Teorema de Pitágoras

Los Elementos de Euclides

Los Elementos (300 a. d. C., aprox.) de Euclides son una de las obras cumbres de la historia de las matemáticas. En ella, Euclides recoge la práctica totalidad de los conocimientos de la época y, junto con otros resultados propios, los estructura de forma axiomática. Los Elementos están divididos en XIII libros, cada uno de los cuales se inicia con una serie de definiciones, postulados y nociones comunes (axiomas), a los que siguen teoremas con demostraciones, problemas y proposiciones auxiliares.
En los Elementos (Libro I, Proposición 47) podemos leer:
"En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende al ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto."

Demostración de Euclides

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Demostración

La demostración propuesta por Euclides se basa en los siguientes puntos:

Los triángulos AFB y CAD son iguales ya que AC = AF, AD = AB y el ángulo A del triángulo AFB es igual al ángulo A del triángulo ACD.
El área del cuadrado ACGF es doble del área del triángulo AFB, pues tienen la misma base y están situados entre las mismas paralelas.
El área del rectángulo AMLD es doble del área del triángulo CAD, pues tienen la misma base y están situados entre las mismas paralelas.
Como los triángulos AFB y CAD son iguales también serán iguales las áreas del rectángulo AMLD y del cuadrado ACGF

De igual forma se demuestra que:

Los triángulos ABK y BCE son iguales.
El área del cuadrado BCHK es doble del área del triángulo ABK.
El área del rectángulo BMLE es doble del área del triángulo BCE.
Y por tanto, igual que antes, el área del rectángulo BMLE es igual a la del cuadrado BCHK.
Área del cuadrado ABED = área del rectángulo AMLD + área del rectángulo BMLE.
En conclusión, área del cuadrado ABED = área del cuadrado ACGF + área del cuadrado BCHK

Puedes ver la visualización de esta demostración en la figura Cabri que hay sobre estas líneas.