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ABC, 23 de Abril de 2018 Civilizaciones muy alejadas entre sí crearon construcciones muy similares con las mismas conclusiones matemáticas. El autor explica los motivos y derriba las especulaciones más delirantes Las pirámides, ¿construidas por una civilización alienígena? - Fotolia
El pasado 3 de abril dieron comienzo en el museo de la Ciencia de Valladolid el ciclo de charlas Increíble…, pero falso, dedicadas a explicar científicamente algunas de las creencias, fantasías y suposiciones más difundidas por todo tipo de seudociencias. En su octava edición, y a pesar de la desapacible tarde, el auditorio mostraba un aspecto estupendo con un casi lleno. La conjetura de Kepler Aunque sobradamente conocida por ser una de las cuestiones que, junto al último teorema de Fermat, ha estado siglos planteada, y su enunciado es tan sencillo y cotidiano que se hace difícil pensar que haya tardado tanto en ser resuelta (circunstancia no aceptada además unánimemente), volvamos a recordar en qué consiste. La tradición cuenta que hacia 1611 un marino le pregunta a Johannes Kepler (el mismo que demostró que los planetas describen trayectorias elípticas en su desplazamiento, en lugar de circulares) si sería posible estimar el número de proyectiles de cañón que los buques enemigos podían almacenar. No sabemos si surge así, pero lo que sí es constatable es que Kepler escribió en ese año un artículo titulado De nive sexangula (“Sobre el copo de nieve de seis lados”) en el que trata de explicar por qué los copos de nieve poseen simetría hexagonal. El tema no era nuevo (hay documentos chinos al respecto en el siglo II a. C.) pero el intento de justificación de Kepler sí: en lugar de pensar en el material (la nieve), pone su atención en la estructura, en cómo las partículas que forman los copos se organizan del modo más efectivo posible. En definitiva, fija su atención en las relaciones espaciales que presentan los copos, en su geometría (la base de la cristalografía). Llegamos así a cómo conocemos la conjetura de Kepler: ¿cuál es la forma óptima de apilar esferas del mismo tamaño en tres dimensiones?
Teselaciones del plano Prácticamente desde que el ser humano deja constancia de su existencia, nos encontramos con manifestaciones artísticas (monumentos, objetos cotidianos, utensilios, adornos, etc.) y trascendentes (tumbas) en las que aparecen diferentes elementos geométricos. A veces con intención meramente ornamental, en otros casos pensando en supuestas propiedades ultraterrenales. A medida que pasan los siglos, esas manifestaciones se van “complicando”, seguramente buscando efectos como la belleza, simbologías diversas como hemos dicho, o simplemente la contemplación agradable. Uno de estos nuevos elementos es la simetría. Es lógico. Uno observa la naturaleza, o el propio cuerpo humano, y detecta inmediatamente aspectos simétricos que intenta reproducir por resultarle seguramente diferente, variado. Después, los matemáticos hemos ido clasificando todas estas posibilidades de una manera sistemática y exhaustiva. Si tomamos un motivo básico (una flor, por ejemplo) sin modificar su tamaño ni forma y lo vamos repitiendo a lo largo de una única dirección, obtenemos los frisos o cenefas. Para darlo un poco de variedad podemos hacer simetrías (horizontales o verticales) y giros de 180º, que vamos combinando. Con estas operaciones se configura la estructura de grupo (ya hemos hablado en otras ocasiones de los grupos). Pues bien existen únicamente 7 posibles combinaciones que dan esa estructura de grupo. El ejemplo más simple es la simple traslación de una figura periódicamente. Por ejemplo, la imagen muestra la omnipresente flor de lis en el Colegio de San Gregorio de Valladolid, sede del Museo Nacional de Escultura, y emblema del fundador de dicho colegio, fray Alonso de Burgos (ya se llevaba aquello de la “marca” en el siglo XV), que se repite longitudinalmente. Si en lugar de repetir el motivo en una única dirección, lo hacemos en el plano, en dos dimensiones, es decir, podemos hacer simetrías a lo largo y a lo ancho, tenemos más posibilidades. Manteniendo el patrón sin modificar su forma, respetando ángulos y longitudes, se tienen las llamadas isometrías (etimológicamente, del griego, se traduciría como “misma medida”). Hay (descartando la identidad, es decir, dejar el motivo como está) cuatro isometrías distintas: la traslación, el giro o rotación, la reflexión o simetría y la reflexión con deslizamiento. Los dos primeros son transformaciones directas (no se altera la orientación del motivo; se podrían superponer perfectamente el original y el transformado sin salirnos del plano), y los dos siguientes son transformaciones inversas (porque las simetrías no conservan la orientación; habría que salirse de las dos dimensiones del plano para hacer coincidir el original y el motivo transformado). Con esas transformaciones, existen únicamente 17 grupos de simetría que rellenen (teselen) completamente el plano sin superponer piezas ni dejar huecos. ¿Saben cuándo se demostró que había exactamente 17 y no más? En 1891, gracias a los trabajos del cristalógrafo y matemático ruso Yevgraf Stepánovich Feodorov, haciendo una clasificación exhaustiva. Pues miren la razón es clara. El Islam no permite representaciones humanas en sus decoraciones, por eso siempre juegan con motivos geométricos. Como en el caso del apilamiento de naranjas, todo es fruto del método experimental ensayo-error (mientras no aparezca algún texto que nos confirme que hubieran hecho estudios sobre el tema y llegado a esa conclusión, evidentemente). Y por supuesto, el trabajo y el ingenio de aquellas personas. Porque, volviendo al tema que ha originado estas líneas, como comentó el conferenciante en su charla, somos bastante soberbios pensando que nuestros antepasados eran poco menos que idiotas (etnocentrismo, un defecto muy marcado en nuestra sociedad). Recordemos que los griegos (siglos antes de Cristo), por ejemplo, siguen muy presentes en la actualidad y les debemos gran parte de la filosofía, geometría, política, etc., que aún rige nuestra sociedad. No, no eran idiotas, ni mucho menos, y por ello fueron capaces de determinar, civilizaciones distintas y muy alejadas físicamente, que la rueda es un instrumento mucho más útil para desplazarse que el cuadrado, que la recta es el camino más corto entre dos puntos (en la geometría euclidea, por supuesto, la que rige la mayor parte de nuestra existencia; recuérdese lo del pons asinorum), o que la forma tridimensional más estable, que menor espacio ocupa, y que más esferas recoge es precisamente la pirámide. Aprovechando haber hablado de Thomas Hales, y de las teselaciones, apuntar que el propio Hales también demostró en 1999 que el teselado hexagonal (o de panal de abeja) es la mejor manera de dividir una superficie en regiones de igual área con el mínimo perímetro total (las abejas son muy listas). Era una conjetura vigente desde la Antigüedad también (Marco Terencio Varrón, 36 aC, y Pappus de Alejandria, siglo III d. C.), otro ejemplo de conocimiento probado por experimentación sin extraterrestres por medio que se sepa. Y finalmente, que las teselaciones del espacio (tres dimensiones) también están estudiadas, habiendo 230 grupos de simetría. Todos ellos son temas curiosos, cuya justificación y explicación pormenorizada nos llevaría bastantes páginas, aunque seguramente los tratemos en otra ocasión. Alfonso J. Población Sáez es profesor de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la RSME. El ABCDARIO DE LAS MATEMÁTICAS es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME) |
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