a los 60 años, en el libro de bautizos consta que nació el 10 de Julio de 1627. Los años más prolíficos de Mengoli coincidieron con el declive de la escuela galileana y con la desaparición de los principales protagonistas de la revolución científica italiana. Así, en 1642 muere Galileo Galilei (1564-1642), seguido de su primer y único discípulo directo, Benedetto Castelli (1577-1643) y, a los pocos años, también fallecen Evangelista Torricelli (1608-1647) y Bonaventura Cavalieri (1598-1647), maestro de Mengoli. El final del período galileano y la creación de la Accademia Della Traccia (rama de la Accademia del Cimento en Bolonia) fueron dos acontecimientos que determinaron el tipo de aportaciones de Mengoli a la vez que la difusión de sus obras. Efectivamente, en 1665 el matemático Geminiano Montanari (1633-1687), intentando imitar a la Royal Society of London, fundó la Accademia Della Traccia. En una carta a la Royal Society explicaba que en esta Accademia "se pretendía, a partir de los experimentos, obtener los axiomas y a partir de los axiomas, nuevos descubrimientos”. Entre sus miembros figuraban el médico Marcello Malpighi (1628-1694) y el astrónomo Giovanni Domenico Cassini (1625-1712). Malpighi era el corresponsal italiano de Henry Oldenburg (1615-1677), secretario de la Royal Society de Londres, quien procuraba mantenerse en contacto con los científicos de otros países así como obtener todos los libros que se publicaban. Otra figura notoria fue Antonio Magliabechi (1633-1714), bibliotecario de Florencia, personaje muy influyente en esta época y a quien muchos estudiosos enviaban sus obras para que les diera su aprobación. El nombre de Mengoli aparece en el registro de la Universidad de Bolonia en el periodo 1648-1686, donde había sustituido a su maestro Cavalieri. En el curso académico 1648-49 fue titular de la plaza de Ad Arithmeticam; posteriormente, en el curso 1650-51, pasó a ejercer la cátedra de Ad Mechanicam y, finalmente, en el curso 1678-79 obtuvo la de Ad Mathematicam, que ocupó hasta su muerte.  Mengoli se graduó en filosofía en 1650 y tres años más tarde en leyes civiles y canónicas. En este primer período escribió tres obras de matemática pura, Novae Quadraturae Arithmeticae seu De Additione Fractionum (Bolonia, 1650), Via Regia ad Mathematicas per Arithmeticam, Algebram Speciosam et Planimetriam ornata, Maiestati Serenissimae D. Christinae Reginae Suecorum (Bolonia, 1655) y Geometriae Speciosae Elementa (Bolonia, 1659). En 1660 fue ordenado sacerdote y, desde este momento y hasta su fallecimiento, fue prior de la iglesia de Santa María Magdalena de Bolonia. A partir de 1670  aparecieron nuevamente obras suyas: Refrattioni e Parallase Solare (Bolonia, 1670), Speculationi di Musica (Bolonia, 1670) y Circolo (Bolonia, 1672). Estas obras reflejan su nuevo propósito de investigar, no únicamente sobre matemáticas puras, sino también sobre matemáticas mixtas que incluían la astronomía, la cronología y la música. Además, su investigación estaba manifiestamente dirigida a justificar los escritos bíblicos y, a hacer apología de la fe católica. Continuó en esta línea y publicó dos obras sobre cosmología y cronología bíblica: Anno (Bolonia, 1673) y Mese (Bolonia, 1681), y dos sobre lógica y metafísica: Arithmetica Rationalis (Bolonia, 1674) y Arithmetica Realis (Bolonia, 1675). Las obras de Mengoli La primera obra que publicó, Novae Quadraturae Arithmeticae seu De Additione Fractionum, es la que le ha dado más renombre como matemático. En ella, trata de series infinitas, calcula sus sumas y demuestra sus propiedades. En el prefacio (12 páginas sin numerar) demuestra la divergencia de la serie armónica, adelantándose casi cuarenta años a Bernoulli. Además del prefacio, la obra está compuesta por tres libros cuyos resultados están presentados en orden creciente de dificultad. En el primer libro se tratan las series de fracciones cuyos denominadores son n(n+1) (Mengoli los denomina números planos), siendo n un número natural. De hecho, calcula, en notación actual: En el segundo libro estudia las series de fracciones cuyos denominadores son n(n+1)(n+2) (Mengoli los denomina números sólidos), siendo n un número natural. Así, calcula, en notación actual: En el tercer libro aparecen estudiadas series más generales. La segunda obra matemática, en orden cronológico, se titula Via Regia ad Mathematicas por Arithmeticam, Algebram Speciosam et Planimetriam ornata, Maiestati Serenissimae D. Christinae Reginae Suecorum (1655). Consta de 45 páginas escritas en verso en las que Mengoli muestra cómo entiende las matemáticas y qué partes considera importantes. Fue escrita por encargo con motivo de la visita de la Reina Cristina de Suecia a Bolonia y, en ella, nuestro autor le expone a la Reina una “vía real” para entender las matemáticas. El libro está dividido en tres partes bien diferenciadas: aritmética, álgebra especiosa y planimetría. Cuatro años más tarde, en 1659, publicó la que a nuestro  entender fue su obra matemática más importante: Geometriae Speciosae Elementa. El contenido de la obra no está fuera de las corrientes de la época, sino que se ocupa de los problemas comúnmente estudiados en aquel momento. El aspecto más innovador es la manera de tratarlos y los resultados obtenidos. La obra de 472 páginas, está compuesta por seis capítulos, que denomina elementos, y una introducción titulada Lectori Elementario. En la introducción, que tiene 80 páginas, explica cada uno de los capítulos por separado. En estas explicaciones no hay demostraciones ni teoremas, aunque hay ejemplos de los resultados obtenidos en cada capítulo. En el primer capítulo, titulado De potestatibus, à radice binomia, et residua, demuestra las potencias de la suma y la resta de un binomio expresadas con lenguaje algebraico. El segundo, De innumerabilibus numerosis progressionibus, presenta los cálculos de numerosas sumas de potencias y productos de potencias, con su propia notación. En el tercero, De quasi proportionibus, define razón “quasi nula”, “quasi infinita” y “quasi un número”. Con estas definiciones construye una teoría de “quasi proporciones” basándose en la teoría de proporciones del libro V de los Elementos de Euclides. De hecho, Mengoli incorpora la nueva idea de quasi razón, como antecedente del concepto actual de límite. En el cuarto capítulo, De rationibus logarithmicis, construye de manera análoga a la teoría de proporciones de Euclides una teoría de proporciones logarítmicas. En el quinto, De propriis rationum logarithmis, construye el logaritmo y sus propiedades, utilizando los resultados anteriores. En el sexto, De innumerabilibus quadraturis, calcula las cuadraturas de curvas que corresponden a funciones que, para cualesquiera números naturales m y n, hoy escribiríamos: Durante diez años Mengoli no publicó ninguna obra y cuando, en el año 1670, reanudó sus publicaciones presentó unas tablas sobrela refracción solar tituladas Refrattioni e Parallase Solare. Los cálculos que expuso los obtuvo a través de las observaciones realizadas con el gnomone de la iglesia de San Petronio de Bolonia. La obra Speculationi di Musica, también de 1670, tiene 300 páginas, divididas en 25 capítulos que el autor denomina "especulaciones". En ella se puede leer una teoría original del sonido, el rechazo de la teoría de la consonancia de Galileo y la extraordinaria fisiología de la percepción musical que fundamentó en la existencia de dos tímpanos en la oreja humana. Para demostrarla, Mengoli hizo una disección de la oreja con Galeatio Manzio, profesor de anatomía de la Universidad de Bolonia, y para justificar su teoría del sonido, utilizó los logaritmos. En 1672, publicó Circolo en cuyas páginas iniciales explica que ya, en el año 1660, había obtenido la cuadratura del círculo, aunque sin darla a conocer. Ahora, se decidía a publicarla ya que necesitaba este resultado para las reglas de los solsticios y de los equinoccios. La obra consta de 60 páginas y su estructura es diferente de la Geometriae, sin definiciones, sin teoremas ni problemas. Contiene 160 parágrafos numerados, sin demostraciones, en el texto únicamente aparecen tablas triangulares, cálculos y explicaciones sin ninguna figura geométrica, aunque obtiene la cuadratura del círculo mediante el área de la figura descrita por la expresión algebraica y = x1/2 (1-x)1/2 y el eje de abscisas (corresponde al semicírculo de radio 1⁄2). Mengoli calcula también una acotación del número p entre dos productos infinitos, llegando a aproximar su valor con once decimales exactos. Las últimas obras de Mengoli ya forman parte de su proyecto apologético de la fe católica. El método de cuadraturas de Mengoli La obtención de la cuadratura de las infinitas parábolas e hipérbolas y, como no, la cuadratura del círculo, constituyó una de las grandes preocupaciones de los matemáticos del siglo XVII. Cavalieri, fue de los primeros en desarrollar un nuevo método de cuadratura llamado método de los indivisibles. Cuando Cavalieri expuso su método ya había dos antecedentes claros: la técnica de los antiguos, que hoy se llama método de exhausción, creado por Eudoxo y que Euclides y Arquímedes explotaron en una gran variedad de caminos para determinar áreas de figuras curvilíneas, volúmenes, superficies y arcos, y el trabajo de Kepler. El método de los indivisibles de Cavalieri se encuentra explicado básicamente en dos de sus libros: Geometría indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (Bolonia, 1635) y Exercitationes geometricae sex (Bolonia, 1647). Sobre los indivisibles de Cavalieri puede consultarse Giusti (1980), Andersen (1984/85, 291-367) y Massa (1994, 68-100). La demostración de las cuadraturas de las infinitas parábolas y = xm, para m entero positivo, fue publicada por Cavalieri en esta última obra de 1647, aunque afirmaba conocerla desde el 1639. Unos años antes, en 1636, Gilles Persone de Roberval (1602-1675) en una carta dirigida a Fermat enunciaba una  regla para encontrar la suma finita de potencias y la aplicaba para calcular las cuadraturas de estas infinitas parábolas. Así mismo, Fermat especificaba en una carta a Cavalieri, antes del 1644, que había cuadrado las parábolas, exponiéndole la regla y un ejemplo. Mengoli, en un primer cálculo, en Geometriae utilizó el método de los indivisibles de su maestro Cavalieri, pero en la misma obra las volvió a calcular con un segundo método aritmético algebraico. No está clara la razón por la que Mengoli  no siguió el camino de su maestro. Quizás fuera debido a que el método de Cavalieri había recibido muchas críticas y Mengoli no podía dejar de ser sensible a ellas. Quiso buscar nuevos métodos, con fundamentos  más sólidos, introduciendo en sus cálculos el álgebra de Viéte a través de las tablas triangulares, construidas a partir del triángulo aritmético de Pascal, y la teoría de quasi proporciones. Desde el principio Mengoli intentó clarificar su aplicación del álgebra a la geometría y dedicó mucho espacio a identificar las figuras (las llama formas) que quería cuadrar con las expresiones algebraicas que utilizaba para representarlas, sin hacer ningún dibujo. Daba su propio sistema de coordenadas, definiendo la abscisa y la ordenada y describía individualmente las ordenadas de las figuras a través de las abscisas en el intervalo (0,1).  Por ejemplo, las ordenadas correspondientes a una figura descrita por una parábola las llamaba "abscisas segundas" y eran descritas por terceras proporcionales de la unidad y de la abscisa,  1 : x = x : y. Las ordenadas de estas figuras quedaban definidas por medianas proporcionales o terceras proporcionales. Es decir, la conexión entre la figura (que no representaba) y la expresión algebraica (curva) que describía la figura era la teoría de proporciones de Euclides. Así pues, cuando demostraba las propiedades de las curvas que describían la figura (creciente, punto máximo,...), utilizaba directamente la expresión algebraica y las propiedades de las proporciones sin preocuparse de la representación gráfica de la figura. Triángulo de cuadraturas Mengoli además colocó estas expresiones algebraicas en tablas triangulares a fin de calcular a la vez todas las cuadraturas de las figuras de la tabla. Por ejemplo, para representar la parábola escribía FO.a2, para la expresión y=x3 escribía FO.a3, para la expresión y=x(1-x) escribía FO.ar,  representando x por a y 1-x por r ... Seguidamente multiplicó estas expresiones algebraicas por dos factores que calculaba fácilmente ya que sólo dependían del grado de la expresión algebraica y, por último, demostraba que todas las cuadraturas eran iguales a la del cuadrado de lado uno. Por ejemplo, calculó: Más tarde, en 1672,  en su obra Circolo, construía una tabla de cuadraturas de figuras interpoladas y utilizando el mismo método obtenía nuevas cuadraturas. Por ejemplo, calculó: La demostración de Mengoli es independiente del grado y sirve para cualquier figura [Massa, 1998, 129-171; 2006a, 105-109]. El álgebra le proporcionaba un método para calcular a un mismo tiempo todas estas cuadraturas y no le hacía falta hacer cada vez la cuadratura de una curva para encontrar una regla que le permitiera generalizarlas. Así pues halló el instrumento generalizador en las tablas triangulares y en el álgebra ya que las tablas se pueden extender indefinidamente, son fáciles de construir y las letras le permiten identificar las figuras dentro de la tabla. Mengoli siguiendo una investigación muy original  "conjunta perfectamente" en su método de cuadraturas la matemática clásica, representada en este caso por Euclides (teoría de proporciones) y Arquímedes (método de exhaución),  el método de los indivisibles de su maestro y la matemática innovadora representada por el álgebra de Viète. La utilización de ésta en su método de cuadraturas es un rasgo característico y fundamental de su obra, tal como él mismo señalabaal principio de Geometriae Speciosae Elementa: "Ambas geometrías, la antigua de Arquímedes y la nueva de los indivisibles de Buenaventura Cavalieri (preceptor mío), así como también el álgebra de Viète, han estado tratadas con bastante acierto por personas cultas; de ellas, ni confusamente ni como si fuese una mezcla, sino por una perfectaconjunción, se obtiene una nueva, la especie propia de nuestro trabajo, que no podrá desagradar a nadie." [Mengoli, 1659, 2-3]. Aunque las aportaciones de  Mengoli constituyeron un eslabón más en el proceso de la algebrización de las matemáticas, su objetivo prioritario no fue ni la construcción algebraica de las curvas ni clasificar las mismas, sino resolver unas cuadraturas aportando un nuevo método que le permitiera hallar la cuadratura del círculo.  Difusión e influencia de las obras de Mengoli Con respecto a la difusión e influencia de sus obras, consideraremos su vida científica dividida en dos periodos, hasta el año 1660 y del año 1670 en adelante, cuando Mengoli, aparte de diversificar el campo de sus investigaciones, empezó a dejar de ser citado en los círculos científicos distanciándose cada vez más de sus contemporáneos. Su primera obra Novae Quadraturae Arithmeticae (1650) aparece citada en muchas cartas de los científicos europeos y provocó una discusión entre Leibniz y Oldenburg sobre qué tipo de series había sumado Mengoli [Oldenburg, 1986, IX, 488-498, 556-563, 648-652, 664-665]. Según Robinet (1987: 329), Leibniz conocía a Mengoli a través de Jacques Ozanam (1640-1717) y del problema que éste le propuso. Existe un comentario manuscrito de Leibniz al Theorema Arithmeticum de 1674 de Mengoli donde especifica que Mengoli no supo solucionar en ese momento el problema de Ozanam, pero que lo hizo más tarde [Leibniz, 1990, 37, 39, 40 i 75 y Nastasi-Scimone, 1994,10-27]. Robinet, al situar a Leibniz en Bolonia, identifica la obra de Mengoli como una de las fuentes cruciales para la invención leibniziana en matemáticas. En realidad Leibniz leyó minuciosamente la obra de Mengoli y probablemente utilizó sus resultados. Recientemente se han publicado unos escritos de Leibniz en los que éste comenta los resultados obtenidos por Mengoli en Circolo y analiza el procedimiento utilizado [Leibniz, 2003, 735-748]. Su obra Speculationi di Musica es, después de la Novae, la segunda obra de Mengoli más citada en la correspondencia europea. Con ella empezaba la parte más filosófica de su carrera. Aquí es dónde disertaba por primera vez sobre los motivos de su filosofía natural. Esta obra, esperada con impaciencia por los científicos londinenses, fue comentada y parcialmente traducida en las Philosophical Transactions (1674, 100, 6194-7000). También apareció citada en la correspondencia de Collins con James Gregorie (1638-1675) y con Isaac Newton (1643-1727), donde Collins describía a Mengoli como: "un excelente matemático y músico" [Rigaud, 1841, 299-301, 319-321]. Pero no todas las alusiones a Mengoli fueron positivas. Cabe mencionar las referencias a su obra en la correspondencia entre Isaac Barrow (1630-1677) y Collins. Así en una carta con fecha del 1 de febrero de 1666, Barrow opinaba que leer las obras de Mengoli era más duro que leer obras escritas en árabe [Rigaud, 1841, II, 33-40-46]. No obstante, en estas cartas se pone de manifiesto que las obras de Mengoli eran conocidas y esperadas en Europa.  Se conoce muy poco de la actividad científica de Mengoli entre el año 1660 y el 1670, puesto que no publicó ninguna obra. Mengoli vivía retirado en su iglesia de Sta. Mª Magdalena y la única actividad en la que colaboraba era la astronomía; hacía observaciones sobre los astros, eclipses, cometas,... con el fin de encontrar el "curso" del sol, utilizando la meridiana de S. Petronio. GNOMONE SAN PETRONIO A través de la correspondencia publicada hace pocos años por Baroncini y Cavazza (1986), podemos percibir mejor los pensamientos del boloñés del último periodo, ya que abarca del año 1674 al 1686. De entre las cartas editadas (64), todas ellas de Mengoli, y de las cuales no se conservan las respuestas, 54 estaban dirigidas a la misma persona, concretamente a Magliabechi, que era el contacto entre nuestro autor y el mundo científico italiano del momento. Al leerlas, se advierte que, al final de su vida, se sentía muy solo. Efectivamente, después de la década de 1670, Mengoli ya no volvió a ser citado y aunque sus obras al principio habían sido muy apreciadas por los matemáticos europeos, parece ser que murió aislado e ignorado [Gregory, 1939, 179-186-203-231-232-236]. No hay una opinión unánime acerca de los motivos de este aislamiento. Es posible que su manera de escribir confusa y enrevesada, y su notación hicieran difícil la lectura de sus obras. Cavazza (1979/80) especifica que la razón de su aislamiento no se encontraba ni en la oscuridad lingüística de sus obras, ni en la incomprensibilidad de los temas y de los conceptos, sino en una incompatibilidad ideológica de fondo. Destaca Cavazza tres aspectos del pensamiento de Mengoli: suinterés por la astrología, su concepción auxiliar de la ciencia y sus ideas sobre la teología matemática. Sin embargo, muchos matemáticos de la época probablemente no analizaron su obra debido a su manera dificultosa y poco clara de escribir. Realmente, Mengoli elaboró un lenguaje algebraico propio, dónde la notación, a medida que se avanzaba, se complicaba cada vez más. Además, los procedimientos que utilizó para introducir el álgebra en la geometría no coincidían con las tendencias del momento. También pudieron influir factores externos, ya que durante la segunda mitad del año 1600 en Bolonia se produjo una crisis cultural muy importante, y los científicos con más renombre la abandonaron - por ejemplo, Cassini se trasladó a París (para dirigir el observatorio real) y Montanari a Padua [Pepe, 1981, 56-101]. Los centros conectados con los ambientes europeos estaban limitados a los centros florentinos, alrededor de la corte de los Médicis, y a los romanos, atados a la Curia, quedando fuera de estos contactos los de Bolonia. Otro aspecto que podría ayudar a explicar el olvido en que cayó su obra es el giro intelectual de Mengoli en su investigación a partir del año 1660. Después del Circolo, que le debía permitir averiguar las reglas de los solsticios y de los equinoccios, no escribió más obras de matemática pura, sino obras relacionadas con la cronología y la cosmología bíblica y que, además, no concordaban con el pensamiento filosófico de la época. Quizás no haya una única razón y sea la conjunción de todos estos argumentos la que puede encaminarnos a encontrar una respuesta al por qué del alejamiento de sus contemporáneos. Estudios recientes Aunque durante casi dos siglos el nombre de Mengoli permaneció ignorado, a principios del siglo veinte las referencias al estudio de sus obras matemáticas hicieron que empezase a ser valorado, especialmente por su obra sobre la teoría de series infinitas. Eneström (1912), Vacca (1915) y Agostini (1941) mostraron que Mengoli fue el primero en calcular sumas de series infinitas distintas de las series geométricas, en enunciar el concepto general de convergencia y divergencia y en demostrar que la serie armónica es divergente. Más recientemente también Giusti (1991) describió los resultados obtenidos en la Novae Quadraturae Arithmeticae. Agostini (1950) ya puso de relieve la importancia de la Geometriae Speciosae Elementa, en concreto, el concepto de límite y la integral definida. También Massa (1997-1998-2001-2003-2006a-2006b) ha realizado diversos estudios así como una tesis doctoral, sobre la obra matemática de Mengoli La autora muestra en sus publicaciones la originalidad y la creatividad de los métodos mengolianos. En 1991 Gozza hizo diversos estudios sobre la Speculationi di Musica de Mengoli. También Wardhaugh ha leído recientemente (2006) una tesis doctoral sobre la música del siglo XVII analizando en particular esta obra. Estas nuevas investigaciones han de permitir profundizar en la obra de Mengoli y  situarla en el lugar que les corresponde dentro de la historia de las matemáticas y del pensamiento del siglo XVII. BIBLIOGRAFÍA Obras de Mengoli Mengoli, P. Novae Quadraturae Arithmeticae seu De Additione Fractionum. Bolonia, 1650. Mengoli, P. Via Regia ad mathematicas per arithmeticam, algebram speciosam and planimetriam, ornata MaiestatiSerenissimae D. Christinae Reginae Suecorum. Bolonia, 1655. Mengoli, P. Geometriae Speciosae Elementa. Bolonia, 1659. Mengoli, P. Circolo. Bolonia, 1672. Mengoli, P. Anno. Bolonia, 1673. Mengoli, P. Arithmetica Realis. Bolonia, 1675. Obras relacionadas con Mengoli Andersen, K. Cavalieri's Method of Indivisibles. Archive for the History of Exact Sciences, 31, 1984/85, 291-367. Agostini, A. La serie sommate da Pietro Mengoli. Bollettino della Unione Matematiche Italiana, ser 2, vol. 3, 1941, 231-251. Agostini, A. L’opera matematica di Pietro Mengoli. 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Martes, 02 de Diciembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

46. Noether, Emmy (1882-1935)

Emmy Noether fue una matemática alemana de origen judío que realizó sus investigaciones en las primeras décadas del siglo XX. Mediante su primera especialización sobre invariantes algebraicos consiguió demostrar dos teoremas esenciales para la teoría de la relatividad que permitieron resolver el problema de la conservación de la energía. Su aportación más importante a la investigación matemática fueron sus resultados sobre la axiomatización y el desarrollo de la teoría algebraica de anillos, módulos, ideales, grupos con operadores, etc. En este contexto, que se llamó álgebra moderna, aplicó sus conocimientos sobre invariantes dando rigor y generalidad a la geometría algebraica. Sus investigaciones en álgebra no conmutativa destacan, sobre todo, por el carácter unificado y general que dio a los conocimientos acumulados durante décadas. Sus publicaciones serían suficientes para valorar su decisiva contribución a las matemáticas, pero hay que considerar, además, que nunca le interesó mucho publicar y siempre permitió a sus colegas y a sus estudiantes desarrollar resultados interesantes a partir de las sugerencias que ella les hacía El calificativo noetheriano se utiliza para designar muchos conceptos en álgebra. Los anillos noetherianos1 recibieron este nombre en su honor, ya que fue ella la que introdujo la condición de cadena ascendente2, pero también se habla de grupos noetherianos, módulos noetherianos, espacios topológicos noetherianos, etc. Sus investigaciones crearon un cuerpo de principios que unificaron el álgebra, la geometría, la topología y la lógica. En su época su genialidad fue ampliamente reconocida por la comunidad matemática. Conocemos textos3 de Hilbert, H. Weyl, Einstein, Alexandroff, Van der Waerden, Jacobson..., alabando su talento, pero no podemos olvidar que durante los casi treinta años que estuvo dedicada a la enseñanza y a la investigación nunca consiguió un salario digno. Su vida El 23 de marzo de 1882 nació en Erlangen, Baviera, Emmy Amalie Noether. Su padre, Max Noether (1844-1921), era profesor de matemáticas en la universidad de Erlangen, conocido por sus investigaciones sobre funciones algebraicas, su madre Ida Kaufmann, procedía de una familia de Colonia. Ambos eran de origen judio. Tuvieron tres hijos pero uno murió en la infancia, Emmy era la mayor y Frizt que tenía dos años menos que ella, también fue matemático y se especializó en matemática aplicada. Hasta los 15 años asistió al Höhere Töchter Schule en Erlangen donde estudió alemán, inglés, francés, aritmética, piano y danza. Después de esta formación básica estudió francés e inglés, para ser profesora de idiomas y en 1900 superó los Exámenes de Estado que la calificaban para enseñar idiomas en cualquier institución educativa femenina. Después de obtener este título, el medio matemático en el que se desarrollaba su vida, entre su padre y los amigos de éste, orientó sus estudios hacia las matemáticas. El Senado de la Universidad de Erlangen había declarado en 1898 que la admisión de mujeres estudiantes "destrozaría todo orden académico" [16], sin embargo se les autorizaba a asistir a clase con un permiso especial, que no les daba derecho a examinarse. Fue la única alumna entre 984 estudiantes. Después de pasar los exámenes en Nuremberg en 1903, fue a Göttingen donde asistió a cursos impartidos por Hilbert, Klein y Minkowski y en 1904 regresó a Erlangen donde habían cambiado los estatutos de la Universidad y pudo proseguir sus estudios de doctorado, que realizó bajo la influencia de Paul Gordan sobre la teoría de invariantes. En 1907 obtuvo el grado de doctora “cum laude” con la memoria titulada: Sobre los sistemas completos de invariantes para las formas bicuadráticas ternarias, que fue publicada en 1908. La fama de Emmy creció rápidamente así como sus publicaciones. En 1908 fue elegida miembro del Circolo Matematico de Palermo, y desde 1909 perteneció al Mathematiker Vereinigung Alemán. Ese mismo año fue invitada para dar una conferencia en Salzburgo y en 1913 en Viena. A pesar de este reconocimiento público su trabajo en la Universidad de Erlangen consistía únicamente en ayudar a su padre, lo sustituía cuando estaba enfermo y continuaba con sus investigaciones, pero sin percibir salario alguno. Durante estos años tuvo dos tutores algebristas: Ernst Fischer (1840-1927) y Bernhard Schmidt (1879-1935). Ella declaró que Fischer le había despertado el interés por el álgebra abstracta y que fue precisamente esta influencia la que determinó su trabajo futuro [10]. Abandonó la corriente constructivista que había utilizado en su memoria de doctorado y desarrolló un pensamiento axiomático conceptual. En 1915 fue invitada por David Hilbert (1862-1943) y Félix Klein (1849-1925) a trabajar con ellos en la universidad de Göttingen, que en aquella época era el principal centro matemático de Alemania y probablemente de Europa. En una carta fechada en 1919 decía que había tomado esa decisión respondiendo a una invitación de matemáticos que trabajaban en esa ciudad [10]. Este periodo de la vida de Emmy (1915-1933) estuvo marcado por una intensa producción científica que determinó su aportación a las matemáticas y a la física. En esta época también colaboró en la edición de la revista  Mathematische Annalen. El reglamento vigente de la Universidad de Göttingen indicaba explícitamente que los candidatos debían ser hombres por lo que Noether no pudo presentarse a oposiciones como docente universitario. Hilbert quiso corregir esa injusticia, pero sus esfuerzos no tuvieron éxito, pues ciertos miembros de la facultad, no matemáticos, se opusieron. Se cuenta, como anécdota, que Hilbert dijo en un Consejo de la Universidad de Göttingen, "no veo por qué el sexo de la candidata es un argumento contra su nombramiento como docente. Después de todo no somos un establecimiento de baños" [6]. Hilbert y Noether encontraron un sistema para que ella pudiera impartir como docente: las clases se anunciaban bajo el nombre de Hilbert y ella figuraba como ayudante. Así pudo probar su competencia y ser mejor conocida. Finalizada la Primera Guerra Mundial Alemania pasó a ser una república. Por primera vez las mujeres tuvieron derecho a voto y fue derogado el anterior reglamento de oposiciones. En 1919, Emmy presentó como “tesis de habilitación” su trabajo "Invariante Variationsprobleme" junto con doce artículos ya publicados y dos manuscritos adicionales, en uno de los cuales había varias ideas importantes que tuvieron un impacto significante en el reciente desarrollo del álgebra abstracta. En 1922 fue nombrada “profesor extraordinario y no oficial”. No tenía derecho a sueldo4, pero pudo obtener pequeñas retribuciones, por su grado de experta en álgebra, que en ese momento le eran imprescindibles, ya que la inflación de la posguerra estaba acabando con su pequeña herencia. Durante el curso 1928-29 pasó un semestre como profesora visitante en la Universidad de Moscú y fue invitada al Congreso Matemático Internacional en Bolonia. En septiembre de 1932 fue invitada al Congreso Internacional de Matemáticas de Zurich. Emmy presentó una importante comunicación titulada: “Los sistemas hipergeométricos en su relación con las álgebras no conmutativas”. Este mismo año recibió con Artin, el Alfred Ackermann-Teubner Memorial, premio para el Avance del Conocimiento Matemático. A pesar del reconocimiento obtenido por este éxito, los cambios políticos y la llegada de Hitler al poder le obligaron a reorientar su carrera. Ser una intelectual, pacifista, judía y liberal le obligó a abandonar Alemania. Primero pensó marchar a Rusia y se puso en contacto con su amigo Alexandroff, pero pasó demasiado tiempo antes de que le contestaran ofreciéndole un puesto. En abril de 1933 se le retiró su derecho a ejercer como docente por ser judía y las leyes raciales la empujaron al exilio. A finales de ese año se marchó a los Estados Unidos como profesora invitada durante un año a una universidad femenina, el Bryn Mawr College (Pennsylvania). En febrero de 1934 comenzó a trabajar en Princeton, New Jersey, en el Instituto de Estudios Avanzados, donde también se encontraba Albert Einstein. En verano volvió por última vez a Alemania para ver a su hermano Fritz, visitar viejos amigos y cerrar su casa. La noticia de su repentina muerte, el 14 de abril de 1935, como consecuencia de una operación, en principio no demasiado seria, sorprendió a todos. Tenía 53 años y estaba en el apogeo de su fuerza creadora. Sin duda Emmy Noether figurará siempre como una de las personalidades matemáticas más importantes del siglo XX. Muchas personas por todo el mundo continúan su trabajo en álgebra. Sobre ella dijo Jean Dieudonné que era “la mejor matemática de su tiempo, y uno de los mejores matemáticos (hombre o mujer) del siglo XX” [5]. Su obra En la obra de Emmy Noether se distinguen tres periodos distintos: de 1882 a 1915 en Erlangen, de 1915 a 1933, el periodo más productivo, en Göttingen, y de 1933 a 1935, en Estados Unidos. En Erlangen después de realizar su tesis doctoral, bajo la influencia de Paul Gordan, comenzó su interés por el álgebra abstracta. Las investigaciones más importante de Emmy, tanto en matemáticas como en física, fueron las que realizó en Göttingen. En su trabajo Invariante Variationsprobleme (1918) incluía dos resultados importantes, esenciales en la teoría de la relatividad general y en el estudio de las partículas elementales ya que relacionaban las simetrías con las leyes de conservación de la energía [1]. Por sus investigaciones en matemáticas se convirtió en una especialista en la teoría de invariantes5. Desarrolló la teoría general de anillos e ideales bajo una base axiomática, contribuyendo a que el método axiomático fuese un potente instrumento en la investigación. Sus trabajos en álgebra no conmutativa unificaron conceptualmente todos los resultados sobre intuiciones geniales pero bastante confusos introducidos en las décadas anteriores por Kronecker, Dedekind y Kumer. En el corto espacio de tiempo que vivió en Estados Unidos continuó sus investigaciones en este campo. La tesis doctoral de Emmy siguió el planteamiento constructivista de Gordan. El estilo de este matemático consistía en hojas y hojas de símbolos sin casi una palabra de texto. Emmy calculó los 331 invariantes de las formas bicuadráticas ternarias [15] Ella misma calificaba su tesis de “una jungla de fórmulas” [10] siendo el estilo de sus trabajos posteriores muy diferente, más conceptual y orientado a reflexionar sobre la naturaleza intrínseca de los problemas para profundizar en ellos y generalizarlos. El artículo de Emmy Invariante Variationsprobleme [12] fue presentado el 16 de julio de 1918 en la reunión del Könighche el der de Gesellschaft el zu de Wissenschaften Göttingen por Felix Klein probablemente porque Noether no era un miembro de los Gesellschaft. El trabajo demostró dos teoremas básicos para la teoría general de la relatividad y la física de partículas elementales, que revelaron la conexión general entre las simetrías y las leyes de conservación de la energía [9] y son conocidos por los físicos como “Teorema de Noether” [8]. En aquella época David Hilbert, Felix Klein y otros en Göttingen estaban muy interesados en esta nueva teoría. El trabajo de Emmy fue una continuación al descubrimiento de David Hilbert del principio del variacional del que derivaron las ecuaciones de la teoría general de la relatividad. Sin embargo, en este campo, había problemas no resueltos con respecto a la conservación de energía. Emmy los resolvió y su trabajo fue alabado por Einstein (1918), en una carta a Hilbert, donde se refirió a ella como "pensamiento matemático penetrante". En 1920 publicó con W. Schmeidler un trabajo sobre operadores diferenciales en álgebras no conmutativas que supone, según H. Weyl, el comienzo en su obra matemática de "su poder creador tan original e incluso genial". [3] En la década de los años veinte inició una serie de investigaciones que modificaron el Álgebra desde sus fundamentos. Publicó una docena de artículos. Los más importantes fueron dos memorias sobre la teoría de ideales: Teoría de ideales en anillos (1921) [13] y Construcción abstracta de la teoría de ideales en el dominio del cuerpo de los números algebraicos (1924). Dedekind había introducido los ideales como un conjunto de números enteros en un cuerpo numérico, así como la descomposición de estos ideales como producto de ideales primos. Emmy, en su primera memoria, convirtió los ideales de números enteros en ideales, es decir, subconjuntos definidos axiomáticamente en cualquier conjunto con estructura de anillo y estableció que en un anillo conmutativo que verifique el celebre axioma de la cadena ascendente de ideales, (ahora llamado anillo noetheriano), todo ideal tiene una descomposición minimal finita como intersección de ideales primarios. En la segunda determinó los axiomas para poder establecer, en un anillo, la descomposición de un ideal como producto de ideales primos. En 1927 colaboró con Helmut Hasse (1898-1972) y Richard Brauer (1901-1977) en trabajos sobre álgebra no conmutativa. A partir de entonces centró su estudio en este campo. Sus investigaciones sobre los sistemas hypercomplejos, la teoría de la representación y, de forma general, el álgebra no conmutativa se caracterizan por la importancia que tienen las nociones de módulo, ideal, automorfismo y por la generalidad de los resultados que son válidos en cualquier cuerpo. Por teorías como la del producto cruzado, desarrolladas por ella o en colaboración con Helmut Hasse y Richard Brauer, Emmy Noeter consiguió unos resultados muy importantes aplicando brillantemente los métodos hipercomplejos a difíciles problemas de la teoría de cuerpos cociente. Uno de sus trabajos más importantes, Álgebras no conmutativas [14], publicado en 1933, proporciona una visión global de dicha teoría. Una serie de discípulos procedentes de todo el mundo y conocidos como de la “Escuela Noether”, a través de sus clases y discusiones abiertas hicieron fecundo su trabajo. Entre ellos podemos citar a Krull, Grell, Koethe, Deuring, Fitting, F-K Schmidt, etc. [3]. Formaban una pequeña familia, se mostraba con ellos buena y maternal, interesada por sus asuntos personales, siempre dispuesta a ayudarlos, pero como una juez implacable en lo referente a su trabajo matemático. Uno de ellos, Van Der Waerden, decía que no sólo estaban entusiasmados por el proyecto de Emmy sino también con el tratamiento que ella hacía: "Era para nosotros una amiga leal y al mismo tiempo un juez severo e incorruptible" [6]. A través de sus discípulos, la moderna concepción del Álgebra llegó a casi todas las universidades alemanas y a los centros de investigación matemática de Francia, Unión Soviética, Japón y EE.UU. Se le atribuía la capacidad, no usual, de visualizar y aclarar los conceptos más difíciles con la ayuda de ejemplos concretos. La obra de Emmy no se puede juzgar exclusivamente por sus publicaciones, un poco abandonadas. Se debe considerar que siempre ayudó a sus estudiantes y colegas a desarrollar resultados interesantes a partir de las observaciones, sugerencias, o comentarios que ella les hacía. Un ejemplo es la introducción del concepto de nilradical6 por Koethe en 1931. Otro es el caso de Van der Waerden, que en 1924 fue a Göttingen un año para estudiar con Emmy, y al volver a Amsterdam escribió su libro Álgebra Moderna en dos volúmenes. La mayor parte del segundo volumen es el trabajo de Emmy, clarificado y ordenado por él. Se debe también a Emmy, en colaboración con el filósofo francés Jean Cavaillès, una edición que apareció en 1937 de la correspondencia entre Georg Cantor y Richard Dedekind, entre abril de 1872 y agosto de 1899. Estas cartas permitieron seguir la génesis de la teoría de conjuntos. En la Sociedad Matemática de Moscú, su amigo Pavel Sergeevich Aleksandrov (1896-1982) la recordaba con este tributo: «Emmy Noether fue la más grande de las mujeres matemáticas, una gran científica, magnífica profesora y una inolvidable persona» [7] Bibliografía [1] BYERS, N. (1999): E Noether's Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws, Israel Mathematical Conference Proceedings 12, http://www.physics.ucla.edu/~cwp/articles/noether.asg/noether.html [2] DICK, A. (1981): Emmy Noether, 1882-1935. Birkhauser, Boston. [3] DUBREIL-JACOTIN, M. L. (1948): Figures de Mathématiciennes, "Les grands courants de la pensée mathématique", F. Le Lionnais (ed.). Cahiers du sud, Paris, 266-269. [4] EINSTEIN, A. (1935): Un tributo a Emmy Noether, "The New York Times" (5 de mayo). [5] EYCHENNE, E. (1993): Mathématiciennes, ... des inconnues parmi d’autres. Brochure de l’IREM de Besançon, 46-48. [6] FIGUEIRAS, L.; MOLERO, M.; SALVADOR, A. y ZUASTI, N. (1998): Género y Matemáticas. Editorial Síntesis, Madrid, 170-182. [7] FIGUEIRAS, L.; MOLERO, M.; SALVADOR, A. y ZUASTI, N. (1998): El juego de Ada. Matemáticas en las Matemáticas. Proyecto Sur de Ediciones, S. L, Granada,129-145. [8] HILL, C. T. y LEDERMAN L. M.: Symmetry in Physics: Proving Noether's Theorem, http://www.emmynoether.com/math.htm [9] HILL, C. T. y LEDERMAN L. M.: Symmetries of the Laws of Physics and Noether's Theorem, http://www.emmynoether.com/noeth.htm [10] LAFORTUNE, L. (1986): Femmes et mathématiques. Les éditions du remue-ménage, Montréal, 82-95. [11] NOETHER, E. (1983): Collected Papers. Springer - Verlag, New York. [12] NOETHER, E. (1918): Invariante Variationsprobleme, Nachr. d. König. Gesellsch. d. Wiss. zu Göttingen, Math-phys. Klasse, 235-257. [13] NOETHER, E (1921): Idealtheories in Ringbereichen, "Mathematische Annalen", 83, 24-66, http://134.76.163.65/agora_docs/29099TABLE_OF_CONTENTS.html [14] NOETHER, E (1933): Nichtkommutative Algebra. "Mathematische Zeitschrift", 37, 514-541, http://134.76.163.65/agora_docs/8487BIBLIOGRAPHIC_DESCRIPTION.html [15] NOETHER, E. (1908): Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form, Reimer. Berlin. http://134.76.163.65/agora_docs/39727BIBLIOGRAPHIC_DESCRIPTION.html [16] SMITH, S.(1996): Agnesi to Zeno: Over 100 Vignettes from the History of Math. Key Curriculum Press. Berkeley, 165-166. [17] VAN DER WAERDEN, B. L. (1935): Nachruf auf Emmy Noether, "Mathematische Annalen" 111, 469-476, http://134.76.163.65/agora_docs/37932TABLE_OF_CONTENTS.html [18] WEYL, H. (1935): Emmy Noether, "Scripta Mathematica III", 3, 201-220. Más en la web: [19] BYERS, N. (1996): Emmy Noether 1882 - 1935 http://www.physics.ucla.edu/~cwp/Phase2/Noether,_Amalie_Emmy@861234567.html [20] KIMBERLING, C. (1982) Emmy Noether, Greatest Woman Mathematician "Mathematics Teacher", 84, 3, 246-249. 10.1 del menú en: http://www.matharticles.com [21] MCGIRR, K. (1998): Biographies of Mathematicians - Emmy Amalie Noether http://www.andrews.edu/~calkins/math/webtexts/bionoeth.htm [22] O'CONNOR, J. J.; ROBERTSON, E. F. (1997): Emmy Amalie Noether, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Noether_Emmy.html [23] O'CONNOR, J. J.; ROBERTSON, E. F. (2002): Fotografías de Emmy Noether, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/PictDisplay/Noether_Emmy.html [24] STRETCH, D. (2003): Emmy Amalie Noether, http://www.pass.maths.org.uk/issue12/features/noether/index.html [25] TAYLOR, M. (1998): Emmy Noether, http://www.agnesscott.edu/lriddle/women/noether.htm Notas: 1 Un anillo conmutativo y unitario es noetheriano si toda sucesión creciente de ideales es finita, lo que equivale a decir que todo ideal está finitamente generado. 2 Un conjunto ordenado verifica la condición de cadena ascendente si toda sucesión creciente de elementos es finita. 3 Albert Einstein, en un tributo a Emmy Noether [4]: En el reino del álgebra, en el que los mejores matemáticos han trabajado durante siglos, ella descubrió métodos que han probado su enorme importancia... La matemática pura es, a su manera, la poesía de las ideas lógicas. ... En este esfuerzo hacia la belleza lógica se descubren fórmulas espirituales necesarias para conseguir una penetración más profunda en las leyes de naturaleza. Nathan Jacobson escribió [11]: El álgebra abstracta puede fecharse desde la publicación de dos trabajos de Noether, el primero el que publicó junto con Schmeidler y sobre todo un trabajo verdaderamente monumental Idealtheorie in Ringbereichen que pertenece a una de las corrientes principales del álgebra abstracta, la teoría de anillos conmutativos, y puede considerarse como el primer trabajo en este inmenso campo. Hermann Weyl escribió sobre su trabajo [18]: Su importancia para el álgebra no puede valorarse leyendo únicamente sus publicaciones, pues ella tenía un gran poder para estimular por lo que muchas de sus sugerencias tomaron forma en los trabajos de sus alumnos y colegas. ... La teoría de álgebras no-conmutativas y sus representaciones fue elaborada por Emmy Noether que unificó, de modo puramente conceptual, todos los resultados que se habían acumulado durante décadas por los ingeniosos trabajos de Frobenius, Dickson, Wedderburn y otros. P. S. Alexandrov escribió [2]: Era ella quién nos enseñó a pensar en términos de conceptos algebraicos simples y generales, homomorfismos, aplicaciones, grupos y anillos con operadores, ideales, teoremas tales como los teoremas de homomorfismo e isomorfismo, conceptos como las condiciones de cadena ascendente y descendente para subgrupos e ideales, o la noción de grupos con operadores que fue introducida por Emmy Noether y ha entrado en la práctica diaria de una amplia gama de disciplinas matemáticas ... sólo hay que mirar el trabajo de Pontryagin en grupos continuos, el de Kolmogorov en topología combinatoria, el de Hopf en aplicaciones continuas, el de.Van der Waerden en geometría algebraica... para darse cuenta de la influencia de las ideas de Emmy Noether. Esta influencia también se siente agudamente en el libro de H. Weyl, Gruppentheories und Quantenmechanik. Van der Waerden la describió así [17]: Para Emmy Noether las relaciones entre los números, las funciones y las operaciones se vuelven transparentes, generalizables y productivas únicamente después de que hayan sido disociadas de todo objeto particular y que hayan sido reducidas a relaciones conceptuales generales. 4 Herman Weyl escribió en 1935 en Scripta Mathematica [18]: "Cuando, en 1930, obtuve un puesto de profesor en Göttingen, intenté conseguir para Emmy un puesto mejor, ya que me avergonzaba ocupar una posición por encima de ella, sabiendo que como matemática era superior a mí en muchos aspectos. No tuve éxito. Tradición, prejuicios, consideraciones externas pesaron en contra de sus méritos y grandeza científica, que por entonces nadie ponía en duda. En mis años en Göttingen (1930-1933), ella fue sin duda el centro de actividad matemática más poderoso, tanto por la importancia de sus investigaciones como por su influencia sobre un amplio número de discípulos". 5 Se considera que son invariantes de las leyes matemáticas de un sistema aquellas transformaciones, como por ejemplo las isometrías, que conservan las propiedades propias del sistema. 6 El nilradical de un anillo es la intersección de todos los ideales primos del anillo. Este concepto fue mejorado posteriormente por Jacobson que introdujo el concepto de Radical de Jacobson que es la intersección de todos los ideales maximales del anillo.

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47. Oresme, Nicolás de (1323-1382)

Nicolás de Oresme nació en Normandía, alrededor del año 1323, fue profesor en el colegio de Navarra, emplazado en donde hoy está la Escuela Politécnica de París, y murió en 1382, siendo obispo de Lisieux. El Algorismus proportionum y De proportionibus proportionum En su obra Algorismus proportionum desarrolla Oresme el cálculo de potencias con exponentes enteros y racionales, e incluso deja entrever la posibilidad de potencias de exponente irracional. En un trabajo posterior, De proportionibus proportionum, vuelve sobre las mismas ideas, pero cimentándolas con una base teórica más sólida. Una proposición de De proportionibus merece ser señalada: dadas dos magnitudes, es más probable que sean inconmensurables que lo contrario. Hoy sabemos, en efecto, que el infinito de los racionales es numerable y el de los irracionales no lo es. Nicolás de Oresme sostiene que este resultado invalida las pretensiones de los astrólogos. Las predicciones se basan en observaciones astrales supuestamente exactas, pero sucede que la proporción entre dos tiempos, distancias o velocidades rara vez son conmensurables.

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48. Pitágoras (Siglo VI a.C.)

Este escrito está dedicado con admiración a la figura humana y científica del Profesor Miguel de Guzmán, apasionado estudioso de Pitágoras y el Pitagorismo. El papel que Pitágoras ha desempeñado en el desarrollo del pensamiento es de tal importancia que vale la pena escudriñar con veneración los muchos rastros que sus seguidores a lo largo de los siglos nos han transmitido a fin de entender mejor nuestra propia cultura. Miguel de Guzmán. El pitagorismo, vanguardia de la cultura. Saber Leer, nº153, 03/2002, p.8. CITAS MEMORABLES SOBRE PITÁGORAS 0.- Aprende lo necesario para que tu vida sea más feliz. Lo mejor en todo es la justa medida. Reflexiona sobre todo tomando como guía la recta razón. Pitágoras. Los Versos de Oro (31, 38, 68–69). 1.- Pitágoras exhortó al que ambicionara una auténtica fama a ser individualmente tal como quisiera parecer a los demás. [...]. Pitágoras exhortó a ejercitarse en el escuchar a fin de capacitarse para hablar. Jámblico, Vida Pitagórica. ( IX.49, p.43 ; X.53, p.45). 2.- Para Pitágoras la primera esencia era la naturaleza de los números y proporciones que se extienden a través de todas las cosas, de acuerdo con los cuales todo está armónicamente dispuesto y convenientemente ordenado. Jámblico, Vida Pitagórica., XII.59, p.49. 3.- Pitágoras fue el primero en usar el nombre de Filosofía y se llamó a sí mismo filósofo o amante de la sabiduría. [...]. “Ninguno de los hombres, dijo Pitágoras, es sabio: sólo lo es Dios”. Diógenes Laercio. Vida de los filósofos más ilustres. Libro I. Proemio.VIII, pp.11–12. 4.- En Roma nadie era considerado instruido si no era pitagórico. Cicerón (Tusculanas, I.1, XVI). 5.- El mundo platónico de las ideas es la forma revisada y refinada de la doctrina pitagórica de que el número es la base del mundo real. A.Whitehead.La Matemática en la Historia del Pensamiento (en SIGMA, el mundo de las Matemáticas, Vol.1, p.332). 6.- En el número reside, como lo comprendió Pitágoras con la íntima certidumbre de una sublime intuición religiosa, la esencia de todo lo real. [...] La afirmación pitagórica de que el número es la esencia de todas las cosas aprehensibles por los sentidos siegue siendo la más valiosa proposición de la Matemática antigua. O.Spengler. El sentido de los números (en La decadencia de Occidente. Cap.I.1). Austral, Madrid, 1998, pp.132,148. 7.- Pitágoras es un gran pensador cuya escuela estableció una relación entre las Matemáticas, la Ciencia y la Filosofía que no se ha perdido nunca. J.Bernal. Historia social de la Ciencia. Península, Barcelona, 1979 vol.1. pp.149–150. 8.- La Matemática nace a la sombra de la metafísica pitagórica fundada en la omnipresencia y omnipotencia del numero. J.Babini. Arquímedes: El Método. Eudeba, Buenos Aires, 1966, p.14. 9.- Pitágoras fue el primer pensador que intentó conciliar las Matemáticas con la Filosofía, una de las mayores aportaciones realizadas a la civilización a lo largo de toda la historia. Desde entonces, las Matemáticas han mantenido una estrechísima relación con la Filosofía y la Ciencia, hasta el punto de que algunos de los más grandes filósofos han sido también grandes matemáticos. B.Mage. Historia de la Filosofía, Blume, Barcelona, 1988. p.15. 10.- Pitágoras es intelectualmente uno de los hombres más importantes que han existido y que mayor influencia ha ejercido en la Historia del Pensamiento. Bertrand Russell. Historia de la Filosofía Occidental, Austral, vol.1, p.65.     Pitágoras, entre la historia y la leyenda Además de su decisiva contribución al acervo matemático griego, Pitágoras es el principal responsable –a través de la práctica de la demostración– del nacimiento en Grecia de la Matemática racional como ciencia especulativa y deductiva. Es sin duda, además, el matemático más conocido. Pero más allá de la Matemática, en el ámbito más general de la Historia de la Cultura, Pitágoras es realmente un personaje muy célebre. Su figura es una de las más apasionantes de la Historia del Pensamiento. Racionalista y místico, filósofo y teólogo, matemático y experimentador, sabio y profeta, maestro y asceta, psicólogo y orador, promotor religioso y taumaturgo, interrogador del Cosmos e instaurador de un estilo de vida, gran conversador y amante del silencio reflexivo, hombre de carne y hueso y personaje mítico, Pitágoras es el primigenio inductor de una parte considerable de los elementos culturales que al configurar en gran medida el pensamiento platónico, influyeron de forma decisiva sobre la ciencia alejandrina y el primer Cristianismo y dejaron una estela que ha pervivido a lo largo de los tiempos y ha conformado la tradición del pensamiento occidental hasta nuestros días, lo que convierte a Pitágoras en uno de los personajes más influyentes en la Historia de la Cultura y del Pensamiento. Como filósofo del número, para Pitágoras y los pitagóricos, Filosofía, Ciencia, Matemáticas y Religión son aspectos indisociables que se integran en una apasionada actividad intelectual presidida por un misticismo de carácter aritmético–geométrico. Al acuñar para la posteridad, en el lenguaje del saber, los términos Filosofía («amor a la sabiduría») y Matemáticas («lo que se conoce», «lo que se aprende»), Pitágoras es uno de los artífices del milagro griego como principal instaurador de la tradición filosófica y matemática en occidente, contribuyendo su legado de forma incuestionable a establecer una íntima y duradera relación entre Matemática, Ciencia y Filosofía. Entre la historia y la ficción, la extraordinaria figura de Pitágoras ha sido muy controvertida, estando inmersa en un halo misterioso que envuelve a leyendas y tradiciones sobre el personaje. Se ha llegado incluso a dudar de su existencia. El mismo Aristóteles que vivió tan sólo doscientos años después de Pitágoras, es muy cauto y no se compromete, a pesar de la tradición, con atribuciones personales a Pitágoras de doctrina matemática, musical o cosmológica alguna y prefiere hablar de los pitagóricos más que de Pitágoras, a quien, mencionando sólo en dos ocasiones, parece poner en entredicho su existencia real. Estas suposiciones son desmentidas por algunos documentados testimonios de Heráclito y Herodoto. Actualmente la investigación histórica parece haber dejado fuera de toda duda la historicidad de Pitágoras, pero de todas formas la figura histórica de Pitágoras ha sido muy edulcorada por parte de quienes más que biógrafos son hagiógrafos, sobre todo Diógenes Laercio y Porfirio, del siglo III d.C. y Jámblico, del siglo IV. Lástima que la obra de Aristóteles Sobre los Pitagóricos se haya perdido, aunque es plausible que en ella se hallara más doctrina pitagórica que biografía del maestro. Durante mucho tiempo hubo un gran escepticismo sobre la verosimilitud de las biografías de Pitágoras, atribuyéndoles más novela que historia, ante el estilo laudatorio sobre las peripecias científicas y las enseñanzas religiosas del sumo pontífice del Pitagorismo. Actualmente, la investigación y la crítica histórica de algunos eruditos han separado la ganga fantástica de la mena histórica y sobre todo tras la reciente publicación de la obra de B.L. Van der Waerden Die Pythagoreer (Zurich, 1979), se tiende a dar más credibilidad a los biógrafos aludidos considerando que ellos pudieron tal vez disponer de documentos próximos a los tiempos del Pitagorismo. Pitágoras nació en la isla de Samos. Tras una exquisita formación intelectual bajo la dirección de los filósofos Ferecides y Hermodomas, es probable –y así lo asegura Jámblico– que visitara a Tales en Mileto y aprendiera directamente de él –lo que por proximidad cronológica y geográfica habría sido posible–. Avido de ampliar conocimientos, al haber agotado las fuentes del saber griego de la época, con un alma helénica, inquieta y viajera, y aconsejado por la experiencia personal de Tales, Pitágoras habría estado en Egipto y Mesopotamia, donde los sacerdotes y escribas le debieron inculcar no sólo de la ciencia exotérica, como a Tales, sino también de la ciencia esotérica que impregnaría toda su elaboración científica y la transmisión de la misma a sus discípulos. Es posible incluso que en sus peregrinaciones Pitágoras llegara hasta la India donde habría asimilado tanto conocimientos matemáticos y astronómicos como mucho bagaje religioso, en particular las doctrinas sobre la reencarnación y la transmigración de las almas, que sería un lugar común en la Comunidad Pitagórica. Incluso se le atribuyen viajes por el Mediterráneo desde Fenicia hasta las Columnas de Hércules y de aquí a las Galias y a las Islas Británicas para aprender de los druidas. El saber milenario de egipcios, fenicios, judíos, árabes, caldeos, persas, indios y druidas habría conformado, según tradiciones legendarias, la extraordinaria sabiduría de Pitágoras. Al regreso de sus viajes, Pitágoras sesienteimbuido de una función casi mesiánica de transmisión de la verdad y el conocimiento y empieza a exponer doctrina matemática, filosófica y religiosa, primero en Samos y después en Crotona, colonia dórica de la Magna Grecia, situada en la costa sudeste de Italia, donde funda una comunidad de carácter científico y religioso. La leyenda persigue a Pitágoras hasta el umbral de su muerte que se ha descrito con todo tipo deversiones más o menos peregrinas, algunas incluso de tipo violento en relación con las frecuentes hostilidades entre Crotona y Sibaris. Según lo más fiable parece ser que murió en Metaponto, hacia el año 500 a.C. Pitágoras: Filosofía, Religión, Ciencia y Matemáticas Nicómaco de Gerasa (en Introducción a la Aritmética), Diógenes Laercio (en Vida de los filósofos más ilustres ) y Jámblico (en Vida pitagórica), entre otros, atribuyen a Pitágoras los términos Filosofía y Filósofo, como el amor y el amante de la Sabiduría, respectivamente. Pitágoras fue el primero en utilizar el término Cosmos para describir el orden y la armonía inherentes a un universo regido por unas leyes cognoscibles e inteligibles por el hombre a través del número que es el principio elemental, «la esencia de todas las cosas», componente esencial de la armonía matemática que debe guiar, con finalidad religiosa, toda investigación sobre el universo. Pitágoras alcanzaría esta iluminación, tras sus viajes, a través de su propia reflexión sobre la sabiduría milenaria de los pueblos de Oriente Próximo. De los egipcios aprendería que las formas de las figuras geométricas se ajustan a números y proporciones y de Mesopotamia que los movimientos de los astros están regidos por leyes numéricas. De su propia experimentación, Pitágoras deduce que la armonía musical también está regida por el número. De estos tres hechos, tras una audaz extrapolación, Pitágoras estableció que «el número es la esencia del universo» y que «el número es la raíz y fuente de la naturaleza eterna». Bajo estos presupuestos vitales e intelectuales, Pitágoras funda una comunidad en la que los aspectos científicos y religiosos están íntimamente asociados de forma mística. Se trata de una secta animada por el culto ritual que recuerda a los adoradores de Orfeo, donde las armonías y misterios de la Matemática y de la Filosofía eran partes esenciales y cuya influencia no tardó en hacerse sentir en toda la Magna Grecia e incluso en Roma. El principal objeto de las doctrinas pitagóricas era la purificación del alma o catarsis mediante la permanente prosecución de estudios filosóficos, matemáticos y cosmológicos, emprendidos como factores de sublimación espiritual para la dirección de la existencia, merced a la identificación intelectual –filosófica– con la gran idea divina ordenadora del universo: el número, que integra y confiere unidad a todo un sistema de pensamiento filosófico, científico y religioso. Las propias palabras Filosofía y Matemática parece que fueron acuñadas por el propio Pitágoras para describir sus actividades intelectuales, como elementos de elevación moral hacia la salvación. Los pitagóricos perseguían penetrar en el secreto de la armonía de los números, ya que desvelado éste creían poder comprender la armonía del universo. Soñaban con poder captar la esencia del universo bajo la forma de números enteros, imaginándose estar tras las huellas del misterio último de las cosas. Los pitagóricos vinculaban íntimamente Mística, Religión y Ciencia; Geometría, Música, y Cosmología; Aritmología, Metafísica y Filosofía; cuerpo, alma y espíritu en una armoniosa síntesis. Quizá resida en esa capacidad unificadora del Pitagorismo entre lo científico-racional y lo místico-religioso su radicación profunda en la matriz de la Cultura Griega y por ende en su heredera, nuestra llamada Cultura Occidental. Pero más allá de la Filosofía, la Mística y la Religión, Pitágoras y los pitagóricos aportaron un ingente caudal de conocimientos matemáticos. Proclo escribe Sobre Pitágoras en su celebre Comentario al Libro I de Los Elementos de Euclides: «Pitágoras transformó la doctrina filosófica que trata de la geometríaen enseñanza liberal, examinó desde lo alto sus principios, investigó los teoremas de un modo inmaterial e intelectual y descubrió la dificultad de los números irracionales y la construcción de las figuras cósmicas [poliedros].» Según Proclo, Pitágoras marca un hito en la Historia de la Matemática, al transformar la Geometría en saber puramente teórico e investigar los teoremas de forma abstracta, es decir, de manera discursiva e intelectual, trascendiendo el empirismo y situándose en el umbral de la Matemática racional como artífice supremo del «milagro griego en Matemáticas», en cuyo ámbito la idea y la necesidad de la demostración es uno de los componentes capitales del patrimonio pitagórico, fundamento de la instrucción liberal que proclama Proclo respecto de Pitágoras, al indicarnos que este sabio fue el primero en someter la Matemática a la exigencia de la rigurosa deducción lógica, que generación tras generación, se hizo cada vez más imperiosa. La evidencia sensible reiterada por la empírica percepción sensorial que va forjando prescripciones útiles se manifiesta, para Pitágoras, insuficiente en el plano de las necesidades racionales, lo que obliga a trascender lo que hasta entonces era la práctica empírica sobre los casos particulares desarrollando métodos deductivos para demostrar de forma general. Cierto que en muchas ocasiones una comprobación geométrico-empírica de carácter inductivo puede satisfacer el espíritu y producir resultados visualmente palmarios, como ocurre en la inmensa parafernalia de fórmulas aritméticas que los propios pitagóricos obtienen con el atomismo numérico-geométrico de los números poligonales; pero hay problemas transcendentales de la Matemática, sobre todo aquellos en los que subyace la presencia del infinito, en los que sólo una rigurosa demostración, como acto intelectual puro, más allá de la intuición sensible, puede ser satisfactorio; por ejemplo, el estudio de la inconmensurabilidad del lado y la diagonal de un cuadrado o un pentágono, que no es comprobable empíricamente y que tal vez fue la primera demostración verdaderamente matemática realizada por los pitagóricos. He aquí pues, en la demostración, la contribución fundamental del Pitagorismo a la Matemática, valorado siempre muy por encima de sus magníficas contribuciones particulares en ámbitos concretos de esta ciencia, siendo considerada, además, la demostración, como elemento esencial en el tránsito del mito al logos que tiene lugar en la cultura griega. La demostración va mucho más allá de la mera persuasión de la Retórica en la que los griegos eran grandes maestros, pues, es posible con persuasión argüir lo falso contra lo verdadero (de ahí los reproches de Sócrates hacia los sofistas). La demostración convence por la ilación argumental incontrovertible que alcanza algo legítimo mientras no se pongan en entredicho las leyes de la lógica. Por eso a partir de Pitágoras la Matemática es universalmente considerada como un manantial primario de verdad objetiva. La Matemática conduciendo a Pitágoras. Fragmento de la tabla de Da Ponte Las Artes Liberales (1437). Museo del Prado. Madrid. Textos de Bertrand Russell sobre Pitágoras B.Russell. Historia de la Filosofía Occidental. Austral, Madrid, 1995, vol.1. La Matemática como argumento deductivo-demostrativo empieza con Pitágoras, estando unida con una forma particular de misticismo. La influencia de las Matemáticas en la Filosofía debida a Pitágoras ha sido desde entonces muy profunda. (p.67). Para Pitágoras la contemplación simpática apasionada era intelectual y desembocó en la ciencia de las Matemáticas. (p. 71). Pitágoras como profeta religioso y como matemático ha tenido una influencia inconmensurable, y los dos campos de su actividad no distan tanto el uno de otro como puede parecer a una mente moderna. (p.72). En Platón, San Agustín Tomás de Aquino, Descartes, Spinoza y Leibniz existe una fusión íntima de religión y razonamiento, de aspiración moral y admiración lógica por lo eterno, que procede de Pitágoras. (p.75). No conozco ningún otro hombre que haya tenido mayor influencia en el campo del pensamiento, porque lo que aparece como platonismo resulta después de analizarlo, esencialmente pitagorismo. (p.75). Platón era lo suficientemente pitagórico para creer que sin Matemáticas no era posible una verdadera sabiduría. (p.144). En la Filosofía de Platón existe la misma fusión de intelectoy de misticismo que en Pitagorismo. p.162. SIMBOLISMO DE LOS ATRIBUTOS MATEMÁTICOS EN LA COMUNIDAD PITAGÓRICA La Arcadia pitagórica, una atmósfera mística impregnada de música y simbología matemática, donde la comunidad pitagórica desarrollaba la pasión por el conocimiento mediante especulaciones filosóficas y matemáticas como base moral para la consecución de la armonía interior y con el entorno, de acuerdo con el orden natural de las cosas que emana de Dios, supremo ordenador cósmico a través del maravilloso poder de la armonía matemática y musical, metáforas del orden universal. El Dodecaedro como quintaesencia de la Cosmogonía pitagórica, la sagrada Tetractys como fuente y raíz de la naturaleza eterna, el triángulo rectángulo depositario de la inconmensurabilidad, el Pentagrama místico símbolo de identificación de los pitagóricos y de la salud, son los talismanes de la actividad intelectual del «modo de vida pitagórico», en el que la música –cuya armonía es de naturaleza matemática– ejerce una influencia definitiva en el equilibrio emocional. La comunidad pitagórica, de carácter científico y religioso, se basaba en un ideario común fundamentado en todo un cuerpo de doctrina sobre el hombre, el alma, la sociedad, el cosmos, etc., que conducía necesariamente al estudio, a la reflexión filosófica y a la especulación matemática y cosmológica, actividades en las que el adquisición del conocimiento participaba más del carácter de una iniciación religiosa que de una mera instrucción o investigación, es decir, religión y ciencia son aspectos íntimamente vinculados en un tipo de vida llamado pitagórico (Platón, República, 600b) y la actividad científica es una consecuencia de la doctrina, no el móvil inicial como sería en la Academia platónica, en el Liceo de Aristóteles o en el Museo de Alejandría. Pitágoras organizó en su comunidad dos tipos distintos de enseñanza, que darían lugar según Jámblico (Vida Pitagórica, XVIII.80–87) a dos tipos de miembros en la primitiva comunidad pitagórica: los Matemáticos («conocedores»), jóvenes especialmente dotados para el pensamiento abstracto y el conocimiento científico y los Acusmáticos («auditores»), hombres más simples, pero igualmente sensibles, que reconocían la verdad de forma intuitiva a través de dogmas, creencias, sentencias orales indemostrables y sin fundamento, principios morales y aforismos. La diferenciación entre los dos grupos de pitagóricos que se corresponde con las dos tendencias, la racional y la religiosa –que convergían en el propio Pitágoras, pero no así en todos los pitagóricos–, tendría una decisiva incidencia sobre la ulterior evolución de la hermandad. Los Acusmáticos eran devotos religiosos que se encargaron de velar por la pureza del «modo de vidapitagórico», las esencias originales y la fidelidad a la primigenia doctrina pitagórica, mientras que los matemáticos –no comprometidos solamente con el cultivo de las matemáticas, sino con la totalidad del conocimiento o gnosis– se consideraban continuadores del espíritu especulativo de Pitágoras y de su natural evolución y magnificación del acervo científico y matemático. El misticismo aritmético‑geométrico pitagórico. Los números místicos Los pitagóricos basaron su filosofía y su modo de vida en el culto a los números llevándolo hasta el paroxismo. Para los pitagóricos todo era una encarnación del número. La fuente primaria más cualificada sobre la Filosofía pitagórica es, sin duda alguna, el capítulo V del libro I de la Metafísica de Aristóteles –que tiene por título «Los pitagóricos y su doctrina de los números»–, donde se lleva a cabo una exposición general del Pitagorismo que empieza con estas palabras (Metafísica, 985b, 986a): «Los filósofos pitagóricos se dedicaron al cultivo de las matemáticas y fueron los primeros en hacerlas progresar; estando absortos en su estudio creyeron que los principios de las matemáticas eran los principios de todas las cosas. [...] Supusieron que las cosas existentes son números –pero no números que existen aparte, sino que las cosas están realmente compuestas de números–, es decir, los elementos de los números son los elementos de todos los seres existentes y la totalidad del universo es armonía y número. Su razón consistía en que las propiedades numéricas eran inherentes a la escala musical, a los cielos y a otras muchas cosas.» Este texto de Aristóteles resume el núcleo de la metafísica pitagórica. El entusiasmo ante el descubrimiento pitagórico de la base numérica de los intervalos musicales –los intervalos básicos de la música griega podían representarse mediante las razones 1/2, 3/2 y 4/3– encendió un chispazo de inspirada intuición hacia una fórmula de aplicación universal: «si los números son la clave de los sonidos musicales, ¿no serán también la clave de toda la naturaleza?». Los pitagóricos vivieron imbuidos de un efervescente entusiasmo místico hacia los números, hasta el punto de que Filolao (el pitagórico favorito de Aristóteles) llegó a afirmar: «Todo lo cognoscible tiene un número, pues no es posible que sin número nada pueda ser concebido ni conocido.» Cuando los pitagóricos decían, como médula de su metafísica, que todos los objetos estaban compuestos de números, que «los números son la esencia del universo», o que el número es el arjé, el principio elemental –como para otros filósofos presocráticos era el agua, el aire, la tierra, el fuego– lo entenderían en sentido literal, porque los números eran para ellos como los átomos para Demócrito, pero átomos con magnitud y extensión. Para los pitagóricos el gran sistema del mundo reposa sobre ciertas bases de las que el ser, la forma y la acción de todas las cosas, tanto las particulares como las generales, son una consecuencia natural de la consideración de los números. Quien conoce sus propiedades y sus mutuas relaciones, conoce las leyes merced a las cuales la naturaleza existe. Los números determinan el nexo de unión de todas las cosas y la mecánica del universo entero, son la base del espíritu y el único medio por el cual se manifiesta la realidad. Según el neoplatónico Porfirio: «Para Pitágoras los números eran símbolos jeroglíficos mediante los cuales explicaba las ideas relacionadas con la naturaleza de las cosas.» Además, la Geometría permitía someter a los números a operaciones metafísicas de gran significado simbólico. A esta doctrina pitagórica se la llama, a veces, misticismo numérico, como queriendo indicar la atribución a los números, no sólo de un carácter sagrado, sino también de una realidad sustancial descriptiva tanto de los aspectos cualitativos como de los aspectos físicos de las cosas. Los pitagóricos denominaron Década a los diez primeros números y en la consideración de sus propiedades místicas y cabalísticas y de sus virtudes mágicas desarrollaron, más allá de la Aritmética, un cierto misticismo numérico, una Aritmología (la palabra número deriva del término griego «Aritmo») al establecer que cada número poseía sus propios atributos especiales que le dotaban de ciertas propiedades vitales. Con base en Filolao, Platón –en algunos de sus Diálogos– Aristóteles –en su Metafísica–, Alejandro de Afrodisias (comentador de Aristóteles), Teón, Porfirio, Jámblico, Sexto Empírico y Nicómaco de Gerasa resumimos estos atributos de acuerdo con la tabla sintética siguiente: El Número 1 o mónada representa el principio activo frente a la diada que es el principio pasivo. Es la verdadera esencia de todas las cosas, el principio y fundamento de cuanto existe. Símbolo del buen principio (el Dios único, expresado en latín por Solus, de donde deriva la palabra Sol). Símbolo de la razón suprema, asociada al concepto de Dios, inteligente e increado, supremo paradigma del Bien y la Belleza. Símbolo del Sumo Poder, Creador y Conservador. Generador de todos los números y de todas las dimensiones. Espacio aritmético entre los números enteros y los fraccionarios. Símbolo de inmutabilidad aritmética (1·1=1, 1/1=1, 11=1). Para Filolao «el uno es el Padre de los Seres, Padre y Demiurgo del mundo, artífice de la permanencia de las cosas.» El Número 2 o díada, es el símbolo de la diversidad, de la opinión, de la contraposición, y en particular de la expresión de los contrastes de la naturaleza y de la mayoría de las cosas que afectan al ser humano en forma de dualidad (noche y día, luz y oscuridad, humedad y sequedad, calor y frío, salud y enfermedad, dulce y amargo, bueno y malo, grande y pequeño, belleza y fealdad, etc.). Aristóteles resume esta dualidad en la Metafísica (986a): «Otros pitagóricos admiten diez principios coordinados entre sí en este orden [cuadro adjunto]». Es la llamada «lista pitagórica de los contrarios», de sorprendente similitud con la doctrina del Yin-Yang de la filosofía china, que indicaría que todos los fenómenos se originarían por la interacción de dos fuerzas cósmicas o principios antagónicos. Aunque el esquema pitagórico estaría enraizado en los valores, por la posición que ocupa lo bueno en la izquierda del cuadro y lo malo en la derecha. También Diógenes Laercio (Libro VIII. Pitágoras.15) atribuye esta dualidad a Pitágoras. El Número 5 tenía un gran simbolismo para los pitagóricos, como conjunción de los principios masculino y femenino y por tanto símbolo del matrimonio (2+3=5); también de lo par y lo impar; como número esférico o circular porque sus potencias termina en cinco; como menor número cuyo cuadrado es suma de cuadrados (52=32+42, representación aritmética del triángulo divino), en relación con el Teorema de Pitágoras. Además, cinco son los sólidos poliedros regulares (tetraedro, octaedro, cubo, dodecaedro e icosaedro), conocidos más tarde por el nombre de Cuerpos Platónicos al ser tomados por Platón de los pitagóricos. El número 5 corresponde al Pentagrama místico pitagórico, Pentalfa, o estrella de cinco puntas –obtenida al trazar las diagonales de un pentágono regular o prolongando sus lados– emblema de la salud y símbolo de identificación de los pitagóricos como miembros de una comunidad. El Pentagrama místico fue uno de los tópicos geométricos más importantes de la Escuela Pitagórica por sus bellísimas propiedades geométricas de las que nace su simbolismo místico. Esta figura geométrica pudo estar en la base del más importante hallazgo científico de los pitagóricos –el descubrimiento de las magnitudes inconmensurables–, una de las causas de la profunda crisis que arruinó a la cofradía pitagórica. Una de las curiosas propiedades del Pentagrama, que imponía respeto a los pitagóricos era su «unicursalidad»: «la estrella pentagonal puede ser trazada por el movimiento de un punto sin pasar dos veces por el mismo lado». Una segunda propiedad profundamente aritmológica en su esencia inspiraba a los pitagóricos un entusiasmo místico, relacionando el pentagrama con la palabra salud (ugieia = higieia, de donde deriva higiene). Aunquela palabra ugieia tiene seis letras, a veces se producía una contracción que hacía desaparecer la primera i (como atestiguan algunas inscripciones), quedando entonces con cinco letras ugeia, que se situaban sobre cada uno de los vértices del Pentagrama, que de esta forma se convertía en el anagrama supremo de la salud. El número 5 es, además, el centro aritmético de los nueve primeros números de la década 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, siendo, asimismo, la media aritmética de sus equidistantes (1 y 9, 2 y 8, 3 y 7, 4 y 6) según manifiesta el Esquema de Teón de Esmirna. 1 4 7 2 5 8 3 6 9 El Número 10 es el de mayor carga simbólica y el más sagrado de todos los números. Puesto que los cuatro primeros números contienen el secreto de la escala musical, su suma (1+2+3+4=10), el número diez, la década, puede «parecer que abarca», como dice Aristóteles, «la naturaleza toda del número», sería en sí «algo perfecto», y representa el número del universo, la suma de todas las posibles dimensiones geométricas. Para Filolao la Década era «grande, todopoderosa y generadora de todo, comienzo y guía tanto de la vida divina como de la terrestre» y para Sexto Empírico «la razón de la composición de todas las cosas.» El número diez, cuya veneración, no es tributaria, paradójicamente, de la anatomía de la mano del hombre, es la quintaesencia del misticismo pitagórico. Los pitagóricos lo representaban mediante 10 puntos, piedrecillas o alfas dispuestos bajo la forma de un triángulo equilátero. A este anagrama, representación visual y geométrica del hecho de que 10=1+2+3+4, le llamaron la Tetractys de la Década. Tenía, para ellos tanta significación esotérica como el Pentagrama místico, y su importancia simbólica deriva de que por él juraban en sus ceremonias más solemnes, sobre todo en el rito iniciático de incorporación a la comunidad: «¡lo juro por Aquel que ha dado a nuestro alma la Tetractys, fuente y raíz de la Naturaleza eterna!» (Versos Dorados, 47) juramento referente al secreto sobre el contenido de la enseñanza pitagórica (Porfirio, Vida de Pitágoras, 20).     La Cosmología pitagórica La veneración hacia el número diez tiene para los pitagóricos una implicación cosmológica transcendental en su doctrina acerca de la configuración del universo, al ser la inspiradora del primer sistema astronómico no geocéntrico. Según Aristóteles (Metafísica, 986a): «[...] Como creen [los pitagóricos] que la década es perfecta y que abarca la naturaleza entera de los números, afirman que también los cuerpos que se mueven en torno de los cielos son diez, pero al ser nueve solamente los visibles, se inventan, por esta razón, el décimo, la anti-tierra, [...].» Aristóteles desarrolla estas ideas más ampliamente en su obra Del Cielo (293a): «La mayoría de los pueblos dicen que la tierra está situada en el centro del universo, [...], pero los filósofos pitagóricos sostienen lo contrario. Dicen que en el centro está el fuego y que la tierra es uno de los astros que, al moverse circularmente en torno al centro, da lugar al día y a la noche, [...].» Ocho cuerpos celestes: la tierra, la luna, el sol y los cinco planetas conocidos (Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno), giran en órbitas circulares concéntricas en torno al fuego central –«Trono de Zeus»–, situado en el centro del universo. Con la Esfera de las estrellas fijas se llega al valor nueve. Como falta uno para alcanzar el valor diez de la Tetractys, emblema sagrado de los pitagóricos, se añade al sistema –«de modo que toda su teoría fuera coherente»–, como dice Aristóteles, la antitierra, situada en la órbita más interior, en equilibrio con la tierra, alineada con ésta y con el fuego central y con el mismo período de revolución diaria que ella. El sol no era el centro del universo, ni era el creador de su propio calor, sino que era una especie de cristal reflector que recogía la luz y el calor del fuego central, en torno al cual giraba con un período de un año. Las estrellas fijas permanecían estacionarias, mientras que la tierra mantenía, durante su movimiento, el mismo hemisferio deshabitado hacia el fuego central de modo que sus habitantes no podían ver jamás ni el fuego central ni la anti-tierra. Al desplazar a la tierra del centro del universo, la cosmología pitagórica supone un heroico salto de imaginación científica. No se trata de una mera fantasía arbitraria. De hecho el sistema proporcionaba una explicación plausible de los eclipses. No es exactamente una anticipación de la teoría heliocéntrica, pero algunos estudiosos de la Historia de la Cosmología lo consideran de rango superior en importancia a la identificación del fuego central con el sol. La teoría pitagórica es de una gran originalidad. Para Tales y otros filósofos presocráticos como Anaxímenes, Heráclito, Parménides y Empédocles la tierra estaba ciertamente en reposo en el centro del universo esférico y más tarde Eudoxo y por supuesto Aristóteles volvieron a situar con firmeza la tierra en el centro, del que no se movería hasta los primeros balbuceos heliocéntricos de Aristarco. Para pensadores como G. Bruno el giro copernicano no sería una novedad sino la restauración de la antigua Cosmología pitagórica. Así pues, como en otros muchos aspectos del pensamiento pitagórico, carácter místico y religioso, no le resta valor científico. Clasificación y denominación pitagóricas de los números Según Isidoro de Sevilla (Etimologías, III.2): «Pitágoras fue el primero que escribió sobre la ciencia del número», es decir, a Pitágoras se debe la primera depuración filosófica o teórica de la Aritmética –la liberación de la Ciencia del Número de la práctica de artesanos y mercaderes que constituían la llamada Logística–. Sobre ello escribe Aristóxeno: «Pitágoras honró a laAritmética más que ningún otro. Hizo grandes avances en ella, sacándola de los cálculos prácticos de los comerciantes y tratando todas las cosas como números». Los pitagóricos realizaron diversas clasificaciones y acuñaron numerosos nombres para los diversos tipos de números. Pero debido a su proceder místico, muchas de sus definiciones son bastante abstrusas de forma que conviene a veces recurrir a los preliminares del Libro VII de Los Elementos de Euclides, donde se recogen gran parte de ellas, en el lenguaje inteligible y riguroso característico del gran compilador de la Matemática griega elemental. Veamos los nombres y definiciones de algunos números: Números pares e impares: definiciones 6 y 7 de Euclides VII. Los números pares e impares se subdividen en cuatro clases: (Definiciones VII.8 a VII.10): Parmente par: cuando su mitad es par (son de la forma 2n·[2k+1], n>1). Imparmente par: cuando su mitad es impar (son de la forma 2·[2k+1], n>1). Parmente impar: cuando al ser dividido por un número impar da uno par (son de la forma 2n·[2k+1]·p, n>1). Imparmente impar: cuando no tiene más que divisores impares. «Es divisor de» (Euclides D.VII.3). «Es múltiplo de» (Euclides D.VII.5). Números primos (Euclides D.VII.11) y compuestos (Euclides D.VII.13). Números lineales, planos y sólidos: Lineal: es el que no tienen divisores (es decir, los primos). Plano: es el producto de dos números que son sus lados (Euclides, D.VII.16). Sólido: es el producto de tres números que son sus lados (Euclides, D.VII.17). Cuadrado: es el producto de un número por sí mismo (Euclides, D.VII.18). Cúbico: es el producto de un número por sí mismo dos veces (Euclides, D.VII.19). Números perfectos, deficientes y abundantes. Números amigos. Deficiente: es un número que es menor que la suma de sus partes alícuotas. Abundante: es un número que es mayor que la suma de sus partes alícuotas. Perfecto: es un número que es igual que la suma de sus partes alícuotas. Números amigos: son números en los cuales cada uno es igual a la suma de los divisores del otro. Los números perfectos y los números amigos han causado siempre una gran fascinación, por eso la búsqueda de números perfectos y amigos ha desplegado un derroche de tinta matemática desde los primeros tiempos pitagóricos hasta nuestros días, en los que se aplican potentes instrumentos de computación. Los primeros pitagóricos sólo conocían los números perfectos 6 y 8. Euclides define el número perfecto en D.VII.22. A los números amigos, literalmente habría que llamarlos números enamorados. Los pitagóricos sólo conocieron el par 220, 284: 284 = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110(suma de los divisores de 220), 220 = 1+2+4+71+142(suma de los divisores de 284) . Jámblico atribuye el descubrimiento de los números amigos al propio Pitágoras, embelleciendo el relato del mismo con la siguiente anécdota: «Siendo preguntado Pitágoras –¿qué es un amigo?, contestó –Alter ego. Por analogía aplicó el término amigos a dos números cuya suma de partes alícuotas es igual al otro». La Música pitagórica y la Teoría de las medias Según Nicómaco, Gaudencio, Porfirio, Diógenes Laercio, Teón de Esmirna, Jámblico, Boecio y otros pitagóricos, Pitágoras estudió, quizá por primera vez en la historia, las primeras leyes cuantitativas de la Acústica, al determinar el fundamento matemático de la armonía musical con la realización de la primera experiencia científica que consigna la historia, mediante la construcción de un instrumento, el monocordio (Jámblico, XXXVI.119; Diógenes Laercio, VIII.12),con el propósito de interrogar a la naturaleza y obligarla a responder a una cuestión concreta: ¿cuál es la relación precisa, si es que existe, entre la armonía musical y los números? Pitágoras descubre que las cuerdas que daban el tono, la cuarta, la quinta y la octava, tenían longitudes proporcionales a 12, 9, 8 y 6. Y puesto que las razones entre los números 12, 9, 8 y 6 son iguales a las que hay entre 1, 3/4, 2/3 y 1/2, que son las más sencillas que se pueden formar con los números de la sagrada Tetractys, 1, 2, 3 y 4, Pitágoras dedujo que ésta es «la fuente y raíz de la Naturaleza eterna» como dicen los Versos Dorados. Como en tantos aspectos pitagóricos los números de la Tetractys eran la piedra angular de la armonía musical. Mediante una mística extrapolación, la Tetractys sería la fuente del conocimiento de las raíces de la armonía del Cosmos divino, alcanzable a través del número.Si en el número está la clave del tono musical, en él residirá también la clave de toda la naturaleza y en ultima instancia aparecía la matriz de la filosofía pitagórica: «el número es la esencia de todas las cosas». Con este feliz descubrimiento Pitágoras instaura algo nuevo en la Historia del Pensamiento: el método experimental y la expresión en fórmulas matemáticas de las leyes de la naturaleza. La teoría musical de Pitágoras tiene que ver también con la Teoría de las medias de raíz pitagórica. Así lo señala el pitagórico Arquitas: «En música hay tres medias: la media aritmética, la media geométrica y la subcontraria, llamada también armónica». Dados dos números a y b, se definen las medias aritmética, m, armónica, h, y geométrica, g, de la forma: , verificándose que : Estas relaciones son verificadas por las proporciones musicales que se derivan de la cuaterna de números 12, 9, 8, 6 del experimento pitagórico sobre el monocordio:  El fundamento matemático de la armonía musical se representa en la tablilla sostenida por un joven discípulo de Pitágoras. En la parte superior de las cuerdas de la lira aparecen con tipografía romana los números 6, 8, 9, 12, de las proporciones musicales. Las consonancias musicales se denominan de forma literal y numérica: diatéssaron (6/8, 9/12); diapente (6/9 y 8/12); diapasón u octava (6/12). Además, en la parte inferior del diagrama de Rafael aparece el número 10 bajo la forma de la sagrada Tetractys como emblema pitagórico que resume las razones musicales.     La Armonía de las Esferas La doctrina pitagórica de la Armonía de las Esferas es la quintaesencia de la belleza en la explicación pitagórica del Cosmos divino armonizado de forma fascinante por la concordancia de las proporciones aritméticas y musicales, que extrapoladas al universo entero determinarían que los cuerpos celestes debían emitir en sus movimientos unos tonos musicales armoniosos cuya combinación producía una maravillosa melodía permanente: «La Música de las Esferas». Tal vez Pitágoras se remontaría a la Mitología puesto que en el himno de Ares, Homero se dirige a los planetas como si fueran un coro de voces divinas. Además, conocemos la afición de los pitagóricos a los ritos de Orfeo vinculados al poder del número y de la música. De modo que Pitágoras racionalizaría el sistema y la daría un valor místico y científico. Según relata Jámblico (Vida Pitagórica XV.65, pp.52–53): «Sirviéndose de un poder divino, inefable y difícil de comprender, Pitágoras aplicaba sus oídos y concentraba su mente en la sublime sinfonía del universo, él sólo escuchando y entendiendo, según sus manifestaciones, la universal armonía y concierto de las esferas y de los astros que se mueven en ellas. Esta armonía produce una música más plena e intensa que la terrenal por el movimiento y revolución sumamente melodioso, bello y variopinto, producto de desiguales y muy diferentes sonidos, velocidades, volúmenes e intervalos.» La música cósmica se produce porque los cuerpos celestes, al ser de tamaño tan grande y moverse a velocidades gigantescas, emitían a través deléter un conjunto de sonidos de la misma manera que los cuerpos terrenales producen vibraciones cuando se mueven en el aire, como por ejemplo las velas de un barco cuando suenan con la brisa. Pero los hombres no pueden escuchar la melodía del barco cósmico porque han crecido acostumbrados a ella, lo mismo que el herrero se ha acostumbrado al ruido de sus martillos. Además, los cuerpos celestes que giran sin tregua en sus órbitas circulares, producen permanentemente armonías, de modo que al no haber intervalos de silencio no se puede apreciar la música cósmica. Es decir, el sonido armonioso de las esferas nos es congénito, pero no lo podemos oír ya que el sonido y el silencio se perciben por mutuo contraste. En realidad la música de los hombres no es más que un eco de la Música de las Esferas, pero su instinto innatoque hace que su alma resuene con la música, le proporciona un indicio de la naturaleza de las armonías matemáticas que se hallan en su fuente cósmica. El sonido emitido por cada esfera corresponde a un tono diferente de la escala musical, dependiendo de los radios de sus órbitas como los tonos musicales emitidos por la cuerdas dependen de su longitud. La vida en la Tierra se ve afectada por la Música de las Esferas porque ésta gobierna los ciclos temporales de las estaciones, los ciclos biológicos y todos los ritmos de la naturaleza. He aquí en breve síntesis la doctrina pitagórica de la Armonía de las Esferas, desarrollada de forma clara y crítica por Aristóteles en su obra Del Cielo (290 b y siguientes.) La doctrina de la Armonía de las Esferas prendió en la imaginación de escritores de las generaciones posteriores, variando los detalles según la evolución de las teorías sobre el movimiento planetario. Platón, Plinio, Ptolomeo, Cicerón, Plotino, Jámblico, San Agustín, Boecio, Filón, Casiodoro, San Isidoro, Shakespeare y otros muchos, aluden a ella frecuentemente. Pero quizá sea en la Oda a Salinas de Fray Luis de León donde la mística pitagórica alcanza la más bella descripción poética de la Música de las Esferas. La idea pitagórica de la Música de las Esferas no deja de ser una especulación fantástica que hoy «nos suena a música celestial», pero tanto Kepler como Newton le escribieron pentagrama y Einstein fugas y límites. Kepler basó en ella su inspiración en la búsqueda de la armonía del movimiento planetario, y en efecto, una ferviente combinación de mística pitagórica y meticulosa experimentación permitió a Kepler encontrar sus famosas Leyes. Como es natural la doctrina de la Armonía de las Esferas ha tenido su influencia sobre la música sinfónica, de modo que la crítica musical ha querido ver reminiscencias pitagóricas en algunas composiciones como La Creaciónde Haydn, Así habló Zaratustra de R.Strauss y La Consagración de la Primavera de Stravinski. Modernamente también Vangelis parece haberse inspirado en laMúsica de las Esferas para la realización de algunas de sus composiciones, sobre todo en los de la serie televisiva Cosmos de C.Sagan. Los números poligonales Los pitagóricos solían representar los números mediante puntos en un pergamino o piedrecillas en la arena y los clasificaban según las formas poligonales de estas distribuciones de puntos, es decir, asociaban los números a figuras geométricas obtenidas por la disposición regular de puntos, cuya suma determina el número representado. Así obtenían los diversos tipos de números poligonales o figurados: Los número triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, ... Los número cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, ... Los números pentagonales: 1, 5, 12, 22, 35, ... ............................................................................... Los números poligonales aparecieron en los albores de la Escuela Pitagórica como un elemento esencial de su misticismo numérico: «no sólo las cosas son en esencia números sino que los números son concebidos como cosas», de modo que las expresiones «números triangulares» o «números cuadrados» no son meras metáforas sino que esos números son, efectivamente, ante el espíritu y ante los ojos, triángulos y cuadrados. La asociación del número con la imagen geométrica permitió a los pitagóricos la representación visual de los números combinando las dos esencias con que tiene que ver la Matemática: el número y la forma, confiriendo a los números propiedades y relaciones entre ellos que son completamente independientes de todo simbolismo introducido para representarlos, otorgándoles de este modo un carácter universal e inmutable. La consideración de los números poligonales y su representación geométrico-visual permitía, por una parte, constatar que ciertos números tienen características diferentes que otros a tenor de las diferentes configuraciones geométricas a que dan lugar, y por otra, el descubrimiento de forma geométrico-empírica, casi corpórea, de importantes propiedades de los números y la obtención de interesantes relaciones entre ellos. La polifiguración numérica llevaba a extender conceptos de la Aritmética como generalización de la experiencia práctica, desarrollando un atomismo numérico bellamente ilustrado en una geometría de números figurados. Éstos, que son las primeras y las más simples estructuras de la Geometría numérica están en el corazón de las Matemáticas y constituyen la matriz del desarrollo ulterior de la Teoría de Números. A partir de las distribuciones geométricas de puntos que hicieron los pitagóricos con los números poligonales, aparecían, como evidencia empírico–visual, numerosas propiedades de los números enteros, al considerar la relación entre órdenes consecutivos de números de un determinado tipo y relaciones entre números poligonales de tipos diferentes. Así por ejemplo, si llamamos T(n), C(n), P(n), H(n) al n-ésimo número triangular, cuadrado, pentagonal y hexagonal, respectivamente, los siguientes esquemas gráficos nos proporcionan importantes propiedades aritméticas de los números enteros: Los números poligonales han sido uno de los tópicos más atractivos de la Historia de la Aritmética tratado por matemáticos de la talla de Nicómaco, Diofanto, Mersenne, Euler, Gauss, Lagrange, Legendre y Cauchy. Forman parte de las raíces históricas de la Teoría de Números, apareciendo en numerosos ámbitos como por ejemplo en el Triángulo de Pascal. Juegan un importante papel en el Análisis combinatorio, intervienen en el Binomio de Newton y en el Cálculo de Probabilidades y fueron ampliamente utilizados por Fermat, Pascal, Wallis y Roberval para la obtención de sus resultados sobre cuadraturas. En la actualidad el estudio de los números poligonales ha alcanzado un valor práctico en una incipiente aplicación criptográfica a la seguridad en las comunicaciones, de modo que, como en otros muchos otros aspectos, Pitágoras se sitúa en el umbral del pensamiento matemático. La expresión de los diez primeros números poligonales     El Teorema llamado de Pitágoras Una tradición muy persistente con base documental en Vitrubio, Plutarco, Diógenes Laercio, Ateneo y Proclo, atribuye el Teorema de Pitágoras al propio Pitágoras. Pero los descubrimientos arqueológicos de los restos de las culturas de Mesopotamia, Egipto, India y China, han revelado que estas civilizaciones conocían aspectos del Teorema de Pitágoras muchos siglos antes que este sabio. Las referencias prehelénicas al Teorema no contienen, sin embargo, pruebas del mismo, mientras que es generalizada la creencia de que fue Pitágoras el primero en proporcionarnos una demostración lógica del Teorema, lo que hará justo que éste haya pasado a la historia con su nombre. Diógenes Laercio en su Vida de filósofosrecoge (Pitágoras VIII.7) una referencia de un tal Apolodoro «El Calculador» sobre Pitágoras, en la que asegura que este filósofo sacrificó una hecatombe (cien bueyes), habiendo hallado que en un triángulo rectángulo «la potestad de la línea hipotenusa es igual a la potestad de las dos que lo componen». Continua diciendo que Apolodoro compuso un epigrama en verso: «Pitágoras hallada / aquella nobilísima figura / bueyes mató por ello en sacrificio». Estas anécdotas son, sin duda, ficticias, porque contradicen la filosofía pitagórica sobre la transmigración de las almas, pero han contribuido a magnificar la leyenda que envuelve a Pitágoras, y además determinaron que en la Edad Media al Teorema de Pitágoras se le llamara «Inventum hecatombe dignum». La tradición ha establecido que Pitágoras habría dado una prueba empírica del Teorema con base en las figuras adjuntas. Muchos historiadores admiten que la demostración de Pitágoras se basaría en su propia Teoría de las Proporciones –imperfecta por aplicarse sólo a cantidades conmensurables–, de modo que la prueba de Pitágoras podría haber sido alguna de las dos siguientes : Sea ABC un triángulo rectángulo, con el ángulo recto en A, y sea AD perpendicular al lado BC. Según Euclides VI.8 los triángulos DBA y DAC son ambos semejantes con el triángulo ABC y semejantes entre sí. Prueba 1. De la semejanza de los triángulos ABC, DBA y DAC resulta: BA/BD = BC/BA , AC/CD = BC/AC (Euclides VI.4). De aquí se hayan las expresiones del llamado «Teorema del cateto»: BA2 = BD·BC ,  AC2 = CD·BC, que al sumarlas, se obtiene: BA² + AC² = (BD+CD)·BC = BC·BC = BC², es decir: BA2 + AC2 = BC2. En esta demostración del Teorema de Pitágoras –basada en el Teorema del cateto–, se descompone, de forma implícita, el cuadrado sobre la hipotenusa, BCIK,en dos rectángulos, BDJK y DCIJ, cada uno de ellos con el mismo área que cada uno de los cuadrados construidos sobre los catetos –el rectángulo BDJK de área como el cuadrado ABEF sobre el cateto AB –ya que BA2 =BD·BK, y el rectángulo DCIJ de área como el cuadrado ACHG sobre el cateto AC –ya que AC2 = CD·CI–. Debemos observar que la figura exhibida forma parte de la figura que utiliza Euclides en su demostración del Teorema de Pitágoras en la Proposición I.47 de Los Elementos de Euclides, y además, puntualizar que variantes de esta prueba se encuentran en el hindú Bhaskara, en Leonardo de Pisa (Fibonacci)y en Wallis. Prueba 2. De la semejanza de los triángulos ABC, DBA y DAC resulta, según Euclides VI.19 («la razón entre las áreas de los triángulos semejantes será igual al cuadrado de la razón de semejanza»): DBA/AB² = DAC/AC² = ABC/BC². Pero de las propiedades de la suma de proporciones (Euclides 5.12) resulta: ABC/BC2 = DBA/AB2;= DAC/AC2;= (DBA+DAC) / (AB2+AC2) = ABC / (AB2+AC2) por tanto se tiene: AB2+AC2 = BC2. Como vemos, estas pruebas del Teorema de Pitágoras mantienen su plena vigencia en los libros de texto de matemáticas escolares elementales. Quizá ningún teorema de la amplia Matemática haya recibido tantas demostraciones diversas como el Teorema de Pitágoras. De todas ellas la más famosa es sin duda la realizada por Euclides en la Proposición I.47 de Los Elementos. En la Edad Media esta Proposición se la consideraba la base de toda sólida formación matemática. En algunos centros docentes además de exigir, para obtener el grado de maestro, un profundo conocimiento del Teorema, se obligaba a exhibir una nueva y original demostración del mismo, por eso el Teorema de Pitágoras alcanzó la honrosa designación de «Magister matheseos». Este hecho y la gran significación del teorema explica la razón de las innumerables demostraciones que los matemáticos y no matemáticos de todas las épocas y personajes tan diversos como filósofos, monjes, políticos, juristas, ingenieros y artistas, han encontrado del más famoso Teorema de la Geometría. El Teorema de Pitágoras aparece por doquier en la Matemática. Es la base de multitud de teoremas geométricos, de la trigonometría y de la Geometría analítica. La ecuación pitagórica x2+y2=z2 es la ecuación de la circunferencia, la base de la fórmula cos2a+sen2a=1 y el origen del Análisis indeterminado de Diofanto y Fermat. También pudo ser el germen del dramático alumbramiento de la inconmensurabilidad en la Escuela pitagórica. La aparición del Teorema de Pitágoras en el horizonte histórico cultural pero también en el horizonte escolar señala el primer salto intelectual entre los confines de la especulación empírica y los dominios del razonamiento deductivo. Así pues, estamos ante un auténtico paradigma para la Matemática y sobre todo para la Educación matemática. Por esto y por su universalidad el Teorema de Pitágoras pertenece al imaginario cultural de casi todos los pueblos. La Divina Proporción y el Pentagrama pitagórico Uno de los tópicos pitagóricos más fascinantes y que más influencia ha tenido sobre el Arte, la Mística, la Biología e incluso la Magia ha sido la Sección Áurea o Divina Proporción.Euclides introduce la noción en la Definición VI.3 de Los Elementos: «Se dice que un segmento está dividido en media y extrema razón cuando el segmento total es a la parte mayor como la parte mayor es a la menor». Importantes especulaciones filosóficas, teológicas, naturales y estéticas han surgido en torno a la Divina Proporción desde que la humanidad empieza a reflexionar sobre las formas geométricas que conforman el mundo, siendo el Pitagorismo quien comienza a dar consistencia racional a toda esta doctrina. Puede decirse que donde haya una especial intensificación de la belleza y la armonía de las formas, ahí se encontrará la Divina Proporción, por ejemplo en muchos aspectos de la naturaleza, de donde muchos artistas extraerán su inspiración. La Divina Proporción, sobre todo en forma de rectángulo áureo (con las dos dimensiones en proporción áurea), constituye uno de los métodos canónicos de composición para obras de arte más utilizados por toda clase de artistas a lo largo de toda la Historia del Arte interviniendo, además, en el canon ideal de la belleza humana, en particular en las dimensiones del rostro y de la mano. Buena parte de la Geometría pitagórica en relación con la sección áurea, tuvo que ver con el pentágono regular. Ya se comentó que la figura de la estrella de cinco puntas que se forma al trazar las cinco diagonales de un pentágono llamada Pentagrama místico era una especie de símbolo de identificación de la Escuela Pitagórica; por eso los pitagóricos estudiaron exhaustivamente la construcción y propiedades del pentagrama. El Pentagrama místico pitagórico se obtiene a partir de tres triángulos isósceles iguales que tienen los ángulos iguales dobles del ángulo desigual. Este tipo de triángulo –llamado áureo porque los lados iguales están en proporción áurea con el lado menor– se construye en la Proposición 10 del Libro IV de Los Elementos de Euclides, cuyo contenido es de raíz pitagórica en su mayor parte. En la siguiente Proposición, la IV.11, se construye efectivamente el Pentagrama a base de inscribir en un círculo un pentágono regular y trazar las diagonales, las cuales de forma sorprendente se cortan determinando segmentos que están en proporción áurea siendo el segmento mayor igual al lado del pentágono (Euclides XIII.8). El pentagrama místico de Pitágoras fue un diagrama simbólico esencial del esoterismo geométrico de los pitagóricos que trasmitido desde la antigüedad hasta el siglo XVIII forma parte de dos tradiciones culturales importantes: los trazados de los arquitectos y las estrellas pentagonales del simbolismo mágico europeo, corrientes subterráneas que emergen a la luz a través de la obra de Luca Pacioli LaDivina Proporción, que con finalidad teológica racionaliza los arcanos del misticismo geométrico pitagórico, exhumando una ciencia geométrica en cuyas fuente beberán Alberti, Durero y otros muchos artistas del Renacimiento. Monedas griegas con el Pentagrama pitagórico halladas en Metaponto (450 a.C).     El descubrimiento de las magnitudes inconmensurables La grandeza sublime del Teorema de Pitágoras y la mágica belleza del Pentagrama místico pitagórico fueron dos caballos de Troya para la Geometría griega, porque llevaban en su interior el germen de la profunda crisis de la secta pitagórica donde aparecieron. Los Pitagóricos, que, como filósofos presocráticos, habían considerado como núcleo dogmático de su Filosofía que «los números son la esencia del universo», encuentran que las consecuencias de su Teorema atentan contra los fundamentos de su doctrina, que les había llevado a establecer un paralelismo entre el concepto numérico y la representación geométrica. En efecto, el cuadrado que es una de las figuras geométricas más simples, proporciona un terrible ente geométrico, la diagonal, que no es conmensurable con el lado. Lo mismo sucede entre la diagonal y el lado del pentágono. La creencia de que los números podían medirlo todo era una ilusión. Así quedaba eliminada de la Geometría la posibilidad de medir siempre con exactitud. Se había descubierto la magnitud inconmensurable, lo irracional –no expresable mediante razones–, «el alogon», que provocaría una crisis sin precedentes en la Historia de la Matemática. La sacudida que la aparición del nuevo ente provocó en la Matemática griega puede calibrarse por la leyenda apocalíptica que relata un viejo escolio (atribuido a Proclo) del Libro X de Los Elementos de Euclides: «Es fama que el primero en dar al dominio público la teoría de los irracionales, perecería en un naufragio, y ello porque lo inexpresable e inimaginable debería siempre haber permanecido oculto. En consecuencia, el culpable, que fortuitamente tocó y reveló este aspecto de las cosas vivientes, fue trasladado a su lugar de origen, donde es flagelado a perpetuidad por las olas.» En el mismo tono apocalíptico escribe Jámblico (Vida Pitagórica. XXXIV, 246–247, p.141): «Se dice que primero que reveló la naturaleza de la conmensurabilidad e inconmensurabilidad a los indignos de participar de tales conocimientos fue aborrecido [por la comunidad pitagórica] hasta el punto de que no sólo lo expulsaron de la vida y de la vivienda en común, sino que incluso le erigieron una tumba como si él, que había sido una vez compañero, hubiese abandonado la vida entre los hombres. [...] Otros afirmanque la divinidad se enojó contra quien divulgó la doctrina de Pitágoras, pereciendo como un impío en el mar por sacrílego al haber revelado la doctrina de los números irracionales y la inconmensurabilidad.» Las circunstancias concretas del primer reconocimiento de inconmensurables son tan desconocidas como la fecha en que tuvo lugar. Aunque Proclo –en sus Comentarios–, lo atribuye al propio Pitágoras cuando escribe que este filósofo «descubrióla dificultad de los números irracionales» suele admitirse que fue hacia el 480 a.C. por Hipasos de Metaponto. El descubrimiento pudo tener lugar al intentar reiteradamente de forma empírica encontrar una unidad que permitiera medir, de manera exacta, simultáneamente la diagonal y el lado del cuadrado o bien la diagonal y el lado de un pentágono regular. El descubrimiento de la inconmensurabilidad marca un hito en la Historia de la Geometría, porque no es algo empírico, sino puramente teórico. Con el descubrimiento de los inconmensurables quedaban afectadas y debían ser reconstruidas todas las pruebas pitagóricas de los teoremas en los que haya que comparar razones de magnitudes geométricas. Se explica, pues, el consiguiente secretismo de los pitagóricos sobre la cuestión irracional y la leyenda del castigo por su divulgación. Leyendas y conjeturas aparte, se comprende que el descubrimiento de las magnitudes inconmensurables produjera un escándalo lógico en todo el ámbito pitagórico, ya que exigía una revisión a fondo de los fundamentos de su Matemática y su Filosofía, pero fue no sólo la cuna de la Geometría griega sino uno de los componentes esenciales del milagro griego en Matemáticas. La tempestad provocada por el descubrimiento pitagórico de los irracionales precipitó la primera crisis de fundamentos en la Historia de la Matemática, propiciando «el horror al infinito», que caracteriza casi toda la Matemática griega posterior. Como reacción al lenguaje ingenuo de los pitagóricos, mezcla de brillantes ideas matemáticas, actitudes místicas y aforismos religiosos, se impondrá el severo rigor de Los Elementos de Euclides. Pero el desarrollo de La Geometría al margen de la Aritmética, la ausencia de un Álgebra simbólica y la conversión de toda la Matemática en Geometría, con un estilo sintético de exposición que oculta la vía heurística del descubrimiento, fue el efecto más inmediato. La Cosmogonía poliédrica pitagórica Diversos historiadores de las Matemáticas admiten que las antiguas civilizaciones egipcias y babilónicas tenían conocimiento del cubo, tetraedro y octaedro y que este saber se trasmitiría a Grecia a través de los viajes de Tales y Pitágoras. Proclo en sus Comentarios al Libro I de los Elementos de Euclides atribuye a Pitágoras la construcciónde «las figuras cósmicas», nombre relacionado con su uso en la elaboración de una cosmogonía pitagórica que asociaría los cuatro elementos primarios –fuego, tierra, aire y agua–, con los cuatro sólidos– tetraedro, cubo, octaedro e icosaedro–, respectivamente, mientras el dodecaedro como símbolo general del universo se relacionaba de forma mística con el Cosmos, representación del universo armónico ordenado por el número. Aecio (basándose en Teofrastro) atribuye a Pitágoras la cosmogonía descrita con estas palabras (W.K.C.Guthrie. Historia de la Filosofía griega. Vol.1. Gredos, Madrid,1999, p.256): «Por ser cinco las figuras sólidas, denominadas sólidos matemáticos, Pitágoras dice que la tierra está hecha del cubo, el fuego de la pirámide [tetraedro], el aire del octaedro y el agua del icosaedro, y del dodecaedro está compuesta la esfera del todo.» También Filolao y en parte Simplicio aseguran lo mismo, mientras que algunos escoliastas del Libro XIII de Los Elementos de Euclides aseguran que los cinco cuerpos platónicos no tuvieron su origen en Platón, sino que el cubo, la pirámide [el tetraedro] y el dodecaedro derivaban de los pitagóricos y las otras dos formas de Teeteto. Los pitagóricos estaban fascinados por los sólidos regulares, sobre todo por el dodecaedro, debido a la presencia del emblemático pentágono en sus caras, generador al trazar las diagonales de la estrella pentagonal, llamada Pentagrama místico, que era el símbolo de identificación de los miembros de la secta pitagórica y responsable, junto con el Teorema de Pitágoras, de la aparición de la inconmensurabilidad. La construcción del dodecaedro era un secreto guardado celosamente, hasta el punto de que se fue fraguando una leyenda sobre el terrible fin de quien osó divulgar sus misterios, relatada entre otros autores por Jámblico (Vida Pitagórica, XVIII.88, p.97): «De Hipasos cuentan que fue uno de los pitagóricos que por haber divulgado por escrito por primera vez la esfera de doce pentágonos [la construcción del dodecaedro inscrito en una esfera] pereció en el mar por impío.» Y también, más adelante (en Vida Pitagórica, XXXIV, 247, p.141), Jámblico escribe: Dicen que la divinidad se enojó contra quien divulgó la doctrina de Pitágoras, pereciendo como un impío en el mar por sacrílego el que reveló cómo la estructura del icoságono (esto es el dodecaedro, una de las cinco figuras llamadas sólidas) se inscribía en una esfera.» Este texto recuerda la descripción apocalíptica de muchos escritores acerca de la maldición que cayó sobre Hipasos de Metaponto por haber revelado la aparición de lo inconmensurable. La analogía entre ambas leyendas avalaría la tesis de que el advenimiento de la inconmensurabilidad habría tenido lugar a través del pentágono de las caras del dodecaedro. Aunque lo aseguren las fuentes mencionadas, la crítica histórica considera improbable que Pitágoras hubiera planteado la cosmogonía descrita, ya que, por una parte, fue Empédocles de Agrigento el primero que distinguió explícitamente los cuatro elementos primarios –fuego, tierra, aire y agua–, y por otra, según mencionan diversas fuentes, los primeros pitagóricos habrían reconocido sólo el tetraedro, el cubo y el dodecaedro, atribuyéndose el octaedro y el icosaedro al brillante matemático de la Academia, Teeteto, que realizó importantes aportaciones sobre los inconmensurables y que fue honrado por su amigo Platón con el nombre de uno de sus Diálogos (142a–210d).     El Quadrivium Pitagórico Mediante lo que se considera la primera aplicación histórica de la Matemática a la descripción de las leyes de la naturaleza, Pitágoras encuentra el fundamento matemático de la consonancia musical. ¿Quién podría imaginar que el espacio, el número y el sonido se combinaban en una correlación armoniosa? La Aritmética y la Geometría entraban en una comunión divina con la armonía musical que es patrimonio de la Estética y en ultima instancia aparecía la matriz de la Filosofía pitagórica: «el número es la esencia de todas las cosas». Si en el número está la clave del tono musical en él residirá también la clave de toda la naturaleza. Así pues, la Aritmética y la Geometría se vinculan con la Música, que de esta forma se convierte en una rama de las Matemáticas. Para Pitágoras la congruencia de lasconsideraciones científicas sobre los números, las figuras y las notas musicales, es decir, la concordancia de las proporciones aritméticas, geométricas y musicales, y su extrapolación al Cosmos, determina que los astros emiten en sus movimientos unos tonos musicales armoniosos cuya combinación producía una maravillosa melodía perpetua: «La Música de las Esferas». El misticismo aritmético de la Década también había llevado a Pitágoras al establecimiento del primer sistema cosmológico no geocéntrico. Ambos elementos pitagóricos, la Música de las Esferas y su Cosmología incluyen también a la Astronomía en el ámbito matemático, el cual quedaasí completado en lo que con posterioridad –a partir de Boecio que acuñaría el término en su obra aritmética– se llamó las cuatro Artes del Quadrivium pitagórico –Aritmética, Geometría, Música y Astronomía–, que junto con las tres Artes del Trivium –Gramática, Retórica y Dialéctica– constituyen las Siete Artes liberales del curriculum medieva. El Quadrivium pitagórico. Fragmento del códice de Nicolo da Bologna Las Virtudes y las Artes de 1355. Biblioteca Ambrosiana de Milan. Las cuatro Artes Liberales del Quadrivium pitagórico –Aritmética, Geometría, Música y Astronomía– se representan de manera alegórica en forma de figuras de mujeres que llevan cada una de ellas atributos e instrumentosmatemáticos distintivos. Las damas son como musas de los sabios matemáticos que las acompañan –en este icono la Aritmética infunde la sabiduría a Pitágoras, la Geometría a Euclides, la Música a Tubalcaín y la Astronomía a Ptolomeo–. En otras representaciones del Quadrivium pitagórico es la Música quien asiste a Pitágoras, siendo entonces la Aritmética la consejera de Boecio. Los cuatro Mathemata fueron considerados por Platón en La República como enseñanzas preliminares que había que dominar antes de emprender el camino de la Filosofía. El legado de Pitágoras. Herencia y vigencia del Pitagorismo La pervivencia de la estela pitagórica a lo largo de los siglos es uno de los fenómenos culturales más interesantes de la Historia del Pensamiento. Con Pitágoras nace por primera vez en la historia la confianza ilimitada en nuestra capacidad para explorar este universo, entendiendo por tal todo lo que el ser humano, que es razón y sentidos, puede percibir, incluyendo el universo interior. Por tanto podríamos calificar de pitagórica la fe que ha presidido la tarea humana de ir haciendo comprensible para el hombre el Cosmos global (macrocosmos y microcosmos) y que ha inspirado toda la actividad científica durante los últimos 2500 años. La comunidad pitagórica de índole religiosa, científica y filosófica alumbró el llamado Pitagorismo, uno de los movimientos intelectuales más influyentes y persistentes en la Historia de la Cultura. A partir de rudimentos órficos,la concepción pitagórica del Cosmosamalgama elementos filosóficos, racionales y matemáticos con poéticos, religiosos y místicos, buscando la comunión con lo divino en la contemplación racional del universo, alcanzando una síntesis sumamente atractiva no sólo para sus coetáneos sino para muchas corrientes de inspiración pitagórica durante muchos siglos. Pitágoras alcanza una armoniosa síntesis entre la mística del espíritu religioso oriental –del que se impregna en sus viajes a Oriente– y la científica visión del universo, desarrollando un potente movimiento cultural que llegó a ser mucho más que una Escuela de Pensamiento, un auténtico estilo de vida: «el modo de vida pitagórico», del que habla Platón en La República (Libro X, 600b). De la Filosofía pitagórica arrancan dos sistemas de pensamiento muy diferentes. Los aspectos más abstractos y lógicos fueron adoptados por Parménides, y muy contaminados de misticismo, constituyen la base del idealismo platónico. En sentido opuesto, el atomismo numérico-geométrico pitagórico (por ejemplo, los números poligonales), recogido por Leucipo, adoptará un contenido materialista en el atomismo de Demócrito. La mayor parte de la doctrina del Timeo –que Platón no pone en labios de Sócrates sino de un pitagórico natural de Lócride, ciudad próxima a Crotona–, y en particular la cosmogonía poliédrica de Platón es pitagórica. De hecho la filosofía platónica tendió a ser interpretada como Pitagorismo por sus contemporáneos y sucesores. Así sucedió ya no sólo con la cosmogonía del Timeo, sino también con la concepción platónica del almay la Teoría de las Ideas, por citar algunos de los aspectos más sobresalientes de la Filosofía de Platón. El propio Aristóteles, que fue miembro de la Academia Platónica durante veinte años, escribe refiriéndose a Platón (Metafísica, I.6, 987b): «Su Filosofía sigue, en la mayoría de las cosas, la de los pitagóricos.» También B. Russell se expresa de forma parecida (Historia de la Filosofía Occidental. v.I.p.75): «[...] lo que aparece como Platonismo [en muchos Diálogos de Platón] resulta después de analizarlo, esencialmente Pitagorismo». La famosa inscripción que se encontraba en el umbral de la entrada de la Academia Platónica «No entre nadie ignorante en Geometría» es de indudable origen pitagórico, como actitud reverencial del gran filósofo ateniense hacia las Matemáticas. Podemos, por tanto, asegurar la decisiva influencia de la Filosofía pitagórica sobre Platón, quien con su incomparable profundidad filosófica y su inefable sensibilidad estética, fue el prominente vehículo de transmisión de gran parte del pensamiento pitagórico a la posteridad, en particular a la ciencia alejandrina y a la primitiva iglesia cristiana, ambas empañadas de Platonismo. La desaparición de la Escuela pitagórica produjo una cierta diáspora hacia la región griega del Ática que compondría el germen de la futura Academia Platónica, pero la tradición pitagórica no se interrumpió en tierras italianas, sobresaliendo sobre todo las figuras de Filolao que sistematizó y difundió la doctrina pitagórica y Arquitas de Tarento (en cuyas fuentes directas bebería Platón). El propio Cicerón asegura que «el verbo de Pitágoras no ha dejado de resonar en Roma», y es más que «en Roma nadie era considerado instruido si no era pitagórico» (Tusculanas, I.1, XVI). La influencia pitagórica continúa en la Roma imperial; citemos a Séneca y Moderato de Cádiz (por aludir a dos figuras de raíces hispánicas), a San Agustín (que en su aplicación de la doctrina de los números lleva el misticismo pitagórico hasta el paroxismo), a los reconocidos pitagóricos Nicómaco de Gerasa (de quien Proclo decía que era una reencarnación del mismo Pitágoras) y Teon de Esmirna, a los célebres biógrafos de Pitágoras, Porfirio y Jámblico, al propio Proclo y a toda una pléyade de pitagóricos menores cuya doctrina, en amalgama bastarda con aspectos de la joven Iglesia de Cristo, hará aparecer la Gnosis pitagórica con Simón el Mago, que en el curso de los siglos evolucionará, a través de corrientes subterráneas de la cultura que tienen que ver con sus propios orígenes órficos, hacia las tendencias de Filosofía Hermética que llegan hasta Agrippa de Nettesheim, Paracelso, Goethe, y alcanzan a las logias actuales. La Edad Media también sufrió la influencia del Pitagorismo. Por ejemplo, la doctrina de la Armonía de las Esferas encuentra en el Medioevo su más gloriosa expresión en la arquitectura de la grandes abadías y catedrales conscientemente diseñadas según las proporciones de la armonía aritmética, geométrica y musical, metáfora del orden universal. Además, las cofradías de constructores y artesanos medievales trasmitieron de generación en generación un ritual iniciático en el que la Geometría pitagórica desempeñó un papel preponderante, interviniendo en la construcción de las grandes catedrales góticas donde hayamos toda una enciclopedia gráfica en los trazados de rosetones en los que el místico símbolo pitagórico del Pentagrama irradia luminosa magnificencia a través de los vitrales. En el Renacimiento la figura de Pitágoras tiene gran incidencia sobre el pensamiento de Nicolas de Cusa, de Jerónimo Cardano y sobre todo de Giordano Bruno, quien llegaa escribir: «[...] quedé muy sorprendido al conocer las doctrinas pitagóricas». Pero la mayor influencia del pensamiento filosófico y matemático pitagórico tiene lugar en la Filosofía de la Estética, de modo que todas las cuestiones tratadas –el concepto de Cosmos como universo ordenado a través de la armonía matemática y musical, el fundamento aritmético de la armonía musical, la Teoría de las Medias y Proporciones, la Música de las Esferas, el Quadrivium pitagórico, la Divina Proporción y los Poliedros regulares, son tópicos pitagóricos de gran incidencia en la Historia del Arte. La fuente primigenia de la armonía y la proporción en el Arte del Renacimiento se remonta a las concepciones matemáticas del pensamiento pitagórico, que al descubrir las sorprendentes relaciones proporcionales de la consonancia musical creyó haber alcanzado la verdad absoluta de la estructura armónica del universo, tomándolas como principio generador en el macrocosmos y en el microcosmos del orden y la armonía, basados en los números. Estas ideas, reveladas por Pitágoras y plasmadas en el Timeo por Platón, han sido de trascendental importancia en la Historia de la Cultura, en general, pero sobre todo en el Arte, que al intentar dar expresión a ese orden se apoya en la verdad irrebatible de los números y las relaciones espaciales, que parecen revelar esa armonía preestablecida, ya que para muchos artistas la armonía espacial será el eco visible y el espejo de la armonía cósmica pitagórica, de ahí que para los teóricos y artistas del Renacimiento la armonía como esencia y fuente de la belleza, se concibe como la perfecta relación entre el todo y las partes y de éstas entre sí, en términos de proporciones y razones matemáticas. La concreción práctica de las concepciones pitagóricas sobre la armonía en la configuración de las proporciones artísticas en el Renacimiento se resume en la aplicación de dos tipos canónicos de proporciones: las conmensurables relativas a las consonancias musicales y las inconmensurables vinculadas a la Divina Proporción. Ambas derivan de la tradición pitagórica. Sirva como frase emblemática la plasmada por L. B. Alberti en De re Aedificatoria (1450-1485): «Tengo que afirmar de una vez por todas la opinión de Pitágoras de que la recta naturaleza está en todo,[...], y que los números determinantes de que la concordancia de las voces sea agradable a los oídos oídos son exactamente los mismos que deleitan nuestra vista y nuestra mente» Pitágoras es uno de los artífices de la revolución científica de la Filosofía jónica por haber encontrado, de forma empírica, el fundamento aritmético de la armonía musicalmediante la primera experiencia científica de la que hay constancia histórica, de modo que Pitágoras probablemente fue quien primero estudió las más antiguas leyes cuantitativas de la Física, siendo el primer sabio convencido de que los fenómenos de la naturaleza podrían entenderse y explicarse por medio de la Matemática. Las investigaciones de Pitágoras sobre la música constituyen las primeras leyes matemáticas completamente generales aplicadas a desvelar los misterios de la naturaleza, el primer intento en la tradición occidental de reducir las leyes de la física a relaciones matemáticas, el primer paso hacia la matematización de la experiencia humana. En la Astronomía le cabe a Pitágoras el gran mérito de haber establecido el primer sistema cosmológico no geocéntrico. Aunque no se trata de un sistema propiamente heliocéntrico tuvo una gran influencia en la revolución copernicana. El espíritu pitagórico pleno de pasión mística por el conocimiento reaparece en momentos históricos en los que la evolución del pensamiento científico realiza un viraje esencial. Tal es el caso de Kepler que, convencido de que la armonía matemática pitagórica debía haber presidido la labor del creador, aplica la mística de la Cosmogonía pitagórica y de la Música de las Esferas, para alumbrar sus famosas leyes planetarias.     Para muchos pensadores Pitágoras es el fundador de la Filosofía y de la Matemática europeas. Así lo expresa literalmente el filósofo y matemático A.N.Whitehead en su obra Science in the Modern World de 1925. De hecho fue Pitágoras, como se ha dicho, quien acuñó para siempre, los términos Filosofía y Matemáticas. Pitágoras es el iniciador del método deductivo en Matemáticas que hace de esta disciplina una ciencia racional independiente del empirismo. Pitágoras planta la semilla del razonamiento geométrico que germinará con sus sucesores pitagóricos, florecerá en la Academia Platónica y fructificará con Euclides. Fue, pues, Pitágoras quien inició «el milagro griego» de realizar la organización racional de la Matemática, añadiendo el elemento de estructura lógica a la Geometría. Es decir, el mérito de Pitágoras, más allá de la magnificación inconmensurable del acervo matemático –buena parte del contenido de Los Elementos de Euclides es de procedencia pitagórica–, fue la propia instauración de la Matemática como ciencia racional a través de la idea y la práctica de la demostración. Según B.Russell (Historia de la Filosofía Occidental, vol.1, p.67): «La Matemática como argumento deductivo-demostrativo empieza con Pitágoras, estando unida con una forma particular de misticismo. La influencia de las Matemáticas en la Filosofía debida a Pitágoras, ha sido desde entonces muy profunda.» La demostración es, pues, la aportación esencial de Pitágoras a la Matemática. Con Pitágoras, además, el talento griego para la generalización, para la extracción de la ley universal a partir de los casos concretos –en sentido aristotélico: la «forma» a partir de la «materia»–, había empezado ya a causar su efecto. Por eso Pitágoras marca también un hito en la Historia de la Matemática. A partir de Pitágoras la Matemática es universalmente considerada como un manantial inagotable de verdad objetiva, la ciencia por excelencia, «la reina de las Ciencias» que diría Gauss. Para los pitagóricos la Matemática era la ciencia tipo paradigma del conocimiento; todo su sistema tiende al matematismo que impregna la ciencia de hoy. Y más que la Matemática en general, la ciencia de los números: la Aritmética. La suprema máxima pitagórica que resume su Metafísica «el número es la esencia de todas las cosas» es un antecedente de la célebre frase de Galileo en Il Saggiatore resumida en la forma: «El libro de la naturaleza está escrito en lenguaje matemático.» Actualmente el aforismo pitagórico, más allá de su sentido alegórico, es una auténtica realidad; y ello por varias razones. Hoy muchas disciplinas científicas, incluso dentro del ámbito social, están fuertemente matematizadas. Es más, la propia Matemática, tras las penosas crisis de fundamentos de siglos pasados, ha encontrado sus cimientos lógicos en un proceso de aritmetización progresiva, que permite completar la cita de Gauss: «[...] y la Aritmética es la reina de la Matemática», dando pleno significado a la célebre frase de Kronecker: «Dios creo los números naturales y todo lo demás es obra del hombre», que debemos interpretar como un mayestático pronunciamiento pitagórico, que prepararía la celebre frase de B. Russell publicada en La Nation (27-10-1924): «Quizá lo más extraño de la ciencia moderna sea su regreso al Pitagorismo.» Más aún, hoy, a través del proceso informático de digitalización, puede llegar a ser un número –sucesiones de ceros y unos– buena parte de la creación del intelecto humano desde una argumentación discursiva hasta una composición musical o una pintura en un lienzo y gracias a tal estructura magnética ser trasmitido, de forma casi instantánea, por vía telemática, a cualquier lugar del orbe terráqueo. Así que Pitágoras, el filósofo del número está de plena actualidad. También en el terreno de la Educación Pitágoras es un pionero ya que el Quadrivium pitagórico –Aritmética, Geometría, Música y Astronomía– sancionado por Platón en La República, se convierte en la médula de una instrucción liberal dominando gran parte del pensamiento pedagógico casi hasta nuestros días. Si a propósito del Teorema de Pitágoras habíamos dicho que «este teorema pertenece al imaginario cultural de casi todos los pueblos», a estas alturas podemos extrapolar la expresión para afirmar categóricamente que la propia figura de Pitágoras pertenece al imaginario cultural de casi todos los pueblos. Pitágoras no sólo es el instaurador de la tradición filosófica, científica y matemática en Occidente sino que su proyección ulterior en la Historia de la Ciencia, de la Matemática, de la Filosofía y del Pensamiento y la Cultura en general, es inmarcesible e imperecedera. No es extraño que el gran filósofo y matemático B.Russell comience el capítulo dedicado a Pitágoras de su Historia de la Filosofía Occidental, con esta palabras (vol.I, p.65): «Pitágoras es intelectualmente uno de los hombres más importantes que han existido y que mayor influencia ha ejercido en la Historia del Pensamiento.» Sellos emitidos en Grecia el 20 de agosto de 1955 con ocasión de un Congreso sobre Pitágoras conmemorativo del 2500 aniversario de la fundación de la primera Escuela de Filosofía de la historia. El primero representa al propio Pitágoras retratado en una moneda encontrada en Samos y el segundo es una imagen visual del Teorema de Pitágoras aplicado al sagrado triángulo egipcio. EPÍLOGO: PITÁGORAS FILÓSOFO Y MATEMÁTICO Pitágoras filósofo. Grabado de History of Philosophy. Thomas Stanley, 1660. La extensa e intensa actividad intelectual de Pitágoras y su Escuela ha dejado un legado que está en la raíz de la Filosofía, la Ciencia, la Matemática, la Cosmología, la Música, ..., y ha tenido influencia decisiva en el Arte, la Educación, la Literatura, la Religión, la Mística, la Ecología, e incluso en la Magia y el Esoterismo. Para Pitágoras Filosofía, Ciencia, Matemáticas, Cosmología y Religión, son aspectos indisociables que conforman un estilo de vida: «el modo de vida pitagórico», imbuido por un entusiasmo místico que promueve una pasión por el conocimiento mediante la especulación filosófica y matemática como parámetros esenciales cotidianos de la existencia. Pitágoras con los atributos de matemático: el Dodecaedro, la Tetractys, el Triángulo Rectángulo, el Pentagrama Místico y la Música. Ilustración de Pedro Lario Cruz,09/ 2000. El Pitagorismo, tamizado por la Filosofía platónica, está en la base de la fundamentación filosófica e ideológica del Cristianismo. En Pitágoras encontramos el primer antecedente histórico del sincretismo cultural Oriente-Occidente, del pacifismo,del feminismo,del socialismo, del vegetarianismo, del ecologismo y de otros muchos «ismos» y tendencias que hoy son lugares corriente en nuestra cultura. Pitágoras es «el filósofo del número» artífice máximo del «milagro griego». Su figura histórica crea «las raíces de la Filosofía y de la Matemática», por eso su entidad intelectual es tan inconmensurable, que debemos situarla en «el umbral del pensamiento occidental», como «cuna del saber y del conocimiento» Pitágoras y los pitagóricos aportaron un ingente caudal de conocimientos matemáticos que fluíanen el ambiente místico y filosófico de la Escuela Pitagórica: La doctrina aritmética incluye la Aritmología pitagórica de los números místicos, la clasificación de los números, los números perfectos y amigos y los números poligonales. Es lo que se llama el misticismo aritmético‑ geométrico, que incluye el descubrimiento del fundamento aritmético de la armonía musical y la construcción del primer sistema cosmológico no geocéntrico. La doctrina geométrica clásica atribuye a los pitagóricos infinidad de teoremas elementales sobre triángulos, polígonos, rectas paralelas, círculos, esferas, etc., resultados que conforman gran parte de los trece libros de Los Elementos de Euclides. Los pitagóricos aplicaban una teoría restringida de figuras semejantes (válida únicamente para el caso conmensurable) y según testimonio de Proclo conocían los poliedros regulares. Además, se consideran tópicos pitagóricos el famoso Teorema sobre el triángulo rectángulo y la Divina Proporción, ambos depositarios históricos del descubrimiento de las magnitudes inconmensurables. Pero lo más importante del legado pitagórico matemático es la propia instauración la Matemática como ciencia racional a través de la práctica de la demostración.     BIBLIOGRAFÍA Obras sobre Pitágoras BERGUA,J.B.: Pitágoras. Ediciones Ibéricas, Madrid, 1958. EGGERS, C.: Pitágoras y los primeros pitagóricos (en Los Filósofos presocráticos. Vol.1.). Gredos, Madrid, 1994. GIGON,O. Pitágoras (en Los orígenes de la Filosofía griega. Gredos, BHF, 67. Cap.5. Madrid,1994. GONZÁLEZ URBANEJA, P.M.: No sólo del teorema vivió Pitágoras (Taller de Matemática recreativa). Cuadernos de Pedagogía, nº 166, Barcelona, 1989. GONZALEZ URBANEJA,P.M.: Legado y herencia de Pitágoras (en APUNTES DE CPR. Nº 10. pp. 16-21), Palencia, 2001. GONZALEZ URBANEJA,P.M.: Pitágoras, el filósofo del número. Nivola, Madrid, 2001. GONZALEZ URBANEJA,P.M.: Pitágoras. El umbral del Pensamiento occidental (en Reflexiones sobre el pasado, presente y futuro de las Matemáticas, pp.77-117). Universidad de Huelva. 2002. 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Viernes, 07 de Noviembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

49. Platón (427-347 a.C.)

Conferimos a las ciencias matemáticas el poder dialéctico de ascender de la caverna a la luz, de lo visible a lo inteligible, de los sentidos a la esencia, por medio de la inteligencia. Por estas artes puede elevarse la mejor parte del alma a la contemplación del mejor de los seres: el Bien. Platón, República (532c). El Timeo de Platón es la obra más sublime de toda la filosofía antigua. Voltaire. Diccionario filosófico. Platón y la Academia de Atenas Platón ha sido uno de los filósofos que mayor influjo ha tenido en la Historia del Pensamiento y que mayor reflejo ha ejercido sobre las concepciones acerca de la realidad matemática. Fue el gran inspirador de casi toda la actividad matemática de su época. Siendo uno de los hombres más sabios de su tiempo, Platón no era propiamente matemático, pero su vehemente entusiasmo por la Matemática y su creencia en la importancia que esta ciencia tenía como propedéutica de la Filosofía, en la educación e instrucción de la juventud, en el entendimiento del Cosmos y en la formación del hombre de Estado, hizo que se convirtiera en un insigne artífice de matemáticos, debiéndose a sus discípulos y amigos casi toda la ingente producción matemática de su época. La doctrina platónica de mayor influencia en la Historia del Pensamiento es la Teoría de las Ideas, que tiene su origen en las formas geométricas, y es en el ámbito matemático en el que mejor se puede ilustrar, de ahí la trascendencia de la Matemática en la naturaleza y desarrollo de la Filosofía de Platón. De hecho muchos Diálogos de Platón –el Menón, las Leyes, el Teeteto y sobre todo la República y el Timeo– están plagados de discursos matemáticos, y en concreto en la República, Platón prescribe que el espíritu del filósofo gobernante requiere una exhaustiva formación en las cuatro ciencias del Cuadrivium pitagórico como base preliminar ineludible del supremo conocimiento dialéctico del Bien, la Belleza y la Justicia, verdadera finalidad de los estudios filosóficos, de modo que en toda actividad intelectual de la Academia, la Matemática, y en especial la Geometría, alcanza una significación filosófica y un valor ético, estético y político insoslayables.

Miércoles, 03 de Diciembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más

50. Plücker, Julius (1801-1868)

Julius Plücker (1801-1868), natural de Elberfeld, estudió física y matemáticas en varias universidades alemanas, y desde 1836 fue profesor de la de Bonn. Sus primeros trabajos matemáticos fueron de geometría sintética, pero en cuanto entró de lleno en la famosa polémica que enfrentaba a los geómetras analíticos con los sintéticos, se decantó por los primeros. En 1846, quizás harto de tanta controversia, abandonó las matemáticas para volver a la física, en la que hizo notables descubrimientos. En contra de lo que hubiera podido esperarse de él, se interesó más física experimental que por la física matemática. Según Clebsch, la contradicción es solo aparente: Plücker tendía más a crear que a analizar, y esta tendencia era la fuente común de sus descubrimientos en física y en geometría. Las coordenadas homogéneas Plücker creó un sistema de coordenadas para el plano proyectivo. Cada punto del plano está determinado por tres números x, y y z, (llamados sus coordenadas homogéneas) tales que, si z≠0, los cocientes X=x/z e Y=y/z son las coordenadas cartesianas ordinarias. En cambio, cuando z=0, representan un punto del infinito. Es evidente que si λ≠0, las ternas (x, y, z) y (λx, λy, λz) corresponden a un mismo punto. Así, la ecuación de la recta del infinito es z=0, la del eje de abscisas y=0, y la del de ordenadas x=0. Entonces, si la ecuación de una recta en coordenadas cartesianas ordinarias es uX+vY+w=0, en coordenadas homogéneas es ux+vy+wz=0. Al resolver el sistema: ux+vy+wz=0 z=0 resulta el punto (v, -u, 0), donde la recta corta a la del infinito. Pero si dos rectas u1X+v1Y+w1=0 y u2X+v2Y+w2=0 son paralelas, entonces u1/v1=u2/v2. Luego dos rectas paralelas cortan a la del infinito en el mismo punto.

Miércoles, 03 de Diciembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más