De camino a la magia

Tradicionalmente, en este rincón nos ocupamos de mostrar las matemáticas de la magia, las propiedades matemáticas que permiten desvelar el secreto inherente a todo juego de magia. Esto no impide que, de forma conscientemente accidental, busquemos dar a conocer la magia de las matemáticas, la sorpresa que se muestra al descubrir propiedades insospechadas de los números, del cálculo, de las ecuaciones, de las figuras geométricas, incluso de la probabilidad y muchas otras especialidades de las matemáticas.

Podemos encontrar multitud de situaciones donde se pone de manifiesto este enfoque pero convertirlo en un programa estructurado con valor pedagógico es una tarea más ambiciosa. A esta labor se ha dedicado uno de los mago-matemáticos más destacados y de más amplia trayectoria. En el libro «The magic of math», Arthur Benjamin ha realizado un recorrido por los contenidos básicos de las matemáticas y ha conseguido plasmar la belleza, mejor dicho, la magia que tienen las matemáticas a esos niveles. Desviándose lo necesario de los programas y recorridos usuales de presentación de los mismos, ha conseguido que nos demos cuenta de dicha magia: el cálculo mental no es una sucesión de reglas memorísticas sino el uso consciente y atinado de fórmulas clásicas sin sentido aparente y que no se enseñan con la motivación adecuada, la combinatoria ofrece problemas retadores y divertidos con los que practicar las reglas básicas de conteo, la geometría puede a veces engañarnos con sus aparentes paradojas, etc., etc. Todo un recorrido mágico a lo largo de las matemáticas básicas.

La bibliografía de Arthur Benjamin es muy extensa: a partir de su bien ganada fama de calculista mental, ha desvelado sus técnicas y ha mostrado su gusto por las matemáticas y su capacidad didáctica con interesantes aportaciones, como Secrets of mental math: the mathemagician's guide to lightning calculation and amazing math tricks (2006), en colaboración con Michael Shermer, o The magic of math: solving for x and figuring out why (2015), libro del que extraemos los juegos de hoy. No necesitarás ningún material, solo tendrás que hacer algunos sencillos cálculos mentales.

Si eres capaz de descubrir el método para descubrir los números pensados, no será difícil averiguar cómo funciona la siguiente versión:

Entre la cantidad de "trucos" y técnicas de cálculo que se enseñan en el libro, quiero destacar el curioso método que propone Arthur Benjamin para dividir por nueve, conocido como el método védico (como parte de la matemática védica desarrollada por Swami Bharati Krishna Tirtha a mediados del siglo XX). Veámoslo con algunos ejemplos:

Para calcular 23102:9, hacemos lo siguiente:

1. Colocamos una línea horizontal bajo el número y escribimos la primera cifra del dividendo bajo ella y una R bajo la última cifra.

   2	3	1	0	2	:	9
   2				R

2. Sumamos en diagonal el número escrito con la segunda cifra del dividendo y la escribimos bajo esta segunda cifra, 2+3=5:

   2	3	1	0	2	:	9
   2	5			R

3. Repetimos el proceso anterior con el resto de cifras, 5+1=6, 6+0=6, 6+2=8:

   2	3	1	0	2	:	9
   2	5	6		R

   2	3	1	0	2	:	9
   2	5	6	6	R

   2	3	1	0	2	:	9
   2	5	6	6	R		8

4. Se obtiene así que el cociente es 2566 y el resto es 8.

 

Este ejemplo era sencillo porque no ha salido una suma mayor de nueve. Veamos cómo manejar sumas mayores con la división 23456:9:

1. Empezamos como antes. Se baja la primera cifra y se suma en diagonal con la siguiente, 2+3=5.

   2	3	4	5	6	:	9
   2	5			R

2. Se suma de nuevo en diagonal con la siguiente cifra, también como antes, 5+4=9.

   2	3	4	5	6	:	9
   2	5	9		R

3. Al sumar de nuevo, 9+5=14, se resta nueve al resultado y se añade una unidad a la cifra anterior. Como, a su vez, el resultado es mayor de nueve, se añade una unidad a la cifra anterior a esta.

   2	3	4	5	6	:	9
   2	6	0	5	R

4. Al sumar otra vez en diagonal, 5+6=11, se realiza el mismo ajuste anterior: 11-9=2, cifra que corresponde al resto.

   2	3	4	5	6	:	9
   2	6	0	6	R		2

Muchas otras técnicas se describen en el libro de Arthur Benjamin, de una especialidad que es muy apreciada como espectáculo pero poco practicada "por culpa" de nuestra excesiva dependencia a las calculadoras: sin minusvalorar su innegable utilidad, puede llegar a convertirnos en analfabetos numéricos y que ni siquiera nos importe. Por este motivo, son muy apropiados los intentos de mostrar que las operaciones básicas no deben dejarse totalmente en "manos" de las máquinas. La historia nos enseña que el desarrollo de las matemáticas también es debido en parte a la evolución de la aritmética y, para conocer algo de esta historia, aparte de las contribuciones del protagonista de este artículo, puedo recomendar el excelente y bien documentado libro de Raúl Ibáñez, publicado muy recientemente, titulado precisamente "Los secretos de la multiplicación".

 

Pedro Alegría
(Universidad del País Vasco-
Euskal Herriko Unibertsitatea)

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