Mayo 2004: Espirales

"La espiral es un círculo espiritualizado. En la forma espiral, el círculo, desenrollado, devanado, ha dejado de ser vicioso... La vuelta sigue a la vuelta, y toda síntesis es la tesis de la nueva serie..."
Vladimir Nabokov

La espiral es sin duda la curva más emblemática en la historia de la humanidad. Desde la más remota antigüedad la encontramos en los motivos decorativos de casi todas las culturas.

Sus especiales características la convierten en la curva del crecimiento en la naturaleza. Pero el concepto de espiral ha transcendido los fenómenos naturales para adentrarse también en las actividades sociales.

¿Quién no ha oído o leído en múltiples lugares y ocasiones expresiones del tipo "aprendizaje en espiral" o formación en espiral". Son expresiones que a todos nos sugieren algo similar: acumulación creciente de conocimientos manteniendo la base y la forma inicial.

Como en la Naturaleza, la idea de formación en espiral nos evoca la forma más natural de crecer en nuestro desarrollo.

Una de estas enigmáticas curvas, quizás la más popular, es una curva con mucha historia detrás: la espiral de Durero.

Durante muchos siglos esta curva ha estado asociada con el crecimiento natural de los seres vivos y desde un punto de vista estético con la idea de armonía.

De alguna manera, la espiral de Durero será al mismo tiempo nuestra inspiración y nuestra meta en esta excursión por el fantástico mundo de las espirales.

Ninguna curva ha fascinado al ser humano desde los tiempos más remotos como la espiral.
Su presencia en los objetos vivos, tanto animales como vegetales, tuvo que llamar la atención de nuestros antepasados desde los albores de la humanidad.

No existe ninguna cultura que no la haya utilizado como elemento simbólico, mágico o simplemente ornamental. Los modelos naturales los tenáin muy cerca, desde el zarcillo de una parra hasta los rizos de sus cabelleras les brindaban sugerentes ejemplos.

El mundo mágico de las espirales es un universo hipnótico, que a veces nos produce sensaciones de vértigo y en otras ocasiones nos transporta a paraísos de calma y placidez, pero que siempre deja en nuestro espíritu la zozobra y la inquietud del infinito.

Esta misteriosa curva que parece enrollarse sin fin sobre sí misma hasta acabar precipitándose en un punto, o al revés, que apareciendo infinitamente pequeña, desde un simple un punto, presenta la osadía de querer llenar todo el espacio, ha ejercido un influjo cautivador no sólo sobre los matemáticos sino también sobre artistas y artesanos de todas las épocas y casi todas las culturas.

Las primeras manifestaciones de las espirales como elemento ornamental en la historia de la humanidad se remontan al Neolítico.

En numerosas piedras datadas de este período aparecen espirales enlazadas o dispuestas en distribuciones simétricas. Aparecen junto a cuadrados y círculos distribuidos formando figuras simétricas, pero las espirales siempre ocupan el lugar protagonista.Seguramente la facilidad para el tallista de dibujar una curva haciendo girar su punzón alrededor de un punto contribuyó al hecho de que nuestros antepasados se sintieran cautivados con las espirales.

Aparece entre los motivos ornamentales de las vasijas griegas, pero donde brilla con todo su esplendor es en los capiteles jónicos de los templos como el pequeño templo de Atenea Nike, situado en la Acrópolis ateniense, en los que la curva parece querer huir del peso del arquitrabe, arrepintiéndose al final y retornando sobre sí misma.

Nos ofrece recogimiento en las sillerías de las catedrales góticas con toda su sobria elegancia, antes de explotar con toda su exuberancia en la vorágine del arte barroco, con su explosión de motivos florales en los que la espiral se adueña de la ornamentación.

La espiral ha sido tema de inspiración de forjadores de todas la épocas que han dejado muestras exquisitas en las rejas que aún hoy adornan ventanas y puertas de nuestras ciudades y pueblos.

Pero no hay que remontarse en el tiempo para encontrar entre nosotros esta sugerente curva...
Miren a su alrededor, donde menos sospechamos nos sorprende su elegante presencia. Cuando paséen por tu ciudad o por su pueblo sólo tienen que mirar con detenimiento en los monumentos o en las rejas y seguro que encontrarán alguna espiral.

Pero, si encontramos espirales por doquier en creaciones artísticas, ornamentales o funcionales del ser humano, es en la Naturaleza donde la espiral se muestra en todo su esplendor y variedad. La espiral y su pariente en el espacio, la hélice cónica.

Aunque la espiral ha sido testigo mudo de los avatares de los hombres a través de diferentes épocas históricas, su patente no le corresponde a la humanidad. Esta curva como casi todas, es fruto de la Naturaleza. La podíamos calificar como la curva de la vida o de forma más precisa, la curva del crecimiento.

Tanto el reino vegetal como el reino animal nos brindan impresionantes ejemplos de los diferentes tipos de espirales o de sus parientes tridimensionales, las hélices.

En la actualidad se conservan gran cantidad de unos fósiles muy especiales, los ammonites, que vivieron en el jurásico y el cretácico hace millones de años.

Ellos, con sus propios cuerpos, nos han dejado, dibujadas en piedra, las mismas espirales que seguramente impulsaron a Arquímedes a estudiar estas curvas.

En los mares de Filipinas existe un molusco, descendiente directo de estos moluscos prehistóricos: el Nautilus.

Su concha, parecida a la de un caracol, dibuja una espiral perfecta. Y no es un fenómeno tan extraño. Como los caracoles crecen enrollándose sobre sí mismos y manteniendo siempre la misma forma.

Las sucesivas vueltas van aumentando en anchura, en proporción constante e invariable. Y esto es precisamente lo que define a las espirales, o al menos a uno de sus tipos, las espirales logarítmicas. Pero mucho antes aún de que los ammonites poblaran las aguas de este perdido planeta, el Universo nos brindaba unos grandiosos ejemplos de este tipo de espirales: las galaxias.

Las galaxias son concentraciones de miles de millones de estrellas unidas por fuerzas gravitatorias. Estas fuerzas gravitatorias son las que las obligan a girar sobre su centro. Pero la velocidad no es la misma en todas las regiones, es mayor en el centro que en los bordes. Es precisamente esta diferencia de velocidad la que a lo largo de varios miles de millones de años produce las más magníficas espirales que podemos encontrar en la Naturaleza. De hecho, nuestra galaxia, la Vía Láctea es una galaxia espiral. A escala galáctica estamos sumergidos en una espiral.

No tenemos que viajar a través del espacio para encontrarnos con espirales. En una borrasca está sucediendo algo similar a lo que sucede en una galaxia: el aire en las regiones más próximas al centro de las bajas presiones gira más rápido que en las regiones alejadas... sin duda, más temprano que tarde, se acabará formando una espiral.
En los efectos devastadores de los tornados también está presente un familiar cercano a la espiral, una hélice cónica, que contemplada desde un plano perpendicular a su eje nos parecerá una espiral.

Y los pequeños tornados que se producen en nuestro lavabo cada vez que quitamos el tapón también dibujan mirados desde arriba espirales de agua.

Siempre que en la Naturaleza nos encontremos con un fenómeno que comparta una rotación y una dilatación, o una contracción, allí, sin hacerse esperar, aparecerá una espiral.

En el mundo vegetal la espiral sale a nuestro encuentro en multitud de ocasiones. Y no precisamente de manera aislada. Las flores, los frutos y las hojas de numerosas plantas nos ofrecen un auténtico baile de espirales.

En cualquier piña de los pinos, si la observamos desde arriba, descubriremos que los piñones se distribuyen formando un buen número de espirales. Y no precisamente de forma aleatoria. No es ninguna casualidad. Los piñones han de distribuirse de forma óptima, es decir, aprovechando el espacio al máximo; y esa optimización del espacio se consigue mediante una distribución en espiral.

Si contamos las espirales en un sentido siempre aparecen 8, si las contamos en el otro sentido encontraremos exactamente 13. Y no importa en que piña las contemos.

Girasol

La distribución de las pipas en un girasol también se hace dibujando espirales, la variedad más frecuente tiene 89 espirales en un sentido y 144 en otro, aunque otras variedades presentan 55 y 89 respectivamente.

La margarita también dispone sus semillas en 21 espirales dextrógiras y 34 levógiras.

¿Es esto una mera casualidad? No. Las semillas se distribuyen siempre según una ley natural que minimiza el volumen ocupado. Esta optimización natural produce inevitablemente una distribución en espiral.

Observemos estos números... 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144... Una curiosa sucesión, que está directamente relacionada con las espirales. Con las espirales y con el crecimiento y la forma de las plantas. La sucesión de Fibonacci.

A finales del siglo XII, la república de Pisa es una gran potencia comercial, con delegaciones en todo el norte de Africa. En una de estas delegaciones, en la ciudad argelina de Bugía, uno de los hijos de Bonaccio, el responsable de la oficina de aduanas en la ciudad, Leonardo, es educado por un tutor árabe en los secretos del cálculo posicional hindú y tiene su primer contacto con lo que acabaría convirtiéndose, gracias a él, en uno de los más magníficos regalos del mundo árabe a la cultura occidental: nuestro actual sistema de numeración posicional.
Leonardo de Pisa, Fibonacci, nombre con el que pasará a la Historia, aprovechó sus viajes comerciales por todo el mediterráneo, Egipto, Siria, Sicilia, Grecia..., para entablar contacto y discutir con los matemáticos más notables de la época y para descubrir y estudiar a fondo los Elementos de Euclides, que tomará como modelo de estilo y de rigor.

De su deseo de poner en orden todo cuánto había aprendido de aritmética y álgebra, y de brindar a sus colegas comerciantes un potente sistema de cálculo, cuyas ventajas él había ya experimentado, nace, en 1202, el Liber abaci, la primera summa matemática de la Edad Media.

En él aparecen por primera vez en Occidente, los nueve cifras hindúes y el signo del cero. Leonardo de Pisa brinda en su obra reglas claras para realizar operaciones con estas cifras tanto con números enteros como con fracciones, pero también proporciona la regla de tres simple y compuesta, normas para calcular la raíz cuadrada de un número, así como instrucciones para resolver ecuaciones de primer grado y algunas de segundo grado.

Pero Fibonacci es más conocido entre los matemáticos por una curiosa sucesión de números:

que colocó en el margen de su Liber abaci junto al conocido "problema de los conejos" que más que un problema parece un acertijo de matemáticas recreativas. El problema en lenguaje actual diría:

"Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses?."

En este gráfico vemos que el número de parejas a lo largo de los meses coincide con los términos de la sucesión.

Veamos con detalle estos números. 1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89, 144....

Es fácil ver que cada término es la suma de los dos anteriores. Pero existe entre ellos otra relación curiosa, el cociente entre cada término y el anterior se va acercando cada vez más a un número muy especial, ya conocido por los griegos y aplicado en sus esculturas y sus templos: el número áureo.

Pero los números de la sucesión de Fibonacci van a sorprender a todos los biólogos.

Como muy bien nos enseña la filotaxia, las ramas y las hojas de las plantas se distribuyen buscando siempre recibir el máximo de luz para cada una de ellas. Por eso ninguna hoja nace justo en la vertical de la anterior. La distribución de las hojas alrededor del tallo de las plantas se produce siguiendo secuencias basadas exclusivamente en estos números.
El número de espirales en numerosas flores y frutos también se ajusta a parejas consecutivas de términos de esta sucesión: los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144.

Y cualquier variedad de piña presenta siempre un número de espirales que coincide con dos términos de la sucesión de los conejos de Fibonacci, 8 y 13; o 5 y 8.

Parece que el mundo vegetal tenga programado en sus códigos genéticos del crecimiento los términos de la sucesión de Fibonacci.

Casi todos los seres vivos crecen manteniendo la forma. En los mamíferos este mantenimiento de la forma general sólo es aproximado. Las proporciones de las partes del cuerpo de un niño son exactamente iguales que las de un adulto.

Pero existen especies en que estas proporciones se mantienen a lo largo de toda su vida. Si observamos un caracol recién nacido y un ejemplar adulto veremos que son completamente semejantes. Un caracol es homotético a sí mismo a lo largo de toda su vida, al menos en su forma externa. Crecen en tamaño, pero sin cambiar de forma.

Su crecimiento, como el de todas las especies es aditivo, su concha crece por acumulación de nuevos materiales, pero crece de forma autosemejante. Las sucesivas vueltas de la cocha van aumentando en anchura en proporción constante e invariable.
Si miramos el perfíl de su concha comprobaremos que describe una hélice cónica, cuya proyección en el plano corresponde a una espiral. Una espiral especial, una espiral logarítmica.

Pero además de los caracoles y de un sinfín de moluscos no es difícil encontrar en el reino animal verdaderas espirales orgánicas. Los cuernos de los rumiantes forman también espirales en el espacio.

Detrás de todas estas formas hay un fenómeno natural: un proceso de enrollamiento vinculado al proceso de crecimiento. de hecho la concha de un caracol no es ni más ni menos que un cono enrollado sobre sí mismo. El cuerno de un rumiante también, aunque además está retorcido.

Y aunque las leyes físicas del crecimiento de especies tan dispares no son las mismas, las leyes matemáticas que lo rigen sí: todas están basadas en la espiral geométrica, la curva de similitud continua.

Si nos fijamos bien el crecimiento de las conchas y de los cuernos tiene otra curiosa propiedad se produce sólo por un extremo. Y esta propiedad de crecimiento terminal conservando la figura completa es exclusivo dentro de las curvas matemáticas de la espiral equiangular o logarítmica.
De hecho el crecimiento de estas formas es un crecimiento gnómico, es decir, se produce por acumulación de partes sucesivas, similares en forma y que aumentan de tamaño en proporción geométrica, situadas de forma similar respecto de un centro. Pues bien Durero ya nos demostró, su espiral es una espiral gnómica, que por ese procedimeinto siempre obtendremos una espiral logarítmica.

Decididamente, no es sorprendente que las conchas y las astas de muchos animales formen espirales, es que, sencillamente, no les queda más remedio que crecer siguiendo esta curva.

"Había más imaginación en la cabeza de Arquímedes que en la de Homero"
Voltaire

Uno de los objetivos fundamentales de las Matemáticas a lo largo de la historia ha sido y continúa siendo interpretar el mundo que nos rodea. Decía Galileo:

"El Universo es un libro escrito en el lenguaje de las matemáticas, siendo sus caracteres triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible comprender una sola palabra; sin ellos sólo se conseguirá vagar por un obscuro laberinto"

Mucho antes de que Galileo Galilei expresara de manera tan rotunda una de las funciones de las matemáticas, muchos sabios se habían puesto a la tarea de explicar los fenómenos naturales bajo la luz de la razón, con la poderosa herramienta de las matemáticas.

Y ante las innumerables manifestaciones naturales de las espirales, tanto de carácter orgánico como mecánico, estas curvas no podía dejar de llamar la atención de los matemáticos y ser objeto de su investigación. Sin ambargo, como su propia forma sugiere son curvas esquivas. No son curvas geométricas estáticas como la circunferencia, las cónicas o las lúnulas. Para construirlas se necesitan recursos mecánicos, algo que crece o que se mueve.

"son curvas planas que comienzan en un punto y cuya curvatura va disminuyendo progresivamente a medida que aumenta su radio de curvatura."

Si esta definición la ampliamos al espacio obtendremos unas curvas espaciales parientes de las espirales, las hélices cónicas.

La forma en se produzca ese cambio de curvatura y ese incremento del radio de curvatura nos colocará ante diferentes tipos de espirales. En el fondo dos son los parámetros que van a definir una espiral su radio en cada punto, la distancia al origen, y el ángulo girado hasta llegar a ese punto.

La historia de las espirales dentro del mundo matemático ha sido, paradógicamengte una historia a saltos.

El primer paso de su estudio se remonta al siglo III a. de C. y su protagonista es el genial Arquímedes. Con métodos que se adelantan en varios milenios a sus contemporáneos realiza el primer estudio intensivo sobre la espiral más simple: la espiral uniforme.

La dificultad de construirla de manera exacta, junto al hecho de no poder construirse con regla y compás hizo que los sabios griegos no le dedicasen toda la atención que se merecen. Aunque como en todo hay sus excepciones. Estas excepciones las constituyen Conón de Samos y sobre todo Arquímedes de Siracusa (287-212 a. C.).

Sin duda, al menos desde un punto de vista matemático, la más simple es aquella en que el radio varía de forma proporcional al ángulo girado. Y a esta es a la que dedicó su atención Arquímedes, a la espiral uniforme, que desde entonces lleva su nombre. La espiral arquimediana.

De Arquímedes se conocen dos libros sobre la geometría plana, uno dedicado a la circunferencia, De la medida del círculo, donde nos proporciona el salto a la fama del número pi y una de sus aproximaciones más usadas hasta nuestro días; y otro dedicado a la espiral uniforme, De las espirales. Un libro complicado y de lectura difícil, donde Arquímedes hace un profundo estudio exhaustivo de la espiral uniforme.

En él demuestra las propiedades de las áreas de las diferentes espiras, utiliza la espiral para calcular la longitud de un arco de circunferencia, para cuadrar el círculo y para dividir un ángulo en tres partes iguales. Una curva que le permitió atacar dos de los tres problemas clásicos: la cuadratura del círculo y la trisección del ángulo. Por desgracia para Arquímedes, los griegos exigían la resolución utilizando sólo regla y compás... y su curva, la espiral uniforme no se puede construir sólo con esos instrumentos.

Hay que esperar más de 18 siglos para que, esta vez un artista con grandes dotes matemáticas, Alberto Durero, en 1525, nos proporcione los métodos para dibujar otro tipo más complejo de espirales, las espirales basadas en el crecimiento gnómico, es decir, las que se obtienen la encajar de forma recurrente, figuras geométricas semejantes y unir sus vértices. especial atención le van a merecer las espirales relacionadas con la sucesión de Fibonacci y con el número áureo.

A pesar de su gran amor por las matemáticas, como muestra en su cuadro Melancolía, plagado de metáforas matemáticas, Durero es fundamentalmente un pintor. Por eso su obra Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas, no realiza un estudio teórico de las espirales y se limita a dar preceptos para su construcción.

La influencia del mudo helénico, de la que Durero está impregando, le impone una nueva restricción: la utilización exclusiva de la regla y el compás. Por ello, se va a limitar a investigar la representación aproximada de la espiral no uniforme mediante arcos de circunferencias.

Pero es más de un siglo más tarde, con la aparición y el desarrollo del cálculo diferencial e integral de Newton y Leibniz, cuando el estudio de las curvas va a alcanzar su momento de gloria. Y dentro de estas curvas una muy especial y al mismo tiempo muy habitual en la naturaleza: la espiral equiangular, logarítmica o geométrica.

Aunque Descartes y Torricelli habían iniciado su estudio, les faltaba la potente herramienta del cálculo para poder rematarlo. Este honor la va corresponder a Jacob Bernouilli en los albores del siglo XVIII.

René Descartes(1596-1648), un año después de la publicación de La Géométrie, se va encontrar con la curva mecánica que responde al problema planteado por Galileo sobre la trayectoria de caída de un cuerpo a través de una tierra en rotación. Esta trayectoria le llevó a Descartes hasta la espiral equiangular o logarítmica.

Su ecuación es de la forma donde a y b son constantes y e es el número e = 2, 71828182..., r el radio de posición de un punto y theta el ángulo girado.

Es decir, el radio de posición en un punto no depende de forma lineal, uniformemente, del ángulo girado. Su dependencia es exponencial. Según vayamos girando alrededor del origen la curva se va ir alejando del origen de forma cada vez más rápida.
Fue Torricelli, utilizando métodos semejantes a Arquímedes, quien primero logró calcular su longitud.
Pero, sin duda, al matemático al que cautivó el estudio de esta espiral fue a Jacob Bernouilli (1654-1705) , que la bautizó con el nombre de Spira Mirabilis, espiral maravillosa, título de su obra dedicada a esta espiral.

La espiral más simple la podemos encontrar al mirar una cuerda enrollada sobre sí misma. Es muy fácil reconocerla: la anchura de sus espiras es siempre la misma. Por eso se la conoce con el nombre de espiral uniforme.

La naturaleza no es muy pródiga a la hora de mostrarnos este tipo de espiral, aunque la podemos reconocer en esta serpiente enrollada o en la trompa de una mariposa. No es extraño esta extraña lengua se llame espiritrompa.

El hecho de que sea la espiral más sencilla de construir hace que aparezca como motivo ornamental desde las épocas más remotas. La encontramos ya en túmulos mortuorios de la edad del bronce y en vasijas griegas y etruscas....

La encontramos, en la cerámica popular, como motivo decorativo de muchos platos. Esto no es tan extraño si pensamos la extrema facilidad con la que se puede dibujar sobre el torno del alfarero. Basta con ir desplazando el pincel en una dirección determinada, desde el centro hacia el borde, con una velocidad constante.

Se la conoce entre los matemáticos como Espiral de Arquímedes, ya que fue este notable físico y matemático griego el primero que, fascinado por su belleza, realizó un estudio profundo sobre las propiedades matemáticas de esta curva...en el siglo III antes de Cristo en un escrito titulado Sobre las espirales.

Matemáticamente la espiral de Arquímedes se define como el lugar geométrico de un punto del plano que partiendo del extremo de una semirrecta se mueve uniformemente sobre ella, mientras que la semirrecta gira también uniformemente sobre uno de sus extremos.

"Imaginaos una línea que gira con velocidad constante alrededor de un extremo, manteniéndose siempre en un mismo plano, y un punto que se mueve a lo largo de la línea con velocidad lineal constante: ese punto describirá una espiral"

Es decir, es una curva mecánica. Para definirla necesitamos recurrir al movimiento. Es de hecho la primera curva mecánica de la historia.

Su ecuación en coordenadas polares es r = aθ donde r es la distancia al origen, a una constante y θ (theta) es el ángulo girado.

¡¡ Eureka !!. ¡¡ Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo !!.
Su famoso principio sobre los cuerpos sumergidos en un líquido:

"Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje hacia arriba igual al peso del fluido desalojado".

La historia de su muerte a manos de un soldado romano en la toma de su ciudad natal, Siracusa, por la flota de Marcelo y la frase que calmadamente le dirigió justo antes de ser atravesado por su espada mientras dibujaba en la arena. ¿Quizás una de sus espirales?, "no molestes a mis círculos" hacen de Arquímedes uno de los sabios más populares de la historia.

Arquímedes se interesó por esta espiral al intentar resolver un problema clásico: la trisección de un ángulo, utilizando solamente regla y compás. . Aunque hoy sabemos que es un problema irresoluble utilizando sólo una regla y un compás, Arquimedes encontró una forma de dividir un ángulo en tres partes iguales utilizando la espiral uniforme.

Basta hacer coincidir el vértice del ángulo con el origen de la espiral, dividir el segmento que va desde el origen al punto de corte de la espiral con el segundo lado del ángulo en tres partes iguales y trazar por esos puntos arcos de circunferencia hasta que corten a la espiral.

Si unimos el origen con esos puntos de corte tendremos los tres ángulos que dividen al original en tres partes iguales. Por desgracia para las matemáticas la espiral uniforme no se puede dibujar con regla y compás.

Menos conocidos, pero más sorprendentes para los matemáticos, son sus resultados sobre la espiral uniforme, recogidos en su libro "Sobre las espirales", en el que entre sus 28 proposiciones varias se refieren a las áreas de las espirales. Resultados tan complejos como estos:

"El área barrida por el radio de la espiral en su primera revolución es la tercera parte del área del círculo cuyo radio es el radio final de esta revolución..."

"El área barrida por el radio en la segunda vuelta es 6 veces el área de la primera vuelta"

"El área barrida en la segunda revolución está en razón 7/12 con el círculo cuyo radio es la posición final del radio vector"

Nos reconforta pensar que al igual que cada barco que cruza los mares rinde un homenaje a Arquímedes el físico por su principio, que cada vez que utilizamos una barra rígida para levantar un gran peso le damos las gracias por sus leyes de la palanca, cada vez que un niño hace un rollo de plastelina y lo envuelve sobre sí mismo y lo hace girar está realizando un sencillo pero a la vez hermoso homenaje a Arquímedes el matemático.

Si observamos la concha de este nautilius es fácil comprobar que no estamos ante una espiral de Arquímedes. ¿Cuál es la primera diferencia que salta a la vista? Efectivamente, según nos vamos alejando del centro, la espira se va haciendo cada vez más ancha. Y este aumento de la anchura se produce de una manera continua y uniforme.

Esta espiral, muy similar aunque no exactamente igual a la espiral de Durero, es la que más se prodiga en la Naturaleza.

Si damos un corte transversal a la concha veremos que está formada por compartimentos separados por tabiques y comunicados por un sifón. El animal ocupa el compartimentomás externo, que es de mayor tamaño .Al ir creciendo el molusco abandona el compartimento anterior y crea uno con la misma forma pero más grande.

Su borde exterior describe una curva que es siempre igual a sí misma. Es una espiral logarítmica o equiangular.

El origen del estudio de esta espiral tiene que ver con la navegación. A lo largo de los siglos XVI y XVII miles de barcos surcan los océanos. Los navegantes sabían que sobre la superficie terrestre la distancia más corta entre dos puntos es un arco de círculo máximo. Pero para seguir un rumbo que encaje con este arco es necesario realizar continuos cambios de rumbo. Por ello sustituían este rumbo óptimo por otro en el ángulo que formaba la trayectoria del barco con todos los meridianos que atravesaba se mantenía constante. El rumbo se mantenía constante.
Los rumbos de este tipo dibujan en la esfera terrestre una curva llamada loxodrómica. Pero los navegantes no trabajaban sobre una esfera, sus mapas eran planos, proyecciones de la esfera. Pues bien la proyección de la esfera sobre un plano convierte a la loxodrómica en una... espiral equiangular.

Matemáticamente, incluyéndola en la categoría de curvas mecánicas, es decir aquellas cuya ecuación no es un polinomio, fue descrita por primera vez por Descartes, que en 1638 comunicó a Mersenne sus investigaciones sobre esta curva.

Estaba buscando una curva creciente con una propiedad similar a la de la circunferencia, que la tangente en cada punto corte la radio vector siempre con el mismo ángulo. De ahí el nombre de equiangular.

Descartes también demostró que esta condición es equivalente al hecho de que los ángulos alrededor del polo son proporcionales al logaritmo del radio vector.

Aunque este nombre se lo debemos a Jacob Bernouilli, que la estudio en profundidad quedando cautivado por esta espiral hasta el punto de dejar escrito en su testamento que en su lápida debería figurar una espiral logarítmica con la inscripción "Eadem mutata resurgo" - Resurjo cambiada pero igual -.

En el cementerio de matemáticos de Basilea puede verse su tumba con una espiral, que por ironía de la historia, y por ignorancia del cantero que la realizó, resulta ser una espiral arquimediana

La separación de las espiras aumenta al crecer el ángulo, es decir, el radio vector crece de forma exponencial respecto del ángulo de giro. Por eso recibe un tercer nombre, espiral geométrica.

Su ecuación es de la forma:

, donde r es el radio de posición, C una constante, k otra constante y theta el ángulo de giro.

Decididamente cuesta trabajo a la hora de decidirse por uno de los tres nombres de la espiral. Cada uno de ellos la define matemáticamente de forma precisa, mediante una de sus propiedades.

Se construye trazando sucesivos triángulos rectángulos semejantes, de tal forma que la hipotenusa de uno es un cateto del siguiente; y uniendo los vértices consecutivos. Esta construcción se basa en una propiedad ya descubierta por Bernuilli: mientras el ángulo de giro crece en progresión aritmética - sumando siempre la misma cantidad - , el radio correspondiente crece en progresión geométrica - multiplicando siempre el radio anterior por un mismo número -

Jacob Bernouilli descubrió varias propiedades de esta curva que les pasaron desapercibidas a Descartes y Torricelli, entre ellas el hecho de que la espiral logarítmica es la única curva que verifica que su evoluta, su involuta, su caústica y su podaria son, a su vez, una espiral logarítmica.

Nos explicamos ahora el "Eadem mutata resurgo" atribuido por el bueno de Jacob Bernouilli a esta espiral: aunque me cambien, es decir si trazan mi evoluta, mi involuta, mi caústica de reflexión o de refracción... siempre volveré a aparecer semejante a mí misma.

Jacob Bernouilli había descubierto además otra extraña propiedad, la autosemejanza, que relaciona directamente esta espiral con los objetos fractales.

Profundizando en el conjunto de Mandelbrot, uno de los objetos fractales más populares. Investigar el sinfin de formas y estructuras que contiene sería un trabajo complejo.

Si en este conjunto se realizan sucesivas ampliaciones sobre una de sus partes no es díficil encontrar sugerentes estructuras de espirales logarítmicas.

Se puede seguir ampliando y en todos los niveles nos volverán a sorprender. No es tan extraño, la autosemejanza controla las formas fractales, lo mismo que la espiral logarítmica.

La propia construcción de esta espiral nos sugiere el motivo de su abundante presencia como forma que rige el crecimiento de numerosos organismos vivos. Las dos ideas que inspiran este crecimiento son las de rotación más dilatación. Crecimiento aditivo autosemajante con enrollamiento.

Nos explicamos ahora por qué las conchas de muchos caracoles vistas frontalmente forman espirales logarítmicas: al fin y al cabo no les queda más remedio que crecer siendo siempre iguales a sí mismos.

Pero es el reino vegetal el que nos muestra los ejemplos más generosos de este tipo de espirales. Las espirales que hemos visto en los girasoles, las margaritas y muchas otras flores, las piñas... son espirales equiangulares o logarítmicas.

En 1525, tres años antes de morir, el genial pintor renacentista y gran enamorado de las Matemáticas, Alberto Durero (1471-1528) publica una obra titulada Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas. Es un precioso libro en el que pretende enseñar a los artistas, pintores y matemáticos de la época diversos métodos para trazar diversas figuras geométricas.

En esta obra Durero muestra cómo trazar con regla y compás algunas espirales y entre ellas una que pasará a la historia con su nombre: la Espiral de Durero.

No se trata de una espiral de Arquímedes ni de una espiral logarítmica pues ninguna de las dos puede construirse con regla y compás. Sin embargo se aproxima bastante a esta última. Es una de las espirales gnómicas basadas en el famoso número de oro, o mejor dicho, en los rectángulos áureos.

Los rectángulos áureos son aquellos cuyos lados están en proporción áurea, es decir, el cociente entre su lado mayor y su lado menor es precisamente el número de oro.

Son los únicos que tienen esta curiosa propiedad: si cortamos un cuadrado cuyo lado sea el lado corto del rectángulo obtenemos un rectángulo semejante al original, es decir tiene las mismas proporciones.

O expresado al revés, si a un rectángulo áureo le añadimos sobre su lado mayor, un cuadrado obtenemos otro rectángulo áureo. Una buena aproximación a esta sucesión de rectángulos áureos es la obtenida a través de los rectángulos cuyos lados son los términos de la sucesión de Fibonacci.

Una vez construida esta sucesión de rectángulos áureos encajados si unimos mediante un arco de circunferencia dos vértices opuestos de cada uno de los cuadrados obtenidos, utilizando como centro de la misma otro de los vértices del mismo cuadrado, obtenemos una curva muy similar a una espiral logarítmica, es la famosa Espiral de Durero.
Esta espiral es casi una espiral logarítmica de salto angular 90 grados y razón geométrica el número de oro. La única diferencia, inapreciable a pequeña escala es que los centros de esos arcos van saltando a su vez de un vértice a otro de los rectángulos.

Nos consuela pensar que si bien esta increible espiral no se ajusta de manera tan perfecta a los fenómenos naturales de desarrollo de numerosos seres vivos, tanto animales como vegetales, como sus numerosos defensores a lo largo de la historia han pretendido, al menos ha proporcionado auténticas maravillas artísticas desde Durero hasta nuestros días.

Otra espíral gnómica basada en el número áureo es la que se construye tomando como base un triángulo isósceles cuyo ángulo menor mide 36°. A partir de cada triángulo se construye otro triángulo isósceles cuyo lado menor coincide con el mayor del triángulo anterior.

Los cocientes entre el lado mayor y el lado menor de cada triángulo tiendne hacia el número de oro.

La espiral se construye uniendo mediante arcos de circunferencia los vértices consecutivos de estos triángulos.

El resultado es otra similar cuya pulsación, el factor de crecimiento es el número áureo.