175. (Octubre 2019) Punto fijo
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Escrito por Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)   
Martes 01 de Octubre de 2019
Math Casts [Imagen de la portada: carátula del disco Fractal Muzak de Vaporwave, cuyo primer tema es el titulado Banach fixed point theorem.]

El teorema del punto fijo es un resultado matemático profundo y muy ubicuo: en su forma más general, establece condiciones para las cuales una determinada transformación deja invariable alguno de sus valores. Por ejemplo, si la transformación consiste en girar un círculo 90 grados alrededor de su centro, el único punto fijo es el centro del círculo (el círculo tiene la misma apariencia pero todos sus puntos -salvo el centro- han cambiado de lugar). Podemos encontrar, según el espacio donde actúa dicha transformación, diversos teoremas del punto fijo: de Banach, de Borsuk-Ulam, de Brouwer, de Kakutani, de Lefschetz, de Ryll-Nardzewski, de Schauder, etc., todos ellos avalados por nombres de personalidades destacadas de las matemáticas. Si tienes una cierta preparación matemática, puedes seguir la interesante presentación de Bernardo Cascales sobre algunos de estos teoremas. Más elemental (al menos la primera parte) es la contenida en el video del canal Archimedes Tube, explicado por nuestro colega Urtzi Buijs.

A pesar de su alto contenido teórico, el teorema tiene muchas aplicaciones prácticas (y no tan prácticas). Un ejemplo elemental, consecuencia de este teorema, establece que, si agitamos con una cucharilla un vaso de agua, al final del proceso habrá el menos una molécula de agua que ocupe la misma posición que ocupaba antes de la mezcla. Otra curiosa aplicación establece que, en cualquier momento, siempre habrá dos puntos en la Tierra, diametralmente opuestos, que tienen la misma temperatura y la misma presión atmosférica. Puedes encontrar una explicación elemental y desenfadada en este video. Incluso, al final del video encontramos un juego de adivinación numérica "basado" en este teorema.

Un teorema de punto fijo especial tiene el sorprendente nombre de "teorema de la bola peluda", una de cuyas consecuencias afirma que, en algún lugar de la esfera terrestre habrá siempre un fenómeno atmosférico en el que el viento gira sobre sí mismo, como un remolino o tornado.

Una forma oportuna de ilustrar el teorema del punto fijo de acuerdo a las características de este rincón sería encontrar un proceso matemático que se pueda convertir en juego de magia. Para ello tendríamos que determinar en primer lugar una transformación que cumpla las premisas del teorema. Si el mago conoce las características del punto fijo, puede plantear un juego y adivinar o prever el resultado final. A lo largo de este rincón hemos presentado gran cantidad de juegos que siguen este esquema, los más significativos son los relativos a los que llamamos "agujeros negros", donde la aplicación reiterada de una determinada transformación conduce a un punto fijo (ver por ejemplo, la secuencia de los números 31, 32 y 33 correspondientes a septiembre, octubre y noviembre de 2006). Curiosamente, hemos encontrado otro ejemplo de estas características en la literatura mágica reciente. Un joven mago autodidacta húngaro, József Kovács (personaje de la figura adjunta), ha recogido en un folleto titulado "Cardopia" algunas de sus contribuciones a la revista de magia The Budget durante el año 2013. Uno de los juegos incluidos en esta recopilación es el que hemos adaptado y describimos a continuación.

  1. Separa de la baraja cinco cartas, del as al cinco, de cualquier palo, caras hacia abajo. El orden no importa pero, para recordarlo al final de juego, es mejor ordenarlas de menor a mayor. Digamos que están colocadas así (aunque con las caras hacia abajo):

  2. Elige una cualquiera de las cartas; gírala cara arriba manteniendo su posición.

    A partir de este momento, realizarás una serie de movimientos que tú creerás que son libres pero te llevarán inevitablemente a una situación prevista por mí.

  3. Gira cara arriba otra de las cartas, la que quieras. Ahora intercambia la posición de las dos cartas que están cara arriba.

  4. Intercambia de posición la carta elegida con cualquiera de las cartas que están cara abajo.

  5. Intercambia de posición las dos cartas cara abajo que no han sido movidas aún.

  6. Intercambia de posición las dos cartas cara arriba.

  7. Gira cara arriba todas las cartas que están cara abajo.

Observa la posición final de las cartas. Todas han cambiado de lugar excepto un punto fijo, ¡tu carta elegida!

Observaciones finales:

  1. Esta secuencia de movimientos puede usarse como juego de adivinación, tal como hace József Kovács en su folleto. Con el mago de espaldas durante toda la secuencia de movimientos, basta una rápida mirada a la posición final para saber cuál ha sido la carta elegida.

  2. Es relativamente sencillo elaborar una secuencia de movimientos con las que se consiga el mismo resultado anterior utilizando más de cinco cartas. El inconveniente es que el juego puede hacerse repetitivo y aburrido al alargar innecesariamente el proceso.

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(Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

 
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