Para los restos
[Fragmento de la cubierta del
libro«Number theory revealed» de A. Granville]
Hace un tiempo encontré en la red un problema que despertó mi curiosidad. Decía así:
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Un espectador mezcla la baraja y reparte dos montones distintos.
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Coloca el de menor tamaño en su bolsillo izquierdo.
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Toma el resto de las cartas y las reparte en seis montones iguales. Añade las que sobren al bolsillo izquierdo.
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Reparte el resto de la baraja en cinco montones y gira las restantes cara arriba. Las cartas que componen los cinco montones se colocan en el bolsillo derecho.
¿Cómo saber el número de cartas que tiene el espectador en cada bolsillo? Encontré la solución pero quise conocer el origen del problema. Se trata de uno de los juegos contenidos en el libro Magica Analytica cuyo título ya permite sugerir las características que lo definen. A lo largo del libro se encuentran aplicaciones mágicas de diversas propiedades matemáticas y principios numéricos. El autor del libro, Larry Barnowsky, tiene un grado en Medicina y un master en Matemáticas, trabaja como físico especializado en resonancia magnética y radiología intervencionista. Son divertidas las definiciones que se proponen en la portada del libro, la primera adjudicada a Charles Darwin y la segunda al conde Elmsley (nombre artístico del propio autor):
Un
matemático es una persona ciega en una
habitación oscura buscando un
gato negro que no está ahí.
Un mago es una persona inteligente en una habitación oscura que saca de
un sombrero negro un gato negro que estaba ahí pero nadie podía verlo.
No es el único libro escrito por el mismo autor dedicado a la magia matemática. La serie Magica va por su quinto volumen y la colección del autor se completa por el momento con otros cuatro libros de contenido diverso. El juego seleccionado se basa en una simple aplicación del llamado teorema chino del resto. El autor lo titula "The arch of Sunzi", en alusión directa a Sun Tsu (o Sun Zi), matemático chino del siglo V (o III, o IV) que da nombre al teorema pues aparece en su libro «Manual de Cálculo Clásico». Ya describimos hace mucho tiempo una versión más compleja en este rincón (ver los números de diciembre 2005 y enero 2006) pero en este caso utilizaremos una baraja de cartas. La única condición es que esté completa y sin comodines, es decir que tenga 52 cartas. Como sus valores no serán importantes, puedes utilizar partes de varias barajas hasta completar las 52 cartas. Cuando las tengas a mano, continuamos.
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Reparte sobre la mesa dos montones de cartas, digamos que sus tamaños son A y B, con A < B.
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Coloca el montón A (el de menor tamaño) en el bolsillo izquierdo (o apártalo a la izquierda) y reparte sobre la mesa las cartas del montón B en seis montones iguales. Si sobran cartas, colócalas también en el bolsillo izquierdo junto a las que ya están allí.
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Recoge las cartas de la mesa, reúnelas en un montón y reparte con ellas cinco montones iguales. Si han sobrado cartas, colócalas aparte y recuerda cuántas hay. Recoge las cartas de los cinco montones y colócalas en el bolsillo derecho (o apártalas hacia la derecha).
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Ahora puedo saber cuántas cartas tienes en cada bolsillo. Solo necesito saber cuántas cartas han sobrado en el último reparto (las que no están en ningùn bolsillo). Anota este número en la casilla de abajo y pulsa el botón "ADIVINAR".
Explicación:
Se comprende fácilmente que el número de cartas restantes es menor que cinco, de modo que los posibles restos de la división por cinco de las cartas que han quedado en el segundo reparto dan la información exacta sobre el total de cartas que hay en cada bolsillo.
Después del primer reparto, conseguimos que el número de cartas a repartir, que llamaremos N, sea múltiplo de 6 (de modo que en el bolsillo izquierdo hay 52 - N cartas). En particular, es múltiplo de 2 y de 3. Después del segundo reparto, sabemos el resto de la división por 5, que llamaremos r.
Según el teorema chino del resto, N ≡ 6r (mod 30), es decir N - 6r es múltiplo de 30. Dando valores a r entre cero y cuatro, obtendremos los de N y con él el número de cartas en cada bolsillo.
Gracias a esta fórmula, puedes hacer el juego y realizar los cálculos por ti mismo. No son complicados.
Observación final:
El libro citado contiene algún otro juego basado en este teorema, pero también otras propiedades aritméticas son bien aprovechadas para otros juegos. Especialmente interesante es la aplicación de la famosa fórmula de Euler que relaciona el número de vértices, caras y aristas de una red en el plano. ¿No sabes cuál es esa fórmula? Te lo explica Nelo Maestre en el blog de Divermates.
Pedro
Alegría
(Universidad del País Vasco-
Euskal Herriko Unibertsitatea)