1. (Mayo 2009) Aplicaciones de las curvas elípticas a la criptografía |
Escrito por Carlos Luna y Paz Morillo | ||||
Martes 12 de Mayo de 2009 | ||||
Página 1 de 2 1. Introducción y2 = x3 + αx + β (1)
Donde α y β son dos parámetros que definen la curva y deben cumplir la relación 4α3 + 27β2 = 0. Es necesario, así mismo, añadir un punto más que llamaremos O y que se llamará punto del infinito.
Podemos dibujar con facilidad una curva elíptica sobre R siguiendo los siguientes pasos:
2.2. ¿Cómo se usan las curvas elípticas? La principal propiedad de las curvas elípticas que explota la criptografía es su capacidad para definir, de manera natural, un grupo abeliano sobre el conjunto de sus puntos. Efectivamente, existe una operación binaria interna que es asociativa. Su elemento neutro es el punto del infinito O y si P =(x, y) es un punto de la curva entonces su inverso será −P =(x, −y). Es común referirse al grupo definido por la curva elíptica E como (E(K), +). Dados dos puntos P y Q de E(K), el punto P + Q se obtiene trazando la recta que pasa por P y Q para encontrar un tercer punto de intersección que llamaremos R y posteriormente reflejando este tercer punto respecto el eje de abscisas, así P + Q = −R. Dicho de otra manera, si una recta corta E(K) en 3 puntos P , Q y R, entonces P + Q + R = O (ver Figura 2). En algunos casos concretos la recta cortará E(K) en dos puntos. Si se trata de dos puntos que se hayan sobre la misma vertical tenemos la relación P + Q = O Figura 1: Familia y2 = x3 − 10x + t con t =0, 5, 10, 15, 20 Figura 2: Suma gráfica de dos puntos (i.e. Q = −P ) ya que toda recta vertical corta el punto del infinito O (ver Figura 3). Si por el contrario la recta es tangente a la curva en P y secante en Q lo que sucede es que estamos sumando dos veces el primer punto. Es decir P +P = −Q (ver Figura 4). Figura 3: Suma gráfica de dos puntos Figura 4: Suma gráfica de dos puntos Sea como fuere la suma de puntos está bien definida en E(K) y podemos operar en este grupo con fines criptográficos. |
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