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Tarjetas de Fibonacci

 

Un juego descrito en multitud de ocasiones, tanto en este rincón como en portales dedicados a la magia matemática, es el de adivinar un número pensado mediante un conjunto de cartulinas las cuales deben separarse en dos grupos, uno con las cartulinas que contienen el número pensado y otro con las cartulinas que no lo tienen.

El juego en el que se basan todas las variantes, modificaciones, adaptaciones y mejoras es el titulado "tarjetas binarias", descrito en el número 13 de febrero de 2005. Cada tarjeta permite adivinar una cifra de la representación binaria del número elegido. Como la representación binaria sólo tiene unos y ceros, es sencillo recuperar la expresión decimal del número.

La variante tridimensional del juego fue explicada en el número 49 de abril de 2008, aprovechando que los números de cada tarjeta pueden disponerse en forma de cuadrado mágico.

La base del éxito del juego es que todo número natural se puede escribir de forma única como

N = an · 2n + an-1 · 2n-1 + ... + a1 · 2 + a0,

donde a0, a1, ..., an son ceros o unos. En el número 51 de junio de 2008 mostramos una presentación alternativa del juego utilizando tarjetas con ventanas, las cuales dejan ver sólo los términos de la suma que contienen los unos. Bastaba pues sumar esos números y adivinar el número pensado.

En el número 53 de septiembre de 2008 presentamos un juego similar, con cartulinas dodecagonales. Esa vez, cada cartulina permitía adivinar una cifra de la representación en el sistema de numeración factorial del número. ¿Numeración factorial? Sí, resulta que todo número natural también puede escribirse de forma única como

N = an · n! + an-1 · (n-1)! + ... + a1 · 1!,

donde ak ≤ k. Esta última condición es la clave para la unicidad de la representación: en caso contrario, podríamos escribir, por ejemplo, 6 = 3 · 2! = 3!.

Si hubiera otras representaciones similares, podríamos construir las correspondientes versiones del juego. Ya lo hicimos en el número 73 de junio de 2010 con las "tarjetas ternarias", aprovechando la numeración en base tres. Claro, resulta que todo número natural se puede escribir de forma única como

N = an · 3n + an-1 · 3n-1 + ... + a1 · 3 + a0,

donde a0, a1, ..., an son ceros, unos o doses.

Una curiosa y original representación, la llamada representación de Zeckendorf, tiene que ver con la sucesión de Fibonacci, aquella que empieza con 1, 1 y cada término sucesivo es igual a la suma de los dos anteriores. De este modo, los primeros términos de esta sucesión son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Esta representación se obtiene como consecuencia del teorema de Zeckendorf, que recibe ese nombre por su descubridor, el médico de profesión y matemático de afición, Édouard Zeckendorf (1901-1983), quien lo dio a conocer (en francés) en el volumen 41 de la revista Bulletin de la Société Royale des Sciences de Liège (1972) con el artículo titulado "Representation des nombres naturels par une somme de nombres de Fibonacci ou de nombres de Lucas". Este teorema dice que todo número entero positivo se puede escribir de forma única como suma de uno o más números de Fibonacci, distintos y no consecutivos. La suma asociada a un número N recibe el nombre de representación de Zeckendorf de N. Se dice que Zeckendorf descubrió su teorema en 1939 y que, en 1960, David Daykin probó que la sucesión de Fibonacci es la única que verifica el teorema. Pero también es posible que fuera Gerrit Lekkerkerker (1922-1999) el descubridor del teorema de Zeckendorf pues lo publicó (en holandés) en 1952 en la revista Simon Stevin bajo el título "Voorstelling van natuurlijke getallen door een som van getallen van Fibonacci". Si fuera así, tendríamos que llamarlo teorema de Lekkerkerker.

A partir de este teorema, Alberto Apostolico y Aviezri Fraenkel definieron en 1985 la codificación de Fibonacci como la representación binaria del número N en función de la sucesión de Fibonacci. En concreto, 

N = d0 · F2 + d1 · F3 + d2 · F4 + ... + dk-1 · Fk+1 + dk, 

donde di son ceros o unos, dk = dk-1 = 1, y Fi son los términos de la sucesión de Fibonacci: F1 = 1, F2 = 1, Fi+2 = Fi + Fi+1, i ≥ 0.

Por ejemplo, como 45 = 3 + 8 + 34 = F4 + F6 + F9, su codificación de Fibonacci es 45 = 001010011.

La característica de este código es que siempre termina en "11" y, debido al teorema de Zeckendorf, no hay otra secuencia "11" a lo largo del código. Esto hace que el código sea apropiado para controlar la propagación de errores.

Sé lo que estás pensando: podríamos inventar un juego similar al de las tarjetas binarias, utilizando esta representación. Sólo hay un problema, que ya está inventado. De la misma forma que no podemos asegurar quién fue el primero en descubrir el teorema de Zeckendorf, tampoco es fácil determinar el inventor del juego. Parece que la primera descripción la realiza Alfred Brousseau en el artículo "Fibonacci Magic Cards", publicado en el volumen 10 de la revista The Fibonacci Quarterly (febrero de 1972), prácticamente a la vez que la publicación de Zeckendorf. El juego que mostraremos en esta ocasión aparece, por lo que yo sé, en los siguientes portales de internet (no conozco ningún libro en donde se describa):

Pues vamos al juego en sí. Me he permitido adaptarlo para que se pueda realizar online, así que sólo tienes que seguir las instrucciones indicadas.

Las diez tarjetas que se muestran abajo contienen números del 1 al 100, distribuidos "aleatoriamente".

  1. Piensa un número del 1 al 100.

  2. Marca, haciendo clic en el cuadro correspondiente, todas las tarjetas que contienen dicho número.

  3. Ahora, haz clic en el botón "Déjame adivinar", y el ordenador te transmitirá el número que has pensado.

1
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6
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2
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3
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100
 

Si te imprimes las tarjetas, tú mismo puedes realizar el juego ante el público. Una vez que tu colaborador o colaboradora ha pensado un número del 1 al 100, vas mostrando las tarjetas preguntando en cuál de ellas ve su número. Basta sumar los números iniciales de las tarjetas que contienen el número pensado para adivinarlo. Después de las explicaciones previas, sabrás qué números están anotados en cada tarjeta: precisamente los de la representación de Zeckendorf. Por ejemplo, como 45 = 3 + 8 + 34, este número aparecerá en las tarjetas encabezadas por el 3, el 8 y el 34.

Una observación interesante: si muestras las tarjetas en orden, 1-2-3-5-8-13, ..., cada vez que el espectador o la espectadora dice que sí está el número pensado, puedes asegurar que no estará en la siguiente tarjeta (como lo afirma el teorema de Zeckendorf), de modo que puedes dar la impresión de saber mucho sobre el número pensado. Por ejemplo, podrías pasar la siguiente tarjeta sin enseñarla o bien enseñarla y decir que te mienta, si quiere.

Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

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