ABC, 27 de Mayo de 2019
CIENCIA - El ABCdario de las matemáticas
Fernando Blasco

Muchos no conocen su nombre, pero casi todos hemos visto la representación del alfabeto que ideó conforme a la razón áurea

Luca Pacioli vestido de franciscano, rodeado de elementos matemáticos y trabajando. La persona representada al fondo es su pupilo, seguramente Durero - Autor desconocido / Wikicommons

Se acaba de cumplir el V Centenario de la muerte de Leonardo da Vinci. Este polímata es reconocido en todas las áreas a las que se dedicó y, de algún modo, también trabajó en matemáticas. Pero hoy no dedicaremos este espacio a Leonardo, sino a su amigo Luca Pacioli, mucho más desconocido pero que ocupa un lugar importante en la historia de las matemáticas. De hecho, todos utilizamos a diario herramientas matemáticas que, si no fueron invención de Luca Pacioli, sí que fueron difundidas por este autor.

Se trata de un personaje curioso. Por ejemplo, podemos decir de él que es el primer matemático del que conocemos su cara. Aparece en un cuadro en el que se le muestra en plena actividad y que ilustra este artículo al comienzo.

Consecuentemente también vemos en el cuadro varios elementos relacionados con las matemáticas: en la parte superior izquierda se muestra un rombicuboctaedro de cristal. Este poliedro es un sólido arquimediano (uno de los 13 poliedros no regulares descritos por Arquímedes, cuyas descripciones se perdieron y fueron recuperados por otros matemáticos en el Renacimiento) que consta de 26 caras: 18 cuadrados y 8 triángulos equiláteros.

Se piensa que por la perfección en el dibujo puede que el poliedro podría haber sido pintado por Leonardo: aparece lleno de agua hasta la mitad y en él están perfectamente descritos los reflejos y los efectos de la difracción de la luz, cosa que no podría hacer cualquier pintor. Parece también claro que no pintó el cuadro en su totalidad y, de hecho, se desconoce quién es el autor de la obra.

En cualquier caso, Pacioli afirma que dispone de tres colecciones de poliedros de cristal para estudiar geometría. En este cuadro aparece trabajando con el libro de Los Elementos, de Euclides y sobre la mesa también se encuentran una pizarra, un compás, una escuadra y un dodecaedro regular. Pacioli está sumido en su trabajo y la escena que se representó es parte de su vida cotidiana: estaba enseñando geometría al joven que aparece con él en la pintura.

El padre de la contabilidad

Los que somos un poco más mayores conocemos la tabla de doble entrada o libro de Balance, con su «debe» y su «haber». Gastos en una columna e ingresos en la otra. Por descontado que los encargados de gestionar un pequeño negocio han tenido que vérselas con esto, pero incluso los que trabajamos por cuenta ajena también hemos conocido esos libros de asiento si nos ha tocado llevar las cuentas de la Comunidad de Propietarios en las que vivimos. Los más jóvenes conocen la evolución de esa tabla de doble entrada: la hoja de cálculo, que no es sino algo basado en esa tabla de doble entrada (y que permite mucha más versatilidad). En 1494 publicó su libro «Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita» y en él es en el que realiza la descripción de esta tabla de doble entrada.

La tabla no era un invento suyo, sino bastante anterior a esa fecha: en 1870, durante obras en una casa donde había habitado el mercader Francesco di Marco da Prato Datini se encontraron cartas, libros de contabilidad, pólizas de seguros y otros documentos comerciales. Este comerciante había muerto 80 años antes de que Pacioli describiera la tabla de contabilidad y ya la utilizaba. Aun así, Pacioli ha pasado a la historia como «el padre de la contabilidad».

Acusado de no ser original

Sin embargo hay algunos autores, como Giorgio Vasari, que le han acusado de no ser original, quizás con razón, puesto que los conocimientos que aparecen en muchas de sus otras obras también habían sido ya puestos de manifiesto por otros autores. Pero lo que no se puede negar es que hizo una gran labor de recolección, sistematización y difusión de las matemáticas que se conocían al principio del renacimiento. Su Summa puede perfectamente considerarse como un libro de texto y él mismo dice que ha reflejado en él ideas de grandes matemáticos como Euclides, Boecio, Sacrobosco y Fibonacci.

Él hizo que se conocieran los resultados matemáticos de estos personajes ya que la Summa tuvo una tirada de 2.000 ejemplares y posteriormente se tradujo, copió y plagió por toda Europa. Dio la casualidad de que una de las copias llegó a las manos de Leonardo Da Vinci, que en ese momento trabajaba en Milán, en la corte de Ludovico Sforza, y pensó que los conocimientos de Pacioli se podrían aplicar muy bien en la ciudad, que en ese momento se estaba modernizando, por lo que sugirió a Sforza que le invitara a la corte. Pacioli aceptó y en 1496 ocupó la primera Cátedra de Matemáticas de Milán e inició una intensa y fructífera relación con Leonardo, tanto en el aspecto personal como en el profesional: colaboraron en bastantes proyectos, pero queremos destacar tres de ellos: los libros «De divina proportione, De Viribus quantitatis» y «De ludo scacchorum».

El primero de ellos, cuyo título traducido podría ser algo así como «Sobre la divina proporción», se inspiró en las discusiones sobre la aplicación de las matemáticas y la ciencias naturales al arte que surgían en la corte de Sforza. Trata sobre el número Φ, también conocido como razón áurea, un número que proviene de la división de un extremo en dos partes de modo que la mayor sea a la menor como el todo a la parte mayor.

Así, la divina proporción sería el número:

Por construcción, ese número verifica que es solución de la ecuación:

En un pentágono regular, la diagonal y el lado están en razón áurea:

En esa estrella, los segmentos de longitudes consecutivas se encuentran también en razón áurea. El libro de Pacioli contiene unas maravillosas ilustraciones hechas por Da Vinci, como el rombicuboctaedro (el mismo poliedro que aparecía en el retrato) que podemos observar a la derecha. Un ejemplar del libro está expuesto en la Biblioteca Ambrosiana, en Milán.

Ajedrez y juegos de magia matemáticos

Otra de las aficiones compartidas por Luca y Leonardo dio lugar al libro «Sobre el juego del ajedrez». Esta obra estuvo oculta muchos siglos: aparecía referenciada en otros escritos pero no se tenía constancia de su existencia hasta hace poco: en 2006 apareció escondido entre otros 22000 volúmenes en la biblioteca del Palazzo Coronini Cronberg, en Gorizia, Italia. Los dibujos y esquemas del libro se atribuyen a Leonardo.

El tercero de los trabajos comunes al que nos vamos a referir se podría traducir como «Sobre el poder de los números». Un libro sorprendente en el que aparece la primera descripción escrita de un juego de magia con cartas. Este libro puede considerarse como el primer texto de matemática recreativa que existe: además de juegos de magia en él aparecen problemas de ingenio, acertijos y retos de lógica. Tiene parte de contenido heredado de otros autores y parte de contenido original. El libro se conserva en forma de manuscrito en la Universidad de Bolonia. Nunca se imprimió debido al fallecimiento de Luca Pacioli antes de que esto ocurriera.

Como muestra, propondremos un par de problemas de los que plantea Pacioli en ese libro. El primero de ellos se encuadra en un tipo particular de problemas de medida de líquidos. Pacioli plantea el problema con una pequeña historia:

Dos hermanos deben repartirse 8 medidas de vino en partes iguales (entenderemos «medida» como unidad de capacidad, sea litro, metro cúbico, azumbre, o la que se usara en la Italia renacentista). Disponen de recipientes (vacíos) de 3 y 5 medidas respectivamente.

¿Cómo deben proceder, usando únicamente los 3 recipientes de los que disponen, para que cada hermano obtenga exactamente 4 medidas de vino?

El otro problema es un problema a camino entre la geometría y lo manipulativo. A veces puede presentarse, incluso, como un juego de magia. El juego se hace entre dos personas.

Necesitaremos una pulsera y un trozo de cuerda. Atamos los extremos de la cuerda, metemos la pulsera en medio y ponemos el conjunto de pulsera y cuerda en los pulgares.

El problema consiste en liberar el aro sin hacer el movimiento obvio de retirar la cuerda de uno de los pulgares, sacar por ahí la pulsera y volver a poner la cuerda en el pulgar. Los movimientos permitidos consisten únicamente en poner cuerda alrededor de los pulgares, nunca quitar.

Esperamos que el lector disfrute con estos problemas y que se interese un poco más por la obra de Luca Pacioli, un matemático muy interesante, pionero en muchos campos y que muchas veces ha pasado desapercibido. Muchos no conocen su nombre, pero casi todos hemos visto en algún lugar la representación del alfabeto que hizo y en la que las letras siguen unos patrones conformes a la razón áurea.

Uno de los ejemplos donde se ha usado esa tipografía lo constituye el polémico logotipo de Madrid como Capital Europea de la Cultura en 1992. Y no solo ahí: la tipografía clásica de este diario también se basa en la obra de Luca Pacioli. Le debemos mucho.

Fernando Blasco es Profesor Titular de Matemática Aplicada. Universidad Politécnica de Madrid; miembro de la Comisión de Educación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME) y miembro del Comité de Sensibilización Pública de la Sociedad Matemática Europea.

El ABCDARIO DE LAS MATEMÁTICAS es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME)