De Tartaglia a Pascal

[Triángulo de Tartaglia, obra realizada en mármol y situada en los "Jardines de Pitágoras", Crotona]

Al verlo por primera vez, muchos estudiantes quedan sorprendidos por la belleza, simplicidad y aplicaciones del triángulo numérico que se construye escribiendo el número uno a lo largo de dos de sus bordes laterales y rellenando el resto de lugares de modo que cada número sea igual a la suma de los dos números que tiene por encima, pudiendo de este modo aumentar su tamaño indefinidamente. Aquí lo conocemos como triángulo de Pascal, en Italia recibe el nombre de triángulo de Tartaglia, en Irán se llama triángulo de Khayyam, en China se trata del triángulo de Yang Hui y en India se denomina escalera del monte Meru, no por tratarse de versiones diferentes sino en base a las influencias recibidas sobre el matemático a quien se atribuye su invención o desarrollo o por la simbología que les sugiere. El origen de esta representación numérica se remonta al menos al siglo -2 y se han ido descubriendo multitud de propiedades por diferentes culturas y en distintas épocas, aunque sus aplicaciones más directas son las relacionadas con la teoría de probabilidad.

La propiedad básica de este triángulo es que los números de una determinada fila (sin contar la primera, que llamaremos fila cero), digamos la n-ésima, corresponden a los coeficientes del desarrollo de la potencia n-ésima de la suma de dos números.
Por ejemplo, como en la fila 4 los números son 1, 4, 6, 4, 1, podemos deducir que

(x+y)⁴ = 1 · x⁴ + 4 · x³ y + 6 · x² y² + 4 · x y³ + 1 · y⁴.

Ahora bien, los secretos que oculta este triángulo son incontables, de modo que solo comentaré algunos de los más sorprendentes, que explica fantásticamente Wajdi Ratemi en este video.

Si sumamos todos los números de una determinada fila, digamos la n-ésima, obtenemos precisamente la potencia n-ésima de 2.
Por ejemplo, 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2⁴.
Si escribimos el número cuyas cifras en el sistema decimal son los elementos de la fila n-ésima del triángulo, dicho número es la potencia n-ésima de 11.
Por ejemplo, 14641 = 11⁴.
Hay que tener en cuenta que, al llegar a una fila del triángulo que contiene elementos con más de una cifra, no vale simplemente escribir los números uno a uno de forma consecutiva. Por ejemplo, como los elementos que ocupan la sexta fila del triángulo son 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1, el número será

1 x 10⁶ + 6 x 10⁵ + 15 x 10⁴ + 20 x 10³ + 15 x 10² + 6 x 10¹ + 1 = 1771561 = 11⁶.
Las diagonales del triángulo contienen sucesiones destacadas (menos la primera, que solo tiene unos). En la segunda diagonal están ordenados todos los números naturales (1-2-3-4-5-...), en la tercera están los llamados números triangulares (1-3-6-10-15-...), en la cuarta los números tetraédricos (1-4-10-20-35-...), y así sucesivamente.
Hay otra línea diagonal del triángulo en la que se ocultan todos los elementos de la sucesión de Fibonacci. ¿Eres capaz de encontrarla?
Al colorear todas las casillas que contienen números impares, obtenemos la representación gráfica de un fractal, conocido como triángulo de Sierpinski.

Por si no fueran suficientemente mágicas las propiedades indicadas, describiremos un juego de magia basado en el triángulo de Pascal-Tartaglia-Khayyam-Yang Hui. La idea básica ya fue introducida en este rincón, allá por febrero de 2009 (rincón matemágico 58), pero en esta ocasión no utilizaremos cartas sino números.

Si puedes, imprime la imagen adjunta con la que realizaremos el juego. Si no, podrás seguir las siguientes instrucciones con una hoja de papel a mano.
Escribe un número de una cifra en cada casilla de la fila superior. Si utilizas una hoja de papel, escribe en una misma fila diez números de una cifra.
Ejemplo:
Rellena la siguiente fila con números según el método de construcción del triángulo de Pascal, es decir de modo que cada número sea la suma de los dos números que están inmediatamente encima de él. Con una limitación, para no aumentar el tamaño de los números: si el resultado de la suma tiene más de una cifra, anota solo el valor de la suma de dichas cifras.
Ejemplo:

[Al llegar a 9 + 3 = 12, se suman las cifras 1 + 2 = 3 y se anota el resultado.
De la misma forma, como 3 + 7 = 10 y 1 + 0 = 1, se anota la cifra 1.]
Continúa rellenando las siguientes filas con el mismo procedimiento: en cada casilla escribirás un número de una cifra que es la suma de los dos números adyacentes de la fila superior o la suma de las cifras de dicha suma.

Pues bien, yo ya sabía cuál iba a ser el número que ocupará el vértice inferior del triángulo, el último número que has escrito. Si quieres comprobarlo, anota en el cuadro todas las cifras del número que has anotado en la fila superior (en el mismo orden y sin espacios) y pulsa el botón ¡ADIVINAR!

Antes de comentar el fundamento del juego, veamos otra variante de aspecto similar.

Utilizaremos en este caso la siguiente imagen, que podrás sustituir por una hoja de papel, como en el juego anterior.
Escribe un número de una cifra en cada casilla de la fila superior o anota en una hoja de papel 11 números de una cifra, formando una fila.
Ejemplo:
Rellena la siguiente fila con números según el método de construcción del triángulo de Pascal, es decir de modo que cada número sea la suma de los dos números que están inmediatamente encima de él. Con una limitación, esta vez diferente a la del juego anterior: si el resultado de la suma tiene más de una cifra, elimina la cifra de las decenas y anota solo la cifra de las unidades de dicha suma.
Ejemplo:

[Al llegar a 9 + 3 = 12, se elimina la cifra 1 y se anota la cifra 2.
Análogamente, al llegar a 3 + 7 = 10, se anota solo la cifra 0.]
Continúa rellenando las siguientes filas con el mismo procedimiento: en cada casilla escribirás un número de una cifra que es la suma de los dos números adyacentes de la fila superior o la cifra de las unidades de dicha suma.

Como ya imaginarás, también puedo saber cuál es el número que ocupará el vértice inferior del triángulo, el último número que has escrito. Ya sabes cómo comprobarlo, anota en el cuadro inferior todas las cifras del número con el que habías empezado la fila superior del triángulo (en el mismo orden y sin espacios) y pulsa el botón ¡ADIVINAR!

La explicación de ambos juegos se basa en representar en el sistema de restos adecuado los elementos del triángulo de Pascal. Las siguientes figuras muestran dos triángulos en el que cada número se sustituye por el resto de su división por nueve y por diez, respectivamente.

En ambos triángulos hemos ido añadiendo filas hasta llegar a una que contiene muchos ceros. Esto permite realizar fácilmente los cálculos necesarios para «adivinar» el número final de cada secuencia, sin utilizar ningún programa informático:

En el primer juego, el resultado final será la suma del primer número más el último más el triple de la suma del cuarto y séptimo números.
En el segundo juego, el resultado final será la suma del primer número más el último más el doble del sexto más cinco veces la suma del tercero y noveno números.

Evidentemente, en cada caso se debe reducir el resultado a una sola cifra, bien sumando las cifras del número obtenido (para la primera versión), bien eliminando todas las cifras salvo la de las unidades (para la segunda versión). Estas operaciones equivalen a encontrar el resto de la división por nueve o por diez, según el caso.

OBSERVACIONES FINALES:

Como ya indicábamos en el citado número de febrero de 2009 (rincón matemágico 58), el juego es un clásico de la magia matemática. Sin embargo, las versiones descritas aquí no parecen tan remotas, pues solo las he visto citadas en la charla que dictó Yossi Elran en la undécima edición del Gathering for Gardner (Atlanta, 2014). De hecho, la inspiración que le sugirió elaborar estas versiones llegó de otro juego, ideado por Steve Humble y anunciado por Colm Mulcahy, juego que trataremos en otra ocasión.
Si tienes paciencia y constancia, seguramente podrás encontrar otras propiedades similares que permitan realizar el juego utilizando los restos de la división por algún otro número. El caso más sencillo es el correspondiente a la aritmética binaria. Si escribes una secuencia arbitraria de nueve dígitos utilizando solo los valores "0" y "1", basta sumar el primero y el último y calcular el resto de su división por dos para saber cuál será el último dígito que saldrá después de construir el triángulo de Pascal con ceros y unos.

Pedro Alegría
(Universidad del País Vasco-
Euskal Herriko Unibertsitatea)

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