21. Copérnico, Nicolás (1473-1543)

Astrónomo polaco. Personalidad oscura y desconocida, su obra es muy reducida, consistiendo en un manuscrito no publicado, una carta informando sobre una obra astronómica, un texto sobre economía y su “De Revolutionibus Orbium Celestium”, obra que con su propuesta de un universo heliocéntrico alteraría la perspectiva con la que se afrontaban los problemas astronómicos, iniciando el proceso que cambiaría la visión del cosmos aristotélico. El 19 de Febrero de 1473 nació Nicolás Copérnico en Thorn (hoy Torún), ciudad de la Prusia Real (anexionada a Polonia en 1466),  donde su padre se había asentado y casado con Bárbara Waztendole, hija de un próspero comerciante perteneciente a la burguesía local . Nicolás Copérnico quedó a los 10 años de edad huérfano de padre, siendo acogido junto a su madre y hermanos, por Lucas Watzendrole, tío materno. De haber sido éste un rico comerciante como lo había sido el padre de Copérnico, quizás el joven Nicolás hubiera seguido sus pasos. Pero su tío, que era canónigo y llegaría un tiempo después a ser Obispo en la diócesis de Warmia, había previsto para él que tras una etapa de formación académica en Universidades de prestigio como Cracovia y Padua, en las que él también había estudiado, fuera nombrado canónigo y siguiera, también como él, la carrera eclesiástica. Él debía saber que esa era un buena ocupación: con el respaldo de la Iglesia de Roma y las posesiones del cabildo, su sobrino no debería volver a preocuparse de los aspectos materiales de su vida, pues tendrían ingresos garantizados. Es de suponer que en aquellos años recibiera Copérnico una primera educación adecuada a los fines para los que parecía estar destinado, pero poco o nada se sabe a ciencia cierta sobre su vida y formación hasta que en 1491, con 18 años de edad, su tío le inscribe en la Universidad de Cracovia. Era la más famosa universidad del extenso reino de Polonia y gozaba de un prestigio académico reconocido en toda Europa. Las corrientes humanísticas ya habían llegado y convivían con prestigiosos estudios científicos. Existían activas cátedras de Astronomía y Astrología y entre sus profesores se encontraba Alberto Brudzewo, autor de un comentario a los trabajos astronómicos de Peuerbach que gozó de cierta fama. También parece documentado que alguno de los profesores de la universidad había colaborado con Regiomontano y se explicaban, entre otros, el “Tratado de la Esfera” de Sacrobosco y la “Teoría de los Planetas” de Peuerbach. Copérnico estudió “artes liberales”, un programa de formación básica universitaria que incluía cierta preparación en matemáticas. Pasó en Cracovia 4 años y en 1496 se marchó a Italia, a la Universidad de Bolonia donde también su tío había estudiado. Salvo una corta estancia en Polonia en 1501 para la toma de posesión como canónigo, pasaría en Italia siete años estudiando leyes y medicina entre Bolonia, Padua y Ferrara. En esos años italianos también llevó a cabo observaciones astronómicas que guardará toda su vida y además de completar su formación matemática y astronómica, aprendió griego y entró en contacto con las fuentes literarias, filosóficas y científicas que serían el alimento intelectual de generaciones. Conoció el renacer de las teorías pitagóricas y platónicas, tuvo noticia de los saberes ocultos y antiguos que atraviesan la historia y, también, indudablemente, tomó conciencia de los problemas que acosaban a la astronomía de su época. Con todo ese bagaje en la primavera del año 1503 emprende el viaje de vuelta a su  patria  de donde nunca más saldrá. La vida de Copérnico sufrió un cambio radical. Fue a residir directamente al palacio obispal en Lidzbark. Su tío le acogió como médico y pronto también como consejero, secretario y ayudante íntimo en su labor política, administrativa y diplomática. Con él vivió y viajó durante los años siguientes, hasta la muerte del Obispo, ocurrida en 1512. Pero la influencia italiana no desapareció: Tradujo del griego al latín una obra bizantina del siglo VII que tituló “Epístolas morales, rurales y amatorias”. La publicó en 1509 e iba dedicada a su tío. Su importancia literaria es inapreciable, pero biográficamente tiene interés por tener un prólogo en forma de poema, escrito por un amigo de Copérnico, en el que éste comenta cómo Copérnico, además de acompañar a su tío, lleva acabo observaciones astronómicas de estrellas, Luna y Sol, sobre las que medita y trabaja.  En efecto, alguna de estas observaciones, lo mismo que las hechas en Italia, aparecerán reflejadas en el “De Revolutionibus”. Así pues, Copérnico no había dejado su afición a los cielos. Más aun, parece estar fuera de dudas que en esa época escribió su primera versión del sistema heliocéntrico. Lo hizo en un manuscrito del que repartió unos cuantos ejemplares. Nunca se imprimió y de él se conservan sólo tres copias. El opúsculo en cuestión se titula “De hypothesibus motuum coelestium a se constitutis comentariolus”, es decir, “Breve exposición de las hipótesis acerca de los movimientos celestes”, y, como es usual nos referiremos a él como el “Comentariolus”. Copérnico no lo firmó ni le puso fecha, lo que como tantas otras cosas referidas a nuestro protagonista, ha sido objeto de debate hasta hace no mucho tiempo. Se creyó que era un esbozo previo a su obra mayor, “De Revolutionibus” y que, en tal caso, no estaría escrita mucho antes, de modo que se establecía como fecha posible en torno a 1530,  pero actualmente se admite como fecha tope para su elaboración el año 1514. No es una obra estrictamente matemática, paro en absoluto está carente de argumentaciones y “técnicas” matemáticas, como la introducción de un tercer movimiento de la Tierra al que denominó “declinación”, necesario para mantener el eje paralelo a sí mismo durante su traslación y que le permitió dar cuenta, cualitativa pero simple y elegantemente, de uno de los fenómenos que más se habían resistido, la precesión de los equinoccios. Su lectura, pues, requería ciertos conocimientos que, por un lado la alejaban de los aficionados sin base y por otro supuso que a su autor se le tomara en serio. El contenido del “Comentariolus” es el siguiente: Una breve introducción a la que siguen siete axiomas o postulados y, a continuación, los epígrafes titulados “El orden de las Esferas”, “Los movimientos aparentes del Sol”, “Los movimientos uniformes no deben referirse a los equinoccios sino a las estrellas fijas”, “La Luna”, “Los tres planetas superiores: Saturno, Júpiter y Marte”, “Venus” y “Mercurio”. Los postulados que inauguran la astronomía heliocéntrica moderna aparecidos en el “Comentariolus” son los siguientes: 1. No existe un centro único de todos los círculos o esferas celestes. 2. El centro de la Tierra no es el centro del Universo, sino sólo de la gravedad y de la esfera de la Luna. 3. Todas las esferas giran alrededor del Sol y por lo cual es el centro del Mundo. 4. ... la distancia de la Tierra al Sol es imperceptible en comparación con la distancia del firmamento. 5. Cualquier movimiento que pueda aparecer en el firmamento, no se debe a ningún movimiento de este, sino al movimiento de la Tierra alrededor de sus polos fijos en un movimiento diario. 6. Los que se nos aparecen como movimientos del Sol no se deben a él mismo, sino que están ocasionados por el de la Tierra y nuestra esfera, con la que giramos alrededor del Sol como cualquier otro planeta, y así, la Tierra tiene varios movimientos. 7. Los movimientos observados en los planetas, de retrogradación o directos, tampoco provienen de sus movimientos sino del de la Tierra y este basta por sí solo para explicar las aparentes irregularidades que en el cielo se observan. Es decir, una exposición de motivos, las hipótesis de trabajo y una reformulación de la astronomía de la época desde una nueva perspectiva heliocéntrica. Con todo ello consiguió lo que casi con seguridad había sido su preocupación principal: restaurar el movimiento uniforme en los cielos. A la muerte de Lucas Watzendrole, acaecida en 1512, el capítulo de Warmia y los sucesivos obispos confiarán en Copérnico, bien como canciller, bien como administrador o visitador, y comenzará para él una época de actividad que casi podría describirse como febril. Durante los siguientes veinte años al menos, Copérnico deberá atender a la administración de bienes y servicios de la diócesis, llevará a cabo intensas gestiones diplomáticas, se verá inmerso en una guerra cruel en la que coordina la defensa y fortificación de las ciudades de la diócesis, habrá de meditar sobre los modos de enfrentarse a la inflación debida a los fraudes monetarios de los teutones (afrontó el problema desde una perspectiva teórica y comenzó la elaboración de un informe que terminaría siendo un tratado de economía monetaria -“Monéate cudendae ratio”- publicado en su versión definitiva en 1528), organizará los reasentamientos de colonos en las tierras de Warmia... y además de todo eso, observará el cielo, anotará pacientemente posiciones del Sol, días y horas de eclipses, ocultaciones y conjunciones, y comprobando pacientemente y de forma minuciosa cada dato conocido irá elaborando su obra magna, el “De Revolutionibus”. Sólo utilizó tres instrumentos: el Cuadrante (descrito en el Libro II, cap. 2 del De Revolutionibus), el Astrolabio (Libbro II, cap.14) y el “instrumento paraláctico” (Libro IV, cap. 15). Con ellos, desde su torre, observará Sol, Luna y estrellas durante esos años. La última observación que utiliza en el “De Revolutionibus” es del 12 de Marzo de 1529 y lo es del planeta Venus. Por entonces debía estar finalizando su redacción y tenía ya 56 años. Quizás demasiados para seguir observando en las frías noches bálticas. O quizás no necesitó más. Prácticamente todos los especialistas piensan que “De revolutionibus” estaba acabado en torno a 1530. Pero Copérnico no lo publica. Que se sepa, ni intenciones de hacerlo tuvo.¿Por qué Copérnico, que llevaba quizás 20 años o más trabajando en esa obra, se mostraba indeciso y hasta remiso a publicarla? Él mismo esbozará algunos motivos en la dedicatoria del “De Revolutionibus”, pero, ¿por qué?. Sólo caben hipótesis: Los datos que profusamente utilizaba en su obra provenían de las obras antiguas y, por consiguiente, podían tener errores notables acumulados; por otro lado estaba el problema de la reforma religiosa planteada por el luteranismo y la sensación de vivir un periodo de ortodoxia cambiante en el que, quizás (y Copérnico sí que dio siempre muestras de portarse así) lo mejor era guardar cierta distancia y prudencia respecto a ciertas formulaciones que pudieran “herir sensibilidades” filosóficas o religiosas. Si a todo esto se añade (¿por qué no creerlo, si él mismo lo dice?) sus veleidades elitistas inspiradas en el secretismo pitagórico, quizás podamos hacernos una idea de por qué “De Revolutionibus” permaneció probablemente otra docena de años en los cajones de la mesa del canónigo de Frombork. Sin embargo, lo que no pudo Copérnico fue evitar que las noticias de su existencia y de lo que pensaba acerca de los movimientos y ordenación de los cielos se extendieran por toda Europa como se atraviesan las membranas en un proceso osmótico. Los ecos de la figura solitaria de Frombork llegaron finalmente a la corte papal y en 1536 Copérnico recibió una carta del cardenal Nicolás Schömberg en la que se expresaba así: “Habiéndome hablado hace algunos años de tu capacidad, constante conversación de todos (...). Comprendí que no sólo conocías con suficiencia los hallazgos de los antiguos matemáticos, sino que habías establecido una nueva estructura del mundo, en virtud de la cual enseñas que la Tierra se mueve, que el Sol ocupa la base del mundo y por tanto el lugar central, que el octavo cielo permanece inmóvil y fijo perpetuamente ...“ Así pues, el personaje y la obra “flotaban en el ambiente” hasta el punto que desde las más altas instancias, religiosas por añadidura, se solicitaba la luz pública para estos trabajos. La salida a la situación vendría con la aparición de un joven astrónomo y matemático que se convertiría en el único discípulo en vida de Copérnico y a quien éste consideró como un analizador y corrector suficientemente preparado como para cotejar con él sus cálculos. Cuadro de Jan Matejko (siglo XIX) que muestra a Copérnico en el castillo de Olsztyn (Warmia) rodeado de un astrolabio y la imagen del sistema heliocentrista de "De Revolutionibus". Nos referimos a Rhetico (nombre latinizado que adoptó Georg Joachim von Lauchen, nacido en 1514 en la región de Retia, el Tirol austriaco), que apareció por Frombork al final de la primavera de1539. Rhetico había tenido, gracias a la fortuna económica de sus padres, una educación amplia y exquisita que le había permitido viajar por Italia y estudiar en las universidades alemanas de prestigio: Gotinga, Nuremberg y Wittemberg. Llegó a ser un protegido de Melanchton por cuya influencia, posiblemente,  se le concedió a los 22 años una de las dos cátedras de astronomía de la Universidad de Wittemberg, el centro universitario luterano por excelencia. También a la luterana Wittemberg habían llegado las noticias de la obra de Copérnico. Es precisamente Lutero una de las fuentes de ese dato, pues datada precisamente en ese año de 1539, se tiene noticia de una apreciación del líder reformista en la que manifiesta su desprecio por “un astrólogo que, contra lo que dicen las escrituras, propone establecer el movimiento de la Tierra y no del Sol”. Pero a Rhetico no le debía preocupar tanto la teoría astronómica contenida en la Biblia como la posibilidad de estudiar detenidamente, si existían, los cálculos del canónigo prusiano del que tanto se hablaba. Así pues, solicita permiso para desplazarse a conocer “in situ” al autor y a su obra. Copérnico debió rápidamente reconocer en Rhetico al matemático competente que necesitaba y el joven matemático, que pronto percibió la valía e importancia de la obra que Copérnico guardaba desde hacía años, trató de convencerle de la necesidad de darla a conocer. Rhetico la analizó matemáticamente durante los dos intensos meses que duró la visita y ante la resistencia, a pesar de todo, de Copérnico, llegó a un acuerdo que debió plasmarse de la siguiente manera: Rhetico escribiría un resumen, más extenso y algo más técnico que el “Comentariolus” y sería esto lo que, de momento, se publicaría. Una especie de “globo sonda”. Inmediatamente finaliza Rhetico su trabajo, que fechó en Frombork, el 23 de Septiembre de 1539. El título es “De libris revolutionum Nicolai Copernici narratio prima” (primera narración de los libros de Nicolás Copérnico sobre las revoluciones) y tiene la forma de una carta dirigida a Juan Schöner, astrónomo en Nuremberg, perteneciente al círculo de humanistas que rodeaban a Melanchton. La “Narratio Prima”, que así se conoce, es considerada, a pesar de que su autoría es de Rhetico, como uno de los tres tratados copernicanos (junto al “Comentariolus” y la “carta contra Werner”) que anteceden a “De Revolutionibus”. En ella, Rhetico describe el contenido de los seis libros en los que se divide la obra de “su maestro”, hace apreciaciones sobre algunas particularidades geométricas del trabajo, defiende y explica el principio-guía de mantener exclusivamente movimientos uniformes con la eliminación del ecuante, y todo ello, recogiendo mediciones y cálculos que permitían justificar matemáticamente la nueva hipótesis. La “Narratio Prima” se publicó en Danzig en febrero de 1540 y se difundió intensamente entre los más reticentes, los luteranos. Su efecto debió ser notable pues inmediatamente se solicitó permiso para otra edición, que se hizo en Basilea a los pocos meses. Rhetico, que había vuelto tras el verano a Wittemberg para continuar sus clases, retornó a Frombork en el verano de 1540. Para entonces las solicitudes y la presión sobre Copérnico para que desvelase su trabajo se habían hecho intensas y provenían de todas partes. El joven e ilusionado Rhetico no tuvo que esperar mucho, pues cuando abandonó Frombork, en agosto de 1541, quince meses después de su llegada, llevaba consigo una copia en limpio del manuscrito copernicano, dispuesta para ser impresa en Nuremberg. A partir de ese momento se inicia el proceso de publicación del “De Revolutionibus” que, como tantas otras cosas relacionadas con Copérnico, ha estado rodeada de sombras, constituyendo, en este caso, uno de los episodios que más ha dado que hablar y más páginas escritas ha originado en la historia de la ciencia. Se trata del hecho de que el libro apareciera publicado con un prólogo que no había escrito Copérnico, ni tampoco Rhetico, y que avisaba al lector de que el contenido de la obra era hipotético y su finalidad simplemente la de facilitar los cálculos, sin corresponderse necesariamente con la realidad. Su autor (hecho descubierto curiosamente por Kepler) es Andreas Osiander y lo redacta de forma que no deja clara la autoría, con lo que podía ser interpretado, efectivamente, como una advertencia del propio autor que altera la intención de la obra. Si Copérnico leyó o no el texto de Osiander con anterioridad a ver la obra impresa es algo aun no resuelto. A finales de 1542 Copérnico sufrió una hemorragia cerebral que lo incapacitó parcialmente y supuso un grave deterioro de su salud. Fue en esas condiciones, si lo hizo, como leyó el texto que subrepticiamente cambiaba el significado de su obra. En marzo de 1543 apareció finalmente publicada la obra que había estado gestándose durante 40 años. Su título fue “De Revolutionibus Orbium Celestium libri VI”. La edición incluía la “Advertencia al Lector” redactada por Osiander, la carta que el cardenal Schömberg había escrito a Copérnico en 1536 y una dedicatoria del propio Copérnico al Papa Paulo III, en la que Copérnico nos dice algo sobre la génesis de su trabajo. Los seis libros de que consta la obra se pueden dividir en dos partes perfectamente diferenciadas. El Libro I es, fundamentalmente, la exposición cosmológica del Sistema Copernicano, y en él, sin ningún tipo de aparato matemático, se justifican las proposiciones fundamentales. Sólo los últimos capítulos de este primer libro están dedicados a presentar las matemáticas que usará para las pruebas científicas que en el resto del libro aparecen. Son los capítulos que ya había publicado Rhetico separadamente. Los Libros II al VI constituyen la parte técnica de la obra. En ellos repasa, siguiendo un esquema clásico como el del Almagesto, las cuestiones de que se ocupaba la astronomía: movimientos del Sol y de la Luna, la precesión de los equinoccios, el movimiento de los planetas... dando soluciones a los mismos desde la perspectiva anunciada en la Dedicatoria y en el Libro I.  Copérnico presenta en múltiples ocasiones la “historia” de las observaciones usadas o del modo de resolver alguna irregularidad. Usa profusamente de los datos heredados y conocidos del Almagesto, del Epítome de Regiomontano y otras obras clásicas, a los que añade los suyos, apareciendo 27 observaciones propias. El contenido de estos cinco libros es de lectura prácticamente imposible para los no especialistas en astronomía de posición y geometría esférica, y, como él mismo reclama, debió, de hecho, quedar reservado su estudio a los astrónomos y matemáticos avezados y profesionales. Pero el Libro I no era matemático. Al contrario, era transparente en sus enunciados y razonamientos. La influencia que tuvo lo convirtió en la obra que dio el pistoletazo de salida a un proceso que haría cambiar la perspectiva que el hombre tenía del mundo y del modo como acercarse a él. También de la imagen que de sí mismo se había hecho hasta entonces. Bibliografía AA.VV   Nicolás Copérnico.. Ed. Siglo XXI. Madrid, 1973 A.C.Crombie,  Historia de la Ciencia.  A.U. Madrid, 1980 Copérnico, N.  Comentariolus.  En “Opúsculos sobre el movimiento de la Tierra”. Edición de A. Elena. A.E. Madrid 1983 Copérnico, N.  Sobre las Revoluciones.. Ed. Tecnos. Madrid  1987 Delambre, M.  Histoire de l’Astronomie Moderne., Paris 1821 Elena, A   Las Quimeras de los Cielos. Siglo XXI. Madrid, 1985 Elena, A.  La Revolución Astronómica.  Ed. Akal. Madrid, 1995 Elena, A. y  Ordóñez, J.  Historia de la Ciencia.. U.A.M. , Madrid, 1988 Galuzzi, P. (ed).  Novità Celesti e Crisi del Sapere. Firenze 1984 García Hourcade, J.L. La rebelión de las astrónomos. Copérnico y Kepler.  Ed. Nivola. Madrid 2000. Garin, E.  Las Revolución Cultural del Renacimiento. Ed. Crítica. Barcelona, 1984 Gillispie. Ch.C. (Ed)  Dictionary of Scientific Biography. Charles Scribner’s & Son. New York 1981 Hanson, N.R.  Constelaciones y conjeturas. A.U. Madrid 1973 Hoyle, F.  Nicolás Copérnico.. A.E. Madrid, 1972 Kuhn, T.S.  La Revolución Copernicana.  . Ariel. Barcelona 1978 Mieli, A.  La Eclosión del Renacimiento Espasa Calpe, Madrid 1967 Mondolfo, R. Figuras e ideas del Renacimiento. Ed. Icaria. Barcelona, 1986 Romaña, A.  Difusión del sistema copernicano en el mundo. A. R.A.C.E.F.N.  t. LXVII,2º, 1973 Rosen, E.  Three Copernican Treatises.. Dover Publications, New York, 1959 Solís, C.  La Revolución Copernicana y quienes la hicieron.. Teorema, vol IV/1 1974 Taton, R. (Ed)  Historia General de las Ciencias.. Ed. Orbis. Barcelona, 1988 Vernet, J.  Astrología y Astronomía en el Renacimiento. Ariel. Barcelona, 1974

Jueves, 13 de Noviembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

22. Dedekind, Richard (1831-1916)

J[ulius] W[ilhelm] Richard Dedekind (Braunschweig, Alemania, 6 Octubre 1831 – 12 Febrero 1916). El matemático alemán Richard Dedekind fue una figura clave en el surgimiento de la matemática conjuntista y estructural del siglo XX. Su obra y su importancia han sido reevaluadas en los últimos treinta años, resultando que no deja de crecer la estimación que de él se tiene. Hasta cierto punto, se le puede considerar un moderno Euclides: dejó una huella muy importante en los elementos de la matemática, de ahí que los Bourbaki le consideraran uno de sus antecesores directos. Durante el siglo XX, a Dedekind se le ha conocido sobre todo por su aportación a los fundamentos del sistema numérico (definiciones de los números reales y naturales), pero su principal contribución como investigador fue en el terreno del álgebra y sobre todo la teoría de números algebraicos. Igual que quien sería su director de tesis: Gauss, el “primero entre los matemáticos”, Dedekind nació en Braunschweig (Brunswick), capital de un pequeño ducado situado al oeste de Berlín. Era el cuarto hijo de una familia acomodada, de padre jurista, profesor en el Collegium Carolinum de la ciudad. En ese mismo lugar, convertido en Politécnico, impartiría clases el matemático desde 1862 y durante más de 30 años, encargándose entre otras cosas (como rector) de su transformación en Escuela Técnica Superior. Siendo estudiante, en 1850 fue a la célebre Universidad de Göttingen, y escuchó entre otras las lecciones de Gauss sobre el método de mínimos cuadrados y las de Wilhelm Weber sobre física experimental. Tras el doctorado, fue miembro del Seminario Físico-Matemático de la universidad, donde conocería nada menos que a Bernhard Riemann, figura capital en su desarrollo como matemático. En el año 1854 se “habilitan” como profesores asistentes (Privatdozent) tanto Dedekind como su compañero Riemann, cinco años mayor. Pero, a diferencia de las tremendas contribuciones que hizo Riemann en sus dos tesis y en su lección de habilitación, no encontramos nada comparable en los trabajos de Dedekind. Eso sí, la lección de habilitación mostraba su interés por los fundamentos de la matemática y su orientación reflexiva y sistemática. Fue a partir de 1855, cuando muere Gauss y la universidad contrata a otra gran figura, Gustav Lejeune-Dirichlet, que Dedekind entró realmente en la atmósfera de la alta investigación. La interacción con Riemann, a cuyos cursos asistía regularmente, y la conversación diaria con el riguroso y omniabarcante Dirichlet, resultaron estímulos decisivos. Hacia 1856 nuestro hombre encontró el que sería su principal campo de trabajo. Escucha las lecciones de Dirichlet sobre teoría de números, famosas por haber puesto el contenido de las Disquisitiones arithmeticae de Gauss al alcance del “gran público” matemático, y las discute minuciosamente con su maestro. Pero sobre todo estudia los trabajos de Abel y Galois, a resultas de lo cual imparte un curso sobre álgebra superior y teoría de Galois, aparentemente el primero de este tipo en Alemania. El primero, y el más avanzado por mucho tiempo: se conserva un manuscrito (redactado probablemente hacia 1858, después de concluidas las lecciones) y de él se ha dicho que constituye “el primer tratamiento moderno del tema”. Concibe la teoría directamente en términos de extensiones de cuerpos, estudia cuidadosamente las relaciones entre dichas extensiones y los grupos de las ecuaciones, y además –a diferencia de sus contemporáneos– pone en segundo plano el estudio de las soluciones de ecuaciones. Pero Dedekind no llegó a publicar ese manuscrito cuidadosamente redactado, y de hecho tardó mucho (demasiado) en publicar contribuciones importantes. En 1858 se desplaza a Zurich como profesor del Politécnico (la famosa ETH posterior), año y lugar donde por cierto concibió su célebre definición de los reales mediante cortaduras. En 1862 vuelve a Braunschweig, y durante unos años parece abandonar la investigación para dedicarse a publicar trabajos de sus grandes maestros: las Vorlesungen über Zahlentheorie de Dirichlet (1863) y algunos trabajos de Riemann (en 1868 los célebres trabajos de habilitación, sobre geometría y sobre teoría de funciones reales, con la definición de la integral; en 1876 las obras completas editadas por él y Heinrich Weber). Segunda edición (1871) por R. Dedekind de las “Vorlesungen über Zahlentheorie de Dirichlet, que incluye un apéndice “sobre la teoría de los números enteros algebraicos” La razón de no publicar venía en buena medida de lo exigente que era Dedekind a la hora de juzgar sus logros, cosa quizá normal en alguien que había conocido en persona a Gauss y Riemann (!). Su largo trabajo sobre números algebraicos, hacia 1860, no le había permitido elaborar una teoría perfectamente general, y eso al parecer le desencantó. Por fin, ya a los 40 años, publica la segunda edición de las Vorlesungen de Dirichlet (1871), y dentro de ella –curioso lugar en una época ya de artículos especializados– un apéndice “sobre la teoría de los números enteros algebraicos”. Se ha llegado a decir que este trabajo dio forma a la teoría de números moderna. Aparecían aquí diversas estructuras algebraicas, estudiadas empleando homomorfismos, isomorfismos, clases de equivalencia: las estructuras de cuerpo, anillo –sin este nombre–, módulo, ideal (siempre dentro del contexto particular de los números complejos). La teoría de los enteros algebraicos se convertía en una teoría de ideales en anillos de enteros, y mediante esta transformación Dedekind lograba la generalidad deseada. Un ideal (en un anillo de números) es un conjunto de infinitos números enteros del anillo, cerrado para la suma y también para la multiplicación por números cualquiera del anillo. El replanteamiento que propuso Dedekind significaba introducir “a todo trapo” el lenguaje conjuntista en este campo de la matemática. La recepción de su trabajo fue lenta, sin duda porque se trataba de un cambio muy radical. Este punto es difícil de juzgar hoy para nosotros, acostumbrados como estamos desde muy pronto al lenguaje conjuntista. Pero en aquella época el álgebra era todavía la teoría de las ecuaciones, y el estudio de los enteros algebraicos consistía en estudiar propiedades y relaciones de números concretos. Dedekind pasaba a analizar las propiedades de la multiplicación de ideales, y esto representaba para sus contemporáneos una abstracción sumamente difícil. Se puede decir que sólo hacia 1890 encontró continuadores. Entretanto, Dedekind había publicado otras dos versiones de la teoría de ideales, en sendas reediciones del libro de Dirichlet (1879 y 1893). Estas nuevas versiones introducían cambios muy importantes, guiados por un ideal de pureza de método. Dado que el punto de partida de la teoría eran definiciones de estructuras conjuntistas, el método de trabajo debía basarse en el manejo lo más directo posible de conjuntos y morfismos. Dedekind era, en cierto sentido, más un sistemático que un matemático orientado a la resolución de problemas. En su afán de pureza, y de acuerdo con el espíritu “aritmetizador” de la época, llegó a sugerir en algún momento que el álgebra debía olvidarse de los polinomios. Pero ese mismo afán le llevó a desarrollar métodos que tenían un gran potencial de generalización; de ahí la famosa frase que Emmy Noether solía repetir a sus colaboradores: “ya está todo en Dedekind” (es steht alles schon bei Dedekind). La versión de 1893 incluía un nuevo tratamiento de la teoría de Galois, muy abstracto para la época, en términos de grupos de automorfismos del cuerpo correspondiente. Resultados como el teorema sobre independencia lineal de los automorfismos prefiguran el modo de trabajo del álgebra abstracta de los años 1920 (Artin, Noether). Sin embargo, los matemáticos de su momento se quejaban de tanta abstracción. Frobenius, que conocía bien a Dedekind y su trabajo, bromeaba diciendo que iba demasiado lejos y que sus morfismos eran “demasiado incorpóreos” (recuérdese que fue Dedekind quien introdujo el término “cuerpo”). Les parecía que con medios más tradicionales se podían desarrollar los resultados de un modo más económico y elegante, y así lo hizo por ejemplo Hilbert en su célebre Zahlbericht de 1897. Dedekind respondía que si elaboraran todo desde el principio y justificaran todos los pasos, el desarrollo al modo habitual resultaría más largo y complejo que el suyo. Pero su enfoque purista y abstracto tardó en imponerse. En 1882, Dedekind publicó junto a su buen amigo Heinrich Weber (entonces profesor en Königsberg, con el joven Hilbert entre sus alumnos) un trabajo fundamental sobre curvas algebraicas bajo el título “Teoría de las funciones algebraicas de una variable” (Journal für die reine und angew. Mathematik). Se establecía aquí un paralelismo muy notable con la teoría de ideales, y por esta vía puramente algebraica se llegaba a dar una definición de los puntos en una superficie de Riemann y se alcanzaba a demostrar el teorema de Riemann-Roch. El cambio con respecto al tratamiento habitual de estas cuestiones era de nuevo inmenso, los autores describían su método como “simple pero a la vez riguroso y plenamente general”. El tipo de paralelismo estructural que aquí se plantea sería premonitorio de la matemática del siglo XX. Se abría el camino a la geometría algebraica, que también recibió por entonces estímulos de Kronecker, el gran “contrincante” de Dedekind. A propósito de Kronecker, famoso por su enfrentamiento con Cantor, no está de más recordar que fue todavía más beligerante con Dedekind. (Si éste se lo tomó relajadamente, la razón hay que buscarla en las grandes diferencias entre su personalidad y la del genial pero inestable Cantor.) Kronecker y Dedekind compartían casi todo: campos de trabajo –teoría de números, álgebra, curvas algebraicas–, interés por los fundamentos y capacidad para ir a fondo en ambas direcciones. Pero había buenas razones para su enfrentamiento, no casual sino sintomático de dificultades que ya no desaparecerían. Se trataba del enfrentamiento entre los métodos y concepciones de la matemática moderna, conjuntista y estructural, por un lado, y por otro los métodos y concepciones de la matemática constructivista (que en cierta medida seguía más apegada a los modos de hacer tradicionales). Kronecker fue, en efecto, un antecesor muy coherente de Brouwer, Weyl, Lorenzen o Bishop, partidario de que todos los objetos matemáticos fueran definidos o construidos explícitamente a partir de los números naturales, sin recurrir al artificio de los conjuntos infinitos. Nada más lejano del punto de vista de Dedekind, quien creía, con cierta ingenuidad, que recurrir a conjuntos infinitos eran simplemente hacer uso de la lógica y del pensamiento racional. Siendo como era profesor en una Escuela Técnica, Dedekind no tuvo discípulos, no creó escuela. Pero además de la influencia de sus escritos, magníficamente presentados, estuvo su colaboración con grandes matemáticos como el citado Heinrich Weber, como Frobenius, etc. Años después de su artículo conjunto, Weber publicó un manual de álgebra que sería obra de referencia obligada durante tres décadas. La correspondencia con Frobenius, publicada hace poco, desempeñó un papel importante en el desarrollo de la teoría de caracteres de grupos. Las indicaciones de Dedekind fueron importantes para orientar a Frobenius, y también lo fue el trabajo de aquél sobre números hipercomplejos publicado en 1885. En una de las cartas escribe Frobenius: Hace ya mucho tiempo me sorprendía que no hubiera Ud. participado más activamente en el desarrollo de la teoría abstracta de grupos, pese a que, dada su disposición, este campo debía haberle resultado especialmente atractivo. Ahora veo que se ha ocupado Ud. de ella durante diez años, pero sin compartir con sus amigos y admiradores (¿quizá también, desgraciadamente, dada su disposición?) sus resultados extremadamente bellos. Y por supuesto está la famosísima correspondencia con Cantor, sobre todo de 1872 a 1882, en la que éste iba desarrollando sus geniales ideas nuevas y las sometía al riguroso análisis de su colega.  Es a Dedekind a quien Cantor dirige la conocida frase “lo veo pero no lo creo” (añadiendo “mientras no me dé Ud. su aprobación”) en referencia a la equipotencia de los continuos de cualquier número de dimensiones. El trabajo de Dedekind sobre fundamentos del número estaba íntimamente ligado con su investigación en álgebra y teoría de números. Este tipo de interacción es distintiva de su obra, y precisamente es lo que le condujo a dar con nociones fundamentales que tenían a la vez la generalidad necesaria para reconstruir todo el edificio de la matemática pura. Igual que veía el álgebra en términos de estructuras (esencialmente cuerpos o subestructuras de cuerpos) y morfismos, acabó reduciendo el concepto de número a conjuntos y aplicaciones. Nacía así, en paralelo con las novedosas contribuciones de Cantor, el enfoque conjuntista de los fundamentos. Lo característico y muy original de Cantor fue su fantástico viaje de exploración de lo que él llamaba transfinito; pero en lo relativo a reformular la matemática dentro del enfoque conjuntista, Dedekind fue más lejos y además se anticipó. El primer paso fundamental en esa dirección lo dio Dedekind en 1858, cuando ideó la definición de los números reales mediante cortaduras, insatisfecho porque hasta entonces la teoría de límites se apoyaba en evidencias geométricas. Dedekind advirtió que las propiedades de orden denso de los números racionales hacían posible utilizar el fenómeno de las cortaduras para definir los reales. Una cortadura es una partición de Q en dos subconjuntos disjuntos (A1, A2) tal que cada número de A1 es menor que todo número de A2. El conjunto de los números reales es (en esencia) el conjunto de todas las cortaduras sobre Q, y Dedekind demostraba rigurosamente que dicho conjunto es continuo. De este modo, podía demostrar con rigor que toda sucesión estrictamente creciente y acotada de reales tiene por límite un número real. Con ánimo polémico, Dedekind escribió que hasta ese momento nadie había dado los medios para demostrar que √2 · √3 = √6. De nuevo, su trabajo quedó muchos años sin publicar, y la razón –si creemos a su autor– fue que no era original, sino que cualquier buen matemático que decidiera prestar su atención al tema llegaría a algo similar. Sólo en 1872, teniendo que escribir algo para un volumen de homenaje a su padre, Dedekind sacó sus notas del cajón y publicó “Continuidad y números irracionales”, un artículo magistral. Se debe notar que aquí R queda caracterizado, al pie de la letra, como un cuerpo de números dotado de un orden lineal continuo (el orden denso del cuerpo Q era analizado también con toda precisión, pero sin usar el término “denso”). El descubrimiento de que los números reales eran reducibles a los números racionales, empleando sólo teoría de conjuntos, debió tener un efecto muy poderoso sobre Dedekind. Como muchos de sus contemporáneos, Dedekind creía (ingenuamente) que la teoría de conjuntos no era más que una parte de la lógica elemental. (Este punto de vista exigía recurrir implícita o explícitamente al principio de comprehensión, presunto axioma lógico que años después se demostró contradictorio gracias precisamente a las paradojas.) Al pensar de esa manera llegó al convencimiento de que –como escribió en 1888– “la aritmética”, pero también “el álgebra y el análisis”, son “sólo una parte de la lógica”. Nacía así, hacia 1872, el programa logicista en fundamentos de la matemática. Pero para establecerlo era necesario dar una teoría totalmente rigurosa de los números naturales, basada sólo en la teoría de conjuntos y aplicaciones. ¿Qué son y para qué sirven los números? de R. Dedekind (1888) Dedekind se puso manos a la obra durante los años 1870, y publicó sus resultados en el librito ¿Qué son y para qué sirven los números? (1888), una obra que hizo época, según dijo el propio Hilbert. El nivel de rigor alcanzado en el desarrollo de la aritmética de N era altísimo, sin precedentes, pero lo más notable era el enfoque. La teoría de los naturales, que siempre se habían considerado los objetos finitos por excelencia, se deducía íntegramente a partir de resultados sobre conjuntos infinitos. Otro ejemplo similar: la equipotencia entre todos y partes, que ya desde Galileo se había considerado la gran paradoja del infinito, se convertía simplemente en definición de conjunto infinito. En su libro, Dedekind axiomatizaba la aritmética de los naturales ofreciendo una caracterización de la estructura del conjunto de los números naturales. La idea es que N es un conjunto dotado de una aplicación inyectiva Φ (la función sucesor) y con un elemento distinguido 1, tal que: (a) Φ(N) ⊂ N, lo que le hace infinito; (b) 1 ∉ Φ(N), es decir, no es un sucesor; y (c) N es la Φ-cadena de , lo que intuitivamente significa que es el más pequeño conjunto que satisface (a) y (b) y es cerrado bajo Φ. Estas condiciones son equivalentes a los famosos axiomas de Peano, propuestos por éste un año más tarde. En concreto, la condición (c) de ser una cadena permite deducir el axioma de inducción. Pero lo cierto es que Dedekind era más general y más riguroso que Peano, como muestra por ejemplo el hecho de que desarrolló una teoría general de las definiciones recursivas. Para preparar esa definición de los naturales, Dedekind empezaba su libro presentando una teoría elemental pero general de conjuntos, en la que encontramos algunos de los axiomas de Zermelo. Estudiaba luego la teoría de aplicaciones, por primera vez en la historia, y finalmente desarrollaba una teoría general de cadenas que tuvo mucha importancia en el desarrollo de la teoría de conjuntos. Sólo a partir de la sección 6 limitaba sus consideraciones con vistas a la aritmética finita, y en algún lugar sugería que era fácil generalizar sus ideas al caso transfinito. Ahora bien, hay un punto (afortunadamente sólo uno) donde su enfoque no resultó aceptable a la vista de las antinomias: el intento de demostrar que existe un conjunto infinito. Las paradojas arruinaron la interpretación logicista de esos resultados, pero no el desarrollo teórico mismo, que fue reincorporado dentro de la teoría axiomática de conjuntos. (Por cierto, Zermelo solía denominar “axioma de Dedekind” al axioma del infinito, ya que las ideas esenciales y la necesidad de un principio así se encuentran en su trabajo.) Para quienes entendieron esa obra de Dedekind, y comprendieron sus conexiones con el álgebra y el análisis, los conjuntos y las aplicaciones se convertían en las piedras básicas con las que se construía todo el edificio de la nueva matemática estructural. Una de estas personas fue Hilbert, que –como hemos descubierto recientemente– fue partidario del logicismo de Dedekind hasta 1900 o algo más. Precisamente Hilbert escribió que el enfoque de Dedekind, con su idea de fundar lo finito en lo infinito, resultaba “deslumbrante y cautivador”. Dedekind fue un hombre de vida retirada, modesto, recto y exigente, aunque con sentido del humor. Soltero, vivió una existencia provinciana y cerrada junto a su madre y su hermana, rehusando incluso alguna cátedra universitaria por no alejarse de la familia. Eso sí, parece haber disfrutado mucho de la música (tocaba bien el cello y el piano), de la lectura (junto a su hermana, escritora de éxito), y de la naturaleza. Felix Klein, hombre de mundo, amante del poder y las grandes empresas, escribió de él: Su fuerza estaba en la capacidad de penetrar profundamente en los principios de su ciencia; fue en esencia un hombre de natural contemplativo, al que quizá le faltaba empuje y capacidad de decisión. Quizá, más que nada de esto, de lo que careció es de ambición y, sin duda, de espíritu aventurero. Bibliografía: G. Cantor & R. Dedekind, Briefwechsel, Paris, Hermann, 1937. (Hay trads. francesa de Cavaillès e inglesa de Ewald.) R. Dedekind, Mathematische Werke, 3 vol., Braunschweig, Vieweg, 1930–1932. R. Dedekind, ¿Qué son y para qué sirven los números?, ed. & introduc. J. Ferreirós, Madrid, Alianza/UAM, 1997. R. Dedekind, Theory of algebraic integers [trad. de un artículo original en francés, 1877], Cambridge Univ. Press, 1996. G. L. Dirichlet y R. Dedekind, Vorlesungen über Zahlentheorie, Braunschweig, Vieweg, 1863, 1871, 1879, 1894. Reimpresión de la 4ª edición en New York, Chelsea, 1968 (selecciones de las otras eds. en Werke, vol. 3). Versión inglesa: American Mathematical Society (AMS), 1999. P. Dugac, Richard Dedekind et les fondements des mathématiques (avec de nombreux texts inédits), Paris, Vrin, 1976. H. M. Edwards, The genesis of ideal theory, Arch. Hist. Exact Sciences 23 (1980), 321-378. H. M. Edwards, Dedekind's invention of ideals, Bull. London Math. Soc. 15 (1983), 8-17. Reimpreso en Studies in the history of mathematics (Washington, DC, 1987). J. Ferreirós, Labyrinth of Thought: A history of set theory, Basel, Birkhäuser, 1999.

Martes, 18 de Noviembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

23. Descartes, René (1596-1650)

[31 de marzo de 1596 a la Haye (ahora Descartes), Touraine 11 de febrero de 1650, Estocolmo, Suecia] René Descartes es un filósofo integral cuya obra Géométrie [Geometría] ha jugado un papel muy importante tanto en su sistema filosófico global cuanto en la historia del pensamiento matemático. Por esta razón es de gran provecho releerla de nuevo para comprender la evolución de dicho pensamiento antes y después de Descartes. Descartes fue educado en el colegio de los jesuítas de La Flèche de Anjou. Ingresó a los nueve o diez años y permaneció en la institución hasta 1615. Al parecer, por motivos de salud, se le permitía permanecer en la cama hasta las once de la mañana, una costumbre que Descartes mantendría a lo largo de toda su vida. En La Flèche estudió fundamentalmente a los clásicos, filosofía y lógica en la tradición aristotélica. En cambio, bajo la influencia de Clavius, del Collegio Romano —el centro en el cual se formaban los cuadros de los jesuítas—, los centros educativos de esta orden prestaron un especial interés por las matemáticas de la época. Así pues, Descartes, bajo la atenta mirada del padre Jean François, entró en contacto con los textos matemáticos de la época probablemente a través de la obra crítica de Clavio. Sin embargo, según expone el propio Descartes en la introducción al Discours de la méthode [Discurso del método] las enseñanzas que recibió no le satisfacían, exceptuando las de la matemática porque proporcionaban un conocimiento verdadero. La verdad como garantía del conocimiento es uno de los leitmotivs de Descartes a lo largo de toda su filosofía. Por esta razón pensó que toda forma de pensamiento debería basarse en los mismos principios en los que se basaban las matemáticas: simplicidad y claridad. Estas bases se hallan expuestas de forma específica en las inacabadas Regulæ ad directionem ingeniï [Reglas para la dirección  del espíritu] y en el ya citado Discurso del método. Los estudios de derecho los realizó en la Universidad de Poitiers, en donde obtuvo el grado en 1616. Este mismo año se alistó en la escuela militar de Breda. En 1618, cuando estaba estudiando matemáticas y mecánica bajo el influjo del científico holandés Isaac Beeckman, se planteó la necesidad de establecer una ciencia unificada que fuese apta y útil para el estudio de la Naturaleza. Esta concepción de la unidad del conocimiento no le abandonaría jamás. En 1619 se unió al ejército de Baviera. Entre 1620 y 1628 viajó por Europa. En 1623, hallándose en París, entró en contacto con el padre mínimo Marin Mersenne, circunstancia indispensable para poder mantener un nexo vivo y permanente con el resto de eruditos de Europa. Viajó a Italia para conocer a Galileo Galilei, pero la fortuna no le acompañó y nunca llegó a producirse el encuentro. Cuando en 1628 decidió retirarse de la vida cortesana de París y establecerse definitivamente en un lugar tranquilo, eligió Holanda —los Países Bajos— en los que permaneció los siguientes veinte años. Fueron años de reflexión, de meditación, de trabajo, y de producción. Se ha dicho que Descartes, descontento con las enseñanzas que se impartían en los Centros más prestigiosos basadas en los textos de los filósofos de la Antigüedad, se propuso substituirlas por su nueva visión del conocimiento. Recién acabado de establecerse en Holanda, inició esta tarea con un tratado de filosofía de la naturaleza, Le Monde, ou Traité de la lumière [El Mundo, o Tratado de la luz]. Se basaba en las ideas copernicanas, defendidas por Galileo. Pero cuando éste fue condenado por el Santo Oficio de Roma, decidió no publicar su tratado. A pesar de que nunca perdió el contacto, a través de Mersenne, con los pensadores franceses e ingleses, ni tampoco con Beeckmann, en Holanda conoció, entre otros,  a Mydorge, Hortensius, Huygens, y Frans van Schooten. Con alguno de ellos se estableció una auténtica amistad. Ellos le instaron para que publicara sus ideas, lo cual  Descartes hizo  con un tratado sobre ciencia que tenía por título Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la Verité dans les Scienes, plus trois Essais, La Dioptrique, Les Météors, et la Géométrie [Discurso del método para razonar correctamente y buscar la verdad en las ciencias, seguido de tres Ensayos, La Dióptrica, Los Meteoros, y la Geometría]. Escrito en francés "para que lo pudieran entender hasta las mujeres", se publicó en Leyden en 1637. Refiriéndose a este Tratado, dice a Mydorge: En la Dióptrica y los Meteoros he intentado mostrar que mi método es superior que el método vulgar, y con la Geometría lo he demostrado. Primera edición del “Discours de la Methode” de R. Descates (1637) Este texto está íntimamente ligado con el Tratado, no publicado, de la Luz y también con un texto inacabado de juventud, las Regulæ. Con los ensayos pretende ofrecer textos alternativos a los de óptica, astronomía y geometría de los currículums habituales. Además constituyen un ejemplo de la unidad del pensamiento, por lo menos, por lo que se refiere a la ciencia. En la Geometría estudia los óvalos [de Descartes], que, en la óptica, utiliza para hacer lentes, en la Dióptrica da las leyes matemáticas de la reflexión y de la refracción, y en los Meteoros las usa para explicar el porqué del arco iris. Pero Descartes quería también aportar sus nuevos puntos de vista en los campos de la filosofía, la teología, y la ética. Por esta razón publicó Méditationes de prima philosphia (1641) y Principia Philosophiæ (1644), Les passions de l'âme (1649), etc. Los Principia Philosophiæ constan de cuatro partes que versan sobre el conocimiento humano, sobre los principios de las cosas materiales, sobre el mundo visible, y sobre la Tierra. En dicho tratado sostiene —en la línea de Galileo— que el estudio del universo debe reducirse a la matemática a través de una cierta mecánica. Sin embargo, sus presupuestos metafísicos eran muy rígidos —no aceptaba la posibilidad de la "acción a distancia", ni tampoco la existencia del vacío, etc.—, y le impidieron darse cuenta de la importancia del fenómeno de la gravedad. En este sentido es paradigmático el ejemplo de su demostración de la ley de la refracción de la Dioptrique, basada más en las "cualidades", en la línea clásica, de la luz que en un modelo matemático como el que ofrecería Pierre de Fermat, basado en el principio de la mínima acción: "la luz sigue el camino más breve". Sin embargo, hemos de afirmar, en honor a la verdad, que su mathesis fue bien acogida por los pensadores de la generación siguiente y halló su síntesis —en el tercer tercio del siglo XVII— en la obra genial de Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz. En 1647, con ocasión de un viaje a París, Descartes pudo conocer a Blaise Pascal con el cual sostuvo una discusión acerca de la existencia del vacío en la Naturaleza. En 1649, cuando Descartes era considerado uno de los sabios más notables de Europa, la reina Cristina de Suecia le persuadió para que se instalase en su corte de Estocolmo. Las consultas de la reina a altas horas de la noche y de la madrugada —que quebraban las costumbres de Descartes— junto con el rigor del frío en Suecia en invierno, llevaron a Descartes a contraer, a los pocos meses de estancia en Estocolmo, una neumonía que pondría fin a su vida el 11 de febrero de 1650, cuando aún no había cumplido 54 años. Descartes dejaba una obra importante y sobretodo novedosa. Pero, con la perspectiva del tiempo —sin pretender cuestionar en absoluto su importancia como pensador global y como filósofo de una influencia decisiva en el pensamiento occidental moderno—, podemos afirmar que, de entre todas, la obra que realmente supuso una revolución en la manera de entender la disciplina de la que trataba es la Géométrie. Todavía mantiene, en gran parte, toda su vigencia. Es por esta razón que le dedicaremos un poco más de atención que al resto de sus obras. La importancia matemática de "La géometrie" hizo que, poco después de su aparición, se publicara separadamente del Discurso. Los problemas de la geometría griega eran, según la clasificación de Pappos, de tres tipos: planos, sólidos y grámicos, según que, para resolverlos, bastasen la regla y el compás, se requiriese además alguna de las secciones cónicas o, en fin, algún tipo de curva que no fuese ninguna de éstas, como la cuadratriz, la espiral de Arquímedes, la concoide, la cisoide, etc. Ahora bien, en la época de Descartes, se dispone de un lenguaje nuevo gracias a las aportaciones de muchos ilustres geómetras, de entre los cuales, en Francia, cabe destacar a François Viète. Este nuevo lenguaje permite expresar ciertas curvas, no ya por medio de una característica geométrica definitoria, sino por medio de una expresión algebraica cerrada que, en el más simple de los casos, es una ecuación polinómica en dos variables. Con este bagaje Descartes, en el Libro I, De los problemas resolubles por medio de rectas y circunferencias, analiza los problemas que los griegos resolvían con el uso exclusivo de la regla y el compás, observando que, con estos instrumentos, puede sumar, restar, multiplicar, y dividir dos segmentos dados, y obtener un nuevo segmento cuya longitud sea, respectivamente, la suma, diferencia, producto, y cociente de las longitudes de los segmentos dados. Y, además, puede extraer la raíz cuadrada de un segmento dado. En breve, dados dos segmentos de longitudes a y b, puede construir los segmentos cuyas longitudes resepctivas sean a+b, a-b, ab, a/b, y √a. Para ello, sin embargo, Descartes precisa de un segmento unidad al cual referir las longitudes de los restantes segmentos rectilíneos. Con esta lectura algebraica de la geometría Descartes rompe con dos de los presupuestos epistemológicos de la geometría griega: 1) Todo segmento tiene asignada una longitud —un número—, con independencia del carácter conmensurable o inconmensurable del valor de dicha longitud. 2) El producto de dos o tres segmentos es un segmento y no un rectángulo o un paralelepípedo, con lo que el problema de la dimensión geométrica deja de ser un impedimento para la generalización. Es posible multiplicar más de tres segmentos. La transcripción algebraica le permite afirmar: Las ecuaciones de segundo grado son resolubles con regla y compás. Y puede mostrar cómo hay que hacerlo para resolverlas geométricamente. Conviene recordar en todo momento que lo que Descartes hace —así lo indica en  título del ensayo, Géométrie— es geometría. De ahí la importancia de una construcción geométrica efectiva y completa. Además, en uno de aquellos momentos de genialidad que le caracterizan, afirma que: Cualquier problema resoluble con regla y compás lleva siempre, en última instancia, a una ecuación de segundo grado. Esta afirmación será precisada y demostrada doscientos años más tarde, en 1837, por Jean Pierre Wantzel. Sin embargo, el filósofo era consciente que su método debía ir más allá y resolver problemas que, en la geometría griega, eran difícilmente resolubles o incluso eran imposible resolver.  Por esta razón plantea, a modo de colofón del Libro I, el problema de las tres y las cuatro rectas que había sido estudiado por Apolonio y resuelto parcialmente por Pappos. En síntesis, establece: Dadas cuatro rectas, dos de las cuales pueden ser la misma, el lugar geométrico de los puntos C del plano tales que el producto de las distancias a dos de las rectas es proporcional al producto de las distancias a las otras en una proporción dada, es una sección cónica. El éxito de Descartes es doble. Por un lado, puede reescribir el problema en función de las coordenadas x,y del punto C. Obtiene una ecuación general de segundo grado en x,y. Entonces, en el Libro II, establece: Toda ecuación de la forma Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Ex + 2Fy + G = 0 es una cónica y su naturaleza depende del signo del discriminante Δ = B2 - 4AC. Se plantea entonces la cuestión: ¿Tiene sentido plantear el resolver el problema cuando hay más de cuatro rectas? ¿Es posible resolverlo? La respuesta es afirmativa: No hay limitaciones espaciales y cualquier problema lleva a una ecuación polinómica. Entonces Descartes plantea y resuelve el más simple de los problemas aún  por resolver. Es el problema de las cinco rectas, cuatro de las cuales son paralelas y equidistantes y la quinta es perpendicular a todas ellas. Obtiene la cúbica semiparabólica: y3 - 2ay2 - a2y + 2a3 = axy. Así pues, de lo que se trata es 1) de caracterizar las ecuaciones polinómicas y 2) de ver, de alguna manera, si las ecuaciones polinómicas corresponden a problemas geométricos. Por lo que, a la primera cuestión se refiere, Descartes decide que las únicas curvas que podemos considerar como geométricas son aquellas que admiten una caracterización algebraica polinómica, aun cuando, para él, esta caracterización sea siempre subsidiaria. Lo importante es que procedan de un problema geométrico en el cual se dé una teoría de la proporción dependiente. Las curvas cuya teoría de la proporción es independiente, las llama mecánicas y las excluye de la Geometría. Esto será criticado muy vehementemente por Leibniz que introducirá las curvas algebraicas —son las cartesianas— y las curvas trascendentes —son las que trascienden el álgebra. Para Descartes las curvas geométricas deben ser construíbles con algún ingenio que tenga la misma precisión que la regla y el compás. No hay razón alguna, según Descartes, para limitarse a estos dos instrumentos a la hora de resolver problemas geométricos. De ahí los compases que Descartes ofrece justo al inicio del Libro II, De la Naturaleza de las curvas. Es curioso observar que, con el segundo de sus compases, se puede construir la cúbica semiparabólica que resuelve el problema de las cinco rectas que acaba de analizar. Además se pueden fabricar curvas de cualquier grado. Sin embargo, Descartes no plantea el problema de si toda curva geométrica va asociada a algún tipo de compás que permita construirla. De ahí la importancia de la segunda cuestión planteada: Toda curva polinómica proviene de un problema geométrico. Descartes lo resuelve afirmando que Toda curva geométrica —polinómica— proviene de algún problema de las 2n-1 o 2n rectas. Sin embargo, como observaría Newton, esta afirmación es falsa. A pesar de que la ecuación de una curva sea, para Descartes, algo subsidiario, el geómetra advierte la importancia que tiene conocer la ecuación de una curva para poder determinar elementos geométricos de la curva, cuales son el centro, el vértice, los ejes, los diámetros, etc.  Pero va mucho más lejos y resuelve "el problema más difícil que podía imaginar". Página del Libro II de “La géometrie” de Descartes. Este problema consiste en determinar el ángulo que forman dos curvas. Recordemos toda la discusión de la época escolástica acerca del ángulo de contacto que debía ser más pequeño que cualquier ángulo rectilíneo sin ser nulo, poniendo en tela de juicio la imposibilidad de la existencia de los infinitésimos. El ángulo que forman dos curvas se mide por medio del ángulo que forman las normales de las curvas en el punto de contacto. Es preciso, pues, determinar la normal a una curva en un punto. Para ello Descartes introduce el círculo osculador de una curva, adelantándose a la curvatura de una curva y al radio de curvatura. El círculo osculador a una curva Φ(x,y)=0 en un punto C de la misma, es aquel círculo que la toca pero no la corta. Es decir, que es tangente a la curva en el punto C. Su radio OC, en donde O es el centro de dicho círculo, nos da la dirección de la normal a la curva en el punto C.  Pero, ¿Cómo podemos determinar el círculo osculador a la curva Φ(x,y)=0, en el punto C? La respuesta de Descartes, de este problema geométrico, es algebraica. Bastará que el círculo y la curva se corten en un punto doble. Es decir, tenemos la ecuación de la curva y la ecuación de la circunferencia del círculo osculador: Si eliminamos, por ejemplo, y, obtenemos una ecuación polinómica P(x)=0 que debe tener un a raíz doble x=a. Esto, según Descartes, lo podemos expresar en la forma: P(x)=(x-a)2Q(x), en donde Q(x) es un polinomio que corrige el grado de (x-a)2 y que se obtiene por el método de los coeficientes indeterminados, un método introducido por Descartes y también, simultáneamente, por Fermat. Ello permite determinar finalmente los parámetros v y s, teniendo en cuenta que a es x. Todo ello lo puede aplicar entonces Descartes a la óptica y a la fabricación de lentes. Introduce los famosos óvalos [de Descartes] y los analiza. Sin embargo para una comprensión cabal de su exposición hacía falta familiarizarse con  el lenguaje del álgebra y con las técnicas de resolución de ecuaciones polinómicas. Además, los matemáticos griegos habían planteado, y resuelto, problemas que no eran planos como la trisección del ángulo y la duplicación del cubo. Por esta razón Descartes ofrece un tercer Libro, De la construcción de los problemas sólidos y más que sólidos, en el cual expone los rudimentos del lenguaje algebraico de los polinomios, entre los cuales incluye la famosa regla de los signos que, según John Wallis, ya era conocida con anterioridad por Thomas Harriot. Nos indica la manera de resolver las ecuaciones cúbicas y las cuárticas, en cuyo caso ofrece un método personal de una gran originalidad: Toda cuártica se puede descomponer como el producto de dos ecuaciones de segundo grado, los coeficientes de las cuales se obtienen, por el método de los coeficientes indeterminados, resolviendo una ecuación cúbica. Formalmente, dada la cuártica reducida  x4 + bx2 + cx + d, hacemos x4 + bx2 + cx + d = (x2 + αx + β)(x2 - αx + γ) Entonces basta determinar los números reales α, β, γ, lo cual siempre es posible. Después basta resolver las dos ecuaciones de segundo grado, si ello es posible. Este método sería el que elegiría Leonhard Euler para resolver una  ecuación polinómica en general, pero no podemos garantizar que, para grados superiores, podamos resolver las ecuaciones que permiten determinar los coeficientes de las ecuaciones de segundo grado. Descartes, además, establece el enunciado del teorema fundamental del álgebra en los términos: Podemos imaginar que una ecuación polinómica tiene tantas raíces como el grado. De ahí el nombre de número imaginario que se dio a las raíces no reales de las ecuaciones polinómicas. El primer intento por demostrar este teorema lo debemos a Jean le Rond d'Alembert y data de 1746. Para Descartes, sin embargo, las únicas raíces aceptables son las reales positivas —que llama raíces positivas. Las negativas —que llama falsas— son aceptables porque son las raíces de la ecuación polinómica que se obtiene al substituir X por -X. Pero fiel a su propósito geométrico, Descartes se ve obligado a dar una interpretación geométrica de las ecuaciones cúbicas y cuárticas. Entonces establece que toda cuártica se puede resolver cortando un círculo y una cónica adecuados. Establece con toda claridad la equivalencia que hay entre resolver una cúbica irreducible en el sentido de Gerolamo Cardano —de discriminante negativo— y la trisección del un ángulo, mientras que las cúbicas no irreducibles equivalen a saber doblar un cubo. Da un método geométrico para trisecar un ángulo dado. El carácter generalizador de su método lo lleva a preguntarse como podemos resolver geométricamente una ecuación polinómica, en general. Pero, en realidad, sólo lo hace para las quínticas y las séxticas. La idea consiste en cortar una circunferencia con una curva adecuada —en el caso de las ecuaciones de segundo grado, con una recta; en el caso de las cúbicas y cuárticas, con una cónica. Pues bien, en el caso de las quínticas y las séxticas se puede recurrir a la cúbica semiparabólica que ha obtenido en el caso de las cinco rectas, con lo que su obra se cierra con una unidad que parecía difícil de conseguir. No es ésta la única aportación que Descartes hizo a la matemática —recordemos su método para aproximar con regla y compás la longitud de una circunferencia de radio dado, sus contribuciones en aritmética, su intento por resolver el problema de deBaunne, su aproximación a la fórmula de Euler-Poincaré, las curvas algebraicas que introdujo, como los óvalos, el folio, etc.—, pero es sin duda la más importante de todas y una de las más importantes de la primera mitad del siglo XVII y uno de los textos básicos de toda la historia de la matemática. En él, Descartes no sólo introduce la geometría analítica o cartesiana sino que pone los cimientos de la geometría algebraica. Basten los ítems expuestos para comprender su profundidad, unidad interna, originalidad y novedad y recúrrase a la bibliografía para una mayor profundización. Bibliografía: - Obras de Descartes [1] Oeuvres de Descartes. Publicadas por Charles Adam y Paul Tannery. Vrin. París 1996. [2] Le Monde ou Traité de la lumière. Traducción castellana de Ana Rioja, El Mundo o Tratado de la luz. Alianza editorial. Madrid 1991. [3] Regulæ ad directiomen ingenii. Traducción castellana de Eloy Rada, Reglas para la dirección del espíritu. Alianza editorial. Madrid 1987. [4] Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et cherché la Verité dans les Scienes, plus trois Essais, La Dioptrique, Les Météors, et la Géométrie. Traducción castellana de Guillermo Quintás, Discurso del método para razonar correctamente i buscar la verdad en las ciencias, seguido de tres Ensayos, La Dióptrica, Los Meteoros, y la Geometría. Ediciones Alfaguara. Madrid 1981. [5] Principia philosophiæ. Traducción castellana de Guillermo Quintás, Los principios de filosofía. Alianza Editorial. Madrid 1995. [6] Géometrie. Traducción inglesa de David Eugene Smith y Marcia L. Latham, The Geometry of René Descartes. Dover Publications, Inc, Nova York 1954; traducció castellana, a Discurso del método de Guillermo Quintás, 276-407; traducción catalana de Josep Pla i carrera i Pelegrí Viader i Canals. EUMO Editorail. Vic 1999. - Biografías [7] Crombie, A. C. "Descartes". Dictionary of Scientific Biography (editor C. C. Gillespie), IV (1971), 51-55. New York 1970-1990. [8] Encyclopaedia Britannica. [9] Espasa Calpe. - Libros [10] Arnold, Wolfgang, "Descartes", a Wussing, H.; Arnold, W. [1983]. [11] Beck, L. J., The Methode of Descartes. Clarendon Press. Oxford 1952. [12] Belaval, Yvon, Leibniz critique Descartes. Gallimard. París 1960. [13] Bell, E. T., "Descartes", en Les Grandes Mathématiciens. Payot. París 1950. [14] Chica Blas, Ángel, Descartes. Geometría y método. Nívola. Madrid 2001. 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Martes, 18 de Noviembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

24. Cardano, Gerónimo (1501-1576)

1. Algunos datos biográficos y científicos 1501. Gerónimo Cardano [= Hieronimus Cardanus = Girolamo Cardano] nació en Pavía (Italia) el 24 de septiembre. Fue hijo ilegítimo del abogado Fazio Cardano, que le inició en el estudio de las matemáticas y le permitió que estudiase medicina en la Universidad de Pavía. De allí pasó a la Universidad de Padua donde completó su formación. Por aquel entonces, Cardanus era un empedernido jugador de cartas y dados cuyos conocimientos sobre probabilidad le permitían vivir del juego. 1525. Se doctoró en medicina y solicitó su ingreso en el Colegio de Médicos de Milán. Al descubrirse que era hijo bastardo las puertas de la institución se le cerraron. 1539. Después de varias tentativas, Hieronimus fue admitido en el Colegio de Médicos de Milán. Este mismo año, Girolamo se enteró del descubrimiento de Tartaglia relativo a la resolución de la cúbica x3 + px = q, y quiso incluirlo en su obra Practica Arithmetice, & Mensurandi singularis (Milán, 1539) que estaba terminando. Practica Arithmetice es un tratado en el que, a lo largo de sesenta y ocho capítulos, se desarrollan contenidos elementales de aritmética, álgebra y geometría. Un problema de álgebra Divide 10 en dos partes tales que la diferencia de sus cuadrados sea 40. Sea 1 co. [= x] una de las partes. La otra parte es 10.m.1 co [= 10 – x]. Los cuadrados de las partes son 1 ce. [= x2] y 100. p. 1 ce. m. 20 co. [ = 100 + x2 – 20x]. Su diferencia es 40, por tanto 1 ce. p. 40. es igual a 1 ce. p. 100. m. 20 co. [x2 + 40 = x2 + 100 – 20x]. Entonces, 60 es igual a 20 co. [20x = 60] . Por tanto la cosa vale 3 [x = 3] y la otra parte 7 (…) Practica Arithmetice, cap. 65, probl. 29 Un problema de geometría práctica En este problema se calcula la profundidad de un pozo utilizando el instrumento llamado cuadrante y haciendo uso de la teoría de semejanza de triángulos. Este tipo de cuestiones solían formar parte de la mayoría de manuales renacentistas. Practica Arithmetice, cap. 67, probl. 1 Cardano propuso al librero Zuan Antonio da Bassano, amigo de ambos, que visitase a Tartaglia para que le facilitase el método de resolución. Este encuentro tuvo lugar el 2 de enero y la respuesta de Tartaglia fue negativa. Gerónimo le escribió una carta, fechada el 12 de febrero, en la que reiteró su petición. Tartaglia permaneció firme en su decisión de no comunicar su fórmula. El 13 de marzo Cardanus le remitió una nueva carta en la que le invitaba a su casa de Milán, prometiendo que le pondría en contacto con Alfonso de Ávalos, gobernador del Milanesado. Tartaglia aceptó con la esperanza de  presentar al gobernador sus recientes investigaciones en el campo de la artillería.  La reunión se celebró el 25 de marzo de 1539. En esta ocasión, Hieronimus logró su objetivo y Tartaglia le reveló sus métodos para resolver las  cúbicas x3 + px = q , x3 + q = px , x3 = px + q  (p > 0 , q > 0) [VÉASE la biografía de Nicolás Fontana (“Tartaglia)]. Girolamo juró por los Santos Evangelios que no haría públicos los descubrimientos de Nicolás. 1542. Cardano y su discípulo Ludovico Ferrari (1522-1565) viajaron a Bolonia y obtuvieron permiso de Aníbal de la Nave, yerno de Scipione del Ferro, para consultar los documentos científicos que éste había heredado de su suegro. Entre ellos encontraron la resolución de la ecuación x3 + px = q que precedía a la de Tartaglia en veinte años. Esta fue la regla que, tres años más tarde, Gerónimo incluyó en su Artis Magnae, Sive de Regulis Algebraicis [= Ars Magna]. 1545. Cardanus publicó su obra matemática más importante, Ars Magna, el primer gran tratado en latín dedicado exclusivamente al álgebra. En él se exponen los métodos de resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, se realizan cálculos con números complejos y se presenta un método para la resolución aproximada de ecuaciones de cualquier grado. Ars Magna De subtilitate 1550. Se editó De subtilitate, enciclopedia consagrada a la filosofía natural. 1564. Se publicó el Liber de ludo aleae considerado como el primer estudio sobre la teoría de probabilidad. 1570. Hieronimus fue encarcelado por hereje, dado que escribió el horóscopo de Cristo en su De astrorum iudiciis (1554) Se editó Opus novum de proportionibus numerorum en la que aparece el “triángulo aritmético” o “triángulo de Tartaglia”. 1571. Girolamo publicó su autobiografía, De vita propia. En ella leemos: Tan pocas cosas llamativas hay en mi fisonomía, que muchos pintores venidos de tierras lejanas para retratarme no hallaron en mí ningún rasgo cuya presencia en mi retrato bastara por sí sola para que me reconocieran. 1576. Cardano murió en Roma el 21 de septiembre de 1576. Se cree que se suicidó para no contradecir una previsión astrológica sobre la fecha de su muerte. 2. El álgebra del Ars Magna La cúbica x3 + px = q En el Ars Magna, Hieronimus hace un estudio exhaustivo sobre la resolución de la ecuación de tercer grado con una incógnita (véase el cuadro adjunto). ARS MAGNA CAPÍTULO TIPO DE ECUACIÓN DENOMINACIÓN XI x3 + px= q Cubo y primera potencia iguales a número XII x3 = px + q Cubo igual a primera potencia y número XIII x3 + q = px Cubo y números iguales a primera potencia XIV x3 = px2 + q Cubo igual a cuadrados y número XV x3 + px2 = q Cubo y cuadrados iguales a número XVI x3 + q = px2 Cubo y número iguales a cuadrados XVII x3 + px2 + qx = r Cubo, cuadrados y primeras potencias iguales a número XVIII x3 + qx = px2 + r Cubo y primeras potencias iguales a cuadrados y número XIX x3 + px2 = qx + r Cubo y cuadrados iguales a primeras potencias y número XX x3 = px2 + qx + r Cubo igual a cuadrados, primeras potencias y número XXI x3 + r = px2 + qx Cubo y número iguales a cuadrados y primeras potencias XXII x3 + qx + r = px2 Cubo, primeras potencias y número iguales a cuadrados XXIII x3 + px2 + r = qx Cubo, cuadrados y número iguales a primeras potencias En el capítulo once, Gerónimo ofrece su procedimiento de resolución para la cúbica x3 + px = q. El método de Cardanus  se apoya en razonamientos geométricos que se inspiran en un diagrama tridimensional como el de la figura adjunta. La simple inspección del diagrama anterior pone de manifiesto que: u3 – v3 = (u – v)3 + 3(u – v)2v + 3(u – v)v2 => u3 – v3 = (u – v)3 + 3(u – v)[(u – v)v + v2] => u3 – v3 = (u – v)3 + 3(u – v)[uv – v2 + v2] => u3 – v3 = (u – v)3 + 3uv(u – v)                  [1] Comparando la identidad [1] con la ecuación propuesta, resulta que u – v = x, siempre que: u3 – v3 = q 3uv = p A partir de estas dos igualdades se deduce que: Por tanto: La cúbica x3 + px2 + qx = r El capítulo XVII (Cubo, cuadrados y primeras potencias iguales a número) del Artis Magnae, Sive de Regulis Algebraicis contiene la resolución de la ecuación x3 + 6x2 + 20x = 100 La estrategia utilizada por Cardano consiste en transformar la ecuación dada en otra equivalente sin término cuadrático. Para ello, Hieronimus se sirve del cambio de variable: x = y – (6/3) = y – 2 Advirtamos que para el caso general, ax3 + bx2 + cx = d, el cambio adecuado sería x = y – (b/ 3a). Con esto, la cúbica x3 + 6x2 + 20x = 100 se convierte en y3 + 8y = 124          [2], ecuación de tercer grado en la incógnita y que se puede resolver utilizando el procedimiento descrito en el capítulo XI. Una vez calculados los valores de y que satisfacen la ecuación [2], los valores de x se obtienen deshaciendo el cambio de variable. La ecuación de cuarto grado En el capítulo XXXIX, Girolamo ofrece la resolución de la ecuación de cuarto grado debida a su discípulo Ludovico Ferrari. Para describir el método de Ferrari, Gerónimo resuelve un problema propuesto por Zuanne de Tonini da Coi, cuya traducción al simbolismo algebraico moderno desemboca en la ecuación: x4 + 6x2 + 36 = 60x          [3] En primer lugar, Cardanus introduce la identidad (x2 + a + b)2 = (x2 + a)2 + 2x2b + 2ab + b2 [4] Acto seguido, sumando 6x2 a los dos miembros de [3], resulta que: x4 + 6x2 + 36 + 6x2 = 60x + 6x2 => (x2 + 6)2 = 60x + 6x2 [5] Si en la identidad [4] hacemos a = 6 se obtiene: (x2 + 6 + b)2 = (x2 + 6)2 + 2x2b + 12b + b2 En consecuencia, si sumamos  2x2b + 12b + b2 a los dos miembros de [5] se tiene que: (x2 + 6)2 + 2x2b + 12b + b2 = 60x + 6x2 + 2x2b + 12b + b2 => (x2 + 6 + b)2 = (6 + 2b)x2 + 60x + (b2 + 12b)          [6] El primer miembro de [6] es un cuadrado perfecto. El segundo miembro también lo será si la ecuación (6 + 2b)x2 + 60x + (b2 + 12b)= 0 tiene una raíz doble. Para ello su discriminante debe ser cero. Es decir: 602 – 4(6 + 2b)(b2 + 12b) = 0  =>  602 = 4(6 + 2b)(b2 + 12b)  => (6 + 2b)(b2 + 12b) = 302 =>  2b3 + 30b2 + 72b = 900  =>  b3 + 15b2 + 36b = 450 La última ecuación es de tercer grado en la incógnita b y se puede resolver por el método explicado en el capítulo XVII (Cubo, cuadrados y primeras potencias iguales a número) del Ars Magna. Una vez determinado el valor de b para el cual el segundo miembro de [6] es el cuadrado de un binomio, se puede extraer la raíz cuadrada de los dos miembros de [6] obteniéndose una ecuación de segundo grado en x. Por consiguiente, la ecuación x4 + 6x2 + 36 = 60x está resuelta. Resolución aproximada de ecuaciones En el capítulo XXX de su Ars Magna, Cardano ofrece una regla (regula aurea) para el cálculo aproximado de las raíces de una ecuación polinómica con coeficientes enteros. En primera instancia, Gerónimo describe verbalmente la regla y, acto seguido (sin justificación alguna), la aplica a las ecuaciones: x4 + 3x3 = 100  ,  x2 + 20 = 10x  ,  x3 = 6x + 20  y  x4 + 6x2 + 200 = 10x3 + 12x Presentamos la adaptación del texto de Cardanus concerniente al cálculo de una raíz aproximada de la ecuación x4 + 3x3 = 100. Sea la ecuación x4 + 3x3 = 100. Sea f(x) = x4 + 3x3. Si x = x1 = 2 [= primera aproximación], entonces f(x1) = f(2) = 40 [= primer producto]. Si x = x2 = 3 [= segunda aproximación], entonces f(x2) = f(3) = 162 [ = segundo producto]. Con esto: f(x2) – f(x1) = 162 – 40 = 122 [= diferencia mayor] 100 – f(x1) = 100 – 40= 60 [= primera diferencia] f(x2) – 100 = 162 – 100 = 62 [= segunda diferencia] Llegados a este punto, Hieronimus llama solución imperfecta de la ecuación propuesta a . Sustituyendo este valor numérico en el primer miembro de dicha ecuación se obtiene un valor aproximadamente igual a 85. Restando 85 de 162 [= segundo producto] se obtiene  77. Restando 152/61 de 3 [= segunda aproximación] queda 31/61. Multiplicando 31/61 por 62 [= segunda diferencia] se obtiene 1922/61. Dividiendo el producto obtenido por 77 resulta 1922/4697. Restando el cociente obtenido de 3 [= segunda aproximación] queda 12169/4697 = 2,5908…, que, según Gerónimo,  es una buena aproximación de la solución de la ecuación x4 + 3x3 = 100. Cardano concluye advirtiendo que si se repite el mismo proceso todavía se puede aproximar mejor el valor de la incógnita. 3. Cardano y la Matemática Recreativa El juego de los anillos chinos o Baguenaudier El juego de los anillos chinos, conocido también como baguenaudier, es un juego mecánico construido con un número determinado de  anillas del mismo tamaño montadas sobre una horquilla y ligadas entre sí por unos hilos (alambres, varillas, etc.), tal como se indica en la figura adjunta. El primer testimonio que existe en Europa sobre los anillos chinos se encuentra en el manuscrito De Viribus Quantitatis, escrito por Luca Pacioli (1445-1517) entre 1496 y 1508. Unos años más tarde, Cardano se ocupó  del baguenaudier en el libro XV de su obra De subtilitate (1550). Por este motivo, el rompecabezas chino también se conoce con el nombre de Anillos de Cardano. Trasvases Practica Arithmetice, cap. 65, probl. 33 El problema propuesto por Hieronimus se puede formular en los siguientes términos: Una vasija llena contiene 8 onzas de bálsamo. ¿Cómo pueden dividirse las 8 onzas en dos partes iguales utilizando dos vasijas de 3 y 5 onzas, respectivamente? En esencia, la solución de Girolamo es la que se muestra en el cuadro siguiente: Los maridos celosos Practica Arithmetice, cap. 66, probl. 73 Entre los problemas de traslados dificultosos, el de los maridos celosos fue tratado por Tartaglia, por  Claude Gaspar Bachet de Meziriac (1581-1638) y por otros autores. Tres hermosas mujeres estaban casadas con tres hombres jóvenes, guapos y galantes, pero también celosos. Un día, mientras daban un paseo, llegaron a la orilla de un río. Para cruzarlo disponían de un bote cuya capacidad máxima era para dos personas. ¿Cómo lograron cruzar el río, si ninguna mujer podía quedar en compañía de ningún hombre a menos que su marido estuviera presente? Cardano lo incluyó en su Practica Arithmetice y su resolución se esquematiza en el diagrama adjunto donde se designa por M1, M2 y M3 a cada uno de los maridos y por E1, E2 y E3 a sus respectivas esposas. Cuadrados mágicos Se llama cuadrado mágico de orden n a un cuadrado formado por n2 números naturales diferentes tales que los n números de cada fila, columna o diagonal, tienen la misma suma a la que se llama constante mágica del cuadrado. Un cuadrado mágico de orden n se llama normal si los números que lo forman son los n2 primeros números naturales. A lo largo de la historia los cuadrados mágicos han atraído a un gran número de matemáticos eminentes tales como Thabit ibn Qurra (s. IX), Michael Stifel (ca. 1486-1567), Pierre de Fermat (1601-1665) y Leonhard Euler (1707-1783). Gerónimo tampoco pudo sustraerse a esta atracción y, en el capítulo 42 de su Practica Arithmetice, presentó siete cuadrados mágicos normales asociados a algunos cuerpos celestes (Luna, Mercurio, Júpiter, Sol, Saturno, Venus y Marte). Las constantes mágicas de los cuadrados asociados a la Luna, Mercurio, Júpiter, Sol, Venus y Marte son, respectivamente, 15, 34, 260, 111, 369, 65 y 175. Hagamos notar que la primera fila del cuadrado mágico de Saturno debe ser 37, 78, 29, 70, 21, 62, 13, 54, 5. Practica Arithmetice,cap. 42 Referencias bibliográficas CARDANO, G. (1991). Mi vida. Madrid: Alianza Editorial. CARDANO, G. (1993). Ars Magna or the rules of Algebra (Translated by T. Richard Witmer). New York: Dover. GRINSTEAD, C. M. & SNELL, J. L. (1997). 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Miércoles, 10 de Junio de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

25. Eratóstenes de Cirene (276-194 a.n.e.)

Eratóstenes nació en Cirene, ahora llamada Shahat en el Norte de Africa, en Libia. Estudió luego en Atenas lo que sería un antiguo equivalente a una formación universitaria. Cuando tendría unos treinta años fue llamado a Alejandría por el rey Ptolomeo III Evergertes, probablemente por recomendación del poeta Calimaco, también natural de Cirene, que trabajaba en la Biblioteca. Fue tutor del príncipe heredero, el futuro Ptolomeo IV Philopator y mantuvo siempre una cercana relación con la casa real. Alrededor del 235 aC, fue nombrado bibliotecario de la gran Biblioteca del Museo, donde permaneció unos 45 años hasta su muerte. La Biblioteca de Alejandría había sido planeada por Ptolomeo I Soter y llevada a cabo por su hijo Ptolomeo II Philadelfo. El Museo era un lugar donde florecía una actividad intelectual, poética, musical o científica. El nombre viene porque las hijas de Zeus, las nueve musas, siendo al principio fuentes de inspiración de los poetas épicos, después lo fueron de todos los poetas y los músicos y finalmente de todos los hombres de letras, filósofos y científicos. Anteriormente, el mismo Platón en su Academia o Aristóteles después en su Liceo tenían unos jardines con un pequeño templo para el culto de las musas, el Museo. Eratóstenes fue uno de los más notables eruditos de su tiempo, con actividades intelectuales muy variadas. Trabajó en geografía, astronomía, matemáticas, filosofía, cronología, gramática, crítica literaria y también fue poeta. Sus compañeros le llamaban el “pentalos”, el atleta capaz de tomar parte en cinco pruebas distintas. Probablemente porque trabajó en tantos campos, se le llamada también el “beta”, lo cuál se puede interpretar como que una persona que ocupa su tiempo en demasiadas cosas no puede ser excelente en cada una de ellas. Sin embargo fue un estudioso realmente brillante y uno de los grandes sabios de la antigüedad. Arquímedes, aunque pasó la mayor parte de su vida en su ciudad de Siracusa, parece ser que estudió de joven en Alejandría, donde conoció e hizo amistad con Eratóstenes. Arquímedes le dedicó después su libro “El Método” y le mandó el llamado problema bovinum o problema de los bueyes, para que lo transmitiera y diera a conocer a los matemáticos alejandrinos. Desafortunadamente no nos ha llegado ningún texto intacto de Eratóstenes. Conocemos su obra por la multitud de fragmentos diseminados en las obras de autores posteriores. En sus últimos años, cuando era ya octogenario, se dice que se volvió ciego y que murió por suicidio dejando de comer.

Martes, 18 de Noviembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más

26. Euclides de Alejandría (300 a.n.e.)

Euclides ha sido el matemático griego clásico por antonomasia y su nombre aún es, quizá, el más popular en la larga y poblada historia de las matemáticas. Pero nadie ha sabido resumir mejor que E. M. Forster la ocultación de su persona bajo el personaje: «Nada sabemos de él. A decir verdad, hoy lo consideramos como una rama del saber más que como hombre» (Alejandría. Sección I, E, [i]. Barcelona, Seix Barral, 1984; p.64). Euclides pasa por ser, en dos palabras, la geometría: la geometría clásica griega, en términos más precisos. Es una identificación que debe a sus Elementos, la obra más editada nunca tras la Biblia según quienes llevan estas cuentas. Luego veremos que ni Euclides, ni los Elementos son sólo geometría. En todo caso, entre los polígrafos antiguos, Euclides ya daba nombre a esta disciplina y él mismo pasaba a ser conocido por el mero apodo de “el elementador (el autor de los Elementos)”. Bueno, si oyen de alguien que haya desaparecido, soterrado bajo el peso del éxito de su propio best-seller, piensen en Euclides. La referencias más dignas de crédito lo sitúan, en el tiempo, entre la generación de los discípulos directos de Platón (muerto en 347) y la de Arquímedes (nacido hacia 287); en el espacio, cerca del rey Tolomeo I Sóter –del que era “comensal [parásitos]”, escribe Ateneo (s. II d.n.e.)–, en Alejandría, donde al parecer creó escuela. Según Proclo: «No mucho más joven [que Hermótimo de Colofón y Filipo de Medma, discípulos de Platón] es Euclides, quien compiló los elementos poniendo en orden varios teoremas de Eudoxo, perfeccionando muchos resultados de Teeteto y dando así mismo pruebas incontestables de aquello que sus predecesores sólo habían probado con escaso rigor. Vivió en tiempos del primer Tolomeo, pues Arquímedes, que vino inmediatamente después, menciona a Euclides» (In I Euclidis Elementorum librum commentarii, 68.6-14).

Miércoles, 19 de Noviembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más

27. Eudoxo de Cnido (en torno a 400-347 a.n.e.)

Fue el matemático griego más notable del s. IV a.n.e. No sólo fundó la astronomía matemática, sino que contribuyó decisivamente a la teoría de la proporción y al método de “convergencia” (o, peor llamado, de “exhausción”). Nació en Cnido -en la península hoy de Reşadiye, Turquía- en un medio familiar relacionado tal vez con la medicina: al menos, fueron médicos quienes tutelaron sus primeros viajes. Pertenece a la saga de los antiguos sabios viajeros, no siempre fiable a propósito de viajes concretos, pero reveladora de la transmisión y comunicación de conocimientos por el Mediterráneo desde las costas orientales y Egipto hasta la Magna Grecia. Según esta tradición, Eudoxo estudió matemáticas con Arquitas, en Tarento, y medicina con Filistio en Sicilia. Luego visitó Atenas y pudo asistir a la recién creada Academia de Platón. Tras una breve estancia en Atenas, volvió a su ciudad natal, y desde allí, provisto de una carta de presentación ante el faraón Nectanebo I, partió hacia Egipto para estudiar durante más de un año astronomía con los sacerdotes de Heliópolis, al tiempo que iniciaba sus propias observaciones astronómicas en un observatorio relativamente cercano. Él mismo, al parecer, llegó a disponer más tarde de un observatorio en Cnido desde el que pudo observar la estrella Canopea. Tiene acreditados dos títulos, Espejo y Fenómenos, quizá referidos a dos versiones de una obra que, según Hiparco, describía las constelaciones y procuraba fijar las bases de un calendario astronómico, así como un tercero, Sobre velocidades, que da nombre a un tratado astronómico-geométrico. También se le atribuye, sin mucho fundamento, otro libro calendárico sobre el ciclo de 8 años, Octaeteride, e incluso la invención de un astrolabio. Lo cierto es que el Arte de Eudoxo, un tratado en papiro de confección muy posterior, recoge informaciones de este género que pueden proceder en buena parte de algunos escritos suyos hoy perdidos.

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28. Euler, Leonhard (1707-1783)

“Leed a Euler, es el maestro de todos nosotros”, Pierre Simón de Laplace. En el 2007 se cumplen 300 años del nacimiento del matemático más prolífico de toda la historia. A lo largo de su dilatada vida científica amplió las fronteras de las matemáticas en todas sus ramas, y no sólo las fronteras de las matemáticas, su actividad creadora se extiende por la casi totalidad de las ciencias. Su influencia impregna todas las materias científicas a lo largo del siglo XVIII. Sin su figura las matemáticas serían otras. Sin embargo, Euler es aún un genio por descubrir. Este es un pequeño homenaje a su amor por las matemáticas y a su enorme creatividad. Leonhard Euler nació en Basilea el 15 de abril de 1707, su padre Paulus Euler, pastor calvinista, quería que Leonhard, siguiera sus pasos en los estudios teológicos, así que lo inscribió en la universidad de Basilea para cursar estudios de teología, humanidades clásicas y lenguas orientales, pero la vocación de Euler se enfocaba hacia las matemáticas. Tanto que consiguió recibir unas clases particulares especiales del propio Johann Bernoulli, quien reconoció desde el principio el talento del joven Euler y debió mediar ante su padre para que estudiase una carrera de carácter científico en lugar de teología. El propio Euler lo cuenta en su autobiografía: “Pronto tuve la oportunidad de ser presentado al famoso profesor Johann Bernoulli. Estaba realmente muy ocupado, y así rehusó de plano darme lecciones particulares, pero me dio en cambio consejos mucho más valiosos para comenzar a leer por mi propia cuenta libros de matemáticas más difíciles y estudiarlos con toda la diligencia que pudiera. Si me encontraba con algún obstáculo o dificultad tenía permiso para visitarle con plena libertad todos los sábados por la tarde...” Así Euler acabó estudiando medicina, astronomía y filosofía natural. Comenzó a publicar con tan solo 19 años; su primera memoria Constructio lincarum isochronarum in medio quocunque resistente impresionó a Johann Bernoulli. Quizás animado por él, Euler, que no había visto un barco de vela en su vida, presentó a la Academia de París, con tan solo veinte años, una memoria sobre la distribución óptima de mástiles y velas en los barcos. En estos escritos ya se vislumbra  la manera  original y creativa, que tenía Euler,  para  resolver  cuestiones y problemas científicos. En esta ocasión no obtuvo el premio que concedía la Academia, tan sólo una mención honorífica. Pero la Academia acabaría rendida a los méritos de Leonhard concediéndole hasta doce premios a lo largo de su vida. En 1727, recién cumplidos los 20, Euler opta a la cátedra de filosofía natural de la universidad de Basilea, con un trabajo sobre el sonido, Dissertatio physica de sono, pero es rechazado por su juventud.

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29. Everest Boole, Mary (1832-1916)

Mary Everest Boole nació en Inglaterra en 1832, hija del reverendo Thomas Roupell Everest y de Mary Ryall. Cuando Mary tenía cinco años, la familia se mudó a Poissy (Francia) para que Samuel Hahnemann, el fundador de la medicina homeopática, tratase a Thomas de una grave enfermedad. Aunque el crecer en Poissy le dio a Mary la oportunidad de ponerse en contacto con una cultura e idioma diferentes, su vida resultaba a veces difícil y solitaria. Por ejemplo, era duro para la familia Everest, que provenía de la tradición de un reverendo inglés, vivir en un pueblo católico francés. El primer idioma que aprendió Mary fue el francés y luego dominó el inglés. El Dr. Everest creía fervientemente en la homeopatía, un sistema médico cuyo objetivo era promover la salud y prevenir la enfermedad. Algunos clientes de la homeopatía eran extremistas y llegaban a darse baños en agua congelada para aumentar la resistencia a las enfermedades. Fue durante el proceso de curación del Dr. Everest cuando Mary estuvo muy cerca de él, participando incluso en alguno de los tratamientos homeopáticos. Fue el tío de Mary, George Everest, quien hizo famoso el nombre de la familia. El Coronel Sir George Everest era el Topógrafo General de India y pasó veinte años en este país. Era el responsable de completar la medición trigonométrica de India a lo largo del arco meridiano desde el sur de India hasta el norte de Nepal. El finalizar la medición de India permitió la posterior medición del Monte Everest (en ese tiempo sin nombre propio) y calcular la altura de su cima. Más tarde se le llamó Monte Everest en honor a George Everest. Mary y su tío George estaban muy unidos y George había pensado incluso adoptarla, pero Mary amaba demasiado a sus padres como para admitir la adopción.

Jueves, 20 de Noviembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más

30. Fermat, Pierre de (1601-1665)

[17 de agosto de 1601, Beaumont-de-Lomagne (Tarn et Garonne). 12 de enero de 1665, Castres (Tarn).] Fermat nació el mismo año que el siglo XVII y aunque sus contribuciones matemáticas nunca fueron publicadas en vida, fueron de tal calidad  que la relativamente modesta difusión que tuvieron entre la comunidad científica europea fue suficiente como para que su siglo le recuerde como uno de sus mejores hijos. Y eso que el diecisiete fue un siglo pródigo en matemáticos/científicos de primera fila: Descartes, Leibniz, Newton, Jacobo y Juan Bernoulli, Huygens, Galileo, Torricelli, Cavalieri, Wallis, etc. La lista se haría interminable. Y, como es lógico, tanta materia gris no podía dejar de producir  matemáticas de primera calidad. Tanta, que la producción del diecisiete marcaría un antes y un después. En el diecisiete la matemática se empezó a consolidar como una ciencia independiente, más o menos en las líneas que hoy la conocemos. Fermat contribuyó decisivamente a ello. Además del álgebra, la geometría analítica y el cálculo, otras ramas de la matemática empezaron a cultivarse en ese siglo: por ejemplo, la teoría de números (en el sentido moderno) y el cálculo de probabilidades. En esas dos ramas, Fermat tuvo algo que decir. En teoría de números, mucho. Hay quien le considera el padre de la teoría de números moderna. En ese terreno, su famoso Gran Teorema (o Último Teorema como los anglosajones le llaman) le ha dado la fama universal de la cual era mucho más merecedor por sus contribuciones al álgebra, a la geometría y al cálculo. Fermat nació cerca de Toulouse, en un pueblo llamado Beaumont-de-Lomagne (entonces parte de la Gascoña y hoy en el departamento de Tarn et Garonne). Vivió en Toulouse y murió también muy cerca, en Castres (Tarn). Durante toda su vida casi no se movió de la región. Su familia tenía una buena posición económica y social. Su padre era un rico comerciante y su madre pertenecía a una familia de la nobleza local. Tuvo un hermano y dos hermanas. Fermat, probablemente, se crió en su pueblo natal y fue educado en un cercano monasterio franciscano hasta que ingresó en la Universidad de Toulouse. Sin que se sepa la razón, interrumpió sus estudios en Toulouse y, durante unos años, vivió en Burdeos, donde contactó con algunos matemáticos que conocían bien la herencia de Vieta: Beaugrand, d’Espagnet… Ahí se formó en el álgebra y el simbolismo de Vieta que tan útiles le serían más adelante. De esos años data su primera producción matemática: la restitución del libro perdido de las Cónicas de Apolonio: Plane Loci y los primeros trabajos sobre máximos y mínimos. Después de la etapa en Burdeos reingresó en la universidad, esta vez en Orléans, donde obtuvo su título en Leyes hacia 1631, año en que se instala en Toulouse en calidad de consejero del Parlamento de Toulouse. Ese mismo año se casa con una prima lejana, Louise de Long, que pertenece a la familia de alcurnia de su madre ligada a la noblesse de robe. Fermat añade el “de” a su apellido. El matrimonio Fermat tuvo cinco hijos, dos varones y tres hembras. El hijo mayor, Clément-Samuel heredaría el interés de su progenitor por las matemáticas, aunque no su genialidad. A Clément-Samuel le debemos la edición y publicación  de las obras completas de su padre en 1679. La vida de Fermat transcurre de una manera muy tranquila en Toulouse; profesionalmente va obteniendo promociones de manera que ingresa en la cámara alta del parlamento de Toulouse en 1638 y accede a la corte suprema en 1652. En esa época va regularmente a Castres a ejercer de magistrado. Castres, en el siglo XVII albergó uno de los tribunales establecidos por el Edicto de Nantes para dar un tratamiento justo a los hugonotes en sus litigios. Estos tribunales tenían un determinado número de magistrados católicos y protestantes. Fermat ocupó en diversas ocasiones una plaza del cupo católico. De hecho murió en Castres pocos días después de terminar de juzgar un caso. En Toulouse reanudó sus contactos con personajes ligados a la matemática. Uno de los más relevantes para el futuro de Fermat fue Monsieur de Carcavi, colega suyo en el parlamento pero también matemático aficionado. Carcavi se trasladó a Paris en 1636 donde contactó con el Padre Mersenne, el personaje que, mediante su abundante correspondencia haría  las veces de centro difusor de la ciencia en la Francia del XVII. Mersenne se interesó inmediatamente en los trabajos de Fermat gracias a la descripción que le hizo Carcavi de estos y empezó a cartearse con él. Inicialmente el interés de Mersenne se centró en algunos comentarios de Fermat sobre la caída libre de graves, tema en el que Fermat objetaba a la descripción de Galileo. Rápidamente Fermat informó a Mersenne sobre su trabajo sobre espirales (motivado por sus estudios sobre caída libre) y sobre su restitución del libro perdido de Apolonio. También en esa época Fermat anuncia a Mersenne que está en posesión de “diversos análisis para diversos problemas tanto numéricos como geométricos para cuya solución el análisis de Vieta es insuficiente.” De hecho, a principios de 1636 Fermat había concluido su Ad locos planos et solidos isagoge [Introducción a los lugares planos y sólidos], donde mediante el lenguaje algebraico de Vieta estudia las curvas que se pueden expresar mediante ecuaciones de primero y segundo grado y establece que son precisamente la recta y las cónicas. También establece que, en general, una curva tiene una ecuación y que una ecuación algebraica representa siempre una curva. Por esa razón se atribuye a Fermat una cierta prioridad sobre la creación de la Geometría Analítica frente a Descartes que publicó su Geometria en 1637. En el mismo cruce de cartas con Mersenne, Fermat no puede resistir la tentación de incluir un par de problemas sobre máximos y mínimos para que Mersenne los divulgue a modo de desafío entre la comunidad matemática. Fermat dispone de su Methodus ad disquirendam maximam et minimam et de tangentibus linearum curvarum [Método para determinar máximos y mínimos y trazar tangentes a líneas curvas], que le permite resolver este tipos de problemas de manera muy general. Su enfoque se basa en dos hechos: 1) en un máximo o mínimo la tangente a la curva es paralela al eje de abscisas (en lenguaje actual) y en consecuencia el valor de la función en ese punto ha de ser único (con relación a sus vecinos); 2) los valores cercanos al extremo han de ser alcanzados como mínimo dos veces por la función, un poco antes del extremo y un poco después. Comparando pues el valor de la función en el extremo, f(a), con un valor muy cercano, f(a+e), donde e es una cantidad muy pequeña, esos valores han de ser prácticamente iguales, se pueden adigualar, en lenguaje de Fermat. De ese proceso de adigualación se obtiene una ecuación que, una vez eliminado el valor e por ser despreciable, permite calcular a. De hecho Fermat llega a la ecuación que hoy en día escribimos como f’(x)=0. Por eso se le considera también precursor del cálculo diferencial aunque su proceso de adigualación está lejos de las ideas de límite que más tarde entraran en escena. Obviamente Fermat solo trata este tipo de problemas en funciones algebraicas. Los problemas de máximos y mínimos que Fermat ha planteado a Mersenne son de  tal dificultad que Mersenne pide a Fermat la divulgación de sus métodos. De esta manera los escritos de Fermat sobre el tema, antes mencionados, empiezan a circular estableciendo al  mismo tiempo su reputación como matemático de primera fila. Roberval, Mersenne y otros matemáticos de la época le instan a que publique sus resultados, a lo cual Fermat se niega. De hecho, en vida sólo publicó un trabajo y hubo que esperar a 1679 a que su hijo mayor publicase su obra. No está clara la razón de la negativa de Fermat a publicar. Por un lado Fermat se consideraba sólo un aficionado dado que no se dedicaba por entero a la matemática. Y por otro lado, Fermat era consciente de que para publicar sus resultados, debería ser mucho más claro y didáctico en sus explicaciones, lo que le acarrearía mucho trabajo adicional y consumiría una parte importante del tiempo que podía dedicar a la investigación. Aunque su fama crece en Europa, no todo es de color de rosa. A principios de 1637, su amigo Beaugrand le manda una copia del manuscrito (aún no publicado) de la Dióptrica de Descartes. Fermat, enfrascado en una intensa correspondencia con Roberval y Étienne Pascal sobre métodos de cuadratura y su aplicación a la determinación de centros de gravedad, le presta poca atención hasta que Mersenne, preocupado por la indiscreción de Beaugrand (quien había obtenido la copia de manera poco ortodoxa), le pide que no divulgue a nadie más que a él mismo sus comentarios sobre el trabajo de Descartes. Fermat contesta a Mersenne de una manera bastante ingenua (no conocía a Descartes ni sabía nada del Discurso del Método ni del mal carácter del filósofo) señalando errores en la deducción de la ley de la reflexión y de la refracción y calificando la obra en general como un simple intento de hallar la verdad “a tientas entre las tinieblas”. Se ofrece incluso para echar una mano en la clarificación de algunos problemas. Mersenne, consciente de la delicada situación, guardó la carta de Fermat durante unos meses hasta que, ante la insistencia de Descartes para que le comunicase cualquier crítica a la Dióptrica, se la mandó. La reacción de Descartes a la crítica de Fermat fue, al principio paternalista. Fermat no había entendido sus métodos. Mientras tanto, Fermat había obtenido una copia de la Geometria y se apresuró a mandar a Mersenne sus trabajos sobre el tema, para demostrar al menos la independencia de sus descubrimientos. Mersenne, mostrando nuevamente poco tacto, le envía esos trabajos a Descartes quien enfurece y emprende un ataque sin cuartel contra el “aficionado de Toulouse.” La controversia se extiende al método de trazado de tangentes y el método para hallar máximos y mínimos. Después de un sinfín de cartas (aderezadas con el poco tacto de Mersenne) Descartes termina por retar a Fermat a usar su método para trazar las tangentes a una curva de su invención, el folio, con una ecuación implícita de tercer grado, x3+y3=pxy. La respuesta de Fermat con el cálculo de las tangentes al folio obliga a Descartes a admitir que el método de Fermat es superior al suyo y, a regañadientes, le  reconoce una cierta talla intelectual aunque le sigue atacando en privado. La irritación que Fermat producía en Descartes queda muy bien reflejada en una frase de este último: “Fermat es gascón. Yo no.” Durante los últimos años de la década de los 30 y los primeros de la década de los 40, Fermat sigue trabajando en su método de máximos y mínimos aplicándolo a varios problemas diferentes y también intenta generalizar, sin mucho éxito, su geometría analítica a tres dimensiones. Su Isagoge ad locos ad superficiem de 1643 recoge sus ideas al respecto. Del mismo año, 1643, data su famosa carta a Brûlart, donde Fermat resumiría de manera bastante clara su método para determinar máximos y mínimos y su cálculo de tangentes. La década 1645-1655 fue una década dura para Francia, sacudida por la guerra civil y por una epidemia de plaga que en 1651 estuvo a punto de costar la vida a Fermat. De hecho Fermat fue dado por muerto por algunos de sus colegas. En ese período, Fermat produce poco y  mantiene poca correspondencia. No es hasta 1655 que Fermat recupera el ritmo de trabajo. De finales de los años 50 datan algunos de los trabajos más importantes de Fermat, en parte recopilaciones de trabajos anteriores, en parte nuevas ideas. De esa época son su Tratado de cuadraturas y su Tratado sobre rectificación de curvas y su famosa demostración de la ley de refracción basada en su principio del tiempo mínimo, expresado como una ley natural: “la naturaleza siempre actúa por el camino más corto”. Pero el tema que ha de dar a Fermat fama universal es  la teoría de números. Su interés por los números enteros y sus maravillosas propiedades había empezado en la década de los 1630 cuando Fermat leyó la traducción de Bachet de la Aritmética de Diofanto. En el estrecho margen justo al lado del problema 8 del libro II: “Dado un número que sea un cuadrado, descomponerlo como suma de otros dos números cuadrados”,  Fermat escribió su famosa conjetura: la ecuación xn + yn = zn no tiene soluciones enteras positivas para n>2. En sus propias palabras: ... [E]s imposible que un cubo se pueda expresar como una suma de dos cubos o que una potencia cuarta se escriba como una suma de potencias cuartas o, en general, que un número que sea una potencia de grado mayor que dos se pueda descomponer como suma de dos potencias del mismo grado. He encontrado una demostración verdaderamente maravillosa de este resultado pero este margen es demasiado estrecho para contenerla. La creencia actual es que Fermat  había demostrado el teorema para n=4 (y quizás también para n=3) y creía que podía generalizar su demostración para cualquier valor de n. La demostración del caso n=4 utilizaba otro gran descubrimiento de Fermat, el método de descenso infinito. Esencialmente el método consiste en demostrar la imposibilidad de una proposición que depende de un entero positivo n, probando que si hubiese algún valor estrictamente positivo que hiciese verdadera la proposición, existiría otro valor también estrictamente positivo que la haría verdadera pero estrictamente inferior al anterior. El Gran Teorema de Fermat para el caso  n=3 fue demostrado 100 años más tarde por Euler, también con la ayuda del método del descenso infinito. El siglo XIX vio la demostración de algunos casos particulares más a cargo de grandes matemáticos como Lejeune-Dirichlet, Legendre, Lamé y Sophie Germain. No sabremos nunca si Fermat realmente disponía de una demostración maravillosa para cualquier valor de n. Pero en cualquier caso, el reto de demostrar el Gran Teorema de Fermat había empezado con aquella nota garabateada en el margen de un libro. La aventura terminaría 350 años más tarde cuando, en 1994, Andrew Wiles publicó la demostración del Gran Teorema de Fermat. Por el camino habían pasado una legión de matemáticos de todas las categorías y especialidades (sería difícil hallar un matemático que en algún momento de su vida no haya dado alguna vuelta al teorema). Los intentos de demostración aportarían también grandes contribuciones a las matemáticas (la teoría de ideales de Kummer por citar sólo un ejemplo). Antes de la demostración de Wiles, Gerd Faltings había conseguido (en 1983) un resultado que acotaba totalmente las soluciones de la ecuación de Fermat. Faltings demostró que para cada valor de n, la ecuación xn+yn=zn tiene, a lo sumo, un número finito de soluciones enteras (de hecho Faltings demostró lo que se conocía como la Conjetura de Mordell sobre curvas algebraicas que implicaba el Gran Teorema de Fermat). La demostración de Wiles, sin embargo, no sigue el camino que había iniciado Faltings sino que da una enorme vuelta. Se basa en la conjetura Taniyama-Shimura (de hecho Wiles se limita a demostrar esta conjetura) que relaciona de manera espectacular dos campos de las matemáticas completamente alejados el uno del otro: la teoría de formas modulares y las curvas elípticas. Para conocer más a fondo la apasionante historia del Gran Teorema, los libros de RIBENBOIM [7] y SINGH [8] y constituyen una lectura amena al alcance de todos. Para una historia mucho más técnica, se pueden consultar el artículo de COX [17] o el libro de EDWARDS [4]. El enorme interés de Fermat por los números enteros era una novedad en la Europa del siglo XVII. Nadie tenía demasiado interés en perder el tiempo explorando propiedades de números enteros que no tenían ninguna aplicación directa. Sólo un par de problemas clásicos atraían la atención de los matemáticos de la época: el estudio de números perfectos (aquellos que son iguales a la suma de sus divisores, exceptuando ellos mismos) y la caracterización de las ternas pitagóricas (tripletes de números enteros (x,y,z) que satisfacen el teorema de Pitágoras x2+y2 = z2). Como consecuencia del interés de Fermat en el primero de esos problemas, Fermat descubrió el que se conoce hoy en día como el Pequeño Teorema de Fermat, una verdadera joya en teoría de números. En términos modernos dice que si p es un número primo y a es primo con p, entonces ap≡a (mod p). No deja de ser paradójico que Fermat sea recordado por su Gran Teorema, en gran parte estéril porque ningún resultado importante se deduce de él, y no por su Pequeño Teorema que es crucial en álgebra y en la teoría de números moderna y sus aplicaciones, como es por ejemplo, la moderna criptografía, base de la seguridad de las transmisiones en Internet. El segundo problema, la caracterización de las ternas pitagóricas, conduce a Fermat a su interés por las descomposiciones de potencias y problemas como la descomposición de los primos de la forma 4n+1 como suma de dos cuadrados (de manera única), la descomposición de un entero positivo como suma de cuatro cuadrados y la resolución de diferentes ecuaciones diofánticas de segundo grado. La más famosa es la ecuación diofántica conocida como ecuación de Pell o ecuación de Pell-Fermat. Se trata de la ecuación x2-Ny2=1, donde N no es un cuadrado perfecto. Excluyendo la solución trivial (1,0), Fermat conjeturó la existencia de infinitas soluciones enteras positivas para cualquier valor de N (no cuadrado perfecto) y retó a los matemáticos europeos a demostrarlo. El problema fue parcialmente solucionado por Wallis y Brouncker  mediante el desarrollo en fracción continua de √N. Sería completamente solucionado por Lagrange en 1771. El libro de Barbeau [3] es una excelente referencia para este tema. Fermat es famoso también por los números primos que llevan su nombre, los de la forma 2²n + 1. Los primeros números de esta forma: 3, 5, 17, 257, 655537, son primos. El siguiente es ya un número respetable, 4 294 967 297 y no es fácil, usando sólo lápiz y papel, averiguar si es primo o no. De hecho, Fermat no tuvo suficiente paciencia para comprobarlo. Si la hubiera tenido hubiese obtenido (como más tarde hizo Euler) que 4294967297= 641 · 6700417. Sin embargo tuvo la osadía de conjeturar que todos los números de la forma 2²n + 1 eran primos. Esta conjetura le tuvo en jaque toda su vida, ya que en varias ocasiones se lamentó de no haber podido obtener su demostración. Vale la pena comentar que no se han hallado otros primos de Fermat además de los cinco primeros y aún no se ha demostrado que existan más. Los últimos años de Fermat aún ven la luz de otra contribución importante: el cálculo de probabilidades. El joven Blaise Pascal, hijo de Étienne con quien Fermat había correspondido a través de Mersenne, le propone a Fermat un problema sobre la repartición justa de las apuestas si una serie de partidas se interrumpen antes de llegar al final acordado. Concretamente, ¿cómo hay que repartir una apuesta de 64 monedas para el primero de dos jugadores que gane 3 partidas si el juego se interrumpe antes de que nadie haya ganado? (Se supone que ambos jugadores tienen, en cada partida, las mismas oportunidades de ganar). Pascal y Fermat intercambian una serie de cartas sobre el tema que puede considerarse como el inicio del moderno cálculo de probabilidades. Los dos llegan al mismo resultado por caminos diferentes: Pascal intuye el resultado mediante una recurrencia, pero se ve obligado a utilizar el cálculo combinatorio y el uso de su Triángulo Aritmético (Triángulo de Pascal) para demostrarlo mientras que Fermat usa directamente el cálculo combinatorio. Hacia 1660, la salud de Fermat empieza a flaquear. Por motivos de salud, tiene que posponer un encuentro con Blaise Pascal quien también se encuentra enfermo (de hecho muere dos años más tarde). Su actividad matemática decae casi completamente y en enero de 1665 muere en la ciudad de Castres donde pocos días antes ha asistido a la sesión del tribunal del Edicto. Eric T. Bell, en sus famosas biografías de matemáticos [Men of Mathematics, Simon and Schuster, Nueva York,1965 (1ª edición de 1937)] calificó a Fermat como el “Príncipe de los amateurs”. Y aunque es cierto que las matemáticas para Fermat fueron solamente un “hobby”, también es cierto que sus contribuciones fueron de primera categoría y dignas del mejor profesional. Su reticencia a publicar y a explicarse mejor hicieron que muchas de sus contribuciones fueran poco comprendidas y que algunas pasasen incluso desapercibidas pero hay que reconocer que, al menos en el campo de la teoría de números, creó problemas nuevos y creó instrumentos nuevos para abordarlos. Este fue su principal legado para la posteridad. Bibliografía: Biografías [1] MAHONEY, M. S., The Mathematical Career of Pierre de Fermat, 1601-1665. Princeton University Press, Princeton, 2ª ed., 1994. (1ª ed., 1973). [2] TORRECILLAS JOVER, B., Fermat. El mago de los números, Núm. 2 Col. La matemática y sus personajes, Nivola libros y ediciones S.L., Madrid 1999. Libros [3] BARBEAU, EDWARD J., Pell's equation, Springer-Verlag, Nueva York, 2003. [4] EDWARDS, H. M., Fermat’s Last Theorem. A Genetic Introduction to Algeraic Number Theory. [Reimpresión corregida del original de 1977], Springer-Verlag, Nueva York, 1996. [5] FERMAT, P. de, Oeuvres de Pierre Fermat, 4 vols. más suplemento, Tannery, P., Henry, C., editores.  Gauthier--Villars, París, 1894-1912. [6] ITARD, JEAN, Pierre Fermat, Suplementos de la revista Elemente der Mathematik, 10,  Birkhäuser Verlag, Basel,1979. [7] RIBENBOIM, PAULO, Fermat's last theorem for amateurs, Springer-Verlag, Nueva York, 1999 [8] SINGH, S., El enigma de Fermat,  Planeta, Barcelona, 1997. Artículos [9] Adminet France. Beaumont de Lomagne http://www.cdg82.fr/beaumont/ (seguir el enlace Pierre de Fermat). [10] ALBIS GONZÁLEZ, VÍCTOR SAMUEL, “El señor de Fermat y sus problemas. I”, Boletín de  Matemáticas 7 (1973),  219-232. [11] ALBIS GONZÁLEZ, VÍCTOR SAMUEL, “El señor de Fermat y sus problemas. II”, Boletín de  Matemáticas 8 (1974),  198-210. [12] ALBIS GONZÁLEZ, VÍCTOR SAMUEL, “El señor de Fermat y sus problemas. III”, Boletín de  Matemáticas 10 (1976),  86-95. [13] ANDERSEN, KIRSTI,  “The mathematical technique in Fermat's deduction of the law of refraction”, Historia Math. 10 (1983),  48-62. [14] BEATO SIRVENT, JESÚS, “El último teorema de Fermat. Diario de una conquista”, Epsilon. Revista de la Sociedad Andaluza de Educación  Matemática ``Thales', 15 (1999),  97-120. [15] BOYER, Carl B., “Fermat and Descartes”, Scripta Math. 18 (1952), 189-217 (1953). [16] BREGER, HERBERT, “The mysteries of adaequare: a vindication of Fermat”, Arch. Hist. Exact Sci. 46 (1994), 193-219. [17] COX, DAVID A., “Introduction to Fermat's last theorem”, Amer. Math. Monthly 101 (1994),  3-14. [18] DUHAMEL, J. M. C., “Mémoire sur la méthode de maxima et minima de Fermat et sur les méthodes des tangentes de Fermat et Descartes”, Mémoires de l'Académie des Sciences de l'Institut Impérial de France 32 (1864),  269-330. [19] HOFMAN, J. E., “On a problem of Fermat in the theory of numbers. (Determination of a Pythagorean triangle in which the hypotenuse and the sum of the sides are perfect squares)”, Rev. Mat. Hisp.-Amer. 29 (1969), 13-50. [20] ITARD, J. “Les méthodes utilisées par Fermat en théorie des nombres”, Rev. Hist. Sci. Appl. 3 (1950), 21-26. [21] ITARD, J., “Fermat, précurseur du calcul différentiel”, Arch. Internat. Hist. Sci. 27 (1948), 589-610. [22] MORDELL, L. J.,  “Tres conferencias sobre el último teorema de Fermat”, Lecturas Matemáticas 14 (1993), 1-35. [23] PARADÍS, J., PLA, J., VIADER, P., “Fermat and the quadrature of the folium of Descartes”, Amer. Math. Motnhly ??. [24] RASHED, ROSHDI  “Pierre Fermat et les débuts modernes de l'analyse Diophantienne”, Historia Scientiarum. Second Series. International Journal of  the History of Science Society of Japan 9 (1999), 3-16. [25] RASHED, ROSHDI  “Fermat and algebraic geometry”, Historia Scientiarum. Second Series. International Journal of the History of Science Society of Japan 11 (2001), 1-23 [26] TURNBULL WWW Servidor.

Viernes, 21 de Noviembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico