182. (Mayo 2020) Primos impares
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Escrito por Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)   
Martes 05 de Mayo de 2020

En el episodio anterior de la saga "Rincón matemágico" citábamos la revista «The Trapdoor», editada por Steve Beam, observando que una versión del juego Optograma apareció en las primeras páginas del primer volumen de la colección. Pues bien, otra versión del mismo juego apareció al cabo de 15 años y 1500 páginas después ya que ocupó las últimas páginas del último volumen de la misma colección.

Cinco años antes de publicar el último volumen de su revista, Steve Beam (el personaje de la foto) inició una nueva aventura: en 1993 apareció el libro "Semi-automatic card tricks", tomo 1 (aunque en ese momento no llevaba el subíndice ¿por modestia o porque no pensaba que llegarían las secuelas?) de una colección que va por su undécimo volumen, que acumula alrededor de 3000 páginas y 1000 juegos de cartas, catalogados como "semi-automáticos". Ahora bien, ¿qué significa este apelativo? Si un juego automático es el que "sale solo", prácticamente sin intervención del mago (lo que conduce a sospechar que está basado en propiedades matemáticas), después de recorrer las páginas de los libros de esta colección, descubrimos que los "juegos semi-automáticos" requieren una estrecha conjunción entre ciertas habilidades del mago -no demasiado técnicas pero tampoco exento de ellas- y algunas propiedades -ya sean numéricas, de ordenación previa o de otro tipo- con las que conseguir efectos mágicos insospechados. No es de extrañar que abunden juegos probabilísticos que permitan realizar apuestas ventajosas para el mago, o basados en propiedades topológicas de las cartas.

Por esta misma razón, no es fácil encontrar juegos que puedan describirse en este rincón: el paso de automático a semi-automático consiste en que el mago debe realizar ciertas manipulaciones -técnicas o psicológicas- con las que disimular las propiedades matemáticas de estos efectos, y no es el objetivo de este rincón el desvelar estas técnicas. Hemos seleccionado dos de ellos, uno para mostrar el tono desenfadado y divertido que caracteriza toda la obra (aunque en realidad apareció en la revista ya citada The Trapdoor) y otro para poner de manifiesto esta diferencia entre automático y semi-automático.

Aquí va el primero, en versión original y sin traducción:

El segundo consiste en una interesante evolución del principio del número primo, que apareció por primera vez como un método de elección forzada de una carta en el juego Lucky 13 de George Sands en la revista «Pallbearers Review» (agosto de 1975). La versión automática apareció en este rincón en octubre de 2010 bajo el título Prime Time. La que publica Steve Beam fue ideada por Lewis Jones y lleva por título Lucky, Lucky, Lucky, como vaticinio de la triple suerte que tendré en este juego de apuestas.

  1. En primer lugar, elige un número -digamos entre 5 y 10 para no alargar demasiado el juego (pero puede ser cualquier otro si te empeñas)- que representará en adelante mi número de la suerte (lo que equivale también a tu número de la mala suerte).

  2. Reparte sobre la mesa y caras hacia abajo dos grupos de tantas cartas como el número de la suerte. Por ejemplo, si el número elegido es 20, repartirás dos montones de 20 cartas.

  3. Elige uno de los montones y retira la carta superior. Ya no la utilizaremos más porque era mi carta de la mala suerte. Coloca el otro montón sobre el elegido, mira la carta superior, recuérdala y vuelve a colocarla en su lugar. Será mi carta de la suerte.

  4. Con este paquete de cartas realizaremos las apuestas. Estas son las reglas:

    • Las sucesivas jugadas se realizarán de forma alternada, yo apuesto en la primera jugada, tú en la segunda, yo en la tercera, y así sucesivamente hasta acabar la partida.

    • Cada jugada consiste en girar cara arriba la carta que ocupa la posición indicada por el número de la suerte. Para ello, pasarás una a una, desde arriba hasta abajo del paquete, una cantidad de cartas igual a una unidad menos de dicho número y girarás la carta que haya quedado arriba, dejándola nuevamente arriba. En el ejemplo propuesto al principio, pasarías 19 cartas de arriba abajo (por eso he sugerido que no fuera un número muy grande) y girarías la vigésima carta, dejándola cara arriba en la parte superior. Si esa carta ya estaba cara arriba, pierde el jugador que tiene su turno en ese momento. Pero si es la carta de la suerte, gana la partida.

  5. De acuerdo, empezamos. Yo apuesto primero. La primera jugada es fácil porque todavía no hay ninguna carta cara arriba. Pasa una a una, mientras las vas contando, cartas de arriba abajo del paquete. Cuando llegues al número de la suerte mira si la carta superior está cara arriba. ¿No? Pues gírala cara arriba. Aún no he perdido. ¿No es la carta de la suerte? Pues aún no he ganado.

  6. Repite la operación pero ahora apuestas tú. Si la carta correspondiente al número de la suerte estaba cara arriba, has perdido. Si no, la giras cara arriba. Si es la carta de la suerte, has ganado.

  7. Realiza por mí el resto de apuestas, alternando los turnos de cada jugador. Si no me equivoco, terminaré ganando yo. De hecho, en todas rondas, salvo la última, la carta correspondiente al número de la suerte estará cara abajo y nunca será la carta de la suerte.

Observaciones:

  • Por analogía, llamaremos principio del número impar al causante de este efecto, principio que está basado en ciertas propiedades de aritmética de congruencias. Si el original necesitaba un número primo de cartas, esta versión funciona con un número impar de cartas ... y con alguna sutileza adicional que seguro eres capaz de descubrir siguiendo con atención los pasos descritos.

  • Conociendo el resultado, no es arriesgado para el mago proponer algún tipo de apuesta más creativa. Por ejemplo, permitir que el espectador apueste la misma cantidad en cada una de sus jugadas y ofrecer doblar tu apuesta en cada jugada, a pesar de que, al ir avanzando el juego, habrá más cartas cara arriba y, en consecuencia, disminuirá la probabilidad de ganar.

  • Por cierto, la propiedad aritmética en la que se basa el juego permite realizar una versión más general que la propuesta aquí. El número de la suerte puede ser cualquiera, con tal de ser menor que el número de cartas del paquete que se utilice. La única diferencia es que la partida puede terminar un poco antes, pero siempre a favor del mago.

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(Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

 
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